Cours sur les Suites par WinAkademy Soutien Scolaire

CHAPITRE : SUITE REELLE A. Démonstration par récurrence. Soit ܲ une propriété dépendant d’un entier naturel ݊, et ݊଴ un entier naturel fixé. Méthode Pour démontrer que ܲ est vraie pour tout entier ݊ ൒ ݊଴ on procède en trois étapes. Initialisation de la propriété : On vérifie que la propriété ܲ est vraie pour l’entier ݊଴ . 1. vraie pour un entier ݊ ൒ ݊଴ (hypothèse de récurrence) alors elle est vraie 2. Caractère héréditaire de la propriété On démontre que si la propriété P est pour l’entier ݊ ൅ 1. propriété P est vraie pour tout entier ݊ ൒ ݊଴ . 3. Conclusion On peut conclure, d’après l’axiome de récurrence, que la 1. Définition d’une suite Une suite est une fonction définie sur l’ensemble Գ B. Quelques rappels sur les suites des entiers naturels ou à partir du rang ݊଴ , ݊଴ ‫ א‬Գ. 2. Deux façons de définir une suite Par la donnée explicite de Un en fonction de n Exemples • ܷ௡ ൌ ௡ିଷ définie à partir du rang 4. ௡! • ܷ௡ ൌ ݂ሺ݊ሻ avec ݂ሺ݊ሻ ൌ √‫ ݔ‬൅ 3 définie sur Գ.On dit alors que ܷ௡ est une suite fonctionnelle. ܷ଴ ൌ 1 Par la donnée du premier terme et d’une relation de récurrence Exemple : la suite ሺܷ௡ ሻ௡‫א‬Գ avec ݂ሺ݊ሻ ൌ √‫ ݔ‬൅ 3 définie par ൜ ܷ௡ାଵ ൌ 2ܷ௡ െ 3Remarque : cette suite récurrente est telle que pour tout ݊ de Գ, ܷ௡ାଵ ൌ ݂ሺܷ௡ ሻ avec݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 2‫ ݔ‬െ 3 C. Sens de variation d’une suite 1) Définition Soit ሺܷ௡ ሻ௡‫א‬Գ une suite définie sur Գ. On dit que ሺܷ௡ ሻest 2) - croissante si pour tout ݊ ‫ א‬Գ, ܷ௡ାଵ ൒ ܷ௡ - décroissante si pour tout ݊ ‫ א‬Գ, ܷ௡ାଵ ൑ ܷ௡ - constante si pour tout ݊ ‫ א‬Գ,ܷ௡ାଵ ൌ ܷ௡ . - monotone si elle est soit croissante soit décroissante Remarques • on adaptera les définitions si la suite est définie à partir du rang ݊଴ • la suite ሺܷ௡ ሻ définie sur par ܷ௡ ൌ ሺെ1ሻ௡ n’est pas monotone : elle prend alternativement les valeurs + 1 et - 1.

Méthodes d’étude de la monotonie d’une suite• Pour déterminer le sens de variation d’une suite ሺܷ௡ ሻ définie à partir du rang ݊଴• Montrer que , pour tout ݊ ൒ ݊଴ , la différence ܷ௡ାଵ െ ܷ௡ garde le même signe, on peut utiliser l’une des méthodes suivantes en choisissant la mieux adaptée suites du type ܷ௡ାଵ ൌ ݂ሺܷ௡ ሻ dans le cas ou ݂ est croissante sur un intervalle éventuellement à l’aide d’une démonstration par récurrence (en particulier pour les contenant tous les termes ܷ௡ ௎೙శభ• Si la suite est à termes strictement positifs, étudier la place du quotient ௎೙ par rapport à 1.• La suite ሺܷ௡ ሻ est alors croissante si pour tout ݊ ൒ ݊଴ , ൒ 1 ; décroissante si ௎೙శభ ௎೙ 0൑ ൑1 ௎೙శభ ௎೙• pour les suites (fonctionnelles) du typeܷ௡ ൌ ݂ሺ݊ሻ, si ݂ est monotone sur ሾ݊଴ ; ൅∞ሾ alors la suite ሺܷ௡ ሻ est monotone et varie dans le même sens que ݂ (Attention : condition suffisante mais pas nécessaire !) D. Suite majorée, minorée, bornée. 1) Définitions Une suite ሺܷ௡ ሻ définie à partir du rang n0 est : - majorée s’il existe un réel M tel que pour tout ݊ ൒ ݊଴ ,ܷ௡ ൑ ‫; ܯ‬ - minorée s’il existe un réel m tel que pour tout ݊ ൒ ݊଴ ,ܷ௡ ൒ ݉ - bornée si elle est à la fois majorée et minorée. • Une suite croissante est minorée par son premier terme. • Une suite décroissante est majorée par son premier terme 2) Théorème Pour les suites du type ܷ௡ ൌ ݂ሺ݊ሻ si ݂ est bornée sur ሾ݊଴ ; ൅∞ሾ alors la suite ሺܷ௡ ሻ l’est aussi. E. Convergence des suites monotones. Théorème Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. F. Suites adjacentes. 1) Définition Deux suites ሺܷ௡ ሻ et ሺܸ ሻ sont dites adjacentes si l’une d’elles ௡ est croissante, l’autre décroissante, et silim௡՜ାஶ ሺܷ௡ െ ܸ ሻ ൌ 0. ௡ 2) Si deux suites ሺܷ௡ ሻ et ሺܸ ሻ définies sur Գ sont adjacentes, ሺܷ௡ ሻ étant ௡ Théor la suite croissante et ሺܸ ሻ la suite décroissante, alors : ௡ ème - Pour tout ݊ de Գ, ܷ௡ ൑ ܸ ௡ - Les suites ሺܷ௡ ሻ et ሺܸ ሻ convergent vers la même limite L ௡ - Pour tout ݊ de Գ , ܷ௡ ൑ ‫ ܮ‬൑ ܸ ௡

Exemple classique : ces deux suites sont adjacentes et convergent vers݁ ൌ ܷ௡ ൌ 1 ൅ ଵ! ൅ ଶ! ൅ ‫ ڮ‬௡! ൌ ∑௡ ௜! ଵ ଵ ଵ ଵ 2,7182818 ቐ ௜ୀଵ ܸ ൌ ܷ௡ ൅ ௡! ൌ ∑௡ ௜! ൅ ௡! ଵ ଵ ଵ ௡ ௜ୀଵ 3) Théorèmes d’existence de limite Si une suite ( U n ) est croissante et majorée, alors elle converge. On ne sait rien de sa limite. Si une suite ( U n ) est décroissante et minorée, alors elle converge 4) Théorèmes sur les limites Composée : Soit f définie sur I. ሺܸ ሻest une suite dont tous les termes appartiennent à ௡ I lim௡՜ஶ ܸ ൌ ܾ ௡ et si lim௡՜ஶ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ܿ alors, lim௡՜ஶ ݂ሺܸ ሻ ൌ ܿ ௡ 5) Suite Arithmétique et suite géométrique : Type de la suite Forme générale Somme Limites ܷ௡ାଵ ൌ ܷ௡ ൅ ‫ݎ‬ ௡ ݊ ൈ ሺ݊ ൅ 1ሻ Si ‫ ݎ‬ൌ 0 ܷ௡ ൌ ܷ଴ ൅ ݊‫ݎ‬ ෍ ܷ௜ ൌ ሺ݊ ൅ 1ሻ ൈ ܷ଴ ൅ ‫ ݎ‬ൈ lim ܷ௡ ൌ ‫ݎ‬ 2 ܷ௣ ൌ ܷ௤ ൅ ሺ‫ ݌‬െ ‫ݍ‬ሻ‫ݎ‬ ௡՜∞ ௜ ୀ଴ Si ‫ ݎ‬൐ 0 ‫݌‬൒‫ݍ‬Suite lim ܷ௡ ൌ ൅∞Arithmétique ௡՜∞ Si ‫ ݎ‬൏ 0 lim ܷ௡ ൌ െ∞ ௡՜∞ ܸ௡ାଵ ൌ ‫ܸݍ‬ ௡ Si ‫ ݍ‬ൌ 1 Si |‫ |ݍ‬൏ 1 ܸ ൌ ‫ ݍ‬௡ ܸ଴ ௡ ௡ lim ‫ ݍ‬௡ ൌ 0 ܸ ൌ ‫ ݍ‬௡ି௣ ܸ ෍ ܸ௜ ൌ ሺ݊ ൅ 1ሻ ൈ ܸ଴ ௡՜∞ ௣ ௤ Si |‫ |ݍ‬൒ 1 ݊൒‫݌‬Suite ௜ ୀ଴ lim ‫ ݍ‬௡ ൌ ൅∞ Si ‫1 ് ݍ‬géométrique ௡՜∞ ௡ 1െ‫ݍ‬ ௡ାଵ Si ‫ ݍ‬൏ െ1 ෍ ܸ௜ ൌ ൈ ܸ଴ 1െ‫ݍ‬ La limite n’existe pas ௜ ୀ଴ Dans ce tableau: Les réels ‫ ݎ‬et ‫ ݍ‬sont les raisons respectifs de ሺܷ௡ ሻ௡‫א‬Գ et ሺܸ ሻ௡‫א‬Գ ௡ Les réels ܷ଴ et ܸ଴ sont les premiers termes respectifs de ሺܷ௡ ሻ௡‫א‬Գ et ሺܸ ሻ௡‫א‬Գ ௡

6) Récurrence d’ordre 1 Soit ሺܷ௡ ሻ une suite définie de manière récurrente par : ܷ଴ ൜ ܷ௡ାଵ ൌ ݂ሺܷ௡ ሻ pour tout ݊ ‫ א‬Գ Il faut étudier le sens de variations de f. Si f est croissante sur I, si ݂ሺ‫ܫ‬ሻ ‫ ,ܫ ؿ‬alors, la suite ሺܷ௡ ሻest monotone. Si de plus l’équation ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬admet une solution dans I, alors c’est la limite de la suit ሺܷ௡ ሻ 7) Et pour finir : Dans l’exemple ci dessus, on a tracé la courbe de f et la droited’équation ൌ ‫ . ݔ‬Ces deux courbes se coupent en un point d’abscisse inférieureà 4. Si on prend u0 sur ሺܱ‫ݔ‬ሻ, le point d’abscisse u0 de Cff a commeordonnée. ܷଵ ൌ ݂ሺܷ଴ ሻ On projette alors ce point sur la droite d’équation ‫ ݕ‬ൌ ‫ݔ‬ fpuis sur ሺܱ‫ݔ‬ሻ. On a donc maintenant u1 sur ሺܱ‫ݔ‬ሻ. On réitère le processus et onvisualise ainsi ܷଶ ; ܷଷ et ܷସ On peut avoir l’intuition que la suite converge versle réel solution de l’équation ‫ ݔ‬ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ. Attention, on voit l’importance dupremier terme. Si u0 est supérieur à 4, il est clair que la suite tend vers l’infini. Un deuxième exemple est fourni avec une fonction décroissante ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 1 ൅ ; on définit ܷ௡ାଵ ൌ ݂ሺܷ௡ ሻ et ܷ଴ ൌ 1ଵ௫ 1 f := x → 1 + x

Cours sur les Suites par WinAkademy Soutien Scolaire

by WinAkademy Soutien Scolaire on Jun 17, 2012

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