บทที่ 2 ทฤษฏีการวัดและความคลาดเคลื่อน 2

64,926 views
64,321 views

Published on

Published in: Technology, Business

บทที่ 2 ทฤษฏีการวัดและความคลาดเคลื่อน 2

  1. 1. บทที่ 2 ทฤษฏีการวัดและความคลาดเคลื่อน (Theory of Measurement and Errors) อ . ดร . ชาติชาย ไวยสุระสิงห์ ภาควิชาวิศวกรรมโยธา คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น
  2. 2. การวัด (Measurement) <ul><li>การวัด (Measurements) เป็นกรรมวิธีพื้นฐานของการได้มาซึ่งค่าสังเกต (Observations) ของข้อมูลตามที่ต้องการ </li></ul><ul><li>เมื่อได้ก็ตามที่มีการวัด เมื่อนั้นย่อมมีความคลาดเคลื่อน (Errors) ขึ้นตามมาทุกครั้ง </li></ul><ul><li>ดังนั้น จึงไม่มีการวัดครั้งใดที่ปราศจากความคลาดเคลื่อนอยู่ด้วย </li></ul><ul><li>นั่นคือ ในการวัดทุกครั้งจำเป็นจำต้องมีการประเมินค่าความถูกต้อง (Accuracy) และค่าความแม่นยำ (Precision) </li></ul><ul><li>และนั่นหมายถึง ในศึกษาถึงความถูกต้องของการวัดจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องมีการเข้าใจถึงธรรมชาติ ชนิด และ ขนาดของความคลาดเคลื่อนที่แต่ละกระบวนการวัดด้วย </li></ul>
  3. 3. การวัดและมาตรฐาน (Measurement and Standards) <ul><li>การวัด เป็นกระบวนการหาขนาด ปริมาณ ของสิ่งที่ต้องการวัดด้วยการเทียบกับมาตรฐานอันหนึ่งที่ใช้ในการหาขนาดและปริมาณต่างๆ เช่น </li></ul><ul><ul><li>ความยาว น้ำหนัก ทิศทาง เวลา ตลอดจน ปริมาตร </li></ul></ul><ul><ul><li>ตัวอย่างของการเทียบกับสิ่งที่เป็นมาตรฐาน เช่น </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>ความยาวมาตรฐาน 1 เมตร คือ ระยะทางที่แสงเดินทางได้ในสุญญากาศเป็นเวลา 1/299,792,458 วินาที ซึ่งอาจจะทำการวัดเทียบกับสิ่งที่ใช้เป็นมาตรฐานอ้างอิงนั้นโดยตรงหรือโดยอ้อม (Direct and Indirect Measurement) </li></ul></ul></ul>
  4. 4. การวัดในงานสำรวจ (Measurements in Surveying) <ul><li>มุม </li></ul><ul><li>มุมราบ (Horizontal Angle) </li></ul><ul><li>มุมดิ่ง (Vertical Angle) </li></ul><ul><li>มุมดิ่งบน หรือมุมซีนิธ (Zenith Angle) </li></ul><ul><li>ระยะ </li></ul><ul><li>ระยะราบ (Horizontal Distance) </li></ul><ul><li>ระยะดิ่ง (Vertical Distance) </li></ul><ul><li>ระยะเอียง (Slope Distance) </li></ul>ระยะดิ่ง มุมราบ มุมดิ่ง มุมดิ่งบน ระยะราบ O B A C ระยะเอียง
  5. 5. การวัดโดยตรงและโดยอ้อม (Direct and Indirect Measurements) <ul><li>การวัดโดยตรง (Direct Measurement) </li></ul><ul><li>การวัดปริมาณใด ๆ ที่สามารถกระทำได้โดยตรงด้วยเครื่องมือ </li></ul><ul><li>ความคลาดเคลื่อนการวัดขึ้นอยู่กับเครื่องมือ และกรรมวิธีการวัดนั้น ๆ โดยตรง </li></ul><ul><li>การวัดโดยอ้อม (Indirect Measurement) </li></ul><ul><li>การวัดปริมาณใด ๆ ที่ไม่สามารถกระทำได้โดยตรงด้วยเครื่องมือ </li></ul><ul><li>ต้องมีการคำนวณปริมาณนั้นด้วยความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ </li></ul><ul><li>ความคลาดเคลื่อนจะไม่ขึ้นอยู่กับเครื่องมือและกรรมวิธีการวัดนั้น ๆ โดยตรง </li></ul><ul><li>ต้องมีการคำนวณหาค่าความคลาดเคลื่อนที่แพร่กระจาย ( error propagation) มาจากการปริมาณที่วัดโดยคำนวณตามความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ </li></ul>
  6. 6. ความคลาดเคลื่อนของการวัด (Measurement Errors) <ul><li>ค่าความคลาดเคลื่อน ( errors) </li></ul><ul><li>คือ ค่าความแตกต่างระหว่างค่าที่วัดได้กับค่าจริงของปริมาณนั้น </li></ul>- ค่าคลาดเคลื่อน (Error) - ค่าที่รังวัดมา (Observed Value) - ค่าที่ถูกต้อง (True Value)
  7. 7. ค่าเศษเหลือ (Residuals) <ul><li>คือ ค่าความแตกต่างระหว่าง ค่าเฉลี่ย กับ ค่าที่รังวัดมาแต่ละค่า </li></ul>- ค่าเศษเหลือ (Residual) - ค่าเฉลี่ยของค่าที่รังวัดมา (Mean Value) - ค่าที่รังวัดมา (Observed Value)
  8. 8. Errors VS Residuals <ul><li>Errors และ Residual จากสมการที่กล่าวมา นั้น จะเห็นว่า </li></ul><ul><li>มีขนาดเท่ากัน </li></ul><ul><li>มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ( เพื่อแสดงถึงความแตกต่าง ) </li></ul><ul><li>ยิ่งจำนวนของค่าที่รังวัดมามีจำนวนมากเท่าใด ค่า Residual จะมีขนาดเข้าใกล้ค่า Errors </li></ul>
  9. 9. สมมติฐานเกี่ยวกับความคลาดเคลื่อน <ul><li>การวัดทุกครั้งไม่มีความแม่นยำที่แน่นอน </li></ul><ul><li>การวัดทุกครั้งมีความคลาดเคลื่อนเกิดขึ้นเสมอ </li></ul><ul><li>ค่าที่ถูกต้องของการวัดไม่สามารถทราบได้แน่นอน </li></ul><ul><li>ค่าความคลาดเคลื่อนที่แน่นอนไม่สามารถทราบได้ </li></ul>
  10. 10. องค์ประกอบของการวัด <ul><li>มีการบอกขนาดของการวัด เช่น ระยะทาง 4.1 </li></ul><ul><li>มีการบอกหน่วยที่ใช้ในการวัด เช่น ระยะทาง 4.1 กม . </li></ul><ul><li>มีการประมาณช่วงของความคลาดเคลื่อน เช่น ระยะทาง 4.1 (±0.2) กม . </li></ul><ul><li>มีการบอกระดับความเชื่อมั่นของช่วงความคลาดเคลื่อนที่เกิดขึ้นในการวัด เช่น ที่ระดับความเชื่อมั่น 95% มีระยะทาง 4.1 (±0.2) กม . </li></ul>
  11. 11. สาเหตุการเกิดความคลาดเคลื่อน ( Sources of Errors in Measurements ) <ul><li>ความคลาดเคลื่อนที่เกิดจากสภาพธรรมชาติ ( Natural errors ) </li></ul><ul><li>มีปริมาณที่เปลี่ยนขึ้นอยู่กับสภาวะทางธรรมชาติ เช่น wind, temperature, humidity, atmospheric pressure and refraction, gravity and magnetic declination </li></ul><ul><li>ความคลาดเคลื่อนที่เกิดจากเครื่องมือวัด ( Instruments errors ) </li></ul><ul><li>โดยทั่วไปสามารถหาขนาด และขจัด หรือ ตรวจแก้ได้เกิดจากความไม่สมบูรณ์ของเครื่องมือ เช่น graduations on scale, collimation error </li></ul><ul><li>ความคลาดเคลื่อนเกิดจากผู้ทำการวัด ( Personal errors ) </li></ul><ul><li>ขึ้นกับขีดความสามารถของมนุษย์ในการมอง และการสัมผัส การใช้เครื่องมือ เช่นการส่องเป้าในการวัดมุม การตั้งเป้าให้ตรงกับสถานี เป็นต้น </li></ul>
  12. 12. ชนิดของความคลาดเคลื่อน ( Types of Errors ) <ul><li>Systematic errors </li></ul><ul><li>สาเหตุเกิดจากองค์ประกอบของระบบการวัด ไม่ว่าจะเป็น สภาวะแวดล้อม เครื่องมือ และ ผู้ทำการรังวัด </li></ul><ul><li>มีขนาดเปลี่ยนไปตามสภาพของสภาวะดังกล่าว </li></ul><ul><li>มีลักษณะเป็นแบบสะสม ( Cumulative Errors) </li></ul><ul><li>สามารถหาปริมาณและคำนวณตรวจแก้ได้ </li></ul><ul><li>Random errors </li></ul><ul><li>เป็นความคลาดเคลื่อนที่อยู่นอกเหนือการควบคุมของมนุษย์ ( Accidental Errors) </li></ul><ul><li>มีขนาดและทิศทางไม่แน่นอน ไม่สามารถตรวจแก้ได้โดยตรง </li></ul><ul><li>การคำนวณปรับแก้อาศัยหลักการทางสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็น เช่น การหา </li></ul><ul><li>ค่าเฉลี่ย การคำนวณแบบ least square เป็นต้น </li></ul>
  13. 13. Precision, Accuracy and Discrepancy <ul><li>ค่าความแม่นยำ ( Precision ) </li></ul><ul><li>คือ ความแม่นยำในการวัดหลายๆ ครั้ง กล่าวคือ มี Discrepancy มากหรือน้อยซึ่งขึ้นอยู่กับ ความละเอียดของเครื่องมือ และ ความชำนาญของผู้ใช้ </li></ul><ul><li>ค่าความถูกต้อง ( Accuracy) </li></ul><ul><li>คือ ความถูกต้องของค่าการวัดที่ได้ว่า ใกล้เคียง กับค่าจริงเพียงใด Accuracy </li></ul><ul><li>ค่าความแตกต่าง หรือ ค่าแย้ง ( Discrepancy) </li></ul><ul><li>คือ ค่าแตกต่างของการวัด 2 ครั้งในปริมาณเดียวกันเมื่อมีการขจัด Systematic Errors ออกไปแล้ว </li></ul><ul><li>ถ้า Discrepancy น้อยสามารถบอกได้ว่า ไม่มี Mistake, Blunders และ Gross Errors. </li></ul>
  14. 14. Accuracy VS Precision
  15. 15. Accuracy VS Precision ( ต่อ )
  16. 16. การขจัด Mistakes และ Systematic Errors <ul><li>Mistakes </li></ul><ul><li>วัดซ้ำหลายๆค่า </li></ul><ul><li>ตัดค่ารังวัดที่มีผิดแปลกแตกต่างจากกลุ่มออกไป </li></ul><ul><li>Systematic Errors </li></ul><ul><li>ตรวจหาและคำนวณค่าแก้ </li></ul><ul><li>แก้ไขค่ารังวัดมาโดยใช้ค่าแก้ที่คำนวณได้ </li></ul>
  17. 17. True Value & Residuals <ul><li>จากสมมุติฐานความคลาดเคลื่อน ที่ว่า </li></ul><ul><li>ค่าที่ถูกต้องหรือค่าจริงของการวัดไม่สามารถทราบได้แน่นอน </li></ul><ul><li>(True value of measurement is not known exactly) </li></ul><ul><li>ดังนั้น </li></ul><ul><li>True Value = Most Probable Value = Mean Value = </li></ul><ul><li>ค่าเศษเหลือ ( Residuals, v ) </li></ul>
  18. 18. Example 1 จงคำนวณหา Residuals ของข้อมูลแต่ละตัว <ul><li>Row 1: 41.8, 41.9, 42.0, 42.2, 42.5 </li></ul><ul><li>Row 2: 42.6, 42.6, 42.8, 43.0, 43.1 </li></ul><ul><li>Row 3: 43.2, 43.2, 43.3, 43.4, 43.4 </li></ul><ul><li>Row 4: 43.6, 44.1, 44.2, 44.3, 44.3 </li></ul><ul><li>Row 5: 44.3, 44.6, 44.7, 44.7, 44.7 </li></ul><ul><li>Row 6: 45.0, 45.5, 45.5 45.5, 45.5 </li></ul><ul><li>Row 7: 45.6, 45.6, 45.7 45.9, 46.0 </li></ul><ul><li>Row 8: 46.1, 46.1, 46.1 46.2, 46.3 </li></ul><ul><li>Row 9: 46.3, 46.8, 47.1, 47.2, 47.4 </li></ul><ul><li>Row 10: 47.5, 47.6, 49.5, 49.5, 52.0 </li></ul>
  19. 19. Example 1 ( ต่อ ) <ul><li>Row 1: 41.8 41.9 42.0 42.2 42.5 </li></ul><ul><li>Row 2: 42.6 42.6 42.8 43.0 43.1 </li></ul><ul><li>Row 3: 43.2 43.2 43.3 43.4 43.4 </li></ul><ul><li>Row 4: 43.6 44.1 44.2 44.3 44.3 </li></ul><ul><li>Row 5: 44.3 44.6 44.7 44.7 44.7 </li></ul><ul><li>Row 6: 45.0 45.5 45.5 45.5 45.5 </li></ul><ul><li>Row 7: 45.6 45.6 45.7 45.9 46.0 </li></ul><ul><li>Row 8: 46.1 46.1 46.1 46.2 46.3 </li></ul><ul><li>Row 9: 46.3 46.8 47.1 47.2 47.4 </li></ul><ul><li>Row 10: 47.5 47.6 49.5 49.5 52.0 </li></ul><ul><li>Translated rows ( yi - 40 ) </li></ul><ul><li>Row 1: 1.8 1.9 2.0 2.2 2.5 </li></ul><ul><li>Row 2: 2.6 2.6 2.8 3.0 3.1 </li></ul><ul><li>Row 3: 3.2 3.2 3.3 3.4 3.4 </li></ul><ul><li>Row 4: 3.6 4.1 4.2 4.3 4.3 </li></ul><ul><li>Row 5: 4.3 4.6 4.7 4.7 4.7 </li></ul><ul><li>Row 6: 5.0 5.5 5.5 5.5 5.5 </li></ul><ul><li>Row 7: 5.6 5.6 5.7 5.9 6.0 </li></ul><ul><li>Row 8: 6.1 6.1 6.1 6.2 6.3 </li></ul><ul><li>Row 9: 6.3 6.8 7.1 7.2 7.4 </li></ul><ul><li>Row 10: 7.5 7.6 9.5 9.5 12.0 </li></ul>
  20. 20. เกมการยิงเป้ารูปดาว (The Shoot the Star out Game) <ul><li>ในการเล่นเกมส์ยิงเป้ารูปดาวจำนวนนับครั้งไม่ถ้วน </li></ul><ul><li>จะเห็นว่า การยิ่งเข้าเป้าส่วนใหญ่จะเข้าตรงกลาง </li></ul><ul><li>หากนำมาพล็อตเป็นกราฟฮิสโตรแกรมเป็นโค้งแสดงการกระจายความคลาดเคลื่อนแบบปกติ (Normal Distribution Curve) </li></ul>
  21. 21. โค้งการแจกแจงความคลาดเคลื่อนปกติ The Normal Distribution Curve
  22. 22. การแจกแจงแบบปกติและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Normal Distribution and Standard Deviation)
  23. 23. Interpretation of Standard Deviation <ul><li>เปอร์เซ็นต์ของพื้นที่ใต้กราฟหมายถึงโอกาสที่ความคลาดเคลื่อนในช่วงนั้น จะเกิดขึ้นได้ของการวัดทั้งหมด หรือกล่าวได้ว่าเป็นเปอร์เซ็นต์ของระดับ ความเชื่อมั่น ( Confidential level) เช่น 95% ระดับความเชื่อมั่น </li></ul><ul><li>จากตาราง เมื่อพิจารณาพื้นที่ใต้ Normal Curve </li></ul><ul><ul><li>- s ถึง s = 68.27 % ของพื้นที่ใต้กราฟทั้งหมด </li></ul></ul><ul><ul><li>-1.960 s ถึง 1.960 s = 9 5 % ของพื้นที่ใต้กราฟทั้งหมด </li></ul></ul><ul><ul><li>-2.965 s ถึง 2.965 s = 9 9.7 % ของพื้นที่ใต้กราฟทั้งหมด </li></ul></ul>
  24. 24. ตัวคูณสำหรับร้อยละความคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ใดๆ (Multiplier for various percent probable error)
  25. 25. การแพร่ของความคลาดเคลื่อน (Error Propagation) <ul><li>เมื่อ l 1 , l 2 , l 3 , … ,l n เป็นค่าสังเกตที่รังวัดได้และ </li></ul><ul><li>มีค่าความคลาดเคลื่อนสุ่ม E 1 , E 2 , E 3 , … ,E n ตามลำดับ </li></ul><ul><li>Z = f(l 1 , l 2 , l 3 , … ,l n ) คือ ฟังก์ชันค่าที่คำนวณได้จากแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ </li></ul><ul><li>ดังนั้น การแพร่กระจายค่าความคลาดเคลื่อนสุ่มของฟังก์ชัน คือ </li></ul>
  26. 26. การแพร่ของความคลาดเคลื่อนในกรณีต่างๆ Error of Propagation of specific cases
  27. 27. Example 2 <ul><li>แท็งค์น้ำรูปทรงกระบอก </li></ul><ul><ul><li>มีรัศมี (R) เป็น 24.00 ± 0.05 ft </li></ul></ul><ul><ul><li>มีความสูง (H) เป็น 36.00 ± 0.06 ft. </li></ul></ul><ul><li>จงคำนวณหาปริมาตรของแท็งค์น้ำนี้ พร้อมทั้งหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของปริมาตรแท็งค์น้ำ ? </li></ul><ul><li>สูตรปริมาตรของทรงกระบอก </li></ul>
  28. 28. Example 2 ( ต่อ ) <ul><li>จาก </li></ul><ul><li>นั่นคือ </li></ul>
  29. 29. Example 2 ( ต่อ ) <ul><li>จาก </li></ul><ul><li>จะได้ว่า </li></ul><ul><li> และ </li></ul>
  30. 30. Example 2 ( ต่อ ) <ul><li>นั้นคือ </li></ul><ul><li>จะได้ว่า </li></ul><ul><li>แท็งค์มีปริมาตรเป็น 65,144.06 ± 292 ft 3 </li></ul>
  31. 31. น้ำหนักของการวัด (Weight of Measurements) <ul><li>น้ำหนักของค่าที่รังวัดมาจะแปรผกผันกับกำลังลองของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน </li></ul><ul><li>นั่นคือ โดยนิยมใช้ที่ </li></ul><ul><li>เมื่อค่าที่รังวัดมามีน้ำหนักไม่เท่ากัน </li></ul><ul><li>ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (Weight Mean) จะถือเป็นค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด (the most probable value) ของค่าที่รังวัดมา </li></ul>
  32. 32. Standard Deviation for Weighted Observations
  33. 33. Example 3 <ul><li>ในการวัดระยะทางด้วยเครื่องวัดระยะอิเล็คทรอนิคส์ (EDM) ทั้งหมด 3 ครั้ง พบว่า </li></ul><ul><ul><li>ค่าระยะทาง 185.67 เกิดขึ้น 2 ครั้ง </li></ul></ul><ul><ul><li>ค่าระยะทาง 185.68 เกิดขึ้น 1 ครั้ง </li></ul></ul><ul><li>จงหาค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าที่รังวัดมาพร้อมทั้งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ย </li></ul>
  34. 34. Example 3 ( ต่อ ) <ul><li>จากสมการค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก </li></ul><ul><li>จะได้ว่า </li></ul>
  35. 35. Example 3 ( ต่อ ) <ul><li>พิจารณาการแพร่ของความคลาดเคลื่อนจาก สมการ </li></ul><ul><li>นั่นคือ </li></ul>
  36. 36. Example 3 ( ต่อ ) <ul><li>ดังนั้น </li></ul><ul><li>ระยะทางที่วัดโดย EDM มีค่าเท่ากับ 185.673±0.333 เมตร </li></ul>
  37. 37. Example 4 <ul><li>จากตารางการรังวัดมุมทั้ง 4 วัน </li></ul><ul><li>จงหา </li></ul><ul><li>ค่าเฉลี่ยของค่ามุมที่วัดมาทั้ง 4 วัน </li></ul><ul><li>ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยมุมทั้ง 4 วันที่วัดมา </li></ul>
  38. 38. Example 4 ( ต่อ ) <ul><li>ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของมุมที่วัดมา คือ </li></ul><ul><li>เนื่องจากค่ามุมในหน่วยองศาและลิปดามีค่าเท่ากัน จึงนำเฉพาะค่ามุมในหน่วยฟิลิปดามาคิด </li></ul><ul><li>ดังนี้ </li></ul><ul><li>นั่นคือ ค่าเฉลี่ยของมุมที่วัดมาเท่ากับ </li></ul>
  39. 39. Example 4 ( ต่อ ) <ul><li>จากสูตร </li></ul>
  40. 40. Example 4 ( ต่อ ) <ul><li>Standard deviation of the mean: </li></ul><ul><li>นั่นคือ ค่ามุมที่รังวัดมามีค่าเป็น </li></ul>
  41. 41. จบบทที่ 2
  42. 42. การวิเคราะห์ความคลาดเคลื่อนแบบสุ่มของการวัดระยะทางใดๆ
  43. 43. การวิเคราะห์ความคลาดเคลื่อนแบบสุ่มของการวัดระยะทางใดๆ <ul><li>ผลลัพธ์จากการวิเคราะห์ดังกล่าวสามารถที่จะนำมาเขียนเป็นกราฟแท่งที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของความคลาดเคลื่อนรวมกับความน่าจะเป็น ดังรูปด้านบน </li></ul><ul><li>ถ้าเพิ่มจำนวนการวัดมากขึ้นเรื่อยๆ ลักษณะของกราฟจะมีกราฟกระจายเป็นรูปโค้งระฆังคว่ำ โดยจะเรียกว่า โค้งแสดงการกระจายความคลาดเคลื่อนแบบปกติ </li></ul>

×