บทที่ 2 ทฤษฏีการวัดและความคลาดเคลื่อน 2
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

บทที่ 2 ทฤษฏีการวัดและความคลาดเคลื่อน 2

on

  • 53,764 views

 

Statistics

Views

Total Views
53,764
Views on SlideShare
53,764
Embed Views
0

Actions

Likes
3
Downloads
521
Comments
1

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

บทที่ 2 ทฤษฏีการวัดและความคลาดเคลื่อน 2 บทที่ 2 ทฤษฏีการวัดและความคลาดเคลื่อน 2 Presentation Transcript

  • บทที่ 2 ทฤษฏีการวัดและความคลาดเคลื่อน (Theory of Measurement and Errors) อ . ดร . ชาติชาย ไวยสุระสิงห์ ภาควิชาวิศวกรรมโยธา คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น
  • การวัด (Measurement)
    • การวัด (Measurements) เป็นกรรมวิธีพื้นฐานของการได้มาซึ่งค่าสังเกต (Observations) ของข้อมูลตามที่ต้องการ
    • เมื่อได้ก็ตามที่มีการวัด เมื่อนั้นย่อมมีความคลาดเคลื่อน (Errors) ขึ้นตามมาทุกครั้ง
    • ดังนั้น จึงไม่มีการวัดครั้งใดที่ปราศจากความคลาดเคลื่อนอยู่ด้วย
    • นั่นคือ ในการวัดทุกครั้งจำเป็นจำต้องมีการประเมินค่าความถูกต้อง (Accuracy) และค่าความแม่นยำ (Precision)
    • และนั่นหมายถึง ในศึกษาถึงความถูกต้องของการวัดจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องมีการเข้าใจถึงธรรมชาติ ชนิด และ ขนาดของความคลาดเคลื่อนที่แต่ละกระบวนการวัดด้วย
  • การวัดและมาตรฐาน (Measurement and Standards)
    • การวัด เป็นกระบวนการหาขนาด ปริมาณ ของสิ่งที่ต้องการวัดด้วยการเทียบกับมาตรฐานอันหนึ่งที่ใช้ในการหาขนาดและปริมาณต่างๆ เช่น
      • ความยาว น้ำหนัก ทิศทาง เวลา ตลอดจน ปริมาตร
      • ตัวอย่างของการเทียบกับสิ่งที่เป็นมาตรฐาน เช่น
        • ความยาวมาตรฐาน 1 เมตร คือ ระยะทางที่แสงเดินทางได้ในสุญญากาศเป็นเวลา 1/299,792,458 วินาที ซึ่งอาจจะทำการวัดเทียบกับสิ่งที่ใช้เป็นมาตรฐานอ้างอิงนั้นโดยตรงหรือโดยอ้อม (Direct and Indirect Measurement)
  • การวัดในงานสำรวจ (Measurements in Surveying)
    • มุม
    • มุมราบ (Horizontal Angle)
    • มุมดิ่ง (Vertical Angle)
    • มุมดิ่งบน หรือมุมซีนิธ (Zenith Angle)
    • ระยะ
    • ระยะราบ (Horizontal Distance)
    • ระยะดิ่ง (Vertical Distance)
    • ระยะเอียง (Slope Distance)
    ระยะดิ่ง มุมราบ มุมดิ่ง มุมดิ่งบน ระยะราบ O B A C ระยะเอียง
  • การวัดโดยตรงและโดยอ้อม (Direct and Indirect Measurements)
    • การวัดโดยตรง (Direct Measurement)
    • การวัดปริมาณใด ๆ ที่สามารถกระทำได้โดยตรงด้วยเครื่องมือ
    • ความคลาดเคลื่อนการวัดขึ้นอยู่กับเครื่องมือ และกรรมวิธีการวัดนั้น ๆ โดยตรง
    • การวัดโดยอ้อม (Indirect Measurement)
    • การวัดปริมาณใด ๆ ที่ไม่สามารถกระทำได้โดยตรงด้วยเครื่องมือ
    • ต้องมีการคำนวณปริมาณนั้นด้วยความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์
    • ความคลาดเคลื่อนจะไม่ขึ้นอยู่กับเครื่องมือและกรรมวิธีการวัดนั้น ๆ โดยตรง
    • ต้องมีการคำนวณหาค่าความคลาดเคลื่อนที่แพร่กระจาย ( error propagation) มาจากการปริมาณที่วัดโดยคำนวณตามความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้
  • ความคลาดเคลื่อนของการวัด (Measurement Errors)
    • ค่าความคลาดเคลื่อน ( errors)
    • คือ ค่าความแตกต่างระหว่างค่าที่วัดได้กับค่าจริงของปริมาณนั้น
    - ค่าคลาดเคลื่อน (Error) - ค่าที่รังวัดมา (Observed Value) - ค่าที่ถูกต้อง (True Value)
  • ค่าเศษเหลือ (Residuals)
    • คือ ค่าความแตกต่างระหว่าง ค่าเฉลี่ย กับ ค่าที่รังวัดมาแต่ละค่า
    - ค่าเศษเหลือ (Residual) - ค่าเฉลี่ยของค่าที่รังวัดมา (Mean Value) - ค่าที่รังวัดมา (Observed Value)
  • Errors VS Residuals
    • Errors และ Residual จากสมการที่กล่าวมา นั้น จะเห็นว่า
    • มีขนาดเท่ากัน
    • มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ( เพื่อแสดงถึงความแตกต่าง )
    • ยิ่งจำนวนของค่าที่รังวัดมามีจำนวนมากเท่าใด ค่า Residual จะมีขนาดเข้าใกล้ค่า Errors
  • สมมติฐานเกี่ยวกับความคลาดเคลื่อน
    • การวัดทุกครั้งไม่มีความแม่นยำที่แน่นอน
    • การวัดทุกครั้งมีความคลาดเคลื่อนเกิดขึ้นเสมอ
    • ค่าที่ถูกต้องของการวัดไม่สามารถทราบได้แน่นอน
    • ค่าความคลาดเคลื่อนที่แน่นอนไม่สามารถทราบได้
  • องค์ประกอบของการวัด
    • มีการบอกขนาดของการวัด เช่น ระยะทาง 4.1
    • มีการบอกหน่วยที่ใช้ในการวัด เช่น ระยะทาง 4.1 กม .
    • มีการประมาณช่วงของความคลาดเคลื่อน เช่น ระยะทาง 4.1 (±0.2) กม .
    • มีการบอกระดับความเชื่อมั่นของช่วงความคลาดเคลื่อนที่เกิดขึ้นในการวัด เช่น ที่ระดับความเชื่อมั่น 95% มีระยะทาง 4.1 (±0.2) กม .
  • สาเหตุการเกิดความคลาดเคลื่อน ( Sources of Errors in Measurements )
    • ความคลาดเคลื่อนที่เกิดจากสภาพธรรมชาติ ( Natural errors )
    • มีปริมาณที่เปลี่ยนขึ้นอยู่กับสภาวะทางธรรมชาติ เช่น wind, temperature, humidity, atmospheric pressure and refraction, gravity and magnetic declination
    • ความคลาดเคลื่อนที่เกิดจากเครื่องมือวัด ( Instruments errors )
    • โดยทั่วไปสามารถหาขนาด และขจัด หรือ ตรวจแก้ได้เกิดจากความไม่สมบูรณ์ของเครื่องมือ เช่น graduations on scale, collimation error
    • ความคลาดเคลื่อนเกิดจากผู้ทำการวัด ( Personal errors )
    • ขึ้นกับขีดความสามารถของมนุษย์ในการมอง และการสัมผัส การใช้เครื่องมือ เช่นการส่องเป้าในการวัดมุม การตั้งเป้าให้ตรงกับสถานี เป็นต้น
  • ชนิดของความคลาดเคลื่อน ( Types of Errors )
    • Systematic errors
    • สาเหตุเกิดจากองค์ประกอบของระบบการวัด ไม่ว่าจะเป็น สภาวะแวดล้อม เครื่องมือ และ ผู้ทำการรังวัด
    • มีขนาดเปลี่ยนไปตามสภาพของสภาวะดังกล่าว
    • มีลักษณะเป็นแบบสะสม ( Cumulative Errors)
    • สามารถหาปริมาณและคำนวณตรวจแก้ได้
    • Random errors
    • เป็นความคลาดเคลื่อนที่อยู่นอกเหนือการควบคุมของมนุษย์ ( Accidental Errors)
    • มีขนาดและทิศทางไม่แน่นอน ไม่สามารถตรวจแก้ได้โดยตรง
    • การคำนวณปรับแก้อาศัยหลักการทางสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็น เช่น การหา
    • ค่าเฉลี่ย การคำนวณแบบ least square เป็นต้น
  • Precision, Accuracy and Discrepancy
    • ค่าความแม่นยำ ( Precision )
    • คือ ความแม่นยำในการวัดหลายๆ ครั้ง กล่าวคือ มี Discrepancy มากหรือน้อยซึ่งขึ้นอยู่กับ ความละเอียดของเครื่องมือ และ ความชำนาญของผู้ใช้
    • ค่าความถูกต้อง ( Accuracy)
    • คือ ความถูกต้องของค่าการวัดที่ได้ว่า ใกล้เคียง กับค่าจริงเพียงใด Accuracy
    • ค่าความแตกต่าง หรือ ค่าแย้ง ( Discrepancy)
    • คือ ค่าแตกต่างของการวัด 2 ครั้งในปริมาณเดียวกันเมื่อมีการขจัด Systematic Errors ออกไปแล้ว
    • ถ้า Discrepancy น้อยสามารถบอกได้ว่า ไม่มี Mistake, Blunders และ Gross Errors.
  • Accuracy VS Precision
  • Accuracy VS Precision ( ต่อ )
  • การขจัด Mistakes และ Systematic Errors
    • Mistakes
    • วัดซ้ำหลายๆค่า
    • ตัดค่ารังวัดที่มีผิดแปลกแตกต่างจากกลุ่มออกไป
    • Systematic Errors
    • ตรวจหาและคำนวณค่าแก้
    • แก้ไขค่ารังวัดมาโดยใช้ค่าแก้ที่คำนวณได้
  • True Value & Residuals
    • จากสมมุติฐานความคลาดเคลื่อน ที่ว่า
    • ค่าที่ถูกต้องหรือค่าจริงของการวัดไม่สามารถทราบได้แน่นอน
    • (True value of measurement is not known exactly)
    • ดังนั้น
    • True Value = Most Probable Value = Mean Value =
    • ค่าเศษเหลือ ( Residuals, v )
  • Example 1 จงคำนวณหา Residuals ของข้อมูลแต่ละตัว
    • Row 1: 41.8, 41.9, 42.0, 42.2, 42.5
    • Row 2: 42.6, 42.6, 42.8, 43.0, 43.1
    • Row 3: 43.2, 43.2, 43.3, 43.4, 43.4
    • Row 4: 43.6, 44.1, 44.2, 44.3, 44.3
    • Row 5: 44.3, 44.6, 44.7, 44.7, 44.7
    • Row 6: 45.0, 45.5, 45.5 45.5, 45.5
    • Row 7: 45.6, 45.6, 45.7 45.9, 46.0
    • Row 8: 46.1, 46.1, 46.1 46.2, 46.3
    • Row 9: 46.3, 46.8, 47.1, 47.2, 47.4
    • Row 10: 47.5, 47.6, 49.5, 49.5, 52.0
  • Example 1 ( ต่อ )
    • Row 1: 41.8 41.9 42.0 42.2 42.5
    • Row 2: 42.6 42.6 42.8 43.0 43.1
    • Row 3: 43.2 43.2 43.3 43.4 43.4
    • Row 4: 43.6 44.1 44.2 44.3 44.3
    • Row 5: 44.3 44.6 44.7 44.7 44.7
    • Row 6: 45.0 45.5 45.5 45.5 45.5
    • Row 7: 45.6 45.6 45.7 45.9 46.0
    • Row 8: 46.1 46.1 46.1 46.2 46.3
    • Row 9: 46.3 46.8 47.1 47.2 47.4
    • Row 10: 47.5 47.6 49.5 49.5 52.0
    • Translated rows ( yi - 40 )
    • Row 1: 1.8 1.9 2.0 2.2 2.5
    • Row 2: 2.6 2.6 2.8 3.0 3.1
    • Row 3: 3.2 3.2 3.3 3.4 3.4
    • Row 4: 3.6 4.1 4.2 4.3 4.3
    • Row 5: 4.3 4.6 4.7 4.7 4.7
    • Row 6: 5.0 5.5 5.5 5.5 5.5
    • Row 7: 5.6 5.6 5.7 5.9 6.0
    • Row 8: 6.1 6.1 6.1 6.2 6.3
    • Row 9: 6.3 6.8 7.1 7.2 7.4
    • Row 10: 7.5 7.6 9.5 9.5 12.0
  • เกมการยิงเป้ารูปดาว (The Shoot the Star out Game)
    • ในการเล่นเกมส์ยิงเป้ารูปดาวจำนวนนับครั้งไม่ถ้วน
    • จะเห็นว่า การยิ่งเข้าเป้าส่วนใหญ่จะเข้าตรงกลาง
    • หากนำมาพล็อตเป็นกราฟฮิสโตรแกรมเป็นโค้งแสดงการกระจายความคลาดเคลื่อนแบบปกติ (Normal Distribution Curve)
  • โค้งการแจกแจงความคลาดเคลื่อนปกติ The Normal Distribution Curve
  • การแจกแจงแบบปกติและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Normal Distribution and Standard Deviation)
  • Interpretation of Standard Deviation
    • เปอร์เซ็นต์ของพื้นที่ใต้กราฟหมายถึงโอกาสที่ความคลาดเคลื่อนในช่วงนั้น จะเกิดขึ้นได้ของการวัดทั้งหมด หรือกล่าวได้ว่าเป็นเปอร์เซ็นต์ของระดับ ความเชื่อมั่น ( Confidential level) เช่น 95% ระดับความเชื่อมั่น
    • จากตาราง เมื่อพิจารณาพื้นที่ใต้ Normal Curve
      • - s ถึง s = 68.27 % ของพื้นที่ใต้กราฟทั้งหมด
      • -1.960 s ถึง 1.960 s = 9 5 % ของพื้นที่ใต้กราฟทั้งหมด
      • -2.965 s ถึง 2.965 s = 9 9.7 % ของพื้นที่ใต้กราฟทั้งหมด
  • ตัวคูณสำหรับร้อยละความคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ใดๆ (Multiplier for various percent probable error)
  • การแพร่ของความคลาดเคลื่อน (Error Propagation)
    • เมื่อ l 1 , l 2 , l 3 , … ,l n เป็นค่าสังเกตที่รังวัดได้และ
    • มีค่าความคลาดเคลื่อนสุ่ม E 1 , E 2 , E 3 , … ,E n ตามลำดับ
    • Z = f(l 1 , l 2 , l 3 , … ,l n ) คือ ฟังก์ชันค่าที่คำนวณได้จากแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
    • ดังนั้น การแพร่กระจายค่าความคลาดเคลื่อนสุ่มของฟังก์ชัน คือ
  • การแพร่ของความคลาดเคลื่อนในกรณีต่างๆ Error of Propagation of specific cases
  • Example 2
    • แท็งค์น้ำรูปทรงกระบอก
      • มีรัศมี (R) เป็น 24.00 ± 0.05 ft
      • มีความสูง (H) เป็น 36.00 ± 0.06 ft.
    • จงคำนวณหาปริมาตรของแท็งค์น้ำนี้ พร้อมทั้งหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของปริมาตรแท็งค์น้ำ ?
    • สูตรปริมาตรของทรงกระบอก
  • Example 2 ( ต่อ )
    • จาก
    • นั่นคือ
  • Example 2 ( ต่อ )
    • จาก
    • จะได้ว่า
    • และ
  • Example 2 ( ต่อ )
    • นั้นคือ
    • จะได้ว่า
    • แท็งค์มีปริมาตรเป็น 65,144.06 ± 292 ft 3
  • น้ำหนักของการวัด (Weight of Measurements)
    • น้ำหนักของค่าที่รังวัดมาจะแปรผกผันกับกำลังลองของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน
    • นั่นคือ โดยนิยมใช้ที่
    • เมื่อค่าที่รังวัดมามีน้ำหนักไม่เท่ากัน
    • ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (Weight Mean) จะถือเป็นค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด (the most probable value) ของค่าที่รังวัดมา
  • Standard Deviation for Weighted Observations
  • Example 3
    • ในการวัดระยะทางด้วยเครื่องวัดระยะอิเล็คทรอนิคส์ (EDM) ทั้งหมด 3 ครั้ง พบว่า
      • ค่าระยะทาง 185.67 เกิดขึ้น 2 ครั้ง
      • ค่าระยะทาง 185.68 เกิดขึ้น 1 ครั้ง
    • จงหาค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าที่รังวัดมาพร้อมทั้งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ย
  • Example 3 ( ต่อ )
    • จากสมการค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก
    • จะได้ว่า
  • Example 3 ( ต่อ )
    • พิจารณาการแพร่ของความคลาดเคลื่อนจาก สมการ
    • นั่นคือ
  • Example 3 ( ต่อ )
    • ดังนั้น
    • ระยะทางที่วัดโดย EDM มีค่าเท่ากับ 185.673±0.333 เมตร
  • Example 4
    • จากตารางการรังวัดมุมทั้ง 4 วัน
    • จงหา
    • ค่าเฉลี่ยของค่ามุมที่วัดมาทั้ง 4 วัน
    • ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยมุมทั้ง 4 วันที่วัดมา
  • Example 4 ( ต่อ )
    • ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของมุมที่วัดมา คือ
    • เนื่องจากค่ามุมในหน่วยองศาและลิปดามีค่าเท่ากัน จึงนำเฉพาะค่ามุมในหน่วยฟิลิปดามาคิด
    • ดังนี้
    • นั่นคือ ค่าเฉลี่ยของมุมที่วัดมาเท่ากับ
  • Example 4 ( ต่อ )
    • จากสูตร
  • Example 4 ( ต่อ )
    • Standard deviation of the mean:
    • นั่นคือ ค่ามุมที่รังวัดมามีค่าเป็น
  • จบบทที่ 2
  • การวิเคราะห์ความคลาดเคลื่อนแบบสุ่มของการวัดระยะทางใดๆ
  • การวิเคราะห์ความคลาดเคลื่อนแบบสุ่มของการวัดระยะทางใดๆ
    • ผลลัพธ์จากการวิเคราะห์ดังกล่าวสามารถที่จะนำมาเขียนเป็นกราฟแท่งที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของความคลาดเคลื่อนรวมกับความน่าจะเป็น ดังรูปด้านบน
    • ถ้าเพิ่มจำนวนการวัดมากขึ้นเรื่อยๆ ลักษณะของกราฟจะมีกราฟกระจายเป็นรูปโค้งระฆังคว่ำ โดยจะเรียกว่า โค้งแสดงการกระจายความคลาดเคลื่อนแบบปกติ