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  • 1. ´ Algebras de Lie Miguel A. Rodr´ ıguezDepartamento de F´ ısica Te´rica II, Facultad de F´ o ısicas Universidad Complutense Madrid, Espa˜an 1 de octubre de 2007
  • 2. 2 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o
  • 3. ´Indice general1. Introducci´n o 7 1.1. Objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Grupos y ´lgebras de Lie . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Operaciones con ´lgebras . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. Algunos resultados en ´lgebra a lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ´2. Algebras nilpotentes, resolubles y semisimples 17 ´ 2.1. Algebras nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ´ 2.2. Algebras resolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ´ 2.3. Algebras semisimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233. Introducci´n a la teor´ de representaciones o ıa 27 3.1. Derivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. Representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3. Reducibilidad de representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ´4. Algebras envolventes 33 ´ 4.1. Algebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2. El teorema PBW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355. Algunos complementos 39 5.1. Cohomolog´ de ´lgebras ıa a de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.2. Graduaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3. Extensiones centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.4. El ´lgebra de Virasoro . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.5. El ´lgebra de Heisenberg a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.6. Casimires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506. Estructura de las ´lgebras de Lie semisimples a 51 6.1. Sub´lgebras de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ´ 6.2. Algebras semisimples: ra´ ıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.3. Representaciones de dimensi´n finita de sl(2, C) . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.4. Propiedades de las ra´ ıces de un ´lgebra semisimple a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.5. Sistemas fundamentales de ra´ ıces y Π-sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.6. Clasificaci´n de Π-sistemas . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.7. Clasificaci´n de ´lgebras de Lie simples . . . . . . o a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 ´ 6.8. Algebras de Lie simples cl´sicas . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.8.1. sl(l + 1, K), l ≥ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.8.2. o(2l + 1, K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.8.3. sp(2l, K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3
  • 4. 4 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 6.8.4. o(2l, K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757. Automorfismos de ´lgebras de Lie semisimples a 77 7.1. Reflexiones en el sistema de ra´ıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.2. El grupo de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.3. Grupo de automorfismos de un algebra de Lie semisimple compleja . . . . . . . . . ´ 808. Teor´ de representaciones ıa 83 8.1. Representaciones en ´lgebras de Lie triangulares a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 8.2. M´dulos de peso m´ximo . . . . . . . . . . . . . o a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.3. M´dulos de Verma . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.4. El ´lgebra sl(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.5. Representaciones de dimensi´n finita de sl(2, C) . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919. Representaciones de ´lgebras de Lie semisimples a 93 9.1. Pesos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9.2. Construcci´n de los sistemas de pesos . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 9.3. Diagramas de pesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 9.4. Acci´n del grupo de Weyl en los diagramas de pesos o . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.Bases en espacios de representaci´n o 101 10.1. F´rmulas de multiplicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 101 10.2. Bases de Verma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 10.3. Dimensiones de representaciones irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10711.Productos tensoriales de representaciones 111 11.1. Clases de congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 11.2. ´ Indices de representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 11.3. Cadenas minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11312.Sub´lgebras de ´lgebras de Lie a a simples 119 12.1. Ejemplos de sub´lgebras . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 12.2. Sub´lgebras conjugadas . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 12.3. Pesos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 12.4. Resultados generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12813.Sub´lgebras regulares a 129 13.1. Definici´n y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 129 13.2. Sub´lgebras regulares maximales no semisimples . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . 130 13.3. Sub´lgebras regulares maximales reductivas . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . 131 13.4. Determinaci´n de los P-sistemas de un ´lgebra semisimple . . . o a . . . . . . . . . . . 133 13.5. C´lculo de las sub´lgebras reductivas maximales de las ´lgebras a a a de Lie simples . . 134 13.5.1. An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 13.5.2. Bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 13.5.3. Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 13.5.4. Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13514.Sub´lgebras singulares de ´lgebras de Lie a a simples 137 14.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 14.2. Formas bilineales invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 14.3. Matrices de Proyecci´n . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
  • 5. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 5 ´15. Algebras de Kac-Moody 145 15.1. Matrices de Cartan generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 ˜ 15.2. El ´lgebra g(A) . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 15.3. El ´lgebra g(A) . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 15.4. Clasificaci´n de matrices de Cartan o generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 15.5. Forma bilineal invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14916.Representaci´n de ´lgebras de Lie afines o a 153 ´ 16.1. Algebras afines no giradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 16.2. Ejemplo de ´lgebras de Lie afines no giradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 a ´17. Algebras afines giradas 159 17.1. Automorfismos de orden finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 17.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
  • 6. 6 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o
  • 7. Cap´ ıtulo 1Introducci´n o Los conceptos de ´lgebras de Lie (objetos) y homomorfismos entre ´lgebras de Lie (morfismos) a ase desarrollan en las pr´ximas secciones. o1.1. Objetos El ejemplo m´s sencillo de un ´lgebra de Lie es el siguiente. a a Ejemplo 1.1 Sea Mn (K) el espacio vectorial de las matrices de orden n × n sobre un cuerpo K. Adem´s de aesta estructura de espacio vectorial, existe una operaci´n de multiplicaci´n en este conjunto con o olas siguientes propiedades. Si A, B, C ∈ Mn (K): 1. Distributiva: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC 2. Asociativa: A(BC) = (AB)C 3. En general, AB = BA 4. La matriz identidad verifica: AI = IA = A Se dice que Mn (K) es un ´lgebra asociativa no conmutativa con elemento unidad. En este aconjunto definimos una nueva operaci´n de la forma siguiente: o [ ] : Mn (K) × Mn (K) −→ Mn (K) (1.1) (A, B) −→ [A, B] = AB − BAque tiene las siguientes propiedades: 1. Antisim´trica: [A, B] = −[B, A] e 2. Jacobi: [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 Se dice que Mn (K) es un ´lgebra de Lie con esta operaci´n (conmutador de dos matrices). a oComo veremos, toda ´lgebra de Lie de dimensi´n finita se obtiene esencialmente de esta forma. a o Un ´lgebra sobre un cuerpo K (que siempre consideraremos de caracter´ a ıstica cero, y m´s aconcretamente en estas notas R o C) se define de la siguiente forma:Definici´n 1.1 Un ´lgebra sobre un cuerpo K es un espacio vectorial A, sobre K, en el que se o adefine una operaci´n (producto): o A × A −→ A (1.2) (x, y) −→ xyque tiene las siguientes propiedades: 7
  • 8. 8 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 1. x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, x, y, z ∈ A 2. λ(xy) = (λx)y = x(λy), λ ∈ K, x, y ∈ A La dimensi´n del ´lgebra es la dimensi´n de A como espacio vectorial sobre K. Uno de las casos o a om´s interesantes de ´lgebras lo constituyen las ´lgebras asociativas. a a aDefinici´n 1.2 Un ´lgebra A se dice que es asociativa si se verifica (adem´s de las propiedades o a ade ´lgebra): a x(yz) = (xy)z, x, y, z ∈ A (1.3) El ´lgebra Mn (K) estudiada anteriormente es un ´lgebra asociativa de dimensi´n finita. Otro a a oejemplo muy importante es el siguiente. Ejemplo 1.2 Sea M una variedad diferenciable real. El espacio vectorial de las funciones suaves sobre M con ∞valores reales, F(M ) = CR (M ) es un ´lgebra asociativa (de dimensi´n infinita). a oDefinici´n 1.3 Se dice que el ´lgebra A es abeliana (conmutativa) si xy = yx para todo par de o aelementos de A. El objeto principal de estas notas, las ´lgebras de Lie, se define as´ a ı:Definici´n 1.4 Sea g un espacio vectorial en el que hemos definido una operaci´n: o o [, ]: g × g −→ g (1.4) (x, y) −→ [x, y]que hace de g un ´lgebra y que adem´s verifica: a a 1. Antisim´trica: [x, y] = −[y, x] e 2. Jacobi: [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0Se dice entonces que g es un ´lgebra de Lie. a Como el cuerpo es de caracter´ ıstica distinta de 2, la propiedad de antisimetr´ es equivalente a: ıa [x, x] = 0, ∀x ∈ g (1.5)En efecto, esta propiedad (1.5), implica la antisimetr´ ıa: [x + y, x + y] = [x, x] + [x, y] + [y, x] + [y, y] = 0, [x, y] + [y, x] = 0 (1.6) Un ´lgebra de Lie no puede ser asociativa (en general, [x, [y, z]] = [[x, y], z]). La propiedad de aJacobi establece como difieren los dos t´rminos en la desigualdad (su diferencia es igual a [[z, x], y]). e Pero a partir de un ´lgebra asociativa siempre podemos definir un ´lgebra de Lie. Sea A un a aa´lgebra asociativa (como siempre sobre un cuerpo K). Definamos AL como el ´lgebra que seaobtiene utilizando el mismo espacio vectorial A como soporte de una nueva operaci´n, definida ocomo hicimos con las matrices de orden n: [x, y] = xy − yx, x, y ∈ A (1.7) AL es un ´lgebra de Lie. Es m´s, es posible demostrar (ver por ejemplo [5]) que toda ´lgebra a a ade Lie es isomorfa (concepto a definir m´s tarde aunque su significado sea el natural en este caso) aa una sub´lgebra de un ´lgebra de Lie de tipo AL donde A es un ´lgebra asociativa. a a a Cuando en un ´lgebra A existe un elemento (I) que verifica Ix = xI = x para todo elemento ax del ´lgebra, se le llama elemento unidad y se dice que A es un ´lgebra con elemento unidad a a
  • 9. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 9(obviamente las ´lgebras de Lie no tienen elemento unidad, [x, x] = 0 para todo elemento x del aa´lgebra). Las transformaciones lineales (endomorfismos de un espacio vectorial) constituyen una de lasrealizaciones m´s usadas de las ´lgebras. Porque, como se puede ver f´cilmente, toda ´lgebra a a a aasociativa con elemento unidad es isomorfa a un ´lgebra de transformaciones lineales: a Sea A un ´lgebra asociativa con elemento unidad. Sea a un elemento de A y consideremos la atransformaci´n lineal en A asociada a a: o a : A −→ A ˜ (1.8) x −→ xa Es ´sta una transformaci´n lineal (la acci´n por la derecha del ´lgebra sobre s´ misma). Sea L(A) e o o a ıel espacio de las transformaciones lineales de A considerada como un espacio vectorial. Entoncesla aplicaci´n: o π : A −→ L(A) (1.9) a −→ a ˜es un homomorfismo inyectivo. El espacio de endomorfismos de un espacio vectorial (End(V ) ≡ L(V )) es un ´lgebra asociativa acon la composici´n. Como hemos visto se puede transformar en un ´lgebra de Lie, usando el o aconmutador de dos endomorfismos. En el caso en que queramos resaltar la estructura de ´lgebra ade Lie la llamaremos gl(V ). Dada un ´lgebra, A, podemos elegir una base de la estructura de espacio vectorial: {xj , j ∈ J}. aLa operaci´n producto, dando lugar a otro elemento del ´lgebra, permite escribir este ultimo como o a ´combinaci´n lineal de los elementos de la base. Si los elementos que se multiplican est´n en la o abase se˜alada, los coeficientes de la combinaci´n lineal se llaman las constantes de estructura del n oa´lgebra. En particular y para el caso que m´s nos interesa en estas notas, si g es un ´lgebra de Lie, a ase tiene: [xi , xk ] = cj xj ik (1.10) j∈Jdonde cj son las constantes de estructura del ´lgebra en la base dada. ik a En un ´lgebra de Lie de dimensi´n finita, estas constantes se transforman como un tensor con a odos ´ ındices covariantes y uno contravariante cuando se hace un cambio de base: Si la relaci´n entre dos bases, {xi }, {xk } es: o xi = Pik xk (1.11)las constantes de estructura satisfacen: (c )j = Pia Pk (P −1 )j cd ik b d ab (1.12) Las constantes de estructura verifican las propiedades correspondientes a la antisimetr´ y la ıapropiedad de Jacobi de la operaci´n del ´lgebra de Lie: o a ck + ck ij ji = 0 (1.13) r m r m r m cij ckr + cjk cir + cki cjr = 0 (1.14) Como veremos, aunque las constantes de estructura dependen de la base escogida, sus propieda-des permiten caracterizar, por ejemplo, de forma muy sencilla, las ´lgebras semisimples y en el caso areal, las compactas.
  • 10. 10 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o1.2. Morfismos Una vez conocidos los objetos fundamentales de la teor´ las ´lgebras asociativas y de Lie, ıa, apasamos ahora a establecer la definici´n y propiedades de los homomorfismos entre estos objetos. oDefinici´n 1.5 Sean A y A dos ´lgebras sobre un cuerpo K. Una aplicaci´n f : A −→ A es un o a ohomomorfismo de ´lgebras si f es una aplicaci´n lineal y se verifica: a o f (xy) = f (x)f (y) (1.15) Si las ´lgebras son de Lie (g y g ), la relaci´n a satisfacer es obviamente: a o f ([x, y]) = [f (x), f (y)], x, y ∈ g (1.16) La imagen y el n´cleo de un homomorfismo tienen una estructura particular que definimos a ucontinuaci´n. oDefinici´n 1.6 Sea A un ´lgebra y A ⊂ A. A es una sub´lgebra de A si es un subespacio vectorial o a acerrado bajo la operaci´n producto. oDefinici´n 1.7 Sea A un ´lgebra y J ⊂ A. J es un ideal por la izquierda de A si es un subespacio o avectorial y ∀x ∈ J, ∀y ∈ A, yx ∈ J. (1.17)es decir, AJ ⊂ JObviamente todo ideal es una sub´lgebra pero el inverso no es cierto. a De manera similar se define un ideal por la derecha (JA ⊂ J) y un ideal bil´tero (simult´nea- a amente por la derecha e izquierda). En un ´lgebra de Lie solo hay una clase de ideales (bil´teros, a apor la antisimetr´ del producto). ıa Dado un ideal bil´tero J de un ´lgebra A, es posible construir el ´lgebra cociente: A/J, cuyos a a aelementos son las clases x + J, donde x ∈ A. La estructura lineal es la propia de la teor´ de ıaespacios vectoriales. En cuanto al producto: (x + J)(y + J) = xy + J, x, y ∈ A (1.18)Si x , y ∈ A est´n en las mismas clases que x e y, respectivamente, (x + J)(y + J) = x y + J y ala clase x y + J es la misma que la clase xy + J: xy − x y = x(y − y ) + (x − x )y ∈ J (1.19)N´tese que es indispensable que J sea un ideal bil´tero. La aplicaci´n π: o a o π : A −→ A/J (1.20) x −→ x + Jes un epimorfismo de ´lgebras. a La imagen de un ´lgebra mediante un homomorfismo es una sub´lgebra del ´lgebra final. El a a an´cleo de un homomorfismo es un ideal del ´lgebra inicial: u a f (xy) = f (x)f (y) = 0 si f (x) = 0 o f (y) = 0 (1.21)e incluso un ideal bil´tero. Esta caracter´ a ıstica permite definir un ´lgebra cociente y los correspon- adientes teoremas de isomorf´ ıa: f A −→ A π↓ ↑i (1.22) f A/ ker f −→ im f
  • 11. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 11donde f (x + ker f ) = f (x). La relaci´n entre homomorfismos e ideales bil´teros es muy importante o aen la teor´ de representaciones. N´tese que en general no es posible construir un ´lgebra cociente ıa o autilizando una sub´lgebra. a Ejemplo 1.3 Definamos sl(2, K) como el ´lgebra de las matrices 2×2, con coeficientes en K y traza nula. Este aconjunto es un espacio vectorial sobre K de dimensi´n 3. Si elegimos una base con los elementos: o 1 0 0 1 0 0 h= , e= , f= (1.23) 0 −1 0 0 1 0las relaciones de conmutaci´n (con la operaci´n definida en el ejemplo 1.1) son: o o [h, e] = 2e, [h, f ] = −2f, [e, f ] = h (1.24)y las constantes de estructura no nulas son en esta base {h, e, f }: c2 = 2, c3 = −2, c1 = 1 12 13 23 (1.25)Hemos construido un ´lgebra de Lie de dimensi´n 3 (n´tese que la operaci´n de conmutaci´n no a o o o onos saca fuera del conjunto). El subespacio vectorial generado por h es una sub´lgebra propia (la llamada sub´lgebra de a aCartan del ´lgebra). Tambi´n el que tiene como base {h, e} es una sub´lgebra (de Borel), no a e aabeliana de dimensi´n 2. Sin embargo sl(2, K) no posee ning´n ideal propio (es decir, distinto de o u0 y sl(2, K)). Consideremos ahora el espacio vectorial de las matrices 2 × 2 con coeficientes en K, gl(2, K).Toda matriz X de este espacio se puede escribir de la forma siguiente, descomposici´n que es unica: o ´ 1 1 X= I2 tr X + (X − I2 tr X) (1.26) 2 2y, por lo tanto, el espacio gl(2, K) es suma directa (como espacios vectoriales): gl(2, K) = KI2 ⊕ sl(2, K) (1.27)Adem´s, sl(2, K) es una sub´lgebra de gl(2, K) (y un ideal). Tambi´n KI2 es un ideal (bil´tero como a a e aen todas las ´lgebras de Lie), ya que la identidad conmuta con cualquier matriz. Otra propiedad aimportante es: [gl(2, K), gl(2, K)] ⊂ sl(2, K) (1.28) Con la operaci´n de multiplicaci´n usual de matrices, gl(2, K) es un ´lgebra asociativa. Sin o o aembargo, sl(2, K) no lo es. El producto de dos matrices de traza cero no es necesariamente unamatriz de traza cero. En este sentido, gl(2, K) corresponde a un ´lgebra de tipo AL , pero sl(2, K) aes s´lo una sub´lgebra de ´sta. o a e Ejemplo 1.4 El ´lgebra generada por los campos vectoriales: a d d d , x , x2 (1.29) dx dx dxactuando sobre funciones C ∞ (R) tiene las mismas relaciones de conmutaci´n que sl(2, R), con lo oque podemos establecer un isomorfismo entre ambas ´lgebras. Diremos que estos campos represen- atan al ´lgebra de una manera diferente a como lo hac´ las matrices: a ıan d d d f →− , h → x , e → 2x2 (1.30) dx dx dx(ver por ejemplo en [6] otra forma de representar esta ´lgebra). a
  • 12. 12 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o1.3. Grupos y ´lgebras de Lie a Aunque el tema no se va a desarrollar en esta notas, veamos cu´l es el origen del conmutador adesde el punto de vista de la teor´ de grupos de Lie. ıa Sea G un subgrupo de GL(n, C), el grupo general lineal en C (es decir las matrices complejasn × n con determinante distinto de cero). Una transformaci´n infinitesimal se puede definir como: o σj − In τ = l´ ım (1.31) j→∞ jdonde { j } es una sucesi´n de n´meros reales positivos con l´ o u ımite cero, y σj es un conjunto de ımite cuando j → ∞ es la identidad. Supongamos que tenemos doselementos del grupo G, cuyo l´transformaciones infinitesimales y queremos hallar la transformaci´n infinitesimal correspondiente oal conmutador en el grupo de los elementos finitos correspondientes, es decir: −1 −1 σ1j σ2j σ1j σ2j − In l´ ım (1.32) j→∞ 1j 2jcon: σ1j − In σ2j − In τ1 = l´ ım , τ2 = l´ ım (1.33) j→∞ 1j j→∞ 2j Un sencillo c´lculo permite mostrar: a −1 −1 −1 −1 σ1j σ2j σ1j σ2j − In (σ1j σ2j − σ2j σ1j )σ1j σ2j l´ ım = l´ ım = j→∞ 1j 2j j→∞ 1j 2j σ1j − In σ2j − In −1 −1 σ1j − In σ2j − In l´ ım , σ1j σ1j = l´ ım , l´ ım = [τ1 , τ2 ] j→∞ 1j 2j j→∞ 1j j→∞ 2j No seguiremos aqu´ con las relaciones entre las categor´ de ´lgebras y grupos de Lie. Si el grupo ı ıas ade Lie se considera como una variedad en la que hay definida una operaci´n de grupo que verifica ounas ciertas propiedades topol´gicas, el algebra de Lie correspondiente se puede identificar con el o ´espacio tangente en la identidad del grupo (o con los campos invariantes a derecha o izquierda).1.4. Operaciones con ´lgebras aDefinici´n 1.8 Sea g un ´lgebra de Lie. Se define el centro de g como la sub´lgebra (abeliana) de o a ag: Z(g) = {x ∈ g : [x, y] = 0, ∀y ∈ g} (1.34) Ejemplo 1.5 El centro de sl(2, K) es 0 (salvo riesgo de confusi´n, 0 es el ideal trivial {0} en el ´lgebra o acorrespondiente), como se comprueba f´cilmente: a a b x y bz − cy 2ay − b(t − x) , = =0 (1.35) c −a z t c(x − t) − 2az cy − bzy si t = −x:  bz − cy = 0  ay − bx = 0 ⇒a=b=c=0 (1.36) cx − az = 0  Sin embargo, el centro de gl(2, K) es KI2 : a b x y bz − cy (a − d)y − b(t − x) , = =0 (1.37) c d z t c(x − t) − z(a − d) cy − bz
  • 13. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 13y por tanto:  bz − cy = 0  (a − d)y + b(t − x) = 0 ⇒ b = c = 0, d = a (1.38) c(x − t) + (d − a)z = 0  En cada ´lgebra de Lie existen unas sub´lgebras con ciertas caracter´ a a ısticas que las hacen utiles ´en desarrollos posteriores. Veamos algunas de ellas.Definici´n 1.9 Sea g un ´lgebra de Lie, S un subconjunto de esta ´lgebra. Se llama centralizador o a ade S en g a la sub´lgebra: a C(S) = {c ∈ g : [s, c] = 0, ∀s ∈ S} (1.39) C(S) es efectivamente una sub´lgebra (que no tiene por qu´ contener a S): a e Es claro que C(S) es un subespacio vectorial. c, c ∈ C(S), [s, [c, c ]] = −[c, [c , s]] − [c , [s, c]] = 0, ∀s ∈ Sluego C(S) es una sub´lgebra de g. Si S = g, el conjunto C(S) = Z(g) es el centralizador de g. aDefinici´n 1.10 Sea W un subespacio de un ´lgebra de Lie g. El normalizador de W en g es la o asiguiente sub´lgebra: a N (W ) = {x ∈ g : [w, x] ∈ W, ∀w ∈ W } (1.40) El conjunto N (W ) es una sub´lgebra: a Es claro que N (W ) es un subespacio vectorial. x, x ∈ N (W ), [w, [x, x ]] = −[x, [x , w]] − [x , [w, x]] ∈ W, ∀w ∈ W , luego [x, x ] ∈ N (W ) En el caso en que W sea una sub´lgebra, el normalizador es la mayor de las sub´lgebras que a acontienen a W como ideal. A partir de una o varias ´lgebras de Lie es posible construir otras. Ya hemos introducido el aconcepto de ´lgebra cociente para un algebra asociativa. Para un ´lgebra de Lie se define de la a ´ amisma forma:Definici´n 1.11 Sea g un ´lgebra de Lie y I un ideal de g. Podemos definir el ´lgebra cociente, o a ag/I, con el par´ntesis siguiente: e [x + I, y + I] = [x, y] + I, x, y ∈ g (1.41) Es claro que g/I con la operaci´n definida es un ´lgebra de Lie. Los teoremas de isomorf´ o a ıapermiten construir un diagrama conmutativo: Sean g y g dos ´lgebras de Lie y I un ideal de g. Podemos construir la proyecci´n can´nica: a o o π : g → g/I (1.42) x → x+I Sea ahora f : g → g un homomorfismo de ´lgebras de Lie tal que I ⊂ ker f . Entonces, f se afactoriza a trav´s de g/I, es decir, existe una unica aplicaci´n g : g/I → g que es un homomorfismo e ´ ode ´lgebras de Lie, tal que el siguiente diagrama es conmutativo: a f g −→ g π↓ g (1.43) g/I Como ya hemos visto, si ker f = I, g es inyectiva.
  • 14. 14 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oDefinici´n 1.12 Sean A1 y A2 dos ´lgebras asociativas, y consideremos su suma como espacios o avectoriales: A1 ⊕ A2 (1.44)En este conjunto introducimos un producto dado por: (x1 + y1 )(x2 + y2 ) = x1 y1 + x2 y2 (1.45)que convierte a A1 ⊕ A2 en un ´lgebra asociativa. Esta nueva ´lgebra, A, se llama el producto a adirecto de las ´lgebras A1 y A2 : a A = A1 × A2 (1.46)aunque a veces escribiremos el s´ımbolo de suma directa. Si se tiene una familia arbitraria de ´lgebras se puede establecer la misma definici´n. Eviden- a otemente lo mismo se puede decir de ´lgebras de Lie, como veremos en el ejemplo siguiente. a Ejemplo 1.6 Consideremos el ´lgebra sl(2, K) y la suma directa: a sl(2, K) ⊕ sl(2, K) (1.47)Si x, x, y, y son elementos de sl(2, K), el conmutador de dos elementos de la suma directa, x+y, x + y ˜ ˜ ˜ ˜es: [x + y, x + y ] = [x, x] + [y, y ] ˜ ˜ ˜ ˜ (1.48)Si escribimos: x + y −→ x ⊗ I2 + I2 ⊗ y (1.49)donde I2 es la matriz identidad 2 × 2, la conmutaci´n es: o [x ⊗ I2 + I2 ⊗ y, x ⊗ I2 + I2 ⊗ y ] = ˜ ˜ [x ⊗ I2 , x ⊗ I2 ] + [x ⊗ I2 , I2 ⊗ x] + [I2 ⊗ y, x ⊗ I2 ] + [I2 ⊗ y, I2 ⊗ x] = ˜ ˜ ˜ ˜ [x, x] ⊗ I2 + I2 ⊗ [y, y ] ˜ ˜M´s adelante volveremos sobre este producto tensorial. N´tese que si dos sub´lgebras de un ´lgebra a o a ade Lie son suma directa (como ´lgebras) su conmutador es cero. a Nota: Si construimos el producto tensorial de los espacios asociados a dos ´lgebras de Lie, el aespacio vectorial resultante no tiene por qu´ ser un ´lgebra de Lie (ver [5], p.30, problema 23). e a1.5. Algunos resultados en ´lgebra lineal a Las ´lgebras de Lie de endomorfismos son uno de los ejemplos m´s utiles en el desarrollo a a ´de la teor´ de ´lgebras de Lie (adem´s de las consecuencias del teorema de Ado). No solo eso, ıa a asino que sus propiedades se trasladan en muchas ocasiones a ´lgebras de Lie abstractas. Por ello aaparecer´ a menudo en estas notas y en esta secci´n estableceremos algunos resultados que ser´n n o autiles posteriormente (ver [5], descomposici´n de Fitting, secci´n II.4, y [4], descomposici´n de´ o o oJordan-Chevalley, p´gina 17). a Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita, definido sobre un cuerpo algebraicamente cerrado o(esencialmente C, aunque algunos de los resultados y definiciones pueden establecerse sobre cuerposm´s generales). aDefinici´n 1.13 Se dice que un endomorfismo es semisimple si las ra´ o ıces del polinomio m´ınimoson distintas (si suponemos que el cuerpo es algebraicamente cerrado, como hacemos aqu´ esto ı,equivale a decir que es diagonalizable).
  • 15. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 15 Como es bien conocido (formas can´nica de Jordan), todo endomorfismo puede escribirse en ouna base apropiada como una matriz en forma de cajas formadas por la suma de un m´ltiplo de ula identidad y una matriz nilpotente. Se tiene tambi´n el siguiente resultado. eProposici´n 1.1 Si V es un espacio de dimensi´n finita y X es un endomorfismo de V , existen o odos unicos endomorfismos Xsim , Xnil que conmutan, tales que ´ X = Xsim + Xnil (1.50)donde Xsim es semisimple (la parte semisimple) y Xnil es nilpotente (la parte nilpotente). Sea p(t) el polinomio caracter´ ıstico de X, p(t) = (t − λ1 )r1 · · · (t − λk )rk (1.51)donde λ1 , . . . , λk son los autovalores (distintos) de X (el cuerpo es algebraicamente cerrado) yr1 , . . . , rk las multiplicidades (algebraicas). El espacio V es suma directa de los subespacios propiosgeneralizados (invariantes bajo X, componentes primarias en la notaci´n de [5], p´gina 37): o a V = ker(X − λ1 1V )r1 ⊕ · · · ⊕ ker(X − λk 1V )rk (1.52)Por las propiedades de la divisi´n de polinomios es posible1 encontrar un polinomio q, de t´rmino o econstante cero y cuyo resto al dividirlo por (t − λi )ri sea λi para todo i = 1, . . . , k. Definimos ahoraXsim = q(X) y Xnil = X − Xsim y veamos que cumplen las propiedades exigidas. En primer lugar,al ser polinomios en X, conmutan entre si. Veamos como Xsim es semisimple. Es obvio que dejainvariante cada uno de los subespacios Vi = ker(X − λi 1V )ri . En cada uno de ellos es diagonal,pues por construcci´n o q(t) = mi (t)(t − λi )ri + λi , q(t) − λi = mi (t)(t − λi )ri (1.53)y por tanto, Xsim − λi 1Vi = q(X) − λi 1Vi = mi (X)(X − λi 1Vi )ri = 0 en Vi (1.54)Es decir, Xsim es un m´ltiplo de la identidad en cada uno de los subespacios Vi y por tanto usemisimple. Veamos ahora que Xnil es nilpotente. Como Xnil = X − Xsim , en cada uno de lossubespacios Vi , Xnil = X − λi 1Vi , luego ri Xnil = (X − λi 1Vi )ri = 0, en Vi (1.55)y por tanto Xsim es nilpotente (basta elegir el exponente igual al mayor de los ri ). Los operadoresXsim y Xnil est´n un´ a ıvocamente definidos por X. Dados dos endomorfismos que conmutan entresi y con X, Xs , semisimple y Xn nilpotente, tales que X = Xs + Xn , se tiene que Xsim = Xs yXnil = Xn . En efecto Xnil − Xn = Xs − Xsim (1.56)Pero estos endomorfismos, Xsim − Xs y Xn − Xnil son, respectivamente, semisimples y nilpotentes(como suma de endomorfismos semisimples y nilpotentes que conmmutan). El unico endomorfismo ´que es nilpotente y semisimple es el 0, luego queda probada la unicidad. Si X es un endomorfismo semisimple de una sub´lgebra de Lie de gl(V ) entonces adX (definida apor adX (Y ) = [X, Y ], la representaci´n adjunta como veremos m´s adelante) es tambi´n semisimple o a e(basta encontrar una base en la que X es diagonal y usar adecuadamente la base can´nica (Eij ) odel espacio de matrices correspondiente). 1 Esteresultado es esencialmente el teorema chino del resto: sean p1 , p2 , . . . , pk enteros positivos, coprimos dosa dos, p = p1 p2 · · · pk y u1 , u2 , . . . , uk enteros. Existe un unico q, entero, 0 ≤ q < p, soluci´n de las ecuaciones ´ oq ≡ ui (mod pi ), i = 1, . . . , k. Cualquier otro entero que verifique estas ecuaciones es congruente con q m´dulo p. o
  • 16. 16 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oProposici´n 1.2 Dado un endomorfismo X se puede descomponer el espacio vectorial en suma odirecta de dos subespacios invariantes bajo X (descomposici´n de Fitting), o V = V1X ⊕ V0X (1.57)y se tiene que X|V0X es nilpotente, mientras que X|V1X es un isomorfismo. La definici´n de estos osubespacios es: ∞ V1X = X i V, V0X = {v ∈ V : ∃r ∈ N, X r v = 0} (1.58) i=1 Veamos la demostraci´n de la descomposici´n de Fitting. Dado X ∈ End(V ) se tiene la cadena o ode subespacios invariantes bajo X: V ⊇ XV ⊇ X 2 V ⊇ · · · (1.59)La cadena se estabiliza a partir de un entero r (puede que en el vector 0) y definimos: V1X = X r V, X r−1 V X r V = X r+1 V (1.60)Como hemos dicho se trata de un subespacio invariante bajo A. De manera similar se define el otrosubespacio. Sea Wk = {v ∈ V : X k v = 0} (1.61)Est´ claro que W1 ⊆ W2 ⊆ · · · por lo que existe un entero s tal que Ws−1 a Wk = Ws+1 = · · ·Entonces, Vnil = Wk . Si c = m´x{r, s} se tiene, a V1X = X c V, Vnil = {v ∈ V : X c v = 0} (1.62)dado v ∈ V , como X 2c V = X c V , existe w ∈ V tal que X c v = X 2c w, Descomponemos v en laforma: v = (v − X t w) + X t w (1.63)El segundo vector est´ obviamente en V1X . No es menos obvio que el primero est´ en V0X . Vamos a aa probar que la suma es directa. Sea u ∈ V0X ∩ V1X . Como w ∈ V1X , se tiene w = X t w , paraalg´n w ∈ V . Como tambi´n est´ en V0X , X t w = X 2t w = 0. Por lo tanto, w ∈ Wt = W2t , luego u e aX t w = 0, es decir w = 0. Comprobemos que las propiedades son las deseadas. Es obvio por la definici´n que X es nilpo- otente cuando nos restringimos a V0X . Tambi´n es inmediato que X es sobreyectiva en V1X , pues eXV1X = V1X y los endomorfismos sobreyectivos son biyectivos. Es f´cil ver que V0X es simplemente el espacio propio generalizado de autovalor 0 y por tanto asu dimensi´n es la multiplicidad de 0 como ra´ del polinomio caracter´ o ız ıstico de X.
  • 17. Cap´ ıtulo 2´Algebras nilpotentes, resolubles ysemisimples Dependiendo de sus propiedades las ´lgebras de Lie se clasifican en diferentes clases. En esta asecci´n estudiaremos algunas de las m´s importantes. o a2.1. ´ Algebras nilpotentes Dada un ´lgebra de Lie g, definimos la serie descendente (ver en [5], p.29, la definici´n de serie a oascendente) como una cadena de sub´lgebras construida de la forma siguiente: a C 1 (g) = g, C 2 (g) = [g, g], . . . , C k (g) = [g, C k−1 (g)], . . . (2.1)Todos los conjuntos C k (g) son ideales de g que verifican C 1 (g) ⊃ C 2 (g) ⊃ · · · ⊃ C k (g) ⊃ · · · (2.2)Definici´n 2.1 Se dice que el ´lgebra de Lie g es nilpotente, si existe r ∈ N tal que: o a C r (g) = 0 (2.3)Si r es el primer entero tal que C r (g) = 0, se dice que r es el orden de nilpotencia. Ejemplo 2.1 0 b g= , b∈C (2.4) 0 0es un ´lgebra de Lie. Es inmediato que: [g, g] = 0, luego g es un ´lgebra de Lie nilpotente (C 2 (g) = a a0). En este caso, las matrices del ´lgebra son nilpotentes (en el sentido de nilpotencia de matrices). aSin embargo no todas las ´lgebras de Lie nilpotentes son representadas por matrices nilpotentes. a Ejemplo 2.2 a 0 g= , a∈C (2.5) 0 −aes un ´lgebra nilpotente. Tanto en este ejemplo como en el anterior, el ´lgebra es adem´s abeliana, a a apero no todas las ´lgebras nilpotentes son abelianas (aunque todas las abelianas sean nilpotentes, a 17
  • 18. 18 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. ocomo se deduce de forma inmediata de la definici´n). Si un ´lgebra de Lie es nilpotente, tambi´n o a elo son sus sub´lgebras y su imagen mediante homomorfismos. a Ejemplo 2.3 sl(2, K) no es un ´lgebra nilpotente: a [sl(2, K), sl(2, K)] = sl(2, K) (2.6)luego: C k = sl(2, K), ∀k (2.7)Sin embargo, si la caracter´ ıstica del cuerpo K fuera igual a 2, esta ´lgebra ser´ nilpotente (ver [4], a ıap.14). Ejemplo 2.4 ´ Algebras de matrices triangulares:    0  ∗   N+ (n, K) =   ..  (2.8)  .   0 0  (ceros en la diagonal y por debajo de ella) es un ´lgebra nilpotente pero no es abeliana si n ≥ 2. a Las propiedades m´s importantes de las ´lgebras nilpotentes se describen en el siguiente teore- a ama. Se define la transformaci´n lineal adx (se dice que g act´a sobre g a trav´s de la representaci´n o u e oadjunta, como veremos) para todo x ∈ g de la forma siguiente: adx : g → g (2.9) y → adx (y) = [x, y]Teorema 2.1 (Engel) 1. Sea g un ´lgebra de Lie: a g nilpotente ⇔ adx nilpotente ∀x ∈ g (2.10) 2. Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita, g un ´lgebra de Lie, sub´lgebra del ´lgebra o a a a gl(V ) (es decir, L(V ) con su estructura de ´lgebra de Lie), tal que los elementos de g son a nilpotentes. Entonces: a) g es un ´lgebra de Lie nilpotente. a b) g est´ contenida en un ´lgebra de tipo triangular (superior o inferior) a aProbemos en primer lugar que si g es nilpotente, los endomorfismos adx , x ∈ g son nilpotentes (xes ad-nilpotente). Esto es una consecuencia inmediata de la definici´n. En general, si el orden de onilpotencia es n, se tiene: adx1 adx2 · · · adxn = 0, x1 , . . . , xn ∈ g (2.11)y en particular, adn = 0 x (2.12) Para demostrar la implicaci´n en sentido contrario, probemos primeramente lo siguiente. oProposici´n 2.1 Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita (no trivial), g una sub´lgebra del o o a´lgebra gl(V ), tal que sus elementos son nilpotentes. Entonces existe un vector no nulo v ∈ V talaque Xv = 0 para todo X ∈ g.
  • 19. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 19La demostraci´n se puede hacer por inducci´n en la dimensi´n del ´lgebra. Si la dimensi´n es igual o o o a oa 0, 1, el resultado es trivial. Supongamos que el resultado es correcto para ´lgebras de dimensi´n a omenor que r y sea g de dimensi´n r. Si h es una sub´lgebra de g (distinta de g), los elementos o aadX , X ∈ h, son endomorfismos nilpotentes de gl(g), pues a cada X ∈ h le podemos asociar losendomorfismos de traslaci´n a derecha e izquierda: o ρX (Y ) = Y X, λX (Y ) = XY (2.13)que son nilpotentes (trivialmente al serlo X, X m = 0 para alg´n entero m). Pero u adX Y = λX (Y ) − ρX (Y ) (2.14)luego tambi´n es nilpotente pues conmutan). e Podemos construir el espacio cociente g/h (que no es en general un ´lgebra de Lie) y definir aadX sobre g/h (pues X ∈ h y h es un algebra): ´ adX (Y + h) = adX Y + h (2.15)Los endomorfismos adX son nilpotentes sobre g/h que es un ´lgebra de dimensi´n menor que r. a oDe acuerdo con la hip´tesis de inducci´n, existe un vector en g/h, Z + h = h, tal que o o adX (Z + h) = h (2.16)es decir, existe Z ∈ g, Z ∈ h, tal que / [X, Z] ∈ h, ∀X ∈ h (2.17)Esto quiere decir que Z ∈ N (h), el normalizador de h en g. Adem´s, la inclusi´n h ⊂ N (h) es propia a o(pues Z ∈ h). Supongamos ahora que h es una sub´lgebra maximal. Pero entonces el normalizador / aN (h) es igual a g (pues es una sub´lgebra y contiene propiamente a h) y h es un ideal de g. a La dimensi´n de g/h es igual a 1. Si fuera mayor que 1, tendr´ una sub´lgebra propia de o ıa adimensi´n 1, que corresponde a una sub´lgebra de g que contiene a h (y no es igual a ella). Pero o acomo h es maximal, esta situaci´n no puede darse, y por tanto dim g/h = 1. Por tanto (suma odirecta como espacios vectoriales) g = h + KZ, Z ∈ h / (2.18)y al ser dim h = r − 1 aplicando la hip´tesis de inducci´n, existe v ∈ V tal que hv = 0 y por tanto o oel subespacio de V , V = {v ∈ V : hv = 0} es no trivial. Adem´s, si X ∈ g y v ∈ V entonces aXv ∈ V , pues ∀Y ∈ h, Y Xv = XY v + [Y, X]v = 0 ⇒ Xv ∈ V (2.19)pues h es un ideal y por tanto [Y, X] ∈ h. Por tanto, si Z ∈ g y Z ∈ h, se tiene un endomorfismo /nilpotente actuando sobre el espacio V de dimensi´n menor que r. Aplicando la hip´tesis de o oinducci´n, existe w ∈ V tal que Zw = 0. Como cualquier endomorfismo X de g se puede escribir ocomo X = Y + λZ, X, Z ∈ h, λ ∈ K, Z ∈ h, se tiene: / Xw = (Y + λZ)w = Y w + λZw = 0 (2.20)lo que demuestra la proposici´n. o Veamos ahora como adx nilpotente ∀x ∈ g (g es un ´lgebra de Lie arbitraria) implica que el a´lgebra g es nilpotente. Por la proposici´n anterior, {adx : x ∈ g} es una sub´lgebra de gl(g)a o aformada por endomorfismos de g nilpotentes. Por tanto, existe y ∈ g tal que: adx y = 0, ∀x ∈ g (2.21)es decir, el centro de g es no trivial. Construyendo el ´lgebra cociente g/Z(g), obtenemos un ´lgebra a ade menor dimensi´n formada por elementos ad-nilpotentes. Utilizando inducci´n en la dimensi´n o o o
  • 20. 20 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. odel ´lgebra se concluye que g/Z(g) es nilpotente. Pero si el cociente de un ´lgebra sobre su centro a aes nilpotente, el ´lgebra es nilpotente. La demostraci´n de este ultimo hecho es como sigue. Al ser a o ´g/Z(g) nilpotente, existe n tal que C n (g/Z(g)) = 0. Esto quiere decir que C n (g) ⊂ Z(g). Peroentonces C n+1 (g) = [g, C n (g)] ⊂ [g, Z(g)] = 0 (2.22)luego g es nilpotente. En cuanto a la segunda parte, ya hemos visto que si un endomorfismo X es nilpotente, adXtambi´n lo es. Y por el resultado de la primera parte, g es nilpotente. Veamos ahora que existe euna torre de subespacios (es decir, una cadena de subespacios 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vn = V , dedimensiones dim Vk = k) de V que verifican XVi ⊂ Vi−1 para todo X ∈ g. Como sabemos, existev1 ∈ V tal que Xv1 = 0 para todo X ∈ g. Sea V1 = lin{v1 }. Claramente V1 ⊂ V0 . Se puededefinir X sobre el cociente V /V1 y es un endomorfismo nilpotente. Como la dimensi´n de V /V1 oes menor que la de V se usa la hip´tesis de inducci´n y se construye una cadena de subespacios o ocon las propiedades adecuadas. Se pasa a una cadena en V usando la imagen inversa mediante laproyecci´n can´nica en el cociente. o o Usando una base adaptada a la torre de subespacios, la forma de las matrices de los endomor-fismos en esa base es triangular superior (estrictamente). Los resultado sobre descomposici´n de endomorfismos (descomposici´n de Fitting y en subes- o opacios propios generalizados) se verifican en las ´lgebras nilpotentes. Se tiene el siguiente resultado aProposici´n 2.2 Sea g un ´lgebra de Lie nilpotente de endomorfismos de un espacio de dimensi´n o a ofinita. El espacio V se escribe como: V = V1 ⊕ V 2 ⊕ · · · ⊕ Vk (2.23)Cada subespacio Vi es invariante bajo el ´lgebra g y el polinomio m´ a ınimo de todo X|Vi , con X ∈ ges un factor irreducible elevado a una cierta potencia. Si el cuerpo es algebraicamente cerrado, larestricci´n de todo X a cada Vi es un m´ltiplo de la identidad m´s un endomorfismo nilpotente. o u a El uso de los resultados presentados sobre ´lgebras nilpotentes y resultados cl´sicos en ´lgebra a a alineal (vistos en el cap´ ıtulo 1), permiten llegar al teorema siguiente sobre pesos y subespaciosinvariantes (ver [5], secci´n II.4). oDefinici´n 2.2 Sea g un ´lgebra de Lie de endomorfismos de un espacio V de dimensi´n finita o a o(sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K). Una forma lineal µ : g → K es un peso de V parag si existe v ∈ V , no nulo, tal que (X − µ(X)1V )r v = 0, para alg´n r ∈ N (que depende de v y ude X). Se llama espacio de peso µ al conjunto de tales vectores (incluido el 0). Es un subespaciovectorial invariante bajo X.Este concepto de pesos se traslada a un ´lgebra de Lie cualquiera y a una representaci´n de a odimensi´n finita de manera obvia (ver Cap´ o ıtulo 6). Se tiene,Teorema 2.2 Sea g un ´lgebra de Lie nilpotente de endomorfismos de un espacio vectorial V de adimensi´n finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. Entonces, g tiene un n´mero de pesos o ufinito, los espacios peso son invariantes bajo g y V es la suma directa de estos subespacios. Soloexiste una descomposici´n de V con las propiedades que tienen los espacios peso. o2.2. ´ Algebras resolubles El segundo tipo de ´lgebras de Lie que estudiaremos aqu´ es el de ´lgebras resolubles. a ı a Sea g un ´lgebra de Lie. Se define la serie derivada de g como la cadena de ideales: a D1 (g) = g, D2 (g) = [g, g], . . . , Dk (g) = [Dk−1 (g), Dk−1 (g)], . . . (2.24)
  • 21. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 21donde D1 (g) ⊃ D2 (g) ⊃ · · · ⊃ Dk (g) ⊃ · · · (2.25)Definici´n 2.3 Se dice que un ´lgebra de Lie es resoluble si existe un entero k tal que o a Dk (g) = 0 De las definiciones se deduce que toda ´lgebra nilpotente es resoluble. Sin embargo hay ´lgebras a aresolubles que no son nilpotentes. Si un ´lgebra de Lie es resoluble, tambi´n lo son sus sub´lgebras a e ay su imagen mediante homomorfismos. Adem´s, si el cociente por un ideal resoluble es resoluble, el aa´lgebra original tambi´n lo es. Finalmente, la suma de ideales resolubles es resoluble. Este ultimo e ´resultado es consecuencia del isomorfismo (I1 + I2 )/I2 ≈ I1 /(I1 ∩ I2 ) (2.26)Como I1 es resoluble, I1 /(I1 ∩ I2 ) tambi´n lo es, y por lo tanto (I1 + I2 )/I2 . Al ser I2 resoluble, eI1 + I2 es resoluble. Ejemplo 2.5 ´ Algebras cuasitriangulares.    a11  ∗   T+ (n, K) =   ..  (2.27)  .   0 ann  es un ´lgebra resoluble pero no nilpotente. Por ejemplo, para n = 2 a a b T+ (2, K) = (2.28) 0 c C k (T+ (2, K)) = N+ (2, K), ∀k, (2.29)pero: D3 (T+ (2, K)) = 0 (2.30)T+ (n, K) es un ´lgebra de Borel (maximal resoluble en sl(n, K)). a Las anteriores definiciones de ´lgebras triangulares y cuasitriangulares se pueden dar sin refe- arencia a una base expl´ ıcita, usando sus propiedades en relaci´n a las torres de subespacios. o La suma de ideales resolubles es un ideal resoluble. Por lo tanto toda ´lgebra de Lie posee un aideal maximal resoluble, que es unico. ´Definici´n 2.4 Se llama radical de un ´lgebra de Lie g a su ideal resoluble maximal. o a Las ´lgebras resolubles tienen propiedades similares a las nilpotentes. aTeorema 2.3 Sea V un espacio vectorial (no trivial, sobre C, o en general un cuerpo algebrai-camente cerrado) g una sub´lgebra resoluble de gl(V ). Entonces, existe un vector v ∈ V que es aautovector de todo x ∈ g La demostraci´n es similar al teorema de Engel, por inducci´n en la dimensi´n del ´lgebra. Si o o o ala dimensi´n es cero, es trivial. Como g es resoluble, el ´lgebra derivada [g, g] no es igual a g, y el o aa´lgebra cociente g/[g, g] es abeliana (obviamente, [X + [g, g], Y + [g, g]] = [X, Y ] + [g, g] = [g, g]).Tomando un subespacio de dimensi´n 1, que es un ideal al ser g/[g, g], la imagen inversa mediante ola proyecci´n can´nica es un ideal I de g de codimensi´n (la dimensi´n del correspondiente espacio o o o o
  • 22. 22 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. ocociente) 1 en g que contiene a [g, g]. Este ideal es resoluble y no trivial si la dimensi´n del ´lgebra o aes mayor que 1 (en el caso en que dim g = 1 la demostraci´n es inmediata). o Se puede aplicar la hip´tesis de inducci´n. Es decir, existe w ∈ V que es un autovector de todo o oX ∈ I: Xw = µ(X)w, µ(X) ∈ C (2.31)Se tiene que µ : I → C es lineal y sea W el subespacio no trivial (propio) de V de los autovectorescomunes: W = {w ∈ V : Xw = µ(X)w, ∀X ∈ I} (2.32)Lo que nos falta probar es que g deja invariante W (no solo I). Supongamos que esto es cierto. Ela´lgebra g se puede descomponer en suma de I y un subespacio de dimensi´n 1: o g = I + CY, Y ∈ g, Y ∈ I / (2.33)Al ser C algebraicamente cerrado, Y tiene al menos un autovector u ∈ W , con autovalor µ0 .Entonces u es un autovector com´n a todos los elementos de g (pues est´ en w). La forma µ se u aextiende linealmente a todo g, con µ(Y ) = µ0 . Queda pues por demostrar que W es invariante bajo g, no solo bajo I. Es decir, si dado w ∈ Wy X ∈ g, se tiene Xw ∈ W . Por la definici´n de W , lo que hay que verificar es o Y (Xw) = λ(Y )Xw, Y ∈I (2.34)Como Y (Xw) = X(Y w) − [X, Y ]w = λ(Y )Xw − λ([X, Y ])w, (2.35)lo anterior es equivalente a λ([X, Y ]) = 0 (I es un ideal). Los vectores w, Xw, . . . , X n−1 w son linealmente independientes para un cierto n (tal que X n wdepende de los anteriores). Construimos la cadena de subespacios: Wk = lin{w, Xw, . . . , X k−1 w}, k = 0, 1, 2, . . . (2.36)con W0 = {0}, dim Wk = k y Wn+i = Wn cuando i = 0, 1, 2, . . .. El subespacio Wn es invariantebajo X que lleva Wi en Wi+1 . Lo mismo ocurre con Y ∈ I, pues w es un autovector de Y (Y w =λ(Y )w). En este espacio y en la base {w, Xw, . . . , X n−1 w}, el endomorfismo Y est´ representado apor una matriz triangular superior: Y (X k w) = (XY − [X, Y ])X k−1 w (2.37)Por inducci´n, para k = 0, Y w = λ(Y )w. Supongamos que es cierto para i < k. Para k, en la oexpresi´n anterior (2.37), no hay problemas con el primer sumando usando la hip´tesis de inducci´n, o o opues X k−1 ∈ Wk−1 , Y verifica la propiedad buscada y X lleva Wi en Wi+1 . En cuanto al segundo,tampoco hay problemas pues [X, Y ] ∈ I. Al ser la matriz triangular, los autovalores est´n sobre la diagonal (todos los vectores de Wn ason autovectores de Y con el mismo autovalor), luego trWn Y = nλ(Y ) (2.38)Esta propiedad es cierta para todos los elementos de I en particular para [X, Y ]. Como tr[X, Y ] = 0,se tiene que λ([X, Y ]) = 0 como quer´ıamos demostrar. La principal consecuencia de este resultado es el teorema de Lie:Teorema 2.4 (Teorema de Lie) Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita y g una sub´lge- o abra resoluble de gl(V ). Entonces existe una base de V en la cual todos los endomorfismos de g serepresentan por matrices triangulares superiores.
  • 23. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 23 Es decir, g deja estable una torre de subespacios. La demostraci´n del teorema se hace por oinducci´n en la dimensi´n de V utilizando la proposici´n anterior. o o o En cuanto a la relaci´n entre las ´lgebras resolubles y nilpotentes, se tiene que si g es resoluble, o ael ´lgebra derivada, [g, g], es nilpotente. Esto es una consecuencia de que los elementos de [g, g] ason ad-nilpotentes. Desde el punto de vista de endomorfismos de un espacio vectorial de dimensi´n ofinita, lo que se est´ diciendo es que el conmutador de dos matrices triangulares superiores es una amatriz triangular superior estricta, es decir con ceros en la diagonal. La demostraci´n de estos oresultados se basa entonces en una representaci´n por endomorfismos de las ´lgebras consideradas. o a Veamos ahora el criterio de Cartan para las ´lgebras resolubles. aTeorema 2.5 (Criterio de Cartan) Sea g una sub´lgebra de gl(V ), V espacio vectorial de di- amensi´n finita. Si tr xy = 0 para todo x ∈ [g, g], y ∈ g, entonces g es resoluble. o La demostraci´n se basa en un resultado previo sobre una caracterizaci´n de endomorfismos o onilpotentes.Proposici´n 2.3 Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita y A y B dos subespacios de gl(V ) o otales que A ⊂ B. Sea M el conjunto de endomorfismos x de V que verifican [x, B] ⊂ A. Si unendomorfismo X ∈ M satisface tr XY = 0 para todo Y ∈ M entonces x es nilpotente. Basta entonces probar que todos los endomorfismos en [g, g] son nilpotentes. Se aplica el resul-tado anterior considerando A = [g, g], y B = g. Si probamos que tr XY = 0 para todo X ∈ [g, g],Y ∈ M = {Z ∈ g : [Z, g] ⊂ [g, g]}, el resultado anterior permite concluir con lo que quer´ ıamos.N´tese que el espacio M contiene en general que g. Pero o tr([X, Y ]Z) = tr([X, [Y, Z]) = 0 (2.39)con [Y, Z] ∈ M . El criterio de Cartan se extiende sin dificultad a un ´lgebra de Lie cualquiera (no anecesariamente de endomorfismos).Teorema 2.6 Sea g un ´lgebra de Lie tal que tr(adx ady ) = 0 si x ∈ [g, g], y ∈ g. Entonces g es aresoluble.La demostraci´n se basa en que el homomorfismo dado por ad tiene como n´cleo el centro de g o uque es resoluble. Al ser la imagen resoluble por el criterio de Cartan, tambi´n g lo es. e2.3. ´ Algebras semisimples Una clase de ´lgebras de Lie, que ser´ la que estudiaremos en los pr´ximos cap´ a a o ıtulos, es la delas ´lgebras semisimples. aDefinici´n 2.5 Se dice que el ´lgebra de Lie g es semisimple si no tiene ideales abelianos propios o ay no es abeliana (lo que equivale a decir que el unico ideal abeliano que tiene es el 0). ´ Un ´lgebra de Lie es semisimple si y solo si su radical es 0. En efecto, si el radical es 0, el unico a ´ideal resoluble es 0. Como todo ideal abeliano es resoluble, no hay ideales abelianos salvo el 0 ypor tanto el ´lgebra es semisimple. Si el ´lgebra es semisimple, no hay ideales abelianos. Tampoco a apuede haber ideales resolubles (distintos del 0), pues si un ideal es resoluble, Dk (I) es 0 para unprimer k y por tanto Dk−1 (I) es abeliano (y no trivial), lo que no es posible. Ejemplo 2.6 sl(2, K) es un ´lgebra de Lie semisimple. a o(4, C) = {X ∈ C4×4 : X + X T = 0} es un ´lgebra semisimple. a Sin embargo, gl(2, K) no es un ´lgebra semisimple. Como hemos visto, KI2 es un ideal de esta aa´lgebra, que es abeliano y por lo tanto nilpotente y resoluble. El radical de gl(2, K) debe contenereste ideal luego no es 0. Como se puede comprobar f´cilmente, el radical coincide con KI2 . a
  • 24. 24 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oDefinici´n 2.6 Se dice que el ´lgebra de Lie g es simple si: o a 1. no es abeliana 2. los unicos ideales son 0 y g. ´ Ejemplo 2.7 sl(2, C) es un ´lgebra simple. a o(4, C) no es un ´lgebra simple. Tiene un ideal que es isomorfo a sl(2, C). M´s precisamente: a a o(4, C) = sl(2, C) ⊕ sl(2, C) Introduciremos ahora la forma de Killing, que nos permitir´ establecer un criterio para saber asi un ´lgebra de Lie es semisimple. aDefinici´n 2.7 Sea g un ´lgebra de Lie de dimensi´n finita. Se define la forma de Killing como: o a o K(x, y) = tr(adx ady ) (2.40) Obviamente es sim´trica. Adem´s verifica e a K(x, [y, z]) = K(x, ady z) = tr(adx ad[y,z] ) = tr(adx (ady adz − adz ady )) (2.41) = − tr((ady adx − adx ady ) adz ) = − tr(ad[y,x] adz ) = −K([y, x], z) (2.42)y es por tanto una forma bilineal invariante sim´trica como veremos en el pr´ximo cap´ e o ıtulo. Las propiedades de la forma de Killing permiten caracterizar a las ´lgebras semisimples. aProposici´n 2.4 Un ´lgebra de Lie es semisimple si y solo si su forma de Killing es no degene- o arada.La demostraci´n es como sigue. Supongamos que g es semisimple y probemos que K no es de- ogenerada. El radical de K, g⊥ = {x ∈ g : K(x, y) = 0 ∀y ∈ g} es un ideal, como se demuestraf´cilmente. Adem´s, es resoluble, ya que tr(adx ady ) = 0 si x, y ∈ g⊥ (usando el criterio de Car- a atan). Si g⊥ es no trivial, esto quiere decir que existen ideales abelianos no triviales, lo que no puedeocurrir al ser g semisimple. Por tanto g⊥ = 0 y la forma es no degenerada. Veamos el resultadocontrario. Supongamos que K es no degenerada, es decir que su radical es 0. Probemos que todoideal abeliano I de g est´ contenido en rad K (y por lo tanto es trivial). Sea x ∈ I, y ∈ g, queremos aprobar que K(x, y) = 0. Pero al ser I abeliano, [I, I] = 0. Como adx ady va de g en I, se tiene que(adx ady )2 = 0, con lo que adx ady es nilpotente y su traza es cero, luego K(x, y) = 0 El ser semisimple es una propiedad que se conserva bajo extensiones de cuerpos. No podemosentrar aqu´ en los detalles de esta importante cuesti´n (ver [5] p´gina 70). ı o a El resultado m´s importante que nos queda por probar se refiere a la estructura de las ´lgebras a asemisimples. Veremos a continuaci´n que toda ´lgebra semisimple es la suma directa de todos sus o aideales (que obviamente no son abelianos). El resultado se puede establece para ´lgebras asociativas a(ver [5], p´gina 71), pero nos limitaremos a las de Lie. aTeorema 2.7 Sea g un ´lgebra de Lie de dimensi´n finita, semisimple. Entonces, g tiene un a on´mero finito de ideales simples, I1 ,. . . , Ir , y se puede escribir como la suma directa de todos sus uideales simples: g = I1 ⊕ · · · ⊕ Ir (2.43)
  • 25. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 25La suma directa es como subespacios de g, pero al ser ideales, el conmutador [Ii , Ij ] est´ contenido aen la intersecci´n Ii ∩ Ij = 0 y por lo tanto es una suma directa de sub´lgebras. Usaremos o ainducci´n en la dimensi´n de g y la caracterizaci´n de ´lgebras semisimples por las propiedades o o o ade sus formas de Killing. Si no hay ideales propios, el ´lgebra es simple. Sea I un ideal propio aminimal. Su ortogonal, seg´n K, es tambi´n un ideal y se tiene: u e g = I ⊕ I⊥ (2.44)pues, usando el criterio de Cartan, la intersecci´n I ∩ I⊥ es un ideal resoluble que debe ser 0. oComo cualquier ideal de I lo es de de g, I es semisimple y al ser minimal es simple. Se tiene queI⊥ es semisiple y de dimensi´n menor que g. Aplicando la hip´tesis de inducci´n se demuestra el o o oteorema. Cualquier ideal simple est´ en la lista de los Ii . Efectivamente, sea I un ideal simple. El aconmutador [I, g] es un ideal contenido en I. Como I es simple es 0 o I. Pero el centro de g escero, luego [I, g] = I. Si usamos la descomposici´n en suma directa de ideales, se tiene: o [I, g] = [I, I1 ] ⊕ · · · ⊕ [I, Ir ] = I (2.45)por lo que existe i ∈ {1, . . . , r} tal que [I, Ii ] = I y [I, Ij ] = 0 para j = i. De [I, Ii ] = I se deduceque I ⊂ Ii y como Ii es simple se tiene I = Ii . Se puede comprobar f´cilmente que la restricci´n de la forma de Killing a cada uno de los a oideales es la forma de Killing del ideal. Todos los ideales de un ´lgebra semisimple son semisimples ay suma directa de ideales simples del ´lgebra. Adem´s, el ´lgebra derivada [g, g] coincide con g (se a a adice que g es perfecta). Finalmente enunciaremos sin demostraci´n un resultado debido a Levi sobre la estructura de oun ´lgebra de Lie en relaci´n a su radical. a oTeorema 2.8 Si g es un ´lgebra de Lie y r su radical, se tiene: a 1. g/r es un ´lgebra semisimple a 2. (Teorema de Levi) Si g es un ´lgebra de dimensi´n finita, con radical r, existe una sub´lgebra a o a semisimple de g, s, tal que: g=s⊕r (2.46) (como suma de espacios vectoriales).Como consecuencia, s ≈ g/r. El ´lgebra s no es unica. Sin embargo, existe un automorfismo a ´que relaciona dos de estas ´lgebras, exp adx , donde x es un elemento del nil-radical de g (es una aconsecuencia de un teorema debido a Malcev y Harish-Chandra, ver [5], p´gina 92). El nil-radical ade un ´lgebra de Lie (de dimensi´n finita) es un ideal nilpotente (que existe y es unico) que contiene a o ´a todo ideal nilpotente del ´lgebra. Est´ contenido en el radical del ´lgebra. a a a
  • 26. 26 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o
  • 27. Cap´ ıtulo 3Introducci´n a la teor´ de o ıarepresentaciones Aunque volveremos m´s adelante al estudio detallado de la teor´ de representaciones de ´lge- a ıa abras de Lie, introduciremos aqu´ unos conceptos elementales que necesitaremos en los pr´ximos ı ocap´ ıtulos.3.1. DerivacionesDefinici´n 3.1 Sea A un ´lgebra sobre un cuerpo K. Una aplicaci´n lineal δ : A → A es una o a oderivaci´n si: o δ(xy) = δ(x)y + xδ(y) (3.1) Si g es un ´lgebra de Lie, una derivaci´n verifica: a o δ([x, y]) = [δ(x), y] + [x, δ(y)] (3.2) La composici´n de derivaciones no es una derivaci´n. Sin embargo el par´ntesis de Lie (como o o econmutador en el ´lgebra asociativa de las aplicaciones lineales) s´ es una derivaci´n, a ı o [δ1 , δ2 ](xy) = [δ1 , δ2 ](x)y + x[δ1 , δ2 ](y) (3.3)por lo tanto, el conjunto de todas las derivaciones, Der(A), (que es un subespacio vectorial delconjunto de los endomorfismos lineales del ´lgebra como espacio vectorial), es una sub´lgebra del a aa´lgebra de Lie asociada, gl(A). Dada un ´lgebra de Lie, g, se dice que una derivaci´n δ es interna si existe un elemento del a oa´lgebra x, tal que se tiene: δ(y) = [x, y], ∀y ∈ g (3.4) Es decir, δ = adx en la notaci´n introducida previamente. El conjunto de las derivaciones ointernas de g es un ideal de Der(g). En efecto, si δ es una derivaci´n y x ∈ g entonces [δ, adx ] es ouna derivaci´n interna, pues: o [δ, adx ]y = δ adx y − adx δy = δ[x, y] − [x, δy] = [δx, y] = adδx y (3.5)Proposici´n 3.1 Todas las derivaciones de un ´lgebra de Lie semisimple son internas. o a 27
  • 28. 28 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oUn ´lgebra semisimple tiene centro igual a 0, por lo que el homomorfismo ad : g → gl(g) es un aisomorfismo de g en su imagen, ad g (las derivaciones internas, un ideal en Der g). Por tanto, [Der g, ad g] ⊂ ad g (3.6)La forma de Killing de ad g es la restricci´n de la forma de Killing de Der(g) a ad g y es no dege- onerada (g es semisimple y g y ad g son isomorfas). El ortogonal de ad g en Der g tiene intersecci´n o0 con ad g (porque la restricci´n de la forma de Killing es no degenerada). Al ser ad g un ideal, su oortogonal tambi´n lo es, y al ser la intersecci´n 0 el conmutador es tambi´n 0. e o e Sea δ ∈ Der g, un elemento del ortogonal de ad g. Para todo x ∈ g se tiene [δ, adx ] = 0 (3.7)luego adδx = 0 y por tanto δx = 0 para todo x ∈ g, luego δ = 0. Es decir el ortogonal de ad g es 0y se tiene ad g = Der g, toda derivaci´n es interna. o Pero un ´lgebra nilpotente (por ejemplo) tiene al menos una derivaci´n no interna (Ver [4], a op.14 ejemplo 9 y [5] p.29, ejemplo 15).3.2. Representaciones Veamos como se define una representaci´n lineal. oDefinici´n 3.2 Sea g un ´lgebra de Lie y V un espacio vectorial. Una representaci´n de g en V o a oes un homomorfismo (de ´lgebras de Lie): π : g → gl(V ), donde gl(V ) son los endomorfismos de aV con la estructura de ´lgebra de Lie asociada al conmutador. a Se tiene por tanto: π([x, y]) = [π(x), π(y)], x, y ∈ g (3.8) Las representaciones de un ´lgebra de Lie se pueden introducir de otra forma equivalente, como ala acci´n de un ´lgebra de Lie en un espacio vectorial. o aDefinici´n 3.3 Una acci´n de un ´lgebra de Lie en un espacio vectorial es un aplicaci´n bilineal: o o a o ·: g×V → V (3.9) (x, v) → x·vque verifica: [x, y] · v = x · (y · v) − y · (x · v) (3.10) En este caso, se dice que V es un g-m´dulo con respecto a la acci´n dada. o o Dada un acci´n tenemos una representaci´n y viceversa. Sea π una representaci´n en un espacio o o ovectorial V . Definimos la siguiente acci´n en el espacio V : o g×V → V (3.11) (x, v) → π(x)vpuesto que π(x) es un endomorfismo de V . Es inmediato probar que se verifican las propiedadesde acci´n. De igual forma, dada una acci´n (·), se puede definir una representaci´n: o o o π(x)v = x · v (3.12)Es evidente que π(x) es un endomorfismo de V y por tanto, π es un homomorfismo de ´lgebras de aLie. Dado un m´dulo del ´lgebra de Lie g (no especificaremos la acci´n cuando no sea necesario), o a oes posible hablar de subm´dulos: o
  • 29. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 29Definici´n 3.4 Sea V un m´dulo del ´lgebra de Lie g. Se dice que un subespacio vectorial de V o o aes un subm´dulo si es un g-m´dulo (es decir, si la acci´n de g lo deja invariante). o o oDefinici´n 3.5 Se dice que un g-m´dulo es irreducible si no tiene subm´dulos propios. o o o De forma equivalente, si los endomorfismos de la representaci´n asociada no tienen ning´n o usubespacio invariante com´n. uDefinici´n 3.6 Se dice que una representaci´n es fiel, si ker π = 0 o o Veamos un ejemplo de una representaci´n que se usar´ con frecuencia en el futuro. o a Ejemplo 3.1 Repasemos la definici´n de representaci´n adjunta. Como g tiene una estructura de espacio o ovectorial, podemos considerar a g como un g-m´dulo: o ad : g → gl(g) (3.13) x → adxdonde, como ya sabemos: adx : g → g (3.14) y → adx y = [x, y] Es f´cil ver que se verifican las propiedades de g-m´dulo. En general, ad no es una representaci´n a o ofiel. Su n´cleo, como ya hemos visto, es el centro del ´lgebra. u a ker(ad) = {x ∈ g : adx = 0} = {x ∈ g : [x, y] = 0, ∀y ∈ g} = Z(g) (3.15) Ejemplo 3.2 Consideremos como ejemplo de la representaci´n adjunta g = sl(2, K). Es f´cil ver que en la o abase considerada anteriormente {h, e, f }, las matrices que representan a estos elementos son:       0 0 0 0 0 1 0 −1 0 adh =  0 2 0  , ade =  −2 0 0  , adf =  0 0 0  (3.16) 0 0 −2 0 0 0 2 0 0 Dado que un g-m´dulo tiene una estructura de espacio vectorial, podemos introducir las si- oguientes operaciones con m´dulos. oDefinici´n 3.7 M´dulo cociente: o o Sea V un g-m´dulo y V un subm´dulo de V . Entonces, el espacio cociente V /V tiene estructura o ode g-m´dulo. La acci´n de g es: o o x · (v + V ) = x · v + V (3.17)y est´ bien definida al ser V invariante bajo g. aDefinici´n 3.8 Suma directa de g-m´dulos: o o Sean Vj , j ∈ J, g-m´dulos. Entonces ⊕j∈J Vj es un g-m´dulo. Si ⊕vj es un elemento del m´dulo o o osuma, la acci´n de x ∈ g es: o x · (⊕vj ) = ⊕(x · vj ) (3.18)donde · es en cada caso, la acci´n correspondiente al m´dulo del que se trate. o o Si consideramos las representaciones asociadas, πj , la representaci´n en el m´dulo suma se o oescribe como ⊕j∈J πj .
  • 30. 30 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oDefinici´n 3.9 Productos tensoriales: o Sean Vj , j = 1, . . . , n g-m´dulos. El producto tensorial de estos m´dulos: ⊗n Vj es un m´dulo o o j=1 ode g, y la acci´n se define por: o n x · (v1 ⊗ v2 ⊗ . . . ⊗ vn ) = v1 ⊗ v2 ⊗ . . . ⊗ (x · vj ) ⊗ . . . ⊗ vn (3.19) j=1 Desde el punto de vista de representaciones, se habla de la representaci´n producto tensorial ode πj . Dado un g-m´dulo V , o la representaci´n asociada π, se puede hablar de la representaci´n o o ocontragradiente (dual) en el g-m´dulo V ∗ , que verifica o (π ∗ (x)ω)(v) = −ω(π(x)), x ∈ g, v ∈ V, ω ∈ V ∗ (3.20) Veamos que se cumplen las condiciones para que sea una representaci´n: o ([π ∗ (x), π ∗ (y)]ω)(v) = (π ∗ (x)π ∗ (y)ω)(v) − (π ∗ (y)π ∗ (x)ω)(v) = −(π ∗ (y)ω)(π(x)v) + (π ∗ (x)ω)(π(y)v) = ω(π(y)π(x)v) − ω(π(x)π(y)v) = −ω(π[x, y](v)) = π ∗ [x, y]ω(v) Si se hace el producto tensorial de una representaci´n y su contragradiente, usando el lenguaje ode m´dulos, se tiene: o x · (v ⊗ ω) = x · v ⊗ ω + v ⊗ x · ω (3.21)Pero, como es bien sabido, V ⊗ V ∗ ≈ End(V ). Dados v ∈ V y ω ∈ V ∗ , se define f ∈ End Vpor f (u) = ω(u)v. Sea π un representaci´n en V , π ∗ su representaci´n contragradiente en V ∗ . o oDefinimos una representaci´n πEnd(V ) usando (3.21) o (πEnd(V ) (x)fv,ω )(u) = fπ(x)v,ω (u) + fv,π∗ (x)ω (u) = ω(u)π(x)v + (π ∗ (x)ω)(u)v = ω(u)π(x)v − ω(π(x)u)v = π(x)fv,ω (u) − fv,ω (π(x)u)y, para cualquier f ∈ End V , πEnd(V ) (x)f = π(x)f − f π(x) (3.22) Uno de los teoremas m´s utiles cuando se trabaja con representaciones es el lema de Schur: a ´Teorema 3.1 Sea π una representaci´n irreducible de un ´lgebra de Lie g en un espacio vectorial o aV. 1. Todo endomorfismo de V invariante bajo la representaci´n π, es trivial o un automorfismo. o Por invariante se entiende lo siguiente: f ∈ gl(V ), f (π(x)v) = π(x)f (v), x ∈ g, v ∈ V (3.23) 2. Si σ es un endomorfismo de V que conmuta con π(x), para todo x ∈ g, entonces, si existe un autovector de σ en V , σ es un escalar (un m´ltiplo de la identidad). u Finalmente, para acabar este cap´ ıtulo, introduciremos la noci´n de forma bilineal invariante. oDefinici´n 3.10 Sea π una representaci´n del ´lgebra de Lie g en el espacio vectorial V . Una o o aforma bilineal en V es invariante bajo g respecto la representaci´n π si: o (π(x)v, w) + (v, π(x)w) = 0, ∀x ∈ g, v, w ∈ V (3.24) Se dice que una forma bilineal en g es invariante si lo es bajo la representaci´n adjunta: o ([x, y], z) + (y, [x, z]) = 0, x, y, z ∈ g (3.25) Obviamente, la forma de Killing es un caso especial de formas bilineales invariantes sim´tricas e
  • 31. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 313.3. Reducibilidad de representaciones Como hemos dicho, una representaci´n es reducible si existen subespacios del espacio de repre- osentaci´n que son invariantes (es decir si el m´dulo correspondiente tiene subm´dulos). Pero si W o o oes un subespacio invariante, su complementario puede ser invariante o no. En el caso de que lo sea,el espacio se escribe como la suma de dos subespacios invariantes. En general,Definici´n 3.11 Se dice que un representaci´n es completamente reducible si el espacio de repre- o osentaci´n es suma directa de subespacios invariantes irreducibles. o No toda representaci´n reducible es completamente reducible, pero para ´lgebras semisimples o ase tiene:Teorema 3.2 (Teorema de Weyl) Toda representaci´n de dimensi´n finita de un ´lgebra se- o o amisimple es completamente reducible No incluiremos la demostraci´n aqu´ (ver por ejemplo [4], p´gina 28). o ı a
  • 32. 32 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o
  • 33. Cap´ ıtulo 4´Algebras envolventes El ´lgebra envolvente (un objeto universal en la categor´ de ´lgebras asociativas) constituye a ıa auna herramienta indispensable en el estudio de las ´lgebras de Lie. Para describirla, definiremos aprimero lo que se entiende por ´lgebra tensorial. a4.1. ´ Algebra tensorial Sea X = {xj }j∈J un conjunto de s´ ımbolos. Podemos construir monomios en los s´ ımbolos delconjunto X, simplemente por yuxtaposici´n: o xj1 xj2 . . . xjn ımbolos consecutivos son iguales, se escribe: xj xj . . . xj = xr .Si r s´ j Sea M (X) el conjunto de monomios (incluido el monomio “vac´ ıo”, sin ning´n s´ u ımbolo). Sidefinimos en M (X) un producto, por yuxtaposici´n de monomios, este conjunto se convierte en un oa´lgebra libre (no hay relaciones entre sus elementos). La estructura de espacio vectorial viene dadaal considerar M (X) como una base. La llamaremos A(X), y es un ´lgebra asociativa con elemento aunidad. Es el ´lgebra asociativa libre generada por X. a Esta ´lgebra es un objeto universal en la categor´ de ´lgebras asociativas. En realidad, vamos a ıa aa definir el ´lgebra asociativa libre como un objeto universal, y despu´s veremos que el ´lgebra a e aanteriormente estudiada es una representaci´n expl´ o ıcita de un ´lgebra libre. aDefinici´n 4.1 Sea X un conjunto no vac´ Un ´lgebra asociativa libre sobre X (y un cuerpo K) o ıo. aes un ´lgebra asociativa A con una aplicaci´n i : X → A, tal que, si A es otra ´lgebra asociativa a o a o ´ a ˜y f : X → A es una aplicaci´n, existe un unico homomorfismo de ´lgebras f : A → A que haceconmutativo el diagrama: f X −→ A i↓ (4.1) A De acuerdo con esta definici´n, el ´lgebra definida anteriormente es un ´lgebra libre sobre X, o a ael conjunto de s´ ımbolos, y la aplicaci´n i la inclusi´n. o o Supongamos ahora que el conjunto de s´ ımbolos es una base de un espacio vectorial V : {vj }j∈J .En este caso, el ´lgebra asociativa libre se llama el ´lgebra tensorial sobre V : a a T (V ) = aj1 j2 ...jn vj1 vj2 . . . vjn , (4.2) n∈N 33
  • 34. 34 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. odonde los coeficientes aj1 j2 ...jn son elementos del cuerpo K todos nulos salvo un n´mero finito. El ua´lgebra tensorial se puede poner como una suma directa: T (V ) = T n (V ) (4.3) n∈Ndonde T n (V ) es la envolvente lineal de los monomios de grado n (el grado de un monomio es eln´mero de elementos que lo forman). Pero el ´lgebra as´ definida tambi´n se puede poner como: u a ı e T (V ) = K ⊕ V ⊕ (V ⊗ V ) ⊕ · · · = ⊕i T i (4.4)con T n (V ) = V ⊗ V ⊗ · · · ⊗ V, T 0 = K, T1 = V (4.5) El ´lgebra T (V ) no es un ´lgebra conmutativa. Pero, si consideramos el ideal: J = lin(v ⊗ w − a aw ⊗ v, v, w ∈ V ), el ´lgebra cociente T (V )/J es un ´lgebra conmutativa que se conoce como el a aa´lgebra sim´trica de V : e S(V ) = T (V )/J (4.6) Veamos ahora la definici´n de ´lgebra envolvente universal. o aDefinici´n 4.2 Sea g un ´lgebra de Lie. Un ´lgebra envolvente universal de g es un par (U, σ), o a adonde U es un ´lgebra asociativa y σ : g → U, que verifica: a 1. σ es un homomorfismo de ´lgebras de Lie entre g y UL a 2. Si A es un ´lgebra asociativa y f es un homomorfismo de ´lgebras de Lie, f : g → AL , a a ´ a ˜ entonces existe un unico homomorfismo de ´lgebras: f : U → A tal que el siguiente diagrama es conmutativo. f g →A σ↓ (4.7) U Se demuestra que el ´lgebra envolvente de un ´lgebra de Lie existe y es unica salvo isomorfismo. a a ´La construcci´n del ´lgebra envolvente se hace a partir del ´lgebra tensorial T (g), construyendo su o a acociente por el ideal bil´tero I, generado por los elementos de la forma: x ⊗ y − y ⊗ x − [x, y] con ax, y ∈ g. Entonces se tiene: U(g) = T (g)/I (4.8) πSe llama aplicaci´n can´nica, σ, de g en U(g) a la composici´n de las aplicaciones g → T (g) → U(g). o o oLa proyecci´n can´nica π : T (g) → U(g) verifica o o π(x1 ⊗ . . . ⊗ xn ) = σ(x1 ) . . . σ(xn ) (4.9)En particular, como x ⊗ y − y ⊗ x − [x, y] ∈ I, se tiene π(x ⊗ y − y ⊗ x − [x, y]) = 0 (4.10)es decir, σ(x)σ(y) − σ(y)σ(x) = σ([x, y]) (4.11) Adem´s, si el ´lgebra g es abeliana, el ´lgebra envolvente coincide con el ´lgebra sim´trica a a a a e U(g) = S(g) (4.12)
  • 35. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 354.2. El teorema PBW Uno de los resultados m´s importantes sobre las ´lgebras envolventes es el teorema de Poincar´- a a eBirkhoff-Witt, que permite construir una base en esta ´lgebra: aTeorema 4.1 (Poincar´-Birkhoff-Witt) Sea g un ´lgebra de Lie con base {xj }j∈J , donde J es e aun conjunto bien ordenado (es decir, todo subconjunto no vac´ tiene primer elemento). Entonces, ıoel conjunto de elementos del ´lgebra envolvente: a σ(xj1 )σ(xj2 ) . . . σ(xjn ), j1 ≤ j2 ≤ . . . ≤ jn , n ∈ Z>0junto con el elemento unidad 1 ∈ K, es una base de U. Veamos c´mo se demuestra esta resultado (para dimensi´n finita). Sea {x1 , . . . , xn } una base o ode g, y σ(xi ) = yi sus im´genes en U(g). Si I = (i1 , . . . , ip ) enteros comprendidos entre 1 y n se aescribe yI = yi1 · · · yip , que es un elemento de U(g). Si Uk = π(T 0 ⊕ · · · ⊕ T k ), las series crecientes de enteros I, con longitud menor o igual quek generan Uk (es suficiente tomar las series crecientes. Si se tiene una que no lo es, se cambia elorden y eso genera elementos de orden inferior a k). Sea P = K[z, . . . , zn ], Pr = Kr [z1 , . . . zn ] (polinomios de grado menor o igual que r en la inde-terminadas zi ). La demostraci´n del teorema PBW se reduce a trasladar al espacio de polinomios ola estructura del ´lgebra envolvente. a Se tiene el siguiente resultado (ver [1], p´gina 70). Para cada entero p ≥ 0, existe una aplicaci´n a olineal unica fp : g ⊗ Pp → P que verifica que la restricci´n de fp a g ⊗ Pp−1 es fp−1 y las siguientes ´ opropiedades: (Ap ) : fp (xi ⊗ zI ) = zi zI , i ≤ I, zI ∈ Pp (4.13) (Bp ) : fp (xi ⊗ zI ) − zi zI ∈ Pq , zI ∈ Pq , q ≤ p (4.14) (Cp ) : fp (xi ⊗ fp (xj ⊗ zJ )) = fp (xj ⊗ fp (xi ⊗ zJ )) + fp ([xi , xj ] ⊗ zJ ), zJ ∈ Pp−1 (4.15)La demostraci´n de esta propiedades se hace por inducci´n en el grado p. Para p = 0 se tiene: o o (A0 ) : f0 (xi ⊗ 1) = zi (4.16)que es la definici´n de f0 . La condici´n (B0 ) se satisface trivialmente o o (B0 ) : f0 (xi ⊗ λ) − λzi ∈ P0 = K (4.17)y (C0 ) no tiene sentido. Supongamos que el resultado es cierto hasta fp−1 . Lo unico que tenemos ´que probar es que podemos extender linealmente fp−1 a g ⊗ Pp de forma unica de manera que se ´cumplan las condiciones exigidas. Entonces fp restringido a Pp−1 es fp−1 . Veamos como definir fp (xi ⊗ zI ), con I una serie de enteros entre 1 y n, con p elementos. Sii ≤ I, (Ap ) fija la definici´n: o (Ap ) : fp (xi ⊗ zI ) = zi zI , i ≤ I, zI ∈ Pp (4.18)Si i ≤ I, existe un elemento de I, j, que es menor que i: elegimos ese elemento de forma que todoslos otros en I sean mayores o iguales a ´l. Sea I = (j, J), con j < i y j ≤ J. Aplicando fp−1 (pues eJ tiene p − 1 elementos) tenemos: fp−1 (xj ⊗ zJ ) = zj zJ = zI (4.19)Por lo tanto, fp (xi ⊗ zI ) = fp (xi ⊗ fp−1 (xj ⊗ zJ )) (4.20)
  • 36. 36 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oComo queremos que se cumpla (Cp ), podemos escribir fp (xi ⊗ zI ) = fp (xj ⊗ fp−1 (xi ⊗ zJ )) + fp−1 ([xi , xj ] ⊗ zJ ) (4.21) La aplicaci´n fp−1 verifica las tres propiedades, luego o fp−1 (xi ⊗ zJ ) = zi zJ + w (4.22)siendo w un elemento de grado p − 1 (en principio de grado menor o igual que p, pero es f´cil ver aque no puede ser igual a p al no ser i ≤ I) Sustituyendo, y aplicando la definici´n de fp para el ocaso i ≤ I, se tiene: fp (xi ⊗ zI ) = fp (xj ⊗ zi zJ ) + fp−1 (xj ⊗ w) + fp−1 ([xi , xj ] ⊗ zJ ) = zj zi zJ + fp−1 (xj ⊗ w) + fp−1 ([xi , xj ] ⊗ zJ ) = zi zI + fp−1 (xj ⊗ w) + fp−1 ([xi , xj ] ⊗ zJ )En, resumen, usando (Ap ) y (Bp ) y la hip’otesis de inducci´n tenemos definida a fp como una oprolongaci´n lineal de fp−1 que verifica (Ap ) y (Bp ) (zI ∈ Pp ): o zi zI , i≤I fp (xi ⊗ zI ) = (4.23) zi zI + fp−1 (xj ⊗ w) + fp−1 ([xi , xj ] ⊗ zJ ), i ≤ I, I = (j, J), j < i, j ≤ Jcon w = fp−1 (xi ⊗ zJ ) − zi zJ . En lo que sigue usaremos siempre fp aunque en ocasiones se deber´ ıaescribir fq , con q ≤ p. Solo queda por comprobar que se verifica (Cp ). Esta propiedad se ha usadoen el caso j < i, j ≤ J. Adem´s debido a la antisimetr´ del par´ntesis de Lie, es inmediato que a ıa etambi´n es cierta cambiando los papeles de i y j , es decir, si i < j, i ≤ J. El caso i = j es trivial. eSolo nos queda demostrarla si i > J y j > J. Entonces i y j son mayores que alg´n elemento de uJ. Sea k el menor de ellos. Se tiene: J = (k, K), k ≤ K, i > k, j > k (4.24)Aplicando fp , se tiene (zJ = zk zK ): fp (xj ⊗ zJ ) = fp (xj ⊗ fp (xk ⊗ zK )) = fp (xk ⊗ fp (xj ⊗ zK )) + fp ([xj , xk ] ⊗ zK ) (4.25)y por la hip´tesis de inducci´n, o o fp (xj ⊗ zK ) = zj zK + w, w ∈ Pp−2 (4.26)Teniendo en cuenta que fp (xi ⊗ fp (xk ⊗ fp (xj ⊗ zK ))) = fp (xi ⊗ fp (xk ⊗ zj zK )) + fp (xi ⊗ fp (xk ⊗ w)) (4.27)y que, de acuerdo con lo dicho anteriormente, se puede aplicar (Cp ) a 1. f (xi ⊗ fp (xk ⊗ zj zK )), pues k < j y k ≤ K (adem´s de k < i) a 2. fp (xi ⊗ fp (xk ⊗ w)), usando la hip´tesis de inducci´n, y el que w ∈ Pp−2 , o oconcluimos que la condici´n (Cp ) se puede aplicar a fp (xi ⊗ fp (xk ⊗ fp (xj ⊗ zK ))). Debido a esto o fp (xi ⊗ fp (xj ⊗ zJ )) =fp (xi ⊗ fp (xk ⊗ fp (xj ⊗ zK ))) + fp (xi ⊗ fp ([xj , xk ] ⊗ zK )) =fp (xk ⊗ fp (xi ⊗ fp (xj ⊗ zK ))) + fp ([xi , xk ] ⊗ fp (xj ⊗ zK ))) + fp ([xj , xk ] ⊗ fp (xi ⊗ zK )) + fp ([xi , [xj , xk ] ⊗ zK )
  • 37. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 37Todo lo anterior se puede decir tambi´n intercambiando i por j. Por tanto e fp (xi ⊗ fp (xj ⊗ zJ )) − fp (xj ⊗ fp (xi ⊗ zJ )) = fp (xk ⊗ fp (xi ⊗ fp (xj ⊗ zK ))) − fp (xk ⊗ fp (xj ⊗ fp (xi ⊗ zK ))) + fp ([xi , [xj , xk ] ⊗ zK ) − fp ([xj , [xi , xk ] ⊗ zK ) = fp (xk ⊗ (fp (xi ⊗ fp (xj ⊗ zK )) − fp (xj ⊗ fp (xi ⊗ zK ))) + fp (([xi , [xj , xk ] − [xj , [xi , xk ]) ⊗ zK ) = fp (xk ⊗ fp ([xi , xj ] ⊗ zK ) − fp ([xk , [xi , xj ] ⊗ zK ) = fp ([xi , xj ] ⊗ fp (xk ⊗ zK ))Como fp (xk ⊗ zK )) = zk zK = zJ (4.28)por inducci´n, se tiene finalmente o fp (xi ⊗ fp (xj ⊗ zJ )) − fp (xj ⊗ fp (xi ⊗ zJ )) = fp ([xi , xj ] ⊗ zJ ) (4.29)que es (Cp ). Una vez construidas las aplicaciones fp , volvamos a nuestro objetivo (la demostraci´n del teo- orema PWB). En primer lugar probaremos que los monomios yI para toda serie creciente I son unabase de cu(g). De lo anterior, est´ claro que podemos definir a f : g × P → P, f (xi , zI ) = zi zI , i ≤ I (4.30)bilineal, tal que: f (xi , zI ) = zi zI , i ≤ I, f (xi , f (xj , zJ )) = f (xj , f (xi , zJ )) + f ([xi , xj ], zJ ), ∀i, j, J (4.31)Esto nos da una representaci´n del ´lgebra g en el espacio de polinomios P , o a ρ(xi )zI = f (xi , zI ), i≤I (4.32)Debido al car´cter universal del ´lgebra envolvente, podemos definir un homomorfismo a a ϕ : U(g) → End(P ), ϕ(yi )zI = zi zI , i ≤ I (4.33)Es f´cil ver ahora que a ϕ(yI )1 = zI , I = (i1 , . . . , ip ), i1 ≤ i2 · · · ≤ ip (4.34)Como los monomios zI son linealmente independientes, se deduce que los yI tambi´n lo son. eEst´ claro que tambi´n son un sistema de generadores (los monomios yI donde I es de longitud a emenor o igual que p generan Up , a´n restringi´ndose a series crecientes, ver m´s atr´s), luego se u e a atrata de una base. Como consecuencia de este resultado, la aplicaci´n can´nica σ es inyectiva. El teorema PBW o oes ahora inmediato.Teorema 4.2 Si {x1 , x2 , . . . , xn } es una base de g, entonces, los monomios σ(x1 )i1 · · · σ(x)in , n i1 , . . . in ∈ N (4.35)forman una base de U(g).Como σ es inyectiva podemos identificar a g con un subespacio de U(g) y escribir x en vez de σ(x)para todo x ∈ g. Las ´lgebras envolventes de ´lgebras y sub´lgebras est´n relacionadas en la forma natural: a a a a
  • 38. 38 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Sea g una sub´lgebra de un ´lgebra de Lie g, y sea {xj , yk }j∈J,k∈K una base de g tal que {xj }j∈J a asea una base de g , con J y K conjuntos bien ordenados. Entonces, la inyecci´n g → g → U(g) ose puede extender a una inyecci´n: U(g ) → U(g). Adem´s, si g1 , . . . , gn son ´lgebras de Lie, el o a a´lgebra envolvente de su producto directo, g = g1 × · · · × gn es el producto tensorial de las ´lgebrasa aenvolventes: U(g) = U(g1 ) ⊗ · · · ⊗ U(gn ) Utilizando el car´cter universal del ´lgebra envolvente se pueden extender las derivaciones del a aa´lgebra g a derivaciones del ´lgebra envolvente. Para ello basta considerar la extensi´n al ´lgebra a o atensorial T (g) en la forma usual. Veamos como se puede extender la acci´n de la representaci´n adjunta del ´lgebra g al ´lgebra o o a aenvolvente (utilizaremos un super´ ındice para indicar en que ´lgebra estamos trabajando): a ad(g) (y) = [x, y], x x, y ∈ gSea ad(T ) la unica extensi´n de esta aplicaci´n al ´lgebra tensorial: ´ o o a n ad(T ) (y1 ⊗ · · · ⊗ yn ) = x y1 ⊗ · · · ⊗ [x, yj ] ⊗ . . . ⊗ yn j=1N´tese que sobre los elementos de g se obtiene la acci´n inicial. Sobre los elementos de grado 2 la o oacci´n es: o ad(T ) (y1 ⊗ y2 ) = [x, y1 ] ⊗ y2 + y1 ⊗ [x, y2 ] xque es b´sicamente la regla de Leibniz para las derivaciones. a Pasando al cociente obtenemos la acci´n sobre el ´lgebra envolvente: o a n ad(U (g)) (y1 . . . yn ) = x y1 . . . [x, yj ] . . . yn (4.36) j=1 Esta ultima expresi´n no es m´s que el desarrollo de la f´rmula usual: ´ o a o ad(U (g)) (u) = xu − ux x (4.37)cuando u = y1 . . . yn . En efecto: xu = xy1 . . . yn = y1 xy2 . . . yn + [x, y1 ]y2 . . . yn n = · · · = y1 . . . y n x + y1 . . . [x, yj ] . . . yn j=1 Puesto que hemos sido capaces de extender la acci´n de la representaci´n adjunta a todo el o o´lgebra envolvente, es obvio que U(g) es un g-m´dulo. Sin embargo no es ´sta la unica estructura dea o e ´g-m´dulo que posee el ´lgebra envolvente. Estas son las dos estructuras importantes de g-m´dulo o a ode este ´lgebra: a 1. La representaci´n adjunta de g extendida a U(g): o n ad(U (g)) (y1 . . . yn ) = x y1 . . . [x, yj ] . . . yn (4.38) j=1 2. La restricci´n a g de la estructura natural de U(g)-m´dulo de U(g) cuando se considera a o o U(g) como un ´lgebra asociativa: a x(y1 . . . yn ) = xy1 . . . yn (4.39)
  • 39. Cap´ ıtulo 5Algunos complementos La teor´ de ´lgebras de Lie presenta muchos aspectos que no pueden ser tratados de una ıa amanera completa aqu´ Nos limitaremos a esbozar algunos rudimentos y ejemplos interesantes ı.desde el punto de vista de las aplicaciones en F´ ısica.5.1. Cohomolog´ de ´lgebras de Lie ıa a Veamos la definici´n y algunas aplicaciones a casos sencillos. o Sea g un ´lgebra de Lie y V un g-m´dulo (la acci´n se designar´ por ·). a o o aDefinici´n 5.1 Una k-cocadena de g en V es una aplicaci´n ϕ: o o k ϕ : g× · · · ×g −→ V (5.1)que verifica: 1. ϕ es k-lineal 2. ϕ es antisim´trica eEl conjunto de las cocadenas de orden m, C m (g, V ), es un espacio vectorial. En particular lascocadenas de orden cero son el espacio V y las cocadenas de orden 1 son las aplicaciones linealesde g en V : C 0 (g, V ) = V, C 1 (g, V ) = L(g, V ) (5.2) Entre las cocadenas de orden m y las de orden m + 1 se puede definir un operador lineal de laforma siguiente:Definici´n 5.2 Se define el operador δ como: o δ : C m (g, V ) −→ C m+1 (g, V ) (5.3) m+1 δϕ(x1 , . . . , xm+1 ) = (−1)i+1 xi · ϕ(x1 , . . . , xi , . . . xm+1 ) + ˆ i=1 m m+1 (−1)i+j ϕ([xi , xj ], x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xm+1 ) ˆ ˆ i=1 j=i+1 39
  • 40. 40 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o La aplicaci´n as´ definida es lineal. En los casos de orden m´s bajo su expresi´n es: o ı a o δ : C 0 (g, V ) −→ C 1 (g, V ) (5.4) δv(x) = x · v, x ∈ g, v ∈ V ≡ C 0 (g, V ) (5.5) δ : C 1 (g, V ) −→ C 2 (g, V ) (5.6) δϕ(x, y) = x · ϕ(y) − y · ϕ(x) − ϕ([x, y]), x, y ∈ g, ϕ ∈ C 1 (g, V ) (5.7) La propiedad m´s importante de la aplicaci´n δ es: a o δ2 = 0 (5.8) Su demostraci´n es sencilla aunque un tanto penosa de escribir. La expresi´n detallada de esta o orelaci´n es: o δm−1 δm · · · → C m−1 (g, V ) −→ C m (g, V ) −→ C m+1 (g, V ) → · · · (5.9)entonces: δm δm−1 = 0 ⇒ im δm−1 ⊂ ker δm (5.10) De entre todas las posible cocadenas, hay dos tipos particularmente importantes: los cobordesy los cociclos.Definici´n 5.3 Sea ϕ una cocadena, ϕ ∈ C m (g, V ). Se dice que ϕ es un cociclo si δϕ = 0 oEl conjunto de cociclos es un subespacio vectorial del conjunto de cocadenas: Z m (g, V ) = ker δm ⊂ C m (g, V ) (5.11)Definici´n 5.4 Sea ϕ una cocadena, ϕ ∈ C m+1 (g, V ). Se dice que ϕ es un coborde si existe oψ ∈ C m (g, V ) tal que ϕ = δψEl conjunto de cobordes es un subespacio vectorial del conjunto de cocadenas: B m (g, V ) = im δm−1 ⊂ C m (g, V ) (5.12) Pero la propiedad fundamental (δ 2 = 0) implica: B m (g, V ) ⊂ Z m (g, V ) (5.13) Podemos por lo tanto construir el grupo cociente (considerando la estructura de grupo aditivode estos espacios vectoriales):Definici´n 5.5 Se define el grupo de cohomolog´ de orden m como el grupo cociente de cociclos o ıasobre cobordes: H m (g, V ) = Z m (g, V )/B m (g, V ) (5.14) Veamos en los casos elementales como son los cociclos y cobordes. Un cociclo de orden cero es un elemento del espacio V que verifica: x·v =0 (5.15)para todo x ∈ g, luego se trata de un elemento invariante de la acci´n del ´lgebra sobre el espacio V . o aN´tese que invariante no quiere decir que bajo la acci´n del ´lgebra se obtiene el mismo elemento. o o aNo tiene sentido hablar de cobordes de orden cero. Se tiene: H 0 (g, V ) = Z 0 (g, V ) Un 1-cociclo es una aplicaci´n lineal de g en V que verifica: o
  • 41. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 41 δϕ = 0 ⇒ ϕ([x, y]) = x · ϕ(y) − y · ϕ(x), x, y ∈ g (5.16) En cuanto a los 1-cobordes, si ϕ ∈ B 1 (g, V ), existir´ un elemento de Z 1 (g, V ), es decir un vector av de V tal que: ϕ = δv (5.17)luego la acci´n de ϕ es: o ϕ(x) = δv(x) = x · v (5.18) En ciertos casos esta expresiones se ven muy simplificadas. Por ejemplo, cuando se toma elcuerpo K. La acci´n es entonces trivial: o x · λ = 0, x ∈ g, λ ∈ K (5.19) La acci´n de la aplicaci´n δ es ahora: o o m m+1 δϕ(x1 , . . . , xm+1 ) = (−1)i+j ϕ([xi , xj ], x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xm+1 ) ˆ ˆ (5.20) i=1 j=i+1 Todos los elementos de K son invariantes, es decir cociclos, por lo tanto el grupo de cohomolog´ ıade orden cero coincide con el cuerpo: H 0 (g, K) = K (5.21) En particular, las 1-cocadenas verifican: δϕ(x, y) = −ϕ([x, y]) (5.22) Si ϕ es un 1-cociclo, δϕ = 0, lo que quiere decir: ϕ([x, y]) = 0, x, y ∈ g (5.23)Por tanto, si el ´lgebra es semisimple (lo que implica [g, g] = g), los 1-cociclos son triviales y el aprimer grupo de cohomolog´ es trivial ({0}). ıa Finalmente, si ϕ es un 2-cociclo: δϕ(x, y, z) = −ϕ([x, y], z) + ϕ([x, z], y) − ϕ([y, z], x) = 0 (5.24)y por tanto, usando la antisimetr´ de ϕ: ıa ϕ([x, y], z) + ϕ([z, x], y) + ϕ([y, z], x) = 0 (5.25)que es la condici´n que debe cumplir una aplicaci´n bilineal antisim´trica de g × g en K para ser o o eun 2-cociclo. Lo anterior es cierto aunque el espacio final no sea K. Basta con que la acci´n sea trivial. Por oejemplo, si se trata de un ´lgebra abeliana. a Si el espacio V es igual al ´lgebra g, podemos usar como acci´n la representaci´n adjunta. El a o ooperador δ se escribe ahora: m+1 δϕ(x1 , . . . , xm+1 ) = (−1)i+1 [xi , ϕ(x1 , . . . , xi , . . . xm+1 )] + ˆ i=1 m m+1 (−1)i+j ϕ([xi , xj ], x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xm+1 ) ˆ ˆ i=1 j=i+1 Entonces: δx(y) = adx (y) = [x, y], x, y ∈ g (5.26)
  • 42. 42 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oy para una 1-cocadena: δϕ(x, y) = [x, ϕ(y)] + [ϕ(x), y] − ϕ([x, y]) (5.27)y si ϕ es un 1-cociclo: ϕ([x, y]) = [ϕ(x), y] + [x, ϕ(y)] (5.28)es decir, ϕ es una derivaci´n. Si se trata de un 1-coborde, existe un elemento de g, x, tal que: o ϕ(y) = δx(y) = [x, y] (5.29) Se puede demostrar que si el ´lgebra es de dimensi´n finita y semisimple entonces: a o H 1 (g, M ) = H 2 (g, M ) = 0 (5.30)para todo g-m´dulo M de dimensi´n finita. o o5.2. Graduaciones Dado un K-espacio vectorial, V , y un grupo aditivo, Q, una graduaci´n de V por Q es una odescomposici´n de V en suma directa de subespacios, V α , llamados subespacios graduados de ogrado α: Vα (5.31) α∈QSupongamos ahora que tenemos un ´lgebra A, y construimos la graduaci´n de A como espacio a ovectorial con grupo aditivo Q. Se dice que tenemos una Q-graduaci´n de ´lgebras si: o a Aα Aβ ⊂ Aα+β , α, β ∈ Q (5.32) Por ejemplo, las ´lgebras tensoriales y sim´tricas anteriormente estudiadas est´n graduadas por a e aN. Es f´cil ver que A0 es una sub´lgebra de A. a a Los endomorfismos de un Q-espacio graduado pueden preservar, en cierto sentido, la graduaci´n. oSe dice que un endomorfismo del espacio graduado V es graduado de grado λ ∈ Q si: f (V α ) ⊂ V α+λ , ∀α ∈ Q (5.33) El conjunto de todos los endomorfismo graduados, LQ (V ) es una suma: LQ (V ) = Lλ (V ) ⊂ L(V ) (5.34) λ∈Qdonde Lλ (V ) son los endomorfismo graduados de grado λ. Este conjunto es una Q-´lgebra gradua- ada. Las graduaciones de ´lgebras son muy importantes como veremos en algunos ejemplos. a5.3. Extensiones centrales Las extensiones centrales de ´lgebras de Lie aparecen frecuentemente en F´ a ısica. Por ejemplocuando se estudia el ´lgebra del grupo de Galileo o las ´lgebras de Kac-Moody. a a Una sucesi´n exacta de ´lgebras de Lie es un conjunto de ´lgebras y homomorfismos: o a a fj−1 fj · · · → gj−1 −→ gj −→ gj+1 → · · · (5.35)tal que im fj−1 = ker fj .
  • 43. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 43 Una extensi´n (g ) de un ´lgebra de Lie g, es una sucesi´n exacta corta de ´lgebras de Lie: o a o a i π 0 → a −→ g −→ g → 0 (5.36)y, por tanto, ker i = {0} e im π = g.Definici´n 5.6 Se dice que la extensi´n de ´lgebras de Lie (5.36) es central si a es un ´lgebra o o a aabeliana cuya imagen est´ contenida en el centro de g . a Como sucesi´n de espacios vectoriales y aplicaciones lineales, la sucesi´n est´ escindida, existe o o auna aplicaci´n lineal β : g → g que es una secci´n, es decir: o o π ◦ β = idg (5.37) Esto implica (como espacios vectoriales): g = ker π ⊕ im β (5.38)o, si se quiere utilizar la relaci´n entre el n´cleo de π y la imagen de i dada por la sucesi´n exacta: o u o g = i(a) ⊕ β(g) (5.39) Pero, en general, β no es un homomorfismo de ´lgebras de Lie. Es decir a β([x, y]) = [β(x), β(y)] (5.40) Podemos construir una aplicaci´n bilineal igual a la diferencia entre estas dos expresiones: o ϕ(x, y) = [β(x), β(y)] − β([x, y]) (5.41)Es sencillo ver que ϕ es bilineal. La aplicaci´n ϕ cumple las siguientes propiedades: o 1. La imagen de ϕ (que est´ en g ), est´ contenida en la imagen de a mediante i: como ker π = a a im i, basta probar que: π◦ϕ=0 (5.42) pero esto es inmediato: π(ϕ(x, y)) = π([β(x), β(y)] − β([x, y]) = [π ◦ β(x), π ◦ β(y)] − π ◦ β([x, y]) (5.43) y como β es una secci´n, π ◦ β = idg . De donde se deduce inmediatamente el resultado o (recu´rdese que π es un homomorfismo de ´lgebras de Lie). e a 2. La aplicaci´n ϕ es un 2-cociclo (con valores en i(a) que un ´lgebra abeliana). o a Es claro que es antisim´trica. Puesto que el espacio final es un ´lgebra, utilizamos la acci´n e a o siguiente: x · h = [β(x), z], x ∈ a, h ∈ i(a) (5.44) (el siguiente argumento muestra que se trata de un 2-cociclo aunque i(a) no est´ en el centro e de g ) La acci´n est´ bien definida y no depende de la elecci´n de β. Si β es otra secci´n, o a o o probemos que: [β(x), h] = [β (x), h], x ∈ a, h ∈ i(a) (5.45) pero: π(β(x) − β (x)) = (5.46)
  • 44. 44 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o por ser β, β secciones. Por tanto, β(x) − β (x) ∈ ker π = i(a) (5.47) Ahora bien, la imagen de a mediante i es abeliana (ya que a es abeliana y i un homomorfismo de ´lgebras), por tanto, a [β(x) − β (x), h] = 0, x ∈ a, h ∈ i(a) (5.48) Ahora solo nos queda demostrar que con esta acci´n ϕ es un 2-cociclo. La expresi´n que debe o o satisfacer es (x, y, z ∈ a): [β(x), ϕ(y, z)] − [β(y), ϕ(x, z)] + [β(z), ϕ(x, y)] − ϕ([x, y], z) + ϕ([x, z], y) − ϕ([y, z], x) = 0 identidad que se comprueba sin m´s que sustituir ϕ por su definici´n en funci´n de β. a o o Si, como estamos suponiendo, la imagen de a mediante i est´ contenida en el centro de g , la a acci´n anterior es trivial: o x · h = [β(x), h] = 0, x ∈ g, h ∈ i(a) ⊂ Z(g ) (5.49) y la condici´n de cociclo es: o ϕ([x, y], z) + ϕ([y, z], x) + ϕ([z, x], y) = 0 (5.50) Sustituyendo: [β([x, y]), β(z)] + [β([y, z]), β(x)] + [β([z, x]), β(y)]− β([[x, y], z]) − β([[y, z], x]) − β([[z, x], y]) = [β([x, y]), β(z)] + [β([y, z]), β(x)] + [β([z, x]), β(y)] pues β es lineal y podemos aplicar la propiedad de Jacobi. 3. Veamos ahora que ocurre si cambiamos la secci´n β por otra β . o Sea: α = β − β : g −→ g (5.51) Es claro que α toma valores en i(a): π ◦ α(x) = 0, ∀x ∈ g (5.52) Como α es lineal, es una 1-cocadena: α ∈ C 1 (g, i(α)) (5.53) y podemos calcular δα: δα(x, y) = −α([x, y]) = −β([x, y]) + β ([x, y]) (5.54) Pero ϕ y ϕ son 2-cociclos como acabamos de demostrar, y calculando su diferencia: ϕ(x, y) − ϕ (x, y) = [β(x), β(y)] − [β (x), β (y)] − (β − β )([x, y]) = y usando β = β − α: = [β(x), β(y)] − [β(x) − α(x), β(y) − α(y)] − α([x, y]) = [β(x), α(y)] − [β(y), α(x)] − [α(x), α(y)] − α([x, y])
  • 45. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 45 que es igual a: = −α([x, y]) (5.55) debido a que la imagen de α est´ en el centro de g. Pero esto quiere decir que: a δα = ϕ − ϕ (5.56) es decir, si cambiamos la secci´n, la diferencia de los dos cociclos correspondientes es un o coborde, est´n en la misma clase de cohomolog´ a ıa. Supongamos que el cociclo correspondiente a una secci´n β sea un coborde, es decir: o ϕ = δγ (5.57) entonces, la secci´n β se puede sustituir por otra que sea un homomorfismo de ´lgebras de o a Lie. Basta tomar: β =β−γ (5.58) En este caso: ϕ = ϕ − δγ = 0 (5.59) y por tanto β es un homomorfismo de ´lgebras de Lie. En este caso se dice que la extensi´n a o es trivial, lo que quiere decir que g es isomorfo a la suma directa de dos ´lgebras de Lie a En general, como β es lineal, se tiene la descomposici´n en suma de espacios vectoriales: o g = im β ⊕ ker π (5.60) pero si β es un homomorfismo de ´lgebras de Lie, im β es una sub´lgebra de g y por tanto a a se tiene: g = β(a) ⊕ i(a) (5.61) o si se quiere: g ≈g⊕a (5.62) El conmutador en g se puede escribir utilizando esta descomposici´n (en el caso general, o como suma de subespacios vectoriales): x ∈ g ⇒ x = x1 + x2 , x1 ∈ ker π = i(a) ⊂ Z(g ) (5.63) de donde: [x, y] = [x2 , y2 ] = [β(u2 ), β(v2 )] = β([u2 , v2 ]) + ϕ(u2 , v2 ) (5.64) donde u2 , v2 ∈ g y x2 = β(u2 ), y2 = β(v2 ). Se pueden definir morfismos entre dos extensiones centrales: i 1 1 π 0 → a1 −→ g1 −→ g → 0 ↓ φ0 ↓φ (5.65) i2 π2 0 → a2 −→ g2 −→ g → 0donde φ y φ0 son homomorfismos de ´lgebras y los diagramas son conmutativos. a Veamos ahora algunas propiedades que aplicaremos en la pr´xima secci´n. o oDefinici´n 5.7 Se dice que un ´lgebra de Lie g es perfecta si o a [g, g] = g (5.66)
  • 46. 46 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oDefinici´n 5.8 Se dice que una extensi´n central: o o i π 0 → a −→ h −→ g → 0 (5.67)es un recubrimiento si g es perfecta.Definici´n 5.9 Se dice que un recubrimiento es universal si para toda extensi´n central de g existe o oun unico morfismo del recubrimiento a la extensi´n central. ´ o Se puede demostrar que si el recubrimiento existe, es unico (salvo isomorfismo). Sin embargo ´no tiene por qu´ existir. Se tiene el siguiente resultado: eTeorema 5.1 El ´lgebra de Lie g admite un recubridor universal si y solo si es perfecta. a Se podr´ pensar que es posible construir el recubridor universal del recubridor universal... Sin ıaembargo para un ´lgebra de Lie perfecta, su recubridor universal es cerrado centralmente (es decir aes su propio recubridor universal). Como resumen, diremos que toda extensi´n central est´ asociada a un 2-cociclo, definido como o ael t´rmino que hace que la secci´n β no sea en general un homomorfismo de ´lgebras de Lie. Y a e o ala inversa. Todo 2-cociclo genera una extensi´n central: o Sea α : g × g → a un 2-cociclo (g y a algebras de Lie). Se define un espacio vectorial como suma ´de los espacios vectoriales asociados a g y a. g =g⊕a (5.68)y en ´l un par´ntesis de Lie dado por: e e [x + a, y + b] = [x, y] + α(x, y) (5.69)Est´ bien definido debido a las propiedades de cociclo de α. Entonces, g es un ´lgebra de Lie y, si a ase definen la inclusi´n: i : a → g y la proyecci´n π : g → g se tiene una extensi´n central. o o o5.4. El ´lgebra de Virasoro a El ´lgebra de Virasoro es un objeto fundamental en la teor´ de ´lgebras de Lie de dimensi´n a ıa a oinfinita. Daremos su definici´n y algunas propiedades fundamentales siguiendo a [8]. o Sea K un cuerpo y X un espacio vectorial de dimensi´n infinita construido tomando una base onumerable {Ln }n∈Z : X= KLn (5.70) n∈Z Definimos un par´ntesis de Lie en X que lo convierte en un ´lgebra de Lie: e a [Ln , Lm ] = (m − n)Ln+m , n, m ∈ Z (5.71) Se llama a {X, [ ]} el ´lgebra de Witt, W. Es un ´lgebra perfecta, [W, W] = W como se puede a acomprobar f´cilmente. a El ´lgebra de Virasoro, V, es una extensi´n central del ´lgebra de Witt: a o a V = X ⊕ Kc (5.72)una suma de espacios vectoriales, con el conmutador dado por: 1 3 [Ln , Lm ] = (m − n)Ln+m + 12 (n − n)δn+m,0 c (5.73) [Ln , c] = 0
  • 47. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 47 Como el ´lgebra de Witt es perfecta, seg´n hemos dicho en la secci´n anterior, admite un unico a u o ´recubridor universal: g =W ⊕V (5.74)una suma de espacios vectoriales, con 2-cociclo α. El resultado fundamental es que el ´lgebra de Virasoro es el recubridor universal del ´lgebra a ade Witt. Ve´moslo con cierto detalle. a La propiedad fundamental de los cociclos es: α(Lk , [Lm , Ln ]) + α(Lm , [Ln , Lk ]) + α(Ln , [Lk , Lm ]) = 0 (5.75)Sustituyendo el par´ntesis en W, se tiene: e (n − m)α(Lk , Lm+n ) + (k − n)α(Lm , Ln+k ) + (m − k)α(Ln , Lk+m ) = 0 (5.76)Demos algunos valores particulares a k, m, n: 1. Si k = 0: (n − m)α(L0 , Lm+n ) = (m + n)α(Lm , Ln ) (5.77) 2. Si k + m + n = 0: −(k + 2m)α(Lk , L−k ) + (2k + m)α(Lm , L−m ) + (m − k)α(L−k−m , Lk+m ) = 0 (5.78) y haciendo k = 1: (m − 1)α(Lm+1 , L−m−1 ) = (m + 2)α(Lm , L−m ) − (2m + 1)α(L1 , L−1 ) (5.79) Definimos ahora el par´ntesis en la extensi´n W ⊕ V de la forma que vimos en la secci´n e o oanterior. Primero para los elementos de W: [Lm , Ln ]∗ = [Lm , Ln ] + α(Lm , Ln ) (5.80)En particular si m = 0 se tiene: [L0 , Ln ]∗ = nLn + α(L0 , Ln ) (5.81) Se introduce un conjunto de elementos en la extensi´n W ⊕ V dados por la expresi´n anterior: o o ˜ 1 Ln = Ln + α(L0 , Ln ), n=0 (5.82) ny queremos calcular sus conmutadores (usando la expresi´n de la secci´n anterior): o o ˜ 1 ˜ [L0 , Ln ]∗ = [L0 , Ln + α(L0 , Ln )]∗ = [L0 , Ln ] + α(L0 , Ln ) = nLn + α(L0 , Ln ) = nLn (5.83) n Si n, m = 0: ˜ ˜ 1 1 [Lm , Ln ]∗ = [Lm + α(L0 , Lm ), Ln + α(L0 , Ln )]∗ = (n − m)Lm+n + α(Lm , Ln ) (5.84) m ncuando m + n = 0 podemos usar una de las f´rmulas halladas antes para el cociclo α: o n−m α(Lm , Ln ) = α(L0 , Lm+n ) (5.85) n+mde donde:
  • 48. 48 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o ˜ ˜ ˜ [Lm , Ln ]∗ = (n − m)Lm+n (5.86) ˜ ˜ ˜ Ya solo nos queda calcular el conmutador ∗ de Ln y L−n . Primero definimos L0 : ˜ 1 L0 = L0 − α(L1 .L−1 ) (5.87) 2y ahora: ˜ ˜ 1 1 [Ln , L−n ]∗ = [Ln + α(L0 , Ln ), L−n − α(L0 , L−n )]∗ = [Ln , L−n ] + α(Ln , L−n ) = n n −2nL0 + α(Ln , L−n ) En general no sabemos cuanto vale α(Ln , L−n ), pero si n = 1: ˜ ˜ [L1 , L−1 ]∗ = [L1 + α(L0 , L1 ), L−1 − α(L0 , L−1 )]∗ = [L1 , L−1 ] + α(L1 , L−1 ) = −2L0 + α(L1 , L−1 ) = −2L0 ˜ a o ˜ Para calcular los dem´s, debemos hacer una nueva construcci´n de cociclos. El conjunto {L}n∈Zgenera un subespacio de la extensi´n central que estamos construyendo. Llam´mosle W . La pro- o eyecci´n π : g → W, con n´cleo V , restringida a W es un isomorfismo de W en W, como espacios o uvectoriales. Sea f : f: W → W ˜ (5.88) Ln → Ln Como en general no es un homomorfismo de ´lgebras, no conserva el conmutador, pero la adiferencia es un 2-cociclo, por las mismas razones que estudiamos en el caso de las extensionescentrales: [f (Ln ), f (Lm ]∗ = f ([Ln , Lm ]) + ϕ(Ln , Lm ) (5.89)donde ϕ es un 2-cociclo con valores en V . Por tanto: ˜ ˜ ˜ [Ln , Lm ]∗ = (m − n)Ln+m + ϕ(Ln , Lm ) (5.90) Ahora tenemos que calcular ϕ. Para ello empezamos con los casos que ya conocemos: ˜ ˜ ˜ [Ln , Lm ]∗ = (m − n)Ln+m , n+m=0 (5.91)por tanto: ϕ(Ln , Lm ) = 0, n+m=0 (5.92) ˜ ˜ ˜ [L1 , L−1 ]∗ = −2L0 + ϕ(L1 , L−1 ) (5.93)de donde: ϕ(L1 , L−1 ) = 0 (5.94) La aplicaci´n ϕ es un 2-cociclo, luego cumple las mismas propiedades que α, es decir: o (m − 1)ϕ(Lm+1 , L−(m+1) ) = −(1 + 2m)ϕ(L1 , L−1 ) + (m + 2)ϕ(Lm , L−m ) (5.95)es decir: (m − 1)ϕ(Lm+1 , L−(m+1) ) = (m + 2)ϕ(Lm , L−m ) (5.96)y por lo tanto tenemos una recursi´n para los valores de ϕ: o ϕ(L3 , L−3 ) = 4ϕ(L2 , L−2 ) (5.97) 5 ϕ(L4 , L−4 ) = ϕ(L3 , L−3 ) = 10ϕ(L2 , L−2 ) (5.98) 2
  • 49. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 49 La regla general es: m+1 ϕ(Lm , L−m ) = ϕ(Lm−1 , L−(m−1) ), m>2 (5.99) m−2y la soluci´n de esta ecuaci´n en diferencias: o o (m + 1)! 1 ϕ(Lm , L−m ) = ϕ(L2 , L−2 ) = m(m2 − 1)ϕ(L2 , L−2 ), m>2 (5.100) 6(m − 2)! 6y llamando c = 2β(L2 , L−2 ), c ϕ(Lm , L−m ) = m(m2 − 1), m>2 (5.101) 12 Tras todos estos c´lculos, fiel muestra del ingenio de ciertas gentes, llegamos a la expresi´n final a odel conmutador en la extensi´n central del ´lgebra de Witt: o a ˜ ˜ ˜ c [Ln , Lm ] = (m − n)Lm+n + (n3 − n)δn+m,0 (5.102) 12 Hemos construido un ´lgebra V = W + Kc, que es una sub´lgebra de g = W ⊕ V e isomorfa a aal ´lgebra de Virasoro. Pero, g es un recubrimiento universal de W, luego es perfecto. Adem´s, a aW ≈ W , luego: g = [g , g ] = [W ⊕ V, W ⊕ V ] = [V, V] = V (5.103)pues el ´lgebra de Virasoro es perfecta. a5.5. El ´lgebra de Heisenberg a Supongamos un ´lgebra de Lie g y un subespacio unidimensional c, tal que: a [g, g] = c (5.104) [g, c] = 0 Podemos definir ahora una forma bilineal antisim´trica asociada al subespacio c: e [x, y] = ψ(x, y)c (5.105)donde c es una base de c. ˜ Si rad ψ = {x ∈ g : ψ(x, y) = 0, ∀y ∈ g}, el subespacio c est´ contenido en el radical. Sea ψ la aforma inducida en el espacio cociente g/c.Definici´n 5.10 Un ´lgebra de Heisenberg es un ´lgebra g con un espacio unidimensional c que o a averifica (5.104) y tal que ψ es no degenerada. Ejemplo 5.1 Consideremos el ´lgebra de polinomios s = K[xj ]j∈J , en la que definimos los operadores: l(xj ), amultiplicaci´n por xj , y ∂/∂xj , derivada parcial con respecto a xj , adem´s del operador identidad, o a1. Entonces, ∂ g = lin{l(xj ), , 1} (5.106) ∂xjes un ´lgebra de Heisenberg de dimensi´n, 2 card J + 1. a o
  • 50. 50 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o5.6. Casimires En el ´lgebra envolvente de una ´lgebra de Lie existen ciertos operadores con unas propiedades a aque los hacen muy utiles en numerosas aplicaciones. ´ Sea g un ´lgebra de Lie de dimensi´n finita, semisimple. Consideremos en g una forma bilineal a oinvariante, sim´trica y no degenerada, β. Dada una base de g, {x1 , . . . , xn }, podemos construir eotra base que sea dual respecto de la primera, con relaci´n a la forma bilineal β, {y1 , . . . , yn }: o β(xi , yj ) = δij (5.107)Debido a esta propiedad de dualidad se tiene, si x ∈ g: n n [x, xi ] = aij xj , [x, yi ] = bij yj (5.108) j=1 j=1y los coeficientes aij , bij est´n relacionados por: a n n n aik = aij δjk = aij β(xj , yk ) = β( (aij xj , yk ) = β([x, xi ], yk ) = n=1 n=1 n=1 n n −β(xi , [x, yk ]) = −β(xi , bkj yj ) = − bkj β(xi , yj ) = −bki j=1 j=1 Consideremos ahora un representaci´n fiel del ´lgebra g en un espacio vectorial V de dimensi´n o a ofinita: φ : g −→ gl(V ) (5.109)y sea β(x, y) = tr(φ(x)φ(y)) (5.110)una forma bilineal, invariante no degenerada. Consideremos el endomorfismo de V dado por: Cφ (β) = φ(xu )φ(yi ) (5.111) i Entonces, el endomorfismo Cφ (β) conmuta con todos los φ(x). En efecto: [φ(x), Cφ (β)] = [φ(x), φ(xi )φ(yi )] = [φ(x), φ(xi )]φ(yi ) + φ(xi )[φ(x), φ(yi )] = i i i (aij + bji )φ(xj )φ(yi ) = 0 El operador Cφ (β) es un Casimir del ´lgebra. El valor de su traza es justamente la dimensi´n a odel ´lgebra. Si φ es una representaci´n irreducible, el lema de Schur asegura que se trata de un a om´ltiplo de la identidad. El valor de esta constante es la dimensi´n del ´lgebra dividida por la u o adimensi´n de la representaci´n. o o
  • 51. Cap´ ıtulo 6Estructura de las ´lgebras de Lie asemisimples Discutiremos en este cap´ ıtulo la clasificaci´n de Cartan de las ´lgebras semisimples. Mientras o ano se especifique lo contrario, K es un cuerpo algebraicamnete cerrado (en estas notas C)6.1. Sub´lgebras de Cartan a El estudio de las ´lgebras semisimples se puede enfocar desde varios aspectos. Por ejemplo en a[5], p´gina 107, se usa el concepto de sub´lgebras semisimples “split”, porque se quiere extender los a aresultados a cuerpos no necesariamente cerrados. Una sub´lgebra de Cartan h (ver m´s abajo) es a a“split” si las ra´ ıces caracter´ısticas de los elementos adh , con h ∈ h est´n en el cuerpo base. Si ´ste a ees cerrado, una sub´lgebra de Cartan “split” es simplemente una sub´lgebra de Cartan. En [4], a ap´gina 35, se hace uso de ´lgebras torales maximales, que son sub´lgebras maximales compuestas a a apor elementos semisimples (ad-semisimples). Como se puede demostrar, en el caso de ´lgebras asemisimples, las sub´lgebras maximales torales son las sub´lgebras de Cartan Aqu´ usaremos las a a ısub´lgebras de Cartan como elementos esenciales en la determinaci´n de la estructura de las a oa´lgebras semisimples.Definici´n 6.1 Sea g un ´lgebra de Lie. Se dice que h es una sub´lgebra de Cartan de g si o a a 1. es nilpotente 2. es igual a su normalizador (N (h) = {x ∈ g : [x, h] ⊂ h}) Como h es un ´lgebra nilpotente podemos aplicar los resultados que obtuvimos en los temas aanteriores. En particular, el ´lgebra adh = {adh : h ∈ h} est´ formado por endomorfismos nilpoten- a ates. Podemos descomponer el ´lgebra g (que es el espacio de representaci´n para la representaci´n a o oadjunta) utilizando la descomposici´n de Fitting: o g = g0 ⊕ g1 (6.1)donde g0 = gadh 0 (6.2) h∈hen suma directa de subespacios propios generalizados asociados a adh . Sea gλ el subespacio asociadoal peso λ, es decir, gλ = {x ∈ g : (adh −λ(x)1g )r x = 0, ∀h ∈ h} (6.3)para alg´n r ∈ N. u Se tiene 51
  • 52. 52 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oProposici´n 6.1 Si λ, µ son dos pesos, entonces o [gadx , gadx ] ⊂ gadx λ µ λ+µ (6.4)En particular, gadx es una sub´lgebra de g y los elementos de gadx son ad-nilpotentes. 0 a 0La demostraci´n se basa en los resultados anteriores sobre pesos en el producto tensorial de repre- osentacionesProposici´n 6.2 Sea k una sub´lgebra de g. Sea x ∈ k tal que gadx sea minimal entre todas las o a 0sub´lgebras gadz con z ∈ k. Entonces, si k ⊂ gadx se tiene a 0 0 ad g0 x ⊂ gad z , 0 ∀z ∈ k (6.5)Proposici´n 6.3 Sea k una sub´lgebra de g que contiene a gadx para alg´n x ∈ g. Entonces k es o a 0 uigual a su normalizador. En particular adadx es igual a su normalizador. 0La demostraci´n es como sigue. Si k ⊂ gadx , el endomorfismo adx act´a en N (k)/k y no tiene a 0 o 0 ucomo autovalor. Adem´s adx (N ) ⊂ k, luego adx act´a trivialmente en el cociente. Esto solo puede a user si el cociente es trivial, es decir, si k = N (k). Veamos algunas propiedades elementales de las sub´lgebras de Cartan. aProposici´n 6.4 Sea g un ´lgebra de Lie de dimensi´n finita y h una sub´lgebra nilpotente de g. o a o a adh adhEntonces, h es una sub´lgebra de Cartan si y solo si h = g0 donde g0 es la componente nula ade la descomposici´n de Fitting de g respecto a ad h (es decir el subespacio propio generalizado de oautovalor 0 de ad h) (ver [4], p´gina 80). a El subespacio propio generalizado de autovalor cero de ad h es: adh g0 = {x ∈ g : ∃r ∈ N, adr x = 0, h ∈ h} h (6.6) ad Sea h una sub´lgebra nilpotente de g. Demostremos en primer lugar que N (h) ⊆ g0 h . Sea ax ∈ N (h), Entonces [h, x] ∈ h, por lo que, al ser h nilpotente (y por tanto adh nilpotente sobre hpara todo h ∈ h) se tiene, para un k ∈ N suficientemente grande, adk [h, x] = adk+1 x = 0 h h (6.7) adluego x ∈ g0 h . Por lo tanto adh h ⊆ N (h) ⊆ g0 (6.8) adEs decir, si h = g0 h , entonces h = N (h) y h es de Cartan. Veamos la implicaci´n en sentido ocontrario. ad ad Supongamos ahora que h g0 h . Se tiene que g0 h es invariante bajo adh (obviamente h adtambi´n es invariante bajo adh ). Por lo tanto, construyendo el espacio cociente, g0 h /h, podemos edefinir en ´l las aplicaciones correspondientes a adh , adh e ad adh (x + h) = adh x + h, x ∈ g0 h , h ∈ h (6.9)Estas aplicaciones son nilpotentes (por serlo adh ). Aplicando un resultado previo (proposici´n 2.1), o adhexiste un vector no nulo, x0 + h, con x0 ∈ g0 , pero x0 ∈ h, tal que / adh (x0 + h) = h, h∈h (6.10)
  • 53. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 53Pero en este caso, adh x0 = [h, x0 ] ∈ h, luego x0 ∈ N (h). Es decir, h N (h). Lo que hemosprobado es: ad h g0 h ⇒ h N (h) (6.11) ad ado, lo que eso mismo, si h = N (h), entonces h = g0 h , o sea, si h es de Cartan, h = g0 h . (ver [5],p´gina 58) a ad En realidad, el espacio g0 h es siempre una sub´lgebra si h es nilpotente (no es necesario que a adsea de Cartan), y si g1 h es el subespacio correspondiente a los autovalores no nulos (o, en general,el segundo espacio en la descomposici´n de Fitting) se tiene o ad ad ad ad ad adh [g0 h , g0 h ] ⊆ g0 h , [g0 h , g1 h ] ⊆ g1 (6.12) La demostraci´n es muy sencilla (ver [5], p´gina 58). o a La noci´n de elemento regular ser´ muy importante en lo que sigue. o aDefinici´n 6.2 Sea g un ´lgebra de Lie y h ∈ g. Se dice que h es regular si la dimensi´n del o a osubespacio propio generalizado de autovalor 0 de adh es m´ ınima.Se llama rango1 de g a la dimensi´n de h. o Los elementos regulares de un ´lgebra de Lie determinan una sub´lgebra de Cartan. a aTeorema 6.1 Sea g un ´lgebra de Lie de dimensi´n finita. Sea x ∈ g regular. El subespacio propio a ogeneralizado de autovalor 0 relativo a adx es una sub´lgebra de Cartan de g. a Dada una sub´lgebra de Cartan, h, el ´lgebra se puede descomponer en una suma directa de a asubespacios usando la representaci´n adjunta para la sub´lgebra de Cartan (que es nilpotente) o acomo hemos visto antes g = g0 ⊕ gα1 ⊕ · · · ⊕ gαk (6.13)Se tiene como sabemos, [gα , gβ ] ⊂ gα+β (6.14)g0 es una sub´lgebra igual a h: a g = h ⊕ gα1 ⊕ · · · ⊕ gαk (6.15)Los espacios gαi se llaman espacios de ra´ ıces. Como hemos dicho anteriormente, Teorema 6.1, existen sub´lgebras de Cartan (si el cuerpo K afuera finito el resultado no es correcto). Sea g un ´lgebra de Lie de dimensi´n finita sobre un cuerpo a oK. Sea {x1 , . . . , xn } una base. Sea K(u) el cuerpo de funciones racionales en las indeterminadasu1 , . . . , un y gK(u) el ´lgebra de Lie sobre el cuerpo K(u) (combinaciones lineales de los elementos ade la base de g con coeficientes en K(u)). Consideremos xu = u1 x1 + · · · + un xn y la representaci´n adjunta adxu . El polinomio carac- oter´ıstico de este endomorfismo es: χ(t, u) = tn + gn−1 (u)tn−1 + · · · + g0 (u) (6.16)donde los coeficientes son polinomios en u. Como 0 es un autovalor del endomorfismo (pues xuconmuta consigo mismo) se tiene que g0 (u) = g1 (u) = · · · = gl−1 (u) = 0, gl (u) = 0. Esto implicaque para cada x ∈ g, adx tiene como autovalor a 0, con multiplicidad al menos l. Si gl (a1 , . . . , an ) = n0, el endomorfismo ada1 x1 +···+an xn tiene el autovalor 0 con multiplicidad l y entonces i=1 ai xi esregular. Est´ claro que l es el rango de g. a Se tiene el teorema (el Teorema 6.1 est´ contenido en ´ste) a e 1 En ad [5] se llama rango al n´ mero n − dim g0 h . Puesto que adh h = 0, el rango es estrictamente menor que la udimensi´n del ´lgebra. Si el ´lgebra es nilpotente el rango es cero, pues por el teorema de Engel, los endomorfismos o a aadx son nilpotentes.
  • 54. 54 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oTeorema 6.2 Sea K un cuerpo (basta con que sea infinito), g un ´lgebra de Lie de rango l y x ∈ g aun elemento regular. El polinomio caracter´ ıstico de adx ser´: a χ(t) = tl χ(t), ˜ χ(0) = 0 (6.17)Sea g0 = χ(adx )g, g = (adx )l g. Entonces: ˜ ˜ 1. g = g0 ⊕ g (como espacios vectoriales, se trata de la descomposici´n de Fitting) ˜ o 2. g0 es una sub´lgebra de Cartan, dim g0 = l a ˜ ˜ ˜ 3. [g0 , g] = [x, g] = g Veamos la relaci´n entre los espacios de ra´ o ıces. Sea g un ´lgebra de Lie de dimensi´n finita, a oh una sub´lgebra nilpotente y V un m´dulo de g, con representaci´n π. Supongamos (como ya a o ohemos dicho) que el cuerpo K es algebraicamente cerrado (o que los polinomios cracter´ ısticosinvolucrados tienen todas sus ra´ ıces en el cuerpo). Consideremos la representaci´n π restringida oa h. Como sabemos (ver cap´ ıtulo 2) el espacio V se descompone en suma de espacios de pesos,invariantes bajo π(h): V = Vµ1 ⊕ · · · ⊕ Vµk (6.18)Lo mismo se puede decir de g considerado como un m´dulo de h bajo la representaci´n adjunta. o oPor tanto g = gα1 ⊕ · · · ⊕ gαk (6.19)Como hemos dicho, en este caso a los pesos se les llama ra´ ıces. Se tiene el siguiente resultadoProposici´n 6.5 En las condiciones anteriores, se verifica: o gα Vµ ⊆ Vµ+α (6.20)si µ + α es un peso de V relativo a g. En caso contrario gα Vµ es cero.La idea de la demostraci´n es considerar el producto tensorial de la representaci´n adjunta y de π. o o v ∈ gα Vµ , v= π(xi )vµ , α i xi ∈ gα , vµ ∈ Vµ α i (6.21) iDefinimos la aplicaci´n f , o f : gα ⊗ Vµ → gα Vµ (6.22) xα ⊗ vµ → π(xα )vµque es un homomorfismo de h-m´dulos. En efecto, la aplicaci´n f es lineal por la definici´n. Adem´s, o o o asi h ∈ h, tenemos adh ⊗π(h)(xα ⊗ vµ ) = adh (xα ) ⊗ vµ + xα ⊗ π(h)vµ (6.23)Haciendo actuar f : f ((adh ⊗π(h))(xα ⊗ vµ )) = π([h, xα ])vµ + π(xα )π(h)vµ = π(h)π(xα )vµ (6.24)como f (xα ⊗ vµ ) = π(xα )vµ , se tiene π(h)(f (xα ⊗ vµ ) = π(h)π(xα )vµ (6.25)que es el resultado anterior, luego f relaciona π con ad ⊗π como quer´ıamos probar (es decir, es unhomomorfismo de g-m´dulos). El peso de la representaci´n producto tensorial es α + µ, luego el o ode su imagen mediante f , gα Vµ , es el mismo o el m´dulo es cero (consecuencia de la definici´n de o om´dulos peso). o
  • 55. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 55 En el caso particular en que Vµ sea un m´dulo de la representaci´n adjunta tenemos que o o(admitiendo que α = 0 es una ra´ y g0 = h, aunque en lo sucesivo no consideraremos a 0 como ızuna ra´ ız) ⊆ gα+β si α + β es una ra´ız [gα , gβ ] (6.26) =0 en caso contrario6.2. ´ Algebras semisimples: ra´ ıces Recordemos las ideas esenciales sobre las ´lgebras semisimples (sobre un cuerpo infinito alge- abraicamente cerrado, esencialmente C). Como sabemos un ´lgebra semisimple es aquella que tiene aradical (ideal soluble maximal) igual a 0. O bien, aquella que (siendo no abeliana) no tiene idealesabelianos no triviales. Un ´lgebra es simple si (siendo no abeliana) no tiene ideales no triviales. aTambi´n sabemos que la forma de Killing (K) es no degenerada si y solo si el ´lgebra es semisimple. e aUn ´lgebra semisimple se puede escribir como la suma directa (como ´lgebras) de ´lgebras simples a a aque son todos los ideales del ´lgebra. a Dada una sub´lgebra de Cartan h de g, una ra´ es una forma lineal no nula del espacio vectorial a ızh, tal que el subespacio gα = {y ∈ g : ∀x ∈ h, ∃r ≥ 1, (adx −α(x))r y = 0} (6.27)es no trivial. La descomposici´n en espacios de ra´ o ıces es, como ya hemos dicho g = h ⊕ gα ⊕ gβ ⊕ · · · ⊕ gγ (6.28)Sea h∗ el dual como espacio vectorial de h y ∆ el conjunto de ra´ ıces, ∆ ⊂ h∗ , ˜ ∆ = ∆ ∪ {0} (6.29) Veremos a continuaci´n una serie de propiedades de las ra´ o ıces que nos permitir´n estudiar la aestructura de las ´lgebras semisimples. aProposici´n 6.6 Si ±α son ra´ o ıces, entonces, si eα ∈ gα y e−α ∈ g−α se tiene que [eα , e−α ] ∈ h (6.30)Es una consecuencia de (6.26) (n´tese que no se dice que si α ∈ ∆ entonces −α ∈ ∆. Esto lo overemos m´s adelante). a ˜Proposici´n 6.7 Si α, β ∈ ∆ con α + β = 0, entonces o K(gα , gβ ) = 0 (6.31) Veamos primeramente que g0 = h es ortogonal (siempre seg´n K) a gα , para toda ra´ α ∈ ∆. u ızComo α = 0, existe h ∈ h tal que α(h ) = 0. Sea h ∈ h y eα ∈ gα . Probaremos que son ortogonales Por definici´n de gα existe un entero r ≥ 0 tal que: o (adh −α(h ))r eα = 0 (6.32)para todo eα ∈ gα . Es decir, adh −α(h ) es nilpotente y como α(h ) = 0, se tiene que adh(restringida a gα ) es la suma de una transformaci´n nilpotente, m´s un m´ltiplo (no cero) de la o a uidentidad. El unico autovalor es α(h). La consecuencia inmediata es que adh es un endomorfismo ´
  • 56. 56 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. ono singular en gα . Lo mismo ocurre con cualquiera de sus potencias, luego, para todo k, fijadoeα ∈ gα existe ek ∈ gα tal que α adk ek = eα h α (6.33)Como la forma de Killing es invariante respecto a la representaci´n adjunta o K(eα , h) = K(adk ek , h) = ±K(ek , adk h) h α α h (6.34)El signo depende de k pero es irrelevante, pues h es nilpotente, y por tanto, eligiendo k suficiente-mente grande se tiene K(eα , h) = 0 (6.35) ıamos probar. Supongamos ahora que eβ ∈ gβ , con α + β = 0. Entonces,como quer´ K(eα , eβ ) = K(adh e1 , eβ ) = K([h , e1 ], eβ ) = K([h , [e1 , eβ ]) α α α (6.36)Puede ocurrir que α + β sea una ra´ (no cero). Entonces [e1 , eβ ] ∈ gα+β y por lo anterior ız αK(eα , eβ ) = 0. Si α + β no es una ra´ entonces [e1 , eβ ] = 0 y se tiene el mismos resultado. ız, αProposici´n 6.8 La restricci´n de la forma de Killing a la sub´lgebra de Cartan es no degenerada o o aSi K|h fuera degenerada, existir´ h ∈ h tal que K(h, h ) = 0 para todo h ∈ h. Pero como h es ıaortogonal a cualquier elemento de gα , para toda ra´ α, se tiene que K ser´ degenerada en g lo ız ıaque no es posible al ser g semisimple. Siendo h una sub´lgebra de Cartan (en particular nilpotente), sabemos que en una base ade- acuada las matrices que representan adh son triangulares superiores. La traza de adh restringido agα es α(h) dim gα (pues solo existe un autovalor, α(h), en esta restricci´n, por la definici´n de los o oespacios ra´ ıces). El producto de dos de estas matrices sigue siendo triangular y por tanto, K(h, h ) = tr(adh adh ) = (dim gα )α(h)α(h ) (6.37) α∈∆Proposici´n 6.9 Si h es una sub´lgebra de Cartan de un ´lgebra semisimple g, h es abeliana o a aLos elementos del ´lgebra h , derivada de h, son anulados por cualquier ra´ α(h ) = 0 si h ∈ h , a ız:pues, si x ∈ gα , no nulo, se tiene [h , x] =α(h )x = [[h1 , h2 ], x] = [h1 , [h2 , x]] + [[h1 , x], h2 ] = α(h2 )[h1 , x] + α(h1 )[x, h2 ] =α(h2 )α(h1 )x − α(h1 )α(h2 )x = 0 (6.38)luego α(h ) = 0 (6.39) ıces se anulan sobre el ´lgebra derivada Entonces, para todo h ∈ h,y las ra´ a K(h, h ) = 0 (6.40)Como la forma de Killing es no degenerada, h = 0 y h = 0 por lo que h es abeliana. ıces es un sistema de generadores del espacio dual h∗Proposici´n 6.10 El conjunto de ra´ o
  • 57. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 57Si no es as´ existe h tal que α(h ) = 0 para todo α. Lo que implica seg´n hemos visto antes, que ı, uh = 0. Luego el sistema de ra´ ıices es un sistema de generadores de h∗ . Es decir, al menos hay lra´ ıces independientes donde l es la dimensi´n de h. oProposici´n 6.11 Si α es una ra´ entonces −α tambi´n lo es o ız, eSi α ∈ ∆ pero −α no es una ra´ entonces gα es ortogonal a cualquier otro subespacio gβ (y ız,tambi´n a h). Luego la forma de Killing ser´ degenerada. Adem´s gα y g−α son espacios duales e ıa arespecto a la forma de Killing. Como la forma de Killing es no degenerada en h, es posible definir un “producto interior” (unaforma bilineal sim´trica no degenerada) en h y en h∗ . como hemos visto, e h, h = K(h, h ) = (dim g(α))α(h)α(h ), h, h ∈ h (6.41) α∈∆Utilizando el teorema de Riesz-Fr´chet, dado λ ∈ h∗ existe un unico hλ ∈ h tal que e ´ λ(h) = hλ , h , h ∈ h∗ (6.42)y por tanto λ, µ = hλ , hµ = λ(hµ ) = µ(hλ ) (6.43)Proposici´n 6.12 En la producto interior definido anteriormente en h∗ , el producto de una ra´ o ızpor s´ misma es distinto de cero: ı α, α = 0, α ∈ ∆ (6.44)La demostraci´n se puede ver, por ejemplo, en [5]. oProposici´n 6.13 Si α ∈ ∆ o dim g(α) = 1 (6.45)Adem´s, si α ∈ ∆ y kα ∈ ∆, con k ∈ Z, entonces k = ±1. aSea ∞ Rα = Keα + Khα + g−kα (6.46) i=1donde si kα ∈ ∆, gkα es el subespacio ra´ correspondiente y en caso contrario es 0. El subespacio ızRα es invariante bajo adh . Si restringimos adh a Rα , para hα , α(hα ) = (α, α), se tiene tr adRα = α, α (1 − dim g−α − 2 dim g−2α − · · · − k dim g−kα − · · · ) h (6.47)Rα es tambi´n invariante bajo adeα y ade−α . Entonces, como hα = [eα , e−α ], se tiene e adRα = [adR , adR ] h eα e−α (6.48)y por lo tanto, tr adRα = 0. Como α, α = 0 se tiene que dim g−α = 1 y dim g−kα = 0, para hk = 2, 3, . . .. De forma similar se prueba para α. Para terminar de estudiar la estructura de las ´lgebras semisimples y los sistemas de ra´ a ıces,necesitamos algunos conceptos relacionados con el sistema de pesos de una representaci´n. En oprimer lugar, aunque volveremos a ello m´s adelante, estudiamos las representaciones de dimensi´n a ofinita de sl(2, C).
  • 58. 58 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o6.3. Representaciones de dimensi´n finita de sl(2, C) o Sea {h, e, f } un base de sl(2, C) con las relaciones de conmutaci´n o [h, e] = 2e, [h, f ] = −2f, [e, f ] = h (6.49)y sea π una representaci´n de dimensi´n finita en un espacio V . Sean H = π(h), E = π(e), o oF = π(f ). Los endomorfismos {H, E, F } verifican las mismas relaciones de conmutaci´n anteriores. oSea j un autovalor de H y v ∈ V un autovector Hv = jv (6.50)El vector Ev es tambi´n un autovector de H (si no es cero): e HEv = (EH + 2E)v = (j + 2)Ev (6.51)De esta manera obtenemos una sucesi´n de vectores en V linealmente independientes (porque ocorresponden a distintos autovalores de H) y que necesariamente debe acabar, pues V es de di-mensi´n finita. Es decir, existe p tal que o E p v = 0, E p+1 v = 0 (6.52)Sea v = E p v. Entonces, Hv = j v , Ev = 0, j = j + 2p (6.53)Eliminemos la notaci´n con primas: existe v ∈ V tal que o Hv = jv, Ev = 0 (6.54)Aplicamos ahora el operador F . Tenemos una sucesi´n de autovectores v0 = v, v1 = F v, . . . , vq = oF m v que termina: F m+1 v = 0, con autovalores j, j − 2, . . . , j − 2m Consideremos el subespacio de V , Wm , generado por los vectores: {v0 , v1 , . . . vm } (6.55)Este espacio es invariante bajo H, E, F e irreducible. Veamos la acci´n de E (las de H y F son oevidentes por construcci´n). Para el vector v1 se tiene o Ev1 = EF v0 = (F E + H)v = jv0 (6.56)La expresi´n general es o Evk = (kj − k(k − 1))vk−1 (6.57)Prob´moslo por inducci´n. Para k = 1 es correcta como se ha visto. Para k + 1, supuesta cierta e opara k, se tiene: Evk+1 =EF vk = (F E + H)vk = F ((kj − k(k − 1))vk−1 ) + (j − 2k)vj =(kj − k(k − 1))F vk−1 + (j − 2k)vk = (kj − k(k − 1) + j − 2k)vk =((k + 1)j − (k + 1)k)vk (6.58)como quer´ ıamos probar. El espacio Wm es entonces invariante. La traza del operador H (siendo elconmutador de otros dos operadores) debe ser cero. Por tanto, 1 j + (j − 2) + · · · + (j − 2m) = j(m + 1) − 2m(m + 1) = j(m + 1) − m(m + 1) = 0 (6.59) 2luego j=m (6.60)
  • 59. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 59y j es un entero, as´ como el resto de los autovalores de H. Probemos finalmente que el subespacio ı ˜Wj es irreducible. Si W ⊂ Wj es un subespacio que contiene a un vector de la forma w = ci vi +· · · cj vj , con ci = 0 y es invariante bajo H, E, F entonces contiene a todos los vectores xi y es iguala Wj . En efecto, aplicando F un n´mero suficiente de veces, se obtiene: u 1 j−i F w = vj (6.61) ciy por invariancia contiene a los dem´s. a Finalmente se tiene el siguiente resultadoProposici´n 6.14 Para cada entero j = 0, 1, 2, . . . existe una unica (salvo isomorfismo) represen- o ´taci´n irreducible de sl(2, C) de dimensi´n j + 1, y la acci´n de los operadores π(h), π(e) y π(f ) o o oviene dada por las expresiones estudiadas anteriormente.Si ±α son las ra´ ıces de esta ´lgebra, tenemos a α(h) = 2 (6.62)en la base elegida. Sea Λ el peso correspondiente al autovalor j: Λ(h) = j (6.63)Como la dimensi´n de h∗ es 1, se tiene o Λ = kα, Λ(h) = j = kα(h) = 2k (6.64)es decir 2 Λ, α = 2k = j (6.65) α, αque es un entero no negativo.6.4. Propiedades de las ra´ ıces de un ´lgebra semisimple a Sea (V, π) una representaci´n de un ´lgebra de Lie semisimple g y Λ su sistema de pesos respecto o aa una sub´lgebra de Cartan h, Λ ⊂ h∗ (un sistema finito). Si α ∈ ∆, el sistema de ra´ a ıces de g, seahα ∈ h tal que α(h) = h, hα . Entonces, eligiendo e±α adecuadamente, se tiene [eα , e−α ] = hα (6.66)El subespacio generado por {hα , eα , e−α } es una sub´lgebra tridimensional de g. a Las proposiciones que siguen a continuaci´n se refieren a una representaci´n arbitraria de o odimensi´n finita. Las usaremos posteriormente aplicadas al caso de la representaci´n adjunta. o oProposici´n 6.15 V es un m´dulo para h. Si Vλ es un h-m´dulo de peso λ, entonces o o o h Vλ = λ(h)1Vλ (6.67)La demostraci´n se basa en que π(h) es un ´lgebra de operadores semisimples que conmutan, por o alo que se pueden diagonalizar simult´neamente. aProposici´n 6.16 Consideremos el ´lgebra o a g(α) = h + Keα + Ke−α (6.68)
  • 60. 60 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oEl espacio V es un m´dulo para g(α) . Si W es un g(α) -subm´dulo irreducible de V , podemos o oencontrar una base {v0 , v1 , . . . , vj } tal que: π(h)vk = (λ − kα)(h)vk , k = 0, 1, . . . , j (6.69) π(e−α )vk = vk+1 , k = 0, 1, . . . , j − 1, π(e−α )vj = 0 (6.70) 1 π(eα )vk = k(j − k + 1) α, α vk−1 , k = 1, 2, . . . , j, π(eα )v0 = 0 (6.71) 2j es un peso que verifica 2 λ, α = j ∈ Z≥0 (6.72) α, α La demostraci´n se basa en un uso adecuado de los resultados obtenidos para sl(2, C). oProposici´n 6.17 Si v ∈ V es distinto de cero, tal que π(h)v = λ(h)v, π(eα )v = 0, entonces v ogenera un g(α) -m´dulo irreducible. oProposici´n 6.18 Sea λ un peso de la representaci´n (V, π). Consideremos el conjunto de pesos o oque tiene la forma λ + kα, k ∈ Z, α ∈ ∆. Este conjunto est´ formado por: a λ − qα, λ − (q − 1)α, . . . , λ + (p − 1)α, λ + pα, p, q ≥ 0 (6.73)Se verifica 2 λ, α =q−p (6.74) α, αProposici´n 6.19 Sea v ∈ V distinto de cero, tal que o π(h)v = (λ + pα)(h)v (6.75)Entonces v genera un g(α) -m´dulo irreducible. Los pesos del conjunto definido anteriormente son opesos de h en este subm´dulo. En particular, si λ es un peso, el vector definido por o 2 λ, α λ =λ− α (6.76) α, αes tambi´n un peso y las dimensiones de los espacios peso asociados a λ y λ son iguales. e La serie de pesos λ − qα, λ − (q − 1)α, . . . , λ, . . . , λ + pα (6.77)se llama una α-serie. Consecuencia inmediata de estos resultados es la proposici´n siguiente. oProposici´n 6.20 o 1. Los n´meros Nα,β que aparecen en las relaciones de conmutaci´n de los u o vectores ra´ ıces, son distintos de cero si α + β es una ra´ ız. 2. Si α ∈ ∆ y kα ∈ ∆, con k ∈ K, entonces k = ±1. 3. La α-serie que contiene a una ra´ β, contiene cuatro ra´ ız ıces como m´ximo, es decir a 2 α, β = ±0, ±1, ±2, ±3 (6.78) α, α
  • 61. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 61 Si β = ±α, la α-serie solo contiene dos ra´ ıces: ±α. Sea β = ±α y supongamos que la α-serieque pasa por β tiene cinco ra´ıces que se pueden escribir como β − 2α, β − α, β, β + α, β + 2α(cambiando de nombre a β si es preciso). Consideremos ahora la β-serie que contiene a β + 2α. Sisumamos β, β + β + 2α = 2(β + α) luego no es ra´ Si restamos β, 2α tampoco es ra´ Luego esa ız. ız.serie solo contiene un elemento β + 2α. Entonces p = q = 0 (en la notaci´n usada anteriormente) ocon lo que β + 2α, β = 0 (6.79)El mismo argumento se puede emplear con β − 2α y por tanto β − 2α, β = 0 (6.80)Pero esto lleva β, β = 0 (6.81)lo que no puede ser. Por lo tanto p + q + 1 ≤ 4 como m´ximo, es decir p + q ≤ 3. a6.5. Sistemas fundamentales de ra´ ıces y Π-sistemas Los sistemas de ra´ se pueden estudiar como un conjunto de vectores en un espacio euclidiano ıcescon determinadas propiedades. Por ello es necesario en lo que sigue distinguir diferentes situacionessobre K (que ser´ siempre en estas notas C), Q y R. As´ h∗ es el dual de h sobre K y h∗ es la a ı, 0envolvente lineal sobre Q de ∆, es decir, el dual de h0 = linQ {hα } con α ∈ ∆.Proposici´n 6.21 Se tienen las siguientes propiedades o 1. dimQ h∗ = dimK h∗ = rango g 0 2. Todos los pesos est´n en h∗ a 0 3. , |h∗ toma valores en Q y es definida positiva. 0Para demostrar la primera parte basta probar que si {α1 , . . . , αl } es una base de h∗ (sobre K),cualquier ra´ se puede escribir como una combinaci´n de αi con coeficientes racionales. Como ız o lβ = i=1 ci αi con ci ∈ K, tenemos: l 2 β, αi 2 αj , αi = cj (6.82) αi , αi j=1 αi , αique es un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros. El determinante es distinto decero al ser , no degenerada 2 αj , αi 2l det = l det αj , αi =0 (6.83) αi , αi i αi , αiLuego las constantes ci son racionales. El segundo enunciado es ahora inmediato. Cualquier peso λ verifica 2 β, αi ∈Z (6.84) αi , αi o ıces anteriores, con coeficientes racionales y est´ en h∗ .luego es una combinaci´n de las ra´ a 0
  • 62. 62 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Veamos ahora la tercera propiedad. Si h, h ∈ h, se tiene h, h = α(h)α(h ) (6.85) α∈∆En el dual se tiene λ, µ = α(hλ )α(hµ ) = α, λ α, µ (6.86) α∈∆ α∈∆En particular si β es una ra´ ız 2 β, β = α, β (6.87) α∈∆Si pαβ y qαβ son los extremos de la β-serie que pasa por α, tenemos: 2 α, β = qαβ − pαβ (6.88) β, βy por lo tanto 1 α, β = β, β (qαβ − pαβ ) (6.89) 2y sustituyendo en la expresi´n de β, β : o 1 2 β, β = β, β (qαβ − pαβ )2 (6.90) 4 α∈∆es decir, 4 β, β = (6.91) α∈∆ (qαβ − pαβ )2que, obviamente, est´ en Q. Se sigue que α, β ∈ Q. Todos los productos de ra´ son racionales. a ıcesEn cuanto a los pesos, puesto que son combinaciones racionales de ra´ se tiene el mismo resultado. ıcesFinalmente en lo que se refiere a ser definido positivo, ocurre lo siguiente. Sea λ ∈ h∗ , λ = 0. 0 2 λ, λ = α, λ (6.92) α∈∆el resultado es cero si y solo si λ, α = 0 para todo α ∈ ∆ (porque son racionales), lo que no puedeocurrir al ser la forma no degenerada y generar ∆ todo h∗ . Por tanto la forma es definida positiva 0y tenemos un producto escalar. El siguiente concepto es el de ra´ simple. Para definirlo daremos primero una relaci´n de orden ız oen el ret´ ıculo de pesos (Λ). Sea {h1 , . . . , hn } una base de h0 (y por supuesto de h). Dados dos pesosλ1 , λ2 , se dice que λ1 > λ2 si existe k con 0 ≤ k ≤ l − 1, tal que λ(h1 ) = λ2 (h1 ), . . . , λ1 (hk ) = λ2 (hk ), λ1 (hk+1 ) > λ2 (hk+1 ) (6.93)Si λ > 0 se dice que es un peso positivo. La relaci´n de orden es lineal en el ret´ o ıculo (sobre Q). Este orden permite separar ∆ en dos conjuntos, las ra´ ıces positivaa y las negativas: ∆ = ∆+ ∪ ∆− , ∆+ ∩ ∆− = ∅ (6.94)Definici´n 6.3 Sea α ∈ ∆+ . Se dice que α es una ra´ simple si no puede escribirse como la suma o ızde dos ra´ ıces positivas.
  • 63. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 63 Como hemos dicho antes, los sistemas de ra´ ıces se interpretar´n como ciertos conjuntos de avectores en un espacio euclidiano. Un sistema ortogonal en h∗ lo es en el sentido usual respecto al 0producto interior , . Un sistema ortogonal es linealmente independiente y si es maximal es unabase de h∗ . Como necesitaremos utilizar ra´ cuadradas, hay que pasar de Q a R. El espacio h∗ 0 ıces Res la extensi´n de h∗ cuando se extiende Q a R. Se extiende tambi´n el producto escalar (n´tese o 0 e oque en h∗ el producto interior definido anteriormente es definido positivo), con lo que h∗ es un 0 0subconjunto de h∗ que es un espacio euclidiano. RProposici´n 6.22 Sean α, β ra´ o ıces simples distintas. Entonces 1. α−β ∈∆ / (6.95) 2. π α, β ≤ 0 ⇒ αβ ≥ (6.96) 2Veamos que α − β no puede ser una ra´ positiva. Si lo fuera, digamos γ, entonces α − β = γ y ızα = β + γ no ser´ simple. Por razones similares no puede ser una ra´ negativa. Para demostrar ıa ızla segunda parte, consideremos la α-serie que pasa por β. Puesto que α − β no es ra´ entonces ız,q = 0. Como 2 α, β = q − p = −p < 0 (6.97) β, βy se sigue el resultado pues α, α > 0.Proposici´n 6.23 Sea {α1 , . . . , αl } el conjunto de ra´ o ıces simples correspondientes a un ciertoorden fijado. Entonces: 1. {α1 , . . . , αl } es una base de h∗ (sobre Q). 0 2. β ∈ ∆+ , β = c1 α1 + · · · + cl αl , ci ∈ Z+ ∪ {0}.Demostraremos en primer lugar que son linealmente independientes. Supongamos que una deellas se puede escribir como combinaci´n lineal de las dem´s, por ejemplo α1 . Separamos esta o acombinaci´n lineal en dos partes, la que lleva coeficientes positivos y la que los lleva negativo, con olo que α1 = β − γ (6.98)donde β y γ son combinaciones lineales de ra´ ıces simples con coeficientes positivos. Cada ra´ ızsimple aparece en β o en γ o en ninguna de las dos (pero no en ambas). Por tanto, como todos losproductos de ra´ ıces simples distintas son negativos o cero, se tiene β, γ ≤ 0 (6.99)con que α1 , β = β − γ, β = β, β − γ, β > 0 (6.100)pero α1 , β ≤ 0 lo que es contradictorio con lo anterior. Las ra´ıces simples son linealmente inde-pendientes. Supongamos ahora que existe una ra´ positiva (no simple) β tal que toda ra´ positiva menor ız ızque ella se puede poner como combinaci´n lineal con coeficientes no negativos de las ra´ simples. o ıcesComo β no es simple, existen dos ra´ positivas cuya suma es β. Cada una de ellas es menor que ıcesβ luego se pueden poner como suma de ra´ simples con coeficientes no negativos, y por lo tanto ıcesβ, que es su suma, tambi´n. Si β es negativa se reduce a este caso tomando −β que es positiva. e Es decir, las ra´ positivas se obtienen como combinaciones de las ra´ simples (que forman ıces ıcesuna base) con coeficientes enteros positivos (o cero). Los sistemas fundamentales (que coincidencon las ra´ıces simples) se definen entonces de la forma siguiente.
  • 64. 64 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oDefinici´n 6.4 Sea Π ⊂ ∆. Se dice que Π es un sistema fundamental de ra´ o ıces si 1. Π = {α1 , . . . , αl } es una base de h∗ . 0 2. Si β ∈ ∆, entonces β = c1 α1 + · · · + cl αl con ci ≥ 0 para todo i = 1, . . . , l o bien ci ≤ 0 para todo i = 1, . . . , l.Es evidente que todo sistema de ra´ ıces simples es un sistema fundamental de ra´ıces. Lo contrarioes tambi´n cierto. Todo sistema fundamental es un sistema de ra´ simples para un cierto orden e ıces(una elemento de h∗ es positivo si escrito en la base del sistema fundamental elegido, el primer 0coeficiente no cero es positivo). Un elemento b´sico en el estudio de las ´lgebras semisimples es la matriz de Cartan, que re´ne a a utoda la informaci´n necesaria para definir el ´lgebra. Definimos lo que es un Π-sistema en un o aespacio euclidiano, que ser´ equivalente en h∗ a un sistema fundamental (y a un sistema de ra´ a 0 ıcessimples).Definici´n 6.5 Sea Rl con el producto escalar usual. El conjunto de vectores de Rl , {α1 , . . . , αl } oes un Π-sistema si 1. {α1 , . . . , αl } son l.i. 2 αi ,αj 2. cij = αj ,αj ∈ Z, cij ≤ 0, i = j La matriz cij se llama la matriz de Cartan del sistema.Un sistema de ra´ simples (o un sistema fundamental de ra´ ıces ıces) de un ´lgebra semisimple es un aΠ-sistema (en h∗ ) y por lo tanto se le puede asociar una matriz de Cartan. R A partir de la matriz de Cartan uno puede construir el sistema completo de ra´ ıces. Adem´s se atiene:Proposici´n 6.24 Sea {α1 , . . . , αl } un sistema fundamental de ra´ o ıces de un ´lgebra semisimple ag. Entonces eα1 , . . . , eαl , e−α1 , . . . , e−αl generan (como ´lgebra) g. a Para poder clasificar los Π-sistemas es necesario introducir el concepto de sistemas no descom-poniblesDefinici´n 6.6 Se dice que un Π-sistema es indescomponible si no se puede escribir como la uni´n o ode dos conjuntos no vac´ Π1 y Π2 , tales que si α1 ∈ Π1 y α2 ∈ Π2 entonces α1 , α2 = 0. ıos,Los sistemas indescomponibles est´n asociados a ´lgebras simples. a aProposici´n 6.25 Sea Π un sistema fundamental de ra´ o ıces de un ´lgebra g. a Π indescomponible ⇔ g simple (6.101)6.6. Clasificaci´n de Π-sistemas o En este momento uno puede olvidarse de las ´lgebras semisimples y estudiar sistemas de vectores a(con ciertas propiedades) en un espacio euclidiano. Cuando hablemos ahora de ra´ ıces hay queentenderlas como vectores de Rl .Definici´n 6.7 Sea ∆ ⊂ Rl con el producto escalar usual. Se dice que ∆ es un sistema de ra´ o ıces(∆ es un sistema de generadores de Rl ) si 1. ∀α ∈ ∆, α = 0 ⇒ Rα ∩ ∆ = {±α} (6.102)
  • 65. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 65 2. 2 β, α ∈ Z, α, β ∈ ∆ (6.103) α, α 2 β, α β − kα ∈ ∆, 0≤k≤ (6.104) α, αLos sistemas que estamos estudiando son sistemas de ra´ ıces seg´n esta definici´n. Veamos cuales u oson sus propiedades m´s importantes. a Diremos que dos Π-sistemas son equivalentes si sus matrices de Cartan coinciden. Sea Π ={α1 , . . . , αl } un Π-sistema. Entonces 4 αi , αj cij cji = = 4 cos2 αi αj (6.105) αi , αi αj , αjComo cij es un entero y el coseno est´ acotado, solo tenemos cuatro posibilidades (si i = j, cij = 2). a cij cji = 0, 1, 2, 3 (6.106) π 1. cij cji = 0. Entonces αi , αj = 0 y las ra´ ıces forman un ´ngulo de a 2, siendo cij = cji = 0. 2. cij cji = 1. La unica posibilidad es cij = cji = −1. Las dos ra´ ´ ıces tienen la misma longitud ( αi , αi = αj , αj ) y el ´ngulo que forman es π . a 3 3. cij cji = 2. La unica posibilidad es cij = −2, cji = −1. Las ra´ ´ ıces tienen distinta longitud ( αi , αi = 2 αj , αj ) y el ´ngulo que forman es 3π . a 4 4. cij cji = 3. De nuevo solo hay una unica posibilidad: cij = −3, cji = −1. Las ra´ ´ ıces tienen distinta longitud ( αi , αi = 3 αj , αj ) y el ´ngulo que forman es 5π . a 6 Los diagramas de Dynkin-Coxeter son una forma de codificar la informaci´n contenida en ola matriz de Cartan. Dado un Π-sistema consideramos un grafo que tiene tantos v´rtices como eelementos tiene el Π-sistema y que est´n unidos por tantas l´ a ıneas como el valor del n´mero cij cji . uAdem´s una flecha se dirige al v´rtice que tiene la ra´ de mayor longitud, en el caso en que sean a e ızde distinta longitud. Por tanto Caso 0 e e Caso 1 e e αi αj αi αj Caso 2 ed e Caso 3 ed e αi αj αi αj     Dos v´rtices del diagrama α, β est´n conectados si α, β = 0. Se dice que un subdiagrama D1 e ade un diagrama D es conexo si dados α, β ∈ D1 existen elementos en D1 , α = γ0 , γ1 , . . . , γs = βtales que cada dos elementos consecutivos est´n conectados. Un diagrama es conexo si y solo si aΠ es indescomponible. Dos diagramas son equivalentes si y solo si los Π-sistemas correspondientesson equivalentes. Veamos las propiedades de los diagramas de Dynkin y como se pueden usar para clasificar losΠ-sistemas y como consecuencia las ´lgebras de Lie simples. aProposici´n 6.26 Sea Π = {α1 , . . . , αl } un Π-sistema. El n´mero de pares de v´rtices conectados o u eentre s´ es menor o igual que l − 1. ıProposici´n 6.27 Sea Π = {α1 , . . . , αl } un Π-sistema y D(Π) su diagrama de Dynkin correspon- odiente. Entonces
  • 66. 66 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Α1 Figura 6.1: Ra´ ıces de A1 1. D(Π) no tiene ciclos, es decir, no existen αi1 , . . . αik ∈ Π tales que αi1 , αi2 = 0, αi2 , αi3 = 0, ..., αik , αi1 = 0 (6.107) 2. Si D1 ⊂ D(Π), con D1 conexo, si α ∈ D(Π), α ∈ D1 , entonces existe como m´ximo un / a elemento β ∈ D1 tal que α y β est´n conectados. a 3. Como m´ximo, en cada v´rtice hay tres segmentos. a e 4. Si Π es indescomponible y l ≥ 3, D(Π) no tiene ning´n subconjunto de la clase 3. u Una cadena homog´nea conecta v´rtices para los que cij = cji , es decir ra´ e e ıces de la mismalongitud. Se tiene el siguiente resultado:Proposici´n 6.28 Sea Π = {α1 , . . . , αk , β1 , . . . , βj } un Π-sistema y C = {α1 , . . . , αk } una cadena ohomog´nea. Entonces Π/C = {α, β1 , . . . , βj } con α = α1 , . . . , αk es tambi´n un Π-sistema y su e ediagrama de Dynkin se obtiene del de Π: entre elementos βr , βs como en Π. Entre α y un elementoβr como entre βr y el unico αt con el que βr puede estar conectado. ´ Como consecuencia de estas propiedades es ahora posible construir los unicos diagramas posibles ´que aparecen en la Tabla I. Hay cuatro series, Al , Bl , Cl y Dl , las series cl´sicas, y cinco ´lgebras a aexcepcionales, G2 , F4 , E6 , E7 y E8 . Los diagramas de Dynkin homog´neos corresponden a Al , eDl , E6 , E7 , y E8 . Los otros tienen ra´ ıces de dos longitudes distintas. El unico diagrama con tres ´segmentos que unen dos v´rtices es G2 . La serie Al comienza en l = 1, la Bl en l = 2, la Cl en el = 3 y la Dl en l = 4 (como es f´cil de ver, los casos suprimidos o bien son isomorfos a otros o no ason simples). Veamos como son los Π-sistemas correspondientes. 1. Al . En Rl+1 , si { 1 , . . . , l+1 } es una base ortonormal, las ra´ ıces simples son: {α1 = 1 − 2 , . . . , αl = l − l+1 } (6.108) Los productos escalares de las ra´ ıces simples son: αi , αi = 2, αi , αi+1 = −1, αi , αj = 0, j = i − 1, i, i + 1 (6.109) Α2 Α1 Figura 6.2: Ra´ ıces de A2
  • 67. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 67 El conjunto de todas las ra´ ıces (tienen todas la misma longitud y hay l(l + 1)) es i − j, i, j = 1, . . . , l, i = j (6.110) Las ra´ ıces positivas son: i − j, i≤j (6.111) y su suma es, j−1 i− j = αk (6.112) k=i l k l+1 l ( i− j) = αk = αk 1 = k(l + 1 − k)αk (6.113) i<j i≤k<j k=1 i=1 j=k+1 k=1 Por ejemplo, para l = 1 solo hay una ra´ simple, y el conjunto de todas las ra´ aparece en ız ıces la figura 6.1. La matriz de Cartan es simplemente 2. Para l = 2, tenemos dos ra´ ıces simples que forman un ´ngulo de 5π/6 y aparecen en la figura 6.2. La matriz de Cartan es a 2 −1 (6.114) −1 2 En general, para rango l, la matriz de Cartan es:   2 −1  −1 2 −1    Al =   ..  (6.115)  .    −1 2 −1  −1 2 El determinante de la matriz de Cartan se puede calcular f´cilmente y resulta ser: a det Al = 2 det Al−1 − det Al−2 (6.116) Como det A1 = 2 y det A2 = 3, se tiene: det Al = l + 1 (6.117) 2. Bl , Cl , Dl . En Rl , sea { 1 , . . . , l } una base ortonormal. Las ra´ ıces simples son: α1 = 1 − 2 , . . . , αl−1 = l−1 − l (6.118) La ultima ra´ depende del ´lgebra ´ ız a a) Bl : αl = l b) Cl : αl = 2 l c) Dl : αl = l−1 + l ıces (2l2 ) son En el caso Bl , todas las ra´ ± i± j, i = j, ± i (6.119) las ra´ ıces positivas son i − j, i < j, i (6.120)
  • 68. 68 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Cuando l = 2, el digarama de ra´ aparece en la figura 6.3. La matriz de Cartan por ejemplo ıces para B2 es: 2 −2 (6.121) −1 2 La ra´ α1 es larga y α2 es corta. Esto es inmediato de la matriz de Cartan, pues de ız 2 α1 , α2 2 α2 , α1 c12 = −2 = , c21 = −1 = (6.122) α2 , α2 α1 , α1 se deduce: α1 , α1 = 2 α2 , α2 (6.123) Para cualquier l, todas las ra´ √ ıces simples son largas salvo αl que es corta. La raz´n de sus o longitudes es 2. Para cualquier l la matriz de Cartan es:   2 −1  −1 2 −1     ..  Bl =   .   (6.124)   −1 2 −1    −1 2 −2  −1 2 Su determinante es: det Bl = 2 det Bl−1 − det Bl−2 (6.125) Como det B1 = 2 y det B2 = 2, se tiene: det Bl = 2 (6.126) ıces son (2l2 ) Para Cl , las ra´ ± i± j, i = j, ±2 i (6.127) y el diagrama de ra´ ıces de C2 (que es el de B2 girado) aparece en la figura 6.4. La matriz de Cartan por ejemplo para C2 es: 2 −1 (6.128) −2 2 La ra´ α1 es corta y α2 es larga. Para cualquier l, todas√ ra´ simples son cortas menos ız las ıces αl que es larga. La raz´n de sus longitudes vuelve a ser 2. o La matriz de Cartan es:   2 −1  −1 2 −1     ..  Cl =   .   (6.129)   −1 2 −1    −1 2 −1  −2 2 que es la transpuesta de la matriz de Cartan de Bl . Para Dl se tiene (2l(l − 1)) ± i± j, i=j (6.130)
  • 69. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 69 Α2 Α1 Figura 6.3: Ra´ ıces de B2 Α2 Α1 Figura 6.4: Ra´ ıces de C2 La matriz de Cartan es:   2 −1  −1 2 −1     ..   .  Dl =  (6.131)    −1 2 −1     −1 2 −1 −1    −1 2  −1 2 Su determinante es 2. 3. G2 . En R3 las ra´ simples son α1 = 1 − √, α2 = 2 + 3 − 2 1 . La primera ra´ es larga y ıces 2 ız la segunda corta (la raz´n de longitudes es 3) formando un ´ngulo de 5π/6. o a El sistema tiene 12 ra´ ıces: ±( i − j ), i<j ± (2 i − j − k ), i=j=k=i (6.132)
  • 70. 70 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o y su diagrama aparece en la figura 6.5. La matriz de Cartan es 2 −3 G2 = (6.133) −1 2 u ıces es 48. En R4 las ra´ 4. F4 . El n´mero de ra´ ıces simples son: 1 2 − 3, 3 − 4, 4, ( 1 − 2 − 3 − 4) (6.134) 2 (dos largas y dos cortas) y su matriz de Cartan es   2 −1 0 0  −1 2 −2 0  F4 =  0 −1  (6.135) 2 −1  0 0 −1 2 ıces, que se pueden representar en R8 . Todas tienen la misma longitud. Su 5. E6 . Tiene 72 ra´ matriz de Cartan es:   2 −1 0 0 0 0  −1 2 −1 0 0 0     0 −1 2 −1 0 −1  E6 =    (6.136)  0 0 −1 2 −1 0   0 0 0 −1 2 0  0 0 −1 0 0 2 ıces, tambi´n realizables en R8 y de la misma longitud. Su matriz de Cartan 6. E7 . Tiene 126 ra´ e es   2 −1 0 0 0 0 0  −1 2 −1 0 0 0 0     0 −1 2 −1 0 0 −1    E7 =  0  0 −1 2 −1 0 0   (6.137)  0  0 0 −1 2 −1 0    0 0 0 0 −1 2 0  0 0 −1 0 0 0 2 7. E8 . Las 240 ra´ de E8 se pueden escribir en ıces R8 y son de la misma longitud. Su matriz de Cartan es   2 −1 0 0 0 0 0 0  −1 2 −1 0 0 0 0 0     0 −1 2 −1 0 0 0 0     0 0 −1 2 −1 0 0 0  E8 =   (6.138)  0  0 0 −1 2 −1 0 −1    0  0 0 0 −1 2 −1 0    0 0 0 0 0 −1 2 0  0 0 0 0 −1 0 0 26.7. Clasificaci´n de ´lgebras de Lie simples o a Una vez analizados los posibles diagramas de ra´ıces, la clasificaci´n de ´lgebras de Lie simples es o amuy sencilla. Basta probar que dos ´lgebras de Lie son isomorfas si sus correspondientes Π-sistemas ason equivalentes. Para ello conviene fijarse primeramente en el siguiente resultado.
  • 71. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 71 Α2 Α1 Figura 6.5: Ra´ ıces de G2Proposici´n 6.29 Sea Π un Π-sistema de un sistema de ra´ o ıces ∆. Si β ∈ ∆+ pero β ∈ Π, /entonces existe α ∈ Π y γ ∈ ∆ tal que β = γ + α. La α-serie que contiene a β est´ en ∆+ . + aAhora extenderemos las equivalencias entre Π-sistemas a isomorfismos entre los duales (sobre Q)de las sub´lgebras de Cartan. aProposici´n 6.30 Sea g semisimple, h una sub´lgebra de Cartan de g, ∆ el correspondiente sis- o atema de ra´ ˜ ˜ ˜ ˜ ıces, ∆ ⊂ h∗ , Π ⊂ ∆ un sistema fundamental. Sean g, h, ∆ y Π los elementos corres- 0 ˜ ˜ son equivalentes, existe un isomorfismo linealpondientes de otra ´lgebra semisimple g. Si Π y Π a ˜ϕ : h∗ → h∗ tal que 0 0 ˜ ϕ(∆) = ∆, ϕ(λ), ϕ(µ) = λ, µ , λ, µ ∈ h∗ 0 (6.139) Una vez construido el isomorfismo entre los duales de las sub´lgebras de Cartan correspondien- ates se estudian las constantes Nα,β .Proposici´n 6.31 Se verifican las siguientes relaciones: o 1. Si α, β, γ ∈ h∗ y son distintas de cero, entonces, si α + β + γ = 0, se tiene que 0 Nα,β = Nβ,γ = Nγ,α (6.140) 2. Si α, β, γ, δ ∈ ∆ con α + β + γ + δ = 0, siendo α + β = 0, α + γ = 0, α + δ = 0 se tiene: Nα,β Nγ,δ + Nβ,γ Nα,δ + Nγ,α Nβ,δ = 0 (6.141) 3. Sean α, β ∈ ∆ con α + β ∈ ∆. Si β + iα es la α-serie de ra´ ıces que contiene a β, se tiene (−j ≤ i ≤ k): 1 Mα,β = Nα,β N−α,− β = (j + 1)k α, α (6.142) 2 4. Es posible escoger eα en cada g(α) tales que a) B(eα , e−α ) = 1 b) Nα,β = N−α,−β , α, β ∈ ∆ Con todos estos resultados se demuestran las siguientes proposiciones:
  • 72. 72 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oProposici´n 6.32 Sea g semisimple y Π un sistema fundamental de ra´ o ıces. Si g es semisimple y ˜˜Π es un sistema fundamental de ra´ ˜ ˜ ıces de g que es equivalente a Π, entonces g y g son isomorfas.Proposici´n 6.33 Sea g semisimple, h una sub´lgebra de Cartan, ∆ ⊂ h∗ un sistema de ra´ o a 0 ıces.Sea ϕ una transformaci´n lineal con ϕ(∆) ⊂ ∆. Si se define θ ∈ gl(h) tal que o ϕ(λ)(θ(h)) = λ(h), ∀h ∈ h, λ ∈ h∗ 0 (6.143)entonces θ se puede extender a un automorfismo de g.6.8. ´ Algebras de Lie simples cl´sicas a Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado (en estas notas C). Las ´lgebras de Lie cl´sicas que a acorresponden a las cuatro series A, B, C y D se describen como ´lgebras de matrices de la forma aque sigue a continuaci´n. o6.8.1. sl(l + 1, K), l ≥ 1 Se trata del espacio vectorial de las matrices (l +1)×(l +1) de traza nula. Estas matrices act´an ude forma irreducible en Rl+1 (es decir, no dejan ning´n subespacio no trivial invariante). Con la uestructura de ´lgebra de Lie dada por el conmutador de matrices, se tiene que una sub´lgebra de a aCartan se puede elegir como: l+1 h= ci Eii : c1 + · · · + cl+1 = 0 (6.144) i=1(Eij es la base usual del espacio de matrices y i la usual de Rl+1 ) es decir, el subespacio dematrices diagonales de traza nula. Si definimos los siguientes elementos en el dual h∗ : εi (Ejj ) = δij (6.145)tenemos que adEii Ejk = (δij − δik )Ejk (6.146)y por lo tanto un sistema de ra´ ıces es: ∆ = {εi − εj : i = j} (6.147)Un sistema fundamental es: Π = {αi = εi − εi+1 : i = 1, . . . , l} (6.148) La forma de Killing es: K(x, y) = 2(l + 1) tr(xy) (6.149)y por lo tanto, los elementos del ´lgebra correspondientes a las ra´ del sistema fundamental son: a ıces 1 hαi = (Eii − Ei+1,i+1 ) (6.150) 2(l + 1)y se tiene:  1  l+1 ,  i=j 1 αi , αj = K(hαi , hαj ) = 2(l + 1) tr(hαi hαj ) = − 2(l+1) , |i − j| = 1 (6.151)  0, |i − j| ≥ 2 
  • 73. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 73que nos proporciona el digrama de Dynkin de Al . Las otras series se pueden obtener como sub´lgebras de sl(l + 1, K). Para verlo, consideremos auna representaci´n del ´lgebra gl(n, K) en el espacio de endomorfismos de este espacio vectorial, o aes decir, el espacio de operadores lineales gl(gl(n, K)): f : gl(nK) → gl(gl(n, K)) (6.152) x → f (x)definido por f (x)y = −xt y − yx, y ∈ gl(n, K) (6.153)Sea k ∈ gl(n, K) y definamos L(k) = {x ∈ gl(n, K) : f (x)k = 0} = {x ∈ gl(n, K) : xt k + kx = 0} (6.154)El endomorfismo k se puede asociar a una forma bilineal en el espacio de matrices k(u, v) = ut kv (6.155)y por tanto: L(k) = {x ∈ gl(n, K) : k(xu, v) + k(u, xv) = 0} (6.156) El conjunto L(k) es una sub´lgebra de gl(n, K). En particular si k = In , se tiene el ´lgebra a aortogonal o(n, K). Si 0 In k=J = (6.157) −In 0se tiene el ´lgebra simpl´ctica sp(2n, K) ⊂ gl(2n, K). a e Si k define una forma bilineal sim´trica o antisim´trica no degenerada, entonces (si n ≥ 3) L(k) e eact´a de forma irreducible en Kn . En los casos o(n, K) y sp(2n, K) se da esa circunstancia y, seg´n u uun teorema de Cartan, es semisimple o suma directa de un ideal semisimple y el centro. Como losm´ltiplos de la identidad (que est´n en el centro) no forman parte del ´lgebra, son semisimples. u a a6.8.2. o(2l + 1, K) La dimensi´n de este ´lgebra es l(2l + 1). Utilizando como matriz k: o a   1 0 0 k = 0 0 Il  (6.158) 0 Il 0Entonces, o(2l + 1, K) = L(I2l+1 ) = S −1 L(k)S, donde   1 0 0 1 i S = 0 √2 Il √ Il  (6.159)  2  1 i 0 √2 Il − √2 IlLos elementos de L(k) (que verifican xt k + kx = 0) son at bt   0 x =  −b A B  , B = −B t , C = −C t (6.160) −a C −At La sub´lgebra de Cartan se puede tomar como: a    0  h=  A  , A diagonal (6.161) −At  
  • 74. 74 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oy los vectores ra´ ıces son: t t    0 0 i 0 i 0 Eεi= − i 0 0  , E−εi =  0 0 0 (6.162) 0 0 0 − i 0 0     0 0 0 0 0 0 Eεi +εj = 0 0 Eij − Eji  , E−εi −εj = 0 0 0 (6.163) 0 0 0 0 Eij − Eji 0   0 0 0 Eεi −εj = 0 Eij 0  (6.164) t 0 0 −Eij De esta forma adεi E±εj = ±δij E±εi , adεi E±εj ±εk = (±δij ± δik )E±εj ±εk (6.165)Un sistema de ra´ ıces es ∆ = {±εi , εi ± εj } (6.166)Un sistema fundamental es: Π = {α1 = ε1 − ε2 , α2 = ε2 − ε3 , . . . , αl−1 = εl−1 − εl , αl = εl } (6.167)y la forma de Killing K(x, y) = (2l − 1) tr(xy) (6.168)nos lleva a definir 1 1 hαi = ( i− i+1 ), i < l, hαl = l (6.169) 2(2l − 1) 2l(2l − 1)con lo que tenemos un ´lgebra de tipo Bl . Adem´s: a a 1 1 − 2(2l−1) |i − j| = 1 2l−1 i<l αi , αj = , αi , αi = 1 (6.170) 0 |i − j| ≥ 2 2(2l−1) i=l6.8.3. sp(2l, K) El ´lgebra simpl´ctica es el siguiente conjunto a e sp(2l, K) = {x ∈ gl(2l, K) : xt Jl + Jl x = 0} A B = : A, B, C ∈ gl(2l, K), B = B t , C = C t (6.171) C −AtSe trata de una ´lgebra semisimple de dimensi´n l(2l + 1). Una sub´lgebra de Cartan es a o a A 0 h= : A diagonal (6.172) 0 −AtLos vectores ra´ ıces son 0 0 0 Eij + Eji Eij 0 Eεi +εj = , E−εi −εj = , Eεi −εj = (6.173) Eij + Eji 0 0 0 0 −EijComo se tiene: adεi E±εj ±εk = (±δij ± δik )E±εi ±εj (6.174)
  • 75. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 75un sistema fundamental es: Π = {α1 = ε1 − ε2 , . . . , αl−1 = εl−1 − εl , αl = 2εl } (6.175)La forma de Killing es: K(x, y) = (2l + 2) tr(xy) (6.176)y los elementos de la sub´lgebra de Cartan son: a 1 2 hαi = (εi − εi+1 ), hαl = εl (6.177) 4(l + 1) 4(l + 1)con productos:  1 − 4(l+1) |i − j| = 1, i, j < l 1  2(l+1 i<l αi , αj = 0 |i − j| ≥ 2 , αi , αi = 1 (6.178)  1 l+1 i=l − 2(l+1) i = l − 1, j = l El ´lgebra simpl´ctica es un ´lgebra de Lie semisimple con un sistema fundamental de tipo Cl . a e a6.8.4. o(2l, K) La forma bilineal se puede escoger como: 0 Il k= (6.179) Il 0siendo la matriz que la diagonaliza: 1 √ Il 1 √ Il S= 2 2 (6.180) i √ Il i √ Il 2 2El ´lgebra correspondiente es a A B L(k) = : B + Bt = C + C t = 0 (6.181) C −Atsiendo la sub´lgebra de Cartan a A 0 h= : A diagonal (6.182) 0 −AtLa forma de Killing es: K(x, y) = (2l − 2) tr(xy) (6.183)lo que nos lleva a los siguientes elementos de la sub´lgbra de Cartan: a 1 1 hαi = (εi − εi+1 ), hαl = (εl−1 + εl ) (6.184) 2(2l − 2) 2(2l − 2)Finalmente los productos escalares son:  0  |i − j| ≥ 2, i = l, j = l  − 1   2(2l−1) i = l − 2, j = l  1 αi , αj = − 2(2l−2) |i − j| = 1, i = l, j = l (6.185)  0 i = l − 2, i = l, j = l     1 i=j  2l−2Para l ≥ 3, el ´lgebra o(2l, K) es simple y tiene un sistema fundamental de tipo Dl . a Adem´s de estas ´lgebras existen 5 ´lgebras excepcionales, de rango 2 (G2 ), 4 (F4 ), 6 (E6 ), a a a7 (E7 ) y 8 (E8 ). Las dimensiones de estas ´lgebra son 14, 52, 78, 133 y 248 respectivamente. Su aconstrucci´n no es tan sencilla como las de las ´lgebras cl´sicas y no la discutiremos aqu´ [13]. o a a ı
  • 76. 76 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o
  • 77. Cap´ ıtulo 7Automorfismos de ´lgebras de Lie asemisimples En este cap´ıtulo estudiaremos los automorfismos de las ´lgebras semisimples complejas y su arelaci´n con las simetr´ de los diagramas de Dynkin correspondientes. o ıas7.1. Reflexiones en el sistema de ra´ ıces Sea g un ´lgebra de Lie semisimple compleja de rango l, h una sub´lgebra de Cartan y ∆ el a asistema de ra´ asociado a h. Sea E el espacio real generado por ∆ (al que llamamos en el cap´ ıces ıtuloanterior h∗ ). Dado λ ∈ E, λ = 0, se define la reflexi´n asociada a λ, sλ : E → E por R o 2 ξ, λ sλ (ξ) = ξ − λ, ξ∈E (7.1) λ, λque es otro elemento de E. Se trata de una reflexi´n respecto al hiperplano perpendicular a λ. Pero oadem´s, las reflexiones respecto a las ra´ a ıces dejan invariante ∆, el sistema de ra´ ıces: sα (β) ∈ ∆, α, β ∈ ∆ (7.2)pues si α, β ∈ ∆, se tiene 2 β, α sα (β) = β − α (7.3) α, αy sabemos que el segundo miembro de esta igualdad es una ra´ ız. Llamaremos base de Weyl a la siguiente base de un ´lgebra de Lie semisimple g, con sub´lgebra a ade Cartan h y sistema de ra´ ıces ∆: g=h+ Ceα (7.4) α∈∆ [h, h] = 0, [h, eα ] = α(h)eα , [eα , e−α ] = hα (7.5) [eα , eβ ] = Nα,β eα+β , α + β ∈ ∆, 0 = Nα,β = N−α,−β (7.6)7.2. El grupo de Weyl Sea ahora E un espacio euclidiano de dimensi´n l y , el producto escalar en E. Sea ∆ un osistema de ra´ ıces en E. Podemos construir el grupo ortogonal en E, O(E), que deja invariante elproducto escalar. Llamaremos grupo de Weyl, Ad(∆), del sistema ∆ al grupo generado por lasreflexiones {sα }α∈∆ . 77
  • 78. 78 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o El grupo de Weyl no act´a de forma transitiva en el sistema de ra´ u ıces ∆, ya que al ser or-togonal conserva la longitud de las ra´ ıces. Adem´s, dadas dos ra´ a ıces simples, no existe ningunatransformaci´n del grupo de Weyl que las relacione. En efecto, sean α, β ∈ ∆, α una ra´ simple. o ızEntonces 2 α, β α = sβ (α) = α − β (7.7) β, βlo que implica 2 α, β 1 α, α = α, α − α, β = ( α, α β, β − 2 α, β 2 ) (7.8) β, β β, βPor la desigualdad de Schwarz: 2 α, β ≤ α, α β, β (7.9) Pero si α ra´ simple, en esa cadena no hay ninguna otra ra´ simple en particular,. si α, β son ız ızra´ ıces simples, α, β < 0, luego no existe ninguna r´ de ese tipo, en particular ız 2 β, α β− α (7.10) α, α,no es una ra´ y α, β no est´n relacionados por una transformaci´n de Weyl. ız a o El grupo de Weyl deja invariante ∆ como hemos visto, pero puede haber otras transformacionesque dejen invariante ∆ y que no est´n en el grupo de Weyl. Sea Aut(∆ el grupo de automorfismos e(ortogonales) del sistema de ra´ ıces ∆: Aut(∆) = {T ∈ O(E) : T (∆) = ∆} (7.11)Obviamente Aut(∆) ⊃ Ad(∆) (7.12)Adem´s el grupo de automorfismos es finito (pues es un subgrupo del grupo de permutaciones de a∆ que es finito). Y el grupo de Weyl es un subgrupo normal del grupo de automorfismos, pues esf´cil probar: a T sα T −1 = sT α , T ∈ Aut(∆), sα ∈ Ad(∆) (7.13)En efecto, sea ξ ∈ E. Entonces 2 T −1 ξ, α 2 ξ, T α T sα T −1 (ξ) = T T −1 ξ − α =ξ− T α = sT α ξ (7.14) α, α T α, T αEl grupo de Weyl permite separar el espacio E en componentes conexas. Sea E =E− Pα (7.15) α∈∆es decir, E menos los hiperplanos perpendiculares a las ra´ ıces. Cada componente conexa de E sellama una celda de Weyl. Los automorfismos de ∆ transforman unas celdas en otras, es decir:Proposici´n 7.1 o 1. Si C es una celda de Weyl, T ∈ Aut(∆), entonces T C es otra celda de Weyl. 2. Si Π = {α1 , . . . , αl } es un sistema fundamental de ∆, entonces: W (Π) = {ξ ∈ E : αi , ξ > 0, i = 1, . . . , l} (7.16) es una celda de Weyl (celda fundamental).
  • 79. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 79Las transformaciones ortogonales transforman hiperplanos en hiperplanos y por lo tanto una com-ponente conexa en otra (o en ella misma). En cuanto a la segunda parte, el hiperplano perpendiculara la ra´ αi divide al espacio E en dos regiones. Los vectores situados en una de ellas (en l que ızest´ αi ) verifican ξ, αi > 0. La intersecci´n de estas regiones (para cada ra´ simple) es una celda a o ızde Weyl, pues su intersecci´n con un hiperplano perpendicular a una ra´ simple o no, es vac´ Si o ız, ıa.no fuera as´ existe β ∈ ∆ tal que en su hiperplano ortogonal hay un vector χ que verifica: ı, χ, αi > 0, β, χ = 0 (7.17)lo que no es posible. β es una combinaci´n de ra´ o ıces simples, con todos los coeficientes del mismosigno (o cero), por ejemplo: l β= ci αi , ci ≥ 0 (7.18) i=1Entonces l β, χ = ci αi , χ > 0 (7.19) i=1 Un sistema de ra´ ıces simples de ∆ permite determinar el grupo de Weyl de ∆.Proposici´n 7.2 Sea Π0 = {α1 , . . . , αl } un sistema fundamental de ∆ y llamemos sj = sαj . Sea ola celda fundamental del sistema ∆, W0 = W (Π0 ). Se tiene 1. {si }i=1,...,l es un sistema de generadores del grupo de Weyl, Ad(∆). 2. Si W es una celda de Weyl, existe s ∈ Ad(∆) tal que sW0 = W 3. Para todo s ∈ Ad(∆), sΠ0 es un sistema fundamental y todos los sistemas fundamentales se obtienen de Π0 de esta forma. 4. Cualquier ra´ de ∆ se obtiene de las ra´ ız ıces simples mediante una sucesi´n de reflexiones si . oSi β ∈ ∆, se tiene l β= ci αi (7.20) i=1 l 2 ξ, β 2 ξ, αi sβ ξ = ξ − β=ξ− ci cj αj (7.21) β, β i,j=1 β, βSea W una celda de Weyl. Veamos que existe s que transforma W en W0 . Sea β ∈ ∆ tal que elhiperplano ortogonal a β limita la celda W Consideremos un sistema fundamental, Π, de un sistema de ra´ ıces, ∆, y sea Aut(Π) el grupode transformaciones ortogonales que lo dejan invariante (los automorfismos de Π).Proposici´n 7.3 El grupo Aut(Π) es un subgrupo de Aut(∆) y se tiene: o Aut(∆) = Ad(∆) Aut(Π) (7.22)es decir, los automorfismos de un sistema de ra´ ıces se corresponden con los automorfismos deun sistema fundamental cualquiera y los elementos del grupo de Weyl que mueven los sistemasfundamentales entre s´ No se trata, sin embargo, de un producto directo, pero s´ semidirecto (los ı. ıelementos del grupo de Weyl no dejan invariantes los sistemas fundamentales), pues la intersecci´n ode ambos grupos es la identidad: Ad(∆) ∩ Aut(Π) = 1 (7.23)
  • 80. 80 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o7.3. Grupo de automorfismos de un ´lgebra de Lie semisim- a ple compleja Vamos ahora a relacionar los automorfismos del ´lgebra de Lie semisimple con los de su sistema ade ra´ ıces. Sea g un ´lgebra de Lie semisimple y h una sub´lgebra de Cartan de g, con un sistema a ade ra´ ıces ∆ y un conjunto de ra´ıces simples Π = {α1 , . . . , αl }. Llamaremos Aut(g) al grupo de losautomorfismos de g, N el subgrupo de Aut(g) que deja invariante a h, N 0 = N ∩ Ad(g), siendoAd(g) el grupo de automorfismos internos de g, es decir el grupo adjunto de g, generado por lasderivaciones internas de g (que en el caso de ser g simple son todas las derivaciones): {exp(δ) : δ ∈ ad(g)}, ad(g) = {adx : x ∈ g} (7.24)El grupo N 0 est´ formado por los automorfismos internos que dejan invariante a h. aProposici´n 7.4 La relaci´n entre estos grupos es: o o Aut(g) = Ad(g)N, Aut(g)/ Ad(g) ≈ N/N 0 (7.25)Efectivamente, si σ ∈ Aut(g), σh es una sub´lgebra de Cartan de g, por lo que existe un automor- afismo interno τ ∈ Ad(g) tal que σh = τ h. Entonces τ −1 σh = h ⇒ τ − σ ∈ N ⇒ σ = τ (τ −1 σ)La segunda parte es consecuencia de un resultado general sobre grupos cociente: Aut(g)/ Ad(g) = (Ad(g)N )/ Ad(g) ≈ N/(N ∩ Ad(g)) = N/N 0 (7.26) Para proseguir con el estudio de estos automorfismos es necesario considerar espacios reales.Sea como anteriormente hR = α∈∆ Rhα , E = α∈∆ Rα. Si σ ∈ N , entonces σhR = hR . Paracada σ ∈ N definimos una aplicaci´n f (σ) ∈ GL(E) mediante o (f (σ)ξ)(h) = ξ(σ −1 (h)), h ∈ hR , ξ ∈ E (7.27)f es un homomorfismo sobreyectivo de N en Aut(∆). Se tiene entoncesProposici´n 7.5 o σhλ = hf (σ)λ , λ∈E (7.28) ker f = exp(ad h) (7.29)Si llamamos s = f (σ) ∈ Aut(∆), se tiene que ξ(σ −1 hsλ ) = s(ξ)(hsλ ) = sξ, sλ = ξ, λ = ξ(hλ ⇒ σ −1 hsλ = hλ (7.30)es decir, los automorfismos σ que dejan invariantes la sub´lgebra de Cartan transforman los ele- amentos de ´sta asociando a hλ el elemento hsλ , siendo s = f (σ). e El homomorfismo f no es inyectivo. Los automorfismos que est´n en su n´cleo son la identidad a uen h y adem´s a σ(eα ) = q(α)eα (7.31)siendo q(α) un coeficiente que verifica q(α + β) = q(α)q(β) (7.32)por lo tanto, podemos escoger rj ∈ C tal que q(αj ) = exp(rj ) (7.33)
  • 81. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 81Si se elige h ∈ h tal que αj (h0 ) = rj , de aqu´ se concluye que ı σ = exp(ad h0 ) (7.34)es decir el n´cleo de f es u ker f = exp(ad h) (7.35)El homomorfismo f es sobreyectivo, es decir f (N ) = Aut(∆). Adem´s f (N 0 ) ⊂ Aut(∆). Se puede aprobar tambi´n que el grupo de Weyl est´ contenido en f (N 0 ), es decir las im´genes inversas e a amediante f de los elementos del grupo de Weyl est´n en N 0 que eran los automorfismos internos aque dejaban invariante la sub´lgebra de Cartan elegida. aProposici´n 7.6 Sea T ∈ Aut(∆). Existe τ ∈ N tal que f (τ ) = T y g(τ, 1) ⊂ h. oEl conjunto g(τ, 1) se define en general como: g(σ, c) = {x ∈ g : (σ − cI)n x = 0}, σ ∈ gl(g) (7.36)con n = dim g y si σ ∈ Ad(g) tiene dimensi´n mayor o igual que el rango de g. o Pero es posible demostrar a´n m´s: u aProposici´n 7.7 o f (N 0 ) = Ad(∆), Ad(∆) ∩ Aut(Π) = 1 (7.37)es decir, los elementos del grupo de Weyl se obtienen de automorfismos internos que dejan lasub´lgebra de Cartan invariante, y viceversa, si un automorfismo interno deja la sub´lgebra de a aCartan invariante, entonces da lugar a un elemento del grupo de Weyl. La principal consecuenciade este resultado es la siguiente relaci´n entre estos grupos: o Aut(g)/ Ad(g) ≈ N/N 0 ≈ Aut(∆)/ Ad(∆) ≈ Aut(Π) (7.38) Veamos a continuaci´n como son estos grupos en cada una de las ´lgebras de Lie simples. o a 1. Al En este caso, el grupo de simetr´ del diagrama de Dynkin es Z2 , como se ve directamente del ıas diagrama (solo la identidad y el intercambio de ra´ respecto del punto medio del diagrama ıces lo deja invariante). Por tanto Aut(g)/ Ad(g) ≈ Z2 (7.39) 2. Bl , Cl Los diagramas de Bl y Cl no tienen simetr´ por tanto: ıas, Aut(g) = Ad(g) (7.40) es decir, todos los automorfismos son internos. 3. Dl Si l = 4, como en Al , el grupo de simetr´ del diagrama de Dynkin es Z2 (la identidad y el ıas intercambio de las dos ultimas ra´ ´ ıces simples). Luego Aut(g)/ Ad(g) ≈ Z2 (7.41) Sin embargo, para l = 4 tenemos un grupo de simetr´ del diagrama de Dynkin que es S3 ıas (el grupo de permutaciones en tres elementos).
  • 82. 82 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 4. G2 , F4 , E7 , E8 Los diagramas de estas ´lgebras no tienen simetr´ y por tanto todos los automorfismos son a ıas internos. 5. E6 El diagrama de Dynkin tiene un grupo de simetr´ que es Z2 , y por tanto ıas Aut(g)/ Ad(g) ≈ Z2 (7.42)
  • 83. Cap´ ıtulo 8Teor´ de representaciones ıa La teor´ de representaciones de ´lgebras de Lie es fundamental en el desarrollo de las aplica- ıa aciones. Se trata, como ya hemos visto, de establecer una correspondencia entre los elementos dela´lgebra y operadores que act´an en alg´n conjunto. Aunque no entraremos en muchos detalles, u uintentaremos dar una idea lo suficientemente amplia para que pueda ser aplicada en ´lgebras de aLie bastante generales.8.1. Representaciones en ´lgebras de Lie triangulares a Toda ´lgebra de Lie simple admite una descomposici´n triangular, (la descomposici´n en espa- a o ocios de ra´ ıces): g= gα ⊕ h ⊕ gα (8.1) α∈∆− α∈∆+donde h es una sub´lgebra de Cartan y α las ra´ a ıces del ´lgebra relativas a h. a Sin embargo, no es necesario que g sea simple para tener este tipo de estructura (ni siquiera dedimensi´n finita). Por eso, haremos una introducci´n para ´lgebras con este tipo de descomposici´n o o a o(´lgebras con descomposici´n triangular) y luego nos restringiremos a ´lgebras simples. a o a Las primeras nociones que necesitamos para desarrollar la teor´ de representaciones son las de ıapeso y vector peso.Definici´n 8.1 Sea h un ´lgebra de Lie abeliana y π : h → gl(V ) una representaci´n en un o a oespacio vectorial V (no necesariamente de dimensi´n finita). Sea ω ∈ h∗ (el dual de h como oespacio vectorial). Se dice que v es un vector peso de peso ω (relativo a la representaci´n π) si: o π(h)v = ω(h)v, ∀h ∈ h (8.2)El hecho de que h sea abeliana permite la existencia de estos vectores peso. La representaci´n π se puede extender al ´lgebra tensorial sim´trica S(h) (que en este caso o a ecoincide con el ´lgebra envolvente, ya que h es abeliana), y tambi´n el peso ω: a e ω : S(h) −→ K (8.3)con: ω(x1 ⊗ · · · ⊗ xn ) = ω(x1 ) . . . ω(xn ) (8.4)con lo que: π(u)v = ω(u)v, u ∈ S(h), v ∈ V (8.5)es decir, si u = x1 ⊗ · · · ⊗ xn : 83
  • 84. 84 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o n n π(x1 ⊗ · · · ⊗ xn )v = π(xi )v = ω(xi )v (8.6) i=1 i=1porque: π(xi )v = ω(xi )v, i = 1...n (8.7) Definamos ahora unos subespacios de V asociados a los pesos.Definici´n 8.2 El conjunto, con ω ∈ h∗ : o V ω = {v ∈ V : π(h)v = ω(h)v, ∀h ∈ h} (8.8)es un subespacio vectorial de V . Se le llama el espacio de peso ω y tiene una estructura de subm´dulo ode h. La suma de espacios de pesos es una suma directa: Vω (8.9) ω∈h∗pero no tiene porque ser igual al espacio V .Definici´n 8.3 Se dice que el espacio vectorial V admite una descomposici´n en espacios de pesos o ocon respecto al ´lgebra abeliana h si: a V = Vω (8.10) ω∈h∗ Dado un elemento ω de h∗ , diremos que es un peso de h relativo a la representaci´n π en gl(V ) osi el subespacio de pesos asociado es no trivial: V ω = {0}. Ejemplo 8.1 Consideremos en sl(2, C) el ´lgebra abeliana generada por h, h, y la restricci´n de la represen- a otaci´n adjunta de sl(2, C) a h. El espacio V es ahora de dimensi´n 3, y los pesos ω verifican: o o π(h)v = ω(h)v (8.11)pero: π(h)v = [h, v] (8.12)luego: ω(h) = 0, 2, −2 (8.13)Los subespacios de pesos ω son: V (0) = lin{h}, V (2) = lin{e}, V (−2) = lin{f } (8.14)y por lo tanto: sl(2, C) = V (2) ⊕ V (0) ⊕ V (−2) (8.15)es decir, sl(2, C) admite una descomposici´n en espacios de pesos relativa a la representaci´n o oadjunta y al ´lgebra h. a Ejemplo 8.2 El ´lgebra de Virasoro. a +∞ V= KLn ⊕ Kc (8.16) n=−∞
  • 85. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 85 Sea h = KL0 ⊕ Kc una sub´lgebra abeliana de V y π la representaci´n adjunta de V como en a oel ejemplo anterior. Entonces V es un h-m´dulo con la acci´n dada por esta representaci´n. Sea o o oωn ∈ h∗ definido por: ωn (L0 ) = −n ωn (c) = 0 Por definici´n de pesos y vectores peso: o π(L0 )v = ωn (L0 )v, v∈V (8.17)y se tiene: [L0 , Ln ] = −nLn [c, Ln ] = 0y por tanto, Ln es un vector peso, con peso ωn , Adem´s: a V= Vn (8.18) n∈Zdonde cada uno de los subespacios peso es: Vn = KLn , n = 0 V0 = KL0 ⊕ Kc = hes decir, V admite una descomposici´n en espacios de pesos, relativa a la representaci´n adjunta y o oal ´lgebra h. a Cuando se considera la representaci´n adjunta como en los dos ejemplos anteriores, los pesos ono nulos son las ra´ ıces. Es f´cil ver que si un m´dulo admite una descomposici´n en espacios de pesos, cualquier a o osubm´dulo la admite tambi´n. o e Estudiemos ahora el concepto de ´lgebras con descomposici´n triangular. a o Sea g un ´lgebra de Lie, h una sub´lgebra abeliana de g y consideremos la representaci´n a a oadjunta de h actuando sobre el h-m´dulo g. Supongamos que g admite una descomposici´n en o oespacio de pesos: g= gα (8.19) α∈h∗Esta descomposici´n es una graduaci´n de g: o o [gα , gβ ] ⊂ gα+β (8.20)con grupo de graduaci´n la Z-envolvente de sus ra´ o ıces. Considerando la acci´n adjunta extendida oal ´lgebra envolvente, U(g) admite tambi´n una descomposici´n en espacios de pesos, con: a e o U(g)α U(g)β ⊂ U(g)α+β (8.21)es decir, es tambi´n un ´lgebra graduada. e aDefinici´n 8.4 Una descomposici´n triangular de un ´lgebra de Lie g est´ formada por una o o a asub´lgebra abeliana y dos sub´lgebras n+ y n− tales que: a a 1. g = n− ⊕ h ⊕ n+ (8.22)
  • 86. 86 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 2. n+ = {0} y admite una descomposici´n en espacios de pesos relativa a h y la representaci´n o o adjunta. Los pesos α est´n en un semigrupo Q+ ⊂ h∗ y 0 no est´ en Q+ . a a 3. Existe una anti-involuci´n σ, (es decir un anti-automorfismo de orden 2) tal que: o σ(n+ ) = n− , σ|h = id |h (8.23) Es decir, para tener una descomposici´n triangular necesitamos cuatro objetos: (h, n+ , Q+ , σ), ocon n+ , h sub´lgebras (h abeliana), Q+ semigrupo y σ una anti-involuci´n con las propiedades a oanteriores. Como 0 ∈ Q+ , se puede probar que σ(n− ) = n+ , y n− admite una descomposici´n igual a la de / on+ . Debido a esto, g admite una descomposici´n seg´n h dada por (Q− = −Q+ ): o u  α  n+ si α ∈ Q+ g= gα , gα = nα si −α ∈ Q+ (8.24)  − α∈Q+ ∪Q− ∪{0} h si α = 0 El ret´ ıces es: Q = ⊕j∈J Zαj y cada subespacio gα es el espacio de ra´ α. ıculo de ra´ ız Si existe un conjunto numerable de ra´ linealmente independientes, tal que cualquier ra´ del ıces ızret´ ıculo positivo, Q+ , se puede poner como una combinaci´n lineal de estas ra´ con coeficientes o ıcesn´meros naturales, se dice que la descomposici´n es regular. u o8.2. M´dulos de peso m´ximo o a Supongamos que g es un ´lgebra de Lie que admite una descomposici´n triangular. Sea π una a orepresentaci´n de g en un m´dulo M . o oDefinici´n 8.5 Sea v ∈ M . Se dice que v es un vector de peso m´ximo si: o a 1. v es un vector peso (para h, la sub´lgebra abeliana de la descomposici´n triangular). a o 2. π(x)v = 0, ∀x ∈ n+ Interpretados los operadores en n+ como operadores de creaci´n, uno no puede ir m´s all´ de o a av. Por eso se llama un vector de peso m´ximo. a Un vector de peso m´ximo, v, genera un subm´dulo de M : a o π(U(g))v = {π(u)v : u ∈ U(g)} (8.25)que es el menor subm´dulo que contiene a v. oDefinici´n 8.6 Un g-m´dulo M es un m´dulo de peso m´ximo si contiene un vector de peso o o o am´ximo, v, que lo genera. El peso correspondiente a este vector se llama peso m´ximo del m´dulo a a oM. Para un vector de peso m´ximo se tiene: a M = π(U(n− ))v (8.26)debido a que U(n+ ) anula al vector y U(h) lo deja igual (al ser un vector peso). Se trata de unaconsecuencia del teorema PWB.Proposici´n 8.1 Si g es un ´lgebra de Lie que admite una descomposici´n triangular y M es un o a og-m´dulo de peso m´ximo, con peso m´ximo λ y vector de peso m´ximo v, se tiene: o a a a
  • 87. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 87 1. M admite una descomposici´n en espacios de pesos, y los pesos son de la forma λ − α con o α ∈ Q+ ∪ {0}. Adem´s a M λ = Kv, M λ−α = U(n−α )v, α ∈ Q+ − (8.27) 2. M est´ graduado seg´n la descomposici´n anterior por Zλ+Q. Los operadores en los espacios a u o gα y U(gα ) son homog´neos de grado α e 3. Si la descomposici´n de g es regular y los espacios gα son de dimensi´n finita, los espacios o o de pesos de M son de dimensi´n finita o Esta proposici´n implica que tanto el peso m´ximo λ como el subespacio unidimensional gene- o arado por un vector de peso m´ximo, Kv, son unicos. a ´ Ejemplo 8.3 Veamos en un ejemplo simple como se aplican estas ideas. Consideremos el ´lgebra sl(2, C) y auna descomposici´n triangular: o g = Ce ⊕ Ch ⊕ Cf (8.28)donde {e, h, f } es la base estudiada en ejemplos anteriores. El ret´ ıculo de ra´ ıces positivas es:Q+ = {α} Supongamos que tenemos un g-m´dulo de peso m´ximo m ∈ N, y sea v un vector de peso o am´ximo. Los restantes pesos del m´dulo son de la forma m − 2k, k ∈ N y la descomposici´n en a o oespacios de pesos de M es (n− = Cf ): M m = Cv, M m−2k = U(n− )−2k v = Cf k v (8.29)puesto que U(n− ) es la envolvente lineal de las potencias de f .8.3. M´dulos de Verma o Los m´dulos de Verma son m´dulos universales para ´lgebras de Lie que admiten descomposi- o o aciones triangulares. Sea g un ´lgebra de Lie que admite una descomposici´n triangular (h, n+ , Q+ , σ). Dado un a opeso λ ∈ h∗ se construye un g-m´dulo M (λ), de peso m´s alto λ, cuya base est´ formada por o a avectores xnk . . . xn11 v, donde xj ∈ n− (formando una base de n− con un conjunto de ´ j k j ındices J bienordenado) y v es un vector de peso m´ximo.aDefinici´n 8.7 Un m´dulo M (λ) de peso m´ximo λ, y vector de peso m´ximo v+ , es un m´dulo o o a a ode Verma si, dado cualquier otro m´dulo M , de peso m´ximo λ y vector de peso m´ximo v , existe o a aun homomorfismo de g-m´dulos, η : M (λ) → M , tal que η(v+ ) = v . o Para estudiar la estructura de un m´dulo de Verma, veamos primero como el ´lgebra envolvente o ase puede descomponer en suma de dos subespacios, uno de ellos asociado al ´lgebra envolvente de an− . Si λ es un peso de g relativo a la sub´lgebra abeliana h, se tiene: a U(g) = U(n− ) ⊕ (U(g)n+ + U(g)(h − λ(h),1)) (8.30) h∈hEn efecto: Si λ : h → K, podemos extender su acci´n a toda el ´lgebra envolvente de h que coincide con o asu ´lgebra sim´trica al ser abeliana: a e λ : S(h) −→ K (8.31)
  • 88. 88 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oEl n´cleo de esta aplicaci´n es: u o S(h)(h − λ(h),1) (8.32) h∈hde donde el ´lgebra sim´trica de h se puede escribir como: a e S(h) = K ⊕ S(h)(h − λ(h),1) (8.33) h∈h Consideremos ahora la sub´lgebra de g dada por: a b− = h ⊕ n− (8.34) Su ´lgebra envolvente, U(b− ) es un U(n− )-m´dulo. Usando el teorema PBW, podemos escribir: a o U(g) = U(n− )U(h)U(n+ ) = U(n− )U(h)(K ⊕ U(n+ )n+ ) = U(n− )U(h) ⊕ U(g)n+ = U(n− )K ⊕ S(h)(h − λ(h),1) ⊕ U(g)n+ = h∈h U(n− ) ⊕ U(b− )(h − λ(h),1) ⊕ U(g)n+ h∈hy usando la inclusi´n: o n+ (h − λ(h),1) ⊂ U(g)n+ (8.35)que implica: U(g)(h − λ(h),1) ⊂ U(b− )(h − λ(h),1) + U(g)n+ (8.36)demostrando la igualdad. Se tiene el siguiente resultado sobre la existencia de m´dulos de Verma. oProposici´n 8.2 Sea g un ´lgebra de Lie y (h, n+ , Q+ , σ) una descomposici´n triangular. Enton- o a oces ∀λ ∈ h∗ existe un m´dulo de Verma de g, M (λ), con peso m´ximo λ. o a Considerado como un U(g)-m´dulo, M (λ) es isomorfo a U(n− ). o Para demostrarlo, consideremos la proyecci´n dada por la descomposici´n en suma directa o oanterior: p : U(g) −→ U(n− ) (8.37)con lo que ker p es un ideal por la izquierda de U(g). Definimos una acci´n de U(g) sobre U(n− ): o y · u = p(yu), y ∈ U(g), u ∈ U(n− ) (8.38)Veamos que est´ bien definida. Sean y, y ∈ U(g), y u ∈ U(n− ). Entonces el elemento y · u se puede adescomponer siguiendo la suma directa: y · u + r, p(r) = 0 (8.39)y se tiene: y · (y · u) = y · (p(yu)) = y · (yu − r) = p(y (yu − r)) = p(y yu) = (y y) · u (8.40)ya que y r ∈ ker p. Si y = u ∈ U(n− ) entonces u · u = p(uu ) = u u y por lo tanto U(n− ) es generado por 1 cuandose considera la acci´n de U(g): o si y ∈ U(n+ ) y · 1 = p(y) = 0 si h∈h h · 1 = p(h) = p(λ(h),1 + h − λ(h)) = λ(h)con lo que concluimos que U(n− ) es un m´dulo de peso m´s alto λ y vector m´s alto 1. o a a
  • 89. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 89Proposici´n 8.3 Propiedades de los m´dulos de Verma. o o Sea M (λ) un m´dulo de Verma de peso m´s alto λ. Entonces: o a 1. Todo subm´dulo propio admite una descomposici´n en espacios de pesos relativa a h con o o pesos en λ − Q− . 2. M (λ) tiene un unico subm´dulo propio maximal N (λ) ´ o 3. El m´dulo cociente L(λ) = M (λ)/N (λ) es irreducible y es el unico m´dulo de peso m´s alto o ´ o a λ, irreducible de g.8.4. El ´lgebra sl(2, C) a Aplicaremos en esta secci´n las t´cnicas anteriores a la descripci´n de los m´dulos de Verma y o e o orepresentaciones de dimensi´n finita de sl(2, C). o El ´lgebra de Lie sl(2, C), matrices 2 × 2 de traza nula con coeficientes complejos, admite auna descomposici´n triangular de las estudiadas al principio de este cap´ o ıtulo. Expl´ ıcitamente, sillamamos como hemos hecho antes: 1 0 0 1 0 0 h= , e= , f= (8.41) 0 −1 0 0 1 0los subespacios generados por cada una de estas matrices, h, n+ y n− respectivamente, son unadescomposici´n triangular del ´lgebra: o a sl(2, C) = Cf ⊕ Ch ⊕ Ce (8.42) El espacio n+ tiene dimensi´n 1, y admite una descomposici´n en espacios de pesos, relativa a o ola sub´lgebra abeliana h: a [h, e] = 2e (8.43)donde la ra´ es α, con: ız α(h) = 2 (8.44) El ret´ıculo de pesos es Q+ = Z+ α, y la anti-involuci´n es simplemente la transposici´n de o omatrices. Supongamos ahora que λ ∈ h∗ es un peso de sl(2, C), y que v+ ∈ M (λ) es un vector de pesom´ximo del m´dulo de Verma, M (λ) asociado a λ. La descomposici´n en espacios de pesos de este a o om´dulo ser´ (al ser n− de dimensi´n 1): o a o M λ−nα = Cf n v+ , n∈N (8.45)y por lo tanto, si este m´dulo tiene subm´dulos, ser´n necesariamente de la forma: o o a Cf n v+ (8.46) n≥n0para alg´n n´mero natural n0 , adem´s del m´dulo trivial {0}. u u a o Un m´dulo con esta forma tiene que verificar: o ef n0 v+ = 0 (8.47)pues si no fuera as´ no ser´ invariante. Y a la inversa, si existe n0 > 0, tal que se verifica la ı, ıaecuaci´n anterior, el vector f n0 v+ es un vector de peso m´ximo, y el m´dulo que genera, o a o U(g)f n0 v+ = U(n− )f n0 v+ (8.48)
  • 90. 90 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oes un subm´dulo propio de M (λ). o De entre estos subm´dulos habr´ uno maximal, que ser´ aquel para el que n0 sea el m´ o a a ınimo detodos los posibles. Para demostrar el siguiente resultado, relativo a la estructura de los m´dulos de Verma de osl(2, C), necesitaremos las siguientes igualdades: hf n v+ = (a − 2n)f n v+ (8.49) ef n v+ = n(a − n + 1)f n−1 v+ (8.50)donde a = λ(h). La demostraci´n se hace f´cilmente por inducci´n. En efecto, usando las reglas o a ode conmutaci´n del ´lgebra: o a [h, f ] = −2f =⇒ hf v+ = f hv+ − 2f v+ = (a − 2)f v+ (8.51)Supongamos que el resultado es correcto para n y prob´moslo para n + 1: ehf n+1 v+ = hf (f n v+ ) = f h(f n v+ )−2f n+1 v+ = (a−2n)f n+1 v+ −2f n+1 v+ = (a−2(n+1))f n+1 v+ (8.52)como quer´ıamos probar. La segunda es igualmente sencilla: [e, f ] = h =⇒ ef v+ = f ev+ + hv+ = 2v+ (8.53)por tanto,ef n+1 v+ = ef (f n v+ ) = f e(f n v+ )+hf n v+ = n(a−n+1)f n v+ +(a−2n)f n v+ = (n+1)(a−n)f n v+ (8.54) El resultado fundamental sobre la irreducibilidad de los m´dulos de Verma de sl(2, C) es el osiguiente:Teorema 8.1 Sea M (λ) un m´dulo de Verma de sl(2, C) de peso m´ximo λ, y v+ un vector de o apeso m´ximo. Entonces: a 1. M (λ) es irreducible si y solo si λ(h) ∈ N. / 2. Si λ(h) ∈ N, N (λ) es un m´dulo de Verma, con generador f λ(h)+1 v+ y peso m´s alto o a λ − (λ(h) + 1)α. El m´dulo irreducible L(λ) es de dimensi´n finita λ(h) + 1, y es el unico o o ´ m´dulo cociente no trivial de M (λ). o Daremos algunas ideas sobre la demostraci´n de este teorema. o Sea a = λ(h). M (λ) ser´ irreducible si no tiene subm´dulos propios. Como hemos visto antes, los a osubm´dulos propios est´n asociados con los n´meros naturales que verifican la ecuaci´n: ef n0 v+ = o a u o0. Pero hemos calculado cuanto vale esta expresi´n: o ef n0 v+ = n0 (a − n0 + 1)f n0 −1 v+ = 0 (8.55)que implica: n0 (a − n0 + 1) = 0 (8.56) Por lo tanto, como n0 ∈ N, se deduce que a ∈ N. El m´dulo es irreducible si esto no es as´ Si o ı.el m´dulo es reducible, es decir si a es un n´mero natural, s´lo tiene un subm´dulo propio, pues n0 o u o oqueda un´ ıvocamente determinado por a. Luego solo existe un m´dulo N (λ), que es generado por of n0 v+ , donde n0 = a + 1, y que, por supuesto, es maximal. Podemos calcular el peso (m´ximo) aasociado a este vector: hf a+1 v+ = (a − 2(a + 1))f a+1 v+ = −(a + 2)f a+1 v+ (8.57)
  • 91. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 91es decir N (λ) es un m´dulo de Verma con peso m´ximo: o a N (λ) = M (λ − (a + 1)α) (8.58) El cociente del m´dulo de Verma M (λ) por su subm´dulo maximal N (λ), es un m´dulo irre- o o oducible L(λ) de dimensi´n finita, igual a a + 1. o La estructura de pesos es: a −→ Peso m´s alto de M (λ), λ(h) = a ∈ IN a ↓ a−2 ↓ . . . ↓ −a ↓ −a − 2 −→ peso m´s alto del subm´dulo propio maximal N (λ) a o −a − 4 . . .y por tanto, al dividir M (λ) entre N (λ) obtenemos un m´dulo irreducible de dimensi´n finita igual o oa a + 1.8.5. Representaciones de dimensi´n finita de sl(2, C) o Usando las reglas de conmutaci´n de sl(2, C) podemos escribir la forma expl´ o ıcita de las re-presentaciones irreducibles de dimensi´n finita de esta ´lgebra. Para ello, elegimos como base del o aespacio vectorial, los vectores peso: h|m = m|m , m = a, a − 2, . . . , −a + 2, −a (8.59) Se supone que el espacio vectorial est´ dotado de un producto escalar, con respecto al cual, el aoperador que representa a h es autoadjunto, y los operadores que representan a e y f son adjuntosuno del otro. Debido a que los vectores de la base corresponden a distintos autovalores, formanuna base ortogonal en el espacio, que supondremos normalizada. El producto escalar de un vector f n |a consigo mismo es: a|en f n |a = |cn |2 (8.60)donde f n |a = cn |a − 2n (8.61)pues los subespacios de pesos son unidimensionales, y los vectores de la base est´n normalizados. aCalculamos una relaci´n de recurrencia entre los cn : o |cn+1 |2 = a|en+1 f n+1 |a (8.62)y usando: ef n+1 |a = (n + 1)(a − n)f n |a (8.63)obtenemos: |cn+1 |2 = (n + 1)(a − n) a|en f n |a = |cn |2 (n + 1)(a − n) (8.64)
  • 92. 92 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o El primer t´rmino de esta serie se calcula f´cilmente: e a f |a = c1 |a − 2 (8.65) a|ef |a = a a|a = a|c1 |2 (8.66) De aqu´ se deduce toda la serie. Tomando c1 real positivo, ı c1 = a c2 = 2a(a − 1) ··· cn = n!a(a − 1) . . . (a − n + 1) La acci´n del operador f se calcula ahora f´cilmente: o a 1 n+1 cn+1 f |a − 2n = f |a = |a − 2(n + 1) (8.67) cn cny el cociente de dos cn consecutivos es: 1/2 cn+1 (n + 1)!a(a − 1) . . . (a − n + 1)(a − n) = (8.68) cn n!a(a − 1) . . . (a − n + 2)(a − n + 1)de donde: f |a − 2n = (n + 1)(a − n)|a − 2(n + 1) (8.69) La anterior expresi´n se suele escribir (poniendo a − 2n = m): o 1 f |m = (a − m + 2)(a + m)|m − 2 (8.70) 2 El c´lculo del otro operador es ahora muy sencillo: a ef n |a = n(a − n + 1)f n−1 |a (8.71)De los c´lculos anteriores: a f n−1 |a = cn−1 |a − 2(n − 1) (8.72)y por lo tanto: cn−1 e|a − 2n = n(a − n + 1)|a − 2(n − 1) (8.73) cny usando el coeficiente calculado anteriormente: e|a − 2n = n(a − n + 1)|a − 2(n − 1) (8.74)o en la notaci´n de m: o 1 e|m = (a − m)(a + m + 2)|m + 2 (8.75) 2expresi´n que junto con las de e y h nos dan la representaci´n para cualquier n´mero natural a. o o u
  • 93. Cap´ ıtulo 9Representaciones de ´lgebras de aLie semisimples U Las representaciones de dimensi´n finita de ´lgebras de Lie simples complejas son muy sencillas o ade estudiar. Todas ellas tienen un peso m´s alto y una estructura de ´rbitas seg´n el grupo de a o uWeyl correspondiente que permite su an´lisis de una forma sencilla. a9.1. Pesos fundamentales Sea g un ´lgebra de Lie semisimple compleja de dimensi´n n y rango l, y h una sub´lgebra de a o aCartan. Sea ∆ el sistema de ra´ ıces de g y Π un sistema de ra´ ıces simples relativas a la sub´lgebra ah: Π = {α1 , . . . , αl } (9.1) La matriz de Cartan de g es: 2(αi , αj ) A = (aij ), aij = αi , αj = (9.2) (αj , αj )y en la representaci´n adjunta se tiene: o [hi , ej ] = αj (hi )ej = αj , αi ej (9.3) Si se toma el sistema de ra´ ıces simples como base del sistema de ra´ıces, las coordenadas de´stas ser´n: αi = (0, . . . , 1, . . . , 0), pero como veremos a continuaci´n, usaremos una base m´se a o aconveniente. Para ello, supongamos que las coordenadas de las ra´ ıces simples son las filas de lamatriz de Cartan correspondiente: αi = ( αi , α1 , . . . , αi , αl ), i = 1, . . . , l (9.4) En la representaci´n adjunta, los pesos son las ra´ o ıces, y como ya sabemos, el ret´ ıculo de ra´ ıcesest´ contenido en el de pesos. Llamaremos pesos fundamentales a los de la base en la cual las ra´ a ıcestienen las coordenadas anteriores: ωi = (0, . . . , 1, . . . , 0), i = 1, . . . , l (9.5)es decir: ωi (hj ) = δij , i, j = 1, . . . , l (9.6) 93
  • 94. 94 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oN´tese que esta definici´n de ω como base dual de la base elegida en la sub´lgebra de Cartan o o aimplica que las coordenadas de las ra´ ıces simples son las filas de la matriz de Cartan: l αi (hj ) = αi , αj = aij = λik ωk (hj ) = λij (9.7) k=1Los n´meros λ(hi ) son simplemente las coordenadas del peso λ en la base de pesos fundamentales. u El siguiente teorema caracteriza las representaciones de dimensi´n finita de las ´lgebras de Lie o asimples:Teorema 9.1 Si V es un g-m´dulo irreducible de dimensi´n finita, entonces, si λ es su peso o om´ximo: a λ(hi ) ∈ N, i = 1, . . . , l (9.8) T´ngase en cuenta que los m´dulos irreducibles de dimensi´n finita de un ´lgebra de Lie semi- e o o asimple tienen un peso m´s alto. Basta considerar las sub´lgebras de tipo sl(2, C) que se pueden a aconstruir sobre las ra´ ıces simples. Se dice que un peso es dominante si λ(hi ) es un n´mero entero positivo. El conjunto de los u ıculo de h∗ , que incluye al ret´pesos enteros (es decir, aquellos para los que λ(hi ) ∈ Z), es un ret´ ıculode las ra´ y por supuesto a los pesos dominantes. Los pesos dominantes caracterizan las ´rbitas ıces odel grupo de Weyl dentro de los pesos de una representaci´n: oTeorema 9.2 Si λ ∈ h∗ es un peso dominante, el g-m´dulo irreducible que lo tiene como peso m´s o aalto es de dimensi´n finita. Adem´s los pesos son permutados por el grupo de Weyl (es decir, el o agrupo de Weyl deja invariante el sistema de pesos) y dim Vµ = dim Vσ(µ) (9.9)donde σ es un elemento del grupo de Weyl y µ un peso del sistema que genera λ. Los pesos m´s altos son dominantes, pero en un sistema de pesos puede haber m´s de un peso a adominante. Su importancia estriba en que el grupo de Weyl no act´a transitivamente en el sistema ude pesos generado por un peso dominante λ. En cada ´rbita, todos los subespacios de pesos tienen ola misma dimensi´n y s´lo existe un peso dominante. o o9.2. Construcci´n de los sistemas de pesos o Supongamos que λ es un peso dominante de un ´lgebra de Lie simple de rango l. Dada una asub´lgebra de Cartan h sea Π el sistema de ra´ a ıces simples correspondiente. Los pesos de estarepresentaci´n se obtienen de λ restando combinaciones lineales de ra´ o ıces simples, es decir, elret´ ıculo de ra´ıces con coeficientes positivos: λ − Q+ (9.10) Equivalentemente, se desciende por el diagrama de pesos (o por el g-m´dulo asociado), aplicando olos operadores de U(n− ), es decir los productos de los operadores fi , i = 1, . . . , l. Como cadacoordenada de λ est´ asociada a una ra´ de g, el procedimiento es el siguiente: a ız Sea λk la coordenada k-´sima del peso λ. De acuerdo con la teor´ de sl(2, C), si λk > 0, este e ıapeso genera un multiplete de sl(2, C) de dimensi´n λk + 1, asociado a la ra´ αk . Podemos obtener o ız
  • 95. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 95por tanto los siguientes pesos: λ = (λ1 , . . . , λk , . . . , λl ) ↓ λ − αk ↓ λ − 2αk (9.11) ↓ . . . ↓ λ − λk αk = (λ1 , . . . , −λk , . . . , λl )pues la coordenada k-´sima de αk es necesariamente igual a 2. En el m´dulo V tenemos que, si v+ e oes el vector de peso m´s alto, fk v+ tiene peso λ − αk etc.: a 2 λ {v+ , fk v+ , fk v+ , . . . , fk k v+ } (9.12)forman una base para un representaci´n de sl(2, C) de dimensi´n λk + 1 y peso m´s alto λk . o o a Si en el proceso aparecen en otras coordenadas, distintas de la k-´sima, n´meros positivos, se e upueden aplicar los operadores fj con j = k y obtener nuevas cadenas que llevan a multipletes deotros sl(2, C). Ejemplo 9.4 A2 . A2 tiene dos representaciones fundamentales, no conjugadas (relacionadas sin embargo por unautomorfismo externo). con pesos m´ximos: ω1 = (1, 0) y ω2 = (0, 1). Ambas son de dimensi´n 3 a o(la representaci´n 3, quark y ¯ antiquark). Los diagramas de pesos correspondientes son: o 3, 0 10 01 ↓ 1 ¯1 1 1¯ 1 (9.13) ↓ 2 0¯ 1 ¯0 1 Los n´meros de la primera columna representan los niveles en los que se encuentran los pesos. uUna barra sobre un n´mero es un signo menos. La descomposici´n de los m´dulos de estas dos u o orepresentaciones en espacios de pesos es: V3 = = V10 ⊕ V¯ ⊕ V0¯ 11 1 ¯ V3 = = V01 ⊕ V1¯ ⊕ V¯ 1 10y la dimensi´n de cada espacio de pesos es 1. Es inmediato construir una base adaptada a esta odescomposici´n. Para la representaci´n (01): o o v+ , f1 v+ , f2 f1 v+ (9.14)donde ei v+ = 0, i = 1, 2. Podemos denotar a estos vectores por sus pesos y suponerlos normaliza-dos: |10 , |¯ , |0¯ 11 1 (9.15)con lo que el c´lculo de las matrices de la representaci´n de A2 de peso m´ximo (1, 0) es en esta a o abase:     1 0 h1 →  ¯ 1  , h2 →  1  (9.16) 0 ¯ 1
  • 96. 96 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o a ¯Adem´s, |11 = kf1 |10 , donde k es una constante de normalizaci´n que en este caso es 1 (ver ocomo se calcula en el caso de A1 ). Por tanto: f1 |10 = |¯ 11 f2 |¯ 11 = |0¯ 1y se tiene:     0 0 f1 →  1 0 , f2 →  0  (9.17) 0 1 0calcul´ndose de forma similar los dem´s elementos de la base. a a En estos dos ejemplos s´lo existe una ´rbita del grupo de Weyl. No hay m´s pesos dominantes o o aque el m´s alto. a Veamos ahora los pesos de la representaci´n adjunta de A2 . El peso m´s alto es (1, 1), la o adimensi´n es 8 y el diagrama es: o 0 11 ↓ 1 ¯ 12 2¯ 1 ↓ 2 00 (9.18) ↓ 3 ¯2 1 2¯ 1 ↓ 4 ¯¯ 11 En este caso tenemos dos ´rbitas del grupo de Weyl. En la primera, a la que pertenece el peso om´s alto (1, 1), todos los subespacios tienen dimensi´n 1. En la segunda, que solo tiene un peso, a oel (0, 0), la dimensi´n es 2. Todos los pesos, salvo el (0, 0) corresponden a las ra´ o ıces de A2 , y ladimensi´n del subespacio de peso (0, 0) es justamente el rango del ´lgebra. El peso m´s alto es o a ala ra´ m´xima del ´lgebra: α1 + α2 . La situaci´n es la misma para todas las representaciones ız a a oadjuntas de las ´lgebras simples. No es tan f´cil buscar una base en este caso, aunque veremos a aposteriormente como hacerlo de una forma sistem´tica. a Veamos otro ejemplo: la representaci´n de peso m´s alto (2, 0) (dimensi´n 6). o a o 0 20 ↓ 1 01 ↓ 2 ¯2 2 1¯ 1 (9.19) ↓ 3 ¯0 1 ↓ 4 0¯ 2 Hay dos ´rbitas del grupo de Weyl: o 1. La primera contiene los pesos: (2, 0), (22), (0, ¯ ¯ 2) 2. La segunda contiene los pesos: (0, 1), (1, ¯ (¯ 0) que es la representaci´n estudiada en 1), 1, o primer lugar.Todos los subespacios tiene dimensi´n igual a 1 (es bastante sencillo ver que el subespacio de peso o(0, 1) tiene dimensi´n 1, pues su unico vector linealmente independiente es f1 |20 ). o ´
  • 97. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 97 El ultimo ejemplo es la representaci´n de peso m´s alto (2, 1) (dimensi´n 15). ´ o a o 0 21 ↓ 1 02 3¯ 1 ↓ 2 ¯3 2 10 ↓ 3 ¯1 1 2¯ 2 (9.20) ↓ 4 ¯2 3 0¯ 1 ↓ 5 ¯1 2 1¯ 3 ↓ 6 ¯¯ 129.3. Diagramas de pesos Si elegimos en el espacio de pesos una base cartesiana, podemos dibujar, al igual que se hacecon las ra´ ıces, los diagramas de pesos de representaciones de ´lgebras de Lie simples. Los diagramas ason triviales para A1 (la unica ´lgebra simple de rango 1) y no es f´cil representarlos cuando el ´ a arango es mayor que tres. Nos limitaremos a unos ejemplos en rango 2, concretamente para A2 . En una base cartesiana (ortonormal en R2 ), las ra´ ıces vienen dadas por: √ α1 = (2, 0), α2 = (−1, 3) (9.21)pues tienen longitud 2 y forman un ´ngulo π/3. Como en la base de pesos fundamentales se ten´ a ıa: α1 = (2, −1), α2 = (−1, 2) (9.22)no es dif´ llegar a la conclusi´n de que los pesos fundamentales en la base de ra´ simples son: ıcil o ıces 2 1 1 2 ω1 = ( , ), ω2 = ( , ) (9.23) 3 3 3 3y en la base cartesiana: 1 2 ω1 = (1, √ ), ω2 = (0, √ ) (9.24) 3 3 Por tanto, los pesos de algunas de las representaciones de A2 son en esta base: 1 1 2 (1, 0) → (1, √ ), (−1, √ ), (0, − √ ) (9.25) 3 3 3 2 1 1 (0, 2) → (0, √ ), (1, − √ ), (−1, − √ ) (9.26) 3 3 39.4. Acci´n del grupo de Weyl en los diagramas de pesos o Sea g un ´lgebra semisimple y h una sub´lgebra de Cartan, a la que est´ asociado un sistema a a a ıces simples: Π = {α1 , . . . , αl } y un matriz de Cartan A.de ra´
  • 98. 98 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Figura 9.1: Ret´ ıculo de pesos de A2 El grupo de Weyl est´ generado por las reflexiones asociadas a las ra´ simples, que en la base a ıcesde pesos fundamentales pueden escribirse as´ ı: ri (α) = α − α, αi αi , i = 1, . . . , l (9.27)Es claro que podemos definir las mismas reflexiones sobre los pesos: 2(m, αi ) ri (m) = α − m, αi αi . m, αi = (9.28) (αi , αi )El peso m puede ponerse como combinaci´n lineal de ra´ o ıces simples o de pesos fundamentales: l l m= mi αi = ˜ mi ωi (9.29) i=1 i=1y por lo tanto, m, αi es muy sencillo de calcular: l l l 2 2αj , αi ) m, αi = ( mj ˜ = mj (αj , αi ) = ˜ mj aji ˜ (9.30) (αi , αi ) j=1 αi , αi ) j=1 j=1pero: l l m= mi ˜ aij ωj (9.31) i=1 j=1de donde se deduce: l mi = mj aji ˜ (9.32) j=1y por tanto la reflexi´n es: o ri (m) = α − mi αi (9.33) De esta expresi´n se deduce f´cilmente que cuando se aplica una reflexi´n ri a un peso cuya o a oi-´sima coordenada es el principio de un multiplete de sl(2, C) se obtiene el peso correspondiente eal final del multiplete. En sl(2, C) es obvio: r(m) = m − α(h)m = −m (9.34)pues α(h) = 2.
  • 99. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 99 Dada cualquier representaci´n irreducible de dimensi´n finita de un ´lgebra de Lie simple, existe o o aun elemento del grupo de Weyl que lleva el peso m´s alto en el m´s bajo. Se trata de una involuci´n a a oque tiene una cierta expresi´n en t´rmino de ra´ simples, aunque ´sta no sea unica. Sin embargo, o e ıces e ´siempre se puede poner como el producto de un n´mero m´ u ınimo de reflexiones simples, que es igualal n´mero de ra´ u ıces positivas del ´lgebra. a Ejemplo 9.5 A1 . En este caso la involuci´n es simplemente la reflexi´n asociada a la unica ra´ simple del o o ´ ıza´lgebra: m ↓ r (9.35) −m A2 . La involuci´n es el producto de tres reflexiones o asociadas a las ra´ ıces simples del ´lgebra ar1 , r 2 : (m1 , m2 ) ↓ r1 (−m1 , m1 + m2 ) ↓ r2 (9.36) (m2 , −m1 − m2 ) ↓ r1 (−m2 , −m1 )y la involuci´n es o Ω = r1 r2 r 1 (9.37) Obviamente podemos empezar por r2 y obtener la involuci´n: o Ω = r2 r1 r 2 (9.38)No hay ninguna otra posibilidad de escribir la involuci´n mediante el producto de tres reflexiones. oSin embargo, para rango superior la situaci´n es m´s complicada. o a Ejemplo 9.6 A3 (m1 , m2 , m3 ) ↓ r1 (−m1 , m1 + m2 , m3 ) ↓ r2 (m2 , −m1 − m2 , m1 + m2 + m3 ) ↓ r1 (−m2 , −m1 , m1 + m2 + m3 ) (9.39) ↓ r3 (−m2 , m2 + m3 , −m1 − m2 − m3 ) ↓ r2 (m3 , −m2 − m3 , −m1 ) ↓ r1 (−m3 , −m2 , −m1 )y la involuci´n es o Ω = r1 r2 r 3 r 1 r 2 r 1 (9.40) En general para An se puede elegir como descomposici´n de la involuci´n la siguiente: o o Ω = r1 r2 . . . rn r1 . . . rn−1 . . . r1 . . . r2 r1 (9.41)
  • 100. 100 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Veamos que ocurre en el caso de las ´lgebras Bn . a Ejemplo 9.7 B2 La matriz de Cartan es: 2 −2 A= (9.42) −1 2y la involuci´n es: o (m1 , m2 ) ↓ r1 (−m1 , 2m1 + m2 ) ↓ r2 (m1 + m2 , −2m1 − m2 ) (9.43) ↓ r1 (−m1 − m2 , m2 ) ↓ r2 (−m1 , −m2 ) es decir: Ω = (r2 r1 )2 (9.44) No es dif´ comprobar que en general, la involuci´n para Bn puede escribirse como: ıcil o Ω = (r1 . . . rn )n (9.45) Como veremos m´s adelante estas expresiones son fundamentales en el c´lculo de las bases de a aVerma de los espacios de representaci´n. Similares expresiones pueden calcularse para las series Cn oy Dn y para el ´lgebra excepcional G2 . Para las dem´s ´lgebras excepcionales, las expresiones de a a ala involuci´n determinadas hasta ahora no permiten el c´lculo de las bases de Verma. o a
  • 101. Cap´ ıtulo 10Bases en espacios derepresentaci´n o La determinaci´n de bases de los espacios de representaci´n es de mucho inter´s en las aplicacio- o o enes. Veremos c´mo calcular las multiplicidades de los pesos y la dimensi´n de las representaciones. o o10.1. F´rmulas de multiplicidad o Sea g un ´lgebra de Lie simple y h una sub´lgebra de Cartan de g. Sea V (λ) y g-m´dulo de a a opeso m´s alto λ. Si µ ∈ h∗ es un peso de esta representaci´n, se denomina multiplicidad de µ a la a odimensi´n del espacio de pesos asociado a µ, V (λ)µ . El c´lculo de las multiplicidades es fundamental o aen la teor´ de representaciones. Existen varias formas de hallarlas, pero nos limitaremos a exponer ıalas ideas b´sicas de una de ellas, la f´rmula de Freudenthal (para detalles ver[4]). a o Dada un g-m´dulo V (λ), sea µ un peso. La multiplicidad m(µ) verifica la siguiente relaci´n de o orecurrencia: ∞ ((λ + δ, λ + δ) − (µ + δ, µ + δ))m(µ) = 2 m(µ + kα)(µ + kα, α) (10.1) α>0 k=1donde δ es la semisuma de las ra´ ıces positivas y ( , ) es una forma bilineal en el espacio de pesos,que proviene por dualidad de la restricci´n de la forma de Killing a la sub´lgebra de Cartan. o a Veamos algunos ejemplos de aplicaci´n de esta f´rmula. o o Ejemplo 10.1 Veamos en A2 algunos casos sencillos. En primer lugar, el producto escalar de las ra´ simples ıcesse calcula f´cilmente. Si normalizamos la forma bilineal por: a (α1 , α1 ) = (α2 , α2 ) = 2 (10.2)usando la matriz de Cartan del ´lgebra obtenemos: a (α1 , α2 ) = −1 (10.3)Los productos escalares de los pesos fundamentales son tambi´n muy sencillos de calcular: e 2 1 (ω1 , ω1 ) = (ω2 , ω2 ) = , (ω1 , ω2 ) = (10.4) 3 3y la semisuma de ra´ ıces positivas es: 1 δ= (α1 + α2 + (α1 + α2 )) = (1, 1) (10.5) 2 101
  • 102. 102 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Tomemos por ejemplo la representaci´n adjunta, de peso m´s alto (1, 1). Se tiene: o a (λ + δ, λ + δ) = 8 (10.6)Si un peso µ = (µ1 , µ2 ) lo es de esta representaci´n, la f´rmula de Freudenthal es: o o ∞(8 − ||(µ1 + 1, µ2 + 1)||2 )m(µ) = 2( m(µ + kα1 )(µ + kα1 , α1 ) + k=1 ∞ ∞ m(µ + kα2 )(µ + kα2 , α2 ) + m(µ + kα3 )(µ + kα3 , α3 )) k=1 k=1donde α3 = α1 + α2 . El peso m´s alto (1, 1) tiene multiplicidad 1, al igual que todos los de su ao´rbita. Queremos hallar la multiplicidad del peso (0, 0). Se tiene: ∞ ∞ ∞ (8 − ||(1, 1)||2 )m((0, 0)) = 2||α1 ||2 ( km(kα1 ) + km(kα2 ) + km(kα3 )) (10.7) k=1 k=1 k=1puesto que todas las ra´ ıces tiene la misma longitud: ||α1 ||2 = 2 (10.8)y: 1 2 1 ||(1, 1)||2 = (1, 1) (1, 1) = 2 (10.9) 3 1 2La ecuaci´n que tenemos que resolver es: o ∞ 6m((0, 0)) = 4 k(m(kα1 ) + m(kα2 ) + m(kα3 )) (10.10) k=1 Pero esta suma solo da t´rminos distintos de cero cuando k = 1 (cuando no se tiene un peso, la emultiplicidad es cero). Si k = 1, se obtienen tres pesos, correspondientes a α1 , α2 y α3 = α1 + α2 ,de multiplicidad 1, luego: 6m((0, 0)) = 12 (10.11)y por tanto, la multiplicidad del peso (0, 0) es 2.10.2. Bases de Verma Como ya hemos visto, los vectores peso de los espacios de representaci´n de las ´lgebras simples o ase pueden obtener a partir del peso m´s alto aplicando los operadores de descenso fi . Cuando la amultiplicidad de los espacios de pesos es 1, este procedimiento no presenta ning´n problema. Puede uhaber muchas formas de llegar mediante estos operadores a un determinado espacio de pesos, perotodas ellas llevan a vectores que son proporcionales. Sin embargo, si la dimensi´n es mayor que uno, ode entre todas esas maneras habr´ que seleccionar las que proporcionen una base de ese subespacio ay eso no siempre es sencillo. El procedimiento de Verma nos da una forma de escoger las bases enestos espacios de representaci´n. o Ejemplo 10.2 Consideramos nuevamente la representaci´n adjunta de A2 . Si denotamos por |11 un vector de onorma 1 correspondiente al peso m´s alto, los otros vectores, que nos dar´n una base del m´dulo a a ocorrespondiente son: f1 |11 , f2 |11 (10.12)
  • 103. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 103 f2 f1 |11 , f1 f2 |11 (10.13) 2 2 f2 f1 f2 |11 ≈ f2 f1 |11 , f1 f2 |11 ≈ f1 f2 f1 |11 (10.14) 2 2 f1 f2 f1 f2 |11 ≈ f1 f2 f1 |11 ≈ f2 f1 f2 |11 ≈ f2 f1 f2 f1 |11 (10.15) En este caso no hay mayores problemas. Solo hay dos formas de llegar al subespacio de peso(0, 0), que deben corresponder a los dos vectores linealmente independientes que se pueden encon-trar en ´l. En general, los vectores obtenidos de esta forma no son ortogonales (salvo si corresponden ea pesos diferentes). Las bases de Verma para A2 se construyen aplicando los operadores: a a a f1 1 f2 2 f1 3 (10.16)al vector de peso m´s alto (m1 , m2 ), donde los exponentes a1 , a2 , a3 , verifican las desigualdades asiguientes:   0 ≤ a1 ≤ m1 0 ≤ a2 ≤ m2 + a1 (10.17) 0 ≤ a3 ≤ m´ ın(m2 , a2 )  Ejemplo 10.3 Tomemos el caso anterior de la representaci´n adjunta de A2 . No es dif´ extraer de las o ıcildesigualdades de Verma:   0 ≤ a1 ≤ 1 0 ≤ a2 ≤ 1 + a1 (10.18) 0 ≤ a3 ≤ m´ ın(1, a2 ) la siguiente tabla: a1 a2 a3 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 2 0 1 2 1que nos da una base del espacio de representaci´n, con dos vectores de peso (0, 0) linealmente oindependientes: f1 f2 |11 , f2 f1 |11 (10.19) La construcci´n de las bases de Verma descansa en la elecci´n de una descomposici´n de la o o oinvoluci´n de grupo de Weyl que lleva el peso m´s alto en el m´s bajo y en unas reglas de c´lculo o a a asencillas, pero que, sin embargo, no aseguran que se pueda llegar a las desigualdades, dependiendode manera vital de la elecci´n de la descomposici´n citada. Veamos este c´lculo en un ejemplo. o o a Ejemplo 10.4 A4 Como hemos visto antes, la involuci´n se puede escribir como: o Ω = r 1 r 2 r3 r4 r1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 1 (10.20)
  • 104. 104 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oy por lo tanto los operadores son: a a a a a a a a a a f1 10 f2 9 f3 8 f4 7 f1 6 f2 5 f3 4 f1 3 f2 2 f1 1 (10.21) Consideremos una representaci´n de dimensi´n finita de peso Λ = (m1 , m2 , m3 , m4 ). o o La primera desigualdad es claramente: 0 ≤ a1 ≤ m1 (10.22)Para calcular la segunda seguimos la siguiente idea. Al restar a1 veces α1 , la coordenada m2 se veaumentada en a1 unidades, por tanto: 0 ≤ a2 ≤ m2 + a1 (10.23)La tercera desigualdad no es tan f´cil de calcular. De hecho, su explicaci´n requiere conceptos m´s a o aall´ del alcance de este curso (ver [10]). a Veamos cuanto vale la acci´n de Λ − a1 α1 − a2 α2 sobre h1 : o (Λ − a1 α1 − a2 α2 )(h1 ) = Λ(h1 ) − a1 α1 (h1 ) − a2 α2 (h1 ) = m1 − 2a1 + a2 (10.24)En esta f´rmula sustituimos a1 por la siguiente expresi´n (uno de los pasos m´s misteriosos del o o aprocedimiento): 1 a1 = (m´x(a1 ) + m´ 1 )) a ın(a (10.25) 2 Como tenemos dos desigualdades que acotan a a1 no es dif´ calcular este valor. El m´ximo ıcil a ınimo no es cero, pues a1 ≥ a2 − m2 . Por tanto:de a1 es m1 , pero su m´ a1 ≥ m´x(0, a2 − m2 ) a (10.26)y podemos calcular: 1 a1 = (m1 + m´x(0, a2 − m2 )) a (10.27) 2 Volvamos a la acci´n de Λ − a1 α1 − a2 α2 sobre h1 : o m1 − 2a1 + a2 = m1 − m1 − m´x(0, a2 − m2 ) + a2 = a2 + m´ a ın(0, m2 − a2 ) = m´ 2 , m2 ) (10.28) ın(ay la acotaci´n buscada para a3 es: o 0 ≤ a3 ≤ m´ 2 , m2 ) ın(a (10.29) Las dem´s desigualdades no ofrecen otras dificultades que las t´cnicas. Por ejemplo la cuarta: a e (Λ − a1 α1 − a2 α2 − a3 α1 )(h3 ) = m3 + a2 (10.30)Como no hay ra´ α3 no es preciso cambiar nada (o si se quiere, es la primera vez que aplicamos ızf3 ) y la desigualdad es: 0 ≤ a4 ≤ m3 + a2 (10.31) Vayamos a por la quinta: (Λ − a1 α1 − a2 α2 − a3 α1 − a4 α3 ))(h2 ) = m2 + a1 − 2a2 + a3 + a4 (10.32)expresi´n en la que hay que cambiar a2 por la media: o 1 a2 = (m´x(a2 ) + m´ 2 )) a ın(a (10.33) 2
  • 105. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 105teniendo en cuenta las desigualdades que satisface a2 . De ellas deducimos: a2 ≥ a4 − m3 , a2 ≥ 0, a2 ≥ a3 (10.34)y por tanto: a2 ≥ m´x(0, a4 − m3 , a3 ) a (10.35)como por otra parte a2 ≤ a1 + m2 , podemos escribir: 1 a2 = (a1 + m2 + m´x(a4 − m3 , a3 )) a (10.36) 2y en la expresi´n que nos da la acotaci´n, tenemos, al sustituir a2 por a2 : o o m2 + a2 − 2a2 + a3 + a4 = m2 + a1 + a3 + a4 − a1 − m2 − m´x(a4 − m3 , a3 ) a ın(m3 − a4 , −a3 ) = a3 + a4 + m´ = m´ın(m3 + a3 , a4 )y la quinta desigualdad es: 0 ≤ a5 ≤ m´ 4 , a3 + m3 ) ın(a (10.37) La sexta desigualdad se calcula de igual forma (de hecho se puede aprovechar informaci´n de olos anteriores c´lculos) y se obtiene: a 0 ≤ a6 ≤ m´ 5 , m3 ) ın(a (10.38) La s´ptima es mucho m´s sencilla. Es la primera vez que aplicamos el operador f4 y por tanto: e a 0 ≤ a7 ≤ m4 + a4 (10.39)La octava se calcula igual que las otras: 0 ≤ a8 ≤ m´ 7 , m4 + a5 ) ın(a (10.40)mientras que la novena tiene una dificultad a˜adida, la necesidad de calcular dos medias. En efecto: n(Λ−(a1 +a3 +a6 )α1 −(a2 +a5 )α2 −(a4 +a8 )α3 −a7 α4 )(h2 ) = m2 +a1 +a3 +a6 −2a2 −2a5 +a4 +a8 (10.41)En esta expresi´n hay que sustituir a2 y a5 por sus medias respectivas, que se obtienen de las odesigualdades precedentes: 1 a2 = (a1 + m2 + m´x(a3 , a4 − m3 )) a 2 1 a5 = (m´ 4 , a3 + m3 ) + m´x(a6 , a8 − m4 )) ın(a a 2y al sustituir obtenemos: 0 ≤ a9 ≤ m´ 8 , m4 + a6 ) ın(a (10.42) La d´cima y ultima no es peor que las dem´s: e ´ a 0 ≤ a10 ≤ m´ 9 , m4 ) ın(a (10.43) Es posible obtener estas expresiones para cualquier An . Como ejemplo de aplicaci´n en otras series, veamos el sencillo caso de B2 . Aqu´ la expresi´n o ı, ode los operadores es: a a a a f1 4 f2 3 f1 2 f2 1 (10.44)
  • 106. 106 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oy para un peso Λ = (m1 , m2 ), las dos primeras desigualdades son inmediatas: 0 ≤ a1 ≤ m2 0 ≤ a2 ≤ m1 + a1 Para la tercera, empleamos el mismo procedimiento que usamos en A4 : (Λ − a1 α2 − a2 α1 )(h2 ) = m2 − 2a1 + 2a2 (10.45)sustituyendo a1 por la media: 1 a1 = (m2 + m´x(0, a2 − m1 )) a (10.46) 2obtenemos: 0 ≤ a3 ≤ m´ ın(2a2 , m1 + a2 ) (10.47) Para la cuarta, el procedimiento es el mismo: (Λ − (a1 + a3 )α2 − a2 α1 )(h2 ) = m1 + a1 − 2a2 + a3 (10.48)y sustituyendo a2 por la media: 1 1 a2 = (m1 + a1 + m´x( a3 , a3 − m1 )) a (10.49) 2 2deducimos que: 1 0 ≤ a4 ≤ m´ ın(m1 , a3 ) (10.50) 2 Por ejemplo para dos representaciones sencillas de B2 : Ejemplo 10.5 Representaci´n: (1, 0): o Las desigualdades son: a1 = 0 0 ≤ a2 ≤ 1 0 ≤ a3 ≤ m´ın(2a2 , a2 + 1) 1 0 ≤ a4 ≤ m´ın(1, a3 ) 2y los exponentes: a4 a3 a2 a1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 2 1 0 El diagrama de pesos y los correspondientes vectores son: 10 |Λ ¯2 1 f1 |Λ 00 f2 f1 |Λ (10.51) 1¯ 2 2 f2 f1 |Λ ¯0 1 2 f1 f2 f1 |Λ
  • 107. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 107 Representaci´n: (0, 1): o Ahora se tiene: 0 ≤ a1 ≤ 1 0 ≤ a2 ≤ a1 0 ≤ a3 ≤ a2 a4 = 0los exponentes: a4 a3 a2 a1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 El diagrama de pesos y los correspondientes vectores son: 01 |Λ 1¯ 1 f2 |Λ (10.52) ¯1 1 f1 f2 |Λ 0¯ 1 f2 f1 f2 |Λ10.3. Dimensiones de representaciones irreducibles El c´lculo de las dimensiones de las representaciones irreducibles de ´lgebras de Lie simples se a abasa en la f´rmula de Weyl, que no demostraremos aqu´ o ı: (Λ + δ, α) dim V (λ) = (10.53) α>0 (δ, α)donde δ es la semisuma de las ra´ ıces positivas: 1 δ= α (10.54) 2 α>0 Sin embargo, es posible obtener expresiones m´s expl´ a ıcitas utilizando bases de pesos fundamen-tales o cartesianas en el espacio de pesos. Veamos unos casos sencillos. Ejemplo 10.6 A1 : En este caso δ = α/2, y el peso m´ximo λ tiene una sola componente en la base de pesos afundamentales: Λ = (λ). Por tanto, la f´rmula de Weyl da: o 2 1 2(Λ, α) dim V (Λ) = (Λ + α, α) = +1 (10.55) (α, α) 2 (α, α)
  • 108. 108 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oPero: 2(Λ, α) λ = Λ(h) = (10.56) (α, α)por lo que la dimensi´n es: o dim V (Λ) = λ + 1 (10.57) A2 : La semisuma de ra´ ıces positivas (que son α1 , α2 y α3 = α1 + α2 ) es ahora: δ = α1 + α2 (10.58)y las coordenadas del peso m´s alto Λ en la base de pesos fundamentales son (λ1 , λ2 ). Por tanto: a (Λ + δ, α1 ) (Λ + δ, α2 ) (Λ + δ, α3 ) dim V (Λ) = (10.59) (δ, α1 ) (δ, α3 ) (δ, α2 )Todas las ra´ tiene la misma longitud (llam´mosla c), y adem´s, de la matriz de Cartan tenemos: ıces e a 2(α1 , α2 ) α1 , α2 = = −1 (10.60) (α2 , α2 )de donde se tiene: c (α1 , α1 ) = (α2 , α2 ) = c, (α1 , α2 ) = − (10.61) 2De estas relaciones se obtiene: c (δ, α1 ) = (δ, α2 ) = , (δ, α3 ) = c (10.62) 2y c c c (Λ + δ, α1 ) = (λ1 + 1), (Λ + δ, α2 ) = (λ2 + 2), (Λ + δ, α3 ) = (λ1 + λ2 + 2) (10.63) 2 2 2con lo que la dimensi´n de la representaci´n es: o o 1 dim V (Λ) = (λ1 + 1)(λ2 + 1)(λ1 + λ2 + 2) (10.64) 2 Cambiemos ahora de serie y calculemos la dimensi´n de las representaciones de B2 : o Las ra´ ıces positivas son ahora: α1 , α2 , α1 + α2 , α1 + 2α2 (10.65)y su semisuma es por tanto: 3 δ= α1 + 2α2 (10.66) 2 Si llamamos c a la longitud al cuadrado de la ra´ m´s larga: ız a c c (α1 , α1 ) = c, (α2 , α2 ) = , (α1 , α2 ) = − (10.67) 2 2 Sustituyendo en la f´rmula de Weyl: o 1 dim V (Λ) = (λ1 + 1)(λ2 + 1)(2λ1 + λ2 + 3)(λ1 + λ2 + 1) (10.68) 6 Finalmente, calculemos la dimensi´n de las representaciones de la otra ´lgebra de rango 2, G2 . o a
  • 109. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 109 Las ra´ ıces positivas son: α1 , α2 , α1 + α2 , α1 + 2α2 , α1 + 3α2 , 2α1 + 3α2 (10.69)y su semisuma es: δ = 3α1 + 5α2 (10.70)Si c es la longitud al cuadrado de la ra´ m´s larga: ız a c c (α1 , α1 ) = c, (α2 , α2 ) = , (α1 , α2 ) = − (10.71) 3 3y despu´s de algunos sencillos c´lculos: e a 1 dim V (Λ) = (λ1 + 1)(λ2 + 1)(3λ1 + λ2 + 4)(3λ1 + 2λ2 + 5)(λ1 + λ2 + 2)(2λ1 + λ2 + 3) (10.72) 120 Estas formas se pueden dar para una serie completa. Veamos el caso de An . En este caso, lasra´ ıces positivas (en n´mero de n(n + 1)/2) son: u α1 , . . . , αn (10.73) α1 + α2 , . . . , αn−1 + αn (10.74) α1 + α2 + α3 , . . . , αn−2 + αn−1 + αn (10.75) ··· (10.76) α1 + · · · + αn−1 , α2 + · · · + αn (10.77) α1 + · · · + αn (10.78)y la semisuma es: 1 δ= (nα1 + 2(n − 1)α2 + 3(n − 2)α3 + · · · + (n − 1)2αn−1 + nαn ) (10.79) 2 En la base de pesos fundamentales: δ = (1, 1, . . . , 1) (10.80)que es un resultado general. Veamos su demostraci´n. Si aplicamos una reflexi´n elemental a la o osemisuma de ra´ıces positivas, el resultado es muy sencillo: σi (δ) = δ − δ, αi αi = δ − αi (10.81)pues la reflexi´n σi cambia entre s´ las ra´ o ı ıces positivas, excepto αi que cambia de signo: 1 1 δ= αj + αi (10.82) 2 2 j=iPor tanto: δ, αi = 1, i = 1, . . . n (10.83)y estas son las coordenadas de δ en la base de pesos fundamentales. Volvamos al caso de An . Las ra´ son todas de la misma longitud, sea (αi , αi ) = c. Por tanto: ıces c (δ, αi ) = (10.84) 2
  • 110. 110 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oya que: c (αi , αi±1 ) = − (10.85) 2y es cero en el resto de los casos en que i = j. Como hemos calculado δ en funci´n de las ra´ o ıcessimples, basta comprobar que: −m(n − (m − 1)) + 2(m + 1)(n − m) − (m + 2)(n − (m + 1)) = 2 (10.86)Para cualquier otra ra´ positiva que no sea una ra´ simple, el producto es: ız ız kc (δ, α) = (10.87) 2donde k es el n´mero de ra´ simples que aparecen en α (k = 1, 2 . . . , n, 1 para las ra´ simples u ıces ıcesy n para la ra´ m´s alta). El n´mero de ra´ ız a u ıces positivas est´ distribuido de la forma siguiente: n a ıces simples, n − 1 ra´ra´ ıces simples, etc. Es decir, n − (k − 1) ra´ ıces suma de dos ra´ ıces formadaspor la suma de k ra´ıces simples. Calculemos en primer lugar el producto de los denominadores. (n−1) 2 n(n+1) n c n 2c (n − 1)c nc c 2 (δ, α) = ··· = k n−k+1 (10.88) α>0 2 2 2 2 2 k=1 Sea ahora: α = αq + αq+1 + · · · + αp con p − q + 1 = k, una ra´ positiva y Λ = (λ1 , . . . , λn ) un ızpeso m´ximo de An : a kc (Λ + δ, α) = (Λ, α) + (10.89) 2 Repitiendo lo ya hecho muchas veces, las coordenadas de Λ en la base de pesos fundamentalesson: 2(Λ, αi ) λi = (10.90) (αi , αi )y por tanto: c (Λ, αi ) = λi (10.91) 2de donde: c (Λ, α) = (λq + · · · + λp ) (10.92) 2y finalmente: c (Λ + δ, α) = (λq + · · · + λp + k) (10.93) 2siempre con k = p − q + 1. Ya solo nos queda hacer el producto de los numeradores: c n c n−1 (Λ + δ, α) = (λ1 + 1) · · · (λn + 1) (λ1 + λ2 + 2) · · · (λn−1 + λn + 2) · · · × α>0 2 2 c 2 c (λ1 + · · · + λn−1 + n − 1)(λ2 + · · · + λn + n − 1) × 2 2 n(n+1) c 2 (λ1 + · · · + λn + n) = (λ1 + 1) · · · (λn + 1) · · · (λ1 + · · · + λn + n) 2y dividiendo este resultado por el denominador calculado anteriormente, obtenemos la f´rmula ogeneral de la dimensi´n de una representaci´n irreducible de An : o o 1 dim V (Λ) = n (λ1 + 1) · · · (λn + 1)(λ1 + λ2 + 2) · · · (λn−1 + λn + 2) · · · k n−k+1 k=1 (λ1 + · · · + λn−1 + n − 1)(λ2 + · · · + λn + n − 1)(λ1 + · · · + λn + n) (10.94)
  • 111. Cap´ ıtulo 11Productos tensoriales derepresentaciones Cuando se multiplican tensorialmente dos representaciones irreducibles es decir sus g-m´dulos oasociados, el producto no es en general una representaci´n irreducible. La descomposici´n en suma o ode representaciones irreducibles (un tema en el que no entraremos en estas notas, pero que esevidente que se puede hacer en dimensi´n finita) se llama la serie de Clebsch-Gordan correspon- odiente. Su c´lculo es en general complicado, pero daremos una serie de reglas que lo facilitan y que apermiten, al menos en casos sencillos, dar una respuesta r´pida. a Sea g un ´lgebra de Lie simple y Λ1 , Λ2 pesos m´ximos de dos representaciones con g-m´dulos a a oV1 y V2 . En el producto tensorial V1 ⊗ V2 act´a una representaci´n de g que se llama producto u otensorial de las representaciones en V1 y V2 . Concretamente la acci´n de un elemento de g en el oespacio V1 ⊗ V2 es: x · (v1 ⊗ v2 ) = (x · v1 ) ⊗ v2 + v1 ⊗ (x · v2 ) (11.1)como ya hemos visto. De esta forma, los pesos de la representaci´n producto tensorial son simple- omente la suma de los pesos de las representaciones que aparecen en el producto. Concretamente, lasuma de los pesos m´s altos Λ1 y Λ2 es justamente el peso m´ximo de una de las representaciones a aque aparecen en el producto (y obviamente, no hay otra representaci´n en el producto con peso omayor que ´ste). En efecto, si |Λ1 y |Λ2 son los vectores asociados a estos pesos m´s altos, y h e aes un elemento del ´lgebra de Cartan de g, se tiene: a h(|Λ1 ⊗ |Λ2 ) = (h|Λ1 ) ⊗ |Λ2 + |Λ1 ⊗ (h|Λ2 ) = (Λ1 + Λ2 )(h)(|Λ1 ⊗ |Λ2 ) (11.2) El problema es como calcular el resto de las representaciones irreducibles que forman la serie deClebsch-Gordan. Para ello introduciremos los conceptos de congruencia e ´ ındices que nos ayudar´naen este c´lculo. a11.1. Clases de congruencia Es bien sabido que en A1 existen dos clases de representaciones, las de peso par y peso impar(spin entero y semientero en la notaci´n m´s usada en f´ o a ısica). Se llaman clases de congruencia. Sise asigna el n´mero 0 a la clase par y el 1 a la impar, se tiene el siguiente resultado: u En la serie de Clebsch-Gordan del producto tensorial de una representaci´n de clase a por otra ode clase b s´lo aparecen representaciones de la clase a + b, mod(2). o En t´rminos m´s usados en f´ e a ısica, el producto de spins semienteros son spins enteros, el de spinentero por semientero es semientero y el producto de spins enteros es tambi´n entero. e 111
  • 112. 112 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Una situaci´n similar aparece en A2 . Aqu´ hay tres clases de congruencia (trialidad en la o ınomenclatura f´ ısica), denotadas por los n´meros 0, 1, 2 (m´dulo 3). La representaci´n (1, 0) es de u o oclase 1, la (0, 1) de clase 2 y la (1, 1) de clase 0. La propiedad de los productos tensoriales dadapara A1 se conserva aqu´ ı. El n´mero de clases de congruencia para las distintas ´lgebras de Lie simples viene dada en la u asiguiente tabla: An n+1 Bn 2 Cn 2 Dn 4 E6 3 E7 2 E8 1 F4 1 G2 1 El c´lculo de la clase de congruencia a la que pertenece una representaci´n dada es sencillo, a oaunque solo lo haremos aqu´ para las series An , Bn . Para la serie An , dado una representaci´n de ı opeso m´s alto Λ = (λ1 , . . . , λn ), basta hallar el n´mero: a u λ1 + 2λ2 + · · · + nλn , mod n + 1 (11.3) En Bn las clases de congruencia vienen dadas por λn , mod 2. Para las dem´s el c´lculo es igual a ade sencillo, aunque las f´rmulas var´ de unos casos a otros. o ıan Las clases de congruencia se corresponden con los elementos del grupo P/Q, donde P es elret´ ıculo de pesos y Q el de ra´ ıces. Este es el n´mero de elementos del centro del grupo corres- upondiente. El ´ındice de Q en P es igual al n´mero de clases de congruencia y coincide con el udeterminante de la matriz de Cartan. Las clases de congruencia est´n relacionadas con la forma en que se expresan los pesos en afunci´n de las ra´ o ıces simples. Por ejemplo, para A2 : 2 1 ω1 = α1 + α2 3 3 1 2 ω2 = α1 + α2 3 3De esta forma, los pesos Λ = (λ1 , λ2 ) se escriben como: 2λ1 + λ2 λ1 + 2λ2 Λ= α1 + α2 (11.4) 3 3con lo que los coeficientes de Λ en funci´n de la base de ra´ o ıces simples son m´ltiplos de tres (en ucuyo caso los coeficientes son enteros), o bien conjugados a 1 o 2 m´dulo 3 (con m´s precisi´n, o o a obien son ambos m´ltiplos de 3, o si uno es conjugado a 1, el otro lo es a 2). u11.2. ´ Indices de representaciones Se define el ´ ındice de segundo orden de una representaci´n irreducible Λ, de un ´lgebra simple, o ag, como: IΛ = m2 (11.5) m∈Ω(Λ) Para el c´lculo del ´ a ındice es m´s conveniente usar la siguiente expresi´n: a o l IΛ = NΛ (KΛ − δ 2 ) 2 (11.6) n
  • 113. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 113donde l el el rango del ´lgebra y n su dimensi´n. NΛ es la dimensi´n de la representaci´n, y: a o o o KΛ = Λ + δ (11.7)siendo δ la semisuma de ra´ ıces positivas. Como hemos visto, el sistema de pesos de la representaci´n producto Λ1 ⊗ Λ2 es la suma de olos sistemas de pesos de Λ1 y Λ2 . Es posible demostrar que existe la siguiente relaci´n entre los o´ındices de las representaciones Λ1 y Λ2 y los de las representaciones que aparecen en la serie deClebsch-Gordan: IΛ1 ⊗Λ2 = (dim Λ1 )IΛ2 + (dim Λ2 )Iλ1 = IΛ (11.8) Λ Esta expresi´n constituye una relaci´n que ayuda al c´lculo de las representaciones que aparecen o o aen la serie de Clebsch-Gordan.11.3. Cadenas minimales Volvamos al problema de calcular la serie de Clebsch-Gordan: N Λ⊗Λ = m(Λi )Λi (11.9) i=1donde m(Λi ) es el n´mero de veces que la representaci´n Λi aparece en la descomposici´n (la u o omultiplicidad). Como hemos dicho, el peso Λ + Λ es un peso m´s alto de una de las representaciones que aaparecen en la descomposici´n (el mayor de todos). Tambi´n es f´cil calcular el peso m´s alto m´s o e a a apeque˜o de todos los que aparecen en la descomposici´n (los conceptos de mayor y m´s peque˜o n o a nse refieren al nivel en el que se encuentra este peso). Este peso es: Λ + Λ donde Λ es el peso m´s apeque˜o de la representaci´n Λ . En realidad, lo m´s que podemos asegurar, es que este peso se n o aencuentra en esa representaci´n que buscamos, pero una aplicaci´n del grupo de Weyl nos llevar´ al o o apeso m´s alto en el caso en que ´ste no lo sea. a e El resto de las componentes de la serie se puede obtener de la forma siguiente: Λ + Λ − M (αi ) (11.10)es el segundo peso, donde M (αi ) es una cadena minimal que se construye de la forma siguiente.Se toma Λ (por ejemplo) y se buscan las ra´ simples para las que (Λ, αi ) = 0 (para lo que basta ıcesver qu´ componentes de Λ son distintas de cero). Sea αj una de ellas. Este es el primer elemento ede la cadena. El segundo elemento es otra ra´ αk tal que: (αj , αk ) = 0. Finalmente llegaremos a ızuna ra´ simple αs , tal que: (αs , Λ ) = 0. ız Es decir una cadena minimal relaciona los dos pesos m´s altos a trav´s de una serie de ra´ a e ıcesque forman un camino en el diagrama de Dynkin. Veamos unos ejemplos de aplicaci´n de estos m´todos. o e Ejemplo 11.1 Consideremos en A2 las representaciones: Λ = (1, 0), Λ = (0, 1) (11.11)ambas de dimensi´n 3. Por tanto la representaci´n producto tensorial tiene dimensi´n 9. El peso o o omayor es la suma de Λ y Λ , es decir (1, 1). Como esta representaci´n tiene dimensi´n 8, es obvio o oque solo hay otra representaci´n, de dimensi´n 1, es decir (0, 0): o o (1, 0) ⊗ (0, 1) = (1, 1) ⊕ (0, 0) (11.12)
  • 114. 114 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Ejemplo 11.2 Sean ahora las representaciones de A2 : Λ = Λ = (1, 0) (11.13) La representaci´n producto tiene tambi´n dimensi´n 9. Sin embargo el peso mayor es (2, 0) que o e ocorresponde a una representaci´n de dimensi´n 6. Queda pues una dimensi´n igual a 3. Hay dos o o orepresentaciones de dimensi´n 3 en A2 y no hay representaciones de dimensi´n 2 (aparte de que o opodr´ corresponder a tres veces la representaci´n de peso (0, 0), aunque este caso puede excluirse ıa opor otras razones). El peso m´s bajo de la representaci´n (1, 0) es (0, −1), y por tanto: a o (1, 0) + (0, −1) = (1, −1) (11.14)Este peso no es dominante, pero una reflexi´n r2 lo lleva a uno que s´ lo es: o ı r2 (1, −1) = (1, −1) + (−1, 2) = (0, 1) (11.15)que es una representaci´n de dimensi´n 3. As´ pues, no hay que buscar m´s. Por tanto: o o ı a (1, 0) ⊗ (1, 0) = (2, 0) ⊕ (0, 1) (11.16) Ejemplo 11.3 Veamos un caso m´s complicado en C3 , con representaciones: a Λ = Λ = (0, 0, 1) (11.17)que tiene dimensi´n 14. La dimensi´n de la representaci´n producto es 196. El peso mayor es: o o o(0, 0, 2), que corresponde a una representaci´n de dimensi´n 84. El peso menor ser´ o o ıa: (0, 0, 1) + (0, 0, −1) = (0, 0, 0) (11.18)pues el peso m´s peque˜o de la representaci´n (0, 0, 1) es (0, 0, −1). Nos faltan 196 − 84 − 1 = 111. a n oConstruyamos una cadena minimal. La ra´ α3 conecta Λ consigo mismo. Por tanto un peso es: ız Λ + Λ − α3 = (0, 0, 2) − (0, −2, 2) = (0, 2, 0) (11.19)que es una representaci´n de dimensi´n 90. Solo nos queda 21. Pero las cadenas minimales se o opueden tambi´n usar subiendo desde el peso m´s peque˜o: e a n (0, 0, 0) + (0, −2, 2) = (0, −2, 2) (11.20)que no es un peso dominante. Pero podemos usar reflexiones para pasar al peso dominante: r2 (0, −2, 2) = (0, −2, 2) + 2(−1, 2, −1) = (−2, 2, 0) (11.21)y otra vez: r1 (−2, 2, 0) = (−2, 2, 0) + 2(2, −1, 0) = (2, 0, 0) (11.22)Este peso corresponde a una representaci´n de dimensi´n 21, con lo que se acaba la descomposici´n: o o o (0, 0, 1) ⊗ (0, 0, 1) = (0, 0, 2) ⊕ (0, 2, 0) ⊕ (2, 0, 0) ⊕ (0, 0, 0) (11.23) Ejemplo 11.4 Volvamos a A2 y sea ahora el producto: (1, 1) ⊗ (1, 1) (11.24)
  • 115. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 115La dimensi´n es 8 × 8 = 64. El peso mayor y el m´s peque˜o son: o a n (1, 1) + (1, 1) = (2, 2), (1, 1) + (−1, −1) = (0, 0) (11.25) Podemos encontrar dos cadenas minimales, una con α1 y la otra con α2 . Del peso mayorobtenemos: (1, 1) + (1, 1) − (2, −1) = (0, 3), (1, 1) + (1, 1) − (−1, 2) = (3, 0) (11.26) Partiendo del peso menor: (0, 0) + (2, −1) = (2, −1), (0, 0) − (−1, 2) = (−1, 2) (11.27)que no son pesos dominantes. Pero, aplicando una reflexi´n: o 2r 1 r (2, −1) −→ (1, 1), (−1, 2) −→ (1, 1) (11.28)es decir en los dos casos se obtiene la misma. Si sumamos las dimensiones de todas las representaciones: (2, 2) 27 (3, 0) 10 (0, 3) 10 (1, 1) 8 (0, 0) 1 56por lo que nos queda todav´ 8. Se concluye, analizando por ejemplo las clases de congruencia (todas ıalas representaciones en este caso est´n en la clase 0), que el unico candidato es la representaci´n a ´ o(1, 1). La serie de Clebsch-Gordan completa es: (1, 1) ⊗ (1, 1) = (2, 2) + (3, 0) + (0, 3) + 2(1, 1) + (0, 0) (11.29) Las dificultades no crecen en general con la dimensi´n de las representaciones sino con el n´mero o ude ellas que aparecen en la descomposici´n. Veamos un ejemplo con dimensi´n alta pero sencillo o ode tratar. Ejemplo 11.5 En E6 consideremos el producto tensorial de las representaciones: (0, 0, 0, 0, 0, 1) ⊗ (1, 0, 0, 0, 0, 0) (11.30)La primera tiene dimensi´n 78 y la segunda 27, con lo que el producto es 2106. o El peso mayor es (1, 0, 0, 0, 0, 1) que corresponde a una representaci´n de dimensi´n 1728. El o opeso menor es: (0, 0, 0, 0, 0, 1) + (0, 0, 0, 0, −1, 0) = (0, 0, 0, 0, −1, 1) (11.31)(calculando el peso m´s bajo de la representaci´n (1, 0, 0, 0, 0, 0)). No es un peso dominante, pero a ola siguiente cadena de reflexiones lo convierte en uno. r5 : (0, 0, 0, 0, −1, 1) + (0, 0, 0, −1, 2, 0) = (0, 0, 0, −1, 1, 1) r4 : (0, 0, 0, −1, 1, 1) + (0, 0, −1, 2, −1, 0) = (0, 0, −1, 1, 0, 1) r3 : (0, 0, −1, 1, 0, 1) + (0, −1, 2, −1, 0, −1) = (0, −1, 1, 0, 0, 0) r2 : (0, −1, 1, 0, 0, 0) + (−1, 2, −1, 0, 0, 0) = (−1, 1, 0, 0, 0, 0) r1 : (−1, 1, 0, 0, 0, 0) + (2, −1, 0, 0, 0, 0) = (1, 0, 0, 0, 0, 0)
  • 116. 116 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. ocon lo que obtenemos un peso que corresponde a una representaci´n de dimensi´n 27. Si hubi´ramos o o ecalculado el peso m´s bajo de la otra representaci´n, habr´ a o ıamos obtenido: (0, 0, 0, 0, 0, −1) + (1, 0, 0, 0, 0, 0) = (1, 0, 0, 0, 0, −1) (11.32)Tampoco es un peso dominante, pero: r6 : (1, 0, 0, 0, 0, −1) + (0, 0, −1, 0, 0, 2) = (1, 0, −1, 0, 0, 1) r3 : (1, 0, −1, 0, 0, 1) + (0, −1, 2, −1, 0, −1) = (1, −1, 1, −1, 0, 0) r2 : (1, −1, 1, −1, 0, 0) + (−1, 2, −1, 0, 0, 0) = (0, 1, 0, −1, 0, 0) r4 : (0, 1, 0, −1, 0, 0) + (0, 0, −1, 2, −1, 0) = (0, 1, −1, 1, −1, 0) r5 : (0, 1, −1, 1, −1, 0) + (0, 0, 0, −1, 2, 0) = (0, 1, −1, 0, 1, 0) r3 : (0, 1, −1, 0, 1, 0) + (0, −1, 2, −1, 0, −1) = (0, 0, 1, −1, 1, −1) r6 : (0, 0, 1, −1, 1, −1) + (0, 0, −1, 0, 0, 2) = (0, 0, 0, −1, 1, 1) r4 : (0, 0, 0, −1, 1, 1) + (0, 0, −1, 2, −1, 0) = (0, 0, −1, 1, 0, 1) r3 : (0, 0, −1, 1, 0, 1) + (0, −1, 2, −1, 0, −1) = (0, −1, 1, 0, 0, 0) r2 : (0, −1, 1, 0, 0, 0) + (−1, 2, −1, 0, 0, 0) = (−1, 1, 0, 0, 0, 0) r1 : (−1, 1, 0, 0, 0, 0) + (2, −1, 0, 0, 0, 0) = (1, 0, 0, 0, 0, 0)que nos da el mismo resultado anterior, pero con mucho m´s esfuerzo. a Para calcular el resto de las representaciones tratemos de emplear alguna cadena minimal.Partiendo de (0, 0, 0, 0, 0, 1) queremos llegar a (1, 0, 0, 0, 0, 0) siguiendo el diagrama de Dynkin.Claramente la unica posibilidad es la cadena: ´ α6 , α3 , α2 , α1 (11.33)y por lo tanto el peso obtenido es: (1, 0, 0, 0, 0, 1) − (0, 0, −1, 0, 0, 2) − (0, −1, 2, −1, 0, −1) − (−1, 2, −1, 0, 0, 0) − (2, −1, 0, 0, 0, 0) = (0, 0, 0, 1, 0, 0)que es un peso dominante y que corresponde a una representaci´n de dimensi´n 351. Pero: o o 1728 + 351 + 27 = 2106 (11.34)luego hemos terminado. La serie de Clebsch-Gordan es: (0, 0, 0, 0, 0, 1) ⊗ (1, 0, 0, 0, 0, 0) = (1, 0, 0, 0, 0, 1) ⊕ (0, 0, 0, 1, 0, 0) ⊕ (1, 0, 0, 0, 0, 0) (11.35) Para acabar la descripci´n de estos m´todos de c´lculo, veamos como los ´ o e a ındices de las repre-sentaciones que aparecen en los ejemplos verifican las relaciones explicadas anteriormente. Ejemplo 11.6 A2 (1, 0) ⊗ (0, 1) = (1, 1) ⊕ (0, 0) (11.36) Rep. ´ Indice (1,0) 3 (0,1) 3 (1,1) 18 (0,0) 0
  • 117. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 117 El ´ ındice del producto tensorial es: I(1,0)⊗(0,1) = 3 × 3 + 3 × 3 = 18 (11.37)y se tiene: 18 = 18 + 0 (11.38) Ejemplo 11.7 A2 (1, 0) ⊗ (1, 0) = (2, 0) ⊕ (0, 1) (11.39) Rep. ´ Indice (1,0) 3 (2,0) 15 (0,1) 3 El ´ ındice del producto tensorial es: I(1,0)⊗(1,0) = 3 × 3 + 3 × 3 = 18 (11.40)y se tiene: 18 = 15 + 30 (11.41) Ejemplo 11.8 C3 (0, 0, 1) ⊗ (0, 0, 1) = (2, 0) ⊕ (0, 1) (11.42) Rep. ´ Indice (0,0,1) 20 (0,0,2) 288 (0,2,0) 240 (2,0,0) 32 (0,0,0) 0 El ´ ındice del producto tensorial es: I(0,0,1)⊗(0,0,1) = 14 × 20 + 14 × 20 = 560 (11.43)y se tiene: 560 = 288 + 240 + 32 + 0 (11.44) Ejemplo 11.9 A2 (1, 1) ⊗ (1, 1) = (2, 2) ⊕ (3, 0) ⊕ (0, 3) ⊕ 2(2, 2) ⊕ (0, 0) (11.45) Rep. ´ Indice (1,1) 18 (2,2) 162 (3,0) 45 (0,3) 3 (0,0) 0
  • 118. 118 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o El ´ ındice del producto tensorial es: I(1,1)⊗(1,1) = 8 × 18 + 8 × 18 = 288 (11.46)y se tiene: 288 = 162 + 45 + 45 + 2 × 18 + 0 (11.47) Ejemplo 11.10 E6 (0, 0, 0, 0, 0, 1) ⊗ (1, 0, 0, 0, 0, 0) = (1, 0, 0, 0, 0, 1) ⊕ (0, 0, 0, 1, 0, 0) ⊕ (1, 0, 0, 0, 0, 0) (11.48) Rep. ´ Indice (0,0,0,0,0,1) 72 (1,0,0,0,0,0) 18 (1,0,0,0,0,1) 2880 (0,0,0,1,0,0) 450 El ´ ındice del producto tensorial es: I(0,0,0,0,0,1)⊗(1,0,0,0,0,0) = 78 × 18 + 27 × 72 = 3348 (11.49)y se tiene: 3348 = 2880 + 450 + 18 (11.50)
  • 119. Cap´ ıtulo 12Sub´lgebras de ´lgebras de Lie a asimples La caracterizaci´n de las sub´lgebras maximales de una ´lgebra de Lie simple tiene muchas o a aaplicaciones en f´ ısica. Como ejemplo, consid´rese el modelo standard de la teor´ de unificaci´n en e ıa opart´ıculas elementales y la inclusi´n: o SU (5) ⊃ SU (3) × SU (2) × U (1) (12.1) Los trabajos m´s importantes sobre este tema se deben a Morozov, Malcev, Karpelevitch y aDynkin. Antes de entrar en la descripci´n de estas sub´lgebras, veamos unos ejemplos sencillos. o a12.1. Ejemplos de sub´lgebras a Ejemplo 12.1 Consideremos A2 y la representaci´n fundamental (1, 0): o   a1 b c  d −a1 + a2 e  (12.2) f g −a2 Es muy sencillo encontrar una sub´lgebra de A2 de tipo A1 . Basta hacer c = e = f = g = a2 = 0: a   a1 b 0  d −a1 0  (12.3) 0 0 0 Esta sub´lgebra es de tipo A1 , concretamente es una representaci´n reducible de A1 : a o (1, 0) −→ (1) ⊕ (0) (12.4)Es una sub´lgebra que llamaremos regular: su ra´ simple es una de las ra´ de A2 (β = α1 ). En a ız ıcesel diagrama de ra´ıces de la figura 12.1 se ve como los pesos de la representaci´n (1, 0) de A2 , se oproyectan sobre la recta horizontal que ser´ el diagrama de ra´ ıa ıces de A1 . A saber, ω1 se proyectasobre el peso 1, mientras los otros dos lo hacen sobre −1 y 0: A2 A1 (1, 0) 1 (¯ 1) 1, ¯ 1 (0, ¯ 1) 0 119
  • 120. 120 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Α2 Ω1 Α1 Figura 12.1: A1 ⊂ A2 La proyecci´n del peso (1, 0) es α1 /2, y como β = α1 , el valor del peso es: o 1 1 α1 (h1 ) = β(h1 ) = 1 (12.5) 2 2 Como veremos m´s adelante todas las representaciones de A2 se comportan de esta forma aal pasar a A1 . Por ejemplo, para saber cual es la representaci´n que tiene A1 cuando en A2 se oconsidera la representaci´n adjunta, basta proyectar otra vez sobre la recta horizontal: o A2 A1 (1, 1) 1 (2, ¯ 1) 2 (¯ 2) 1, ¯ 1 (0, 0) 0 (1, ¯ 2) 1 (¯ 1) 2, ¯ 2 (1, 1) ¯ 1es decir: (1, 1) −→ (2) ⊕ 2(1) ⊕ (0) (12.6) El ´lgebra A1 as´ construida no es maximal en A2 . Podemos ampliarla hasta una sub´lgebra a ı areductiva (suma directa de una sub´lgebra semisimple m´s el centro del ´lgebra) maximal: A1 + a a au(1), donde u(1) es un ´lgebra de dimensi´n 1. En t´rminos de matrices: a o e   a1 + m b 0  d −a1 + m 0  (12.7) 0 0 −2mEn este caso u(1) est´ generado por h1 +2h2 , que se puede ver que conmuta con todos los elementos ade esta representaci´n de A1 . o Se tiene: (1, 0) −→ (1)(1) ⊕ (0)(¯ 2) (12.8)donde el primer par´ntesis se refiere a A1 y el segundo a u(1). e Ejemplo 12.2
  • 121. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 121 La construcci´n de una sub´lgebra A1 en A2 no es unica. Podemos hacerlo de m´ltiples for- o a ´ umas que dar´n resultados conjugados al anterior. Pero tambi´n podemos hacerlo de una forma a etotalmente inequivalente. Consideremos la siguiente sub´lgebra de A2 : a   0 b c  −b 0 d  (12.9) −c −d 0Es evidente que se trata de un ´lgebra de tipo A1 . Pero en este caso es la representaci´n irreducible a o(2) la que estamos viendo: (1, 0) −→ (2) (12.10) Esta sub´lgebra ser´ llamada singular, en contraposici´n a la anterior, la ra´ simple de A1 no a a o ızest´ en el sistema de ra´ a ıces de A2 . La proyecci´n de los pesos es similar a la anterior, incluso podemos usar la misma figura, pero oahora las escalas son distintas y se tiene: A2 A1 (1, 0) 2 (¯ 1) 1, ¯ 2 (0, ¯ 1) 0 La proyecci´n es como antes, pero la ra´ aqu´ es β = α1 /2 y por tanto: o ız ı 1 α1 (h) = β(h) = 2 (12.11) 2 Veamos esta diferencia entre sub´lgebras regulares y singulares con m´s detalle. a a 1. En el caso regular, si h = {h1 , h2 } es la sub´lgebra de Cartan de A2 , la sub´lgebra regular a a A1 est´ generada por {h1 , e1 , f1 } y su ra´ simple es, como hemos dicho, α1 . La sub´lgebra a ız a de Cartan de A1 est´ contenida en la sub´lgebra de Cartan de A2 y lo mismo ocurre con a a los sistemas de ra´ ıces. Entonces, si ω es el peso m´s alto de la representaci´n (1, 0) de A2 , a o tenemos: ω(h1 ) = 1, ω(h2 ) = 0 (12.12) es decir, la proyecci´n es 1. o 2. En el caso singular, A1 est´ generada linealmente por: a {e1 − f1 , e2 − f2 , e3 − f3 } (12.13) y cualquiera de estos tres elementos se puede elegir como sub´lgebra de Cartan. Sin embargo, a para hacer las comparaciones m´s sencillas, tomemos otra sub´lgebra A1 conjugada a ´sta y a a e con base: √ √ {2(h1 + h2 ), 2(e1 + e2 ), 2(f1 + f2 )} (12.14) donde las constantes aparecen para ajustar las relaciones de conmutaci´n. En este caso tam- o bi´n la sub´lgebra de Cartan de A1 est´ contenida en la sub´lgebra de Cartan de A2 , pero e a a a no ocurre as´ con el sistema de ra´ ı ıces. En efecto, la ra´ de A1 es ız 1 (α1 + α2 ) (12.15) 2 que no es una ra´ de A2 . As´ si ω es el peso m´s alto de la representaci´n (1, 0) de A2 , se ız ı, a o tiene: ω(h1 ) = 1, ω(h2 ) = 0 (12.16) y por tanto: ω(2(h1 + h2 )) = 2 (12.17) como hab´ ıamos visto antes.
  • 122. 122 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o12.2. Sub´lgebras conjugadas a La clasificaci´n de sub´lgebras de un ´lgebra dada se hace salvo conjugaci´n por elementos del o a a ogrupo de Lie correspondiente al ´lgebra. Por ejemplo, las dos sub´lgebras de tipo A1 que hemos a avisto anteriormente no son conjugadas por ning´n elemento del grupo SL(3, C). En este caso, eso ues evidente de la reducci´n de la representaci´n (1, 0) de A2 . Definamos de manera m´s concreta o o ala cuesti´n de equivalencia. oDefinici´n 12.1 Sean g y g dos ´lgebras de Lie. Se dice que el homomorfismo de ´lgebras de Lie: o a a f : g −→ g (12.18)es una inclusi´n, si es inyectivo. Entonces: o f : g −→ f (g ) ⊂ g (12.19)es un isomorfismo, y se dice que g es una sub´lgebra de g (aunque estrictamente hablando, es af (g ) la que es sub´lgebra de g). aDefinici´n 12.2 Dos inclusiones son equivalentes si est´n relacionadas por un automorfismo in- o aterno de g, σ: f1 g → g ↓σ (12.20) g f2 = σ ◦ f1 (12.21)Definici´n 12.3 Dos inclusiones son linealmente equivalentes si para toda representaci´n ϕ de g, o olas representaciones de g , ϕ ◦ f1 y ϕ ◦ f2 son equivalentes: f1 ϕ g → g → End(V ) ↓σ (12.22) ϕ g → End(V ) ϕ ◦ f2 = σ(ϕ ◦ f1 ) (12.23)donde σ es un automorfismo de End(V ) y V es el espacio de representaci´n de ϕ. o Si dos inclusiones son equivalentes, tambi´n son linealmente equivalentes. Sin embargo el inverso eno es cierto. Como la equivalencia lineal es en general m´s sencilla de establecer que la equivalencia, avamos a estudiar en que condiciones la lineal implica la otra. Supongamos que g y g son semisimples y que existe una inclusi´n de g en g. Se tiene el osiguiente resultado entre dos sub´lgebras de Cartan de estas ´lgebras: a aTeorema 12.1 Si f : g → g es una inclusi´n, y h es una sub´lgebra de Cartan de g , existe una o asub´lgebra de Cartan de g, h, tal que: a f (h ) ⊂ h (12.24) Como consecuencia se tiene una reducci´n del problema a las sub´lgebras de Cartan: o aTeorema 12.2 Si f1 y f2 son dos inclusiones linealmente equivalentes ⇔ sus restricciones a unasub´lgebra de Cartan de g son equivalentes. a Este resultado supone una simplificaci´n mayor del problema. No hace falta estudiar todas olas representaciones para decidir sobre la equivalencia lineal. Como veremos, basta estudiar unao dos representaciones, dependiendo de los casos. Veamos sucintamente la demostraci´n de este oresultado.
  • 123. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 123 1. Condici´n suficiente ⇐ o Sea: f1 |h ≈ f2 |h (12.25) donde h es una sub´lgebra de Cartan de g . Como las sub´lgebras de Cartan son conjugadas, a a cambiando h por una adecuada (que llamaremos igual), podemos tener: f1 |h = f2 |h (12.26) Por el teorema anterior, existe una sub´lgebra de Cartan de g, h tal que: a f1 (h ) = f2 (h ) ⊂ h (12.27) Sea ahora ϕ una representaci´n lineal de g y Λ su sistema de pesos (en relaci´n a h). Entonces, o o ϕ ◦ f1 es una representaci´n de g y su sistema de pesos relativo a h es la imagen de Λ por o la aplicaci´n (f1 |h )∗ . En efecto: o f1 |h : h −→ h (12.28) si h ∈ h y por tanto, f1 (h ) ∈ h, de donde: ϕ(f1 (h ))v = λ(f1 (h ))v (12.29) donde v es un vector del espacio de representaci´n de ϕ y λ es un peso. La aplicaci´n: o o (f1 |h )∗ : h∗ −→ (h )∗ (12.30) verifica: (f1 |h )∗ (ω)(h ) = ω(f1 (h )) (12.31) y por consiguiente: (ϕ ◦ f1 )(h )v = (f1 |h )∗ (ω)(h )v (12.32) con lo que, efectivamente, la representaci´n ϕ ◦ f1 tiene como pesos a (f1 |h )∗ (ω). Lo mismo o pod´ıamos haber hecho con f2 de donde concluimos que los pesos de estas dos representaciones son id´nticos y ambas representaciones son equivalentes. e 2. Condici´n necesaria ⇒ o Sean ahora f1 , f2 : g → g dos homomorfismos de ´lgebras de Lie. Supongamos que las a im´genes de una sub´lgebra de Cartan de g , h , mediante estos dos homomorfismos, est´n a a a contenidas en una sub´lgebra de Cartan de g, h (lo que se puede siempre conseguir). a Introducimos una estructura de orden total, (>), en el ret´ ıculo de ra´ ıces de g relativo a h (compatible con la estructura de espacio vectorial si se considera el ret´ ıculo sobre los racionales). En el ret´ıculo de ra´ıces de g asociado a h consideramos otros dos ´rdenes, >i o , i = 1, 2, tales que: x, y ∈ h∗ , fi (x) > fi (y) ⇒ x >i y, i = 1, 2 (12.33) Cambiando adecuadamente los homomorfismos por otros equivalentes, podemos conseguir ıces simples en h∗ , asociados a ambos coincidan (Π). Definamos un que los sistemas de ra´ nuevo orden: x >> y si x − y es una combinaci´n lineal con coeficientes no negativos de o ra´ ıces simples de Π. Como consecuencia, x >1 y, x >2 y, pues definen el mismo sistema de ra´ ıces simples Π. Una vez introducidos estos ´rdenes y este sistema de ra´ simples, consideremos una repre- o ıces sentaci´n lineal ϕ de g con sistema de pesos Λ. Si λ ∈ Λ, se dice que λ es especial (en relaci´n o o al sistema Π si: ∀λ ∈ Λ, λ >> λ o λ >> λ (12.34)
  • 124. 124 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Por lo que hemos visto antes, los pesos especiales ocupan el mismo lugar en las relaciones de orden >i , de lo que se deduce que si las representaciones ϕ ◦ f1 y ϕ ◦ f2 son equivalentes, entonces: ∗ ∗ f1 (λ) = f2 (λ) (12.35) para los pesos especiales. Pero los pesos fundamentales son siempre especiales y generan h, ∗ ∗ con lo que, si dos inclusiones son linealmente equivalentes, las aplicaciones f1 y f2 son iguales, es decir las restricciones de f1 y f2 a h son iguales. Como resumen, se tiene lo siguiente: Sean g y g ´lgebras de Lie semisimples. Si {ϕ1 , . . . , ϕm } son representaciones de g tal que sus apesos especiales generan h∗ linealmente, entonces, dos inclusiones f1 , f2 de g en g son linealmenteequivalentes si y solo si: ϕi ◦ f1 ≈ ϕi ◦ f2 , i = 1, . . . , m (12.36) Es decir basta estudiar la equivalencia lineal en esas representaciones. Lo que haremos a con-tinuaci´n es estudiar cu´les y cu´ntas representaciones necesitamos para cada una de las ´lgebras o a a ade Lie simples.12.3. Pesos especiales Veamos cu´les son los pesos especiales que necesitamos para construir la equivalencia lineal. a 1. An Consideremos el primer peso fundamental, ω1 = (1, 0, . . . , 0). La representaci´n tiene dimen- o si´n n + 1 y el diagrama de pesos es: o (1, 0, . . . , 0) ↓ α1 (¯ 1, 0, . . . , 0) 1, ↓ α2 . . (12.37) . ↓ αn−1 (0, . . . , 0, ¯ 1) 1, ↓ αn (0, . . . , 0, ¯ 1) por tanto los pesos son: ω1 , ω1 − α1 , ω1 − (α1 + α2 ), . . . , ω1 − (α1 + · · · + αn ) (12.38) y es claro que la diferencia entre cada dos de ellos es una suma de ra´ıces simples con signo global m´s o menos, por lo tanto todos son especiales. Tenemos n pesos especiales linealmente a independientes, por lo que con esta representaci´n basta para estudiar la equivalencia lineal. o 2. Bn El primer peso fundamental es como antes ω1 = (1, 0, . . . , 0). La representaci´n tiene dimen- o
  • 125. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 125 si´n 2n + 1 y el diagrama de pesos es: o (1, 0, . . . , 0) ↓ α1 (¯ 1, 0, . . . , 0) 1, ↓ α2 . . . ↓ αn−2 (0, . . . , 0, ¯ 1, 0) 1, ↓ αn−1 (0, . . . , 0, ¯ 2) 1, ↓ αn (12.39) (0, . . . , 0) ↓ αn (0, . . . , 0, 1, ¯ 2) ↓ αn−1 (0, . . . , 0, 1, ¯ 0) 1, ↓ αn−2 . . . ↓ α1 (¯ 0, . . . , 0) 1, Es f´cil ver que los n primeros pesos son especiales y linealmente independientes; como antes, a nos basta esta representaci´n. o 3. Cn Es un caso similar al anterior. El primer peso fundamental es ω1 = (1, 0, . . . , 0). La represen- taci´n tiene dimensi´n 2n y el diagrama de pesos es: o o (1, 0, . . . , 0) ↓ α1 (¯ 1, 0, . . . , 0) 1, ↓ α2 . . . ↓ αn−2 (0, . . . , 0, ¯ 1, 0) 1, ↓ αn−1 (0, . . . , 0, ¯ 1) 1, (12.40) ↓ αn (0, . . . , 1, ¯1) ↓ αn−1 (0, . . . , 0, 1, ¯ 0) 1, ↓ αn−2 . . . ↓ α1 (¯ 0, . . . , 0) 1, Tambi´n aqu´ los n primeros pesos son especiales y linealmente independientes. Basta esta e ı representaci´n para estudiar la equivalencia lineal. o 4. E6
  • 126. 126 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Aunque ahora las representaciones son m´s complicadas que en los casos anteriores, s´lo una a o de ellas es necesaria. El primer peso fundamental es ω1 = (1, 0, 0, 0, 0, 0). La representaci´n o tiene dimensi´n 27. El diagrama de pesos es: o (1, 0, 0, 0, 0, 0) ↓ α1 (¯ 1, 0, 0, 0, 0) 1, ↓ α2 (0, ¯ 1, 0, 0, 0, 0) 1, ↓ α3 (0, 0, ¯ 1, 0, 1) 1, . . (12.41) . (0, ¯ 1, 0, 0, ¯ 1, 1) ↓ α3 (0, 0, ¯ 1, 0, 0) 1, ↓ α4 (0, 0, 0, 1, ¯ 0) 1, ↓ α5 (0, 0, 0, 0, ¯ 0, ) 1, Los 4 primeros y los 4 ultimos pesos son especiales y entre ellos hay seis linealmente inde- ´ pendientes. Con esta representaci´n podemos estudiar la equivalencia lineal. o 5. G2 Tambi´n en esta caso nos basta con una. El peso de la representaci´n de dimensi´n menor e o o es ω1 = (0, 1). La representaci´n tiene dimensi´n 7 y diagrama de pesos: o o (0, 1) α2 (1, ¯ 1) α1 (¯ 2) 1, α2 (0, 0) (12.42) α2 (1, ¯ 2) α1 (¯ 1) 1, α2 (0, ¯ 1) Todos los pesos son especiales y los dos primeros linealmente independientes. Basta esta representaci´n. o 6. F4 S´lo hace falta una representaci´n. La representaci´n de dimensi´n m´s baja es ω1 = (0, 0, 0, 1). o o o o a
  • 127. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 127 La representaci´n tiene dimensi´n 26: o o (0, 0, 0, 1) ↓ α4 (0, 0, 1, ¯ 1) ↓ α3 (0, 1, ¯ 0) 1, ↓ α2 (1, ¯ 1, 0) 1, . . (12.43) . (1, 1, ¯ 0) ¯ 1, ↓ α2 (0, ¯ 1, 0) 1, ↓ α3 (0, 0, ¯ 1) 1, ↓ α4 (0, 0, 0, ¯ 1) Los cuatro primeros pesos son especiales y linealmente independientes. Basta esta represen- taci´n. o Pero aqu´ se acaba esta caracter´ ı ıstica de necesitar una sola representaci´n para determinar o la equivalencia lineal. En los dem´s casos son necesarias dos representaciones. a 7. Dn Veamos un ejemplo para comprobar que no hay cinco pesos especiales linealmente inde- pendientes dentro de una representaci´n. Consideremos la representaci´n de peso m´s alto: o o a (1, 0, 0, 0) en D5 . La dimensi´n es 10 y el diagrama de pesos: o (1, 0, 0, 0, 0) ↓ (¯ 1, 0, 0, 0) 1, ↓ (0, ¯ 1, 0, 0) 1, ↓ (0, 0, ¯ 1, 1) 1, (0, 0, 0, ¯ 1) 1, (0, 0, 0, 1, ¯ 1) (12.44) (0, 0, 1, ¯ ¯ 1, 1) ↓ (0, 1, ¯ 0, 0) 1, ↓ (1, ¯ 0, 0, 0) 1, ↓ (¯ 0, 0, 0, 0) 1, Los cuatro primeros pesos y los cuatro ultimos son especiales pero entre ellos no hay cinco ´ linealmente independientes. Necesitamos otra representaci´n para encontrar un quinto peso o especial que sea linealmente independiente con los cuatro primeros de ´sta. Se puede tomar e la representaci´n de peso m´s alto (0, 0, 0, 1, 0). Un an´lisis similar dar´ el mismo resultado o a a ıa
  • 128. 128 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o para E7 y E8 ; hacen falta dos representaciones para conseguir 7 pesos especiales linealmente independientes en el caso de E7 y 8 en el caso de E8 .12.4. Resultados generales En la siguiente tabla se dan las representaciones que hay que estudiar para poder asegurar laequivalencia lineal para todas las ´lgebras de Lie simples. a An (1, 0, . . . , 0) Bn (1, 0, . . . , 0) Cn (1, 0, . . . , 0) E6 (1, 0, 0, 0, 0, 0) F4 (0, 0, 0, 1) G2 (0, 1) Dn (1, 0, . . . , 0) (0, . . . , 0, 1, 0) E7 (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0) (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) E8 (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1) Finalmente, como hemos dicho anteriormente, la equivalencia lineal no implica en general laequivalencia de inclusiones. Sin embargo, los casos excepcionales son bien pocos. El resultadogeneral es el siguiente:Teorema 12.3 Sean g y g dos ´lgebras de Lie semisimples y f1 , f2 : g → g dos inclusiones. Se atiene: 1. Si g = An , la equivalencia lineal implica la equivalencia de inclusiones. 2. Si g = Bn , Cn , Dn , se tiene el siguiente resultado. Sea ϕ la representaci´n de menor o dimensi´n de g. Entonces: o ϕ ◦ f1 ≈ ϕ ◦ f2 ⇒ ∃σ, automorfismo de g, tal que f2 = σ ◦ f1 (12.45) De este resultado se concluye: a) Si g = Bn , Cn , la equivalencia lineal implica la equivalencia de inclusiones. b) Si g = Dn , el resultado anterior no es correcto, debido a la existencia de automorfismos externos en Dn . 3. Si g es un ´lgebra excepcional, la equivalencia lineal implica la equivalencia de inclusiones a excepto en un caso, cuando g = E6 y g = A2 o g = G2 .
  • 129. Cap´ ıtulo 13Sub´lgebras regulares a Sea g un ´lgebra de Lie semisimple sobre C. Sea g una sub´lgebra de g. La primera distinci´n a a oque vamos a hacer es entre sub´lgebras regulares (R-sub´lgebras) y no regulares (singulares, S- a asub´lgebras). a13.1. Definici´n y propiedades oDefinici´n 13.1 Se dice que g es una sub´lgebra regular de g si se puede encontrar una sub´lgebra o a ade Cartan de g, h y con ella un sistema de ra´ (∆), de forma que g se genera por un subespacio ıcesde h y algunos de los eα , donde α pertenece al sistema de ra´ ıces de g. Como g es una sub´lgebra se tienen las siguientes propiedades: a 1. α, β ∈ ∆ , α + β ∈ ∆ ⇒ α + β ∈ ∆ (13.1) donde ∆ es el subconjunto de ∆ tal que α ∈ ∆ si eα ∈ g . No es verdad que ∆ sea un sistema de ra´ ıces de una ´lgebra semisimple en general. a La demostraci´n es muy simple: si α, β ∈ ∆ est´ claro que ambas est´n en ∆. Si la suma o a a est´ tambi´n en ∆, el conmutador: a e [eα , eα ] = eα+β (13.2) debe estar en g (pues es una sub´lgebra), luego la suma est´ en ∆ . a a 2. Si α ∈ ∆ y −α ∈ ∆ , entonces hα ∈ g . Pues: [eα , e−α ] = hα (13.3) La propiedad se puede establecer tambi´n como: e ∆ ∩ (−∆ ) ⊂ (h )∗ (13.4)Estas dos propiedades caracterizan los subconjuntos de ∆ que dan lugar a sub´lgebras regulares ade g. Como ya hemos dicho, las sub´lgebras regulares no son necesariamente semisimples. La condi- aci´n de que s´ lo sean aparece en la siguiente proposici´n: o ı oProposici´n 13.1 Sea g una sub´lgebra regular de g. o a ∆ = −∆ g es semisimple ⇔ (13.5) h es generada linealmente por ∆ 129
  • 130. 130 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Veamos unos ejemplos de estas sub´lgebras. a Ejemplo 13.1 Una base de A2 es: {h1 , h2 , e1 , e2 , e3 , f1 , f2 , f3 } y el sistema de ra´ ıces es: ∆ = {α1 , α2 , α1 + α2 , −α1 , −α2 , −α1 − α2 } (13.6) Si escogemos ∆ = {α1 }, g = lin{e1 } es una sub´lgebra regular de A2 , que no es semisimple. a Si ∆ = {α1 , −α1 }, g = lin{h1 , e1 , f1 } es una sub´lgebra regular semisimple de A2 , a saber, aA1 . Ejemplo 13.2 El conjunto ∆ = {α1 , α2 } no genera una sub´lgebra regular, pues α1 + α2 deber´ estar en ∆ a ıatambi´n. Sea e ∆ = {α1 , α2 , α1 + α2 } (13.7)El ´lgebra correspondiente (que no es semisimple) est´ generado por {e1 , e2 , e3 }. La sub´lgebra a a aque adem´s incluye a la sub´lgebra de Cartan de A2 , es decir la que tiene como base: a a {h1 , h2 , e1 , e2 , e3 } (13.8)es una sub´lgebra maximal resoluble de A2 . Se llama la sub´lgebra de Borel de A2 . Cualquier a asub´lgebra que contenga a ´sta se llama un ´lgebra parab´lica, por ejemplo, escogiendo ∆ = a e a o{α1 , α2 , α1 + α2 , −α1 } y el ´lgebra con base: a {h1 , h2 , e1 , e2 , e3 , f1 } (13.9)Esta sub´lgebra es adem´s maximal a a En la representaci´n natural de A2 , con matrices 3 × 3 de traza nula, la sub´lgebra de Borel, o ab, es:   a1 b c  0 −a1 + a2 d  (13.10) 0 0 −a2Si consideramos la base can´nica de C3 , {u1 , u2 , u3 }, podemos dar una cadena de subespacios: o V1 = lin{u1 }, V2 = lin{u1 , u2 }, V3 = lin{u1 , u2 , u3 } (13.11)se tiene: V1 ⊂ V 2 ⊂ V 3 (13.12)y adem´s: a b(Vi ) ⊂ Vi , i = 1, 2, 3 (13.13)situaci´n que caracteriza a las sub´lgebras parab´licas. o a o Los elementos de la sub´lgebra de Cartan de g siempre se pueden a˜adir sin problemas a una a nsub´lgebra regular g . Por tanto si g es maximal h = h, aunque g pueda no ser semisimple y por atanto h no ser´ una sub´lgebra de Cartan de g . Por eso b es maximal (entre las resolubles. Si se a aa˜aden otros elementos a b, se obtiene otras sub´lgebras que ya no son resolubles). n a13.2. Sub´lgebras regulares maximales no semisimples a En primer lugar veremos como son los conjuntos de ra´ ıces ∆ de las sub´lgebras regulares amaximales.
  • 131. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 131Proposici´n 13.2 Sea g una sub´lgebra regular maximal no semisimple de g, con subconjunto de o ara´ ıces ∆ . Entonces: ∆ ∪ (−∆ ) = ∆ (13.14)Recu´rdese que para una sub´lgebra semisimple, ∆ = (−∆ ). Con esta proposici´n, podemos e a odemostrar el siguiente teorema:Teorema 13.1 Sea g un ´lgebra de Lie semisimple, Π un sistema de ra´ a ıces simples. Toda sub´l- agebra regular maximal no semisimple de g es conjugada a una sub´lgebra de la forma g(Πα ). adonde Πα es un subconjunto del sistema de ra´ ıces simples de g, Π, que se obtiene eliminando lara´ simple α de Π. El ´lgebra g(Π ) se obtiene de g considerando la sub´lgebra de Cartan y los ız a avectores ra´ ıces correspondientes a ra´ ıces en ∆(Π ), donde: ∆(Π ) = ∆+ ∪ (− ki αi , ki > 0) (13.15) αi ∈Πes decir ∆(Π ) est´ formado por las ra´ a ıces positivas y aquellas negativas que se obtienen de lasra´ ıces simples que hay en Π (por supuesto con coeficientes enteros negativos). Ejemplo 13.3 Consideremos de nuevo A2 . Seleccionemos el subconjunto de ra´ ıces simples: Πα2 = {α1 } (13.16)Entonces ∆(Πα2 ) = {α1 , α2 , α1 + α2 , −α1 } (13.17) En la representaci´n matricial anterior, tenemos un ´lgebra regular maximal no semisimple, o acon representaci´n: o   a1 b c  d −a1 + a2 e  (13.18) 0 0 −a2 Si eliminamos α1 del conjunto de ra´ıces simples, la sub´lgebra es: a   a1 b c  0 −a1 + a2 e  (13.19) 0 g −a213.3. Sub´lgebras regulares maximales reductivas a Las ´lgebras reductivas son suma de un ´lgebra semisimple y su centro. Su clasificaci´n se basa a a oen un resultado de Borel y Siebenthal. Si g es una sub´lgebra semisimple de g, su ´lgebra de Cartan es una sub´lgebra de un ´lgebra a a a ade Cartan de g. Dado un subconjunto ∆ del conjunto de ra´ ıces ∆ de g, podemos definir: ∆(∆ ) = {α ∈ ∆ : α = ki αi , ki ∈ Z} ⊂ ∆ (13.20) αi ∈∆Entonces: ∆ ⊂ ∆(∆ ) ⊂ ∆ (13.21) Si ∆ contiene a las ra´ ıces simples, entonces ∆(∆ ) = ∆.
  • 132. 132 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Est´ claro que si g es una sub´lgebra semisimple, su sistema de ra´ simples Π est´ contenido a a ıces aen el sistema de ra´ ıces de g. Entonces: ∆ = ∆(Π ) (13.22) Y viceversa. Si Π es un sistema de ra´ ıces linealmente independientes en ∆, tales que α, β ∈ Π ⇒ α − β ∈ ∆ (13.23)entonces podemos construir un ´lgebra semisimple (que llamaremos gs (Π )), tomando como sistema ade ra´ ıces ∆ = ∆(Π ). La sub´lgebra de Cartan h est´ contenida en h y se corresponde con Π , a amientras los vectores ra´ ıces son aquellos que provienen de las ra´ ıces en ∆ . Ejemplo 13.4 A2 . Π = {α1 , α2 }, ∆ = {α1 , α2 , α1 + α2 , −α1 , −α2 , −α1 − α2 } (13.24) Tomemos Π = {α1 + α2 }. Entonces: ∆(Π ) = {α1 + α2 , −α1 − α2 } (13.25) La sub´lgebra de Cartan es h = {h1 + h2 } y los otros elementos de la sub´lgebra son a aeα1 +α2 , e−α1 −α2 . Se trata de una sub´lgebra semisimple de tipo A1 . a Ejemplo 13.5 Consideremos en A2 el siguiente sistema de ra´ ıces: Π = {α1 , α1 + α2 } (13.26)Se trata de dos ra´ ıces linealmente independientes. Es evidente que: ∆(Π ) = ∆ (13.27)luego la supuesta sub´lgebra semisimple que buscamos, asociada a Π , es todo A2 . Sin embargo, aΠ no es un sistema de ra´ıces simples. Lo que falla aqu´ es que: ı α1 + α2 − α2 = α1 (13.28)que es una ra´ de ∆. ız Definamos estos subconjuntos de ∆ que dan lugar a sub´lgebras regulares semisimples. aDefinici´n 13.2 Sea Π ⊂ ∆. Se dice que Π es un P-sistema si las ra´ o ıces en Π son linealmenteindependientes y la diferencia de dos ra´ ıces en Π no est´ en ∆. a El teorema fundamental sobre las sub´lgebras regulares es el siguiente: aTeorema 13.2 Toda sub´lgebra regular semisimple de un ´lgebra de Lie semisimple g, es conjuga- a ada a alguna sub´lgebra gs (Π ), donde Π es un P-sistema. Dos sub´lgebras son conjugadas si existe a aalg´n elemento del grupo de Weyl que lleva un P-sistema en el otro. u El grupo de Weyl se puede considerar aqu´ como el inducido en h por los automorfismos internos ıde g que dejan invariante a h. Debido a este teorema, el problema de encontrar y clasificar las sub´lgebras regulares semisim- aples de un ´lgebra de Lie semisimple se reduce al c´lculo de los P-sistemas. a a
  • 133. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 13313.4. Determinaci´n de los P-sistemas de un ´lgebra semi- o a simple La primera cuesti´n a tener en cuenta es que basta encontrar los P-sistemas que tienen un on´mero de ra´ igual al rango del ´lgebra. Los dem´s estar´n contenidos en ´stos. Los P-sistemas u ıces a a a ede este tipo se obtienen a partir de los llamados diagramas de Dynkin extendidos, que se deducendel diagrama de Dynkin a˜adiendo la ra´ minimal de g (la opuesta de la maximal). Las ra´ n ız ıcesmaximales son: ´ Algebra −α0 n An i=1 αi n Bn α1 + 2 i=2 αi n−1 Cn 2 i=1 αi + αn n−2 Dn α1 + 2 i=2 αi + αn−1 + αn E6 α1 + 2α2 + 3α3 + 2α4 + α5 + 2α6 E7 2α1 + 3α2 + 4α3 + 3α4 + 2α5 + α6 + 2α7 E8 2α1 + 3α2 + 4α3 + 5α4 + 6α5 + 4α6 + 2α7 + 3α8 F4 2α1 + 3α2 + 4α3 + 2α4 G2 2α1 + 3α2 Los diagramas correspondientes aparecen en la Tabla 2 con las coordenadas de la ra´ α0 ız(marcas). Todos los P-sistemas se obtienen mediante operaciones elementales, que consisten en extender eldiagrama de Dynkin del ´lgebra que se est´ estudiando y eliminar una ra´ cualquiera. El diagrama a a ızque se obtiene es un diagrama de Dynkin de un ´lgebra semisimple que es una sub´lgebra regular a adel ´lgebra inicial. En el caso de que el ´lgebra de partida sea semisimple no simple, el diagrama a ade Dynkin consta de varias componentes no conexas. En este caso hay que extender una de ellasy aplicar el procedimiento anterior, para luego hacer lo mismo con el resto. Las sub´lgebras reductivas maximales se obtienen de acuerdo con el siguiente teorema: aTeorema 13.3 (Borel-Siebenthal) Las sub´lgebras reductivas maximales se obtienen a partir ade los diagramas de Dynkin extendidos por el siguiente procedimiento: 1. Se borra un nodo cuya marca sea un n´mero primo. De esta forma se obtienen sub´lgebras u a semisimples correspondientes al diagrama de Dynkin que resulta de esta operaci´n elemental. o 2. Se borran dos nodos cuyas marcas sean iguales a 1. El diagrama que se obtiene corresponde a la parte semisimple de un ´lgebra maximal reductiva cuyo centro es u(1). a Es decir, en lo que respecta a las semisimples, si Π es un sistema de ra´ ıces simples de g,toda sub´lgebra maximal semisimple de g es conjugada a una de la forma gs (Π ) donde Π es un aP-sistema de longitud n (el rango de g), obtenido de Π por una sola operaci´n elemental. o Sin embargo, el rec´ıproco no es cierto. Si Π es un P-sistema que se obtiene de Π por unasola operaci´n elemental, y si gs (Π ) = g, entonces gs (Π ) es una sub´lgebra semisimple maximal o aexcepto en los casos siguientes: g gs (Π ) F4 A1 + A3 E7 A1 + A3 + A3 E8 A1 + A7 , A1 + A2 + A5 , A3 + D5que son los correspondientes a las marcas que no son n´meros primos, un resultado no considerado upor Dynkin en su trabajo. Veamos dos sencillos ejemplos:
  • 134. 134 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Ejemplo 13.6 El ´lgebra A2 no tiene sub´lgebras regulares semisimples maximales. Al considerar el diagrama a ade Dynkin extendido (ver Tabla 2), si quitamos cualquier ra´ obtenemos nuevamente A2 . ız, Ejemplo 13.7 El ´lgebra C2 tiene una sola sub´lgebra regular maximal semisimple. Al eliminar la ra´ central a a ızdel diagrama extendido obtenemos el diagrama de A1 +A1 . Desde un punto de vista m´s geom´trico a eesto equivale a decir que el ´lgebra del grupo ortogonal en el espacio de cinco dimensiones (B2 ≈ C2 ) atiene una sub´lgebra regular maximal semisimple que es justamente la del grupo de rotaciones en ael espacio de cuatro dimensiones.13.5. C´lculo de las sub´lgebras reductivas maximales de a a las ´lgebras de Lie simples a En lo que sigue, determinaremos de forma expl´ ıcita todas las sub´lgebras reductivas maximales ade las ´lgebras de Lie simples usando el teorema de Borel-Siebenthal. a13.5.1. An El primer procedimiento del teorema anterior no proporciona ninguna sub´lgebra distinta de aAn : An no tiene sub´lgebras regulares semisimples maximales. a El segundo proporciona n/2 clases si n es par y (n + 1)/2 si es impar: Ak + An−k−1 + u(1) (13.29)que es una sub´lgebra maximal reductiva (la parte semisimple es una sub´lgebra regular, pero no a aes maximal). El ejemplo m´s famoso en teor´ de part´ a ıa ıculas es probablemente la inclusi´n: o A4 ⊃ A2 + A1 + u(1) (13.30)N´tese que en esta caso hay otra clase: o A4 ⊃ A3 + u(1) (13.31)13.5.2. Bn Primer procedimiento: Si eliminamos la tercera ra´ se obtiene: ız, Bn ⊃ A1 + A1 + Bn−2 (13.32)y eliminando la cuarta: Bn ⊃ A3 + Bn−3 (13.33)Si eliminamos cualquiera de las otras (que no sean las dos primeras, que llevan trivialmente a Bn )se obtiene: Bn ⊃ Dk + Bn−k , k = 4, . . . , n − 1 (13.34)Como A1 + A1 ≈ D2 y A3 ≈ D3 , concluimos que todas las sub´lgebras regulares semisimples amaximales de Bn son: Bn ⊃ Dk + Bn−k , k = 2, . . . , n − 1 (13.35)o tambi´n: e o(2n + 1) ⊃ o(2k) + o(2(n − k) + 1), k = 2, . . . , n − 1 (13.36) Si ahora usamos el segundo procedimiento, solo obtenemos una clase, pues solo hay dos marcasiguales a 1: Bn ⊃ Bn−1 + u(1) (13.37)es la unica sub´lgebra maximal reductiva. ´ a
  • 135. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 13513.5.3. Cn Primer procedimiento: si eliminamos una ra´ se obtienen las n/2 o (n−1)2 clases de sub´lgebras ız, amaximales regulares semisimples de Cn (dependiendo de la paridad de n): Cn ⊃ Ck + Cn−k (13.38)que podr´ escribirse como: ıan sp(2n) ⊃ sp(2k) + sp(2(n − k)) (13.39) Con el segundo procedimiento, solo obtenemos una clase: Cn ⊃ An−1 + u(1) (13.40)unica sub´lgebra maximal reductiva.´ a13.5.4. Dn Primer procedimiento: si eliminamos una ra´ se obtienen n/2 o (n − 1)2 clases de sub´lgebras ız, amaximales regulares semisimples de Dn (dependiendo de la paridad de n): Dn ⊃ Dk + Dn−k (13.41)que en t´rminos m´s geom´tricos podr´ escribirse como: e a e ıa o(2n) ⊃ o(2k) + o(2(n − k)) (13.42) Con el segundo, obtenemos dos clases de ´lgebras reductivas maximales: a Dn ⊃ An−1 + u(1) (13.43) Dn ⊃ Dn−1 + u(1) (13.44) Todos estos resultados y los correspondientes a las ´lgebras excepcionales aparecen en la si- aguiente tabla: ´ Algebra simple Semisimple Reductiva An Ak + An−k−1 + u(1) Bn Dk + Bn−k Bn−1 + u(1) Cn Ck + Cn−k An−1 + u(1) Dn Dk + Dn−k An−1 + u(1) Dn−1 + u(1) E6 A5 + A1 D5 + u(1) A2 + A2 + A2 E7 A7 E6 + u(1) D6 + A1 A5 + A2 E8 D8 A8 E7 + A1 E6 + A2 A4 + A4 F4 B4 A2 + A2 C3 + A1 G2 A2 A1 + A1
  • 136. 136 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o
  • 137. Cap´ ıtulo 14Sub´lgebras singulares de ´lgebras a ade Lie simples Si g es un ´lgebra semisimple y ϕ una representaci´n lineal de g , entonces ϕ(g ) es una a osub´lgebra de sl(n), donde n es la dimensi´n de ϕ. El problema es saber si es maximal o no. Si la a orepresentaci´n admite una forma bilineal invariante, ϕ(g ) no ser´ maximal en sl(n) sino en alguna o ade las sub´lgebras con forma bilineal, so(p) o sp(q). El trabajo de Dynkin consiste en determinar acu´ndo la representaci´n admite esa forma bilineal y si es maximal o no a o14.1. DefinicionesDefinici´n 14.1 Sea g un ´lgebra de Lie simple. Se dice que una sub´lgebra de g, g , es una o a aS-sub´lgebra (singular), si g no est´ contenida en ninguna sub´lgebra regular propia de g. a a a As´ como en las sub´lgebras regulares hemos encontrado sub´lgebras maximales semisimples y ı a ano semisimples, en este caso la situaci´n es m´s sencilla: o aTeorema 14.1 Toda sub´lgebra singular de un ´lgebra de Lie simple es semisimple a a Tambi´n, en el caso de las sub´lgebras regulares el rango de la sub´lgebra era igual al del e a aa´lgebra. Sin embargo, para las S-sub´lgebras el rango es estrictamente menor. a La clasificaci´n de sub´lgebras singulares se basa en un estudio de las representaciones y for- o amas bilineales invariantes. La propiedad fundamental que caracterizar´ a estas sub´lgebras es la a asiguiente:Definici´n 14.2 Sea g un ´lgebra de Lie semisimple y ϕ una representaci´n de g (actuando en o a oun espacio vectorial V ). Se dice que el par (g , ϕ) verifica la propiedad P, si se cumple alguna delas dos condiciones siguientes: 1. ϕ(g ) es una sub´lgebra maximal de sl(V ). a 2. ϕ(g ) es una sub´lgebra maximal de gl(V ) y deja invariante una forma bilineal sim´trica o a e antisim´trica: e (ϕ(x)u, v) + (u, ϕ(x)v) = 0, ∀u, v ∈ V, x ∈ g (14.1) T´ngase en cuenta c´mo es el estudio de la sub´lgebra lo que da aqu´ la informaci´n (en el caso e o a ı ode las regulares part´ ıamos del ´lgebra). a Entonces 137
  • 138. 138 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 1. Excepto en casos excepcionales, toda representaci´n irreducible de un ´lgebra de Lie simple o a tiene la propiedad P. 2. Si ϕ es una representaci´n irreducible y g es semisimple no simple, el par (g , ϕ) es uno de o los siguientes: a) An + Am , n≥m≥1 (14.2) b) so(p) + so(q), p ≥ q ≥ 3, p, q = 4 (14.3) c) so(p) + Cn , p ≥ 3, n ≥ 1 (14.4) d) Cn + Cm , n≥m≥1 (14.5) y en cada caso, ϕ es la suma de representaciones fundamentales. 3. Si ϕ es una representaci´n reducible de un ´lgebra semisimple g que satisface la propiedad o a P, entonces el par (g , ϕ) es uno de los siguientes: a) Cn + Cm , n≥m≥1 (14.6) ϕ = (1, 0, . . . , 0)(0, . . . , 0) ⊕ (0, . . . , 0)(1, 0, . . . , 0) (14.7) b) so(p) + so(q), p≥q≥3 (14.8) ϕ = (1, 0, . . . , 0)(0, . . . , 0) ⊕ (0, . . . , 0)(1, 0, . . . , 0) (14.9) c) so(p), p≥3 (14.10) ϕ = (1, 0, . . . , 0)(0, . . . , 0) (14.11) El problema es, una vez conocidos los pares (g , ϕ), estudiar en qu´ ´lgebra simple g es maximal easingular g .14.2. Formas bilineales invariantesDefinici´n 14.3 Sea g un ´lgebra de Lie semisimple. Se dice que dos representaciones de g, o a(ϕ1 , V1 ) y (ϕ2 , V2 ), son contragradientes si existe un homomorfismo f : V1 −→ V2∗ (14.12)tal que: f (v1 )(ϕ2 (x)v2 ) = f (ϕ1 (x)v1 )(v2 ), ∀x ∈ g, v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 (14.13)Si , es la dualidad entre V2 y V2∗ , la condici´n de contragradientes se puede escribir como: o f (v1 ), ϕ2 (x)v2 = f (ϕ1 (x))v1 , v2 (14.14)y si los espacios de representaci´n son los mismos y f es la identidad: o v1 , ϕ2 (x)v2 = ϕ1 (x)v1 , v2 (14.15)
  • 139. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 139 Tambi´n en este ultimo caso es posible definir el concepto de autocontragradiente para una e ´representaci´n ϕ de un ´lgebra g: o a v1 , ϕ(x)v2 = ϕ(x)v1 , v2 (14.16)en este caso, la dualidad entre el espacio y su dual se puede relacionar con una forma bilineal nodegenerada, que debido a esta propiedad es invariante. Las representaciones que tienen asociada una forma bilineal invariante no degenerada se clasi-fican seg´n la paridad de esa forma: uDefinici´n 14.4 Una representaci´n se llama ortogonal si existe una forma no degenerada inva- o oriante es el espacio de representaci´n que es sim´trica. o e Se llama simpl´ctica si es antisim´trica. e e El car´cter de una representaci´n (ortogonal, simpl´ctica o no existencia de forma invariante) a o ese puede calcular con una sencilla f´rmula: oTeorema 14.2 1. Sea g un ´lgebra de Lie simple de los siguientes tipos: a A1 , Bn , Cn , D2n , E7 , E8 , F4 , G2 (14.17) Entonces, toda representaci´n tiene una forma bilineal invariante no degenerada. Su carac- o ter´ ıstica (ortogonal o simpl´ctica) se calcula de la forma siguiente. Sea Λ = (λ1 , . . . , λn ) el e peso m´ximo de la representaci´n. Si: a o n ki λi (14.18) i=1 es par, la representaci´n es ortogonal. Si es impar, la representaci´n es simpl´ctica. Las o o e constantes ki dependen del ´lgebra que se estudia y sus valores vienen dados en la tabla a siguiente. A1 1, . . . , 1 1 Bn 2n, 2(2n − 1), . . . , (n − 1)(n + 2), 2 n(n + 1) Cn 2n − 1, 2(2n − 2), . . . , (n − 1)(n + 1), n2 D2n 2n − 2, 2(2n − 3), . . . , (n − 2)(n + 1), 1 n(n − 1), 2 n(n − 1) 2 1 E7 34, 66, 96, 75, 52, 27, 49 E8 92, 182, 270, 120, 118, 114, 58, 136 F4 22, 42, 30, 16 G2 10, 6 2. Si g = An , n > 1, E6 , D2n+1 , debido a la existencia de una automorfismo externo, las coordenadas del peso m´s alto deben estar colocadas sim´tricamente en el diagrama para que a e exista una forma bilineal invariante no degenerada (es decir el peso m´s alto no cambia al a aplicar el automorfismo externo. N´tese que, sin embargo, tambi´n D2n tiene un automor- o e fismo externo y no hay que imponer esta condici´n). En caso de que s´ exista, su car´cter se o ı a calcula como en el apartado anterior. Una representaci´n irreducible no puede ser a la vez ortogonal y simpl´ctica. Si una representa- o eci´n es ortogonal y simpl´ctica simult´neamente, es la suma de representaciones contragradientes. o e aDe hecho, si una representaci´n es autocontragradiente, es ortogonal, simpl´ctica o ambas a la vez. o e En el caso en que g es semisimple pero no simple, es decir, es la suma de ´lgebras simples, el acar´cter de la representaci´n ϕ se calcula a partir del car´cter de las representaciones ϕ de cada a o auna de las ´lgebras que aparecen en la suma. Para que ϕ sea ortogonal (o simpl´ctica), es necesario a e
  • 140. 140 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oy suficiente que cada ϕ sea ortogonal o simpl´ctica y el n´mero de representaciones simpl´cticas e u esea par (o impar). Estos resultados permiten calcular de forma expl´ıcita los tres casos de pares que verifican lapropiedad P y el ´lgebra que contiene a g como sub´lgebra singular maximal. a a 1. Sea g simple, ϕ representaci´n irreducible de g de dimensi´n n. Entonces: o o a) Si ϕ es ortogonal: g ⊂ B(n−1)/2 , (n impar) (14.19) g ⊂ Dn/2 , (n par) (14.20) b) Si ϕ es simpl´ctica (n es necesariamente par): e g ⊂ Cn/2 (14.21) El ´lgebra g est´ siempre contenida en una sub´lgebra An−1 . Sin embargo, cuando a a a existe una forma bilineal invariante, no es, en general, maximal. S´lo cuando se tiene o g = g, de acuerdo con los dos apartados anteriores, se concluye que g es maximal en An−1 (siempre que no se est´ en las excepciones que aparecen a continuaci´n). e o c) Si ϕ no tiene formas bilineales invariantes: g ⊂ An−1 (14.22) Todas estas inclusiones son maximales excepto en cuatro series y catorce casos aislados: ´ Algebra ⊃ Sub´lgebra a Regla de ramificaci´n o A(n−1)(n+2)/2 ⊃ An (0, 1, 0, . . . , , 0) → (1, 0, 1, 0, . . . , 0), n ≥ 4 An(n+3) ⊃ An (0, 1, 0, . . . , , 0) → (2, 1, 0, . . . , 0), n ≥ 2 D2n+2 ⊃ B2n+1 (0, 0, . . . , 0, , k) → (0, . . . , 0, k), n ≥ 1, k ≥ 1 B 3 ⊃ G2 (k, 0, 0) → (0, k), k ≥ 2 G2 ⊃ A1 (0, 1) → 6 C10 ⊃ A5 (0, 1, 0, . . . , 0) → (0, 1, 0, 1, 0) D8 ⊃ B4 (0, . . . , 0, 1, 0) → (1, 0, 0, 0, 1) C7 ⊃ C3 (0, 1, 0, . . . , 0) → (0, 2, 0) (0, 0, 1, 0, . . . , 0) → (1, 2, 0) A15 ⊃ D5 (0, 1) → (0, 1, 0, 1, 0) C16 ⊃ D6 (0, 0, 0, 0, 1, 0, . . . , 0) → (0, 0, 0, 1, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 1, 0, . . . , 0) → (0, 0, 1, 0, 1, 0) A26 ⊃ E6 (0, 1, 0, . . . , 0) → (0, 1, 0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 1, 0, . . . , 0) → (0, 0, 0, 1, 0, 1) C28 ⊃ E7 (0, 1, 0, . . . , 0) → (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0) (0, 0, 1, 0, . . . , 0) → (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 1, 0, . . . , 0) → (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 1, 0, . . . , 0) → (0, 1, 0, 0, 0, 0, 1) 2. En el segundo caso, los pares sub´lgebra-´lgebra y las representaciones correspondientes son a a los siguientes: a) An + Am ⊂ A(n+1)(m+1)−1 , n≥m≥1 (14.23) (1, 0, . . . , 0) → (1, 0, . . . , 0)(1, 0, . . . , 0) (14.24)
  • 141. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 141 b) so(p) + so(q) ⊂ so(pq), p ≥ q ≥ 3, p, q = 4 (14.25) (1, 0, . . . , 0) → (1, 0, . . . , 0)(1, 0, . . . , 0) (14.26) c) so(p) + Cm ⊂ Cpm , p ≥ 3, p, m ≥ 1 (14.27) (1, 0, . . . , 0) → (1, 0, . . . , 0)(1, 0, . . . , 0) (14.28) d) Cn + Cm ⊂ D2nm , n≥m≥1 (14.29) (1, 0, . . . , 0) → (1, 0, . . . , 0)(1, 0, . . . , 0) (14.30) 3. En el tercer y ultimo caso, no tenemos en general una sub´lgebra singular. ´ a a) Cn + Cm ⊂ Cn+m (14.31) (1, 0, . . . , 0) → (1, 0, . . . , 0)(0, . . . , 0) + (0, . . . , 0)(1, 0, . . . , 0) (14.32) es una sub´lgebra semisimple regular maximal. a b) so(p) + so(q) ⊂ so(p + q), p≥q≥3 (14.33) (1, 0, . . . , 0) → (1, 0, . . . , 0)(0, . . . , 0) + (0, . . . , 0)(1, 0, . . . , 0) (14.34) es tambi´n una sub´lgebra semisimple regular maximal, excepto: e a Bn + Bm ⊂ Dn+m+1 , n≥m≥1 (14.35) que es maximal singular con una inclusi´n irreducible (aparte de la reducible dada o antes): (0, . . . , 0, 1) → (0, . . . , 0, 1)(0, . . . , 0, 1) (14.36) c) so(p) ⊂ so(p + 1), p≥3 (14.37) (1, 0, . . . , 0) → (1, 0, . . . , 0) + (0, . . . , 0) (14.38) es tambi´n una sub´lgebra semisimple regular maximal, excepto: e a Bn ⊂ Dn+1 , n≥2 (14.39) (0, . . . , 0, k) → (0, . . . , 0, k), k≥1 (14.40) es maximal singular con una inclusi´n irreducible. o Estudiemos algunos ejemplos sencillos. Ejemplo 14.1 Sea g = C3 y consideremos la representaci´n ϕ de peso m´s alto (0, 1, 0), con dimensi´n 14. o a oLa representaci´n es ortogonal. No se trata de ning´n caso excepcional, por tanto: C3 es una o usub´lgebra singular maximal de D7 y se tiene la reducci´n de representaciones: a o (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) −→ (0, 1, 0) (14.41) Ejemplo 14.2
  • 142. 142 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Sea g = B4 y la representaci´n de peso m´ximo (1, 0, 0, 0), de dimensi´n 9, que es ortogonal. o a oSe obtiene nuevamente B4 , y por lo tanto, es maximal en A8 , con la reducci´n: o (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) −→ (1, 0, 0, 0) (14.42) Ejemplo 14.3 Sea g = G2 y la representaci´n de peso m´ximo (0, 2), de dimensi´n 27, que es ortogonal. Se o a oobtiene B13 , pero ´ste es un caso excepcional, y G2 es maximal en B3 , con la reducci´n: e o (2, 0, 0) −→ (0, 2) (14.43)mientras que B3 es una sub´lgebra maximal en B13 , con la reducci´n: a o (1, 0, . . . , 0) −→ (2, 0, 0) (14.44)14.3. Matrices de Proyecci´n o Para acabar el estudio de las sub´lgebras de ´lgebras de Lie simples, describiremos aqu´ el a a ım´todo de la matriz de proyecci´n, que permite conocer el sistema de pesos de las representaciones e ode la sub´lgebra que se obtienen al reducir una representaci´n del ´lgebra. La idea es utilizar el a o adual de la inclusi´n que es una aplicaci´n entre los espacios de pesos del ´lgebra y la sub´lgebra. o o a a Sea f : g → g una inclusi´n de ´lgebras de Lie semisimples. Como sabemos, existen sub´lgebras o a ade Cartan, h y h tales que f (h) ⊂ h . Restringiendo f a h tenemos una aplicaci´n lineal entre oespacios vectoriales: ˆ f : h −→ h (14.45)y podemos construir la aplicaci´n dual: o f ∗ : h∗ −→ (h )∗ (14.46)dada por: ˆ f ∗ (α)(h ) = α(f (h )) (14.47) Los sistemas de pesos de g y g se relacionan a trav´s de f ∗ . eTeorema 14.3 Sea ϕ una representaci´n de g. Entonces ϕ ◦ f es una representaci´n de g . Si Ω o oes el sistema de pesos de ϕ, f ∗ (Ω) es el sistema de pesos de ϕ ◦ f . Los ´rdenes introducidos en los sistemas de pesos permiten la construcci´n de la matriz de o oproyecci´n. oDefinici´n 14.5 Se dice que dos ´rdenes > y > introducidos en Ω y Ω , respectivamente, son o oconsistentes con la inclusi´n, si: o λ1 > λ2 =⇒ f (λ1 ) > f (λ2 ), ∀λ1 , λ2 ∈ Ω (14.48) Los ´rdenes en el sistema de pesos se establecen por niveles y dentro de cada nivel usando el oorden lexicogr´fico. Si los ´rdenes no fueran consistentes, es posible hacer que lo sean cambiando a oadecuadamente la inclusi´n con alg´n elemento del grupo de Weyl. o u La matriz de proyecci´n de un par g ⊃ g , con inclusi´n f es simplemente la expresi´n de la o o oaplicaci´n f ∗ en una cierta base. Su construcci´n se basa en el an´lisis de una o dos reducciones o o a(dependiendo de los casos) de las representaciones de g a g . Es decir, para construirla es necesariosaber como se reduce alguna representaci´n, pero una vez calculada nos dice como lo hacen todas, oal darnos el sistema de pesos en la sub´lgebra. a
  • 143. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 143 Veamos en algunos casos sencillos como construir las matrices de proyecci´n. o Ejemplo 14.4 Sea g = B3 y g = A3 . El ´lgebra A3 es una sub´lgebra maximal regular de B3 . Sabemos como a ase reduce la representaci´n fundamental: o (100) −→ (010) ⊕ (000) (14.49) Ordenemos los pesos de estas representaciones por niveles: 6 (100) 4 (¯ 110) (010) 2 (0¯12) (1¯ 11) 0 (000) (101), (10¯ (000) ¯ 1), (14.50) ¯ 2 (01¯2) (¯ ¯ 111) ¯ 4 (1¯10) (0¯ 10) ¯ 6 (¯ 100) Como ya hemos visto antes, al hablar de pesos especiales, solo necesitamos los tres primerospesos para tener una base: (100), (¯110), (0¯12) (14.51)que se proyectan en los pesos: (010), (1¯ 11), (10¯ 1) (14.52)con lo que la matriz de proyecci´n es: o   0 1 1  1 0 0  (14.53) 0 1 0 Esta matriz nos da la reducci´n de cualquier representaci´n de B3 . Por ejemplo, consideremos o ola representaci´n spinorial de B3 , (0, 0, 1) de dimensi´n 8. Sus pesos y las proyecciones son: o o (001) (100) (01¯1) (001) (1¯ 11) (01¯ 1) (10¯ (¯ 1) 101) (¯ 110) (1¯ 10) (¯ ¯ 111) (0¯11) (0¯ 11) (00¯ 1) (00¯1) (¯100)y reuniendo los pesos de A3 concluimos que la reducci´n de la representaci´n spinorial es: o o (001) −→ (100) ⊕ (001) (14.54) Ejemplo 14.5 G2 ⊂ B3 ⊂ D4 es una cadena de sub´lgebras maximales singulares. Veamos la primera inclusi´n. a oLa regla de ramificaci´n para la representaci´n fundamental de B3 es simplemente: o o (100) −→ (01) (14.55)y los pesos (que ocupan cada uno un nivel) son:
  • 144. 144 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 6 (100) (01) 4 (¯ 110) (1¯1) 2 (0¯ 12) (¯ 12) 0 (000) (00) (14.56) ¯ 2 (01¯2) (1¯2) ¯ 4 (1¯ 10) (¯ 11) ¯ 6 (¯ 100) (0¯1)con lo que resulta f´cil calcular la matriz de proyecci´n a partir de los tres primeros: a o 0 1 0 (14.57) 1 0 1 De aqu´ deducimos la regla de ramificaci´n para las representaciones (k00) de B3 : ı o (k00) −→ (0k) ⊕ · · · (14.58)pues sabemos el primer peso m´s alto, pero tendr´ a ıamos que estudiarlos todos. Sin embargo, de unan´lisis de las dimensiones: a 1 dimB3 (00k) = (k + 1) = dimG2 (0k) (14.59) 6y por tanto la regla de ramificaci´n es s´lo: o o (k00) −→ (0k) (14.60) De acuerdo con esto, G2 (0k) deber´ estar contenido como sub´lgebra maximal en alg´n Bn ıa a ude rango adecuado. Pero ´ste es justamente uno de los casos excepcionales de Dynkin. e La segunda inclusi´n es B3 ⊂ D4 . Sabemos que: o (1000) −→ (100) ⊕ (000) (14.61)S´lo hay tres pesos especiales en la representaci´n (1000) de D4 . La asignaci´n que hacemos es: o o o 6 (1000) (100) 4 (¯ 1100) (¯ 110) (14.62) 2 (0¯ 111) (0¯12)Necesitamos otra regla de ramificaci´n: o 6 (0001) (001) (14.63)y de aqu´ se deduce que la matriz de proyecci´n ı o es:   1 0 0 0  0 1 0 0  (14.64) 0 0 1 1
  • 145. Cap´ ıtulo 15´Algebras de Kac-Moody En esta y las siguientes lecciones estudiamos la estructura de las ´lgebras de Kac-Moody, como auna introducci´n a las ´lgebras de Lie de dimensi´n infinita. Aunque la mayor parte del curso o a oest´ dedicada a las ´lgebras de dimensi´n finita, los m´todos utilizado en el caso particular de a a o ea´lgebras afines son muy similares a los de dimensi´n finita por lo que los introducimos aqu´ o ı.15.1. Matrices de Cartan generalizadas La construcci´n que vamos a hacer de las ´lgebras de Kac-Moody est´ basada en la noci´n de o a a omatriz de Cartan generalizada.Definici´n 15.1 Sea A una matriz n × n con coeficientes enteros. Se dice que A es una matriz ode Cartan generalizada si se satisfacen las siguientes condiciones: 1. aii = 2, i = 1, . . . n 2. aij , i = j son enteros no positivos 3. aij = 0 ⇒ aji = 0 ˆ Una representaci´n de A es un triplete: {h, Π, Π}, tal que: o 1. h es un espacio vectorial complejo de dimensi´n finita. o ˆ 2. Π = {ˆ i , i = 1, . . . , n} es un conjunto de n elementos linealmente independientes (co-ra´ α ıces) de h. 3. Π = {αi , i = 1, . . . , n} es un conjunto de n elementos linealmente independientes (ra´ ıces) del a ˆ dual de H, h∗ , que est´n en dualidad con Π a trav´s de la matriz A: e αi , αj = aij , i, j = 1, . . . , n ˆ (15.1) Es posible demostrar que existe una realizaci´n minimal, con dim h = 2n − l, con l el rango de oA (tambi´n se puede probar que dim h ≥ 2n − l). e Ejemplo 15.1 Sea 2 −1 A= (15.2) −1 2 El rango de esta matriz es 2, con lo que una representaci´n minimal de esta matriz viene dada opor un espacio vectorial de dimensi´n 2, h, un conjunto de dos elementos linealmente independientes o 145
  • 146. 146 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oen este espacio, y un conjunto de dos elementos linealmente independientes en el dual satisfaciendolas siguientes relaciones: α1 , α1 = α2 , α2 ˆ ˆ = 2 α1 , α2 = α2 , α1 ˆ ˆ = −1 Ejemplo 15.2 Sea 2 −1 A= (15.3) −3 2 El rango de esta matriz es 2, y tenemos la misma situaci´n que en el ejemplo 1, pero las orelaciones entre ra´ ıces y co-ra´ ıces son: α1 , α1 = α2 , α2 ˆ ˆ = 2 α1 , α2 = −1, ˆ α2 , α1 ˆ = −3 Ejemplo 15.3 Sea 2 −2 A= (15.4) −2 2 El rango de esta matriz es 1. Una representaci´n minimal viene dada por un espacio vectorial ode dimensi´n 3, h, 2 elementos linealmente independientes y dos elementos en el dual satisfaciendo olas relaciones siguientes: α1 , α1 = α2 , α2 ˆ ˆ = 2 α1 , α2 = α2 , α1 ˆ ˆ = −2 Ejemplo 15.4 Sea 2 −4 A= (15.5) −1 2 El rango es 1, con lo que estamos en las mismas condiciones que en el ejemplo anterior, perolas relaciones entre ra´ ıces y co-ra´ ıces son: α1 , α1 = α2 , α2 ˆ ˆ = 2 α1 , α2 = −4, ˆ α2 , α1 ˆ = −1 ˆ Podemos completar el conjunto Π a una base de h con un tercer elemento, d, que tendr´ un apapel especial en lo que sigue. El espacio h se puede descomponer en suma directa de dos subespacios, uno generado por Π y ˆel otro un subespacio complementario (de dimensi´n n − l si estamos utilizando una representaci´n o ominimal). ˆ ˆ Si {h, Π, Π} es una representaci´n minimal para la matriz A, entonces {h∗ , Π, Π} es una re- o tpresentaci´n minimal para la matriz A . Este hecho tendr´ una cierta utilidad cuando estemos o atrabajando con ra´ ıces de distinta longitud.
  • 147. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 14715.2. ˜ El ´lgebra g(A) a ˜ Definiremos un ´lgebra de Lie, g(A), de la forma siguiente: aDefinici´n 15.2 Dada una matriz de Cartan generalizada, A, y una representaci´n minimal, o oconsideramos el ´lgebra generada por los elementos en H y un conjunto de 2n elementos, {ei , fi , i = a1, . . . , n} que satisfacen las siguientes relaciones: [h, h ] = 0, h, h ∈ h (15.6) [ei , fj ] = δij αi , i, j = 1, . . . , n ˆ (15.7) [h, ei ] = h, αi ei , [h, fi ] = − h, αi fi , h ∈ h, i = 1, . . . , n (15.8) a ˜ El espacio h es una sub´lgebra abeliana de g(A). La sub´lgebra n+ est´ generada libremente por a a{ei }, y n− por {fi }. El ´lgebra total es la suma directa de estos tres subespacios. a Existe un automorfismo de ´lgebras (ei → −fi , fi → −ei y hi → −hi ) que transforma n+ en an− y deja h invariante. Podemos introducir, usando h, una graduaci´n de ra´ o ˜ ıces en g(A) de la forma usual. El ´lgebra ase descompone: ˜ ˜ g(A) = (⊕α∈Q,α=0 g−α ) ˜ g0 ˜ (⊕α∈Q,α=0 gα ) (15.9) nQ es el ret´ ıculo de ra´ ıces: Q = i=1 Zαi y gα = {x ∈ g(A) : [h, x] = α(h)x, ∀h ∈ g0 }. ˜ ˜ ˜ (15.10) ˜Finalmente, g0 = h. Existe un ideal maximal, r con una intersecci´n no trivial con h. Este ideal es la suma directa ode dos ideales, en n+ y n− respectivamente.15.3. El ´lgebra g(A) a ˜ Consideremos el cociente de g(A) por el ideal r. Por las caracter´ ısticas de este ideal, el subespacioh se conserva al hacer el cociente y lo mismo ocurre con los elementos ei y fi . Es decir, est´n en aclases diferentes. Los llamaremos con los mismos s´ ımbolos. La propiedad m´s importante de la anueva ´lgebra, g(A), es que no hay ning´n ideal propio que corte de forma no trivial al subespacio a uh. El ´lgebra est´ graduada por el espacio de ra´ a a ıces: g(A) = ⊕α∈Q gα , ˜ gα = g(A)α /rα , rα = r ∩ gα ˜ (15.11) Se puede construir una involuci´n, como antes (la involuci´n de Chevalley). El conjunto de o o ıces, ∆, est´ formado por los elementos α ∈ h∗ tales que gα = 0. Se definen las ra´todas las ra´ a ıcespositivas de la manera usual. El ´lgebra derivada de g(A) es: a g (A) = n− ⊕ h ⊕ n+ (15.12)donde h est´ generado por las co-ra´ a ıces del ´lgebra: a n h = Cˆ i α (15.13) i=1 En un ´lgebra definida por una matriz A, podemos construir otras graduaciones adem´s de la a ade las ra´ ıces. En particular, podemos hacer lo siguiente.
  • 148. 148 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Sea s = (s1 , s2 , . . . , sn ) un conjunto de enteros, y definamos el grado de los elementos ei , fi , h ∈ hen g(A) como deg ei = si , deg fi = −si , deg h = 0. Los subespacios graduados son: gj (s) = ⊕gα (15.14) n n ıces tales que α = i=1 ki αi cuando i=1 ki si = j. Si s = (1, · · · , 1) la graduaci´ny α son las ra´ o nse llama principal y los vectores ra´ ıces se clasifican por sus alturas (niveles, la suma i=1 ki ). Elsubespacio de grado 0 es la sub´lgebra de Cartan, grado 1 es la envolvente lineal de los vectores ei ay grado −1 es la envolvente lineal de los vectores fi . El ´lgebra g(A) y su ´lgebra derivada pueden tener un centro no trivial. Se puede demostrar a aque el centro corta de manera trivial a n− y n+ , y que, por lo tanto, debe estar contenido en h. Sedefine por: Z(A) = {h ∈ h : h, αi = 0, i = 1, · · · , n} (15.15) El ´lgebra g(A) no es simple en general. Sin embargo, si est´ asociada a una matriz de Cartan a ageneralizada indescomponible (en el sentido usual) y det A = 0 entonces el ´lgebra es simple. a15.4. Clasificaci´n de matrices de Cartan generalizadas o Consideremos una matriz de Cartan generalizada indescomponible, A. Podemos establecer lasiguiente clasificaci´n (utilizando un orden en el espacio en el que act´a A): o u 1. A es de tipo finito si existe u > 0 tal que Au > 0. 2. A es de tipo af´ si existe u > 0 tal que Au = 0. ın 3. A es de tipo indefinido si existe u > 0 tal que Au < 0. Los casos m´s interesantes desde nuestro punto de vista son el primero y el segundo. Se pueden acaracterizar (para una matriz de Cartan generalizada indescomponible) como sigue: 1. A es de tipo finito si y s´lo si todos sus menores principales son positivos. o 2. A es de tipo af´ si y s´lo si todos sus menores principales propios son positivos y el deter- ın o minante es cero. En el segundo caso, el co-rango de A es 1, y el vector nulo (el asociado al autovalor cero) esunico salvo factor constante.´ Las matrices de Cartan generalizadas (que supondremos indescomponibles) no son en generalsim´tricas. Sin embargo, en los casos finito y af´ son simetrizables en el sentido siguiente. e ınTeorema 15.1 Dada A, existe una matriz sim´trica B y una matriz diagonal D tal que A = DB. eSi     1 b11 · · · b1n .. B= . .   . .  D= , (15.16)   . . . n bn1 · · · bnnentonces aij = i bij (sin sumar), y bij = bji . Los elementos en D se pueden escoger racionales ypositivos. La matriz D se define salvo un factor constante. La clasificaci´n completa de las matrices de Cartan generalizadas de tipo finito fue dada por oKilling y Cartan como ya sabemos. La clasificaci´n de ´lgebras afines fue dada por Kac y Moody. o aTodas ellas se pueden describir por un diagrama de Dynkin (v´ase Tablas 1,2). e El orden de las ra´ ıces en los diagramas finitos es el de Dynkin. Los n´meros asociados a los unodos en los diagramas afines son las coordenadas del vector nulo de la matriz A. Como siempre,
  • 149. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 149el n´mero de l´ u ıneas entre los nodos i e i + 1 es igual a m´x{|aij |, |aji |}, y la flecha apunta hacia ael nodo i si |aij | > |aji |. Los diagramas en el caso af´ no torcido son los diagramas de Dynkin ınextendidos. En los casos afines torcidos los diagramas est´n relacionados con una sub´lgebra del a a (2) (2)a´lgebra af´ que es de tipo finito. El caso A3 debe ser sustituido por D3 en el caso af´ torcido ın ın(2).15.5. Forma bilineal invariante No es posible, en general, definir una forma de Killing para un ´lgebra af´ Pero podemos a ın.introducir una forma bilineal sim´trica invariante que tiene muchas de las propiedades de la forma ede Killing en el caso finito. Recordemos que una forma bilineal sim´trica invariante satisface: e ([x, y], z) = (x, [y, z]), x, y, z ∈ g(A) (15.17)Se puede demostrar que si una matriz de Cartan generalizada es simetrizable, existe una forma bili-neal sim´trica invariante no degenerada. La restricci´n a la sub´lgebra de Cartan es no degenerada e o ay los subespacios de ra´ıces est´n agrupados de dos en dos, en el siguiente sentido: a α + β = 0, (x, y) = 0 x ∈ gα , y ∈ gβ (15.18) α + β = 0, (x, y) = 0 Las matrices D y B est´n relacionadas con esta forma invariante: si {ˆ i } es el conjunto de a αco-ra´ ıces, la forma bilineal invariante satisface: (ˆ i , αj ) = α ˆ i bij j= aij j (15.19) (h, αi ) = ˆ h, αi i , h ∈ H (15.20) (h1 , h2 ) = 0, h1 , h2 ∈ h (15.21)donde: h = h ⊕ h , h est´ generado por las co-ra´ a ıces, y h es un subespacio complementario. Al ser la forma bilineal no degenerada, podemos definir un isomorfismo entre h y su dual h∗ .Llam´mosle ν. Entonces: e ν : h → h∗ (15.22) h → ν(h)tal que: h, ν(h ) = (h, h ), h, h ∈ h (15.23) ∗ Podemos usar este isomorfismo para introducir una forma bilineal en h que es tambi´n no edegenerada: (λ, µ) = (ν −1 (λ), ν −1 (µ)), λ, µ ∈ h∗ (15.24)Usando la expresi´n para la forma invariante en h: o ν(ˆ i ) = α i αi (15.25)y: (αi , αj ) = bij (15.26) En general no obtenemos el mismo valor para el producto de dos ra´ y sus correspondientes ıcesco-ra´ ıces. En su lugar, tenemos: (αi , αi )(ˆ i , αi ) = 4 α ˆ (15.27)usando aii = 2. N´tese tambi´n las siguientes f´rmulas utiles: o e o ´ 2ν(ˆ i ) α 2ν −1 (αi ) αi = , αi = ˆ (15.28) (ˆ i , αi ) α ˆ (αi , αi )
  • 150. 150 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Con respecto a los vectores ra´ ıces se puede establecer el siguiente resultado: [x, y] = (x, y)ν −1 (α), x ∈ gα , y ∈ g−α (15.29)para cualquier ra´ positiva α. Esta f´rmula es una consecuencia de la invariancia de la forma ız obilineal: ([x, y], h) = k(ν −1 (α), h), (x, [y, h]) = h, α (x, y) = (h, ν −1 (α))(x, y) (15.30)y k = (x, y). Los elementos de la matriz de Cartan generalizada se pueden poner en t´rminos de la forma ebilineal invariante. Usando A = DB, 2(αi , αj ) aij = i bij = (15.31) (αi , αi )con: (αi , αi ) > 0, (αi , αj ) ≤ 0, i = j (15.32) Cuando A es una matriz de Cartan generalizada de tipo af´ det A = 0 y co-rangoA = 1. Sea ın,l + 1 = orden A. La sub´lgebra de Cartan es la suma de dos espacios complementarios. Uno de aellos est´ generado por las co-ra´ a ıces (dimensi´n = l) y el otro tiene dimensi´n 1. Las coordenadas o odel vector nulo son: (a0 , a1 , . . . , al ) (15.33) (2)donde podemos escoger a0 = 1 (excepto en el caso A2l , a0 = 2). En el caso af´ de tipo 1, corres- ınponden a las coordenadas de la ra´ m´s alta del ´lgebra finita correspondiente. Si consideramos ız a ala matriz transpuesta, podemos calcular las coordenadas del vector nulo: (ˆ0 , a1 , . . . , al ) a ˆ ˆ (15.34) ˆ ˆ Entonces, δ t = (a0 , a1 , . . . , al ) y δ t = (ˆ0 , a1 , . . . , al ), satisfacen: Aδ = 0, At δ = 0. La matriz A a ˆ ˆes simetrizable y podemos escoger la matriz diagonal D como:   a0 a0 ˆ D=  ..  (15.35) .  al al ˆ Como hemos visto antes, el centro del ´lgebra g(A) est´ contenido en la sub´lgebra de Cartan. a a aPodemos calcularlo expl´ ıcitamente para un ´lgebra af´ En este caso el centro tiene dimensi´n 1 a ın. oy uno de sus elementos (el elemento central can´nico) est´ dado por: o a l c= ai αi ˆ ˆ (15.36) i=0porque, si c est´ en el centro debe satisfacer: a l l c, αj = ai αi , αj = ˆ ˆ ai aij = 0 ˆ (15.37) i=0 i=0debido a la definici´n de ai . o ˆ Es un elemento de la sub´lgebra de Cartan y est´ contenido en h , el subespacio generado por las a aco-ra´ıces. Podemos definir una ra´ combinaci´n lineal de ra´ ız, o ıces simples, usando las coordenadasai , que dan el vector nulo de A: l δ= ai αi (15.38) i=0
  • 151. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 151 Para encontrar una base de la sub´lgebra de Cartan necesitamos otro elemento (dimensi´n a o= l + 2, orden = l + 1, rango = l) para a˜adir a las l + 1 co-ra´ n ıces independientes. Sea d, quesatisface: d, α0 = 1, d, αi = 0, i = 1, . . . , l (15.39)Este elemento est´ definido de forma unica por estas relaciones salvo un factor, y, junto con las a ´l + 1 co-ra´ ıces forma una base de la sub´lgebra de Cartan. Se le llama un elemento de escala. a Podemos definir una forma bilineal sim´trica invariante can´nica en g(A) satisfaciendo las e osiguientes relaciones en la sub´lgebra de Cartan: a (ˆ i , αj ) = aj a−1 aij α ˆ ˆj (15.40) (d, α0 ) = a0 ˆ (15.41) (d, αi ) = 0, i = 1, . . . , l ˆ (15.42) (d, d) = 0 (15.43) El elemento central can´nico satisface: o (c, αi ) = 0, i = 0, . . . , l, ˆ (c, d) = a0 , (c, c) = 0 (15.44) En el espacio dual podemos definir un elemento (dual a d) del modo siguiente: α0 , Λ0 = 1, ˆ αi , Λ0 = 0, i = 1, . . . , l, ˆ d, Λ0 = 1 (15.45)Este elemento forma una base de h∗ junto con las ra´ ıces simples. Se puede inducir una formabilineal en el espacio dual. Las relaciones que siguen se pueden deducir f´cilmente de las anteriores: a (αi , αj ) = ai a−1 aij ˆ i (15.46) (Λ0 , α0 ) = a−1 0 (15.47) (Λ0 , αi ) = 0, i = 1, . . . , l (15.48) (Λ0 , Λ0 ) = 0 (15.49) El elemento δ (dual a c) satisface: (δ, αi ) = 0, i = 0, . . . , l, (δ, Λ0 ) = 1, (δ, δ) = 0 (15.50) Finalmente, el isomorfismo entre la sub´lgebra de Cartan y su dual se puede escribir, usando ala forma can´nica normalizada, como: o 2αi ν(ˆ i ) = α = a−1 ai αi ˆi (15.51) (αi , αi )
  • 152. 152 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o
  • 153. Cap´ ıtulo 16Representaci´n de ´lgebras de Lie o aafines En esta secci´n construiremos una representaci´n expl´ o o ıcita de ´lgebras de Lie afines. Conside- araremos separadamente los casos girados y no girados, aunque se puede hacer un estudio unificado.16.1. ´ Algebras afines no giradas La matriz de Cartan generalizada asociada a un ´lgebra af´ no girada, corresponde a una matriz a ınde Cartan extendida de un ´lgebra finita. Es decir, sea Xl un ´lgebra de Lie simple, Xl = g(A), a a ˙ ˙ su matriz de Cartan. Sea {α1 , · · · , αl } un sistema de ra´ nyA ıces simples y θ = i=1 ai αi , la ra´ız ˆ nm´s alta (siempre una ra´ larga). Es f´cil demostrar que θ = i=1 ai αi es la ra´ m´s alta entre a ız a ˆ ız a ˙las cortas del ´lgebra dual, con matriz de Cartan At . Podemos construir una matriz de Cartan a (1)generalizada considerando el conjunto {α0 = θ, α1 , . . . , αl }. Esta matriz corresponde a Xl . Lamatriz tiene orden l + 1 y la primera fila y columna son: l l a00 = 2, a0i = − aj aji , ˆ ai0 = − aj aij (16.1) j=1 j=1 (1) Es claro que a partir de cada Xl podemos construir un ´lgebra finita, eliminando la primera afila y columna de la matriz de Cartan. Buscamos una representaci´n de las ´lgebras de Lie afines de tipo (1) basada en las correspon- o adientes ´lgebras finitas. a ˙ ˙ Sea g un ´lgebra de Lie finita de tipo Xl , X = A, B, C, D, E, F, G. Sea A su matriz de Cartan. aHemos visto como se construye la matriz de Cartan generalizada, A, asociada a un ´lgebra af´ no a ıngirada correspondiente a g.˙ Construiremos ahora un ´lgebra de lazos, series formales en t y t−1 con coeficientes en el ´lgebra a a˙g. L(g) = C[t, t−1 ] ⊗ g ˙ ˙ (16.2) Las relaciones de conmutaci´n son: o [tn x, tm y] = tn+m [x, y], n, m ∈ Z, x, y ∈ g ˙ (16.3) ˙ La forma bilineal invariante no degenerada que existe en g se extiende a esta nueva ´lgebra: a (tn x, tm y) = δn+m,0 (x, y) (16.4) 153
  • 154. 154 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Ahora construimos una extensi´n central de esta ´lgebra. Para ello consideramos la siguiente o a ˙aplicaci´n en L(g): o d(tn x) = ntn x, n ∈ Z, x ∈ g ˙ (16.5) o o ˙ La aplicaci´n d es una derivaci´n en L(g). Usando d construimos un 2-cociclo, ψ en nuestraa´lgebra: ψ : L(g) × L(g) → C ˙ ˙ (16.6) (a, b) → ψ(a, b) = (da, b)donde se ha usado la forma bilineal dada anteriormente. En particular: ψ(tn x, tm y) = nδn+m,0 (x, y) (16.7) Esta aplicaci´n es un 2-cociclo. Es sencillo probar que: o ψ(tm y, tn x) = mδm+n,0 (y, x) = −nδn+m,0 (x, y) = −ψ(tn x, tm y) (16.8) n m s s n m m s n ψ([t x, t y], t z) + ψ([t z, t x], t y) + ψ([t y, t z], t x) = 0 (16.9) La extensi´n central se define por: o ˜ ˙ L(g) = L(g) ⊕ Cc ˙ (16.10) y el nuevo conmutador es: [tn x + λc, tm y + µc] = tn+m [x, y] + nδn+m,0 (x, y)c, n, m ∈ Z, x, y ∈ g, λ, µ ∈ C ˙ (16.11) Finalmente a˜adimos la derivaci´n d: n o ˆ ˙ ˜ ˙ L(g) = L(g) ⊕ Cd = L(g) ⊕ Cc ⊕ Cd ˙ (16.12)y el conmutador: [tn x + λ1 c + λ2 d, tm y + µ1 c + µ2 d] = tn+m [x, y] + nδn+m,0 (x, y)c + λ2 mtm y − µ2 ntn x, n, m ∈ Z, x, y ∈ g, λ1 , λ2 , µ1 , µ2 ∈ C ˙ (16.13) Es un ´lgebra de Lie con un centro unidimensional generado por c. Probaremos que es isomorfa a (1)al ´lgebra de Lie af´ no girada Xl , donde Xl = g. a ın ˙ Escogemos una sub´lgebra de Cartan h a ˙ en g, un sistema de ra´ ˙ ıces simples {αi , i = 1, . . . , l} ysus correspondientes co-ra´ ıces, {ˆ i , i = 1, . . . , l}, dadas por el isomorfismo ν construido sobre la αforma bilineal invariante. Escogemos vectores en cada uno de los espacios correspondientes a lasra´ simples, tal que [ei , fi ] = αi , ei ∈ gαi , fi ∈ g−αi . Sea θ la ra´ m´s alta, y escojamos eθ ∈ gθ , ıces ˆ ˙ ˙ ız a ˙fθ ∈ g−θ con la misma condici´n: [eθ , fθ ] = θ, ˙ o ˆ θ = 2ν −1 (θ)/(θ, θ). ˆ a ˙ a ˙ El ´lgebra g se identifica con 1 ⊗ g y en particular, la sub´lgebra de Cartan h se identifica con ˙ ˙ Definimos:la sub´lgebra 1 ⊗ h. a ˙ h = h ⊕ Cc ⊕ Cd (16.14) a o a ˆ ˙ Es una sub´lgebra abeliana de dimensi´n l + 2; es una sub´lgebra de Cartan de L(g). En suespacio dual construimos un elemento, δ, satisfaciendo: ˙ h, δ = 0, h ∈ h ⊕ Cc, d, δ = 1 (16.15)
  • 155. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 155 Los otros elementos del ´lgebra de Lie af´ (generadores de Chevalley) (hemos establecido a ınpreviamente: ei = 1 ⊗ ei , fi = 1 ⊗ fi , αi = 1 ⊗ αi , i = 1, . . . , l) son: ˆ ˆ e0 = tfθ , f0 = t−1 eθ (16.16) Entonces: [ˆ i , ej ] = aij ej , α [ˆ i , fj ] = −aij fj , i = 1, . . . , l α (16.17) [ei , fj ] = δij αi , i, j = 1, . . . , l ˆ (16.18) l l [ˆ i , e0 ] = [ˆ i , tfθ ] = −t αi , α α ˆ aj αj fθ = −t aij aj fθ = ai0 (tfθ ) = ai0 e0 (16.19) j=1 j=1 l l [ˆ i , f0 ] = [ˆ i , t−1 eθ ] = t−1 αi , α α ˆ aj αj eθ = t−1 aij aj eθ = −ai0 (t−1 eθ ) = −ai0 f0 (16.20) j=1 j=1 ˆ 2 [e0 , f0 ] = [fθ , eθ ] + (fθ , eθ )c = −θ + c (16.21) (θ, θ) Esta ultima relaci´n se obtiene usando: ´ o ˆ [eθ , fθ ] = θ = (eθ , fθ )ν −1 (θ) (16.22)y −1 ˆ 2ν (θ) θ= (16.23) (θ, θ)lo que implica: 2 (eθ , fθ ) = (16.24) (θ, θ) Las otras relaciones se pueden probar f´cilmente. Definamos el ultimo elemento de la base de a ´co-ra´ ıces, α0 como: ˆ 2 ˆ α0 = ˆ c−θ (16.25) (θ, θ)y el ultimo de la base de ra´ ´ ıces: α0 = δ − θ (16.26) La ultima relaci´n que hay que comprobar es: ´ o ˆ ˆ [ˆ 0 , e0 ] = −[θ, tfθ ] = θ, θ e0 = 2e0 α (16.27) El sistema de ra´ ˆ ˙ ıces de L(g) es: ˙ ∆ = {α + nδ : α ∈ ∆, n ∈ Z} ∪ {nδ : n ∈ Z {0}} (16.28) y la descomposici´n del espacio de ra´ o ıces es: ˆ ˙ L(g) = h ⊕ (⊕L(g)α ) ˙ (16.29)con: L(g)α+nδ = tn ⊗ gα , ˙ ˙ ˙ ˙ L(g)nδ = tn ⊗ h (16.30) ˆ Los conjuntos Π = {α0 , α1 , . . . , αl }, Π = {ˆ 0 , α1 , . . . , αl } y h son una representaci´n minimal α ˆ ˆ o a ˆ ˙de la matriz generalizada de Cartan A. Se puede probar que el ´lgebra L(g) es isomorfa al ´lgebra aaf´ dada por la matriz de Cartan generalizada A. ın
  • 156. 156 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Podemos escoger una forma bilineal invariante, por ejemplo, normalizando el producto: (θ, θ) = 2 (16.31) √lo que quiere decir que hemos escogido la longitud de las ra´ ıces largas igual a 2. Entonces(c, d) = a0 = 1 (en el caso no girado, a0 = 1) que es la forma invariante can´nica que encontramos oen la secci´n anterior. o En este caso c es el elemento central can´nico: o l 2 ˆ ˆ ˆ 2ν −1 (θ) c= (ˆ 0 + θ) = α0 + θ = α0 + α ˆ = α0 + ν −1 (θ) = α0 + ˆ ˆ ai ν −1 (αi ) (16.32) (θ, θ) (θ, θ) i=1Pero en esta forma can´nica, ν −1 (αi ) = a−1 ai αi y siempre a0 = 1, entonces: o i ˆ ˆ ˆ l c= ai αi ˆ ˆ (16.33) i=016.2. Ejemplo de ´lgebras de Lie afines no giradas a Veremos algunos ejemplos desarrollados para explicar la teor´ introducida en la secci´n ante- ıa orior. Ejemplo 16.1 (1) Consideremos el ejemplo m´s simple de un ´lgebra de Lie af´ no girada: A1 . La matriz de a a ınCartan del ´lgebra de Lie finita correspondiente es: a ˙ A=2 (16.34)y la ra´ simple es α1 , con α1 , α1 = 2. (S´lo hay una ra´ simple y la sub´lgebra de Cartan tiene ız ˆ o ız adimensi´n =1). Sean e1 y f1 los vectores ra´ o ıces que verifican: [e1 , f1 ] = α1 ˆ (16.35) La ra´ m´s alta es θ = α1 , y la matriz de Cartan extendida es, usando a1 = a1 = 1 (porque ız a ˆˆ = α1 ), a00 = 2, a01 = −ˆ1 a11 , a10 = −a1 a11 :θ ˆ a 2 −2 A= (16.36) −2 2 (1)correspondiente a A1 . Los generadores de Chevalley e0 , f0 son: 2 e0 = tf1 , f0 = t−1 e1 , α0 = ˆ c − α1 ˆ (16.37) (α, α)el elemento central c es: 1 c= (α, α) (ˆ 0 + α1 ) α ˆ (16.38) 2y si escogemos (θ, θ) = (α, α) = 2 obtenemos el elemento central can´nico. Usando la representaci´n o ofundamental para A1 , sl(2, C), tenemos: 1 0 1 0 α0 = c − ˆ , α1 = ˆ (16.39) 0 −1 0 −1 0 0 0 1 e0 = t , e1 = (16.40) 1 0 0 0
  • 157. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 157 0 1 0 0 f0 = t−1 , f1 = (16.41) 0 0 1 0 Tambi´n podemos obtener el elemento de escala d actuando como: e d(e0 ) = e0 , d(f0 ) = −f0 , d(e1 ) = 0, d(f1 ) = 0 (16.42) Si la forma bilineal invariante se escoge como antes, (ˆ 1 , α1 ) = 2 y por tanto (e1 , f1 ) = 1. α ˆ Ejemplo 16.2 (1) El segundo ejemplo es C2 . El ´lgebra finita C2 tiene rango 2 y dimensi´n 10. La matriz de a oCartan es: ˙ 2 −2 A= (16.43) −1 2y la ra´ m´s alta es θ = 2α1 + α2 , donde α1 , α2 son las ra´ ız a ıces simples. Las coordenadas ai son: a1 = 2, a2 = 1 (16.44) ˆ De forma similar, θ viene dado por: −1 −1 −1 ˆ 2ν (θ) = 2ν (2α1 ) + 2ν (α2 ) = α1 + α2 θ= ˆ ˆ (16.45) (θ, θ) 2(α1 , α1 ) (α2 , α2 )y, a1 = a2 = 1 ˆ ˆ (16.46) La matriz de Cartan generalizada es: a01 = −(ˆ1 a11 + a2 a21 ) = −1 a ˆ (16.47) a02 = −(ˆ1 a12 + a2 a22 ) = 0 a ˆ (16.48) a10 = −(a1 a11 + a2 a12 ) = −2 (16.49) a20 = −(a1 a21 + a2 a22 ) = 0 (16.50)   2 −1 0 A =  −2 2 −2  (16.51) 0 −1 2 Los generadores e0 , f0 son: e0 = tfθ , f0 = t−1 eθ (16.52) ˆ ˆdonde [eθ , fθ ] = θ = α1 + α2 . ˆ De aqu´ se deduce: ı 2 α0 = ˆ c − α1 − α2 ˆ ˆ (16.53) (θ, θ)y: 1 c= (θ, θ) (ˆ 0 + α1 + α2 ) α ˆ ˆ (16.54) 2 Si escogemos la normalizaci´n (θ, θ) = (α2 , α2 ) = 2, encontramos el elemento central can´nico: o o c = α0 + α1 + α2 ˆ ˆ ˆ (16.55)Se tiene que: a0 = a1 = a2 = 1 y este es el vector nulo de la matriz At (la suma de las filas es cero). ˆ ˆ ˆ Si usamos la representaci´n matricial 4 × 4 de C2 : o
  • 158. 158 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o   1 0 0 0  0 0 0 0  α0 = c −  ˆ  0 0 0 0   (16.56) 0 0 0 −1     1 0 0 0 0 0 0 0  0 −1 0 0   , α2 =  0 1 0 0    α1 =  ˆ  ˆ  0 0 −1 0  (16.57) 0 0 1 0  0 0 0 −1 0 0 0 0       0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 1 0  e0 = t   0 , e1 =  0 0 0 −1  , e2 =  0 0 0    (16.58) 0 0 0  0  1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0       0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1  0 0 0 0   1 0 0 0   0 0 0 0  f0 = t   0 ,  0 0 0 0  , f2 =  0 1 0 f1 =     (16.59) 0 0 0  0  0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0
  • 159. Cap´ ıtulo 17´Algebras afines giradas Las ´lgebras de Lie afines giradas est´n asociadas con automorfismos de las ´lgebras de Lie a a afinitas. Como ya hemos dicho en otros apartados, ´stos est´n relacionados con las simetr´ del e a ıasdiagrama de Dynkin. Es f´cil comprobar que s´lo para las ´lgebras de Lie simples de tipos: Al , Dl , a o a (2)E6 existen simetr´ no triviales de orden 2 (Al , Dl , E6 ) o 3 (D4 ). Obtendremos los tipos Xl y ıas (3)Xl de ´lgebras de Lie afines giradas a En este caso, las ra´ del ´lgebra de Lie finita de partida no son en general ra´ del ´lgebra ıces a ıces aaf´ Por eso vamos a cambiar la notaci´n. ın. o17.1. Automorfismos de orden finito Sea g un ´lgebra de Lie finita de tipo XN , y µ un automorfismo de orden k del diagrama de aDynkin de XN . Sea h la sub´lgebra de Cartan de g y αi , αi , i = 1, . . . , l las ra´ a ˆ ıces correspon-dientes y co-ra´ıces. Hemos defnido tambi´n los vectores ra´ e ıces ei , fi , satisfaciendo [ei , fi ] = αi . El ˆautomorfismo de ra´ ıces µ genera un automorfismo σ del ´lgebra de Lie, dado (por ejemplo) por: a σ(ˆ i ) = αµ(i) , α ˆ σ(ei ) = eµ(i) , σ(fi ) = fµ(i) , i = 1, . . . , N (17.1) Como el orden del automorfismo σ es finito (1, 2 o 3), podemos construir una graduaci´n del oa´lgebra de Lie finita, considerando los autoespacios de σ. g = ⊗k−1 g¯ j=0 j (17.2) j ´donde g¯ = {x ∈ g : σ(x) = e2πj/k x}. Esta es un graduaci´n del ´lgebra de Lie: o a [g¯, g¯ ] ⊂ g¯ ¯ i j i+j (17.3) La graduaci´n tiene uno, dos o tres subespacios dependiendo del orden de µ. En cualquier caso og¯ es una sub´lgebra de g. Se puede demostrar que esta sub´lgebra es una sub´lgebra simple. A 0 a a acontinuaci´n describiremos estas sub´lgebras. o a Si consideramos la sub´lgebra de Cartan de g, h , el automorfismo σ dejar´ parte de esta a asub´lgebra invariante. Llamemos h0 a esta parte fija. Es una sub´lgebra abeliana de g, y de g¯ . En a a 0concreto ser´ la sub´lgebra de Cartan de g¯ . Usaremos el orden establecido en los diagramas de a a 0Dynkin de las ´lgebras finitas. a Los siguientes operadores generan el ´lgebra g¯ en cada caso: a 0 1. g = A2l , k = 2, µ(i) = 2l − i + 1, i = 1, . . . , 2l Hi = αl−i + αl+i+1 , i = 1, . . . l − 1, ˆ ˆ H0 = 2(ˆ l + αl+1 ) α ˆ (17.4) 159
  • 160. 160 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o √ Ei = el−i + el+i+1 , i = 1, . . . , l − 1, E0 = 2(el + el+1 ) (17.5) √ Fi = fl−i + fl+i+1 , i = 1, . . . , l − 1, F0 = 2(fl + fl+1 ) (17.6) 2. g = A2l−1 , k = 2, µ(i) = 2l − i, i = 1, . . . , 2l − 1 Hi = αi + α2l−i , i = 1, . . . l − 1, ˆ ˆ H0 = αl ˆ (17.7) Ei = ei + e2l−i , i = 1, . . . , l − 1, El = el (17.8) Fi = fi + f2l−i , i = 1, . . . , l − 1, Fl = fl (17.9) 3. g = Dl+1 , k = 2, µ(i) = i, i = 1, . . . , l − 1, µ(l) = l + 1, µ(l + 1) = l Hi = αi , i = 1, . . . , l − 1, ˆ Hl = αl + αl+1 ˆ ˆ (17.10) Ei = ei , i = 1, . . . , l − 1, El = el + el+1 (17.11) Fi = fi , i = 1, . . . , l − 1, Fl = fl + fl+1 (17.12) 4. g = E6 , k = 2, µ(1) = 5, µ(2) = 4, µ(3) = 3, µ(6) = 6 H1 = α1 + α5 , ˆ ˆ H2 = α2 + α4 , ˆ ˆ H3 = α3 , ˆ H4 = α6 ˆ (17.13) E1 = e1 + e5 , E2 = e2 + e4 , E3 = e3 , E4 = e6 (17.14) F1 = f1 + f5 , F2 = f2 + f4 , F3 = f3 , F4 = f6 (17.15) 5. g = D4 , k = 3, µ(1) = 4, µ(2) = 2, µ(3) = 1, µ(4) = 3 H1 = α1 + α3 + α4 , ˆ ˆ ˆ H2 = α2 ˆ (17.16) E1 = e1 + e3 + e4 , E2 = e2 (17.17) F1 = f1 + f3 + f4 , F2 = f2 (17.18) Los sub´ ındices para estos operadores son siempre i = 1, . . . , l, excepto en el caso A2l : i =0, . . . , l − 1. Las f´rmulas anteriores son una simple consecuencia del automorfismo del diagrama. o Calculemos ahora las ra´ ıces del ´lgebra g¯ : a 0 1. A2l √ √ [H0 , E0 ] = 2 2 αl + αl+1 , el + el+1 = 2 2(2el − el+1 − el + 2el+1 ) = 2E0 ˆ ˆ (17.19) √ √ [H1 , E0 ] = 2[ˆ l−1 + αl+2 , el + el+1 ] = − 2(el + el+1 ) = −E0 α ˆ (17.20) √ [Hi , E0 ] = 2[ˆ l−i + αl+i+1 , el + el+1 ] = 0, i = 2, . . . , l − 1 α ˆ (17.21) Si llamamos a las ra´ ıces asociadas a E0 en g¯ , α0 , entonces: 0 H0 , α0 = 2, H1 , α0 = −1, Hi , α0 = 0, i = 2, . . . , l (17.22) o: 2(ˆ l + αl+1 ), α0 = 2, α ˆ αl−1 + αl+2 , α0 = −1 ˆ ˆ (17.23) αl−i + αl+i+1 , α0 = 0, i = 2, . . . , l − 1 ˆ ˆ (17.24) es decir: α0 = αl |h0 = αl+1 h0 (17.25) Se puede comprobar que esto es correcto para cualquier i = 1, . . . , l − 1: αi = αl−i h0 = αl+i+1 h0 , i = 0, . . . , l − 1 (17.26) y se obtiene simlares resultados en los dem´s casos. a
  • 161. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 161 2. A2l−1 αi = αi |h0 = α2l−i h0 , i = 1, . . . , l (17.27) 3. Dl+1 αi = αi |h0 , i = 1, . . . , l − 1, αl = αl |h0 = αl+1 h0 (17.28) 4. E6 α1 = α1 |h0 = α5 |h0 , α2 = α2 |h0 = α4 |h0 (17.29) α3 = α3 |h0 , α4 = α6 |H0 (17.30) 5. D4 , k = 3 α1 = α1 |h0 = α3 |h0 = α4 |h0 , α2 = α2 |h0 (17.31) Los siguientes resultados ser´n enunciados sin demostraci´n. a oTeorema 17.1 El ´lgebra g¯ act´a sobre los otros subespacios de la graduaci´n de una forma a 0 u oirreducible. Concretamente, en el caso k = 3, las representaciones en g¯ y g¯ son equivalentes. 1 2Estas representaciones tienen un peso m´s alto θ0 en el g¯ –m´dulo g¯ . Se pueden calcular las a 0 o 1matrices de Cartan de las ´lgebras g¯ . Los resultados aparecen en la Tabla 3. a 0 Los n´meros de la ultima columna son los coeficientes del peso m´s alto θ0 , (referido a la base u ´ a (2)de ra´ simples, no a la de pesos fundamentales). El caso A2 tiene como sub´lgebra g¯ el ´lgebra ıces a 0 aA1 que es isomorfa a B1 . La ra´ simple se puede llamar α1 y el coeficiente es 2 (es decir, el peso ızm´s alto es θ0 = 2α1 ). N´tese el orden de las ra´ a o ıces en los diagramas. La forma bilineal invariante en el ´lgebra g induce una forma bilineal invariante en la sub´lgebra a ag¯ , que no es la que la sub´lgebra tiene de forma natural. Est´ claro que son proporcionales (porque 0 a aesencialmente es unica). Si escogemos en el ´lgebra g una forma invariante tal que (α, α) = 2k (todas ´ alas ra´ tienen la misma longitud en g), podemos probar que la forma invariante inducida en g¯ : ıces 0 (θ0 , θ0 )0 = 2a0 (17.32)(a0 = 2 en todos los casos excepto en A2l , a0 = 1). Con m´s detalle, en g, a 2ν −1 (αi ) αi = ˆ (17.33) (αi , αi )y esto lleva a: 1 ν −1 (ˆ i ) = α α (17.34) k i En g¯ tenemos otro isomorfismo ν entre h0 y su dual, verificando: 0 ν(h) = ν (h)|h0 , ∀h ∈ h0 (17.35)porque, si tenemos un elemento de h0 , est´ tambi´n contenido en h y su imagen bajo ν es una a eforma en h . Pero h0 es un subespacio de h , entonces, la restricci´n de esta forma a h0 es una oforma en este espacio, que coincide con la imagen del elemento de h0 bajo ν como se puede probarf´cilmente. a
  • 162. 162 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Tomemos por ejemplo el primer caso, g = A2l , y calculemos la imagen de los elementos en h0 : ν(H0 ) = 2ν (ˆ l + αl+1 ) α ˆ h0 = (αl + αl+1 ) h0 = 2α0 (17.36) 1 ν(Hi ) = 2ν (ˆ l−i + αl+i+1 ) α ˆ = (α + αl+i+1 ) = αi (17.37) h0 2 l−i h0 Ahora podemos calcular la acci´n de la forma bilineal invariante: o 1 (α0 , α0 )0 = ν −1 (α0 ), α0 = H 0 , α0 = 1 (17.38) 2y los dem´s productos de forma similar. Usando la expresi´n de θ0 como una combinaci´n lineal a o ode ra´ıces simples podemos demostrar que (θ0 , θ0 )0 = 4. Las ra´ en g¯ est´n normalizadas de la manera usual. Todas las ra´ largas tienen longitud ıces 0 a ıcesal cuadrado igual a 2, y la corta (α0 ) tiene longitud 1. Todos estos resultados pueden ser probadosde un modo similar Un resultado util es el siguiente. Como hemos dicho, el ´lgebra g¯ act´a en g¯ de forma irredu- ´ a 0 u 1cible. Pero se puede demostrar tambi´n, que todos los pesos tienen multiplicidad igual a 1, excepto eposiblemente el peso 0. Es decir: g¯ = ⊕ω∈Ωθ0 g¯ 1 1,ω (17.39)y dim g¯ = 1 excepto si el peso es cero. M´s a´n, si escogemos un vector peso con peso ω y otro 1,ω a ucon peso −ω, el conmutador es proporcional a ν −1 (ω). Todos estos pesos y vectores peso son ra´ ıcesy combinaciones de vectores ra´ de la primera ´lgebra g. Es muy sencillo demostrar esto ultimo. ıces a ´ (h, [x, y]) = ([h, x], y) = ( h, ω x, y) = h, ω (x, y) = (h, ν −1 (ω)(x, y)) (17.40)y esto es cierto para cualquier h ∈ h0 . Entonces obtenemos: [x, y] = (x, y)ν −1 (ω), x ∈ g¯ , y ∈ g¯ 1,ω 1,−ω (17.41)Si x y y no son cero, (x, y) = 0. Si k = 3 todo esto es cierto cambiando simult´neamente ¯ y −¯ a 1 1. Escogemos ahora el resto de los generadores para construir el ´lgebra de Lie af´ girada. Re- a ıncu´rdese que hicimos lo mismo en el caso no girado, aunque a´n no hemos fijado aqu´ el ´lgebra e u ı aisomorfa a la parte de grado cero (t0 ). Debido a las diferentes elecciones de la numeraci´n de ra´ o ıces, sea = 0 para todos los casoexcepto para A2l , donde = l. Pongamos E ∈ g¯ 0 y F ∈ g¯ 0 . Entonces, como hemos visto antes: 1,−θ 1,θ [E , F ] = −(E , F )ν −1 (θ0 ) (17.42)El signo menos viene del orden diferente que hemos escogido en el conmutador. Definamos: H = −ν −1 (θ0 ) (17.43)Si tomamos E y F tal que (E , F ) = 1: [E , F ] = H (17.44) Volvamos a la construcci´n expl´ o ıcita del ´lgebra de Lie girada. Consideramos de nuevo el ´lgebra a ade lazos constru´ sobre el ´lgebra finita g: ıda a L(g) = C[t, t−1 ] ⊗ g (17.45)
  • 163. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 163 Tenemos un automorfismo en g asociado a una simetr´ del diagrama de Dynkin. Extendemos ıaeste automorfismo al ´lgebra de lazos: a σ(tn x) = e−2nπi/k σ(x), n ∈ Z, x ∈ g (17.46)Si constru´ ımos el ´lgebra de Lie no girada (como hicimos en la secci´n precedente): a o ˆ L(g) = L(g) ⊕ Cc0 ⊕ Cd0 (17.47)podemos extender el automorfismo a un automorfismo σ del ´lgebra completa, poniendo: ˆ a σ (c0 ) = c0 , ˆ σ (d0 ) = d0 ˆ (17.48)y σ = σ en el ´lgebra de lazos. ˆ a Podemos usar el automorfismo σ para construir una graduaci´n de los puntos fijos del ´lgebra o ade lazos, L(g, σ) = {a ∈ L(g) : σ(a) = a}: L(g, σ) = ⊕n∈Z tn ⊗ gn ¯ (17.49)porque si x ∈ gn , entonces σ(x) = e2πin/k x y el elemento tn x es invariante bajo σ. Podemos ¯ e o ˆ ˆ a ˆtambi´n construir una graduaci´n para los puntos fijos (bajo σ ) L(g, σ) en el ´lgebra L(g): ˆ L(g, σ) = L(g, σ) ⊕ Cc0 ⊕ Cd0 (17.50)poniendo el grado de c0 y d0 igual a cero. En este caso, el subespacio de grado cero es: ˆ L(g, σ)0 = 1 ⊗ g¯ ⊕ Cc0 ⊕ Cd0 0 (17.51)y los otros subespacios son: ˆ L(g, σ)n = tn ⊗ gn . ¯ (17.52) Es esta ´lgebra, el conjunto de puntos fijos en el ´lgebra de Lie no girada, la que forma el a aa´lgebra de Lie girada. El resultado final es que, si consideramos un ´lgebra de Lie finita de tipo Al , Dl , E6 , y un auto- amorfismo del diagrama de Dynkin, obtenemos un ´lgebra de Lie af´ girada que est´ representada a ın apor los puntos fijos en la correspondiente ´lgebra de Lie af´ no girada, tal y como hemos descrito a ınantes. a a ˆ La sub´lgebra de Cartan del ´lgebra L(g) viene dada por la parte de grado cero: h = h0 ⊕ Cc0 ⊕ Cd0 (17.53) (2) (2) (2)Esta sub´lgebra tiene dimensi´n l + 2, (donde l es el n´mero que aparece en A2l , A2l−1 , Dl+1 , a o u (2) (2)4 en el caso E6 y 2 en el caso D4 ). Si λ es una forma lineal en h0 , se puede extender a h por c0 , λ = d0 , λ = 0. Podemos definir δ (que ser´ el dual del elemento central) como: a h, δ = 0, h ∈ h0 , c0 , δ = 0, d0 , δ = 1 (17.54) Introducimos los operadores formando la base de Chevalley de un modo similar a como lohicimos en el caso no girado: e = tE , f = t−1 F , ei = Ei , fi = Fi (17.55) Comprobamos las relaciones de comutaci´n: o [ei , fi ] = αi , i = 0(or 1), . . . , l − 1(or l) ˆ (17.56) [e , f ] = [E , F ] + (E , F )c0 = H + c0 (17.57)
  • 164. 164 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. oy las dem´s: [ei , fj ] = 0, [e , fi ] = 0, [ei , f ] = 0 a Siguiendo las mismas l´ ıneas que en el caso no girado, pongamos: α ˆ = c0 + H (17.58) αi ˆ = Hi (17.59) α = δ − θ0 (17.60)y tenemos el conjunto de co-ra´ ıces y el conjunto de ra´ ıces del ´lgebra af´ girada. El conjunto de a ınra´ ıces es: ∆ = {α + nδ : α ∈ Ωs {0}, n ∈ Z, n ≡ s(modk), s = 0, 1, . . . , k} ∪ ¯ {nδ : n ∈ Z, n = 0} (17.61)y la descomposici´n del espacio de ra´ o ıces es: ˆ L(g, σ) = H ⊕ (⊕α∈∆ L(g, σ)α ) (17.62)con: L(g, σ)α+nδ = tn ⊗ gn,α , ¯ L(g, σ)nδ = tn ⊗ gn,0 ¯ (17.63) Si la forma bilineal invariante en g est´ normalizada de tal forma que la longitud al cuadrado ade una ra´ larga (en el caso girado todas las ra´ ız ıces tienen la misma longitud) es igual a 2k (k esel orden del automorfismo), entonces (usando la forma bilineal invariante en g¯ ): 0 (θ0 , θ0 )0 = 2a0 (17.64) ˆEn este caso, tenemos una forma bilineal invariante en L(g, σ) que coincide con la forma bilinealcan´nica en g. El elemento c0 definido arriba es el elemento central can´nico. o o17.2. Ejemplos Veremos en esta secci´n algunos ejemplos de ´lgebras de Lie afines giradas, estudiando con o adetalle la representaci´n explicada en la secci´n anterior. o o Ejemplo 17.1 (2) El ejemplo m´s sencillo de un ´lgebra de Lie af´ girada es A2 . El automorfismo del diagrama a a ınde Dynkin de A2 (en la base de Chevalley: α1 , α2 , e1 , e2 , f1 , f2 , ra´ ˆ ˆ ıces simples: α1 , α2 ) es: µ(1) = 2, µ(2) = 1 (17.65)y el automorfismo inducido en A2 es: σ(ˆ 1 ) = α2 , α ˆ σ(e1 ) = e2 , σ(f1 ) = f2 (17.66) Ahora calculamos los puntos fijos de A2 bajo este automorfismo (g¯ = A1 ): 0 √ √ H0 = 2(ˆ 1 + α2 ), E0 = 2(e1 + e2 ), F0 = 2(f1 + f2 ) α ˆ (17.67)y la descomposici´n del espacio de pesos g¯ , generada por: o 1 α1 − α2 , e1 − e2 , f1 − f2 , e3 , f3 ˆ ˆ (17.68)donde: e3 = [e1 , e2 ], f3 = −[f1 , f2 ]
  • 165. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 165 Es f´cil comprobar que: a [H0 , α1 − α2 ] = 0 ˆ ˆ (17.69) [H0 , e1 − e2 ] = 2(e1 − e2 ), [H0 , f1 − f2 ] = −2(f1 − f2 ) (17.70) [H0 , e3 ] = 4e3 , [H0 , f3 ] = −4f3 (17.71)y el peso m´s alto es θ0 = 2α0 , donde: a α0 = α1 |h0 = α2 |H0 (17.72)y los vectores peso asociados a θ0 y −θ0 son e3 y f3 respectivamente. Escogemos la forma bilineal en A2 para que (α , α ) = 4, entonces (θ0 , θ0 )0 = 4, porque a0 = 2.Con m´s detalle: a (θ0 , θ0 )0 = 4(α0 , α0 )0 = 4 (17.73)pues ν(H0 ) = 2α0 y (α0 , α0 ) = α0 , H0 /2 = 1. Si (α1 , α1 ) = (α2 , α2 ) = 4, por una relaci´n general que hemos demostrado en las secciones oanteriores, (ˆ 1 , α1 ) = (ˆ 2 , α2 ) = 1, y comparando con la forma de Killing para A2 (o simplemente, α ˆ α ˆusando el car´cter invariante de la forma bilineal), encontramos: a (ei , fi ) = 1/2, i = 1, 2, 3, e3 = [e1 , e2 ], f3 = −[f1 , f2 ] (17.74) Si queremos normalizar el vector del peso m´s alto en la representaci´n de A1 tomamos: a o √ √ E1 = 2f3 , F1 = 2e3 , (E1 , F1 ) = 1 (17.75)y el conmutador es: [E1 , F1 ] = −2(ˆ 1 + α2 ) = −H0 α ˆ (17.76)con lo que Hθ0 = −H0 . El ´lgebra de Lie af´ girada se escribe como sigue: a ın (2)ˆ A2 ∼ L(A2 , σ) = ⊕n∈Z t2n ⊗ A1 ⊕ Cc0 ⊕ Cd0 ⊕ ⊕n∈Z t2n−1 ⊗ g¯ 1 (17.77)y los generadores de Chevalley son: √ √ e0 = 1 ⊗ E0 = 1 ⊗ 2(e1 + e2 ), f0 = 1 ⊗ F0 = 1 ⊗ 2(f1 + f2 ) (17.78) √ √ √ √ e1 = 2t ⊗ E1 = 2t ⊗ f3 , f1 = 2t ⊗ F1 = 2t ⊗ e3 (17.79) α1 = c − 1 ⊗ H0 = c − 1 ⊗ 2(ˆ 1 + α2 ), ˆ α ˆ α0 = 1 ⊗ 2(ˆ 1 + α2 ) ˆ α ˆ (17.80) Comprobemos las relaciones de conmutaci´n entre los operadores de Chevalley: o √ √ [ˆ 0 , e0 ] = [1 ⊗ 2(ˆ 1 + α2 ), 1 ⊗ 2(e1 + e2 )] = 2(1 ⊗ 2(e1 + e2 )) = 2e0 α α ˆ (17.81) √ √ [ˆ 1 , e0 ] = [c − 1 ⊗ 2(ˆ 1 + α2 ), 1 ⊗ 2(e1 + e2 )] = −2(1 ⊗ 2(e1 + e2 )) = −2e0 α α ˆ (17.82) √ √ [ˆ 0 , e1 ] = [1 ⊗ 2(ˆ 1 + α2 ), t ⊗ 2f3 ] = −2(t ⊗ 2f3 ) = −2e1 α α ˆ (17.83) √ √ [ˆ 1 , e1 ] = [c − 1 ⊗ 2(ˆ 1 + α2 ), t ⊗ 2f3 ] = 2(t ⊗ 2f3 ) = 2e1 α α ˆ (17.84) √ √ [e0 , f0 ] = [1 ⊗ 2(e1 + e2 ), 1 ⊗ 2(f1 + f2 )] = 1 ⊗ 2(ˆ 1 + α2 ) = 1 ⊗ H0 = α0 α ˆ (17.85) √ √ [e1 , f1 ] = [t ⊗ 2f3 , t−1 ⊗ 2e3 ] = 1 ⊗ 2[f3 , e3 ] + (e1 , f1 )c = (17.86) −1 ⊗ 2(ˆ 1 + α2 ) + (E1 , F1 )c = −1 ⊗ H0 + c = α1 α ˆ ˆ (17.87) El elemento central can´nico es: o c = α0 + α1 ˆ ˆ (17.88)
  • 166. 166 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Ejemplo 17.2 (2) Nuestro ultimo ejemplo es A5 . El automorfismo del diagrama de Dynkin es: ´ µ(1) = 5, µ(2) = 4, µ(3) = 3 (17.89)y en el ´lgebra: a σ(ˆ 1 ) = α5 , σ(ˆ 2 ) = α4 , σ(ˆ 3 ) = α3 α ˆ α ˆ α ˆ (17.90)y los otros generadores se transforman de un modo similar. Los puntos fijos bajo este automorfismoson: α1 + α5 , α2 + α4 , α3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (17.91) e1 + e5 , e2 + e4 , e3 , f1 + f5 , f2 + f4 , f3 (17.92) e6 − e9 , e7 − e8 , e10 + e12 , e11 , e13 − e14 , e15 (17.93) f6 − f9 , f7 − f8 , f10 + f12 , f11 , f13 − f14 , f15 (17.94)y la descomposici´n del espacio de pesos en el subespacio g¯ : o 1 e13 + e14 (17.95) e10 − e12 (17.96) e7 + e8 e6 + e9 (17.97) e2 − e4 e1 − e5 (17.98) α1 − α5 ˆ ˆ α2 − α4 ˆ ˆ (17.99) f1 − f5 f2 − f4 (17.100) f6 + f9 f7 + f8 (17.101) f10 − f12 (17.102) f13 + f14 (17.103)que est´n escritos por niveles (el peso m´s alto es (0, 1, 0) en la base de pesos fundamentales). El a apeso m´s alto es θ = α1 + 2α2 + α3 donde: a α1 = α1 |h0 = α5 |h0 (17.104) α2 = α2 |h0 = α4 |H0 (17.105) α3 = α3 |h0 (17.106) El vector de peso m´s alto es e13 + e14 = F0 y el m´s bajo f13 + f14 = E0 . La normalizaci´n a a ode la forma bilineal es tal que: (αi , αi ) = 4, y entonces, (E0 , F0 ) = 1. El conmutador de estos vectores es: [E0 , F0 ] = −(ˆ 1 + 2ˆ 2 + 2ˆ 3 + 2ˆ 4 + α5 ) = −H1 − 2H2 − 2H3 α α α α ˆ (17.107)donde H1 = α1 + α5 , H2 = α2 + α4 , H3 = α3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (17.108) Los generadores de Chevalley para el ´lgebra af´ girada son: a ın α0 = c − (ˆ 1 + 2ˆ 2 + 2ˆ 3 ) ˆ α α α (17.109) α1 = 1 ⊗ (ˆ 1 + α5 ), α2 = 1 ⊗ (ˆ 2 + α4 ), α3 = 1 ⊗ α3 ˆ α ˆ ˆ α ˆ ˆ ˆ (17.110) −1 e0 = t ⊗ (f13 + f14 ), f0 = t ⊗ (e13 + e14 ) (17.111)
  • 167. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 167 e1 = 1 ⊗ (e1 + e5 ), f1 = 1 ⊗ (f1 + f5 ) (17.112) e2 = 1 ⊗ (e2 + e4 ), f2 = 1 ⊗ (f2 + f4 ) (17.113) e3 = 1 ⊗ e3 , f3 = 1 ⊗ f3 (17.114) La matriz de Cartan generalizada es:   2 0 −1 0  0 2 −1 0  A=   −1 −1 2 −2  (17.115) 0 0 −1 2y el elemento central can´nico es: o c = α0 + α1 + 2ˆ 2 + 2ˆ 3 ˆ ˆ α α (17.116)
  • 168. 168 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Tabla 1. Diagramas de Dynkin de ´lgebras de Lie simples a An e e --- e e Cn e e --- e e  (n ≥ 1) 1 2 n−1 n (n ≥ 2) 1 2 n−1 n n e Bn e e - - - ee Dn e e --- e n − 2 e (n ≥ 3) 1 2 n−1 n (n ≥ 4) 1 2  n−1 6 e E6 e e e e e F4 e e e e 1 2 3 4 5 1 2 3 4 7 e E7 e e e e e e G2 ee 1 2 3 4 5 6 1 2 8 e E8 e e e e e e e 1 2 3 4 5 6 7
  • 169. ´MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o 169 Tabla 2. Diagramas de Dynkin afines Tipo I Tipo II (1) A1 e e A2 (2) e e  1 1 2 1 e1 (1)  (2) An A2n ee - - - ee e e - - - ee  (n ≥ 2) (n ≥ 2) 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 (1) e (2) e Bn  e  - - - ee A2n−1  e  --- e e (n ≥ 3) e2 2 2 (n ≥ 3) e2 2  1 1 1 (1) (2) Cn ee - - - e e Dn+1 e e - - - ee   (n ≥ 2) 1 2 2 1 (n ≥ 2) 1 1 1 1 1 1 (1) e e Dn  e  - - - e e2 e ee e e 2 e (2) (n ≥ 4)  E6 1 1 1 2 3 1 2 1 e 2 e (1) E6 e e e e e 1 2 3 2 1 2 e (1) E7 e e e e e e e 1 2 3 4 3 2 1 3 e (1) E8 e e e e e e e e 1 2 3 4 5 6 4 2 (1) F4 e e e e e Tipo III 1 2 3 4 2 (1) G2 e ee D4 (3) ee e 1 2 3 1 2 1
  • 170. 170 ´ MAR. Algebras de Lie. Versi´n 4. o Tabla 3. Pesos m´s altos en G1 a ´ Algebra Orden G0 Peso m´s alto en G1 a αn−1 αn−2 α1 α0 A2n , n ≥ 1 2 Bn e e - - - ee 2 2 2 2 α1 α2 αn−1 αn A2n−1 , n ≥ 2 2 Cn e e --- e e  1 2 2 1 α1 α2 αn−1 αn Dn+1 , n ≥ 2 2 Bn e e - - - ee 1 1 1 1 α4 α3 α2 α1 E6 2 F4 e e e e 1 2 3 2 α2 α1 D4 3 G2 ee 1 2
  • 171. Bibliograf´ ıa [1] J. Dixmier, Alg`bres enveloppantes. Gauthier Villars, Paris, 1975. e [2] M. Goto, F.D. Grosshans, Semisimple Lie Algebras. Dekker, New York, 1978. [3] S. Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Academic Press, New York, 1978. [4] J.E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, New York, 1972. [5] N. Jacobson, Lie Algebras. Dover, New York, 1962. [6] D. Juriev, Algebraic structures of the quantum projective [sl(2, C)-invariant] field theory: the commutative version of Elie Cartan’s exterior differential calculus. J. Math. Phys. 33, 3112, (1992). [7] V.G. Kac, Infinite dimensional Lie algebras. Cambridge Univ. Press, 1985. [8] R.V. Moody, A. Pianzola, Lie Algebras with Triangular Decomposition. Can. Math. Soc., Wiley, Toronto, 1994. [9] A.L. Onishchik, Lectures on semisimple Lie algebras and their representations. ESI Lectures in Mathematics and Physics. EMS, 2004.[10] Sai-Ping Li, R.V. Moody, M. Nicolescu, J. Patera, Verma bases for representations of classical simple Lie algebras. J. Math. Phys. 27, 668, (1986).[11] J.P. Serre, Lie Algebras and Lie Groups. Benjamin, New York, 1965.[12] B.N. Shapukov, Grupos y ´lgebras de Lie. URSS, Mosc´, 2001. a u[13] J. Tits, Les groupes de Lie exceptionnels et leur interpretation g´om´trique. Bull. Soc. Math. e e Bel. 8, 48, (1956).[14] Wan Zhe-Xian, Lie algebras. Pergamon Press, Oxford, 1975.[15] Wan Zhe-Xian, Introduction to Kac-Moody algebra. World Scientific, 1988.[16] H. Zassenhaus, The theory of groups. Dover, 1999. 171

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