1. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A
25SISTEMA HELICOIDAL
OBJETIVOS
• Saber identificar una expresión algebráica y su clasificación, lo cual nos va a permitir reconocer un polinomio y en
forma directa calcular su valor numérico cuando en ciertos ejercicios así lo requieran.
MOTIVOS:
En los primeros temas del curso de ÁLGEBRA mencionamos lo referente a lo que es una EXPRESIÓN Algebraica, ahora
las clasificaremos para poder entender lo que es un Polinomio y cómo se denota o representa, para fines de operación
entre los polinomios.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA (E.A.)
Es un conjunto de constantes y variables con exponentes
racionales, relacionados en un número finito a través de
las operaciones de suma, resta, multiplicación, división,
potenciación y radicación.
Ejemplos:
•
•
•
•
•
•
Laexpresión: ,noesunaexpresión
algebraicadadoquelosexponentesdelasvariablesno
son números racionales.
Clasificación de las expresiones algebraicas
Las expresiones algebráicas se van a clasificar según la
característica de sus exponentes en las variables.
A continuaciónvamosadescribircadatipoquesepresenta
en las expresiones algebraicas.
I) E.A. Racionales
Son aquellas donde sus variables tienen exponentes
enteros.
Ejemplos:
•
•
•
•
•
Como los números enteros pueden ser positivos o
negativos, esto nos lleva a dividir las E.A. racionales en
dos tipos:
Tipos de E.A. RACIONALES
(I–a.) E.A. Racionales Enteras
Son aquellas donde las variables tienen exponentes
enteros positivos, incluyendo al cero.
Ejemplo:
•
(*)
•
•
•
2. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A
26 PASCUAL SACO OLIVEROS
Observa que las E.A. Racionales Enteras no presentan va-
riables en el denominador.
(I-b) E.A. Racionales Fraccionarias
Son aquellas donde las variables tienen exponentes
enterosnegativosoalmenosunadelasvariablesesta
afectada de exponente negativo.
También se dice que las E.A. Racionales Fraccionarias
son aquellas que presentan variables en el denomi-
nador.
Ejemplos:
• •
• •
• •
II) E.A. Irracionales
Son aquellas donde sus variables tienen exponen-
tes fraccionarios o estos llevan radicales.
Ejemplos:
•
•
•
•
•
•
•
Ejemplos de identificación de una E.A.
Marcar con un aspa para indicar qué tipo de expresión
algebraica corresponde.
3. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A
27SISTEMA HELICOIDAL
Antes de indicar cómo se denota un Polinomio, vamos a
definir lo que significa.
Es una expresión algebraica racional entera que consta de
dos o más términos.
Ejemplos:
•
•
•
Para la notación de un polinomio se emplean las letras
mayúsculas, a la vez llevan como subíndice otra letra
minúsculas entre paréntesis para indicar la variable en el
polinomio. Así tenemos:
Nos indica la representación de un polinomico
cuya única variable es x.
Se lee: P de x.
Ejemplos:
La notación polinómica podemos extenderla a polino-
mios con más de una variable; así tenemos:
(*)
(*)
(*)
También se puede emplear otras letras en lugar de «P»
para representar un polinomio, sin que esto altera la
notación.
Es decir:
•
•
•
En
Es un polinomio“H de x e y”
Donde:
V.N.
Es el valor obtenido como resultado luego de efectuar
operaciones en un polinomio al reemplazar los valores
dados a sus variables.
Ejemplos:
Hallar el valor numérico de:
Cuando : x=2
RESOLUCIÓN:
Nos piden calcular el valor de P(x) cuando x=2, para ello
reemplazamos «x por 2», cuando se hace el reemplazo es
necesario emplear paréntesis.
Reemplazamos x=2 en P(x):
Si se tiene:
P(1)= 3 Es el V.N. de P al cambiar x
por 1
También:
P(–2) = 12+2+1
P(–2) = 15 Es el V.N. de P al cambiar x por –2
Para calcular el valor numérico (V.N.) recuerda que
hay que asignar a la variable x el valor especificado
en el Polinomio.
DIVERSOS TIPOS QUE SE PRESENTAN PARA OBTENER EL
VALOR NUMÉRICO
Acontinuación presentamos los diversos tipos de pro-
4. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A
28 PASCUAL SACO OLIVEROS
blemas que se dan para obtener el valor numérico en un
polinomio.
Cuando se hace el reemplazo por la variable indicada.
Ejemplos:
1. Si
Hallar : P(–5)
RESOLUCIÓN:
Hacemos el reemplazo de“x por –5”
Reemplazando : x=–5 en P(x):
2. Si :
Hallar:
RESOLUCIÓN:
Reemplazando x por x–1 en Q(x).
Aquí: x= x–1
Reemplazando en:
3. Si :
Calcular:
RESOLUCIÓN:
Para calcularesteproblema,hacemoselcálculodeadentro
hacia afuera.
Es decir:
1º Cálculo :
2º Cálculo: (aqui x =2)
3º Cálculo:
Observamos que el V.N. que se obtiene de adentro hacia
afuera siempre da 2.
Cuando se calcula el valor de la variable antes de su re-
emplazo.
Ejemplos:
1. Si se tiene
Hallar : P(2)
RESOLUCIÓN:
1º Calculamos el valor de x (valor de la variable)
Como: P(x–2) = P(2)
Igualamos: x–2=2
Despejamos : x=4
2º Procedemos a reemplazar“x por 4”
2. Si:
Calcular:
RESOLUCIÓN:
1º Igualamos : 3x – 1 = 5
3x = 6
x = 2
2º Reemplazamos en:
Cuando se hace un cambio de variable para obtener el
polinomio original.
Ejemplos:
1. Si
5. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A
29SISTEMA HELICOIDAL
Hallar : P(x)
RESOLUCIÓN:
Hacemos un cambio de variable; asignando x– 3 a x.
1º x–3 x (asignación de izquierda a derecha)
Osea : x–3=x
x=x+3
2º Reemplazando en P(x–3) : x=x+3
P(x–3) = 5x–2
Luego:
P(x) = 5(x+3)–2
2. Se define:
P(x+5) = 2x+1
Hallar : P(x)
RESOLUCIÓN:
Haciendo un cambio de variable:
x+5 x (asignación de izq. a derecha)
Osea : x+5= x
x=x–5
Reemplazando en P(x+5) : x=x–5
P(x+5) = 2x+1
P(x) = 2(x-5) +1
I. Problema desarrollado
1. Si:
Demostrar que: H(4)=5
Demostración:
1º Igualamos 3x + 1 = 4
3x = 3
x = 1
2º Reemplazamos en:
H(3x+1)= 2x+3
H(4) = 2(1)+3
H(4) = 2+3
H(4) = 5
II. Problema por desarrollar
2. Si:
Demostrar que:
P(5)=–1
6. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A
30 PASCUAL SACO OLIVEROS
1. Si P(x)=2x+1
Hallar el valor de P(5)
Rpta.: .......................................................
2. Si P(x)=3x–2
Hallar el valor de P(6)
Rpta.: .......................................................
3. Si
Hallar el valor de P(–5)
Rpta.: .......................................................
4. Si
Hallar el valor de P(–2)
Rpta.: .......................................................
5. Si
Hallar el valor de P(x+5)
Rpta.: .......................................................
6. Si
Hallar el valor de P(x–2)
Rpta.: .......................................................
7. Si
Hallar el valor de:
Rpta.: .......................................................
8. Si
Hallar el valor de:
Rpta.: .......................................................
9. Si
Calcular:
Rpta.: .......................................................
10. Si
Calcular:
Rpta.: .......................................................
11. Si
Calcular:
Rpta.: .......................................................
12. Si
Calcular:
P(x+3) + P(x–2)
Rpta.: .......................................................
13. Si
Hallar:
P(–2) + P(3)
Rpta.: .......................................................
14. Si
Calcular:
Rpta.: .......................................................
15. Si
Calcular:
Rpta.: .......................................................
16. Si
Calcular:
Rpta.: .......................................................
17. Si
Calcular: P(0.5)
Rpta.: .......................................................
7. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A
31SISTEMA HELICOIDAL
18. Si
Calcular P(–2, 1)
Rpta.: .......................................................
19. Si
Calcular :
Rpta.: .......................................................
20. Si
Calcular :
Rpta.: .......................................................
1. Si:
Calcular : P(–2, 1)
A) 5 B) 7 C) 10
D) 11 E) 15
2. Si: P(x)=3+x
Calcular P(2) + P(3)
A) 5 B) 6 C) 8
D) 9 E) 11
3. Resolver: Si
Hallar : P(7)
A) 1 B) 3 C) 5
D) 7 E) 9
4. Si:
Calcular :
A) 5 B) 10 C) 11
D) 13 E) 15
5. Si:
Hallar: P(3)
A) –1 B) –2 C) –3
D) 0 E) 1
8. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A
32 PASCUAL SACO OLIVEROS
Problema desarrollado
1. Demostrar que:
P + 2Q = a+b
Si: P = 3a – 5b + 6
Q = –a + 3b – 3
Demostración:
1º Reemplazamos en P+2Q
3a–5b+6+2(–a+3b–3)
2º Reducimos
3a–5b+6–2a+6b–6
a+b
Problema por desarrollar
2. Demostrar que:
3M+4N = 10x+y
Si: M = 2x+3y–4
N = x–2y+3
Demostrar
1. Reducir los términos:
a)
b)
2. Reducir:
a) P = 5mn–4mn+8mn–4mn
b) M = 4ab+2ba–3ab–ba
Rpta.: .......................................................
3. Reducir:
Rpta.: .......................................................
4. Reducir:
Rpta.: .......................................................
5. Reducir:
Rpta.: .......................................................
6. Reducir:
Rpta.: .......................................................
7. Reducir:
Rpta.: .......................................................
8. Reducir:
Rpta.: .......................................................
OBJETIVOS
• Saber reconocer a los términos semejantes a través de su parte literal y poder reducirlos a uno solo.
9. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A
33SISTEMA HELICOIDAL
9. Reducir:
Rpta.: .......................................................
10. Reducir:
Rpta.: .......................................................
11. Reducir:
Rpta.: .......................................................
12. Reducir:
Rpta.: .......................................................
13. Reducir:
Rpta.: .......................................................
14. Calcular el valor de“n”si los siguientes términos:
Rpta.: .......................................................
15. Calcular el valor de (m+n) si los términos son
semejantes de variables“x”e“y”:
Rpta.: .......................................................
16. Reducir:
Rpta.: .......................................................
17. Sumar P+Q si:
P =
Q =
Rpta.: .......................................................
18. Efectuar M–N si:
M =
Q =
Rpta.: .......................................................
19. Efectuar 3P+Q si:
P =
Q =
Rpta.: .......................................................
20. Efectuar 4M–2N si:
M = 7a–2b+5ab–4
N = 3b+8a–3+4ab
Rpta.: .......................................................
1. Reducir:
10. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A
34 PASCUAL SACO OLIVEROS
A) 0 B) 1 C)
D) E)
2. Reducir:
A) –2 B) –1 C) 0
D) E)
3. Reducir:
A) –1 B) 0 C)
D) E) x
4. Indicar el valor de n si los términos:
Son semejantes
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
5. Indicar el valor de m si los términos:
son semejantes.
A) 24 B) 8 C) 6
D) 4 E) 2
11. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A
35SISTEMA HELICOIDAL
Problema desarrollado
1. Demostrar que:
Demostración:
1º Eliminar el signo de colección
2º Reducir términos semejantes
; agrupándo términos
Problema por desarrollar
2. Demostrar que:
1. Eliminar los signos de colección:
a) –(4m+2n+5)
b) +(–x+3y–4)
c) –(–5a–2b–3)
2. Introducir el signo de colección afectado por un signo
negativo:
a)
b)
Rpta.: .......................................................
3. Reducir:
K=–2a+6+(3a–4)
Rpta.: .......................................................
4. Reducir:
P=3x+5y+2–(2x+4y–1)
Rpta.: .......................................................
5. Reducir:
M=–3a–(2a+6)+6(a–2)
Rpta.: .......................................................
6. Reducir:
Q=5x–(3x–7)–3(x+12)
OBJETIVOS
• Aplicar correctamente los signos de colección ya sea en su eliminación o introducción para agrupar términos. Para
reducir términos es importante saber eliminar los signos de colección a través de una regla de signos.
13. ÁlgebraCompendio de Ciencias III-A
37SISTEMA HELICOIDAL
A) 5a B) 7a C) 5a–8
D) 8 E) 5a+8
2. Reducir:
M=5(m–n)–2(n+m)+7n
A) 4m B) 3m C) 2m
D) m E) –7m
3. Reducir:
P=3(x+2y)–2(y+2x)–4y
A) x B) 2y C) x+4y
D) –x E) 4y
4. Reducir:
A) 1 B) –1 C) 0
D) x E) y
5. Reducir:
A) 0 B) –1 C) 1
D) 2a E) b
