Algebra 1.1

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  • 1. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 31SISTEMA HELICOIDAL MOTIVACIÓN Los Árabes fueron los verdaderos sistematizadores del Álgebra. A fines del siglo VIII floreció la escuela de Bagdad a la que pertenecían al Juarismi, al Batani y Omar K.hayyan. A l Juarismi, persa del siglo IX, escribió el primer libro de Algebra y le dio nombre a esta ciencia. Al Batani, sirio (858 - 929), aplicó el Algebra a problemas astronómicos. Y Omar Khayyan persa del siglo XII, conocido por sus poemas escritos en «Rubayat», escribió un tratado de Algebra. «Querer es poder, tú quieres, luego puedes». Concepto : Es la operación que consiste en multiplicar un número llamado base tantas veces como factor, como lo indica otro llamado exponente, para obtener un resultado llamado potencia. Así tenemos: Notación: donde: b base n exponente P potencia Luego: Ejemplos: •  Es base : 2 Es exponente : 5 Es potencia : 32 •  Es base : –3 Es exponente : 4 Es potencia : 81 • • • •  Donde: POTENCIACIÓN OBJETIVOS Las leyes de exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos; y la operación que da origen al exponente es la potenciación.
  • 2. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 32 PASCUAL SACO OLIVEROS Es base : Es exponente : 4 Es potencia : • • • (a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b) Recíprocamente de acuerdo a la definición de potenciación se verifica: • • • • Ejemplos Diversos: • –34 = –3 × 3 × 3 × 3 = –81 • (–3)4 = (–3) (–3) (–3) (–3) = +81 • (3x)4 = (3x) (3x) (3x) (3x) • 3x4 = 3x x x x • (– 3x)4 = (–3x) (–3x) (–3x) (–3x) • – 3x4 = – 3 x x x x • • (*) –bn ≠ (–b)n (**) Identificación de una base y su exponente: • En: • En: * En : En el Exponente anterior: , se tiene: Exp. = x2 Base = x LEY DE LOS SIGNOS EN LA POTENCIACIÓN Ejemplos: • (+2)4 = + 24  (24 ) = 16 • (+x)32 = x32 (x)32 = x32 Ejemplos: • (+2)5 = + 25  (2)5 = 32 • (+x)17 = + x17 (x)17 = x17 Ejemplo: • (–2)6 = + 26  (–2)6 = 64 • (–x)18 = + x18 (–x)18 = x18 Ejemplo: • (–2)5 = – 25  (–2)5 = – 32 • (–x)21 = – x21 (1º) Es conveniente indicar la diferencia entre: –34 y (–3)4 (*) En: – 34 ; el exponente no afecta al signo.  (*) En: (–3)4 ; el exponente si afecta al signo. (–3)4 = + 34  Por ello: –34 (–3)4 (2º) Debes tener presente lo siguiente: (i) con
  • 3. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 33SISTEMA HELICOIDAL Ejemplos: • 123 = 1 • 1128 = 1 • 1–25 = 1 (ii) Ejemplos: • (–1)16 = 1 • (–1)328 = 1 (iii) Ejemplos: • (–1)17 = –1 • (–1)5 = –1 (iv) con Ejemplos: • 017 = 0 • 0120 = 0 • 01256 = 0 Para realizar diversas operaciones a través de la po- tenciación es necesario recordar las potencias más usuales: POTENCIAS MÁS USUALES : LEYES DE EXPONENTES Los exponentes se rigen a través de leyes, normas que estudiaremos a continuación: Objetivos: • El objetivoes capacitaral alumno a poder identificar los diferentes tipos deexponentes y las relaciones quese dan entreellos, luego dar paso a la solución de ejercicios mediante reglas prácticas de exponentes. Paraunmayorentendimientoenestecapítulo,lasleyes de exponentes lo dividimos en 3 partes: (1º) Leyes de Los Exponentes I (2º) Leyes de los Exponentes II (3º) Leyes de los Exponentes III A continuación pasaremos a desarrollar las respectivas leyes contenidas en cada grupo. LEYES DE EXPONENTES I Aqui mencionaremos las leyes que son usuales dada su forma en que se presentan: 1. Ley del exponente Cero siempre y cuando : b 0 Ejemplos: • (3)0 = 1 • 30 = 1 • (–3)0 = 1 • –30 = –1 • 3x0 = 3(1) = 3 • (3x)0 = 1 • • 3(a + b)0 = 3(1) = 3 • – 3x0 y = –3(1)y = –3y 0º es indeterminado 2. Ley del exponente Uno El exponente uno ya no se escribe, se sobreentiende Ejemplos: • 51 = 5 • • • (a + b)1 = (a + b) • 3x1 = 3x • 3. Ley del exponente de Exponentes: (cadena de expo- nentes) Para desarrollar esta expresión se toma los 2 últimos términos (base y exponente), luego se va transfor- mando de arriba hacia abajo, tomando de 2 en 2 los términos. Ejemplos: (*) Desarrollar: Luego: (*) Desarrollar:
  • 4. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 34 PASCUAL SACO OLIVEROS Luego: 4. Ley del exponente Negativo con b 0 *Caso Particular con: a; b 0 Ejemplos: • • • • Tambien: • • • Recíprocamente: • • • • • Si la forma del exponente es negativo: Entonces transformamos a una expresión fraccionaria I. Problema desarrollado 1. Indicar de las proposiciones que afirmaciones son correctas: A) (F) B) (F) C) (V) RESOLUCION A) La proposición es falsa B) Es falso la proposición C) La proposición es verdadera II. Problema por desarrollar 2. Indicar cuales de las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F): A) ................... ( ) B) ............ ( ) A) ........................... ( ) RESOLUCION
  • 5. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 35SISTEMA HELICOIDAL 1. Hallar el resultado de: A) B) 2. Efectuar: A) B) Rpta.: ....................................................... 3. Efectuar: A) B) Rpta.: ....................................................... 4. Efectuar: A) B) Rpta.: ....................................................... 5. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 6. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 7. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 8. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 9. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 10. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 11. Calcular: Rpta.: ....................................................... 12. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 13. Calcular: Rpta.: ....................................................... 14. Calcular: Rpta.: ....................................................... 15. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 16. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 17. Efectuar:
  • 6. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 36 PASCUAL SACO OLIVEROS 1. Calcular: A) –9 B) 27 C) –27 D) 3 E) 6 2. Calcular: A) 12 B) 17 C) –15 D) 19 E) –20 3. Calcular: A) 13 B) 15 C) 16 D) 11 E) 5 4. Efectuar: A) 10 B) 9 C) 7 D) 6 E) 5 5. Calcular: A) 5 B) 6 C) 1/6 D) –6 E) 1/5 Rpta.: ....................................................... 18. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 19. Calcular: Rpta.: ....................................................... 20. Calcular: Rpta.: .......................................................
  • 7. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 37SISTEMA HELICOIDAL LEYES DE EXPONENTES II AquímencionamoslasLeyesquerigenalosexponentes de acuerdo a las operaciones usuales que presentan las diversas expresiones. 1. Multiplicación de Bases Iguales ; En forma extensiva: Ejemplos: • • • • • • Recíprocamente: • • • 2. División de Bases Iguales con b 0 Ejemplos: • • • Si se tiene: Luego obtendremos: Regla Práctica : “La base resultante lleva como exponente una forma particular; donde el exponente del numerador mantie- ne su exponente, mientras el exponente denominador va a pasar con signos opuestos” Ejemplos: • • • Ejemplos Diversos: • • •  Se observa: OBJETIVOS MOTIVACIÓN «Cada uno de nosotros en cierta medida ha nacido bueno, mediocre o malo, pero al igual que la inteligencia. El sentido moral puede ser desarrollado por la educación, la disciplina y la fuerza de voluntad». Buscar que el alumno logre dominar las diversas operaciones que se da con los exponentes establecidos como leyes. El camino a recorrer con estas leyes nos permitirá desarrollar a través de los ejercicios su capacidad de razonamiento.
  • 8. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 38 PASCUAL SACO OLIVEROS • 3. Potencia de Potencia ; Ejemplos: • • • • • • Recíprocamente: • • • Si se tiene:  m•n = n•m Luego se cumple: Ejemplos: • • • no confundir: Pues: 4. Potencia de un Producto • • Ejemplos: • • • • Recíprocamente: (*) (*) (*) Nota: 5. Potencia de un Cociente ; con b 0 Ejemplos: •
  • 9. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 39SISTEMA HELICOIDAL 1. Efectuar: a) = b) = 2. Efectuar: a) = b) = Rpta.: ....................................................... • • • I. Problema desarrollado 1. Indicar de las proposiciones que afirmamos son correctas: a) (F) b) (V) c) (F) RESOLUCION A) La proposición es falsa B) La proposición es verdadera 3. Efectuar: a) = b) = Rpta.: ....................................................... 4. Efectuar: C) La proposición es falsa II. Problema por desarrollar 2. Indicar cuales de las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F): a) .......................... ( ) b) .......................... ( ) c) .......................... ( ) RESOLUCION Recíprocamente: • • •
  • 10. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 40 PASCUAL SACO OLIVEROS a) = b) = Rpta.: ....................................................... 5. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 6. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 7. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 8. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 9. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 10. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 11. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 12. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 13. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 14. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 15. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 16. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 17. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 18. Efectuar:
  • 11. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 41SISTEMA HELICOIDAL 1. Simplificar: A) 3 B) 5 C) 7 D) 4 E) 6 2. Efectuar: A) B) C) D) E) 3. Reducir: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4. Calcular el exponente final de x en: A) 9 B) –9 C) 18 D) –27 E) 27 = Rpta.: ....................................................... 19. Efectuar: = Rpta.: ....................................................... 20. Efectuar: Si Calcular : = Rpta.: .......................................................
  • 12. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 42 PASCUAL SACO OLIVEROS LEYES DE LOS EXPONENTES III Las siguientes leyes están dadas para la transformación de expresiones afectadas por el símbolo de una raíz. 1. Exponente Fraccionario con n 2 Ejemplos: • • • Si se tiene  (se sobreentiende el índice 2) Ejemplos: • • 2. Potencia de una Raíz ; con n 2 Ejemplos: • • • • Si se tiene  Luego: Para fines prácticos: (1º) Si m = 1:  (2º) Si m ≠ 1:  Ejemplos: • • • • • • • • La  porque: La  porque: La  porque: S La  porque: La  porque: La  porque: OBJETIVOS MOTIVACIÓN «El tiempo que gastas en averiguar vidas ajenas, debes emplearlo en reconocer tus defectos, tus aspiraciones y los actos de tu propia vida». Lograr que el alumno domine las leyes relacionadas a exponentes fraccionarias y los radicales, los cuales son muy importantes dado sus diversas aplicaciones en otras materias. Esto será posible a través de la práctica que efectuemos con los diversos ejercicios.
  • 13. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 43SISTEMA HELICOIDAL Sabemos que: Si hacemos: m = n, se tendrá: Luego: En forma similar: Ejemplos: • • • • • • • Se cumple; dadas las siguientes formas: : ⇒ : ⇒ : ⇒ Ejemplos: • • • • • • • • • • • • 3. Raíz de una Multiplicación • • Ejemplos: • • • • Recíprocamente: • • • • 4. Raíz de una División • Ejemplos: • • • • Recíprocamente:
  • 14. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 44 PASCUAL SACO OLIVEROS • • • • 5. Raíz de Raíz • • Ejemplos: • • • • • PROPIEDADES AUXILIARES • ......................................................(I) • .................................................... (II) • ................................................(III) • .................................(IV) • ..................................(V) • .......(VI) Propiedad de Raíz de Raíz : : Ejemplos Diversos: • • • • • • • • • • • • Ejemplos de las formas de Raíz de Raíz: Efectuar: • • • Desarrollar: • •
  • 15. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 45SISTEMA HELICOIDAL 1. Efectuar: a) b) 2. Efectuar: a) b) Rpta.: ....................................................... 3. Efectuar: a) b) Rpta.: ....................................................... 4. Efectuar: Rpta.: ....................................................... 5. Simplificar: I. Problema desarrollado 1. Indicar de las proposiciones que afirmaciones son correctas: A) (V) B) (F) C) (V) RESOLUCION A) La proposición es verdadera B) 9 . 3 = 9 27 = 9 La proposición es falsa C) La proposición es verdadera II. Problema por desarrollar 2. Indicar cuales de las proposiciones es verdadera (V) o falsa (F): A) ....................... ( ) B) ....................... ( ) C) ....................... ( ) RESOLUCION
  • 16. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 46 PASCUAL SACO OLIVEROS Rpta.: ....................................................... 6. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 7. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 8. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 9. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 10. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 11. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 12. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 13. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 14. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 15. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 16. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 17. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 18. Simplificar: Rpta.: ....................................................... 19. Simplificar:
  • 17. ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A 47SISTEMA HELICOIDAL 1. Hallar la expresión equivalente: A) B) 2. Reducir: A) 1 B) 3 C) 9 D) 27 E) 30 3. Reducir: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8 4. Calcular: A) B) C) D) E) 5. Calcular: A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7 Rpta.: ....................................................... 20. Simplificar: Rpta.: .......................................................