• Save
Matemática - Equações Polinomiais - www.CentroApoio.com
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Matemática - Equações Polinomiais - www.CentroApoio.com

on

  • 14,152 views

Aulas De Matemática - Apoio - Ajude Seu Filho Aprender A Aprender Matemática De Forma Descomplicada Com o Uso de Estratégias de Aprendizagem. Estude Menos e Aprenda Mais. Use Estratégias e ...

Aulas De Matemática - Apoio - Ajude Seu Filho Aprender A Aprender Matemática De Forma Descomplicada Com o Uso de Estratégias de Aprendizagem. Estude Menos e Aprenda Mais. Use Estratégias e Macetes. Saiba Mais F. 21 8170-6379 / 22677-3891 / 3496-9660 - Visite nosso site : www.aulasdematematicaapoio.com

Statistics

Views

Total Views
14,152
Views on SlideShare
14,122
Embed Views
30

Actions

Likes
10
Downloads
0
Comments
0

1 Embed 30

http://world-jogos-1.blogspot.com.br 30

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Matemática - Equações Polinomiais - www.CentroApoio.com Matemática - Equações Polinomiais - www.CentroApoio.com Presentation Transcript

  •  
  •  
  • Conhecimento Anterior
    • Produtos Notáveis
    • Fatoração
    • Conjuntos Numéricos
    • Números Complexos
    • Noções de Função
    View slide
  • Vamos aprender Teoremas métodos divisão multiplicação subtração adição operações grau definição Equações polinomiais Polinômios View slide
  • Polinômio
    • Definição:
    • Chamamos de polinômio na variável x,
    • toda expressão na forma:
    • Onde:
    • a n , a n-1 , a n-2 ,...,a 2 , a 1 , a 0 são números complexos denominados coeficientes
    • n é um número inteiro não negativo
    • x é uma variável complexa
  • Polinômios definição
  • Polinômio
    • Grau do polinômio:
    • O grau do polinômio é determinado pelo
    • maior expoente da variável .
    • Exemplos:
    • 4x 2 – 3  2º grau
    • 8x 5 + 6x 3 + 2x  5º grau
  • Polinômios Maior expoente da variável grau definição
  • Tente fazer sozinho
    • 1) (Mack-SP) Determine m real para que o
    • polinômio:
    • p(x) = (m-4)x 3 + (m 2 -16)x 2 + (m+4)x + 4
    • seja de grau 2.
  • Tente fazer sozinho
    • 1) (Mack-SP) Determine m real para que o
    • polinômio:
    • p(x) = (m-4)x 3 + (m 2 -16)x 2 + (m+4)x + 4
    • seja de grau 2 .
  • Solução
    • p(x) = (m-4)x 3 + (m 2 -16)x 2 + (m+4)x + 4
    • Resposta: m não existe.
  • Tente fazer sozinho
    • 2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e c
    • para que os polinômios p 1 (x) e p 2 (x) sejam
    • idênticos:
    • p 1 (x) = a(x+c) 3 + b(x+d)
    • p 2 (x) = x 3 + 6x 2 +15x +14
  • Tente fazer sozinho
    • 2) (Faap-SP) Calcule os valores de a , b e c
    • para que os polinômios p 1 (x) e p 2 (x) sejam
    • idênticos :
    • p 1 (x) = a(x+c) 3 + b(x+d)
    • p 2 (x) = x 3 + 6x 2 +15x +14
  • Solução
    • p 1 (x) = a(x+c) 3 + b(x+d) e p 2 (x) = x 3 + 6x 2 +15x +14
  • Solução
    • p 1 (x) = a(x+c) 3 + b(x+d) e p 2 (x) = x 3 + 6x 2 +15x +14
  • Operações com Polinômios
    • A) Adição :
    • Sendo p(x) = 3x 2 +2x-1 e q(x) = -x 3 +7x 2 -6 ,
    • logo p(x) + q(x) = -x 3 +10x 2 +2x-7 .
    • B) Subtração :
    • Sendo p(x) = 3x 2 -4x+1 e q(x) = 5x 2 -3x+4 ,
    • logo p(x) - q(x) = -2x 2 -x-3 .
  • Operações com Polinômios
    • C) Multiplicação :
    • Sendo p(x) = 7 e q(x) = 2x 3 -4x 2 +5x-3 , logo
    • p(x).q(x) = 7(2x 3 -4x 2 +5x-3)=14x 3 -28x 2 +35x-21 .
    • Sendo p(x) = 3x-4 e q(x) = -2x+5 , logo
    • p(x) . q(x) = (3x-4)(-2x+5) = -6x 2 +15x+8x-20 =
    • = -6x 2 +23x-20 .
  • Polinômios multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição
  • Tente fazer sozinho
    • 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus
    • 7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças
    • seguintes, corrigindo o que for falso:
    • O grau de f(x) . g(x) é 35
    • b) O grau de f(x) + g(x) é 7
    • c) O grau do polinômio (x 2 -1).g(x)+f(x) é 7
  • Tente fazer sozinho
    • 3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus
    • 7 e 5 , respectivamente . Julgue as sentenças
    • seguintes, corrigindo o que for falso :
    • O grau de f(x) . g(x) é 35
    • b) O grau de f(x) + g(x) é 7
    • c) O grau do polinômio (x 2 -1).g(x)+f(x) é 7
  • Solução
    • f(x)  grau 7 e g(x)  grau 5
    • f(x) . g(x)  grau 35 ( falso )
    • x 7 . x 5 = x 12  grau 12
    • b) f(x) + g(x)  grau 7 ( verdadeiro )
    • c) (x 2 -1) . g(x) + f(x)  grau 7 ( falso )
    grau 7 ou menor que 7 , pois o coeficiente da soma dos termos de grau 7 pode ser zero
  • Divisão de Polinômios
    • C.1) Método da chave
    • No método da chave temos que armar a conta ,
    • como se fosse uma divisão de números naturais:
    • e seguir os passos conforme os exemplos .
    quociente dividendo divisor resto
    • Exemplo 1: Calcule (x 2 + 2x – 15) : (x + 5)
    • 1º passo : ordenar e completar o dividendo , se necessário.
    • Nesse caso não será necessário
    • 2º passo : armar a conta .
    Divisão de Polinômios x 2 + 2x - 15 x + 5
    • 3º passo : dividir o 1º termo do dividendo pelo
    • 1º termo do divisor .
    Divisão de Polinômios x 2 + 2x - 15 x + 5 x
    • 4º passo : multiplicar o resultado por cada
    • termo do divisor , colocando a resposta embaixo
    • do dividendo , com o sinal contrário .
    Divisão de Polinômios x 2 + 2x - 15 x + 5 x -x 2 - 5x Para facilitar o próximo passo, procure colocar os termos semelhantes na mesma direção.
    • 5º passo : efetuar a soma da 1ª com a 2ª linha ,
    • obtendo um novo dividendo .
    Divisão de Polinômios x 2 + 2x - 15 x + 5 x -x 2 - 5x - 3x - 15
    • 6º passo : verificar se o grau do 1º termo do
    • novo dividendo é menor que o grau do 1º termo
    • do divisor . Caso não seja, voltamos ao 3º passo .
    Divisão de Polinômios x 2 + 2x - 15 x + 5 x -x 2 - 5x - 3x - 15
    • Logo, quociente é x – 3 e resto é 0 .
    Divisão de Polinômios x 2 + 2x - 15 x + 5 x -x 2 - 5x - 3x - 15 x 2 + 2x - 15 x + 5 x - 3 -x 2 - 5x - 3x - 15 3x + 15 0
    • Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
    • x 4 + 1 por x 3 +1 .
    • 1º passo :
    • x 4 + 1 = x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 0x + 1
    • 2º passo :
    Divisão de Polinômios x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 0x + 1 x 3 + 1
    • Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
    • x 4 + 1 por x 3 +1 .
    • 3º passo :
    Divisão de Polinômios x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 0x + 1 x 3 + 1 x
    • Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
    • x 4 + 1 por x 3 +1 .
    • 4º passo :
    Divisão de Polinômios x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 0x + 1 x 3 + 1 x -x 4 - x
    • Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
    • x 4 + 1 por x 3 +1 .
    • 5º passo :
    Divisão de Polinômios x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 0x + 1 x 3 + 1 x -x 4 - x - x + 1
    • Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
    • x 4 + 1 por x 3 +1 .
    • 5º passo :
    • Logo, o quociente é x e o resto é - x +1
    Divisão de Polinômios x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 0x + 1 x 3 + 1 x -x 4 - x - x + 1 6º passo : como o 1º termo do novo dividendo apresenta o grau menor que o grau do 1º termo do divisor , não podemos continuar a divisão .
  • Polinômios Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição Divisão comum
  • Divisão de Polinômios Note que para toda divisão de polinômios, vale a sentença: D(x) = d(x) . q(x) + r(x) Exemplo: x 4 + 1 = x (x 3 + 1) – x + 1
  • Tente fazer sozinho
    • 4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x 3 + 12x 2 + x – 4 por 2x + 3 é:
    • a) 1
    • b) 2
    • c) 4
    • d) 6
    • e) 8
  • Tente fazer sozinho
    • 4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x 3 + 12x 2 + x – 4 por 2x + 3 é:
    • a) 1
    • b) 2
    • c) 4
    • d) 6
    • e) 8
  • Solução 4x 3 + 12x 2 + x – 4 2x + 3 2x 2 + 3x – 4 -4x 3 – 6x 2 6x 2 + x – 4 – 6x 2 – 9x – 8x – 4 + 8x+12 8 Letra E
  • Tente fazer sozinho
    • 5) Determine o polinômio p(x) que dividido
    • pelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
  • Tente fazer sozinho
    • 5) Determine o polinômio p(x) que dividido
    • pelo polinômio f(x) = x + 5 , tem por quociente q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3 .
  • Solução
    • D(x)= d(x).q(x) + r(x)
    • P(x)= f(x) . q(x) + r(x)
    • P(x) = (x + 5) (x – 2) + 3
    • P(x) = x 2 – 2x + 5x – 10 + 3
    • P(x) = x 2 + 3x – 7
  • Divisão de Polinômios
    • C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
    • Vamos usar o próximo exemplo para mostrar
    • os passos a serem seguidos :
    • Exemplo 1: Calcular o quociente e o resto de
    • (x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) .
    • 1º passo : Calcular a raiz do divisor .
  • Divisão de Polinômios
    • C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
    • Exemplo 1: (x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) .
    • 2º passo : Dispor a raiz do divisor e os
    • coeficientes do dividendo da seguinte forma
    1 -4 5 -2 3
  • Divisão de Polinômios
    • C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
    • Exemplo 1: (x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) .
    • 2º passo : Dispor a raiz do divisor e os
    • coeficientes do dividendo da seguinte forma
    1 -4 5 -2 3 coeficientes do dividendo raiz do divisor
  • Divisão de Polinômios
    • C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
    • Exemplo 1: (x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) .
    • 3º passo : abaixar o 1º coeficiente do dividendo
    1 -4 5 -2 3 1
  • Divisão de Polinômios
    • C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
    • Exemplo 1: (x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) .
    • 4º passo : multiplicar o número abaixado pela
    • raiz do divisor e somar com o coeficiente
    • seguinte . (3 . 1 - 4 = -1)
    1 -4 5 -2 3 1 -1
  • Divisão de Polinômios
    • C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
    • Exemplo 1: (x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) .
    • 4º passo : multiplicar o número abaixado pela
    • raiz do divisor e somar com o coeficiente
    • seguinte .
    1 -4 5 -2 3 1 + x -1 Colocar o resultado embaixo do coeficiente somado
  • Divisão de Polinômios
    • C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
    • Exemplo 1: (x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) .
    • 5º passo : repetir as operações (multiplicar
    • pela raiz do divisor e somar com o coeficiente
    • seguinte)
  • Divisão de Polinômios
    • C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
    • Exemplo 1: (x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) .
    • 5º passo :
    1 -4 5 -2 3 1 -1 x + 2 1 -4 5 -2 3 1 -1 x + 2 4
  • Divisão de Polinômios
    • C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
    • Exemplo 1: (x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) .
    • 6º passo : identificar o resto e os coeficientes
    • do quociente .
    1 -4 5 -2 3 1 -1 2 4 Resto = 4 O quociente é: x 2 – x + 2
  • Divisão de Polinômios
    • C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
    • Exemplo 2: (2x 3 – 5x + 1) : (x + i) .
    • 1º passo:
    • 2º passo: 3º passo:
    2 0 - 5 1 - i 2 0 - 5 1 - i 2
  • Divisão de Polinômios
    • C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
    • Exemplo 2: (2x 3 – 5x + 1) : (x + i) .
    • 4º e 5º passos: 6º passo:
    2 0 - 5 1 - i 2 -2i -7 1+7i O quociente é: 2x 2 – 2ix – 7 O resto é: 1 + 7i
  • Polinômios Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição Divisão comum Seguir os 6 passos
  • Tente fazer sozinho
    • 6) O polinômio p(x) = -x 3 + ax 2 + 5x + b (a e b são constantes reais) é divisível por x – 5. Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos resto 35.
    • Determine os valores de a e b.
    • Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
  • Tente fazer sozinho
    • 6) O polinômio p(x) = -x 3 + ax 2 + 5x + b (a e b são constantes reais) é divisível por x – 5 . Quando dividimos p(x) por x + 2 , obtemos resto 35 .
    • a) Determine os valores de a e b .
    • b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4 ?
  • Solução -1 a 5 b 5 -1 a – 5 5a – 20 25a – 100 + b 0 -1 a 5 b - 2 -1 a + 2 - 2a + 1 4a – 2 + b 35 25a – 100 + b = 0 4a – 2 + b = 35 a = 3 b = 25
  • Teorema do Resto “ Seja p(x) um polinômio tal que p ≥ 1. O resto da divisão de p(x) por x – a é igual a p(a), ou seja, r = p(a).”
  • Teorema do Resto
    • Exemplo: Para calcular o resto da divisão de p(x) = 3x 2 – 17x + 15 por x – 2 , basta aplicar o Teorema do Resto .
    • A raiz do divisor é : x – 2 = 0  x = 2
    • Pelo Teorema do Resto temos que:
    • r(x) = p(2)
    • r(x) = 3.2 2 – 17.2 + 15 = 12 – 34 + 15 = - 7 .
  • Polinômios Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x)
  • Tente fazer sozinho
    • 7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)
    • por um polinômio k(x) tem q(x) = x 3 + 3x 2 + 5
    • como quociente e r(x) = x 2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de k(x)
    • por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é:
    • a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70
  • Tente fazer sozinho
    • 7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)
    • por um polinômio k(x) tem q(x) = x 3 + 3x 2 + 5
    • como quociente e r(x) = x 2 + x + 7 como resto . Sabendo-se que o resto da divisão de k(x)
    • por x é 2 , o resto da divisão de p(x) por x é :
    • a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70
  • Solução
    • P(x)= k(x) . q(x) + r(x)
    • P(x) = k(x) . (x 3 + 3x 2 + 5) + (x 2 + x + 7)
    • P(0) = k(0) . (0 3 + 3.0 2 + 5) + (0 2 + 0 + 7)
    • P(0) = k(0) . 5 + 7
    • Pelo Teorema do resto , temos que k(0) = 2
    • Logo, p(0) = 2 . 5 + 7 = 17  letra C
  • Teorema de D’Alembert “ Seja a (complexo) é raiz de um polinômio f(x), então f(x) é divisível por x – a e, reciprocamente, se f(x) é divisível por x – a, então a é raiz de f(x).”
  • Polinômios Teorema de D’Alembert Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x) a é raiz de f(x)  f(x) é divisível por (x-a)
  • Equações Polinomiais
    • Equação polinomial é aquela que pode ser
    • escrita na forma :
    • Exemplos:
    • x 3 + 1 = 0
    • 3x 2 – 2ix + 1 = 0
    • x 4 – 2x 3 + x 2 + 2x – 2 = 0
  • Polinômios Teorema de D’Alembert Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x) a é raiz de f(x)  f(x) é divisível por (x-a) Definição Equações polinomiais
  • Equações Polinomiais
    • Raiz da equação é o valor que da variável ,
    • que satisfaz a igualdade .
    • Exemplos:
    • a) 2x + 12 = 0 b) x 2 – 9 = 0
    • 2 x = - 12 x 2 = 9
    • x = - 6 x = ± 3
  • Polinômios Teorema de D’Alembert Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x) a é raiz de f(x)  f(x) é divisível por (x-a) Definição Equações polinomiais definição raiz Valor da variável que satisfaz a igualdade
  • Equações Polinomiais
  • Equações Polinomiais
    • Podemos decompor um polinômio em fatores
    • do 1º grau, de acordo com suas raízes , através
    • da fórmula:
    • Onde:
    • a n é o coeficiente de x n .
    • x i são as raízes de p(x).
  • Equações Polinomiais
    • Exemplo: Sabendo que as raízes do polinômio
    • 2x 3 – 4x 2 – 2x + 4 são os números –1, 1 e 2,
    • podemos decompor esse polinômio em fatores
    • do 1º grau, usando a fórmula:
    • Sendo assim, temos:
    • 2(x + 1) (x – 1) (x – 2)
  • Tente fazer sozinho
    • 8) Resolva a equação abaixo, sabendo
    • que duas de suas raízes são – 1 e 1.
    • x 4 – 2x 3 + x 2 – 2 = 0
  • Tente fazer sozinho
    • 8) Resolva a equação abaixo, sabendo
    • que duas de suas raízes são – 1 e 1 .
    • x 4 – 2x 3 + x 2 – 2 = 0
  • Solução
    • Como – 1 e 1 são raízes de p(x) = 0 , então
    • p(x) = (x + 1)(x – 1).q(x) = 0.
    • Logo,
    • Como as raízes de q(x) são 1 + i e 1 – i ,
    • então as raízes da equação são ± 1 e 1 ± i.
    1 -2 1 2 -2 -1 1 -3 4 -2 0 1 1 -2 2 0 q(x) = x 2 – 2x + 2
  • Multiplicidade da Raiz
    • Entende-se por multiplicidade da raiz o
    • número de vezes que uma mesma raiz aparece .
    • Exemplo:
    • Na resolução da equação x 2 – 12x + 36 = 0 ,
    • encontramos duas raízes iguais a 6 . Nesse caso,
    • dizemos que x = 6 é uma raiz de multiplicidade
    • 2 .
  • Polinômios Teorema de D’Alembert Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x) a é raiz de f(x)  f(x) é divisível por (x-a) Definição Equações polinomiais definição multiplicidade definição raiz Nº de vezes que a raiz aparece Valor da variável que satisfaz a igualdade
  • Multiplicidade da Raiz
    • Para identificar qual é a multiplicidade de
    • uma raiz , basta dividir o polinômio pela raiz ,
    • até encontrar um resto diferente de zero .
    • Exemplo:
    • Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio p(x) = x 4 – 5x 3 + 6x 2 + 4x – 8 ?
  • Multiplicidade da Raiz
    • Exemplo:
    • Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio p(x) = x 4 – 5x 3 + 6x 2 + 4x – 8 ?
    1 -5 6 4 -8 2 1 -3 0 4 0 2 1 -1 -2 0 2 2 1 1 0 1 3 não Logo, a raiz 2 tem multiplicidade 3 .
  • Polinômios Teorema de D’Alembert Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x) a é raiz de f(x)  f(x) é divisível por (x-a) Definição Equações polinomiais identificação definição multiplicidade definição raiz Divisões sucessivas Nº de vezes que a raiz aparece Valor da variável que satisfaz a igualdade
  • Tente fazer sozinho
    • 9) Determine uma equação algébrica
    • do 4º grau que tenha -1 como raiz de
    • multiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
  • Tente fazer sozinho
    • 9) Determine uma equação algébrica
    • do 4º grau que tenha -1 como raiz de
    • multiplicidade 3 e 2 como outra raiz .
  • Solução
    • Como o – 1 tem multiplicidade 3 e o 2 é a outra raiz , podemos escrever o polinômio assim:
    • p(x) = (x + 1) 3 (x – 2) = 0
    • p(x) = (x 3 +3x 2 + 3x + 1) (x – 2) = 0
    • p(x) = x 4 + x 3 – 3x 2 – 5x – 2 = 0
  • Bibliografia
    • Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 551 a 585
    • Matemática Contexto e Aplicações: Dante, Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição – 2008 - Páginas: 134 a 164
    • Figuras: google imagens
  • Note que para toda divisão de polinômios, vale a sentença: D(x) = d(x) . q(x) + r(x) Exemplo: x 4 + 1 = x (x 3 + 1) – x + 1