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Vamos aprender Teoremas métodos divisão multiplicação subtração adição operações grau definição Equações polinomiais Polin...
Polinômio <ul><li>Definição: </li></ul><ul><li>Chamamos de  polinômio   na variável x, </li></ul><ul><li>toda   expressão ...
Polinômios definição
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Polinômios Maior expoente da variável grau definição
Tente fazer sozinho <ul><li>1) (Mack-SP) Determine m real para que o </li></ul><ul><li>polinômio: </li></ul><ul><li>p(x) =...
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Solução <ul><li>p(x) = (m-4)x 3  + (m 2 -16)x 2  + (m+4)x + 4 </li></ul><ul><li>Resposta:  m não existe.  </li></ul>
Tente fazer sozinho <ul><li>2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e c </li></ul><ul><li>para que os polinômios p 1 (x) e...
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Solução <ul><li>p 1 (x) = a(x+c) 3  + b(x+d) e p 2 (x) = x 3  + 6x 2  +15x +14 </li></ul>
Solução <ul><li>p 1 (x) = a(x+c) 3  + b(x+d) e p 2 (x) = x 3  + 6x 2  +15x +14 </li></ul>
Operações com Polinômios <ul><li>A)  Adição : </li></ul><ul><li>Sendo   p(x) = 3x 2 +2x-1  e   q(x) = -x 3 +7x 2 -6 , </li...
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Solução <ul><li>D(x)= d(x).q(x) + r(x)  </li></ul><ul><li>P(x)= f(x) . q(x) + r(x) </li></ul><ul><li>P(x) = (x + 5) (x – 2...
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Polinômios Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior exp...
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Solução <ul><li>P(x)= k(x) . q(x) + r(x) </li></ul><ul><li>P(x) = k(x) . (x 3  + 3x 2  + 5) + (x 2  + x + 7) </li></ul><ul...
Teorema de D’Alembert “  Seja a (complexo) é raiz de um polinômio f(x), então f(x) é divisível por x – a e, reciprocamente...
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Equações Polinomiais <ul><li>Equação polinomial  é aquela que pode ser </li></ul><ul><li>escrita na  forma : </li></ul><ul...
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Solução <ul><li>Como  – 1 e 1  são  raízes  de  p(x) = 0 , então </li></ul><ul><li>p(x) = (x + 1)(x – 1).q(x) = 0. </li></...
Multiplicidade da Raiz <ul><li>Entende-se por  multiplicidade   da raiz o </li></ul><ul><li>número   de   vezes   que uma ...
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Solução <ul><li>Como o  – 1  tem  multiplicidade 3  e o  2  é a outra raiz , podemos escrever o polinômio assim: </li></ul...
Bibliografia <ul><li>Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual ...
Note que para toda divisão de polinômios, vale a sentença:  D(x) = d(x) . q(x) + r(x) Exemplo:  x 4  + 1 = x (x 3  + 1) – ...
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Matemática - Equações Polinomiais - www.CentroApoio.com

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  1. 3. Conhecimento Anterior <ul><li>Produtos Notáveis </li></ul><ul><li>Fatoração </li></ul><ul><li>Conjuntos Numéricos </li></ul><ul><li>Números Complexos </li></ul><ul><li>Noções de Função </li></ul>
  2. 4. Vamos aprender Teoremas métodos divisão multiplicação subtração adição operações grau definição Equações polinomiais Polinômios
  3. 5. Polinômio <ul><li>Definição: </li></ul><ul><li>Chamamos de polinômio na variável x, </li></ul><ul><li>toda expressão na forma: </li></ul><ul><li>Onde: </li></ul><ul><li>a n , a n-1 , a n-2 ,...,a 2 , a 1 , a 0 são números complexos denominados coeficientes </li></ul><ul><li>n é um número inteiro não negativo </li></ul><ul><li>x é uma variável complexa </li></ul>
  4. 6. Polinômios definição
  5. 7. Polinômio <ul><li>Grau do polinômio: </li></ul><ul><li>O grau do polinômio é determinado pelo </li></ul><ul><li>maior expoente da variável . </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul><ul><li>4x 2 – 3  2º grau </li></ul><ul><li>8x 5 + 6x 3 + 2x  5º grau </li></ul>
  6. 8. Polinômios Maior expoente da variável grau definição
  7. 9. Tente fazer sozinho <ul><li>1) (Mack-SP) Determine m real para que o </li></ul><ul><li>polinômio: </li></ul><ul><li>p(x) = (m-4)x 3 + (m 2 -16)x 2 + (m+4)x + 4 </li></ul><ul><li>seja de grau 2. </li></ul>
  8. 10. Tente fazer sozinho <ul><li>1) (Mack-SP) Determine m real para que o </li></ul><ul><li>polinômio: </li></ul><ul><li>p(x) = (m-4)x 3 + (m 2 -16)x 2 + (m+4)x + 4 </li></ul><ul><li>seja de grau 2 . </li></ul>
  9. 11. Solução <ul><li>p(x) = (m-4)x 3 + (m 2 -16)x 2 + (m+4)x + 4 </li></ul><ul><li>Resposta: m não existe. </li></ul>
  10. 12. Tente fazer sozinho <ul><li>2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e c </li></ul><ul><li>para que os polinômios p 1 (x) e p 2 (x) sejam </li></ul><ul><li>idênticos: </li></ul><ul><li>p 1 (x) = a(x+c) 3 + b(x+d) </li></ul><ul><li>p 2 (x) = x 3 + 6x 2 +15x +14 </li></ul>
  11. 13. Tente fazer sozinho <ul><li>2) (Faap-SP) Calcule os valores de a , b e c </li></ul><ul><li>para que os polinômios p 1 (x) e p 2 (x) sejam </li></ul><ul><li>idênticos : </li></ul><ul><li>p 1 (x) = a(x+c) 3 + b(x+d) </li></ul><ul><li>p 2 (x) = x 3 + 6x 2 +15x +14 </li></ul>
  12. 14. Solução <ul><li>p 1 (x) = a(x+c) 3 + b(x+d) e p 2 (x) = x 3 + 6x 2 +15x +14 </li></ul>
  13. 15. Solução <ul><li>p 1 (x) = a(x+c) 3 + b(x+d) e p 2 (x) = x 3 + 6x 2 +15x +14 </li></ul>
  14. 16. Operações com Polinômios <ul><li>A) Adição : </li></ul><ul><li>Sendo p(x) = 3x 2 +2x-1 e q(x) = -x 3 +7x 2 -6 , </li></ul><ul><li>logo p(x) + q(x) = -x 3 +10x 2 +2x-7 . </li></ul><ul><li>B) Subtração : </li></ul><ul><li>Sendo p(x) = 3x 2 -4x+1 e q(x) = 5x 2 -3x+4 , </li></ul><ul><li>logo p(x) - q(x) = -2x 2 -x-3 . </li></ul>
  15. 17. Operações com Polinômios <ul><li>C) Multiplicação : </li></ul><ul><li>Sendo p(x) = 7 e q(x) = 2x 3 -4x 2 +5x-3 , logo </li></ul><ul><li>p(x).q(x) = 7(2x 3 -4x 2 +5x-3)=14x 3 -28x 2 +35x-21 . </li></ul><ul><li>Sendo p(x) = 3x-4 e q(x) = -2x+5 , logo </li></ul><ul><li>p(x) . q(x) = (3x-4)(-2x+5) = -6x 2 +15x+8x-20 = </li></ul><ul><li> = -6x 2 +23x-20 . </li></ul>
  16. 18. Polinômios multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição
  17. 19. Tente fazer sozinho <ul><li>3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus </li></ul><ul><li>7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças </li></ul><ul><li>seguintes, corrigindo o que for falso: </li></ul><ul><li>O grau de f(x) . g(x) é 35 </li></ul><ul><li>b) O grau de f(x) + g(x) é 7 </li></ul><ul><li>c) O grau do polinômio (x 2 -1).g(x)+f(x) é 7 </li></ul>
  18. 20. Tente fazer sozinho <ul><li>3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus </li></ul><ul><li>7 e 5 , respectivamente . Julgue as sentenças </li></ul><ul><li>seguintes, corrigindo o que for falso : </li></ul><ul><li>O grau de f(x) . g(x) é 35 </li></ul><ul><li>b) O grau de f(x) + g(x) é 7 </li></ul><ul><li>c) O grau do polinômio (x 2 -1).g(x)+f(x) é 7 </li></ul>
  19. 21. Solução <ul><li>f(x)  grau 7 e g(x)  grau 5 </li></ul><ul><li>f(x) . g(x)  grau 35 ( falso ) </li></ul><ul><li>x 7 . x 5 = x 12  grau 12 </li></ul><ul><li>b) f(x) + g(x)  grau 7 ( verdadeiro ) </li></ul><ul><li>c) (x 2 -1) . g(x) + f(x)  grau 7 ( falso ) </li></ul>grau 7 ou menor que 7 , pois o coeficiente da soma dos termos de grau 7 pode ser zero
  20. 22. Divisão de Polinômios <ul><li>C.1) Método da chave </li></ul><ul><li>No método da chave temos que armar a conta , </li></ul><ul><li>como se fosse uma divisão de números naturais: </li></ul><ul><li>e seguir os passos conforme os exemplos . </li></ul>quociente dividendo divisor resto
  21. 23. <ul><li>Exemplo 1: Calcule (x 2 + 2x – 15) : (x + 5) </li></ul><ul><li>1º passo : ordenar e completar o dividendo , se necessário. </li></ul><ul><li>Nesse caso não será necessário </li></ul><ul><li>2º passo : armar a conta . </li></ul>Divisão de Polinômios x 2 + 2x - 15 x + 5
  22. 24. <ul><li>3º passo : dividir o 1º termo do dividendo pelo </li></ul><ul><li>1º termo do divisor . </li></ul>Divisão de Polinômios x 2 + 2x - 15 x + 5 x
  23. 25. <ul><li>4º passo : multiplicar o resultado por cada </li></ul><ul><li>termo do divisor , colocando a resposta embaixo </li></ul><ul><li>do dividendo , com o sinal contrário . </li></ul>Divisão de Polinômios x 2 + 2x - 15 x + 5 x -x 2 - 5x Para facilitar o próximo passo, procure colocar os termos semelhantes na mesma direção.
  24. 26. <ul><li>5º passo : efetuar a soma da 1ª com a 2ª linha , </li></ul><ul><li>obtendo um novo dividendo . </li></ul>Divisão de Polinômios x 2 + 2x - 15 x + 5 x -x 2 - 5x - 3x - 15
  25. 27. <ul><li>6º passo : verificar se o grau do 1º termo do </li></ul><ul><li>novo dividendo é menor que o grau do 1º termo </li></ul><ul><li>do divisor . Caso não seja, voltamos ao 3º passo . </li></ul>Divisão de Polinômios x 2 + 2x - 15 x + 5 x -x 2 - 5x - 3x - 15
  26. 28. <ul><li>Logo, quociente é x – 3 e resto é 0 . </li></ul>Divisão de Polinômios x 2 + 2x - 15 x + 5 x -x 2 - 5x - 3x - 15 x 2 + 2x - 15 x + 5 x - 3 -x 2 - 5x - 3x - 15 3x + 15 0
  27. 29. <ul><li>Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de </li></ul><ul><li>x 4 + 1 por x 3 +1 . </li></ul><ul><li>1º passo : </li></ul><ul><li>x 4 + 1 = x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 0x + 1 </li></ul><ul><li>2º passo : </li></ul>Divisão de Polinômios x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 0x + 1 x 3 + 1
  28. 30. <ul><li>Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de </li></ul><ul><li>x 4 + 1 por x 3 +1 . </li></ul><ul><li>3º passo : </li></ul>Divisão de Polinômios x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 0x + 1 x 3 + 1 x
  29. 31. <ul><li>Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de </li></ul><ul><li>x 4 + 1 por x 3 +1 . </li></ul><ul><li>4º passo : </li></ul>Divisão de Polinômios x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 0x + 1 x 3 + 1 x -x 4 - x
  30. 32. <ul><li>Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de </li></ul><ul><li>x 4 + 1 por x 3 +1 . </li></ul><ul><li>5º passo : </li></ul>Divisão de Polinômios x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 0x + 1 x 3 + 1 x -x 4 - x - x + 1
  31. 33. <ul><li>Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de </li></ul><ul><li>x 4 + 1 por x 3 +1 . </li></ul><ul><li>5º passo : </li></ul><ul><li>Logo, o quociente é x e o resto é - x +1 </li></ul>Divisão de Polinômios x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 0x + 1 x 3 + 1 x -x 4 - x - x + 1 6º passo : como o 1º termo do novo dividendo apresenta o grau menor que o grau do 1º termo do divisor , não podemos continuar a divisão .
  32. 34. Polinômios Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição Divisão comum
  33. 35. Divisão de Polinômios Note que para toda divisão de polinômios, vale a sentença: D(x) = d(x) . q(x) + r(x) Exemplo: x 4 + 1 = x (x 3 + 1) – x + 1
  34. 36. Tente fazer sozinho <ul><li>4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x 3 + 12x 2 + x – 4 por 2x + 3 é: </li></ul><ul><li>a) 1 </li></ul><ul><li>b) 2 </li></ul><ul><li>c) 4 </li></ul><ul><li>d) 6 </li></ul><ul><li>e) 8 </li></ul>
  35. 37. Tente fazer sozinho <ul><li>4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x 3 + 12x 2 + x – 4 por 2x + 3 é: </li></ul><ul><li>a) 1 </li></ul><ul><li>b) 2 </li></ul><ul><li>c) 4 </li></ul><ul><li>d) 6 </li></ul><ul><li>e) 8 </li></ul>
  36. 38. Solução 4x 3 + 12x 2 + x – 4 2x + 3 2x 2 + 3x – 4 -4x 3 – 6x 2 6x 2 + x – 4 – 6x 2 – 9x – 8x – 4 + 8x+12 8 Letra E
  37. 39. Tente fazer sozinho <ul><li>5) Determine o polinômio p(x) que dividido </li></ul><ul><li>pelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3. </li></ul>
  38. 40. Tente fazer sozinho <ul><li>5) Determine o polinômio p(x) que dividido </li></ul><ul><li>pelo polinômio f(x) = x + 5 , tem por quociente q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3 . </li></ul>
  39. 41. Solução <ul><li>D(x)= d(x).q(x) + r(x) </li></ul><ul><li>P(x)= f(x) . q(x) + r(x) </li></ul><ul><li>P(x) = (x + 5) (x – 2) + 3 </li></ul><ul><li>P(x) = x 2 – 2x + 5x – 10 + 3 </li></ul><ul><li>P(x) = x 2 + 3x – 7 </li></ul>
  40. 42. Divisão de Polinômios <ul><li>C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini </li></ul><ul><li>Vamos usar o próximo exemplo para mostrar </li></ul><ul><li>os passos a serem seguidos : </li></ul><ul><li>Exemplo 1: Calcular o quociente e o resto de </li></ul><ul><li>(x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) . </li></ul><ul><li>1º passo : Calcular a raiz do divisor . </li></ul>
  41. 43. Divisão de Polinômios <ul><li>C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini </li></ul><ul><li>Exemplo 1: (x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) . </li></ul><ul><li>2º passo : Dispor a raiz do divisor e os </li></ul><ul><li>coeficientes do dividendo da seguinte forma </li></ul>1 -4 5 -2 3
  42. 44. Divisão de Polinômios <ul><li>C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini </li></ul><ul><li>Exemplo 1: (x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) . </li></ul><ul><li>2º passo : Dispor a raiz do divisor e os </li></ul><ul><li>coeficientes do dividendo da seguinte forma </li></ul>1 -4 5 -2 3 coeficientes do dividendo raiz do divisor
  43. 45. Divisão de Polinômios <ul><li>C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini </li></ul><ul><li>Exemplo 1: (x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) . </li></ul><ul><li>3º passo : abaixar o 1º coeficiente do dividendo </li></ul>1 -4 5 -2 3 1
  44. 46. Divisão de Polinômios <ul><li>C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini </li></ul><ul><li>Exemplo 1: (x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) . </li></ul><ul><li>4º passo : multiplicar o número abaixado pela </li></ul><ul><li>raiz do divisor e somar com o coeficiente </li></ul><ul><li>seguinte . (3 . 1 - 4 = -1) </li></ul>1 -4 5 -2 3 1 -1
  45. 47. Divisão de Polinômios <ul><li>C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini </li></ul><ul><li>Exemplo 1: (x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) . </li></ul><ul><li>4º passo : multiplicar o número abaixado pela </li></ul><ul><li>raiz do divisor e somar com o coeficiente </li></ul><ul><li>seguinte . </li></ul>1 -4 5 -2 3 1 + x -1 Colocar o resultado embaixo do coeficiente somado
  46. 48. Divisão de Polinômios <ul><li>C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini </li></ul><ul><li>Exemplo 1: (x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) . </li></ul><ul><li>5º passo : repetir as operações (multiplicar </li></ul><ul><li>pela raiz do divisor e somar com o coeficiente </li></ul><ul><li>seguinte) </li></ul>
  47. 49. Divisão de Polinômios <ul><li>C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini </li></ul><ul><li>Exemplo 1: (x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) . </li></ul><ul><li>5º passo : </li></ul>1 -4 5 -2 3 1 -1 x + 2 1 -4 5 -2 3 1 -1 x + 2 4
  48. 50. Divisão de Polinômios <ul><li>C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini </li></ul><ul><li>Exemplo 1: (x 3 – 4x 2 + 5x -2) : (x - 3) . </li></ul><ul><li>6º passo : identificar o resto e os coeficientes </li></ul><ul><li>do quociente . </li></ul>1 -4 5 -2 3 1 -1 2 4 Resto = 4 O quociente é: x 2 – x + 2
  49. 51. Divisão de Polinômios <ul><li>C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini </li></ul><ul><li>Exemplo 2: (2x 3 – 5x + 1) : (x + i) . </li></ul><ul><li>1º passo: </li></ul><ul><li>2º passo: 3º passo: </li></ul>2 0 - 5 1 - i 2 0 - 5 1 - i 2
  50. 52. Divisão de Polinômios <ul><li>C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini </li></ul><ul><li>Exemplo 2: (2x 3 – 5x + 1) : (x + i) . </li></ul><ul><li>4º e 5º passos: 6º passo: </li></ul>2 0 - 5 1 - i 2 -2i -7 1+7i O quociente é: 2x 2 – 2ix – 7 O resto é: 1 + 7i
  51. 53. Polinômios Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição Divisão comum Seguir os 6 passos
  52. 54. Tente fazer sozinho <ul><li>6) O polinômio p(x) = -x 3 + ax 2 + 5x + b (a e b são constantes reais) é divisível por x – 5. Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos resto 35. </li></ul><ul><li>Determine os valores de a e b. </li></ul><ul><li>Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4? </li></ul>
  53. 55. Tente fazer sozinho <ul><li>6) O polinômio p(x) = -x 3 + ax 2 + 5x + b (a e b são constantes reais) é divisível por x – 5 . Quando dividimos p(x) por x + 2 , obtemos resto 35 . </li></ul><ul><li>a) Determine os valores de a e b . </li></ul><ul><li>b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4 ? </li></ul>
  54. 56. Solução -1 a 5 b 5 -1 a – 5 5a – 20 25a – 100 + b 0 -1 a 5 b - 2 -1 a + 2 - 2a + 1 4a – 2 + b 35 25a – 100 + b = 0 4a – 2 + b = 35 a = 3 b = 25
  55. 57. Teorema do Resto “ Seja p(x) um polinômio tal que p ≥ 1. O resto da divisão de p(x) por x – a é igual a p(a), ou seja, r = p(a).”
  56. 58. Teorema do Resto <ul><li>Exemplo: Para calcular o resto da divisão de p(x) = 3x 2 – 17x + 15 por x – 2 , basta aplicar o Teorema do Resto . </li></ul><ul><li>A raiz do divisor é : x – 2 = 0  x = 2 </li></ul><ul><li>Pelo Teorema do Resto temos que: </li></ul><ul><li>r(x) = p(2) </li></ul><ul><li>r(x) = 3.2 2 – 17.2 + 15 = 12 – 34 + 15 = - 7 . </li></ul>
  57. 59. Polinômios Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x)
  58. 60. Tente fazer sozinho <ul><li>7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x) </li></ul><ul><li>por um polinômio k(x) tem q(x) = x 3 + 3x 2 + 5 </li></ul><ul><li>como quociente e r(x) = x 2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de k(x) </li></ul><ul><li>por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é: </li></ul><ul><li>a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70 </li></ul>
  59. 61. Tente fazer sozinho <ul><li>7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x) </li></ul><ul><li>por um polinômio k(x) tem q(x) = x 3 + 3x 2 + 5 </li></ul><ul><li>como quociente e r(x) = x 2 + x + 7 como resto . Sabendo-se que o resto da divisão de k(x) </li></ul><ul><li>por x é 2 , o resto da divisão de p(x) por x é : </li></ul><ul><li>a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70 </li></ul>
  60. 62. Solução <ul><li>P(x)= k(x) . q(x) + r(x) </li></ul><ul><li>P(x) = k(x) . (x 3 + 3x 2 + 5) + (x 2 + x + 7) </li></ul><ul><li>P(0) = k(0) . (0 3 + 3.0 2 + 5) + (0 2 + 0 + 7) </li></ul><ul><li>P(0) = k(0) . 5 + 7 </li></ul><ul><li>Pelo Teorema do resto , temos que k(0) = 2 </li></ul><ul><li>Logo, p(0) = 2 . 5 + 7 = 17  letra C </li></ul>
  61. 63. Teorema de D’Alembert “ Seja a (complexo) é raiz de um polinômio f(x), então f(x) é divisível por x – a e, reciprocamente, se f(x) é divisível por x – a, então a é raiz de f(x).”
  62. 64. Polinômios Teorema de D’Alembert Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x) a é raiz de f(x)  f(x) é divisível por (x-a)
  63. 65. Equações Polinomiais <ul><li>Equação polinomial é aquela que pode ser </li></ul><ul><li>escrita na forma : </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul><ul><li>x 3 + 1 = 0 </li></ul><ul><li>3x 2 – 2ix + 1 = 0 </li></ul><ul><li>x 4 – 2x 3 + x 2 + 2x – 2 = 0 </li></ul>
  64. 66. Polinômios Teorema de D’Alembert Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x) a é raiz de f(x)  f(x) é divisível por (x-a) Definição Equações polinomiais
  65. 67. Equações Polinomiais <ul><li>Raiz da equação é o valor que da variável , </li></ul><ul><li>que satisfaz a igualdade . </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul><ul><li>a) 2x + 12 = 0 b) x 2 – 9 = 0 </li></ul><ul><li>2 x = - 12 x 2 = 9 </li></ul><ul><li>x = - 6 x = ± 3 </li></ul>
  66. 68. Polinômios Teorema de D’Alembert Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x) a é raiz de f(x)  f(x) é divisível por (x-a) Definição Equações polinomiais definição raiz Valor da variável que satisfaz a igualdade
  67. 69. Equações Polinomiais
  68. 70. Equações Polinomiais <ul><li>Podemos decompor um polinômio em fatores </li></ul><ul><li>do 1º grau, de acordo com suas raízes , através </li></ul><ul><li>da fórmula: </li></ul><ul><li>Onde: </li></ul><ul><li>a n é o coeficiente de x n . </li></ul><ul><li>x i são as raízes de p(x). </li></ul>
  69. 71. Equações Polinomiais <ul><li>Exemplo: Sabendo que as raízes do polinômio </li></ul><ul><li>2x 3 – 4x 2 – 2x + 4 são os números –1, 1 e 2, </li></ul><ul><li>podemos decompor esse polinômio em fatores </li></ul><ul><li>do 1º grau, usando a fórmula: </li></ul><ul><li>Sendo assim, temos: </li></ul><ul><li>2(x + 1) (x – 1) (x – 2) </li></ul>
  70. 72. Tente fazer sozinho <ul><li>8) Resolva a equação abaixo, sabendo </li></ul><ul><li>que duas de suas raízes são – 1 e 1. </li></ul><ul><li>x 4 – 2x 3 + x 2 – 2 = 0 </li></ul>
  71. 73. Tente fazer sozinho <ul><li>8) Resolva a equação abaixo, sabendo </li></ul><ul><li>que duas de suas raízes são – 1 e 1 . </li></ul><ul><li>x 4 – 2x 3 + x 2 – 2 = 0 </li></ul>
  72. 74. Solução <ul><li>Como – 1 e 1 são raízes de p(x) = 0 , então </li></ul><ul><li>p(x) = (x + 1)(x – 1).q(x) = 0. </li></ul><ul><li>Logo, </li></ul><ul><li>Como as raízes de q(x) são 1 + i e 1 – i , </li></ul><ul><li>então as raízes da equação são ± 1 e 1 ± i. </li></ul>1 -2 1 2 -2 -1 1 -3 4 -2 0 1 1 -2 2 0 q(x) = x 2 – 2x + 2
  73. 75. Multiplicidade da Raiz <ul><li>Entende-se por multiplicidade da raiz o </li></ul><ul><li>número de vezes que uma mesma raiz aparece . </li></ul><ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>Na resolução da equação x 2 – 12x + 36 = 0 , </li></ul><ul><li>encontramos duas raízes iguais a 6 . Nesse caso, </li></ul><ul><li>dizemos que x = 6 é uma raiz de multiplicidade </li></ul><ul><li>2 . </li></ul>
  74. 76. Polinômios Teorema de D’Alembert Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x) a é raiz de f(x)  f(x) é divisível por (x-a) Definição Equações polinomiais definição multiplicidade definição raiz Nº de vezes que a raiz aparece Valor da variável que satisfaz a igualdade
  75. 77. Multiplicidade da Raiz <ul><li>Para identificar qual é a multiplicidade de </li></ul><ul><li>uma raiz , basta dividir o polinômio pela raiz , </li></ul><ul><li>até encontrar um resto diferente de zero . </li></ul><ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio p(x) = x 4 – 5x 3 + 6x 2 + 4x – 8 ? </li></ul>
  76. 78. Multiplicidade da Raiz <ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio p(x) = x 4 – 5x 3 + 6x 2 + 4x – 8 ? </li></ul>1 -5 6 4 -8 2 1 -3 0 4 0 2 1 -1 -2 0 2 2 1 1 0 1 3 não Logo, a raiz 2 tem multiplicidade 3 .
  77. 79. Polinômios Teorema de D’Alembert Teorema do resto Teoremas Dispositivo de Briot-Ruffini Método da Chave métodos divisão multiplicação subtração adição operações Maior expoente da variável grau definição Divisão comum Seguir os 6 passos r(x)=p(a) , sendo (x-a) divisor de p(x) a é raiz de f(x)  f(x) é divisível por (x-a) Definição Equações polinomiais identificação definição multiplicidade definição raiz Divisões sucessivas Nº de vezes que a raiz aparece Valor da variável que satisfaz a igualdade
  78. 80. Tente fazer sozinho <ul><li>9) Determine uma equação algébrica </li></ul><ul><li>do 4º grau que tenha -1 como raiz de </li></ul><ul><li>multiplicidade 3 e 2 como outra raiz. </li></ul>
  79. 81. Tente fazer sozinho <ul><li>9) Determine uma equação algébrica </li></ul><ul><li>do 4º grau que tenha -1 como raiz de </li></ul><ul><li>multiplicidade 3 e 2 como outra raiz . </li></ul>
  80. 82. Solução <ul><li>Como o – 1 tem multiplicidade 3 e o 2 é a outra raiz , podemos escrever o polinômio assim: </li></ul><ul><li>p(x) = (x + 1) 3 (x – 2) = 0 </li></ul><ul><li>p(x) = (x 3 +3x 2 + 3x + 1) (x – 2) = 0 </li></ul><ul><li>p(x) = x 4 + x 3 – 3x 2 – 5x – 2 = 0 </li></ul>
  81. 83. Bibliografia <ul><li>Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 551 a 585 </li></ul><ul><li>Matemática Contexto e Aplicações: Dante, Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição – 2008 - Páginas: 134 a 164 </li></ul><ul><li>Figuras: google imagens </li></ul>
  82. 84. Note que para toda divisão de polinômios, vale a sentença: D(x) = d(x) . q(x) + r(x) Exemplo: x 4 + 1 = x (x 3 + 1) – x + 1

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