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Matemática - Análise Combinatória - Com Exercícios Resolvidos - www.CentroApoio.com
 

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Aulas De Matemática - Apoio - Ajude Seu Filho Aprender A Aprender Matemática De Forma Descomplicada Com o Uso de Estratégias de Aprendizagem. Estude Menos e Aprenda Mais. Use Estratégias e ...

Aulas De Matemática - Apoio - Ajude Seu Filho Aprender A Aprender Matemática De Forma Descomplicada Com o Uso de Estratégias de Aprendizagem. Estude Menos e Aprenda Mais. Use Estratégias e Macetes. Saiba Mais F. 21 8170-6379 / 22677-3891 / 3496-9660 - Visite nosso site : www.aulasdematematicaapoio.com

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    Matemática - Análise Combinatória - Com Exercícios Resolvidos - www.CentroApoio.com Matemática - Análise Combinatória - Com Exercícios Resolvidos - www.CentroApoio.com Presentation Transcript

    • Análise Combinatória
    • Objetivos da aula
      • Princípio Fundamental da Contagem
      • Arranjo Simples
      • Permutações: simples e com repetição
      • Combinação simples
    • Princípio Fundamental da Contagem
      • Vamos imaginar o caso de uma montadora
      • de carros que dispõe de 5 cores (preto,
      • vinho, azul, vermelho e prata) para fabricar
      • 3 modelos de carros diferentes (Sapoti, Figo
      • e Amora).
      • Para saber quantos tipos de carros
      • diferentes podem ser fabricados , basta
      • cruzar cada cor, com cada tipo de carro.
      • Usando o esquema a seguir fica mais fácil!
    • Temos 15 diferentes tipos de carro.
    • Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Evento que depende de evento anterior
    • Tente fazer sozinho
      • 1) Se jogarmos uma moeda
      • para o alto 3 vezes, quantas
      • sequências diferentes
      • podemos obter?
    • Tente fazer sozinho
      • 1) Se jogarmos uma moeda
      • para o alto 3 vezes , quantas
      • sequências diferentes
      • podemos obter ?
    • Solução
      • Logo, temos 8 resultados diferentes
    • Fatorial de um número natural
        • Representamos o fatorial de um
        • número colocando um ponto de
        • exclamação depois desse número ( n! )
        • Exemplos:
        • 4! 7! 20!
    • Cálculo do Fatorial
        • O fatorial de um número natural n é
        • dado pelo seguinte produto :
        • n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). ... . 2.1
        • Exemplos:
        • 4! = 4.3.2.1 = 24
        • 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1= 3628800
      • O fatorial de zero é igual a 1
      • 0! = 1
    • Tente fazer sozinho
      • 2) Calcule:
    • Solucão
    • Tente fazer sozinho
      • 3) (UEMG) Simplificando a expressão
      • , obtemos:
    • Solução
      • Letra D
    • Arranjo Simples
      • O arranjo simples acontece quando
      • fazemos qualquer agrupamento com todos
      • ou alguns elementos de um conjunto , cuja
      • ordem dos elementos é considerada .
      • Exemplo: Quantos números de 3 algarismos
      • distintos podemos formar com os algarismos
      • 2, 3, 4, 5 e 6.
      • = 60 números
      5 4 3
      • Sendo:
      • n  número total de elementos do conjunto
      • p  quantidade de algarismos pedida
      Também podemos usar a fórmula de arranjo simples:
    • Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Arranjo Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Evento que depende de evento anterior
    • Tente fazer sozinho
      • 4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
      • Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever?
      • Quantos números de 4 algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever?
      • Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
    • Tente fazer sozinho
      • 4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 .
      • Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever?
      • Quantos números de 4 algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever?
      • Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
    • Solução
      • = 504
      • = 336
      • c) = 840
      7 8 3 9 8 7 8 7 6 1 7 6 5 4 1 1
    • Permutação
      • A permutação é um caso particular do
      • arranjo simples , pois acontece quando
      • agrupamos todos os elementos do conjunto
      • dado.
      • Exemplo: dados 1, 2, 3, 4, 5 , se queremos
      • formar números de 3 algarismos , temos um
      • caso de arranjo . Se queremos formar
      • números de 5 algarismos , temos um caso de
      • arranjo , particularmente, a permutação .
    • Permutação Simples
      • A permutação simples acontece quando
      • fazemos qualquer agrupamento com todos
      • os elementos de um conjunto .
      • Exemplo :
      • A palavra AMOR apresenta 4 letras e com
      • elas, podemos formar alguns anagramas :
      • ROMA – MORA – ROAM - ARMO
    • Permutação Simples
      • Para calcular o número total de
      • anagramas , podemos seguir o seguinte
      • raciocínio:
      • = 24
      • Também podemos usar a fórmula de permutação simples: P n = n!
      • P 4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
      4 3 2 1
    • Tente fazer sozinho
      • 5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as seguintes questões:
      • Quantos anagramas podemos formar?
      • Quantos anagramas podemos formar, de modo que comece e termine com vogal?
      • Quantos anagramas podemos formar, de modo que as letras UF apareçam sempre juntas?
    • Tente fazer sozinho
      • 5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como base a palavra UFPEL , resolva as seguintes questões:
      • Quantos anagramas podemos formar ?
      • Quantos anagramas podemos formar , de modo que comece e termine com vogal ?
      • Quantos anagramas podemos formar , de modo que as letras UF apareçam sempre juntas ?
    • Solução
      • a) = 120
      • b) = 12
      • c) = 6 ; 6 .4 = 24
      • = 2 ;
      • 2 x 24 = 48
      UF 2 1 1 3 2 1 4 3 2 1 5 3 2 1 1 2
    • Tente fazer sozinho
      • 6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultos
      • e 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3
      • atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoas
      • podem dirigir e que as crianças devem ir atrás
      • e na janela, o número total de maneiras
      • diferentes através das quais estas 5 pessoas
      • podem ser posicionadas, não permitindo as
      • crianças irem no colo de ninguém, é igual a:
      • a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
    • Tente fazer sozinho
      • 6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultos
      • e 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3
      • atrás . Sabendo-se que apenas 2 pessoas
      • podem dirigir e que as crianças devem ir atrás
      • e na janela , o número total de maneiras
      • diferentes através das quais estas 5 pessoas
      • podem ser posicionadas , não permitindo as
      • crianças irem no colo de ninguém, é igual a:
      • a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
    • Solução
      • = 8
      bancos da frente bancos de trás janelas carona motorista 2 2 2 1 1
    • Permutação com Repetição
      • Caso o conjunto dado apresente
      • elementos repetidos, usaremos a seguinte
      • fórmula:
      • Sendo:
      • n  o número total de elementos
      • α , β , γ  número que indica a quantidades de elementos repetidos de cada tipo .
    • Permutação com Repetição
      • Exemplo: A palavra ARARAQUARA apresenta
      • um total de 10 letras , sendo 5A , 3R , 1Q e 1U
    • Tente fazer sozinho
      • 7) Apresente a quantidade
      • de anagramas da palavra
      • MISSISSIPI.
    • Tente fazer sozinho
      • 7) Apresente a quantidade
      • de anagramas da palavra
      • MISSISSIPI .
    • Solução
      • MISSISSIPI: 10 letras , sendo
      • 1M, 4I , 4S , 1P
    • Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Arranjo Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Caso Particular Permutação Evento que depende de evento anterior
    • Arranjo Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Permutação Definição Tipos Com repetição simples Agrupamento de todos elementos dados P! Caso Particular característica
    • Combinação Simples
      • A combinação simples acontece
      • quando agrupamos uma quantidade p de
      • elementos de um conjunto com n elementos ,
      • sem importa r a ordem que esses elementos
      • são escolhidos.
      • Exemplo : Se devemos sortear 3 pessoas
      • dentre as 5 que se candidataram a uma
      • viagem, não importa a ordem que as 3 serão
      • escolhidas, pois todas as 3 irão da mesma
      • forma.
    • Combinação Simples
      • Para resolver problemas que ocorrem a combinação simples, usaremos a fórmula :
      • Exemplo : Se devemos sortear 3 pessoas
      • dentre 5 .
    • Tente fazer sozinho
      • 8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas para
      • ilustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual do
      • Candidato do Vestibular Estadual de 2007. Um
      • desses grupos está apresentado a seguir:
      • Considere que cada grupo de 4 figuras que
      • poderia ser formado é distinto de outro somente
      • quando pelo menos uma de suas figuras for
      • diferente. Nesse caso, o número total de grupos
      • distintos entre si que poderiam ser formados para
      • ilustrar o Manual do Candidato é igual a:
    • Tente fazer sozinho
      • 8) (UERJ) Sete diferentes figuras foram criadas para
      • ilustrar, em grupo de 4 distintas , o Manual do
      • Candidato do Vestibular Estadual de 2007. Um
      • desses grupos está apresentado a seguir:
      • Considere que cada grupo de 4 figuras que
      • poderia ser formado é distinto de outro somente
      • quando pelo menos uma de suas figuras for
      • diferente . Nesse caso, o número total de grupos
      • distintos entre si que poderiam ser formados para
      • ilustrar o Manual do Candidato é igual a:
    • Solução
    • Tente fazer sozinho
      • 9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas,
      • quantos copos de salada, contendo 6
      • espécies diferentes, podem ser feitos?
    • Tente fazer sozinho
      • 9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas ,
      • quantos copos de salada , contendo 6
      • espécies diferentes , podem ser feitos ?
    • Solução
    • Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Arranjo Simples Definição Fórmula Combinação Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Caso Particular Permutação Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Evento que depende de evento anterior
    • Bibliografia
      • http://www.colegioweb.com.br/matematica/principio-fundamental-da-contagem.html
      • http://matematica-online-clc.blogspot.com/2009/07/analise-combinatoria.html
      • Dante, Luiz Roberto: Matemática Contexto & Aplicações 2 – Ensino Médio, Editora Ática – 3ª edição. Págs: 308 a 325