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Matemática - Análise Combinatória - Com Exercícios Resolvidos - www.CentroApoio.com
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Matemática - Análise Combinatória - Com Exercícios Resolvidos - www.CentroApoio.com

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Aulas De Matemática - Apoio - Ajude Seu Filho Aprender A Aprender Matemática De Forma Descomplicada Com o Uso de Estratégias de Aprendizagem. Estude Menos e Aprenda Mais. Use Estratégias e Macetes. …

Aulas De Matemática - Apoio - Ajude Seu Filho Aprender A Aprender Matemática De Forma Descomplicada Com o Uso de Estratégias de Aprendizagem. Estude Menos e Aprenda Mais. Use Estratégias e Macetes. Saiba Mais F. 21 8170-6379 / 22677-3891 / 3496-9660 - Visite nosso site : www.aulasdematematicaapoio.com

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  • 1. Análise Combinatória
  • 2. Objetivos da aula
    • Princípio Fundamental da Contagem
    • Arranjo Simples
    • Permutações: simples e com repetição
    • Combinação simples
  • 3. Princípio Fundamental da Contagem
    • Vamos imaginar o caso de uma montadora
    • de carros que dispõe de 5 cores (preto,
    • vinho, azul, vermelho e prata) para fabricar
    • 3 modelos de carros diferentes (Sapoti, Figo
    • e Amora).
    • Para saber quantos tipos de carros
    • diferentes podem ser fabricados , basta
    • cruzar cada cor, com cada tipo de carro.
    • Usando o esquema a seguir fica mais fácil!
  • 4. Temos 15 diferentes tipos de carro.
  • 5. Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Evento que depende de evento anterior
  • 6. Tente fazer sozinho
    • 1) Se jogarmos uma moeda
    • para o alto 3 vezes, quantas
    • sequências diferentes
    • podemos obter?
  • 7. Tente fazer sozinho
    • 1) Se jogarmos uma moeda
    • para o alto 3 vezes , quantas
    • sequências diferentes
    • podemos obter ?
  • 8. Solução
    • Logo, temos 8 resultados diferentes
  • 9. Fatorial de um número natural
      • Representamos o fatorial de um
      • número colocando um ponto de
      • exclamação depois desse número ( n! )
      • Exemplos:
      • 4! 7! 20!
  • 10. Cálculo do Fatorial
      • O fatorial de um número natural n é
      • dado pelo seguinte produto :
      • n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). ... . 2.1
      • Exemplos:
      • 4! = 4.3.2.1 = 24
      • 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1= 3628800
  • 11.
    • O fatorial de zero é igual a 1
    • 0! = 1
  • 12. Tente fazer sozinho
    • 2) Calcule:
  • 13. Solucão
  • 14. Tente fazer sozinho
    • 3) (UEMG) Simplificando a expressão
    • , obtemos:
  • 15. Solução
    • Letra D
  • 16. Arranjo Simples
    • O arranjo simples acontece quando
    • fazemos qualquer agrupamento com todos
    • ou alguns elementos de um conjunto , cuja
    • ordem dos elementos é considerada .
    • Exemplo: Quantos números de 3 algarismos
    • distintos podemos formar com os algarismos
    • 2, 3, 4, 5 e 6.
    • = 60 números
    5 4 3
  • 17.
    • Sendo:
    • n  número total de elementos do conjunto
    • p  quantidade de algarismos pedida
    Também podemos usar a fórmula de arranjo simples:
  • 18. Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Arranjo Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Evento que depende de evento anterior
  • 19. Tente fazer sozinho
    • 4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
    • Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever?
    • Quantos números de 4 algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever?
    • Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
  • 20. Tente fazer sozinho
    • 4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 .
    • Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever?
    • Quantos números de 4 algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever?
    • Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
  • 21. Solução
    • = 504
    • = 336
    • c) = 840
    7 8 3 9 8 7 8 7 6 1 7 6 5 4 1 1
  • 22. Permutação
    • A permutação é um caso particular do
    • arranjo simples , pois acontece quando
    • agrupamos todos os elementos do conjunto
    • dado.
    • Exemplo: dados 1, 2, 3, 4, 5 , se queremos
    • formar números de 3 algarismos , temos um
    • caso de arranjo . Se queremos formar
    • números de 5 algarismos , temos um caso de
    • arranjo , particularmente, a permutação .
  • 23. Permutação Simples
    • A permutação simples acontece quando
    • fazemos qualquer agrupamento com todos
    • os elementos de um conjunto .
    • Exemplo :
    • A palavra AMOR apresenta 4 letras e com
    • elas, podemos formar alguns anagramas :
    • ROMA – MORA – ROAM - ARMO
  • 24. Permutação Simples
    • Para calcular o número total de
    • anagramas , podemos seguir o seguinte
    • raciocínio:
    • = 24
    • Também podemos usar a fórmula de permutação simples: P n = n!
    • P 4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
    4 3 2 1
  • 25. Tente fazer sozinho
    • 5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as seguintes questões:
    • Quantos anagramas podemos formar?
    • Quantos anagramas podemos formar, de modo que comece e termine com vogal?
    • Quantos anagramas podemos formar, de modo que as letras UF apareçam sempre juntas?
  • 26. Tente fazer sozinho
    • 5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como base a palavra UFPEL , resolva as seguintes questões:
    • Quantos anagramas podemos formar ?
    • Quantos anagramas podemos formar , de modo que comece e termine com vogal ?
    • Quantos anagramas podemos formar , de modo que as letras UF apareçam sempre juntas ?
  • 27. Solução
    • a) = 120
    • b) = 12
    • c) = 6 ; 6 .4 = 24
    • = 2 ;
    • 2 x 24 = 48
    UF 2 1 1 3 2 1 4 3 2 1 5 3 2 1 1 2
  • 28. Tente fazer sozinho
    • 6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultos
    • e 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3
    • atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoas
    • podem dirigir e que as crianças devem ir atrás
    • e na janela, o número total de maneiras
    • diferentes através das quais estas 5 pessoas
    • podem ser posicionadas, não permitindo as
    • crianças irem no colo de ninguém, é igual a:
    • a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
  • 29. Tente fazer sozinho
    • 6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultos
    • e 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3
    • atrás . Sabendo-se que apenas 2 pessoas
    • podem dirigir e que as crianças devem ir atrás
    • e na janela , o número total de maneiras
    • diferentes através das quais estas 5 pessoas
    • podem ser posicionadas , não permitindo as
    • crianças irem no colo de ninguém, é igual a:
    • a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
  • 30. Solução
    • = 8
    bancos da frente bancos de trás janelas carona motorista 2 2 2 1 1
  • 31. Permutação com Repetição
    • Caso o conjunto dado apresente
    • elementos repetidos, usaremos a seguinte
    • fórmula:
    • Sendo:
    • n  o número total de elementos
    • α , β , γ  número que indica a quantidades de elementos repetidos de cada tipo .
  • 32. Permutação com Repetição
    • Exemplo: A palavra ARARAQUARA apresenta
    • um total de 10 letras , sendo 5A , 3R , 1Q e 1U
  • 33. Tente fazer sozinho
    • 7) Apresente a quantidade
    • de anagramas da palavra
    • MISSISSIPI.
  • 34. Tente fazer sozinho
    • 7) Apresente a quantidade
    • de anagramas da palavra
    • MISSISSIPI .
  • 35. Solução
    • MISSISSIPI: 10 letras , sendo
    • 1M, 4I , 4S , 1P
  • 36. Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Arranjo Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Caso Particular Permutação Evento que depende de evento anterior
  • 37. Arranjo Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Permutação Definição Tipos Com repetição simples Agrupamento de todos elementos dados P! Caso Particular característica
  • 38. Combinação Simples
    • A combinação simples acontece
    • quando agrupamos uma quantidade p de
    • elementos de um conjunto com n elementos ,
    • sem importa r a ordem que esses elementos
    • são escolhidos.
    • Exemplo : Se devemos sortear 3 pessoas
    • dentre as 5 que se candidataram a uma
    • viagem, não importa a ordem que as 3 serão
    • escolhidas, pois todas as 3 irão da mesma
    • forma.
  • 39. Combinação Simples
    • Para resolver problemas que ocorrem a combinação simples, usaremos a fórmula :
    • Exemplo : Se devemos sortear 3 pessoas
    • dentre 5 .
  • 40. Tente fazer sozinho
    • 8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas para
    • ilustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual do
    • Candidato do Vestibular Estadual de 2007. Um
    • desses grupos está apresentado a seguir:
    • Considere que cada grupo de 4 figuras que
    • poderia ser formado é distinto de outro somente
    • quando pelo menos uma de suas figuras for
    • diferente. Nesse caso, o número total de grupos
    • distintos entre si que poderiam ser formados para
    • ilustrar o Manual do Candidato é igual a:
  • 41. Tente fazer sozinho
    • 8) (UERJ) Sete diferentes figuras foram criadas para
    • ilustrar, em grupo de 4 distintas , o Manual do
    • Candidato do Vestibular Estadual de 2007. Um
    • desses grupos está apresentado a seguir:
    • Considere que cada grupo de 4 figuras que
    • poderia ser formado é distinto de outro somente
    • quando pelo menos uma de suas figuras for
    • diferente . Nesse caso, o número total de grupos
    • distintos entre si que poderiam ser formados para
    • ilustrar o Manual do Candidato é igual a:
  • 42. Solução
  • 43. Tente fazer sozinho
    • 9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas,
    • quantos copos de salada, contendo 6
    • espécies diferentes, podem ser feitos?
  • 44. Tente fazer sozinho
    • 9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas ,
    • quantos copos de salada , contendo 6
    • espécies diferentes , podem ser feitos ?
  • 45. Solução
  • 46. Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Arranjo Simples Definição Fórmula Combinação Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Caso Particular Permutação Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Evento que depende de evento anterior
  • 47. Bibliografia
    • http://www.colegioweb.com.br/matematica/principio-fundamental-da-contagem.html
    • http://matematica-online-clc.blogspot.com/2009/07/analise-combinatoria.html
    • Dante, Luiz Roberto: Matemática Contexto & Aplicações 2 – Ensino Médio, Editora Ática – 3ª edição. Págs: 308 a 325