Apunte de Vectores, rectas y Planos - Algebra Lineal

15,045
-1

Published on

Apunte de vectores, rectas y planos. Documento obtenido por la profesora MARCIA ESTER MOLINA ZUNIGA, de la Universidad Catolica de Temuco.

Published in: Education
0 Comments
4 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
15,045
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
247
Comments
0
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Apunte de Vectores, rectas y Planos - Algebra Lineal

  1. 1. ELEMENTOS DE ALGEBRA LINEAL PARA LA COMPUTACIÓN INFO 1144 APUNTE DE VECTORES, RECTAS Y PLANOSUn vector es un segmento de recta dirigido que corresponde a un desplazamiento de un Òpunto E hacia otro punto FÞ Se denota EFÞE es el punto inicial o cola, a F se le denomina punto terminal o cabeza. tPor lo general a un vector se le denota como @ÞEl conjunto de todos los puntos del plano corresponde al conjunto de todos los vectorescuyas colas se encuentran en el origen S. Para cada punto Eß corresponde el vectort t+ œ SEß estos son llamados vectores de posición.Es común representar esos vectores usando coordenadas. Por ejemplo E œ Ð$ß #Ñ se tescribe como + œ Ò$ß #ÓÞLas coordenadas individuales son llamadas componentes.El vector Ò!ß !Ó se denota !Þ Es llamado vector cero.El vector Ò$ß #Ó puede ser interpretado como sigue: comienza en el origen S , viaja 3unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba, finalizando en T . El mismodesplazamiento se puede aplicar a otros puntos iniciales. Igualdad de VectoresDos vectores son iguales si y sólo si sus respectivas componentes son iguales. Es decir,si ÒBß CÓ œ Ò"ß  %Ó, entonces B œ " y C œ  %ÞPor lo general se usa vectores columna para representar a un vector. Es decir ÒBß CÓ es” C •Þ Usaremos ambas representaciones. BTambién se dirá que dos vectores son iguales si tienen la misma longitud y la mismadirección, aún cuando tengan distintos puntos inicial y final.Geométricamente, dos vectores son iguales si uno puede obtenerse mediante elcorrimiento (o traslación) del otro de forma paralela a sí mismo hasta que los dosvectores coincidan. En términos de componentes, tenemos que si E œ Ð$ß "Ñ y ÒF œ Ðß $Ñß el vector EF œ Ò$ß #Ó œ Ò  $ß $  "Ó. De manera similar si ÒG œ Ð  %ß  "Ñ y H œ Ð  "ß "Ñ, entonces GH œ Ò  "  Ð  %Ñß "  Ð  "ÑÓ œ Ò$ß #Ó y Ò Òentonces EF œ GHÞ ÒSe dice que un vector ST se encuentra en posición estándar. ÒEjemplo: Sea E œ Ð  "ß #Ñ y F œ Ð$ß %Ñß encuentre EF y vuelva a trazarlo (a) enposición estándar y (b) con su cola en el punto G œ Ð#ß  "ÑÞ 1
  2. 2. Suma de VectoresAl igual que sucede en el juego de las pistas de carreras, con frecuencia deseamos"continuar" un vector tras otro. Esto nos conduce a la noción de suma de vectores. Si hacemos que @ siga al vector ?, podemos considerar el desplazamiento total como untercer vector, denotado ?  @Þ Ejemplo: Si ? œ Ò"ß #Ó y @ œ Ò#ß #Óß el efecto neto de hacer seguir a @ después de ? esÒ"  #ß #  #Ó œ Ò$ß %Óß lo que nos da ?  @ÞEn general si ? œ Ò?" ß ?# Ó y @ œ Ò@" ß @# Ó entonces la suma ?  @ œ Ò?"  @" ß ?#  @# ÓÞAprecie ?  @ geométricamente:Dados los vectores ? y @ en ‘# traslade @ de manera que su cola coincida con la cabezade ?Þ La suma ?  @ de ? y @ es el vector desde la cola de ? hasta la cabeza de @.Paralelógramo determinado por ? y @. Al trasladar ? y @ de manera pàralela a sí mismos,obtenemos un paralelógramo. La diagonal de dicho paralelógramo nos proporciona elvector suma. Es decir su suma es el vector en posición estándar a lo largo de la diagonaldel paralelógramo determinado por ? y @ÞEjemplo: Si ? œ Ò$ß  "Ó y @ œ Ò"ß %Óß calcule y dibuje ?  @Þ Ponderación de VectoresDado un vector @ y un número real -ß el múltiplo escalar -@ es el vector originado almultiplicar cada componente de @ por -Þ Por ejemplo %Ò#ß  "Ó œ Ò)ß  %ÓÞEn general -@ œ -Ò@" ß @# Ó œ Ò-@" ß -@# ÓÞEjemplo: Si @ œ Ò  ß $Ó, calcule y trace los vectores $@ß " @ y  $@Þ 3Observe que -@ tiene la misma dirección que @ si -  !Þ y la dirección opuesta si -  !ÞTambién, note que -@ es l-l veces el largo de @Þ Por esta razón las constanes son llamadasescalares.Un caso especial de un múltiplo escalar es Ð  "Ñ@, que se escribe como  @ y se conocecomo el opuesto de @Þ Se usa para definr la diferencia de vectores. Diferencia de VectoresLa diferencia de ? y @ es el vector ?  @ definido por ?  @ œ ?  Ð  @ÑÞ 2
  3. 3. Geométricamente corresponde a la otra diagonal del paralelógramo determinado por ? y@Þ t t t tEjemplo: Si ? œ Ò#ß %Ó y @ œ Ò"ß  "Óß entonces ?  @ œ Ò#  "ß %  Ð  "ÑÓ œ Ò"ß &ÓSi los puntos E y F corresponde a los vectores + y , en posición estándar, entoncesÒEF œ t  +Þ , t Vectores en ‘$El conjunto de todas las tripletas ordenadas de números reales se denota con ‘$ . Lospuntos y vectores son localizados mediante tres ejes coordenados mutuamenteperpendiculares que confluyen en el origen S. Un punto como E œ Ð"ß #ß $Ñ puedelocalizarse del siguiente modo: Ò tel vector correspondiente + œ Ò"ß #ß $Ó es SEÞOtra forma de visualizar al vector + en ‘$ es construir una caja cuyos seis lados estén tdeterminados por los tres planos do coordenadas ( los planos xy, xz,yz) y por tres planosa través del punto Ð"ß #ß $Ñ paralelos a los planos coordenados. El vector Ò"ß #ß $Ócorresponde entonces a la diagonal desde el origen hasta la esquina opuesta de la caja. Vectores en ‘8Definimos ‘8 como el conjunto de todas las 8  tuplas ordenadas de números realesescritas como vectores fila o columna. así, un vector @ en ‘8 se representa como Ô @" × Ö@ ÙÒ@" ß @# ß ÞÞß @8 Ó o Ö # ÙÞ Las entradas individuales de @ son sus coordenadas o Õ @8 Ø Àcomponentes.En ‘8 la suma y la ponderación por escalar se definen por: si ? œ Ò?" ß ?# ß ÞÞÞß ?8 Ó y@ œ Ò@" ß @# ß ÞÞÞß @8 Ó entonces?  @ œ Òu"  @" ß ?#  @# ß ÞÞÞß ?8  @8 Ó-? œ Ò-?" ß -?# ß ÞÞÞß -?8 ÓÞLos siguientes teoremas rsumen las propiedades algebraicas de la suma vectorial y lamultiplicación por escalar en ‘8 Þ 3
  4. 4. Teorema: Propiedades algebraicas de los vectores en ‘8 t t tSean ? œ Ò?" ß ?# ß ?$ ,....,?8 Óß @ œ Ò@" ß @# ß @$ ß ÞÞÞÞß @8 Ó y A œ ÒA"ß A#ß A$ß ÞÞÞÞß A8Ó vectores en 8 8‘ , y sean - y . escalares. Entonces ‘ es grupo abeliano con esta suma. Es decir se verifica1) t t t t ?  @ œ @  ? ( Propiedad conmutativa)#Ñ t t t t t t (?  @ )  A œ ?  Ð@  AÑ ( Propiedad Asociativa)$Ñ t ?! t œ !  ? œ ? ( Existencia de Neutro) t t t%Ñ t t t ?  Ð  ?Ñ œ ! (Existencia de elemento inverso)Además5) t t t -Ð?  @Ñ œ -?  -@ tÑ t t Ð-  .Ñ? œ -?  .? t(Ñ t -Ð.?Ñ œ Ð-.Ñ? t)Ñ t t "? œ ?Ejemplo: Sean +ß t y B representaciones de vectores en ‘8 Þ t , ta) Simplifique $+  Ð&t  #+Ñ  #Ðt  +ÑÞ t , t , t t t t tb) Si &B  + œ #Ð+  #BÑß resuelva para B en términos de +Þ Combinaciones Lineales y CoordenadasUn vector, que es una suma de múltiplos escalares de otros vectores, se define como unacombinación lineal de estos vectores. A continuación, se presenta la definición formal.Definición Un vector @ es una combinación lineal de vectores @" ß @# ß ÞÞÞÞ@5 si existenescalares -" ß -# ß ÞÞÞ-5 tales que @ œ -" @"  -# @#  ÞÞÞÞÞ  -5 @5 Þ Los escalares -" ß -# ß ÞÞÞ-5se conocen como coficientes de la combinación lineal. Ô # × Ô " × Ô # × Ô & × Õ  "Ø Õ  "Ø Õ " Ø Õ ! ØEjemplo: El vector  # es una combinación lineal de ! ß $ y % ß Ô " × Ô # × Ô & × Ô # × Õ  "Ø Õ " Ø Õ ! Ø Õ  "Øpuesto que $ ! # $  % œ #Observación: Determinar si un vector dado es una combinación lineal de otros vectoreses un problema que se abordará posteriormente.Ejemplo: Sea ? œ ” • y @ œ ” •Þ Se puede emplear ? y @ para localizar un nuevo $ " t t " #conjunto de ejes (de la misma forma que /" œ ” • œ 3 y /# œ ” • œ 4ß localizan los " ! ! "ejes coordenados estándar). Se puede hacer uso de estos nuevos ejes para establecer unacuadrícula coordenada que permitirá localizar con facilidad las combinaciones lineales de? y @ÞComo muestra la figura 4
  5. 5. t t tA puede ser localizado desde el origen y desplazarse  ? seguido de #@, es decir,t tA œ  ?  #@Þ t t t tSe dice que las coordenadas de A con respecto a ? y @ son  " y #Þ LuegoA œ  ” •  #” • Þ $ "t " # El Producto Punto o Producto Escalar Ô ?" × Ô @" × Ö? Ù Ö@ ÙDefinición: Si ? œ Ö # Ù y @ œ Ö # Ùentonces el producto punto ? † @ de ? y @ está t t t t t t Õ ?8 Ø Õ @8 Ø À À t tdefinido por ? † @ œ ?" @"  ?# @#  ÞÞÞÞÞÞ  ?8 @8 Þ t tEn otras palabras ? † @ es la suma de los productos de las componentes correspondientes t tde ? y @Þ Ô " × Ô  $× Õ  $Ø Õ # Ø t tEjemplo: Calcule ? † @ cuando ? œt # t y@œ & Þ Propiedades del Producto Escalar t t tTeorema: Sean ?ß @ y A , vectores no nulos, - un escalar.1) t t t t ?†@ œ@†?2) t t t t t t t ? † Ð@  AÑ œ ? † @  ? † A3) t t Ð-?Ñ † @ œ -Ð? † @Ñ4) t t t t t t -Ð? † @Ñ œ Ð-?Ñ † @ œ ? † Ð-@Ñ5) t t t t t ? † ?   ! y ? † ? œ ! si y sólo si ? œ !Demostración: t t t t t t t t t tEjemplo: Haga la demostración de Ð?  @Ñ † Ð?  @Ñ œ ? † ?  #Ð? † @Ñ  @ † @ para todos los 8Þ t tvectores ? y @ en ‘ Þ 5
  6. 6. En ‘# la longitud del vector @ œ ” • es la distancia desde el origen hasta el punto Ð+ß ,Ñ, la +cual, por el teorema de Pitágoras, está dada por È+#  ,# Þ Observe que +#  ,# œ @ † @ß lo ,que nos lleva a la siguiente definición. Longitud o Norma de un Vector Ô @" × Ö@ ÙDefinición: La longitud (o norma) de un vector @ œ Ö # Ùen ‘8 es el escalar no negativo t Õ @8 Ø À ll@ll œ È@ † @ œ È@" #  @#  @$  ÞÞÞÞÞ  @ # tll@ll definido por t t t # # 8 # t t tes decir ll@ll œ @ † @ÞEjemplo: La norma o magnitud del vector @ œ Ò  #ß $Ó es ll@ll œ ÈÐ  #Ñ#  $# œ È"$. t t@ œ Ò"ß  "ß #ß !Ó es ll@ll œ È"#  Ð  "Ñ#  ##  !# œ ÈEjemplo: La norma o magnitud del vector.t tTeorema: Sea @ un vector en ‘8 y sea - un escalar. Entoncesa) ll@ll œ ! si y sólo si @ œ !b) ll-@ll œ l-l ll@llÞEjemplo: Si ll@ll œ $, entonces ll " @ll œ " ll@ll œ t t t $ œ " # t @ " tVector unitario en la dirección de @ À ll@ll œ Ð ll@ll Ñ  @" ß @# ß @$ ß ÞÞÞß @8  Þ t t tEjemplo: Si @ œ Ò  %ß  "Ó, entonces un vector unitario en la dirección de @ es tll@ll œ È"( Ò  %ß  "Ó œ Ò  È"( ß  È"( ÓÞ t @ " % " t t tEjemplo: Si @ œ Ò"ß  "ß #ß !Ó, entonces un vector unitario en la dirección de @es ll@ll œ È Ò"ß  "ß #ß !ÓÞ t @ t " tDado cualquier vector @ distinto de cero, siempre podemos hallar un vector unitario en la t tdirección de @, esto se logra al dividir @ entre su propia longitud. La acción de encontrar unvector unitario con la dirección de otro vector dado se conoce como normalización de unvector.Teorema: Desigualdad de Cauchy-SchwarzPara todos los vectores ? y @ en ‘8 ß |u † v| Ÿ ||u|| ||v||Teorema: La desigualdad del triángulo 6
  7. 7. Para todos los vectores ? y @ en ‘8 , ll?  @ll Ÿ ll?ll  ll@ll Distancia en tre dos VectoresLa distancia entre dos vectores es el análogo directo de la distancia entre dos puntos.Definición: La distancia .Ð?ß @Ñ entre vectores ? y @ en ‘8 se define como t t t t Ô È# × t t t t.Ð?ß @Ñ œ ll?  @llÞ Ô ! × Õ  "Ø Õ  #Ø tEjemplo: Encuentre la distancia entre ? œ " t y@œ #Solución: Ángulo entre Vectores t t t t t tConsideremos los vectores, no paralelos ? y @ y el triángulo de lados ?ß @ y ?  @ß donde ) esel ángulo entre ? y @ß siendo ? y @ vectores en ‘8 . Aplicando la ley de los cosenos a este t t t ttriángulo, vemos que ll?  @ll# œ ll?ll#  ll@ll#  # ll?ll ll@ll -9=) t t t t t t t t texpandiendo el miembro izquierdo y utilizando ll@ll œ @ † @ varias veces, obtenemos que ll?ll#  #Ð? † @Ñ  ll@ll# œ ll?ll#  ll@ll#  # ll?ll ll@ll -9=) t t t t t t t t t t t tlo cual da ? † @ œ ll?ll ll@ll -9=)ß de lo que se deriva la siguiente definición.Definición: Para vectores diferentes a cero ? y @ en ‘8 ß t t tt ?†@ -9=) œ t t ll?ll ll@llEjemplo: Calcule el ángulo entre los vectores ? œ Ò#ß "ß  #Ó y @ œ Ò"ß "ß "ÓSolución:Ejemplo: Calcule el ángulo entre las diagonales de dos caras adyacentes de un cubo.Solucion. Vectores OrtogonalesEn ‘# y ‘$ dos vectores distintos de cero ? y @ son perpendiculares si el ángulo ) entre ellos t t 1 tt ?†@es un ángulo recto; es decir, si ) œ # radianes, o *!º. Así ll?ll ll@ll œ -9=Ð*!ºÑ œ !Þ t tDefinición: Dos vectores ? y @ en ‘8 son ortogonales entre sí, si ? † @ œ ! t t t t t t œ !ß para todo vector ? en ‘8 , el vector cero es ortogonal a todo vector.Puesto que ? † ! t tEjemplo: En ‘$ ? œ Ò"ß "ß  #Ó y @ œ Ò$ß "ß #Ó son ortogonales, ya que ? † @ œ !. t t t t 7
  8. 8. Proyecciones t tConsideremos dos vectores distintos de cero ? y @. Sea : el vector obtenido al trazar la t t t tperpendicular desde la cabeza de @ sobre ? y sea ) el ángulo entre ? y @.Es evidente que t œ ll:llûß donde û œ Ð"Îll?llÑ? es el vector unitario en la direción de ?Þ : t t t t tt ?†@ tAdemás ||:ll œ ll@ll-9=)ß y sabemos que -9=) œ ll?ll ll@ll Þ Después de la sustitución, tenemos: œ ll@llŠ ll?ll ll@ll ‹Š ll?ll ‹? œ Š ll?ll# ‹? œ Š ?†? ‹? t t tt ?†@ " tt ?†@ tt ?†@t t t t t t t t t t tDefinición: Si ? y @ son vectores en ‘8 y ? Á !ß entonces la proyección de @ sobre ? es elvector proy? Ð@Ñ œ Š ll?ll# ‹?. ?†@Ejemplo: Si + œ Ò"ß  #ß $Óß t œ Ò#ß  %ß !Ó y - œ Ò$ß  ß  "ÓÞ Si ? œ " -  + y t , t t $t tt t t  %Ð " t  " +  " -Ñ:@ œ #+  $, #, %t )t t ti) Obtenga T <9C? Ð@Ñ. t t ii) Obtenga T <9C3? Ð@Ñ. t t iii) Obtenga T <9C&? Ð$@Ñ.Solución: 3 t t t 3 4 tDefinición: Sean ? œ ?"t  ?#4  ?$ 5 y @ œ @"t  @#t  @$ 5 vectores en el espacio. Se llama t â t t 5 â â 3 t âproducto vectorial de ambos al vector t œ â? ? ? â â $â 4 â " â t t â @" @# @$ ât t? ‚ @ œ Ð?# @$  ?$ @# Ñ3  Ð?" @$  ?$ @" Ñ4  Ð?" @#  ?# @" Ñ5 # t 3 t t t t 4 tEjemplo: Dados ? œ t  #4  5 y @ œ $3  t  #5ß hallar t ta) ? ‚ @ t t b) @ ‚ ? t t c) @ ‚ @ Propiedades Algebraicas del Producto Vectorial t t tSean ?ß @ y A vectores en el espacio y - un escalar, las siguientes propiedades son válidas.1) t t t t ? ‚ @ œ  Ð@ ‚ ?Ñ#Ñ t t t t t t t ? ‚ Ð@  AÑ œ ? ‚ @  ? ‚ A3) t t t t t -Ð? ‚ @Ñ œ -? ‚ @ œ ? ‚ -@t4) t ?‚! tœ!‚?œ! t t t5) t t t ?‚?œ!6) t t t t t t ? † Ð@ ‚ AÑ œ Ð? ‚ @Ñ † A 8
  9. 9. Demostración: Todas ellas se pueden demostrar escribiendo los vectores en forma decomponentes y aplicando entonces la definición del producto vectorial.Teorema: Propiedades Geométricas del producto vectorial t t t tSi ? y @ son vectores no nulos del espacio y ) es el ángulo entre ? y @, entonces se verificanlas propiedades siguientes.1) t t t ? ‚ @ es ortogonal a ambos, a ? y a @.t2) t t t t ll? ‚ @ll œ ll?ll ll@ll =/8)Þ3) t t t t t ? ‚ @ œ ! si y sólo si ? y @ son múltiplos escalares el uno del otro.4) t t t t ll? ‚ @ll es igual al área del paralelógramo que tiene a ? y a @ como lados adyacentes. ll?ll ll@ll =/8) œ ll?ll ll@ll È"  -9=#Ð)ÑDemostración: tt Ð?†@Ñ#Ñ Como -9=) œ t t Ðll?ll ll@llÑ se sigue que t t t tœ ll?ll ll@ll É"  t t Ð?†@Ñ# tt Ðll?ll ll@llÑ# t t œ Èll?ll# ll@ll#  Ð? † @Ñ# t t t tœ ÈÐ?#  ?#  ?# ÑÐ@"  @#  @$ Ñ  Ð?" @"  ?# @#  ?$ @$ Ñ# " # $ # # #œ ÈÐÐ?# @$  ?$ @# Ñ#  Ð?" @$  ?$ @" Ñ#  Ð?" @#  ?# @" Ñ# t tœ ll? ‚ @llÞDemostración:4) Para demostrar esta propiedad dibuje un paralelógramo de lados los vectores ? y @ yt t t t tproyecte el vector @ sobre ?. Dibuje la altura ( esta mide ll@ll =/8 )Ñ el área es ( base poraltura) t t t t ll?ll ll@ll =/8) œ ll? ‚ @llÞ t t t t tObservación: Los vectores ? ‚ @ y @ ‚ ?, son perpendiculares al plano determinado por ? yt t t t t@. Los tres vectores ?ß @ y ? ‚ @, forman un sistema positivo. tEjemplo: Hallar un vector unitario que sea ortogonal a ? œ  "ß #ß $  yt@ œ   "ß #ß  "  ÞEjemplo: Determine los vectores unitarios perpendiculares al plano determinado por los trespuntos Ð  "ß $ß !Ñß Ð&ß "ß #Ñ y Ð%ß  $ß  "ÑÞEjercicio: Demostrar que el cuadrilátero de vértices en los puntos siguientes es unparalelógramo, y hallar su área:E œ Ð&ß #ß !Ñ F œ Ð#ß ß "Ñ G œ Ð#ß %ß (Ñ H œ Ð&ß !ß Ñ. 9
  10. 10. Rectas y PlanosConsideremos una partícula que se ubica inicialmente en el origen SÐ!ß !Ñ al tiempo > œ !, yque se mueve a lo largo de la recta de manera que su coordenada B cambia en " unidad porsegundo. Entonces, para > œ " la partícula se localiza en Ð"ß  #Ñ, para > œ "Þ& se encuentraen Ð"Þ&ß  $Ñ y, si permitimos que haya valores negativos de > ( es decir, consideremos dóndeestuvo la partícula en el pasado), para > œ  # se halla Ðo se hallaba) en Ð  #ß %ÑÞEn general, si B œ >ß entonces C œ  #>ß y podemos expresar esta relación en formavectorial ” • œ ” • œ >”  # •Þ ¿ Cuál es el significado del vector . œ ”  # •? Es un B > " t " C  #>vector particular paralelo a _, conocido como vector de dirección para la recta. t t Podemos escribir la ecuación de la recta como B œ >.ß esta es la forma vectorial de laecuación de _Ejemplo: Consideremos la recta _ con ecuación #B  C œ &Þ Es evidente que el vector.œ”  #• y 8 œ ” • son el vector de dirección y un vector normal a la recta..t " # t " t t t tDe este modo, la forma normal 8 † B œ 8 † : es apenas una representación diferente de laforma general de la ecuación de la recta.Definición: La forma normal de la ecuación de una recta _ en ‘# /= t t t t t t t 8 † ÐB  :Ñ œ ! o 8 † B œ 8 † : t tdonde : es un punto específico sobre _ y 8 Á ! es un vector normal para _.La forma general de la ecuación de _ es +B  ,C œ - , donde 8 œ ” • es un vector normal + t ,para _. t t t tObserve que para cada elección de Bß B  : debe ser paralelo al vector de dirección . . Es t o B œ :  >. para algún escalar >. En términos de componentes tenemos quedecir B  : œ >. t t t t t” C • œ ” $ •  >”  # • B " " Ð"Ñ 10
  11. 11. Bœ">C œ $  #> Ð#ÑLa ecuación Ð"Ñ es la forma vectorial de la ecuación de _, y las ecuaciones en Ð#Ñ sonllamadas ecuaciones paramétricas de la recta, la variable > se denomina parámetro. tDefinición: La forma vectorial de la ecuación de una recta _ en ‘# o ‘$ es B œ :  >. , t t tdonde T es un punto específico sobre _ y . Á ! es un vector de dirección para _.Las ecuaciones correspondientes a las componentes de la forma vectorial de la ecuación sedenominan ecuaciones paramétricas de _.Ejemplo: Encuentre las ecuaciones vectorial y paramétrica de la recta en ‘$ que pasa a través Ô & × Õ $ Ø t œ " Þdel punto T œ Ð"ß #ß  "Ñ, paralela al vector . ÔB× Ô " × Ô & × ÕD Ø Õ  "Ø Õ $ Ø t tSolución: La ecuación vectorial B œ :  >. t es C œ #  >  " Þ La formaparamétrica es B œ "  &> C œ#> D œ  "  $>Ejemplo: Encuentre una ecuación vectorial de la recta _ en ‘$ , determinada por los puntosT œ Ð  "ß &ß !Ñ y U œ Ð#ß "ß "ÑÞ Ô $ × Õ " ØSolución: B  : œ >  % Þ t t Planos en ‘$Definición: La forma normal de la ecuación de un plano c en ‘$ es t t t 8 † ÐB  :Ñ œ ! t t t t o 8†Bœ8†: t tdonde : es un punto específico sobre c y 8 Á ! es un vector normalpara c . Ô+× Õ-ØLa forma general de la ecuación de c es +B  ,C  -D œ . donde ? œ , es un vector tnormal para c .Ejemplo: Determine las formas normal y general de la ecuación del plano que contienen el Ô"× Õ$Øpunto T Ðß !ß "Ñ y tiene como vector normal 8 œ # Þ t 11
  12. 12. Ô× ÔB× Õ"Ø ÕDØSolución: Con : œ ! y B œ C , tenemos que 8 † : œ *, de manera que la ecuación t t t t t t t tnormal 8 † B œ 8 † : se convierte en la ecuación general B  #C  $D œ *ÞDefinición: La forma vectorial de la ecuación de un plano c en ‘$ es t t t t B œ :  =?  >@ t t t tdonde T es un punto en c y ? y @ son vectores de dirección para c Ð? y @ son distintos decero y paralelos a c , pero no paralelos entre sí).Las ecuaciones correspondientes a las componentes de la forma vectorial de la ecuación sonconocidas como ecuaciones paramétricas de c .Ejemplo: Encuentre una ecuación vectorial y paramétrica para el plano del ejemplo anterior.Solución: Necesitamos encontrar dos vectores de dirección. Tenemos T œ Ðß !ß "Ñ en el tplano; si podemos encontrar otros dos puntos en U y V en c , entonces los vectores T U y T V tpueden servir como vectores de dirección. Por ensayo y error, observamos que UÐ*ß !ß !Ñ yV œ Ð$ß $ß !Ñ satisfacen la ecuación general B  #C  $D œ *ß por lo cual se encuentran en el Ô $ × Ô  $× Õ  "Ø Õ  "Ø tœ;: œplano. Así, calculamos ? œ T U t t t ! t œ<: œ y @ œ TV t t t $ ß los queservirán como vectores de dirección. Por lo tanto, tenemos la ecuación vectorial de cÞÔB× Ô× Ô $ × Ô  $×ÕD Ø Õ"Ø Õ  "Ø Õ  "Ø C œ ! > ! = $ y las correspondientes ecuaciones paramétricas, B œ  $>  $= C œ $= D œ">=Ejemplo: Obtenga la ecuación vectorial del plano que pasa por los puntos T Ð"ß  #ß &Ñ,UÐ$ß #ß  "Ñ y VÐ  "ß  #ß #ÑÞSolución:Observación:Un plano es un objeto bidimensional, y su ecuación, en forma vectorial o paramétrica,requiere de dos parámetros. 12
  13. 13. Ecuación Normal de una Recta en ‘$ t tUn punto T sobre la recta _ y dos vectores normales no paralelos 8" y 8# sirven para $localizar de manera única una recta _ en ‘ , puesto que _ debe ser entonces la recta a través t t t tde T que es perpendicular al plano con ecuación B œ :  =8"  >8# Þ De esta forma, una recta $en ‘ también puede estar especificada por un par de ecuaciones + " B  ," C  - " D œ . " +# B  ,# C  -#" D œ .#Cada una correspondiendo a cada vector normal. Pero ya que estas ecuaciones corresponden aun par de planos no paralelos, esta es precisamente la descripción de una línea recta como laintersección de dos planos no paralelos. Ecuaciones de rectas en ‘# Forma Normal Forma General Forma Vectorial Forma Paramétrica œ C œ :  >. t B œ :"  >." t t t t 8†Bœ8†: +B  ,C œ - t t B œ :  >. # # Ecuaciones de Rectas y Planos en ‘$ Ú B œ :  >. Forma Normal Forma General Forma Vectorial Forma Paramétrica œ8 † B œ 8 † : œ+ B  , C  - D œ . Û C œ :#  >.# " " t t t t 8" † B œ 8" † :" +" B  ," C  -" D œ ." t Ü D œ :$  >.$ Rectas t t B œ :  >. t t t t Ú B œ :  =?  >@ # # # # # # # Û C œ :#  =?#  >@# " " " Ü D œ :$  =?$  >@$ Planos t t t t 8†Bœ8†: +B  ,C  -D œ . t t t t B œ :  =?  >@ Distancia desde un Punto a una RectaEncuentre la distancia desde el punto F œ Ð"ß !ß #Ñ hasta la línea _ pasando por el punto Ô  "× Õ ! ØE œ Ð$ß "ß "Ñ con vector de dirección .tœ " Þ tSolución: Se debe calcular la longitud de T F , donde T es el punto sobre _ que se ubica al t t tpie de la perpendicular desde F . Si denotamos @ œ EF , entonces ET œ :<9C. Ð@Ñ yt tT F œ @  @  :<9C. Ð@ÑÞ Haremos los cáculos necesarios en varios pasos. Ô"× Ô$× Ô  #× Õ#Ø Õ"Ø Õ " ØPaso 1: @ œ EF œ t  + œ !  " œ  " t t , t 13
  14. 14. Ô  "×Paso 2: La proyección de @ sobre . es proy. Ð@Ñ œ Š .†. ‹. œ Õ ! Ø t t t .†@ t " t t t t " Þ # Ô  #× Ô  # × Ô  # ×Paso 3: El vector que queremos es t  :<9C. Ð@Ñ œ  "  Ö " Ù œ Ö  $ Ù " $ Õ " Ø Õ ! Ø Õ "# Ø @ t # Ô #×Paso 4: La distancia .ÐFß _Ñ desde F hasta _ es ll@  proy. Ð@Ñll œ ººÖ  $ Ùºº œ " È##Þ $ Õ " Ø t t # # t tEn términos de la notación anterior, .ÐFß _Ñ œ .Ð@ß :<9C. Ð@ÑÑÞEn el caso donde la línea _ está en ‘# y su ecuación tiene la forma general +B  ,C œ -ß la È+# ,#distancia .ÐFß _Ñ desde FÐB! ß C! Ñ está dada por la fórmula .ÐFß _Ñ œ l+B! ,C! -l Þ Distancia desde un Punto a un PlanoEjemplo: Determine la distancia desde el punto F œ Ð"ß !ß #Ñ hasta el plano c cuya ecuacióngeneral es B  C  D œ "Þ ÒSolución: En este caso se debe calcular la longitud de T F , donde T es el punto sobre c quese encuentra al pie de la perpendicular desde FÞ Como lo muestra la figura. 14
  15. 15. Ô " × Õ  "ØSi E es cualquier punto sobre c y situamos el vector normal 8 œ t " de c de modo que Òsu cola se localice en Eß entonces, se requiere hallar la longitud de la proyección de AB sobret.8 De nuevo, se harán los cálculos necesarios por pasos.Paso1: Por ensayo y error encontramos cualquier punto cuyas coordenadas satisfagan laecuación B  C  D œ "Þ E œ Ð"ß !ß !Ñ lo hace. Ô"× Ô"× Ô!× Õ#Ø Õ!Ø Õ#ØPaso 2: Establezca @ œ EF œ t  + œ t t , t !  ! œ ! Þ t tPaso 3: La proyección de @ sobre 8 es Ô " × Ô #× Ô " ×T <9C8 Ð@Ñ œ Š 8†8 ‹8 œ "†!"†!"†# ‹ † œÖ $Ù $ Õ  "Ø Õ  "Ø Õ # Ø t t @†8 # t t t t t ""Ð"Ñ# " œ # $ " Ô " × $Paso 4: La distancia .ÐFß c Ñ desde F hasta c es llproy8 Ð@Ñ œ l  # l ¿ " ¿ œ # È$ Õ  "Ø t t $ $En general, la distancia .ÐFß c Ñ desde el punto F œ ÐB! ß C! ß D! Ñ hasta el plano cuya ecuacióngeneral es +B  ,C  -D œ . está dad por la fórmula È+# ,# - # Þ l+B! ,C! -D! .l .ÐFß c Ñ œ 15

×