Your SlideShare is downloading. ×
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Mahir mengembangkan-kemampuan-matematika-kelas-11

26,128

Published on

Published in: Business
0 Comments
13 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
26,128
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
13
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. i
  • 2. iiMahir Mengembangkan Kemampuan Matematikauntuk Sekolah Menengah Atas/Madrasah Aliyah Kelas XIProgram Ilmu Pengetahuan AlamPenulis : Wahyudin DjumantaR. SudrajatPenyunting : Tim Setia Purna InvesPewajah Isi : Tim Setia Purna InvesPewajah Sampul : Tim Setia Purna InvesPereka Ilustrasi : Tim Setia Purna InvesUkuran Buku : 17,6 × 25 cmHak Cipta pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undangHak cipta buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasionaldari Penerbit PT Setia Purna Inves510.71DJU DJUMANTA, Wahyudinm Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas /Madrasah Aliyah / Wahyudin Djumanta; R. Sudrajat;editor Tim Setia Purna Inves, -- Jakarta: Pusat Perbukuan,Departemen Pendidikan Nasional, 2008.vi, 250 hlm.: tab., ilus., 25 cmBibliografi: hal. 245Indeks.ISBN 979-462-978-21. Matematika – Studi dan Pengajaran I. Mahir Mengembangkan Kemampuan MatematikaII. Sudrajat, RDiterbitkan oleh Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan NasionalTahun 2008Diperbanyak oleh ...
  • 3. iiiPuji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah,dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah membeli hak cipta bukuteks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situsinternet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telahditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalamproses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 2008.Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbityang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasionaluntuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.Buku-bukutekspelajaranyangtelahdialihkanhakciptanyakepadaDeparte¬menPendidikanNasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialih¬mediakan, atau difotokopioleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harusmemenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaranini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolahIndonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.Kamiberharap,semuapihakdapatmendukungkebijakanini.Kepadaparasiswakamiucapkanselamatbelajardanmanfaatkanlahbukuinisebaik-baiknya.Kamimenyadaribahwabukuinimasihperlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan.Jakarta, Juli 2008Kepala Pusat PerbukuanKata Sambutan
  • 4. ivMatematikaadalahilmudasaryangdapatdigunakansebagaialatbantumemecahkanmasalahdalam berbagai bidang ilmu, seperti: Ekonomi, Akuntansi, Astronomi, Geografi, dan Antropologi.Olehkarenaitu,matematikapatutmendapatsebutan“MathematicsisQueenandServantofScience”yang artinya Matematika adalah ratu dan pelayan ilmu pengetahuan.Sesuai dengan misi penerbit untuk memberikan kontribusi yang nyata bagi kemajuanilmu pengetahuan maka penulis dan penerbit merealisasikan tanggung jawab tersebut denganmenyediakan buku bahan ajar matematika yang berkualitas, sesuai dengan tuntutan kurikulumyang berlaku.Buku ini disusun berdasarkan kurikulum yang berlaku dan disajikan secara sistematis,komunikatif, dan integratif, serta adanya keruntutan antar bab. Pada awal setiap bab, disajikan pulaTes Kompetensi Awal sebagai materi prasyarat untuk mempelajari bab yang bersangkutan.Di akhir setiap bab, terdapat Rangkuman dan Refleksi yang bertujuan untuk lebih mening-katkan pemahaman siswa tentang materi yang telah siswa pelajari. Buku ini dilengkapi jugadengan beberapa materi dan soal pengayaan, yaitu InformasiuntukAnda(InformationforYou),Tantangan untuk Anda, Hal Penting,Tugas dan Situs Matematika.Untuk menguji pemahaman siswa terhadap suatu konsep, pada setiap subbab diberikanTes Kompentensi Subbab dan beberapa Soal Terbuka. Pada akhir setiap bab, juga diberikanTes Kompetensi Bab. Pada akhir semester siswa diberikan Tes Kompetensi Semester. Di dalambuku ini juga dilengkapi dengan KunciJawaban soal terpilih sebagai sarana menguji pemahamansiswa atas materi yang telah dipelajari.Kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telahmembantu pembuatan buku ini.Demikianlah persembahan kami untuk dunia pendidikan.Bandung, Juli 2008PenulisKata Pengantar
  • 5. vBab 4Lingkaran 95A. Persamaan Lingkaran 97B. Persamaan Garis SinggungLingkaran 104112112112115Bab 1Statistika 1A. Penyajian Data 3B. Penyajian Data Statistik 11C. Penyajian Data Ukuran menjadiData Statistik Deskriptif 20363637Bab 2Peluang 41A. Kaidah Pencacahan 43B. Peluang Suatu Kejadian 57C. Kejadian Majemuk 63717172Bab 3Trigonometri 75A. Rumus Trigonometri untukJumlah dan Selisih DuaSudut 77B. Rumus Trigonometri untuk SudutGanda 82C. Perkalian, Penjumlahan,serta Pengurangan Sinus danKosinus 86919192Daftar Isi
  • 6. viBab 8Turunan Fungsi danAplikasinya 193195B. Menentukan Turunan202C. Persamaan Garis Singgung pada213D. Fungsi Naik dan Fungsi215E. Maksimum dan Minimum218F 224G 228H. Menggambar Grafik Fungsi232235235236239Tes Kompetensi Ujian Akhir243Bab 6Fungsi Komposisi danFungsi Invers 145147152154D 160E. Invers dari Fungsi164166167167Bab 7Limit 171173184189189190Bab 5Suku Banyak 119121B. Menentukan Nilai Suku123C 127D 133E 138141141142
  • 7. 1Bab1StatistikaSumber: farm2.static.flickr.comdengan konsep statistika, seperti permasalahan berikut.Selama dua tahun berturut-turut, supermarket A mencatatkeuntungan setiap bulannya (dalam jutaan rupiah) sebagaiberikut.43, 35, 57, 60, 51, 45, 60, 43, 48, 55, 57, 45, 43, 35, 48,45, 55, 65, 51, 43, 55, 45, 65, 55.Dalam jangka waktu yang sama, supermarket B mencatatkeuntungan setiap bulannya (dalam jutaan rupiah) sebagaiberikut.67, 78, 70, 83, 80, 56, 70, 81, 45, 50, 81, 56, 70, 55, 70,61, 51, 75, 55, 83, 67, 54, 68, 54.Pada Maret tahun berikutnya, pengusaha supermarket Amemperoleh keuntungan 75 juta. Sedangkan supermarketB memperoleh keuntungan 84 juta. Pengusaha mana yangberhasil?Untuk mengetahui jawabannya,Anda harus mempelajaribab ini dengan baik.A. Penyajian DataB. Penyajian DataStatistikC. Penyajian Data Ukuranmenjadi Data StatistikDeskriptifSetelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu melakukanpengolahan,penyajiandanpenafsirandatadengancaramembacadan menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang,garis, lingkaran, dan ogive serta pemaknaannya, dan menghitungukuran pemusatan, ukuran letak dan ukuran penyebaran data,serta menafsirkannya.
  • 8. 2 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTes Kompetensi AwalSebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.1. Jelaskan langkah-langkah yang Andalakukan untuk membuat diagram garis.2. Urutkan data berikut dari yang terkecil.Kemudian, urutkan lagi dari yang terbesar.Jelaskan pula cara mengurutkan datatersebut.78, 23, 45, 58, 41, 89, 45, 12, 12, 13, 54,85, 74, 41, 41.3. Tentukan mean, median, kuartil bawah,dan kuartil atas dari data berikut.a. 8, 7, 7, 9, 8, 6, 7, 8, 9, 6, 7b. 4, 3, 8, 5, 11, 9, 3, 16, 5, 15, 9, 11, 12,9, 10, 8, 7, 5, 4, 8Diagram AlurUntuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikansebagai berikut.StatistikaPengumpulan PengolahanTabel Diagramberhubungan denganUkuran StatistikaPenyajianberhubungan denganmempelajariDataGaris Lingkaran Batang terdiri atasUkuran Pemusatan Ukuran LetakUkuran PenyebaranPencilan DesilMean Median ModusSimpanganRataanHitungRagam SimpanganBakuJangkauan SimpanganKuartilJangkauanAntarkuartildisajikan dalam bentukdapat berupaterdiri atasterdiri atas terdiri atas
  • 9. 3StatistikaA. Penyajian DataStatistika berkaitan erat dengan data. Oleh karena itu,sebelum dijelaskan mengenai pengertian statistika, terlebihdahulu akan dijelaskan mengenai data.1. Pengertian Datum dan DataDi Kelas IX Anda telah mempelajari pengertian datumdan data. Agar tidak lupa pelajari uraian berikut.Misalkan, hasil pengukuran berat badan 5 murid adalah 43kg,43kg,44kg,55kg,dan60kg.Adapuntingkatkesehatandarikelima murid itu adalah baik, baik, baik, buruk, dan buruk.Datapengukuranberatbadan,yaitu43kg,43kg,44kg,55kg, dan 60 kg disebut fakta dalam bentuk angka.Adapun hasilpemeriksaan kesehatan, yaitu baik dan buruk disebut faktadalam bentuk kategori. Selanjutnya, fakta tunggal dinamakandatum. Adapun kumpulan datum dinamakan data.2. Pengertian Populasi dan SampelMisal, seorang peneliti ingin meneliti tinggi badan rata-rata siswa SMA di Kabupaten Lubuklinggau. Kemudian, iakumpulkan data tentang tinggi badan seluruh siswa SMA diKabupaten Lubuklinggau. Data tinggi badan seluruh siswaSMA di Kabupaten Lubuklinggau disebut populasi.Namun, karena ada beberapa kendala seperti keterbatasanwaktu, dan biaya, maka data tinggi badan seluruh siswaSMA di Kabupaten Lubuklinggau akan sulit diperoleh.Untuk mengatasinya, dilakukan pengambilan tinggi badandari beberapa siswa SMA di Kabupaten Lubuklinggauyang dapat mewakili keseluruhan siswa SMA di KabupatenLubuklinggau.Data tersebut dinamakan data dengan nilai perkiraan,sedangkan sebagian siswa SMA yang dijadikan objekpenelitian disebut sampel. Agar diperoleh hasil yang berlakusecara umum maka dalam pengambilan sampel, diusahakanagar sampel dapat mewakili populasi.Berikut ini skema pengambilan sampel dari populasi.Populasi mencakup seluruh siswa SMA yang ada di Kabupaten Lubuklinggau.SMA 1SMA 7SMA 13SMA 2SMA 8SMA 14SMA 3SMA 9SMA 15SMA 4SMA 10SMA 16SMA 5SMA 11SMA 17SMA 6SMA 12SMA 18
  • 10. 4 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam3. Pengumpulan DataMenurut sifatnya, data dibagi menjadi 2 golongan, yaitusebagai berikut.1) Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka ataubilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitudata cacahan dan data ukuran.a) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diper-oleh dengan cara membilang. Misalnya, data tentangbanyak anak dalam keluarga.b) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diper-oleh dengan cara mengukur. Misalnya, data tentangukuran tinggi badan murid.2) Datakualitatifadalahdatayangbukanberbentukbilangan.Datakualitatifberupaciri,sifat,ataugambarandarikualitasobjek.Datasepertiinidisebutatribut.Sebagaicontoh,datamengenai kualitas pelayanan, yaitu baik, sedang, dankurang.Cara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah mela-kukan wawancara, mengisi lembar pertanyaan (questionery),melakukan pengamatan (observasi), atau menggunakan datayang sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.4. DatumTerkecil, DatumTerbesar, KuartilBawah, Median, dan Kuartil AtasData berikut adalah tinggi badan 12 anak (dalam cm).164 166 170 167 171 172162 164 168 165 163 160Dari data tersebut Anda dapat mengetahui hal-halberikut.a) Anak yang paling pendek tingginya 160 cm.b) 50% dari kedua belas anak itu tingginya tidak lebih dari165,5 cm.c) 25% dari kedua belas anak itu tingginya lebih dari 169 cm.Kerapkali data yang Andaperoleh merupakan bilangandesimal. Agar perhitunganmudah dilakukan, bilangantersebut dibulatkan. Adapunaturan pembulatan sebagaiberikut.1) Jika angka yangdibulatkan lebih dariatau sama dengan 5,pembulatan dilakukandengan menambah 1angka di depannya.2) Jika angka yang akandibulatkan kurang dari 5,angka tersebut dianggaptidak ada atau nol.Sekarang, coba cari di bukupetunjuk penggunaan atautanya ke kakak kelas caramembulatkan bilangandengan menggunakankalkulator ilmiah.IngatlahSMA 2SMA 10SMA 5SMA 14SMA 7SMA 17Sampel dapat diambil dari beberapa siswa SMA yang ada di KabupatenLubuklinggau yang mewakili.
  • 11. 5StatistikaUntuk mengetahui hal-hal tersebut diperlukan statistiklima serangkai, yaitu data statistik x1, Q1, Q2, Q3, dan xndengan x1datum terkecil, Q1= kuartil bawah, Q2= median,Q3= kuartil atas, dan xndatum terbesar (r x1dan xndapatdiketahui).Untuk menentukan datum terkecil dan datum terbesarAnda perlu menyusun data tersebut dalam suatu urutanberdasarkan nilainya, yaitu sebagai berikut.160 162 163 164 164 165166 167 168 170 171 172Amati bahwa setelah data diurutkan Anda dapat mene-mukan datum terkecil dan datum terbesar dengan mudah,yaitu datum terkecil = 160 cm dan datum terbesar = 172 cm.Jika data yang telah diurutkan itu dibagi menjadi 2bagian yang sama, diperoleh urutan berikut:160 162 163 164 164 165 166 167 168 170 171 172Q2Tampak bahwa median membagi data ini menjadi duabagian yang sama, yaitu enam datum kurang dari median danenam datum lebih dari median. Median untuk data tersebutadalah Q2=165 1662= 165,5. Dengan demikian, Andadapat mengatakan bahwa 50% dari data itu tingginya tidaklebih dari 165,5 cm. Bagaimana menentukan median jikabanyak data ganjil?Dari uraian tersebut, dapatkahAnda menduga rumus me-nentukan median? Cobalah nyatakan rumus tersebut dengankata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajaritersebut merupakan hal khusus dari hal umum berikut.Misalkan diketahui data terurutx1, x2, x3, ..., xndengan n = banyak datum.1) Untuk n genap maka mediannya adalahn Q x xn nx22 2+112+2) Untuk n ganjil maka mediannya adalah Q xn2 +xn 12Jika data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4 bagianyang sama, diperoleh160 162 163 164 164 165 166 167 168 170 171 172Q1Q2Q3
  • 12. 6 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTampak bahwa kuartil membagi data menjadi empatbagian yang sama, yaitu tiga datum kurang dari kuartil bawah(Q1), tiga datum antara Q1dan Q2, tiga datum antara Q2dankuartil atas (Q3), dan tiga datum lebih dari Q3. Kuartil bawahdan kuartil atas dapat ditentukan, yaituQ1=163 1642= 163,5 dan Q3=168 1702= 169.Dengan demikian, Anda dapat mengatakan bahwa 25%dari kedua belas anak itu tingginya lebih dari 169 cm.Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menemukanlangkah-langkah cara menentukan kuartil? Cobalah tentukanlangkah-langkahnya dengan menggunakan kata-kata Andasendiri.Berikut ini adalah langkah-langkah menentukan kuartil.1. Data diurutkan dari datum terkecil ke datum terbesar.x1, x2, x3, ..., xn.2. Tentukan kuartil kedua atau median (Q2) denganmembagi data menjadi dua bagian sama banyak.3. Tentukan kuartil bawah (Q1) dengan membagi data dibawah Q2menjadi dua bagian sama banyak.4. Tentukan kuartil atas (Q3) dengan membagi data di atasQ2menjadi dua bagian sama banyak.Statistik lima serangkai, yaitux1kuartil bawah Q1Q2kuartil atas Q3xnIngatlahTentukan datum terkecil, datum terbesar, median, kuartil bawah,dan kuartil atas dari data berikut:a. 8, 7, 9, 4, 6, 5, 4b. 9, 8, 7, 9, 4, 6, 5, 4Jawab:a. Banyak data (n) sama dengan 7. Jika data ini diurutkan dariyang terkecil, diperolehNo. Urut Data x1x2x3x4x5x6x7Nilai Data 4 4 5 6 7 8 9• Datum terkecil adalah x1= 4.• Datum terbesar adalah x7= 9.• Median merupakan datum tengah setelah data diurutkan.Jadi, median (Q2) = x4= 6. Jika menggunakan rumusQ2= xn 12= x xn 124= 6Contoh 1.1
  • 13. 7StatistikaembahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeeePePPePePePePePePePP SoalHasil dari suatu pengamatanadalah sebagai berikut.12 11 9 8 9 10 9 12Median dari pengamatantersebut adalah ....Jawab:Data diurutkan dari yangterkecil.8 9 9 9 10 11 12 12Mediannya adalah9 102= 9,5Soal PPI 1982• Kuartil bawah (Q1)Q1= median dari 4 4 5Jadi, Q1= 4 (nilai paling tengah)• Kuartil atas (Q3)Q3= median dari 7 8 9Jadi, Q2= 8 (nilai paling tengah)b. Banyak datum (n) sama dengan 8. Jika data diurutkan,diperolehNo. Urut Data x1x2x3x4x5x6x7x8Nilai Data 4 4 5 6 7 8 9 9• Datum terkecil adalah x1= 4.• Datum terbesar adalah x8= 9.Median tidak dapat ditentukan dengan cara seperti soal(a). Median untuk data genap (n = 8) ditentukan denganmenggunakan rumus sebagai berikut.Q2=12 212x xn nx=12828 12x x8=12(x4+ x5) =12(6 + 7) = 6,5Dengan cara yang sama, coba Anda tentukan Q1dan Q2. JikaAnda menyelesaikannya dengan benar, diperoleh Q1= 4,5 danQ3= 8,5.5. Jangkauan Data, JangkauanAntarkuartil, dan Simpangan Kuartila. Jangkauan DataJangkauan data atau disebut juga rentang data adalahselisihantaradatumterbesardandatumterkecil. Jika jangkauandata dinotasikan J, datum terbesar xn, dan datum terkecil x1makaJ = xn– x1Jangkauan antarkuartil atau disebut juga rentang inter-kuartil adalah selisih kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1).Jika jangkauan antarkuartil dinotasikan JK makaKJK = Q3– Q1
  • 14. 8 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamPerbedaan antara jangkauan data dan jangkauan antar-kuartil diperlihatkan pada Gambar 1.1. Dari gambar tersebuttampak bahwa jangkauan antarkuartil merupakan ukuranpenyebaran data yang lebih baik daripada rentang sebab JKmengukur rentang dari 50% data yang di tengah.Selain jangkauan dan jangkauan antarkuartil, dikenal pulasimpangan kuartil atau rentang semi-interkuartil. Simpangankuartil (SK) adalah setengah dariKK jangkauan antarkuartil(JK).KKSK =K12JK =K12(Q3– Q1)Seorang peneliti mengambil masing-masing 1 kg air dari 20 sungaiyang berbeda untuk diuji kadar garamnya. Hasil pengujian (dalammg) adalah193 282 243 243 282 214 185 128 243 159218 161 112 131 201 132 194 221 141 136Dari data tersebut tentukan:a. jangkauan data;b. jangkauan antarkuartil;c. simpangan kuartil.Jawab:Data diurutkan hasilnya sebagai berikut:No. Urut Data x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10Datum 112 128 131 132 136 141 159 161 185 193No. Urut Data x11x12x13x14x15x16x17x18x19x20Datum 194 201 214 218 221 243 243 243 282 282• Datum terkecil (x1) adalah 112.• Datum terbesar (xn) adalah 282.• Median (Q2) =12(x10+ x11) = (193 + 194) = 193,5.• Kuartil bawah (Q1)= median darix1x2x3x4x5x6x7x8x9x10112 128 131 132 136 141 159 161 185 193=12(x5+ x6) =12(136 + 141) = 138,5.Contoh 1.2Gambar 1.1Q1Q2JK50% dataJ
  • 15. 9Statistika• Kuartil atas (Q3)= median darix11x12x13x14x15x16x17x18x19x20194 201 214 218 221 243 243 243 282 282=12(x15+ x16) =12(221 + 243) = 232a. Jangkauan data (J)JJJ = xn– x1= 282 – 112 = 170b. Jangkauan antarkuartil (JK)KKJK = Q3– Q1= 232 – 138,5 = 93,5c. SK =12JK =K12(93,5) = 46,75.b. Pencilan (Outlier)Nilai statistik jangkauan (J) danJJ jangkauan antarkuartil(JK) dapat digunakan untuk memperoleh gambaran tentangKKpenyebaran data dengan cepat. Untuk keperluan tersebutdidefinisikan satu langkah sebagai berikut.Definisi 1.1Satu langkah (L) adalah satu setengah kali panjang jangkauanantarkuartil (JK). Secara matematis, ditulisKK L = 112JK.Nilai yang letaknya satu langkah di bawah Q1dinamakanpagar dalam (PD).Adapun nilai yang letaknya satu langkahdi atas Q3dinamakan pagar luar (PL)PD = Q1– L– dan PL = Q3+ LSemua data yang nilainya kurang dari pagar dalam ataulebih dari pagar luar disebut pencilan. Pencilan adalah datumyang memiliki karakteristik berbeda dari datum lainnya.Dapat dikatakan bahwa pencilan merupakan datum yangtidak konsisten dalam kumpulan data.Hasil tes matematika dari 20 siswa tercatat sebagai berikut.70, 68, 71, 68, 66, 73, 65, 74, 65, 64, 78, 79, 61, 81, 60, 97, 44,64, 83, 56.Jika ada data pencilan, tentukan datum tersebut.Contoh 1.3
  • 16. 10 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamJawab:Data setelah diurutkan menjadi44, 56, 60, 61, 64, 64, 65, 65, 66, 68, 68, 70, 71, 73, 74, 78, 79,81, 83, 97Q1Q2Q3• Q1=64 + 642= 64 • JK = Q3– Q1= 76 – 64 = 12• Q2=68 + 682= 68 • L = 112JK = 112. 12 = 18• Q3=74 + 782= 76PD = Q1– L = 64 – 18 = 46PL = Q3+ L = 76 + 18 = 94Dengan demikian, ada dua pencilan dalam data ini, yaitu 44 dan97.Tes Kompetensi Subbab AKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Ali ingin membeli sebotol minyakwangi. Sebelum transaksi dilakukan,ia meneteskan dua tetes minyak wangiitu pada pakaiannya untuk mengeteskeharumannya. Tentukan populasi dansampelnya.2. Menurut BPS, banyak sekolah di setiapprovinsidi Indonesiapadatahun2004/2005tercatat sebagai berikut.48, 476, 91, 43, 39, 119, 33, 139, 493, 398,547, 128, 708, 61, 25, 55, 16, 55, 30, 34,56, 51, 39, 134, 21, 26, 24.Dari data itu, tentukana. datum terkecil dan datum terbesar;b. kuartil bawah, median, dan kuartilatas;c. jangkauandatajangkauanantarkuartil,dan simpangan kuartil;d. apakah ada data outlier? Jika ada,tentukan data tersebut.3. Jelaskan apa yang dimaksud dengan datakualitatif dan data kuantitatif.4. Data ulangan nilai matematika siswa kelasXI B sebagai berikut.75, 55, 52, 50, 78, 80, 85, 86, 80, 55, 75,80, 48.Selain data tersebut, masih terdapat tujuhdatalagiyangbelumtercatatakibatdatanyaterhapus.Akan tetapi, berdasarkan catatankecil yang sempat terbaca, diketahuibahwa median data setelah ditambah datayang hilang adalah 70,5, dan kuartil bawahdata yang hilang adalah 60. Tentukan tujuhdata yang hilang itu jika pada tujuh datayang hilang terdapat tiga kelompok datayang setiap kelompok bernilai sama.5. Jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri,cara mengecek apakah dalam data adapencilan atau tidak.
  • 17. 11StatistikaB. Penyajian Data StatistikAda dua cara penyajian data yang sering dilakukan, yaitua) daftar atau tabel,b) grafik atau diagram.1. Penyajian Data dalam Bentuk TabelMisalkan, hasil ulangan Bahasa Indonesia 37 siswa kelasXI SMA 3 disajikan dalam tabel di samping.Penyajian data pada Tabel 1.1 dinamakan penyajian datasederhana. Dari tabel 1.1, Anda dapat menentukan banyaksiswa yang mendapat nilai 9, yaitu sebanyak 7 orang. Berapaorang siswa yang mendapat nilai 5? Nilai berapakah yangpaling banyak diperoleh siswa?Jika data hasil ulangan bahasa Indonesia itu disajikandengan cara mengelompokkan data nilai siswa, diperolehtabel frekuensi berkelompok seperti pada Tabel 1.2. Tabel1.2 dinamakan Tabel Distribusi Frekuensi.2. Penyajian Data dalam BentukDiagramKerapkali data yang disajikan dalam bentuk tabel sulituntuk dipahami. Lain halnya jika data tersebut disajikan dalamaabentukdiagrammakaAnda akan dapat lebih cepat memahamidata itu. Diagram adalah gambar yang menyajikan data secaravisual yang biasanya berasal dari tabel yang telah dibuat.Meskipun demikian, diagram masih memiliki kelemahan,yaitu pada umumnya diagram tidak dapat memberikangambaran yang lebih detail.a. Diagram BatangDiagram batang biasanya digunakan untuk menggambar-kan data diskrit (data cacahan). Diagram batang adalahbentuk penyajian data statistik dalam bentuk batang yangdicatat dalam interval tertentu pada bidang cartesius.Ada dua jenis diagram batang, yaitu1) diagram batang vertikal, dan2) diagram batang horizontal.Nilai Frekuensi2 74 35 56 47 109 710 1Jumlah 37Tabel 1.1Tabel 1.2. Tabel Distribusi FrekuensiInterval Kelas Turus Frekuensi1–2 73–4 35–6 87–8 109–10 8Jumlah 37
  • 18. 12 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alamb. Diagram GarisPernahkah Anda melihat grafik nilai tukar dolar terhadaprupiah atau pergerakan saham di TV? Grafik yang seperti itudisebut diagram garis.Diagramgarisbiasanyadigunakanuntukmenggambarkandatatentangkeadaanyangm berkesinambungan(sekumpulan data kontinu). Misalnya, jumlah penduduk setiaptahun, perkembangan berat badan bayi setiapbulan,dansuhubadan pasien setiap jam.Selama 1 tahun, toko "Anggo" mencatat keuntungan setiap bulansebagai berikut.Keuntungan Toko "Anggo" per Bulan (dalam jutaan rupiah)Bulan ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Keuntungan 2,5 1,8 2,6 4,2 3,5 3,3 4,0 5,0 2,0 4,2 6,2 6,2a. Buatlah diagram batang vertikal dari data tersebut.b. Berapakah keuntungan terbesar yang diperoleh Toko "Anggo"selama 1 tahun?c. Kapan Toko "Anggo" memperoleh keuntungan yang samaselama dua bulan berturut-turut?Jawab:a. Diagram batang vertikal dari data tersebut, tampak padagambar berikut.b. Dari diagram tersebut tampak bahwa keuntungan terbesaryang diperoleh Toko "Anggo" selama 1 tahun adalah sebesarRp6.200.000,00.c. Toko "Anggo" memperoleh keuntungan yang sama selamadua bulan beturut-turut pada bulan ke-11 dan ke-12.Tabel 1.311 2 3 4 5 6Bulan keKeuntungan7 8 9 10 11 1223456Sumber: Koran Tempo, 2005Gambar 1.2Grafik nilai tukar dolarterhadap rupiah pada26 Januari 2005 sampaidengan 1 Februari 2005.Contoh 1.4
  • 19. 13StatistikaSeperti halnya diagram batang, diagram garis pun me-merlukan sistem sumbu datar (horizontal) dan sumbu tegak(vertikal) yang saling berpotongan tegak lurus. Sumbu men-rdatar biasanya menyatakan jenis data, misalnya waktu danberat. Adapun sumbu tegaknya menyatakan frekuensi data.Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuatdiagram garis adalah sebagai berikut.1) Buatlah suatu koordinat (berbentuk bilangan) dengansumbu mendatar menunjukkan waktu dan sumbu tegaknmenunjukkan data pengamatan.2) Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan datapengamatan pada waktu t.3) Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titik-titik koordinat tersebut dengan garis lurus.Berikut ini adalah tabel berat badan seorang bayi yang dipantausejak lahir sampai berusia 9 bulan.Usia (bulan) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Berat Badan(kg)3,5 4 5,2 6,4 6,8 7,5 7,5 8 8,8 8,6a. Buatlah diagram garisnya.b. Pada usia berapa bulan berat badannya menurun?c. Pada usia berapa bulan berat badannya tetap?Jawab:a. Langkah ke-1Buatlah sumbu mendatar yang menunjukkan usia anak (dalambulan) dan sumbu tegak yang menunjukkan berat badan anak(dalam kg).Langkah ke-2Gambarlahtitikkoordinatyang menunjukkandatapengamatanpada waktu t bulan.tLangkah ke-3Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titik-titikkoordinat tersebut dengan garis lurus.Dari ketiga langkah tersebut, diperoleh diagram garis daridata tersebut tampak pada Gambar 1.3.b. Dari diagram tersebut dapat dilihat bahwa berat badan bayimenurun pada usai 8 sampai 9 bulan.c. Berat badan bayi tetap pada usia 5 sampai 6 bulan. DarimanaAnda memperoleh hasil ini? Jelaskan.Contoh 1.5Gambar 1.3Berat badan bayi sejak usia0 bulan–9 bulanSumber: Dokumentasi PenerbitKeadaan gizi bayi dapat dipantaudari kartu KMS.Gambar 1.4Usia (Bulan)BeratBB t (k )(kg)(k )g1 2 3 4 5 6 7 8 9012345678910
  • 20. 14 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamContoh 1.6Tabel berikut menunjukkan banyaknya siswa di suatu kabupatenmenurut tingkat sekolah pada tahun 2007.Tingkat Pendidikan Banyaknya SiswaSDSMPSMA175600225Observasi: Interpolasi dan Ekstrapolasi DataAndadapatmelakukanobservasiterhadapkecenderungandata yang disajikan pada suatu diagram garis. Dari observasiini, Anda dapat membuat perkiraan-perkiraan dengan carainterpolasi dan ekstrapolasi. Hal ini ditempuh dengan meng-ganti garis patah pada diagram garis menjadi garis lurus.Interpolasidataadalahmenaksirdataataumemperkirakandata di antara dua keadaan (misalnya waktu) yang berurutan.Misalkan, dari gambar grafik Contoh 1.7 dapat diperkirakanberat badan bayi pada usia 5,5 bulan. CobaAnda amati grafiktersebut, kemudian tentukan berat badan bayi pada usia 5,5bulan.Ekstrapolasi data adalah menaksir atau memperkirakandata untuk keadaan (waktu) mendatang. Cara yang dapatdilakukan untuk ekstrapolasi adalah dengan memperpanjangruas garis terujung ke arah kanan. Misalkan, dari gambargrafik Contoh 1.7 dapat diperkirakan berat badan bayi padausia 10 bulan. Jika garis lurus sudah ditentukan, Anda dapatmenentukan interpolasi data. Untuk ekstrapolasi data, Andaharus berhati-hati. Menurut diagram garis, berapa kira-kiraberat badan bayi pada usia 10 bulan? Berikan alasan Anda.c. Diagram LingkaranUntuk mengetahui perbandingan suatu data terhadapkeseluruhan, suatu data lebih tepat disajikan dalam bentukdiagram lingkaran. Diagram lingkaran adalah bentukpenyajian data statistika dalam bentuk lingkaran yang dibagimenjadi beberapa juring lingkaran.Langkah-langkah untuk membuat diagram lingkaranadalah sebagai berikut.1. Buatlah sebuah lingkaran pada kertas.2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi beberapa juringlingkaran untuk menggambarkan kategori yang datanyatelah diubah ke dalam derajat.Agar lebih jelasnya, pelajarilah contoh berikut.Tugas1. Bersama tiga orangteman, catatlah nilaitukar dolar terhadaprupiah selama seminggu.Kemudian, buatlahdiagram garis sertaanalisisnya. Dari diagramgaris tersebut, dapatkahAnda memprediksinilai tukar untuk hariberikutnya? Hasilnyalaporkan dan bacakan didepan kelas.2. Buatlah kelompok yangterdiri atas 5 orang. Cariinformasi ke posyanduatau dokter spesialis anak,bagaimana cara membacaKMS (kartu menujusehat). KMS dijadikanacuan untuk memantauapakah gizi seorangbalita baik atau tidak.Kamu pun dapat mencariinformasi tersebut di bukuatau majalah. Tulis dankumpulkan. Beberapaperwakilan kelompokmembacakan hasilnya didepan kelas.
  • 21. 15Statistikaa. Buatlah diagram lingkaran untuk data tersebut.b. Berapa persen siswa yang menyelesaikan sekolah sampai padatingkat SMP?c. Berapa persen siswa yang menyelesaikan sekolah sampai padatingkat SMA?Jawab:a. Jumlah seluruh siswa adalah 1.000 orang. Seluruh siswadiklasifikasikan menjadi 5 katagori: SD = 175 orang,SMP = 600 orang, dan SMA = 225 orang.• Siswa SD =1751 000.× 100% = 17,5%Besar sudut sektor lingkaran = 17,5% × 360° = 63°• Siswa SMP =6001 000.× 100% = 60%Besar sudut sektor lingkaran = 60% × 360° = 216°• Siswa SMA =2251 000.× 100% = 22,5%Besar sudut sektor lingkaran = 22,5% × 360° = 81°Diagram lingkaran ditunjukkan pada Gambar 1.5.b. Persentase siswa yang menyelesaikan sekolah sampai padatingkat SMP adalah 60%.c. Persentase siswa yang menyelesaikan sekolah sampai padatingkat SMA adalah 22,5%.SMA22,5%SD17,5%SMP60%Gambar 1.53. Tabel Distribusi Frekuensi, FrekuensiRelatif dan Kumulatif, Histogram,Poligon Frekuensi, dan Ogivea. Tabel Distribusi FrekuensiData yang berukuran besar (n > 30) lebih tepat disajikandalam tabel distribusi frekuensi, yaitu cara penyajian datayang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu.Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensiadalah sebagai berikut.• Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K) denganKKrumus "Sturgess" yaitu: K = 1 + 3,3 logK n dengan n adalahbanyak data.Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasilpembulatan.• Langkahke-3menentukanpanjanginterval kelas(I(( ) denganIImenggunakan rumus:I =JKMenentukan banyak kelasinterval dengan aturanSturges dimaksudkanagar interval tidak terlalubesar sebab hasilnyaakan menyimpang darikeadaan sesungguhnya.Sebaiknya, jika intervalterlalu kecil, hasilnya tidakmenggambarkan keadaanyang diharapkan.Ingatlah
  • 22. 16 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamInterval Kelas Turus Frekuensi16–25 526–35 336–45 946–55 1056–65 666–75 235Tabel 1.6Interval Kelas Turus Frekuensi15–24 325–34 535–44 945–54 855–64 865–74 235Tabel 1.7Seorang peneliti mengadakan penelitian tentang berat badan dari35 orang.Data hasil penelitian itu (dalam kg) diberikan berikut ini:48 32 46 27 43 46 25 41 40 58 16 3621 42 47 55 60 58 46 44 63 66 28 5650 21 56 55 25 74 43 37 51 53 39Sajikan data tersebut ke dalam tabel distribusi frekuensi.Jawab:1. Jangkauan (J(( )JJ = Xm- Xn= 74 – 16 = 58.2. Banyak kelas (K)KK = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 35 = 6,095.Banyak kelas dibulatkan menjadi "6".3. Panjang interval kelas (I) adalahII IJK5869 67, .Panjang interval kelas dibulatkan menjadi "10". Denganpanjangintervalkelas=10danbanyakkelas=6,diperolehtabeldistribusi frekuensi seperti pada Tabel 1.6 atau Tabel 1.7Cara I: Batas bawah kelas pertama diambil datum terkecil.Amati Tabel 1.6. Dari tabel tersebut tampak bahwa frekuensipaling banyak dalam interval 46–55. Artinya, berat badankebanyakan berkisar antara 46 kg dan 55 kg.Cara II: Batas atas kelas terakhir diambil datum terbesar.Amati Tabel 1.7.Dari tabel tampak frekuensi paling sedikit dalam interval65–74. Artinya, berat badan antara 65 kg dan 74 kg ada 2orang. Perhatikan interval kelas yang pertama, yaitu 15–24.15 disebut batas bawah dan 24 disebut batas atas. Ukuran 15–24adalah hasil pembulatan, ukuran yang sebenarnya terletak pada14,5–24,5. 14,5 disebut tepi bawah kelas (batas bawah nyata)dan 24,5 disebut tepi atas kelas (batas atas nyata) pada intervalkelas 15–24.Dalam menentukan tepi bawah kelas dan tepi atas kelaspada setiap interval kelas, harus diketahui satuan yang dipakai.Dengan demikian, untuk tepi bawah kelas adalah batas bawahkelas dikurangi12satuan ukuran. Jadi, tepi kelas dari intervalkelas 15–24 menjadi 14,5–24,5.Contoh 1.7• Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecilharus merupakan batas bawah interval kelas pertama ataudata terbesar adalah batas atas interval kelas terakhir.• Langkah ke-5 memasukkan data ke dalam kelas-kelasyang sesuai dan menentukan nilai frekuensi setiap kelasdengan sistem turus.• Menuliskan turus-turus dalam bilangan yang bersesuaiandengan banyak turus.
  • 23. 17Statistikab. Frekuensi Relatif dan KumulatifFrekuensi yang dimiliki setiap kelas pada tabel distribusifrekuensi bersifat mutlak. Adapun frekuensi relatif darisuatu data adalah dengan membandingkan frekuensi padainterval kelas itu dengan banyak data dinyatakan dalampersen. Contoh: interval frekuensi kelas adalah 20. Totaldata seluruh interval kelas = 80 maka frekuensi relatif kelasini adalah208014, sedangkan frekuensi relatifnya adalah14× 100% = 25%.Dari uraian tersebut, dapatkahAnda menyatakan rumusfrekuensi relatif? Cobalah nyatakan rumus frekuensi relatifdengan kata-kata Anda sendiri.Frekuensi relatif dirumuskan sebagai berikut.Frekuensi relatif kelas ke-k =frekuensi kelas kebanyak datattkelas -kFrekuensi kumulatif kelas ke-k adalah jumlah frekuensikpada kelas yang dimaksud dengan frekuensi kelas-kelassebelumnya.Ada dua macam frekuensi kumulatif, yaitu1) frekuensi kumulatif "kurang dari" ("kurang dari" diambilterhadap tepi atas kelas);2) frekuensi kumulatif "lebih dari" ("lebih dari" diambilterhadap tepi bawah kelas).Tepi atas = batas atas +12satuan pengukuranTepi bawah = batas bawah –12satuan pengukuranDari Tabel 1.6 untuk interval kelas 46 – 55 (kelas 4), hitunglaha. frekuensi relatif;b. frekuensi kumulatif "kurang dari";c. frekuensi kumulatif "lebih dari".Jawab:a. Frekuensi relatif kelas ke-4=frekuensi kelas ke-4banyak datum1001035% 11010011 57% ,28 %b. Frekuensi kumulatif "kurang dari" untuk interval kelas 46 – 55= 5 + 3 + 9 + 10 = 27 (kurang dari tepi atas kelas 55,5)c. Frekuensi kumulatif "lebih dari" untuk interval kelas 46 – 55= 10 + 6 + 2 = 18 (lebih dari tepi bawah kelas 45,5).Contoh 1.8Kata histogram berasal daribahasa Yunani, yaitu histoyang berarti kertas dan gramyang berarti menulis ataumenggambar.The root of “histogram” is from“the Greek, histo which meanstissue, gram which means writeor draw.Sumber:www.DrMath.comInformasiuntuk AndaInformationsfor You
  • 24. 18 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamKelas Interval Frekuensi21–30 231–40 341–50 1151–60 2061–70 3371–80 2481–90 7100Tabel 1.8 Tabel distribusi frekuensi hasil ujian matematika Kelas XI SMACendekia di Kalimantan Barat diberikan pada Tabel 1.8. Buatlahhistogram dan poligon frekuensinya.Jawab:Contoh 1.9Dari histogram tersebut tampak bahwa kebanyakan siswamemperoleh nilai antara 60,5 dan 70,5. Coba Anda ceritakan hallain dari histogram tersebut.c. Histogram dan Poligon FrekuensiHistogram merupakan diagram frekuensi bertangga yangbentuknya seperti diagram batang. Batang yang berdekatanharus berimpit. Untuk pembuatan histogram, pada setiapinterval kelas diperlukan tepi-tepi kelas. Tepi-tepi kelas inidigunakan unntuk menentukan titik tengah kelas yang dapatditulis sebagai berikut.Titik tengah kelas =12(tepi atas kelas + tepi bawah kelas)Poligon frekuensi dapat dibuat dengan menghubungkantitik-titik tengah setiap puncak persegipanjang dari histogramsecara berurutan.Agar poligon "tertutup" maka sebelum kelaspaling bawah dan setelah kelas paling atas, masing-masingditambah satu kelas.PoligonFrekuensi10,5 20,5 30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,510Jumlah SiswaHasil Ujian30200Histogram
  • 25. 19Statistikad. Ogive (Ogif)Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurangdari atau frekuensi kumulatif lebih dari dinamakan poligonkumulatif.ffUntuk populasi yang besar, poligon mempunyai banyakruas garis patah yang menyerupai kurva sehingga poligon fre-kuensi kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogif.ffAda dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.ffa. Ogif dari frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogifpositif.ffb. Ogif dari frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogifnegatif.ffTabel 1.9 dan 1.10 berturut-turut adalah tabel distribusi frekuensikumulatif "kurang dari" dan "lebih dari" tentang nilai ulanganBiologi Kelas XI SMA 3.a. Buatlah ogif positif dan ogif negatif dari tabel tersebut.b. Berapakah jumlah siswa yang mempunyai nilai Biologi kurangdari 85?c. Berapakah jumlah siswa yang mempunyai berat badan lebihdari 40?Jawab:a. Ogif positif dan ogif negatif dari tabel tersebut tampak padagambar 1.6.b. Dari kurva ogif positif, tampak siswa yang mempunyai nilaikurang dari 85 adalah sebanyak 93 orang.c. Dari kurva ogif negatif, tampak siswa yang mempunyai nilailebih dari 40 adalah sebanyak 96 orang.Contoh 1.10Nilai Frekuensi< 20,5 0< 30,5 2< 40,5 5< 50,5 16< 60,5 36< 70,5 69< 80,5 93< 90,5 100Tabel 1.9Nilai Frekuensi> 20,5 100> 30,5 98> 40,5 95> 50,5 84> 60,5 64> 70,5 31> 80,5 7> 90,5 0Tabel 1.101010 20 30 4045 8550 60 70 80 90 1002030405060708090100Jumlah siswaLebih dari(ogif negatif)Kurang dari(ogif positif)NilaiujianGambar 1.6
  • 26. 20 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTes Kompetensi Subbab B1. Buatlah daftar distribusi frekuensi daridata berikut.79, 15, 90, 84, 48, 84, 76, 89, 78, 60, 43,74, 62, 88, 72, 64, 54, 83, 71, 41, 67, 81,98, 80, 25, 78, 75, 64, 10, 52, 76, 55, 85,92, 65, 41, 95, 81, 77, 80, 23, 60, 79, 32,57, 74, 52, 70, 82, 36.2. Misalkan, berat badan seorang bayi yangdipantausejaklahirsampaiberusia9bulan,menunjukkan data sebagai berikut.Umur(Bulan)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Berat(kg)3,2 3,8 4,2 4,0 4,6 4,6 5,8 5,6 7,1 8,2a. Buatlah diagram garis.b. Pada usia berapa bulankah beratbadannya menurun?c. Pada usia berapa bulankah beratbadannya tetap?3. Data berikut adalah data tinggi badan dari40 siswa SMA HEBAT, diukur sampaisentimeter terdekat.168 165 176 159 163 175 158 170 170 155156 169 170 160 160 164 153 154 150 158147 151 150 167 168 160 150 148 161 174176 163 149 166 175 158 166 164 167 159Kerjakanlah pada buku latihan Anda.a. Buatlah tabel distribusi frekuensinya.b. Buatlah histogram poligonnya.4. Data berikut adalah berat badan dari 16anak (dalam kg).36 30 28 33 42 32 37 3532 34 41 32 30 40 32 42Buatlah diagram batang dari data tersebut.Tentukan pula kecenderungan penyebarandata.5. Diagram berikut menunjukan data pro-duksi padi di setiap desa di kecamatanSukajayaDesa A151,2˚Desa B90˚Desa C36˚Desa D72˚Desa Ea. Tentukan persentase produksi padiyang dihasilkan desa E.b. Jika produksi padi yang dihasilkankecamatanSukajaya180ton,tentukanproduksi padi pada setiap desa.C. Penyajian Data Ukuran menjadiData Statistik Deskriptif1. Rataan Hitung (Mean)Masih ingatkah Anda cara menghitung rataan hitung?Misalnya, seorang guru mencatat hasil ulangan 10 orangsiswanya, sebagai berikut.6 5 5 7 7,5 8 6,5 5,5 6 9Dari data tersebut, ia dapat menentukan nilai rataanhitung, yaitu6 5 5 7 7 5 8 6 5 5 5 6 9106 555 55 7 5 6 5 66, ,85 6 ,,Jadi, nilai rataan hitungnya adalah 6,55.
  • 27. 21StatistikaSecara umum, apabila nilai data kuantitatif tidak di-kelompokkan dan dinyatakan oleh x1, x2, …, xn(terdapat nbuah datum), nilai rataan hitung (mean) x ditentukan olehrumus berikut.xx xn1 2 n...x2x atau xxniin=1Perhitungan nilai rataan hitung akan menjadi lain jikaguru tersebut mencatat hasil ulangan 40 orang siswanyasebagai berikut:3 orang mendapat nilai 44 orang mendapat nilai 56 orang mendapat nilai 5,58 orang mendapat nilai 67 orang mendapat nilai 710 orang mendapat nilai 82 orang mendapat nilai 9Nilai rataan hitung siswa dapat dicari sebagai berikut:3 4 6 8 7 10 2402604 5 5 5 6 7 8 940446 5,Jadi, nilai rataan hitungnya adalah 6,5.Secara umum, apabila nilai-nilai data kuantitatifdinyatakan dengan x1, x2, …, xn(terdapat n buah datum)dengan setiap nilai datum mempunyai frekuensi f1ff , f2ff , …, fnffmaka rataan hitung ( x ) ditentukan oleh rumus berikut.xx f + x f + ...+ x ff + f + f + ...fn nffnff= 1 1ff 2 2ff1 2f +f ff 3ffatau xx ffi iffi=niffi=n= 11x = rataan hitung dari suatusampelIngatlah1. Seorangpenelitimencatatbanyakbayiyanglahirselamasetahundi 20 kecamatan. Hasil pencatatannya disajikan berikut.136 140 220193 130 158 242 127 184 213200 131 111 160 217 281 242 242 281 192a. Hitunglah rataan hitung (mean) data tersebut.b. Tentukan jangkauan datanya.c. Tentukanlah jangkauan antarkuartil.2. Nilai rataan hitung (rata-rata) ujian matematika dari 38 orangsiswa adalah 51. Jika nilai dari seorang siswa lain yang bernamaRahman digabungkan dengan kelompok itu maka nilai rataanhitung ujian matematika dari 39 orang siswa sekarang menjadi52. Tentukanlah nilai yang diperoleh Rahman.Contoh 1.11
  • 28. 22 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamSumber: www.upload.wikimedia.orgGambar 1.8Untuk data yang banyak, Andadapat menggunakan kalkulatorilmiah untuk menghitung meandata.Jawab:1. a. Untuk menyelesaikan soal ini, dapat digunakan duacara, yaitu tanpa menggunakan kalkulator dan denganmenggunakan kalkulator.• Tanpa kalkulator (dengan rumus):x136 140 192203 80020190... ..• Dengankalkulator(fx(( –3600xx Pv),tahapanperhitungansebagai berikut:1) kalkulator "ON"2) MODE 3 x program SD3) masukkan data136 data140 data………192 data4) tekan tombol xx = 190Untuk kalkulator jenis lainnya, coba Anda cari informasicara menghitung mean dengan kalkulator tersebut.b. Jangkauan datanya adalah: J = xn– x1= 281 – 111 = 170.c. Setelah data diurutkan, diperoleh Q1= 138 dan Q3= 231.Jangkauan antarkuartil adalah JK=KK Q3– Q1= 93.2. Diketahui:Nilai rataan hitung 38 siswa adalah 51. Nilai rataan hitung 39siswa adalah 52.Ditanyakan:Nilai ujian matematika yang diperoleh Rahman.Pengerjaan:Misalkan,xixx = nilaiiujian matematika dari siswa ke-i dengani i = 1, 2, ..., 38ix39= nilai ujian matematika yang diperoleh RahmanDengan menggunakan rumus rataan hitung, berlaku:x x1 2 383851x2x ....... (1)x x1 2 393952x2x ....... (2)Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh5139523938 xx39= 52(39) – 51(38) = 90Jadi, nilai ujian matematika yang diperoleh Rahman adalah 90.embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeeePePePePePePePePePePeP SoalJika 30 siswa kelas XI A1mem-punyai nilai rata-rata 6,5; 25siswa kelas XI A2mempunyainilai rata-rata 7; dan 20 siswakelas XI A3mempunyai nilairata-rata 8, tentukan rata-ratanilai tujuh puluh lima siswakelas XI tersebut.Jawab:xn x n xn nn xn1 1x 2 2x 3 3x1 2n 3=30 6 5 25 7 20 8756 5 7,=53075= 7,067 7,07Soal UMPTN 1997
  • 29. 23Statistika2. MenghitungRataanHitungdenganMenggunakanRataanHitungSementaraSelain menggunakan rumusdiSubbab C.1, rataan hitungdapat pula ditentukan dengan menggunakan rataan hitungsementara (xs). Untuk kumpulan data berukuran besar,biasanya rataan hitung ditentukan dengan menggunakanrataan hitung sementara sebab apabila dihitung dengan rumusdi Subbab C.1, perhitungannya akan rumit.Langkah pertama dalam menentukan rataan hitungdengan menggunakan rataan hitung sementara adalah me-nentukan rataan sementara dari nilai tengah salah satu kelasinterval. Kemudian, semua nilai tengah pada setiap kelasinterval dikurangi rataan hitung sementara tersebut.Setiap hasil pengurangan tersebut disebut simpanganterhadap rataan hitung sementara itu (di). Adapun rumus untukmencari rataan hitung sementara adalah sebagai berikut.x = xf dfsi if dfiff+Dalam hal ini fiff = frekuensi kelas ke-ixs = rataan hitung sementaradi= simpangan dari titik tengah kelas ke-idengan rataan hitung sementara.Contoh 1.12Tabel 1.11 menunjukkan hasil ulangan Fisika dari 71 siswa KelasXI SMAMerdeka.Tentukanlah rataan hitung dengan menggunakanrataan hitung sementara.Jawab:Lengkapilah Tabel 1.11 dengan langkah-langkah sebagaiberikut.1. Tentukan nilai tengah dari setiap kelas seperti berikut.batas bawah kelas + batas atas kelas22. Pilih nilai tengah dari suatu kelas sebagai rataan sementara.Misalnya, kita pilih rataan sementara adalah nilai tengah ke-6.Jadi, xs65 69267 .3. Untuk setiap kelas, tentukan simpangan nilai tengahnyaterhadap xs , yaitu di= xi– xs .FrekuensiInterval Kelas40 – 4445 – 4950 – 5455 – 5960 – 6465 – 6970 – 7475 – 7980 – 8485 – 8990 – 9434681011156422Tabel 1.11embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeePePePePePePePePePePP SoalPerhatikan data berikut.nilai ujian 3 4 5 6 7 8 9frekuensi 3 5 12 17 14 6 3Seorang siswa dinyatakanlulus jika nilai ujiannya lebihtinggi dari nilai rata-ratadikurangi 1. Dari data di atas,yang lulus adalahJawab:xf xfi if xfikiffik11=9 20 60 102 98 48 276020 102 48= 6,07Siswa dinyatakan lulus jikanilainya lebih dari6,07 – 1 = 5,07.Jadi, jumlah yang lulus adalah= 17 + 14 + 6 + 3 = 40 orang.Soal Sipenmaru 1985
  • 30. 24 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamHasilnya tampak pada tabel berikut.KelasIntervalfiffNilaiTengah (x(( i)dififf di40–44 3 42 –25 –7545–49 4 47 –20 –8050–54 6 52 –15 –9055–59 8 57 –10 –8060–64 10 62 –5 –5065–69 11 67 0 070–74 15 72 5 7575–79 6 77 10 6080–84 4 82 15 6085–89 2 87 20 4090–94 2 92 25 50∑f∑ = 71f ∑ fiff di= –904. Tentukan hasil kali fiff didan f di if df .5. Hitung x dengan rumus x xf dfsi if df diffxf dfsi if df diffxs 67907165 73,3. Modus, Median, Kuartil, dan Desila. Modus (Mo)Seorang guru ingin mengetahui nilai manakah yangpaling banyak diperoleh siswanya dari data hasil ulanganmatematika. Tentunya, ia akan menentukan datumyang palingsering muncul. Misalnya, data hasil ulangan 10 orang siswasebagai berikut7 4 6 5 7 8 5,5 7 6 7Data yang paling sering muncul disebut modus. Modusdari data itu adalah 7 sebab nilai yang paling sering munculadalah 7. Modus mungkin tidak ada atau jika ada modustidak tunggal (lihat Contoh 1.16).Jika data yang diperoleh berukuran besar, data perludikelompokkan agar penentuan modus mudah dilakukan.Modus dari data yang dikelompokkan dapat dicari denganmenggunakan rumus berikut.Mo = L idd + d+ 1d1 2d + d
  • 31. 25Statistikadengan L = batas bawah nyata (tepi bawah) dari kelasmodusd1= selisih antara frekuensi dari kelas yangmengandung modus dan frekuensi dari kelasyang mendahuluinya (sebelumnya).d2dd = selisih antara frekuensi dari kelas yangmengandung modus dan frekuensi dari kelasberikutnyai = interval kelas/panjang kelas.Telah Anda ketahui modus adalah datum yang palingsering muncul. Prinsip ini digunakan untuk menentukan kelasmodus pada data yang dikelompokkan. Kelas modus adalahkelas yang frekuensinya paling banyak.1. Tentukan modus dari data berikut ini.a. 45, 50, 50, 64, 69, 70, 70, 70, 75, 80b. 50, 65, 65, 66, 68, 73, 73, 90c. 35, 42, 48, 50, 52, 55, 602. Tabel 1.2 menunjukkan hasil ulangan matematika dari 71siswa Kelas XI SMA Bhinneka. Tentukan modus dari datatersebut.Jawab:1. a. Oleh karena nilai 70 muncul paling banyak (yaitu tigakali muncul), modusnya adalah 70.b. Oleh karena nilai 65 dan 73 muncul paling banyak (yaitudua kali muncul), modusnya adalah 65 dan 73 (tidaktunggal).c. Data 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60 tidak mempunyai modus(mengapa?).2. Oleh karena kelas ke-7 mempunyai frekuensi terbesar(frekuensinya 15) maka kelas ke-7 merupakan kelas modus.i = 44,5 – 39,5 = 5L = Batas bawah nyata kelas ke-7 = 69,5 (tepi bawah kelas)d1= 15 – 11 = 4d2= 15 – 6 = 9Jadi, Mo L idd d11 2= 69,5 + (5)44 9= 69,5 + 1,54 = 71,04Cobalah tentukan nilai modus tersebut dengan menggunakankalkulator. Apakah hasilnya sama?Contoh 1.13FrekuensiInterval Kelas40 – 4445 – 4950 – 5455 – 5960 – 6465 – 6970 – 7475 – 7980 – 8485 – 8990 – 9422681011156443Tabel 1.12
  • 32. 26 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alamb. Median dan KuartilDari data kuantitatif yang tidak dikelompokkan dandinyatakan oleh x1, x2, …, xn, (dengan x1< x2< … < xn)untuk n yang berukuran besar (yang dimaksud n berukuranbesar yaitu n ≥ 30) maka nilai ketiga kuartil, yaitu Q1(kuartilbawah), Q2(median), dan Q3(kuartil atas) ditentukan denganrumus berikut.• Q = x1 1Q = x4n+1• Q = x3 3= x4n+1• Q = x2 1= x2n+1Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari databerikut.67 86 77 92 75 7063 79 89 72 83 7475 103 81 95 72 6366 78 88 87 85 6772 96 78 93 82 71Jawab:Urutkan data dari kecil ke besar hasilnya sebagai berikut.No. Urut Data (xi) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Nilai Data 63 63 66 67 67 70 71 72 72 72No. Urut Data (xi) 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Nilai Data 74 75 75 77 78 78 79 81 82 83No. Urut Data (xi) 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30Nilai Data 85 86 87 88 89 92 93 95 96 103• Kuartil bawah (Q1) = x x xn1411430 1 734= x x x7 8 734= 713472 71 7134• Median (Q2)= x x x x x xn1211230 1 151215 24 1512= 781278 78 78• Kuartil atas (Q3) = x x x x x xn3413430 1 231423 24 2314= 871488 87 8714Contoh 1.14
  • 33. 27StatistikaUntuk data yang dikelompokkan, nilai median (Me) dankuartil (Q) ditentukan dengan rumus sebagai berikut.• Q L in Ff1 1L1FF1ff14L1L• Q L in Ff2 2L2FF2ff12L2L• Q L in Ff3 3L3FF3ff34L3Ldengan: Li= batas bawah nyata dari kelas QiFi= jumlah frekuensi kelas-kelas sebelum kelaskuartil ke-ififf = frekuensi kelas kuartil ke-in = banyak datai = panjang kelas/interval kelas1. Q2= median2. i padai FiF danififf adalahisebagai indeks.i yang berdiri sendiriiadalah sebagai panjangkelas.IngatlahTentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data padaTabel.1.12.Jawab:Q1= x x x141418n 1 71 1x1 .Jadi, kelas Q1ada di kelas ke-4 (kelas 55 – 59)Q2= x x x121236n 1 71 1x1 .Jadi, kelas Q2ada di kelas ke-6 (kelas 65 – 69)Contoh 1.1540 – 44 2 245 – 49 2 450 – 54 6 1055 – 59 8 1860 – 64 10 2865 – 6965 69 1111 393970 – 7470 74 1515 545475 – 79 6 6080 – 84 4 6485 – 89 4 6890 – 94 3 71Kelas Interval Frekuensi Frekuensi KumulatifQ1Q2Q3Interval Kelas40 – 4445 – 4950 – 5455 – 5960 – 6465 – 6970 – 7475 – 7980 – 8485 – 8990 – 9422681011156443FrekuensiTabel 1.12
  • 34. 28 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamQ3= x x x343454n 1 71 1x3 .Jadi, kelas Q3ada di kelas ke-7 (kelas 70 – 74)Dengan demikian, Q1, Q2, Q3dapat ditentukan sebagai berikut.Q L in Ff1 1L1FF1ff14 54 5L1L , 5148= 54 55859 34,58,7 75,7Q L in Ff2 2L2FF2ff12 64 5L2L , 51211= 64 57 511,,5 = 64,5 + 3,4 = 67,9Q L in Ff3 3L3FF3ff34 69 5L3L , 53415= 69 514 2515,,5 = 69,5 + 4,75 = 74,25c. DesilUntuk data sebanyak n dengan n ≥ 10, Anda dapatmembagi data tersebut menjadi 10 kelompok yang memuatdata sama banyak. Ukuran statistik yang membagi data(setelah diurutkan dari terkecil) menjadi 10 kelompok samabanyak disebut desil. Sebelum data dibagi oleh desil, dataharus diurutkan dari yang terkecil.Oleh karena data dibagi menjadi 10 kelompok samabanyak maka didapat 9 desil. Amati pembagian berikut.xminD1D2D3D4D5D6D7D8D9xmakTerdapat 9 buah desil, yaitu desil pertama(D1), desilkedua (D2), ..., desil kesembilan (D9).Letak desil ditentukan dengan rumus berikut.Letak (D(( i) = data ke-i10n + 1atau Di=xi10n+1Dalam hal ini i = 1, 2, 3, ..., 9 dan n = banyak data.TugasCoba bersama kelompokbelajar Anda selidiki,mengapa untuk menentukandesil, banyak data (n) haruslebih besar dari atau samadengan 10 (n ≥ 10). Tuliskanhasil penyelidikan, kemudiankumpulkan kepada guruAnda.
  • 35. 29StatistikaTentukan desil ke-1 dan desil ke-5 dari data berikut.47, 33, 41, 37, 46, 43, 39, 36, 35, 42, 40, 39, 45Jawab:Data setelah diurutkan menjadi 33, 35, 36, 37, 39, 39, 40, 41, 42,43, 45, 46, 47.Banyak data adalah n = 13.D1= data ke-1 13 110= data ke–1, 4= x1+ 0,4(x2– x1)= 33 + 0,4 (35–33)= 33 + 0,8 = 33,8.D5= data ke-5 13 110= data ke–7= x7= 40.Jadi, desil ke -1 adalah 33,8 dan desil ke-5 adalah 40.Contoh 1.161 + 1 + 5 + 7 dapat dilihatpada kolom frekuensikumulatif (kelas 45 – 49)IngatlahUntuk data yang disusun dalam daftar distribusifrekuensi, nilai desil ditentukan sebagai berikut.Di= (itbt )Di+i n10Ffp1FF1ffDalam hal ini i = 1, 2, 3, ..., 9(tbt )Di= tepi bawah kelas DiFi= frekuensi kumulatif sebelum kelas Dififf = frekuensi kelas Dip = panjang kelasTentukan nilai desil ketiga dari data pada Tabel 1.13.Jawab:Diketahui i = 3 makai n103 401012.Desil ketiga (D3) terletak di kelas: 51–60 (karena kelas 51–60memuat data ke-9, 10, 11, 12, 13).D3= 50,5 +12 85.10 = 50,5 + 8 = 58, 5.Contoh 1.17Nilai fiffFrekuensiKumulatif31–4041–5051–6061–7071–8081–9091–1005356984581319283640Tabel 1.13
  • 36. 30 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamHitung simpangan rata-rata dari data kuantitatif berikut:12, 3, 11, 3, 4, 7, 5, 11Jawab:xnxnx1 18(12 + 3 + 11 + 3 + 4 + 7 + 5 + 11) = 7SRS12 7 3 7 11 7 3 7 4 7 7 7 5 7 11 785 4 4 4 3 0 2 483 25,Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 3,25.Coba Anda tentukan simpangan rata-rata tersebut denganmenggunakan kalkulator. Apakah hasilnya sama?Contoh 1.184. Simpangan Rata-Rata, Ragam,dan Simpangan Bakua. Simpangan Rata-RataSekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkandinyatakan oleh x1, x2, …, xn. Dari data tersebut dapatditentukan simpangan rata-rata (SRS ) dengan menggunakanrumus:S =nx xiRS = xi=n11Simpangan rataan hitungmenunjukkan rataan hitungjauhnya datum dari rataanhitung.IngatlahUntuk sekumpulan data yang dinyatakan oleh x1, x2, …,xndan masing-masing nilai data tersebut mempunyai frekuensif1ff , f2ff , …, fnff diperoleh nilai simpangan rata-rata (SRS ) denganmenggunakan rumus:S =f x xfRSi if xfi=niff1Contoh 1.19Hitunglah simpangan rata-rata nilai ulangan Fisika dari siswa KelasXI SMA Merdeka seperti Tabel 1.11 Contoh 1.11.Jawab:Dari Contoh 1.15, diperoleh x = 65,7 (dibulatkan).Carl Friedrich Gauss(1777–1855)Seorang ahli matematikaJerman, Carl Friedrich Gauss,mempelajari penyebarandari berbagai macam data. Iamenemukan istilah“Standardeviasi”untuk menjelaskanpenyebaran yang terjadi.Para ilmuwan sekarang,menggunakan standar deviasiuntuk mengestimasi akurasipengukuran data.Sumber: Ensiklopedi Matematika, 2002TokohMatematika
  • 37. 31StatistikaKelasIntervalNilaiTengah(xi)fiff x xi fiff x xi40 – 44 42 3 23,7 71,145 – 49 47 4 18,7 74,850 – 54 52 6 13,7 82,255 – 59 57 8 8,7 69,660 – 64 62 10 3,7 3765 – 69 67 11 1,3 14,370 – 74 72 15 6,3 94,575 – 79 77 6 11,3 67,880 – 84 82 4 16,3 65,285 – 89 87 2 21,3 42,690 – 94 92 2 26,3 52,6fiff 71 fiff x xi x 671 7,Jadi, simpangan rata-rata (SRS ) =671 771,= 9,46.Untuk menghitungsimpangan baku dari datakuantitatif: 2, 5, 7, 4, 3, 11, 3dengan kalkulator ilmiah(fx–3600xx Pv) adalah sebagaivberikut.1) Kalkulator“ON”2) MODE 3 Program SD3) Masukkan data2 data5 data………3 data4) Tekan tombol x n 1.= 2,878491669 = 2,88Coba Anda hitung simpanganbaku untuk Contoh Soal 1.26dengan kalkulator. Apakahhasilnya sama?IngatlahContoh 1.20Dari 40 orang siswa diambil sampel 9 orang untuk diukur tinggibadannya, diperoleh data berikut:165, 170, 169, 168, 156, 160, 175, 162, 169.Hitunglah simpangan baku sampel dari data tersebut.Jawab:x = 166Sninx xi21b. Simpangan BakuDiketahui sekumpulan data kuantitatif yang tidak di-kelompokkan dan dinyatakan oleh x1, x2, …, xn. Dari datatersebut, dapat diperoleh nilai simpangan baku (S) yangditentukan oleh rumus berikut.S =ni=nx xi211 nin21untuk sampel untuk populasidan
  • 38. 32 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamSekumpulan data kuantitatif yang dikelompokkan,dapat dinyatakan oleh x1, x2, …, xndan masing-masing datamempunyai frekuensi f1ff , f2ff , …, fnff . Simpangan baku (S) daridata tersebut diperoleh dengan menggunakan rumusuntuk sampel untuk populasidanS =fniff2i=nx xix11=fniff2i=1nxixPada Contoh 1.20, denganx = 166.1. Hitunglahix xi219.2. Hitunglahixi219.3. Hitunglahixi219.4. Hitunglahixi219.5. Amatilah hasil-hasilperhitungan 1 sampaidengan 4. Buatlahsuatu dugaan umum(kesimpulan).6. Uji kesimpulan Andadengan menghitungixi219.Tantanganuntuk AndaAndaHitunglah simpangan baku dari nilai ulangan Fisika dari 71 siswakelas XI SMA Merdeka sesuai Tabel 1.11.Jawab:Dari hasil perhitungan sebelumnya diperoleh = 65,7.xififf xi xi2fiff xix242 3 –23,7 561,69 1.685,0747 4 –18,7 349,69 1.398,7652 6 –13,7 187,69 1.126,1457 8 – 8,7 75,69 605,5262 10 –3,7 13,69 136,967 11 1,3 1,69 18,5972 15 6,3 39,69 595,3577 6 11,3 127,69 766,1482 4 16,3 265,69 1.062,7687 2 21,3 453,69 907,3892 2 26,3 691,69 1.383,38fiff 60 fiff xix29 685 99. ,685Jadi, simpangan bakunya9 685 997111 68. ,685, .Contoh 1.211 16 9 100 36 81 16 99 1272285 83,Jadi, simpangan bakunya adalah 5,83.
  • 39. 33Statistikac. Variansi (Ragam)Untuk data yang tidak dikelompokkan ataupun datayang dikelompokkan, diperoleh nilai variansi (v) denganmenggunakan rumus:untuk sampel untuk populasidanv = S2 v = 2Hitunglah variansi dari data Contoh 1.26.Jawab:Dari hasil perhitungan Contoh 1.23 diperoleh S = 5,83 makaSv = S2S = (5,83)2= 33,99.Contoh 1.22d. Koefisien Keragaman (KK)Rumus koefisien keragaman (KK) dari sekumpulan datax1, x2, x3, ..., xnadalahKKSx100Dalam hal ini S = simpangan bakux = rataanPak Murtono seorang pengusaha. Bidang usaha yang ia jalaniadalah penerbitan, tekstil, dan angkutan. Dalam 5 bulan terakhir,ia mencatat keuntungan bersih ketiga bidang usahanya. Hasilnyatampak pada Tabel 1.14.Bidang UsahaPenerbitanTekstilAngkutan60 116 100 132 72144 132 108 192 20480 260 280 72 116Keuntungan Bersih (dalam puluhan juta rupiah)Tabel 1.14 Keuntungan Bersih Usaha Pak Murtono Selama 5 Bulan Terakhir.Jika Pak Murtono berpendapat bahwa bidang usaha yang akandipertahankan hanya dua bidang usaha dengan kriteria bidangusaha dengan keuntungan bersih yang stabil, tentukanlah bidangusaha yang sebaiknya tidak dilanjutkan.Jawab:Langkah ke-1Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soaltersebut.Diketahui : • keuntungan bersih selama 5 bulan terakhir yangdisajikan pada Tabel 1.14.Contoh 1.22Situs MatematikaAnda dapat mengetahuiinformasi lain tentangStatistika melalui internetdengan mengunjungi situsberikut.ac.id
  • 40. 34 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam• bidang usaha yang dipertahankan adalah yangmemiliki keuntungan bersih yang stabil.Ditanyakan: bidang usaha yang sebaiknya tidak dilanjutkan.Langkah ke-2Menentukankonsepyangakandigunakandalammenyelesaikansoal.Padasoalini,konsepyangdigunakanadalahrataan,simpanganbaku,dan koefisien keragaman.Langkah ke-3Menghitung rataan, simpangan baku, dan koefisien keragamandari setiap bidang usaha.Bidang usaha penerbitanxxn60 116 100 132 72596Snx xi212 2 2 25 1272 96993584429 93,KKSx29 93960 31,,Bidang usaha tekstilx 156S = 40,69KKSx40 691560 26,,Bidang usaha angkutanx 161 6,S = 100.58KKSx100 58161 60 62,,,Jadi, sebaiknya Pak Murtono tidak melanjutkan usaha angkutankarena keuntungannya tidak stabil (nilai KK paling besar).Hal Penting
  • 41. 35StatistikaTes Kompetensi Subbab CKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Dari data berikut ini, tentukanlaha. modus, median, kuartil bawah, dankuartil atas;b. rataanhitung,simpanganrataanhitung,simpangan baku, dan variansinya.1) 5, 8, 10, 4, 8, 7, 5, 6, 3, 42) 55, 62, 70, 50, 75, 55, 62, 50, 70,55, 75, 80, 48, 623) 165, 155, 160, 156, 168, 174, 180, 160,165, 155, 166, 170, 156, 178, 175, 1724) 203, 235, 224, 207, 205, 215, 230,220, 225, 224, 230, 207, 215, 235,225, 220, 215, 203, 220, 2052. Tabel berikut memperlihatkan data hasilulangan bahasa Indonesia Kelas XI SMAHebat.Interval Kelas40 – 4445 – 4950 – 5455 – 5960 – 6465 – 6970 – 7475 – 7980 – 8485 – 8990 – 94121358261818105FrekuensiTentukanlah rataan hitungnya mengguna-kan rataan hitung sementara.3. Kelas XI A, XI B, dan XI C masing-masing terdiri atas 40 orang, 39 orang,dan 38 orang. Jika nilai rataan hitung ujianBiologi kelas XI A, XI B, XI C masing-masing 50, 65, dan 68, hitunglah nilairataan hitung ujian Biologi dari seluruhsiswa kelas XI itu.4. Nilai rataan hitung ujian Matematikadari sekelompok siswa yang berjumlah42 orang adalah 62,5. Jika siswa darikelompok itu yang bernilai 70 dan 75tidak dimasukkan dalam perhitungan nilairataan hitung, berapa nilai rataan hitungujian matematika yang baru?5. Nilai rataan hitung ujian Fisika Kelas XIAyang terdiri atas 39 orang adalah 60. Jikaseorang siswa mengikuti ujian susulan,berapakah nilai yang harus diperoleh siswaitu agar nilai rataan hitungnya naik 0,25?6. Hitunglah simpangan rataan hitung daridata nilai Bahasa Indonesia kelas XI SMAMegah pada soal nomor 2.7. Hitunglah simpangan baku dan variansidari data tinggi badan siswa Kelas XI SMAMegah pada soal nomor 7.8. Selama dua tahun supermarketAmencatatkeuntungan setiap bulannya (dalam jutaanrupiah) sebagai berikut.43, 35, 57, 60, 51, 45, 60, 43, 48, 55, 57, 45,43, 35, 48, 45, 55, 65, 51, 43, 55, 45, 65, 55Dalam jangka waktu yang sama super-market B mencatat keuntungan setiapbulannya (dalam jutaan rupiah) sebagaiberikut.67, 78, 70, 83, 80, 56, 70, 81, 45, 50, 81, 56,70, 55, 70, 61, 51, 75, 55, 83, 67, 54, 68, 54Jika pada bulan tertentu pengusaha super-marketAmemperoleh keuntungan 75 juta,msedangkan supermarket B memperolehkeuntungan 84 juta, pengusaha mana yangberhasil? Jelaskan.9. Dari 50 orang siswa diambil sampel secaraacak15oranguntukdiukurtinggibadannya,diperoleh data sebagai berikut.157 172 165 148 173 166 165 160155 172 157 162 164 165 170Hitunglah:a. rataan hitung,b. simpangan baku, danc. variansinya.10. Pak Amran dan Pak Kadi masing-masingmemiliki lima ekor kambing. Beratrataan hitung kambing Pak Amran 36 kg,sedangkan berat rataan hitung kambingPak Kadi hanya 34 kg. Seekor kambing
  • 42. 36 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamPak Kadi ditukarkan dengan seekorkambing PakAmran sehingga berat rataanhitung kambing Pak Kadi sama denganberat rataan hitung kambing Pak Amran.Tentukan selisih berat kambing yangditukarkan itu.11. Jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri,apa yang dimaksud modus, mean, median,kuartil, dan desil. Jelaskan pula perbedaandan manfaatnya.RangkumanSetelah Anda mempelajari Bab 1,1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yangmudah,2. bagian manakah yang menurut Anda amat menarik danpenting untuk dipelajari.Refleksi• Rataan dari sekumpulan data adalah jumlah seluruh data dibagioleh banyak data.Rumus rataan sebagai berikut.- Untuk data tunggalxxni=Sxx, dengan xi= data ke-ix = rataann = banyak data- Untuk data yang dikelompokkan xf xfi if xfiff=SffSff,dengan fiff = frekuensi data xi.• Modus adalah datum yang paling sering muncul.Rumusmodussebagaiberikut.UntukdatayangdikelompokkanMo= L +Ldd d11 2dÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯iDalam hal ini,Mo= modusL = tepi bawah dari kelas modus.d1= selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandungmodus dan frekuensi dari kelas sebelumnya.d2dd = selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandungmodus dan frekuensi dari kelas berikutnya.i = interval kelas.Sekarang, lanjutkanlah rangkuman di atas.
  • 43. 37StatistikaTes Kompetensi Bab 1A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.1. Nilai rataan hitung sekelompok siswayang berjumlah 40 orang adalah 51. Jikaseorang siswa dari kelompok itu yangmendapat nilai 90 tidak dimasukkan dalamperhitungan rataan hitung tersebut makanilai rataan hitung ujian akan menjadi ....a. 50 d. 47b. 49 e. 46c. 482. Nilai Bahasa Indonesia dari 10 orangsiswa yang diambil secara acak adalah 3,4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. Pernyataan berikutyang benar adalah ....(1) rataan hitungnya = 6(2) mediannya = 6,5(3) modus = 7(4) jangkauan = 6Pernyataan yang benar adalah ....a. (1), (2), dan (3)b. (1) dan (3)c. (2) dan (4)d. (4)e. Semua benar3. Simpangan rataan hitung data 10, 10, 9,8, 8, 7, 7, 6, 6, 5 adalah ....a. 7,6 d. 2,2b. 6,6 e. 1,4c. 2,84. Simpangan rataan hitung data x1, x2, ... ,x10adalah 2,29. Jika setiap data ditambahsatu maka simpangan rataan hitungnyaadalah ....a. 0,29 d. 2,39b. 1,29 e. 4,58c. 2,295. Tes Matematika diberikan kepada tigakelas siswa berjumlah 100 orang. Nilairataan hitung kelas pertama, kedua, danketiga adalah 7,8, dan 7,5. Jika banyaknyasiswa kelas pertama 25 orang dan kelasketiga 5 orang lebih banyak dari kelaskedua, nilai rataan hitung seluruh siswaadalah ....a. 7,65 d. 7,68b. 7,66 e. 7,69c. 7,676. Nilai rataan hitung pada tes Matematikadari 10 siswa adalah 55 dan jika digabunglagi dengan 5 siswa, nilai rataan hitungmenjadi 53. Nilai rataan hitung dari 5siswa tersebut adalah ....a. 49 d. 50,5b. 49,5 e. 51c. 507. Dari empat bilangan diketahui bilanganyang terkecil adalah 30 dan yang terbesar58. Rataan hitung hitung keempat bilanganitu tidak mungkin ....(1) < 37 (3) > 51(2) < 40 (4) > 48Pernyataan yang benar adalah ....a. (1), (2), dan (3)b. (1) dan (3)c. (2) dan (4)d. (4)e. Semua benar8. Untuk kelompok bilangan2, 3, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11(1) modus lebih dari rataan hitung(2) median kurang dari rataan hitung(3) modus = median(4) modus = rataan hitungPernyataan yang benar adalah ....a. (1), (2), dan (3)b. (1) dan (3)c. (2) dan (4)d. (4)e. Semua benar
  • 44. 38 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam9. Untuk memudahkan perhitungan, semuanilai data pengamatan dikurangi 1300.Nilai-nilai baru menghasilkan jangkauan28, rataan hitung 11,7, simpangan kuartil7,4 dan modus 12. Data aslinya mem-punyai ....(1) rataan hitung = 1311,7(2) jangkauan = 28(3) modus = 1312(4) simpangan kuartil = 657,4Pernyataan yang benar adalah ....a. (1), (2), dan (3)b. (1) dan (3)c. (2) dan (4)d. (4)e. Semua benar10. Tabel berikut memperlihatkan distribusifrekuensi yang salah satu frekuensinyabelum diketahui.Data02345132?1FrekuensiRataan hitung yang mungkin dari data ituadalah ....a. 0 d. 4b. 2 e. 5c. 311. Pernyataan yang benar berdasarkan tabeldistribusi frekuensi berikut adalah ....Data24684322Frekuensia. modus < median < meanb. mean = medianc. modus < mean < mediand. mean < median < moduse. median < modus < mean12. Jika jangkauan data 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4,x sama dengan rataan hitungnya makanilai x adalah ....a. 1 d. 4b. 2 e. 5c. 313. Diketahui data 1, 2, 3, 3, 4, 1, x.Jika mean = median = 2 maka nilai xadalah ....a. 0 d. 1,5b. 0,5 e. 2c. 114. Median dari data yang disajikan histogramberikut adalah ....a. 60,5 d. 67,5b. 65 e. 70,5c. 65,515. Empat kelompok siswa yang masing-masing terdiri atas 5, 8, 10, dan 17 orangmenyumbang korban bencana alam.Rataan hitung sumbangan masing-masingkelompokadalahRp4.000,00;Rp2.500,00;Rp2.000,00; dan Rp1.000,00. Rataanhitung sumbangan setiap siswa seluruhkelompok itu adalah ....a. Rp2.025,00 d. Rp1.625,00b. Rp1.925,00 e. Rp1.550,00c. Rp1.750,0016. Diketahui data x1, x2, ..., x10. Jika setiapnilai data ditambah 10 maka ....(1) rataan hitungnya ditambah 10(2) simpangan rataan hitungnya tetap(3) mediannya ditambah 10(4) modusnya tetapPernyataan yang benar adalah ....a. (1), (2), dan (3)b. (1) dan (3)c. (2) dan (4)30,5462018144540,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5Frekuensi
  • 45. 39Statistikad. (4)e. semua benar17. Data tinggi badan 30 siswa sebagaiberikut.168 159 159 161 158 158 161 158162 159155 169 163 159 157 156 161 161163 162187 162 158 159 154 188 160 187162 168Rataan hitung dari data di atas adalah ....a. 163,13 d. 166,20b. 164,13 e. 167,5c. 165,0318. Gaji rataan hitung pegawai suatuperusahaan Rp250.000,00. Gaji rataanhitung pegawai prianya Rp260.000,00,sedangkan gaji rataan hitung pegawaiwanitanya Rp210.000,00. Berapakahperbandingan jumlah pegawai pria danpegawai wanita perusahaan itu?a. 1 : 9 d. 3 : 2b. 1 : 4 e. 4 : 1c. 2: 319.Frekuensi 20 40 70 a 10Nilai Ujian Matematika 4 5 6 8 10Dalam tabel di atas, nilai rataan hitungujian matematika adalah 6. Oleh karenaitu, a adalah ....a. 0 d. 20b. 5 e. 30c. 1020. Kuartil bawah dari data pada tabel dis-tribusi frekuensi berikut adalah ....Nilai30 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 9913112143329Frekuensia. 66,9 d. 66,1b. 66,6 e. 66,0c. 66,221. Tabel berikut memperlihatkan suatupengukuran. Rataan hitungnya adalah ....xi5 3 1 10fiff 2 3 1 2a. 1 d. 8b. 3 e. 9c. 422. Rataan hitung dari data berikut adalah ....Nilai 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11Frekuensi 1 2 1 3 1 1 2 1 2 1a. 4,5 d. 6b. 5,0 e. 6,5c. 5,523. Simpangan baku dari data 3, 6, 6, 2, 6, 2,1, 1, 5, 3 adalah ....a. 1,6 d. 2,3b. 1,9 e. 2,4c. 2,124. Simpangan kuartil dari data tabel berikutadalah ....a. 1,2 d. 4,8b. 2,5 e. 5,9c. 3,4Nilai1 – 1011 – 2021 – 3031 – 4041 – 5051 – 60242547175Frekuensi
  • 46. 40 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamB. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.1. Dari data berikut, tentukan ukuran terkecil,ukuran terbesar, median, kuartil bawah,kuartil atas, jangkauan data, dan jangkauanantarkuartil.a. 75, 65, 50, 48, 72, 60, 75, 80, 48, 70, 55b. 165, 158, 164, 173, 168, 160, 172,156, 170, 164, 169, 155, 168c. 212, 225, 220, 217, 224, 208, 222,205, 220, 210, 205, 215d. 315, 300, 306, 325, 320, 315, 330,312, 325, 310, 320, 318, 305, 3172. Suatukeluargamempunyailimaoranganak.Anak termuda berumur t tahun dan yangtertua 2(2t – 1) tahun. Tiga anak yang lainmasing-masing berumur (t + 2) tahun, (2t+ 1) tahun, dan (3t – 1) tahun. Jika rataanhitung umur mereka 8,8 tahun, tentukanumur anak termuda dan tertua.3. Tabel berikut menunjukkan data tinggibadan Kelas XI SMA Megah.Interval Kelas147 – 151152 – 156157 – 161162 – 166167 – 171172 – 1769510282712FrekuensiTentukanlah:a. modusb. median, kuartil bawah, dan kuartilatasc. rataan hitungnya.4. Tabel berikut menunjukkan data tabungandomestik (dalam triliun rupiah) pertriwulan dari tahun 1993–1998.TriwulanIIIIIIIV18,925,225,529,91993Sumber: BPS, 199823,724,429,132,7199428,629,138,543,8199534,539,139,539,4199646,950,769,661,61997 1998Tahun19,019,621,323,5a. Buatlah diagram garisnya (tidaksetiap triwulan).b. Pada triwulan dan tahun berapatabungan domestik terbesar?Jelaskan.c. Pada triwulan dan tahun berapatabungan domestik terkecil?Jelaskan.d. Berapa kali tabungan domestikmengalami penurunan? Jelaskan.5. Dalam suatu ujian yang diikuti 42 orangdiperoleh rataan nilai ujian 30, median35, dan simpangan baku 8. Oleh karenarataannya terlalu rendah, semua nilaidikalikan 2, kemudian dikurangi 5.a. Hitung rataan nilai yang baru.b. Hitung median yang baru.c. Hitung simpangan baku baru.
  • 47. 2Bab41PeluangSumber: DokumentasiPenerbitAnda telah mempelajari konsep peluang di Kelas IX.Pada pembahasan tersebut telah dipelajari tentang ruangsampel dan menghitung peluang suatu kejadian. Pada bab ini,materi akan dikembangkan sehinggaAnda memahami konseppermutasi, kombinasi, dan peluang kejadian majemuk.Teori peluang, lahir pada abad pertengahan di Prancis.Saat ini teori peluang banyak digunakan di berbagai bidang,seperti asuransi, bisnis, biologi, olahraga, dan kesehatan.Salah satunya dapat Anda simak pada uraian berikut ini.Dari hasil penelitian di suatu kota "X" terhadap 1.000anak diperoleh data sebagai berikut.• Peluang anak yang diberi ASI adalah 90%.• Peluang anak yang mendapatkan imunisasi campakadalah 60%.• Peluang anak yang mendapatkan vaksin Polio adalah80%.Dengan menggunakan konsep peluang, Anda dapatmenentukan anak yang mendapatkan imunisasi Campakdan vaksin Polio.A. Kaidah PencacahanB. Peluang SuatuKejadianC. Kejadian MajemukSetelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakankaidah pencacahan untuk menentukan peluang suatu kejadiandan penafsirannya dengan cara menggunakan sifat dan aturanperkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah,menentukan ruang sampel suatu percobaan, serta menentukanpeluang suatu kejadian dan menafsirkannya.
  • 48. 42 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTes Kompetensi AwalSebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.1. Hitunglaha. 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3b.12425325c.343434342. Faktorkanlah suku tiga berikut.a. n2– n – 56b. n2+ 3n – 703. Jabarkanlah bentuk-bentuk berikut ini.a. (x + y)2c. (x + y)4b. (x + y)3d. (x + y)54. Peluang seorang penduduk di suatu RukunWarga (RW) menjadi anggota koperasiadalah 75%. Jika jumlah penduduk RWitu ada 2.000 orang, berapa orang yangmenjadi anggota koperasi?Diagram AlurUntuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikansebagai berikut.PeluangPencacahanterdiri atasberhubungan denganterdiri atasAturanPerkalian PermutasiKejadianMajemukKejadianSederhanamenggunakanPerkalianPeluangPeluangKomplemenPeluangGabunganSalingBebasSalingBergantungSalingLepasTidak SalingLepasterdiri atasjenisnyajenisnyaP(A B)= P(A) + P(B)– P(A B)P(A B)= P(A) + P(B)P(A B)= P(A) × P(B |A)P(A B)= P(A) × P(B)rumusrumus rumus rumusKombinasiTeoriPeluang
  • 49. 43PeluangA. Kaidah Pencacahan1. Aturan PerkalianMisalkan, dari 3 orang siswa, yaitu Algi, Bianda, danCahyadi akan dipilih untuk menjadi ketua kelas, sekretaris,dan bendahara dengan aturan bahwa seseorang tidak bolehmerangkap jabatan pengurus kelas. Banyak cara 3 orangdipilih menjadi pengurus kelas tersebut akan dipelajarimelalui uraian berikut.Amati Gambar 2.1.a. Untuk ketua kelas (K)Posisi ketua kelas dapat dipilih dari 3 orang, yaitu Algi(A), Bianda (B), atau Cahyadi (C).Jadi, posisi ketua kelas dapat dipilih dengan 3 cara.b. Untuk Sekretaris (S)Jika posisi ketua kelas sudah terisi oleh seseorang makaposisi sekretaris hanya dapat dipilih dari 2 orang yangbelum terpilih menjadi pengurus kelas.Jadi, posisi sekretaris dapat dipilih dengan 2 cara.c. Untuk Bendahara (H)Jika posisi ketua kelas dan sekretaris sudah terisi makaposisi bendahara hanya ada satu pilihan, yaitu dijabat olehorang yang belum terpilih menjadi pengurus kelas.Jadi, posisi bendahara dapat dipilih dengan 1 cara.Dengan demikian, banyak cara yang dilakukan untukmemilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah3 × 2 × 1 = 6 cara.Uraian tersebutakan lebihjelasapabilamengamati skemaberikut.C A BCAA B CABCCB A CBA3 × 2 × 1 = 6C B ACBA C BACK S H Hasil yang MungkinB C ABCABDari uraian tersebut, dapatkahAnda menyatakan aturanperkalian? Cobalah nyatakan aturan perkalian itu dengankata-kata Anda sendiri.Gambar 2.1Algi (A) Bianda (B) Cahyadi (C)Ketua kelas(K)Sekretaris(S)Bendahara(H)
  • 50. 44 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam2. FaktorialAnda telah mempelajari, banyak cara yang dilakukanuntuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidatadalah 3 × 2 × 1 = 6 cara.Selanjutnya, 3 × 2 × 1 dapat dinyatakan dengan 3! (dibaca3 faktorial). Jadi,3! = 3 × 2 × 1 = 6Dengan penalaran yang sama4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 4 × 6 = 245! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 5 × 24 = 1206! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720Uraian tersebut memperjelas definisi berikut.Aturan PerkalianMisalkan,• operasi 1 dapat dilaksanakan dalam n1cara;• operasi 2 dapat dilaksanakan dalam n2cara;• operasi k dapat dilaksanakan dalam nkcara.Banyak cara k operasi dapat dilaksanakan secara berurutan adalahn = n1× n2× n3... × nk.Berapa cara yang dapat diperoleh untuk memilih posisi seorangtekong, apit kiri, dan apit kanan dari 15 atlet sepak takraw pelatnasSEAGAMES jika tidak ada posisi yang rangkap? (Tekong adalahpemain sepak takraw yang melakukan sepak permulaan).Jawab:• Untuk posisi tekong.Posisi tekong dapat dipilih dengan 15 cara dari 15 atlet pelatnasyang tersedia.• Untuk posisi apit kiri.Dapat dipilih dengan 14 cara dari 14 atlet yang ada (1 atletlagi tidak terpilih karena menjadi tekong).• Untuk posisi apit kanan.Cara untuk memilih apit kanan hanya dengan 13 cara dari 13atlet yang ada ( 2 atlet tidak dapat dipilih karena telah menjaditekong dan apit kiri).Dengan demikian, banyak cara yang dilakukan untuk memilihposisi dalam regu sepak takraw adalah 15 × 14 × 13 = 2.730cara.Contoh 2.1Apabila terdapat n buahtempat yang akan didudukioleh n orang, terdapat:n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 1cara orang mendudukitempat tersebut.Ingatlah
  • 51. 45PeluangDefinisi 2.1a. n! = n × (n – 1) × (n – 2) ... × 3 × 2 × 1, dengan n bilangan asli,untuk n ≥ 2.b. 1! = 1c. 0! = 11. Hitunglaha. 7! b.170 6!! !16c.122!! !8d.85!!2. Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam faktorial:a. 157 × 156 × 155 b. 8!(9 × 10) c. n(n – 1)(n – 2)3. Tentukan nilai n dari (n + 3)! = 10(n + 2)!Jawab:1. a. 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5.040b.170 617 161 1617!! !6!!c.12212 11 10 9 8212 11 10 91 25 9!! !8!! !811 99 114044d.858 7 6 558 7 6 336!!!!78 62. a. 157 × 156 × 155 =157 156 155 1154 153 1157154156 155153......!!b. 8!(9 × 10) = (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)(9 × 10) = 10!c. n(n – 1)(n – 2) =n nn n nn n nn 1n 1 n......!!3. (n + 3)! = 10(n + 2)! (n +3)(n + 2)! = 10(n + 2)!n + 3 = 10 0n = 7Contoh 2.23. PermutasiDalam suatu kelas,terdapat 4 orang yang akan dipilih3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara.Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat dijelaskansebagai berikut. Misal, keempat orang kandidat itu adalah A,B, C, dan D. Posisi ketua dapat dipilih dengan 4 cara, posisisekretaris dapat dipilih dengan 3 cara, dan posisi bendaharadapat dipilih dengan 2 cara. Jadi banyak cara yang dilakukanuntuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 4 orang kandidatadalah 4 × 3 × 2 = 24 cara. Uraian tersebut akan lebih jelasapabila Anda mengamati skema berikut.Sumber: Dokumentasi PenerbitGambar 2.2Calon pengurus kelas
  • 52. 46 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamGambar 2.3Diagram pohon untuk pemilihan3 pengurus kelas dari 5 calonyang ada.Urutan ABC berbeda denganCurutan ACB. Dalam urutanABC, sekretaris adalah B.Dalam urutan ACB, sekretarisadalah C.IngatlahKetua Sekretaris Bendahara Hasil yang mungkinBAAACCBBABCDDDDCCCBBDDDCBAAADDDCBAAACCBBABCBACCABDABABDBADCADDACACBBCACBADBAACDBCDCBDDBCADBBDACDADCAADCBCDCDBDCB
  • 53. 47PeluangDari skema tersebut diperoleh 24 susunan 3 unsur,yaituABC ABD ACB ACD ADB ADCBAC BAD BCA BCD BDA BCDCAB CAD CBA CBD CDA CDBDAB DAC DBA DBC DCA DCBTampak susunan 3 unsur tersebut memperhatikanurutannya. ABC adalah suatu permutasi,C ACB juga suatupermutasi dan keduanya berbeda. Urutan pada 24 susunanitu berlainan. Susunan yang memperhatikan urutannyadisebut permutasi. Dari uraian tersebut dapatkah Andamenduga pengertian permutasi? Cobalah nyatakan pengertianpermutasi dengan kata-kataAnda sendiri. Konsep yang telahAnda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut.Definisi 2.2Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yangberbeda tanpa adanya pengulangan.Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsuradalah4 × 3 × 2 = 24.Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsurdapat ditulisP(4 , 3) = 4 × 3 × 2 =4 3 2 12 1434 3!!Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur dapatdipelajari melalui Tabel 2.1.Tabel 2.1Tempat ke- 1 2 3 ... r ...Banyak Cara n n(n – 1) n(n – 1) (n – 2) ... n(n – 1) (n – 2)...(n – (r – 1))r ...Dari tabel tersebut, banyak permutasi r unsur yangdiambil dari n unsur, dinotasikan P(n, r) adalahP(n, r) = n (n – 1) (n – 2) … (n – (r – 1))rUntuk r = 1, makaP(n, 1) = nUntuk r = 2, makaP(n, 2) = n (n – 1)=n n n nn nnn...... ....!!3 2 1 2nSoal TerbukaBuatlah sebuah soalpermutasi yang berbedadengan soal yang ada di bukuini. Berikan soal ini ke temanuntuk diselesaikan dan berikomentar.Notasi P(n, k) dapat jugakkditulis dengan PkPPn.Ingatlah
  • 54. 48 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamUntuk r = 3 makaP(n, 3) = n (n – 1)(n – 2)=n n n n nnn n ...... n 444 3 2 1 3...!!nUntuk r =r k, diperolehP(n, k) = n (n – 1)(n – 2)(n – 3) … (n – (k – 1))k=n n n n n k n k n kkn n kk... ..........3 2 11 3 2 1=n!!n kUntuk r = n, diperolehP(n, n) = n (n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1))(r n – r)…(3)(2)(1) = n!Banyak permutasi n unsur apabila disusun dalam k unsurkadalahP =nn, kn - k!!dengan k ≤ n1. Tiga orang wiraniaga dicalonkan untuk mengisi kekosonganjabatan kepala cabang di dua kota. Tentukan banyak carauntuk memilih dua kepala cabang dari tiga orang wiraniagatersebut, dengan menggunakan rumus permutasi.Jawab:P(3, 2), dengan n = 3 (banyak wiraniaga) dan k = 2 (banyakkwiraniaga terpilih).PnP!!!! !n k,n k,,3 3 2 16Jadi, terdapat 6 cara.Coba Anda tentukan ke-6 susunan yang mungkin tersebut.2. Dari kartu angka 4, 5, 6, 7, dan 8 dibuat bilangan yang terdiriatas tiga angka yang berbeda. Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut yang kuranga. dari 500 b. dari 600Jawab:a. Oleh karena bilangan-bilangan kurang dari 500 makaangka ratusan hanya dapat diisi oleh satu angka, yaituangka 4. Salah satu susunan yang mungkin dapat Andalihat pada Gambar 2.4.Amati gambar 2.5.Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8.Ini berarti Anda harus memilih dua angka dari 4 angka, yaituP(4,2) =4 4212!!!!4 2.Contoh 2.3Sumber: Dokumentasi PenerbitGambar 2.4Salah satu susunan yangmungkin. Dapatkah Andamenentukan susunan lainnya?puluhansatuandiisi4Gambar 2.5
  • 55. 49PeluangJadi, terdapat 12 cara untuk menyusun bilangan kurang dari 500.Dapatkah Anda mengerjakan dengan cara lain? Silakan coba.Sekarang, coba Anda buktikan hal ini dengan menggunakankartu angka. Tentukan pula susunan-susunan yang mungkin.b. Oleh karena bilangan-bilangan itu kurang dari 600 maka angkaratusan hanya diisi oleh dua angka, yaitu angka 4 dan 5.4 angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6,7, dan 8 (pilih 2 dari 4 unsur).5 angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4, 6,7, dan 8 (pilih 2 dari 4 unsur).Banyak bilangan yang kurang dari 600 adalah2 × P(4,2) = 2424 3 2 12 1244 23!.Jadi, terdapat 24 bilangan yang kurang dari 600.a. Permutasi Beberapa Unsur yang SamaPada kata "BUKU" terdapat dua huruf yang sama, yaituU. Permutasi huruf-huruf pada kata "BUKU" dapat Andaamati pada diagram pohon di samping.Coba Anda buat diagram pohon untuk huruf-huruf: U, K,dan U. Jika benar mengerjakannya, hasil dari seluruh diagrampohon tersebut adalah sebagai berikut.1. BUKU 6. BUUK 11. UBUK 16. KBUU 21. UUBK2. BUUK 7. UKBU 12. UBKU 17. KUUB 22. UUKB3. BKUU 8. UKUB 13. KUBU 18. KUBU 23. UKBU4. BKUU 9. UUBK 14. KUUB 19. UBUK 24. UKUB5. BUKU 10. UUKB 15. KBUU 20. UBKUAmatilah 24 susunan huruf tersebut. Tampak adabeberapa susunan huruf yang sama sehingga permutasinyamenjadi:1. BUKU 4. UKBU 7. UUKB 10. KUBU2. BUUK 5. UKUB 8. UBUK 11. KUUB3. BKUU 6. UUBK 9. UBKU 12. KBUUBanyak permutasi huruf-huruf pada kata “BUKU”adalah 12 atau 12 = 4 × 3 =4 3 2 12 1423 !!.Sekarang,selidikilahpermutasiuntukkata MAMAdenganmenggunakan diagram pohon. JikaAnda melakukan denganbenar, terdapat 6 permutasi yang berbeda, yaitu MAMA,MAAM, MMAA,AMMA,AMAM, danAAMM, karena kata“MAMA” mempunyai dua pasang huruf yang sama.Banyak permutasi untuk 4 unsur dengan dua pasangunsur sama, yaitu M dan dua unsur lainnya, yaitu A adalah6 3 3 2 14 3 2 144 3 2 1 42 23 23 32 1 2 1!!! !!.BK U BUKUUU K BUUKU U BKUUB KU U BKUUK U BUKUUU K BUUK
  • 56. 50 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamBanyaknya permutasi n unsur yang mempunyai l1unsurjenis pertama, l2unsur jenis kedua, l3unsur jenis ketiga, danlkunsur jenis ke-k yang samakadalahP(n, l1, l2l ... lkl ) =nI Ik!! !I ... !1 2!ITentukan permutasi atas semua unsur yang dapat dibuat dari kata-kata berikut.1. JAYAPURAA 2. MATEMATIKAJawab:1. Pada kata "JAYAPURA", terdapat 3 buah A yang samasehingga permutasinya adalah P(8, 3) =83!!= 6.720.2. Pada kata "MATEMATIKA" terdapat 2 buah M, 3 buah A,dan 2 buah T yang sama sehingga permutasinya adalahP(10, 2, 3, 2)=102 3 2!! !3 !=10 9 8 7 6 5 4 3 2 11519 89 6 56 32 1 3 2 12 2 1. 020000Contoh 2.4b. Permutasi SiklisPermutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secaramelingkar menurut arah putaran tertentu disebut permutasisiklis.Pada Gambar 2.6 posisi 1 dan posisi 2 menunjukkanpermutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaranjarum jam. Coba Anda amati Gambar 2.5, apakah susunanpada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2?ApabilaAnda mengamati dengan saksama makaposisi 1 = posisi 2Jadi, permutasi siklis dua unsur mempunyai satu cara.Pada permutasi siklis dua unsur, satu unsur ditetapkansebagai titik acuan. Sementara, satu unsur yang lainnyaditempatkan dalam 1! cara atau (2 – 1)! cara.Agar Anda lebih memahami permutasi siklis, pelajariuraian berikut ini. Misalkan, dalam satu ruangan ada 4 orangmasing-masing diberi nama A, B, C, dan D. Keempat orangtersebut sedang membaca di meja bundar. Banyak carakeempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapatditerangkan sebagai berikut.Posisi 1A BPosisi 2B AGambar 2.6
  • 57. 51PeluangKeterangan: huruf yang diwarnai dianggap sebagai titik pangkal.ABDCACBDADBCABCDADCBACDBAB CDSumber: Dokumentasi PenerbitGambar 2.7Contoh permutasi siklisDengan cara yang sama, Anda dapat membuat formasilingkaran untuk titik pangkal B, C, dan D. Hasil dari seluruhformasi lingkaran tersebut adalah sebagai berikut.1. ABCD 7. BACD 13. CABD 19. DABC2. ABDCC 8. BADC 14. CADB 20. DACB3. ACBD 9. BCAD 15. CBAD 21. DBAC4. ACDB 10. BCDA 16. CBDA 22. DBCA5. ADBC 11. BDAC 17. CDAB 23. DCAB6. ADCB 12. BDCA 18. CDBA 24. DCBAAmati bahwa ada susunan-susunan yang sama, yaituABCD=BCDA= =CDAB=DABC= ACDB=BACD=CDBA=DBAC=ABDC=BDCA= =CABD= =DCAB= B ADBC=BCAD= =CADB= =DBCA=ACBD=BDAC=CBDA=DACBB ADCB=BADC=CBAD=DCBADengan demikian, dari 24 susunan tersebut terdapat 6susunan yang berbeda, yaitu ABCD, ABDC, ACBD, ACDB,ADBC, dan ADCB. Jadi, banyak permutasi siklis dari 4 unsurada 6.Pada permutasi siklis dari 4 unsur, ditetapkan satu unsursebagai titik pangkal, kemudian 3 unsur lainnya ditempatkandalam 3! cara atau (4 – 1)! cara. Permutasi siklis 4 unsuradalah (4 – 1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 cara.Susunan manik-manik pada kalung mirip susunanmelingkar, tetapi berbeda dengan permutasi siklis. Padapermutasi siklis, arah putaran diperhatikan, sedangkan padasusunan manik-manik dalam kalung arah putaran tidakdiperhatikan. Amati Gambar 2.7.Dari gambar, susunan manik-manik pada posisi 1 adalahABC atau ditulisC ACB. Adapun susunan manik-manik padaposisi 2 adalah ACB atau ditulis ABC.BCADSusunan pada gambar (a) dangambar (b) adalah sama karenaunsur A dekat dengan D dan B,meskipun titik acuan berbeda.IngatlahADBC
  • 58. 52 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamPosisi (2)Posisi (1)ABCACBGambar 2.8Susunan manik-manik pada Gambar 2.8 adalah sama.Oleh karena itu, banyak cara menyusun 3 manik-manikdalam kalung adalah 1 susunan. Banyaknya cara yangdigunakan untuk menyusun 3 manik-manik dalam kalungadalah setengah dari banyak permutasi siklis 3 unsur, yaitu1 susunan atau23 1 !.Untuk n unsur, apabila disusun seperti manik-manikdalam kalung terdapatn2!susunan yang berbeda.1. Delapan orang ilmuwan duduk melingkar di sebuah mejabundar untuk membahas sebuah proyek tertentu. Berapabanyak cara agar para ilmuwan dapat duduk melingkar denganurutan yang berbeda?2. Dua puluh lima mutiara akan dibuat sebuah kalung. Adaberapa cara mutiara-mutiara itu dapat disusun?Jawab:1. Susunan kedelapan ilmuwan itu adalah (8–1)! = 7! = 5.040cara.2. Banyaknya cara mutiara itu dapat disusun menjadi sebuahkalung adalah224225 1 !cara.Contoh 2.5Kombinasi ABC sama dengankombinasi CBA atau ACB.Ingatlah4. KombinasiPada permutasi, Anda telah dapat memilih 3 orang dari5 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Lainhalnya jika dari 5 orang itu akan dipilih 3 orang untukmengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orangtersebut tidak sebanyak 60 cara seperti pada pemilihan ketua,sekretaris, dan bendahara.Agar lebih jelasnya, pelajari uraianberikut.Misalkan, dari 5 orang akan dipilih 3 orang untukmengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orangtersebut dapat diterangkan sebagai berikut.Dari SubbabA.3 telah dijelaskan bahwa susunan 3 unsurdari 5 unsur, yaituABC ADE BCD CAB CDE DBC EAB ECDABD AEB BCE CAD CEA DBE EAC EDAABE AEC BDA CAE CEB DCA EAD EDBACB AED BDC CBA CED DCB EBA EDC
  • 59. 53PeluangACD BAC BDE CBD DAB DCE EBCACE BAD BEA CBE DAC DEA EBDADB BAE BEC CDA DAE DEB ECAADC BCA BED CDB DBA DEC ECBOleh karena pemilihan 3 orang untuk mengikuti lombadebat tidak memperhatikan urutan maka dari 60 susunanitu terdapat 10 susunan yang berbeda. Kesepuluh susunantersebut adalah ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD,BCE, BDE, dan CDE.Susunan yang tidak memperhatikan urutannya disebutkombinasi.Dari uraian tersebut, dapatkahAnda menyatakan penger-tian kombinasi? Cobalah nyatakan pengertian kombinasidengan kata-kata Anda sendiri.Konsep pengertian kombinasi yang telah Anda pelajaritersebut memperjelas definisi berikut.Definisi 2.3Kombinasi r unsur darir n unsur ialah himpunan bagian r unsurryang dapat diambil dari n unsur yang berlainan dengan urutanpenyusunan unsur tidak diperhatikan.Banyaknya kombinasi r unsur darir n unsur dilambangkandengan Cnrataunratau C =(n, r).a. Menentukan Banyak KombinasiTelah diketahui bahwa banyaknya kombinasi 5 unsurberlainan jika disusun sebanyak 3 unsur adalah5 42= 10cara .Kombinasi 5 unsur yang disusun atas 3 unsur ditulisC53 5 425 4 3 2 12 3 2 1534 23 5 3!! !3Uraian tersebut memberi gambaran mengenai banyaknyakombinasi n unsur berlainan jika disusun sebanyak r unsurryang dirumuskanC =nr=n!r! !53n rdengan r < nSoal TerbukaJelaskan perbedaan antarapermutasi dan kombinasi. Bericontoh untuk memperjelasuraian Anda.
  • 60. 54 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alamb. Binomial NewtonDi SMP Anda telah mempelajari cara menjabarkanbentuk perpangkatan berikut.(a + b)0= 1(a + b)1= a + b(a + b)2= a2+ 2ab + b2(a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3(a + b)4= a4+ 4a3b + 6a2b2+ 4ab3+ b4Untuk pangkat 4, Anda masih dapat menjabarkannya.Bagaimana menjabarkan (a+b)15? Untuk menyelesaikannyaAnda memerlukan rumus umum bentuk perpangkatantersebut.embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeeePePPePePePePePePePP SoalSuatu pertemuan dihadirioleh 15 orang undangan.Jika mereka saling berjabattangan, banyak jabattangan yang terjadi dalampertemuan itu adalah ....Jawab:Banyak jabat tangan = C(15,2)=152105!! !13Soal Ebtanas 2000embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeeePePPePePePePePePePP SoalBanyaknya segitiga yangdapat dibuat dari 7 titik tanpaada tiga titik yang terletaksegaris adalah ....Jawab:Membuat segitiga denganmemilih 3 titik dari 7 titikyang tersedia adalah masalahkombinasi C(7, 3). Jadi,banyaknya segitiga = C(7,3)=737 6 5 43 2 1 435!! !4!!62Soal UMPTN 2000Kerjakan soal-soal berikut.1. Diketahui Cn2= 4n, tentukanlah nilai n.2. Dari 20 siswa akan dipilih sebuah tim sepakbola yang terdiri atas11 orang. Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut.Jawab:1. C nnnn2424n!! !n 2nnn24!! !nn1 24n(n – 1) = 8nn2– n = 8nn2– 9n = 0n(n – 9) = 0Oleh karena n ≥ r maka yang memenuhi adalahr n = 9.2. Pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasikarena tidak memperhatikan urutan. Banyak cara memilih 11orang siswa dari 20 siswa, yaitu C2011.C2011 20112011 920 19 18 17 119 18!! !20 11!! !96 166 5 14 13 12 111115 139 8 7 6 5 4 3 2 18 6 56 3!!= 167.960Coba Anda tentukan susunannya dengan diagram pohon.Contoh 2.6
  • 61. 55PeluangAmati dengan saksama koefisien-koefisien bentuk-bentuk perpangkatan tersebut. Apabila koefisien-koefisiendari bentuk perpangkatan dituliskan dalam bentuk diagram,diperoleh11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1dan seterusnya.Diagram itu dikenal dengan nama Segitiga Pascal.Amatipola Segitiga Pascal tersebut.Baris ke-1:Baris ke-2:Baris ke-3:Baris ke-4:Baris ke-5:dan seterusnya.Karena00=10=11=20=22=30=33= 1,21= 2, dan31=32= 3 maka pola Segitiga Pascal tersebutdapat dituliskan dalam bentuk simbol banyaknya kombinasiberikut.00101120021223003132333dan seterusnya.Dari uraian tersebut, bentuk perpangkatan dapat ditulis-kan sebagai berikut.(a + b)0=00(a + b)1=1011a bTokohMatematikaOmar Khayyam(1049–1123)Untuk n = 2, TeoremaBinomial telah ditemukanoleh Euclid pada tahun300 Sebelum Masehi. Akantetapi, untuk yang lebihumum ditemukan olehmatematikawan dan ahliastronomi Irak, yaitu OmarKhayyam.Sumber: Precalculus, 199911 11 2 11 (1 + 2) (2 + 1) 11 (1 + 1 + 2) (2 + 1 + 1)(1 + 2) + (2 + 1) 1
  • 62. 56 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam(a + b)2=2021222a ab b2(a + b)3=3031323 23aa3b ab b2 3b33dan seterusnya.Secara umum bentuk (a + b)ndapat ditulis menjadina bnrn na b01a bnnabnnn r r nr nb11bndengannrCnrnrC!! !n rDengan demikian,C C a b C a b C bn nnnn nb nn nb0 1Cn 1 1b 1 1nbana a CnCn1b(a + b)n= C a bni n i ibii n0Bentuk tersebut dinamakan binomial Newton (ekspansibinomial).Jabarkan dan sederhanakan bentuk (x2+ 2y)5.Jawab:(x2+ 2y)5=50515 42 2211 3 252532222 3 1 45455x222 2245= x10+ 10x8y + 40x6y2+ 80x4y3+ 80x2y4+ 32y5Contoh 2.7Mari, Cari TahuCarilah di perpustakaan buku petunjuk penggunaan kalkulator, caramenghitung faktorial, permutasi, dan kombinasi dengan kalkulatorscientific.Anda juga dapat menanyakan hal tersebut ke kakak kelas.Demonstrasikan dan laporkan hasilnya di depan kelas termasukjenis kalkulator yang digunakan.Tes Kompetensi Subbab AKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Dalam sebuah perkumpulan panjat tebingada5calonuntukketua,4calonuntukwakilketua, 3 calon untuk sekretaris, dan 4 calonuntukbendahara.Apakahmasalahiniadalahkombinasi atau permutasi?Ada berapa carakeempat posisi tersebut dapat diisi?
  • 63. 57Peluang2. Dengan menggunakan 5 huruf pertamadalam abjad, dibuat kata yang terdiri atas3 huruf. Berapa banyak kata yang dapatdibuat jika:a. tidak ada huruf boleh diulang,b. huruf-huruf boleh diulang, danc. hanya huruf-huruf pertama tidakboleh diulang.3. Ketua dan wakil OSIS harus dipilih diantara 8 orang laki-laki dan 4 orang perem-puan. Dalam berapa cara hal itu dapatdilakukan jikaa. ketuaharuslaki-laki,sedangkanwakil-nya boleh laki-laki atau perempuan;b. ketua harus perempuan, sedangkanwakilnya boleh laki-laki atauperempuan;c. wakilnya harus laki-laki;d. wakilnya harus perempuan.4. Empat orang siswa masuk ruang rapat.Tempat yang masih kososng ada 5 kursi,berapa cara mereka dapat mengambiltempat duduk?5. Hitung nilai n dari persamaan berikut.a. (n + 4)! = 9(n + 3)!b. (n + 3)! = 20(n + 1)!6. Bilangan yang terdiri atas tiga angkaberbeda, disusun dari angka 2, 3, 4, 5, 6, 7,dan 8. Tentukan banyak bilangan denganangka-angka yang berlainan dan lebihkecil dari 500.7. Tentukan berapa cara yang berbeda dapatdituliskan dari hasil kali x4y3z2tanpamenggunakan eksponen.8. Tentukan suku keempat dari penjabarandan penyederhanaan bentuk (3x2– 4y3)7.9. Dalam pertemuan untuk menentukantanggal kelulusan siswa, 20 orang gurudiundang, setelah memutuskan tanggalkelulusan, mereka saling berjabat tangan.Berapa banyak jabat tangan yang terjadi?10. Jika 5P(n, 3) = 24 C(n, 4), berapa nilai n?Untuk soal nomor 11–16, tentukan banyakcara yang dapat dilakukan.11. Mengatur susunan tempat duduk dalamsuatu rapat yang disusun melingkar dandihadiri oleh 8 orang serta ada 2 orang yangselalu berdampingan.12. Memilih 5 orang dari 15 orang siswa untukmenjadi pelaksana upacara bendera Seninpagi.13. Menentukan tiga orang pemenang juara 1,2, dan 3 dari 15 orang finalis.14. Menentukan lima orang pemain cadangandari 16 orang anggota kesebelasansepakbola.15. Menyusun lima buku Matematika yangsama, tiga buku Fisika yang sama, tigabuku Kimia yang sama, dan dua bukuBiologi yang sama dalam rak buku.(Petunjuk: buku-buku yang berjudul samaharus berdampingan)B. PeluangSebuah uang logam yang bentuknya simetris ditos(dilempar ke atas sambil diputar) dan dibiarkan jatuh kelantai. Oleh karena uang itu bentuknya simetris maka tidakberalasan munculnya gambar lebih sering atau kurangdaripada munculnya angka. Secara matematika, nilai peluangmunculnya gambar adalah salah satu dari dua atau12, dandengan sendirinya nilai peluang munculnya angka adalah12juga.
  • 64. 58 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam1. Peluang Suatu Kejadiana. Kejadian SederhanaDalam seperangkat kartu remi terdapat 13 kartu merahbergambar hati, 13 kartu merah bergambar diamond, 13 kartuhitam bergambar wajik, dan 13 kartu hitam bergambar kriting.Sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartutersebut.Misalkan, kartu yang terambil bergambar hati. Kejadianmuncul kartu bergambar hati pada pengambilan tersebut di-namakan kejadian sederhana karena muncul kartu bergambarhati pasti berwarna merah. Lain halnya jika kartu yangterambil berwarna merah. Kejadian muncul kartu berwarnamerah dinamakan kejadian bukan sederhana karena munculkartu berwarna merah belum tentu bergambar hati, tetapimungkin bergambar diamond.b. Ruang SampelJika sekeping uang logam ditos, akan muncul mukaangka (A(( ) atau muka gambar (G). Pada pengetosan tersebut, Adan G dinamakanG titik sampel, sedangkan {A, G} dinamakanruang sampel. Jika sebuah dadu ditos, titik sampelnya adalahmata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, sedangkan ruang sampelnyaadalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakanpengertian ruang sampel? Cobalah nyatakan pengertian ruangsampel dengan kata-kata Anda sendiri.Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelasdefinisi berikut.Definisi 2.4Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunansemua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampeldinotasikan dengan S.Gambar 2.9Seperangkat kartu remi.(a) Kartu hati yang berwarnamerah.(b) Kartu wajik yang berwarnahitam.(c) Kartu diamond yang berwarnamerah.(d) Kartu kriting yang berwarnahitam.Tentukan ruang sampel percobaan berikut.a. Tiga keping uang logam ditos bersamaan.b. Dua keping uang logam dan sebuah dadu ditos bersamaan.Contoh 2.8(d)(c)(b)(a)
  • 65. 59PeluangMari, Cari TahuBersama dengan teman sebangku, cari di internet atau di bukuterbitan luar negeri artikel yang berhubungan dengan materipeluang. Kemudian, kumpulkan hasilnya pada guru Anda.c. PeluangMisalkan, sekeping uang logam yang bentuknya simetrisditos sebanyak 50 kali, kejadian munculnya muka gambarsebanyak 23 kali sehingga23500 46, dinamakan frekuensirelatif muncul muka gambar. Jika pengetosan uang logamtersebut dilakukan berulang-ulang dalam frekuensi yangbesar, frekuensi relatif kejadian muncul muka gambar akanmendekati suatu bilangan tertentu,yaitu12. Bilangan tersebutdinamakan peluang dari kejadian muncul angka.Pada pengetosan sekeping uang logam yang bentuknyasimetris, kemungkinan yang muncul hanya dua, yaitupermukaan gambar dan permukaan angka. Peluang munculpermukaan gambar atau permukaan angka sama. Secaramatematika, peluang munculnya permukaan gambar adalahsatu dari dua kemungkinan atau12sehingga peluangmunculnya permukaan angka juga12.1. Tiga keping uang logamdilemparkan secarabersamaan. Tentukana. ruang sampel,b. kejadian muncul duaangka.2. Sebuah tas berisi5 kelereng merah,5 kelereng putih, dan9 kelereng hijau. Apabiladiambil 3 kelerengsekaligus secara acak,tentukan peluang yangterambil:a. semua hijau;b. semua putih;c. 2 merah dan 1 hijau.Tantanganuntuk AndaGambar 2.11Hasil yang mungkin daripelemparan sebuah uang logamRp500,00.Gambar 2.10Diagram pohon pelemparan 3keping uang logam.A AAAAG AAGA AGAGG AGGAA GAAAG GAGA GGAGG GGGGJawab:a. Perhatikan diagram pohon pada Gambar 2.10 di sampingdengan saksama. Dari diagram tersebut, jika tiga keping uanglogam ditos bersamaan, ruang sampelnya adalah {AAA, AAG,AGA, AGG, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}.b. Duakepinguanglogamdansebuahdaduditos,ruangsampelnya(amati Tabel 2.3) adalah { AA1, AA2, AA3, AA4, AA5, AA6,AG1, AG2, AG3, AG4, AG5, AG6, GA1, GA2, GA3, GA4,GA5, GA6, GG1, GG2, GG3, GG4, GG5, GG6}.Tabel 2.3AAAGGAG G1 Dadu2 Uang Logamam1 2 3 4 5 6AA1 AA2 AA3 AA4 AA5 AA6AG 1 AG2 AG3 AG4 AG5 AG6GA1 GA2 GA3 GA4 GA5 GA6GG1 GG2 GG3 GG4 GG5 GG6
  • 66. 60 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alamd. Kisaran Nilai PeluangDi Kelas IXAnda telah mengetahui bahwa nilai peluangsuatu percobaan adalah antara 0 dan 1 atau 0≤ P(x) ≤ 1 denganx adalah kejadian pada percobaan tersebut.xDalam pengetosan sebuah dadu yang seimbang, tentukana. peluang muncul angka prima;b. peluang muncul kelipatan 2;Jawab:Pada pengetosan sebuah dadu, ruang sampelnya adalah{1, 2, 3, 4, 5, 6} n (S) = 6.a. Peluang muncul angka prima.Ruang sampel mata dadu angka prima adalah P = {2, 3, 5}maka n (P) = 3, Dengan demikian, peluang muncul angkaprima adalahP(prima) =nNPS3612.b. Peluang muncul kelipatan 2.Ruang sampel mata dadu angka kelipatan 2 adalahK = {2, 4, 6} maka n (K) = 3. Dengan demikian, peluangmuncul kelipatan 2 adalahP(K) =nNKS3612.Contoh 2.9Pada 2000 tahun SebelumMasehi, orang kaya danpenyihir menggunakan dadusebagai permainan. Daduyang digunakan berbentukbangun bersisi empat. Bentukdadu sekarang dikenalbeberapa waktu kemudian.Dadu yang kali pertamadigunakan dalam permainantersebut terbuat dari tulangrusa, sapi, atau kerbau.AAt least as far back as 2000 BC, therich and the mystical have had diceto play with. Very early dice wereoften in the shape of a tetrahedron.The modern cube shape came later.The first dice like objects to be usedfor games were made from theastralagus of deer, cow or oxen.Sumber: www.DrMath.comInformasiuntuk AndaInformationsfor YouMata uang yang bentuknyasimetris artinya tidak lebihberat ke arah gambar atau kearah angka.Ingatlah Misalkan, sebuah kotak berisi 8 bola, yaitu 3 bola merah,1 bola putih, dan 4 bola hijau. Dari kotak tersebut, akandiambil sebuah bola. Peluang terambil 1 bola dari kotak yangberisi 8 bola tersebut adalah18. Peluang terambilnya 1 bolamerah adalah38. Adapun peluang terambilnya 1 bola putihadalah18, dan peluang terambil 1 bola hijau adalah48.Diketahui, N adalah banyak titik sampel pada ruangsampel S dari sebuah percobaan. Kejadian A adalah salahsatu kejadian pada percobaan tersebut sehingga peluang Aadalah P(A) =1N.Apabila banyak kejadian A yang terjadi dari percobaantersebut adalah n, peluang terjadinya kejadian A adalah P(A)=nN.
  • 67. 61PeluangTentukan peluang dari pernyataan-pernyataan berikut.1. Ikan dapat hidup di darat.2. Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah.3. Lumut tumbuh di daerah gurun.4. Muncul kartu as pada pengambilan seperangkat kartu remi.Jawab:1. Ikan hidup di darat merupakan suatu kemustahilan sehinggapeluangnya sama dengan 0.2. Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah merupakansuatu kepastian sehingga peluangnya sama dengan 1.3. Lumut tumbuh di daerah gurun merupakan suatu kemustahilansehingga peluangnya sama dengan 0.4. Muncul kartu as pada kartu remi bukan merupakan suatukemustahilan dan bukan pula suatu kepastian sehinggapeluangnya di antara 0 dan 1, yaitu113.Contoh 2.10TokohMatematikaPierre de Fermat(1601–1665)Pierre de Fermat adalahseorang hakim. Kemahiranmatematikanya luar biasamemungkinkannya memberisumbangan besar padamatematika tingkat tinggi,antara lain teori bilangan dankalkulus diferensial. Ketika iamengklaim bahwa ia telahmembuktikan beberapateorema matematika, ia selaluberkata benar. "Teorema AkhirFermat" yang menyebabkania terkenal, akhirnya terbukti300 tahun kemudian, yaitupada tahun 1994 oleh AndrewWilles.Sumber: Finite Mathematics and itsApplication, 1994• Apabila P(x) = 0, kejadian x mustahil terjadi.• Apabila P(x) = 1, kejadian x pasti terjadi.Jadi, jika Anda mengetahui bahwa suatu kejadiankemungkinan kecil terjadi maka peluangnya mendekatinilai nol. Sebaliknya, jika peluang suatu kejadian yangkemungkinan besar dapat terjadi, peluangnya mendekatinilai 1.2. Frekuensi HarapanAnda telah mempelajari bahwa peluang munculpermukaan gambar pada pengetosan uang logam adalah12. Apabila pengetosan dilakukan 100 kali, harapan akanmuncul permukaan angka adalah 50 kali atau setengah dari100. Banyak muncul permukaan angka sebanyak 50 kali dari100 kali pengetosan dinamakan frekuensi harapan.Dari uraian tersebut, dapatkahAnda menyatakan penger-tian frekuensi harapan suatu kejadian? Cobalah nyatakanpengertian frekuensi harapan suatu kejadian dengan kata-kata Anda sendiri.Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelasdefinisi berikut.
  • 68. 62 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam1. Peluang seorang anakterjangkit penyakitdemam berdarah adalah0,087. Tentukan peluangseorang anak tidakterkena demam berdarah.2. Dalam suatu percobaandiambil sebuah kartusecara acak dari satu setkartu remi, kemudianmengembalikannya (satuset kartu remi terdiri atas52 kartu). Tentukanlahfrekuensi harapan yangterambil adalah kartu jackjika percobaan dilakukan117 kali.3. Dalam percobaanmelempar dua kepinglogam secara bersamaan,tentukan frekuensiharapan munculsedikitnya satu muka jikapercobaan dilakukan 200kali.Tantanganuntuk AndaAnda1. Sebuah dadu ditos sebanyak 100 kali, tentukana. harapan muncul mata dadu 5,b. harapan muncul mata dadu yang habis dibagi 3,c. harapan muncul mata dadu prima ganjil,d. harapan muncul mata dadu prima genap, dane. harapan muncul mata dadu ganjil.2. Di sebuah negara diketahui bahwa peluang orang dewasa yangterkena serangan jantung adalah 0,07 dan peluang terkenapenyakit liver adalah 0,17. Jika sebanyak 25.000 orang dewasadi negara tersebut diperiksa, berapa orang dewasa terkenapenyakit serangan jantung dan berapa orang yang terkenapenyakit liver?3. Dalam sebuah penelitian diperoleh data bahwa dari hasilpenyilangan diperoleh hasil 1.000 bunga dengan warna yangberbeda dengan perbandingan 1 putih : 3 merah muda : 1merah. Berapakah banyak bunga merah, merah muda, danputih yang dihasilkan?Jawab:1. a. fHff (mata dadu 5) = 100161006503b. fHff (habis dibagi 3) = 100261003c. fHff ( prima ganjil) = 100261003d. fHff ( prima genap) = 100161006503e. fHff (ganjil) = 10036502. fHff (orang terkena serangan jantung) = 25.000 × 0,07 = 1.750fHff (orang terkena penyakit liver) = 25.000 × 0,17 = 4.2503. Hasil yang diperoleh 1 : 3 : 1, maka banyaknya bunga yangdiperoleh adalahContoh 2.11Frekuensi harapan suatu kejadian ialah frekuensi yang diharapkanterjadinya kejadian tersebut selama n percobaan tersebut. Frekuensiharapan dirumuskan sebagai berikut.fH= n × P(A)Dalam hal ini, n : banyak percobaanP(A) : peluang terjadinya kejadian ADefinisi 2.11
  • 69. 63PeluangSediakan sebuah dadu. Kemudian, bersama kelompok belajarAndalemparkanlah ke atas (sambil diputar) dadu itu sebanyak 100 kali.Catatlah berapa kali muncula. mata dadu bilangan 5,b. mata dadu bilangan yang habis dibagi 3,c. mata dadu bilangan prima ganjil,d. mata dadu bilangan prima genap, dane. mata dadu bilangan ganjil.CobaAnda bandingkan dengan penyelesaian Contoh 2.11(1).Apayang dapat Anda simpulkan? Presentasikan kesimpulan Anda didepan kelas.Aktivitas Matematika• bunga putih =151 000 2001 000. bunga• bunga merah muda =351 000 6001 000. bunga• bunga merah =151 000 2001 000. bungaTes Kompetensi Subbab BKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukan ruang sampel percobaan berikut.a. Pengetosan 3 keping uang logamsekaligus.b. Pengetosan dua keping uang logamdan sebuah dadu.c. Penelitian jenis kelamin tiga bayi.d. Penelitian warna kulit (putih, sawomatang, dan hitam) dari tiga orang.e. Penelitian golongan darah dari empatorang pasien (untuk memudahkan,golongan darah AB ditulis A2).2. Lima puluh dua kartu diberi angka 1, 2,,3, 4, 5, ..., 52. Kemudian, diambil sebuahkartu secara acak. Tentukan peluang:a. terambil kartu berangka ganjil;b. terambil kartu berangka prima;c. terambil kartu berangka habis dibagitiga;d. terambil kartu berangka kelipatanlima;e. terambil kartu berangka kelipatan duadan tiga;f. terambil kartu berangka memiliki 4faktor.3. Di suatu daerah, peluangbayiterkenapolioadalah 0,03 dan peluang terkena campakadalah 0,05. Jika 1.500 bayi di daerah itudiperiksa, berapakah:a. bayi yang terkena polio;b. bayi yang tidak terkena polio;c. bayi yang terkena campak;d. bayi yang tidak terkena campak?
  • 70. 64 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamC. Kejadian MajemukMisalkan, pada sebuah kotak terdapat 2 bola merah dan 3bola hijau. Dari kotak tersebut,Anda akan mengambil 1 buahbola merah dan 1 buah bola hijau. Kejadian terambilnya 1buah bola merah dan 1 buah bola hijau dinamakan kejadianmajemuk.1. Peluang Komplemen Suatu KejadianDiketahui,A adalah kejadian pada sebuah ruang sampel,sedangkan A’ adalah kejadian bukan A yang juga terdapatpada ruang sampel tersebut.Kejadian bukan A atau A’ dinamakan juga komplemenkejadian A. Peluang kejadian A dilambangkan dengan P(A),dan peluang komplemen kejadian bukan A dilambangkandengan P(bukan A) atau P(A’).Amati diagram Venn pada Gambar 2.11. Gambar 2.11menunjukkan ruang sampel yang terdiri atas kejadian A dankejadian bukan A. Peluang ruang sampel sama dengan 1sehinggaP(A(( ) + P(bukan A) = 1atauP(bukan A) = 1 – P(A(( )Abukan AGambar 2.11Situs MatematikaAnda dapat mengetahuiinformasi lain tentangPeluang melalui internetdengan mengunjungi situsberikut.http://mathword.wolfram.com2. Peluang Gabungan Dua Kejadianyang Saling LepasSebuah dadu seimbang dilempar ke atas. Misalkan, Aadalah kejadian (kejadian) muncul dadu bermata ganjil danB adalah kejadian muncul mata dadu genap. Kejadian A danB merupakan kejadian saling lepas sebab irisan dari duakejadian tersebut adalah himpunan kosong.Tentukan peluang komplemen dari peluang berikut.a. Peluang kereta datang terlambat adalah 0,03.b. Peluang Indra meraih juara kelas adalah 0,25.Jawab:a. Komplemen kejadian kereta api datang terlambat adalahkejadian kereta api datang tepat waktu. Peluang kereta apidatang tepat waktu adalah (1 – 0,03) = 0,97.b. Peluang gagal menjadi juara kelas adalah (1 – 0,25) = 0,75.Contoh 2.12
  • 71. 65PeluangA dan B saling lepasP(A(( B) = P(A(( ) + P(B)A dan B tidak saling lepasP(A(( B) = P(A(( ) + P(B) – P(A(( B)Ingatlah1. Pada percobaan mengocok sebuah kartu remi, misalkankejadian A adalah muncul kartu berwarna merah dan kejadianB adalah kejadian muncul kartu berwarna hitam. Apakahkejadian A dan B saling lepas?2. Pada percobaan melempar sebuah dadu dan satu keping uanglogam, tentukan peluang munculnya:a. mata dadu < 3 atau angka;b. mata dadu prima genap atau gambar;Jawab:1. Pada kartu remi terdapat 52 kartu. Banyak kartu merah danhitam masing-masing 26 kartu. Muncul kartu merah terlepasdari muncul kartu hitam. Jadi, kejadian A dan B salinglepas.2. a. Ruang sampel pelemparan dadu = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Misalkan, A = kejadian muncul dadu < 3 sehingga P(A(( ) =2613.Ruang sampel pelemparan satu keping uang logam ={A, G}.Misalkan, B = kejadian muncul angka sehinggaP(B) =12P P PA B A B1312263656.b. A = kejadian muncul mata dadu prima genap sehinggaP(A) =16.B = kejadian muncul gambar sehingga P(B) =12.P P PA B A B16124623.Contoh 2.13TugasBersama kelompok belajarAnda, buatlah tiga contoh duakejadian yang saling lepasdalam kehidupan sehari-hari. Kemudian, jelaskan(presentasikan) di depan kelasmengapa contoh yang Andabuat merupakan dua kejadianyang saling lepas.Diketahui, himpunan A melambangkan kejadian A danhimpunan B melambangkan kejadian B. Apabila P(A) danP(B) setiap peluang kejadian A dan kejadian B yang salinglepas, peluang gabungan 2 kejadian tersebut yang dinyatakanoleh P(A B) adalah P(A) + P(B) – P(A B). Oleh karena AB = Ø maka tentunya P(A B) = 0 sehinggaP(A B) = P(A) + P(B)Artinya, pada dua kejadian A dan kejadian B yang salinglepas, peluang terjadinya kejadian A atau kejadian B adalahpenjumlahan peluang dua kejadian tersebut.Tiga puluh kartu diberi nomor1, 2, 3, ..., 30. Kartu dikocok,kemudian diambil secaraacak. Tentukan:a. peluang kartu yangterambil adalah kartuyang bernomor bukankelipatan 3,b. peluang kartu yangterambil adalah kartuyang bernomor bukankelipatan 3 dan 5, danc. peluang kartu yangterambil adalah kartuyang bernomor bukankelipatan 6.Tantanganuntuk AndaAnda
  • 72. 66 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamembahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeeePePPePePePePePePePP SoalSuatu kelas terdiri atas40 siswa, 25 siswa gemarmatematika, 21 siswa gemarIPA, dan 9 siswa gemarmatematika dan IPA. Peluangseorang tidak gemar mate-matika maupun IPA adalah ....Jawab:n(S) = 40; n(M) = 25; n(I) = 21;n(M I) = 9n(M I) = n(M) + n(I) – n(M I)= 25 + 21 – 9 = 37P(M I)’= 1– P(’M I)= 1nn= 13740340Soal Ebtanas 2000Dua puluh buah kartu diberi nomor 1 sampai 20. Kemudian,dikocok dan diambil secara acak. Tentukanlah peluang dari:a. kartu yang terambil nomor bilangan genap atau nomor 6;b. kartu yang terambil nomor bilangan ganjil atau nomor 15;Jawab:a. • Peluang terambil kartu nomor bilangan genap adalahP(genap) =1020.• Peluang terambil kartu nomor bilangan kelipatan6 adalahP(kelipatan 6) =320.Jadi, peluang terambil kartu nomor bilangan genap atau nomorbilangan kelipatan 6 adalahP(genap atau kelipatan 6) = P(genap) + P(kelipatan 6)=10203201320b. • Peluang terambil kartu nomor bilangan ganjil adalahP(ganjil) =1020.• Peluang terambil kartu nomor 15 adalah P(15) =120.Jadi, peluang terambil kartu nomor bilangan ganjil ataunomor 15 adalah P(ganjil atau 15) = P(ganjil) + P(15)=10203201320.Contoh 2.143. Peluang Dua Kejadian yang SalingBebasa. Kejadian Melempar Dua Mata Uang secaraBersamaanDalam pelemparan dua keping uang logam secaraserempak, apabila G1adalah kejadian muncul permukaangambar pada pengetosan mata uang pertama maka kejadianmuncul permukaan gambar ataupun permukaan angka padamata uang kedua tidak dipengaruhi oleh G1. Begitu pulaapabila A1menyatakan kejadian muncul permukaan angkapada mata uang pertama maka muncul permukaan gambarataupun permukaan angka pada mata uang kedua tidak akandipengaruhi oleh A1.Kejadian pelemparan dua mata uang secara bersamaandinamakan dua kejadian yang saling bebas.1. Sebuah kartu diambilsecara acak dari satu setkartu remi. Tentukanpeluang yang terambil,kartu hitam atau king.2. Sebuah dadu merah dandadu putih dilemparkanbersamaan. Tentukanpeluang muncul matadadu berjumlah 6 atauberjumlah kelipatan 5.Tantanganuntuk AndaAnda
  • 73. 67PeluangMisalkan, G2adalah kejadian muncul permukaangambar pada mata uang kedua dan A2adalah kejadian munculpermukaan angka pada mata uang kedua sehingga ruangsampel untuk pelemparan dua buah mata uang logam adalah{(A1, A2), (A1, G2), (G1, A2), (G1, G2)}.Peluang muncul permukaan gambar pada mata uangpertama sama dengan peluang muncul permukaan gambarpada mata uang kedua sehingga P PP12G1 G2G .Peluang munculnya permukaan angka pada mata uangpertama sama dengan peluang munculnya permukaan angkapada mata uang kedua sehingga P PP12A1 A2A .Peluang munculnya A1dan munculnya A2= P(A1dan A2) = A A1 2AA= P(A1) × P(A2)=121214Jadi, P P PP14A A1 2AAdan A1A A2A .Dengan cara yang sama, coba Anda tunjukkan:P(A1dan G2) = P(A1) × P(G2) =14P(G1dan A2) = P(G1) × P(A2) =14P(G1dan G2) = P(G1) × P(G2) =14b. Kejadian Mengambil Bola dari DalamSebuah TasSebuahkotakberisi5bolahijaudan7bolabiru.Anda inginmengambil dua bola secara bergantian dengan pengembalian.Misalkan, pada pengambilan pertama diperoleh bola hijau,kemudian bola itu dikembalikan lagi ke dalam kotak. Padapengambilan kedua diperoleh bola biru. Kedua kejadianpengambilan bola tersebut dinamakan dua kejadian yangsaling bebas stokastik karena pengambilan bola pertamatidak mempengaruhi pengambilan bola kedua. Ruang sampelkejadian pengambilan bola tersebut adalah sebagai berikut.• Pengambilan bola pertama, ruang sampelnya: {hijau,biru} P(hijau) =512dan P(biru) =712.• Pengambilan kedua (dengan pengembalian), ruangsampelnya: {(hijau dan hijau), (hijau dan biru), (birudan hijau), (biru dan biru)}.
  • 74. 68 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamP(hijau dan hijau) = P(hijau) × P(hijau) =51251225144P(hijau dan biru) = P(hijau) × P(biru) =51271235144P(biru dan hijau) = P(biru) × P(hijau) =71251235144P(biru dan biru) = P(biru) × P(biru) =71271249144Uraian yang telah anda pelajari tersebut memperjelas rumusberikutJika dua kejadian A dan B saling bebas stokastik makapeluang terjadinya kedua kejadian tersebut secara ber-samaan, yang dinyatakan oleh P (P A(( B) adalahP = P PA B A BDua kejadian yang salingbergantung dinamakan jugadengan kejadian bersyarat.Ingatlah1. Sebuah kotak berisi 11 bola yang diberi nomor 1 hingga11. Dua bola diambil dari kotak secara bergantian denganpengembalian. Tentukanlah peluang terambil bola-bolatersebut bernomor bilangana. kelipatan 4 dan nomor 9;b. ganjil dan genap.2. Sebuah kotak berisi 11 bola yang bernomor 1 sampai dengan11. Dua bola diambil dari kotak secara bergantian tanpapengembalian. Tentukanlah peluang terambilnya bola-bolatersebut bernomor bilangan berikut ini.a. Genap, kemudian ganjil.b. Ganjil, kemudian genap.c. Kelipatan 3, kemudian nomor 8.Jawab:1. a. Peluang terambil bola bernomor kelipatan 4 adalahP (kelipatan 4) =211, peluang bola bernomor 9 adalahP(9) =111.Jadi, P (kelipatan 4 dan nomor 9)= P (kelipatan 4) × P(9) =2111112121.b. Peluang bola bernomor bilangan ganjil adalahP (ganjil) =611, peluang bola bernomor bilangan genapadalah P(genap) =511.Contoh 2.15Penerbangan dari bandaraSoekarno-Hatta telahterjadwal teratur. Peluangberangkat tepat waktu adalah0,80. Peluang sampai tepatwaktu adalah 0,75. Adapunpeluang berangkat dansampai tepat waktu adalah0,70. Tentukan:a. peluang pesawat sampaitepat waktu jika diketahuiberangkat tepat waktu;b. peluang berangkat tepatwaktu jika diketahuisampai tepat waktu.Tantanganuntuk AndaAnda
  • 75. 69PeluangJadi, peluang bola bernomor ganjil dan genap adalahP(ganjil dan genap) = P(ganjil) × P(genap)=61151130121.2. a. Peluang bola bernomor bilangan genap adalahP(genap) =511.Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian,jumlah bola di dalam kotak tinggal 10 buah. Peluangterambil bola bernomor bilangan ganjil adalah P(ganjil| genap) =610. Jadi, P(bola bernomor bilangan genapkemudian ganjil) adalahP(genap) × P(ganjil | genap) =511610=30110622.b. Peluang bola bernomor kelipatan 3 adalahP(kelipatan 3) =311.Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian,jumlah bola yang tersedia di dalam kotak tinggal 10 buah.Peluang terambil bola bernomor 8 adalahP(8 | kelipatan 3) =110.Jadi, P (kelipatan 3 kemudian nomor 8) adalahP (kelipatan 3) × P (8 | kelipatan 3) =3111103110.c. Peluangbolabernomorkelipatan4adalahP(kelipatan4)=211. Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengem-balian, jumlah bola yang tersedia dalam kotak tinggal10 buah.Peluangterambilbolabernomor11adalahP(11|kelipatan4)=110. Jadi, P(kelipatan 4 kemudian 11) adalahP( kelipatan 4) × P(11 | kelipatan4) =211110=2110155.Hal Pentingfaktorialkombinasikejadian majemukMari, Cari TahuBersama tujuh orang teman, buatlah poster ilmuwan yang berjasadalam mengembangkan materi peluang, seperti Pierre de Fermatdan Blaise Pascal. Carilah ilmuwan lainnya. Tempelkan hasilnyadi ruangan kelas Anda.
  • 76. 70 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTes Kompetensi Subbab CKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukanpeluangkomplemendarikejadianberikut.a. Peluang hari ini hujan25.b. Peluang pengguna narkotika terinfeksiHIV 0,98.c. Peluang muncul mata dadu angkakurang dari 5 dari pengetosan sebuahdadu adalah23.d. Peluang bayi yang baru lahir hidupadalah 75%.e. Peluang kesebelasanAmemenangkanpertandingan adalah 63%.f. Peluang bukan perokok terkenapenyakit jantung adalah 0,025.2. Pada pengetosan dua buah dadu berwarnamerah dan putih, tentukanlah peluangmuncul jumlah mata dadu sama dengana. 3 atau 5, d. 4 atau 10,b. 3 atau 6, e. 5 atau 6,c. 4 atau 7, f. 6 atau 8.3. Dari seperangkat kartu remi diambilsebuah kartu secara acak. Tentukanpeluang dari kartu yang terambil kartua. as atau king,b. as hati atau queen merah,c. kartu bernomor 10 atau jantung,d. kartu bernomor kelipatan 5 ataubernomor 9,e. kartu bernomor kelipatan 2 atau kartusekop,f. kartu jantung atau kartu bergambar.4. Pada pengetosan dua buah dadu, tentukanpeluang untuk memperoleha. angka ganjil pada dadu pertama danangka genap pada dadu kedua,b. angka kurang dari 4 pada dadupertama dan angka lebih dari 4 padadadu ke dua,c. angka kelipatan dua pada dadupertama dan angka prima ganjil padadadu kedua, dand. angka prima genap pada dadu pertamadan angka kelipatan 3 pada dadu kedua.5. Tiga orang pasien penyakit tumor, ususbuntu, dan hernia akan dioperasi. Peluangketiga pasien itu tertolong adalah sebagaiberikut.Peluang pasien tumor tertolong adalahP(T)TT =217.Peluang pasien usus buntu tertolong adalahP(B) =1017.Peluang pasien hernia tertolong adalahP(H)HH =1417. Tentukan peluang dari:a. ketiga pasien akan tertolong;b. ketiga pasien tidak akan tertolong;c. pasien hernia tertolong, tetapi pasientumor dan usus buntu tidak tertolong;d. pasienususbuntudanherniatertolong,tetapi pasien tumor tidak tertolong;e. pasien tumor tertolong, tetapi pasienusus buntu dan hernia tidak tertolong;f. pasientumordanususbuntutertolong,tetapi pasien hernia tidak tertolong.6. Sebuah kotak berisi lima belas kartubernomor1sampaidengan15.Tigalembarkartu diambil acak secara bergantiantanpa pengembalian. Tentukan peluangkartu-kartu tersebut bernomor bilanganberikut.a. Kelipatan 4, kelipatan 5, kemudiankelipatan 7.b. Nomor ganjil, genap kurang dari 5,kemudian kelipatan 6.c. Nomor genap, prima ganjil kemudiankelipatan 9.7. Misalkan, peluang seorang laki-laki dapathidup sampai 60 tahun adalah 0,75 danperempuan dapat hidup sampai 60 tahunpeluangnya 0,70. Berapa peluang keduaorang itu dapat hidup sampai 60 tahun?
  • 77. 71Peluang8. Dalam sebuah kotak terdapat 7 kelerengmerah, 4 kelereng biru, dan 5 kelerengkuning. Kelereng tersebut diambil secaraacak.a. Tentukan peluang terambilnyakelereng merah atau bukan biru.b. Jika dilakukan tiga kali pengambilansecara berurutan tanpa pengembalian,tentukan peluang terambilnyaberturut-turut kelereng merah, biru,kemudian kuning.9. Sebuahkantongberisi18kelerengmerah,12kelerengkuning,dan8kelerengbiru.Sebuahkelereng diambil secara acak dari kantong.Tentukan peluang terambil kelereng merahatau kuning.• Permutasi adalah susunan dari semua atau sebagian elemensuatu himpunan yang mementingkan urutannya.• Kombinasi adalah susunan dari semua atau sebagian elemensuatu himpunan tidak mementingkan urutannya.• Frekuensi harapan suatu kejadian ialah harapan banyaknyakejadian yang dapat terjadi dari banyak percobaan yangdilakukan. Frekuensi harapan dirumuskanDalam hal ini n : banyak percobaanP(A) : peluang terjadinya kejadian ASekarang, lanjutkanlah rangkuman di atas.RangkumanSetelah Anda mempelajari Bab 2,1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yangmudah,2. bagian manakah yang menurut Anda sangat menarik danpenting untuk dipelajari.RefleksifHff =Hn × P(A(( )
  • 78. 72 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTes Kompetensi Bab 2A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.1. Dari angka 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilanganyang terdiri atas tiga angka yang berbeda.Di antara bilangan-bilangan tersebut yangkurang dari 400 banyaknya adalah ....a. 16 d. 8b. 12 e. 6c. 102. Dua buah dadu ditos sekali. Peluangkedua mata dadu berjumlah bilanganprima adalah ....a.718d.411b.511e.12c.5123. Sebuah dadu dan sekeping logam ditosbersama-sama.Peluangdadumenunjukkanangka genap dan uang menunjukkan angkaadalah ....a.12d.16b.13e.112c. 144. Pada pengetosan dua buah dadu, peluangmunculnya mata dadu berjumlah kurangdari delapan adalah ....a.536d.512b.712e.812c.565. Jika Crnmenyatakan banyaknya kombinasir elemen darir n elemen dan Cn3 = 2n makaC n72= ....a. 16 d. 9b. 12 e. 8c. 116. Tiga keping uang logam ditos sebanyak208 kali. Frekuensi harapan munculnyaminimal dua sisi gambar adalah ....a. 156 d. 72b. 130 e. 52c. 1047. Tiga orang siswa masuk ruangan rapat.Tempat yang masih kosong 5 kursi.Banyaknya cara mereka dapat mengambiltempat duduk adalah ....a. 72 d. 24b. 60 e. 18c. 488. Peluang pada pengetosan 7 mata uangsekaligus yang muncul 3 gambar adalah....a.17128d.31128b.19128e.35128c.271289. Jika P(n + 4,11) : P(n + 3,11) = 14 : 3 makan = ....a. 12 d. 9b. 11 e. 8c. 1010. Koefisien x17dari x5(1 – x2)17adalah ....a. 12.376 d. –6188b. –924 e. 924c. –12.37611. Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama. Peluang munculnya jumlah matadadu 9 atau 10 adalah ....a.536d.936b.736e.1136c.836
  • 79. 73Peluang12. Tono beserta 9 orang temannya bermaksudmembentuk suatu tim bola volley terdiriatas 6 orang. Apabila Tono harus menjadianggota tim tersebut maka banyak timyang mungkin dibentuk adalah ....a. 126 d. 216b. 162 e. 252c. 21013. Tiga buah kelereng merah dan empat buahkelereng putih yang identik dimasukkan kedalam sebuah kotak. Peluang terambilnyasebuah kelereng merah dan dua buahkelereng putih dalam sekali pengambilanadalah ....a.535d.2435b.1235e.3035c.183514. Dua buah dadu ditos bersama. Peluangmunculnya jumlah mata dadu tiga atauenam adalah ....a.1236d.136b.836e.536c.73615. Peluang seorang pemain basket memasuk-kan bola ke dalam keranjang dengan tepatadalah 0,2. Tentukan peluang pemainbasket tersebut memasukkan paling sedikitsekali dari dua kali percobaan ....a.4100d.96100b.210e.2100c.41016. Diketahui bahwa 20% siswa sebuahsekolah dasar bercita-cita ingin menjadidokter, 50% siswa bercita-cita menjadipilot, dan 10% siswa bercita-cita menjadidokter dan pilot. Jumlah siswa yangbercita-cita menjadi dokter atau pilotadalah ....a. 20% d. 50%b. 30% e. 60%c. 40%17. Pelat nomor mobil angkutan umum disuatu kota terdiri atas tiga huruf dan duaangka. Banyaknya cara menyusun pelatnomor tersebut jika tidak boleh ada hurufatau pun angka yang berulang adalah ....a. 26 × 26 × 26 × 9 × 9 carab. 26 × 25 × 24 × 9 × 8 carac. 26 × 25 × 9 × 8 × 7 carad. 26 × 25 × 24 × 10 × 9 carae. 26 × 25 × 10 × 9 × 8 cara18. Peluang seorang siswa mendapat nilai baikdalam mata pelajaran Matematika danFisika berturut-turut adalah 0,2 dan 0,4.Peluang siswa tersebut mendapat nilai baikuntuk salah satu mata pelajaran tersebutadalah ....a. 0,92 d. 0,8b. 0,08 e. 0,6c. 0,8519. Peluang seorang anak menebak dengantepat huruf pertama nama temannya adalah....a. 113d. 252b. 126e. 226c. 12520. Peluang untuk memperoleh bilanganganjil pada sebuah dadu dan gambarpada sekeping mata uang yang dilemparbersama sebanyak satu kali adalah ....a.112d.13b.16e.12c.14
  • 80. 74 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamB. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.1. Dalam satu keranjang terdapat 9 buahtomat. Jika diambil tiga buah tomat secaraacak dari empat buah tomat berwarnamerah, tiga buah tomat berwarna hijaukemerahan, dan tiga buah tomat yangmasih hijau. Tentukan banyaknya carayang dapat dilakukan.2. Dari 36 orang siswa terdapat 22 oranggemar voli, 17 orang gemar tenis, dan4 orang tidak gemar keduanya. Jikaseorang siswa dipilih secara acak, berapapeluang:a. seorang gemar olahraga voli;b. seorang siswa gemar olahraga tenis;c. seorang siswa hanya gemar olahragavoli;d. seorang siswa hanya gemar olahragatenis;e. seorang siswa gemar olahraga volidan tenis.3. Tiga orang perempuan harus dudukdi antara empat orang pria. Tidak adaperempuanyangdudukdipinggirdantidakada perempuan yang duduk berdampingandengan perempuan. Dalam berapa carakondisi tersebut dapat diatur?4. Jabarkan dan sederhanakan bentuk-bentukberikut.a. (3a + b2)4d. (2x2– 3y)6b. (2p + q2)5e. (3a2– 2ab)6c. (3p2– q)5f. (a + 2b – 3c)75. Satu stoples berisi 16 permen rasa cokelatdan 12 permen rasa jeruk. Jika diambil duapermen satu per satu tanpa pengembalian,tentukan peluang yang terambil ituadalaha. keduanya rasa cokelat,b. keduanya rasa jeruk,c. pengambilan pertama rasa cokelat danpengambilan kedua rasa jeruk,d. berturut-turut rasa jeruk, kemudianrasa cokelat.
  • 81. 3Bab75TrigonometriSumber: www.tnial.mil.idAnda telah mempelajari perbandingan trigonometridari sudut berelasi di Kelas X. Pada bab ini, materi itu akandikembangkan sampai ke rumus trigonometri untuk jumlahdan selisih dua sudut. Lebih lanjut, pada bab ini akan dibahasmengenai rumus trigonometri untuk sudut rangkap.Konsep-konsep trigonometri yang akan dibahas di babini sangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuandan teknologi, misalnya dalam menjawab permasalahanberikut.Sebuah roket yang ditembakkan ke atas membentuksudut θ terhadap arah horizontal. Berapakah besar sudut θagar roket mencapai jarak maksimum?Agar Anda dapat menjawab permasalahan tersebut,pelajari bab ini dengan baik.A. Rumus Trigonometriuntuk Jumlah danSelisih Dua SudutB. Rumus Trigonometriuntuk Sudut GandaC. Perkalian,Penjumlahan, sertaPengurangan Sinusdan KosinusSetelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakanrumus trigonometri jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudutganda; merancang rumus trigonometri jumlah dan selisih duasudut dan sudut ganda.
  • 82. 76 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTes Kompetensi AwalSebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.1. Isilah titik-titik berikut.a. cos2a = 1 – ....b. tan........c. sin(180º – A) = ....d. cos(90º – A) = ....e. sin(– α) = .... sin αf. cos(– β) = ....cos βg. cos(90º – β) = ....h. tan(– β) = ....tan2. Tentukan jarak antara titik A(1, –2) danB(4,2).Diagram AlurUntuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikansebagai berikut.TrigonometriRumus Jumlah dan Selisih Rumus Sudut Ganda Rumus Konversiterdiri atas terdiri atas1. Rumus untuk cos (α ± β)2. Rumus untuk sin (α ± β)3. Rumus untuk tan (α ± β)1. Rumus untuk sin 2 α2. Rumus untuk cos 2 α.3. Rumus untuk tan 2 α.Bentuk Kalike JumlahBentuk Jumlahke Kalimenentukandapat berupa
  • 83. 77TrigonometriA. Rumus Trigonometri untukJumlah dan Selisih Dua Sudut1. Rumus untuk Cos (α ± β)Amati gambar Gambar 3.1 dengan saksama. Gambar 3.1menunjukkan lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jarir.Amati lagi gambar tersebut dengan saksama. Dari gambartersebut,diperolehOC=C OB=OD=OA=rdankoordinattitikA, titik B, titik C, dan titik D, yaitu A(r, 0), B(r cos α, rsin α), C(r cos(r α + β), r sin(α + β)), dan D(r cosr β, –r sinr β).Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,diperolehdABd2 2 2 2AB x xA BxxA y yA ByyAsehingga Anda dapat menentukan (AC)2dan (DB)2, yaitua. (AC)2= [r cos (r α + β) – r]2+ [r sin (r α + β) – 0 ]2= r2rr cos2 2(2α + β) – 2r2rr cos (α + β) + r2rr +2r2rr sin2 2nn (2α + β)= r2rr [cos2 2(2α + β) + sin2nn (2α + β)] + r2rr – 22r2rr cos (α + β)= r2rr · 1 + r2rr – 2r2rr cos (α + β) = 2r2rr – 2r2rr cos (α + β)Jadi, (AC)2= 2r2– 2r2cos ( + β)b. (DB)2= (r cosr α – r cosr β)2+ (r sinr α + r sinr β)2= r2cos2α – 2r2cos α cos β + r2cos2β + r2sin2α + 2 r2sinα sin β + r2sin2β= r2(cos2α + sin2α) + r2(cos2β + sin2β ) –2r2cosα cos β + 2r2sinα sin β= r2+ r2– 2r2cosα cos β + 2r2sinα sin β= 2r2rr – 2r2rr cosα cos β + 2β r2rr sinα sin βJadi, (DB)2= 2r2– 2r2cos cos β + 2r2sin sin βΔOCA kongruen dengan ΔOBD sehingga AC =C DB.Coba Anda kemukakan alasan mengapa ΔOCA kongruenΔOBD.Jadi, AC2= DB2.2r2– 2r2cos (α + β) = 2r2– 2r2cos α cos β + 2r2sin α sin β–2r2cos (α + β) = –2r2cos α cos β + 2r2sin α sin βcos (α + β) = cos α cos β – sin α sin βcos (α + β) = cos α cos β – sinβ α sin βDABCOryyxβ–βαGambar 3.1
  • 84. 78 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamRumus untuk cos(α – β) dapat diturunkan dari rumuscos (α + β), yaitucos(α – β)= cos (α + (–β– ))= cos α cos(–β– ) – sin α sin(–β– )= cos α cos β + sin α sin βcos (α – β) = cos α cos β + sinβ α sin β1. Hitunglah cos 75°.2. Buktikancoscostancostan1 .Jawab:1. cos 75°= cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30°=122123122122=1461421422 3 12. coscoscos sincoscoscos sincoscocc scossincostan tacoscossincos1 ntan tannContoh 3.1Pembahasan SoalDiketahui cos(A – B) =35dancos A . cos B =725. Tentukannilai tan A . tan BJawab:cos (A – B) =cos A cos B + sin A sin Bsin A sin B =cos (A – B) – cos A cos B=35725=15 725825tan A tan B =sin sincos cosA BA B=82572587Ebtanas 19982. Rumus untuk sin (α ± β)Anda tentu masih ingat pelajaran di Kelas X tentangsudut komplemen.Anda dapat menentukan rumus sin (α β)dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri duasudut komplemen berikut.cos (90° – α) = sin α dan sin (90°– α) = cos αDengan menggunakan rumus perbandingan trigonometridua sudut komplemen, diperolehsin (α + β) = cos [90° – (α + β)]= cos [(90° – α) – β]= cos (90° – α) cos β + sin (90° – α) sin β= sin α · cos β + cos α · sin βsehingga sin (α + β) = sin α cos β + cosβ α sin βRumus sin (α – β) dapat diperoleh dari rumus sin (α + β),yaitusin (α – β) = sin (α + (–β– ))= sin α cos (–β– ) + cos α sin (–β– )= sin α · cos β – cos α · sin β
  • 85. 79TrigonometriJadi, sin (α – β) = sin α cos β – cosβ α sin βSekarang, coba jelaskan dengan kata-kata Anda sendirirumus-rumus yang diberi kotak.1. Hitunglah sin 15°.2. Hitunglah si cn os cos14141414.Jawab:1. sin 15°= sin (45°–30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°=122123122122=146142142 6 22. Soal tersebut bentuknya sama dengan rumussin α cos β + cos α sin β = sin (α + β) dengan1414. Akibatnya,si cn os cos14141414= si cn os cos14141414= sin121Dapatkah Anda mengerjakan dengan cara lain? Silakan coba.Contoh 3.23. Rumus untuk tan (α ± β)Anda telah mempelajari bahwatansincosKemudian, Anda juga telah mempelajari bahwacos (α + β) = cos α cos β – sinβ α sin βdansin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β1. Jelaskan mengaparumus tan(t –t β) =tanttantantan1tidak bisa digunakanuntuk menunjukkantan cot2.2. Perhatikan uraian berikut.tantantantqpq tanq tan+ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯=( )/p( )/p=21 tanq tan- /panaatantantantantanqqqq10 101( )/ 2+( )/ 2-=-=--= -tancotqqJelaskan alasan setiaplangkah pada uraiantersebut.Tantanganuntuk AndaAnda
  • 86. 80 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamSekarang, pelajari uraian berikut.tansincossin coscos sincocc s sincos sin=sin coscos sincos coscos sincos sin11cos=sin coscoscos sinccos sincoscos sinosoosincoscoscosccoscoscossincososoocossincoscoscossincos=sincossincossincossincostan t1anaatan tan1 tanJadi, tantan1 tan+ tantantanRumus tan(α – β) diperoleh dari rumus tan(α + β),sebagai berikut:tantantan tantantantan tan1tan1Jadi, tan =tan1 ttantantan1. Jika tan 5° = p, tentukan tan 50°.2. Dalam segitiga lancip ABC, diketahui sinC213. Jika tanA tan B = 13 maka tentukan tan A + tan B.Jawab:1. tan 50° = tan (45° + 5°) =tan tantan45 51 4tan 5 5tano otan 5o o5tan=11 1111ppppContoh 3.3Jelaskan makna dari π jikadikatakan cos2= 0dan π = 3,14Tantanganuntuk AndaAnda
  • 87. 81Trigonometri2. Langkah ke-1Tuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan darisoal tersebut.Diketahui: • sinC213• tan A tan B = 13• ΔABC lancip.CDitanyakan: Nilai (tan A + tan B).Langkah ke-2Menentukan konsep yang akan digunakan dalam menjawabsoal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah konsepsudut dalam suatu segitiga dan rumus trigonometri untukjumlah dua sudut.Langkah ke-3Menentukan nilai (tan A + tan B) dengan strategi yang telahdiketahui. Sudut-sudut dalam ΔABC berjumlah 180° sehinggaCA + B + C = 180°.CA + B + C = 180°CC = 180° – (C A + B)sin iC sin A B213Karena ΔABC lancip maka (C A + B) terletak di kuadran II.sin (A + B) =yr213sehingga y = 2 dan r = 13x =x r y2 213 4 3tan (A + B) =yx2323tan (A + B) =tan + tan1 – tan tanA B+ tanA Btan23 1 13tan taA B+ tantan A + tan B =23812Kuadran IIrBA + Byy ++x ––Tes Kompetensi Subbab AKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Jika cos 5° = p, sin 5° = q, dan tan 5° = r,tentukan nilai daria. cos 25° d. sin 95°b. cos 80° e. tan 55°c. sin 40° f. tan 10°2. Tentukan nilai daria. cos 80° cos 55° – sin 80° sin 55°b. cos 350° cos 20° + sin 350° sin 20°c. sin 250° cos 25° – cos 250° sin 25°d.tan tan85 351 8tan 5 3tan 5o otan 35o o3tan 5
  • 88. 82 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alame.tan tantan tan390 751 390 75o otan 75o otan 753. Buktikan bahwaa. cos (60° – b) – cos (60° + b) = 3 sin bb. sin (a + 45°) + sin (a a – 45°) =a 2 sin ac. (cos a – cos b)2+ (sin a – sin b)2=2 (1 – cos (a – b))d. cos a2= sin ae. sin a = – sin a4. a. Jika α dan β sudut lancip, cos45,dan sin513, tentukan cos (α – β).b. Jika α di kuadran I, β di kuadran III,tan34, dan tan724, tentukancos (α + β).c. JikaαdanβdikuadaranII,sin513,dan tan34, tentukan sin (α + β).5. a. Jika tan11 pdan tan11 p,buktikan bahwa tan(α + β) = –2p2 –2.b. Jika sin b cos (B – a) = sin a cos(b – B), buktikan sin (a – b) = 0.6. Sebatang tongkat yang beratnya w di-pasang engsel pada titik P sehinggatongkat dapat bergerak bebas sepertigambar berikut. Besar tegangan tali sistemini adalahTsin12w. Jika berat tongkat4 6 newton dan α = 75°, berapa newtontegangan tali?PQQQwTT isin αT cos ααααα7. Sebuah benda yang massanya m didorongke atas pada sebuah bidang miring yangkasar seperti ditunjukkan pada gambarberikut. Usaha (W) oleh gaya berat saatWWbenda didorong sejauhe S diruS muskan olehW =W mgs cos (90° + α). Dalam hal ini gadalah percepatan gravitasi bumi yangbesarnya 10 m/s2.a. Tunjukkan bahwa W = –W mgs sin α.b. Jika diketahui massa benda 4 kg,α = 45°, dan benda terdorong sejauh6 meter, berapa newton usaha olehgaya berat itu?NFfSα90o+ αSfB. Rumus Trigonometri untuk SudutGanda1. Rumus untuk sin 2αAnda telah mengetahui bahwasin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.Untuk β = α, diperolehsin (α + α) = sin α cos α + cos α sin αsin 2 α = 2 sin α cos αJadi, sin 2α = 2 sin α cos α
  • 89. 83Trigonometri2. Rumus untuk cos 2αAnda juga telah mempelajari bahwacos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.Untuk β = α, diperolehcos (α + α) = cos α cos α – sin α sin αcos 2α = cos2α – sin2αJadi, cos 2α = cos2α – sin2αUntuk rumus cos2α dapat juga dituliscos 2α = cos2α – sin2αcos 2α = (1 – sin2α) – sin2αcos 2α = 1 – 2 sin2αJadi, cos 2α = 1 – 2 sin2αSekarang, coba Anda tunjukkan bahwacos 2α = 2 cos2α – 13. Rumus untuk tan 2αDari rumustan(α + β) =tantantantantan1Untuk β = α diperolehtan(α + α) =tan tantan tantantantan1tan 2α =21 2tantanJadi, tan 2α =2tan1 tan21. Jika sin A =610dengan 0 < A <12, tentukan sin 2A2 , cos 2A2 ,dan tan 2A2 .2. Buktikan bahwasincos1212Jawab:1. AmatiGambar3.3.DenganmenggunakanteoremaPythagoras,diperolehContoh 3.4xA610Gambar 3.3
  • 90. 84 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamSebuah meriam yang ditembakkan ke atas membentuk sudutterhadap arah horizontal (perhatikan Gambar 3.4). Diketahuikecepatan awal peluru meriam v0m/s dan jarak R yang ditempuhpeluru meriam memenuhi persamaan R =11602v sin ocos .a. Tunjukkan bahwa R =132202v sin .b. Carilah sudut yang memberikan R maksimum.Jawab:a. Langkah ke-1Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan darisoal.Diketahui:• Kecepatan awal peluru meriam = vom/s.• Jarak yang ditempuh peluru meriam = R.Ditanyakan:Menunjukkan R =132202v sinContoh 3.5Gambar 3.4x 10 6 64 82 26• sin A61035• tan Ax6 6834• cos Ax1081045sin2A2 = 2 sin A cos A = 235452425cos2A22 = cos2A2– sin2A2=453516259257252 23tan2A2 =21234134647166412 2tantanAA6672772. 2 sin2α = 1 – cos 2αsin2α =1 221 22cosicosSubstitusikan12ke persamaan tersebut, diperolehsincosicos121 2cos122121sin22
  • 91. 85TrigonometriTes Kompetensi Subbab BKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. a. Jika sin A =915dengan 0 < A <12,hitunglah sin 2A22 , cos 2A22 , dan tan 2A.22b. Jika tan α =2 3 13xxdan α lancip,hitunglah sin 2α, cos 2α, dan tan 2α.2. Jika cos α =155 dan32< α < 2π,hitunglaha. sin 3α c. sin 4αb. cos 3α d. cos 4α3. Jika tan α = –a dan2< α < π, tentukana. sin 3α c. sin 4αb. cos 3α d. cos 4α4. Percepatan yang dialami silinder pejalyang ditempatkan pada bidang miringdengan sudut kemiringan α dirumuskansebagai berikut.a. a = g sin α jika tidak ada gesekanantara silinder dan bidang miring.b. a =23g sin α jika silinder meng-gelinding.Misalkan sudut kemiringannya 22,5°,tentukan percepatan yang dialami silinderjikaa. tidak ada gesekanb. silinder menggelinding(Petunjuk: jangan gunakan kalkulator,gunakan rumus setengah sudut)5. Gambar berikut memperlihatkan sebuahtitik yang bergerak melingkar beraturan.yxPPPP"PPARRR =AAASimpangan dari getaran titikP dirumuskanoleh y = A sin2Tt .Dalam hal ini,A = amplitudo getaran,T = periode getaran, danTt = lamanya titik benda bergetar.tLangkah ke-2Menentukan konsep apa yang digunakan untuk menyelesaikansoal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah rumustrigonometri untuk sudut ganda.Langkah ke-3Menunjukkan R =132202v sin menggunakan strategi yangtelah diketahui.Anda telah mengetahui sin 2 = 2sin cos sehinggaR v v v=v11611622132020202sinsinsinq qcosq qcos22q .b. Untuk kecepatan awala v0, sudut θ terhadap arah horizontalmempengaruhi nilai R. Oleh karena fungsi sinus memilikinilai maksimum 1, R akan maksimum ketika2 = 90° = 45°
  • 92. 86 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamJika periode getaran 8 sekon dan bendatitik bergetar selama32sekon, tentukansimpangan dari getarana. titik Pb. titik P"t(Petunjuk: gunakan rumus setengahsudut).t6. Tulislah rumus sin 4a dan cos 4a.7. Nyatakan sin 16a dengan sin 8a dan cos8a.8. Diketahui sin P =1220, dengan 0 < P <12.Hitunglah sin 2P, cos 2P, dan tan 2P.9. Dengan menggunakan rumus setengahsudut, hitunglah:a. tan 22,5º d. cos 112,5ºb. tan 165º e. sin 292,5ºc. cos 67,5º f. sin 157,5º10. Untuk tan x =x23, tan y =34, hitunglah:a. tan 2 x c. tan (2x2 +x y)b. tan 2 y d. tan (x + 2y)C. Perkalian, Penjumlahan, sertaPengurangan Sinus dan Kosinus1. Perkalian Sinus dan KosinusAnda telah mempelajari rumus-rumus jumlah dan selisihdua sudut, yaitu:cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin βcos (α – β) = cos α cos β + sinβ α sin βsin (α + β) = sin α cos β + cosβ α sin βsin (α – β) = sin α cos β – cosβ α sin βSekarang, Anda akan mempelajari perkalian sinus dankosinus. Untuk itu, pelajari uraian berikut.cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2)Dengan menjumlahkan (1) dan (2), Anda akanmemperolehcos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos βJadi, coscos + cos2coscos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (3)cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (4)Dengan mengurangkan (4) terhadap (3), diperolehcos(α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin βJadi, sincos cos2sincos
  • 93. 87Trigonometrisin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5)sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6)Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperolehsin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos βJadi,sinsin i2cossinsin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (7)sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (8)Dengan mengurangkan (8) terhadap (7), diperolehsin(α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin βJadi, cossin sin2sinembahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeeePePePePePePePePePePP SoalBentuk sederhana 4 sin 36°cos 72° sin 108° adalah ....Jawab4 sin 36° cos 72°sin 108° =2 sin 36° [2 sin 108° cos 72°] =2 sin 36° [sin(108 + 72)° + sin(108 – 72)°] =2 sin 36°[0 + sin 36°] =2 sin236° = 1 – cos 2(36°)= 1 – cos 72°Soal Ebtanas 20001. Hitunglah:a. cos 75° cos15° b. –2 sin 15°sin 75°2. Buktikan 4 sin 72° cos 144° sin 216° = 1 – cos 144°.Jawab:1. a. cos 75° cos 15° =12(cos (75 + 15)° + cos (75 – 15)°)=12(cos 90° + cos 60°) =1201214b. –2 sin 15° sin 75° = cos (15 + 75)° – cos (15 – 7 5)°= cos 90° – cos (–60)°= cos 90° – cos 60°= 0 –12= –122. 4 sin 72°cos 144°sin 216° = 2 sin 72°[2 sin 216°cos 144°]= 2 sin 72°[sin(360°) + sin72°]= 2 sin 72°[0 + sin72°]= 2 sin cos 2 (72°)= 1 – cos2(72°)= 1 – cos144°Contoh 3.62. Penjumlahan dan Pengurangan SinusRumus perkalian sinus dan kosinus di bagian C.1 dapatditulis dalam rumus berikut.cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β .... (9)cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β .... (10)
  • 94. 88 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam1. sin 105° + sin 15° = 2 sin12(105 + 15)° cos12(105 – 15)°= 2 sin12(120)° cos12(90)°= 2 sin 60° cos 45°= 212312212632. cos 75° – cos 15° = –2 sin12(75° + 15°) sin12(75° – 15°)= –2 sin 45° sin 30°= – 212212122Contoh 3.7embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeePePePePePePePePePePP SoalNilai dari sin 105° – sin 15°adalah ....Jawab:sin 105° – sin 15° =2121221231221cossin105 15o o15105 15o o152226Soal Ebtanas 1997sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β .... (11)sin (α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β .... (12)Misalkan, α + β = p dan α – β = q sehingga diperolehp + q = (α + β) + (α – β) = 2α12.... (13)p – q = α + β – α + β = 2β212....(14)Coba Anda substitusikan persamaan (13) dan (14)pada rumus (9) sampai (12). Apakah Anda memperolehkesimpulan berikut?cos p + cos q = 2 cos12(p(( + q) cos12(p(( – q)cos p – cos q = –2 sin12(p(( + q) sin12(p(( – q)sin p + sin q = 2 sin12(p(( + q) cos12(p(( – q)sin p – sin q = 2 cos12(p(( + q) sin12(p(( – q)Rumus tersebut mengubah (konversi) bentuk jumlahatau selisih dua kosinus atau dua sinus menjadi perkalian.
  • 95. 89Trigonometri3. Identitas TrigonometriMisalkan,Anda akan membuktikan kebenaran hubunganberikut.cos s1 tan= cos4 4sin 4sin4sin ...(15)Cara membuktikannya dengan mengubah bentuk darisalah satu ruas persamaan tersebut sehingga menjadi bentukyang sama dengan ruas lainnya.Misalkan, Anda akan mengubah ruas kiri persamaantersebut sehingga menjadi bentuk yang sama seperti di ruasnkanan.costan4 4i41a asin4sina-=( )cos2 2ia asin2sin ( )cos2 2ia asin2sin((( )( )+ )()()()()( -)()(=◊( )-ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯11222secsincos-aaa=( )-ÊËcoscoscossincos222221-aaaaaÁÁÊÊÊÊËËËˈ¯˜ˆˆ¯¯=( )ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯coscoscos22 2i21-aa as- in2sina=( ))( ))=cos cos4 4111--a--a= cos4α .... (16)Bentuk (16) adalah bentuk yang sama dengan bentuk ruaskanan persamaan (15). Untuk menunjukkan kebenaran suatuidentitastrigonometri, diperlukanpemahamantentangidentitasdasar seperti yang telah Anda pelajari dalam pembahasansebelumnya.Sekarang,cobaAndaubahruaskanandariidentitas(15) sehingga diperoleh ruas kiri.embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeeeePePPePePePePePePePeP SoalBentuk21 2tantanxxekuivalendengan ....Jawab:21212 222tantansincossincoscoscosxxxxxxx2 2222212x x2xxxscossinsinSoal Ebtanas 2000
  • 96. 90 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamBuktikan kebenaran identitas berikut.2 3 2 38 2sisincoscosoxxxxxJawab:2 3 2 3 2 3 2 3sisincoscossin c3 os cos s3 inxxxxx xcos x xsinsiss n cossisinsisinx xcosxxxx x2sin1224 4sin24sino28 2cosxxs2 inii o2 2cosx xcos2cosContoh 3.8Tes Kompetensi Subbab CKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukan nilai dari soal-soal berikut ini.a. cos 105º cos 15ºb. sin 75º cos 15ºc. 2 cos 15º sin 45ºd. 2 cos 75º sin 45ºe. 2 sin 82,5º cos 37,5ºf. 2 sin 127,5º sin 97,5º2. Tentukan nilai dari soal-soal berikut.a. sin 75° + sin 15°b. sin 75° – sin 45°c. cos 45° – cos 15°d. cos 105° + cos 15°3. Hitunglah soal-soal berikut.a. cos 465° cos 165°b.sin sincos cos75 1575 15o osin15o ocos15c. cos 220° + cos 100° + cos 20°d. cos 130° + cos 110° + cos 10°e.sin sincos cos115 35115 35o osin 35o ocos 354. Buktikan kebenaran identitas berikut.a.sin sicos costanA BsinA BcosA B2b.sin sicos costan4 2i4 23A2sinA2cosAc. sin sisin sitantanA BsinA BsinA BA B12125. Nyatakan soal-soal berikut sebagai suatujumlah atau selisih.a. cos 3x cos 2x x2 e. 2 cos 3x cos 6x xb. sin 4x44 sin 3x x f. 2 sin 3x sin 5x xc. sin 5x cos 2x x22 g. 2 sin 2x2 cos 7x xd. cos 7x sin 3x x h. 2 cos 5x sin 8x x6. Nyatakan soal-soal berikut sebagai suatuhasil kali.a. cos 3x + cos 2x x2b. cos 4x – cos 3x xc. sin 5x + sin 2x x2d. sin 7x – sin 3x xHal Penting
  • 97. 91Trigonometrie.12123cos cos x3cx osf.125 6cos5 o x6x o7. Buktikan kebenaran identitas berikut.a.sin sicos coscotA AsinA AcosA33b.sin sicos costanA BsinA BcosA B2c.sin sicos coscotA BsinA BcosB A28. Jika x = sin 3x + sin dan y = cos 3 +cos , buktikan identitas berikut.a. x +x y = 2 cos (sin 2 + cos 2 )b.xytan 2c. x2+ y2= 2 + 2 cos 29. Jelaskan strategi yangAnda lakukan untukmenyelesaikan soal pembuktian identitastrigonometri. Bandingkan hasilnya denganteman lain. Manakah yang strateginyalebih baik?• Rumus-rumus jumlah dan selisih sudut adalah1. cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β2. cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β3. sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β4. sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β5. tan (α + β) =tan tantan tan1Sekarang, lanjutkan rangkuman di atas.RangkumanSetelah Anda mempelajari Bab 3,1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit danyang mudah,2. bagian manakah yang menurut Anda amat menarik danpenting untuk dipelajari.Refleksi
  • 98. 92 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTes Kompetensi Bab 3A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.1.sin costan....15 1515o ocos15oa. 243 1 d. 2126b. 243 1 e. 3136c. 2 32. sin (45° + α) – sin (45° – α) = ....a. 2 sin d. 2 cosb. 2sin e. sin 2c. 2 cos3. sin (30o+ β) + cos (60o+ β)= ....a. sin β d. 2 cos βb. cos β e. cos2c. 2 sin β4.sintan....a btana ba. cos a cos b d. –sin a sin bb. sin a sin b e. cos (a–b)c. –cos a cos b5. Jika sin A23dan cos A < 0 maka tan 2A22= ....a. 4 55d. 4 59b. 4 5 e. 4 5c.4 596. Jika sin 38° = p maka sin 76° = ....a. 2 1 2p p1 d. 2p2 2– 1b. 2p2 2+ 1 e.pp1 2c. 2p27. Jika sin ,,coscos45513di kuadran I maka sin(α – β) = ....a.5665d.6365b.3365e.6465c. 16658. Jika cos53dan sin74, α dikuadran II, dan β di kuadran IV makacos (α + β) = ....a.3 5 2 712d.6 3512b.3 53 5 2 712e.8 3512c.6 35129. Jikatansec;211 0 90xxx;1 0; o o90x makasudut x adalah ....xa. 0° d. 60°b. 30° e. 75°c. 45°10. Bentuksin coscos sinx xcosxsin2 2xsinekuivalen dengan ....a.1 2tantanxxd.1 2tantanxxb.tantanxx1 2e.tantanxx1 2c. 1 tan x
  • 99. 93Trigonometri11. sin (x + 30) + cos (x + 60)=…a. sin xx d. cotan xb. cos x e. sec xc. sin x12. –2 sin2sin 15˚ sin 75˚ = ....a.14d.12b.122 e.14c.1213. Jika sin ,,2 107dikuadranIVmakatan ....12a.25e.35b.52d.52c.2514. cos 110° sin 55° = ....a.12165 55sin s165 ino o55sinb.12165 55sin s165 ino o55sinc.1255 165sin s55 ino o165sind.12165 55cos c165 oso o55cose.12165 55cos c165 oso o55cos15. cos 35° – cos 75° = ...a. –2 sin 55° sin 20°b. 2 sin 55° cos 20°c. –2 sin 55° cos 20°d. 2 cos 55° sin 20°e. –2 cos 55°cos 20°16. Periode grafik fungsi y PxPP13adalah23maka nilai P adalah ....a.13d. 6b. 2 e.23c. 317. Identitas yang benar adalah ....(1) cos 2x2 = cosx 4x4– sinx 4x4(2) cos 2x2 = (cosx x + sinx x) (cos x – sinx x)(3) cos 2x22 = sinx2cos 2x22 – cosx2sin 2x22(4) cos 2x2 = 2 cosx 2x2+ 1xa. (1), (2), dan (3)b. (1), dan (3)c. (2) dan (4)d. (4)e. semua benar18. Fungsi y = 4 sin x sin (x x + 60°) mencapaixnilai minimum pada ....a. x = 60° +x k 360°b. x = 60° +x k 180°c. x = 30° +x k 360°d. x = 30° +x k 180°e. x = k 360°19. sin 29212o....a.122 3 d.122 3b.122 2 2 e.122 2c.122 220. Jika cos34maka tan 2 = ....a.247d.245b.247e.247c.245
  • 100. 94 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamB. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.4. Buktikan:a. tansicosA AsinA2 1b. cosec 2A2 =122cotcotAAc. secsectanAAA11 22d. sinsincoscos2 1 2AAA5. Buktikan kebenaran identitas berikut.a. sin sicos costan4 2i4 23A2sinA2cosAb. sin sisin sitantanA BsinA BsinA BA B1212c.sin sicos costanA AsinA AcosA3321. Buktikan bahwaa. si sn in sini40420sinb. sin cos6060cosc.tancottantantantan2 2tan2 2tan12. a. Diketahuiα,β,danγmenyatakanbesarsudut-sudut segitiga ABC, tan α = –3,dan tan β = 1. Tentukan tan γ.b. Jika A + B + C = 180°, tunjukkanbahwa tan A + tan B + tan C = tan A tanB tan C3. Jika 3 cos xx xx6 6cos , tentukan:a. nilai tan 2xb. nilai cos 2xc. nilai sin 4x
  • 101. 4Bab95LingkaranSumber: www.panebianco3D.comAnda telah mempelajari konsep lingkaran di KelasVIII. Pada pembahasan konsep lingkaran tersebut telahdibahas mengenai keliling dan luas daerah lingkaran. Padabab ini, konsep lingkaran akan dikembangkan pada bentukumum persamaan lingkaran dan persamaan garis singgunglingkaran.Konsep lingkaran sangat penting peranannya dalamilmu pengetahuan dan teknologi untuk memecahkan suatumasalah seperti berikut.Gedung Parthenon dibangun 440 SM. Gedung tersebutdirancang oleh arsitek Yunani dengan menggunakanperbandingan nisbah emas.Amati gambar berikut.Pada titik tengah sisi persegi ABCDdibuat busur lingkaran dengan pusat Gdan jari-jari GD . Lingkaran tersebutmemotong perpanjangan BC di F. NisbahBF : AB disebut perbandingan nisbahemas. Menurut para ahli, perbandingannisbah emas merupakan perbandingan yang paling enakdipandang. Jika busur DF memenuhi persamaan x2+ y2–138y – 44 = 0, berapa perbandingan nisbah emas gedungParthenon?A. Persamaan LingkaranB. Persamaan GarisSinggung LingkaranSetelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskanpersamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahanmasalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkarandalam berbagai situasi.A D ECGB F
  • 102. 96 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTes Kompetensi AwalSebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.1. Jelaskan apa yang Anda ketahui Tentangteorema Pythagoras.2. Sebutkan langkah-langkah yang Andalakukan untuk melengkapkan bentukkuadrat ruas kiri persamaan kuadratx2+ 14x = 15.x3. Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan kuadrat berikut.a. x2– 7x + 12 ≤ 0xb. –x– 2+ 4x – 2 ≥ 0x4. Tentukan persamaan garis lurus yangmelalui titik (2,0) dan bergradien 2.5. a. Bagaimana hubungan gradien antaradua garis sejajar? Jelaskan.b. Bagaimana hubungan gradien antaradua garis tegak lurus? Jelaskan.6. Tentukan persamaan garis lurus yangmelalui titik A(1,3) dan B (3,7).7. Tentukan jarak antara titik A (2,2) dan B(5,2).Diagram AlurUntuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikansebagai berikut.LingkaranPersamaanLingkaranPosisi Garisterhadap LingkaranyangPersamaan GarisSinggungPersamaan umumx2+ y2+ Ax + By + C = 0Melalui Satu Titikpada LingkaranMelalui Satu Titik diLuar LingkaranMemiliki GradienTertentuMemotongdi SatuTitikMemotongdi Dua TitikTidakmemotongsyarat syarat syaratD = 0 D > 0 D < 0Pusat M (a,b)dan jari-jari r(x– a)2+ (y – b)2= r2Pusat O danJari-jari rx2+ y2= r2meliputidapatdapat
  • 103. 97LingkaranA. Persamaan LingkaranGambar 4.1 memperlihatkan irisan kerucut berbentuklingkaran. Pada gambar itu tampak bahwa bidang datarnyamengiris seluruh bagian dari selimut dan tegak lurus sumbukerucut.Tentunya, Anda masih ingat definisi lingkaran yangtelah dipelajari di SMP. Agar Anda ingat kembali, berikutini disajikan definisi lingkaran.Gambar 4.1Gambar 4.2Definisi 4.1Lingkaran ialah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyaijarak yang sama terhadap satu titik tertentu.1. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0, 0) dan Berjari-jari rAmati Gambar 4.2. Diketahui, titik P(x, y) adalah titiksebarang pada lingkaran L. Apabila titik P diproyeksikanpada sumbu-x maka diperoleh titikx P sehingga segitiga OPPadalah segitiga siku-siku di P.Pada segitiga OPP berlaku Teorema Pythagoras sebagaiberikut.OP2= (OP)2+ (PP)2r2= x2+ y2Lingkaran L dapat dituliskan sebagai berikut.LL= x y r2x y y2 2Pandang titik P1(x1, y1) pada ∆OP1P1. Pada segitigatersebut berlaku x21+ y21= r21. Pandang titik P2(x2, y2) pada∆OP2P2. Pada segitiga tersebut berlaku x22+ y22= r22, danseterusnya. Secara umum untuk setiap titik P(x, y) padalingkaran ini berlaku x2+ y2= r2.Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) danberjari-jari r adalahrx2xx + y2= r2rrOP2(x2,y2)rrP1(x1,y1)P(x,y)rP2P1y1Px1x2y2
  • 104. 98 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) denganpanjang jari-jari 2 3 .2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0)dan melalui titik (–6, –8).Jawab:1. Jari-jari r = 2 3 sehingga r2=22 3 = 12.Jadi, persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari2 3 adalah x2+ y2= 12.2. Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari radalahx2+ y2= r2.... (1)Oleh karena lingkaran melalui titik (–6, –8) maka denganmenyubstitusikan (–6, –8) pada persamaan (1), diperolehx2+ y2= r2(–6)2+ (–8)2= r2r2= 36 + 64 = 100r =r 100 = 10Kemudian, r2= 100 substitusikan pada persamaan (1),diperoleh x2+ y2= 100.Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2+ y2= 100.Contoh 4.12. Persamaan Lingkaran dengan PusatT (a, b) dan Berjari-Jari rDiketahui, sebuah lingkaran berpusat di titik T(TT a,b)dengan jari-jari r seperti diperlihatkan pada Gambar 4.3. TitikrP(x(( , y) adalah titik sebarang pada lingkaran, garis g adalahgaris yang melalui titik pusat T(TT a, b) dan sejajar dengansumbu-x. Proyeksi titik P terhadap garis g adalah titik Qsehingga segitiga TPQ siku-siku di Q.Diketahui jarak TQ = (x(( – a– ) dan jarak PQ = (y – b). Padasegitiga TPQ berlaku teorema Pythagoras sebagai berikut.TP2= TQ2+ PQ2r2= (x –x a)2+ (y – b)2Lingkaran L dapat dituliskan sebagai berikut:LL: {(x, y)(x –x a)2+ (y – b)2= r2}Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di T(TT a, b) danberjari-jari r adalahr(x – a)2+ (y – b(( )2= r2rrSelanjutnya, persamaan tersebut dinamakan persamaanlingkaran standar (baku).T(a,b)xP(x,y)yQ grbayxGambar 4.3
  • 105. 99Lingkaran1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2,–1) denganjari-jari 3 2 .2. Tentukan persamaan lingkaran standar dengan pusat T (3,–4)dan menyinggung garis 4x – 3x y – 49 = 0.Jawab:1. Persamaan lingkaran standar (x – a)2+ (x – b)2= r2.Untuk pusat (2,–1) dengan jari-jari 3 2 , diperoleh(x – 2)x 2+ (y – (–1))2=23 2 (x – 2 )– 2+ (y + 1)2= 18Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x –(( 2 )– 2+ (y(( + 1)2= 18.2. Rumus jarak dari titik T (T x1, y1) ke garis ax +x by + c = 0adalahd =dax b ca b1 1y2 2bby1byJarak dari pusat T (3,–4) keT garis 4x – 3y – 49 = 0 adalah jari-jari lingkaran, yaitur =r4 3 3 49412 12 4952 2. 3 4312= 5Jadi, persamaan lingkarannya adalah(x – 3)2+ (y + 4)2= 25.Contoh 4.23. Bentuk Umum Persamaan LingkaranAnda telah mempelajari persamaan lingkaranyang berpusat di titik T (T a, b) dengan jari-jari r, yaitu(x – a)2+ (y – b)2= r2.Jika persamaan tersebut diuraikan maka diperolehx2– 2ax +x a2+ y2– 2by + b2= r2x2+ y2– 2ax – 2x by + (a2+ b2– r2) = 0x2+ y2+ Ax +x By + C = 0Cdengan A = –2a; B = –2b; dan C = (C a2+ b2– r2); A, B, danC bilangan real. Jadi,Cx2xx + y2+ Ax + By+ C = 0adalah persamaan lingkaran yang berpusat di T(TT a, b) denganjari-jari r, A = –2a, B = –2b, C =C a2+ b2– r2, A, B, dan Cbilangan real.
  • 106. 100 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamCobalah Anda ubah persamaan lingkaran x2+ y2+ Ax +xBy + C = 0 ke dalam bentuk kuadrat sempurna. TuliskanClangkah-langkahnya di buku tugas Anda, kemudian kum-pulkan pada guru Anda.Jika bentuk umum persamaan lingkaran itu diubah dalambentuk kuadrat sempurna maka diperolehx2+ y2+ Ax +x By + C = 0C(x2+ Ax) + (y2+ By) = –Cx A AxA y By BB2221212AxAA y2 21212A B CBBx A x Bx22121222 21414BA2CDari persamaan tersebut, diperoleh pusat lingkaran1212A B1, dan jari-jari lingkaran r =r14142 21A2 1C2B .1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2xx + y2– 4x44 + 6x y6 – 3 = 0.y2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 2x2 2+2y2– 4x4 –12x y2 =101.Jawab:1. Bentuk umum persamaan lingkaran adalahx2+ y2+ Ax +x By + C = 0CDengan demikian, A = –4, B = 6, dan C = –3.CPusat M1212A B1, = M (2,–3)MJari-jari r =r141414161436 3 162 21A2 1C2B 16 3.16 = 42. Ubahlah persamaan pada soal menjadi bentuk umum, sepertiberikut.2x22 2+ 2y2 2– 4x44 – 12x y2 – 101 = 0 x2+ y2– 2x22 – 6x y6 – 1012= 0Dengan demikian, A = –2, B = –6, dan C = –C 1012.Pusat M1212A B1, = M1212, = (1, 3)Jari-jari r =r144143610121 91012.4 36. 112121121122Contoh 4.3Soal Terbuka1. Buatlah 3 buahpersamaan lingkaran yangberpusat di (0, 0). Berikanhasilnya kepada temanAnda untuk dicek dan berikomentar.2. Buatlah 3 buahpersamaan lingkaran yangberpusat di (a,b). Berikanhasilnya kepada temanAnda untuk dicek dan berikomentar.TugasBersama kelompok belajarAnda, gambarlah pada kertasgrafik Anda persamaanlingkaranx2xx + y2yy – 2x – 6x y6 –y 1012= 0.Kemudian, hasilnyakumpulkan pada guru Anda.
  • 107. 101Lingkaran4. Posisi Titik terhadap LingkaranBentukgeometrispersamaanlingkaran(x(( –2)x 2+(y(( –2)y 2=9diperlihatkan pada Gambar 4.4. Pada gambar itu tampakbahwa titik P1(1, 3) terletak di dalam lingkaran, titik P2(5, 2)terletak pada lingkaran, sedangkan titik P3(6, –3) terletak diluar lingkaran.Anda dapat mengetahui posisi titik P(x1, y1) terhadaplingkaran yang berpusat di T(TT a, b) berjari-jari r hanya denganrmengetahui jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(TT a, b).• Jika jarak titik P(x(( 1, y1) ke pusat lingkaran T(TT a, b) kurangdari jari-jari lingkaran maka titik P(x1, y1) berada didalam lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar4.5(a). Secara matematis ditulis |PT| < r2 2x a1 y b1y < r(x1– a)2+ (y1– b)2< r2ataux12+ y12+ Ax1+ By1+ C < 0C• Jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(TT a, b) samadengan jari-jari lingkaran maka titik P(x1, y1) beradapada lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 4.5(b).Secara matematis, ditulis |PT| = r2 2x a1 y b1y = r(x1– a)2+ (y1– b)2= r2ataux12+ y12+ Ax1+ By1+ C = 0C• Jika jarak titik P(x1, y1) ke pusat lingkaran T(TT a, b) lebihdari jari-jari lingkaran maka titik P(x1, y1) berada di luarlingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 4.5(c).Secara matematis ditulis |PT| > r2 2x a1 y b1y > r(x1– a)2+ (y1– b)2> r2ataux12+ y12+ Ax1+ By1+ C > 0CGambar 4.4Gambar 4.5(a)|PT| = r(b)rP(x11, y11)|PT|TTT(a, b)|PT|TT < rP(x1, y1)|PT|TTT(a, b)rP(c)|PT| > rr|PT|T(a, b)P(x1, y1)Tentukanlah posisi titik A(5, 1), B(4, –4), dan C(6, 3) terhadaplingkaran dengan persamaan x2+ y2– 4x + 6x y – 12 = 0.Jawab:Persamaan lingkaran x2+ y2– 4x + 6x y – 12 = 0 dapat diubahsebagai berikut.x2+ y2– 4x + 6x y – 12 = 0(x2– 4x) + (y2+ 6y) – 12 = 0(x2– 4x + 4) + (x y2+ 6y + 9) – 12 = 0 + 4 + 9 ...keduaruasditambah4dan9Contoh 4.4Soal TerbukaBuatlah sebuah persamaanlingkaran. Kemudian,tentukan titik-titik yangberada di dalam, di luar, danpada lingkaran (masing-masing 3 buah).P3(6,–3)yP1(1,3)r = 3 P2(5,2)T(2,2)x
  • 108. 102 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamDiketahui garis lurus g dengan persamaan y = mx + 2 dan lingkaranL dengan persamaanL x2+ y2= 4.Agar garis g memotong lingkaranL di dua titik yang berbeda, tentukan nilaiL m yang memenuhi.Contoh 4.55. Posisi Garis terhadap LingkaranDiketahui garis g: y = mx +x n, dan lingkaranL: x2+ y2+ Ax +x By + C = 0. PerpotonganC garis g denganlingkaran L adalahx2+ y2+ Ax +x By + C = 0Cx2+ (mx +x n)2+ Ax +x B (mx +x n) + C = 0Cx2+ m2x2 2+ 2mnx +x n2+ Ax +x Bmx +x Bn + C = 0C(1 + m2)x2+ (2mn + A + Bm)x +x n2+ Bn + C = 0CNilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalahD = b2– 4ac= (2mn + A + Bm)2– 4(1 + m2) (n2+ Bn + C)• Jika D > 0, diperoleh dua buah akar real yang berlainan.Secara geometris, garis g: y = mx +x n akan memotonglingkaran x2+ y2+ Ax +x By + C = 0 di dua titik yangCberlainan, seperti pada Gambar 4.6(a).• Jika D = 0, diperoleh dua buah akar real yang sama.Secara geometris, garis g: y = mx +x n akan memotonglingkaranx2+ y2+ Ax +x By + C = 0, di satu titik. DikatakanC garisg menyinggung lingkaran tersebut, seperti diperlihatkanpada Gambar 4.6(b).• Jika D < 0, diperoleh dua buah akar imajiner yangberlainan. Secara geometris, garis g : y = mx +x n tidakmemotong atau menyinggung lingkaran x2+ y2+ Ax +xBy + C = 0 seperti diperlihatkan pada Gambar 4.6(c).C(b)(c)(a)(a)T(a,b)Pg(b)gT(a,b)PgT(a,b)PGambar 4.6(x – 2)x 2+ (y + 3)2– 12 = 13(x – 2)x 2+ (y + 3)2= 25Titik A (5, 1) terletak pada lingkaran sebab (5 – 2)2+ (1 + 3)2= 25.Titik B (4, –4) terletak di dalam lingkaran sebab(4 – 2)2+ (–4 + 3)2< 25.Titik C (6, 3) terletak di luar lingkaran sebabC(6 – 2)2+ (3 + 3)2> 25.
  • 109. 103LingkaranTitik A(4,8), B(2,4), dan C(10,0)terletak pada lingkaran.a. Tunjukkan bahwa segitigaABC adalah segitiga siku-Csiku di B.b. Mengapa titik P(7,0)adalah pusat lingkaran?Jelaskanc. Hitunglah jari-jarilingkaran tersebut.d. Carilah persamaanlingkaran tersebut.Tantanganuntuk AndaAndaTes Kompetensi Subbab AKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukan persamaan lingkaran dalambentuk standar (baku) untuk setiap soalberikut.a. Pusat (–2, –1) dan jari-jari 3 3 .b. Pusat (1, –3) dan melalui titik (1, 1).c. Pusat (1, –2) dan diameter 4 2 .d. Mempunyai diameter yang ujungnyamelalui titik (1, –1) dan (1, 5).2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran soal-soal berikut.a. x2+ y2– 10x + 6x y + 16 = 0b. 4x2+ 4y2+ 8x – 16x y + 17 = 0c. 3x2+ 3y2– 12x2 + 18x y + 35 = 0d. 4x2+ 4y2+ 4x + 12x y + 1 = 03. Bagaimana posisi titik-titik berikut ini(di dalam, pada, atau di luar lingkaran)terhadap lingkaran yang diketahui?a. P(–1,6), Q(1,4), dan R(–3,5) terhadaplingkaran xn 2xx + y2+ 2x22 – 10x y0 + 22 = 0.yb. K(–2,1),KK L(–1,0), dan M (5,4) terhadapMlingkaran x2+ y2– 4x – 6x y – 5 = 0.4. Sebuahayunanbandulbergerakbolak-balikseperti diperlihatkanpada gambar berikut.Lintasan ayunanbandul (busur AB padagambar) memenuhi persamaan lingkaran2x2 2+ 2y2– 6,8y – 1,9 = 0.a. Berapa panjang ayunan bandul?b. Berapa koordinat titik P?5. Nyatakan apakah garis y =12x + 5memotong lingkaran x2+ y2= 9 di satutitik, dua titik, atau tidak memiliki titikpotong.6. Bentuk geometris jendela sebuah gedungterdiri atas persegipanjang dan setengahlingkaran. Jendela tersebut dirancang oleharsitek menggunakan sistem koordinatseperti diperlihatkan pada gambar berikut.Jika keliling setengah lingkaran darijendelatersebut memenuhi persamaanx2+ y2–3y + 1,25 = 0,berapa m2luas daerah jendela tersebut?(Petunjuk: anggap satuan luasnya m2).yxA BBPJawab:y = mx + 2 makax y2= (mx + 2)x 2= m2x2+ 4m x + 4xx2+ y2= 4 x2+ m2x2 2+ 4mx + 4 = 4x(1+ m2)x2+ 4mx = 0xDiskriminan D = (4m)2– 4 (1 + m2) (0)D = 16m2Agar garis g memotong lingkaran L di dua titik maka haruslahL D > 0.Dengan demikian, 16m2> 0m2> 0m > 0Jadi, nilai m yang memenuhi adalah m > 0.
  • 110. 104 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamB. Persamaan Garis SinggungLingkaran1. Persamaan Garis Singgung MelaluiSuatu Titik pada LingkaranTitikP(x(( 1,y1)terletakpadagarisgdanlingkaranx2xx +y2=r2rr ,seperti diperlihatkan pada Gambar 4.7.Gradien garis yang menghubungkan titik O dan titik Padalah mOP=yx11. Garis g menyinggung lingkaran di P, jelasOP g sehingga mOP·mg= –1 atau mg=1mop. Akibatnya,gradien garis g adalah mg=1mop=xy11.Jadi, persamaan garis singgung g adalahy – y1= mg(x –x x1) y – y1=xy11(x –x x1)y1(y – y1) = –x– 1(x –x x1)x1x +x y1y = x12+ y12.... (i)Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran x2+ y2= r2sehinggax12+ y12= r2....(ii)Apabila persamaan (ii) disubstitusikan ke persamaan(i) diperolehg: x1x +x y1y11= r2rrPersamaan tersebut adalah persamaan garis singgungyang melalui titik P(x1, y1) dan terletak pada lingkaranL : x2+ y2= r2.Anda pun dapat menentukan persamaan garis sin-gung g melalui titik P (x1, y1) yang terletak pada lingkaranL : (L x(( –x a)2+ (y( – b) = r2dengan pusat di M(MM a, b) dan jari-jari r,yaitug: (x –x a) (x1– a) + (y(( – b) (y(( 1– b) = r2rrBersama teman sebangku, buktikan persamaan tersebut.Kemudian, kemukakan hasilnya di depan kelas (beberapaorang saja).Diketahui titik P(x1, y1) terletak pada garis g danlingkaran L: x2+ y2+ Ax +x By + C = 0 seperti diperlihatkanCpada Gambar 4.8. Gradien garis yang menghubungkan titikT dan titikT P adalahP(x1, y1)yxOyrx QgGambar 4.7
  • 111. 105LingkaranmTP=y bx a11.Garis g menyinggung lingkaran makag TP dan mg· mMP= –1 sehingga mg=x ay b11Jadi, persamaan garis singgung g adalahy – y1= mg(x –x x1)y – y1=x ay b11(x –x x1)(y – y1) (y1– b) = –(x1– a) (x –x x1)y1y – by – y12+ y1b = –x– 1x +x x12+ ax –x ax1y1y – by + y1b + x1x –x ax +x ax1= x12+ y12.... (1)Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran L sehinggadiperolehx12+ y12+ Ax1+ By1+ C = 0Cx12+ y12= – (Ax1+ By1+ C) .... (2)Substitusikan (2) pada (1), diperolehy1y – by + y1b + x1x –x ax +x ax1= –(Ax(( 1+ By1+ C) .... (3)Dari uraian sebelumnya, diperoleh –12A = a,–12B = b .... (4)bSubstitusikan (4) pada (3) sehingga persamaan (3)menjadiy1y +y12B y –y12B y1+ x1x +x12A x –x12A x1= –Ax– 1– By1– Cy1y +12B y +12B y1+ x1x +x12A x +x12A x1+ C = 0Cx1x + y1y +12A (x + x1) +12B (y + y1) + C = 0Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik P(x(( 1,y1) dan terletak pada lingkaran L: x2+ y2+ Ax +x By + C = 0Cadalahxx1+ yy1+12A (x +x x1) +12B (y(( + y1) + C = 0Gambar 4.8P(x1, y1)y(y1–b)T(a, b)(x( 1–a))xyyg1. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2+ y2= 25di titik (4, –3).2. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran(x(( + 2)x 2+ (y – 1)2= 25 di titik (–6, 4).Contoh 4.6
  • 112. 106 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamMari, Cari TahuBuatlah kelompok yang terdiri atas 4 orang. Gradien suatu garislurus biasanya dilambangkan dengan m. Cari informasi di bukulain atau internet, mengapa huruf m yang digunakan? Selidikipula adakah huruf lain yang digunakan? Tuliskan laporannya danpresentasikan hasil tersebut di depan kelas.2. Persamaan Garis Singgung MelaluiSuatu Titik di Luar LingkaranDiketahui titik P(x1, y1) berada di luar lingkaranL: x2+ y2= r2… (1)Misalkan, persamaan garis singgung yang melaluiP(x1, y1) adalahg: y = y1+ m(x – x1) …(2).Jika g menyinggung L di titik Q, Anda dapatmenyubstitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) sehinggadiperoleh persamaan kuadrat dalam x. Selanjutnya,Anda caridiskriminan (D) persamaan kuadrat tersebut. Oleh karenag menyinggung L maka D = 0 sehingga nilai-nilai m dapatdiperoleh.Apabila nilai m diketahui,Anda dapat menentukanpersamaan garis singgung g dengan cara menyubstitusikan mke persamaan garis g tersebut. Untuk lebih jelasnya, pelajaricontoh berikut.Jawab:1. Titik (4, –3) terletak pada lingkaran sebab 42+ (–3)2= 25.Persamaan garis singgung g: x1x +x y1y = r2dengan x1= 4 dany1= –3 adalah 4x4 – 3x y = 25.2. Titik (–6, 4) terletak pada lingkaran karena (–6 + 2)2+ (4 – 1)2= 25. Diketahui a = –2 dan b = 1 maka persamaan garissinggung(x1– a)(x –x a) + (y1– b)(y – b) = r2(x1+ 2) (x + 2) + (x y1– 1) (y – 1) = 25Untuk x1= –6 dan y1= 4 diperoleh(–6 + 2) (x + 2) + (4 – 1) (x y – 1) = 25–4 (x + 2) + 3(x y – 1) = 25–4x – 8 + 3x y – 3 = 25–4x + 3x y = 14
  • 113. 107Lingkaran1. Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x2+ y2= 25yang dapat ditarik dari titik (7, –1).2. Tentukan koordinat-koordinat titik singgung.3. Tentukan persamaan garis yang menghubungkan titik-titiksinggung.Jawab:1. Titik P (7, –1) terletak di luar lingkaran. CobaAnda buktikanhal ini.Misalkan, persamaan garis singgung yang melalui (7, –1)dengan gradien m adalahy + 1 = m(x – 7)xy = mx – 7x m – 1 ... (1)Substitusi (1) ke persamaan lingkaran x2+ y2= 25,diperolehx2+ (mx – 7x m – 1)2= 25x² + m²x² ² – 14m²x² – 2x mx + 49x m² + 14m + 1 = 25(1 + m²)x² – (14m² + 2m)x + (49x m² + 14m – 24) = 0Nilai diskriminan, yaituD = (14m² + 2m)² – 4 (1 + m²) (49m² + 14m – 24)D = 196m4+ 56m3+ 4m² – 100m² – 56m + 96 – 196m m4– 56m3D = –96m2– 56m + 96Syarat garis menyinggung lingkaran adalah D = 0 sehingga–96m2– 56m + 96 = 0atau 12m2+ 7m – 12 = 0m=7 252434atau m =7 252443• Untuk m=34substitusikan pada persamaan (1) diperolehpersamaan garis singgung: y =34x – 7.x34–1 =34254xatau 4y – 3x + 25 = 0.x• Untuk m = –43substitusikan pada persamaan (1)diperoleh persamaan garis singgung:y = –y43x + 7.x43– 1 =43253atau 3y + 4y x44 – 25 = 0.xJadi, persamaan garis singgung lingkaran x2+ y2= 25 di titik(7, –1) adalahl: 4y – 3x + 25 = 0 danx g: 3y + 4x – 25 = 0.x2. Misalkan, titik A adalah titik singgung garis l: 4y – 3x + 25 = 0xdengan lingkaran.Contoh 4.7embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeeePePePePePePePePePePP SoalPersamaan garis singgungmelalui titik (9, 0) padalingkaran x2 +xx y2 = 36 adalahyy....Jawab:Misalkan, persamaan garissinggungy – 0 =y m(x – 9)xy =y mx – 9x mmakax2 + (xx mx – 9)2 = 36xx2 +xx m2x2 2 – 18xx mx + 81 = 36x(1 + m2)x2 – 18xx mx + 45 = 0xsyarat menyinggung:(18m)2 – 4(1 + m2)(45) = 0324m2 – 180m2 – 180 = 0144m2 = 180m2 =54m =±125y =y 52(x – 9)5 2 9 5x y2y = 52(x – 9)5 2 9 5x y2Soal Ebtanas 1998
  • 114. 108 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alaml: 4y – 3x + 25 = 0x atau l: y =34254x .Substitusi garis l ke persamaan lingkaran x2+ y2= 25diperolehx2+ 34253x = 25 x2+916758625162x x = 252516758625162x x = 2525x2– 150x + 225 = 0xx2– 6x + 9 = 0x(x – 3)x 2= 0x = 3.xCobaAnda substitusikan x = 3 pada persamaanx garis singgungy = 34254xApakah Anda memperoleh titik singgung A (3, –4)?Misalkan,titikB adalah titik singgung garis g: 3y + 4x4 – 25 = 0xdengan lingkarang: 3y + 4x – 25 = 0 ataux g: y =43253.Substitusi garis g ke persamaan lingkaran x2+ y2= 25diperolehx2+43253= 25 x2+169200962592x x = 25259200962592x x = 2525x2– 200x + 400 = 0xx2– 8x + 16 = 0x(x – 4)x 2= 0x = 4xCoba Anda substitusikan x = 4 pada persamaan garissinggungy =43253Apakah Anda memperoleh titik singgung B(4, 3)?Jadi, koordinat titik singgung adalah A(–3, 4) dan B(4, 3).3. Persamaan garis yang melalui titik A(–3, 4) dan B(4, 3)diperoleh dengan menggunakan rumus persamaan garisy yy yx xx x12 1y12 1xsehinggay x11yy 2 143 434 37y – 28 = –x – 3xx + 7x y = 25Persamaan garis yang menghubungkan titik singgung A danB adalah x +x 7y = 25.1. Tunjukkan bahwa per-samaan garisy + 3y x + 10 = 0 adalahxgaris singgung lingkaranx2xx + y2yy – 8x + 4x y4 – 20 = 0.ykemudian, tentukan titiksinggungnya.2. Carilah bilangan p yangmungkin sehingga garisx +x y +y p = 0 adalah garissinggung lingkaranx2xx + y2yy = 8.Tantanganuntuk AndaAnda
  • 115. 109Lingkaran3. Persamaan Garis Singgungdengan Gradien TertentuDiketahui, persamaan garis dengan gradien m adalah g:y = mx + n. Jika titik Pterletak pada g dan lingkaran x2+ y2= r2makax2+ (mx +x n)2= r2x2+ m2x2 2+ 2mnx +x n2– r2= 0(m2+ 1)x2+ 2mnx + (x n2– r2) = 0Syarat nilai diskriminan adalah D = 0 karena garisy = mx +x n menyinggung lingkaran. Dengan demikian,(2mn)2– 4(m2+ 1) (n2– r2) = 04m2n2– 4m2n2+ 4m2r2– 4n2+ 4r2= 04m2r2– 4n2+ 4r2= 04n2= 4m2r2+ 4r2n2= (m2+ 1)r2n = r m21 atau n = – r m21Substitusikan nilai n ke persamaan garis y = mx + n,diperoleh y = mx ± r m21 .Persamaan garis singgung lingkaran L: x2+ y2= r2dengangradien m adalahy = mx ± r m21Anda pun dapat menentukan persamaan garis singgunglingkaran L: (x –x a)2+ (y – b)2= r2untuk gradien m dengantitik pusat lingkaran T(TT a, b) dan jari-jari r, yaitu(y – b(( ) = m (x – a) ± r m21Bersama teman sebangku, buktikan persamaan tersebut,hasilnya tuliskan dan jelaskan di depan kelas (beberapasiswa saja).Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x2+ y2= 4dengan gradien m = –1.Jawab:Persamaan garis untuk gradien m = –1 adalah y = (–1) x + n atauy = –x– + n. Substitusi persamaan garis ini ke persamaan lingkaran,diperolehx2+ (–x– + n)2= 4 x2+ x2– 2nx +x n2= 42x2 2– 2nx + (x n2– 4) = 0Contoh 4.8
  • 116. 110 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamNilai diskriminan untuk D = 0 adalahD = 4n2– 8(n2– 4)0 = –4n2+ 32n2= 8n = 2 2 atau n = – 2 2Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah g1: y = –x– +x 2 2dan g2: y = –x– –x 2 2 . Coba Anda buat sketsa untuk soal ini.Carilahpersamaan garissinggungpadalingkaran(x(( –2)x 2+(y(( –3)2=8dengan gradien m = –1.Jawab:Persamaan lingkaran (x(( – 2)x 2+ (y(( – 3)y 2= 8 mempunyai jari-jari 2 2.Persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalahy – b = m (x – a) ± r m21 y – 3 = (–1)(x – 2) ± 2 212y – 3 = –x– + 2 ± 4xy = –x– + 5 ± 4xJadi, persamaan garis singgungnya adalahg1: y = –x– + 9 danxg2: y = –x– + 1.xContoh 4.9Garis g menghubungkan titik A(5, 0) dan titik B(10 cos θ, 10 sin θ).Titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 2 : 3. Jika θ berubahdari 0 sampai 2 maka titik P bergerak menelusuri suatu lingkaran.PTentukan persamaan lingkaran tersebut.Jawab:Langkah ke-1Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal.Diketahui : • garis g menghubungkan A(5, 0) dan B(10 cos θ, 10sin θ)• AP : PB = 2 : 3Ditanyakan : Persamaan kurva.Langkah ke-2Menentukan konsep yang akan digunakan dalam menjawab soal.Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah konsep perbandingan,konsep trigonometri, dan konsep persamaan umum lingkaran.Langkah ke-3Menentukan persamaan lingkaran dengan strategi yang telahdiketahui.Contoh 4.10
  • 117. 111LingkaranA(5, 0) dan B(10 cos θ, 10 sin θ). Titik P pada AB sehinggaAP : PB = 3 : 2Amati gambar berikut.OP = OA +25AB= OA +25(OB – OA)= 35OA +25OBPersamaan parameter titik Pk adalahx =x35. 5 +25. 10 cos θ = 3 + 4 cos θ:y =35. 0 +25. 10 sin θ = 4 sin θ.Dengan demikian, x = 3 + 4 cosx θ 4 cos θ = x – 3xy = 4 sin θ 4 sin θ = y(4 cos θ)2+ (4 sin θ)2= (x(( – 3)x 2+ y216 (cos2θ + sin2θ ) = x2xx – 6x66 + 9 +x y2x2+ y2– 6x = 7xJadi, persamaan lingkarannya adalah x2+ y2–6x = 7.xBYXθA0PTes Kompetensi Subbab BKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukan persamaan garis singgunglingkarana. x2+ y2= 25 di titik (–4, –3)b. x2+ y2– 2x +22 8y = 23 di titik (3,–10)c. x2+ y2= 25 melalui titik (7, 1)d. (x – 1)x 2+ (y – 2)2di titik (4, –2)e. x2+ y2– 4x + 6x y – 12 = 0 dengangradien –342. Tentukan gradien garis singgung denganketentuan berikut.a. Sejajar garis x –x y + 2 = 0.b. Tegak lurus garis 2x2 –x y – 5 = 0.c. Sejajardengangarisyangmelalui(–2,1)dan (3,2).d. Tegak lurusgarisyangmelalui(3,4)dan(–2,–5).e. Tegak lurus garis yang melalui sumbukoordinat dan membentuk sudut 45°terhadap sumbu-x- .3. Tentukan persamaan garis singgung di titik(2,1) terhadap lingkaran x2+ y2= 1.4. Carilah persamaan lingkaran yangmenyinggung sumbu-x dan sumbu-x y, danpusatnya terletak pada garis 3x + 5x y = 11.5. Carilah persamaan lingkaran yangmenyinggung garis –3x + 4x y = 10 padatitik (2, 4) dan pusatnya terletak pada garisx +x y = 3.6. Carilah persamaan lingkaran yangmelalui titik-titik A (2, –1) danB (4, 3) serta menyinggung garisx + 3x y = 3.7. Tentukan persamaan garis singgung padalingkaran x2+ y2= 25 dengan gradienm=1.m8. Diketahui persamaan lingkaran (x – 3)2+ (y + 20)2= 8. Tentukanlah persamaangaris singgung lingkaran tersebut dengangradien m = –1.Hal Pentinggaris singgung
  • 118. 112 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam• Persamaan sebuah lingkaran yang berpusat di O(0, 0) danberjari jari r adalahr x2+ y2= r2.• Persamaan sebuah lingkaran yang berpusat di M (M a, b) danberjari-jari r adalah (r x – a)2+ (y – b)2= r2.• Persamaan umum lingkaran adalah x2+ y2+ Ax +x By + C = 0Sekarang, lanjutkanlah rangkuman di atas.RangkumanA. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.Tes Kompetensi Bab 41. Persamaanlingkarandenganpusat(3,4)danmenyinggung 2x2 – y + 5 = 0 adalah ....a. (x – 4)x 2+ (y – 3)2= 42b. (x – 3)x 2+ (y – 4)2= 49c. (x – 3x )2+ (y – 4)2=495d. (x + 3)x 2– (y + 4)2= 49e. (x – 3)x 2– (y – 4)2= 422. Diketahui lingkaran L dengan persamaanLx2+ y2= 25 dan P(5, 5) maka letak titik Padalah ....a. di dalam lingkaran Lb. di luar lingkaran Lc. pada lingkaran Ld. sejauh 5 satuan dari pusat lingkaran Le. sejauh 5 satuan dari pusat lingkaran L3. Diketahui lingkaran x2+ y2+ 6x – 8x y +21 = 0. Jika M adalah pusat lingkaranMdan R adalah jari-jari lingkaran tersebut,koordinat titik M dan panjangM R berturut-turut adalah ....a. (–3, –4) dan 2 d. (–3, –4) dan 3b. (3, 4) dan 2 e. (3, 4) dan 3c. (–3, 4) dan 24. Persamaan garis singgung pada lingkaranx2+ y2= 100 di titik (8, –6) menyinggunglingkaran dengan pusat (4, –8) dan jari-jariR. Nilai R adalah ....a. 2 d. 5b. 3 e. 6c. 45. Lingkaran x2+ y2+ 4x + 4y = p akanmenyinggung sumbu-x dan sumbu-x y jikap sama dengan ....a. 8 d. –4b. 4 e. –8c. 06. Lingkaran x2+ y2+ 2px2 = 0 dengan pbilangan real konstan, selalu menyinggung....a. sumbu-x sajaxb. sumbu-y sajac. sumbu-x dan sumbu-x yd. garis x =x a dan garis x =x –ae. garis y = 2a dan garis y = –2a7. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 1)dan melalui (4, –1) adalah ....a. x2+ y2– 6x – 3x y = 0b. x2+ 2y2–3x –2x y –3 = 0Setelah Anda mempelajari Bab 4,1. Anda tuliskan materi-materi yang telah dipahami,2. tuliskan pula materi yang Anda anggap sulit.Refleksi
  • 119. 113Lingkaranc. x2+ y2– 4x – 2x y – 3 = 0d. 2x2 2+ y2– 2x2 – 3x y –1 = 0e. 2x2 2+ y2– 3x – 2x y + 1= 08. Jika titik P(0, 3) terletak pada lingkaranx2+ y2= 9, persamaan garis singgungpada lingkaran di titik P adalah ....a. y = –2x22 – 3x d. x = 0xb. y = –x– e. x = –3xc. y = 39. Diketahui lingkaran L dengan persamaanLx2+ y2–2x2 – 4x y – 4 = 0 dan garis g denganpersamaan y – x – 1 = 0 maka ....xa. g tidak memotong Lb. g memotong L di satu titikLc. g memotong L di dua titikLd. g melalui titik pusat Le. g memotong L dan melalui titikpusat10. Persamaan garis singgung lingkaranx2+ y2– 2x2 – 4x y – 4 = 0 di titik (0, 5)adalah ....a. y = 5x +1 d. y = x + 5xb. y = 3x – 5x e. y = 5c. y = 4x – 3x11. Persamaanlingkaranx2xx +y2–mx+7x y+4=0ymenyinggung sumbu-x maka nilai madalah ....a. –16 d. 11 atau 3b. –4 e. 16c. 4 atau –412. Diketahui lingkaran x2+ y 2= p dan garisx +x y – z = 0. Supaya garis dan lingkaranini berpotongan di dua titik yang berbedamaka p harus sama dengan ....a.12d. 3b. 1 e. 4c. 213. Diketahui lingkaran L dengan persamaanLx2+ y2– 2x –22 6– y6 + 1 = 0. Pernyataan berikutyang benar adalah ....a. jari-jari r =r 2 2b. titik pusat lingkaran P(–1,3)c. lingkaran menyinggung sumbu-yd. lingkaran menyinggung sumbu-xe. lingkaran melalui titik (0,0)14. Supaya persamaan x2+ y2+ 4x4 + 6x y – c = 0menyatakan suatu persamaan lingkaranmaka c harus memenuhi ....a. c > 15 d. c > 13b. c < 15 e. c < 13c. c > 1415. Persamaan garis singgung lingkaranx2+ y2– 2x2 – 10x y + 17 = 0 di titik (1, 2)adalah ....a. x = 1 d. y = 2b. x = 2x e. y = xc. y = 116. Jika garis g: x – 2– y2 = 5 memotong lingkaranx2+ y2– 4x + 8y + 10 = 0 di titik A danB, luas segitiga yang dibentuk oleh A, B,dan pusat lingkaran adalah.....a. 10 d. 5b. 2 5 e. 212c. 1017. Persamaan lingkaran pada gambar berikutadalah ....yx3–22–44 OOa. x2+ y2+ 8x + 6x y + 21 = 0b. x2+ y2+ 8x + 6x y – 21 = 0c. x2+ y2+ 8x – 6x y + 21 = 0d. x2+ y2– 8x + 6y + 21 = 0e. x2+ y2– 8x – 6x y + 21 = 018. Diketahui lingkaran dengan persamaanx2xx + y2+ Ax + By + C = 0. Lingkaran iniakan menyinggung sumbu-x di titik (0,0)xjika dipenuhi ....a. A = 0 dan B = 1b. A = 0 dan B = 0c. A = 0 dan C = 0Cd. A = 0 dan C = 1Ce. A = 0 dan C = –1C
  • 120. 114 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamB. Jawablah dengan singkat, tepat dan jelas1. Carilah persamaan lingkaran yang melaluititik (7, –8) dan (0, 9) dan pusatnya terletakpada garis x – 2x y = 1.2. Gedung Parthenon dibangun 440 SM.Gedung tersebut dirancang oleh arsitekYunani menggunakan perbandingannisbah emas. Perhatikan gambar berikut.A D ECGB FPada titik tengah sisi persegi ABCDdibuat busur lingkaran dengan pusatG dan jari-jari GD. Lingkaran tersebutmemotong perpanjangan BC diC F. Nisbah19. Persamaanlingkaranyangmelaluititik-titiksudut persegi ABCD berikut adalah ....x – y = 1x – y = 0x + y = 2x + y = 1A BCDa. x2+ y2– 2x2 –x y + 1 = 0b. x2+ y2– 2x2 +x y + 1 = 0c. x2+ y2+ 2x22 –x y – 1 = 0d. x2+ y2– 2x2 +x y + 1 = 0e. x2+ y2+ 2x22 +x y + 1 = 020. Supaya titik (1, 1) terletak pada lingkaranx2xx + y2–px +– 2y + 1 = 0, nilai p harus samadengan ....a. 1 d. 4b. 2 e. 3c. 3BF : AB disebut perbandingan nisbahemas. Jika diketahui busur DF memenuhipersamaanx2+y2–138y–44=0,berapaperbandingannisbah emas gedung Parthenon?(Petunjuk: perhitungan dibulatkan sampaisatu desimal)3. Carilah persamaan garis singgung padalingkaran x2xx + y2= 25 yang dapat ditarikdari titik (7, –1).4. Carilah persamaan lingkaran yang melalui(0, 0), jari-jari 5 dan pusatnya terletakpada garis x – y = 1.5. Berapakah jarak terdekat dari titik (–7, 2)ke lingkaran dengan persamaanx2+ y2+ 10x + 14x y – 151 = 0?
  • 121. 115Tes Kompetensi Semester 1A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.1. Rataan hitung dari data berikut adalah ....NilaiFrekuensi1 2 3 4 5 6 7 8 9 111 2 1 3 1 1 2 1 2 1a. 4,5 d. 6b. 5,0 e. 6,5c. 5,52. Jika sebuah dadu dan sekeping uanglogam ditos satu kali maka peluang tidakmuncul angka dan mata dadu bukan 4adalah ....a.23d.1112b.512e.13c.7123. Di suatu kelas terdapat 12 laki-laki dan 4perempuan. Jika tiga orang dipilih secaraacak, peluang yang terpilih semuanya laki-laki adalah ....a.155d.115b.13e.1128c.144. 103 3 4!! !33 != ....a. 3200 d. 4000b. 3400 e. 4200c. 38005.nn!!= ....a. n(n – 1)b. n²c. n(n + 1)d. n(n + 1)(n + 2)e. (n – 1)n(n + 1)6. Jika terdapat 19 orang yang akan men-duduki 19 kursi, banyaknya susunan yangdapat terjadi adalah ....ra. 16. 17. 18 ! d. 18. 17!b. 2 ! 18 ! e. 18. 17. 16!c. 19. 18 !7. C125= ....a. 792 d. 2852b. 804 e. 4256c. 14008. Tabel berikut memperlihatkan suatupengukuran. Jika rata-rata tersebut samadengan 3 maka harga p adalah ....xififf5 3 1 102 3 p 2a. 1 d. 8b. 4 e. 9c. 69. Simpangan baku dari data 1, 5, 4, 2, 6, 2,1, 1, 5, 3 adalah ....a. 1,6 d. 2,3b. 1,9 e. 2,4c. 2,110. Jika sebuah dadu dan sekeping mata uangdilempar undi satu kali secara bersamaan,peluang untuk memperoleh GAMBARpada mata uang dan bilangan ganjil padadadu adalah ....a.112d.13b.16e.12c.1411. 2 sin 45° cos 15° = ....a. –123 + 1 d.123 1b. –123 1 e.123c.123 + 1Tes Kompetensi Semester 1r 1
  • 122. 116 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam12. Jika sin A =53dikuadran II makacos12A = ....a. 5 2626b.2626c.526d.512e.26513. Jika cot 2θ = – 512, 2θ di kuadran II makacos θ = ....a.313d.23b.213e.413c.3214. Amplitudo fungsi 3 cos x adalah ....xa. 3 d. 2 3b. 3 + 1 e. 3 12c. 215. Jika tan θ =34dan θ di kuadran II, nilaicos 2θ – sin (90º + θ) adalah ....a.725d.2725b.257e.275c.272516. Jika cos 24° = p maka cos 48° = ....a. 2 1 2p p1 d. 2p2 2– 1b. 2p2 2+ 1 e.pp1 2c. 2p217.tan tantan tan140 701 70∞ ∞- ∞tan140 ∞= ....a. – 3 d. 3b.33e.3 33c.31 318. cos450° – sin450° = ....a. cos 100° d. 1b. sin 100° e. –1c. 019. Himpunan penyelesaian dari sin θ cosθ θ =14dengan 0 ≤ θ ≤ 360º adalah ....a. {30°, 150°}b. {30°, 150°, 210°, 330°}c. {15°, 75}d. {15°, 75°, 195°, 225°}e. {60°, 300°}20. Dalam sebuah kantong terdapat 11kelereng merah dan 7 kelereng putih. Duakelereng diambil sekaligus secara acak.Peluang terambilnya dua kelereng merahadalah ....a.14d.12b.518e.1018c.113621. Berikut ini adalah tabel distribusi frekuensidari berat badan sekelompok siswa SMA.Median dari data ini adalah ....Berat Badan41 – 4546 – 5051 – 5556 – 6061 – 652615116Frekuensia. 53,50 kg d. 55,40 kgb. 54,50 kg e. 55,50 kgc. 55,30 kg
  • 123. 117Tes Kompetensi Semester 122. Simpangan baku dari data 5, 7, 3, 4, 6, 8,2, 5 adalah ....a. 1 d. 2,5b. 1,5 e. 3c. 223. Empat buah buku disusun dalam satu rakbuku. Banyaknya cara untuk menyusunkeempat buku tersebut agar salah satubuku selalu diletakkan paling tepi ada ...cara.a. 4 d. 12b. 6 e. 24c. 824. Sebuah kantong berisi 11 bola yang ter-diri atas 5 bola kuning dan 6 bola hijau.Jika diambil 2 bola sekaligus, peluang ter-ambilnya 2 bola berwarna hijau adalah ....a. 211d.611b.311e. 35c.1325. Simpangan kuartil dari data berikut adalah....Nilai1 – 1011 – 2021 – 3031 – 4041 – 5051 – 60242547175Frekuensia. 1,2 d. 4,8b. 2,5 e. 5,9c. 3,426. Diketahui empat angka 4, 5, 6, dan 7.Banyaknyacarauntukmenyusunbilangan-bilangan yang terdiri atas empat angkadengan syarat bahwa bilangan-bilanganitu tidak mempunyai angka yang samaadalah ... cara.a. 8 d. 18b. 12 e. 24c. 1627. Dua buah dadu bermata enam ditos satukali secara bersamaan. Peluang munculnyajumlah mata dadu 5 atau mata dadu 10adalah ....a. 1136d.836b.1036e.736c.93628. Modus dari berat badan pada tabel berikutadalah ....Berat Badan50 – 5253 – 5556 – 5859 – 6162 – 6451714104Frekuensia. 55,5 kg d. 53,9 kgb. 54,9 kg e. 52,5 kgc. 54,7 kg29. Simpangan kuartil dari data 3, 8, 2, 7, 7,10, 2, 9, 5, 4, 4, 6, 4, 7, 5, 7 adalah ....a. 5,5 d. 1,5b. 3 e. 1c. 230. Ada 4 jalan yang menghubungkan kotaA dengan kota B dan ada 6 jalan yangmenghubungkan kota B dengan kotaC. Banyaknya perjalanan yang dapatditempuh dari kota A ke kota C melalui Badalah ....a. 10 d. 30b. 20 e. 36c. 24
  • 124. 118 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamB. Jawablah dengan singkat, tepat dan jelas.1. Hitunglah mean, modus, dan median daridata-data berikut.a. 4, 6, 7, 3, 4, 5, 6, 8, 5, 5b. 16, 15, 12, 11, 15, 17, 10c. 52, 70, 62, 46, 50, 65, 55, 78d. 5, 2; 3, 5; 4, 1; 7, 3; 6, 6; 9, 12. Hitung n dari persamaan berikut.a. 5 p(n, 3) = 4 p(n + 1,3)b. p(n, 5) = 18 p(n – 2,4)c. c(n, 13) = c(n , 11)3. Sebuah kantong berisi 9 kelereng biru, 6kelereng kuning, dan 4 kelereng merah.Sebuah kelereng diambil secara acakdari kantong. Tentukan peluang terambilkelereng biru atau kuning.4. Diketahui x = cosx p + sin p dany = cos p – sin pa. Tentukan x2+ y2.b. Tunjukkan bahwa x2– y2= 2 sin 2p.25. Diketaui persamaan lingkaran x2+ y2– 4x+ 2y + c = 0 melalui titik A(5, –1).a. Tentukan jari-jari lingkaran.b. Tentukan pusat lingkaran.
  • 125. 5Bab119Suku BanyakSumber: www.in.grmisalnya fungsi y = x2– 1. Fungsi y = x2– 1 merupakanfungsi suku banyak. Pada bab ini konsep, tersebut akandikembangkan sehinggaAnda akan mempelajari bagaimanamenjabarkan suku banyak menjadi perkalian beberapa sukubanyak. Cara menjabarkan suku banyak tersebut akan Andapelajari pada bab ini. Salah satu manfaat mempelajari babini untuk menyelesaikan masalah berikut.Hubunganantarajarakyangditempuhx(t) dan waktu yangdibutuhkan (t) untuk gerak sebuah mobil dinyatakan olehx(t) = 48t2tt – 3t. Dalam hal ini, x(t) dalam meter dan t dalamtmenit. Dengan menggunakan konsep suku banyak, Andadapat menghitung jarak mobil setelah bergerak 5 menit.A. Pengertian SukuBanyakB. Menentukan NilaiSuku BanyakC. Pembagian SukuBanyakD. Teorema SisaE. Teorema FaktorSetelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakankonsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahanmasalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi inversdalam pemecahan masalah.
  • 126. 120 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTes Kompetensi AwalSebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadratberikut dengan cara pemfaktoran danmenggunakan rumus abc.a. x2– 6x + 8 = 0xb. 2x22 2– 4 = 3x2. Diketahui fungsi kuadrat .Tentukan nilai f f f af ,ff , danfx1.3. Selesaikan soal berikut dengan meng-gunakan cara pembagian bersusun.Jelaskan pula langkah-langkah yangAndalakukan pada pembagian ini.a. )18 272 b. )26 4794. Hitunglah (x – 3)(x x +1)(x x + 2).x5. Hitunglah (2x +22 3)(3x3– x2+ 5x –1).Diagram AlurUntuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikansebagai berikut.Suku BanyakBentuk UmumP(x) = anxn+ an–1xn–1+ an–2xn–2+ ...+ a2x2+ a1x+ a0dicaridenganNilaiSubstitusi SkemadigunakanMenyelesaikanPersamaan SukuBanyakPembagianSuku BanyakTeoremaSisaTeoremaFaktorolehx – kcaraPembagianBiasaHornerax + bcaraPembagianBiasaHornerax2+ bx + ccaraPembagianBiasaHornersyaratDapatDifaktorkanmeliputidapatditulis
  • 127. 121Suku BanyakA. Pengertian Suku Banyak1. Suku Banyak, Derajat Suku Banyak,Koefisien Suku Banyak, dan SukuTetapAnda telah memahami bahwa grafik y = (x(( + 2)2diperolehdengan cara menggeser grafik y = x2sejauh 2 satuan ke kiri,seperti diperlihatkan pada Gambar 5.1.Adapun grafik y = (x – 1)3diperoleh dari grafik y = x3dengan cara menggeser grafik dari y = x3sejauh 1 satuan kekanan seperti diperlihatkan pada Gambar 5.2.Amati keempat persamaan berikut.y = x2y = (x + 2)2= x2+ 4x+ 4y = x3y = (x – 1)3= x3– 3x2+ 3x– 1Ruas kanan keempat persamaan itu merupakan sukubanyak dalam peubah (variabel) x. Suku banyak x3– 3x2+3x – 1 terdiri atas empat suku, yaitu suku ke-1 adalah x3,suku ke-2 adalah –3x2, suku ke-3 adalah 3x, dan suku ke-4adalah –1.Derajat suatu suku banyak ditentukan oleh pangkattertinggi dari variabel pada suku banyak tersebut. Jadi, derajatdari suku banyak x3– 3x2+ 3x – 1 adalah 3. Koefisien sukubanyak dari x3, x2, dan x berturut-turut adalah 1, –3, dan 3.xAdapun –1 dinamakan suku tetap (konstanta).Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan sukubanyak berderajat n? Cobalah nyatakan suku banyak derajatn secara umum.Secara umum, suku banyak dalam peubah x berderajatxn ditulis sebagai berikut.P(x)(( = anxnxx + an–1xn–xx 1+ an–2–x22n–xx 2–+ … + a2x222xx + a1x +x a0Cara penyusunan suku banyak berdasarkan pangkat xyang berkurang dengan an, an–1, … , a1adalah koefisien-koefisien suku banyak yang merupakan konstanta realkdan an≠ 0.a0= suku tetap yang merupakan konstanta realn = derajat suku banyak dan n adalah bilanga cacahGambar 5.1Gambar 5.2y = (x + 2)2y = x2yx0–24yx–11y = (x –1)3y = x3
  • 128. 122 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamDiketahui suku banyak f(x) dan g(x) sebagai berikut.f(x) = 2x4– 3x2+ 5x – 6g(x) = 2x2– 7x + 10Tentukana. f(x) + g(x) b. f(x) – g(x)c. f(x) × g(x)Jawab:a. f(x) + g(x)= (2x4– 3x2+ 5x – 6) + (2x2– 7x + 10)= 2x4– x2– 2x + 4b. f(x) – g(x)= (2x4– 3x2+ 5x – 6) – (2x2– 7x + 10)= 2x4– 5x2+ 12x – 16c. f(x) × g(x)= (2x4– 3x2+ 5x – 6) – (2x2– 7x + 10)= 2x4(2x2– 7x + 10) – 3x2(2x2– 7x + 10)+ 5x(2x2– 7x + 10) – 6(2x2– 7x + 10)= 4x6– 14x5+ 20x4– 6x4+ 21x3– 30x2+ 10x3– 35x2+ 50x – 12x2+ 42x – 60= 4x6– 14x5+ 14x4+ 31x3– 77x2+ 92x – 60Contoh 5.1Misalkan, f(x) suku banyakberderajat m dan g(x) sukubanyak berderajat n,f(x) + g(x) adalah sukubanyak yang derajatnyaadalah maksimum matau n.f(x) – g(x) = f(x) + (–g(x))adalah suku banyakberderajat maksimum matau n.f(x) × g(x) adalah sukubanyak berderajat tepatsama dengan(m + n).Ingatlah 2. Penjumlahan, Pengurangan,dan Perkalian Suku BanyakDiketahui, f(x) = –3x3– x2+ 2x22 danx g(x) = x8+2x22 5– 15x2+ 6x + 4.x• Penjumlahan suku banyak f(ff x) dengan g(x) adalahf(ff x(( ) + g(x(( )= (–3x3– x2+ 2x22 ) + (x(( 8+ 2x22 5– 15x2+ 6x66 + 4)x= x8+ 2x22 5– 3x3– 16x2+ 8x + 4• Pengurangan suku banyak f(ff x) dengan suku banyak g(x)adalahf(ff x) – g(x)= f(ff x) + (–g(x))= (–3x3– x2+ 2x22 ) + (–x8– 2x22 5+ 15x2– 6x66 – 4)= –x– 8– 2x22 5– 3x3+ 14x2– 4x – 4x• Perkalian suku banyak f(ff x) dengan suku banyak g(x)adalahf(ff x(( ) × g(x(( ) = (–3x3– x2+ 2x22 ) (x8+ 2x22 5– 15x2+ 6x + 4)x= –3x11– 6x8+ 45x5– 18x4– 12x22 3– x10– 2x22 7+15x4xx – 6x66 3xx – 4x44 2xx + 22x22 9xx + 4x44 6xx – 30x00 3xx + 12x22 2xx + 8x= –3x11– x10+ 2x22 9–6x8–2x22 7+ 4x6+ 45x5–3x4– 48x3Cobalah Anda tentukan g (x) – f(ff x) dan g(x) × f(ff x).Apakah f(ff x) – g(x) = g(x) – f(ff x)?Apakah f(ff x) × g(x) = g(x) × f(ff x)?Jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri, kemudian bacakandi depan kelas.
  • 129. 123Suku BanyakTes Kompetensi Subbab AKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Diketahui suku banyak3x4– 2x3+4x2– 7x + 15.Tentukanlah:a. derajat suku banyakb. koefisien xc. koefisien x2d. koefisien x3e. koefisien x4f. suku tetap2. Diketahui f(ff x) = –2x2 3, g(x) = 3x2– 5x, danh(x) = 4 – 3x. Hitunglah:a. f(ff x) . g(x)b. f(ff x) .c. f(ff x) .d.e.B. Menentukan Nilai Suku Banyak1. Cara SubstitusiAnda dapat menentukan nilai g(x) = sin1xuntukx =2dan x =22, yaitug2= sin12 /= sin2= 1g22= sin12 2/= sin π = 0.πAkan tetapi, Anda akan mengalami kesulitan jika harusmenentukan g(π) = sinπ1karena1bukan merupakan sudutistimewa.Lain halnya dengan fungsi suku banyak, berapa pun nilaiyang diberikan pada peubahnya, Anda dengan mudah dapatmenentukan nilai suku banyak itu.Diketahui, suku banyak P(x) = 3x4– 2x22 2+ 5x – 6 makax• untuk x = 1, diperolehx P(1) = 3(1)4– 2(1)2+ 5(1) – 6 = 0• untuk x = –1, diperolehx P(–1) = –10• untuk x = 0, diperoleh = –6• untuk x + 2 = 0 ataux x = –2, diperolehx P(–2) = 24• untuk x – 2 = 0 ataux x = 2, diperolehx P(2) = 44Kemudian,misalkansukubanyakP(x(( )=5x3+4x44 2–3x–2xmaka• untuk x = k + 1, diperolehkP(k + 1) = 5 (k k + 1)k 3+ 4 (k + 1)k 2– 3 (k + 1) – 2k= 5 k3+ 19k2+ 20k + 4kTokohMatematikaGirolarmo Cardano(1501–1576)Girolarmo Cardanomenerbitkan solusipersamaan kubik (sukubanyak berderajat tiga) dalambuku yang berjudul ArsMagna (1545).Sumber: Ensiklopedi Matematikadan Peradaban Manusia, 2002
  • 130. 124 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam• untuk x = k – 1, diperolehP(k – 1) = 5 (k – 1)3+ 4 (k – 1)2– 3 (k – 1) – 2= 5k3– 11k2+ 4k• untuk x = –kP(–k) = –5k3+ 4k2+ 3k – 2• untuk x = –k + 1, diperolehP(–k + 1) = –5k3+ 19k2– 20k + 4Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga rumusmenentukan nilai suku banyak? Cobalah nyatakan rumustersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telahAnda pelajari tersebut memperjelas ketentuan berikut.Nilai suku banyak P(x) = anxn+ an–1xn–1+ an–2xn–2+ ...+ a2x2+ a1x +x a0, untuk x = k di manak k suatu bilangankreal adalah:P(k) = anknkk + an–1knkk –1+ an–2knkk –2+ ... + a2k2kk + a1k +k a02. Cara SkemaUntuk menentukan nilai dari suatu suku banyak dengannilai tertentu bagi peubahnya akan lebih mudah jika Andamenggunakan cara skema dibandingkan dengan carasubstitusi. Agar lebih jelas, pelajari uraian berikut.Diketahui, P(x) = 3x4+ 2x22 2– 5x + 6P(x) dapat pula disusun sebagai berikut.P(x) = 3x4+ 2x22 2– 5x + 6= 3x4+ 0x3+ 2x22 2– 5x + 6= (3x3+ 0x2+ 2x22 – 5) x + 6= [(3x2+ 0x + 2) x – 5] x + 6= [[(3x + 0 )x + 2] x – 5] x + 6 …(1)Jika nilai x = 2 disubstitusikan pada persamaan (1) makaP(2) secara bertahap diperoleh sebagai berikut.P(x) = [[(3x+ 0)x + 2] x – 5]x + 6P(2)= [[(3 2 + 0)2 + 2]2 – 5]2 + 6 = [(6 2 + 2)2 – 5]2 + 6= (14 2 – 5) 2 + 6 = 23 2 + 6 = 52Mari menganalisis proses pada perhitungan tersebut.• Langkah ke-1 menghitung 3 2 + 0 = 6• Langkah ke-2 menghitung 6 2 + 2 = 14• Langkah ke-3 menghitung 14 2 – 5 = 23• Langkah ke-4 menghitung 23 2 + 6 = 52Langkah-langkah itu dapat disajikan dalam bagan(skema) sebagai berikut.
  • 131. 125Suku BanyakPerhitungan untuk memperoleh P(2) dapat disajikanmelalui skema berikut. Namun, amatilah bahwa ada duaoperasi dalam proses ini, yaitu perkalian dan penjumlahan.• Nilai x = 2 dituliskan pada baris pertama skema,kemudian diikuti oleh koefisien setiap suku dari pangkattertinggi ke terendah dan suku tetap.• Operasi aljabar pada skema tersebut adalah perkaliandan penjumlahan.• Tanda panah menyatakan “kalikan dengan nilai x = 2”.3 0 2 –5 6x = 2x3(2) 6(2) 14(2) 23(2)3 6 14 23 523 P(2)Secara umum, perhitungan nilai suku banyakP(x) = anxn+ an–1xn-1+ an–2x22n–2+ .... + a2x222+ a1x +x a0untuk x = k menggunakan cara skema, diperlihatkan padakGambar 5.3.dengan:An= anAn – 1= An(k) + an – 1An – 2= An–1(k) + an – 2. .. .. .A2= A3(k) + a2A1= A2(k) + a1A0= A1(k) + a0anx =x kAn(k)AnA1an–1an–2a2a0...An–1An–2... A2An–1(k) A3(k) A2(k) A1(k)A0a0P(k)Cara menghitung nilai suku banyak dengan menggunakanskema ini merupakan dasar untuk melakukan pembagian sukubanyak dengan cara Horner (W. G. Horner 1786–1837).Apakah fungsi-fungsi berikutmerupakan fungsi polinomatau bukan? Sebutkanalasannya.a. P(x(( ) = 3x x3xx – 2b. P(x(( ) = 0xc. P(x(( ) =x122d. P(x(( ) = 10xe. P(x(( ) =xxx112Tantanganuntuk AndaAnda1. Hitunglah nilai f(ff x) = 2x4– 4x3+ 4x – 2 untuk x = –6menggunakan cara skema.2. Suku banyak f(ff x) = 2x2 5– 3x4+ 2x2 3– px + 10, untukx x = 2adalah f(2) = 38. Berapakah nilaiff p?Contoh 5.2Gambar 5.3Skema proses perhitungan P(k).kk
  • 132. 126 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamJawab:1. 4+96 (–6)–5722 0–4+ +2(–6) –16 (–6)96–162–2+–572 (–6)3.430Jadi, f(–6) = 3.430.ff2. 0+4(2)82 2–3+ +2(2) 1(2)412– p+8(2)16 – p232 – 2p242 – 2p210+f(2)ff = 38f(2) = 42 – 2ff p238 = 42 – 2p22p2 = 4p = 2Tes Kompetensi Subbab BKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukan nilai p jika diketahui sukubanyak f(ff x) dan nilai f(ff x) sebagai berikut.a. f(ff x) = 3x5+ 6x4– px3+ 10x – 5 danf(–2) = 39ffb. f(ff x) = x7– px5+ 2x2 4+ px3– 2x +2 1 danf(–2) = 5ff2. Hubungan antara jarak yang ditempuhx(t) dan waktu yang dibutuhkan (t) untukgerak sebuah mobil dinyatakan oleh x(t)= 48t2tt – 3t. Dalam hal ini x(t) dalam meterdan t dalam menit.a. Tentukanlah: x(2)b. Hitunglahjarakmobilsetelahbergerak5 menit dihitung dari titik asal.3. Jika suku banyak 2x3– 9x2– 8x + 11= (Ax +x B) (x – 5) (x x – 1) +x C, tentukannilai A, B, dan C.4. Jika 5 4 32 5 6 323 22x x4x x2 xAxBx Cx42 1x 1 2x,tentukan nilai A, B, dan C.5. Data berikut menampilkan biaya (C) perminggu untuk mencetak buku sebanyak xbuah (dalam ribuan).Banyak Buku (x) Biaya (C)0 1005 128,110 14413 153,517 161,218 162,620 166,323 178,925 190,227 221,8a. Carilah selisih biaya mencetak 10.000buku dan 13.000 buku.b. Data tersebut dapat dimodelkan olehfungsiC(x) = 0,015x3– 0,595x2+ 9,15x+ 98,43Dengan menggunakan fungsi ini,prediksikan biaya mencetak 22.000buku per minggu.
  • 133. 127Suku BanyakC. Pembagian Suku Banyak1. Pengertian Pembagi, Hasil Bagi,dan Sisa PembagianMasih ingatkahAnda dengan pembagian bersusun padabilangan bulat? Jika ya, coba tentukan pembagian 156 oleh8. Proses pembagian suku banyak pun mempunyai prosesyang hampir sama dengan pembagian bilangan bulat. Untukmengetahui hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak,Andaperlu menguraikan suku banyak menjadi perkalian beberapasuku banyak. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.Amati perkalian-perkalian berikut.a. (x + 1)(x + 2)(2x x22 – 3) = (x x2+ 3x + 2)(2x x22 – 3)x= 2x22 3+ 3x2– 5x – 6xb. (x – 1)(x3– 3) = x4– x3– 3x + 3xAmatilah proses perkalian tersebut dengan saksama. Dariperkalian (x(( + 1)(x x + 2)(2x – 3), dihasilkan suatu sukubanyak 2x3+ 3x2– 5x – 6. Dengan kata lain, jika diberikanatau diketahui suatu suku banyak, dapatlah suku banyak itudifaktorkan. Dengan demikian, Anda dapat lebih mudahmelakukan pembagian terhadap suatu suku banyak.Diketahui, P(x) = x3– 7x2+ 4x44 + 50 adalah suku banyakxberderajat 3.Pembagian P(x(( ) oleh x – 3 dengan cara pembagian biasaadalah sebagai berikut.)x x) xx xx3 7)x)x)x) 4 5x 033 273 23)––––4 44 1222x4x128 508 2426x x24 8xxCoba Anda jelaskan langkah-langkah yang dilakukandalam pembagian tersebut. (x(( – 3) adalah pembagi dari P(x),sedangkan hasil bagi dari P(x) adalah x2– 4x44 – 8 dan sisaxpembagiannya adalah 26.Jadi, (x3– 7x2+ 4x + 50) : (x x – 3) =x x2– 4x – 8 denganxsisa 26. Akibatnya, suku banyak P(x) dapat ditulis sebagaix3– 7x2+ 4x + 50 = (x x – 3 ) (x x2– 4x – 8) + 26 atauxP(x) = (x – 3) ×x H(H x) + sisa … (i),Ada beberapa lambangyang digunakan untukpembagian. Lambang yangpaling umum digunakanadalah seperti tanda kurungdengan garis horizontal padabagian atasnya ) . Tandakurung diperkenalkan padaawal tahun 1500. Beberapawaktu kemudian, tanda garishorizontal ditambahkan.Adapun lambang“ :“(disebut obelus) kali pertamadigunakan sebagai pembagisekitar tahun 1650. Lambangtersebut diperkenalkan olehMatematikawan Inggris, JohnPell.Thereareseveraldifferentsymbolnamesusedorassociatedwithdivision.Themostcommonlookslikeaclosepparenthesiswithahorizontalbarextendingtotherightatthetop.Theparenthesiswasintroducedintheearly1500’sandovertimethebarwasadded,butwhenitfirstoccurredisunclear.Thesymbol“÷”iscalledanobelus,andwasfirstusedforadivisionsymbolaround1650.TheinventionisoftencreditedtoBritishMathematicianJohn Pell.Sumber: www.DrMath.comInformasiuntuk AndaInformationsfor You
  • 134. 128 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alamdengan H(H x) = x2– 4x – 8 dan sisa = 26.xJika nilai x = 3 disubstitusikan pada persamaan (i),diperolehP(3) = (3 – 3 ) × H(3) + sisa = 0 ×H H(3) + sisa = sisaHJadi, sisa pembagian oleh (x – 3) terhadapx P(x) adalahP(3).Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentukumum pembagian suku banyak? Cobalah nyatakan bentuktersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep pembagiansuku banyak yang telah Anda pelajari tersebut memperjelasketentuan berikut.Sisa pembagian oleh (x – k) terhadapP(x) = anxn+ an–1xn–1+ an–2xn–2+ .... + a2x2+ a1x +x a0adalah P(k) atau P(x(( ) = (x( –x k)kk H(x(( ) + sisa dengan sisa =P(k).kkTentukan sisa pembagian untuk suku banyak (3x4+ 2x2 2+ 5x – 1)x: (x – 1).xJawab:Sisa = P(1) = 3.14+ 2.12+ 5.1 – 1 = 9.Contoh 5.32. Pembagian Suku Banyak dengan CaraHornera. Pembagian Suku Banyak dengan (x(( –x k)Anda telah mengetahui P(x) = anxn+ an – 1xn – 1+ an – 2x22n – 2+ … + a2x222+ a1x+a0dibagi (x –x k) hasil baginya adalah H(H x)dan sisanya P(k). Secara matematis, ditulis P(x(( ) = (x(( – k)H(HH x(( )+ sisa, dengan sisa = A0= P(k).Diketahui P(x) = a3x3+ a2x2+ a1x+ a0dan (x –x k) adalahpembagi P(x). Oleh karena P(x) berderajat 3 dan (x – k)berderajat 1 maka derajat H(H x) adalah (3 – 1) = 2 dan derajatsisa adalah (1 – 1) = 0.Diketahui, H(HH x(( ) = b2x222+ b1x + b0dan sisa = Aomaka sukubanyak P(x) dapat ditulisa3x3+ a2x222+ a1x+ a0= (x – k)(b2x222+ b1x+ b0) + A0a3x333xx + a2x222xx +2a1x+ a0a = b2x223xx + (b1– b2k)kk x)) 2xx + (b0b –0b1k)kk x)) + (x A(( 0A – b– 0b k)kknilai koefisien samaSoal TerbukaJelaskan dengan kata-kataAnda sendiri cara pembagiansuatu suku banyak P(x(( )x oleh(x(( –x k) dengan menggunakancara Horner.
  • 135. 129Suku BanyakBerdasarkan kesamaan suku banyak tersebut (padakedua ruas), Anda dapat menentukan nilai b2, b1, b0, dan A0dengan langkah-langkah sebagai berikut.• Langkah ke-1: b2= a3• Langkah ke-2: b1– b2k= a2b1= a2+b2k = a2+a3k• Langkah ke-3: b0b – b1k = a1b0b = a1+b1k = a= 1+(a2+ a3k)kk k= a1+ a2k +k a3k2kk• Langkah ke-4: A0– b0k= a0A0= a0+ b0k= a0+(a1+ a2k + a3k2kk )k= a0+a1k + a2k2kk + a3k3kk .Proses perhitungan nilai b2, b1, b0, dan A0dapat disajikandalam skema berikut.a0+(a1+a2k+a3k2)ka0+a1k+a2k2+a3k3A0x = k a3a1a2+ +a3k (a2+a3k)ka1+a2k+a3k2a2+a3ka3b2b1b01. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari(4x3– 10x2+ 14x – 15) : (x x –5) mex nggunakan cara Horner.2. Jika fungsi suku banyak P(x) = 6x5+ 41x4+ 97x3+ px2+ 41x+ 6 habis dibagi dengan (x – 3), tentukan nilaix p.Jawab:1.Jadi, hasil bagi dari (4x44 3– 10x2+ 14x – 15) oleh (x x –5) adalahx4x2+ 10x + 64 dan sisanya adalah 305.2.P x pxx x x x6x 1 9x 7 4pxx 1 6x5 441 3 2habisdibagidengan(x – 3) maka sisa pembagiannya sama dengan nol sehinggax7.527 + 9p =9 0Contoh 5.4x == 5 –15+3 03203054 14–10+ +2020 505064104p+2.466 + 3p32.507+ 3p3x = 3 6 9741+ +18 8222745967.521+ 9p97.527+ 9p941+6+177822 + p
  • 136. 130 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alamb. Pembagian Suku Banyak dengan (ax +x b)Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak (x3– 2x22 2+ 3x – 5) : (2x x22 + 3), terlebih dahulu Andaxharus menuliskan bentuk (2x22 + 3) menjadi 2(x x +x32).Dengan demikian,(x3– 2x22 2+ 3x – 5) : (2x x22 + 3) = (x x3– 2x22 2+ 3x – 5) : 2(x x +32).Dengan menggunakan cara Horner untuk x = –x32,diperoleh skema sebagai berikut.1 –2 3 –5x = –x321=b2=b1=b0=A0= sisa132723233432723341398Jadi, H(H x) =x2 72334218xx x24 1x24 3x 34x danA0=18139 .Pembagian suatu suku banyak oleh (ax +x b) dinyatakansebagai berikut.Diketahui, k = –kbamaka bentuk (x – k) dapat dinyatakansebagaix – k = xbabaxPembagian suku banyak P(x) oleh (x +xba) memberikanhubungan berikut.P(x) = (x +xba) H(H x) + sisa=1a(ax +x b) H(H x) + sisa= (ax +x b)Hax+ sisa ....(*)Dari contoh tersebut, jikapembagian suku banyakmenghasilkan sisa samadengan nol, dikatakan P(x)habis dibagi oleh (x –x k) dan(x –x k) disebut faktor dari P(x(( ).xIngatlah9p =9 –7.527p 83613
  • 137. 131Suku BanyakPersamaan (*) merupakan suku banyak P(x) dibagi(ax + b) memberikan hasil bagi H(H x) dan sisa pembagian.Nilai sisa dan koefisien-koefisien H(H x) ditentukan dengancara pembagian Horner untuk x = –xba.Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari(4x3– 10x2+ 14x – 15) : (2x x22 – 5) menggunakan cara Horner.xJawab:x52 –15+35204 14–10+ +10 01404Jadi, hasil baginya adalah4 1422 722x2x dan sisanyaadalah 20.Contoh 5.5Dari Contoh 5.4 No. 2diperoleh sisa pembagianadalah nol. Dikatakan sukubanyak P(x(( ) habis dibagi olehxax + b.IngatlahTugasBuatlah kelompok yang terdiriatas 4 orang. Setiap kelompokmembuat masing-masing 5soal pembagian suku banyakdengan (x(( –x k) dan (kk ax +x b).Kemudian, tentukan hasil bagidan sisa pembagian setiapsoal. Terakhir, selidiki derajathasil bagi dan sisa pembagiansetiap soal tersebut.Apa yang Anda perolehmengenai derajat hasil bagijika dibandingkan derajat P(x(( )xdan pembagi? Bagaimanadengan derajat sisa pem-bagian terhadap derajatpembagi? Apakah hasilyang Anda peroleh berlakuumum? Untuk itu, cari dibuku internet atau tanya ahlimatematika mengenai hal ini.Tulis dan laporkan hasilnya didepan kelas.c. Pembagian Suku Banyak dengan ax2xx + bx +x c,ccdengan a ≠ 0Pembagian (x(( 3– x2+ 4x44 – 4) oleh (x x(( 2– 1) dapat dituliskansebagai berikut:P(x(( ) = (x(( 2– 1 ) H(HH x(( ) + sisa = (x(( + 1) (x x(( – 1)x H(HH x(( ) + (A(( 1x + A0)untuk x = 1 diperoleh P(1) = 0 . H(HH x(( ) + (A0+ A1(1) ) = A1+ A0untuk x = –1 diperoleh,x P(–1) = 0 . H(H x) + (A0+ A1(–1))= – A1+ A0–4+4(1)01 4–1+ +1(1) 0(1)401P(1) = 0xx = 1x
  • 138. 132 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamDari pembagian Horner ini diperolehP(1) = 0 maka A0+ A1(1) = 0 A0+ A1= 0P(–1) = –10 maka A0+ A1(–1) = –10 A0– A1= –10– 2A22 0= –10A0= –5 dan A1= 5Dengan demikian, sisa pembagian adalah A0+ A1x, yaitu–5 + 5x.Coba Anda tentukan pembagian (x( 3– x2+ 4x44 –4) : (xx 2– 1)dengan pembagian biasa seperti pada bilangan bulat.Adapunhasil bagi ditentukan sebagai berikut.Jadi, H(H x) = b1x +x b0= x – 1. Coba amati kembali baganxtersebut. Sisa dari pembagian mana angka 5?Untuk pembagian suku banyak oleh P(x) = ax2+ bx +x c,a ≠ 0, di mana P(x) tidak dapat difaktorkan maka digunakancara pembagian biasa, seperti pada bilangan. Adapun untukP(x(( ) yang dapat difaktorkan digunakan cara pembagian biasardan skema Horner.–4+6(–1)–101 4–1+ +1(–1) –2(–1)6–21P(–1) = –10x = –1x–4+4(1)01 4–1+ +1(1) 0(1)4011(–1)5–11–1(–1)| | | |b1b0x 1x 1+
  • 139. 133Suku BanyakTes Kompetensi Subbab CKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagiandari pembagian-pembagian berikut inidengan cara biasa dan cara Horner.a. (3x4– 2x22 2+ 5x + 1) : (x x + 1)xb. (6x3– 4x2+ 2x2 ) : (x – 1)xc. (2x2 5– 5x3+ x2– 1) : (x + 2)xd. (100x4– 81) : (x – 3)x2. Tentukan sisa pembagian untuk sukubanyak berikut.a. (2x2 4– 3x3+ 2x2 ² – 5) : (x – 2)xb. (3x4– 4x² + 10) : (x + 3)xc. (5x5– 2x22 4+ 3x3– x2+ 6) : (x + 2)xd. (7x7) – 2x2 5+ 4x3– 2x22 2+ x) : (x + 1)x3. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagiandari soal berikut dengan cara Horner.a. (2x2 4– 5x3+ 3x2– x + 1) : (x x – 3)xb. (6x4– 5x3+ 3x – 10) : (2x x22 – 3)xc. (8x88 5xx + 2x22 4xx + 134x33 3xx – 17x77 – 2) : (4x x44 + 3)xd. (2x22 6xx – x5xx + 3x3+ x2xx + 9x –99 5) : (2x22 + 3)xe. (2x22 4xx – 3x3+ 5x2xx + x – 7) : (x x(( 2xx – x + 3)xf. (6x4+ x3+ x2+ 7x) : (3x2+ 5x + 2)xD. Teorema SisaDiketahui, P(x) = anxn+ an – 1xn – 1+ … + a2x222+ a1x+ a0.CaraAnda menentukan sisa pembagian dari pembagian sukubanyak P(x) oleh bentuk (x – k), (ax + b), dan (ax2+ bx + c),baik dengan cara Horner maupun dengan cara pembagianbiasa telah dipelajari pada pelajaran sebelumnya.Sekarang amatilah persamaan berikut:P(x) = f(ff x) . H(x) + SP(x) : suku banyak yang dibagif(x) : pembagiH(H x) : hasil bagiSS : sisa pembagianJika P(x(( ) berderajat n dan f(ff x(( ) berderajat m (m ≤ n) makaderajat H(H x) dan S masing-masing sebagai berikut.S• derajat H(H x) adalah (n – m)• derajat maksimum S adalah (S m – 1)1. Pembagian dengan Pembagi (ax +x b)Jika f(ff x) = ax + b, merupakan pembagi dari P(x) makahubungan antara P(x) dan f(ff x) dapat ditulis sebagai berikut.P(x(( ) = (x ax + b)Hax+ S, berlaku untuk setiap x bilanganx real.
  • 140. 134 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamCarilah sisa pembagian dari (4x3+ 2x2– 4x + 6) : (x – 3) tanpamelakukan pembagian terlebih dahulu.Jawab:Suku banyak P(x) = 4x3+ 2x2– 4x + 6 dibagi dengan (x – 3)sisanya adalahS = P31= P(3) (berdasarkan Teorema 6.1).Jadi, dengan menyubstitusikan x = 3 ke dalam fungsi P(x),diperolehP(3)= 4 . 33+ 2 . 32– 4 . 3 + 6 = 120.Dengan demikian, sisa pembagiannya adalah 120.Contoh 5.6Oleh karena f(ff x) berderajat satu maka S berderajat nol.SJadi, konstanta S sama denganS A0.Sisa pembagian dapat ditentukan dengan menggunakanteorema berikut.Teorema 5.1Jika suku banyak P(x) yang berderajat n dibagi dengan (ax +x b)maka sisanya adalah P(ba).Bukti: harus ditunjukkan bahwa S PbaP . Jika sukubanyak P(x) berderajat n dibagi dengan (ax + b), bentukpembagian itu dituliskan sebagai berikutP(x) = (ax + b)Hax+ S … (1)SSelanjutnya, substitusikan nilai x =xbake persamaan(1) sehingga diperolehP(ba) = [a (ba) + b].Hbaa+ S= (–b + b) .Hbaa+ SP(ba) = S.Jadi, sisa = P(ba). Teorema terbukti.
  • 141. 135Suku BanyakTentukanlah p agar pembagian (6x66 2+ 7x – 5) : (x px(( – 1) menghasilkanxsisa pembagian yang bernilai 0.Jawab:Suku banyak P(x) = 6x2+ 7x – 5 dibagi dengan (x px(( – 1), sisanyaxadalahS = P1p(berdasarkan Teorema 5.1). Jadi, denganmenyubstitusikanx =x1Pke dalam fungsi P(x), diperolehP1p= 612p+ 71p– 5=6 752P p2sehingga sisa pembagian adalah S =S6 752P p2 .Sisa pembagian sama dengan nol maka berlaku6 752P p2= 06 7 5022p p5p5 7 6022p p7pPenyebut tidak boleh sama dengan nol sehingga–5p5 2+ 7p7 + 6 = 05p5 2– 7p7 – 6 = 0Dengan menggunakan rumus abc diperolehp1, 2=7 4 52 57 131027 4 6p1=7 131027 131035222 atau pJadi, p1= 2 atau p2=35.Contoh 5.7TokohMatematikaEvariste Galois(1811–1832)Pada usia 20 tahun telahmembuktikan persamaansuku banyak lebih dari empattidak bisa diselesaikan secaralangsung.Sumber: www-historymcs.st-andrews.ac.uk
  • 142. 136 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam2. PembagiandenganPembagi(x(( –x a)(x(( –x b)Suatu suku banyak p(x) yang dibagi oleh f(ff x) = (x – a)(x – b), dapat dituliskan sebagai berikut.P(x) = (x –x a) (x –x b) H(H x) + S … (1)Sberlaku untuk setiap x bilangan real.xf(ff x) = (x – a) (x – b) berderajat 2 sehingga sisanyaberderajat maksimum satu, atau S =S A0+ A1x.Coba Anda jelaskan mengapa sisanya berderajatmaksimum satu.Dengan demikian, persamaan (1) dapat dituliskansebagai berikut.P(x) = (x –x a) (x –x b) . H(H x) + A1x +x A0Sisa dapat ditentukan dengan teorema sisa, yaitu sebagaiberikut.• Untuk pembagi (x – a), diperoleh sisaP(a) = 0 . H(a) + A1(a) + A0= A1a + A0… (2).• Untuk pembagi (x – b), diperoleh sisaP(b) = 0 . H(b) + A1(b) + A0= A1b + A0… (3).Dari persamaan 2 dan 3, dapatkah Anda menemukanrumus berikut.AP Pa bAaP bPbba b1 0bAa b b adanJika suku banyak P(x) dibagi oleh (x – 2), sisanya 8. Adapun jikaxP(x(( ) dibagi oleh (x(( 2– x – 6), sisanya (3x x – 6). Berapa sisa pembagianxP(x) oleh (x2– 4)?Jawab:Pernyataan P(x) dibagi oleh (x – 2) bersisa 8 dapat ditulis dalamxbentuk persamaanP(x) = (x – 2)x H(H x) + 8 yang berlaku untuk setiap x bilangan real.xUntuk x = 2, diperolehx P(2) = 8.Pernyataan P(x) dibagi oleh (x2– x – 6) bersisa (3x x – 6) dapatxditulis dalam persamaanP(x) = (x – 3) (x x + 2)x H(H x) + 3x – 6 yang berlaku untuk setiapx xbilangan real.• Untuk x = 3, diperolehx P(3) = 3.• Untuk x = –2, diperolehx P(–2) = –12.Contoh 5.8embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeeeePePePePePePePePePePP SoalSuatu suku banyak P(x(( ) dibagixoleh (x(( 2xx – 1) sisanya (12x – 23)xdan jika dibagi oleh (x(( – 2)xsisanya 1. Sisa pembagiansuku banyak oleh (x(( 2xx – 3x + 2)xadalah ....Jawab:(x(( 2xx – 1) = (x(( + 1)(x x(( – 1)xJika P(x(( ) dibagi (x x(( – 1), sisanyaxS = f(1) = 12(1) – 23 = – 11.ffJika P(x(( ) dibagi (x x(( – 2) sisaxS = f(2) = 1 (diketahui).ffJika P(x(( ) dibagi (x x(( 2xx – 3x + 2)x= (x(( – 2)(x x(( – 1) sisanya adalahxSf fxf ff2 12f 1f2 1112 11xS = 12x – 23xSoal Ebtanas 1999
  • 143. 137Suku BanyakTes Kompetensi Subbab DKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukanlah sisa pembagian soal-soalberikut tanpa melakukan pembagianterlebih dahulu.a. (16x4+ 8x3– 4x + 5) : (2x x2 – 1)xb. (81x4xx – 27x3+ 9x9 2xx – 3x + 1) : (3x + 2)x2. Buktikan bahwaa. (2a3+ 3a2b – b3) habis dibagi oleh(2a – b)b. (p(( 4– 8q4– 2p2 2q2) habis dibagi oleh(p(( +2q)3. Tentukan sisa pembagian dari soal-soal berikut menggunakan teoremapembagian.a. (x2– 2y2+ xy) : (2x2 –x y)b. (p(( 2– 6q2+ pq) : (3q + p)4. Tentukan nilai p agar pembagian berikutmemiliki sisa S sebagai berikut.Sa. (2x22 4+ px2(3x + 2) – 11x x – 3) : (x x + 3)xdan S = 3Sb. (x( 5+ x4– px2(x + 1) + 9x x + 14) : (x x – 3)–dan S = 5S5. Tentukannilaip jika (x3– 4x2+ 5x +x p) dan(x2+ 3x – 2) dibagi (x x + 1) memberikanxsisa yang sama.6. Tentukan nilai p dan q jika (x4+ px3+ (q – 14)x2+ 28x – 15) habis dibagioleh (x2– 2x + 1)7. Jika P(x) dibagi oleh (x – 2), sisanya 5dan jika dibagi (x – 1) sisanya 4. Tentukanxsisanya jika P(x) dibagi (x2– 3x + 2).x8. Jika P(x) dibagi (x2– 4), sisanya (3x – 7)xdan jika dibagi (x2– 9), sisanya (5x – 13).xTentukan sisanya jika P(x) dibagi oleh(x +1).xMisalkan, sisa pembagian P(x) oleh x2– 4 adalah S =S A1x +x A0maka bentuk pembagian dapat dituliskan dalam persamaanP(x) = (x + 2) (x x – 2)x H(H x) + A1x +x A0yang berlaku untuk setiapx bilangan real.x• Untuk x = 2, diperolehx P(2) = 2A2 1+ A0= 8 ....(*)• Untuk x = –2, diperolehx P(–2) = –2A2 1+ A0= –12 ....(**)Dari persamaan (*) dan (**) diperolehA0= –2 dan A1= 5 (coba buktikan!)Jadi, sisa pembagian P(x) oleh (x2– 4) adalahS = 5S x – 2.xE. Teorema Faktor1. Pengertian Teorema FaktorPandanglah suku banyak P(x) dan pembagi ax + b.Kemudian, amati kembali Teorema 5.1 dengan saksama. Jikasisanya 0, apa yang terjadi dengan (ax + b)? Sebagai akibatdari Teorema 5.1, jika sisa Pba= 0 maka
  • 144. 138 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTunjukkan bahwa (x + 5) merupakan faktor dariP(x) = x3+ 4x2+ 11x + 30.Jawab:Untuk memeriksa apakah (x – k) merupakan faktor dari P(x),Andacukup menunjukkan bahwa P(k) = 0. Adapun P(k) dapat dihitungdengan cara substitusi atau cara Horner.P(–5) = (–5)3+ 4(–5)2+ 11(–5) + 30 = 0.Oleh karena P(–5) = 0 maka (x + 5) merupakan faktor dari P(x).Contoh 5.9Teorema 5.2Jika P(x) = anxn+ an–1. xn–1+ . . . + a1. x + a0dengan aibilanganbulat, i = 1, 2, ..., n dan p bilangan bulat dengan p merupakan harganol dari P(x) maka p adalah pembagi a0.:Misal, p bilangan bulat yang merupakan harga nol P(x)makaP(p(( ) = anpnnn+ an–1. pn–1+ … + a1p11+ a0= 0anpnnn+ an–1 . pn–1+ … + a1p = –a11 0p(an. pn–1+ an–1. pn–2+ … + a1) = –a0Oleh karena p adalah bilangan bulat dan aijuga adalahbilangan bulat maka ruas kiri persamaan tersebut merupakanbilangan bulat.Jadi, p pembagi dari a0(terbukti).Selain untuk menentukanfaktor suatu suku banyak,teorema faktor dapatpula digunakan untukmenentukan koefisien-koefisien suku banyak yangbelum diketahui.ContohTentukan nilai k sehinggak(x(( + 3x a) merupakan faktor darix3xx + (ak + 2k a) x2xx + 18a3Jawab:Berdasarkan teorema faktormakaf(–3ff a) = 0(–3a)3+ (ak + 2k a) (–3a)2+ 18a3= 0–27a3+ (ak + 2k a) 9a2+ 18a3= 0–27a3+ 9a3k + 18k a3+ 18a3= 0(–27 + 9k + 36)k a3= 0(9 + 9k)kk a3= 0atau9 + 9k = 0k9k = –9kk = –1kIngatlahP(x) = (ax + b)H xa+ 0P(x) = (ax + b)H xadengan a ≠ 0.Hal ini menunjukkan bahwa (ax + b) adalah suatufaktor dari P(x). Dengan demikian, dapat dikatakan jikaP(x) adalah suatu polinom, ax + b adalah pembagi, dan sisapembagiannya adalah 0 atau Pba0 maka ax + b adalahfaktor dari P(x).
  • 145. 139Suku BanyakTentukanlah faktor-faktor dari P(x) = x 3+ 4x2+ x – 6.Jawab:P(x) berderajat 3 sehingga maksimum faktornya berderajat satuyang diperoleh 3 buah. Jika (x – k) merupakan faktor dari P(x) = x3+ 4x2+ x – 6 maka nilai k yang diperoleh adalah pembagi bulat dari–6, yaitu ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k tersebut disubstitusikanpada P(x).• Untuk k = –1 P(–1) = (–1)3+ 4(–1)2+ (–1) – 6 = –4.P(–1) ≠ 0 maka (x + 1) bukan faktor dari P(x).• Untuk k = 1 P(1) = 13+ 4 . 12+ 1 – 6 = 0.P(1) = 0 maka (x – 1) faktor dari P(x).• Untuk k = –2 P(–2) = (–2)3+ 4(–2)2– 2 – 6 = 0P(–2) = 0 maka (x + 2) faktor dari P(x).• Untuk k = 2 P(2) = 23+ 4 . 22+ 2 – 6 = 20P(2) ≠ 0 maka (x – 2) bukan faktor dari P(x).• Untuk k = –3 P(–3) = (–3)3+ 4(–3)2– 3 – 6 = 0P(–3) = 0 maka (x + 3) faktor dari P(x).• Untuk k = 3 P(3) = 33+ 4 . 32+ 3 – 6 = 60P(3) ≠ 0 maka (x – 3) bukan faktor dari P(x).Jadi, P(x) = x3+ 4x2+ x – 6 mempunyai satu faktor linear(x – 1), (x + 2), dan (x + 3).Contoh 5.102. PenggunaanTeorema Faktor untukMencari Akar Persamaan Suku BanyakDiketahui, P(x) suku banyak dengan bentuk:P(x) = anxn+ an–1. xn–1+ … a1x +x a0(x – k(( ) adalah faktor linear P(x(( ) jika dan hanya jika k akarkpersamaan P(x(( ) = 0. Jika suku banyak P(x(( ) berderajat n makapersamaan P(x) = 0 maksimum mempunyai n buah akar.Tentukan akar-akar bulat untuk suku banyak x2– 2x2 – 3 = 0.xJawab:Akar bulat untuk x2– 2x2 – 3 adalah pembagi bulat dari –3, yaituk = {±1, ±3}.Suku banyak P(x) = x2– 2x22 – 3 berderajat 2 sehingga maksimumxbanyak akar persamaan adalah dua. Untuk memperoleh akar-akartersebut, hitunglah P(k) untuk setiap nilai k. (lihat Teorema 5.2)Contoh 5.11Hal Penting
  • 146. 140 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTes Kompetensi Subbab EKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Periksalah apakah soal-soal berikut inimerupakan faktor dariP(x) = x4– 2x2 3– 13x2+ 14x + 24xa. (x – 1)x d. (x + 2)xb. (x + 1)x e. (x – 3)xc. (x – 2)x f. (x + 3)x2. Tentukan p dari P(x( ) = 2x22 4xx + x3– 45x2– 58x+ p agar P(x) memiliki faktora. (x + 1)xb. (2x2 – 1)x3. Tentukan faktor-faktor dari suku banyakberikut.a. P(x) = x4+ 3x2– 5x + 1 = 0xb. P(x) = 2x2 4+ x3– 14x2– 19x – 6xc. P(x) = 2x2 4+ 3x3– 4x2– 3x + 2xd. P(x) = 4x4+ 5x3+ 7x2– 34x + 8x4. Jika (x( +1) merupakan faktor suku banyakxberikut ini, tentukan faktor lainnya.a. px3+ x2– 2x2 – 1xb. x3+ px2– 5x – 6xc. px3+ 11x2– 6x – 8xd. 2x2 4+ px3– 29x2– 17x + 15x5. Tentukan akar bulat dari persamaanberikut.a. 2x2 3– x2+ 8x – 4 = 0xb. 4x4– 15x2+ 5x + 6 = 0xc. 2x2 4+ 3x3– 4x2– 3x + 2 = 0xd. x3+ 2x2+ ( 2 – 4)x – 2 = 0x6. Tunjukkan bahwa (x(( – 1) adalah faktor darixsuku banyak xn– 1 untuk setiap n bilanganasli.7. Tentukan nilai p agar pecahan berikut inidapat disederhanakan.a.x px x3 22123 2x21px2px2xb.2 33 8 52 23 28x p xx xpx8 28x88. Jika suku banyak x3+ p(x2– 3) – qx danxx3+ (p(( – 2)2– q(x + 3) mempunyai sebuahfaktor berderajat dua yang sama, tentukannilai p dan q.9. Sebuah tangki gas berbentuk seperti padagambar berikut.Jikapanjangtangkigas10mdanvolumenya20 π mπ 3, tentukan jari-jari tangki gas.10 mx• Untuk k = 1 P(1) = 12– 2 . 1 – 3 = –4.P(1) ≠ 0 sehingga x = 1 bukan akar persamaan suku banyakx2– 2x – 3 = 0.• Untuk k = –1 P(–1) = (–1)2– 2(–1) – 3 = 0.P(–1) = 0 sehingga x = –1 akar persamaan suku banyakx2– 2x2 – 3 = 0.• Untuk k = 3 P(3) = 32– 2 . 3 –3 = 0.P(3) = 0 sehingga x = 3 akar persamaan suku banyakx2– 2x2 – 3 = 0.Dua buah akar persamaan suku banyak x2– 2x – 3 = 0 telahdiperoleh, yaitu x = –1 dan x = 3 sehingga P(–3) ≠ 0. Jadi, akar-akar bulat untuk x2– 2x2 – 3 = 0 adalah x = – 1 dan x = 3.
  • 147. 141Suku Banyak• Rumus umum fungsi suku banyak f(ff x) adalahf(ff x) = arxn+ an – 1xn – 1+ an – 2xn – 2+ ... a0• Fungsi suku banyakf(ff x) = arxn+ an – 1xn – 1+ an – 2xn – 2+ ... a0g(x) = brxn+ bn – 1xn – 1+ bn – 2xn – 2+ ... b0dikatakan identik jika dan hanya jikaa = bn; an – 1= bn – 1; ...; a0= b0• Nilai suku banyak dapat dicari dengan cara substitusi danskema.• Mencari hasil bagi dan sisa bagi dapat dilakukan denganpembagian bersusun atau cara horner.• Pembagian suku banyak oleh pembagi yang berbentuk linear,menghasilkan sisa berderajat nol.Sekarang, lanjutkanlah rangkuman di atas.RangkumanSetelah Anda mempelajari Bab 5,1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yangmudah,2. bagian manakah yang menurut Anda sangat menarik danpenting untuk dipelajari,3. adakah soal tes kompetensi yang tidak dapat Andakerjakan?4. apakah Anda mendiskusikan materi yang belum Andapahami?Refleksi
  • 148. 142 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTes Kompetensi Bab 5A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.1. Jika x3– 12x + ka habis dibagi dengan(x(( – 2) maka ia juga habis dibagi dengan ....xa. (x – 1)xb. (x + 1)xc. (x + 2)xd. (x – 3)xe. (x + 4)x2. Hasil bagi dan sisa pembagian dari sukubanyak 4x44 3xx –2x22 2xx +2x–1dibagioleh2x x22 2xx +2x+1xberturut-turut adalah ....a. (2x2 – 2) dan (x x + 1)xb. (2x2 + 2) dan (x x –x 1)c. (2x2 + 2) dan (x x + 1)xd. (x + 2) dan (2x x2 – 1)xe. (x – 2) dan (2x x2 + 1)x3. Suku banyak f(ff x) dibagi oleh (x – 3)bersisa 5 dan dibagi oleh (x + 4) bersisa–23. Sisa dari pembagian f(ff x) oleh (x – 3)(x + 4) adalah ....a. 3x – 4xb. –4x4 + 17xc. –3x + 14xd. 5x – 10xe. 4x – 7x4. Jika f(ff x) = x3– x + 2 danx g(x) = 2x2 2+ x – 1xmaka f(ff x) × g(x) adalah ....a. 2x2 5+ x4+ 3x3– 3x2+ 3x – 2xb. 2x2 5+ x4– 3x3+ 3x2+ 3x – 2xc. 2x2 5+ x4– 3x3– 3x2+ 3x + 2xd. 2x2 5– x4– 3x3+ 3x2– 3x + 2xe. 2x2 5– x4+ 3x3– 3x2+ 3x – 2x5. Diketahui suku banyak4x4 4– 12x2 3+ 13x2– 8x +x a dan 6x2– 11x + 4xJika suku banyak itu mempunyai satufaktor yang sama maka bilangan bulat aadalah...a. –2 d. 1b. –1 e. 2c. 06. Persamaan 2x2 3+ 3x2+ px + 8 = 0 mem-xpunyai sepasang akar yang berkebalikan.Nilai p = ....a. 18 d. –6b. 6 e. –18c. 37. Diketahui persamaanAxBxxx xx1 2x822.Nilai A dan B berturut-turut adalah ....a. –2 dan 3b. 2 dan –3c. 3 dan –2d. –3 dan 2e. –3 dan –28. Suku banyak f(ff x) habis dibagi oleh (x – 1).Sisa pembagian f(ff x) oleh (x – 1)(x + 1)adalah ....a. –12f(1)(1 –ff x)b. –12f(1)(1 +ff x)c.12f(–1)(1 –ff x)d.12f(–1)(1 +ff x)e. –12f(–1)(1 +ff x)9. Diketahui f(ff x) = px3+ (2p2 – 1) x2– 2px2 + 3xdan g(x) = 2px2 3– 3px3 2–(p(( + 4)x –x p. Jikasisa pembagian f(ff x) oleh (x + 1) samadengan sisa pembagian g(x) oleh (2x22 – 1)xmaka nilai p adalah ....a.25d. –45b. –25e.35c.45
  • 149. 143Suku Banyak10. Jika f(ff x) = 4x4– x3– x2+12x dibagidengan(2x22 +x 2 ) sisanya adalah ....a. – 2 d.12b. –1 e.122c. –1211. Suku banyak f(ff x) = x3– 2x2 2+ px + 6 habisxdibagi (x – 1). Jika dibagi dengan (x + 3)(x + 1) sisanya adalah ....a. 16x + 24xb. 16x – 24xc. 24x + 16xd. 24x44 – 16xe. –24x4 + 16x12. Suatu suku banyak P(x(( ) dibagi oleh (x(( 2– 1)sisanya (12x – 23) dan jika dibagi oleh(x –2) sisanya 1. Sisa pembagian sukubanyak P(x) oleh (x2– 3x + 2) adalah ....xa. 12x22 + 23xb. 12x22 – 23xc. 23x + 12xd. 23x – 12xe. –23x + 12x13. Sisabagidari(4x44 4+ 3x3– x + 4) : (x x( 2+ x –2)xadalah ....a. 12x22 + 22xb. 12x22 – 22xc. –12x2 + 22xd. –12x2 – 22e. 22x22 – 12x14. Diketahuisukubanyakfk (x(( )=x x3xx +ax2xx +2bx–6.xJika suku banyak ini habis dibagi oleh(x – 3) dan (x x – 2), maka sisa pembagianxf (x) oleh x2+ 5x + 6 adalah ....xa. 60(x + 1)xb. –60(x + 1)xc. 60(x – 1)xd. –60(x – 1)xe. 60(1 – x)15. Diketahui P(x) = x3+ 3x2+ px +x q. JikaP(x) dibagi (x2+ 2x2 – 3) sisanya 7x x + 3,xmaka nilai p dan q berturut-turut adalah ....a. 3 dan 2 d. –6 dan 0b. –3 dan 2 e. 6 dan 0c. –2 dan 316. Jika suku banyak x4– 3x2+ ax + bdibagi oleh x2– 3x – 4, akan memberikansisa 2x + 5.Nilai a dan b adalah ....a. a = 35 dan b = 40b. a = –35 dan b = 40c. a = –35 dan b = –40d. a = 40 dan b = –35e. a = 40 dan b = –3517. Banyak akar real dari persamaanx4– x – 3x x2+ 4x – 4 = 0 adalah ....xa. 4 d. 1b. 3 e. 0c. 218. Jika f(ff x) dibagi dengan x + 2, sisanyaadalah 3. Jika f(ff x) dengan x2– 4, sisanyaadalah ....a. x + 5x d. x + 2xb. x + 4x e. x + 1xc. x + 3x19. Jika f(ff x) dibagi oleh x – 1 dan x + 1,sisanya berturut-turut adalah 2 dan 3. Jikag(x) dibagi oleh x – 1 danx x + 1, sisanyaxberturut-turut adalah 1 dan –2.Jika f(ff x) = h(x) . g(x) dibagi oleh x2– 1maka sisanya adalah ....a. 4x + 2x d. 2x2 – 4xb. 4x – 2x e. –2x22 – 4xc. 2x2 + 4x20. Jika f(ff x) dibagi dengan x – 2, sisanya 24.Jika f(ff x) dibagi dengan x + 5, sisanya10. Jika f(ff x) dibagi dengan x2+ 3x – 10,sisanya adalah ....a. x + 34x d. 2x2 – 20xb. x – 34x e. x + 14xc. 2x2 + 20x
  • 150. 144 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamB. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.1. Tentukan f(ff x) + g(x), f(ff x) – g(x) danf(ff x) × g(x) untuk soal-soal berikut.a. f(ff x) = 5x3+ 2x2 – 4 danxg(x) = 3x4– 4x – 7xb. f(ff x) = 6x4– 2x2 3+ x +5danxg(x) = 3x4+ 5x3+ 2x22 2– 8c. f(ff x) = (2x2 – 1)x 3dan g(x) = (5x + 2)x 2d. f(ff x) = (3x + 2)x 3dan g(x)= (x – 2) (x x + 2)x 2e. f(ff x) = (5 – 3x)3dang(x) = (x2– 2x) (x2+ 2x)2. Hitunglah nilai suku banyak P(x) meng-gunakan substitusi untuk soal-soal berikutini.a. P(x(( ) = 5x5xx – 3x3– x + 15 untukx x = 2xb. P(x) = 2x22 5– x4+ 3x2– 2x2 + 10 untukxx = –2xc. P(x) = 3x7– 5x4– 2x2 3+ 3x – 5 untukxx = –1xd. P(x( ) = 2x22 5– 3x4xx + 2x22 3– 3x + 5 =x untukx123. Carilah bilangan p dan q agar(px(( 3– 5x2– 22x + q) habis dibagi olehx2– 4x – 5 dengan menggunakan caraHorner dan cara pembagian biasa.4. Buktikan bahwaa. p2n– q2nhabis dibagi oleh p + qb. p2n + 1+ q2n + 1habis dibagi oleh p + q.Dalam hal ini n bilangan bulat positif.5. Sebuah kotak terbuka akan dibuat dariselembarkarton.Kartontersebutberbentukpersegipanjang dan berukuran 6 × 5 inci(inci = 2,54 cm). Cara membuat kotak iniadalah dengan memotong sebuah persegidari setiap sudutnya. Jika volume kotak14 inci3, berapa inci2persegi yang harusdipotong?xxxxx xxx
  • 151. 6Bab145Fungsi Komposisidan Fungsi InversSumber: Let’sLearnaboutKorea,2002Demikian pula halnya dengan domain, kodomain, danrange fungsi telah Anda pelajari juga. Akan tetapi, padapembahasan mengenai hal tersebut tidak dipelajari sifat-sifatfungsi, aljabar fungsi, fungsi komposisi, dan fungsi invers.Pada bab ini, konsep-konsep fungsi yang telahAnda pelajaridi SMP tersebut akan dikembangkan sampai pada sifat-sifatfungsi, aljabar fungsi, fungsi komposisi, fungsi invers, daninvers dari fungsi komposisi. Salah satu manfaat belajarmateri ini ialah untuk menyelesaikan masalah berikut.Jumlah n mobil yang diproduksi suatu pabrik selama 1hari setelah t jam operasi adalaht n(t) = 200t t – 10t t2tt , 0 ≤ t < 10.Jika biaya produksi n mobil (dalam dolar) adalah C(n)= 30.000 + 8.000n, tentukan biaya C sebagai fungsi dariCwaktu. Berapakah biaya memproduksi mobil selama 1bulan? Untuk menjawabnya, Anda harus mempelajari babini dengan baik.A. Fungsi dan SifatnyaB. Aljabar FungsiC. Fungsi KomposisiD. Fungsi InversE. Invers dari FungsiKomposisiSetelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakankonsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahanmasalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi inversdalam pemecahan masalah.
  • 152. 146 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTes Kompetensi AwalSebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.1. Coba jelaskan apa yang dimaksud denganrelasi dan fungsi. Berikan 2 contoh relasiyang merupakan fungsi dan yang bukanfungsi.2. Jika f (x) = 2x2+ 7x – 15, tentukan nilaifungsi f padaa. x =12b. xa112–3. Diketahui f(x)=xx26.a. Apakah titik (3,14) terletak padagrafik f?b. Jika x = 4, berapakah f(x)?c. Tentukan domain, kodomain, danrange dari f.Diagram AlurUntuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikansebagai berikut.f bijektif f ° f –1(x) = x(g ° f)–1(x) = (f –1° g–1)(x)(f ° g)–1(x) = (g–1° f –1)(x)caramenentukannyamembahassyarat sifatf ° g:Rg« DfD ≠ φfg ° f:ffRfR « Dg≠ φ(f ° g)(x) ≠ (g ° f)(x)(f ° (g ° h))(x) = (f ° g) ° h)(x)(f ° I)(x) = (I ° f)(x) = f(x)syarat memilikiinversFungsi InversFungsi KomposisiFungsi Komposisi dan Fungsi Invers
  • 153. 147Fungsi Komposisi dan Fungsi InversA. Fungsi dan SifatnyaSebelum membahas beberapa macam fungsi, mari awalibagian ini dengan mengulang pengertian relasi dan fungsi.1. Pengertian RelasiDari himpunan A dan B yang tidak kosong dikatakanbahwa ada suatu relasi dari A ke B jika ada anggota himpunanA yang berpasangan dengan anggota himpunan B.Amati diagrampadaGambar 6.1. Relasi yang ditunjukkandiagram tersebut dapat dituliskan dalam bentuk himpunanpasangan terurut berikut.a. {(3, 2), (3, 6), (4, 7), (5, 6)}b. {(Hasan, Rudi), (Hasan, Ani), (Tina, Rudi)}c. {(a, x), (b, y), (c, z), (p(( , q), (r, s)}Daerah asal (domain) dari relasi pada Gambar 6.1 (a)adalah {3, 4, 5}, daerah kawannya (kodomain) adalah {2, 6,7, 8}, dan daerah hasilnya (range) adalah {2, 6, 7}. Dapat-kah Anda menentukan domain, kodomain, dan range dariGambar 6.1 (b) dan (c)?Misalkan antara x danx y yang keduanya bilangan realterdapat hubungan (relasi) H, yang dinyatakan sebagai y = 2x22 .Grafik relasi ini berupa garis lurus seperti diperlihatkanpada Gambar 6.2. Domain relasi ini adalah DH= {Hx| x R},kodomainnya adalah {y| y R} dan rangenya adalah RH= {Hy|y R}. Titik-titik (x, y) yang memenuhi hubungan ini begitubanyak sehingga jika dirinci satu per satu tidak mungkinrdilakukan. Dalam matematika, hubungan ini ditulis dengan{(x, y)| y = 2x22 ; x, y R}.Relasi {(x, y)|y = x2; x, y R} jika disajikan dalamdiagram Cartesius terdiri atas semua titik yang terletakpada kurva y = x2, seperti diperlihatkan pada Gambar 6.3(a).Adapun relasi {(x, y)|x2+ y2= 25; x, y R} terdiri atas semuatitik yang terletak pada x2+ y2= 25 seperti diperlihatkan padaGambar 6.3(b).Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentukumum relasi? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengankalimat Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajaritersebut memperjelas definisi berikut.Definisi 6.1Relasi H dari himpunanH A ke himpunan B ialah himpunan bagiandari himpunan pasangan berurutan yang merupakan himpunanbagian dari A × B. Jadi, H disebut relasi dari A ke B jika Hhimpunan bagian dari {(x, y)|x A, y B}.Gambar 6.1Gambar 6.2(c)aA Bbcprxyqsz(b)A BHasanTina AniRudi(a)A B3458726xxxyy =y 2xx22OO
  • 154. 148 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamDomain dari suatu relasi adalah himpunan yanganggotanya terdiri atas unsur-unsur pertama dari semuapasangan berurutan yang merupakan anggota relasi tersebut.Adapun range-nya adalah himpunan yang anggotanya terdiriatas unsur-unsur kedua dari semua pasangan berurutan yangmerupakan anggota relasi itu.2. Pengertian FungsiAmati kembali Gambar 6.2. Pada relasi {(x, y)|y = 2x22 ; x,y R}, setiap unsur pada daerah asal (domain) dihubungkandengan satu dan hanya satu unsur pada daerah hasil (range).rMisalnya, –2 dihubungkan dengan –4, –1 dengan –2, 0dengan 0, 1 dengan 2, 2 dengan 4, dan seterusnya.Sekarang amati Gambar 6.3(a). Pada relasi {(x, y)|y = x2;x, y R}, setiap unsur pada daerah asal dihubungkan dengansatu dan hanya satu unsur pada daerah hasil; –2 dihubungandengan 4, –1 dengan 1, 0 dengan 0, 1 dengan 1, 2 dengan4, dan seterusnya. Relasi {(x, y)|y = 2x22 ; x, y R} dan relasi{(x, y)|y = x2; x, y R} disebut fungsi.Berbeda dengan Gambar 6.3 (b), yaitu relasi {(x(( , y)|x2xx + y2=25;x,y R}.Padarelasiini,untuknilai xyangsamamisalnyaxx = 3, terdapat dua nilaix y yang berbeda, yaituy y = 4 dany y = –4.yJadi, relasi {(x(( , y)|x2xx + y2= 25; x, y R) bukan fungsi.Dariuraiantersebut,dapatkahAndamenyatakanpengertianfungsi? Cobalah nyatakan pengertian fungsi dengan kata-kataAnda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebutmemperjelas definisi berikut.Definisi 6.2Fungsi ialah relasi dengan setiap unsur dari daerah asalnyadipasangkan dengan tepat satu unsur dari daerah kawannya.Di antara grafik pada Gambar 6.4, manakah yang menyatakan suatufungsi dari R R, x, y R? Jelaskan jawaban Anda.Jawab:a. Dari Gambar 6.4(a) tampak bahwa untuk x = 3 dihubungkanxdengan y R, misalnya 3 dengan 0, 3 dengan 1, 3 dengan 2,dan seterusnya.Akibatnya, relasi {(x,y)| x = 3;x x, y R} bukanmerupakan fungsi.Contoh 6.1Gambar 6.3(a)xyy = x2O(b)O 55xyx2+ y2= 25–5(a)xyOx = 3
  • 155. 149Fungsi Komposisi dan Fungsi Inversb. Dari Gambar 6.4(b) tampak bahwa setiap unsur pada domaindihubungkan dengan satu dan hanya satu unsur pada range.Misalnya,4dihubungkandengan2;–2dihubungkandengan–1;0 dihubungkan dengan 0; 2 dengan 1; dan seterusnya. Dengandemikian, relasi {(x(( ,y)| y =12x; x, y R} merupakan fungsi.Grafik pada Gambar 6.4(b), menyatakan fungsi.Diketahui fungsi f :f R R dan f(ff x) = x2– 1.a. Hitunglah f(–3),ff f(–1),ff f(0),ff f(2), danff f(3).ffb. Jika f(ff a) = 3, tentukan nilai a yang memenuhi.c. Gambarkan grafik fungsi tersebut.d. Jika daerah asal fungsi tersebut adalah DfD = {fx|–3 ≤ x ≤ 3, x R},tentukan daerah hasilnya.Jawab:a. f(ff x) = x2– 1f(–3) = (–3)ff 2– 1 = 9 – 1 = 8f(–1) = (–1)ff 2– 1 = 0f(0)ff = (0)2– 1 = –1f(2)ff = (2)2– 1 = 3f(3)ff = (3)2– 1 = 8b. f(ff a) = a2– 13 = a2– 1a2= 3 + 1a2= 4a2= 4a = ±2Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a = 2 dan a = –2.c. Sketsa grafik tampak pada Gambar 6.5.d. Daerah hasil dari fungsi y = f(ff x) = x2– 1 adalahRfR = {fy| –1 ≤ y ≤ 8, y R}Contoh 6.2Gambar 6.4(b)xyOGambar 6.53. Sifat-Sifat Fungsia. Fungsi InjektifMisalkan, himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B ={p, q, r, s}. Dari himpunan A ke himpunan B ditentukanfungsi f dan fungsif g yang dinyatakan dengan diagrampanah pada Gambar 6.6.Pada Gambar 6.6(a), untuk setiap anggota himpunan Ayang berbeda mempunyai peta yang berbeda di himpunan B.Fungsi yang demikian dinamakan fungsi injektif atauf fungsisatu-satu.yx3–1–2–32345678–1Daerah asalDaerahhasil211(a)AFungsi f : A Æ BBf123srpqGambar 6.6(b)Fungsi g : A Æ BA Bg123srpqy = x2–1
  • 156. 150 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamPada Gambar 6.6(b), terdapat dua anggota himpunanA yang berbeda, yaitu 2 dan 3 mempunyai peta yang sama,yaitu r di himpunanr B. Oleh karena itu, fungsi g bukan fungsiinjektif.ffSekarang, amati kembali Gambar 6.2. Dari grafik fungsif(ff x) = 2x22 pada gambar tersebut, untuk setiap domainx x1danx2(x1≠ x2) maka f(ff x1) ≠ f(ff x2). Misalkan untuk x1= –1, x2= 1maka f(ff x1) = –2, f(ff x2) = 2, dan f(ff x1)≠f≠ (ff x2). Jadi, untuk nilai xyang berbeda menghasilkan nilai y = f(ff x) yang berbeda pula.Fungsi yang demikian disebut fungsi injektif atauf fungsisatu-satu.Amati pula grafik fungsi f(ff x) = x2pada Gambar 6.3(a).Pada fungsi ini, untuk setiap domain x1dan x2(x1≠ x2)terdapat hubungan f(ff x1) = f(ff x2), misalnya f(–1) =ff f(1) = 1 danfff(–2) =ff f(2) = 4. Jadi, untuk nilaiff x yang berbeda terdapat nilaixy = f(ff x) yang sama. Fungsi yang demikian bukan merupakanfungsi injektif.Secara umum, jika f fungsi dari himpunanf A ke himpunanB maka setiap unsur di dalam A dikawankan dengan tepatsuatu unsur tertentu yang khas di dalam B. Jika dua unsuryang berbeda di dalam A masing-masing dikawankan dengantepat satu unsur yang berbeda pula di dalam B maka f disebutffungsi injektif atauf fungsi satu-satu.b. Fungsi SurjektifMisalkan,himpunanA={1,2,3}danhimpunanA B={B x{{ ,y,z}.Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan fungsi f yangfditentukan dengan diagram panah pada Gambar 6.7(a).PadaGambar6.7(a),tampakbahwadaerahhasildarifungsif, yaituff RfR = {x, y, z} sehingga RfR =fB, dalam hal ini B adalahdaerah kawan. Suatu fungsi yang daerah hasilnya sama denganf fdaerah kawannya dinamakan fungsi surjektif atauf fungsi onto.Jadi, fungsi f pada Gambar 6.7(a)f merupakan fungsi surjektif.Coba Anda selidiki Gambar 6.7(b). Apakah fungsi g : P Qmerupakan fungsi surjektif? Jelaskan jawaban Anda.Sekarang, amatilah grafik f(ff x(( ) = 2x22 (Gambar 6.2). Grafikxtersebut memiliki daerah hasil (range) RfR sama dengan daerahfkawannya (kodomainnya). Oleh karena itu, fungsiff(ff x) = 2x22disebut fungsi surjektif atauf fungsi onto. Secara umum, jikapada suatu fungsi f darif A ke B daerah hasilnya RfR = B makafungsi itu disebut fungsi surjektif atauf fungsi ontof. Akantetapi, jika RfR ÃB maka fungsi tersebut bukan merupakanfungsi surjektiff.ffSuatu fungsi yang bersifat injektif dan surjektif disebutfungsi bijektif. Jadi, fungsiff y = 2x22 merupakanx fungsi bijektif.ffGambar 6.7(a)(b)APFungsi f :f A Æ BFungsi g : P Æ QBQfg1ax22by43 z6Soal TerbukaBuatlah 5 buah fungsi yangsatu-satu dan fungsi yangtidak satu-satu.
  • 157. 151Fungsi Komposisi dan Fungsi InversGambar 6.8Selidikilah fungsi berikut, apakah merupakan fungsi injektif ataubukan, jika injektif apakah juga merupakan fungsi bijektif?a. y = f(ff x) =12x + 3, x R,b. y = f(ff x) = x2– 2, x R,Jawab:a. Grafik fungsi y = f(ff x) =12x + 3, x R tampak pada Gambar6.8 (a). Amati untuk setiap domain x1dan x2(x1≠ x2)maka f(ff x1) ≠ f(ff x2). Jadi, fungsi y = f(ff x) =12x + 3, x Rmerupakan fungsi injektif. Oleh karena range RfR samafdengan daerah kawannya (kodomainnya) maka fungsi y = f(ff x)=12x + 3,x x R merupakan fungsi surjektif.Dengan demikian, fungsi y = f(ff x( ) =12x + 3,x x R adalah fungsibijektif.b. Grafik dari fungsi y = f(ff x) = x2– 2, x R diperlihatkan padaGambar 6.8(b). Pada gambar tersebut, tampak bahwa terdapatnilai-nilai x1, x2DfD denganfx1≠ x2, tetapi f(ff x1) = f(ff x2). Jadi,fungsi y = f(ff x) = x2– 2, x R bukan fungsi injektif.Contoh 6.3Mari, Cari TahuSelidikilah bersama 2 orang teman, sejarah penggunaan lambangy = f(ff x). Anda dapat mencarinya di buku atau internet. Laporkanhasilnya di depan kelas.Tes Kompetensi Subbab AKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Di antara grafik berikut ini, manakah yangmenyatakansuatufungsidariR R,x,y R?Jelaskan jawaban Anda.(a) (b)2. Dari sketsa grafik berikut ini, manakahyang merupakan relasi? Tentukan pulamana yang merupakan fungsi dari x y.Jika fungsi, tentukan sifatnya injektif,surjektif, atau bijektif.a. b.yxxxxxx(a)x–63y(b)xyx2x1y = f(x) = x2– 2yxy= x311x
  • 158. 152 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamB. Aljabar FungsiAnda telah mempelajari fungsi f(ff x) = x2– 2 mempunyaidaerah asal DfD = {fx| x R}. Demikian halnya dengan fungsig(x) = x 3 dengan daerah asal Dg= {x| x R} telah Andapelajari pula. Pada bab ini, Anda akan mempelajari caramembentuk fungsi baru dari hasil operasi aljabar dua fungsif danf g yang diketahui tersebut, yaitu sebagai berikut.• (f(( +f g)(x) = f(ff x) + g(x) = x2– 2 + x 3(f(( –f g)(x) = f(ff x) – g(x) = x2– 2 – x 3• (f(( ·f g)(x) = f(ff x) · g(x) = (x2– 2) x 3•fgfgxxgÊËÊÊÊÊËËÊÊÊÊ ˆ¯ˆˆˆ¯¯ˆˆ=( )x( )x= --( )x π( )x ,2230Anda pun akan mempelajari cara menentukan daerahasal fungsi hasil operasi. Untuk itu pelajari uraian berikut.Misalkan, f(ff x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yangdiketahui, berlaku hal-hal berikut.• Jumlah dari fungsi f(ff x) dan g(x) adalah(f(( +f g)(x) = f(ff x) + g(x) dengan Df + gD = DfD « Dg.• Selisih dari fungsi f(ff x) dan g(x) adalah(f(( –f g)(x) = f(ff x) – g(x) dengan Df – gD = DfD « Dg.3. Buatlah sketsa grafik relasi-relasiberikut. Kemudian, tunjukkan mana yangmerupakan fungsi dari R R.a. {(x,y) | y = x2– 1; x,y R}b. {(x,y) | y = x2– 2x2 – 3; x, y R}c. {(x,y) | y2= –2x2 ; x, y R}d. {(x,y) | x = –2; x, y R}e. {(x,y) | y = 5 – x2; x, y R}f. {(x,y) | y = x5; x, y R}4. Periksalah fungsi berikut, apakahmerupakan fungsi injektif atau bukan.Jika injektif, apakah merupakan fungsibijektif?a. y = 4 – x2; x, y Rb. y = (x + 1)2; x, y Rc. y =24xx; x, y R dan x ≠ 4d. y = 8 – x3; x, y R5. Tentukan daerah asal fungsi-fungsi berikutini.a. f(ff x) = 3x – 2xb. fx xx32 3xx26. Gambarkan grafik fungsi berikut ini.Kemudian, tentukan daerah asalnya agarmenjadi fungsi injektif.a. y = f(ff x) = x2– 5x + 6xb. y = f(ff x) = 4 cos x, 0 ≤ x ≤ 2π7. Jelaskan cara yang Anda lakukan untukmenentukan apakah suatu fungsi satu-satuatau bukan.
  • 159. 153Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers• Perkalian dari fungsi f(ff x) dan g(x) adalah(f(( × g)(x) = f(ff x) × g(x) dengan Df × gD = DfD « Dg.• Pembagian dari fungsi f(ff x) dan g(x) adalahfgfgxx( )x , dengan Dfg= DfD « Dgdan g(x) ≠ 0Diketahui fungsi f(ff x) = x2– 5 dan g(x) = 2 x , tentukan operasifungsi-fungsi berikut. Tentukan pula daerah asalnya.a. (f(( + g) (x) c. (f(( × g) (x)b. (f(( – g) (x) d. fgÊËÊÊÊÊËËÊÊÊÊ ˆ¯ˆˆˆˆ¯¯ˆˆˆˆ( )xJawab:DfD = {x | x R} dan Dg={x | x ≥ 0, x R}.a. (f(( +f g)(x) = f(ff x) + g(x) = x2– 5 + 2 xDf+gD = DfD « Dg= {x | x R} «{x | x ≥ 0, x R}= {x | x ≥ 0, x R}b. (f(( –f g) (x) = f(ff x) – g(x) = x2– 5 – 2 xDf–gD = {x | x ≥ 0, x R}c. f g x x xf g x x x 2 1x xx x 02DfD ×ff g= {x | x ≥ 0, x R}d. fgfgxx xxxxxx xxx225212D x Rfg{ ,{x x }Contoh 6.4Tes Kompetensi Subbab BKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukanfgf g x f g x f g x x,f g x , ,f 2x , dan g2x serta tentukan puladaerah asal fungsi hasil operasi tersebutjika diketahui fungsi-fungsi sepertiberikut.a. f x g xx x x3 2x 3 1xxxdanb. fxxgx x x11dan2. Diketahui fungsi f(ff x) = 2x2 2– 1 dan g(x) =2 1x . Tentukanlah:a. (f(( +f g) (3)b. (f(( –f g) (2)c. (f(( ×f g) (5)
  • 160. 154 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamC. Fungsi Komposisi1. Pengertian Fungsi KomposisiSebelum Anda mempelajari fungsi komposisi lebihlanjut, pelajari uraian berikut ini.Misalkan f(ff x(( ) = x2xx + 1 dengan DfD = {fx| x R} dan g(x(( ) =x 2 dengan Dg= {x| x ≥ 2,x x R}. Fungsi komposisi g ° fdapat digambarkan pada Gambarrr 6.9.Mula-mula unsur x DfD dipetakan olehff ke bayanganf x,yaitu f(ff x(( ). Kemudian, f(ff x(( ) dipetakan oleh g ke g(f(( (ff x(( )). Dengandemikian, fungsi komposisi g ° f adalah pemetaan x DfD olehfungsi f, kemudian bayangannya dipetakan lagi olehff g. Uraiantersebut memperjelas definisi berikut.Definisi 6.3Diketahui, f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisif dan g ditulis g ° f, didefinisikan sebagai (ff g ° f)(ff x) = g(f(( (ff x))untuk setiap x Dg.Untuk x = 1 Anda perolehx f(ff x) = 2 yang berada dalamdaerah asal fungsi g. Bayangan x, yaitu f(ff x) = 2 dapatdipetakan oleh g ke g(f(( (ff x)) sebab g(2) = 2 2 = 0.Lain halnya jika x =x12. Untuk x =x12diperoleh f(ff x) =114yang berada di luar daerah asal fungsi g. Bayangan x,yaitu f(ff x) = 114tidak dapat dipetakan oleh g ke fungsikomposisi g(f(( (ff x)) sebab g 1142 341141 . Nilai initidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja padahimpunan seluruh bilangan real. Dari uraian itu dapatdipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukanjika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsix g. Dengandemikian, diperoleh daerah asal fungsi komposisi g ° f adalahfD f Dgof f gf Dxx{ ,x Dfx x }.Dengan pemikiran yang sama, fungsi komposisi f ° gadalah pemetaan x Dgoleh fungsi g, kemudian bayangannyadipetakan lagi oleh f. Dengan demikian, daerah asal fungsiffkomposisi f ° g adalah D f Dfog g fx{ ,x DgDx xx x }.Misalkan diketahui f(ff x(( ) = x2+ 2 dan g(x(( ) = 1 x. Keduafungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar 6.10.Gambar 6.9g ° ff gGambar 6.10gf
  • 161. 155Fungsi Komposisi dan Fungsi InversDaerah hasil RfR = {fx| x ≥ 2,x x R} tidak dapat dipetakanoleh g(x) = 1 x sebab untuk x ≥ 2,x g(x) tidak terdefinisi.Coba jelaskan mengapa g(x(( ) tidak terdefinisi untukx x ≥ 2.≥Jika Anda analisis uraian tersebut, diperoleh hal-halberikut.• Fungsifi (ff x(( )=x x2xx +1dan2g(x(( )=x x 2 dapatdikomposisikanmenjadi fungsi komposisi g ° f sebab irisan antara daerahfhasil fungsi f dan daerah asal fungsif g bukan merupakanhimpunan kosong.RfR «Dg={gx{{ |x≥1,x x R}«{x{{ |x≥2,x x R}={x{{ |x≥2,x R}.• Fungsi f(ff x) = x2+ 2 dan g(x) = 1 x tidak dapatdikomposisikan menjadi fungsi komposisi g ° f sebabfirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsifg merupakan himpunan kosong.RfR « Dg= {x| x ≥ 2, x R} «{x| x ≤ 1,x x R} = Ø.Syarat yang harus dipenuhi agarfungsi f dan fungsif g dapatgdikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g ° f) adalahffirisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsifg bukan himpunan kosong, ataug RfR Dg≠ Ø.embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeeePePePePePePePePePePeP SoalFungsi g: R R ditentukanoleh g(x(( ) =x x2 –xx x + 3 danxfungsi f:ff R R sehingga(f ° g)(x(( ) = 3x x2 – 3xx x + 4xmaka f (x(( – 2) = ....xJawab:g(x(( ) =x x2 –xx x + 3x(f ° g) (x(( ) = 3x x2 – 3xx x + 4xf(ff g(x(( )) = 3(x x(( 2 –xx x + 3) – 5xf (f x(( ) = 3x x – 5xmaka f(x – 2) = 3(x – 2) – 5ff= 3x – 11Soal Ebtanas 19991. Jika f(ff x) = 2x2 3dan g(x) = x + 3, tentukan g ° f(ff x).2. Jika g(x) = 2x2 + 4 danx h(x) = x2+ 2x2 +5, tentukanx h ° g(x).Jawab:1. g ° f(ff x) = g {f{{ (x)} = f(ff x) + 3 = 2x2 3+ 32. h ° g(x) = h{g(x)} = {g(x)}2+ 2{g(x)} + 5= (2x22 + 4)x 2+ 2(2x22 + 4) + 5x= 4x2+ 16x + 16 + 4x x + 8 + 5x= 4x2+ 20x + 29xContoh 6.5Diketahui f(ff x) = 2x22 + 5 danx g(x) = 3x2. Tentukan:1. (f(( ° g) (x) dan (g ° f) (ff x)2. a. daerah asal (f(( ° g) (x) dan daerah hasil (f(( ° g) (x)b. daerah asal (g ° f) (ff x) dan daerah hasil (g ° f) (ff x)Jawab:1. (f(( ° g) (x) = f (g (x)) = f (3f x2) = 2(3x2) + 5 = 6x² + 5xx(g ° f) (ff x) = g (f(( (x)) = g (2x2 + 5) = 3x (2x2 + 5)x 2= 3(4x2+ 20x + 25) = 12x x2 2+ 60x + 75xContoh 6.6TugasAnda telah mengetahui syaratfungsi f dan fungsif g dapatdikomposisikan menjadi fungsig ° f. Bagaimana denganffsyarat agar fungsi f ° g dapatdikomposisikan? Selidikilahbersama teman Anda kemudianlaporkan hasilnya kepada guruAnda.
  • 162. 156 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamSitus MatematikaAnda dapat mengetahuiinformasi lain tentang FungsiKomposisi dan Fungsi Inversmelalui internet denganmengunjungi situs berikut.2. Sifat-Sifat Komposisi FungsiUntuk mempelajari sifat-sifat komposisi fungsi, pelajariuraian berikut. Diketahui, f(ff x) = x + 5 danx g(x) = 2x22 + 6.x(f(( ° g) (x(( ) =x f (f g(x(( )) =x f (2f x22 + 6) = (2x x22 + 6) + 5 = 2x x22 + 11x(g ° f) (ff x(( ) =x g (g f(( (x(( )) =x g (g x(( + 5) = 2(x x(( + 5) + 6 = 2x x22 + 16xAmati lagi hasil contoh 6.5. Apakah nilai (f(( ° g)(x) samadengan (g ° f) (ff x)? Coba selidiki untuk fungsi lainnya. Apayang Anda peroleh? Jika melakukannya dengan benar, akandiperoleh kesimpulan berikut.(f(( ° g) (x) ≠ (g(( ° f) (ff x)Amati fungsi f(ff x) = 2x2 + 1,x g(x) = x2, dan h(x) = 3x + 5.xMisalkan, (g ° h) (x) = s(x) makas(x(( ) = (x g(( ° h) (x(( ) =x g (h (x(( )) =x g (3g x33 + 5) = (3x x33 + 5)x 2= 9x99 2xx + 302x00 + 25xsehingga(f(( ° (g ° h))(x) = (f(( ° s) (x) = f(ff s(x)) = f (9f x2+ 30x + 25)x= 2(9x2+ 30x + 25) + 1 = 18x x2+ 60x + 50 + 1x= 18x2+ 60x + 51xJadi, (f(( ° g ° h) (x) = 18x2+ 60x + 51.xKemudian, misalkan (f(( ° g) (x) = t(x) makat(x) = (f(( ° g) (x) = f (g (x)) = f (f x2) = 2x22 2+ 1 sehingga((f(( ° g) ° h) (x) = (t ° h) (x) = t(h(x)) = t (3t x + 5)x= 2(3x + 5)x 2+ 1= 2(9x2+ 30x + 25) + 1 = 18x x2+ 60x + 51xJadi, (f(( ° (g ° h)) (x) = 18x2+ 60x + 51.xAmati lagi uraian tersebut. Apa yang Anda perolehmengenai nilai f ° (g ° h)(x) jika dihubungkan dengan nilai(f(( ° g) ° h(x)? Apakah hal ini berlaku untuk fungsi yanglainnya? Untuk itu, bersama dengan teman sebangku buat 3buah fungsi. Kemudian, hitung nilai f ° (g ° h) dan (f(( ° g) ° h.Apakah hasil keduanya sama? Ulangi lagi untuk fungsilainnya. Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulanberikut?(f(( ° (g( ° h)) (x) = ((f(( ° g) ° h) (x)2. a. Daerah asal (f(( ° g) (x) = DfD° g= {x|x R} dandaerah hasil(f(( ° g) (x) = RfR° g= {y|y R}.b. Daerah asal (g ° f) (ff x) = Dg ° f= {x|x R} dandaerah hasil(g ° f) (ff x) = Rg ° f= {y|y R}.
  • 163. 157Fungsi Komposisi dan Fungsi InversDiketahui f(x) = 5x2+ 6 dan I(x) = x.a. Carilah (f ° I)(x) dan (I ° f) (x).b. Apakah (f ° I)(x) = (I ° f) (x)?Jawab:a. (f ° I)(x) = f (I (x)) = f(x) = 5x2+ 6(I ° f)(x) = I (f (x)) = I (5x2+ 6) = 5x2+ 6b. Dari hasil (a) tampak bahwa (f ° I)(x) = (I ° f) (x).Dalam hal ini fungsi I(x) = x disebut fungsi identitas terhadapoperasi komposisi fungsi.Contoh 6.7Dari uraian tersebut, dapatkahAnda menduga sifat-sifatkomposisi fungsi? Cobalah nyatakan sifat-sifat komponenfungsi dengan kata-kata Anda sendiri.• Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnyatidak komutatif.(f(( ° g)(x(( ) ≠ (g(( ° f)(ff x(( )• Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif(f(( ° (g(( ° h))(x(( ) = ((f(( ° g) ° h)(x(( )• Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapatsebuah fungsi identitas, yaitu I(II x(( )x = x sehingga (f(( ° I)(II x(( )x =(I(( ° f)(ff x(( )x = f(ff x(( )x3. MenentukanFungsifatauf gjikagDiketahuiFungsiKomposisidarif atauf gPada bagian sebelumnya,Anda telah belajar menentukanfungsi komposisi f ° g atau g ° f jika fungsif f danf gdiketahui. Bagaimana jika terjadi sebaliknya? Fungsi yangdiketahui adalah fungsi komposisi dan salah satu fungsiyang membentuk komposisi fungsi tadi, bagaimana caramenentukan fungsi lainnya?Anda dapat menentukan fungsi g(x(( ) jika diketahui fungsikomposisi (f(( ° g) (x) = 10x – 5 danx f(ff x) = 2x22 – 5, yaitu sebagaixberikut.(f(( ° g)(x) = 10x – 5xf(ff g(x)) = 10x – 5x2(g(x)) – 5 = 10x – 5x2 (g(x)) = 10xg(x) = 5xSoal Terbuka1. Diketahui fungsi komposisi(f ° g)(x(( ) = 3x x2xx + 2. Tentukanfungsi f danf g yangmungkin.2. Diketahui fungsi komposisi(g ° f)(ff x(( ) =x x –2.Tentukanxfungsi f danf g yangmungkin. Sebutkan pulacara Anda memperolehjawaban ini.
  • 164. 158 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamUntuk menentukan fungsi f(ff x) jika diketahui fungsikomposisi (f(( ° g)(x) = 30x2– 15 dan g(x) = 10x2– 3 caranyasebagai berikut.(f(( ° g)(x) = 30x2– 15f(ff g(x)) = 30x2– 15f(10ff x2– 3) = 30x2– 15 = 3(10x2– 3) – 15 + 9f(10ff x2– 3) = 3(10x2– 3) – 6f(ff x) = 3x – 6xJika fungsi f dan fungsi komposisi f ° g atau g ° f diketahuifmaka fungsi g dapat ditentukan. Demikian juga jika fungsig dan fungsi komposisi f ° g atau g ° f diketahui maka fungsiff dapat ditentukan.Diketahui f ° g (x) =1xdan f (x) =1x. Tentukan g(x).Jawab:f ° g (x) =1xf (g (x)) =1x1 1g x x( )=x = g x( )g(x) = x2Contoh 6.8Tes Kompetensi Subbab CKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukan f ° g(x) dan g ° f (f x) dari fungsi-fungsi berikut ini.a. f (f x) = 3 – 4x danx g(x) = 2x22 3+ 2b. f(ff x) = 3x + 4 dan g(x) = x3+ xc. Untuk soal nomor 1a dan 1b, tentukanf ° g(–2) dan g ° f(–2).ff2. Diketahui f (x) = 5 – x danx g(x) = x2– 4.Tentukan nilai x jika diketahui sebagaiberikut.a. f ° g(x) = –16b. g ° g (–x– ) = 213. Diketahui f (x) = x 1, g(x) = x2– 2,dan h(x) = 1 2x . Tentukanlah nilai xdari fungsi-fungsi berikut ini.a. f ° g ° h (x) = 2b. f ° g ° f (x) = 54. a. Jika f (x) = 2x2+ 7 dan f ° g (x) =3(3 – 2x), tentukanlah g(x).b. Jika g(x) = 2 (x – 1) dang ° f (x) = 2x (x – 5), tentukanlah f (3).
  • 165. 159Fungsi Komposisi dan Fungsi Inversc. Jika f (f x(( ) =xx5dan g ° f (x(( ) =xx51,tentukanlah g (2x22 – 1).xd. Jika g (x) = x – 1 danx f ° g (x) = x2– 1,tentukanlah f x .5. Diketahui f (f x) = 2x2 – 5,x g(x) = 6x2– 5,carilah nilai a yang mungkin jikaa. f ° g(a) = 285b. g ° f (a) = 16. Fungsi f dan g dinyatakan dalam pasanganterurut berikut.f = {(f a, b), (c, d), (dd e, f), (ff g, h), (i, j)}jg = {(g b, –1), (d, –3), (d f(( , –5), (ff h, –7), (j, –9)}Nyatakan fungsi-fungsi komposisi berikutini dalam pasangan terurut.a. f ° ff c. f ° gb. g ° g d. g ° f7. a. Jika f (f x) = x2– 2, g(x) = sin x, danf (g (a)) =74, tentukan nilai a.b. Jikafa (f x(( )=3–x2xx ,g(x(( )=xx 1,danh(x(( )= 3x + 1, tentukanx f ° g ° h (10).8. Harga sebuah produk p yang terjualsebanyak x mex menuhi persamaanp =14x + 100, 0 ≤ x ≤ 400xMisalkan, c adalah biaya membuat x buahxproduktersebutyangmemenuhipersamaanc =x25+ 600. Jika semua produk terjual,tentukan biaya c sebagai fungsi dari hargac p.9. Volume sebuah balon (dalam cm3) adalahV(r) =433r . Jika jari-jari r bertambahterhadap waktu t (dalam sekon) memenuhitrumus r (r t) =133t , t ≥ 0. Tentukan volumetbalon sebagai fungsi waktu.10. Sebuah drum yang berbentuk tabung mem-punyai volume 500 cm3. Bagian alas danatasnya dibuat dari bahan yang berhargaRp6.000,00 per cm2. Adapun bagian sisadibuat dari bahan berharga Rp4.000,00 percm2.a. Ekspresikan biaya totalbahan c sebagai fungsidari r (jari-jari tabung).rb. Berapahargatotalbahanuntuk membuat drumdengan jari-jari 4 cmatau 8 cm?D. Fungsi InversDi SMP, tentunya Anda telah belajar cara mengubahsatuan dari derajat Celsius ke Fahrenheit, yaitu denganmenggunakan persamaan y xx9532 . Bagaimana caramengubah satuan dari Fahrenheit ke Celsius? Untukmengetahuinya, Anda harus belajar fungsi invers.Apakah setiap fungsi selalu memiliki fungsi invers? untukmengetahuinya, lakukan aktivitas matematika berikut.
  • 166. 160 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamLakukanlah kegiatan berikut bersama kelompok Anda.Langkah ke-1a. Melengkapi tabel fungsi y = f(x)Misalkanfungsifdarif xkex ydidefinisikansebagaiy y=y f(ff x(( ),sepertixTabel 6.1. Salin dan lengkapilah Tabel 6.1 di buku tugas Anda.Tabel 6.1 Fungsi y = f(ff x)x (masukan)x 0 1 2 3 4 5 6 7 8y (keluaran) 0 2 4 6 8 ... ... ... ...b. Menukarkan nilai-nilai masukan dan keluaranTukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran tersebut sepertiTabel 6.2, kemudian salin dan lengkapilah Tabel 6.2 di bukutugas Anda.Tabel 6.2y (masukan) 0 2 4 6 8 ... ... ... ...x (keluaran)x 0 1 2 3 4 5 6 7 8Coba Anda selidiki, apakah Tabel 6.2 merupakan fungsidari y ke x? Tuliskan hasil penyelidikan Anda di buku tugasAnda.Langkah ke-2a. Melengkapi tabel fungsi s = g(r)Misalkanfungsigdarirker sdidefinisikansebagais s=s g(r),sepertirTabel 6.3. Salin dan lengkapilah Tabel 6.3 di buku tugas Anda.Tabel 6.3 Fungsi s = g(r)r (masukan)r -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4s (keluaran) ... 9 4 1 0 1 4 9 ...b. Menukarkan nilai-nilai masukan dan keluaranTukarkannilai-nilaimasukandankeluarantersebutsepertiTabel6.2, lalu salin dan lengkapi Tabel 6.4 di buku tugas Anda.Tabel 6.4s (masukan) ... 9 4 1 0 1 4 9 ...r (keluaran)r –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4CobaAndaselidiki,apakahTabel6.4merupakanfungsidariskes r?Tuliskan hasil penyelidikan Anda di buku tugas Anda.Langkah ke-3Dapatkah Anda menduga, fungsi yang bagaimana yang memilikifungsi invers? Jawablah dengan cara menganalisisTabel 6.1 sampaidengan Tabel 6.4.Aktivitas MatematikaLambang –1 di dalam f –1bukan berupa pangkat.Ingatlah
  • 167. 161Fungsi Komposisi dan Fungsi InversJika fungsi f memetakan setiapf x DfD kefy RfR makafbalikan dari fungsi f mengembalikan unsur y tersebut ke unsurf fx semula. Proses pembalikan tersebut belum tentu meng-xhasilkan fungsi baru. Jika f fungsif bijektif maka pembalikantersebut menghasilkan fungsi baru.Akan tetapi, jika f bukanffungsi bijektif pembalikan itu hanya menghasilkan suaturelasi. Agar lebih jelas, pelajari uraian berikut.Telah diketahui fungsi y = 2x seperti Gambar 6.12merupakan fungsi bijektif.Amati bahwa setiap dua unsur yang berbeda di dalamdomain f dikawanf kan dengan dua unsur yang berbeda didalam daerah kawan f. Sebagai contoh,ff x1= 2 dan x2= –2dikawankan berturut-turut dengan y1= 4 dan y2= –4. Balikandari fungsi ini akan menghubungkan dua unsur yang berbedatersebut dengan dua unsur semula yang berbeda, yaitu 4dengan 2 dan –4 dengan –2.Balikan dari fungsi tersebut jelas sesuai dengan aturanfungsi, yang hanya membolehkan setiap unsur di dalamdaerah asalnya dihubungkan dengan satu dan hanya satuunsur di dalam daerah hasil. Jadi, balikan dari fungsi f(ff x(( ) = 2x22merupakan fungsi. Lain halnya dengan fungsi y = x2sepertiGambar 6.13. Fungsi ini bukan merupakan fungsi bijektif.ffAmati bahwa setiap unsur x dan –x x– di dalam domainxf dikawankan dengan unsurf y yang sama di dalam daerahkawan f. Contohnya, unsur 2 dan –2 keduanya dipetakan keffunsur yang sama, yaitu 4. Akibatnya, balikan dari fungsi inimenghubungkan 4 dengan dua unsur yang berbeda, yaitu 2dan –2. Balikan dari fungsi ini jelas menyalahi aturan fungsi.Jadi, balikan dari fungsi f(ff x) = x2bukan merupakan fungsi,tetapi hanya relasi saja.Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentukumum fungsi invers? Cobalah nyatakan bentuk tersebutdengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Andapelajari tersebut memperjelas definisi berikut.Definisi 6.4Misalkan, f merupakan fungsif bijektif dengan daerah asal DfD danfdaerah hasil RfR.. Fungsiffinvers(fungsi balikan) f adalahf f –1jika danhanya jika (f(( –1° f) (ff x) = x untuk setiapx x di dalamx DfD dan (ff(( –1° f)ff(x) = x untuk setiapx x di dalamx RfR .ffDari Definisi 6.4 tampak bahwa setiap x DfD dipetakanfoleh f kef f(ff x) dan f(ff x) oleh f –1dikembalikan ke x. Demikianhalnya untuk setiap x RfR dipetakan olehff –1ke f –1(x) danGambar 6.12Gambar 6.13xyOy = 2xxyOy = x2
  • 168. 162 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTentukan invers dari fungsi berikut ini.y = f (f x) = 5x – 7xKemudian, gambarkan grafik f (f x) dan f –1(x).Jawab:y = 5x – 7x 5x =x y + 7x =y 75x =x f –1(y) =y 75Jadi, fungsi invers dari y =y f (x(( ) = 5x – 7 adalahx f –1(x(( ) =x 75.Gambar grafik f (x) = 5x – 7 danx f –1(x) =x 75tampak padaGambar 6.14. Amati Gambar 6.14 dengan saksama, bagaimanaposisi grafik f(ff x) dan f –1(x) terhadap y = x. Apakah simetris?Jika Anda amati grafik f (f x) dan f –1(x) dengan saksama, tampakbahwa grafik f –1(x) simetris terhadap grafik f(ff x). Grafik f –1(x)diperoleh dari grafik f(ff x(( ) dengan mencerminkannya terhadap garisy = x. Oleh karena itu, untuk mencari f –1(x) jika diketahui f (f x)dapat pula dikerjakan dari persamaan f ° f –1(x) = x.Coba Anda selesaikan invers dari f(x) = 5x – 7 dengan meng-gunakan f ° f –1(x) = x.Contoh 6.9Gambar 6.14f –1(x) oleh f dikembalikan kef x. Dengan demikian, inverssuatu fungsi invers menghasilkan fungsi asalnya, dituliskan(f(( –1)–1= f. Dari uraian tersebut,Anda dapat menentukanff inverssuatu fungsi dengan langkah-langkah sebagai berikut.• Diketahui, y = f(ff x).• Selesaikan persamaan sehingga diperoleh x sebagaifungsi y atau x = f –1(y).• Ganti variabel y dengan x padax f –1(y) sehingga diperolehf –1(x) = y sebagai fungsi invers dari y = f(ff x).xyOy =xf –1(x) =f(x) = 5x – 7Soal TerbukaBersama teman sebangku,buatlah 5 fungsi yangmempunyai invers. Berikanalasannya. Kemudian, berikanhasilnya pada teman yang lainuntuk dicek dan dikomentari.1. Diketahui f (x) = 3x2+ 4 dan g(x) =x 43.Periksalah apakah g merupakan balikan (invers) dari f.2. Tentukan fungsi invers dari f (x) =3 42 1xx.Contoh 6.10
  • 169. 163Fungsi Komposisi dan Fungsi InversDiketahui f(x) =ax bcx d.Tentukan f–1. Jika c ≠ 0, apakahsyarat a, b, c, dan d sehinggaf = f –1.Tantanganuntuk AndaTes Kompetensi Subbab DKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukan invers dari fungsi-fungsi berikut.Kemudian, gambarkan grafik fungsi f danf f –1dalam satu diagram.a. f (f x) = 2x2 – 5xb. f (x) = 3x2– 4c. f (f x) =23 2xd. f (f x) = 2 – x2e. f (f x) = x 1f. f (x) = 10x + 1xg. f (x) =15 335xx;h. f (f x) = x2– 6x + 5;x x ≥ 3xi. f (f x) = x2– 9; x ≤ 0x2. Tunjukkan bahwa fungsi g merupakaninvers bagi fungsi f.ffa. f (x) =xx 1dan g (x) =xx 1b. f (x) = 5 – x2dan g (x) = 5 xc. f (x) = 5 62x dan g (x) =x265d. f (f x) = 103xdan g (x) =13log xe. f (f x) = 22x2dan g (x) =2log xf. f (x) =3 42 1xxdan g (x) =xx42 3xJawab:1. Untuk menentukan apakah g fungsi invers f, periksalahapakah fungsi komposisi (g ° f) (x) = x dan (f ° g) (x) = x.(g ° f) (x) = g {f (x)} = g (3x2+ 4) =3 4 4322xx = x(f ° g) (x) = f {g (x)} = fx x433432= 3 434x -( )+= x – 4 + 4 = xJadi, g merupakan balikan f sehingga f juga balikan g. Dengankata lain, g = f –1dan f = g–1.2. y = f (x) =3 42 1xxy (2x–1) = 3x + 42yx – y = 3x + 4 2yx – 3x = y + 4x (2y – 3) = y + 4 x =yy42 3x = f –1(y) =yy42 3Jadi, f –1(x) =xx42 3.
  • 170. 164 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam3. Diketahui f (f x) = 4x2+ 8, g(x) =xx52 1x,dan h(x) = x22 . Tentukan nilai-nilaifungsi berikut.a. f –1(12)b. g –1(15)c. g –1(6)d. h –1( 7 )e. f –1(24) + g–1(18)f. f –1(9) + g–1(3) – h–1( 2 )4. Tunjukkan bahwa fungsi invers darifungsi-fungsi berikut sama dengan fungsiasalnya.a. f (x) = xb. f (x) = 15 – xc. f (x) =1xd. f (x) = 9 2xe. f (x) = 16 2xf. f (x) =10x5. Misalkan, f(ff x) = ax + b; a ≠ 0 dan g(x) =cx + d; c ≠ 0. Apa syaratnya agar fmerupakan balikan g, demikian pulasebaliknya g merupakan balikan f.ff6. Untuk mengubah satuan dari derajatCelsius ke derajat Fahrenheit, digunakanrumus y = f (x) =9532x . Sebaliknya,untuk mengubah satuan dari derajatFahrenheit ke derajat Celsius, digunakanrumus y = g (x) =5932x . Tunjukkanbahwa f adalah invers dari g.7. Permintaan barang di suatu negaramemenuhi persamaan p(x) = 300 – 50x,denganpadalahhargabarang(dalamdolar)dan x banyak barang yang diproduksi(dalam jutaan). Ekspresikan banyakbarang x sebagai fungsi darix p.8. Dari beberapa macam fungsi yang telahdipelajari, fungsi manakah yang memilikiinvers?E. Invers dari Fungsi KomposisiSeperti halnya fungsi yang lain, fungsi komposisi dapatmemiliki invers, asalkan syarat fungsi invers dipenuhi.AmatiGambar 6.15.Diketahui, fungsi f danf g keduanya bijektif. Fungsi fmemetakan x kex y dan fungsi g memetakan y ke z. Olehkarena f danf g bijektif maka balikan fungsi f adalahf f –1danbalikan fungsi g adalah g–1. Amati bahwa fungsi komposisig ° f memetakanf x kex z sehingga balikan g ° f, yaitu (ff g ° f)ff –1memetakan z ke x. Dari Gambar 6.15 tampak bahwa g–1memetakan z kez y dany f –1memetakan y key x. Dengan demikian,pemetaan komposisi f –1° g–1memetakan z kez x. Jadi, inversfungsi komposisi (g ° f) adalahff(g(( ° f)ff –1(x) = (f(( –1° g–1gg )(x)Gambar 6.15x y zf gf –1 g–1
  • 171. 165Fungsi Komposisi dan Fungsi InversAnalog dengan cara tersebut, invers fungsi komposisi(f(( ° g) adalah(f(( ° g)–1(x) = (g(( –1gg ° f –1)(x)Diketahui f (x) = 3x2– 6 dan g (x) = 3x – 19. Tentukana. (f ° g)–1(x) b. (g ° f)–1(x)Jawab:• f ° f –1(x) = x • g ° g–1(x) = xf (f –1(x)) = x g (g–1(x)) = x3 (f –1(x))2– 6 = x 3 (g–1(x)) – 19 = x(f –1(x))2=x 63g–1(x)=x 193f –1(x)=x 63a. (f ° g)–1(x) = g–1° f –1(x) = g–1(f –1(x))= g x x x-± + = ± + + = ± + +ÊËÁˆ¯˜1 6363193136319b. (g ° f)–1(x) = f –1(g–1(x)) = f –1 x +( )193=xxx193633791337Contoh 6.11Jika f (x) =11x, g –1(x) =1 xx, dan h (x) = g {f{{ (x)}, tentukanh –1(x).Jawab:Pertama, hitung g(x) sebagai berikut.g–1(x) =1 xxx g–1(x) = 1 – xx g–1(x) + x = 1x (g–1(x) + 1) =1x =111g-( )x +Contoh 6.12 Hal Pentinginvers
  • 172. 166 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamJadi, g (x) =11x.Kemudian, hitung h(x) sebagai berikut.h (x) =g {f{{ (x)} h (x) =11111111111fx x1xxx111xxxxHitung h–1(x) sebagai berikut.h (x) =xx1x h (x) = x – 1x x h (x) – x = – 1xx (h (x) – 1) = – 1 x =11hJadi, h–1(x) = hx x x( )x = - = ( )x-- ( )--=- +x=1 111111.Tes Kompetensi Subbab EKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukan f –1(x), g–1(x), (f(( ° g)–1(x), dan(g ° f)ff –1(x) jika diketahui:a. f (f x) =xx 1dan g (x) = 2x2 + 3b. f (f x) = 5 – 2x2 dan g (x) =xx3c. f (f x) =14 xdan g (x) = x2– 1d. f (f x) = 5x – 4x dan g (x) =22 4xe. f(ff x) =12xdan g(x) = 16 2xf. f(ff x) =3 26xxdan g(x) =22xx2. Diketahui fxx24dan g xx x 8.Tentukanlah:a. (f(( ° g)–1(–2) d. (f(( ° g)–1(x – 3)b. (g ° f)ff –1(2) e. (g ° f)ff –1(2x2 + 1)xc. (g ° f)ff –1( )- f. (f(( ° g)–1(x2– 1)• Fungsi atau pemetaan dari A ke B didefinisikan sebagai suaturelasi dari himpunan A ke B, dengan setiap x A dipasangkanpada satu dan hanya satu y B.• Himpunan unsur-unsur dalam A disebut daerah asal (domain).• Himpunan peta dari A ke B disebut daerah hasil (range).Sekarang tuliskan rangkuman materi yang telah dipelajari di bukulatihan Anda. Beberapa siswa membacakan hasilnya di depankelas.Rangkuman
  • 173. 167Fungsi Komposisi dan Fungsi InversSetelah Anda mempelajari Bab 6,1. tuliskanlah materi mana yang menurut Anda sulit dan yangmudah,2. bagian manakah yang menurut Anda sangat menarik danpenting untuk dipelajari.RefleksiTes Kompetensi Bab 6A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.1. Jika f(ff x) = x + 2 makax f(ff x2) + 3f3 (ff x) – (f(( (ff x))2sama dengan ....a. –x– + 4x d. –x– + 5xb. x + 4x e. x + 5xc. –x– + 2x2. Jika f(x)= x21 dan f ° g (x) =124 52xx 4x4 makag(x(( – 3) adalahx ....a. 15xd. 12xb.11xe. 13xc. 11x3. Jika h(x + 2) =x x2+ 2x22 makax h(x) = ....a. 2x2 +x x2d. –x– 2– 2x2b. 2x2 –x x2e. x2– 2x2c. –x– 2+ 2x24. Jika f(ff x) = 3x2– 2x2 makax f(ff x – 2) – 4x f4 (2ff x2 –x1) + f(2) = ....ffa. 45 x2– 50x + 4xb. 45x2+ 50x – 4xc. 45x2+ 50x + 4xd. –45x2– 50x + 4xe. –45x2+ 50x + 4x5. Fungsi berikut ini yang dapat digolongkanke dalam fungsi satu-satu adalah ....a. f(ff x) = k, k konstanta sebarangb. f(ff x) = x + 9xc. f(ff x) = x2– 9xd. f(ff x) = x2– 2x22 + 1xe. f(ff x) = x2+ 2x2 + 1x6. Jika f(ff x) = 2ax +x12x, g(x) = bx –3x, danC =C 2a + b maka jumlah kedua fungsi ter-sebut adalah ....a. ax d. abx =3xb. bx e. ax =x Cc. Cx7. Jika f(ff x +x y) = f(ff x) + f(ff y), untuk semuabilangan rasional x danx y serta f(1) = 10,ffmaka f(2) adalah ....ffa. 0b. 5c. 10d. 20e. tidak dapat ditentukan8. Diketahui f(ff g(x)) =33 5xxdan g(x) =xx13 5xmaka nilai f(0) adalah ....ffa. –4 d. 2b. –2 e. 4c. 09. Fungsi f:ff R R dengan f(ff x) = 4x +x ng: R R dengan g(x) = 3x – 10xJika f ° g (x) = g ° f(ff x) maka nilai n yangmemenuhi persamaan itu adalah ....
  • 174. 168 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alama. –15 d. 10b. –10 e. 15c. 510. Jika f(ff x) = 5 – 2x22 , g(x) = x2– 25, danh(x) =14g(f(( (ff x)) maka h–1(x) = ....a. 52254b. 521 254± +ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯xc. 254254d. 2541 52± +ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯xe. 25425411. Jika f = {(2, 4), (3, 5), (4, –1), (5, 2)fg = {(2, –3), (3, 3), (4, 2), (5, 4), (–1, 1)}gmaka f ° g = ....a. {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 3), (5, 4)}b. {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 3), (5, 5)}c. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 3), (5, 2)}d. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 4)}e. {(1, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 5)}12. Jika suatu fungsi ditentukan sebagaihimpunan pasangan berurut f = {(1, 3), (2,f5), (4, 2), (5, 0)} maka f –1= ....a. {(3, 1), (5, 2), (2, 4), (5, 0)}b. {(1, 3), (5, 2), (2, 4), (5, 0)}c. {(1, 3), (2, 5), (2, 4), (5, 0)}d. {(3, 1), (5, 2), (2, 4), (0, 5)}e. {(3, 1), (5, 2), (4, 2), (5, 0)}13. Jika f = {(1, 3), (4, 5), (7, –2), (9, –4)},f g= {(1, 4), (6, 0), (7, 3), (9,12), (10, –6)},dan h =fgmaka h sama dengan ....a. { }, ,( )1 34,4 ( )7 23,3 ( )9 13,b. { }, ,( )1 34,4 ( )7 23,3- ( )9 13,c. { }, ,( )1 34,4 ( )7 23,3- ( )9 13,-d. { }, ,( )1 34,4- ( )7 23,3- ( )9 13,-e. { }, ,( )1 34,4- ( )7 23,3 ( )9 13,14. Apabila g(x) = 3x + 1 danx g(f(( (ff x)) = 5x2+x – 3 makax f(ff x) = . . . .a.13(x2– x – 4)xb.13(x2– x + 4)xc.13(x2– x – 2)xd.13(5x2+ x + 4)xe.13(5x2+ x – 4)x15. Jika f(ff x(( ) = 2x2 – 3 danx g ° f(ff x( ) = 2x2 + 1 makaxg(x) = ....a. x – 4x d. x – 6xb. x + 4x e. 2x2 –1c. 2x2 – 316. Pernyataan-pernyataan berikut benar,kecuali ....a. (f(( ° f –1)(x(( ) = (f(( –1° f )(x(( )b. (f(( –1° g–1)(x(( ) = (f(( ° g)–1(x(( )c. jika f (x(( ) = x + 1 makax f –1(x(( ) = x –1xd. jikafa (x(( )=2x x22 –1makax fa –1(x(( )=x12(x(( +x 1)e. jika f (x) = x3maka f –1(x) = x317. Jika f (x) =px qrx s, maka f –1(x) = ....a. sx qrx pd. sx qrx pb. sx qrx pe. sx qp rxrrc. sx qrx p18. Diketahui f(ff x) = log x, g(x) = 2x2 –x π, danh(x) = sin x, f ° g ° h(x) = 0, nilai x yangxmemenuhi adalah ....
  • 175. 169Fungsi Komposisi dan Fungsi Inversa. p4d. p8b. 24p e. 38pc. 34p19. Fungsi berikut ini yang memiliki inversfungsi adalah ....a. y = x2+ 2x2 + 1x d. y = 5b. y = x2+ 5x e. y = 2x2 2+ 4x + 3xc. y = 2x2 + 3x20. Jika f(ff x) = x + 1 dan g(x) =10xx, πmaka(1) f ° f (x) = x + 2x(2) f ° g(x) =11x(3) f ° f –1(x) = x(4) g ° f –1(x) = xPernyataan yang benar adalah ....a. 1, 2, dan 3 d. 2, 3, dan 4b. 1 dan 3 e. 1, 2, 3 dan 4c. 2 dan 421. Jika f(ff x) = x dan g(x) = x2+ 1 maka(g ° f ° f)(ff x) = ....a. x – 1 d. x 1b. x + 1 e. x 1c. x 122. Diketahui f (x) = 2x2 + 5danx g(x) =xx14.Jika f ° g(a) = 5 maka a = ....a. –2 d. 1b. –1 e. 2c. 023. Fungsi berikut ini yang tidak memilikikfungsi invers adalah ....a. y = 5x2+ 7 d. y = 5log xb. y = x3+ 4 e. y = 2x2 + 10xc. y = 10 – 150x24. Jika f(x) = 2x – 3, dengan xR dan f –1adalah fungsi invers darif(x) maka kedua kurva f(x) danf –1(x) akan berpotongan pada titik ....a. (1, –3) d. (3, –3)b. (–1, 3) e. (3, 3)c. (–3, 3)25. Jika f :f x 52x2makaxf –1adalah ....a. 5log 2x22 d. y = xmb. 5log x e. 2log 5xc. 2x2 log 5x26. Invers dari y =xmdengan m konstantasebarang adalah ....a. ymxd. y = x2b. yxme. y = x +x mc. y = mx27. Diketahui f = {(3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 8)}fmaka f –1(3) adalah ....a. 1 d. 6b. 5 e. 8c. 428. Jika f(ff x) = 8xdan g(x) = 3x2+ 4 makaf –1(g(x)) = ....a. 8log (3x2xx + 4) d. 8log 3x2+ 4b. 8log (3x2– 4) e. log (3x2+ 4)c. 8log 3x2– 429. Diketahui f(ff x) = 15xdan h(x) = x3+ 4untuk setiap x bilangan real, x ≠ 0 makaf –1(h(x2) – 4) = ....a. 15log (x5+ 2) d. 15log x6b. 15log (x5– 4) e. 15log x5c. 15log (x3+ 4)30.Jika y = f (x( ) =12x + 3,x z = f (y( ) =13y + 2,w = f (z) =14z + 1maka fungsi komposisi dari x kex w adalahw ....a. 124(x + 42)x d. 124(4x + 16)xb. 124(2x2 + 7)x e. 112(6x + 18)xc. 124(3x + 21)xx ReservoirAReservoirBReservoirCy = f(ff x) z = f(ff y) w = f(ff z)
  • 176. 170 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamB. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.1. Dari fungsi-fungsi berikut, tentukanf(–2),ff f(–1),ff f(0),ff f(1)ff , dan f(2). Kemudian,ffgambarkan grafiknya. Jika daerah asalnyaDfD ={x|–2 < x< 2, x R}, tentukan daerahhasilnya.a. f (x) = 3x – 1b. f (x) = 3 – 2x2xc. f (x) = x – 2d. f (x) = 4 – 2x2 2e. f (x) = x2– 3x+2f. f (x) = x3– 12. Diketahui fungsi fxxx3 1x22 dang xx 14 4 . Tentukanlah:a. (f(( +f g) (2)b.fgÊËÊÊÊÊËËÊÊÊÊ ˆ¯ˆˆˆˆ¯¯ˆˆˆˆ( )-c. (f(( –f g) (–2)d. (f(( ×f g) (–10)e. f 2(4)g(–1)f. g 2(–7) : f (2)3. Tentukan f ° g ° h(x) dan h ° g ° f(ff x) darifungsi-fungsi berikut ini.a. f (x) = x – 3,x g(x) = 2x2 + 1, dan h(x) =x2– 2b. f (x) = 3x – 1,x g(x) = x2+ 1, dan h(x)= x2+ 2x2 + 5xc. f (f x) = x2– 1, g(x) = x + 2, danx h(x) =x2– 2d. f (f x) = 4 8x , g(x) = x2, dan h(x) =x 14. Jumlah mobil yang diproduksi suatu pabrikselama 1 hari setelah t jam operasi adalahtn(t) = 200t – 10t2, 0 ≤ t < 10. Jika biayaproduksi n mobil (dalam dolar) adalahC(n) = 30.000 + 8.000 n, tentukan biayaC sebagai fungsi dari waktu. Berapakahbiaya memproduksi mobil selama 1bulan?5. Dengan menggunakan sifat f –1° f (x) = x,tentukan f –1(x) untuk fungsi-fungsiberikut.a. f (x) = 3x + 7b. f (x) = (x + 2)2c. f (x) = (x +2) (x x – 2)xd. f (x) =5222xxe. f (x) =xx3386f. f (x) =xx33128
  • 177. Bab171LimitSumber: davelicence.zenfolio.comAnda telah mempelajari nilai fungsi f dif a pada Bab 5.Sebagai contoh, diketahui f(ff x(( ) =x xx22+. Untuk x = –1x diper-oleh f(–1) = 1. Untukff x = 1 diperolehx f(1) = 3. Berapakahffnilai f untukf x = 0?xTernyata, Anda tidak dapat menentukan nilai f difx = 0 sebab pembagian bilangan hanya terdefinisi jikapembagi tidak sama dengan 0. Akan tetapi, Anda masihdapat mempelajari bagaimana nilai f jikaf x mendekati 0dengan menggunakan limit. Konsep limit suatu fungsi dapatdigunakan untuk menyelesaikan permasalahan berikut.Misalkan persamaan posisi motor setelah bergerak t jamtdinyatakan oleh S =S f(ff t) = 24t2tt + 4t. Kecepatan motor padasaat t = 1 jam dapat diperoleh dari limit kecepatan ratat -ratadalam selang t = 1 sampait t = 1 +t Dt dengan mengambilt Dtmendekati nol (Dt 0). Pernyataan tersebut dapat dinyatakansecara matematis sebagai berikut.V(VV t = 1)t– limtSt0– lim) ( )tf t( ft)0() f)Dengan menggunakan konsep limit, Anda dapatmenentukan kecepatan pada saat t = 1 jam.tA. Limit FungsiB. Limit FungsiTrigonometri7Setelahmempelajaribabini,Andaharusmampumenjelaskanlimitfungsi di satu titik dan di tak hingga beserta teknis perhitungannya;menggunakansifatlimitfungsiuntukmenghitungbentuktaktentufungsi aljabar dan trigonometri.
  • 178. 172 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTes Kompetensi AwalSebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.1. Sederhanakanlah pecahan berikut denganmerasionalkan penyebut.a.103 6b.xx--242. Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut.a. x2– y2b. a3– b3c. x2+ 2xy + y2 23. Nyatakan bentuk-bentuk berikut denganmenggunakan sudut tunggal.a. sin 2b. tan 2c. cos 24. Isilah titik-titik berikut.a. sin (a ±a b) = ....bbb. cos (a ±a b) = ....bbc. tan (a ±a b) = ....bb5. Ubahlah ke bentuk penjumlahan.a. 2 sin a cosa bb. 2 cos a cosa b6. Ubahlah ke bentuk perkalian.a. sin a + sina bb. cos a – cosa bc. tan a – tana bDiagram AlurLimituntuk menentukan nilaimetode penyelesaian berupadiselesaikan dengan diselesaikan denganmempelajariFungsi Aljabar Fungsi TrigonometriDi x a Di x ∞SubstitusiMemfaktorkanTerlebih DahuluPerkalian denganBentuk Kawanlim)( )xf x(g x(Æ•=∞∞limxÆ•[ ]) ( )f x( g x(- = ∞– ∞TeoremaLimit UtamaKalikan denganBentuk KawanUntuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikansebagai berikut.
  • 179. 173LimitA. Limit FungsiDalamkehidupansehari-hari,seringkaliAndamendengarkata-kata hampir ataur mendekati. Misalnya, Ronaldo hampirmencetak gol, kecepatan motor itu mendekati 120 km/jam, dan sebagainya. Kata hampir atau mendekati dalammatematika disebut limit.1. Pengertian LimitDalam matematika, limit merupakan nilai hampiransuatu variabel pada suatu bilangan real. Notasilim )x af x( LÆ=dijabarkan sebagai "limit fungsi f(ff x) pada saat xmendekati a sama dengan L". Suatu limit dikatakan adajika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kananyang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi realdari sebelah kiri yang dinotasikan lim )–x af x(Æ. Sedangkanlimit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real darisebelah kanan yang dinotasikan lim )x af x(Æ +. Untuk lebihmemahaminya perhatikan uraian berikut.Misal, diberikan suatu limit fungsif(ff x)=4 44 6 4x xx x6,,jikajjik >x66 jika{Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidikiapakah limit kanan dan limit kirinya sama.• lim ( )xxÆ -(44 4x = 1) =) 6, karena x < 4• lim lim lx xx xlimÆ Æx Æ+ + +4 4Æx+Æ 44 6x + 4 6limx + = 16 + 6 = 22Oleh karena nilai limit kiri dan nilai limit kananberbeda, limit fungsi tersebut tidak ada.Selanjutnya, perhatikan bentuk fungsi berikut.lim )xf x(xxÆ=--3293Limit fungsi tersebut, tidak terdefinisi di x = 3 karenadaerah asal fungsi f adalah{f x | x ≠ 3).Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidikiapakah limit kanan dan limit kirinya sama, seperti padatabel berikut.Augustin Louis Cauchy(1789–1857)Definisi yang tepattentang limit pertama kalidiperkenalkan oleh Cauchy.Cauchy adalah seorang maha-guru di Ecole Polytechnique,Sarbone, dan Collegede France. Sumbangan-sumbangan matematisnyasangat cemerlang sehinggasemua buku ajar moderenmengikuti penjelasan kalkulusyang terperinci oleh Cauchy.Sumber: Kalkulus dan GeometriAnalitis Jilid 1, 1987TokohMatematika
  • 180. 174 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTabel 7.1x 2,99 2,999 2,9999 Æ Æ 3,0001 3,001 3,01f xxx)x =--2935,99 5,999 5,9999 Æ Æ 6,0001 6,001 6,01Berdasarkan tabel di atas, dapat Anda ketahui bahwapada saat x mendekati 3, nilai fungsi f(x) mendekati 6.Jadi,lim( )( )xxx)(xxÆ--=-= +x32933 3)()()()(33 ; jika x π 3Oleh karena x + 3 mendekati 6 jika x mendekati 3maka xx293--mendekati 6 jika x mendekati 3.Meskipun fungsi f(ff x) tidak terdefinisi untuk x = 3, tetapifungsi tersebut mendekati nilai 6 pada saat x mendekati 3.Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa nilai limit fungsitersebut adalah 6.Selanjutnya, perhatikan pula bentuk fungsi berikut.limxxÆ+33Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidikiapakah limit kanan dan limit kirinya sama, seperti pada tabelberikut.Tabel 7.2x 2,99 2,999 2,9999 Æ Æ 3,0001 3,001 3,01f x x)x = +x 3 5,99 5,999 5,9999 Æ Æ 6,0001 6,001 6,01Berdasarkan tabel di atas, dapat Anda ketahui bahwapada saat x mendekati 3, nilai fungsix f(x) mendekati 6.Jadi,limxxÆ+33 = 6.Dapat disimpulkan bahwa limit limxxÆ+33 = 6 dapatdiperoleh tanpa menggunakan Tabel 7.2. Ketika x mendekatix3, nilai x + 3 akan mendekati 6.xDengan demikian dapat disimpulkan bahwalim li ( )xxxÆ Æxx-= lim(323933 6) =Secara umum, limx aÆf(x) = L mengandung arti bahwajika x mendekati atau menuju ke a, tetapi berlainandengan a maka f(x) menuju ke L.
  • 181. 175LimitUntuk menghitunglimxx xxÆ+022, sebaiknyax x222+difaktorkan,lalu disederhanakan,sebelum menyubstitusikanx = 0 karena jikax x = 0xdisubstitusikan secaralangsung maka diperolehlimxxxÆ-+02 2+2 0xx 2 0◊0=00dan ini bentuk tidak tentu.IngatlahTentukan limit berikut.1. limx 2(2x22 – 4)x2. limx 4(x(( 2xx – 5x + 6)xJawab:1. limx 2(2x22 – 4), artinya jikax x mendekati 2 maka (2x x22 – 4) mendekatix(2 · 2 – 4) = 0. Dengan demikian, limx 2(2x22 – 4) = 0.x2. limx 4(x(( 2xx – 5x + 6), artinya jikax x mendekati 4 maka (x x(( 2xx – 5x + 6)xakan mendekati (42– 5.4 + 6) = 2.Jadi, limx 4(x(( 2xx – 5x + 6) = 2.xDiketahui f(x) =x xxxx2205 0x+πÏÌÔÏÏÌÌÓÔÌÌÓÓTentukan:a. nilai fungsi di titik 0b. nilai limit di titik 0.Jawab:a. f(0) = 5ffb. limxx xxÆ+022= 2Diketahui limit limxxxÆ+-52255Tentukan nilai limit tersebut.Jawab:limxxxÆ+-52255= lim( )( )x)(xÆ -55 5)()()()(5= limxxÆ+55= 5 + 5= 10Contoh 7.1Contoh 7.2Contoh 7.3Dengan teman sebangku, carinilai n (bilangan asli positif)yang memenuhi limxn nxxÆ--222.Tantanganuntuk AndaAnda
  • 182. 176 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam2. Limit Fungsi AljabarLimit konstanta k untukk x mendekatix a ada dan nilainyasama dengan k, ditulis limx ak =k k. Secara grafik, hal tersebutdapat Anda lihat pada Gambar 7.4. Pandang fungsi f(ff x) = kmaka limx af (x) = limx ak =k k. Limit x untuk x mendekati apun ada dan nilainya sama dengan a, ditulis limx ax = a.Untuk mengetahui adanya limit secara mudah, Anda dapatmenggunakan teorema berikut.Teorema Limit UtamaJika f(x(( ) dan g(x(( ) adalah fungsi dan k konstanta maka1. limx a(f(( (x) + g(x)) = limx af(x) + limx ag(x)2. limx a(f(( (x) – g(x)) = limx af(x) – limx ag(x)3. limx a(f(( (x) · g(x)) = limx af(x) · limx ag(x)4. lim)( )x af x(g x(=lim )lim ( )x ax af x(g x(; limx ag(x) ≠ 05. limx ak f(x) = k limx af(x); k = konstantak6. limx a[f[[ (x)]n= lim )x anf x( ; dengan n bilangan bulatpositifa7. lim )x an f x( = lim )x an f x( ; dengan limx af(x) ≥ 0a. Menentukan Limit dengan SubstitusiLangsungAda beberapa fungsi yang nilai limitnya dapat ditentukandengan cara substitusi langsung seperti contoh berikut.af(ff x) = kxyGambar 7.1Grafik fungsi f(ff x(( ) =x kTentukan limit fungsi-fungsi berikut.1. limxx xx4xx 2. limxxxÆ++0311Jawab:1. limxx xx4xx= (–4)3+ 4(–4)2+ (–4) – 6 = –102. limxxxÆ++0311=0 10 13= 1Contoh 7.4
  • 183. 177LimitMari, Cari TahuBuatlah kelompok yang terdiri atas 5 orang. Cari informasi dibuku atau internet riwayat orang yang berjasa merumuskan konseplimit, di antaranyaAugustin Louis Cauchy. Tuliskan dan laporkanriwayatnya atau salah satu karyanya yang terkenal. Kemudian,fotonya dapat Anda tempel di ruang kelas.embahasanPePeeeeeeeeeeeePePePPePePePePePePeP Soallimttt tt23286= ....Jawab:limttt tt23286= lim( )( )( )( )t)()()(22)()()()()(()(= limtttt222 4tt3=125Soal PPI, 1979b. Menentukan Limit dengan CaraMemfaktorkan Terlebih DahuluJika dengan cara substitusi langsung pada lim)( )x af x(g x(diperoleh bentuk00(bentuk tak tentu), lakukan pemfaktoranterlebih dahulu terhadap f (x) dan g(x). Kemudian,sederhanakan ke bentuk paling sederhana. Agar lebih jelas,perhatikan uraian berikut.lim)( )x af x(g x(= lim( ) ( )( ) ( )x aP(Q x(= lim( )( )x aP(Q x(=PQ a( )a( )aDalam hal ini P(a) ≠ 0 dan Q(a) ≠ 0.Pertanyaan: Mengapa f (x) dan g(x) boleh dibagi oleh(x(( –x a)?Bersama kelompok belajarAnda, lakukan kegiatan menghitung limitbentuk00. Permasalahannya adalah menentukan limxxx1211.Langkah-langkah yang dapat Anda lakukan adalah sebagai berikut.Langkah ke-1Menyubstitusikan x = 1 ke dalam fungsi yang dicari nilai limitnya,xyaitulimxxx1211=... ...... ...--=00Langkah ke-2Agar tidak muncul bentuk00, faktorkanlah x2– 1, kemudiansederhanakan sebagai berikut.limxxx1211= lim(... ...)(... ...)( )xÆ+ -...)(...1= limx 1(... + ...)Aktivitas Matematika
  • 184. 178 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamLangkah ke-3Setelah fungsi yang dicari limitnya disederhanakan, substitusikanx = 1 pada limit fungsi yang sederhana itu, sebagai berikut.limx 1(... + ...) = ... + ... = ...Jadi, limxxx1211= ....Tentukan limit fungsi-fungsi berikut.1. limxxx22423. limxx xx x0223 3x22 8x22. limxxx333Jawab:1. Jika dengan cara substitusi langsung, diperolehlimxxx2242=2 42 22=00(bentuktaktentu).Agartidakmunculbentuk00, faktorkanlahrr x2xx – 4 sebagai berikut.limxxx2242= lim( )( ( )( )(x)()(2)()()(= limx 2(x(( + 2) = 2 + 2 = 4x2. Dengan cara substitusi langsung, diperolehlimxxx333=3 33 3=00Agar tidak muncul bentuk00, faktorkanlah x + 3 sebagai berikut.xlimxxx333=limxxxxx33 3xx3=limxx33=3 3 3= 0=03. Coba Anda kerjakan dengan cara substitusi langsung. Apakahdiperoleh bentuk00. Agar tidak muncul bentuk00, faktorkanlah(3x3+ 3x) dan (2x22 2xx – 8x) sebagai berikut.limxx xx x0223 3x22 8x2= lim( )xxx(x03x x2 (x(=321402limxxx=320 10 42=38Contoh 7.5
  • 185. 179Limitc. Menentukan Limit dengan MengalikanFaktor SekawanJika pada lim)( )x af x(g x(diperoleh bentuk tak tentu00untukx =x a dan sulit untuk memfaktorkan f(ff x) dan g(x), lakukanperkalian dengan faktor sekawan dari g(x) atau f(ff x). Agarlebih jelas, pelajari contoh berikut.Tentukan limit berikut.1. limxxx03 9 932. limxx xx x13 1x 12 1xJawab:1. Jika dengan cara substitusi langsung, diperolehlimxxx03 9 93=3 9 03 09=00(bentuk tak tentu).Agar tidak muncul bentuk tak tentu, kalikanlah limxxx03 9 93dengan3 9 93 9 999xx, sebagai berikut.limxxx03 9 93·3 9 93 9 999xx= lim( )xx x09 ((3x= limxxxxx x093 xxlimx x033 9 9=33 9 09=36=122. Coba Anda kerjakan dengan cara substitusi langsung. Apakahdiperoleh bentuk00? Agar tidak muncul bentuk00, kalikanlah3 1 1x x11 dengan faktor sekawannya, sebagai berikut.1limxx xx x13 1x 12 1x= limxx xx xxxxxx13 1x 12 1x3 1x 13 1x 12 1x xxxx2 1x 1=limxxxxxxx12 2x12 1x3 1x 1=lim( )(( )(xxxxx12 ( 2 1x3 1x 1= 22 13 1 11limxxxxx1111= 2 ·2 1 13 1 1 111= 2 ·22 2= 2Contoh 7.6Situs MatematikaAnda dapat mengetahuiinformasi lain tentang limitfungsi melalui internetdengan mengunjungi situsberikut.
  • 186. 180 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamOasimtot tegakyf(x) =112xxxGambar 7.2Grafik f(x) =12xSoal Terbuka1. Buatlah 4 soal limit xmenuju 1 yang nilainya2. Berikan soal ini kepadateman Anda untuk dicekdan dikritisi.2. Buatlah uraiansingkat strategi yangAnda lakukan untukmenyelesaikan soal limit.Kemudian, bacakan(beberapa siswa) hasilnyadi depan kelas.3. Limit Tak Hingga dan Limit Fungsi diTak HinggaLambang ∞ (dibaca: tak hingga) digunakan untukmenyatakan nilai bilangan yang semakin besar. Jadi, ∞ bukanmerupakan lambang bilangan dan tidak dapat dioperasikansecara aljabar sehingga tidak benar ∞ – ∞r = 0 atau∞∞= 1.Amati fungsi berikut.f(x) =12xFungsi f tidak terdefinisi dif x = 0 sebab pembagianbilangan satu hanya terdefinisi jika pembagi ≠ 0.Anda dapatmenentukan f(x) =12xpada beberapa nilai x yang mendekatix0 seperti diperlihatkan pada Tabel 7.3.Amati tabel tersebut. Jika x menuju 0 maka nilaix12xbernilai positif yang semakin membesar tanpa batas. Dalamlambang matematika ditulis limx x0 21= ∞. Bentuk grafik fungsiseperti ini diperlihatkan pada Gambar 7.2.Tabel 7.4 memperlihatkan nilai12xuntuk nilai x yangmenjadi sangat besar.Tabel 7.4x 1 10 1.000 10.000 100.000 ?12x1 0,01 0,000001 0,00000001 0,0000000001 0Amatilah tabel tersebut, ternyata nilai12xmenuju 0 jikax menjadi sangat besar. Dalam lambang matematika, ditulisxlimx x12= 0.Lain halnya dengan fungsi f (x) = x2. Ketika x menjadixsangat besar maka nilai x2pun bernilai semakin besar tanpabatas. Dalam lambang matematika, ditulislimxx2= ∞ (Amati kembali Gambar 7.2)Tabel 7.3x12x–0,01 10.000–0,001 1.000.000–0,0001 100.000.000–0,00001 10.000.000.0000 ?0,00001 10.000.000.0000,0001 100.000.0000,001 1.000.0000,01 10.000
  • 187. 181LimitUntuk fungsi g(x) = x21+ , ketika x menjadi sangatxbesar maka nilai x21+ pun bernilai semakin besar tanpabatas. Dalam lambang matematika, ditulis limxxÆ•+21 = ∞.Untuk menyelesaikan limit fungsi tak hinggaAnda dapatmenggunakan Teorema Limit Utama pada halaman 144.Pelajari contoh-contoh berikut.a. limxxx6 1x2 1x 0= limxxx61210=6 02 0= 3b. limxxx x8 1003 5x 102 = limxx xx x8 10035 1022=0 03 0 00=03= 0c. limx x xx6 1002 3x22 = limxxx6100232=6 02 0=-62= –3d. limxxx xx21=limxx x111 12=11 0 00=11=11=1e. limxx xx3 2223= limxxx x121 33Perhatikan, ketika x semakin membesar tanpa batas, nilaix1 +2xmenuju 1, sedangkan nilai1 33x xmenuju nol.Akibat-nya, nilai121 33xx xmembesar tanpa batas.Dengan demikian, limxxx x121 33= ∞.Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentukumum limit? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep limit yang telah Anda pelajaritersebut memperjelas ketentuan limit berikut.Dari Gambar 7.5, jika xmenjadi sangat kecil (x(( Æ ∞)maka nilai12xmenuju 0.Dalam lambang matematikaditulis limx xxx12= 0.IngatlahPada soal a, pembilang danpenyebut bentuk6 12 0masing-masing dibagidengan x karena jikadisubstitusikan secaralangsung diperoleh bentuk∞∞. Dengan penalaranyang sama, pembilang danpenyebut fungsi pada soalb, c, d, dan e masing-masingharus dibagi dengan pang-kat tertinggi dari pembilangsupaya tidak diperolehbentuk∞∞.Ingatlah
  • 188. 182 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamLambang tak hingga yangdigunakan sekarang (∞), kalipertama diperkenalkan olehJohn Wallis (1616–1703) padatahun 1655 dalam jurnalnyayang berjudul On ConicSections.The symbol we now use forinfinity (∞(( ), was first used by∞JJohn Wallis (1616–1703) in1655 in his treatise On ConicSections.SumberSumber:: www.DrMath.comwww.DrMath.comInformasiuntuk AndaInformationfor youSecara umum,• lim)( )xf x(g x(=koefisien pangkat tertinggirrkoefisien pf x)xangkat teraa tinggirr g x( )x, jikapangkat tertinggi f(ff x) = pangkat tertinggi g(x);• lim)( )xf x(g x(= 0, jika pangkat tertinggi f(ff x) < pangkattertinggi g(x);• lim)( )xf x(g x(= ±∞, jika pangkat tertinggif(ff x) > pangkattertinggi g(x);dengan f(ff x) dan g(x) keduanya merupakan fungsipolinom.Cara lain untuk memperoleh penyelesaian limit fungsiadalah mengalikan dengan faktor sekawan. Pelajari contoh-contoh berikut.1. limxxx = limxxxxxxx= limx xxx x12 2= lim( )xxxx))1= limx xx11= limxxx1111= limx01 1= 02. limxx xx= limxx xxxxxxxx= limxxxx x2 22 2x1x2embahasanPeeeeeeeeeeeeeeePePPePePePePePePP Soallim( )( )xÆ•33sama dengan ....Jawab:lim( )( )xÆ•33= limxx xx xÆ•+x -+x +27 54 36 864 108 273 3x543 2+ x144= limxx x xx x xÆ•- + -+ + +2754 36 864144 108 272 3x2 3x+=2764Soal SKALU, 1978
  • 189. 183Limit= limxxx21x2 21= limxxx x211112 21=01 0 1 00= 0Tes Kompetensi Subbab AKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Jika limitnya ada, hitunglah limit fungsiberikut.a. limxxx422b. limxxx111c. lim ( )xx(11d. limxx x3xe. limx xx22 2x2f. lim( ) ( )x) () (32 2)3)) () (((2g. limxxx424h. lim( )xx)14) xx) x)2. Tentukan limit fungsi berikut.a. limxxx 1b. limxxx3 2x4 5xc. limxxx x22 1xxd. limxxxx222 1x3 2x2e. limxxxx3 2x 11002f. limxxxx5 3x 63 8x23g. limxxx21 2h. limxxx9 2323. Hitunglah limit fungsi f(x) berikut.a. f(x) =x xx222di x = –2xb. f(x) =12 122xx 2di x = 1xc. f(x) =24 424xx 4di x = 2xd. f(x) =xx11di x =1xe. f(x) =39xxdi x = 9xf. f(x) = x xx393di x = 3xg. f(x) = x xx393di x = –3xh. f(x) =xx22di x = 4x
  • 190. 184 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamB. Limit Fungsi TrigonometriPada Subbab Atelah dipelajari limit fungsi aljabar. Kaliini akan dipelajari limit fungsi trigonometri.Awali bagian inidengan mempelajari sifat berikut.limx 0sin x = sin 0 = 0xlimxcos x = cosx p = –1limxcos x =x limcosx x1=limlim cosxxx1=1cos( )= –11. Menentukan Rumus Limit FungsiTrigonometriSifat Prinsip ApitAmati Gambar 7.3. Diketahui f,ff g, dan h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua xdekat a, kecuvali mungkin di a. Jika limx af(x) = limx ah(x) = Lmaka limx ag(x) = L.yxah(x)g(x)f(x)0Gambar 7.34. Tentukan limit fungsi berikut.a. lim( )x4 9x24b. limxxx xc. limxx x xx xx 22 2x3d. limxx x xxe. limxaxaxa1 12 21f. limxxxg. limxx x xx xxh. limxxx a5. Tentukan limit fungsi berikut.a. limxx xx xxx13 24 312 2xb. limxx xxxx23 224x286c. limxx xx xxx13 24 32 2xd. limxx xx xxx13 24 33 3x2 2xe. limxx xxxx13 223 3x3 4xf. limxx xx xxx33 24 34x2123xx36. Tentukan limit fungsi berikut.a. limxxx1 211b. limxx xx x0
  • 191. 185Limit(a)(b)yxP(cos t, sin t)A(1, 0)tOyxA(1, 0)tOP(cos t, sin t)T(1, tan t)Gambar 7.3SekarangamatiGambar7.3(a).Diketahui,0<t<t2.Ketikat Æ 0 maka titik P bergerak ke arahP A(1, 0) sehinggalimt 0cos t = 1 dant limt 0sin t = 0.tPerpanjangan OP dan garis tegak lurus sumbu-x yangxmelalui A akan berpotongan di titik T(1, tanTT t) seperti diper-lihatkan pada Gambar 7.3 (b).Sekarang amati DOAP, tembereng OAP, dan DOAT padaTGambar 7.3(b). Dari hasil pengamatan tentunya Anda mema-hami bahwaluas DOAP ≤ luas juringP OAP ≤ luasP DOATT ....(1)Anda ketahui:luas DOAP =P12alas × tinggi =12· 1 · sin t =t12sin t,luas juring OAP =12jari-jari × sudut dalam radian-=12· 12· t =t12t, danluas DOAT =12alas × tinggi=12· 1 · tan t =tsincostt2.Dengan demikian, ketidaksamaan (1) dapat dituliskansebagai12sin t ≤t12t ≤tsincostt2....(2)Kalikan ketidaksamaan (2) dengan bilangan positif2sint,diperoleh1 ≤ttsin≤1cost¤ cos¤ t ≤tsintt≤ 1Sampai uraian ini anggaplah 0 < t <t2.Akan tetapi, jika–2< t < 0 maka 0 < –t t <t2sehingga cos (–t)≤tsin( )--tt≤ 1cos t ≤tsintt≤ 1 ....(3)Dalam ketidaksamaan (3), misalkan t Æ 0, f(t) = cos t,g(t) =sintt, dan h(t) = 1.
  • 192. 186 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamHitunglah limit fungsi trigonometri berikut.1. limsinxx xsinx052. limsinxxx0223. limsintanxxx032Contoh 7.8Anda tentu memahami bahwa limt 0f(ff t) ≤t limt 0g(t) ≤t limt 0h(t).tUntuk t = 0 maka f(ff t) cost t = cos 0 = 1 dan karena h(t) = 1 makat1 ≤sintt≤ 1. Dalam hal ini tidak ada kemungkinan lain kecualisintt= 1. Dengan demikian, limt 0g(t) =t limsinttt0= 1.Dapatkah Anda membuktikan bahwalimsinttt0= 1, limtanttt0= 1, dan limtanttt0= 1?Silakan buktikan sendiri.2. Menentukan Limit FungsiTrigonometriSetelahAnda memahami rumus limit fungsi trigonometri,pelajari cara menentukan limit fungsi trigonometri tersebut.Dalam beberapa hal, cara menghitung limit fungsi tri-gonometri sama dengan cara menghitung limit fungsi aljabar.Oleh karena itu, teorema limit utama pada SubbabA.2 berlakujuga untuk limit fungsi trigonometri.Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut.1. limsintxx0222. limcossinxxx xsin01Jawab:1. limsintxx022= 1 (sesuai rumus)2. limcossinxxx xsin01= limsinsin cosxxxsinx x0221221212= limsincosxxxxcos01212= limsinlimcosxxxx cos0 0xx12121212= 1 ·12 1=12Contoh 7.7
  • 193. 187LimitTentukanlah lim( )xf x( h f)h)bagi fungsi-fungsi berikut ini.1. f(ff x(( ) = cos xx 2. f(ff x(( ) = sin xxJawab:1. lim limcos cosh hf fhh hx h x x h x0hh= limcos o sin i coshx hcos x hsin xhsin hsin0= limcoslimsin ih hxhhx hsinho hcos0hh= cos limcossin limsinxhhxhhh hh 0hh hh1= cos x.0 – sin x.1 = –sin x.2. lim( )xf x( h f)h)= limsin sinlimsin o cos sinh hxhhx hcos xx h0hhh xhhhi= limsinlimcos ih hxhhx hsinho hcos0hh= sin limcoscos limsinxhhxhhh hh 0hh hh hh1= sin x . 0 + cos x . 1 = cos x.Contoh 7.9Jawab:1. limsinxx xsinx05= limsinxxxxx05= lim limsinxxx0 0xx5 = 5–1=42. limsinxxx022= limsin sinxx xsinx x0= limsinlimsinxxxxx0 0xx= 1 · 1 = 13. limsintanxxx032= limsintanxxxxx0322332=3233220 03limsinlimtanx x30 3xxxx0 3=32· 1 · 1 =32Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut.a. limsintanxxx0b. limtansinxxx0212Contoh 7.10
  • 194. 188 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamHitunglah:a. lim tan exx xsec03 2secsec b. limxcos cos cotx xcos x2Jawab:a. lim tan exx xsec03 2secsec = limtancoslimtancosxxxxxxxlim0xxcos0 coscoscos32332232=3233220 03limtanlimcosx 0 3xxxx0 3=23(1) (1) =23b. limx2(cosec2x – cosecx x cotx x) = limsincossinx xxx22 2sin1= limcossinxxx221= limcoscosxxx2211= limcosxxcos x cos xcos21cos=limlimxxcos x221=11211 01cosContoh 7.11embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeePePePePePePePePePP Soallimsin....x xx2 24Jawab:limsinx x xx212 212 2114Soal UMPTN 1998Hal PentingJawab:a. limsintanlimsintanlxxxxxxx0 0tan xtan xtanimiisinlimtanxxxxx0 0xx= (1)(1) = 1atau limsintanlimsinsincoslimcosx xtan xxxxxxlim0 0tan xtan xtan xtan 0xx cos0 1b. limtansinlimtanlixxxxx0xx0i31233mmsinxxx01212= (1) (1) (6) = 6
  • 195. 189LimitKerjakanlah pada buku latihan Anda.Tes Kompetensi Subbab B• Jika nilai fungsi f(x) untuk mendekati satu bilangan real L, xmendekati a maka L merupakan nilai limit fungsi f(x) di x = a,ditulis f(x) = L atau jika xa maka f(a)L.• Agar sumbu limit fungsi f(x) di x = a ada, nilai limit fungsitersebut harus ada dan nilainya sama, ditulislim lim limx a x a x af x f x f x LRangkumanSetelah Anda mempelajari Bab 7,1. coba Anda tuliskan bagian-bagian dari bab ini yang telahdipahami,2. tuliskan pula hal-hal yang masih sulit untuk dipahami di bukulatihan Anda.Refleksid. limcoscos sinxxx xsin42 2cos3. Hitunglah limhf fhx h x0untukfungsi berikut.a. f(ff x) = sin 3xb. f(ff x) = sin (3x + π)πc. f(ff x) = sin 3x + πd. f(ff x) = cos (x –x π)πe. f(ff x) = cos x –x π4. Hitunglah limhf fhx h x0untukfungsi berikut.a. f(ff x) = 2 sin 3xb. f(ff x) = –2 sin (3 x + π)πc. f(ff x) = –sin 3 x + π)π1. Hitunglah limit fungsi trigonometriberikut.a. limsinxxx035d. limsinxxx033b. limsinxxx03e. limtanxxx025c. limsinxxx025f. limtanxx01342. Hitunglah limit fungsi trigonometriberikut.a. limtancotxxx412b. limsix xsin cosx xcos421 2sinc. limcoscosxxx422 1cos x
  • 196. 190 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam1. limxx xx2222= ....a. 0 d. 4b. 12e. ∞c. 22. limxxx11011adalah ....a. 1 d. –1b. ∞ e. tidak adac. 03. limx ∞x b xx a ba abaaadalah ....a. 0 d. a + bb. ∞ e. a b2c. a – b4. Jika f(ff x) = 2x – x2, limxf fhh0fhadalah ....a. 1 d. 3b. –2 e. –4c. 25. limxxx3293= ....a. 3 d. 12b. 6 e.c. 96. limx ∞xx xx xx 16 3 7x2adalah ....a.1211b.1112c. 0d. 11e.2287. limxxx5 26 1x21adalah ....a. 1211c. 0b.1112d. 11e. 2288. limxxx5 26 1x21adalah ....a. 0 d. 4b. 14e. ∞c. 19. limx xx x3x3adalah ....a. 0 d. 12b. 3 e. ∞c. 610. limxxxx328 1x 53= ....a. 6 d. 3b. 4 e. 2c. 511. limxxx x3225 1x22 5x x2= ....a.25d. 52b.35e. 72c. 112. lim ....x ∞xx x6 5x2 4x2a. 3 d. 7b. 4 e. 8c. 6Tes Kompetensi Bab 7A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
  • 197. 191Limit13. lim ....xx xxxx12224 3xa.32d. 12b.23e. 32c.1214. limsintan....xxx034a. 34d. 34b. 43e. 43c. 1415. limcosxxx0 21 2cos= ....a. –2 d. 1b. –1 e. 2c. 016. Jika limx 2f(ff x) = –3 dan limx 2g(x) = 4maka limxf xgx xx33 2f x 12= ....a. 1 d. –34b.34e. –56c. –1217. Diketahui f (x) =2 13xx x1 x1 jika 3jika 3maka limx 1f (x) = ....a. –2 d. 2b. –1 e. 3c. 118. limsinxxx08= ....a. 8 d. –2b. 4 e. –4c. 219. limsinxxx0 2= ....a. –2 d.12b. –1 e. 2c. 020. limcosxxx01= ....a. –2 d. 1b. –1 e. 2c. 0
  • 198. 192 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamB. Kerjakanlah soal-soal berikut pada buku latihan Anda.1. Jika limitnya ada, hitunglah limit fungsiberikut.a. limxx xxx23 24 4x2b. limxx x2xc. limxxx xx3226 5x2 3xx2. Tentukan nilai limit berikut.a. limx 0f(ff x) denganf(ff x) ==–x– jix ka x < 03x jix ka x ≥ 0b. limx 1f(ff x) denganx + 1 jikax x < 1xx jikax x ≥x 1f(ff x) =c. limx 2f(ff x) dengan2x22 –1 jikax x ≤ 2–x + 5 jikax x > 2xf(ff x) ==3. Sebuah benda ditembakkan vertikal keatas. Jika persamaan gerak dari bendaitu dinyatakan S =S f(ff t) = – 5t2tt + 40t makatkecepatan sesaat dari benda itu dalamwaktu tepat t1detik dinyatakan olehVf ftt 0ft1t t1 tt t1tttlimHitunglaha. kecepatan sesaat dari benda itu dalamwaktu tepat 2 detik, danb. kecepatan sesaat dari benda itu dalamwaktu.4. Hitunglah limit fungsi trigonometriberikut.a. limsinxxx02b. limsinxxx022c. limsinxxx0 25. Hitunglah limit fungsi trigonometriberikut.a. limtanxxx032b. limsinxxx222c. limtanxxx222
  • 199. 8Bab193Turunan Fungsi dan AplikasinyaSumber: www.duniacyber.comPembahasan limit fungsi yang telah Anda pelajari diBab 7 dapat dikembangkan pada pembahasan turunan fungsimkarena dengan mengetahui turunan fungsi, Anda dapatmempelajari sifat-sifat fungsi. Sifat-sifat fungsi tersebutmisalnya, kemonotonan fungsi, ekstrim fungsi, kecukupanfungsi, dan titik balik fungsi. Di samping itu, Anda juga dapatmengaitkan turunan fungsi dengan kecepatan sesaat sertadapatmenggunakanturunanfungsiuntukmempelajariaplikasipermasalahan sederhana, seperti permasalahan berikut.Banyakminyakpelumas(selamasatutahun)yangdigunakanolehsuatukendaraanyangbergerakdengankecepatanv km/jamvmemenuhi persamaan Q xv x1452 2x 02liter. Denganmemahami konsep turunan, Anda dapat menentukan jumlahmaksimum minyak pelumas yang digunakan dalam 4 tahun.A. Konsep TurunanB. Menentukan TurunanFungsiC. Persamaan GarisSinggung pada KurvaD. Fungsi Naik dan FungsiTurunE. Maksimum danMinimum FungsiF. Turunan KeduaG. Nilai StasionerH. Menggambar GrafikFungsi AljabarSetelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakankonsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; meng-gunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsidan memecahkan masalah; merancang model matematika yangberkaitan dengan ekstrim fungsi, menyelesaikan modelnya, danmenafsirkan hasil yang diperoleh.
  • 200. 194 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTes Kompetensi AwalSebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.1. Sebuah garis melalui titik (1, 5) dan (7, 3).Tentukan gradien garis tersebut. Jelaskanpula cara mencarinya.2. sin (α ± β) = ....3. cos (α + β) = ....4. tan (α + β) = ....5. cos 2α = ....6. f(x) = 2x3+ 3x, tentukan f(x + 1) danf (a + b).7. = ....8. Tentukan gradien garis singgung kurvadi titikDiagram AlurUntuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikansebagai berikut.Limit TurunanmenghasilkanteorirumusLajuPerubahanFungsiIntervalFungsiNaik/TurunmenentukanGradien Titik BalikMaks./Min.danTitik Belokmenentukan menentukan menentukanAplikasilim limx a x afgf gxa gxxxxxlimlimx a x af gf gxa gxxxxxmenyelesaikanmasalahlim)( )x af x(g x(00
  • 201. 195Turunan Fungsi dan AplikasinyaA. Konsep TurunanUntuk memahami konsep dasar turunan, tinjaulahdua masalah yang kelihatannya berbeda. Masalah pertamaadalah masalah garis singgung, sedangkan masalah keduaadalah masalah kecepatan sesaat. Satu dari kedua masalah itumenyangkutgeometridanlainnyayangmenyangkutmekanikaterlihatsepertitidakadahubungan.Sebenarnya,keduamasalahitu merupakan kembaran yang identik. Agar lebih jelasnya,pelajari uraian berikut.1. Garis SinggungAmati Gambar 8.1. Misalkan A adalah suatu titik tetappada grafik y = f(ff x(( ) dan B adalah sebuah titik berdekatan yangdapat dipindah-pindahkan sepanjang grafik y = f(ff x(( ). Misalkan,titik A berkoordinat (a, f(ff a)) maka titik B berkoordinat(a + Δx, f(ff a + Δx)). Garis yang melalui A dan B mempunyaigradien (kemiringan)f fxa xxx axx. Garis ini memotonggrafik di dua titik A dan B yang berbeda.Jika titik B bergerak sepanjang kurva y = f(ff x) mendekatititik A maka nilai Δx semakin kecil. Jika nilai Δx x mendekatixnol maka titik B akan berimpit dengan titik A. Akibatnya,garis singgung (jika tidak tegak lurus pada sumbu-x) adalahgaris yang melalui A(a, f(ff a)) dengan gradienmf fxABxa xxx axxxxlim0...(1)Pertanyaan: Mengapa persamaan garis singgung tidak bolehtegak lurus sumbu-x?Tentukan gradien garis singgung pada kurvaa. f(ff x) = x2di titik dengan absis 2b. f(ff x) = x3di titik dengan absis 3Jawab:a. mf fx xxxxxxxxxxxxxxlim lf fim0 0xxx xx2 2fxxx 2xxx2lim limx xxxx02044 4Jadi, gradien garis singgung kurva f(ff x) = x2di titik denganabsis x = 2 adalahx m = 4.Contoh 8.1Gambar 8.1Gambar 8.2xyf(a + )f(a)y = f(x)a a +OA(a, f(a))B(a + ,f(a + ))xyOy = f(x)B(a + ,f(a + ))f(a) A(a, f(a))a a +f (a + )
  • 202. 196 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alamb. mf fx xx xxxxxxxxxxxxxlim lim0 0xxx xx3 3fxxx 3xxx3limlimxxxx03 2 3 30333 3x227 9 x2 30xxxxlimlimxx 0227 2x xxx xx27Jadi, gradien garis singgung kurva f(ff x) = x3di titik denganabsis x = 3 adalahx m = 27.2. Kecepatan SesaatMisalkan, fungsi f(ff x) = 15x2+ 20x menyatakan jarakx(dalam km) yang ditempuh sebuah mobil setelah x jamperjalanan selama selang waktu 0 ≤ x ≤ 2. Kecepatan rata-xrata mobil itu selama perjalanannya adalahfxf ff2 015 20 2 152220 025020km/jamSekarang, coba amati kecepatan rata-rata mobil dalamselang c ≤ x ≤x d. Untuk keperluan ini, buatlah Tabel 8.1.Amati tabel tersebut. Nilaifxmendekat ke bilangan50 jika lebar selang waktunya dibuat semakin mengecil(Δx mendekati nol). Nilai 50 tersebut disebut kecepatan(sesaat) pada x = 1.xSekarang, dapat dipahami bahwa kecepatan sesaatdiperoleh melalui proses limit terhadap kecepatan rata-ratadengan cara membuat nilai-nilai x mendekat ke-1 atau Δx xdekat ke nol. Dalam lambang matematika kecepatan sesaatpada x = 1 ditulisxlim limx xfxf fx0 0x2f15 205002xxxxlim 50Jadi, kecepatan mobil pada saat x = 1 adalah 50 km/jam.xTabel 8.1SelangWaktu0 – 10,8 – 10,9 – 10,99 – 10,999 – 10,9999 – 11 – 1,00011 – 1,0011 – 1,011 – 1,51 – 235,000047,000048,500049,850049,985049,998550,001550,015050,150057,500065,0000fx
  • 203. 197Turunan Fungsi dan AplikasinyaDari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakankecepatan sesaat v di x =x a? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri.Uraian tersebut menggambarkan definisi kecepatansesaat v di x = a, yaituv vf fxva x axx xlim lim0 0xxrata-rata...(2)Sekarang, tentunya Anda dapat melihat mengapa Andamenyebut kemiringan dari garis singgung dan kecepatansesaat adalah kembaran identik. Amatilah kedua rumustersebut, yaitu rumus (1) dan (2). Kedua rumus tersebutmenggunakan nama berlainan untuk konsep yang sama,tetapi dalam situasi yang berlainan.Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukan-nya setelah x detik memenuhi persamaan f (x) = 6x3+ x2, denganf(x) dinyatakan dalam meter.a. Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu2 ≤ x ≤ 3.b. Berapa kecepatan sesaat benda pada x = 2 detik?Jawab:a.f x x f xx6 3 3 6 2 23 21193 2 3 3Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 119 m/s.b. limlimxxf x fxx x003 22 26 2 2 6 2 26 8 12 63 202 3xx x xxlim4 4 526 37 76 76202x xxx xxlimJadi, kecepatan pada saat x = 2 atau pada detik kedua adalah76 meter/detik.Contoh 8.2Sumber: Dokumentasi PenerbitGambar 8.3Jarak yang ditempuh mobil inimengikuti fungsif(x) = 15x2+ 20x. Berapakahkecepatan rata-ratanya?
  • 204. 198 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamCoba Anda tunjukkanlimcosx010 .Tantanganuntuk AndaAnda3. Turunan Fungsi di x =x aJika fungsi y = f(ff x) terdefinisi di sekitar x =x a makalim limx xyxf fx0 0x.Jika limxyx0ada maka nilainya disebut turunan fungsi f(ff x(( )di x =x a. Turunan fungsi f ialah suatu fungsi juga, yaitu fungsifturunan yang dilambangkan dengan f ‘(x(( ). Untuk menyatakanturunan di x =x a dinyatakan dengan f ‘(a). Jadi,ff fxfxxlim limaa x aaxx 0fxx0ataufff fx ax aGunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal berikut ini.Jika f (x) = x2– x , tentukan f(5).Jawab:ff fxffxx lim limaaa xxx axxxxxx005 fxx 0limxx x xxxx xxlim li0201010 1 9Contoh 8.3Tentukanlah f ‘(x) fungsi-fungsi berikut ini.a. f(ff x) = x2+ xx b. f(ff x) = cos xJawab:a. f xfxx xxx xxx xx xxxx20 lx imxx2xx xxxxlimli02022 1 2xx 1Contoh 8.4
  • 205. 199Turunan Fungsi dan AplikasinyaPanjang sebuah persegipanjang sama dengan tiga kali lebarnya.Tentukan laju perubahan luas terhadap lebar untuk lebar = 5 cm.Jawab:Misalkan, lebar = l cm maka panjang = p = 3 × l = 3l dan luas =L =L p × l = 3l l.l = 3l 2.Jadi, L =L f (l) = 3l2.Laju perubahan luas terhadap lebar l untuk l = 5 adalahl L ‘(5).LLhx xh lim lim,L 3 30 0h xh25h5 h 5 h5xx xx553 75 3020 02hhh h3x x0 h25 10 2h h10hxx xxlim limhhxhxxli03h 0Contoh 8.5b. f xfxxxxxx xxxxxxcos lx imcos cx xxx oslim0xxxxxxxx x x xxx xxxx00x x coslimcos xxxxx xxxxxlimsin sx incos lx imxcos xxxxxxxxxxxx00 0001cossin limsinxxxxxcos i sinx x x0 1sin xsin4. Mengenal Notasi LeibnitzAnda telah mempelajari bahwa turunan fungsi f(ff x)dinotasikan dengan f (x). Nilai Δx menyatakan perubahanxnilai x, yaitu Δx =x x2– x1. Adapun perubahan f(ff x + Δx) – f(ff x)menyatakan perubahan nilai fungsi f(ff x) dinotasikan denganΔfΔ . Selanjutnya, bentuk limit tersebut dapat dituliskanffmenjadi limxfx0.Selain itu, terdapat notasi lain untuk menyatakan turunanfungsi, yaitudfdx. Diketahui fungsiy = f(ff x) ....(1)Gottfried Wilhelm Leibnitz(1646–1716)Gottfried Wilhelm Leibnitzadalah orang jenius. Ia ahlidalam bidang hukum, agama,politik, sejarah, filsafat, danmatematika. Bersama Newtonmerumuskan pengertiandasar tentang kalkulusdiferensial. Leibnitz pundikenal karena menemukansuatu jenis mesin hitung.Sumber: Kalkulus dan Geometri AnalitisJilid 1, 1990TokohMatematika
  • 206. 200 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alamsehingga turunan fungsi (1) dapat dituliskan menjadidydx= y = f (x)Notasi tersebut diperkenalkan oleh seorang ahlimatematika Jerman, yaitu Gottfried Wilhelm Leibnitz(1646–1716) sehingga dinamakan notasi Leibnitz, tepatnyanotasi Double d Leibnitz.Misalkan f(ff x) = x3, tentukanlaha.dfdxb. nilai x sehinggaxdfdx= 12Jawab:a. dfdxf fxxxxxx xxx xxxxx xxxxxlim lim0 0xxx xx3 3302 2 30233 23 3223 2xx x xxx3x x0 xlim li x x2 23b.dfdx= 3x2maka 3x2= 12 x = ± 2.xJadi, nilai x yang memenuhixdfdx= 12 adalah x =x ± 2.Contoh 8.6Sebuah benda bergerak sehingga jarak yang ditempuh memenuhipersamaan s = f(ff t) = t2– 3t. Tentukanlah laju perubahan sesaatjarak terhadap waktu t. Tentukanlah nilai t sedemikian sehinggatlaju perubahan jarak terhadap waktu adalah 15.Jawab:Laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu adalahdsdtdfdtf ftttt tttttttlimlim00t tt2023t2ttlimt ttt t t ttt t t ttt2 2t023tt 32 3t t t2t tttt t t3tlim liimiitt t t02 3t t 2 3tContoh 8.7
  • 207. 201Turunan Fungsi dan AplikasinyaApabila laju perubahan jarak terhadap waktu sama dengan 16,diperolehdfdx= 2t – 3t 15 = 2t – 3t2t = 18t t = 9tJadi, laju perubahan sama dengan 15 terjadi pada saat t = 9 sekon.tTes Kompetensi Subbab AKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Gunakankonseplimituntukmenyelesaikansoal-soal berikut.a. Jika f(ff x(( ) = x2xx + 3x, tentukan f (x(( ).b. Jika f(ff x(( ) = x2xx – 2x22 + 6, tentukanx f (x(( ).c. Jika f(ff x(( ) = 2x , tentukan f (x(( ).d. Jika f(ff x(( ) = 11x, tentukan f (x(( ).2. Gunakankonseplimituntukmenyelesaikansoal-soal berikut.a. Jika fa (ff x(( ) = 4 – x2xx , tentukan f (–3).b. Jika f(ff x(( ) = 6x66 – 2x x22 3, tentukan f (2).c. Jika f(ff x(( ) =xx 1, tentukan f (5).d. Jika f(ff x(( ) = xxx21, tentukan f (1).3. Dengan menggunakan konsep limit,tentukan gradien garis singgung padakurva berikut ini.a. f(ff x(( ) = 5x2xx di titik dengan absis x = 2xb. f(ff x) = x 2+ x – 5 di titik dengan absisxx = –1xc. f(ff x(( ) =xx2di titik dengan absis x = –2xd. f xx x di titik dengan absisx = 44. Dengan menggunakan konsep limit, hitungnilaidfdxdari fungsi berikut untuk x yangdiberikan.a. f(ff x) = 2x2 2di x = –1xb. f(ff x) = x2– 5 di x = –4xc. f(ff x) = 2x2 +x1xdi xd. f(ff x) = 3cos xdi x =x2Gunakan konsep limit untuk soal-soalberikut.5. Sebuah benda bergerak, kedudukannyasetelah t sekon memenuhi persamaant S (t)= 3t2tt + 4t.a. Berapa kecepatan rata-rata padaselang waktu t = 3 sekon dant t = 5tsekon?b. Berapa kecepatan sesaat pada waktut = 2 sekon?t6. Sebuah perusahaan mendapatkankeuntungan setelah t tahun sebesar2.500.000t2tt –5.000t.a. Berapa besar keuntungan antara t = 3ttahun dan t = 4 tahun?b. Berapa laju keuntungan sesaat pada t= 2 tahun?7. Gunakan rumus turunan untuk mencariturunan fungsi-fungsi berikut.a. f(ff x) = 6x + 4x d. f(ff x) = sin xb. f(ff x) = ax +x b e. f(ff x) = cos xc. f(ff x) = 3x2+ 2 f. f(ff x) = tan x
  • 208. 202 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamB. Menentukan Turunan FungsiProses mendapatkan turunan suatu fungsi secara langsungyang menggunakan definisi turunan, yaitu dengan menyusunhasil bagi selisihf fxx xxx xxxdan menghitung limitnya,memakan waktu dan membosankan. Tentunya, Anda perlumengembangkan cara atau proses yang akan memungkinkanAnda untuk memperpendek proses yang berkepanjangan itu.nUntuk itu, pelajari uraian berikut ini.1. Menentukan Turunan Fungsi f(ff x(( ) =x axnxxMisalkan, fungsi f(ff x) = axndengan n = 1, 2, dan 3.Untuk n = 1, diperoleh f(ff x) = ax dan turunan fungsi tersebutxadalahff fxaxx limlimxxx xxx xxxx xxxxxxx00axaaxax x axxa xxxxxxxa xxxxxxxxxxxlim lax x axa xxim0 0xxx xx= a ....(1)Untukn=2,diperolehn fh (x(( )=x ax2xx danturunanfungsitersebutadalahf (x(( ) = limxf fx0= limxa axax02 2= limxax x x axaax02 2 2= limxax x02= 2axDengan cara yang sama, coba Anda cari turunan fungsif(ff x) = ax3, f(ff x) = ax4dan f(ff x) = ax5.Andadapatmenurunkanhalsepertiiniuntukfungsi-fungsiberikut.f(ff x(( ) = ax6xx , f ‘(x(( ) = 6ax5xxf(ff x(( ) = ax15, f ‘(x(( ) = 15ax14f(ff x(( ) = axnxx , f ‘(x(( ) = naxnxx – 1
  • 209. 203Turunan Fungsi dan AplikasinyaDari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentukumum turunan fungsi? Cobalah nyatakan bentuk tersebutdengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Andapelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut.Misalkan, f(ff x(( ) =x axnxx , dengan n bilangan asli makan f (x(( ) =x naxnxx – 1n.Untuk n = 0, f(ff x) = axnmenjadi f(ff x) = ax0= a. Fungsif(ff x) = a dinamakan fungsi konstan sehingga untuk berapapun nilai x, nilai fungsinya tetap, yaitu a. Turunan fungsikonstan adalahff f xxa axxxlimlim limxx xxx f xxxxxxxxxx00 x xx0 0x00 0limsehingga rumus tersebut berlaku untuk n bilangan bulat sebagaiberikut.Misalkan,f(ff x(( )x =axnxx dengannbilanganbulatmakafa (x(( )x =anxnxx –1nnuntuk f(ff x( ) = a, f (x(( ) = 0 dengan a sebarang bilangan real.Tentukanlah turunan fungsi-fungsi berikut ini.a. f(ff x) = x4b. f(ff x) = –8x3Jawab:a. f(ff x) = x4maka f (x) = 4x4–1= 4x3b. f(ff x) = –8x3maka f (x) = –8(3)x3–1= –24x2Contoh 8.8Tentukandfdxuntuk fungsi-fungsi berikut.a. f xx124b. gxx13 8Jawab:a.dfdxf x xx122x 4 1 5b. gxxdgdxg xx x13131388 8dgg8 g 1maka 1183 9xContoh 8.9Rumus ini juga berlaku untukn = –1faxfaxxx 2Tunjukkanlah dengan caralimit.Tantanganuntuk AndaAnda
  • 210. 204 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam2. Menentukan Turunan Fungsi f(ff x(( ) =x axnxxdengan n Bilangan RasionalMisalkan, f(ff x) = x12 , turunan fungsi f(ff x) adalahff fxfxxxlimlimxx xxx xxxxxxxx00x xxxxx x xx x xxxxxxxxxx xxxxxxxlim0xx xxlimlimxxxx x x x x001 1 121212xxDengan cara yang sama seperti di atas, coba Anda cariturunan fungsi f(ff x) = x–1/3x dan f(ff x) = x–2/5x .Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentukumum turunan fungsi f(ff x) = axn? Cobalah nyatakanbentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsepturunan fungsi f(ff x) = axnyang telah Anda pelajari tersebutmemperjelas kesimpulan berikut.Misalkan, f(ff x) = axn, dengan n bilangan rasional makaturunannya adalah f (x) = naxn – 1.Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.a. f xx34b. fxx13 23c. f x xx 3 2Contoh 8.11Diketahui tinggi badan seorang anak pada usia 11 tahun sampai12 tahun adalah tetap, yaitu T(TT t) = 120 cm. Tentukanlah lajupertumbuhan (laju pertumbuhan sesaat) tinggi badan anak tersebut.Jelaskan.Jawab:Tinggi badan anak tersebut pada usia 11 tahun sampai 12 tahuntetap. Oleh karena itu, T(TT t) = 120 adalah fungsi konstan sehinggaT ‘(t) = 0. Dengan kata lain, laju pertumbuhan tinggi badan anaktersebut adalah nol atau tinggi badan anak tersebut pada usia11 tahun sampai 12 tahun tidak mengalami perubahan.Contoh 8.10
  • 211. 205Turunan Fungsi dan AplikasinyaJawab:a. f x f x xxxx x x343411414134343434k b. fx xf xfx xx13131313 23323323maka332323 323 3132315353x x3x223 31 23 323 23x x3x x3c. f x xx x x f x xx x x x x3 25353123 23535353k 3. Turunan Fungsi Berbentuk y = u ± vDiketahui, fungsi y = f(ff x(( ) dengan f(ff x(( ) = u(x(( ) + v(x(( ), dalamhal ini u(x) dan v(x) fungsi yang dapat diturunkan di x =x auntuk a bilangan real. Dengan demikian,f ff fxfxf lim limaa aa xxx axxaaxx 0xxu u vxa xxx v xa xx a axx0limxxu u vxu00lima uxv vxu vxlim v0aaDari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentukumum turunan fungsi y = u ± v? Cobalah nyatakan bentuktersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep turunanfungsi y = u ± v yang telahAnda pelajari tersebut memperjelaskesimpulan berikut.Misalkan, a adalah bilangan real sebarang sehingga berlakuay = f (a) = u(a) + v(a) ; untuk y = u + v makav y = u + vDengancarayangsama,cobaAnda tunjukkanbahwauntuky = u – v maka y = u – v.
  • 212. 206 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam4. Turunan Fungsi y =y c . uDiketahui, fungsi y = f(ff x) dengan f(ff x) = c . u(x), dalamhal ini c konstanta dan u(x) fungsi yang dapat diturunkan dix =x a untuk a bilangan real sehinggaff fxc xxx limlimaaa xxx axxau xxxxxx00c uxcu uxcuxlim cu0Misalkan, a adalah sebarang bilangan real sehingga untuky = f(ff a) = c . u(a) berlaku f (a) = c . u(a). Akibatnya, dariy = cu berlaku y = c . u.embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeePePPePePePePePePePP SoalDiketahuif(ff x(( ) = 3x x2xx – 5x + 2xg(x(( ) =x x2xx + 3x – 3xJika h(x(( ) =x f(ff x(( ) – 2x g(x(( ) makax h’(x(( ) adalah....xJawab:h(x(( )x = f(ff x(( ) – 2x g(x(( )x= 3x2xx – 5x + 2 –x2 (x(( 2xx + 3x – 3)x= x2xx – 11x + 8xh’(x(( ) = 2x x – 11xSoal UMPTN 1997Tentukan turunan fungsi berikut.a. f(x) = 3x2b. f(x) =8xc. f(x) = 3 cos xd. f(x) = 53xJawab:a. f(x) = 3x2maka f (x) = 6xb. f(x) =8x= –8x–1maka f (x) = 8x –2=82xc. f(x) = 3 cos x maka f ‘(x) = –3 sin xContoh 8.13Tentukan turunan fungsi berikut.a. f (x) = x3– 3x2c. f(ff x) = sin x + cosx xb. f(ff x) = 3x +x1xJawab:a. f(ff x) = x3– 3x2maka f (x) = 3x2– 6xb. f(ff x) = 3x +x1x= 3x +x x–1x maka f (x) = 3 – x–2x = 3–c. f (x) = cos x – sinx xContoh 8.12
  • 213. 207Turunan Fungsi dan Aplikasinya5. Turunan Fungsi y =y uvDiketahui, fungsi y = f(ff x) dengan f(ff x) = u(x) · v(x),dengan u(x) dan v(x) adalah fungsi yang dapat diturunkandi x =x a, untuk a bilangan real. Oleh karena ituff fxux xx lim limaaa xxx axxxa xxxxx 0xx0 x xxvvv u vxu vxa xxx a axxa xxx a xxxxxlim0uuu v u v u vxa xxx aa xxxa xxx a a axxlimxu0vvvxxa u ua xxx axxuxxli0v vxvu uxa xxa xxx axxaa xxx axxlim0 xxu v v ua a a auv a aOleh karena itu, jika y = f(ff x) = u(x) · v(x) dengan abilangan real sebarang berlaku f (a) = u(a) · v(a) + v(a) · u(a).Untuk y = u · v, maka y = uv + vu.embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeePePePePePePePePePePP SoalTurunan dari y = (1 –y x)x 2(2x + 3)xadalah ....Jawab:Misalkan, u = (1 – x)x 2makau ‘ = 2(1 – x)(–1) = –2(1 –x x).xMisalkan, v = (2v x + 3)x v ‘ = 2y =y uvy ‘= u’v +v uv’= –2(1 – x)(2x x22 + 3) + (1 –x x)x 2(2)= 2(1 – x)[(–2x x22 – 3) + (1 –x x)]x= 2(1 – x)(–3x x – 2)x= 2(1 – x)(–1)(3x x + 2)x= 2(x(( – 1)(3x x + 2).xSoal UMPTN 1999Tentukan turunan fungsi berikut.a. f(ff x) = (5x2– 1) (3x – 2)xb. f(ff x) = cos x sinx xJawab:a. f(ff x) = (5x2– 1) (3x – 2)xMisalkan, u = 5x2xx – 1 maka u = 10x00 dan v = 3x – 2 makax v = 3sehinggaf (x(( ) = u (x(( ) . v (x(( ) + v (v x(( ) . u (x(( ) = (5x2xx – 1) . 3 + (3x – 2)x . 10x00= 30x2– 20x + 15x x2– 3 = 45x2– 20x – 3xb. f(ff x) = sin x cosx xMisalkan, u x u xx xsi un x cosk danv x v xx xcos x v sinksehingga f (x)= u (x) . v (x) + v (x) . u (x)= sin x (– sinx x) + cos x . cos x= cos2x – sinx 2x = cosx 2x – (1 – cosx 2x)= 2 cos2x – 1 = cos 2x x2Contoh 8.14d. f(x) = 53x = 5 5165123316 356x x f x xmaka =561625356 56x x
  • 214. 208 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTentukan turunan fungsi berikut.a. f(ff x(( ) = (2 + 3x2xx )9c. f(ff x(( ) = 3123 212sin c232 osxx.b. f(ff x(( ) = (5 + 2x22 )3+ 2 1xJawab:a. f(ff x(( ) = (2 + 3x2xx )9Misalkan, u = 2 + 3x2xx maka u’(x(( ) = 6x66 sehinggax fa (x(( ) = u9f ‘(x(( ) = 9u8 .u’(x(( ) = 9(2 + 3x2xx )8 .6x66 = 54x x44 (2 + 3x2xx )8b. f(ff x(( ) = (5 + 2x22 )3+ 2 1x =3125 2 2 122f (x(( ) = 3(5 + 2x x22 )x 2· 2 +2 122122 1x = 6(5 + 2x22 )x 2+2 12 1xc. fx x xsin cosxx 3 31 1 1222 2212cosx9 199 122 222x x xx xsin c2os sin cosContoh 8.156. Turunan Fungsi y =y unDiketahui y = f(ff u) dengan f(ff u) = undan u = g(x). Jikafungsi u = g(x) dapat diturunkan di x =x a, untuk a bilanganreal makag(a) = limxg gx0Oleh karena a bilangan real sebarang makag(x) = limxg gx0g(x) = limxux0Dengan cara yang sama, dapatkah Anda memperolehf (u) = limuyu0?Untuk ΔxΔΔ mendekati nol maka Δx u mendekati nol sehinggaufyuguxu xuulim limlimuyyxxxuuu0gxu0 xxdan0 0000yuuxf gyuxulim glimuuxf gyxf gy xuxxu xyyxxu xugulim gu0f uuf(ff u) = un, f (u) = nun – 1sehingga y(x) = nun – 1u(x).Untuk y = unmaka y = nun – 1u(x).
  • 215. 209Turunan Fungsi dan Aplikasinya7. Aturan RantaiPerhatikan kembali uraian materi tentang fungsi y =un. Dari uraian tersebut, diperoleh bahwa untuk y = f(ff u) =undengan u = g(x) maka turunannya y = nun–1u(x). Hasiltersebut menggambarkan aturan rantai.Misalkan, y = f(ff u) dan u = g(x).(f(( o g)(x) = f{ff g{ (x)} = f(ff u) = yJika fungsi g mempunyai turunan di x dan fungsi fmempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi y =f{ff g{ (x)} = f o g(x) ditentukan sebagai berikut.(f(( o g)(x) = f (g( (x)) . g(x)ataudydxdydududx.Tentukan turunan fungsi y = x 36.Jawab:Misalkan, u = x 3 maka y = u6.dudxxxdyduudydxdydududxu121266121255xxxxxx6 3123 355Contoh 8.168. Turunan Fungsi y =yuvDiketahui, fungsi y = f(ff x) dengan f(ff x) =uvxx, dalam halini u(x) dan v(x) fungsi yang dapat diturunkan di x =x a untuka bilangan real maka
  • 216. 210 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTentukan turunan fungsi berikut.a. f(ff x) = cosec xxb. f(ff x) = tan xJawab:a. f(ff x) = cosec x =x1sin xMisalkan u = 1 maka u = 0 dan v = sin x maka v = cos x.f(ff x)=uvxxsehingga f (x) =u v uvv v uv2=0 1 12 2i 1 cossincossinx 1 xxxx siss ncotxx xcosecContoh 8.17Situs MatematikaAnda dapat mengetahuiinformasi lain tentangFungsi dan Turunannyamelalui internet denganmengunjungi situs berikut.f (a)= lim limx xf fxuv0 0xuvx= limxv u u vxv v0= limxv u v u u u v0axv v= limxvu uxuv0vxv a va xaa xx axxaa a xxx=lim lim limx xvu uxu0 0x 0a limlimxxv vxv a v00=u v u vv vu v uu vv aa aa aa aa aa a vaaa av a2Oleh karena itu, jika y = f(ff x(( ) =uvxxdengan a sebarang bilanganreal sehingga berlaku f (a) =u v u vv u v aa aa aa av a2maka f (x) =u v u vv u v xx xx xx xv x2.Untuk y =uv, berlaku y =u v uvv v uv2.
  • 217. 211Turunan Fungsi dan AplikasinyaTentukan turunan fungsi berikut.a. f(ff x(( ) =xx22b. f(ff x(( ) =xx x232Jawab:a. Misalkan, u = x – 2 makax u = 1 dan v =v x + 2 makax v = 1.f(ff x(( ) =uvxxsehinggaf (f x(( ) =u v u vv u v xx xx xx xv x2=42 21 2 2 12 2222b. f(ff x(( ) =xx x232Misalkan, u=(u x(( –1)3(2x22 +3)makau’=3(x(( –1)x 2(2x22 +3)+(x x(( –1)x 3(2)v = 2v x22 2xx maka v’= –4x44 .f(ff x(( ) =uvxxsehingga f (f x(( ) =u uv x v x x v xx2=32 3 2 31x 1 2 32 3x2 111x 22 2x2 11x 1 2x22=4 6 42 2 26 9 4x x1x 999 22 222x2 4 22x 1x 1 2 3x24 4x=4424x xx1x 12 1826 18x12 1866x 322 x2 22x2=xx x x x xxx x xx23=xx x xxx3Contoh 8.18embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeeePePePePePePePePePePP SoalJika f(ff x(( ) =x3 24x, makaturunan f –1(x(( ) adalah ....xJawab:f(ff x(( ) =x3 24xyx3 2x4maka x =x4 23yyf –1(x(( ) =x4 23 xdfdxx xxx1224 x14Soal UMPTN 1997b. f(ff x(( ) = tan x =xsincosxxMisalkan u = sinu x makax u = cos x danx v = cosv x maka v = – sin x.f (x(( ) =cos cos sin cos sincosx xcos x xsinxxcos sin xsincos x22 2sin2 2221x xcos= sec2x.
  • 218. 212 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTes Kompetensi Subbab BKerjakanlah pada buku latihan Anda.Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.1. f(ff x(( ) = 4x44 5xx – x3+ 12. f(ff x(( ) = 3 2 3x x33. f(ff x(( ) =xx994. f(ff x(( ) =18 243x x435. f(ff x(( ) =xx34 1x6. f(ff x(( ) =xx3257. f(ff x(( ) = (x(( 2xx – 1)(x(( 3+ 3)8. f(ff x(( ) = x4xx (x(( – 5)x9. f(ff x(( ) = (x(( –3x + 5)(3x2xx – 11)10. f(ff x(( ) = ( )( )13123 2)(11. f(ff x(( ) =xx x82212. f(ff x(( ) = x x8 5x13. f(ff x(( ) = sin (x(( + 2)x14. f(ff x(( ) = 5 sin(3 – x)15. f(ff x(( ) = x2xx sin x16. f(ff x(( ) = 4x44 3cos(–6x66 )17. f(ff x(( ) = tan (5x + 1)x18. f(ff x(( ) = tan (x(( 3– 5x)19. f(ff x(( ) = cot(5x – 3)x20. Luas permukaan kubus berusuk x cmditunjukkanolehfungsiL(x(( )=6x x66 2xx .Tentukanlaju perubahan luas (L) terhadap x untukx x =x7 cm dengan cara menghitung L’(7).Sebuahpeluruditembakkanvertikalkeatasdengankecepatanawal10m/detik.Kedudukanpelurusetelahtdetikmemenuhipersamaant h(t)=t30t – 6t t² dengantt h(t) adalah tinggi peluru yang diukur dalam meter.ta. Carilah kecepatan peluru pada saat 1,5 detik.b. Kapan peluru berhenti?Jawab:Diketahui:Kecepatan awal peluru = 10 m/detik.Kedudukan peluru pada ta detik =t h(t) = 30t t – 6t t².ttDitanyakan:a. Kecepatan peluru pada saat 1,5 detik.b. Kapan peluru berhenti.Pengerjaan:a. Dalam fisika, kecepatan merupakan turunan dari kedudukanterhadap waktu sehingga v(t) =t h(t) = 30 – 12t t.Jadi, kecepatan peluru pada saat t = 1,5 adalahtv(1,5) = 30 –12(1,5) = 12 m/detik.b. Peluru akan berhenti ketika kecepatannya nol sehingga v(t ) = 030 – 12t = 0tt = 2,5.tJadi, peluru berhenti pada saat 2,5 detik.Contoh 8.19
  • 219. 213Turunan Fungsi dan Aplikasinya21. Panjang dan lebar sebuah persegipanjangadalah3x+2dan2x x22 .Carilahlajuperubahanluas terhadap x untuk lebar 6 cm.x22. Sebuah perusahaan memproduksi sejumlahbarang (x(( ) dengan biaya pa (x(( ) = 3x2xx – 2x22 +x15. Jika biaya total marginal didefinisikansebagaidpdx, tentukan biaya total marginaluntukmemproduksibarangitu.Berapabiayatotal untuk memproduksi 20 barang?23. Pendapatan koperasi "Maju" dalam x tahun,xmulai 1 Januari 2004 adalahP(x(( ) =343 202x 3x3 ,dengan P dalam jutaanP rupiah.ra. Tentukan laju perubahan sesaat P padaP1 Januari 2006.b. Tentukan laju perubahan sesaat P padaP1 Januari 2009.24. a. Misalkan pertumbuhan bakteri padawaktu t memenuhi persamaantN(NN t) = 3t t2tt t.Tentukan laju pertumbuhan bakteritersebut.b. Populasi penduduk pada suatu daerahmemenuhi persamaanN = 240.000 –N433 6002t 3t..TentukandNdt.C. Persamaan Garis Singgungpada KurvaTelah Anda ketahui bahwa kemiringan (gradien) garissinggung kurva y = f(ff x) di titik A(a, f(ff a)) adalahf (a) = limxf fx0Persamaan garis lurus yang melalui titik P(x(( 1, y1) dengangradien m adalahy – y1= m(x –x x1)Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titikA(a, f(ff a)) pada kurva adalahy – f(ff a) = f (a) (x –x a)Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut.a. f(ff x) = x2di titik (–2, 4)b. y = x3di titik yang memiliki absis x = 1 danx x = 2.xJawab:a. Persamaan garis singgung pada kurva f(ff x) = x2di titik (–2, 4)adalah y – 4 = f (–2) (x – (–2)).f(ff x) = x2maka f (x) = 2x22 sehingga f (–2) = 2(–2) = –4Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(ff x) = x2di titik(–2, 4) adalah y – 4 = –4 (x + 2)x y = –4 x – 4.xContoh 8.20
  • 220. 214 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut.a. y =y f(ff x(( ) di titik (1, 4) jika f (x(( ) = 3x2xx + 6x66b. y=y f(ff x(( )denganx fn (ff x(( )=2x x22 3xx yangtegaklurusterhadapgarisy=y –=124x .Jawab:a. Persamaan garis singgung pada kurva y =y f (x(( ) di titik (1, 4),menurut rumus adalah y –y f– (1) = f (1) (x(( – 1). Diketahui f(1) = 4ffdan f (x(( ) = 3x2xx + 6x66 makaxf (1) = 3 . 12+ 6 . 1 = 9.Jadi, persamaan garis singgung di titik (1, 4) adalahy – 4 = 9 (x(( – 1)x y = 9y x9 – 5.xb. Jika g: y = mx +x n adalah garis singgung pada kurva y = 2x22 3dantegak lurus terhadap garis h: y = –y124x maka m (–m124x ) = –1m = 24.Persamaan garis singgung pada kurva y = 2y x22 3adalah y –y f(ff x(( 1) =f (x(( 1) (x(( –x x1) dengan x1absis titik singgung pada kurva y = 2x22 3.Selanjutnya, nilai x1ditentukan sebagai berikut.f (x(( ) = 6x66 2xx maka fa (x(( 1) = 6x66 12.Contoh 8.21Menentukan Persamaan Garis Singgung padaKurva jika Gradien Garis Singgung DiketahuiUntuk menentukan persamaan garis singgung padakurva apabila gradien garis singgung diketahui, pelajaribeberapa contoh berikut.embahasanPeeeeeeeeeeeeeeeeePePPePePePePePePePP SoalKurva y = (y x(( 2xx + 2)2memotongsumbu-y- di titiky A. Persamaangaris singgung pada kurvatersebut di A adalah ....Jawab:A adalah titik potong kurvay = (y x(( 2xx + 2)2terhadap sumbu-y- .absis xAx = 0yAy = (0 + 2)2= 4m =dydx= 2(2x)(x x(( 2xx + 2)mA= 2(0)(0 +2) = 0Persamaan garis singgungy –y yAy = mA(x(( –x xAx )y – 4 = 0 y = 4ySoal UMPTN 2001b. Untuk absis x = 1.Persamaan garis singgung pada kurva f(ff x) = x3adalahy – f (1) = f (1) (x(( – 1)xf(1) danff f (1) ditentukan sebagai berikut: f(ff x) = x3makaf(1) = 1ff 3= 1.f (x) = 3x2sehingga f (1) = 3 . 12= 3Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(ff x) = x3di titik(1, 1) adalah y – 1 = 3 (x – 1)x y = 3x – 2.xUntuk absis x = 2.Persamaan garis singgung pada kurva f(ff x) = x3adalahy – f(2) =ff f (2) (x – 2)f(2) danff f (2) ditentukan sebagai berikut: f(ff x) = x3makaf(2) = 2ff 3= 8.f (x) = 3x2sehingga f (2) = 3 . 22= 12Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(ff x) = x3di titik(2,8) adalah y – 8 = 12(x – 2) y = 12x22 – 16.
  • 221. 215Turunan Fungsi dan AplikasinyaDiketahui f (x(( 1) = 24 sehingga 6x66 12= 242x12= 42x1= ± 2.Untuk x1= 2, diperoleh f (f x(( 1) = 2 . 23= 16. Persamaan garissinggung yang tegak lurus terhadap garis y = –y124x adalahy – 16 = 24 (y x(( – 2)x y = 24x –44 32.Coba Anda tentukan persamaan garis singgung untuk x1= –2.Tes Kompetensi Subbab CKerjakanlah pada buku latihanmu.1. Tentukan persamaan garis singgung kurva-kurva berikut.a. f(ff x) = x2di titik (2,4)b. f(ff x) = 1 –122x di titik (2,–1)c. f(ff x) = x3+ 1 di titik (–1, 0)d. f(ff x) = x2– 3x – 7 dix x = 4x2. Tentukan persamaan garis singgungkurva y = f(ff x) pada titik yang diketahuijika gradien garis singgungnya diberikanoleh persamaan berikut.a. f (x) = 4x – 4 di (1,–2)xb. f (x(( ) = 2 – 6x66 di (0,0)xc. f (x(( ) = 3x2xx – 2 di (–1,1)d. f (x(( ) = 3 – 3x2xx di (2,–2)3. a. Tentukan persamaan garis singgungkurva y = 2x22 2– 3x yang sejajarx garisy = x.b. Tentukan persamaan garis singgungkurva y =y x2xx – 4x44 + 5 yang tegak lurusxy = –2y x22 + 3.xc. Tentukan koordinat pada kurvay=y x2xx +3x–10agarx garissinggungkurvardi titik itu mempunyai gradien 7.d. Tentukan persamaan garis singgungkurva y =y x –12xdi titik potong kurvaitu dengan sumbu-x- .4. Garis y =y x + 1 memotong parabolax y =y x2xx +2x22 + 1 di titikx A dan B. Tentukan persamaangaris singgung parabola itu di titik A dan B.5. Garis singgung kurva y =142x di titik(2,1) memotong sumbu-x di titik A danmemotong sumbu-y di titik B. Tunjukkanbahwa koordinat titik A dan B adalahA(1,0) dan B(0,–1).D. Fungsi Naik dan Fungsi TurunDiketahui, sebuah peluru ditembakkan ke atas danlintasannya digambarkan sebagai kurva dari fungsi y = f(ff x),seperti pada Gambar 8.5.Peluru bergerak naik dari titik A ke titik B, kemudianbergerak turun dari titik B ke titik C. Dikatakan f disebutf naiktdalam daerah DfD = {fx| a ≤ x ≤x b} sebab semakin besar nilai xmenyebabkan nilai fungsifff semakin bertambah besar. Fungsiff disebutf turun dalam daerah DfD = {fx| b ≤ x ≤x c} sebab semakinbesar nilai x menyebabkan nilai fungsiffx f semakin kecil.fDari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan suatufungsi f disebut monoton naik dan suatu fungsif f disebutfmonoton turun?Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri.Gambar 8.5yOA CBa b c
  • 222. 216 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamDefinisi 8.1Misalkan f terdefinisi pada selangf I. Kita katakan bahwa:• f monoton naik pada I jika untuk setiap pasangan bilanganI adan b dalam I, a < b mengakibatkan f(ff a) < f(ff b);• f monoton turun padaf I jika untuk setiap pasangan bilanganIa dan b dalam I, a < b menyebabkan f(ff a) > f(ff b).Sekarangamati Gambar 8.7.Titik P1adalah titik sebarangpada grafik yang terletak pada selang (0, a), titik P2adalahtitik sebarang pada grafik yang terletak pada selang (a, b)dan titik P3adalah titik sebarang pada grafik yang terletakpada selang (b, c). Apabila Anda membuat garis singgungdi P1, P2, dan P3yang diberi nama g1, g2, dan g3seperti padaGambar 8.8 maka garis singgung g1memiliki gradien positif(condong ke kanan), garis singgung g2memiliki gradiennegatif (condong ke kiri), dan garis singgung g3memilikigradien positif (condong ke kanan).Coba Anda jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri,mengapa g1memiliki gradien positif, g2memiliki gradiennegatif, dan g3memiliki gradien positif.Gradien garis singgung di suatu titik pada grafik dapatditentukan dengan turunan fungsi. Untuk fungsi naik danfungsi turun memenuhi teorema berikut. Misalkan, fungsi fdapat diturunkan pada selang terbuka (a, b).• Jika f (x) > 0 untuk setiap x dalam selang (x a, b) makafungsi f naik pada selangf (a, b).• Jika f (x) < 0 untuk setiap x dalam selang (x a, b) makafungsi f turun pada selang (f a, b).Periksa naik atau turunnya fungsi-fungsi berikut.1. f(x) = –x2pada selang (0,1)2. f(x) = 10x – x2pada selang (0,10)Jawab:1. f(x) = –x2maka f (x) = –2x.Misalkan, p anggota (0, 1) sehingga 0 < p < 1.f (p) = –2p < 0 untuk p > 0 sehingga f(x) = x2pada selang(0, 1) merupakan fungsi turun.2. f(x) = 10x – x2maka f (x) = 10 – 2x.Misalkan, p anggota (0, 10) sehingga 0 < p < 10.f (p) = 10 – 2p > 0 untuk p < 5 dan f (p) = 10 – 2p < 0 untukp > 5. Dengan demikian, f(x) = 10x – x2pada selang (0, 10)merupakan fungsi naik dan fungsi turun.Contoh 8.22Gambar 8.6Gambar 8.7Gambar 8.8yxturunnaikyxBCDP2P3AO cbaP1yxBCDP2P3AO cbaP1g2g1g3
  • 223. 217Turunan Fungsi dan AplikasinyaPeriksa naik atau turunnya fungsi f(x) = cos x pada selang-selangberikut.a. 02, b. ,32Jawab:f(x) = cos x maka f (x) = –sin x.a. f(x) = cos x pada selang 02,Misalkan, p adalah anggota 02, sehingga 0 < p <2.f (p) = –sin p < 0 untuk 0 < p <2sehingga f(x) = cos xpada selang 02, merupakan fungsi turun.b. f(x) = cos x pada selang ,32.Misalkan, p anggota ,32sehingga π < p <32π.f (p) = –sin p > 0 untuk π < p <32sehingga f(x) = cos xpada selang ,32merupakan fungsi naik.Contoh 8.23Tentukan pada interval (0, 2π) di mana tempat fungsiπ f(ff x) = cos(x +x π) merupakan fungsi naik atau fungsi turun.πJawab:f(ff x) = cos ( x +x π), makaπ f (x) = –sin (x +x π).π• Agar fungsi f(ff x) = cos (x +x π) merupakan fungsi naik makaπf (x) > 0 sehingga –sin (x +x π) > 0. Untuk menyelesaikanπpertidaksamaan ini, gunakan diagram tanda melalui tahapanberikut: –sin (x +x π) = 0π–sin (x +x π) = sin 0π x +x π = 0 ±π k 2π,ππ k bilangan bulatkx = –x π– ±π k 2πOleh karena x (0, 2π) maka nilaiπ x yang memenuhi adalahx1= π sehingga diperolehπ diagram tanda berikut.0 π 2πDari diagram tanda tersebut interval yang menghasilkan–sin (x +x π) > 0 adalahπ 0 < x <x π.ππContoh 8.24
  • 224. 218 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamJadi, f(ff x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik pada intervalπ0 < x < π, seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9.• Fungsi f(ff x) = cos(x +x π) merupakan fungsi turun, jikaπ f (x) < 0sehingga f (x) = –sin (x +x π) < 0.πDenganmenggunakandiagramtanda,intervalyangmenghasil-kan –sin(x + π) < 0 adalahπ π < x < 2.xJadi, f(ff x) = cos (x + π) merupakan fungsi turun pada intervalππ < x < 2π, seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9.Tes Kompetensi Subbab DKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Periksalah, apakah fungsi-fungsi berikutpada selang [0,1],[–1.1],[–1,0] merupakanfungsi naik atau fungsi turun.a. f(ff x(( ) = 3x2xx – 12x22 + 9xb. f(ff x(( ) = x2xx – 16x66 + 12xc. f(ff x(( ) = 4 + 10x00 –x x2xxd. f(ff x(( ) = 1 + x3e. f(ff x(( ) = x3– 6x66 2xx + 9x99 + 1xf.ff f(ff x(( ) = x3– 3x2xx – 24x44 + 7x2. Periksalah, apakah fungsi-fungsi f(ff x(( ) padaselang [0,2], [2, π],[π π,ππ32], [32, 2π]πmerupakan fungsi naik atau fungsi turun.a. f(ff x(( ) = sin xb. f(ff x(( ) = cos(x(( –x2)c. f(ff x(( ) = sin (x(( +x2)d. f(ff x(( ) = sin (x(( –x π)πe. f(ff x(( ) = cos (x(( +x π)πf.ff f(ff x(( ) = cos 2x223. Tunjukkan bahwa untuk setiap x bilanganxreal, fungsi f (x(( ) = 13x selalu turun.4. Jika f (x(( ) merupakan fungsi naik pada suatuinterval I, tunjukkan bahwaIIa. f(ff x(( ) + c denganc c konstanta juga naik;cb. –f– (ff x(( ) merupakan fungsi turun.5. Konsentrasi K(KK t), suatu obat dalam darahtpasien memenuhi persamaanKttttt0 164 4t0 2tt 42,,dengan t menunjukkan waktu (dalam jam)tsetelahpemberianobat.Tentukanintervaldimana konsentrasi obat naik, dan interval dimana konsentrasi obat turun.E. Maksimum dan Minimum FungsiAnda telah mempelajari fungsi kuadrat dan grafiknya diKelas IX. Pada pembahasan mengenai hal tersebut, Andatelah dapat menentukan titik ekstrim maksimum atau titikekstrim minimum dari fungsi kuadrat melalui proses aljabarbilangan real. Perlu diketahui bahwa proses tersebut tidakdapat dikembangkan untuk menentukan titik ekstrim fungsi-fungsi yang lebih rumit. Ternyata dengan menggunakanturunan Anda dapat menentukan titik ekstrim segala jenisfungsi yang dapat diturunkan bahkan juga yang kontinu.Agar lebih jelasnya, amati uraian berikut.xy–11π2π2232Gambar 8.9
  • 225. 219Turunan Fungsi dan AplikasinyaGambar 8.10 memperlihatkan grafik y = f(ff x) = x2– 2.Anda mungkin memahami bahwa fungsi y = f(ff x) = x2– 2mempunyai nilai minimum pada x = 0 sebabx f(ff x) = f(0) =ff02– 2 = –2. Turunan fungsi f(ff x) = x2– 2 adalah f (x) = 2x22 .Anda dapatmemeriksabahwafa (x(( ) < 0 untuk x < 0 danx f (x(( ) > 0untuk x > 0 sertax f (0) = 0 pada x = 0. Oleh karena itu,x f(ff x)turun untuk x <x 0 danf(x(( ) naik untuk x > 0. Bagaimanadenganfungsi di x = 0, apakah naik atau turun? Fungsix f(ff x) di x = 0xtidak turun atau naik, titik ini disebut titik stasioner.Definisi 8.2Jikafungsifi mencapaititikekstrimpada(ff a,f(ff a))danterdiferensialkanpada titik itu maka titik (a, f(ff a)) merupakan titik stasioner atauf (x) = 0.Jika Anda amati grafik y = f(ff x) = x2– 2, tampak adanyaperubahan kemonotonan di sekitar x = 0 dari turun menjadixnaik.Adanya perubahan kemonotonan dari turun menjadinaik menyebabkan adanya titik minimum sebagai tempatterjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titikx = 0 fungsi bernilai minimum, yaitux f(ff x) = f(0) = –2.ffSekarang, selidiki grafik y =y f(ff x(( ) = 2 –x x2xx pada Gambar 8.11.2Mudah diselidiki bahwa fungsi y = f(ff x) = 2 – x2mem-punyai nilai maksimum pada x = 0 sebabx f(0) = 2 – 0ff 2= 2.Turunan fungsi f(ff x) = 2 – x2adalah f (x) = –2x22 . Anda dapatmenyelidiki bahwa f (x) > 0 untuk x < 0 danx f (x) < 0 untukx > 0 sertax f (0) = 0 pada x = 0. Oleh karena itu, f(ff x) naikuntuk x < 0,x f(ff x) turun untuk x > 0, danx x =x 0 adalah titikstasioner. Jika Anda amati grafik y = f(ff x) = 2 – x2, tampakadanya perubahan kemonotonan di sekitar x = 0 dari naikxmenjadi turun.Adanya perubahan kemonotonan dari naik menjaditurun menyebabkan adanya titik maksimum sebagai tempatterjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titikx = 0 fungsi bernilai maksimum, yaitux f(ff x) = f(0) = 2.ffPembahasan dilanjutkan tentang maksimum dan mini-mum dengan memeriksa fungsi f(ff x) = x3dan f(ff x) = |x|. Keduagrafik tersebut diperlihatkan pada Gambar 8.12.• Turunan pertama fungsi f(ff x) = x3adalah f (x) = 3x2.Andadapat memeriksa bahwa f (x(( ) > 0 untuk x 0 dan f (x(( ) = 0pada x = 0. Oleh karena itu,x f(ff x) naik untuk x < 0 atauxx > 0 danx x = 0 adalah titik stasioner. Akibatnya, titikxyxx2x1–2Of (0) = 0f (x1) < 0 f (x2) > 0y = x2– 2Gambar 8.10Gambar 8.11yxx2x12Of (0) = 0f (x1) < 0f (x2) > 0y = 2 – x2(a)yxy = x3f(x2) > 0x2x1f (x2) > 0
  • 226. 220 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alamstasioner bukan merupakan titik ekstrim (maksimumatau minimum). Anda dapat mengamati dari Gambar8.12(a) bahwa grafik y = x3selalu naik di sekitar x = 0.x• Pada gambar 8.12(b), f(ff x) = |x| =x xjikajik xx jika00sehingga f (x) = –1 < 0 untuk x < 0 danx f (x) = 1 > 0untuk x > 0.Adax pun untuk menentukan f (0) digunakankonsep limit, yaitu sebagai berikut.f (0) = lim lim limx xf fxxxxxx0xx0 0000Dari Bab 7 tentang pengertian limit telah diterangkanbahwa limit fungsi tersebut tidak ada.Jadi, f (0) tidak ada atau f tidak terdiferensialkan. Olehfkarena itu, f(ff x) turun untuk x < 0,x f(ff x) naik untuk x > 0, danxx = 0 bukan merupakan titik stasioner sehingga padax x = 0xfungsi bernilai minimum.Sekarang amati Gambar 8.13.Diketahui, fungsi f(ff x) terdefinisi pada interval a ≤ x ≤ dserta f (b) = f (c) = 0.Dari Gambar 8.13. diperoleh uraian berikut.a. Untuk DfD = [fa, p] atau DfD = {fx |x a < x < p},• nilai maksimum fungsiff ff(ff x) adalah f(ff b) sehinggax =x b menyebabkan f (b) = 0;• nilai minimum fungsi f(ff x) adalah f(ff a) dan x = amerupakan titik ujung kiri interval DfD .Nilai f(ff b) > f(ff x) untuk x anggotax DfD = [fa, p] sehinggaf(ff b) dinamakan nilai maksimum mutlak atau nilaifmaksimum global. Oleh karena f(ff a) < f(ff x) untuk xanggota DfD = [fa, p] maka f(ff a) disebut nilai minimummutlak atau nilai minimum global.b. Untuk DfD = [fp[ , d] atau DfD = {fx |x p ≤ x ≤ d},• nilai maksimum fungsiff ff(ff x) adalah f(ff d) dand x =x dmerupakan titik ujung kanan interval DfD ;ff• nilai minimum fungsi f(ff x) sama denganff(ff c) danx =x c menyebabkan f (x) = 0.Untuk DfD = [fp[ , d] nilai maksimum dan minimumfungsi f(ff x(( ) merupakanffnilai maksimum dan minimumglobal.c. Untuk DfD = [fa, d] atau DfD = {fx |x a ≤ x ≤x d},• nilai balik maksimumf ff(ff b) bukan merupakan nilaimaksimum fungsi f(ff x), tetapi dinamakan nilaimaksimum lokal atau maksimum relatif;• nilai balik minimum f(ff c) bukan merupakan nilaiminimum fungsi f(ff x) akan tetapi dinamakan nilaiminimum lokal ataul minimum relatif.ffGambar 8.13(b)Gambar 8.120yxf (x2) > 0f (x2) < 0f (x) = |x|yx0 dcpbaf (x)
  • 227. 221Turunan Fungsi dan AplikasinyaUntuk menentukan nilai minimum atau maksimum fungsif(ff x) dalam interval tertutup, terlebih dahulu ditentukan nilaif(ff x) untuk nilai x sebagai titik ujung interval domain fungsixf(ff x) dan nilai x yang mex nyebabkan f (x) = 0. Kemudian,bandingkan nilai-nilai tersebut.Tentukan nilai maksimum dan minimum f(ff x(( ) = 2x22 2xx – x, untuk:a. DfD = {fx | –1x ≤ x ≤ 2},xb. DfD = {fx | –6x ≤ x ≤ –4}.xJawab:f(ff x(( ) = 2x22 2xx – x f (x(( ) = 4x44 – 1x4x44 – 1 = 0x x =x14.a. x =x14anggota DfD = {fx | 1x ≤ x ≤ 2}xf1421414182....(1)f(–1) = 2 (–1)ff 2– 1= 1 ....(2)f(2)ff = 2 (2)2– 2= 6 ....(3)Dari (1), (2), dan (3), diperoleh f(2) = 6 adalah nilai maksimumffdan f1418merupakannilaiminimumfungsi f(ff x(( )=2x22 2xx –xdenganDfD = {fx | –1x ≤ x ≤ 2}.xb. x =x14bukan anggota DfD = {fx | –6x ≤ x ≤ –4}xf(–6) =ff 2 (–6)2– (–6) = 78f(–4) =ff 2(–4)2– (–4) = 36Jadi,fungsif(ff x(( )=2x x22 2xx –xdenganx DfD ={fx|–6x ≤x≤–4}mempunyaixnilai maksimum f(–6) = 78 dan nilai minimumff f(–4) = 36.ffContoh 8.25Soal TerbukaArif memiliki kawat yangpanjangnya 28 cm kawat.Ia akan membuat bingkaiberbentuk persegipanjang.Tentukan ukuran bingkaiyang mungkin. Tentukan pulaukuran bingkai yang akanmemberikan luas maksimum.Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup denganvolume 8.000π cmπ 3. Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agaraluminium yang digunakan seminimal mungkin.Jawab:Diketahui: Volume silinder tanpa tutup yang dibuat 8.000π cm3.Ditanyakan: Tinggi dan jari-jari alas silinder agar luas aluminiumminimal.Contoh 8.26
  • 228. 222 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam(a)(b)Gambar 8.14(a) Selembar aluminium.(b) Silinder yang akan dibuat.Jumlah bahan bakar solar selama satu tahun yang dibutuhkanoleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jammemenuhi persamaanQ(v) =165v2+ 2v + 2.500 litervTentukan jumlah maksimum solar yang dibutuhkan dalam empattahun.Jawab:Q(v) =165v2+ 2v + 2.500 litervNilai stasioner Q(v) diperoleh jika Q(v) = 0 sehinggaQ’(x(( ) =265v + 2 = 0265v = 2 v = 65vJumlah maksimum solar yang dibutuhkan selama satu tahun adalahQ(65) =165(65)2+ 2(65) + 2.500 = 2.565 literJumlah maksimum solar yang dibutuhkan empat tahun adalah4 × 2.565 = 10.260 liter.Contoh 8.27Pengerjaan:Misalkan, volume silinder = V (r), tinggi silinder = t, jari-jari alassilinder = r, dan luas permukaan silinder = L (L r).V (r)= luas alas × tinggi= π r2× t = 8.000t πsehingga t =t8 000 8 0002 2. .000 8r r....(1)L (L r) = luas alas + luas selubung = π r² + 2πrt ....(2)Substitusikan (1) ke (2) sehingga diperolehL (L r)= r rrrt22228 0002r2.Nilai stasioner L (L r) diperoleh jika nilai L (r) = 0 sehinggaL (r) = 216 0002rr.216 0000216 0008 000223rr...r = 20 ....(3)Substitusikan (3) ke (1) sehingga diperoleht =8 000 8 000400202. .000 8rJadi, tinggi silinder t = 20 cm dan jari-jari alast r = 20 cm.r
  • 229. 223Turunan Fungsi dan AplikasinyaTes Kompetensi Subbab EKerjakanlah pada buku latihan Anda.Tentukan nilai maksimum dan nilai minimumfungsi-fungsi berikut untuk domain yangdiberikan.1. f(ff x) = x3– 6x2+ 9x denganxa. DfD = {x | –3 ≤x x ≤ 0}b. DfD = {x | 0 ≤x x ≤ 3}xc. DfD = {x | 3 ≤x x≤ 5}d. DfD = {x | 5 ≤x x ≤ 7}x2. f(ff x) = 4x7– x4dengana. DfD = {x | –1 ≤x x ≤ 0}b. DfD = {x |x 0 ≤ x ≤ 1}c. DfD = {x | 1 ≤x x ≤ 2}d. DfD = {x | 2 ≤x x ≤3}x3. f(ff x) = (x –2)x 2(x – 5) denganxa. DfD = {x | 0 ≤x x ≤ 2}xb. DfD = {x | 2 ≤x x ≤ 4}c. DfD = {x | 3 ≤x x ≤ 5}xd. DfD = {x | 5 ≤x x ≤ 7}x4. Jikafungsifi (ff x(( )=x x3xx +px+3dengandaerahasalDfD =f{x|–1≤x x≤1}mencapainilaiminimumrelatif di x = 1, tentukan nilaix f (1) dan p.5. Jumlah dua bilangan bulat sama dengan 8.Tentukan bilangan-bilangan tersebut agarjumlah kuadratnya minimum.6. Menurut Departemen Riset sebuahperusahaan, biaya produksi x unit barangxjenis A sebesar 2x2 3– 4.000x2+ 6.000.000xrupiah per hari. Jika barang diproduksi,tentukan jumlah unit per hari yang harusdiproduksi agar biaya produksi per unitnyaminimum.7. Dari selembar seng berbentuk persegi-panjang, akan dibuat talang air. Keduatepinyadilipatselebarx,sepertipadagambardi samping. Jika lebar seng tersebut 40 cm,xxPQQQRRSSa. tunjukkan bahwa luas penampangtalang adalah L (x) = 40x – 2x x2 2;b. tentukan ukuran penampang L (x) =40x – 2x x2 2.8. Luas sebuah juring lingkaran yang berjari-jari r adalah 4cmr 2.a. Tunjukkan bahwa kelilingnya adalahK(KK r) cm dengan K(KK r) = 24rr.b. Tentukan nilai minimum K.9. Suatu perusahaan membuat kalengberbentuk tabung tertutup dengan volumeV. Upah buruh (c) berbanding langsungdengan panjang bagian yang dipatri, yaitujumlah tinggi kaleng dengan dua kalikeliling alas kaleng.a. Jika tinggi kaleng t dan jari-jari alast r,buktikan bahwa c = kVrr24dengan k = konstantak .b. Buktikan bahwa upah buruh (c)paling murah jika tinggi kaleng samadengan keliling alasnya.10. Rata-rata pertumbuhan suatu bakterisetelah t menit diberikan oleh persamaantN(NN t) = 1000 + 30t2– t3, 0 < t < 20Tentukan kapan pertumbuhan bakteritersebuta. menurun,b. meningkat, danc. mencapai maksimum.11. Setelah satu jam x miligram obat ter-tentu diberikan kepada seseorang, peru-bahan temperatur (dinyatakan dalamFahrenheit) dalam tubuhnya diberikanoleh persamaanT(x) = x219x, 0 ≤ t ≤ 6tRata-rata perubahan T(x) bersesuaiandengan ukuran dosis x. T(x) disebutsensitivitas tubuh terhadap dosis obat.
  • 230. 224 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alama. Kapan sensitivitas tubuh meningkat?b. Kapan sensitivitas tubuh menurun?c. Berapakahnilaimaksimumsensitivitastubuh?12. Kecepatan suatu reaksi kimia yangbergantung pada jumlahnya memenuhipersamaan v = k (300k x – 2x x2 2), dengan kadalah konstanta. Tentukan jumlah zattersebut agar kecepatan reaksi minimum.13. Jika impedansi suatu rangkaian listrikmemenuhipersamaanZ=Z R2 2xc1x1 ,tentukan XCX agar Z minimum. (Diketahui:ZR = 1.500 Ω danXn LXX = 1.000 Ω )LF. Turunan KeduaAnda telah mempelajari turunan pertama fungsi yangdinotasikan dengandydxatau y ataudfdxatau f (x)Fungsi turunan dari turunan pertama dinamakan fungsiturunan kedua yang dinotasikan denganddxdydxd ydx22atau ditulis y"ddxdfdxd fdx22atau ditulis f "(x)Turunan kedua fungsi f(ff x)d ydx22 atau y" ataud fdx22 atau f "(x)Tentukan turunan kedua untuk fungsi berikut.a. f(ff x) = 2x2 4– 5xx b. f(ff x) = x sin xJawab:a. f(ff x) = 2x2 4– 5xf ‘(x) = 8x3– 5f “(x) = 24x2Turunan kedua fungsi f(ff x) = 2x2 4– 5x adalahx f(x) = 24x².b. f(ff x) = x sin xf (x) = 1212x sin x +x x cos x =x12 xsin x +x x cos xContoh 8.28
  • 231. 225Turunan Fungsi dan Aplikasinyaf "(x) = 1432x sin x +x 1212x cos x =x 1212x cos x –x x sinx=14x xsin x +x1xcos x –x x sin xTurunan kedua dari f(ff x) = x sin x adalahxf "(x) =14x xsin x +x1xcos x –x x sin x.Sebuah benda yang bergerak lurus pada lintasan (s) memenuhipersamaan t3tt – 6t2tt + 30t. Dalam hal ini, s dalam meter dan t dalamtdetik.a. Hitunglah panjang lintasan pada saat t = 3 dan t = 5.b. Tentukan kecepatan dan percepatan benda setelah t = 4 detik.c. Hitunglah laju pada waktu percepatannya nol.Jawab:a. Pada saat t=3, panjang lintasannya adalahs(3) = 33– 6 32+ 30 3 = 63 meterPada saat t = 5, panjang lintasannya adalahs(5) = 5³– 6 5² + 30 5 =125 meterb. s = t³tt – 6t2tt + 30tKecepatan v =vdsdt= 3t2tt – 12t + 30tKecepatan pada t = 4 sekon adalah v(4) = 3 42– 12 4 + 30= 30 m/detikPecepatan a = d sdtdvdt22= 6t – 12tPercepatan pada t = 4 sekon adalah a(4) = 6 4 – 12= 12 m/detik2c. a = 0 maka 6t – 12– = 0 t = 2v(t) = 3t t ² – 12t + 30, untukt t = 2 makat v(2) = 3 2² – 12222 2 + 30222= 18 m/detikContoh 8.29Teorema L’HopitalJika x = a disubstitusikan ke bentuk limx afgxxdiperolehbentuk tak tentu00atau∞∞, Anda dapat menggunakanteorema L Hopital. Teorema ini dikemukakan kali pertamaoleh Marquis L Hopital, seorang matematikawan Prancis(1661–1704 M).
  • 232. 226 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTentukan limit fungsi berikut.a. limxxxx224 4x2b. limcossinxxx xsin04 1xJawab:a. Jika dengan menggunakan substitusi langsung, diperolehlimxxxx22 24 4x24242 200(bentuk tak tentu)Dengan teorema L Hopital, diperolehlim limx xxxxxx x2224 4x22 4x 41= 2(2) – 4 = 0.b. Jika menggunakan substitusi langsung diperolehlimcossincos. ixxx xsin04 1x 0 10 0.sin1 1000(bentuk tak tentu)limcossinsicos sinxxx xsinxx xcos x04 1x 4 4sin= limcoscos i cosxxx xcossinx x016 4=16 00 0 016 11 0 1coscos0 i cos.= –8Contoh 8.30Definisi 8.3Jika lim ,lix a x af ga xx x0 0,lim g x , serta limx af gxxada, baik terhinggaatau tak hingga maka lim limx a x afgf gxa gxxxxx.Perluasan teorema LHopital adalahllim limlimx a x a x afgf gf xa xgxxxxx gfgx alim(Proses berakhir jika hasil akhir tidak berbentuk00).
  • 233. 227Turunan Fungsi dan AplikasinyaTes Kompetensi Subbab FKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukan turunan kedua dari fungsi aljabarberikut.a. f(x) = x5+ 7x3+ 2x2+ 12x + 8b. f(x) = 2 x + 5x2– 3xc. f(x) = 6x4+ 1223xxd. f(x) =244xe. f(x) = (3x– 4)10f. f(x) = (x2+ 5)(2x³ – 3x + 9)g. f(x) = 22 15xxh. f(x) =43xx2. Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsiberikut.a. f(x) = tan xb. f(x) = sin 3xc. f(x) = cos xd. f(x) = x – cos xe. f(x)=sinx–cos xf. f(x) = tan x2g. f(x) = sin xcos xh. f(x) = sin22x3. Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsiberikut.a. f(x) = x3– 3x + 2b. f(x) = x3(1+ x)c. f(x) = (1 – x)(1+ x)3d. f(x) = sin2x, 0 ≤ x ≤ 2πe. f(x) = sin2x , 0 ≤ x ≤ 2πf. f(x) = tan2x, 0 ≤ x ≤ 2πg. f(x) = x cos x, 0 ≤ x ≤ 2πh. f(x) = x tan x, 0 ≤ x ≤ 2π4. Kerjakan soal-soal berikut.a. Jika f(x) = 3 7x , hitunglah f (3)b. Jika f(x) = 2 63x , hitunglah f (1)c. Jika f(x) =62 1x, hitunglah f (2)d. Jika f(x) = (x2+ 1)3, hitunglah f (4)e. Jika f(x) = x 3 x ,hitunglah f (1)f. Jika f(x) = 64 x 3 hitunglah f (1)g. Jika f(x) = cos x – sin x , hitunglahf 2h. Jika f(x) = x cos x, hitunglah f 25. Sebuah mobil bergerak lurus. Setelahbergerak t sekon, perpindahannya dinyata-kan dengan rumus s(t) = 25t + 10t2, s(t)dalam meter. Berapa ms2 percepatanmobil itu?
  • 234. 228 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamG. Nilai Stasioner1. Pengertian Nilai Stasioner FungsiGambar 8.16 merupakan grafik fungsi f(ff x(( ) = –(x(( – 1)x 2+ 4.Turunan pertama dari fungsi f(ff x) = –(x – 1)2+ 4 adalahf (x) = –2(x – 1). Untukx x = 1, diperolehx f (1) = –2(1 – 1) = 0.Oleh karena nilai f (1) = 0 maka fungsi f(ff x) = –(x – 1)x 2+ 4mencapai nilai stasioner di x = 1 dengan nilai stasionerf(1) = –(1 – 1)ff 2+ 4 = 4. Selanjutnya, titik (1, 4) disebut titikstasioner.Dari contoh di atas dapatkah Anda menduga pengertiannilaistasionerfungsi?Cobalahnyatakandengankata-kataAndasendiri. Konsep nilai stasioner fungsi yang telah Anda pelajaritersebut merupakan hal khusus dari hal umum berikut.Amatif"(x(( )>0untukx x<0,dikatakanx fcekungkeataspadafx < 0,x f "(x(( ) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakanx f cekung ke bawahfpada 0 < x < 2, danx f "(x(( ) > 0 pada x > 2, dikatakanx f cekung kefatas pada x > 2.xDi sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekunganxdari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik(0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f. Apakah titik (2, 0)ffmerupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)?Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertiannilaistasionerfungsi?Cobalahnyatakanpengertiannilaistasionerfungsi dengan kata-kata Anda sendiri.Definisi 8.4Diketahui fungsi y = f(ff x) kontinu dan dapat diturunkan(diferentiable) di x = c. Fungsi y = f(ff x( ) memiliki nilai stasioner f(ff c)jika f (f c) = 0 dan titik (c, f(ff c)) disebut titik stasioner.1. Tentukan nilai stasioner fungsi f(ff x) = 3x2– 6x + 5.x2. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya untuk fungsif(ff x) = x3+ 4x2– 3x + 2.xJawab:1. f(ff x) = 3x2– 6x + 5x f (x) =6x – 6xNilai stasioner diperoleh jika f (x) = 0 sehinggaf (x) = 06x – 6x = 0x = 1.Contoh 8.31y0 1 2 31234(1,4)f (x) = – (x – 1)2+ 4xGambar 8.16x
  • 235. 229Turunan Fungsi dan Aplikasinyaf(1) = 3.1ff 2– 6. 1 + 5 = 2Jadi, nilai stasioner f(ff x(( ) = 3x2xx – 6x66 + 5 adalahx f(1) = 2ff2. f(ff x(( ) = x3+ 4x44 2xx – 3x + 2xf (x(( ) = 3x2xx + 8x – 3xuntuk f (x(( ) = 03x2xx + 8x – 3 = 0x(3x – 1) (x x(( + 3) = 0xx =x13atau x = –3xf 13= 0 dan f (–3) = 0sehingga untuk x =x13diperolehf131341333 21 1132 113272untuk x = –3 diperolehx f(–3) = (–3)ff 3+ 4 (3)2– 3.3 + 2 = 2Jadi, nilai stasioner f(ff x(( ) = x3+ 4x44 2xx – 3x + 2 adalahx f1311327dan f(–3)ff = 2.Titik1311327, dan (–3, 2) dinamakan titik stasioner.Untuk menentukan jenis stasioner, pelajari interval f (x( ) disamping.Untukmengetahuinilaif (x(( ) pada selang x < –3, –3 <x x <x13, danx >13, substitusikan nilai x untuk selang interval tersebut padaxf (x) sehingga diperoleh• untuk x = –4,x f (–4) = 13 > 0 sehingga f(ff x(( ) naik untukx < –3;x• untuk x = 0,x f (0) = –3 < 0 sehingga f(ff x(( ) turun untuk interval–3 < x <x 13;• untuk x = 1,x f (1) = 8 > 0 sehingga f(ff x(( ) naik untuk x >x13.Jadi, nilai f (x( ) dapat digambarkan pada selang interval disamping.Dari gambar untuk selang interval tersebut• titik (–3, 2) adalah titik maksimum,• titik1311327, adalah titik minimum.f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) > 0–3 13(3, 2)f (x)1311327,f (x)–3 13
  • 236. 230 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam2. Menentukan Nilai Stasioner SuatuFungsiAnda telah mempelajari cara menentukan nilai stasionerdengan uji tanda turunan pertama. Misalkan, fungsi f(ff x(( ) = x3– 3x2xx dengan f (x(( ) = 3x2xx – 6x66 . Untuk f (x(( ) = 0 diperoleh titik-titik stasioner (0, 0) dan (2, –4), dengan (0, 0) dinamakan titikbalik maksimum lokal, sedangkan (2, –4) dinamakan titik balikminimum lokal. Sekarang, pelajarilah cara menentukan nilaistasioner suatu fungsi dan penerapannya menggunakan turunankedua.Dengan menggunakan turunan kedua jenis titik stasionerdapat ditentukan sebagai berikut.• Jika f "(c) < 0, f(ff c) adalah nilai maksimum lokal fungsi f(ff x(( )dan titik (c, f(ff c)) adalah titik balik maksimum lokal grafikfungsi f(ff x(( ).• Jika f "(c) > 0, f(ff c) adalah nilai minimum lokal fungsi f(ff x(( )dan titik (c, f(ff c)) adalah titik balik minimum lokal grafikfungsi f(ff x(( ).• Jika f "(c) = 0 atau tidak mempunyai turunan kedua, jenisnilai stasioner dilakukan dengan menggunakan uji turunanpertama.Tentukan jenis nilai stasioner fungsi f(x) = x3– 6x2+ 9x + 1 dan f(x)= x4– 4x3dengan menggunakan uji turunan kedua.Jawab:• Untuk fungsi f(x) = x3– 6x2+ 9x + 1f (x) = 3x2– 12x + 9 = 3(x – 1) (x – 3)f "(x) = 6x – 12Nilai stasioner diperoleh untuk f (x) = 0, yaitu3(x – 1) (x – 3) = 0x = 1 atau x = 3Nilai stasionernya adalah x = 1 atau x = 3untuk x = 1, f "(1) = –6 < 0, sedangkanuntuk x = 3, f "(3) = 6 > 0 sehinggaf(1) adalah nilai maksimum lokal fungsi f(x), yaitu f(1) = 5f(3) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x), yaitu f(3) = 1• Untuk fungsi f(x) = x4– 4x3f (x) = 4x3– 12x2= 4x2(x – 3)f "(x) = 12x2– 24xNilai stasioner diperoleh untuk f (x) = 0, yaitu x = 0 atau x = 3untuk x = 0, f "(0) = 0 danuntuk x = 3, f "(3) = 36 > 0 sehinggaContoh 8.32
  • 237. 231Turunan Fungsi dan AplikasinyaTes Kompetensi Subbab GKerjakanlah pada buku latihan Anda.1. Tentukan nilai stasioner, titik stasioner, danjenisnya untuk fungsi-fungsi berikut.a. f (x) =13x3+ x2– 3– xb. f (x) = x3+52x2– 2– x2c. f (x) = x3+ 12x2– 2– x +2 1d. f (x) = x3(1 – x)e. f (x) = 3x4+ 4x3f. f (x) = (x²– 3x – 4)– 22. Tentukan nilai p jika fungsi-fungsi berikutmencapai stasioner untuk nilai x yangdiberikan.a. f (x) = x2– px + 4,x x = 2xb. f (x) = px2+ 4x – 21,x x = -2xc. f (x) = p (x – 2)x 2–1, x = 2xd. f (x) = x3– px, x = 1xe. f (x) = px3– 3x + 1, x = –1f. f (x) = 2x2 3– px2– 12x2 , x = –1xg. f (x) = px4– 4x3+ 2, x = 1xh. f (x) =2122xx, x = 0x3. Tentukan f (x) serta nilai stasioner danjenisnya untuk fungsi-fungsi berikut jika0 ≤ x ≤ 2π.xa. f (x) = 2sinxnn –x xb. f (x) =x xcos2c. f (x) = sin x – cos xd. f (x) = cos 2x2e. f (x) = 2 sin 2x2f. f (x) = x – 2 cos 2x x24. Tentukan nilai maksimum dan minimumlokal fungsi-fungsi berikut, menggunakanuji turunan kedua.Sekarang, amati diagram di samping.Amati f "(x) > 0 untuk x < 0, dikatakanx f cekung ke atasfpada x < 0,x f "(x) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakanx f cekung kefbawah pada 0 < x < 2, danx f "(x) > 0 pada x > 2, dikatakanx fcekung ke atas pada x > 2.xDisekitarx=0(titik(0,0))terjadiperubahan kecekunganxdari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik(0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f. Apakah titik (2,ff0) merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)?Dari contoh tersebut dapatkah Anda menduga caramenentukan nilai stasioner suatu fungsi? Cobalah nyatakandengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Andapelajari tersebut membawa kita pada definisi berikut.Definisi 8.5f cekung ke atas pada [f a, b] jika f "(x) > 0 dan f cekung ke bawahfjika f "(x) < 0. Perubahan kecekungan disebut titik belok.f (x) < 0 f (x) < 0 f (x) > 00 2f(ff x)f(3) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x), yaitu f(3) = –27.Untuk x = 0 dengan f "(0) = 0 jenis nilai stasioner ditentukandengan uji turunan pertama.
  • 238. 232 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamH. Menggambar Grafik FungsiAljabarDi Kelas X, Anda telah mempelajari bagaimanamenggambar grafik fungsi y = ax2+ bx +x c dengan langkah-langkah sebagai berikut.1. Menentukan titik potong grafik y = ax2+ bx +x c dengansumbu-x.2. Menentukan titik potong grafik y = ax2+ bx +x c dengansumbu-y.3. Menentukan koordinat titik balik fungsi.4. Menentukan persamaan sumbu simetri fungsi.Langkah-langkah tersebut mudah dilakukan untukmenggambar fungsi parabola y = ax2+ bx +x c. Akan tetapiuntuk fungsi yang lebih kompleks,Anda tidak menggunakancara tersebut.Sekarang, Anda akan mempelajari cara lain untukmenggambar grafik fungsi, yaitu dengan menggunakanturunan. Titik stasioner dan jenisnya adalah alat yang ampuhuntuk menggambar grafik fungsi tersebut khususnya untukmengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan ciri-cirigrafik. Untuk memudahkan pengerjaan, berikut ini adalahrlangkah-langkah yang harus dilakukan.Langkah 1: Menganalisis f(ff x)a. Menentukan daerah asal fungsi f(ff x).b. Menentukan daerah nilai fungsi pada ujung intervaldaerah asal.a. f (x) = x3– 6x2+ 9x + 1xb. f (x) = x3– 9x2+ 24x – 10xc. f (x) = 3x –x x3d. f (x) = 2x22 2– x4e. f (x) = x4– 3x2+ 5f. f (x) = 2x22 5– 35. Sebuah perusahaan komputer mengadakanpenelitian pasar untuk produk barunya.Mereka memperoleh suatu kesimpulanbahwa hubungan antara harga h (juta perunit) dan permintaan x (unit per minggu)xmemenuhi persamaanh = 1.296 – 0, 12x22 2xx , 0 < x < 80.xDengan demikian, penghasilan pada akhirminggudapatditentukandenganpendekatanrumusR(x) = 1.296x – 0, 12x x2 3.Tentukan nilai maksimum dan minimumlokal fungsi tersebut.7. Misalkan, persamaan biaya produksiperusahaan pada soal nomor 6 adalahC(x) = 830 + 306x.a. Tentukanpersamaanyangmenyatakankeuntungan perusahaan tersebut.b. Tentukan nilai maksimum dan mini-mum lokal dari fungsi keuntungantadi.Petunjuk: Keuntungan diperoleh dari pen-dapatan dikurangi biaya produksi.tt
  • 239. 233Turunan Fungsi dan AplikasinyaBuatlah sketsa grafik fungsi f(ff x(( ) = x3+ 3x2xx .Jawab:Langkah 1: Menganalisis f(ff x(( )a. Fungsi f(ff x(( ) = x3+ 3x2xx terdefinisi untuk semua bilangan real.Jadi, daerah asal f(ff x(( ) adalah {x |x x R}.b. Daerah nilai f(ff x(( ) = {f{{ (ff x(( ) | f(ff x(( ) R}.c. Titik potong dengan sumbu koordinat.• Titik potong dengan sumbu-y.Titik potong dengan sumbu-y diperoleh untuky x = 0xf(ff x(( ) = x3+ 3x2xxf(0) = 0ffFungsi f(ff x(( ) memotong sumbu-y diy y = 0.y• Titik potong dengan sumbu-x.Titik potong dengan sumbu-x- diperoleh untukx y = 0.yf(ff x(( ) = x3+ 3x2xxy =y f(ff x(( )x3+ 3x2xx = 0x2xx (x(( + 3) = 0xx = 0 ataux x = –3xFungsi f(ff x(( ) memotong sumbu-x- dix x = 0 ataux x = –3.xLangkah 2: Menganalisis f (x(( )f(ff x(( ) = x3+ 3x2xxf (x(( ) = 3x2xx + 6x66Contoh 8.33c. Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat.• Titik potong dengan sumbu-x (diperoleh untukx y = 0atau f(ff x) = 0).• Titik potong dengan sumbu-y (diperoleh untuk x = 0xatau f (0)).Langkah 2: Menganalisis f (x)a. Menentukan titik stasioner.b. Menentukan interval di mana fungsi naik atau turun.c. Menentukan titik balik maksimum dan minimum lokal(jika ada).d. Menentukan titik belok fungsi.Langkah 3: Membuat sketsa grafika. Menyajikan titik-titik yang diperoleh pada langkah 1 dan2 pada bidang Cartesius.b. Membuat sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titiktersebut.Hal Penting
  • 240. 234 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alama. Titik stasioner diperoleh untuk f (x(( ) = 0.f (x(( ) = 0 3x2xx + 6x66 = 0x3x (x(( + 2) = 0x x = 0 ataux x = –2xTitik stasioner diperoleh dengan menyubstitusikan x = 0xdan x = –2 padax fungsi f(ff x(( ) = x3+ 3x2xx sehingga diperolehf(0) = 0 danff f(–2) = 4ffJadi, (0, 0) dan (–2,4) adalah titik-titik stasioner.b. Interval fungsi naik diperoleh jika f (x) > 0 dan intervalfungsi turun diperoleh jika f (x) < 0. Interval-intervaltersebut diperoleh dengan menentukan nilai-nilai x yangxdisubstitusikanpadafungsifi ‘(x(( ).Substitusikani x=–3untukxx < –2,x x = –1 untuk –2 <x x < 0 danx x = 1 untukx x > 0xpada fungsif (x(( ) = 3x2xx + 6x66 sehingga diperolehxf (–3) = 9 > 0, f (–1) = –3f (1) = 9 > 0yang dapat digambarkan sebagai diagram di samping.f (x(( ) f (–3) = 9 f (–1) = –3 f (1) = 9Dari diagram tanda tersebut diperoleh interval berikut.• Interval fungsi naik pada x < –2 danx x > 0.x• Interval fungsi turun pada –2 < x < 0.xc. Titikbalikmaksimumdanminimumlokaldapatditentukandari diagram tanda.• Pada x = –2,x f(ff x(( ) berubah dari fungsi naik menjadifungsi turun sehingga x = –2 adalah titik balikmaksimum lokal.f(ff x(( ) = x3+ 3x2xx f(–2) = 4ffTitik (–2, 4) adalah titik balik maksimum lokal.• Pada x = 0,x f(ff x(( ) berubah dari fungsi turun menjadifungsi naik sehingga x = 0 adalah titik balik minimumxlokal f(ff x(( ) = x3+ 3x2xx f(0) = 0ffTitik (0, 0) adalah titik balik minimum lokal.Langkah 3: Membuat sketsa grafikHasil sketsa grafik tampak pada Gambar 8.17.positif negatif positif–2 0f(ff x)Gambar 8.17titik balikmaksimum lokaltitik balikminimum lokalturunnaikx1 2 3–1–2 –1–2–3y43210
  • 241. 235Turunan Fungsi dan AplikasinyaTes Kompetensi Subbab HKerjakanlah pada buku latihan Anda.Buatlah sketsa grafik fungsi berikut.1. f(ff x) = x3– x2– 14x + 11x2. f(ff x(( ) = x3– 6x66 2xx 9x99 + 1x3. f (x(( ) = x5xx – x4xx + 14x44 3+ 6x66 2xx – 45x – 3x• Beberapa turunan fungsi aljabara. f (x) = k; k adalah konstanta fif (x) = 0b. f (x) = x fif (x) = 1c. f (x) = xn; n ŒR fif (x) = n · xn – 1• Beberapa turunan fungsi trigonometria. f (x) = sin x fif (x) = cos xb. f (x) = cos x fif (x) = –sin xc. f (x) = tan x fif (x) = sec2xSekarang, lanjutkanlah rangkuman diatas.RangkumanSetelah Anda mempelajari Bab 8,1. coba Anda tuliskan bagian-bagian dari bab ini yang telahdipahamai,2. tuliskan pula hal-hal yang masih sulit untuk dipahami di bukulatihan Anda.Refleksi
  • 242. 236 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTes Kompetensi Bab 8A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.1. Jika f(ff x) = 51xxmaka f (2) = ....fa.14d.79b.56e.59c.122. Diketahuifi (ff x(( )=sinsin cosxx xcos.Nilaif112adalah ....a.13d.32b.23e. 3c. 13.ddxxxx321= ....a. 3x2+x221x21b. 3x2–x221x21c. x2+3 12x12xd. x2–3 12x12xe. 3x2–3 12x12x4. Titik balik maksimum kurva y =13x3– 2x22 2+ 3x adalah ....xa. (–3 , –36) d. (3 , –18)b. (–1 , –513) e. (3 , 0)c. (1 , 113)5. Ditentukan f(ff x) = 21 xdan f "(x) adalahturunan kedua dari f(ff x). Nilai dari f "(–2)fadalah ....a.325d.427b.529e.627c.6296. Turunan pertama f(ff x(( ) = (2x22 – 1) cos (3x x + 1)xadalah ....a. (2x2 – 1) sin (3x x + 1) + 2cos (3x x + 1)xb. (2x2 – 1) cos (3x x + 1) – 2 sin (3x x + 1)xc. 2 sin(3x + 1) + 2(6x x6 – 3) cos (3x x + 1)xd. 2 cos (3x + 1) + (2x x2 – 1) sin (3x x + 1)xe. 2 cos(3x + 1) – (6x x – 3) sin (3x x + 1)x7. Turunan pertama fungsi f(x( ) = cos5(4x44 – 2)xadalah ....a. 5 cos4(4x – 2) sin (4x x – 2)xb. –5 cos4(4x – 2) sin (4x x – 2)xc. – 20 cos4(4x – 2) sin (4x x – 2)xd. 10 cos3(4x – 2) sin (8x x – 2)xe. –10 cos3(4x – 2) sin (8x x – 2)x8. Pada daerah asal 0 < x < 2, grafikx fungsiy = x3– 2x22 2+ 1 bersifat ....a. selalu naikb. selalu turunc. naik, lalu turund. turun, lalu naike. turun naik berulang-ulang9. Luas semua sisi balok 96 cm2. Jika alasnyaberbentuk persegi, paling besar balok itudapat dibuat dengan volume ... cm3.a. 0b. 54c. 64d. 64 2e. 80
  • 243. 237Turunan Fungsi dan Aplikasinya10. Diketahui luas lingkaran merupakan fungsidari kelilingnya. Jika keliling sebuahlingkaran adalah x, laju perubahan luaslingkaran terhadap kelilingnya adalah ....a. πxππ d.xb. 2πxππ e.2xc.x211. Turunan pertama fungsi f(ff x) = cos3(5 – 4x)adalah ....a. –12 cos2(5 – 4x) sin (5 – 4x)b. 12 cos (5 – 4x) sin (5 – 4x)c. 12 sin2(5 – 4x) sin (5 – 4x)d. –6 sin (5 – 4x) sin (10 – 8x)e. 6 cos (5 – 4x) sin (10 – 8x)12. Nilai maksimum dari f(x) = x3– 6x2+ 9xpada interval –1 ≤ x ≤ 3 adalah ....a. 16 d. 1b. 4 e. 0c. 313. f(ff x(( ) =x x3xx – 4x44 2xx + 42x44 + 6x naik pada interval ....a. –2 < x < –x 23b.23< x < 2xc. x < –2 ataux x >x23d. x <x23atau x > 2xe. x < –x23atau x > 2x14. Nilai maksimum dari f(ff x( ) = 2x2 3– 6x2– 48xdalam interval –3 < x < 4 adalah ....xa. –160 d. –99b. –155 e. –11c. –13115. Turunan pertama dari f(x) =xx32,untuk x = –3 adalah ....xa. 0,000024 d. 0,024b. 0,00024 e. 0,24c. 0,002416. Turunan dari y = (1 –y x– )2(2x22 + 3) adalah ....xa. (1 – x) (3x + 2)xb. (x – 1) (3x x + 2)xc. 2(1 + x) (3x + 2)xd. 2(x – 1) (3x x + 2)xe. 2(1 – x) (3x + 2)x17. f(ff x) =13x3– 3x2+ 5x – 10x turun dalaminterval ....a. –5 < x < – 1xb. x < – 1xc. x < 1xd. 1 < x < 5xe. x < 1 ataux x > 5x18. Kurva y = x3– 6x2+ 9x + 1x turun padainterval ....a. x ≤ 1 atau x ≤ 3b. –2 ≤ x ≤ 1 atau 3 ≤x x ≤ 6xc. 1 < x < 3xd. 1 ≤ x ≤ 3xe. –1 ≤ x ≤ 1x19. Nilai minimum relatiff(ff x) = 13x3– x2– 3x + 4 adalah ....xa. –5b. –223c. –13d.13e. 420. Jika f(x( ) =sin cossinx xcosxdan sin x ≠ 0 makaf f2= ....a. –2b. –1c. 0d. 1e. 2
  • 244. 238 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamB. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.1. Gunakan konsep limit untuk menentukanturunan fungsi-fungsi berikut.a. f(ff x) = sin 2x2b. f(ff x) = cos (1–3x)c. f(ff x) = tan xd. f(ff x) = 2x2 4– 7e. f(ff x) = 5x3– 5xf. f(ff x) = 2 x – 2x22. Sebuah peluru ditembakkan vertikal keatas dengan kecepatan awal 10 m/detik.Kedudukan peluru setelah t detik memet -nuhi persamaan h(t) = 60t – 7t t² dengantth(t) adalah tinggi peluru yang diukurdalam meter.a. Tentukan kecepatan peluru pada saat3,5 detik.b. Kapan peluru berhenti?3. Diketahui f(ff x) = x xxxx1 1.Buktikan bahwa f ‘(x) =5 3245xx.4. Tentukan interval yang membuat fungsi-fungsi berikut merupakan fungsi naik ataufungsi turun.a. f(ff x) = 5 + 8x – 2x x2 2b. f(ff x) = 2x2 2– 8x + 9xc. f(ff x) = 9 + 3x – 4x x2d. f(ff x) = x3– 18x2+ 10x – 11xe. f(ff x) = 10 – 12x2 + 6x x2– x3f. f(ff x) = x4– 24x2+ 10x – 5x5. Sebuah kotak tanpa tutup, alasnyaberbentuk persegi dengan sisi x cm,volumenya 32 cm3. Jika kotak tersebutterbuat dari karton,a. tunjukkan bahwa luas karton yangdiperlukan untuk membuat kotak ituL(x) = x2+128x;b. tentukanukurankotakagarkartonyangdigunakan sesedikit mungkin.
  • 245. 239Turunan Fungsi dan AplikasinyaA. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.1. Jika f(ff x(( ) = sin x makax f –14= ....a. 52 d. 0,71b. 41 e. 0,5c. 0,902. Jika f (x) = 4x – 5 danx g(x) = 3xmaka f (g(2)) = ....a. 27 d. 31b. 9 e. 33c. 33. Jika p(x(( ) = 4x x44 – 6 danx p(a) = 0 maka a = ....aa. –6 d.23b. 2 e. –32c.324. Jika g(x(( ) =xx22 1xmaka g(p(( 3) = ....a.pp632 1p3d.22 163ppb.pp632e.pp362 1p6c. 2163pp5. Jika g(x( ) = 3x + 2 danx g(f(( (ff x(( )) = x makaxf(2) = ....ffa. 2 d. 8b. 6 e. 1c. 06. Jika f (x(( ) = 2x22 2xx – x– makaxf(2ff x22 –1) – 4x f(ff x(( ) + f(ff x(( ) = ....a. –2x22 d. 2x22 ²xx +² 7x – 3xb. 2x22 ²xx – 7x + 3x e. 2x22 ²xx +² 7x + 3xc. 2x22 ² + 3xx7. Jika h(x) = f (g(x)), f (x) = 4 – x dang(x) = 2x +2 1 maka h-1(x) = ....a.32xd.22xb.x 32e.x 22c.32x8. Invers dari y =2log x adalah ....a. y = x2xx d. y = 2x22b. y = 2x22 e. 2x22 +1c. y = kx9. Diketahui f(ff x(( ) = x + 1 dan (x f(( o g) (x(( ) = 3x2xx + 4maka nilai g(4) = ....a. 15 d. 52b. 16 e. 57c. 5110. Jika y = f(ff x) =12x + 3, z =13y + 2w = f (z) =14z + 1 maka fungsi komposisidari x ke w adalah ....a.124(x(( +42) d.124(4x44 +18)b.124(2x22 + 7)x e.112(6x66 + 18)c.124(3x = 21)x11. limxxxx223 1x21 1x 02= ....a. –2 d. 2b. –1 e. 3c. 112. limxx xxx32269= ....a. 2 56d.16b. 156e. –56c.56Tes Kompetensi Semester 2r 2
  • 246. 240 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam13. Jika limx 3f (x(( ) = 2 dan limx 3g(x(( ) = –4maka limxfgxx32 5f x3= ....a. –34d.34b. –12e.12c.1414. Diketahuif(x(( )=4 35x x3xjika ≠ 3jika = 3makanilai limx 3g(x(( ) = ....a. 5 d. 15b. 9 e. 18c. 1215. limcosxxx01= ....a. –2 d. 1b. –1 e. 2c. 016. limsin ixx xsx03 2sinsin= ....a. –2 d. 1b. –1 e. 2c. 017. Jika fa (x(( ) =xax b22maka f (–1) = ....a.2ba bd. –2ba bb.22ba be. –22ba bc. –a bb218. Jarak suatu titik dari suatu posisi P untuksetiap waktu t dirumuskant s(t) = A sin t,A > 0. Kecepatan terbesar diperoleh padawaktu t = ....ta. 2k π, k = 0, 1, 2,...kb. 2k π, k = 1, 3, 5,...kc. 2k π, k = 0, 2, 4,...kd. k π, k =k12,52,92, ...e. k π, k =k32,72,112, ...19. Jika f (x(( ) =xx224maka f (1) = ....fa. –89d.89b. –59e. 159c.5920. Nilaimaksimumdarif(ff x(( )=x x3xx –6x66 2xx +9x99 padainterval –1 ≤ x ≤ 3 adalah ....xa. 16 d. 1b. 4 e. 0c. 321. Jika f (x(( ) = xx13makadfdx= ....a. 311142xx xb. 311142x xc. 311142xx xd. 311142x xe. 311142x x22. Turunan pertama fungsi f (x(( ) = cos² (5 – 4x44 )adalah ....a. –12 cos2(5 – 4x44 ) sin (5 – 4x44 )b. 8 cos(5 – 4x44 ) sin (5 – 4x44 )c. 12 cos2(5 – 4x44 ) sin (5 – 4x44 )d. – 6 sin (5 – 4x44 ) sin (10 – 8x)e. 6 cos (5 – 4x44 ) sin (10 – 8x)23. Jika f (x(( ) =xx24maka f ‘(4) = ....fa.14b.34
  • 247. 241Tes Kompetensi Semester 2c.94d.114e.15424. Nilai maksimum dari4f (x(( ) =23x2xx – 2x22 2xx – 6x66 + 5xdalam interval –2 ≤ x ≤ 4 adalah ....a. 13 d. 6b. 12 e. 5c. 825. Jika f (x(( ) = xx223 109x3xmaka f (x(( ) = ....a.3 38 2722x38b.3 38 2722x 38x3892xc.3 38 2722x38d.3 38 2722x x38e.3 38 2722x x3826. Jika f (x(( ) =12sin2maka f (f x(( ) = ....a. sin x + cosx xb. sin x – cosx xc.sincosxxd. sin x cosx xe. sin x (1 – cos x)27. Jika f (x(( ) = (2 – 4x44 )5adalah f (x(( ) = ....a. 20(2 – 4x44 )4b. 20(2 – 4x44 )6c.16(2 – 4x44 )4d. – (2 – 4x44 )4e. –20(2 – 4x44 )428. Jika f (x(( ) = – cos x + sinx x makaxdfdx= ....a. sin x + cosx xb. sin x – cosx xxc.sincosxxd. x2sin xxe. x sinx x229. Turunan pertama dari f (x(( ) = 5 sin x cosx xadalah ....a. 5sin 2x22b. 5cos 2x22xc. 5sin2x cosx xd. 5sin x cosx 2xe. 5sin 2x22 cosx x30. Fungsi f yang dirumuskan denganff(ff x) = 5 + 3x + 4x x2turun pada interval ....a. –13< x < 3xb. –3 < x <13c. x < –3 ataux x >x13d. x < –x13atau x > 3xe. x <x13atau x > 3x31. Jika f (x(( ) = –12cos x2xx maka f (f x(( ) = ....a. x sinx xx d. x2xx sin x2xxb. x2xx sin xx e. sin x2xxc. x sinx x2xx32. Suku banyak f (x) = x3– 2x2+ px + 6habis dibagi (x – 1). Jika dibagi denganx(x + 3)(x x + 1), sisanya adalah ....xa. 16x66 + 24x d. 24x44 – 16xb. 16x66 – 24x e. –24x44 + 16xc. 24x44 + 16x33. Suatu suku banyak P(x(( ) dibagi oleh (x(( 2xx – 1)sisanya(12x22 –23)danjikadibagioleh(x x(( –2)xsisanya1.SisapembagiansukubanyakP(x(( )oleh (x(( 2xx – 3x + 2) adalah ....xa. 12x22 + 23x d. 23x – 12xb. 12x22 – 23x e. –23x + 12xc. 23x + 12x
  • 248. 242 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamB. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.1. Diketahui g(x) =xx13dan [(f(( ° g)]–1=5 33xx. Tentukan nilai:a. f(0)ffb. f(5)ffc. f(–2)ff2. Tentukan hasil bagi dan sisa suku banyak3x3+ 10 x2– 8x + 3 dibagix x2+ 3x – 1.x3. Tentukan jenis nilai stasioner fungsi-fungsi berikut, menggunakan uji turunankedua.a. f (x) = 2x22 2– 8x + 6xb. f (x) = 2x22 3– 3x2+ 12x2 – 5xc. f (x) = x3– 18x2+ 10x – 11xd. f (x) = x4– 8x2+ 10e. f (x) = x4– 24x2+ 10x – 5xf. f (x) = 7 + 3x + 4x x3– x44. Misalkan, s = f(ff t) = 24t2tt + 4t merupakantpersamaan posisi mobil. Kecepatan mobilpada saat t = 1 jam dapat diperoleh daritlimit kecepatan rata-rata dalam selang t = 1tsampai t = 1 + Δt t, dengan mengambilΔt 0. Pernyataan ini dapat ditulis sebagaiberikut.Vstf t ftt t t1 0 01 1lim limTentukan kecepatan mobil pada saat t = 1.5. Dengan menggunakan konsep limit,tentukan gradien singgung pada kurvaberikut.a. f(x) = 5x2di titik x = –2b. f(x) = x2+ x – 5 di titik x = –1c. f(x) =12xdi titik x = –2d. f(x) = x x di titik x = 46. Hitunglah limhf x h f xh0untukfungsi berikut.a. f(x) = 2cos( x – π)b. f(x) = –cos x – πc. f(x) = 2tan 3 x7. Buatlah sketsa grafik fungsi berikutf(x) = x4– 3x3– 9x2+ 23x + 8
  • 249. 243Tes Kompetensi Akhir Tahun1. Sebuah dadu dilempar satu kali. Peluangmunculmatadadubilanganprimaataumatadadu bilangan 4 adalah ....a.112d.23b.13e. 2c.122. Jika titik (–5, k) terletak pada lingkaranx2+ y2+ 2x2 – 5x y –21 = 0, maka nilai kadalah ....a. –1 atau –2 d. 0 atau 3b. 2 atau 4 e. 1 atau –6c. –1 atau 63. Agargarisy=y x+x CmenyinggunglingkaranCx2xx + y2= 25, maka nilai C adalah ....Ca. ± 1 d. ± 5 2b. ± 2 2 e. ± 6 2c. ± 3 24. Titikpusatlingkaranx2xx +y2–ax+x by+9=0terletak pada garis 2x2 + 3x y = 0 di kuadrankeempat. Jika jari-jari lingkaran itu samadengan 1 maka nilai a dan b berturut-turutadalah ....a. –6 dan 4 d. 3 dan –2b. 6 dan 4 e. –3 dan 2c. 6 dan –45. Salah satu koordinat fokus5x2+ 4y2– 20x + 8x y + 4 = 0 adalah ....a. (1, –1) d. (2, –2)b. (2, –1) e. (–2, 1)c. (3, –1)6. Persamaan lingkaran yang menyinggungx – 2x y + 2 = 0 dan 2x22 –x y – 17 = 0 sertamelalui titik (6, –1) adalah ....a. x yy589139500812 213Tes Kompetensi Akhir TahunnA. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.b. x yy549159482812 215c. x yy509129400812 212d. x yy489119386812 211e. x yy479109348812 2107. Persamaangarissinggungyangmelaluititik(5,1)padalingkaranx2xx +y2–4x+6x y6 –12=0adalah ....a. 3x + 4x y – 19 = 0b. 3x – 4x y – 19 = 0c. 4x – 3x y + 19 = 0d. x + 7x y – 26 = 0e. x – 7x y – 26 = 08. Lingkaran x2+ y2– 2 px + 6x y + 49 = 0menyinggung sumbu–x– untukx a ....a. 10 d. 1b. 7 e. –2c. 49. (x–5)2+ y2= 9 bersinggungan denganlingkaran ....a. x2+ y2= 1 d. x2+ y2= 4b. x2+ y2= 2 e. x2+ y2= 5c. x2+ y2= 310. Lingkaran x2+ y2= 36 berpotongan di duatitik yang berbeda dalam garis ....a. x= 4 d. x = 10xb. x= 6 e. x= 12c. x= 811. Suku banyak f (x) = x3– 2x2 2+ px + 6 habisxdibagi (x – 1). Jika dibagi dengan (x x + 3)x(x + 1) sisanya adalah ....xa. 16x + 24x d. 24x – 16xb. 16x – 24x e. –24x + 16xc. 24x + 16x
  • 250. 244 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam12. Suatu suku banyak P(x(( ) dibagi oleh (x(( 2– 1)sisanya (12x – 23) dan jika dibagi oleh(x –2) sisanya 1. Sisa pembagian sukubanyak P(x) oleh (x2– 3x + 2) adalah ....xa. 12x2 + 23x d. 23x – 12xb. 12x2 – 23x e. –23x + 12xc. 23x + 12x13. Sisa bagi dari (4x44 4xx + 3x3– x + 4) : (x x(( 2+ x –2)xadalah ....a. 12x2 + 22x d. –12x2 – 22b. 12x2 – 22x e. 22x22 – 12xc. –12x2 + 22x14. Diketahui suku banyakf(ff x) = x3+ ax2+ bx – 6.xJika suku banyak ini habis dibagi oleh(x – 3) dan (x x – 2) maka sisa pembagianxf(ff x) oleh x2+ 5x + 6 adalah ....xa. 60(x + 1)x d. –60(x – 1)xb. –60(x + 1)x e. 60(1 – x)c. 60(x – 1)x15. Diketahui P(x(( ) = x3+ 3x2+ px +x q. Jika P(x(( )dibagi (x2+ 2x2 – 3) sisanya 7x x +3 makaxnilai p dan q berturut-turut adalah ....a. 3 dan 2 d. –6 dan 0b. –3 dan 2 e. 6 dan 0c. –2 dan 316. Sebuah suku banyak berderajat n ber-bentuk Pn(x)=anxn+an–1xn–1+...+a1x + a0,dengan an≠ 0, dan n bilangan positif dann ≠ 0. P3(x) – P4(x) adalah suku banyakberderajat ....a. –1 d. 4b. 1 e. 7c. 317. Salah satu faktor dari 2x22 3– 5x2– px + 3adalah (x(( + 1). Faktor linear yang lain darixsuku banyak tersebut adalah ....a. x – 2 danx x – 3xb. x + 2 dan 2x x2 – 1xc. x + 3 danx x + 2xd. 2x22 + 1danx x – 2xe. 2x22 – 1danx x – 3x18. Persamaan 2x3+ px2+ 7x + 6 = 0mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akarxpersamaan itu adalah ....a. –9 d. 412b. 2 12e. 9c. 3B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.1. Pada tes calon pramugari, tercatat hasil tesbahasa Inggris sebagai berikut.Frekuensi 7 9 12 5 3 3 2Nilai 50 55 60 65 70 75 80Seorang peserta dinyatakan lulus jikanilai ujiannya lebih tinggi dari nilai rataanhitung dikurangi 0,6. Berapa peserta yangdinyatakan lulus?2. Ada 4 buah kartu as, kemudian diambildua buah kartu. Berapa macam yang dapatdipilih jika:a. kartu yang pertama terambil tidakdisimpan lagi;b. kartu yang pertama terambil disimpanlagi.3. Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel,tentukanlah nilai daria. sin 165° d. cos 285°b. sin 255° e. tan 375°c. cos 195° f. tan 405°4. Tentukan persamaan lingkaran yangmelalui titik berikut.a. (0,3), (0,7), dan (2,7)b. (–2,–1), (7,2), dan (–1,–4)c. (–6,–5), (12,7), dan (–5,–10)d. (4,3), dan (–1,8), dan (2,7)5. Jumlah dua bilangan bulat sama dengan 8.Tentukan bilangan-bilangan tersebut agarjumlah kuadratnya minimum.
  • 251. 245Tes Kompetensi Akhir TahunDaftarPustakaAnton, Howard. 2004. AljabarLinierElementer.Edisi kedelapan. Jakarta: Penerbit Erlangga.BarnettA.Raymond,ZieglerR.Michael.2008.AppliedCalculusforBusiness,Economics,LifeSciences,andSocialSciences. Eleven Edition. New Jersey: Prentice Hall.Bridgman, Roger. 2000. JendelaIPTEK,Elektronika. Jakarta: Balai Pustaka.Dodge, Howard P. 2008. Barron’s How to Prepare for SAT II: Mathematics Level IIc. Edisi Kedelapan.NewYork: Barron’s Educational Series.Gribbin, Mary, dan John Gribbin. 2000. JendelaIPTEK,RuangdanWaktu. Jakarta: Balai Pustaka.Negoro, ST dan B. Harahap. 2006. EnsiklopediaMatematika. Jakarta: Ghalia Indonesia.O‘Brien, Paul. 1995. UnderstandingYear11Maths. First Edition.Turramura NSW.Parker, Steve. 1997. JendelaIPTEK,Listrik. Jakarta: Balai Pustaka.PengYee, L., et all. 2003. NewSyllabusMathematics. Singapura: Shing Lee.Purcell, E. J, Varberg, D. 2005. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I dan II. Edisi Kedelapan. Jakarta:Erlangga.Rawuh, R, Hong, G. K, dan Tat, T. B. 1975. Ilmu Ukur Ruang Teori dan Soal-Soal Jilid I. Bandung:Terate.Ruseffendi, E.T. 1989. Dasar-DasarMatematikaModerndanKomputeruntukGuru. Edisi Keempat.Bandung:Tarsito.Sullivan, M. 2007. Precalculus. Edisi Kedelapan. Chicago: Prentice Hall.——–. 1982. TheOfficialGuidetoGMAT. USA: EducationalTesting Service Princeton.TTTim Redaksi Oxford Ensiklopedia Pelajar. 1995. OxfordEnsiklopediaPelajar,Listrik–Origami,Jilid5.Jakarta:Widyadara.Washington, A. J. 2004. Basic Technical Mathematics with Calculus. Edisi Kedelapan. California:Addison Wesley Publishing Company.
  • 252. 246 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamDaftar Simbol• n! :n faktorial• P(n, k) :permutasi k unsur darik n unsur• C(n, k) :kombinasi k unsur darik n unsur• P(A) :peluang peristiwa A• fHffH:frekuensi harapan• Ac:komplemen dari kejadian A• Œ :elemen atau anggota• ff :fungsi• DfDf:domain fungsi• RfRf:range fungsi• ∆ :himpunan kosong• f –1:invers dari f• m :gradien• x :rata-rata• S :jumlah total• » :gabungan• « :irisan• DxDDx :perubahan x• x :nilai mutlak x•dxdy:turunan pertama x terhadapx y•d xdy22:turunan kedua x terhadapx y• limx aÆ:limit x menujux a• sin :sinus• cos :kosinus• tan :tangen
  • 253. 247Tes Kompetensi Akhir TahunIndeksAantarkuartil 7, 8, 9, 8, 9, 10, 21, 22, 40, 247Bbaku 31, 32, 33, 34, 35, 39, 40, 34, 31, 98,103, 115, 116, 247bijektif 150, 247Ddata 1, 247, 248, 249desil 2, 24, 28, 29, 248diagram 11, 12, 15, 231, 234, 247Ffaktorial 44, 45, 56, 69, 246, 247fungsi 227, 228, 230, 231, 232, 233, 234,235, 236, 237, 238, 239, 240, 242,246, 247, 248fungsi Invers 119, 145, 154, 155, 157fungsi Komposisi 119, 156, 239Ggaris 14, 20, 19, 14, 13, 95, 96, 98, 102, 99,102, 103, 104, 105, 106, 109, 105,106, 107, 108, 107, 108, 109, 110, 111,112, 113, 114, 95, 111, 127, 147, 162,185, 194, 195, 197, 195, 196, 197,201, 213, 214, 215, 214, 216, 243,247, 248, 249, 243Hhistogram 18, 20, 17, 38, 247Iinjektif 149, 150, 248, 151, 152, 165, 248,247invers 119, 145, 146, 145, 160, 161, 162,246, 162, 161, 162, 163, 164, 165,169, 165, 246, 247Jjangkauan 7, 8, 9, 8, 9, 10, 21, 37, 38, 40,247Kkejadian majemuk 41, 64, 69, 247kombinasi 41, 2, 5, 53, 55, 54, 52, 246, 56,41, 72, 69, 246, 247komplemen 42, 64, 145, 246, 247, 248komposisi 239, 247kuartil 2, 247Llangkah 13, 14, 15, 16, 23, 184, 186, 189,192, 188, 171, 179, 187, 193, 220,226, 232, 233, 234limit fungsi 181, 182, 178, 176, 178, 183,247Mmean 2, 21, 22, 36, 38, 34, 118, 247median 4, 24, 35, 36, 37, 38, 250modus 24, 38, 247Nnaik 229, 233, 234, 236, 237, 238, 247nilai stasioner 247, 228, 229, 230, 231, 242,250notasi Leibnitz 247Ppagar dalam 247pagar luar 247peluang 63, 246, 247pencilan 247permutasi 246, 247permutasi siklis 247persamaan garis singgung kurva 247Rrata-rata 242, 246, 247relasi 247ruang sampel 247Ssimpangan 247statistik lima serangkai 247surjektif 247, 248Ttabel distribusi frekuensi 19, 247teorema limit 247titik belok 228, 231, 233, 247turun 229, 233, 234, 236, 237, 238, 241, 247,234turunan 227, 230, 231, 232, 235, 236, 238,242, 246, 247, 248turunan fungsi 235, 238, 247turunan kedua 227, 230, 231, 236, 242, 246,247, 227
  • 254. 248 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamAAAlgoritma: prosedur matematika untukmemecahkan masalah matematis dilangkah-langkah terbatas • 119Aljabar:cabangmatematikayangmenggunakanbenda-benda dan huruf-huruf untukmenggambarkan atau mewakili angka-angka • 152Analisis: penyelidikan terhadap suatu kejadianuntukmengetahuikeadaanyangsebenarnya• 242Aturan Sturgess: aturan yang menjelaskan caramembagi data berukuran besar ke dalamkelas-kelas tertentu • 15BBBinomialNewton:persamaanyangmenggam-barkan penjabaran bentuk aljabar duasuku yang dipangkatnya • 54Bijektif: perpetaan f dari himpunanf A padahimpunan B yang bersifat injektif dansurjektif • 76DDData:kumpulaninformasiataufakta,baikberupaangka maupun kategori • 1Datum: informasi atau data tunggal • 3Derajat: satuan ukuran sudut • 75Desil:nilaiyangmembagidatamenjadi10kelompoksama banyak • 32Diferensial: teknik numerik untuk memperkirar -kan turunan f(x(( ) dari suatu fungsi • 130FFFaktorial: hasil kali bilangan asli secara ber-urutan • 47Frekuensi: jumlah (kekerapan) pemakaianunsur • 17SenaraiGGGradien: kemiringan garis • 96Grafik: lukisan pasang surut suatu keadaandengan garis atau gambar • 11HHHorizontal: garis datar atau mendatar • 12IIImajiner: hanya terdapat di angan-angan(tidak nyata) • 102Invers: pembalikan posisi/arah • 145KKKomplemen: sesuatu yang melengkapi ataumenyempurnakan • 68Koefisien: bagian suku yang berupa bilanganatau konstan yang biasanya dituliskansebelum lambang peubah • 33Konstanta: lambang untuk menyatakanobjek yang sama dikeseluruhan operasimatematika • 121PPPolinom: suku banyak • 125Populasi: keseluruhan objek yang hendakditeliti • 20RRRelatif: tidak mutlak (nisbi) • 15SSSampel: bagian dari populasi statistik yangcirinya dipelajari untuk memperolehinformasi tentang seluruhnya • 3
  • 255. 249SenaraiStasioner: tetap atau tidak berubah tentangjumlah nilai dan sebagainya • 228Statistik: hasil analisis dan pengolahan suatudata • 1Stokastik: mempunyai unsur peluang ataukebolehjadian • 73Sudut: bangun yang dibuat oleh dua garis yangberpotongan di seluruh titik potongnyaitu • 75Suku: bilangan yang menjadi bagian darijajaran bilangan • 119TTTeorema: pernyataan yang harus dibuktikankebenarannya • 83Tembereng: bagian dari lingkaran yangterbatas sebagian dari keliling lingkaran• 95Trigonometri: ilmu ukur tentang sudut dansepadan segitiga • 75UUUnsur: bagian terkecil dari suatu benda • 52VVVariabel: faktor atau unsur ikut menentukanperubahan • 121Variansi:besaranyangmenunjukkanbesarnyapenyebaran data pada suatu kelompokdata • 36Vertikal: membentuk garis tegak lurus • 12
  • 256. 250 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamKunci JawabananBab 1 StatistikaTes Kompetensi Bab 1A. 1. a 5. d 9. a 13. a3. e 7. b 11. a 15. bB. 1. a. ukuran terkecil = 48ukuran terbesar = 80median = 65Q1= 50, Q3= 75, J = 32,JJk = 25k3. c. Triwulan ke I tahun19945. Anak tertua 42 tahunAnak termuda 11 tahunBab 2 PeluangTes Kompetensi Bab 2A. 1. b 5. e3. a 7. bB. 1. 720 cara3. 170 cara5. a.60araara189b.40189Bab 3 TrigonometriTes Kompetensi Bab 3A. 1. d 9. c 17. a3. b 11. c 19. c5. e 13. a7. c 15. eB. 1. a. i cos sin4 4i cos sin4 4= 2 cos4sin= 2122 sin= 2 sin terbukti3. tan 2x = 4 3Bab 4 LingkaranTes Kompetensi Bab 4A. 1. c 9. c 17. c3. c 11. b 19. a5. e 13. e7. c 15. dB. 3. 4y4 – 3y x + 25 = 0 ataux3y – 4y x44 – 25 = 0x5. 85Tes Kompetensi Semester 1A. 1. c 11. d 21. b3. c 13. b 23. e5. c 15. d 25. e7. a 17. b 27. e9. a 19. d 29. dB. 1. a. Mean = 5,3Modus = 5Median = 5d. Mean = 3,92Modus = 2,7 dan 4,8Median = 3,73.15195. a. 3Bab 5 Suku BanyakTes Kompetensi Bab 5A. 1. e 9. c3. e 11. a5. e 13. c7. c 15. eB. 1. f(–2) = –7fff(–1) = –4fff(0) = –1fff(1) = 2fff(2) = 5ff3. a. 2x3xx + x2xx + 6x66 +x 17,sisanya 52Bab 6 Fungsi Komposisidan Fungsi InversggTes Kompetensi Bab 6A. 1. a 11. a 21. b3. a 13. c 23. d5. b 15. b 25. c7. e 17. e 27. b9. a 19. c 29. eB. 1. a. n = 4 dan n = 5c. n = 93. p = 22,9 dan q = –5,9Bab 7 LimitTes Kompetensi Bab 7A. 1. a 9. a3. a 11. d5. b 13. a7. c 15. eB. 1. a. 12 d. 1c.12g. 185. a.34c. 1 e. 1Bab 8Turunan Fungsi danAplikasinyagTes Kompetensi Bab 8A. 1. e 9. c 17. d3. a 11. d 19. a5. d 13. d7. c 15. dB. 1. a. 2 cos 2x22b.23sincosxx3. f–1ff (x(( ) =x5 3245x5. a. terbuktib. x = 4 cmxTes Kompetensi Semester 2A. 1. d 11. c 21. d3. c 13. a 23. a5. c 15. e 25. e7. c 17. a 27. d9. b 19. b 29. cB. 1. a. f(0) = –1ff3. a. nilai stasioner 4x44 – 8 = 0xx = 2 ataux x = –2xf(2)=4merupakannilaiffbalik maksimumf(–2) = –2 merupakanffnilai balik minimumc. nilai stasioner 2x22 2xx – 36x66+ 10 = 0x = 11,7 ataux x = 0,3xf(11,7) = –756,4ffmerupakan nilai balikmaksimumf(0,3) = –0,62ffmerupakan nilai balikminimum.Tes Kompetensi Akhir TahunA. 1. d 5. b 13. a 17. b3. d 11. b 15. dB. 1. 13 orang3. a.146 2b.142c.13311335. a = 4 dan b = 4

×