Bse kelas12 sma-matematika_geri

9,738 views
9,556 views

Published on

0 Comments
4 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
9,738
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Bse kelas12 sma-matematika_geri

  1. 1. Geri AchmadiDwi GustantiDani Wildan HakimWilli Sutanto
  2. 2. Hak Cipta pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undangMahirMatematika 3untuk Kelas XII SMA/MA Program BahasaPenulis : Geri AchmadiDwi GustantiDani Wildan HakimWilli SutantoUkuran Buku : 21 x 29,7 cm510.07MAH ACHMADI, Gerim Mahir matematika 3: untuk kelas XII SMA/MA Program Bahasa/Oleh Geri Achmadi...[et.al]. — Jakarta: Pusat Perbukuan,Departemen Pendidikan Nasional, 2007.viii, 106 hlm.: ilus.; 30 cm.Bibliografi: hlm. 106Indeks. Hlm.105ISBN 979-462-845-X1. Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul II. Gustanti, DwiIII. Hakim, Dani Wildan IV. Sutanto, WilliDiterbitkan oleh Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan NasionalTahun 2008Diperbanyak oleh ...
  3. 3. Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya,Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2007, telah membelihak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis untuk disebarluaskan kepada masyarakat melaluiwebsite Jaringan Pendidikan Nasional.Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telahditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalamproses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 46 Tahun 2007.Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis yang telahberkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untukdigunakan secara luas oleh para pendidik dan peserta didik di seluruh Indonesia.Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen PendidikanNasional tersebut, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopioleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harusmemenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaranini akan lebih mudah diakses sehingga peserta didik dan pendidik di seluruh Indonesia maupunsekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Selanjutnya, kepada para pesertadidik kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadaribahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kamiharapkan.Jakarta, 25 Februari 2008Kata Sambutaniii
  4. 4. vPanduan BelajarBuku ini disusun berdasarkan Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar kurikulum, terdiri atas 3 bab, yaituProgram Linear, Matriks, serta Barisan dan Deret. Materi pembelajaran disajikan secara logis, sistematis, danterstruktur dengan bahasa yang mudah dimengerti. Untuk mendukung proses pembelajaran, materi dikemassedemikian rupa sehingga memperhatikan aspek penalaran, pemecahan masalah, keterkaitan, komunikasi, aplikasi,dan pengayaan. Buku ini juga ditata dengan format yang menarik, dilengkapi dengan foto dan ilustrasi sehinggamemperjelas konsep yang sedang dipelajari.Sebaiknya anda mengenal bagian-bagian buku ini terlebih dahulu, yaitu sebagai berikut.1. Judul Bab2. Judul-Judul Subbab3. Gambar Pembuka Bab4. Pengantar Pembelajaran5. Kuis6. Materi Pembelajaran7. Gambar atau Ilustrasi8. Contoh Soal dan Jawabannya9. Kegiatan10. Tugas11. Tes Pemahaman Subbab12. Tes Pemahaman Bab13. Evaluasi Semester14. Evaluasi Akhir Tahun15. Pembahasan Soal16. Cobalah17. Rangkuman18. Peta Konsep19. Refleksi Akhir Bab20. Kunci JawabanSetelah mengenal bagian-bagian buku ini, perhatikanlah petunjuk mempelajari buku agar siswamudah memahami materi pembelajaran yang terdapat di dalamnya.1. Bacalah Pengantar Pembelajaran setiap bab untuk memberikan gambaran utuh tentang materi yang akandipelajari dan kegunaannya dalam kehidupan.2. Cobalah kerjakan soal-soal Kuis yang terdapat pada setiap bab. Siswa dapat mengerjakan soal-soal tersebutatau melanjutkan ke materi.3. Pahamilah setiap konsep matematika yang diberikan dengan mengamati dan mendiskusikan Contoh Soaldan jawaban yang diberikan.4. Lakukanlah setiap Tugas dan Kegiatan yang terdapat dalam isi bab untuk memperluas wawasan sertamembangun dan memperkuat konsep.5. Evaluasilah hasil belajar siswa dengan mengerjakan soal-soal Tes Pemahaman Subbab, Tes Pemahaman Bab,Evaluasi Semester, dan Evaluasi Akhir Tahun. Jika ada kesulitan, baca dan pahami kembali materi terkaityang telah dipelajari sampai siswa dapat memecahkan soal-soal itu. Untuk mengecek apakah jawabansudah benar atau belum, Siswa dapat merujuk ke Kunci Jawaban soal-soal terpilih.6. Pelajarilah soal-soal nonrutin dan jawabannya yang terdapat dalam sub-babPembahasan Soal yang bergunauntuk memperkaya teknik-teknik identifikasi masalah dan pemecahannya dengan menggunakan konsep-konsepyang telah dipelajari. Lanjutkan dengan mengerjakan soal-soal pada sub-bab Cobalah untuk menguji7. Untuk mengetahui sejauh mana penguasaan siswa terhadap materi dalam suatu bab, isilah Refleksi AkhirBab pada tiap-tiap akhir bab dengan jujur. Ikuti rekomendasi hasil Uji Ketuntasan Belajar ini sehingga siswamemiliki kompetensi terkait dengan materi yang telah dipelajari.Selamat Belajar.5679 108123417181112131419201516kepiawaian Siswa dalam memecahkan masalah.
  5. 5. viPrakataMatematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan sains dan teknologi, serta berperanbesar dalam mengembangkan daya pikir manusia. Oleh karena itu, pembelajaran matematika di sekolahmerupakan salah satu pilar penting dalam meningkatkan kualitas sumber daya manusia. Keberhasilan prosespembelajaran matematika tentu saja bergantung pada banyak faktor, di antaranya ketersediaan buku-bukubuku-buku pelajaran matematika yang disusun berdasarkan Standar Kompetensi dan Kompetensi DasarKurikulum.Buku ini dimaksudkan sebagai panduan belajar siswa dalam mempelajari matematika di sekolah untukmendukung keberhasilan proses belajar mengajar. Tentu saja buku ini akan memperkaya perbendaharaanbuku-buku matematika yang sudah ada. Dengan demikian, penulis berharap buku ini dapat menjadipenunjang yang mendukung tercapainya tujuan umum pendidikan dan pembelajaran matematika.Dalam penulisannya, buku ini mengacu pada dokumen Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasarkurikulum yang berlaku, serta buku-buku referensi tentang matematika, di samping dari pengalamanmengajar di kelas. Sebagai sebuah karya penulisan, tentu saja buku ini tidak lepas dari keterbatasan dankekurangan. Karenanya, penulis mengharapkan kritik yang membangun demi perbaikan dan penyem-purnaan buku ini.Tidak lupa, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu, baiklangsung maupun tidak langsung dalam penulisan buku ini.Bandung, Oktober 2007Penulis
  6. 6. viiDaftar IsiKata Sambutan ..................................................................................................... iiiPanduan Belajar ................................................................................................... vPrakata ................................................................................................................ viDaftar isi ............................................................................................................. viiSemester 1Bab 1 Program Linear............................................................ 1A. Sistem Pertidaksamaan Linear................................................................. 2B. Program Linear....................................................................................... 11Rangkuman ................................................................................................. 24Peta Konsep ................................................................................................. 25Tes Pemahaman Bab 1 ................................................................................. 26Refleksi Akhir Bab ....................................................................................... 30Bab 2 Matriks....................................................................... 31A. Definisi dan Jenis-jenis Matriks .............................................................. 32B. Transpos dan Kesamaan Dua Matriks..................................................... 37C. Operasi Aljabar pada Matriks ................................................................. 40D. Determinan dan Invers Matriks.............................................................. 49E. Penggunaan Matriks untuk MenyelesaikanSistem Persamaan Linear Dua Variabel ................................................... 57Rangkuman ................................................................................................. 65Peta Konsep ................................................................................................. 65Tes Pemahaman Bab 2 ................................................................................. 66Refleksi Akhir Bab ....................................................................................... 68Evaluasi Semester 1 .............................................................................................. 69
  7. 7. viiiSemester 2Bab 3 Barisan dan Deret........................................................ 73A. Barisan dan Deret Aritmetika ................................................................. 74B. Barisan dan Deret Geometri................................................................... 82Rangkuman ................................................................................................. 90Peta Konsep ................................................................................................. 91Tes Pemahaman Bab 3 ................................................................................. 92Refleksi Akhir Bab ....................................................................................... 94Evaluasi Semester 2 .............................................................................................. 95Evaluasi Akhir Tahun ........................................................................................... 97Kunci Jawaban ..................................................................................................... 100Daftar Pustaka...................................................................................................... 106
  8. 8. A. Sistem PertidaksamaanLinearB. Program LinearProgram linear merupakan salah satu bidang matematika terapanyang banyak digunakan untuk memecahkan permasalahan dalamkehidupan sehari-hari. Misalnya, program linear digunakan untukmembantu pemimpin perusahaan dalam mengambil keputusanmanajerial.Permasalahan yang berhubungan dengan program linearselalu berhubungan dengan proses mengoptimalkan fungsiobjektif (fungsi tujuan) berdasarkan kondisi-kondisi yangmembatasi. Dalam hal ini, optimalisasi dapat berupa memak-simumkan atau meminimumkan fungsi tujuan.Salah satu contoh penggunaan program linear adalah untukmenyelesaikan permasalahan berikut. Misalnya, membuat medalibagi juara I, II, dan III pada pertandingan bulu tangkis,diperlukan campuran emas dan perak masing-masing denganperbandingan 2 : 1, 1 : 1, dan 1 : 2. Jika setiap juara me-merlukan paling sedikit 20 medali untuk juara I, 15 medaliuntuk juara II, dan 10 medali untuk juara III, tentukanmodel matematika dari masalah program linear tersebut.Program Linear1BabBab11 Sumber: www.medali.com
  9. 9. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa2A.Sistem Pertidaksamaan Linear1. Pertidaksamaan Linear Dua VariabelMasih ingatkah Anda dengan konsep pertidaksamaan linear? Di Kelas X,konsep tersebut telah Anda pelajari tentang bentuk dan penyelesaiannya.Di Kelas X pun Anda telah mempelajari persamaan linear dua variabelbaik bentuk-bentuknya maupun penyelesaiannya. Pada subbab ini akandipelajari pertidaksamaan linear dua variabel. dan suatu keuntunganapabila Anda pernah memahami konsep pertidaksamaan linear danpersamaan linear dua variabel.Bentuk pertidaksamaan linear dua variabel sama dengan bentukpertidaksamaan linear satu variabel, pertidaksamaan linear dua variabelmemiliki dua variabel (peubah). Adapun pertidaksamaan linear satuvariabel hanya memiliki satu peubah. Begitu pula dengan persamaanlinearduavariabelsamadenganpertidaksamaanlinearduavariabel,hanyasajaberbedadalamtandaketidaksamaannya.Padapersamaanlinearduavariabel,digunakan tanda hubung “ = ” sedangkan pertidaksamaan linear duavariabel digunakan tanda hubung “ >, <, ≥, atau ≤ “.Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel sama denganbentuk umum persamaan linear dua variabel. Seperti yang sudahdisinggung sebelumnya, perbedaannya terletak pada tanda ketidaksamaan.Pada persamaan digunakan tanda “ = ”, sedangkan pada pertidaksamaandigunakan tanda “ >, <, ≥, atau ≤ “. Berikut bentuk umum daripertidaksamaan linear dua variabel.ax + by > cax + by < cax + by ≥ cax + by ≤ cDengan :a = koefisien dari x, a ≠ 0b = koefisien dari y, b ≠ 0c = konstantaa, b, dan c anggota bilangan real.Definisi Pertidaksamaan Linear Dua VariabelPertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka matematikayang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satudan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaanyang dimaksud adalah >, <, ≥, atau ≤.DefinisiDefinisiInfoInfoMatematikaMatematikaPenggunaan simbol ≥ dan ≤,telah ada sejak tahun 1631,setelah karya Artist AnalyticaePraxis. Meskipun Oughtredtelah mengembangkanbeberapa variasi simbolpertidaksamaan pada abadke–18, namun simbol yangpaling umum digunakanadalah simbol yang dibuatHarrior.Sumber: Ensiklopedi MatematikaCobalah kerjakan soal-soal berikut untuk mengetahui pemahamanAnda mengenai bab ini.1. Tentukandaerahhimpunanpenyelesaian sistempertidaksamaanberikut.2x + y ≤ 40; x + 2y ≤ 40; x ≥ 0; y ≥ 02. Tentukan nilai maksimum P = x + y dan Q = 5x + y, pada sistempertidaksamaan berikut. x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 12 dan 2x + y ≤ 12KuisKuis
  10. 10. Program Linear 3TokohTokohMatematikaMatematikaAnda telah mengenal dan mengetahui definisi serta bentuk umumdari suatu pertidaksamaan linear dua variabel. Sekarang, Anda tentu dapatmembedakan yang manakah di antara pertidaksamaan-pertidaksamaanberikut yang merupakan pertidaksamaan linear dua variabel.1. 2x < 15 4. x2+ 2y ≤ 52. 2x + 3y ≥ 6 5. –x ≥ y + 13. xy + x > 3Manakah di antara pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut yangmerupakan pertidaksamaan linear dua variabel? Dari ke lima nomorpertidaksamaan tersebut, yang merupakan pertidaksamaan linear duavariabel adalah pertidaksamaan nomor 2 dan 5. Pertidaksamaan nomor1, merupakan pertidaksamaan linear satu variabel. Pertidaksamaannomor 3 bukanlah pertidaksamaan linear dua variabel karena padapertidaksamaan tersebut memuat perkalian variabel. Pertidaksamaannomor 4 juga bukan pertidaksamaan linear dua variabel karena adavariabel yang derajatnya lebih dari satu.Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel berupapasangan terurut (a, b) yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel.Semua penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel disatukandalam suatu himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian dari suatupertidaksamaan linear dua variabel biasanya disajikan dalam bentuk grafikpada bidang koordinat cartesius.Langkah-langkah yang harus diambil untuk menggambarkan grafikpenyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel, hampir sama denganlangkah-langkah dalam menggambarkan grafik persamaan linear duavariabel.Gambarlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan3x + 4y ≤12,x, y ŒR.Jawab:3x + 4y ≤12,ganti tanda ketidaksamaan sehingga diperoleh garis3x + 4y =12.• Titik potong dengan sumbu x, y = 03x + 4(0) = 12 ¤3x = 12 ¤x = 4Berikut ini langkah-langkah mencari daerah penyelesaian dari.lebairavaudraenilnaamaskaditrepa. Ganti tanda ketidaksamaan >, <, ≥, atau ≤ dengan tanda “ = “.b. Tentukan titik potong koordinat cartesius dari persamaanlinear dua variabel dengan kedua sumbu.• Titik potong dengan sumbu x, jika y = 0 diapit titik (x,0)• Titik potong dengan sumbu y, jika x = 0 diapit titik (0,y)c. Gambarkan grafiknya berupa garis yang menghubungkan titik(x,0) dengan titik (0,y). Jika pertidaksamaan memuat > atau <,sutup-sutupsiragnagnedtubesretkifarghalnakrabmag .d. Gunakanlah sebuah titik uji untuk menguji daerah penyelesaianpertidaksamaan.e. Berikanlah arsiran pada daerah yang memenuhi himpunan.naamaskaditrepnaiaseleynepContoh Soal 1.1George Bernard Dantzig(1914 - 2005)George Bernard Dantzigmendapat gelar Ph.D.(Philosopy Doctor) dariUniversitas California. Padatahun 1947 ia bekerja dibagian perencanaan AngkatanUdara Amerika Serikat.Semua orang mengetahuibahwa sangat sulitmengokordinasikan persediaan,peralatan dan prajurit secaraefisien. Akan tetapi, Dantigberhasil memformulasikanAngkata Udara Amerika Serikatsebagai masalah programlinear. Masalah yang dihadapimemuat beribu variabel yangsulit dipecahkan dan Dantzigberhasil mengkoordinasikanpersediaan, peralatan, danprajurit secara efisien.Sumber: Finite Mathematic and ItsApplication,1998
  11. 11. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa41 32 41230(0, 3)(4, 0)yx3x + 4y =12• Titik potong dengan sumbu y, x = 03(0) + 4y = 12 ¤3x = 12 ¤y = 3• Titik potong dengan sumbu koordinat di (4, 0)dan (0, 3). Diperoleh grafik 3x + 4y =12.Ambil titik uji (0, 0) untuk mendapatkan daerah penyelesaian daripertidaksamaan 3x + 4y ≤12, diperoleh 3(0) + 4(0) ≤ 120 ≤ 12 (Benar)Dengan demikian, titik (0, 0) memenuhi pertidaksamaan3x + 4y ≤ 12Himpunan penyelesaian pertidaksamaanadalah daerah di bawah garis batas(yang diarsir).1 32 41230(0, 3)(4, 0)yx3x + 4y ≤ 12Daerah himpunanpenyelesaianGambarlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan 5x + 3y >15.Jawab:Ganti tanda > pada5x + 3y >15menjadi tanda “ = “ sehingga diperoleh5x + 3y =15.Titik potong dengan sumbu x , y = 05x + 3 (0) = 15 ¤5x = 15 ¤x = 3Titik potong dengan sumbu y, x = 05 (0) + 3y = 15 ¤ 3y = 15 ¤y = 5sehingga diperoleh titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-y, masing-masing di titik (3, 0) dan (0, 5). Dengan demikian, grafiknya adalahContoh Soal 1.2(0,5)(3,0)11 2 323450yx5x + 3y = 15Gambar 1.1: Grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x + 4y≤ 12Gambar 1.2 : Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 5x + 3y =15(0, 3)
  12. 12. Program Linear 511 2 323450yx5x + 3y = 15Daerah himpunanpenyelesaian5x + 3y > 15Ambil titik uji (0, 0) untuk menentukan daerah penyelesaian dari5x + 3y >155 (0) + 3 (0) > 150 > 15 tidak memenuhiOleh karena (0, 0) tidak memenuhi 5x + 3y > 15 maka himpunanpenyelesaiannya berada di sebelah kanan kurva. Kurva pertidaksamaantersebut digambarkan dengan garis putus-putus.2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua VariabelJika Anda memiliki dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel, danpertidaksamaan tersebut saling berkaitan maka terbentuklah suatu sistem.Sistem inilah yang dinamakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel.Buatlah dua buah pertidaksamaan linear dua variabel. Kemudian, tentukandaerah himpunan penyelesaiannya.Mintalah teman Anda untuk memeriksa hasil pekerjaan Anda.TugasTugas 1.11.1Definisi Sistem Pertidaksamaan Linear Dua VariabelSistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem yang terdiriatas dua atau lebih pertidaksamaan dan setiap pertidaksamaan tersebutmempunyai dua variabel.DefinisiDefinisiLangkah-langkah menentukan daerah) penyelesaian dari sistempertidaksamaan linear dua variabel sebagai berikut.a. Gambarkan setiap garis dari setiap pertidaksamaan linear duavariabel yang diberikan dalam sistem pertidaksamaan linear duavariabel.b. Gunakanlah satu titik uji untuk menentukan daerah yangmemenuhi setiap pertidaksamaan linear dua variabel. Gunakanarsiran yang berbeda untuk setiap daerah yang memenuhipertidaksamaan yang berbeda.c. Tentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear,yaitu daerah yang merupakan irisan dari daerah yang memenuhipertidaksamaan linear dua variabel pada langkah b.Gambar 1.3 : Daerah himpunan penyelesaian 5x + 3y > 15Supaya Anda memahami langkah-langkah dalam menentukan daerahpenyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel, pelajaricontoh soal berikut.Dalam himpunan pnyelesaianpertidaksamaan x ≥ 1, y ≥ 2,x + y ≤ 6, dan 2x + 3y ≤ 15,nilai minimum dari 3x + 4ysama dengan ....a. 9 d. 12b. 10 e. 13c. 11Jawab:F(x, y) minimum pada x terkecildan y terkecil yaitu pada titikA(1, 2)F(x, y) = 3x + 4yF(1, 2) = 3(1) + 4(2) = 11Jawaban: cSumber: UMPTN, 1998Pembahasan SoalPembahasan Soal(1,2)(3, 3)(4, 2)21xy0x + y = 6 2x+3y = 15
  13. 13. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa6Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut.5x + 4y ≤ 207x + 2y ≤14x ≥ 0y ≥0Jawab:Gambarkan setiap garis batas dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel,yaitu 5x + 4y = 20, 7x + 2y = 14, x = 0 (sumbu y), y = 0 (sumbu x).Gunakan titik uji (0, 0) pada setiap pertidaksamaan linear dua variabelyang diberikan• 5x + 4y ≤ 205(0) + 4(0) ≤ 200 ≤ 20 (memenuhi)Daerah yang memenuhi berada di sebelah kiri garis5x + 4y = 20• 7x + 2y ≤ 147(0) + 2(0) ≤ 140 ≤ 14 (memenuhi)Daerah yang memenuhi berada di sebelah kiri garis7x + 2y = 14• x ≥ 0 dan y ≥ 0Daerah yang memenuhi berada di kuadran I.Dengan pola yang berbeda, arsirlah (raster) setiap daerah yangmemenuhi setiap pertidaksamaan linear dua variabel tersebut, sepertiditunjukkan pada gambar berikut.Contoh Soal 1.31 2 3 4 5 6 712345670yx5x + 4y = 207x + 2y = 141 3 21230yx5x + 4y = 2045674 5 6 7Daerah yang memenuhisistem pertidaksamaanlinear dua variabel7x + 2y = 14Gambar 1.4 : Memperlihatkan5x + 4y = 20 dan 7x + 2y = 14Gambar 1.5 : MemperlihatkanDaerah hitam yang memenuhipertidaksamaan lineardua variabel5x + 4y ≤ 207x + 2y ≤14x ≥ 0y ≥ 0Gambar 1.5 : Bentuk Pertidaksamaan Linear Dua VariabelGambar 1.4 : Himpunan penyelesaian 5x + 4y = 20, 7x + 2y = 14
  14. 14. Program Linear 7Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut.x + 2y ≥ 63x + 2y ≤18x ≥ 0y ≥ 0Jawab:Lukis keempat garis batas dari sistem pertidaksamaan linear tersebut,yaitu x + 2y = 6, 3x + 2y = 18, x = 0 (sumbu y), dan y = 0 (sumbu x),seperti pada gambar di bawah. Dengan menggunakan titik uji (0, 0),diperoleh hasil akhir berupa daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaanlinear dua variabel yang diberikan seperti pada Gambar 1.6, yaitu daerahyang berwarna hitam.1 2 3 4 5 6 71234567890yxContoh Soal 1.4Daerah yang memenuhisistem pertidaksamaanlinear dua variabelx + 2y = 63x + 2y = 18Dalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel, Siswa tidak hanyadiminta untuk mencari daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaanlinear dua variabel yang diberikan. Kadang-kadang, siswa juga dimintauntuk membuat persamaan atau pertidaksamaan linear dari yangdiberikan. Tentunya, Anda harus mengingat kembali tentang persamaangaris yang telah dipelajari.Jika garis batas yang akan diberikan pada daerah penyelesaian sistempertidaksamaan linear memotong sumbu koordinat-x dan koordinat-y dititik (b, 0) dan (0, a) maka persamaan garisnya adalahJika garis batas diberikan pada daerah penyelesaian sistempertidaksamaan linear melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) maka persamaangarisnya adalahxbya+ =y1 atau ax + by = aby – y1= m (x – x1) dengan myxy yx x= =DyyDxx2 1y2 1xGambar 1.6 :Daerah abu-abu tua yangmemenuhi pertidaksamaan linearx + 2y = 6, 3 x + 2y = 18ataumemperlihatkany yy xx xx x=12 1x12 1xTentukan sistem pertidaksamaandaerah linier jika daerah yangmerupakanhimpunanpenyelesaiandari pertidaksamaan yang dicaridiarsir pada gambar di atas.Sumber: Ebtanas, 1997Cobalahx(1)4–2(3)3 (2)y
  15. 15. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa8Tentukan persamaan garis dari gambar berikut.a. b.Jawab:a. Berdasarkan gambar tersebut, diketahui bahwa garis memotong sumbu-xdi titik (5, 0) dan memotong sumbu-y di titik (0, 3) sehingga persamaangarisnya adalahax + by = ab a = 3 dan b = 5maka 3x + 5y = 5 × 33x + 5y = 15b. Berdasarkan gambar tersebut, diketahui bahwa garis melalui titik(0, –3) dan titik (–4, –1) sehingga persamaan garisnya adalahy yy xx xx x=12 1x12 1xdengan x1= 0, x2= –4, y1= –3, dan y2= –1makay x- ( )-- ( )=--1- (-04 0-y x+-=-31 3+ 4–4(y + 3) = 2x–2y – 6 = xx + 2y = –6Contoh Soal 1.5x350yyx(–4, –1)–3Tentukan pertidaksamaan yang memenuhi daerah penyelesaian berikut.Jawab:Berdasarkan gambar, diketahui garis batas tersebut memotong sumbu-xdi titik (–3, 0) dan memotong sumbu y di titik (0, 5) sehingga persamaangarisnya adalahContoh Soal 1.60–1–2–3–412345yxTentukan sistempertidaksamaan yang memenuhidaerah penyelesaian yangdiarsir pada gambar di atas.Sumber: Ebtanas, 1997CobalahCobalahx(2)20(1)4y2
  16. 16. Program Linear 9Daerah yang diarsir pada gambar berikut merupakan grafik himpunanpenyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan. Tentukan sistempertidaksamaan yang dimaksud.Jawab:Untuk mencari persamaan garisnya (sebelum dicari pertidaksamaannya),Anda dapat mempergunakan rumus yang pertama ataupun kedua karenakedua garis memotong sumbu-x dan sumbu-y.Gunakan rumusy yy yx xx x=12 1y12 1xatau y yy yx x=y ( )x x12 1y2 1x• Garis I melalui titik (2, 0) dan (0, 2) maka persamaan garisnyay ( )x -02 0-0 2-y =22-( )2-y = –1 (x –2)y = –x + 2x + y = 2 ...(1)• Garis II melalui titik (4, 0) dan (0, 2) maka persamaan garisnyay ( )x -02 0-0 4-y =24-( )4-y = - ( )-12y = - +122x122x y+ =y atau x + 2y = 4 ...(2)Contoh Soal 1.7y(0, 2)0x(4, 0)(2, 0)I IIax + by = ab dengan a = 5 dan b = –3maka 5x + (–3y) = 5 × (–3)5x – 3y = –15Untuk menentukan tanda pertidaksamaannya, gunakan titik uji yangterdapat pada daerah yang diarsir. Ambil titik uji (0, 0).Titik uji (0, 0) terhadap garis 5x – 3y = –155x – 3y ... –155 (0) – 3 (0) ... –150 > –15 (memenuhi)Garis 5x – 3y = –15. Jika digambarkan secara utuh maka pertidaksamaanyang memenuhi daerah penyelesaian tersebut adalah 5x – 3y ≥ –15Pada gambar tersebutyang merupakan himpunanpenyelesaian sistempertidaksamaan x +2 y ≥ 6,4x + 5y ≤ 20, dan 2x + y ≥ 6,adalah daerah ...Sumber: Ebtanas, 1998CobalahCobalahxy3IVVIIIIII(1)(2)(3)453 5 6
  17. 17. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa10Gunakan titik uji yang terdapat pada daerah penyelesaian. Ambil titik uji(3, 0).• Titik uji (3, 0) terhadap garis I (persamaan (1))x + y ... 23 + 0 ... 23 > 2Jadi, pertidaksamaan linear dua variabelnya adalah x + y ≥ 2• Titik uji (3, 0) terhadap garis II (persamaan(2))x + 2y ... 43 + 2 (0) ... 43 < 4Jadi, pertidaksamaan linear dua variabelnya adalah x + 2y ≤ 4.Oleh karena daerah penyelesaian pada gambar tersebut berada dikuadran I maka daerah penyelesaian tersebut memenuhi pertidaksamaanx ≥ 0 dan y ≥ 0. Sistem pertidaksamaan linear dari daerah penyelesaianpada gambar tersebut adalahx + y ≥ 2x + 2y ≤ 4x ≥ 0y ≥ 01. Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut pada bidang koordinatcartesius.a. x + 3y ≥ 6 e. 12x – 5y ≤ 60b. x + 4y ≤ 8 f. –4 ≤ x ≤ 0c. 2x – 3y ≥ 8 g. 3x + 4x ≥ 1.200d. 6x – 5y < 30 h. –2x – 3y < –6.0002. Tentukandaerahpenyelesaiansistempertidaksamaanlinear berikut ini pada bidang koordinat cartesius.a. 2x + y ≤ 6 d. 4x + 4y ≥ 16x + 3y ≥ 9 3x + 5y ≥ 15x ≥ 0 7x + 5y ≤ 35y ≥ 0 x ≥ 0y ≥ 0b. x + 2y ≤ 12 e. 4x + 4y ≥ 162x + y ≤ 12 3x + 4y ≤ 24x ≥ 0 7x + 5y ≤ 35y ≥ 0 x ≥ 0y ≥ 0c. x – 4y ≤ 8 f. 2x – 3y ≤ 123x + 4y ≤ 24 x + 3y ≥ 6x ≥ 0 0 ≤ x ≤ 2y ≥ 0 y ≥ 03. Tentukan sistem pertidaksamaan linear untukdaerah yang diarsir pada bidang koordinat cartesiusberikut ini.a.b.c.x7y43–1y–2–1–54 6x35yx1Tes PemahamanTes Pemahaman 1.1Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.
  18. 18. Program Linear 11d.e.4. Buatlah 2 contoh sistem pertidaksamaan linear duavariabel.Kemudian,tentukandaerahpenyelesaiannyapada bidang koordinat cartesius.5. Buatlah 2 contoh daerah penyelesaian sistem per-tidaksamaan linear dua variabel (pada koordinatcartesius). Kemudian, tentukanlah sistem per-tidaksamaan linear dua variabel yang memenuhidaerah penyelesaian tersebut.6. Seorang pemborong pengecatan rumah mempunyaipersediaan 80 kaleng cat berwarna putih dan 60kaleng cat berwarna abu-abu. Pemborong tersebutmendapat tawaran untuk mengecat ruang tamu danruang tidur. Setelah dihitung, ternyata 1 ruang tamumenghabiskan 2 kaleng cat putih dan 1 kaleng catabu-abu, sedangkan 1 ruang tidur menghabiskan1 kaleng cat putih dan 1 kaleng cat abu-abu. Jikabanyak ruang tamu x buah dan banyaknya ruangtidur y buah, dapatkah Anda menentukan sistempertidaksamaan dari permasalahan tersebut?2yx4121–2(–2, 2)(1, 4)(0, 0) (4, 0)B. Program LinearPada subbab sebelumnya, Anda telah mempelajari mengenai pertidaksamaanlinear dua variabel dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Konsep yangtelah Anda pelajari tersebut, akan dipergunakan kembali dalam memecahkanmasalah program linear yang akan dipelajari pada subbab ini.Program linear merupakan salah satu bagian dari matematika terapanyang dapat digunakan dalam memecahkan berbagai macam persoalanyang timbul dalam kehidupan sehari-hari. Sebelum Anda belajar lebih jauhmengenai program linear, terlebih dahulu Anda akan diperkenalkan padamodel matematika berikut.1. Model MatematikaPermasalahan yang Anda hadapi dalam kehidupan sehari-hari adalahmasalah nyata, bukan masalah yang langsung berbentuk angkaataupun hitungan-hitungan matematika. Masalah nyata yang akan Andaselesaikan ataupun dicari solusinya, dapat Anda temukan dalam berbagaibidang. Misalnya, dalam menjalani proses produksi pada suatu perusahaan,pastilah tersedia bahan baku, tenaga kerja, mesin, dan sarana produksilainnya. Seorang pengusaha harus memperhitungkan semua faktor yangada supaya perusahaannya dapat meminimumkan biaya produksi danmemaksimumkan keuntungan yang diperoleh.Program linear dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah tersebut. Akan tetapi, masalah-masalah tersebut terlebih dahuluharus diterjemahkan ke dalam bahasa matematika sampai ke tingkat yangpaling sederhana. Proses menterjemahkan masalah nyata ke dalam bahasamatematika dinamakan pemodelan matematika. Bagan proses pemodelanmatematika dapat digambarkan sebagai berikut.
  19. 19. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa12Supaya memahami proses pemodelan matematika tersebut, pelajarilahuraian berikut.Misalkan seorang agen sepeda ingin membeli paling banyak 25buah sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda model biasadengan harga Rp1.200.000,00/buah dan sepeda model sport denganharga Rp1.600.000,00/buah. Ia mempunyai modal Rp33.600.000,00. Iaberharap memperoleh untung Rp200.000,00 untuk setiap sepeda biasadan Rp240.000,00 untuk setiap sepeda sport. Jika Anda diminta untukmemodelkan masalah ini, dengan harapan agen sepeda tersebut men-dapatkan keuntungan maksimum, dapatkah Anda membantunya?Untuk memodelkan permasalahan tersebut, langkah pertama dimulaidengan melakukan pemisalan. Pada permasalahan tersebut, ada 2 modelsepeda yang ingin dibeli oleh agen, yaitu sepeda biasa dan sepeda sport.Misalkanbanyaknyasepedabiasayangdibeliadalahxbuahdanbanyaknyasepeda sport yang dibeli adalah y buah. Oleh karena keuntungan yangdiharapkan dari sepeda biasa dan sport berturut-turut adalah Rp200.000,00dan Rp240.000,00 maka keuntungan yang mungkin diperoleh agen tersebutditentukan oleh z = f(x, y) = 200.000x + 240.000yFungsi z = f(x, y) tersebut dinamakan sebagai fungsi objektif (fungsitujuan). Dari permasalahan yang ada, diinginkan untuk memaksimumkankeuntungan yang didasarkan pada kondisi-kondisi yang ada (kendala).Setiapkendalayangada,bentuknyaberupapertidaksamaan.Fungsikendaladari permasalahan agen sepeda tersebut ditentukan sebagai berikut:• Banyaknya sepeda yang akan dibeli oleh agen tersebutx + y ≤ 25• Besarnya modal yang dimiliki agen sepeda1.200.000x + 1.600.000y ≤ 33.600.00015x + 20y ≤ 42• Banyaknya sepeda yang dibeli tentu tidak mungkin negatif sehingganilai x ≥ 0 dan y ≥ 0.Dengan demikian, terbentuklah model matematika berikut.z = f(x, y) = 200.00x + 240.000yTujuannya memaksimumkan fungsi tujuan yang didasarkan pada kondisix + y ≤ 2515x + 20y ≤ 42x ≥ 0y ≥ 0dicariMasalah NyataditerjemahkandibuatModel MatematikaProses Pemodelan MatematikaBahasa MatematikaSolusi dari ModelMatematikadiinterpretasikan untukmemecahkanTanah seluas 10.000 m2akandibangun rumah tipe A dantipe B. Untuk rumah tipe Adiperlukan 100 m2dan tipe Bseluas 75 m2, rumah yang akandibangun paling banyak 125unit. Keuntungan rumah tipeA Rp 6.000.000,00/unit dantipe B Rp 4.000.000,00/unit.Keuntungan maksimum yangdapat diperoleh dari penjualanrumah tersebut adalah ....a. Rp550.000.000,00b. Rp600.000.000,00c. Rp700.000.000,00d. Rp800.000.000,00e. Rp900.000.000,00Jawab:DiketahuiTipe A = x unit (luas tanah100 m2, keuntunganRp600.000.000,00)Tipe B = y unit (luas tanah75 m2, keuntunganRp400.000.000,00)Persediaan rumah 125 unit,luas tanahnya 10.000 m2.Model matematikax ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 125,100x + 75y ≤ 10.000Dengan bentuk objektif adalah(6.000,00x + 4.000.000y)Jadi, keuntungan maksimumhasil penjualan rumah tersebutsebesar Rp600.000.000,00.Jawaban: bSumber: UAN, 2005Pembahasan SoalPembahasan SoalTitikSudut(0, 0)(100, 0)(25, 100)(0, 125)0600.000.000550.000.000500.000.000f(x, y) =6.000.000x + 4.000.000y
  20. 20. Program Linear 13CobalahCobalahModel matematika dari setiap permasalahan program linearsecara umum terdiri atas 2 komponen, yaitu:1. Fungsi tujuan z = f(x, y) = ax + by dan2. Fungsi kendala (berupa pertidaksamaan linear)Suatu lahan parkir memiliki luas 800 m2dan hanya mampu menampung64 bus dan mobil. Sebuah mobil menghabiskan tempat 6 m2dan bus 24 m2.Biaya parkir Rp1.500,00/mobil dan Rp2.500,00/bus. Pemilik lahan parkirmengharapkan penghasilan yang maksimum.Tentukan model matematikadari permasalahan tersebut.Jawab:Permasalahan tersebut dapat disusun dalam bentuk tabel seperti berikut.• Keuntungan yang diharapkan, dipenuhi oleh fungsi tujuan berikut.z = f(x, y) = 1.500x + 2.500y• Banyaknya mobil dan bus yang dapat ditampung di lahan parkirtersebut memenuhi pertidaksamaan x + y ≤ 64• Luas lahan yang dapat dipakai untuk menampung mobil dan busmemenuhi pertidaksamaan 6x + 24y ≤ 800• Oleh karena x dan y berturut-turut menyatakan banyaknya mobil danbus, maka x ≥ 0 dan y ≥ 0.Jadi, model matematika dari permasalahan tersebut adalahfungsi tujuan z = f(x, y) = 1.500x + 2.500ydengan fungsi kendalax + y ≤ 646x + 24y ≤ 800x ≥ 0y ≥ 0Contoh Soal 1.8Banyaknya kendaraanLahan yang dipakaiPenghasilanx y61.500 2.500 –24 80064Mobil Bus MaksimumSeorangpedagangmenjual2jenisbuah,yaitusemangkadanmelon.Tempatnyahanya mampu menampung buah sebanyak 60 kg. Pedagang itu mempunyaimodal Rp140.000,00. Harga beli semangka Rp2.500,00/kg dan harga belimelon Rp2.000/kg. Keuntungan yang diperoleh dari penjual semangka Rp1.500,00/kg dan melon Rp1.250,00/kg. Tentukan model matematika daripermasalahan ini.Jawab:Permasalahan tersebut dapat disusun dalam bentuk tabel sepertiberikut.Contoh Soal 1.9Banyaknya buah (kg)PembelianKeuntunganx y2.5001.500 1.250 -2.000 140.00060Semangka Melon MaksimumUntuk membuat barang Adiperlukan 6 jam pada mesinI dan 4 jam pada mesin II.Adapun untuk membuatbarang jenis B, memerlukan 2jam pada mesin I dan 8 jampada mesin II. Kedua mesintersebut dioperasikan setiapharinya masing-masing tidaklebih dari 18 jam. Setiap haridibuat x buah barang A dany buah barang B. Tentukanmodel matematika dari masalahtersebut.Sumber: Sipenmaru, 1985Gambar 1.7Penjual semangka dan melonSumber: www.balipost.com
  21. 21. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa14• Keuntungan yang diharapkan, dipenuhi oleh fungsi tujuan berikut.z = f(x, y) = 1.500x + 1.250y• Banyaknya buah semangka dan melon yang dapat ditampung di tempatpedagang tersebut memenuhi pertidaksamaan berikut.x + y ≤ 60• Banyaknya buah semangka dan melon yang dapat dibeli oleh pedagangmemenuhi pertidaksamaan berikut.2.500x + 2.000y ≤ 140.000• Oleh karena x dan y berturut-turut menyatakan banyaknya buahsemangka dan melon maka x ≥ 0 dan y ≥ 0.Jadi, model matematika dari permasalahan tersebut adalahfungsi tujuan z = f(x, y) = 1.500x + 1.250ydengan fungsi kendalax + y ≤ 602.500x + 2.000y ≤ 140.000x ≥ 0y ≥ 02. Masalah Program LinearProgram linear akan sangat berguna bagi Anda ketika dihadapkan padabeberapa pilihan dengan kendala-kendala tertentu, yang menuntutAnda untuk mengambil keputusan yang optimum (maksimum atauminimum). Oleh karena itu, permasalahan dalam program linear selaluberhubungan dengan pengoptimalisasian fungsi tujuan berdasarkankendala yang membatasinya.Suatu program linear dua variabel x dan y memiliki satu fungsi tujuanyang dioptimumkan. Bentuk umum dari fungsi tujuan tersebut adalahsebagai berikut.z = f(x, y) = ax + by dengan a, b bilangan real, a ≠ 0 dan b ≠ 0Pada Contoh Soal 1.9 , fungsi tujuan yang ingin dimaksimumkanadalah z = f(x, y) = 1.500x + 1.250y, dan fungsi kendalanya adalahx + y ≤ 602.500x + 2.000y ≤ 140.000x ≥ 0y ≥ 0Tujuan dari permasalahan tersebut adalah menentukan banyaknyabuah semangka dan melon yang harus dibeli/disediakan agar diperolehkeuntungan maksimum.Dalam memaksimumkan suatu fungsi tujuan z = ax + by, Anda perlumenentukan titik-titik (x, y) yang menghasilkan nilai z terbesar. Titik (x, y)yang menghasilkan nilai z terbesar harus memenuhi setiap pertidaksamaanlinear pada fungsi kendala yang diberikan. Hampir sama dengan hal itu,dalam meminimumkan suatu fungsi, Anda perlu menentukan titik-titik(x, y). Namun dalam meminimumkan fungsi tujuan, dicari titik (x, y) yangmenghasilkan nilai z terkecil.Berdasarkan uraian tersebut, diketahui bahwa model matematika yangdiperoleh pada Contoh Soal 1.9 merupakan contoh permasalahan dalamupaya memaksimumkan fungsi tujuan.Dengan demikian, masalah program linearnya sebagai berikut. fungsitujuan z = f(x, y) = 1.500x + 1.250y dengan kendalanya adalahCobalahCobalahSepuluh tahun yang lalu, umurA dua kali umur B. lima tahunkemudian umur A menjadi 112kali umur B.Berapa tahun umur A sekarang?
  22. 22. Program Linear 15Pembahasan SoalPembahasan Soalx + y ≤ 602.500x + 2.000y ≤ 140.000x ≥ 0y ≥ 0Dengan menggunakan konsep sistem pertidaksamaan linear duavariabel, diperoleh daerah penyelesaian seperti pada gambar berikut.0yxx + y = 6060B(56, 0)A(0, 60)70C2.500x + 2.000y = 140.000Selanjutnya, cari koordinat titik C yang merupakan perpotongan antaragaris x + y = 60 dan 2.500x + 2.000y = 140.000.Gunakan metode gabungan eliminasi dan substitusix + y = 60 ˙ × 2.000˙ 2.000x + 2.000y = 120.0002.500x + 2.000y = 14.000 ˙ × 1˙ 2.500x + 2.000y = 140.000–500x = –20.000x = 40Substitusikan nilai x = 40 ke persamaan x + y = 60 diperoleh40 + y = 60y = 60 – 40y = 20Jadi, koordinat titik C adalah (40, 20).Dari permasalahan ini diketahui koordinat titik sudut daerah penyelesaiandari sistem tersebut adalah A(0, 60), B(56, 0), C(40, 20) dan O(0, 0). Olehkarena tujuan dari permasalahan ini adalah ingin memaksimumkan nilai zmaka tentukan dari keempat titik tersebut yang membuat nilai z maksimum,dengan cara menyubstitusikannya ke fungsi z = f(x, y) = 1.500x + 1.250y.• Untuk A (0, 60) makaz = 1.500(0) + 1.250(60)= 75.000• Untuk B (56, 0) makaz = 1.500(56) + 1.250(0)= 84.000• Untuk C (40, 20) makaz = 1.500(40) + 1.250(20)= 85.000• Untuk O (0, 0) makaz = 1.500(0) + 1.250(0)= 0Fungsi z maksimum di titik C (40, 20) dengan z = 85.000.–Jika segilima OPQRS merupakanhimpunan penyelesaianprogram linear maka nilaimaksimum fungsi tujuanx + 3y terletak di titik ....a. O d. Rb. P e. Sc. QJawab:Jadi, nilai maksimum fungsitujuan x + 3y adalah 17 yangterletak pada titik R.Jawaban: dSumber: Proyek Perintis, 1981Titik Sudut(x, y)O(0, 0)P(6, 0)Q(5, 3)R(2, 5)S(0, 3)06 + 3(0) = 65 + 3(3) = 142 + 3(5) = 170 + 3(3) = 9f(x, y) = x + 3yP(6, 0)Q(5, 3)R(2, 5)S(0, 3)0Gambar 1.8Grafik himpunan penyelesaianprogram linearx + y ≤ 602.500x + 2.000y ≤ 140.000x ≥ 0y ≥ 0
  23. 23. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa16Metode yang Anda gunakan pada uraian tersebut dikenal sebagaimetode titik sudut. Secara umum, langkah-langkah dalam menentukannilai optimum masalah program linear dengan fungsi tujuanz = f(x, y) = ax + bymenggunakan metode titik sudut adalah sebagai berikut.1. Buat model matematika dari masalah program linear yang diberikan.2. Gambarkan grafik-grafik dari setiap pertidaksamaan linear dua variabelyang diketahui.3. Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaanlinear dua variabel yang terdapat pada masalah (irisan dari setiappertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan).4. Tentukan titik-titik sudut pada daerah himpunan penyelesaiannya.5. Substitusikan titik-titik sudut tersebut ke dalam fungsi tujuan. Ambilnilai yang paling besar untuk penyelesaian maksimum, atau ambilnilai yang paling kecil untuk penyelesaian minimum. Titik yangmemberikan nilai optimum (maksimum atau minimum) dinamakantitik optimum.Tentukan nilai maksimum f(x, y) = 3x + 4y pada himpunan penyelesaiansistem pertidaksamaan berikut.x + 2y ≤ 104x + 3y ≤ 24x ≥ 0y ≥ 0Jawab:Titik potong x + 2y = 10 dan 4x + 3y = 24 dengan sumbu-x dan sumbu-y• x + 2y = 10 memotong sumbu-x di titik (10, 0)x + 2y = 10 memotong sumbu-y di titik (0, 5)• 4x + 3y = 24 memotong sumbu-x di titik (6, 0)4x + 3y = 24 memotong sumbu-y di titik (0, 8)Grafik dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel besertapenyelesaiannya pada masalah tersebut adalah sebagai berikut.Contoh Soal 1.106 105CBAO80yxx + 2y = 104x + 3y = 24Berdasarkan gambar tersebut, Anda dapat mengetahui setiap titik sudutyang terdapat pada daerah himpunan penyelesaian, yaitu O(0, 0), A(6, 0),B, dan C(0, 5). Oleh karena titik B belum diketahui koordinatnya makaAnda terlebih dahulu harus menentukan koordinat titik B.Gambar 1.9Grafik sistem pertidaksamaanlinear dua variabelx + 2y ≤ 104x + 3y ≤ 24x ≥ 0y ≥ 0Nilai maksimum darif(x, y)= 10x + 20y dengankendala x ≥ 0, y ≥ 0,x + 4y ≤ 120, x + y ≤ 60 adalahSumber: SPMB, 2004CobalahCobalah
  24. 24. Program Linear 17Titik B merupakan perpotongan garis x + 2y = 10 dan 4x + 3y = 24.Selesaikan kedua persamaan tersebut untuk mendapatkan absis dan ordinatdari titik B, diperolehx + 2y = 10 ˙ × 4˙ 4x + 8y = 404x + 3y = 24 ˙ × 1˙ 4x + 3y = 245y = 16y =165Substitusikan nilai y =165ke persamaan x + 2y = 10, diperolehx + 2y = 10x + 2165ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯= 10x +325= 10x = 10 –325=50 325-=185Jadi, koordinat titik B adalah185165,ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯.Selanjutnya, substitusikan titik-titik sudut dari daerah himpunanpenyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel ke dalam fungsitujuan z = f(x, y) = 3x + 4y.Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 3x + 4y adalah 23,6.–O(0, 0)A(6, 0)B185165,ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯C(0, 5)01823,620Titik sudut f(x, y) = 3x + 4yCokelat A yang harganya Rp600,00 per bungkus dijual dengan labaRp80,00 per bungkus. Cokelat B harganya Rp1.000,00 per bungkusdijual dengan laba Rp125,00 per bungkus. Modal yang dimilikipedagang adalah Rp300.000,00 dan kotak tempat menjual cokelatmampu memuat 350 bungkus. Tentukan:a. laba maksimum yang dapat diperoleh pedagang,b. banyaknya cokelat A dan cokelat B yang harus dibeli pedagangagar dapat diperoleh laba yang maksimum.Jawab:Misalkan banyaknya cokelat A ada x bungkus dan cokelat B ada y bungkus.Model matematika dari permasalahan tersebut adalah sebagai berikut.Contoh Soal 1.11Tempat parkir seluas 600 m2hanya mampu menampung58 bus dan mobil, tiap mobilmembutuhkan Rp500,00 danbus Rp750,00 untuk membayarsewa parkir, jika tempat parkiritu penuh. Tentukanlah, hasildari biaya parkir maksimum.Sumber: Ebtanas, 2000Cobalah
  25. 25. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa18Fungsi Tujuan:z = f(x, y) = 80x + 125yKendalax + y ≤ 350600x + 1.000y ≤ 300.000x ≥ 0y ≥ 0Berdasarkan model tersebut, diperoleh daerah himpunan penyelesaianseperti pada gambar berikut.Titik B merupakan titik koordinat perpotongan antara kedua garis.Koordinat titik B diperoleh dengan cara menyelesaikan kedua persamaangaris seperti berikut.x + y = 350 ˙× 1000˙ 1.000 x + 1.000 y = 350.000600x + 1000y = 300.000 ˙ ×1˙ 600 x + 1.000 y = 300.000400 x = 50.000x = 125Substitusi nilai x = 125 ke persamaan x + y = 350, diperolehx + y = 350125 + y = 350y = 350 – 125y = 225Jadi, koordinat titik B adalah (125, 225).Titik sudut yang terdapat pada daerah himpunan penyelesaian tersebutadalah O (0, 0), A (350, 0), B(125, 225) dan C (0, 300).Nilai fungsi tujuan dari keempat titik tersebut disajikan pada tabelberikut.a. Berdasarkan tabel tersebut diketahui bahwa laba maksimum yang dapatdiperoleh pedagang adalah Rp38.125,00.b. Laba maksimum diperoleh jika banyaknya cokelat A sebanyak 125bungkus dan cokelat B sebanyak 225 bungkus.500A(350, 0)C (0, 300) 350Byx0x + y = 350 600 x + 1000 y = 300.000O(0, 0)A(350, 0)B(125, 225)C(0, 300)038.12537.50028.000Z = f (x, y) = 80x + 125yTitik Sudut–daerah yang diarsir padaGambar 1.10 memperlihatkanx+ y ≤ 350x ≥ 0y ≥ 0600x + 1.000y ≤ 300.000Himpunan penyelesaian
  26. 26. Program Linear 19Seorang anak penderita kekurangan gizi diharuskan makan dua jenis tabletvitamin setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin Adan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, anak itu memerlukan 20 unitvitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp400,00/bijidan tablet kedua Rp600,00/biji, tentukan pengeluaran minimum untukpembelian tablet per harinya.Jawab:Permasalahan tersebut dapat disajikan dalam tabel berikut.Misalkan, banyaknya tablet 1 sebanyak x biji dan tablet 2 sebanyak ybiji. Model matematika untuk masalah tersebut adalah sebagai berikut.Fungsi tujuan:z = f (x, y) = 400 x + 600 yKendala:5x + 10y ≥ 203x + y ≥ 5x ≥ 0y ≥ 0Berdasarkan model matematika tersebut, diperoleh daerah himpunanpenyelesaiannya seperti pada gambar berikut.Titik B adalah koordinat titik potong garis 5x + 10y = 20 dan 3x + y = 5.Untuk mendapatkan titik B, cari penyelesaian dari kedua garis tersebut.5x + 10y = 20 ˙ ×1˙ 5x + 10y = 203x + y = 5 ˙ ×10˙ 30x + 10y = 50–25x = – 30x = 65Contoh Soal 1.12Vitamin AVitamin B53 110Tablet 1 Tablet 2A(4, 0)C (0, 5)yx3x + y = 55x + 10y =20B253–Gambar 1.11Himpunan penyelesaian5x + 10y ≥ 203x + y ≥ 5x ≥ 0y ≥ 0RokokAyang harga belinyaRp1.000,00 dijual denganharga Rp1.100,00 perbungkus.seorang pedagang rokokmempunyai modalRp300.000,00, sedangkan kiosnyahanya dapat menampung palingbanyak 250 bungkus rokok.pedagang tersebut dapatkeuntungan maksimum jikaia membeli ....Sumber: UMPTN, 2000Cobalah
  27. 27. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa20Substitusikan nilai x =65ke persamaan 3x + y = 5, diperoleh365ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯+ y = 5y = 5 –185=25 185-y =75Titik-titik sudut yang terdapat pada daerah himpunan penyelesaiantersebut adalah A (4, 0), B6575,ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯, dan C (0, 5). Nilai fungsi tujuan dariketiga titik tersebut disajikan dalam tabel berikut.Jadi, nilai minimum untuk fungsi tujuan tersebut adalah 1.320. Artinya,pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per harinya Rp1.320,00.A(4, 0)B6575,ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯C(0, 5)1.6003.0001.320Z = f (x, y) = 400x + 600yTitik SudutCoba Anda cari permasalahan di sekitar Anda yang berhubungan denganprogram linear. Buatlah modelnya, kemudian selesaikan. Kemukakanhasilnya di depan kelasTugasTugas 1.21.2Selain metode titik sudut, terdapat metode lain yang digunakansebagai alternatif untuk menentukan nilai optimum dari suatu fungsitujuan. Metode alternatif tersebut dikenal sebagai metode garis selidik.Jika bentuk umum fungsi tujuan dinotasikan dengan f(x, y) = z = ax + bymaka bentuk umum garis selidik dinotasikan denganax + by = k, dengan k Œ RPada dasarnya, metode garis selidik dilakukan dengan cara menggesergaris selidik secara sejajar ke arah kiri, kanan, atas, atau bawah sampai garistersebut memotong titik-titik sudut daerah himpunan penyelesaian sistempertidaksamaan linear dua variabel. Untuk fungsi tujuan maksimum, titikoptimum dicapai jika semua himpunan penyelesaian dari kendala-kendalasistem pertidaksamaan linear dua variabel berada di bawah atau sebelahkiri garis selidik. Adapun untuk fungsi tujuan minimum, titik optimumdicapai jika semua himpunan penyelesaian berada di atas atau sebelahkanan garis selidik dengan syarat koefisien y harus positif (b > 0). Jikakoefisien y negatif (b < 0), maka berlaku sebaliknya.Secara umum, langkah-langkah dalam menentukan nilai optimumdari masalah program linear dengan fungsi tujuan z = f(x, y)= ax + by,menggunakan metode garis selidik adalah sebagai berikut.Pedagang teh mempunyailemari yang hanya cukupditempati untuk 40 boks teh.Teh A dibeli dengan hargaRP6.000,00 setiap boks danteh B dibeli dengan hargaRp8.000,00 setiap boks. Jikapedagang tersebut mempunyaimodal Rp300.000,00 untukpembeli x boks teh A dan yboks teh B, tentukanlah sistempertidaksamaan dari masalahtersebut.Sumber: Ebtanas, 1999CobalahCobalah
  28. 28. Program Linear 211. Gambarkandaerahhimpunanpenyelesaiandarisistempertidaksamaanlinear dua variabel.2. Tentukan fungsi tujuan dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel.3. Tentukan persamaan garis selidik4. Untuk mendapatkan nilai maksimum, geser garis selidik secara sejajarke arah kanan atau atas sampai memotong titik paling jauh dari daerahhimpunan penyelesaian. Titik yang paling jauh tersebut merupakantitik yang memaksimumkan fungsi tujuan.5. Untuk mendapatkan nilai minimum, geser garis selidik secara sejajarke arah kiri atau bawah sampai memotong titik paling dekat dari daerahhimpunan penyelesaian. Titik yang paling dekat tersebut merupakantitik yang meminimumkan fungsi tujuan.Untuk mempermudah Anda dalam memahami metode garis selidik,perhatikan gambar berikut.Ayx0DCBDaerah himpunanpenyelesaianGaris selidik ax + by = k, b > 06 105CBAO80yxx + 2y = 104x + 3y = 24Berdasarkan gambar tersebut, titik A merupakan titik yang me-minimumkan fungsi tujuan (objektif) dan titik D merupakan titik yangmemaksimumkan tujuan.Sebagai ilustrasi awal dari metode garis selidik, perhatikan kembalimasalah program linear dari Contoh Soal 1.10 . Pada contoh soal tersebut,fungsi tujuan yang ingin dimaksimumkan adalah z = f(x, y) = 3x + 4y danfungsi kendalanya adalahx + 2y ≤ 104x + 3y ≤ 24x ≥ 0y ≥ 0Nilai optimum dari masalah program linear tersebut dapat Anda caridengan menggunakan metode garis selidik berikut.• Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang terdapat padaContoh Soal 1.10 sebagai berikut.Gambar 1.12 : memperlihatkanDaerah himpunan penyelesaianx + 2y ≤ 104x + 3y≤ 24x ≥ 0y ≥ 00Di sebuah kantin, Sandi dankawan-kawan membawamangkok bakso dan 6 gelas esyang dipesannya, sedangkanDani dan kawan-kawanmembayar tidak lebih dariRp50.000,00 untuk 8 mangkokdan 4 gelas es. Jika kitamemesan 5 mangkok baksodan 3 gelas es. Tentukanlah,maksimum yang harus kitabayar.Sumber: UM-UGM, 2004CobalahCobalah
  29. 29. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa22• Fungsi tujuan dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel padamasalah tersebut adalah 3x + 4y.• Bentuk umum garis selidik: ax + by = k fi 3x + 4y = 12.6 105CBAO80yxGaris selidik 3x + 4y = 126 105CBAO80yxGaris selidik 3x + 4y = 12Berdasarkan gambar 1.13, garis selidik yang digeser secara sejajarke kanan atau ke atas, memotong titik terjauh dari himpunan penyelesaiansistem pertidaksamaan linear dua variabel yang diketahui, yaitu titik B.Koordinat titik B setelah dicari adalahB185165,ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯Dengan demikian, nilai optimum fungsi tujuan z = f(x, y) = 3x + 4ydicapai pada titikB185165,ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯z = f(x, y) = 3x + 4yf185165,ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯= 31854165ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯+ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯=545645+=1185= 23,6Berbeda halnya jika yang dicari adalah nilai minimum maka garisselidik harus digeser ke kiri atau ke bawah seperti gambar berikut.Gambar 1.13 : memperlihatkanGaris selidik nilai maksimum3x + 4y = 12Gambar 1.14Garis selidik nilai minimum3x + 4y = 12
  30. 30. Program Linear 23Berdasarkan gambar tersebut, titik O(0, 0) merupakan titik palingdekat dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear duavariabel yang diberikan. Dengan demikian, nilai minimum fungsi tujuanyang diberikan dicapai pada titik O(0, 0), yaituz = f(x, y) = 3x + 4yf(0, 0) = 3(0) + 4(0) = 0Jadi, nilai maksimum sistem pertidaksamaan linear dua variabeltersebut adalah 23,6 yang dicapai pada titik B185165,ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯dan nilaiminimum 0 dicapai pada titik O(0, 0)Gunakan metode garis selidik untuk mencari nilai optimum pada ContohSoal 1.11 .Jawab:Fungsi tujuan dan kendala dari Contoh Soal 1.11 adalahFungsi tujuan: z = f(x, y) = 80x + 125yKendala:x + y ≤ 350600x + 1.000y ≤ 300.000x ≥ 0y ≥ 0Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut sebagai berikut.Fungsi tujuan dari masalah program linear tersebut adalah 80x + 125y.Bentuk umum garis selidiknya ax + by = k 80x + 125y = 10.000 atau16x + 25y = 2.000Oleh karena yang dicari adalah nilai maksimum maka geser garis selidik kekanan atau atas seperti pada gambar berikut.Contoh Soal 1.13500A(350, 0)C (0, 300)350B (125, 225)yx0x + y = 350 600 x + 1.000 y = 300.000Gambar 1.15 : memperlihatkanDaerah himpunan penyelesaianx +y ≤ 350600x + 1.000y ≤ 300.000x ≥ 0y ≥ 0Gambar 1.16 : memperlihatkangrafik nilai minimumx +y ≤ 350600x + 1.000y ≤ 300.000x ≥ 0y ≥ 0500A(350, 0)C (0, 300)350B (125, 225)Garis selidik16x + 25y = 2.000yx0x + y = 350 600 x + 1000 y = 300.000Gambar 1.16 :Gambar 1.15 :
  31. 31. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa241. Apakah yang dimaksud dengan model matematika?Jelaskan dengan menggunakan kata-kata sendiri.2. Apa yang Anda ketahui tentang program linear?3. Harga1kgberasRp6000,00dan1kggulaRp4500,00.SeorangpedagangmemilikimodalRp500.000,00dantempat yang tersedia hanya memuat 1 kuintal. Jikapedagang tersebut membeli x kg beras dan y kg gula,tentukan model dari masalah tersebut.4. Tentukan nilai maksimum fungsi tujuan z = 8x +6y dengan kendala.2x + y ≤ 30x + 2y ≤ 24x ≥ 0y ≥ 05. Seorang pedagang roti membuat dua jenis roti. Rotijenis A memerlukan 200 gram tepung dan 150 grammentega. Roti jenis B memerlukan 400 gram tepungdan 50 gram mentega. Tepung yang tersedia 8 kgdan mentega yang tersedia 2,25 kg, serta harga jualroti jenis A Rp7500,00 per buah dan roti jenis BRp6000,00 per buah, tentukan:a. Model dari permasalahan tersebut, lengkapdengan fungsi tujuannya.b. Daerah himpunan penyelesaian dari sistempersamaan yang ada.c. Pendapatan maksimum yang dapat diperoleholeh pedagang roti tersebut.1. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalahsuatu sistem pertidaksamaan yang terdiri atas duapertidaksamaanataulebihdansetiappertidaksamaantersebut mempunyai dua variabel.2. Daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaanlinear dua variabel, diperoleh dari irisan daritiap-tiap pertidaksamaan linear dua variabel yangterdapat pada sistem tersebut.3. Pada umumnya, model matematika dari setiappermasalahan program linear, terdiri atas 2komponen, yaitua. fungsi tujuan z = f(x, y) = ax + by,b. fungsi kendala (berupa pertidaksamaan linear).4. Langkah-langkah dalam menentukan nilaioptimum masalah program linear dengan fungsitujuan z = f(x, y) = ax + by menggunakan metodetitik sudut adalah sebagai berikut.a. Buatmodelmatematikadarimasalahprogramlinear yang diberikan.b. Gambarkan grafik-grafik dari setiappertidaksamaan linear dua variabel yangdiberikan.c. Tentukan daerah himpunan penyelesaiandari sistem pertidakasamaan linear duavariabel yang terdapat pada masalah (irisandari setiap pertidaksamaan linear duavariabel yang diketahui).d. Tentukan titik-titik sudut pada daerahhimpunan penyelesaiannya.e. Substitusikan titik-titik sudut tersebut kedalam fungsi tujuan. Ambil nilai yang palingbesar untuk penyelesaian maksimum danambil yang paling kecil untuk penyelesaianminimum.RangkumanRangkumanBerdasarkan gambar 1.16, garis selidik yang digeser secara sejajarke kanan atau ke atas, memotong titik terjauh dari himpunan penyelesaianpertidaksamaan linear dua variabel di titik B (125, 225).Dengan demikian, nilai fungsi tujuan z = 80x + 125y dicapai di titikB (125, 225)z = f (x, y) = 80x + 125yf (125, 225) = 80(125) + 125(225)= 10.000 + 28.125= 38.125Jadi, nilai maksimum fungsi tujuan z = 80x + 125y adalah 38.125Gunakan metode garis selidik untuk menyelesaikan masalah programlinear pada Contoh Soal 1.12 . Kemukakan hasilnya di depan kelasTugas 1.3Tes PemahamanTes Pemahaman 1.2Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.
  32. 32. Program Linear 25Peta KonsepPeta KonsepPertidaksamaan LinearSistem Pertidaksamaan Linear(Fungsi Tujuan, Fungsi kendala)Nilai OptimumProgram LinearMaksimumMetodeTitik Sudut MinimumMetodeGaris Selidikmemecahkan masalahmenggunakanberupadiselesaikan untuk mendapatkan5. Langkah-langkah dalam menentukan nilaioptimum masalah program linear dengan fungsitujuan z = f(x, y) = ax + by menggunakan metodegaris selidik adalah sebagai berikut.a. Gambarkan daerah himpunan penyelesaiandari sistem pertidaksamaan linear duavariabel.b. Tentukan fungsi tujuan dari sistem pertidak-samaan linear dua variabel.c. Tentukan persamaan garis selidik.d. Untuk mendapatkan nilai maksimum, gesergaris selidik secara sejajar ke arah kanan atauatas sampai memotong titik paling jauh daridaerah himpunan penyelesaian, titik yangpaling jauh tersebut merupakan titik yangmemaksimumkan fungsi tujuan.e. Untuk mendapatkan nilai minimum, gesergaris selidik secara sejajar ke arah kiri ataubawah sampai memotong titik paling dekatdari daerah himpunan penyelesaian. Titikyang paling dekat tersebut merupakan titikyang meminimumkan fungsi tujuan.
  33. 33. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa261.Daerahyangdiarsirpadagambartersebutditunjukkanoleh pertidaksamaan ....a. x + y ≤ 0 d. x – y ≤ 5b. x + y ≤ 5 e. x – y ≥ 0c. x + y ≥ 52.Sistem pertidaksamaan yang menunjukkan him-punan penyelesaian dari daerah yang diarsir padagambar tersebut adalah ....a. 4x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0b. 4x + 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0c. 3x + 4y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0d. 3x + 4y ≥ 12, x ≤ 0, y ≤ 0e. 3x + 4y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 03.Sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerahhimpunan penyelesaian seperti yang ditunjukkanpada gambar tersebut adalah ....a. x + y ≤ 4, x + 2y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0b. x + y ≥ 4, x + 2y ≥ 6, x ≥ 0, y ≥ 0c. x + y ≤ 4, 2x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0d. x + y ≥ 4, 2x + y ≥ 6, x ≤ 0, y ≤ 0e. x + y ≤ 4, 2x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 04. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan2x + y ≤ 40, x + 2y ≤ 40, x ≥ 0, y ≥ 0 terletak padadaerah yang berbentuk ....a. trapesiumb. persegipanjangc. segitigad. segiempate. segilima5. Daerah penyelesaian dari gambar di bawah ini yangmemenuhi pertidaksamaan adalah ....2x + 3y ≤ 63x + 2y ≥ 6x ≥ 0y ≥ 0adalah ....a. Ib. IIc. IIId. IVe. V6. Nilai minimum f(x, y) = 2x + 3y untuk x dan y yangterdapat pada daerah yang diarsir pada gambarberikut adalah ....a. 25b. 15c. 12d. 10e. 5y0(4, 0)(0, 4)xyx(0, 3)(4, 0)xy(0, 3)(0, 4)(4, 0)(6, 0)xyIVIIIVIIIxy454 5Tes Pemahaman Bab 1Tes Pemahaman Bab 1I. Pilihlah satu jawaban yang benar.Kerjakanlah di buku latihan Anda.
  34. 34. Program Linear 27xy10 1 2 3 4 5 62345611. Segilima OPQRS merupakan penyelesaian programlinear, fungsi maksimum fungsi tujuan x + 3yterletak di titik ....a. O d. Rb. P e. Sc. Q12. Himpunan penyelesaian pertidaksamaanx + y ≤ 4x + 2y ≤ 6y ≥ 1Ditunjukkan oleh ....a. I d. IVb. II e. Vc. III13. Nilai minimum dari bentuk 4x + 3y pada daerahpenyelesaian sistem pertidaksamaan2x + 3y ≥ 9x + y ≥ 4x ≥ yy ≥ 0adalah ....a. 18 d. 13b. 16 e. 12c. 1514. Harga per bungkus sabunA Rp2.000,00 dan sabun BRp1.500,00. Jika pedaganghanya mempunyai modalRp900.000,00 dan kiosnyahanya mampu menampung500 bungkus sabun, modelmatematika dari permasalahan tersebut adalah ....a. x + y ≥ 500; 2x + 1,5y ≥ 900; x ≥ 0; y ≥ 0b. x + y ≤ 500; 2x + 1,5y ≤ 900; x ≥ 0; y ≥ 0c. x + y ≥ 500; 2x + 1,5y ≤ 900; x ≥ 0; y ≥ 0d. x + y ≥ 500; 2x + 1,5y ≥ 900; x ≤ 0; y ≤ 0e. x + y ≤ 500; 2x + 1,5y ≥ 900; x ≥ 0; y ≥ 07. Titik-titik pada gambar berikut merupakangrafik himpunan penyelesaian suatu sistempertidaksamaan.Nilai maksimum (3x + 4y) pada himpunanpenyelesaian itu adalah ....a. 12b. 21c. 26d. 30e. 358. Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaiandari ....a. 2x + y ≤ 4, y ≤ 3, x ≥ 0, y ≥ 0b. 2x + y ≤ 4, x ≤ 3, x ≥ 0, y ≥ 0c. 2x + y ≥ 4, y ≤ 3, x ≥ 0, y ≥ 0d. x + 2y ≥ 4, x ≤ 3, x ≥ 0, y ≥ 0e. x + 2y ≤ 4, y ≤ 3, x ≥ 0, y ≥ 09. Nilai maksimum dari f(x, y) = 20x + 30y dengansyarat y + x ≤ 40, 3 y + x ≤ 90, x ≥ 0, dan y ≥ 0adalah ....a. 950b. 1000c. 1050d. 1100e. 115010. Untuk(x,y)yangmemenuhi2x+5y≤10,4x+3y≤12,x ≥ 0, y ≥ 0, nilai fungsi z = y – 2x + 2 terletak dalamselang ....a. {z˙ 0 ≤ z ≤ 2}b. {z˙ –2 ≤ z ≤ 0}c. {z˙ –4 ≤ z ≤ 4}d. {z˙ 2 ≤ z ≤ 11}e. {z˙ 4 ≤ z ≤ 13}xS(0, 3)R(2, 5)Q(5, 3)P(6, 0)014 634VIVIIIIIISumber: www.buzlu.com432
  35. 35. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa2815. Sebuah pabrik roti mem-produksi120kalengrotisetiaphari. Roti yang diproduksiterdiri atas dua jenis. RotiI diproduksi tidak kurangdari 30 kaleng dan roti II 50kaleng.Jika roti I dibuat x kaleng dan roti II dibuat y kaleng,maka x dan y harus memenuhi syarat-syarat ....a. x ≥ 30; y ≥ 50; x +y ≤ 120b. x ≤ 30; y ≥ 50; x +y ≤ 120c. x ≤ 30; y ≤ 50; x +y ≤ 120d. x ≤ 30; y ≤ 50; x +y ≥ 120e. x ≥ 30; y ≥ 50; x +y ≥ 12016. Suatu perusahaan cokelatmembuat dua jenis cokelat.Jenis I membutuhkan 100gram cokelat murni dan50 gram gula, cokelat jenisII membutuhkan 50 gramcokelat murni dan 75 gramgula. Jika tersedia 2 kg cokelat murni dan 1,5 gulamaka banyak cokelat yang terbanyak dapat dibuatadalah ....a. 20 d. 35b. 25 e. 40c. 3017. Seorang penjaja buah-buahan yang menggunakangerobak menjual apel dan pisang. Harga pembelianapel Rp10000,00 tiap kg dan pisang Rp4000,00tiap kg. Modalnya hanya Rp2.500.000 dan muatangerobaktidakdapatmelebihi400kg.Jikakeuntungantiap kg apel 2 kali keuntungan tiap kg pisang, makauntukmemperolehkeuntungansebesarmungkinpadasetiap pembelian, pedagang itu harus membeli ....a. 250 kg apel sajab. 400 kg pisang sajac. 179 kg apel dan 200 kg pisangd. 100 kg apel dan 300 kg pisange. 150 kg apel dan 250 kg pisang18. Untuk dapat diterima di suatu lembaga pendidikan,seseorang harus lulus tes matematika dengan nilaitidak kurang dari 7 dan tes biologi dengan nilai tidakkurang dari 5, sedangkan jumlah nilai matematikadan biologi tidak kurang dari 13. Seorang calondengan jumlah dua kali nilai matematika dan tigakali nilai biologi sama dengan 30. Calon itu ....a. pasti ditolakb. pasti diterimac. diterima asal nilai matematika lebih dari 9d. diterima asal nilai biologi tidak kurang dari 25e. diterima hanya bila nilai biologi 619. Diketahui P = x + y dan Q = 5x +y, maka nilaimaksimum dari P dan Q pada sistem pertidaksamaanx ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 12 dan 2x + y ≤ 12 adalah ....a. 8 dan 30 d. 6 dan 24b. 6 dan 6 e. 8 dan 24c. 4 dan 620. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48kursi.Setiappenumpangkelasutamabolehmembawabarang di bagasi 60 kg sedang kelas ekonomi 20 kg.Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1440 kg.Hanya tiket kelas utama Rp150.000,00 dan kelasekonomi Rp100.000,00. Supaya pendapatan daripenjual tiket pada saat pesawat penuh mencapaimaksimum, jumlah tempat duduk kelas utamaharuslah ....a. 12 d. 26b. 20 e. 30c. 24xy(5, 3)(4, 6)(1, 2)xy302010101525II. Kerjakan soal-soal berikut.Sumber: www.pbase.comSumber: www.blogsome.com21. Daerah yang diarsir pada gambar berikutmerupakan daerah himpunan penyelesaian darisuatu sistem pertidaksamaan linear.Tentukan sistempertidaksamaan linear yang memenuhi penyelesaiantersebut.22. Tentukan nilai minimum fungsi tujuan 3x + 5y yanghimpunan penyelesaiannya disajikan pada daerahterarsir berikut.
  36. 36. Program Linear 29xy63x + y = 9x + 2y = 6x = 7x = y9723. Tentukan nilai maksimum dari fungsi tujuanz = 10x + 5y pada himpunan penyelesaian sistempertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiandisajikan pada daerah terarsir berikut.24. Seorang pedagang minyak wangi keliling menjual 2jenis minyak wangi, yaitu minyak wangi jenis A danjenis B. Harga pembelian minyak wangi jenis A adalahRp10.000,00 dan jenis B adalah Rp15.000. Tas yangdipakai hanya mampu memuat 100 botol minyakwangi. Jika keuntungan dari penjulan minyak wangijenisAadalahRp3.000danjenisBadalahRp5.000,00,tentukan banyaknya minyak wangi jenis A dan jenisB yang harus dijual agar keuntungan yang diperolehpedagang tersebut maksimum.25. Jumlahdariduabilanganrealtak negatifxdan2ytidaklebih besar dari pada 10. Jika y + 8 tidak lebih kecildaripada 2x, tentukan nilai maksimum dari 3x + y.
  37. 37. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa30Refleksi Akhir BabRefleksi Akhir BabPertanyaanTidak Sebagian KecilNoSebagian Besar SeluruhnyaJawabanBerilah tanda √ pada kolom yang sesuai dengan pemahaman Anda mengenai isi bab ini. Setelah mengisinya,Anda akan mengetahui pemahaman Anda mengenai isi bab yang telah dipelajari.1. Apakah Anda dapat mengerjakansoal-soal pada bab ini?2. ApakahAndamemahamipengertianprogram linear3. Apakah Anda memahami caramenggambarkan kendala dalamsuatu sistem pertidaksamaan lineardua variabel di bidang cartesius?4. Apakah Anda memahamipermasalahan yang berhubungand e n g a n p e n g o p t i m a s i a nfungsi objektif (fungsi tujuan)berdasarkan kondisi-kondisiyang membatasi?5. Apakah Anda memahamipengertian model matematikadan dapat menyatakan masalah-masalah dalam soal?6. Apakah Anda dapat mengerjakansistem pertidaksamaan yangmenunjukkan himpunanpenyelesaian dari daerah yangsudah diarsir7. Apakah Anda melakukan Kegiatandan mengerjakan Tugas pada babini?8. Apakah Anda memahami caramenentukan penyelesaian sistempertidaksamaan linear duavariabel?9. Apakah Anda memahamipengertian pertidaksamaan lineardua variabel dan penyelesaiansistem pertidaksamaan?10. Apakah Anda berdiskusi denganteman-teman apabila ada materi-materi, yang belum Andapahami?
  38. 38. Pada Kelas X, Anda telah mempelajari cara menyelesaikan sistempersamaan linear dengan menggunakan metode grafik, substitusi,eliminasi, dan gabungan substitusi-eliminasi. Pada bab ini, akandijelaskan cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear,yaitu dengan menggunakan matriks.Penerapan matriks dalam kehidupan sehari-hari sangatlahluas, baik di bidang ekonomi, ilmu-ilmu sosial, maupun ilmu-ilmu alam. Dengan menggunakan matriks, penyelesaian sistempersamaan linear menjadi lebih mudah, khususnya untuk sistempersamaan linear dengan dua variabel.Salah satu contoh penggunaan matriks adalah untukmenyelesaikan permasalahan berikut. Misalnya pada pertandinganbulu tangkis tunggal putra antara Dani dan Firman, data atauinformasinya sebagai berikut. Pada set I, Dani dan Firmanbermain imbang, namun keberuntungan berpihak pada Danidengan skor kemenangan angka tipis 17-16. Pada set II Firmanmemenangkan pertandingan dengan skor 15-13. Namun, di setIII Firman dikalahkan secara telak dengan skor 15-7. Data-datatersebut dapat disajikan dalam bentuk matriks yang akan Andapelajari pada bab ini.MatriksA. Definisi dan Jenis-Jenis MatriksB. Transpos danKesamaan Dua MatriksC. Operasi Aljabar padaMatriksD. Determinan MatriksPersegiE. Penggunaan Matriksuntuk MenyelesaikanSistem PersamaanLinear Dua Variabel31BabBab22 Sumber: www.badminton.com
  39. 39. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa32A.Definisi dan Jenis-jenis Matriks1. Definisi MatriksPada saat Anda membaca koran atau majalah, apakah informasi ataudata yang Anda peroleh senantiasa selalu berupa teks bacaan yang terdiriatas sederetan kalimat yang membentuk paragraf? Jawabnya pasti tentusaja tidak, karena ada kalanya informasi yang disampaikan oleh koranatau majalah disajikan dalam bentuk sebuah tabel. Hal seperti ini seringAnda temui, tidak hanya sebatas pada koran atau majalah saja. Dalamkehidupan sehari-hari, masih banyak informasi atau data yang ditampilkandalam bentuk tabel, seperti data rekening listrik atau telepon, klasemenpertandingan olahraga, data perolehan nilai dan absensi siswa, serta hargajual sepeda motor. Sebagai gambaran awal mengenai materi matriks,pelajari uraian berikut ini.Diketahui data hasil penjulan tiket penerbangan tujuan Medan danSurabaya, dari sebuah agen tiket di Bandung selama empat hari berturut-turut disajikan dalam tabel berikut.Hari keTujuanMedan 3 4 2 5Surabaya 7 1 3 2I II III IVPada saat Anda membaca tabel tersebut maka hal pertama yang Andaperhatikan adalah kota tujuan, kemudian banyaknya tiket yang habis terjualuntuk masing-masing kota setiap harinya.Data pada tabel tersebut, dapat Anda sederhanakan dengan caramenghilangkan semua keterangan (judul baris dan kolom) pada tabel, danmengganti tabel dengan kurung siku menjadi bentuk seperti berikut.3 4 2 57 1 3 2ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚Berdasarkan bentuk tersebut, dapat Anda lihat bahwa data yangterbentuk terdiri atas bilangan-bilangan yang tersusun dalam baris dankolom. Susunan bilangan seperti inilah yang dinamakan sebagai matriks.Definisi MatriksMatriks adalah sekelompok bilangan yang disusun menurut baris dan kolomdalam tanda kurung dan berbentuk seperti sebuah persegipanjang.DefinisiDefinisiKuisKuisCobalah kerjakan soal-soal berikut untuk mengetahui pemahamanAnda mengenai bab ini.1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear2 2 12 3 6x y2x y3=2y2=3y3ÏÌÏÏÓÌÌ .2. Jika x dan y memenuhi sistem persamaan35 2 16x y yx y2+ =y=2y2ÏÌÏÏÓÌÌ , tentukannilai x + y.
  40. 40. Matriks 33Suatu matriks diberi nama dengan menggunakan huruf kapital, sepertiA, B, C, ... Bilangan-bilangan yang menyusun matriks disebut sebagaiunsur, elemen atau anggota dari matriks tersebut. Elemen dari suatu matriksdinotasikan dengan huruf kecil seperti a, b, c, ... dan biasanya disesuaikandengan nama matriksnya. Misalkan pada matriks A, elemen-elemennyabiasanya dinyatakan dengan a. Biasanya elemen-elemen dari suatu matriksdiberi tanda indeks, misalnya aijyang artinya elemen dari matriks A yangterletak pada baris i dan kolom j.Dari Contoh Soal 2.1 , Anda dapat melihat bahwa matriks A terdiriatas 2 baris dan 2 kolom, matriks P terdiri atas 3 baris dan 3 kolom, matriksT terdiri atas 2 baris dan 3 kolom, dan matriks W terdiri atas 4 baris dan1 kolom. Banyaknya baris dan kolom yang dimiliki oleh matriks-matrikstersebut menyatakan ukuran atau ordo dari matriks-matriks tersebut. PadaContoh Soal 2.1 , matriks A terdiri atas 2 baris dan 2 kolom. Dengandemikian, ordo matriks A adalah 2 kali 2 (ditulis 2 × 2 atau A2 × 2). Angkapertama menyatakan banyaknya baris, sedangkan angka kedua menyatakanbanyaknya kolom pada matriks.Dengan demikian, Anda dapat menuliskan bentuk umum suatumatriks. Misalkan matriks Am × n, dengan m dan n anggota bilangan aslimaka matriksnya adalah sebagai berikut.A =aa a aa a annm m mn11 12 121 22 21 2am���ÍÍÍÍÍÍÍÍBerikut beberapa contoh matriks.A =- 1 02 3P =4 2 117 0 36 5 2- -6 5ÍÍ T =4 2 37 9 1-Í W =2761--Contoh Soal 2.1Kolom 1 Kolom 2 Kolom nbaris 1baris 2baris mContoh Soal 2.2Diketahui matriksH =3 5 4 121 8 2 32 11 0 7-- -1 8ÍÍÍÍTentukan:a. Banyaknya baris pada matriks H,b. Banyaknya kolom pada matriks H,c. Ordo matriks H,d. Tentukan h32dan h14,e. Banyaknya elemen pada matriks H.Tanda kurung yang digunakan dalam sebuah matriks dapat berupatanda kurung biasa “( )” atau tanda kurung siku “[ ]”. Selanjutnya, tandakurung yang akan digunakan dalam buku ini adalah tanda kurung siku.
  41. 41. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa34Contoh Soal 2.3Contoh Soal 2.4Tentukan matriks koefisien dari sistem persamaan linear berikut.2x – 3y = 43x – y = –1–2x + 2y = 2Jawab:Matriks koefisien dari sistem persamaan linear tersebut adalah2 33 12 2-ÈÎÍÈÈÍÍÍÍÎÎÍ͢˚˙˘˘˙˙˙˙˚˚˙˙Departemen editorial di sebuah penerbit memiliki tenaga kerja yang terdiriatas editor, letter, desainer dan ilustrator seperti yang disajikan padatabel berikut.a. Tuliskan data tersebut dalam bentuk matriks.b. Tentukan ordo matriks yang terbentuk pada soal a.c. Sebutkan elemen pada:• baris ke-2,• baris ke-1 kolom ke-3.Jawab:a. Bentuk matriks dari tabel tersebut adalah56 80 7 1640 32 3 9ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚b. Ordo matriks tersebut adalah 2 × 4.c. • Elemen pada baris ke-2 adalah 40, 32, 3, dan 9.• Elemen pada baris ke-1 kolom ke-3 adalah 7.L 56 80 7P 40 32 3 916Editor Setter Desainer IlustratorJawab:a. Matriks H terdiri atas 3 baris.b. Matriks H terdiri atas 4 kolom.c. Ordo matriks H adalah 3 × 4 karena matriks H terdiri atas 3 baris dan4 kolom.d. h32artinya elemen matriks H yang terletak pada baris ke-3 dan kolomke-2 sehingga h32= 11, h14artinya elemen matriks H yang terletak padabaris ke-1 dan kolom ke-4 sehingga h14= 12.e. Matriks H memiliki 12 elemen2. Jenis-jenis MatriksMatriks dapat dibedakan menurut jenisnya, antara lain:a) Matriks NolSuatu matriks dikatakan sebagai matriks nol, jika semua elemennyasama dengan nol. Misalnya,
  42. 42. Matriks 35diagonal sekunderdiagonal utama0 00 00 0 00 0 00 0 0ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚ÈÎÍÈÈÍÍÍÍÎÎÍ͢˚˙˘˘˙˙˙˙˚˚˙˙,b) Matriks BarisSuatu matriks dikatakan sebagai matriks baris, jika matriks tersebuthanya terdiri atas satu baris, misalnya1 7 5 3 2 6ÈÎÈÈ ˘˚˘˘ -ÈÎÈÈ ˘˚˘˘,c) Matriks KolomSuatu matriks dikatakan sebagai matriks kolom, jika matriks tersebut hanyaterdiri dari satu kolom. Misalnya,25374-ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚-ÈÎÍÈÈÍÍÍÍÎÎÍ͢˚˙˘˘˙˙˙˙˚˚˙˙,d) Matriks Persegi atau Matriks KuadratSuatu matriks dikatakan sebagai matriks persegi atau matriks kuadrat,jika jumlah baris pada matriks tersebut sama dengan jumlah kolomnya.Misalnya,2 34 13 7 56 3 11 8 2ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚-- -1 8ÈÎÍÈÈÍÍÍÍÎÎÍ͢˚˙˘˘˙˙˙˙˚˚˙˙,Pada suatu matriks persegi ada yang dinamakan sebagai diagonalutama dan diagonal sekunder. Perhatikan matriks berikut.aa aaa aa aaa a11 12 1321 222 23131 32 33ÈÈÎÎÍÍÈÈÍÍÍÍÎÎÎÎÍ͢˘˚˚˙˘˘˙˙˙˙˚˚˙˙Komponen-komponen yang terletak pada diagonal utama padamatriks tersebut adalah a11, a22dan a33(sesuai dengan arsiran yangberasal dari kiri atas ke kanan bawah). Sebaliknya, komponen-komponen yang terletak pada diagonal sekunder sesuai denganarsiran yang berasal dari kiri bawah ke kanan atas, dalam hal inia11, a22, a33.e) Matriks SegitigaSuatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks segitiga jika elemen-elemen yang ada di bawah atau di atas diagonal utamanya (salahsatu, tidak kedua-duanya) bernilai nol. Jika elemen-elemen yang adadi bawah diagonal utama bernilai nol maka disebut sebagai matrikssegitiga atas. Sebaliknya, jika elemen-elemen yang ada di atas diagonalutamanya bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga bawah.Misalnya,-ÈÎÍÈÈÍÍÍÍÎÎÍ͢˚˙˘˘˙˙˙˙˚˚˙˙5 1- 20 4 30 0 47 0 05 1 04 2 3-4ÈÎÍÈÈÍÍÍÍÎÎÍ͢˚˙˘˘˙˙˙˙˚˚˙˙Matriks Segitiga Atas Matriks Segitiga Bawah
  43. 43. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa36f) Matriks DiagonalSuatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks diagonal jika elemen-elemen yang ada di bawah dan di atas diagonal utamanya bernilainol, atau dengan kata lain elemen-elemen selain diagonal utamanyabernilai nol. Misalnya,-ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚-ÈÎÍÈÈÍÍÍÍÎÎÍ͢˚˙˘˘˙˙˙˙˚˚˙˙1 00 44 0 00 2 00 0 1,g) Matriks SkalarSuatu matriks diagonal dikatakan sebagai matriks skalar jika semuaelemen-elemen yang terletak pada diagonal utamanya memiliki nilaiyang sama, misalnya9 00 95 0 00 5 00 0 5ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚ÈÎÍÈÈÍÍÍÍÎÎÍ͢˚˙˘˘˙˙˙˙˚˚˙˙,h) Matriks Identitas atau Matriks SatuanSuatu matriks skalar dikatakan sebagai matriks identitas jika semuaelemen yang terletak pada diagonal utamanya bernilai satu, sehinggamatriks identitas disebut juga matriks satuan. Misalnya,1 00 11 0 00 1 00 0 1ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚ÈÎÍÈÈÍÍÍÍÎÎÍ͢˚˙˘˘˙˙˙˙˚˚˙˙,1. Dengan menggunakan kata-kata sendiri, jelaskanapa yang dimaksud dengan:a. matriks,b. baris dan kolom pada sebuah matriks,c. elemen dari sebuah matriks.2. Diketahui matriks-matriks berikut.S =ÈÎÍÈÈÍÍÍÍÎÎÍ͢˚˙˘˘˙˙˙˙˚˚˙˙-4 0122dan T =ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚0 2 1 0 10 3 0 0 2, ,2 1 0, ,3 0 0-0 3 0Tentukan:a. banyaknya baris dan kolom pada matriks Sdan T,b. elemen-elemen pada baris ke-2 matriks T,c. ordo matriks S dan T,d. S21dan T233. Berikan 2 contoh matriks dengan elemen bilanganreal, yang terdiri atasa. 5 baris dan 3 kolomb. 1 baris dan 4 kolom4. Untuk setiap sistem persamaan berikut, tulislahmatriks koefisien variabelnya.a. x + 2y = 83x + y = 14b. 4x = –62x – 3y = 9c. x + y – z = 42x – 3y + 5z = 12y + 3z = 5Diskusikan dengan teman sebangku Anda.1. Apakah matriks persegi merupakan matriks diagonal? Berikan alasannya.2. Apakah matriks diagonal merupakan matriks persegi? Berikan alasannya.3. Jika X =0 11 0ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚, apakah matriks X merupakan matriks identitas?Berikan alasannya.TugasTugas 2.12.1Tes PemahamanTes Pemahaman 2.1Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.
  44. 44. Matriks 37B. Transpos dan Kesamaan Dua MatriksPada Subbab sebelumnya, Anda telah mempelajari matriks mulai daridefinisi sampai jenis-jenisnya. Pada subbab ini akan dibahas transpos darisuatu matriks dan kesamaan dari dua matriks.1. Transpos Suatu MatriksDalam mendapatkan informasi yang berbentuk tabel, kadang-kadangAnda mendapatkan dua tabel yang berbeda namun memiliki makna yangsama. Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut.Sebuah lembaga kursus bahasa asing memiliki program kursus BahasaInggris, Bahasa Arab, dan Bahasa Mandarin. Pada lembaga tersebut,jumlah kelas kursus pada setiap program di setiap harinya tidak selalusama. Banyaknya kelas di setiap program kursus dapat disajikan dalamdua tabel berbeda dengan makna sama berikut.HariProgramB. Inggris 6 4 4 2B. ArabB. Mandarin43544538Senin Selasa Rabu Kamis5. Diketahui matriks-matriks berikut.A =1 00 2-ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚D = 4 3 5 0-ÈÎÈÈ ˘˚˘˘B =42ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚E =-- -ÈÎÍÈÈÍÍÍÍÎÎÍ͢˚˙˘˘˙˙˙˙˚˚˙˙4 1 82 1- 26 6 0Ca b c=6 2 3ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚Manakah di antara matriks-matriks tersebut yangmerupakana. matriks Persegi,b. matriks Skalar,c. matriks Baris,d. matriks Diagonal.ProgramHariSenin 6 4 3SelasaRabuKamis442543458B. Inggris B. Arab B. MAndarinSecara lebih sederhana, kedua tabel tersebut dapat dituliskan ke dalambentuk matriks berikut. Misalkan untuk tabel pertama dinamakan matriksA dan tabel kedua matriks B. Dengan demikian, bentuk matriks dari keduatabel di atas adalahA =6 4 4 24 5 4 33 4 5 8ÈÎÍÈÈÍÍÍÍÎÎÍ͢˚˙˘˘˙˙˙˙˚˚˙˙ dan B =6 4 34 5 44 4 52 3 8ÈÎÍÈÈÍÍÍÍÍÍÍÎÎÍ͢˚˙˘˘˙˙˙˙˙˙˙˚˚˙˙
  45. 45. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa38Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut ini.P =7 3 24 0 1-ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚Qq qq q= 1 2q3 4qÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚Ra=2ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚Jawab:Pt=7 43 02 1-ÈÎÍÈÈÍÍÍÍÎÎÍ͢˚˙˘˘˙˙˙˙˚˚˙˙ Qq qq qt= 1 3q2 4qÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚R at2aÈÎÈÈ ˘˚˘˘Tentukan ordo dari matriks-matriks berikut.a. D2 × 3b. W4 × 1c. H1 × 6Jawab:a. D2 ×3artinya matriks D terdiri atas 2 baris dan 3 kolom. Dengan demikian,matriks transposnya terdiri atas 3 baris dan 2 kolom, yaitu D t3 × 2.b. W4×1artinyamatriksWterdiriatas4barisdan1kolom.Dengandemikian,matriks transposnya terdiri atas 1 baris dan 4 kolom, yaitu W t1 × 4.c. H1 ×6artinya matriks H terdiri atas 1 baris dan 6 kolom. Dengan demikian,matriks transposnya terdiri atas 6 baris dan 1 kolom, yaitu H t6 × 1.Contoh Soal 2.5Contoh Soal 2.6Misalkan A matriks sebarang. Transpos matriks A adalah matriks B yangdisusun dengan cara menuliskan elemen setiap baris matriks A menjadielemen setiap kolom pada matriks B.Transpos dari matriks A dilambangkandengan B = At(dibaca: A transpos).DefinisiDefinisi2. Kesamaan Dua MatriksUntuk lebih memahami definisi tersebut, perhatikanlah contoh berikut.Definisi Kesamaan Dua MatriksDua buah matriks dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya memilikiordo yang sama dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) pada keduamatriks tersebut sama.DefinisiDefinisiSekarang, Anda perhatikan setiap elemen pada kedua matriks tersebut,kemudian bandingkan. Kesimpulan apa yang akan didapat?Dengan membandingkan matriks A dan matriks B tersebut, Anda dapatmengetahui bahwa elemen-elemen pada baris pertama matriks A merupakanelemen-elemen pada kolom pertama matriks B. Demikian pula denganelemen-elemen pada baris kedua dan ketiga matriks A merupakan elemen-elemen pada kolom kedua dan ketiga matriks B. Dengan demikian, matriksB diperoleh dengan cara menuliskan elemen setiap baris pada matriks Amenjadi elemen setiap kolom matriks B. Matriks yang diperoleh dengan caraini dinamakan sebagai matriks transpos.Berdasarkan definisi transpos matriks, jika Anda memiliki matriks Ayang berordo m × n maka transpos A, yaitu Atmemiliki ordo n × m.Pembahasan SoalPembahasan SoalMisalkanA =x y xy x y+-ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚danB =12 312--ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚xyJika Atmenyatakan matrikstranspos dari A makapersamaan At= B dipenuhi jikax = ....a. 2 d. –1b. 1 e. –2c. 0Jawab:A =x y xy x y+-ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚makaAt=x y yx x y+-ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚At= Bx y yx x y+-ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚=12 312--ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚xyDiperoleh x + y = 1 danx = –2yDengan demikian, x + y = 1(–2y) + y = 1–y = 1y = –1Untuk y = –1, makax = –2(–1) = 2Jawaban: aSumber: Sipenmaru, 1988
  46. 46. Matriks 39Pembahasan SoalPembahasan Soal=2 -13 2ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚B =2 13 2-ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚C =2 1 13 2 3ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚D =2 13 2ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚Tentukan:a. Apakah matriks A = B?b. Apakah matriks A = C?c. Apakah matriks A = D?Jawab:a. Matriks A π matriks B karena ada satu elemen matriks A dan B yangseletak tidak memiliki nilai yang sama, yaitu 3 π –3.b. Matriks A π matriks C karena ordo matriks A tidak sama dengan ordomatriks C, yaitu A2 × 2C2 × 3.c. Matriks A = matriks D karena matriks A dan matriks D memilikiordo yang sama dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) padamatriks A dan matriks D sama.1. Diketahui matriks-matriks berikut.A =2 75 4ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚dan Bx y2yy=ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚2 5Jika A = Bt, tentukan nilai x dan y.Jawab:x y2yy=ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚2 5Æ Bxyt=ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚25 2yyOleh karena A = Btmaka2 75 425 2ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚=ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚xyDengan menggunakan konsep kesamaan dua matriks maka diperoleh:x = –7 dan 2y = 4 Æ y = 2Jadi, nilai x = –7 dan y = 22. Diketahui matriks-matriks berikut.Px=-ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚2623dan Rx y=ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚4 2-3 2xJika P = R, tentukan nilai 2(x + y).Jawab:P = R2 23 6xÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚=4 -ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚23 2x y2Dengan menggunakan konsep kesamaan dua matriks, diperoleh :2x = 4 dan x – 2y = 6Dari 2x = 4 diperolehx =42x = 2Contoh Soal 2.7Contoh Soal 2.8Setelah Anda memahami konsep kesamaan dua matriks maka Anda telah siapuntuk menggunakan konsep ini dalam mencari nilai dari suatu elemen matriksyang tidak diketahui (berupa variabel). Untuk itu contoh berikut.Jika4 02 3 22x y2x+-ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚=8 02 7ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚maka x + y =a. -154d.154b. -94e.214c.94Jawab:Berdasarkan kesamaan duamatriks diperoleh4x + 2y= 8 ... (1)3x – 2 = ... (2)Dari (2) diperoleh3x – 2 = 73x = 9x = 3Substitusikannilai x = 3 ke (2),diperoleh4x + 2y= 822(3 + 2y)= 232(3 + 2y) = 36 + 4y = 34y = –3y = -34Oleh karena x = 3 dan y = -34maka x + y = 3 + -ÊËÁÊÊËˈ¯˜ˆˆ¯¯34=12 34-=94Jadi, nilai x + y =94Jawaban: cSumber: UMPTN, 2000
  47. 47. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa401. Dengan menggunakan kata-kata sendiri, jelaskanapa yang dimaksud dengan matriks transpos.2. Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut.S =5 01 7-ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚T =7 0 42 1 3ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚U =0 8 1 32 1 5 38 2 5 1-1ÈÎÍÈÈÍÍÍÍÎÎÍ͢˚˙˘˘˙˙˙˙˚˚˙˙3. Diketahui matriks-matriks sebagai berikut.R =3 24 5bÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚dan S =9 41 5ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚a. Tentukan transpos dari matriks R.b. Jika Rt= S, tentukan nilai a dan b.4. Buatlah sebuah matriks kolom berordo 1 × 5,kemudian cari transposnya.Termasuk matriks apakahmatriks transposnya?5. Tentukan nilai-nilai x, y, dan z dari kesamaan-kesamaan matriks berikut.a.2xyÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚=-ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚120b.22 1x y yzÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚=8 41- -ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚xc.xy22ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚=6 ++ 3xyÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚d.- -- -ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚x y- xz2 25 1 32=1 2 55 1-2-ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚x6. Transpos dari suatu matriks identitas adalah matriksidentitas itu sendiri.Berikan penjelasan mengenai kebenaran daripernyataan tersebut.C. Operasi Aljabar pada MatriksPada subbab sebelumnya, Anda telah mempelajari definisi, jenis, transpos,dan kesamaan dua matriks.Pada subbab ini akan dipelajari operasi aljabar pada matriks. Dengandemikian, pada matriks pun berlaku sifat penjumlahan, pengurangan,ataupun perkalian seperti sama halnya pada bilangan.1. Penjumlahan MatriksUntuk memudahkan Anda dalam memahami penjumlahan pada matriks,pelajarilah uraian berikut. Di suatu kompleks perumahan terdapat duakepala keluarga yang bermatapencaharian sebagai seorang floris (pedagangtanaman hias). Beberapa tanaman hias yang sering mereka jual di antaranyaadalah eforbia, calladium, dan adenium. Berikut ini adalah persediaantanaman-tanaman tersebut di kedua pedagang tersebut.Pedagang A 15 21 2Pedagang B 12 7 25Eforbia Calladium AdeniumSubstitusikan x = 2 ke x – 2y = 6, diperoleh :2 – 2y = 62 – 6 = 2y2y = –4y = -42= –2Jadi, nilai x = 2 dan y = –2Dengan demikian, nilai 2(x + y) = 2(2+(–2)) = 2 (0) = 0Tes PemahamanTes Pemahaman 2.2Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.
  48. 48. Matriks 41Pedagang A 20 14 30Pedagang B 27 23 8Eforbia Calladium AdeniumDefinisi Penjumlahan MatriksJika A dan B adalah dua matriks yang berordo sama maka jumlah dari matriksA dan B (ditulis A + B) adalah sebuah matriks baru yang diperoleh dengancara menjumlahkan setiap elemen matriks A dengan elemen-elemen matriksB yang seletak (bersesuaian).DefinisiDefinisiUntuk menambah persediaan barang, kedua pedagang tersebutpada hari yang sama melakukan pembelian tanaman-tanaman baru yangjumlahnya disajikan pada tabel berikut.Berapa banyakkah pesediaan ketiga jenis tanaman yang ada di masing-masing pedagang setelah dilakukan pembelian tersebut?Untuk menjawab pertanyaan sangat mudah bagi Anda untukmendapatkan jawabannya. Langkah yang dilakukan adalahmenjumlahkan banyaknya tanaman pada persediaan awal dengantanaman yang dibeli sebagai penambahan persediaan. Tentu saja yangdijumlahkan harus sejenis dan pada pedagang yang sama, misalnya banyaktanaman eforbia yang ada di pedagang A dijumlahkan dengan banyaknyatanaman eforbia yang dibeli oleh pedagang A (yang dijumlahkan harusbersesuaian).Kedua tabel tersebut dapat disederhanakan dan diubah ke dalambentuk matriks. Selanjutnya melakukan pejumlahan matriks, yaitu yangdijumlahkan adalah elemen-elemen yang seletak. Berikut definisi daripenjumlahan matriks.Keduatabelpadauraiantersebutjikadiubahkedalambentukmatriksdandijumlahkan adalah sebagai berikut.15 21 212 7 25ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚+20 14 3027 23 8ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚=15 + 20 21 + 14 2 + 3012 + 27 7 + 23 25 + 8ÈÎÍÈÈÎ΢˚˚˙˘˘˚˚˚˚=35 35 3339 30 33ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚Gambar 2.1 : Tanaman EforbiaGambar 2.2 : Tanaman CalladiumGambar 2.3 : Tanaman Adenium2. Pengurangan MatriksSama halnya seperti pada operasi penjumlahan matriks, pada operasipengurangan matriks berlaku pula ketentuan kesamaan ordo antaramatriks yang bertindak sebagai matriks pengurang dan matriks yang akandikurangi.Berdasarkan informasi dari penjumlahan matriks tersebut, diperolehinformasi persediaan tanaman di kedua pedagang tadi adalah sepertidisajikan pada tabel berikut.Sumber: www.agaclar.netSumber: www.ericandleandra.comSumber: www.indonetwork.co.idPedagang A 35 35 33Pedagang B 39 30 33Eforbia Calladium Adenium
  49. 49. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa42Diketahui matriks-matriks berikut.D =2 51 6ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚H =1 13 2ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚W =1 68 2ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚S =4 1 35 2 4-ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚Tentukan :a. D + W c. H – Sb. W – H d. W + SJawab:a. D + W =2 51 6ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚+1 68 2ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚=2 + 1 5 + 61 + 8 6 + 2=-ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚3 19 8b. W – H =1 68 2ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚–1 13 2ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚=1 18 3 2 213 2ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚6 - ( )1-=0 75 0ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚c. H – SMatriks H tidak dapat dikurangi matriks S karena memiliki ordo yangdimiliki masing-masing matriks berbeda.d. W + SMatriks W tidak dapat dijumlahkan dengan matriks S karena ordo yangdimiliki masing-masing matriks berbeda.Contoh Soal 2.91. Misalkan A, B, dan C adalah matriks-matriks ber-ordo 2 × 2 denganA =1 92 7ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚B =5 38 2ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚C =8 13 2ÈÎÍÈÈÎ΢˚˙˘˘˚˚2. Hitunglah A + B dan B + A.Apakah A + B = B + A?3. Hitunglah A + (B + C) dan (A + B ) + C.Apakah A + (B + C) = (A + B) + C?4. Hitunglah A – B dan B – A.Apakah A – B = B – A?Analisis: dari hasil yang Anda peroleh pada langkah2, 3 dan 4, tentukanlah kesimpulan yang dapatAnda ambil mengenai sifat-sifat penjumlahan danpengurangan matriks.Lakukanlah kegiatan berikut bersama teman sebangku Anda.Kegiatan 2.12.1Dari Kegiatan 2.1, diperoleh sifat-sifat penjumlahan dan penguranganmatriks sebagai berikut.Sifat-sifat Penjumlahan dan Pengurangan MatriksMisalkan A, B, dan C matriks-matriks dengan ordo sama makaberlaku sifat-sifat berikut:1. A + B = B + A (Komutatif )2. A + (B + C) = (A + B) + C (Asosiatif )3. A – B π B – A (Anti Komutatif )Definisi Pengurangan MatriksJika A dan B adalah 2 matriks yang berordo sama maka penguranganmatriks A oleh B, ditulis (A – B), adalah matriks baru yang diperolehdengan cara mengurangkan elemen-elemen matriks A dengan elemen-elemen matriks B yang seletak.DefinisiDefinisi

×