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onde a1 ∈ {3, 4}, a2 ∈ {1, 4, 7} e a3 ∈ {4, 7}.
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Teorema chinês do resto

  1. 1. 0.1 O Teorema Chinˆs dos Restos e Come¸amos com um exemplo simples que est´ na origem do resultado que vamos apresentar: c a Exemplo 0.1 Um camponˆs tem um certo n´mero de ovos; quandos os divide por 3, sobra-lhe 1; quando e u os divide por 4, sobram 2 ovos; e quando os divide por 5, sobram 3. Quantos ovos tem o camponˆs? e O que queremos aqui ´ a solu¸˜o simultˆnea de um sistema de equa¸˜es modulares e ca a co  mod 3  x≡1 x≡2 mod 4  x≡3 mod 5 Come¸ando pela primeira equa¸˜o, temos que qualquer solu¸ao x do sistema tem que satisfazer c ca c˜ x = 1 + 3y para algum y ∈ Z; substituindo na segunda equa¸˜o ficamos com ca 3y + 1 ≡ 2 mod 4 ⇔ 3y ≡ 1 mod 4 ⇔ y ≡ 3 mod 4 e portanto y = 3 + 4z e x = 1 + 3(3 + 4z) = 10 + 12z, onde, mais uma vez, z representa uma nova inc´gnita o inteira; substituindo de novo na terceira equa¸˜o ca 12z + 10 ≡ 3 mod 5 ⇔ 2z ≡ 3 mod 5 ⇔ z ≡ 4 mod 5 Conclu´ ımos que z = 4 + 5w e portanto a solu¸˜o do nosso sistema ´ ca e x = 10 + 12(4 + 5w) = 58 + 60w. A resposta ` pergunta ´ portanto que o camponˆs poderia ter 58 ovos ou 118 ou 178, etc. a e e Que a solu¸˜o do sistema s´ fica determinada m´dulo 60 ´ evidente, uma vez que se x for solu¸˜o, qualquer ca o o e ca inteiro da forma x + 60w tamb´m seria solu¸˜o. Por outro lado, se x e y forem duas solu¸˜es do sistema, e ca co ent˜o x − y ser´ divis´ por 3, por 4 e por 5, e como estes s˜o primos dois a dois, x − y tem que ser divis´ a a ıvel a ıvel pelo seu produto 60. Podemos tamb´m observar que o facto de 3, 4 e 5 serem primos entre si dois a dois nos garantiu que ao e substituir o valor de x na segunda e depois na terceira equa¸˜o, ficar´ ca ıamos sempre com uma equa¸˜o com ca solu¸˜es, uma vez que o coeficiente de y e depois de z ´ primo com o m´dulo da equa¸˜o respectiva. co e o ca Vamos agora enunciar um resultado fundamental para a simplifica¸˜o da resolu¸˜o de equa¸˜es modulares: ca ca co Teorema 0.2 (Teorema Chinˆs dos Restos) : Sejam m1 , m2 , · · · , mk inteiros positivos primos dois a e k dois (ou seja, se 1 ≤ i < j ≤ k ent˜o mdc(mi , mj ) = 1) e M = i=1 mi . Ent˜o, dados a1 , a2 , · · · , ak a a quaisquer, o sistema de congruˆncias e  mod m1  x ≡ a1    x ≡ a2 mod m2 .  .  .   x ≡ ak mod mk tem solu¸˜o que ´ unica m´dulo M . ca e´ o 1
  2. 2. Demonstra¸˜o 0.3 Comecemos por notar que a observa¸˜o feita a prop´sito do exemplo, vale em geral: ca ca o dada uma solu¸˜o do sistema ela ´ unica m´dulo M , uma vez que se x e y s˜o solu¸˜es, temos mi | (x − y) ca e´ o a co para todo o i e como os mi s˜o primos dois a dois isso implica M | (x − y). a O m´todo iterativo de solu¸˜o usado no exemplo pode ser usado para fazer uma demonstra¸˜o por indu¸˜o: e ca ca ca dado um sistema com duas equa¸oes c˜ x ≡ a1 mod m1 x ≡ a2 mod m2 a solu¸˜o pode ser determinada como j´ vimos substituindo na segunda equa¸ao x por a1 + m1 y; a equa¸˜o ca a c˜ ca m1 y ≡ a2 − a1 mod m2 tem solu¸˜o unica m´dulo m2 uma vez que mdc(m1 , m2 ) = 1. ca ´ o Suponhamos agora, como hip´tese de indu¸˜o, que o resultado do teorema ´ v´lido para um certo k e seja o ca e a  mod m1  x ≡ a1    x ≡ a2 mod m2   . .  .   x ≡ ak mod mk    x ≡ ak+1 mod mk+1 Chamemos n ao produto m1 × · · · × mk . Por hip´tese de indu¸˜o, o sistema constitu´ pelas primeiras k o ca ıdo equa¸˜es tem solu¸˜o unica c mod n; podemos ent˜o resolver o sistema de duas equa¸˜es co ca ´ a co x≡c x ≡ ak+1 mod n mod mk+1 a sua solu¸˜o, unica m´dulo n × mk+1 = M , ´ a desejada solu¸˜o do sistema de k + 1 equa¸˜es. ca ´ o e ca co O Teorema Chinˆs dos Restos permite reduzir a resolu¸˜o de uma congruˆncia ` de um sistema de e ca e a congruˆncias mais simples: e Exemplo 0.4 : Considere-se a equa¸˜o ca 327x ≡ 171 mod 520; Calculando mdc(327, 520) = 1 podemos deduzir que existe uma unica solu¸˜o e aplicar o m´todo explicado ´ ca e mais atr´s. No entanto, notando que 520 = 5 · 8 · 13, passamos ao sistema a   mod 5 mod 5  327x ≡ 171  2x ≡ 1 327x ≡ 171 mod 8 ⇔ 7x ≡ 3 mod 8 ⇔   327x ≡ 171 mod 13 2x ≡ 4 mod 13  mod 5  x≡3 x≡5 mod 8 ⇔  x≡2 mod 13 Qualquer solu¸˜o da equa¸˜o inicial ter´ que ser tamb´m solu¸ao de cada uma das equa¸˜es do sistema e ca ca a e c˜ co reciprocamente, pelo Teorema Chinˆs dos Restos, qualquer solu¸ao do sistema ´ solu¸˜o da equa¸˜o inicial. e c˜ e ca ca 2
  3. 3. Usamos o mesmo m´todo de solu¸˜o do exemplo anterior: pela primeira equa¸˜o x = 3 + 5y; substituindo e ca ca na segunda temos 5y ≡ 2 mod 8 ⇔ y ≡ 2 mod 8 portanto y = 2 + 8z e x = 13 + 40z, o que nos d´, na ultima equa¸˜o, a ´ ca 40z ≡ 2 mod 13 ⇔ z ≡ 2 mod 13 donde se deduz finalmente que x = 93 + 520w ´ E poss´ ıvel demonstrar o teorema de outra forma, que nos fornece igualmente um m´todo pr´tico de e a solu¸˜o: Dado o sistema no enunciado, calcula-se, para cada 1 ≤ i ≤ k, um inteiro bi tal que ca m bi ≡ 1 mi Note-se que isto ´ poss´ e ıvel, uma vez que mdc( Verificamos que x definido por mod mi m , mi ) = 1, ficando bi determinado naturalmente m´dulo mi . o mi k x= i=1 m bi a i mi m mi (mi e mj s˜o primos entre si) e portanto essas parcelas anulam-se m´dulo mj ; na parcela de ´ a o ındice j, devido ao modo como escolhemos bj , temos m bj aj ≡ aj mod mj mj ´ solu¸˜o do sistema; fixemos um ´ e ca ındice 1 ≤ j ≤ k; nas parcelas do somat´rio com i = j temos que mj | o Este m´todo de solu¸˜o torna-se mais util quando temos que resolver n˜o um mas v´rios sistemas de e ca ´ a a equa¸˜es com os mesmos m´dulos m1 , · · · , mk , como veremos a seguir. co o O pr´ximo exemplo envolve equa¸˜es modulares de grau maior que 1 para pˆr em evidˆncia as vantagens o co o e do segundo m´todo de solu¸˜o de um sistema. e ca Exemplo 0.5 : Procuramos as solu¸˜es simultˆneas do sistema de equa¸˜es co a co  2 mod 7  x ≡2 x3 ≡ 1 mod 9  4 x ≡3 mod 11 Como n˜o temos (por enquanto) nenhuma forma mais eficaz de tratar estas equa¸oes, procuramos as a c˜ suas solu¸oes directamente, calculando a2 em que a percorre todas as classes de congruˆncia m´dulo 7, e do c˜ e o mesmo modo para as outras equa¸˜es. Conclu´ co ımos que a primeira equa¸˜o tem duas solu¸˜es 3 e 4 m´dulo ca co o 7, a segunda tem trˆs solu¸˜es m´dulo 9: 1, 4 e 7, e a terceira tem duas solu¸˜es 4 e 7. Ter´ e co o co ıamos portanto que resolver os 12 sistemas de 3 equa¸˜es da forma co  mod 7  x ≡ a1 x ≡ a2 mod 9  x ≡ a3 mod 11 3
  4. 4. onde a1 ∈ {3, 4}, a2 ∈ {1, 4, 7} e a3 ∈ {4, 7}. Em alternativa, podemos usar o outro m´todo: resolvemos as equa¸˜es da forma e co m y≡1 mi mod mi Temos 99y ≡ 1 mod 7 ⇔ y ≡ 1 mod 7 e portanto podemos escolher b1 = 1. As outras equa¸˜es s˜o co a 77y ≡ 1 mod 9 ⇔ 5y ≡ 1 mod 9 ⇔ y ≡ 2 mod 9 mod 11 ⇔ 8y ≡ 1 mod 11 ⇔ y ≡ 7 mod 11 e 63y ≡ 1 e portanto b2 = 2 e b3 = 7. Substituindo os valores dos ai na express˜o a 3 i=1 m bi ai = 99a1 + 154a2 + 441a3 mi obtemos as doze solu¸˜es pretendidas. co Recorde-se que os bi s˜o calculados m´dulo mi ; podemos portanto, por exemplo, pˆr b3 = −4; as solu¸˜es a o o co obtidas s˜o as mesmas m´dulo m = 7 × 9 × 11 = 693, ainda que representadas por outros inteiros. a o O Teorema Chinˆs dos Restos pode ser enunciado alternativamente do seguinte modo: e Teorema 0.6 : Se M = m1 × · · · × mk e mdc(mi , mj ) = 1 se i = j, ent˜o a aplica¸˜o a ca ψ : Z/M → Z/m1 × · · · × Z/mk definida por ψ(a) = (a mod m1 , · · · , a mod mk ) ´ uma bijec¸˜o. e ca A existˆncia de solu¸˜o para qualquer sistema da forma e ca  mod m1  x ≡ a1    x ≡ a2 mod m2 .  .  .   x ≡ ak mod mk ´ equivalente a ψ ser sobrejectiva; por outro lado, a propriedade de ψ ser injectiva ´ equivalente a aquela e e solu¸˜o ser unica m´dulo M . ca ´ o Quando enunciado desta forma, o Teorema Chinˆs dos Restos ´ de demonstra¸˜o ainda mais simples: de e e ca facto, basta provar que ψ ´ injectiva, sendo a sobrejectividade uma consequˆncia imediata de o dom´ e e ınio e o contra-dom´ ınio desta aplica¸˜o terem o mesmo n´mero de elementos. Mas ψ ´ injectiva uma vez que ca u e x≡y mod mi ∀i ∈ {1, · · · , k} ⇔ x ≡ y 4 mod M.
  5. 5. Por outro lado, este racioc´ ınio n˜o nos indica como resolver na pr´tica um sistema, ou seja, dados ai ∈ Z/mi , a a como determinar ψ −1 (a1 , · · · , ak ) ´ E isso que as outras demonstra¸˜es fazem. De facto, a segunda dessas demonstra¸˜es d´-nos uma f´rmula co co a o para a fun¸˜o inversa de ψ: ca k m bi ai ψ −1 (a1 , · · · , ak ) = mi i=1 ou mais precisamente a classe congruˆncia m´dulo M deste inteiro. e o 5

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