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  • 1. En el estudio de los conjuntos y las funciones es fundamental el sistema que se utilize para representar los puntos. Estamos acostumbrados a utilizar la estructura de espacio af´ o de ın espacio vectorial de Rn , utilizando el sistema de representaci´n cartesiana mediante pares de o n´meros, en el caso del plano, o mediante ternas en el caso del espacio, que identificamos con u Coordenadas un sistema de coordenadas ortogonal. polares en el Sin embargo esta no es la unica forma posible de identificar los puntos. Hay otras formas ´ plano. de representaci´n que en ocasiones pueden resultar m´s utiles: el sistema de representaci´n o a ´ o Coordenadas cartesiana es util para representar la superficie de la tierra en un plano, pero sin embargo los ´ cil´ ındricas y barcos en el mas utilizan un sistema de radar bidimensional que sit´a los puntos del plano u esf´ricas en el e en c´ırculos centrados en el origen de coordenadas, y los aviones o las naves espaciales, o los espacio submarinos, utilizan un sistema de radar tridimensional. Estos sistemas se basan en los sistemas de coordenadas polares, cil´ındricas y esf´ricas que vamos a ver en este cap´ e ıtulo. Coordenadas . . . Coordenadas . . . Coordenadas . . .
  • 2. 1. Coordenadas polares en el plano Partimos de la representaci´n cartesiana del plano mediante pares ordenados de n´meros, que o u representan la distancia del punto a dos ejes ortogonales, llamados ejes de coordenadas. La Coordenadas costumbre es dibujar uno horizontal (abscisas) y otro vertical (ordenadas), y llamar x a la distancia polares en el del punto P al eje vertical, e y a la distancia al eje horizontal. plano. De este modo cada punto del plano est´ un´ a ıvocamente determinado por sus dos coordenadas Coordenadas P = (x, y) cil´ ındricas y esf´ricas en el e y P = (x, y) espacio r Coordenadas . . . Coordenadas . . . t Coordenadas . . . x Pues bien, tambi´n podemos identificar cada punto del plano por otros dos n´meros: uno es e u la distancia que lo separa del origen de coordenadas, r, y otro el ´ngulo t que forma el segmento a que une P con el origen con el sentido positivo del eje horizontal. r se denomina m´dulo de P o
  • 3. y t argumento de P , y el par (r, t) se denomina coordenadas polares de P . Esta relaci´n no es un´ o ıvoca, en el sentido de que a un punto P le corresponden infinitos pares, puesto que podemos escoger el ´ngulo t o cualquier otro de la forma t + 2kπ. Para que a un a punto le corresponda un unico par, debemos escoger los ´ngulos en un intervalo de longitud 2π, ´ a Coordenadas que normalmente ser´ el intervalo [0, 2π). De esta manera, a cada punto P del plano distinto a polares en el del origen (0, 0) le corresponde un unico par (r, t), con r > 0 y 0 ≤ t < 2π. ´ plano. El origen de coordenadas se caracteriza porque r = 0, pero t puede ser cualquier ´ngulo. a Coordenadas Aplicando un poco de trigonometr´ la relaci´n entre las coordenadas cartesianas de un punto ıa, o cil´ ındricas y y sus coordenadas polares es clara: esf´ricas en el e espacio x = r cos(t) r = x2 + y 2 y = r sen(t) t = arctan(y/x) Coordenadas . . . Coordenadas . . . con una precauci´n: para que la funci´n arcotangente est´ bien definida (a un n´mero real o o e u Coordenadas . . . le corresponda un unico ´ngulo), debe escogerse un intervalo de longitud π en el que definir ´ a la imagen. Usualmente se define la funci´n arcotangente de R en el intervalo [−π/2, π/2], o arctan : R −→ [−π/2, π/2]. En este caso para un punto P que est´ en el segundo o tercer e cuadrante del plano la funci´n arctan(y/x) nos dar´ un ´ngulo α entre −π/2 y π/2, y el verdadero o a a argumento de P ser´ t = α + π. Y si P est´ en el cuarto cuadrante, el argumento de P ser´ a a a α + 2π. Es decir, deber´ ıamos escribir
  • 4. t=α+π t=α+π Coordenadas α polares en el t=α plano. Coordenadas α cil´ ındricas y α esf´ricas en el e espacio t = α + 2π Coordenadas . . .  Coordenadas . . .  arctan(y/x) si x ≥ 0, y ≥ 0 Coordenadas . . . t= arctan(y/x) + π si x<0 arctan(y/x) + 2π si x ≥ 0, y < 0  Esto es evidentemente bastante inc´modo. En muchos casos, para simplificar un poco, se o consideran los argumentos de los puntos del plano en [−π/2, 3π/2], en vez de en [0, 2π], y as´ ı podemos eliminar la tercera opci´n en la definici´n de t, admitiendo que los puntos del cuarto o o
  • 5. t=α+π t=α+π Coordenadas α polares en el t=α plano. Coordenadas α cil´ ındricas y t=α esf´ricas en el e espacio cuadrante tienen argumento negativo. Coordenadas . . . Coordenadas . . . Ejemplo 1. Dibujar la curva definida en coordenadas polares por la ecuaci´n r = cos t o Coordenadas . . . Conociendo el comportamiento de la funci´n cos t, e interpretando la informaci´n que obte- o o nemos sobre r, observamos que • Como tiene que ser r > 0, entonces cos t > 0, luego t ∈ [−π/2, π/2] + 2kπ (k ∈ Z); es decir, los puntos de la curva estar´n todos en el semiplano de la derecha, x ≥ 0 a • Como la funci´n r(t) = cos t es peri´dica de per´ o o ıodo 2π, en cada intervalo de longitud 2π la curva se repite, luego basta considerar s´lo uno de los intervalos, t ∈ [−π/2, π/2] o
  • 6. • Como la funci´n r(t) es par, es decir, r(t) = r(−t), entonces la curva es sim´trica respecto o e al eje horizontal, as´ que se podr´ estudiar s´lo el intervalo [0, π/2], y repetir el dibujo en ı ıa o la parte inferior por simetr´ ıa. Coordenadas • Los puntos de corte de la curva con los ejes de coordenadas son los que tienen t = −π/2, polares en el t = 0, t = π/2 (y t = π, aunque en este ejemplo en particular este caso no puede darse, plano. por lo que hemos visto arriba). Coordenadas Si t = −π/2, r(t) = r(−π/2) = cos(π/2) = 0, es decir, el punto correspondiente est´ en a cil´ ındricas y el origen de coordenadas. esf´ricas en el e Si t = 0, r(t) = r(0) = cos 0 = 1, luego el punto correspondiente esta en el eje horizontal, espacio a distancia 1 del origen; es decir, es el punto (1, 0) Y si t = π/2, otra vez r(π/2) = 0, luego es el origen de coordenadas. Coordenadas . . . Coordenadas . . . • Y en los intervalos intermedios de los ´ngulos, si t ∈ [−π/2, 0], r(t) = cos t es mon´tona a o Coordenadas . . . creciente. Esto quiere decir que seg´n aumenta el ´ngulo desde el eje vertical hacia el eje u a horizontal, la distancia de los puntos de la curva al origen de coordenadas va aumentando, hasta llegar al punto (1, 0). En cambio en si t ∈ [0, π/2], la funci´n r(t) = cos t es mon´tona decreciente, luego a o o partir del eje horizontal, y hasta el eje vertical, los puntos vuelven a acercarse al origen de coordenadas.
  • 7. Si pasamos toda esta informaci´n al plano xy, podemos hacer un dibujo suficientemente o aproximado de la curva: Coordenadas polares en el plano. Coordenadas cil´ ındricas y esf´ricas en el e espacio Coordenadas . . . En este ejemplo concreto es f´cil pasar la ecuaci´n de coordenadas polares a coordenadas a o Coordenadas . . . cartesianas, para comprobar el resultado: Coordenadas . . . Si r = cos(t), multiplicando por r, r2 = r cos(t), luego x2 + y 2 = x, equivalente a la ecuaci´n o (x − 1/2)2 + y 2 = 1/4, que es la de la circunferencia de centro (1/2, 0) y radio 1/2.
  • 8. 2. Coordenadas cil´ ındricas en el espacio En el espacio tridimensional partimos de la representaci´n cartesiana del espacio mediante ternas o ordenadas de n´meros, que representan la distancia del punto a tres ejes ortogonales, llamados u Coordenadas ejes de coordenadas. polares en el De este modo cada punto del espacio est´ un´ a ıvocamente determinado por sus tres coordenadas plano. P = (x, y, z) Coordenadas Pero tambi´n podemos identificar cada punto del espacio por otros tres n´meros: dos n´meros e u u cil´ ındricas y r y t son las coordenadas polares en el plano horizontal de la proyecci´n de P sobre este plano, o esf´ricas en el e P = (x, y, 0), y el tercero es la altura de P sobre el plano horizontal, la coordenada z. La terna espacio (r, t, z) se denomina coordenadas cil´ ındricas de P . Coordenadas . . . Coordenadas . . . Coordenadas . . .
  • 9. z  P = (x, y, z)  x = r cos(t) y = r sen(t) z=z  Coordenadas polares en el z plano.  Coordenadas y  r = x2 + y 2   t = arctan(y/x)  cil´ ındricas y r  esf´ricas en el e t con las mismas condiciones que x  en las coordenadas polares  espacio   z=z  Coordenadas . . . Coordenadas . . . Ejemplo 2. Dibujar la curva definida en coordenadas cil´ ındricas por las ecuaciones Coordenadas . . . r = s, t = s, z = s, con s ∈ R+ = [0, ∞) Observamos f´cilmente que al ir creciendo el valor de s, el ´ngulo aumenta, haciendo que el a a punto vaya dando vueltas alrededor del eje vertical. Al mismo tiempo aumenta el radio, lo que quiere decir que cada vez se aleja m´s del eje vertical, y la altura aumenta, luego va subiendo a hacia arriba.
  • 10. Con m´s precisi´n, las ecuaciones r = s, z = s al pasarlas a coordenadas cartesianas implican a o z= x 2 + y 2 , luego la curva est´ contenida en la hoja superior del cono x2 + y 2 = z 2 . a Las ecuaciones t = s, z = s implican que los puntos de la curva van “subiendo” mientras dan vueltas alrededor del eje vertical. Coordenadas Se trata de una h´lice c´nica. e o polares en el plano. Coordenadas cil´ ındricas y esf´ricas en el e espacio Coordenadas . . . Coordenadas . . . Coordenadas . . .
  • 11. 3. Coordenadas esf´ricas en el espacio e Cada punto del espacio tridimensional se puede identificar tambi´n mediante otros tres n´meros: e u dos ´ngulos y una distancia a Coordenadas ϕ es el ´ngulo que forma el vector P con el plano horizontal (latitud). θ es el ´ngulo que forma a a polares en el el vector P con el plano y = 0 (longitud). Y ρ es la distancia de P al origen de coordenadas. La plano. terna (ρ, θ, ϕ) se denomina coordenadas esf´ricas de P . e Coordenadas cil´ ındricas y esf´ricas en el e ϕ ∈ [−π/2, π/2], θ ∈ [0, 2π), ρ≥0 espacio z P = (x, y, z) Coordenadas . . . Coordenadas . . . Coordenadas . . . ρ ϕ O y θ x N M
  • 12. Aplicando un poco de trigonometr´ a los tri´ngulos OP M y OM N , tenemos ıa a z = ρ sen ϕ Coordenadas OM = ρ cos ϕ polares en el x = OM cos θ = ρ cos ϕ cos θ plano. Coordenadas y = OM sen θ = ρ cos ϕ sen θ cil´ ındricas y que son las ecuaciones que permiten obtener las coordenadas cartesianas a partir de las coorde- esf´ricas en el e nadas esf´ricas. e espacio Rec´ıprocamente, Coordenadas . . . ρ= x2 + y 2 + z 2 Coordenadas . . . Coordenadas . . . ϕ = arcsen(z/ρ)   arctan(y/x) si x ≥ 0, y ≥ 0 θ= arctan(y/x) + π si x<0 arctan(y/x) + 2π si x ≥ 0, y < 0 
  • 13. Ejemplo 3. Escribir las ecuaciones en coordenadas polares de dos h´lices esf´ricas, que empiezan e e en el polo sur y acaban en el polo norte, despu´s de dar alguna vuelta a la esfera de centro el e origen y radio 2 al rededor del eje vertical. En cualquier caso, los puntos de la curva est´n sobre la esfera de radio 2, luego tiene que ser a Coordenadas ρ = 2. polares en el Para conseguir el efecto de girar alrededor del eje vertical, dejamos como variable el ´ngulo a plano. θ. Coordenadas Y para que los puntos vayan subiendo desde el polo sur hasta el polo norte, el ´ngulo ϕ tiene a cil´ ındricas y que ir aumentando desde −π/2 hasta π/2. esf´ricas en el e Construimos dos ejemplos: en el primer caso, ϕ = −π/2 + θ/4 con θ ∈ [0, 4π], y en el espacio segundo ϕ = −π/2 + θ/8 con θ ∈ [0, 8π] Coordenadas . . . Coordenadas . . . Coordenadas . . .
  • 14. Coordenadas polares en el plano. Coordenadas cil´ ındricas y esf´ricas en el e espacio Coordenadas . . . Coordenadas . . . Coordenadas . . .

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