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  1. 1. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 MODULACIMODULACIÓÓNN CODIFICADA ICODIFICADA I Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 2 - ÍÍndicendice 1. Idea básica de la modulación codificada 2. Fundamentos de codificación convolucional 3. Decodificación de códigos convolucionales en canales sin memoria – Detección de secuencias de máxima verosimilitud – Algoritmo de Viterbi – Probabilidad de Error. Ganancia de codificación • TCM Modulación codificada por rejilla – Teoría de la partición de conjuntos – Ejemplos de códigos TCM: 8-PSK y 16-QAM – Cálculo de la ganancia de codificación
  2. 2. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 3 - Idea bIdea báásica modulacisica modulacióónn codificadacodificada • Tradicionalmente la codificación y la modulación se realizan de forma independiente (lo mismo demodulación y decodificación) Fuente codificador Modulador • IDEA: utilizar de forma coordinada la codificación y la modulación para aprovechar más eficientemente (=mejorar la Pe) los recursos de ancho de banda y potencia transmitida. Mensajes Códigos Señales/símbolos Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 4 - Idea bIdea báásicasica Codificación de canal Protección frente a errores pero también Mayor número de bits transmitidos por cada bit de información • Si hay ancho de banda de sobra no hay problema • Si el ancho de banda es limitado hay que aumentar el número de niveles de la constelación para mantener el mismo flujo de información ¿Y si también está limitada la potencia transmitida?
  3. 3. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 5 - Idea bIdea báásicasica • Si la potencia transmitida y el ancho de banda son limitados hay que “proteger mucho” los bits para conseguir alguna ganancia en Pe. • No obstante, si se trata la modulación y la codificación (FEC) de forma combinada se pueden obtener ganancias en Pe incluso con técnicas de codificación sencillas. TCM (Trellis Coded Modulation) • TCM desarrollado por Ungerboek años 80. • Se incorporó a los modems del CCITT V.* (canales telefónicos gaussianos) Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 6 - ÍÍndicendice 1. Idea básica de la modulación codificada 2. Fundamentos de codificación convolucional 3. Decodificación de códigos convolucionales en canales sin memoria – Detección de secuencias de máxima verosimilitud – Algoritmo de Viterbi – Probabilidad de Error. Ganancia de codificación 4. TCM Modulación codificada por rejilla – Teoría de la partición de conjuntos – Ejemplos de códigos TCM: 8-PSK y 16-QAM – Cálculo de la ganancia de codificación
  4. 4. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 7 - CodificadorCodificador convolucionalconvolucional 1 2 k 1 2 k 1 2 k k bits de información kK etapas 1 2 3 n secuencia codificada Rc=k/n (ratio de codificación) K=longitud de influencia Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 8 - Ejemplos de codificadoresEjemplos de codificadores convolucionalesconvolucionales a) K=3, k=1, n=3 b) K=2, k=2, n=3 entrada 1 2 3 salida entrada 1 2 3 salida
  5. 5. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 9 - DescripciDescripcióón de cn de cóódigosdigos convolucionalesconvolucionales • Tres conceptos básicos: – Memoria del codificador=Nº de bits pasados que influyen en cada bit de salida =M=k(K-1) – Estados del codificador=son los distintos contenidos posibles de la memoria del codificador que condicionan la salida. Nº de estados =S=2M – Transiciones entre estados. El codificador evoluciona de un estado a otro dependiendo de los bits de entrada y emite bits. • Tres diagramas (equivalentes) para describir el codificador (estados y transiciones): – De árbol (tree) – De rejilla (trellis) – De estados (state) Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 10 - Diagrama deDiagrama de áárbolrbol a) K=3, k=1, n=3 0 1 entradas 000 111 000 000000 111 001 111 111 001 110 110 011 100 010 101salidas a c b d a c c b d a b d estados 2M=4 Se repiten
  6. 6. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 11 - Diagrama de estadosDiagrama de estados Transiciones Estado a 00 Estado b 01 Estado c 10 Estado d 11 Estadosa) K=3, k=1, n=3 *** bits salida | 011 | 000 | 101 | 100 | 001 | 010 | 110 | 111 * bit entrada0 0 0 0 1 1 1 1 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 12 - Diagrama de rejillaDiagrama de rejilla a) K=3, k=1, n=3 Estado a 00 Estado b 01 Estado c 10 Estado d 11 EstadosTransiciones 000 000 000 000 000 111 111 111 111 111 001 001 001 001 101 101 101 011 011 011 100 100 100 110 110 110 110 010 010 010 Régimen permanente =steady state Bit entrada 0
  7. 7. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 13 - ÍÍndicendice 1. Idea básica de la modulación codificada 2. Fundamentos de codificación convolucional 3. Decodificación de códigos convolucionales en canales sin memoria – Detección de secuencias de máxima verosimilitud – Algoritmo de Viterbi – Probabilidad de Error. Ganancia de codificación 4. TCM Modulación codificada por rejilla – Teoría de la partición de conjuntos – Ejemplos de códigos TCM: 8-PSK y 16-QAM – Cálculo de la ganancia de codificación Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 14 - DetecciDeteccióón de mn de mááximaxima verosimilitudverosimilitud • Ya se ha visto que la detección de máxima verosimilitud de los símbolos minimiza la probabilidad de error de símbolo. • Cuando la secuencia de símbolos (o bits) recibida tiene memoria (por que ha pasado por un canal con memoria o por que procede de un codificador convolucional) el detector de máxima verosimilitud sigue siendo óptimo (en el sentido en que minimiza la probabilidad de detectar una secuencia errónea) si se utiliza para detectar la secuencia entera a partir de los datos recibidos correspondientes a la transmisión de la secuencia entera.
  8. 8. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 15 - Marco de referenciaMarco de referencia transmisor/canaltransmisor/canal • La fuente emite un mensaje m de un número de bits. • El codificador “protege” (codifica) los bits y genera la palabra código binaria (vector binario) c entre un número de posibles códigos. • El modulador (mapeador) mapea la palabra código en el espacio de la señal (constelación) generando un vector de símbolos transmitidos s que dependerá de la modulación escogida. • El canal no tiene memoria (no filtra) sólo introduce ruido gaussiano blanco que se suma (vectorialmente) a cada símbolo tx dando lugar al vector recibido y (secuencia de puntos en el espacio de la señal). Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 16 - Marco de referenciaMarco de referencia receptor deteccireceptor deteccióón firmen firme • El circuito de decisión selecciona a partir de cada elemento del vector recibido y uno de los símbolos posibles, generando sr. Utiliza reglas (regiones) de decisión preestablecidas. Lo normal es que haga detección de símbolo de máxima verosimilitud y seleccione los símbolos más cercanos en el espacio de la señal (distancia euclídea) a las señales recibidas. • El demodulador asigna un vector binario cr a la secuencia de símbolos recibida. • El decodificador selecciona el mensaje recibido mr a partir del vector binario cr.
  9. 9. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 17 - Marco de referenciaMarco de referencia deteccideteccióón firmen firme Fuente codificador modulador Mensaje m Vector codificado c Vector símbolos tx s canal gaussiano sin memoria decodificador demodulador Mensaje decodificado mr Vector binario recibido cr Vector recibido y Vector símbolos rx sr Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 18 - Marco de referenciaMarco de referencia rxrx deteccideteccióón indecisan indecisa • No hay circuito de decisión. • El decodificador selecciona el mensaje recibido mr a partir directamente del vector recibido y, realiza todas las tareas conjuntamente. Si está bien diseñado debe funcionar mejor que la detección firme (hard) ya que utiliza toda la información disponible en el receptor. • En modulación codificada se utiliza normalmente la decodificación indecisa (soft) ya que así se consiguen ganancias mayores. • En ambos casos el decodificador utiliza la detección de máxima verosimilitud del mensaje de salida a partir del vector de entrada.
  10. 10. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 19 - Marco de referenciaMarco de referencia deteccideteccióón indecisan indecisa Fuente codificador modulador Mensaje m Vector código c Vector símbolos tx s canal gaussiano sin memoria decodificador Mensaje decodificado mr Vector recibido y Menor Pe = mayor ganancia de codificación El decodificador funciona directamente sobre los puntos en el espacio de la señal Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 20 - DecodificaciDecodificacióón de mn de mááximaxima verosimilitudverosimilitud detecdetec. firme. firme • En este caso podemos modelar el conjunto modulador- canal-demodulador-circuito de decisión como un canal binario simétrico equivalente sin memoria que opera sobre cada uno de los bits del vector codificado c de forma independiente para dar el vector recibido cr, que contendrá una serie de errores. 1 0 1 0 p p 1-p 1-p p=prob. de que se produzca error en un bit ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =− ≠ = ii r ii rii rc ccp ccp ccf i r 1 , |
  11. 11. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 21 - DecodificaciDecodificacióón de mn de mááximaxima verosimilitudverosimilitud detecdetec. firme. firme •Se pretende seleccionar la palabra código de manera que se minimice la probabilidad detectar el mensaje erróneo. –Existe una correspondencia uno a uno entre mensajes y códigos. –Es óptimo porque se utiliza toda la información disponible, el vector cr. ( ) ( ) ( )rrrrrr cmmcmmcm |1|, =−=≠= PPPe Probabilidad de error en la decodificación ( ) ( ) ikparaPP siSea k ≠=≥= = rr i i r cmmcmm mm || Regla de decisión óptima Regla de decisión óptima aplicando Bayes ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ikpara f fP f fP siSea ≠ == ≥ == = rc k rc k rc i rc i i r c mmcmm c mmcmm mm r r r r || Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 22 - DecodificaciDecodificacióón de mn de mááximaxima verosimilitudverosimilitud detecdetec. firme. firme •Considerando que todos los mensajes son equiprobables (P(mi=m)=P(mk=m)) y que el mensaje mi se corresponde uno a uno con el vector codificado ci, obtenemos el criterio de máxima verosimilitud como: ( )ccc mm k rc i r r = == |fmaximiza iksiSea •Como el canal afecta de forma independiente a los bits que componen el vector codificado para dar lugar a cada uno de los bits del vector binario recibido, luego la función de verosimilitud del vector recibido es el producto de las funciones de verosimilitud de cada uno de los bits recibidos. ( ) ( )∏= j j k j rc ccff j r || k rc ccr ( ){ } ( ){ }∑= j j k j rc ccff j r |ln|ln k rc ccr Likelihood Log-Likelihood
  12. 12. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 23 - DecodificaciDecodificacióón de mn de mááximaxima verosimilitudverosimilitud detecdetec. firme. firme •Maximizar la función de verosimilitud o la función de verosimilitud logarítmica es equivalente. •Llamemos d al número de bits en los que difiere el vector binario recibido cr de una cierta palabra código ck (supongamos que cada código tiene N bits). La función de verosimilitud logarítmica será: ( ){ } ( ) ( ) ( )pN p p dpdNpdf −+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =−−+= 1ln 1 ln1lnln|ln k rc ccr p<1/2 0 1 ln <⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − p p además es común a todos los vectores código El decodificador escoge la palabra código (entre las posibles) que presenta el menor número de bits diferentes con el vector binario recibido (mínima d = distancia de Hamming). Criterio ML Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 24 - DecodificaciDecodificacióón de mn de mááximaxima verosimilitudverosimilitud detecdetec. indecisa. indecisa • En este caso tenemos un canal gaussiano sin memoria que opera sobre cada uno de los símbolos del vector de símbolos s de forma independiente, para dar el vector recibido y, de puntos en el espacio de la señal. • Cada elemento de s y cada uno de y se relaciona mediante un ruido gaussiano ni de media nula y varianza N0/2: iii nsy += ( ) ( ) 2 0 2 2 2 0 e 2 | N sy ii y ii i N syf − − = π
  13. 13. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 25 - •El desarrollo es igual al caso anterior, lo que varían son las funciones de prob. •Considerando que todos los mensajes son equiprobables (P(mi=m)=P(mk=m)) y que el mensaje mi se corresponde uno a uno con el vector codificado ci, y en consecuencia con el vector de símbolos si, obtenemos el criterio de máxima verosimilitud como: ( )ssy mm k y i r = == |fmaximiza iksiSea •Como el canal afecta de forma independiente a los símbolos del vector tx para dar lugar a cada uno de los símbolos del vector rx, la función de verosimilitud del vector recibido es el producto de las funciones de verosimilitud de cada uno de los símbolos recibidos. ( ) ( )∏= j j ky syff j j || k y sy ( ){ } ( ){ }∑= j j k j y syff j |ln|ln k y sy Likelihood Log-Likelihood DecodificaciDecodificacióón de mn de mááximaxima verosimilitudverosimilitud detecdetec. indecisa. indecisa Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 26 - •Como antes, maximizar la función de verosimilitud o la función de verosimilitud logarítmica es equivalente. •Supongamos que cada vector de símbolos tiene M elementos. La función de verosimilitud logarítmica será en este caso: ( ){ } ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +−−= ∑ 2 0 2 2 0 2 ln 2 2 |ln N M sy N f j j ki π k y sy El decodificador escoge la palabra código (entre las posibles) cuya representación en el espacio de la señal (“modulación”) presenta la menor distancia euclídea en el espacio de la señal con el vector de símbolos recibido (mínima de). Criterio ML DecodificaciDecodificacióón de mn de mááximaxima verosimilitudverosimilitud detecdetec. indecisa. indecisa es común a todos los vectores códigodistancia en el espacio de la señal al cuadrado entre y y sk (d2 e)
  14. 14. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 27 - Algoritmo deAlgoritmo de ViterbiViterbi • En cuanto las secuencias son un poco largas, buscar la más probable entre todas las posibles resulta inviable. • El algoritmo de Viterbi permite encontrar entre todos los caminos posibles en un diagrama de enrejado, aquel que posee la mínima (máxima) distancia (métrica) a un camino dado de forma más eficiente que la búsqueda exhaustiva. • Ideas fundamentales del algoritmo de Viterbi: – A cada rama del enrejado (transición entre dos estados) se le puede asociar (como una etiqueta) una distancia (métrica) entre los bits (símbolos) de salida del codificador correspondientes a esa rama y los recibidos del canal (siempre positiva). – La métrica de un camino es aditiva rama a rama. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 28 - Algoritmo deAlgoritmo de ViterbiViterbi • Funcionamiento del algoritmo de Viterbi: – El algoritmo es secuencial, recorre el diagrama de izquierda a derecha. – Para cada celda del enrejado se calcula la distancia acumulada. – En cada estado se selecciona la rama correspondiente al camino de mínima distancia (se “poda“ el diagrama). Si dos ramas entrantes al estado poseen la misma distancia acumulada se elige uno de los caminos al azar. – El algoritmo almacena el camino de mínima (máxima) distancia (métrica) que llega a cada estado y sus distancias acumuladas correspondientes. – El funcionamiento óptimo del algoritmo toma la decisión al final de la secuencia.
  15. 15. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 29 - Algoritmo deAlgoritmo de ViterbiViterbi • Ejemplo de funcionamiento, detección firme, codificador ejemplo: 000 000 000 000 000 111 111 111 001 001 001 101 011 011 011 100 110 110 010 010 Mensaje: 10100 llevan al estado cero al codif Código transmitido 111 001 100 001 011 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 30 - Algoritmo deAlgoritmo de ViterbiViterbi • Ejemplo de funcionamiento, detección firme, codificador ejemplo: Código recibido 3 errores 110 101 100 101 011 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 3 2 0 0 2 1 2 3 Métricas de rama Métricas acumuladas * 2 1 4 2 3 5 3 5 7 4 2 3 3 camino de mínima distancia Podas x
  16. 16. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 31 - Algoritmo deAlgoritmo de ViterbiViterbi • Ejemplo de funcionamiento, detección firme, codificador ejemplo: Código recibido 4 errores 110 101 110 101 011 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 1 2 2 2 0 1 2 0 1 3 Métricas de rama Podas x Métricas acumuladas * 2 1 4 2 3 4 3 4 6 3 3 4 4 camino de mínima distancia Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 32 - Algoritmo deAlgoritmo de ViterbiViterbi • Detección indecisa: – con detección indecisa el algoritmo se realiza igual sólo hay que calcular distancias euclídeas en lugar de distancias de Hamming. – las distancias euclídeas para cada rama se calculan entre el/los símbolo/s recibidos y el/los símbolo/s generados por el codificador para esa rama. – Ejemplo QPSK: bE2bE2− 0 bE2 bE2− símbolo recibido distancias en la práctica se calculan como el módulo de la diferencia dos complejos
  17. 17. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 33 - Algoritmo deAlgoritmo de ViterbiViterbi • Detección indecisa: – se puede implementar el algoritmo utilizando en el receptor un banco de correladores. El algoritmo maximizará la correlación existente entre la secuencia recibida y todas las posibles secuencias transmitidas (que se representan como todos los posibles caminos del enrejado). – recuérdese que: 222 2 iii , xxyyxy +−=− distancia euclidea producto escalar = correlación minimizar distancia ≡ maximizar correlación Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 34 - Algoritmo deAlgoritmo de ViterbiViterbi • Aspectos prácticos del algoritmo de Viterbi: – la demodulación indecisa puede realizarse con un cierto grado de exactitud (= no es necesario calcular la distancia con absoluta precisión puede cuantificarse la salida del detector), el aumento de la Pe dependerá del grado de aproximación y de la SNR. Para SNR altas se puede cuantificar la salida del detector sin pérdidas apreciables en Pe. – si durante el funcionamiento del algoritmo de Viterbi se produce una fusión en algún punto (=a una profundidad dada) de los caminos de mínima distacia almacenados, puede tomarse la decisión sobre la parte fusionada sin pérdida de optimalidad.
  18. 18. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 35 - Algoritmo deAlgoritmo de ViterbiViterbi • Aspectos prácticos del algoritmo de Viterbi: – las métricas acumuladas pueden desbordar el computador para evitarlo se trabaja con las diferencias de métricas respecto a la mínima (máxima). – el almacenamiento de caminos largos produce dos problemas: • desbordamiento de la capacidad de memoria del sistema • excesivo retardo de la decisión que puede ser intolerable en algunos sistemas prácticos – para evitarlo se toman decisiones anticipadas, en la práctica si se realiza una decisión con 6K (K=longitud de influencia) bits de retraso no se producen efectos apreciables en Pe. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 36 - FunciFuncióón de transferencian de transferencia • La función de transferencia (o función generadora de caminos) de un código convolucional describe todos los caminos posibles del enrejado que empiezan y acaban en la secuencia todo ceros. – como el código es lineal, esto significa que se describen TODOS los caminos del enrejado. – esta función se utiliza, entre otras cosas, para calcular las propiedades de distancia del código y las prestaciones en términos de Pe. – para describirla utilizaremos el codificador ejemplo con: k=1, n=3 y K=3.
  19. 19. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 37 - Diagrama de estadosDiagrama de estados modificadomodificado • El diagrama de estados se puede representar de forma alternativa para generar la función de transferencia: – el estado “cero” se parte en dos: entrada y salida – cada rama se etiqueta como Dd, d= distancia Hamming a la secuencia todo ceros Estado a 00 Estado b 01 Estado c 10 Estado d 11 Estado e 00 D3 D D D2 D2 entrada salida DD2 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 38 - FunciFuncióón de transferencian de transferencia • El diagrama anterior está descrito por las siguientes expresiones, que relacionan la entrada-salida entre un estado y otro: be dcd dcb bac XDX XDXDX DXDXX DXXDX 2 22 3 = += += += • La función de transferencia se calcula como T(D)=Xe/Xa: ( ) ∑ ∞ = =+++= − == 6 1086 2 6 42 21 d d d a e DaDDD D D X X DT K ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = − )impar(0 )par(2 2/6 d d a d d Número de caminos Distancia a “todo ceros”
  20. 20. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 39 - Distancia libreDistancia libre • La función de transferencia nos proporciona las propiedades de distancia del código. En particular, la mínima distancia del código que se denomina distancia libre, dfree (para abreviar usaremos df). • La distancia libre del ejemplo es dfree=6. 000 000 000 000 000 111 111 111 001 001 001 101 011 011 011 100 110 110 010 010 a b c d Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 40 - Distancia libreDistancia libre • Distancias libres máximas que pueden obtenerse con códigos sistemáticos y no sistemáticos no catastróficos con memoria M y Rc=1/2 y 1/3. df Rc=1/2 df Rc=1/3 M Sistemático No Sistemático Sistemático No Sistemático 1 3 3 5 5 2 4 5 6 8 3 4 6 8 10 4 5 7 9 12 5 6 8 10 13 6 6 10 12 15 7 7 10 12 16
  21. 21. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 41 - FunciFuncióón de transferencian de transferencia • Para tener más información de los caminos se puede recalcular la función de transferencia a partir del diagrama de estados, etiquetando las ramas con: N cuando el bit de entrada al codificador fue 1 y J (para contar el número de ramas de un camino). Estado a 00 Estado b 01 Estado c 10 Estado d 11 Estado e 00 JND3 JD JND JND2 JD2 entrada salida JD JND2 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 42 - FunciFuncióón de transferencian de transferencia • El diagrama anterior está descrito por las siguientes expresiones, que relacionan la entrada-salida entre un estado y otro: be dcd dcb bac XJDX XJNDXJNDX JDXJDXX JNDXXJNDX 2 22 3 = += += += • La función de transferencia se calcula como T(D,N,J)=Xe/Xa: ( ) ( ) K++++++ = +− == 10371036103582582463 2 63 2 11 ,, DNJDNJDNJDNJDNJNDJ JJND NDJ X X JNDT a e Número de ramas=longitud del camino Número de 1s en la entrada = mensaje
  22. 22. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 43 - Probabilidad de error deProbabilidad de error de secuenciasecuencia • Se supone que se transmite la secuencia 0...0 y calcularemos la probabilidad de que se produzca un camino erróneo a una cierta profundidad de entrelazado que empieza y acabe en el 0...0 – Calculamos la probabilidad de error entre la secuencia todo ceros y una secuencia con d bits codificados (1s) diferentes (d>df), P2(d), que empieza y acaba en ella. Como si estuvieran solas, como si no hubiera ninguna otra (el error se produce a una cierta profundidad de entrelazado) – La probabilidad del evento erróneo vendrá dada (utilizando la cota de la unión) por: ( )∑ ∞ = ≤ freedd de dPaP 2 – Donde ad se puede calcular utilizando la función de transferencia. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 44 - Probabilidad de error deProbabilidad de error de secuenciasecuencia • Para decodificación firme se puede demostrar que P2(d) valdrá: ( ) ( )[ ]2 2 14 d ppdP −≤ • Y para decodificación indecisa suponiendo modulación PSK binaria: ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ dR N E QdP c b 0 2 2
  23. 23. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 45 - Probabilidad de error deProbabilidad de error de bitbit • Procedimiento SOFT decoding (supongamos modulación binaria): – El número medio de bits entregados error por el decodificador para cada celda decodificada se calculará sumando para todas las distancias d, el producto entre P2(d) y el número medio de bits decodificados por error para los caminos a distancia d. Esto será: ( ) ( )∑∑ ∑ ∞ = ∞ = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ freefree dd d dd h dhe dPdPhNN 22 β – Donde βd nos proporciona el número medio de bits por celda decodificados con error (de unos) para los caminos a distancia d del todo ceros. – Utilizando la función generadora de caminos sabemos que el exponente de N nos da el número de bits de información erróneos (nº de 1s decodificados) que posee un cierto camino que diverge del 0...0. Luego con la función generadora puede calcular βd. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 46 - Probabilidad de error deProbabilidad de error de bitbit • Procedimiento SOFT decoding (supongamos modulación binaria): – En los exponentes de N se buscaría el número de bits de información decodificados erróneamente para cada camino. ( ) ( ) ∑ ∑ ∞ = == freedd h hd dh NDNNDTNDT 1,,, – Se puede calcular βd como: ( ) ∑∑ ∑ ∞ = ∞ == = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ freefree dd d d dd d h dh N DDhN N NDT β 1 , – Finalmente: ( )∑ ∞ = =≤ freedd d e b dP kk N P 2 1 β
  24. 24. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 47 - Ganancia de codificaciGanancia de codificacióónn • De las expresiones anteriores se deduce que la ganancia de codificación (en SNR) obtenida con un código convolucional sobre una modulación BPSK o QPSK viene dada por: ( )fcc dRG log10≤ • La distancia libre puede aumentarse (aumentando la memoria, M=k(K-1)): – disminuyendo Rc (aumentar n, Rc=k/n) – aumentando la longitud de influencia K (=>la memoria) • Los resultados de las ganancias de codificación son unos 2 dB más bajos cuando se utiliza decodificación firme en lugar de indecisa. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 48 - Ganancia de codificaciGanancia de codificacióónn
  25. 25. Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 Comunicaciones Digitales Avanzadas - Tema 4 - 49 - Ganancia de codificaciGanancia de codificacióónn

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