Movimiento Armónico Simple

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La siguiente presentación corresponde a un proyecto final de la materia de Laboratorio de Física General, donde se trata de llegar a una fórmula que nos indique el periodo de oscilación con respecto a la masa.

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Movimiento Armónico Simple

  1. 1. Proyecto FinalProyecto Final ””Movimiento armónico simple”Movimiento armónico simple” Laboratorio de Física General UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas Alejandra Valencia Ramírez Abelardo Castellejo García Ana Cristina Chávez Cáliz Blanca de Jesús Gómez Orozco Maritza Thalia Bernabé Morales
  2. 2. Resumen El objetivo de este experimento fue investigar la variación del periodo de oscilación en función de la masa atada a un resorte. Creemos que a mayor masa, menor es el periodo. El valor obtenido para las variables resultaron ser, para este caso en particular, k= 0.5665 y p=0.6057, donde k y p forman parte de la ecuación T=pmk : T y m corresponden al periodo y masa, respectivamente, obteniendo la fórmula: T= 0.06057m0.5665 UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas
  3. 3. Introducción Un movimiento armónico simple (m.a.s.) es aquel movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas
  4. 4. Introducción  En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas
  5. 5. Metodología Experimental Para el experimento, montamos en el soporte universal una varilla, de la cual colgaba un resorte. De este, a su vez, colocamos diferentes masas (10 en total). UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas
  6. 6. Metodología Experimental A la izquierda, el esquema del experimento, arriba,nuestro montaje. UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas
  7. 7. Metodología Experimental  Los materiales usados fueron:  Un juego de masas.  Dos reglas.  Dos cronómetros.  Un resorte.  Un soporte universal. UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas
  8. 8. Metodología Experimental  2 personas hicieron la toma de el tiempo 3 veces por masa. Se usó un cronómetro, y al final se obtuvo un promedio de los tiempos obtenidos tomando en cuenta sus respectivas incertidumbres UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas
  9. 9. Metodología Experimental  Así mismo, entre otros 2 miembros del equipo se tomó nota sobre la disminución en la longitud del resorte (3 veces por masa), desde que va a su máxima longitud, hasta que se encoge. Se usaron una regla de un metro, y una de 30cm. UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas
  10. 10. Resultados Así, usando 10 masas diferentes (20gr., 40gr., 60gr., 80gr., 100gr., 120gr., 140gr., 160gr., 180gr. y 200gr.) se hicieron 3 tomas del incremento en el resorte, y 6 tomas del tiempo por masa, obtentiendo la siguiente tabla: UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas
  11. 11. Resultados MASA (gramos) DISTANCIA (metros) Promedio Distancia TIEMPO(segundos) Promedio Tiempo (20±05)gr. (0.05±0.005)m. (0.53±0.005)s. (0.50±0.005)s. (0.52±0.005)s. (0.04±0.005)m. (0.05±0.005)m. (0.47±0.005)s. (0.47±0.005)s. (0.05±0.005)m. (0.60±0.005)s. (0.53±0.005)s. (40±05)gr. (0.14±0.005)m. (0.57±0.005)s. (0.59±0.005)s. (0.57±0.005)s. (0.15±0.005)m. (0.15±0.005)m. (0.55±0.005)s. (0.43±0.005)s. (0.15±0.005)m. (0.63±0.005)s. (0.64±0.005)s. (60±05)gr. (0.30±0.005)m. (0.77±0.005)s. (0.63±0.005)s. (0.72±0.005)s. (0.30±0.005)m. (0.30±0.005)m. (0.64±0.005)s. (0.81±0.005)s. (0.30±0.005)m. (0.66±0.005)s. (0.81±0.005)s. (80±05)gr. (0.40±0.005)m. (0.75±0.005)s. (0.72±0.005)s. (0.75±0.005)s. (0.43±0.005)m. (0.41±0.005)m. (0.77±0.005)s. (0.79±0.005)s. (0.40±0.005)m. (0.84±0.005)s. (0.63±0.005)s. (100±05)gr. (0.55±0.005)m. (0.70±0.005)s. (0.71±0.005)s. (0.77±0.005)s. (0.55±0.005)m. (0.57±0.005)m. (0.84±0.005)s. (0.73±0.005)s. (0.60±0.005)m. (0.88±0.005)s. (0.75±0.005)s.
  12. 12. MASA (gramos) DISTANCIA (metros) Promedio Distancia TIEMPO(segundos) Promedio Tiempo (120±05)gr. (0.60±0.005)m. (0.96±0.005)s. (0.75±0.005)s. (0.77±0.005)s. (0.66±0.005)m. (0.63±0.005)m. (0.90±0.005)s. (0.99±0.005)s. (0.62±0.005)m. (1.02±0.005)s. (0.90±0.005)s. (140±05)gr. (0.80±0.005)m. (1.05±0.005)s. (1.11±0.005)s. (1.09±0.005)s. (0.80±0.005)m. (0.80±0.005)m. (1.11±0.005)s. (1.15±0.005)s. (0.81±0.005)m. (1.04±0.005)s. (1.07±0.005)s. (160±05)gr. (0.85±0.005)m. (1.14±0.005)s. (1.27±0.005)s. (1.21±0.005)s. (0.90±0.005)m. (0.88±0.005)m. (1.29±0.005)s. (1.26±0.005)s. (0.90±0.005)m. (1.17±0.005)s. (1.15±0.005)s. (180±05)gr. (0.95±0.005)m. (1.46±0.005)s. (1.27±0.005)s. (1.31±0.005)s. (1.00±0.005)m. (0.98±0.005) (1.30±0.005)s. (1.24±0.005)s. (1.00±0.005)m. (1.32±0.005)s. (1.26±0.005)s. (200±05)gr. (1.10±0.005)m. (1.31±0.005)s. (1.36±0.005)s. (1.34±0.005)s. (1.10±0.005)m. (1.10±0.005)m. (1.39±0.005)s. (1.24±0.005)s. (1.10±0.005)m. (1.45±0.005)s. (1.32±0.005)s. Resultados
  13. 13. Tabla 1 MASA (m) Tiempo (t) (20±0.5)gr. (0.52±0.005)s. (40±0.5)gr. (0.57±0.005)s. (60±0.5)gr. (0.72±0.005)s. (80±0.5)gr. (0.75±0.005)s. (100±0.5)gr. (0.77±0.005)s. (120±0.5)gr. (0.77±0.005)s. (140±0.5)gr. (1.09±0.005)s. (160±0.5)gr. (1.21±0.005)s. (180±0.5)gr. (1.31±0.005)s. (200±0.5)gr. (1.34±0.005)s. De la tabla anterior, tomando los promedios de las medidas que nos interesan, obtenemos esta segunda tabla, a la que llamaremos Tabla 1. UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas
  14. 14. Gráfica de la Tabla 1 en milimétrico UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 m (gr) T (s)
  15. 15. Interpretación de las gráficas Como pudimos ver en la gráfica en papel milimétrico, es evidente que existe una falla, muy probablemente debida a algún error en el experimento (el cual especificaremos más adelante); por lo cual decidimos hacer una nueva toma de datos, pero antes, haremos un análisis de la Tabla 1, para después compararla con la segunda muestra de datos. Debido a que la expresión que estamos manejando (T=pmk ) es de tipo potencial, trataremos los datos como tal. Graficaremos en papel logarítmico, linealizaremos por mínimos cuadrados y llegaremos a la función potencial correspondiente. UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas
  16. 16. Graficando la Tabla 1 en logarítmico. 10 100 m (gr) T (s)
  17. 17. Linealizando por mínimos cuadrados Con el cambio de variable x=log(m) , Y= log(T) PUNTOS Xi Yi 1 1.3 -0.28 -0.37 1.69 0.08 0.09 0.01 2 1.6 -0.25 -0.39 2.57 0.6 0 0 3 1.78 -0.14 -0.25 3.16 0.2 0.03 0 4 1.9 -0.13 -0.24 3.62 0.02 0 0 5 2 -0.12 -0.24 4 0.01 -0.04 0 6 2.08 -0.12 -0.24 4.32 0.01 -0.01 0 7 2.15 0.04 0.08 4.61 0 0.06 0 8 2.2 0.08 0.18 4.86 0.01 0.08 0.01 9 2.26 0.11 0.26 5.09 0.01 0.09 0.01 10 2.3 0.13 0.29 5.3 0.02 0.08 0.01 N 10 19.57 -0.67 -0.92 39.21 0.24 0.04 XiYi X1 2 Yi 2 δyi (δyi)2 Σxi ΣY1 ΣxiYi ΣX1 Σyi 2 ΣδYi Σ(δYi)2
  18. 18. Aplicando las fórmulas m= N∑ i=1 N xi yi −∑ i=1 N xi ∑ i=1 N yi  N ∑ i=1 N xi 2 −∑ i=1 N xi 2 b= ∑ i=1 N xi 2 ∑ i=1 N yi −∑ i=1 N xi ∑ i=1 N xi yi  N ∑ i=1 N xi 2 −∑ i=1 N xi 2 sy= ∑ i=1 N δyi 2 N−2 Δm=sy  N N ∑ i=1 N xi 2 −∑ i=1 N xi 2
  19. 19. Aplicando fórmulas Δb=s y  ∑ i=1 N xi 2 N ∑ i=1 N xi 2 −∑ i=1 N xi 2 r= ∑ i=1 N xi yi ∑ i=1 N xi 2 ∑ i=1 N yi 2 = { 1,−1 si todos los puntos coinciden exactamente sobre la recta 0, si no hay relación alguna entre las variables } y=−0. 418±0.061 x 0.888±0.1220 
  20. 20. Gráfica de la función -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 X Y
  21. 21. Conversión a una expresión potencial Y=mX +b y=axn Si n= m= -0.418 Y log(a)= b, entonces, a= 10b = 7.726 Entonces: T= 7.726m-0.418 Donde m es la variable independiente y T la variable dependiente
  22. 22. Gráfica de la función exponencial En milimétrico En logarítmico 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 m(gr) T(s) 10 100 X Y
  23. 23. Tabla 2 Como mencionamos con anterioridad, la gráfica de los datos tomados al principio muestran un error. Tomamos una nueva muestra, esta vez con rango en las masas que va de 10gr. A 100gr. A esta nueva tabla, la denominaremos Tabla 2 MASA (gramos) PERIODO (segundos) (10±05)gr. (0.23±0.005)s. (20±05)gr. (0.34±0.005)s. (30±05)gr. (0.4±0.005)s. (40±05)gr. (0.49±0.005)s. (50±05)gr. (0.52±0.005)s. (60±05)gr. (0.58±0.005)s. (70±05)gr. (0.68±0.005)s. (80±05)gr. (0.75±0.005)s. (90±05)gr. (0.81±0.005)s. (100±05)gr. (0.84±0.005)s.
  24. 24. Gráfica de la Tabla 2 en milimétrico UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 m (gr) T (s)
  25. 25. Graficando la Tabla 3 en logarítmico. 10 100 0.1 m (gr)T (s)
  26. 26. Linealizando por mínimos cuadrados Con el cambio de variable X=log(m) , Y= log(T) Puntos Xi Yi XiYi Xi² Yi² δYi (δYi)² 1 1.000 -0.638 -0.638 1.000 0.407 0.013 0.000 2 1.301 -0.469 -0.610 1.693 0.220 0.012 0.000 3 1.477 -0.398 -0.588 2.182 0.158 -0.017 0.000 4 1.602 -0.310 -0.497 2.566 0.096 0.000 0.000 5 1.699 -0.284 -0.483 2.887 0.081 -0.029 0.001 6 1.778 -0.237 -0.421 3.161 0.056 -0.027 0.001 7 1.845 -0.167 -0.308 3.404 0.028 0.006 0.000 8 1.903 -0.125 -0.238 3.621 0.016 0.015 0.000 9 1.954 -0.092 -0.180 3.818 0.008 0.019 0.000 10 2.000 -0.076 -0.152 4.000 0.006 0.009 0.000 N Σxi Σyi ΣxiYi Σxi² Σyi² ΣδYi² 10 16.559 -2.796 -4.114 28.332 1.076 0.003
  27. 27. Aplicando las fórmulas m= N∑ i=1 N xi yi −∑ i=1 N xi ∑ i=1 N yi  N ∑ i=1 N xi 2 −∑ i=1 N xi 2 b= ∑ i=1 N xi 2 ∑ i=1 N yi −∑ i=1 N xi ∑ i=1 N xi yi  N ∑ i=1 N xi 2 −∑ i=1 N xi 2 sy= ∑ i=1 N δyi 2 N−2 Δm=sy  N N ∑ i=1 N xi 2 −∑ i=1 N xi 2 m= 10−4.112−16.560−2.795 1028.335−16.5602 =0.5665 b= 28.335−2.795−16.560−4.112 1028.335−16.5602 =−1.2177 S y= 0.003 8 =0.01936  m=0.01936  10 1028.335−16.5602 =0.0202
  28. 28. Aplicando fórmulas Δb=s y  ∑ i=1 N xi 2 N ∑ i=1 N xi 2 −∑ i=1 N xi 2 r= ∑ i=1 N xi yi ∑ i=1 N xi 2 ∑ i=1 N yi 2 = { 1,−1 si todos los puntos coinciden exactamente sobre la recta 0, si no hay relación alguna entre las variables }  b=0.01936  28.335 1028.335−16.560 2 =0.0341 Y =0.5665±0.2020 X−1.2177±0.0341 ¿ −4.112 28.3351.076 =−0.7447
  29. 29. Gráfica de la función 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 XY
  30. 30. Conversión a una expresión potencial Y=mX +b y=axn Si n= m= 0.5665 Y log(a)= b, entonces, a= 10b =0.06057 Entonces: T= 0.06057m0.5665 Donde m es la variable independiente y T la variable dependiente
  31. 31. Gráfica de la función exponencial En milimétrico En logarítmico 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 m(gr) T(s) 10 100 1000 0.1 X Y
  32. 32. Discusión En resumen, a partir de los datos tomados pudimos comprobar que la expresión que nos muestra el periodo en función de la masa es de tipo potencial. La fórmula refreja que conforme se usan objetos de mayor masa, el aumenta. UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas
  33. 33. Conclusiones Dentro de las dificultades, como mencionamos, la primera toma de datos tuvo errores debido a que nuestro rango de masas era muy alto, lo cual provocó una alteración en el resorte. Para nuestra segunda toma de datos, limitamos nuestro rango de masas y estuvimos al pendiente de que el resorte no sufriera cambios. También habría que agregar los errores que como humanos tenemos al momento de hacer una medición y errores de conceptos. UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas
  34. 34. Agradecimientos Al MC. Leonel Abad Ortíz por permitirnos el uso de las instalaciones del laboratorio y material, así como las correcciones hechas. También a la Dra. Mary Carmen Peña Gomar por su asesoria en el experimento. UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas
  35. 35. Referencias Movimiento armónico simple. Extraído desde: http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico Estudio de los modelos de oscilador con un grado de libertad http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm Movimientos armónico http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon- C/Curiosid/Rc-28/cinemat.htm UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas
  36. 36. Apéndices UMSNH | Licenciatura en Ciencias Físico Matemáticas Movimiento Armónico Simple (3)

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