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Unidad 3 logaritmos

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  • 1. 1
  • 2. MAPA DE NAVEGACIÓN Ejemplos Objetivo 1 Objetivo 2 Objetivo 3 Objetivo 4 Objetivos específicos LOGARITMOS Índice Objetivo 5 Objetivo 6 Objetivo 7 Objetivo 8 Objetivos y Teoría Ejercicios resueltos Objetivo 1 Objetivo 2 Objetivo 3 Objetivo 4 Objetivo 5 Objetivo 6 Objetivo 7 Objetivo 8
  • 3.  Objetivo general.  Objetivos Específicos  Ejemplos  Ejercicios Resueltos Inicio 3
  • 4. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1.-Reconocerás las necesidades que motivaron el descubrimiento de los logaritmos y valorarás su importancia y utilidad en el desarrollo de las matemáticas aplicadas (Este objetivo no se desarrolla en la Presentación. Puedes verlo en los Apuntes correspondientes a esta Unidad). 2.- Reconocerás la definición de logaritmo. 3.- Recordarás la diferencia entre los logaritmos naturales y los logaritmos base diez. 4.- Recordarás las propiedades generales de los logaritmos. 4
  • 5. 5.-Recordarás las leyes de las operaciones con logaritmos. 6.-Recordarás el procedimiento para cambiar logaritmos de una base a otra. 7.-Resolverás ecuaciones que involucren logaritmos. 8.-Aplicarás logaritmos en la resolución de problemas de casos reales. Índice 5
  • 6. Objetivo 2 Objetivo 3 Objetivo 4 Objetivo 5 Objetivo 6 Objetivo 7 Índice 6
  • 7. Objetivo 2 Objetivo 3 Objetivo 4 Objetivo 5 Objetivo 6 Objetivo 7 Objetivo 8 Índice 7
  • 8. Al terminar esta Unidad comprenderás la importancia histórica de los logaritmos y resolverás ejercicios y problemas en los que apliques los logaritmos y sus leyes. Índice 8
  • 9. OBJETIVO 2 La definición de logaritmo es la siguiente: Para todos los números positivos a, donde y log a x significa a y a 1 , x En palabras, el logaritmo del número x en la base a es el exponente al que debe elevarse la base a para obtener el número x. 9
  • 10. En la expresión la palabra log es una abreviatura de la palabra logaritmo, la letra a representa la base y la letra x representa el número cuyo logaritmo se desea obtener. Por ejemplo, escribir significa . Aquí, el logaritmo es 2, la base es 10 y el número cuyo logaritmo se desea es 100. En otras palabras, el logaritmo 2 es el exponente al que hay que elevar la base, 10, para obtener el número 100. 10
  • 11. la siguiente figura se ilustra la relación entre la notación de logaritmos y la notación exponencial: Logaritmo Número Exponente y log a x Base Número x a y Base Objetivos específicos 11
  • 12. OBJETIVO 2 .- EJEMPLOS Las siguientes expresiones exponenciales y logarítmicas son equivalentes: 1.) 10 2.) 4 3.) 0 2 1 1 16 5 5.) log 5 log 4 16 1 2 4.) log 10 1 0 1 2 2 2 5 25 log 3 81 4 1 log 1 32 2 5 32 1 25 3 4 81 12
  • 13. IDENTIDADES  Como consecuencias de la definición de logaritmo, se pueden deducir estas identidades:   Si a > 0 y a ≠ 1, entonces  1.) 2.) log a a a log a x x x x (x 0) 13
  • 14. EJEMPLOS IDENTIDADES 5 1.) log 6 6 5 2.) log 6 6 3.) 3 log 3 7 7 4.) 5 log 5 x x x x x 0 Ejemplos 14
  • 15. OBJETIVO 2.- EJERCICIOS RESUELTOS a.) Escribe la forma logarítmica de las expresiones dadas en forma exponencial. 1.) 2 6 64 La base es 2 y el exponente es 6, por lo que log 2 64 2.) 1 3 1 5 125 La base es 1 3.) 2 4 6 5 1 y el exponente es 3, de modo que lo g 1 5 3 125 1 16 La base es 2 y el exponente es – 4, así que lo g 2 1 4 16 15
  • 16. b.) Escribe la forma exponencial de las expresiones dadas en forma logarítmica. 4.) log 6 36 2 La base es 6 y el logaritmo es 2, por lo que 6 2 36 5.) log 3 243 5 La base es 3 y el logaritmo es 5, así que 3 5 243 6.) 1 log 1 3 4 81 La base es 1 y el logaritmo es 4, de modo que 3 1 3 4 1 81 16
  • 17. c.) Escribe en forma exponencial y determina el valor de la incógnita. 7.) y lo g 5 2 5 En forma exponencial: 5 y Como 5 2 8.) 2 25 25 , entonces y lo g a 1 6 En forma exponencial: a 2 Como 4 2 9.) 3 2 16 , queda a 16 4 log 1 x 2 En forma exponencial: Entonces, x 1 2 3 x Ejercicios resueltos 1 8 17
  • 18. OBJETIVO 3 Los logaritmos de base 10 se conocen como logaritmos comunes o logaritmos de Briggs, Éste es el sistema de logaritmos que se utiliza, principalmente, para realizar operaciones aritméticas. 18
  • 19. En este tipo de logaritmos los números como 10, 100, 1000, 0.1, 0.01, 0.001, etcétera, es decir las potencias de diez, tienen como logaritmos a números enteros, y cualquier otro número tiene como logaritmo a un número entero más una fracción. El logaritmo común de x se denota como . lo g x Objetivos específicos 19
  • 20. OBJETIVO 3.- EJEMPLOS 1.) log100 2 2.) log 0.0001 3.) log 5 0 0.698970... 4.) log 0.5 4 1 0.698970... 20
  • 21. A la parte entera de un logaritmo común se le conoce como característica y a la parte fraccionaria como mantisa. 21
  • 22. Otro sistema de logaritmos, muy importante por su uso, es el de los logaritmos naturales, o logaritmos neperianos, que tiene como base el número irracional e = 2.71828.... ; el logaritmo natural de x se representa por ln x. 22
  • 23. EJEMPLOS Como es de esperarse, en este tipo de logaritmos los números que tienen logaritmos enteros son las potencias de e. 1.) ln e 1 2.) ln e 3.) ln 6 1.791759... 4.) ln 0.6 5 5 0.510823... 23
  • 24. Los logaritmos naturales se generaron para el estudio de cuestiones teóricas en el cálculo diferencial e integral, y para la descripción de fenómenos naturales, 24
  • 25. por ejemplo, para determinar la longitud de la trayectoria de un proyectil; la cantidad de trabajo hecho por un gas que se expande; el tiempo que requiere un objeto caliente para enfriarse a una temperatura dada; el tiempo necesario para que una colonia de bacterias crezca a un tamaño dado, entre otras muchas. Ejemplos 25
  • 26. OBJETIVO 3.- EJERCICIOS RESUELTOS Con ayuda de unas tablas o una calculadora, encuentra los logaritmos comunes y los logaritmos naturales de los números que se proponen: 1.) 3 log 3 0.477121... ln 3 1.098612... 2.) 300 log 300 ln 3 2.477121... 5.703782... 26
  • 27. 3.) 1 30 log 1 ln 1 4.) 1.477121... 30 30 3.401197... 30, 000 log 30, 000 ln 30, 000 4.477121... 10.308953... Ejercicios resueltos 27
  • 28. OBJETIVO 4 Las propiedades generales de cualquier sistema de logaritmos son: 1. La base tiene que ser un número positivo diferente de 1. 2. El cero y los números negativos no tienen logaritmo. 3. El logaritmo de la base es 1. 28
  • 29. 4. El logaritmo de 1 es cero. 5. Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo. 6. Los números comprendidos entre cero y 1 tienen logaritmo negativo. 29
  • 30. En el cálculo avanzado, con la introducción de los números complejos y las funciones que tienen dominios complejos, algunas de estas restricciones desaparecen, pero se anotan aquí para fines prácticos de nivel básico. Objetivos específicos 30
  • 31. OBJETIVO 4.- EJEMPLOS 1.) log 2.) ln 4 x y log 34 11 y log 2 3.) log 7 7 a no existen, porque las bases so n negativas. 0.75 no existen puesto que son núm eros negativos. 1, log 15 15 4 .) lo g 1 ln 1 1, lo g 3 1 log 0.443 0.443 lo g 1 5 1 0 7 5.) log 67 6.) ln 0.79 1.826075..., log 321 0.235722..., log 2 3 2.506505, ln 92. 1 0.176091..., ln 0. 443 4.522875... 0.814186... Ejemplos 31
  • 32. OBJETIVO 4. EJERCICIOS RESUELTOS Escribe una X si el logaritmo no existe, un 1 o un 0 si ése es su valor, y una P si es positivo (diferente de 1) o una N si es negativo. 1.) ln 0 X 2.) log 5 73 P 3.) log 2 3 4 X 32
  • 33. Escribe una X si el logaritmo no existe, un 1 o un 0 si ése es su valor, y una P si es positivo (diferente de 1) o una N si es negativo. 4.) log 12 12 1 5.) log 9 1 X 6.) log 1 18 X 7.) log 3 0.11 N Ejercicios resueltos 33
  • 34. OBJETIVO 5. RECORDARÁS LAS LEYES DE LAS OPERACIONES CON LOGARITMOS. Ley del producto: En cualquier sistema de logaritmos, para los números positivos x, y se cumple que lo g a x lo g a y lo g a xy Ley del cociente: En cualquier sistema de logaritmos, para los números positivos x, y se cumple que lo g a x lo g a y lo g x a y 34
  • 35. Ley de la potencia:  En cualquier sistema de logaritmos, para el número positivo x y para cualquier número n, se cumple que n lo g x a lo g a x n Las demostraciones de estas leyes son sencillas si se recurre a la notación exponencial. Por ejemplo, para demostrar la regla del cociente basta considerar que si lo g a x p, y lo g a y q 35
  • 36. Entonces a como: p x y x y a a q y p q a a p q resulta que: p q lo g x y lo g x lo g y lo g x y Las otras dos leyes se demuestran en forma similar y su aplicación es directa. Objetivos específicos 36
  • 37. OBJETIVO 5.- EJEMPLOS 1 .) 2 .) lo g 4 3 lo g 4 5 lo g 3 .) 7 6 lo g 8 ln x 3 5 lo g 4 6 ln 4 7 lo g 4 1 5 lo g 6 8 x ln 4 4 .) lo g 5 12 x 3y lo g 5 1 2 x log 5 12 log 5 12 lo g 5 log 5 x log 5 x 3y log 5 3 log 5 3 log 5 y log 5 y 37
  • 38. 5.) 6 .) 3 log 2 5 lo g 4y x 2 log 2 5 3 log 2 125 3 lo g 4 y 3 lo g 3 log 4 log y log 4 3 log y log 4 3 log y x 2 log x 2 2 log x 2 log x Ejemplos 38
  • 39. OBJETIVO 5 EJERCICIOS RESUELTOS a.) Demuestra la ley del producto para los logaritmos. log a x p x a p log a y q y a q xy a log xy p p a q q a log x p q log y 39
  • 40. b.) Aplica las leyes de los logaritmos para desarrollar las siguientes expresiones: 1 .) lo g x 3 x 2 log 3 x 2 .) log 3 x lo g 9 4 x 3 .) x 2 2 2 log 9 4 lo g 12 5 1 lo g 1 2 5 12 lo g 5 2 12 40
  • 41. 4 .) 2 3 lo g 4 7 4 lo g 2 3 7 4 log 2 log 3 log 7 2 5 .) lo g 2 x 3 2 y 2 lo g 2 2 3 2 3 2 3 2y x lo g 2 lo g 2 x lo g 2 x 3 x 2y lo g 2 2 y lo g 2 2 lo g 2 y 41
  • 42. c.)Aplica las leyes de los logaritmos para reducir las expresiones: 6.) 2 log x log x 2 log y 2 log y lo g x 7.) ln a ln a 2 y 2 2 ln b ln b ln a ln ln c ln c ln b c a bc 42
  • 43. 8 .) 2 lo g 5 5 log 3 b 2 log 3 a b 9 .) 5 log x 2 5 3 x log y log y lo g 7 3 x 7 2 log y log x 5 1 3 lo g 10.) b 5 a b lo g 7 3 3 2 log 3 a 5 b log 3 lo g 5 3 2 log 3 a 3 a 3 2 y 3 log z log z xz y 2 43
  • 44. d.) Sabiendo que log 2 = 0.301030...; log 3 = 0.477121...; log 5 = 0.698970... y log 7 = 0.845098...; calcula, utilizando sólo estos valores, los siguientes logaritmos: 11.) log 4 2 log 2 2 0.301030... 0 .6 0 2 0 6 0 ... 44
  • 45. log 42 1 2 .) log 2 3 7 lo g 4 2 log 2 log 3 log 7 0.301030... 0.477121... 0.845098... 1.623249... lo g 2 .5 13.) lo g 5 2 log 2.5 log 5 log 2 0.698970... 0.301030... 0 .3 9 7 9 4 0 ... 1 4 .) lo g 3 1 7 log 2 log 3 7 3 7 1 lo g 3 lo g 7 2 1 0.477121... 0.845098... 2 1 0 .3 6 7 9 7 7 ... 2 0 .1 8 3 9 8 9 ... Ejercicios resueltos 45
  • 46. OBJETIVO 6 RECORDARÁS EL PROCEDIMIENTO PARA CAMBIAR LOGARITMOS DE UNA BASE A OTRA. El concepto de cambio de base se deriva de la definición de logaritmo. Para entender mejor el procedimiento se presenta un ejemplo: Se trata de encontrar el logaritmo de 39 en base 2, a partir de su logaritmo en base 10. Para ello, se plantea la incógnita a encontrar, x: x lo g 2 39 46
  • 47. o, por la definición de logaritmo 2 x 39 al aplicar el logaritmo (base 10) en la expresión anterior y tomando en cuenta la ley de la potencia, se obtiene lo g 2 x x lo g 2 lo g 3 9 y resulta que: x lo g 3 9 lo g 2 47
  • 48. de donde se puede encontrar x con ayuda de tablas o de una calculadora, log 39 1.591065... log 2 x 0.301030... 5.285402... de modo que log 2 39 5.285402... El procedimiento anterior se puede generalizar fácilmente para mostrar que : log b x log a x log a b que es la expresión que permite encontrar el logaritmo de un número x en la base b si se conocen el logaritmo de ese mismo número y el de b, en cualquier otra base. 48 Objetivos específicos
  • 49. OBJETIVO 6.- EJEMPLOS 1.) Para obtener , sabiendo que , se aplica la fórmula indicada: log 7 81 log 3 81 4 log 3 7 1.771244... 2.258300... 2.) Para obtener log 0.35, sabiendo que ln 0.35 = – 0.049822... y ln 10 = 2.302585..., de acuerdo con la fórmula dada se calcula: lo g 0 .3 5 ln 0 .3 5 ln 1 0 1 .0 4 9 8 2 2 ... 0 .4 5 5 9 3 2 ... 2 .3 0 2 5 8 5 ... 49
  • 50. 3.) Para obtener ln 5.76, sabiendo que log 5.76 = 0.760422... y log e = 0.434294..., se procede igual que en los casos anteriores: ln 5 .7 6 lo g 5 .7 6 0 .7 6 0 4 2 2 ... lo g e 0 .4 3 4 2 9 4 ... 1 .7 5 0 9 3 8 ... Ejemplos 50
  • 51. OBJETIVO 6.- EJERCICIOS Obtén los valores de los logaritmos que se solicitan, a partir de los que se dan. 1.) log 2 5 si log 5 log 2 5 0.698970... y log 2 0.301030... log 5 log 2 0.698970... 0.301030... 2.321929... 51
  • 52. 2.) ln 72 si log 72 ln 72 1.857333... y log e 0.434294... log 72 log e 1.857333... 0.434294... 4.276666... 3 .) lo g 5 1 4 si y lo g 3 7 lo g 3 5 log 5 14 1 .7 7 1 2 4 4 ... , lo g 3 2 0 .6 3 0 9 3 0 .. . 1 .4 6 4 9 7 4 ... log 3 14 log 3 5 log 3 7 log 3 2 log 3 5 1 .7 7 1 2 4 4 ... 0 .6 3 0 9 3 0 ... 1 .4 6 4 9 7 4 ... 2.402174... 1.464974... 1 .4 6 4 9 7 4 ... Ejercicios resueltos 52
  • 53. OBJETIVO 7. - RESOLVERÁS ECUACIONES QUE INVOLUCREN LOGARITMOS. Para resolver este tipo de ecuaciones, generalmente se deben aplicar las leyes de los logaritmos para que la incógnita aparezca en un único logaritmo y, luego, recurrir a la definición de logaritmo para eliminar a éste. 53
  • 54. El resto del procedimiento consiste en resolver la ecuación resultante en forma usual. Sin embargo, es necesario cuidar que la solución obtenida respete las propiedades de los logaritmos, particularmente la de que no existen logaritmos de números negativos ni el logaritmo de cero. Objetivos específicos 54
  • 55. OBJETIVO 7.- EJEMPLOS 1.) Para obtener el valor de x en la ecuación log 4 x 3 log 2 4 log 3 se aplican las leyes de logaritmos para dejar: lo g 4 x lo g 2 3 lo g 3 3 lo g 2 3 lo g 4 x 4 4 lo g 8 8 1 lo g 6 4 8 55
  • 56. entonces, al tomar la definición de logaritmo queda 10 4x 10 648 y, de aquí: 4x x 648 648 162 4 56
  • 57. 2.) Para obtener el valor de x en la ecuación log 2 x 3 log 2 x 2 se aplican las leyes de logaritmos y: log 2 x lo g 2 lo g 2 log 2 x x 3 x 1 2 x 3 2 2 2 de acuerdo con la definición de logaritmo: 1 x 2 1 x 2 4x 2 2 4 2 1 4 57
  • 58. A partir de esta última expresión se podrían obtener dos valores para x: x 1 2 o x 1 2 pero el valor negativo no se puede aceptar, puesto que en la ecuación original se tiene log 2 x y, como se indicó anteriormente, los números negativos no tienen logaritmos. Por lo tanto, la solución es: x 1 2 58
  • 59. 3.) Para obtener el valor de x en la ecuación ln 2 x 2 4 2 ln x 4 se reescribe ln 2 x 2 4 2 ln x 4 se aplica la ley de la potencia ln 2 x 2 4 ln x 4 2 y la definición de logaritmo para obtener que: e 2x 2 4 e x 4 2 59
  • 60. entonces 2x 2x x 2 2 2 4 4 x x 4 2 2 8 x 16 8 x 20 0 De esta última se ecuación se obtiene que x 2 o x 10 , pero ninguno de los dos valores puede aceptarse porque en la ecuación original el divisor ln x 4 , quedaría como ln 2 o ln 14 . Por tanto, la ecuación no tiene solución (en los números reales). 60
  • 61. 2x 2x x 2 2 2 4 4 x x 4 2 2 8 x 16 8 x 20 0 De esta última se ecuación se obtiene que x 2 o x 10 , pero ninguno de los dos valores puede aceptarse porque en la ecuación original el divisor ln x 4 , quedaría como ln 2 o ln 14 . Por tanto, la ecuación no tiene solución (en los números reales). Ejemplos 61
  • 62. OBJETIVO 7.- EJERCICIOS RESUELTOS 1.) log 2 x 4 2 x 4 10 2 2 100 2 x 100 4 104 x 52 62
  • 63. 2.) log y 1 log y 1 y log y 9 log y 1 y log y 9 y 1 y log y y y y log y log y 9 0 0 9 1 y 10 0 1 9 1 y y y 2 y y y 2 9 9 0 y 3 o 9 y 3 pero la solución negativa no puede aceptarse, de modo que y 3 63
  • 64. 3.) log 1 x 1 lo g x log x 1 1 log lo g x 1 2 1 x 4 lo g x 4 2 log x 1 2 log x log x log x 1 x 1 x 4 log x 1 1 log 1 x 1 2 3x x x 1 x x x 1 2 log x 4 log x 4 2 2 4 x 4 4 x x 2 1 2x 2 1 5 Ejercicios resueltos 64
  • 65. OBJETIVO 8. APLICARÁS LOGARITMOS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CASOS Ejercicios Resueltos 1.) Para determinar la edad de una roca, la ciencia ha desarrollado una técnica basada en la concentración de cierto material radiactivo en su interior. Cuanto más joven es la roca, mayor concentración de material radiactivo se encuentra en ella. La ecuación que relaciona la concentración del material con la edad de la roca es: C x 3 t k 65
  • 66. donde representa la concentración del material radiactivo encontrada en la roca, t la edad de la roca (medida en cientos de años) y k la concentración del elemento en el momento de formarse la roca. Suponiendo que k = 4500: a.) ¿Qué edad tendrá una roca que tiene una concentración de 1500 del material radiactivo? b.) ¿Qué edad tendría que tener una roca para que ya no tuviera el material radiactivo? 66
  • 67. Si se aplican logaritmos a la ecuación dada se obtiene: ln C x ln C x t ln 3 k ln 3 t ln 3 t ln k ln k que sería la ecuación escrita en forma logarítmica. De esta manera, en el inciso a.), al sustituir los valores de C x y de k queda: ln1500 t ln3 ln 4500 t ln 3 ln 4500 ln 1500 67
  • 68. ln 4500 ln 3 1500 t 1 De modo que la edad de la roca es de 100 años (puesto que t = 1 y el tiempo se mide en cientos de años). Para el inciso b.), el material radiactivo se acabaría cuando su concentración llegara a cero, lo que significaría que: ln 0 t ln 3 ln k Pero el logaritmo de cero no existe, de modo que la ecuación no tiene solución, por lo que, teóricamente, siempre quedaría un resto (mínimo) de material radiactivo. 68
  • 69. 2.) Si se invierte un capital a una tasa fija y los intereses se capitalizan periódicamente, es decir que se suman al capital y la suma obtenida se reinvierte con la misma tasa por otro período igual, el capital original se incrementa con la fórmula del interés compuesto, según la cual, después de n períodos se tiene: Cf ci 1 r n donde C f es el capital acumulado, c i es el capital inicial y r es la tasa de interés. 69
  • 70. En cuántos años se logrará que un capital de $ 10,000.00 invertido a una tasa del 3.5% anual se incremente hasta $ 11,475.00? Solución: Al convertir la fórmula del interés compuesto a su forma logarítmica se tiene: log C f log c i log 1 r log C f n log ci 1 r n log ci n log 1 r 70
  • 71. Entonces, si C f 11, 475, c i 10, 000 y r 0.035 , al sustituir valores queda: log11, 475 log10, 000 n log 1 0.035 y, resolviendo para n: n log 1.035 log11, 475 log10, 000 11, 475 log log 1.1475 10, 000 n log 1.1475 4 log 1.035 Por lo que tendrán que transcurrir 4 años para obtener la cantidad deseada. 71
  • 72. 3.) Si un objeto que está a una temperatura dada se saca a la intemperie, el objeto se calienta si la temperatura ambiente es mayor y se enfría en el caso contrario. La ley del enfriamiento de Newton, que explica el cambio de temperatura del cuerpo es: T Q Ce kt donde T es la temperatura del objeto después de un tiempo, t, medido en minutos, Q es la temperatura a la intemperie y C y k son constantes que dependen de las características del objeto y de su temperatura inicial. Si para una taza de café C = 80 y k = – 0.069315, ¿cuánto tiempo hay que esperar para que el café esté a 60º C si la temperatura ambiente es de 20º C? 72
  • 73. Solución: Si se convierte la ecuación a la forma logarítmica se obtiene: T Q T Ce Q k t e k t C ln T Q ln e k t C k t ln e ln T Q kt C en donde se ha escogido utilizar logaritmos naturales para aprovechar que ln e 1. 73
  • 74. Entonces, si T 60 y Q 20, al sustituir valores queda: ln 60 20 0.069315 t 80 y, resolviendo para t: ln 40 ln 0.5 0.069315 t 80 t ln 0.5 0.069315 0.69315 10 0.069315 De modo que hay que esperar 10 minutos para que el café esté a 60º C Índice 74

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