Matematica discreta fasciculo_1_v7
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Matematica discreta fasciculo_1_v7 Matematica discreta fasciculo_1_v7 Document Transcript

  • Universidade Federal Rural de PernambucoReitor: Prof. Valmar Corrêa de AndradeVice-Reitor: Prof. Reginaldo BarrosPró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos CarvalhoPró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti SiepierskiPró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José FreirePró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo FerreiraPró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de SenaCoordenação de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva SantosProdução Gráfica e EditorialCapa e Editoração: Allyson Vila Nova, Rafael Lira, Aline Luciana Fidelis e Alesanco AndradeRevisão Ortográfica: Ivanda MartinsIlustrações: Allyson Vila Nova e Diego AlmeidaCoordenação de Produção: Marizete Silva Santos
  • Sumário Plano da Disciplina ...................................................................................... 6 Ementa .................................................................................................. 6 Objetivo Geral........................................................................................ 6 Objetivos Específicos ............................................................................ 6 Conteúdo Programático......................................................................... 6 Referências ........................................................................................... 7 Apresentação ............................................................................................... 8 Capítulo 1 - Conjuntos: uma breve revisão. .............................................. 9 1.1 Definições. ....................................................................................... 9 Capítulo 2 - Álgebra de Conjuntos: como operar com conjuntos? ...... 18 2.1 Operações entre conjuntos................................................................ 18 2.2 Partição de um conjunto .................................................................... 28 2.3. Cardinal da união e da interseção. ................................................. 29 2.4. Produto Cartesiano. .......................................................................... 35 2.5 Produto Cartesiano de k conjuntos.................................................... 37 2.6. Identidades de conjuntos. ................................................................. 38 Capítulo 3 - Introdução à Lógica Matemática.......................................... 43 3.1 Proposições compostas..................................................................... 44
  • 3.2 Tautologias e Contradições ............................................................... 51 3.3 Negação de conjunção e de disjunção ............................................. 53 3.4 Álgebra das proposições. .................................................................. 54 3.5 Funções proposicionais. Quantificadores. ......................................... 59 3.5.1 Quantificadores. ......................................................................... 59 3.5.2 Negação de sentenças quantificadas ........................................ 60Capítulo 4 - Portas Lógicas....................................................................... 65 4.1 Porta Not (Não).................................................................................. 65 4.2 Porta Or (Ou) .................................................................................... 66 4.3 Porta And (E) ..................................................................................... 67 4.4. Porta Nand e Porta Nor. ................................................................... 68 4.5. Portas XOR e XNOR ........................................................................ 68 4.6 Portas Lógicas Equivalentes ............................................................. 69 4.7 Propriedades das Portas Lógicas. ..................................................... 69
  • Plano da DisciplinaEmenta Conjuntos. Introdução à Lógica Matemática. Portas Lógicas. Somatório. Princípiosde Contagem. Matrizes. Relações. Funções. Recursão. Técnicas de provas. InduçãoMatemática.Objetivo Geral O objetivo geral é abordar conteúdos selecionados da Matemática Discreta querealizam interface com o curso de Sistema de Informação, visando dar a base paraa compreensão de conceitos de estruturas de dados, bem como, para dar suporte naconstrução de algoritmos em seus diferentes níveis de complexidade.Objetivos Específicos • Aprender a encontrar modelos matemáticos que representem certos problemas concretos (noções de modelagem matemática), em especial quando estes se referem a situações práticas • Familiarizar-se com a escrita matemática formal e a linguagem computacional • Representar fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica • Conhecer técnicas de resolução de problemas • Desenvolver a capacidade de raciocínio abstrato (lógico-matemático).Conteúdo Programático Módulo 1 – Fascículo 1 Carga horária do Módulo 1: 20 h • Conjuntos. • Introdução à Lógica Matemática. • Portas Lógicas.
  • Módulo 2 – Fascículo 2 Carga horária do Módulo 2: 20 h Somatório. Princípios de Contagem. Matrizes. Relações Módulo 3 – Fascículo 3 Carga horária do Módulo 3: • Funções. • Recursão. Técnicas de provas. • Indução Matemática.Referências GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Lorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004. Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. Livros de referência: ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos conjuntos. São Paulo McGraw Hill:, 1997 ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1995. ROSS, Kenneth A; WRIGHT, Charles R. B. Discrete Mathematics. Prentice Hall, 1999. TRUSS, J. K. Discrete mathematics for computer scientist. Addison Wesley. 1999. LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004
  • Apresentação Caro (a) cursista, A importância da Matemática Discreta nos Cursos de Computação e Informática édestacada nas Diretrizes Curriculares do MEC ao se afirmar que “A Matemática, paraa área de computação, deve ser vista como uma ferramenta a ser usada na definiçãoformal de conceitos computacionais (linguagens, autômatos, métodos, etc)”. E ainda:“Considerando que a maioria dos conceitos computacionais pertence ao domíniodiscreto, a Matemática Discreta é fortemente empregada”. A Matemática Discreta dá ênfase aos temas, matemáticos tomando por base osconjuntos contáveis, finitos ou infinitos. A Matemática do Continuum, ao contrário daMatemática Discreta, enfatiza os temas matemáticos baseados em conjuntos não-contáveis, como o conjunto dos números reais, em disciplinas como o Cálculo Diferenciale Integral. Iremos abordar conteúdos selecionados da Matemática Discreta que realizaminterface com os cursos das áreas relacionadas à informática. Para tanto, o material seráapresentado em fascículos que tratarão de maneira sistemática os seguintes assuntos:Conjuntos, Operações com conjuntos, Introdução à Lógica Matemática, Portas lógicas,Somas, Matrizes, Princípios de Contagem, Relações, Funções, Recursão, Técnicas deProvas e Princípio de Indução Finita.
  • Matemática DiscretaCapítulo 1 - Conjuntos: umabreve revisão. A idéia de conjuntos é largamente utilizada em Computação eInformática, tendo em vista que, praticamente todos os conceitosdessas áreas, bem como os resultados correspondentes, sãobaseados em conjuntos ou as construções sobre conjuntos. Por isso,que tal fazermos uma revisão dos principais elementos da teoria dosconjuntos?1.1 Definições. Conjuntos são geralmente designados por letras maiúsculas ereservam-se as letras minúsculas para representar os seus elementos.A expressão x∈A significa que x é elemento do conjunto A. Se x nãoé elemento do conjunto A, escrevemos x∉A. Várias maneiras podem ser usadas para descrever um conjunto.Entre elas, destacamos as seguintes: • Listando seus elementos, isto é, nomeando explicitamente todos os seus elementos, colocando-os entre chaves e separados por vírgula. Exemplo: A = { a, e, i, o, u }, B = { a, b, c, d }. Acesse • Definindo uma propriedade de seus elementos. Em geral escrevemos {x : P(x) }, isto é, o conjunto dos x tal que x tem a 1. http://paginas. terra.com.br/ propriedade P. educacao/calculu/ Historia/venn.htm Exemplo A = { x : x é uma letra vogal do alfabeto português}, B = { x : x é uma das quatro primeiras letras minúsculas do alfabeto português }. • Por meio de um Diagrama de Venn1 (1834 -1923): O conjunto constituído por todos os elementos sob consideração numa 9
  • Matemática Discreta determinada situação é denominado conjunto universo U e será, em geral, representado por um retângulo. Dentro do retângulo, círculos (ou outras figuras geométricas) representam conjuntos. Dentro dos círculos são colocados os elementos desses conjuntos. Por exemplo: Considere o conjunto universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} e os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5, 9} e B = {2, 4, 6, 7, 8 } A idéia de conjunto universo U estará sempre presente mesmo quando não seja explicitamente mencionado num determinado problema ou situação. Em Matemática, há conjuntos que constituem muito freqüentemente os universos do discurso, sendo conveniente indicar nomes para eles. Entre os mais importantes, destacaremos: • N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } é o conjunto dos números naturais. (Perceba que 0 ∈ N) • N*= { 1, 2, 3, 4, 5, ... }é o conjunto dos números naturais positivos. • Z = { x : x é um número inteiro } = { ..., -3, -2, -1, 0 , 1 , 2, 3, ...} • Q = { x : x é um número racional } é o conjunto de todos os números que podem ser escritos sob a forma de fração. • R = { x : x é um número real } • I = { x : x é um número irracional) é o conjunto dos números reais não racionais, isto é, não podem ser escritos sob a forma de fração. Conjunto vazio é o conjunto sem elementos, pode ser representado pelos símbolos ∅ ou { } Exemplo: A = { x ∈ N : 1 < x < 2 } é uma conjunto vazio, pois não existe número natural entre 1 e 2. 10
  • Matemática Discreta Exemplo: B = { x ∈ Z : x2 = 3 } também é um conjunto vazio. Vocêsabe por quê? Existe número inteiro cujo quadrado seja igual a 3? Conjuntos iguais. Dois conjuntos são iguais se e somente secontém os mesmos elementos. Por exemplo: Os conjuntos A = {x∈ Z: x2 = 4 } e B = { -2, 2} são iguais. Subconjunto. Um conjunto A é subconjunto do conjunto B setodo elemento do conjunto A é também elemento de B. Usamos anotação A ⊆ B para denotar que A é subconjunto de B e lemos “A estácontido em B”. Por exemplo, A = {1,2} é subconjunto de B = {1, 2,3} mas não ésubconjunto de C = {1,3,4}. Agora, vamos lembrar algumas conclusões relacionas asubconjunto. Observação 1. De acordo com a definição de subconjunto,o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto A, isto é, ∅⊆ A. Isso parece estranho a você? Mas, existe algum elemento noconjunto ∅ que não esteja no conjunto A? A sua resposta foi não!Logo, o conjunto vazio é subconjunto do conjunto A. Também dizemos que A ⊆ A, qualquer que seja oconjunto A. Isso é verdade, pois todo elemento de A, é elemento deA. Observação 2. Se A ≠ B e A é subconjunto de B, escrevemosA ⊂ B para dizer que A é subconjunto próprio de B. Por exemplo,{1,2,3} é subconjunto próprio de {1,2,3,4,5}. Temos também que N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R. Veja a figura a seguir. Observação 3. Se A ⊆ B e B ⊆ C então A ⊆ C. 11
  • Matemática Discreta Exemplo: {1, b} ⊂ { 1, 2, b, c } ⊂ { 1, 2, 3, a, b, c }. Exemplo: A figura da observação 2 mostra que N ⊂ Z e Z ⊂ R então N ⊂ R. Observação 4. Para provarmos que A ⊆ B teremos que provar que, dado x ∈ A então x ∈ B. Cardinal. Se A um conjunto com exatamente n elementos, tal que n é um inteiro não negativo, dizemos que A é um conjunto finito e que o cardinal de A é n. Assim, o cardinal de um conjunto A, denotado por #A é o número de elementos do conjunto A. Desse modo, se A = { x ∈ Z : 3 ≤ x ≤ 7 } então #A = 5. É claro que #∅ = 0. Observe que um conjunto A é finito se podemos estabelecer uma correspondência entre seus elementos e os elementos de um conjunto da forma {1, 2, 3, ..., n} onde n é o cardinal de A. Por exemplo, A = { a, b, c, d, e } é finito pois, podemos estabelecer a seguinte correspondência entre seus elementos e os elementos do conjunto { 1, 2, 3, 4, 5 }: a 1, b 2, c 3, d 4, e 5. Você então conclui que o cardinal do conjunto A é 5. Conjunto infinito. Um conjunto A é infinito se não é finito. Por exemplo, os conjuntos N, Z, Q e R são conjuntos infinitos. Você concorda com a afirmação de que o conjunto A = {x∈R : 0 < x < 1}é infinito? Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto constituído por todos os subconjuntos de A e será denotado por P(A). Exemplo, se A = {a, b} então P(A) = { ∅, {a}, {b}, {a,b} }. O cardinal de P(A) é o número de subconjuntos de A. Assim #P(A) = 4. Agora, escreva o conjunto das partes do conjunto A = {x, y, z}. Quantos são os subconjuntos de A? O lembrete ao lado dá uma dica. 12
  • Matemática DiscretaNesse caso #A = 3, #P(a)=2³=8. Atenção Aprenda Praticando - Exercício Proposto 1.1 De um modo geral se #A= n então #P(A) = 2n. Demonstre que você entendeu bem os assuntos dessa seção,resolvendo os exercícios propostos. As respostas dos exercícios sãoapresentadas logo a seguir. Se tiver dúvidas, procure saná-las comprofessores e tutores da disciplina. 1) Considere N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Liste os elementos de cada um dos seguintes conjuntos: a) {n ∈ N : n é divisível por 3} b) {x : x = 2n-1 , n ∈ N*} Atenção c) {x : x = 2y +1 : y∈N e y < 8 } Um número natural n ∈ N, n >1 é primo d) {x = 2n : n ∈ N } se os seus únicos divisores são 1 e n. e) {x : x =1/n : n ∈ N* e n < 6} f) {n ∈ N* : n + 1 é primo} 2. Liste os elementos dos seguintes conjuntos e informe que conjuntos são vazios. a) { n ∈ N : n2 = 9 } b) { n ∈ Z : n2 = 9 } c) { x ∈ R : x2 = 9 } d) { n ∈ N : 3 < n < 7 } e) { n ∈ Z : | n | < 7 } f) { x ∈ R : x2 ≤ 0 } g) { n ∈ N : n2 = 3 } h) { x ∈ Q : x2 = 3 } 13
  • Matemática Discreta i ) {x ∈ R: x2 = -4 } j) { n ∈ N : n é primo e n ≤ 15 } 3. Determine o cardinal dos seguintes conjuntos: a) A = { x : x = 2n + 1, 3 ≤ n ≤ 6, n ∈ N } b) B = { y = -x +1, -2 ≤ x ≤ 2, x ∈ Z } c) C = { y = x2 +1, -2 ≤ x ≤ 2, x ∈ Z } 4. Se A = { x∈Z : 4 divide x } e B = { x∈Z : 2 divide x } . A é subconjunto próprio de B ? 5. Relacione todos os subconjuntos X do conjunto A = { 1, 2, 3, 4 } tais que #X = 2. 6. Represente os conjuntos abaixo indicados por uma propriedade características de seus elementos: A = { -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6 } B = { 13, 11, 9, 7, 5 } C = { 2, 6, 10, 14, ..., 42 }. 7. Sejam X = { 1, 2, 3 }, Y = { 2, 3, 4 } e Z = { 2 } . Encontre o maior conjunto W satisfazendo as seguintes condições W ⊂ X , W ⊂ Y e Z ⊂ W . Faça diagramas de Venn. 8. Dados os conjuntos A = { um , dois }, B = { dois, tres, quatro } e C = { um , quatro } identifique o menor conjunto D tal que A ⊂ D , B ⊂ D e C ⊂ D. Faça diagramas de Venn. 9. Suponha que A ⊂ B , B ⊂ C , 1∉A , 2∉B , 3∉C . Quais das afirmações abaixo sempre são verdadeiras? a) 1 ∈ B. b) 2∉ A c) 3 ∉ A 10. Seja A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Nomear os elementos dos seguintes conjuntos: a) B = { x ∈ A : x é par } b) C = { x∈A : x é múltiplo de 3 } c) D = { x ∈ A : x + 1 < 6 } 14
  • Matemática Discreta d) E = { x ∈ A : x < 10 } e) F = { x ∈ A : x + 3 ∉ A }.11. Dizer quais dos seguintes conjuntos são infinitos: a) O conjunto das retas do plano que são paralelas ao eixo dos x. b) O conjunto das palavras com duas letras do alfabeto português. c) O conjunto dos múltiplos de cinco. d) O conjunto dos animais existentes na Terra. p e) O conjunto das frações onde p, q ∈ { 1, 2, 3, 4, ..., 10 } q12. Represente os seguintes conjuntos por meio de uma propriedade comum aos seus elementos: a) A = { 4, 8, 12, 16, 20, ....} b) B = { 4, 8, 12, .... 204} c) C = { 7, 17, 27, 37, .....} d) D = { 7, 17, 27, 37, .....207} e) E = {300, 301, 302, ....., 399, 400} f) F = { 1, 4, 9 , 16, 25, .....} g) G = { 1, ½, ¼, 1/8, 1/16,..., 1/1024}13. Partindo das premissas: (1) Todo repórter é esperto. (2) Todo repórter é formado em Jornalismo. (3) Jamil é esperto. (4) Adelaide é jornalista.Pode-se concluir que a) Adelaide é esperta? b) Jamil é repórter? c) Há jornalistas espertos? 15
  • Matemática Discreta Respostas dos exercícios 1.1 Aqui você poderá conferir as suas respostas. Caso elas não correspondam às apresentadas abaixo, converse com seus colegas sobre os exercícios, releia os conteúdos da seção e descubra o motivo da divergência. Lembre-se que os tutores podem ajudá-lo. Consulte- os! 1. a) {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} b) {1, 3, 5, 7, 9, ...} c) { 1, 3, 5, 7, 9, ..., 15} d) {0, 2, 4, 8, 16, 32,..} e) {1, ½, 1/3, ¼, 1/5 } f) { 1, 2, 4, 6, 10, 12, ... } 2. a) { 3 } b) { -3, 3 } c) { -3, 3 } d) (4, 5, 6 } e) { -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } f) { 0 } g) ∅ h) ∅ i) ∅ 3. a) #A = 4 b) #B = 5 c) #C = 3 4. sim 5. {1, 2} , { 1, 3 } , { 1, 4} , { 2, 3 }, {2, 4} , { 3, 4 } 6. A = {x : x = 2y, y ∈ Z, -3 ≤ y ≤ 3 } B = { x: x = 2y + 1, y ∈ N, 2 ≤ y ≤ 6 } C = { x : x = 2 + 4n , n ∈ N n ≤ 10 } 7. W = {2,3} 8. D = { um, dois, três, quatro } 9. b) e c) 10. B = {2, 4, 6, 8 } C = { 3, 6, 9} D = { 1, 2, 3, 4 } E=A F = { 7, 8, 9 } 11. a) e c) 12. A = {x : x = 4n, n∈N* }, B = { x : x = 4n, n∈N*, n ≤ 51 }, C = { x : x = 7 +10n, n∈N } D = { x : x = 7 +10n, n∈N, n ≤ 20} 16
  • Matemática Discreta E = {x : 300 ≤ x ≤ 400, x∈ Z} F = {x : x = n2, n∈ N} Atenção 1 G = {x ; x = , n∈ N, n ≤10. n2 A Matemática é 13. c. uma disciplina de natureza cumulativa. É importante dominar bem seus fundamentos Saiba Mais antes de passar para tópicos mais avançados. Caro (a) cursista. Aprofunde os conhecimentos sobre conjuntos,consultando os seguintes livros: ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos conjuntos. São Paulo McGraw Hill:, 1997. ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1995. GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004. LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004 Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 17
  • Matemática Discreta Capítulo 2 - Álgebra de Conjuntos: como operar com conjuntos? Nesta parte do fascículo, estudaremos a Álgebra de Conjuntos, conteúdo da Matemática que trata das operações definidas sobre todos os conjuntos. Voltaremos a fazer uso dos diagramas de Venn, na ilustração das operações entre conjuntos envolvendo a união, interseção, diferença entre outras. Vamos começar? 2.1 Operações entre conjuntos. União de Conjuntos: Se A e B são dois conjuntos então A∪B é o conjunto constituído pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos dois conjuntos. A ∪ B = { x : x ∈ A ou x ∈ B } Interseção de Conjuntos: Se A e B são 2 conjuntos, então o conjunto A ∩ B denota a interseção de A e B, constituído pelos elementos que pertencem a A e a B. A∩B = { x : x∈A e x∈B } Complementar. Seja U o conjunto universo e A um subconjunto de U. Chama-se complementar de A em relação ao conjunto U ao conjunto A dos elementos de U que não pertencem a A. A = { x∈U : x∉A } 18
  • Matemática Discreta Atenção A se escreve também A’ Diferença: Se A e B são conjuntos então A – B denota oconjunto dos elementos de A que não estão em B. A – B = { x: x∈A e x∉B } Atenção A – B pode ser escrito assim: A∩ B Diferença Simétrica: Se A e B são conjuntos então A⊕B ouA∆B denota o conjunto dos elementos que estão em A ou em B, masnão em ambos. O símbolo ⊕ representa o ou exclusivo. A⊕B = { x: x∈(A-B) ou x∈(B-A) } A⊕B = (A∩ B ) ∪ ( A ∩B) Atenção A ⊕ B pode ser escrito assim: A∆B Exemplo 2.1.1 Aqui, apresentamos exemplos de todas asoperações definidas acima. Confira os resultados. A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9} A ∩ B = { 6, 8 } 19
  • Matemática Discreta A – B = { 1, 2, 3, 4 } B – A = { 5, 7, 9 } A = { 5, 7, 9 10, 11, 12} B = { 1,2,3, 4, 10, 11, 12} A ⊕ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} Tabela de pertinência das operações entre conjuntos: Para construirmos a tabela de pertinência de um conjunto, procedemos como segue. Se x∈X, indicamos o fato pondo 1 (verdadeiro) na coluna do conjunto X. Se x∉X, indicamos o fato pondo 0 (falso) na coluna do conjunto X. Por exemplo, em relação à união de dois conjuntos A∪B, existem quatro situações distintas indicadas nas quatro linhas da tabela de pertinência da união abaixo: Elementos que não pertencem a nenhum dos dois conjuntos (linha 1), não pertencem a A∪B Elementos que não pertencem a A e pertencem a B ( linha 2), pertencem a A∪B. Elementos que pertencem a A e não pertencem a B (linha 3), pertencem a A∪B. Elementos que pertencem a A e a B ( linha 4), pertencem a A∪B. Tabela de pertinência da união Tabela de pertinência da interseção 20
  • Matemática Discreta Em relação à interseção de dois conjuntos A ∩ B, existemquatro situações distintas indicadas na tabela de pertinência dainterseção abaixo: Elementos que não pertencem a nenhum dos dois conjuntos (linha 1), não pertencem a A∩B Elementos que não pertencem a A e pertencem a B (linha 2), não pertencem a A∩B. Elementos que pertencem a A e não pertencem a B (linha 3), não pertencem a A∩B. Elementos que pertencem a A e a B (linha 4), pertencem a A∩B. As tabelas de pertinência dos conjuntos A – B, B- A e A⊕Bsão apresentadas abaixo, de acordo com as respectivas definições. Tabela de pertinência do complementar: A tabela depertinência do complementar apresenta apenas duas linhas, vistoque o complementar é uma operação que envolve apenas umconjunto. Exemplo 2.1.2. Considere o conjunto universo U = {1, 2, ..., 9} eos seus subconjuntos: 21
  • Matemática Discreta A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = { 4, 5, 6, 7, 8} C = { 5, 6, 7, 8, 9 } D = { 1, 3, 5, 7, 9 } E = { 2, 4, 6, 8 } F = { 1, 5, 9 }. A ∪ B = {1,2, 3, 4, 5, 6,7, 8} A ∩ B = {4, 5, 6, 7} B ∪ D = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, B ∩ D = {5,7} A ∪ C = {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A ∩ C = {5, 6,7} D ∪ E = {1,3,5,7,9,2,4,6,8}, D∩E=∅ D ∪ F = { 1, 3, 5, 7, 9 } D ∩ F = { 1, 5, 9 } E∪E = { 2, 4, 6, 8 } E ∩E = ∅ A = {8,9} B = { 1, 2, 3, 9 } C = {1, 2, 3, 4 } D ={ 2, 4, 6, 8} A – B = {1,2, 3} B–A={8} D – E = { 1, 3, 5, 7, 9 } E–E=∅ A⊕B = {1,2, 3, 8} A⊕C= {1, 2, 3, 4, 8, 9} A⊕D = { 2, 4, 6, 9 } A⊕E= {1, 3, 5, 7 (A - B) - C = {1, 2, 3} - { 5, 6, 7, 8, 9 } = {1, 2, 3} A - (B – C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – { 4 } = {1, 2, 3, 5, 6,7} Atenção (A-B) – (B-A)= {1, 2, 3} - { 8 } = {1, 2, 3}Você observou noexercício 2.1. 2 que, A  B = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } = { 9 } 1 A ∩ B = {8,9} ∩ { 1, 2, 3, 9 } = { 9 }A B = A∩ Be queA B A B? A  B = { 5 6 7 } = {1, 2, 3, 8, 9} 4 , , , =Isso não é meracoincidência. A  B = {8,9} ∪ { 1, 2, 3, 9 } = {1, 2, 3, 8, 9}Trata-se deigualdades válidaspara quaisquerconjuntos A e B! Exemplo 2. 1. 3. Para construir a tabela de pertinência do conjunto (A∩ B ) ∪ ( A ∩B), devemos construir colunas para os conjuntos A, B, 22
  • Matemática DiscretaAe B. Em seguida, as colunas relativas aos conjuntos A∩ B , A ∩B e por último, a coluna do conjunto (A∩ B ) ∪ ( A ∩B). Você deve observar que, logo após o preenchimento com 0 (zero)e 1 (um) nas colunas relativas aos conjuntos A e B, preenchemos ascolunas do complementar de A, denotado por A , e do complementarde B, denotado por B , simplesmente trocando 0 (zero) por 1 (um).As colunas relativas aos conjuntos A ∩ B e A ∩ B são preenchidaspor 0 (zero) e 1 (um) de acordo com a tabela de pertinência dainterseção. Por fim, a última coluna é feita de acordo com a tabela depertinência da união de conjuntos. A tabela de pertinência do conjunto(A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B) é a igual à tabela de pertinência do conjunto A ⊕B.Observe isso. Mostraremos na seção 2.6 como provar a igualdadeentre conjuntos, observando a igualdade das respectivas tabelas-verdade. Exemplo 2.1.4. Na determinação dos tipos sangüíneos, cadapessoa é duplamente classificada: se o sangue tem o antígeno Rh,ele é Rh positivo, caso contrário é Rh negativo. Se o sangue contémo antígeno A, mas não contém o antígeno B, é tipo A. Se o sanguetem o antígeno B, mas não tem o antígeno A, é tipo B. Se tem ambos,é tipo AB. Se nenhum dos dois antígenos está presente, é tipo O.Considere os conjuntos: P = {x : x é pessoa cujo sangue contém o antígeno Rh} A = {x : x é pessoa cujo sangue contém o antígeno A} B = {x : x é pessoa cujo sangue contém o antígeno B} Um elemento x qualquer pode pertencer ou não a cada umdos três conjuntos P, A e B. Ao todo são 8 possibilidades.Elas sãorepresentadas na tabela ao lado e no diagrama de Venn. 23
  • Matemática Discreta Determine os respectivos tipos sangüíneos das pessoas pertencentes a cada conjunto: 1) P ∩ A ∩ B = { g } 2) P ∩ A ∩ B = { d } 3) P ∩ A ∩ B = { f } 4) P ∩ B ∩ A { e } 5) P ∩ A ∩ B = { a } 6) P ∩ A ∩ B = { h } 7) P ∩ B ∩ A = { d } 8) P ∩ A ∩ B = { c } Resp. 1) Tipo AB Rh+ 2) Tipo AB Rh- 3) Tipo A Rh+ 4) Tipo B Rh+ 5) Tipo A Rh- 6) Tipo O Rh- 7) Tipo B Rh- 8) Tipo O Rh+ Aprenda Praticando - Exercícios Proposto 2.1 Apresentamos agora uma lista de exercícios para que você mostre que entendeu as operações entre conjuntos. Discuta com seus colegas as respostas que são apresentadas logo em seguida. 24
  • Matemática Discreta1. Considere o conjunto universo igual ao conjunto U de todos os alunos da UFRPE e os seguintes subconjuntos: A = { x : U: x é aluno do Curso de Agronomia } B = { x : U: x é aluno do Curso de Biologia } C = { x : U: x é aluno do Curso de Ciência Domésticas } Defina os seguintes conjuntos por meio de operações com conjuntos:a) O conjunto dos alunos da UFRPE que cursam Biologia ou Ciências Domésticas (Eles podem fazer apenas um desses cursos ou ambos ).b) O conjunto dos alunos da UFRPE que fazem Agronomia e Biologia ao mesmo tempo, mas não fazem Ciências Domésticas.c) O conjunto dos alunos da UFRPE que cursam Agronomia e não cursam Biologia.d) O conjunto dos alunos da UFRPE que fazem apenas um dos cursos A, B e C.e) O conjunto dos alunos da UFRPE que não fazem qualquer um dos cursos A, B e C .f) O conjunto dos alunos da UFRPE que fazem Biologia, mas não Ciências Domésticas ou fazem Ciências Domésticas mas não Biologia.2. Considere o conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10,12,13 }. Listar os elementos dos seguintes conjuntos: A1 = { x ∈ A : x2 ≥ 9 } A2 = { x ∈ A : (x+2) ∉ A } A3 = { x ∈ A : x-1 é impar } A4 = {x∈A : x é divisível por 2 ou por 3} A5 = {x∈A : x2 – 4 = 0 ou x2 –9x +20 = 0 } Calcule: a) ( A1∩A2) – (A1∩A3) b) (A3∪A4) ⊕ (A1-A4)3. Considere U como o conjunto de todas as pessoas e os subconjuntos 25
  • Matemática Discreta S = { x∈U : x reside no Brasil } M= { x∈U : x é mulher } J = { x∈U : x tem menos de 25 anos } A = { x∈U : x tem mais de 1,70 m de altura } Descreva os conjuntos abaixo através de uma propriedade característica dos seus elementos: a) S∩A∩J b) S∩(J –A ) c) S∩(M∪J) d) S∪(M∩J). 4. Encontre os conjuntos A e B, sabendo–se que A – B = { 1, 5, 7, 8 }, B – A = { 2, 10 } e A∩B = {3, 6, 9 }. Respostas dos exercícios 2.1 1. a) B∪C b) (A∩B) – C c) A – B d) ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) e) A ∩ B ∩ C f) B⊕C 2. A1= { 3, 4, 5, 6, 7, 10,12, 13} A2 = {6,7,12,13} A3= {2, 4, 6, 10, 12} A4 = {2, 3, 4, 6, 10, 12} A5 = { 2, 4, 5} a) ( A1∩A2) – (A1∩A3) = {6, 7, 12, 13} – { 4, 6, 10,12}= {7, 13} b) (A3∪A4) ⊕ (A1-A4) = { 2, 3, 4, 6, 10, 12} ⊕ {3, 5, 7, 13} = {2, 4, 5, 6, 7, 10,12, 13}. 3. a) S∩A∩J = { x∈U : x reside no Brasil, tem menos de 25 anos e mais 1,70 m de altura} b) S∩(J –A ) = { x∈U : x reside no Brasil, tem menos de 25 anos e 1,70 m de altura e no máximo 1,70 m de altura}. c) S∩(M∪J) = { x∈U : x reside no Brasil e é mulher ou tem menos de 25 anos}. d) S∪(M∩J) = { x∈U : x reside no Brasil ou é mulher com menos de 25 anos}. 26
  • Matemática Discreta4. A = { 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {2, 3, 6, 9, 10} 27
  • Matemática Discreta 2.2 Partição de um conjunto Dois conjuntos A e B são chamados disjuntos se A ∩ B = ∅, isto é, não têm elementos comuns. Os conjuntos A = {2, 5, 7, 9}, B = {4, 6, 8, 10} e C = {1, 3, 11,12} são dois a dois, disjuntos. De fato, A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅ e B ∩ C = ∅ Uma partição de um conjunto S é uma coleção de subconjuntos não vazios de S, disjuntos dois a dois, cuja união resulte S. Ou seja, é uma coleção de subconjuntos A1, A2, ... , An de S tal que S =A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪......∪ An e Ai ∩ Aj = ∅, para i ≠ j . Exemplo 2.2. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A coleção de conjuntos A1= {1, 2, 3}, A2= {4, 5} e A3= {6 } forma uma partição de S . Observe que A1∩ A2 = φ, A1∩ A3 = φ, A2∩ A3 = φ e além disso, a união dos três conjuntos A1∪A2∪A3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Aprenda Praticando - Exercícios Proposto 2.2 Agora, você é solicitado a apresentar partições de conjuntos. Algumas partições são constituídas por conjuntos finitos outras não. Mãos à obra! 1. Dê partições dos seguintes dos conjuntos: a) N b) Z c) S = {0, 1, 2 ,3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9 }. 2. Se S = {0, 3, 6, 9, 12,15, 18, ...}, escrever uma partição de S que: a) contenha dois subconjuntos infinitos 28
  • Matemática Discreta b) contenha três subconjuntos infinitos. 3. Se S = {1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, ...}, os conjuntos A1 = {1 +12n, n∈ N }, A2 = {5 +12n, n∈ N } e A3 = { 9 + 12n, n∈ N } constituem uma partição de S . Respostas - Exercícios Proposto 2.2 As suas respostas possivelmente não batem com as apresentadaslogo abaixo. Isso pode ocorrer, pois um conjunto pode ter váriaspartições. 1. a) A1= {0, 2, 4, ,6, 8, 10, ...} A2 = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} b) A1= {0, 2, 4, ,6, 8, 10, ...} A2 = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} A3= { -2, -4, ,-6, -8, -10, ...} A4 = { -1, -3, -5, -7,-9, -11, ...} 2. a) A1= {0, 6, 12, ,18, 24, 30, ...} A2 = {3, 9, 15, 21, 27, ...} b) A1= {0, 9, 18, 27, 36, ...} A2 = {3, 12, 21, 30, ...}, A3= { 6, 15, 24, 33, 42, ...} 3. Sim. A1 = {1 +12n, n∈ N }= { 1, 13, 25, 37, 49, ..., } A2 = {5 +12n, n∈ N } = {5, 17, 29, 41, 53, ... } e A3 = { 9 + 12n, n∈ N }= {9, 21, 33, 45, 56, ...} constituem uma partição de S, pois os conjuntos são dois a dois disjuntos e sua união resulta S.2.3. Cardinal da união e da interseção. Se você dispõe de dois ou mais conjuntos e quer saber quantoselementos tem o conjunto união desses conjuntos, como proceder?Faremos uso do princípio da inclusão – exclusão. Princípio da Inclusão – Exclusão. #(A∪B) = # (A) + #(B) – #(A∩B) • Vejamos como descobrir a quantidade de elementos da uniãode dois conjuntos sendo conhecidos n(A), n(B) e n( A ∩ B ) 29
  • Matemática Discreta Note que a quantidade de elementos de A ∪ B é obtida pela quantidade de elementos que pertence: só ao conjunto A: n( A ∩ B ) = n( A ) − n( A ∩ B ) , só ao conjunto B: n( A ∩ B ) = n( B ) − n( A ∩ B ) e só a A e B: n( A ∩ B ) . Assim, podemos concluir que: n( A ∪ B) = n( A) − n( A ∩ B) + n( B) − n( A ∩ B) + n( A ∩ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B) Isso significa que, para calcular o número de elementos da união A ∪ B, incluímos os elementos de A, incluímos os elementos de B e excluímos os elementos de A ∩ B. Exemplo 2.3.1: Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = { 4, 5, 6, 8} Observe que # ( A ) = 7, # ( B ) = 4, # ( A ∩ B ) = 3, então # ( A ∪ B) = # (A) + # (B) – # ( A ∩ B ) = 7 + 4 – 3 = 8 # ( A ∪ B ∪ C) = # (A) + # (B) + # (C) – # (A ∩ B) – # (A ∩ C) – # (B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C). • Podemos escrever A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C, de modo que: #(A ∪ B ∪ C) = #((A ∪ B) ∪ C) = #(A ∪ B) + #C - #((A ∪ B) ∩ C) = #A + #B + #C - #(A ∩ B) - #[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)] = #A + #B + #C - #(A ∩ B) - #(A ∩ C) - #(B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C). 30
  • Matemática Discreta Exemplo 2. 3. 2. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,10}, B = { 4, 5, 6, 7, 8, 11} C = { 5, 6, 7, 8, 9, 10 }. Sabendo que A ∩ B = {4, 5, 6, 7}, A ∩ C = {5, 6, 7, 10},B ∩ C = { 5, 6, 7, 8} e que A ∩ B ∩ C = {5, 6, 7}, podemos escreverque: #(A∪B∪C) = #(A) + #(B) + # (C) – #(A∩B) – #(A∩C) – #(B∩C) +#(A∩B∩C) = 8 + 6 + 6 – 4 – 4 – 4 + 3 = 11 A∪B∪C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} • Se A e B são conjuntos disjuntos (A ∩ B = ∅), então#(A ∪ B) = #(A) + #(B). Exemplo 2. 3. 3. Os conjuntos A = {2, 5, 7, 9 } e B = {4, 6, 8, 10 }são disjuntos, pois A ∩ B = ∅ , de modo que, o cardinal da união de Ae B é #(A∪B) = #(A) + #(B) = 4 + 4 = 8 # I = 35, # F = 18, # (I∪F) = 42. # (I∪F) = # I + # F - # (I∩F) 42 = 35 +18 - # (I∩F), de modo que # (I∩F) = 11. Outra solução poderá ser dada usando os diagramas de Venn.Para isso, você define dois conjuntos I e F. Coloque inicialmente oselementos que pertencem à interseção I∩F. Como não sabemos,colocaremos o número x. imagem 31
  • Matemática Discreta O cardinal do conjunto dos que falam inglês e não falam francês é 35 – x. Analogamente, o número de turistas que falam francês e não falam inglês é 18 – x. A soma desses elementos deve ser 42. Logo, devemos ter 35 – x + x + 18 – x = 42. A equação se reduz a 53 – x = 42. Portanto, x = 11. Exemplo 2. 3. 4. Todos os convidados de uma festa bebem café (A) ou chá (B); 13 bebem café, 10 bebem chá e 4 bebem café e chá. Quantas pessoas há neste grupo? #(A∪B) = #(A) + #(A) - #(A∩B) #(A∪B) = 13 + 10 – 4 = 19 Exemplo 2. 3. 5. O controle de qualidade de uma fábrica introduziu na linha de montagem 42 peças com defeitos de pintura (A), embalagem (B) ou na parte eletrônica (C). Dessas peças, 28 tinham defeito na pintura, 17 tinham defeito na embalagem, 11 com defeito na parte eletrônica, 7 tinham defeito na embalagem e na parte eletrônica, 3 tinham defeitos na pintura e na parte eletrônica e 6 com defeito na pintura e na embalagem. Quantas peças tinham os três defeitos? #A = 28, #B = 17, #C = 11, #(A∩B) = 6, #(A∩C) = 3, #(B∩C) = 7, #(A∩B∩C) = x #(A∪B∪C) = #(A) + #(B) + # (C) – #(A∩B) – #(A∩C) – #(B∩C) + #(A∩B∩C) 42 = 28 + 17 + 11 – 6 – 3 - 7 + x 42 = 40 + x x=2 Você poderá usar diagramas de Venn para resolver esse problema. Vamos lá? Use as figuras seguintes: Exemplo 2.3.6. Entre os americanos que tiraram férias no ano passado, 90% tiraram férias no verão, 65% no inverno, 10% na 32
  • Matemática Discretaprimavera, 7% no outono, 55% no inverno e no verão, 8% na primaverae no verão, 6% no outono e no verão, 4% no inverno e na primavera,4% no inverno e no outono, 3% na primavera e no outono, 3% noverão, no inverno e outono, 3% no verão, no inverno e primavera, 2%no verão, no outono e primavera e 2% nono inverno, na primavera eoutono. Que percentagem tirou férias nas quatro estações? Para resolver este problema que envolve quatro conjuntos,podemos usar uma extensão do princípio da Inclusão – Exclusãopara quatro conjuntos. O diagrama de Venn com quatro conjuntosdeve apresentar 16 regiões. Na figura abaixo, apresentamos umaalternativa usando retângulos. Você acha que pode fazer um diagramade Venn para quatro conjuntos usando quatro círculos e apresentando16 regiões? Tente fazer!#(A∪B∪C∪D) = #(A) + #(B) + # (C) + # (D) – #(A∩B) – #(A∩C) – #(A∩D) – #(B ∩C) – #(B∩D) – #(C∩D) + #(A∩B∩C) + #(A∩B∩D) + #(A∩C∩D) + #(B∩C∩D) – #(A∩B∩C∩D)100 = 90 + 65 + 10 + 7 – 55 – 8 – 6 – 4 – 4 – 3 + 3 + 3 + 2 + 2 - x100 = 102 – xx = 2% Aprenda Praticando - Exercícios 2.3 Mostre que você entendeu bem as técnicas de cálculos do número 33
  • Matemática Discreta de elementos de um conjunto, usando o Princípio da Inclusão – Exclusão ou os diagramas de Venn. Caso tenha dificuldade, oriente- se com seus tutores. 1. Em um congresso de informática, há 43 participantes do Curso de Java, 57 de Pascal Avançado e 29 de C++. Há 10 participantes dos cursos de Java e Pascal Avançado, 5 em Pascal Avançado e C++, 5 em Java e C++, e dois matriculados nos três cursos. Quantos alunos estão inscritos ao menos em um curso do congresso? 2. Há quatro grandes grupos de pessoas, cada um com 1.000 membros. Dois quaisquer desses grupos têm 100 membros em comum. Três quaisquer desses grupos têm 10 pessoas em comum. E há 1 pessoa em todos os quatro grupos. Conjuntamente, quantas pessoas há nesses grupos? 3. Num universo de 200 estudantes, 50 estudam Matemática, 140 estudam Economia e 24 estudam ambos os cursos. Dos 200 estudantes 60 são mulheres, das quais 20 estudam Matemática, 45 estudam Economia e 16 delas estudam ambos os cursos. Determine, para o universo de estudantes, quantos são os homens que não estudam nem Matemática nem Economia. 4. Uma companhia, 240 dos seus empregados obtiveram aumento salarial, 115 obtiveram ascensão funcional e 60 obtiveram ambas as coisas. Quantos são os empregados sabendo que nenhum empregado deixou de ser promovido ou ter ascensão funcional ? 5. Em um grupo de 110 estudantes, 63 estudam Inglês, 30 estudam Francês e 50 estudam Alemão. Há 25 alunos que estudam apenas dois idiomas, 13 estudam Inglês e Francês, 30 estudam Inglês e Alemão e 12 estudam Francês e Alemão. a) Quantos estudam Inglês e Francês, mas não estudam Alemão? b) Quantos alunos não estudam nenhum dos idiomas? 6. De 100 pessoas que foram pesquisadas, 52 são mulheres, 40 almoçam, 40 jantam, 25 são mulheres que almoçam, 15 são mulheres que jantam, 20 são pessoas que almoçam e jantam, e 12 são mulheres que almoçam e jantam. Quantas pessoas são homens que não almoçam nem jantam? Quantas são mulheres 34
  • Matemática Discreta que não almoçam nem jantam? 7. No auditório de uma faculdade há um grupo de alunos, dos quais 12 cursam a disciplina A, 20 cursam a B, 20 cursam a C, 10 cursam a D, 5 cursam A e B, 7 cursam A e C, 4 cursam A e D, 16 cursam B e C, 4 cursam B e D e 5 cursam as disciplinas C e D. Três alunos cursam as disciplinas A, B e C, 2 cursam A, B e D, 4 cursam B, C e D, e 3 cursam A, C e D. Apenas 2 alunos cursam as quatro disciplinas e 71 alunos não cursam nenhumas das disciplinas citadas. Quantos são os alunos no auditório? Respostas dos Exercícios 2.3 Verifique aqui quantos exercícios acertou. Caso tenha errado ounão tenha conseguido fazer, mude o método de resolução (Princípiode Inclusão – Exclusão ou Diagrama de Venn). Discuta com seuscolegas 1. 111 2. 3.439 3. 23 4. 295 5. a) 3 b) 12 6. a) 16 b) 24 7. 1022.4. Produto Cartesiano. Se A e B são dois conjuntos, o produto cartesiano de A porB é o conjunto A x B = { (x,y) : x ∈ A e y ∈ B}. EXEMPLO 2.4.1 Sejam A = {a, b, c } e B = { a, b, d }. a) Liste todos os pares ordenados de A x B A x B = { (a, a), (a, b), (a, d), (b, a), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b), (c, d) } b) Liste todos os pares ordenados de B x A. B x A = { (a, a), (b, a), (d, a), (a, b), (b, b), (d, b), (a, c), (b, c), (d, c) } c) Liste todos os elementos do conjunto { (x,y)  A x B : x = y } { (a, a), (b, b) } 35
  • Matemática Discreta Aprenda praticando - Exercícios 2.4 Você deverá listar os elementos dos seguintes conjuntos, pondo em prática os conceitos de produto cartesiano. 1. Sejam S ={ 0, 1, 2 ,3, 4 } e T = { 0 , 2, 4 } . Liste todos os elementos dos seguintes conjuntos: A = { (m,n) ∈ S x T : m < n } B = { (m, n) ∈ T x S ; m < n } C = { (m, n) ∈ S x T : m + n ≥ 3 } D = { (m,n) ∈ T x S ; m.n ≥ 4 } E ={ (m, n) ∈ S x S : m + n = 10 }. Obs.: S x S = S2 2. Liste pelo menos 6 elementos dos seguintes conjuntos: a) { (m,n) ∈ N2 : m = n } b) { (m,n) ∈ N2 : m + n é primo } c) { (m,n) ∈ N2 : m = 6 } d) { (m,n) ∈ N2 : min {m ,n } = 3} e) { (m,n) ∈ N2 : máx {m , n} = 3 } f) { (m,n) ∈ N2 : m2 = n } Resposta Logo em seguida, apresentamos respostas. Confira as suas. A = { (0, 2), (0, 4), (1, 2), (1, 4), (3, 4)} B ={(0,1), (0, 2), (0, 3), (0,4), (2, 3), (2, 4)} C = { (0, 4), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 0), (3, 2), (3, 4), (4,0), (4,2), (4,4) } D = { (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 4). 2. a) { 0,0) , (1,1), (2,2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) ...} b) {(0,2), (0,3), (0, 5), (0, 7), (1,2), (2,3), ...} 36
  • Matemática Discreta c) { (6,0), (6,1), (6,2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), ...} d) { (3,3), (3,4), (3,5), (6,3), (7, 3), (8, 3), ...} e) (0,3), (1,3), (2,3), (3,0), (3,1), (3,2) (3,3)} f) { (1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5, 25), (6, 36), ...}2.5 Produto Cartesiano de k conjuntos Dados os conjuntos A1, A2, ..., Ak, o produto cartesiano A1 x A2 x ...xAk é o conjunto de todas as n-uplas (a1, a2, ... , ak) tais que ai ∈ Ai. Se #(A1)= n1, #(A2) = n2, ..., #(Ak)= nk então #(A1 x A2 x ... x Ak) =n1. n2. ... . nk. Exemplo 2. 5. 1. Considere os conjuntos X = {1, 2}, Y = {a, b} e Z ={ m, n, p}. Liste os elementos dos seguintes produtos cartesianos. a) X x Y x Z b) X x Y x Y c) X x X x X d) Y x X x Y x Z X x Y x Z = {(1, a, m), (1, a, n), (1, a, p), (1, b, m), (1, b, n), (1, b, p) , (2, a, m), (2, a, n), (2, a, p), (2, b, m), (2, b, n), (2, b, p)} b) X x Y x Y = {(1, a, a), (1, a, b), (1, b, a), (1, b, b), {(2, a, a), (2, a, b), (2, b, a), (2, b, b)}. Exemplo 2. 5. 1. Se A é o conjunto das letras maiúsculas doalfabeto português (26 letras) e B é o conjunto dos naturais de 0 a9,represente sob a forma de conjunto, todas as placas de automóveispossíveis no Brasil. Quantas são essas placas? Uma placa consiste em três letras seguidas por quatro algarismos.O número total de placas possíveis é dado pelo cardinal do produtocartesiano A x A x A x B x B x B x B. # (A x A x A x B x B x B x B) = 26 x 26x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 263x 104 = 175.760.000 placas. Aprenda Praticando - Exercícios 2.5 Nesses exercícios, você terá oportunidade de explorar o conceito 37
  • Matemática Discreta de produto cartesiano envolvendo mais do que dois conjuntos. 1. Considere os conjuntos X = {1, 2}, Y = {a, b} e Z = { m, n, p}. Liste os elementos dos seguintes produtos cartesianos. a) X x X x X b) Y x X x Y x Z 2. Calcular o cardinal dos conjuntos produto cartesiano da primeira questão. 3. Dados os conjuntos A = {x ∈ Z : -1 ≤ x ≤ 2} e B = {y ∈ Z : -1 ≤ y ≤ 1}, pede-se: a) Enumerar os elementos do conjunto A x B b) Enumerar os elementos do conjunto B x A c) Obter (A x B ) ∩ ( B x A ) d) Obter o cardinal de (A x B ) ∪ ( B x A ) 2.6. Identidades de conjuntos. As operações entre conjuntos, tais como: união, interseção, diferença, diferença simétrica e complemento satisfazem diversas propriedades. Essas propriedades são apresentadas na forma de igualdade entre conjuntos e são chamadas de identidades de conjuntos. Identidades de Conjuntos Exemplo 2. 6. 1: Prove que A ∩ (B - A) = ∅ usando as identidades de conjuntos. Prova: A ∩ (B-A) = A ∩ (B ∩ A) pela definição de diferença = A ∩ ( A ∩ B) pela propriedade comutativa = (A ∩ A) ∩ B pela propriedade associativa 38
  • Matemática Discreta = ∅ ∩ B pela propriedade de complemento = ∅ por definição de interseção Exemplo 2. 6. 2: Prove que A ∪ (B - A) = A ∪ B usando asidentidades de conjuntos A ∪ (B-A) = A ∪ (B ∩ A ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ A )= (A ∪ B) ∩ U = A ∪ B. Exemplo 2.6.3: Provar a igualdade de De Morgan A ∪ B = A ∩ BTeremos que provar que: A ∪ B ⊆ A ∩ B e que A ∩ B ⊆ A ∪ B ,usando as definições das operações entre conjuntos. 1.Suponha que x ∈ A ∪ B . 2.De 1 temos que x ∉ A ∪ B. 3.De 2temos que x ∉ A e x ∉ B. 4.De 3 temos que x ∈ A e x∈ B . 5. De 4,temos que x∈ A ∩ B . Provamos que A ∪ B ⊆ A∩B 1.Suponha que x ∈ A ∩ B . 2.De 1 temos que x ∈ A e x∈ B 3.De 2temos que x ∉ A e x ∉ B. 4.De 3 temos que x ∉ A ∪ B. 5.De 4, temosque x ∈ A ∪ B . Provamos que A ∪ B ⊆ A ∩ B Logo A ∪ B = A ∩ B . Exemplo 2. 6. 4: Provar que A ∩ B = A ∪ B (Igualdade de DeMorgan), usando as definições das operações entre conjuntos. 1.Seja x ∈ A ∩ B . 2.De 1 temos que x ∉ A ∩ B. 3.De 2 escrevemosx ∉ A ou x ∉ B. 4.De 3 temos que x ∈ A ou x ∈ B . 5.De 4, temos quex ∈ A ∪ B e, assim A ∩ B ⊆ A ∪ B . 1.Seja x ∈ A ∪ B . 2.De 1 temos que x ∈ A ou x ∈ B . 3.De 2, temosque x ∉ A ou x ∉ B. 4.De 3 escrevemos x ∉ A ∩ B. 5.De 4, temos quex ∈ A ∩ B e, assim, A ∪ B ⊆ A ∩ B . Logo A ∩ B = A ∪ B . Exemplo 2. 6. 5: Provar que A = A , usando as definições dasoperações entre conjuntos. Seja x ∈ A . Então x ∉ A . Logo x ∈ A. Assim provamos que A ⊆A. Seja x ∈ A. Então x ∉ A . Logo x ∈ A . Provamos que A ⊆ A . LogoA=A. 39
  • Matemática Discreta Exemplo 2. 6. 6: Mostre por meio da tabela de pertinência que, dados os conjuntos A, B e C então (A – B) – C = A – (B ∪ C). Devemos construir as tabelas de pertinência do conjunto do primeiro membro e do segundo membro. Os conjuntos iguais apresentam tabelas de pertinência iguais. Exemplo 2.6.7: Mostre, por meio da tabela de pertinência que dados os conjuntos A, B e C tem-se que ( ∩ C) ⊕ ( ∩ C) = ( ⊕ B - C A B A ) Exemplos 2. 6.7: Simplifique (A ∪ B )∩ A)∪ A ∩ B ( . (A ∪ B )∩ A)∪ A ∩ B = ((A  A) (B  A) ∪ A ∩ B = ( ) (f  ( B  A))  A  B = (B ∩ A)  ( A  B ) = ((B∩ A ) ∪ A) ∪ B = A B = A B . 40
  • Matemática Discreta Aprenda praticando - Exercícios 2.6 Nos exercícios seguintes, pede-se que você apresente, por meioda tabela de pertinência de conjuntos, uma prova da igualdade deconjuntos. Compartilhe com seus colegas as tabelas de pertinênciafeitas por você. 1. Considere os conjuntos A, B e C. Prove, por meio da tabela de pertinência que: a) A ∩ (B - A) = ∅ b) A ∩ B ∩ C = A ∪ B ∪ C c) A∪(B-A) = A∪B d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B ) = A e) A – B = A ∩ B f) (A – B) – C = (A - C) – B g) (A – B) – C = (A - C) – (B – C). 2. Prove por meio da tabela de pertinência que, dados os conjuntos A, B e C, as igualdades abaixo são verdadeiras. 3. Use a tabela de pertinência para mostrar que (A ∪ B) - (A ∩B) = (A ∪ B) ∩ ( A ∪ B ) para os conjuntos A e B. 4. Use a tabela de pertinência para verificar se (A ∩ B ) ∩ A ∩ B = (A∪B) ∩ ( A ∪ B ) para os conjuntos A e B. 41
  • Matemática Discreta Saiba Mais As operações com conjuntos estudadas nesse capítulo apresentam propriedades importantes que tem relação com outras estruturas que serão vistas nos capítulos seguintes. Sugerimos consultar os seguintes livros para aprofundar os seus conhecimentos em relação às operações entre conjuntos, suas propriedades, as diversas formas de provar a igualdade entre conjuntos: - ABE, Jair Minoro; PAPAVERO, Nelson. Teoria intuitiva dos conjuntos. São Paulo McGraw Hill:, 1997. - ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1995. - GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. Rio de Janeiro: LTC, 2004. - LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004 - Scheinerman, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. Tradução de Alfredo Alves de Farias. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 42
  • Matemática DiscretaCapítulo 3 - Introdução à LógicaMatemática A Lógica Matemática é base para qualquer estudo nas áreas deComputação e Informática. Muitas demonstrações em Matemáticae muitos algoritmos em Ciência da Computação usam expressõeslógicas, tais como,“se P então Q” ou “se P e Q então P ou Q”. Demodo que, para desenvolver qualquer algoritmo, em conseqüência,qualquer software, é necessário ter o conhecimento dos fundamentosda Lógica. Existem linguagens de programação, tais como Prolog eHaskel, que são desenvolvidas de acordo com o paradigma lógico. Nesse capítulo, seguiremos os fundamentos da Lógica Booleana Acesse(George Boole2, 1815 – 1864), conjunto de princípios e métodosusados para distinguir sentenças verdadeiras de falsas. 2. http://www. santarita.g12.br/ Uma proposição é uma construção (sentença, frase, matematicos/gm1/pensamento) à qual se pode atribuir juízo. Em lógica matemática, o george_boole.htmtipo de juízo é o verdadeiro (V) ou falso (F), não ambos. Para uma dada proposição p, denota-se por V(p) o seu valorverdade, de modo que V(p) = V se p é verdadeira e V(p) = F, se p éfalsa. São proposições: p: 6 é um número primo q: (72)3 = 76 r: =1, 4142 s: Linux é um software livre. Para cada uma delas, o valor-verdade é como segue: V(p) = F,V(q)= V, V(r) = F, V(s) = V. Não são proposições: p: Como vai você? q: Não chegue atrasado! r: x + 2 = 5 t: “O que estou dizendo agora é mentira”. 43
  • Matemática Discreta 3.1 Proposições compostas. As proposições estudadas até aqui são ditas proposições simples, no sentido de que não podem ser decompostas em proposições mais simples. É possível, a partir de proposições simples, construir proposições mais complexas, chamadas de proposições compostas, usando os conectivos lógicos ∨ (OU), ∧ (E), ¬ (NÃ0). Negação ¬p. A negação de uma proposição é construída introduzindo a palavra não de forma apropriada ou prefixando- se a expressão “não é fato que”, como nos exemplos a seguir:. Considerando uma proposição p, sua negação é denotada por ¬p. Alguns autores usam a notação ~p, outros usam p’. p: Linux é um software livre ¬p : Linux não é um software livre. q: Paris não fica na França. ¬q : Paris fica na França. r : 2 ≥ 1,5 ¬ r : 2 < 1,5 A tabela-verdade descreve todas as possibilidades dos valores lógicos de uma proposição. A tabela lista todas as possíveis combinações de valores-verdade V ou F para as componentes simples envolvidas na composição da proposição composta. Quando a proposição é composta de duas proposições simples, sua tabela-verdade contém quatro linhas. Em geral, se uma proposição é composta de n proposições simples, sua tabela-verdade contém 2n linhas. Vamos iniciar a construção das tabelas-verdade? Iniciaremos com Atenção a tabela da negação. Negação. A tabela – verdade da negação apresenta apenasVocê percebeu duas linhas, pois envolve uma só proposição.semelhança databela ao ladocom algumatabela envolvendoconjuntos?Recorde a tabelade pertinência docomplementar deum conjunto! Isto é, se p é verdadeira, então ¬p é falsa. Se p é falsa, então ¬p é verdadeira. Conjunção. A conjunção de duas proposições p e q, denota-se por p ∧ q ( lê-se p e q ), tem valor lógico verdadeiro quando p e q são 44
  • Matemática Discretaambas verdadeiras e, tem valor lógico falso, em qualquer outro caso.Abaixo segue a tabela da conjunção exemplos. Atenção E agora, você percebeu semelhança da tabela ao lado com a tabela de pertinência da interseção conjuntos? p: Windows é um sistema operacional q: Java é uma linguagem de programação. p∧q : Windows é um sistema operacional e q: Java é uma linguagemde programação V(p∧q)=V p: Windows é um sistema operacional. q: Java é uma planilha eletrônica p∧q : Windows é um sistema operacional e Java é uma planilhaeletrônica V(p∧q)=F p: Windows é um editor de textos. q: Java é uma linguagem de programação p∧q : Windows é um editor de textos e Java é uma linguagem deprogramação V(p∧q)=F p: Windows é um editor de textos. q: Java é uma planilha eletrônica. p∧q : Windows é um editor de textos e Java é uma planilhaeletrônica V(p∧q)=F Disjunção. A disjunção de duas proposições p e q, denota-sepor p ∨ q ( lê-se p ou q ) reflete a noção de que pelo menos umadas proposições deve ser verdadeira para que a resultante sejaverdadeira. De modo que, a proposição p ∨ q é verdadeira, se pelomenos uma das proposições é verdadeira; falsa, se as proposições 45
  • Matemática Discreta são todas falsas. A tabela-verdade da disjunção é : AtençãoNesta tabela,você percebeusemelhançacom a tabela depertinência daunião conjuntos? Exemplos: p: Windows é um sistema operacional. q: C++ é uma linguagem de programação. p∨q : Windows é um sistema operacional ou C++ é uma linguagem de programação V(p∨q)=V p: Windows é um sistema operacional. q: C++ é uma planilha eletrônica p ∨ q : Windows é um sistema operacional ou C++ é uma planilha eletrônica V(p ∨ q)=V p: Windows é um editor de textos. 46
  • Matemática Discreta q: C++ é uma linguagem de programação p ∨ q : Windows é um editor de textos ou C++ é uma linguagem de programação V(p ∨ q)=V p: Windows é um editor de textos. q: C++ é uma planilha eletrônica. p ∨ q : Windows é um editor de textos ou C++ é uma planilha V(p ∨ q)=F Condicional. (Implicação). A condicional envolvendo duasproposições p e q, denota-se por p → q que é lida: “Se p então q”. Aproposição p é chamada premissa (antecedente) e a proposição q édita conclusão (conseqüente). A condicional reflete a noção de que, partindo-se de uma premissaverdadeira (p verdadeira) obrigatoriamente chega-se a uma conclusãoverdadeira (q verdadeira), para que a condicional p → q sejaverdadeira. Partindo-se de uma premissa falsa, qualquer conclusãopode ser considerada, e a condicional é verdadeira. A condicionalé falsa apenas quando a premissa é verdadeira e a conclusão éfalsa. Resumo: a condicional p → q é: Falsa, quando p é verdadeira e q falsa. Verdadeira, nos outros casos. A tabela-verdade da condicional é: 47
  • Matemática Discreta Exemplo: Analisaremos a seguinte situação condicional: Pedro diz: “Se chover domingo então ficarei estudando”. Vamos considerar as seguintes hipóteses e vejamos se Pedro cumpriu sua palavra (V): a) Domingo choveu (V) e Pedro ficou estudando (V). Pedro cumpriu com a sua palavra (V) b) Domingo choveu (V) e Pedro não ficou estudando (F). Pedro não cumpriu sua palavra (F) c) Domingo não choveu (F) e Pedro ficou estudando (V). Pedro cumpriu sua palavra (V), pois não disse o que faria se não chovesse. Nesse caso, poderia ou não ficar estudando. d) Domingo não choveu (F) e Pedro não ficou estudando (F). Pedro cumpriu sua palavra (V), pelos motivos explicados na letra (c). Exemplos: Considere as proposições seguintes: p: Recife fica no Brasil q: 2 + 3=4 48
  • Matemática Discreta r: 2 + 2 = 4 t: Recife fica na Índia p → r : Se Recife fica no Brasil então 2 + 2 = 4 V(p→ r) = V p → q : Se Recife fica no Brasil então 2 + 3 = 4 V(p→ q) = F t → q : Se Recife fica na Índia então 2 + 3 = 4 V(t→ q) = V q → r : Se 2 + 3 = 4 então 2 + 2 = 4 V(q→ r) = V Bicondicional. A bicondicional envolve duas proposições p eq, é denotada por p↔q e é lida: “p se somente se q”, traduz a noçãode uma dupla condicional, uma no sentido “ida” p→q e outra nosentido “volta” q→p.A tabela-verdade da bicondicional é dada abaixo: Isto é, a bicondicional é verdadeira quando as proposições sãoambas verdadeiras ou ambas falsas. A bicondicional é falsa, quandoas proposições p e q têm valores-verdade distintos. Observe que abicondicional p↔q tem o mesmo significado que (p→q) ∧(q→p). Façaa tabela-verdade. Duas proposições p e q são logicamente equivalentes se têmtabelas-verdade idênticas e escrevemos p ≡ q Observe que a tabela-verdade da condicional p→q é a mesma daproposição composta ¬ p∨q Dizemos que a condicional p → q é equivalente a ¬p∨q, isto é, p→ q ≡ ¬p∨q 49
  • Matemática Discreta Aprenda Praticando - Exercícios 3.1 Você vai agora praticar a construção de tabela-verdade de proposições compostas e verificar as que são equivalentes, comparando a última coluna de cada uma delas. 1. Mostre que as proposições abaixo são equivalentes, em cada caso: a) ¬(p∧q) ≡ (¬p)∨(¬q) b) (¬p)∧(¬q) ≡ ¬(p∨q) c) p→q ≡ ¬(p∧¬q) d) p ∧(q∨r) ≡ (p∧q) ∨(p∧r) e) ¬(p→q) ≡ p∧¬q f) p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧¬q) g) p ↔ q ≡ (¬p ∨ q) ∧ (p ∨¬q) Respostas dos Exercícios 3.1 Apresentamos as respostas de alguns exercícios. Em relação aos outros exercícios, comente com seus colegas. Dificuldade? Peça ajuda ao seu tutor. 50
  • Matemática Discreta a) ¬(p∧q) ≡ (¬p)∨(¬q) b) (¬p)∧(¬q) ≡ ¬(p∨q) c) p→q ≡ ¬(p ∧¬ q)3.2 Tautologias e Contradições Tautologia (V) é uma proposição que toma o valor V para todasas possíveis atribuições de valor V e/ou F para as suas componentessimples nela presentes. Por exemplo, p ∨ ¬ p. Contradição (F) é uma proposição que toma o valor F para todasas possíveis atribuições de valor V e/ou F para suas componentessimples nela presentes. Por exemplo, p ∧ ¬ p Contingência é uma proposição cuja tabela-verdade consta Ve F. Por exemplo, a conjunção p ∧ q e a disjunção são exemplos decontingências. 51
  • Matemática Discreta Exemplo 3.2.1 A proposição p →(p∨q) é uma tautologia. Confira a sua tabela-verdade. Exemplo 3.2.2 A proposição (p→q) ∧(p∧ ¬ q) é uma contradição. Confira a sua tabela-verdade. Aprenda Praticando - Exercícios 3.2 Decida quais as proposições abaixo são tautologias, contradições ou contingências. Faça a tabela. 1. Quais proposições abaixo são tautologias, contradições ou contingências? a) (p∨¬q) ∨(p∨q) b) (p∧q) → (p∨q) c) ¬p → (q→p) d) (x ∧ (x → y)) → y e) ((x→y) ∧ (y→z)) → (x→z) 52
  • Matemática Discreta f) (p∨ ¬q) → (p→¬q) g) (¬p ∨ q) → (p→q) h) (p∧q) → (p↔q) i) (¬p) ∧(p∧¬q) j) ¬(p∨q) → (p↔q) j) (p→q) ↔(¬q→¬p) 2. Qual o valor-verdade das seguintes proposições? a) 8 é par ou 6 é ímpar b) 8 é par e 6 é ímpar c) 8 é impar ou 6 é ímpar d) Se 8 é ímpar, então 6 é par. e) Se 8 é ímpar, então 6 é ímpar f) Se 8 é impar ou 6 é par, então 8 < 6. g) Se 8 é par, e 6 é ímpar então 6 > 8. Respostas dos Exercícios 3.2 1. a) Tautologia b) Tautologia. c) Contingência. d) Tautologia. e) Tautologia. f) Tautologia g) Tautologia. h) Tautologia. i) Contingência. j) Tautologia. k) Tautologia. 2. a) V. b) V. c) F. d) V. e) V. f) F g) V.3.3 Negação de conjunção e de disjunção DE MORGAN Considere a conjunção p ∧ q e a disjunção p ∨ q. A negação da conjunção é denotada por ¬(p ∧ q) e é equivalentea ¬p ∨ ¬q. 53
  • Matemática Discreta A negação da disjunção é expressa por ¬(p ∨ q) e é equivalente a ¬p ∧ ¬q. Confira fazendo a tabela-verdade: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q e de ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q. 3.4 Álgebra das proposições. Você observou, nesse capítulo, que as proposições, a exemplo dos conjuntos, satisfazem várias propriedades que estão listadas na tabela abaixo. Cabe ao leitor, identificar aquelas propriedades que correspondem às dos conjuntos: Exemplo 3.3.1 a) A negação de “Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá” é “Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá”. b) A negação de 2 < 7 ou 3 é par é : 2 ≥ 7 e 3 é ímpar. Exemplo 3.3.2. Considere as seguintes proposições: p: Rosas são vermelhas. q:Violetas são azuis. r: Cravos são brancos. s: Cravos são vermelhos. A forma simbólica usando os conectivos ∧, ∨ , ¬ , → e ↔, das seguintes proposições compostas: a) Rosas são vermelhas e violetas são azuis. a) p∧q 54
  • Matemática Discreta b)Rosas não são vermelhas ou violetas não são azuis. b) ¬p ∨¬q c) Cravos são brancos ou vermelhos. c) r∨s d) Cravos não vermelhos ou violetas não são azuis. d) ¬s∨¬q e) Não é verdade que violetas são azuis e rosas são vermelhas. e) ¬(q∨p) f) É falso que cravos são vermelhos ou brancos. f) ¬(s∨r) g) Se cravos são brancos, então cravos são vermelhos e violetassão azuis. g) r → s ∧ q h) Se rosas não são vermelhas, então violetas não são azuis oucravos não são brancos. h) ¬p →¬ q ∨ ¬r i) Se violetas são azuis e cravos brancos, então é falso que cravossão brancos ou vermelhos. i) (q∧r)→¬(r∨s) j) Rosas são vermelhas se e somente se cravos são brancos. j) p ↔r Exemplo 3.3.3. Os conectivos lógicos E (AND) , OU (OR) e Não(NOT), correspondentes, respectivamente a, ∧, ∨ e ¬, são usados emalgumas linguagens de programação conjuntamente com expressõesverdadeiras ou falsas para produzir um valor lógico final. Suponha as seguintes variáveis “Fluxo_de_saída”, “Fluxo _de_entrada” e “Pressão” e o seguinteprograma de computador:If [ (Fluxo_de_saída > Fluxo _de_entrada ) and not ((Fluxo_de_saída > Fluxo_de_entrada) and Pressão <1000 )] do Ponha água; 55
  • Matemática Discreta Else do Desligue a máquina; Pondo P = Fluxo_de_saída > Fluxo _de_entrada e Q = Pressão <1000, a expressão usada no programa se escreve P ∧¬ (P ∧Q). Essa expressão pode ser simplificada assim: P ∧¬ (P ∧Q) = P ∧ ( ¬P ∨ ¬Q) = (P ∧¬P) ∨ (P ∧¬Q) = 0 ∨ (P ∧¬Q) = P ∧¬Q. Assim o programa poderia ser reescrito na forma: If ((Fluxo_de_saída > Fluxo _de_entrada ) and not ( Pressão < 1000)) do Ponha água; else do Desligue a máquina; Exemplo 3. 3. 4 Suponha que P, Q e R representam condições que serão verdadeiras ou falsas quando certo programa é executado. O programa manda realizar uma tarefa somente quando P ou Q for verdadeira ( mas não ambas) e R for falsa. Escreva uma proposição usando os conectivos and , or e not que seja verdadeira apenas dessas condições. Resp. ( (P and not Q) or (not P and Q) and not R ) ) ou seja ( (P ∧¬Q) ∨ ( ¬P ∧Q) ) ∧ ¬R. Exemplo 3. 3. 5 Reescreva o programa abaixo com uma expressão condicional mais simples. A função impar(número) tem valor verdadeiro se n é ímpar. Se não ( (valor 1 < valor 2) ou ímpar (número) ) ou ( não (valor 1 < valor 2) e ímpar(número)) então faça Alguma Coisa; Caso contrário faça Outra Coisa; Resp. Sugestão: Ponha A = valor 1 < valor 2 e B = impar(número) A expressão condicional é : ¬(A ∨ B) ∨ (¬A ∧B) Assim, ¬(A ∨ B) ∨ (¬A ∧B) = ( ¬A ∧ ¬B) ∨( ¬A ∧B) = ¬A ∧( ¬B ∨ B) = ¬A∧(T) = ¬A 56
  • Matemática Discreta Aprenda Praticando - Exercícios 3.3 Novamente, solicitamos que revise o conteúdo dessa seção eresolva os exercícios seguintes. 1. Determinar as proposições compostas por conjunção ∧ com as proposições simples p e q, antecedidas ou não por negação ¬, que satisfazem a cada um das tabelas-verdade abaixo indicadas. 2. Repetir o exercício com disjunção ∨. 3. Repetir o exercício com condicional →. 4. Mostre por meio da tabela-verdade que as proposições p→q e ¬q → ¬ p são equivalentes. Use a equivalência para resolver as questões seguintes. 57
  • Matemática Discreta 5. (ESAF / AFTN) Considere as seguintes afirmações: - Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. - Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. - Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então: a) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do que Pedro. b) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade. c) Carlos e João são mais moços do que Pedro. d) Carlos é mais velho do que Pedro e João é mais moço do que Pedro. e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade. 6. Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo: a) Se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado. b) Rodrigo é culpado. c) Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu. d) Rodrigo mentiu. e) Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu 58
  • Matemática Discreta Respostas dos Exercícios 3.3 e 3.4 1. 5. e 6. c.3.5 Funções proposicionais. Quantificadores. Considere as seguintes sentenças p: 3 + 6 = 9 q: x + 4 < 9. A sentença p, como sabemos, é verdadeira, ao passo que, nadapodemos afirmar sobre o valor lógico da sentença q enquanto xnão for identificado. Dependendo do valor de x, esta sentença podeassumir o valor verdadeiro ou falso. Nesse caso, a sentença q é ditauma sentença aberta ou função proposicional. De um modo geral, p(x) significa que x tem a propriedade p. Nassentenças abertas p(x), p(y), os símbolos x, y são chamados de Atençãovariáveis. O conjunto de valores que a variável pode assumir constitui A sentença ∀ x,o seu conjunto universo U. O subconjunto de U para os quais o valor p(x) é verdadeira se o conjunto-verdadelógico da sentença aberta é verdadeiro é o conjunto V, dito conjunto- de p(x) e o seu conjunto universoverdade da sentença aberta. Exemplos. são iguais, isto é, U=V e, falsa , se a) Considere a proposição p(x) “x + 2 > 9 “ com x ∈ N. O conjunto- ≠ V. Uverdade V = {8, 9, 10 ,l 1, ....} b) A proposição p(x) “x + 7 < 4“ com x ∈ N tem conjunto verdadeV = φ. c) A proposição p(x) “ x + 7 > 4 “ com x ∈ N tem V = N. Os exemplos acima mostram que, se uma proposição p(x) édefinida para x do universo U, então p(x) pode ser verdade para todo Atençãox ∈ U, para algum x ∈ U, ou para nenhum x ∈ U. A sentença ∃x, p(x) é verdadeira se o conjunto-verdade3.5.1 Quantificadores. de p(x) é não vazio, V ≠ φ e, falso se V =φ Usaremos o símbolo ∀, chamado quantificador universal, paraexprimir o fato de que “ para todo x em um conjunto, a proposição 59
  • Matemática Discreta p(x) é verdadeira”. Uma proposição do tipo “ Para todo x, p(x) “ é simbolicamente denotada por “∀x, p(x)”. Exemplos: ∀x∈N, x  = x é verdadeira pois V(p(x)) = N ∀x∈Z, x  = x é falsa, pois V(p(x)) = N ≠ Z ∀x∈N*, x2 + 1 ≥ 2 é verdadeira, pois V(p(x)) = N* ∀x∈Z, x2 ≥ 0 é verdadeira, pois V(p(x)) = Z Analogamente, no caso de proposições que envolvem expressões do tipo “existe”, “há pelo menos um”, “algum”, usaremos o símbolo ∃, chamado quantificador existencial, para exprimir o fato de que para um ou mais elementos de um dado conjunto U a proposição p(x) é Atenção verdadeira. Uma proposição do tipo “existe um x tal que p(x) ” pode ser escrita simbolicamente: “∃x, p(x)”.A negação dasentença ∀x, p(x) Exemplo: A proposição “ ∃x, x∈N” tem os seguintes significados:é ∃x, ¬ p(x).Logo, ¬ (∀x, p(x)) “ existe um x tal que x∈N”, “algum número é natural”, “existe peloé equivalente a ∃x, menos um número natural”.¬ p(x). Exemplos: ∃n, n ∈ N : n + 2 = 5 é verdadeira, pois V(p(n)) = { 3 } ≠∅ Atenção ∃x, x ∈ N: x + 2 = 0 é falsa, pois V(p(x)) = ∅A negação dasentença ∃x, ∃x∈{1, 2, -3, -4}, x2 + x - 6 = 0 é verdadeira, pois V(p(x)) = {2, -3}p(x) é ∀x, ¬ p(x).Logo, ¬ ∃ (x, p(x)) ∃n, n ∈ N, n! < 10 é verdadeira, pois V(p(n)) = {0, 1, 2, 3}é equivalente a∀x,¬ p(x). 3.5.2 Negação de sentenças quantificadas Exemplos: Seja A = {1, 2, 3, 4, 5 } a) A negação da sentença ∃x ∈ A, x + 3 = 10 é ∀x∈A, x + 3 ≠ 10 b) A negação da sentença ∃x ∈ A, x + 3 < 5 é ∀x∈A, x + 3 ≥ 5 c) A negação de ∀x∈A, x + 3 < 10 é ∃x ∈ A, x + 3 ≥ 10 d) A negação de ∀x∈A, x + 3 ≤ 7 é ∃x ∈ A, x + 3 > 7 60
  • Matemática Discreta Aprenda Praticando - Exercícios 3.41.Escreva as proposições seguintes utilizando a notação de quantificador (isto é, use os símbolos ∀ e/ou ∃ ). a) Todo inteiro é primo. b) Há um inteiro que não é primo. c) Existe um inteiro cujo quadrado é 4. d) Todos os inteiros são divisíveis por 5. e) Algum inteiro é divisível por 7. f) O quadrado de qualquer inteiro é não negativo. g) Para todo número inteiro x, existe um inteiro y tal que x.y =1. h) Existem dois inteiros x e y tais que x/y =10.2. Escreva a negação de cada uma das proposições do problema anterior. Dê sua resposta por extenso e simbolicamente.3. Assinale como verdadeiras ou falsas as proposições abaixo relativas aos números inteiros: a) ∀x, ∀y, x + y = 0 b) ∀x, ∃y, x + y = 0 c) ∃x, ∀y, x + y = 0 d) ∃x, ∃y, x + y = 0 e) ∀x, ∀y, x.y = 0 f) ∀x, ∃y, x.y = 0 g) ∃x, ∀y, x.y = 0 h) ∃x, ∃y, x.y = 0.4. Para cada uma das proposições seguintes, escreva a negação. a) ∀x ∈ Z, x < 0. b) ∃ x ∈ Z, x = x + 1 c) ∃ x ∈ N, x > 10 d) ∀ x ∈ N, x + x = 2x e) ∃ x ∈ Z, ∀y ∈ Z, x > y. f) ∀ x ∈ Z, ∀y ∈ Z, x = y. 61
  • Matemática Discreta g) ∀ x ∈ Z, ∃y ∈ Z, x + y = 0. 5. Mostre por meio da tabela-verdade se as proposições abaixo são equivalentes: a) p ∧ p ⇔ p b) p ∨ p ⇔ p c) p ∨ q ⇔ q ∨ p d) p ∧ q ⇔ q ∧ p e) p∧(q ∨ r) ⇔ (p∧ q) ∨ (p∧ r) f) p∨(q ∧ r) ⇔ (p∨ q) ∧ (p∨ r) g) p∧(q ∨ r) ⇔ (p∧ q) ∨ (p∧ r) h) ( p → q) ⇔ ( q’ → p’) 6. Considere as seguintes sentenças abertas cujo domínio consiste nos números inteiros Z: O(x) : x é impar L(x) : x < 10 G(x) : x > 9 Qual o valor-verdade de cada uma das seguintes sentenças abertas?: a) ∃x : O(x) b) ∀x [ L(x) → O(x) ] c) ∃x [ L(x) ∧ G(x) ] d) ∀x [L(x) ∨ G(x)] 7. Sabendo que as proposições “x = 0” e “x = y” são verdadeiras e que as proposições “y = z” e “y = t” são falsas, determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: a) (x = 0 ) ∧(x = y) → (y ≠ z) b) (x ≠ 0 ) ∨ (y = t) → (y = z) c) (x = 0 ) → (x ≠ y) ∨( y ≠ t) d) (x ≠ 0 ) ∨(x ≠ y) → (y ≠ z) 8. Determine o valor lógico de cada uma das sentenças a seguir, considerando o conjunto universo de todos os números inteiros Z. a) ∀n, n2 ≥ 0 b) ∃n, n2 = 2 c) ∀n, n2 ≥ n d) ∀n ∃m, n2 < m. e) ∃n ∀m, n < m2 f) ∃n ∀m, n + m = 0, 62
  • Matemática Discreta g) ∃n ∀m, n.m = m h) ∃n ∃m, n2 + m2 = 5, i) ∃n ∃m, n2 + m2 = 6. j) ∃n ∃m, (n + m = 4) ∧ (n – m = 1) k) ∃n ∃m, (n + m = 4) ∧ (n – m = 2) m+n l) ∀n ∀m ∃p, p = . 2 m) ∃n, ∀m , n + m = m n) ∀m, ∃n, n2 + 1 = m9. Determine o valor lógico de cada uma das sentenças a seguir, considerando o conjunto universo de todos os números reais R. a) ∃x, x2 = 2 b) ∃x, x2 = - 4 c) ∀x ∃y, x2 = y d) ∀x ∃y, x = y2 e) ∃x ∀y, x.y = 0 f) ∀x ∃y, x + y ≠ y + x g) ∀x, x ≠0, ∃y, x.y = 1 h) ∃x ∀y, y ≠0, x.y =1 i) ∀x ∃y, x + y = 1 j) ∃x ∃y, ( x + 2y = 2) ∧(2x + 4y = 5) x+ y k) ∀x ∀y ∃z, z = 210. Considere as seguintes proposições: p(x): “ x é par” , q(x) : “x é divisível por 3” e r(x): “x é divisível por 4”. Determinar o seu valor lógico cada uma das proposições abaixo: a) ∀x ∈ N * , p(x+2) ∧ q(x) b) ∀x ∈ N * , p(x) → r(x) c) ∃x ∈N*, q(x) → q(x+5) d) ∃x ∈N*, r(x) ∧ r(x -2) Respostas dos Exercicios 3.4 Atenção Procure ensinar aos seus colegas tudo aquilo que8. a) V b) F c) V d) V e) V f) F g) V h) V i) F você aprender, pois lecionar é uma j) F k) V l) F m) V n) F ótima maneira de aprender.9. a) V b) F c) V d) F e) V f) F g) V h) F i) V j) F k)V. 63
  • Matemática Discreta Saiba Mais Neste capítulo, você teve oportunidade de conhecer os fundamentos da lógica matemática, fortemente empregada, nas áreas de informática e computação. Percebeu que existe uma estreita relação entre as propriedades das operações entre com juntos e as proposições lógicas. Você poderá aprender mais sobre proposições, consultando os seguintes livros sobre Lógica Matemática: ALENCAR Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1995. LIPSCHUTZ, Seimour; LIPSON, Marc Lars. Teoria e Problemas de Matemática Discreta. Porto Alegre: Bookman, 2004 64
  • Matemática DiscretaCapítulo 4 - Portas Lógicas Os circuitos lógicos (redes lógicas) são estruturas concebidascom base em certos circuitos elementares designados portas lógicas.São vistos como uma máquina L que contém um ou mais dispositivosde entrada e apenas uma saída S. Os dispositivos de entrada em Lenviam um sinal, ou seja, um bit, 0 ou 1, ao circuito L que o processae manda um sinal, um bit de saída S. A descrição de circuitos construídos pela combinação de portaslógicas, exige um novo tipo de álgebra, denominada Álgebra deBoole em que as variáveis e funções tem apenas valores 0 e 1. NaÁlgebra de Boole são usados três operadores E, OU e NÃO (AND, ORe NOT) para efetuar comparações e as quatro operações aritméticasbásicas. Os computadores atuais utilizam a Álgebra de Boole em microchipsque contém centenas de pequenos interruptores combinados emportas lógicas que produzem os resultados das operações emlinguagem binária. Entre os circuitos elementares destacamos as portas lógicasseguintes: porta OR, porta AND e porta NOT.4.1 Porta Not (Não) A porta NOT inverte o sinal de entrada (executa a negação do sinalde entrada), ou seja, se o sinal de entrada for 0 ela produz uma saída1, se a entrada for 1 ela produz uma saída 0. Também é chamada deporta inversora. Se A é uma variável binária então a porta NOT transforma A emNOT(A), ou simplesmente A , de modo que se A = 0 então NOT(A) =A = 1, se A = 1 então NOT(A) = A = 0. Usaremos também a notaçãoA’ para a negação. O símbolo e a tabela-verdade da porta NOT são asseguintes: 65
  • Matemática Discreta 4.2 Porta Or (Ou) A porta OR combina dois ou mais sinais de entrada de forma equivalente a um circuito em paralelo, para produzir um único sinal de saída, ou seja, ela produz uma saída 1, se qualquer um dos sinais de entrada for igual a 1; a porta OR produz um sinal da saída igual a 0 apenas se todos os sinais de entrada forem 0. Usaremos o sinal + para indicar a operação OR (OU). A tabela-verdade e o símbolo da porta OR com duas entradas são: Exemplo: Considere um detector de incêndio com dois sensores (entradas A e B) e uma campainha para alarme (saída S). Se qualquer um dos sensores for acionado (1) detectando sinal de incêndio, a campainha toca (1). O circuito lógico, a função booleana e a tabela – verdade correspondem às de uma porta OR. Porta OR com três entradas A tabela verdade apresenta 23 = 8 linha 66
  • Matemática Discreta4.3 Porta And (E) A porta AND combina dois ou mais sinais de entrada de formaequivalente a um circuito em série, para produzir um único sinal desaída, ou seja, ela produz u ma saída 1, se todos os sinais de entradaforem 1; caso qualquer um dos sinais de entrada for 0, a porta ANDproduz um sinal de saída igual a 0. Usaremos o símbolo . para aoperação AND (E). A tabela-verdade e o símbolo da porta AND com duas entradassão: Exemplo: Uma campainha que toca (saída S) se o motoristader partida no motor do carro (entrada A) sem estar com o cinto desegurança afivelado (entrada B). Esboce o circuito lógico, a funçãobooleana e a tabela-verdade correspondente. Convenção: igniçãofor acionada (1) e o cinto estiver desafivelado (1), a campainha toca(1). Caso contrário, a campainha não toca. O circuito lógico, a funçãobooleana e a tabela–verdade correspondem às de uma porta AND. Atenção Observe que a tabela-verdade da porta NOT é idêntica à tabela depertinência do complementar. A tabela da porta OR tem semelhançadom a tabela de pertinência da união e a da porta AND com a tabelade pertinência da interseção. Há semelhança também com as tabelas-verdade para as proposições ¬p ( Negação), p∨q ( disjunção) ep∧q ( conjunção). A diferença é que, nas tabelas das portas e nosconjuntos usamos 0 e 1, e nas proposições usamos F e V. 67
  • Matemática Discreta Porta AND com três entradas A tabela verdade apresenta 23 = 8 linha 4.4. Porta Nand e Porta Nor. Em muitos casos é necessário fazer combinações de portas básicas, formando portas mais complexas, de modo a reduzir espaços nos diagramas dos circuitos. Por exemplo, a porta NAND nada mais é do que a negação da porta AND, com saída S = A.B . A tabela-verdade e sua representação são dadas abaixo: A porta NOR é obtida pela negação da porta OR e sua saída é representada por S = A + B . A sua tabela-verdade e representação simbólica são: 4.5. Portas XOR e XNOR Destacamos ainda as portas XOR e XNOR representadas respectivamente pelos símbolos e tabelas a seguir: 68
  • Matemática Discreta PORTA XOR A ⊕ B = (A + B) . (A.B)’ = A.B’ + A’.B PORTA XNOR A ⊕ B = ((A + B). (A.B)’ )’ = (A’+B).(A+B’)4.6 Portas Lógicas Equivalentes Dizemos que 2 portas lógicas são equivalentes se têm a mesmatabela-verdade. Exemplo: S1 = (A+B) . (A + C) S 2 = A+ B.C4.7 Propriedades das Portas Lógicas. Apresentamos abaixo, uma tabela contendo identidades emÁlgebra de Boole. 69
  • Matemática Discreta Observe que podemos provar que os circuitos S1 = (A+B) . (A + C) e S 2 = A + B.C são equivalentes aplicando as identidades acima: S1 = (A+B) . (A + C) = A. (A+C) + B(A+C) = A.A + A.C + B.A + B.C = A + A.C + B.A + B.C= A( 1+ C) + B.A + B.C = A.1 + A.B + BC = A(1 + B) + B. C = A.1 + B.C = A + B.C Aprenda Praticando Exercícios 4.1: Pratique seus conhecimentos na elaboração da tabela-verdade de circuitos lógicos. 1. Desenhe o circuito lógico com entradas A, B e C e saída S correspondente a cada expressão booleana e a respectiva tabela- verdade a) S = ABC + A C + B C b) A B C + AB C + A B C c) S = (A+B) .(A + C) d) S = A + B.C 2. Desenhe o circuito lógico de cada uma das expressões booleanas de saídas S1 e S2 e verifique por meio da tabela-verdade se são equivalentes: ta) S1 = X ⊕ Y S 2 = X.Y + X .Y 70
  • Matemática Discreta b) S1 = (A + B).( A + C).(B + C) S 2 = (A.C) + ( A .B) c) S1 = A + A.B S2 =A d) S1 = A + A .B S2 =A+B e) S1 = ABC + A C + A B S2 = A f) S1 = A + B S2 = A B g) S1 = A.B S2 = A + B 3. Faça a tabela-verdade de cada uma das portas lógicas abaixoindicadas e diga quais as que são equivalentes. 4. Escreva a expressão booleana de cada porta lógica OR usandoapenas portas AND e inversor:a) S = A + B b) S = A + B 71
  • Matemática Discreta c) S = A+ B d) S = A + B e) S = A + AB f) S = AB + A B 5. A porta NAND sozinha é suficiente para conceber qualquer função-verdade porque as redes que usam apenas as portas NAND podem realizar as tarefas de portas inversoras, portas OR e portas AND. Os circuitos a seguir mostram isso: 6. Analogamente à questão anterior, podemos construir as portas inversoras, portas OR e portas AND usando apenas portas NOR. Mostre isso, fazendo os respectivos circuitos. 7. Demonstre por meio da tabela-verdade que: a) A( A + B ) = A b) A( A + B ) = AB c) AB + A B = A d) ( A + B ) ( A + B) = B 8. Uma firma de audiovisuais por entrega em domicílio dispõe de um mecanismo de controle automático para supervisionar o empacotamento das remessas. A firma vende CD, DVD, VIDEO e GAME. Como bonificação, é adicionado tíquete de desconto, em todas as encomendas que incluam CD e DVD ou que incluam CD e VÍDEO, ou ainda que incluam DVD e GAME. Projetar uma rede lógica 72
  • Matemática Discretaque controle quando o tíquete deve ser incluído. Faça a expressãoBooleana e a tabela-verdade. 9. Uma luz no corredor de uma casa é controlada por doisinterruptores, um em cada extremo. Encontre a expressão booleanae um circuito lógico que permita que a luz seja ligada e desligada emambos os interruptores. 10. Imagine um sistema de segurança de uma loja. Há um sensorde contato que, ligado (1) indica que a porta está fechada. Existeoutro sensor infravermelho que, ligado (1) indica que não há pessoasou coisas a moverem-se no interior da loja. Há um alarme (saída) queé acionado quando um dos sensores é desligado. Faça o circuitológico, a expressão booleana e a tabela-verdade correspondente. 11. Um comitê de três pessoas toma decisões pela maioria de votos.Cada membro do comitê pode registrar “sim” pressionando um botão.Projete um circuito lógico que faça acender uma lâmpada quando esomente quando a maioria dos votos for “sim”. Faça o circuito lógico,a expressão booleana e a tabela-verdade correspondente. 12. ENADE(2005). João, ao tentar consertar o módulo eletrônicode um carrinho eletrônico, levantou as características de um pequenocircuito digital incluso no módulo. Verificou que o circuito tinha dois bitsde entrada, x0 e x1, e um bit de saída. Os bits x0 e x1 eram utilizadospara representar valores inteiros de 0 a 3 (x0, o bit menos significativoe x1, o bit mais significativo). Após testes, João verificou que a saídado circuito é 0 para todos os valores de entrada, exceto para o valor 2.Qual das expressões a seguir representa adequadamente o circuitoanalisado por João? a) x0 AND (NOTx1) b) (NOTx0 )OR (NOTx1) c) (NOTx0 )AND x1 d) x0 ANDx1 e) x0 OR (NOTx1) 13. Escreva a expressão booleana de cada um dos circuitos deentradas A e B, abaixo indicados. Verifique por meio da tabela-verdadese são circuitos equivalentes.(AV-1 2006.1). 73
  • Matemática Discreta 14. Os números inteiros não negativos N, menores do que 10, podem ser representados na notação binária da maneira que se segue: Se representamos os números binários sob a forma N = A3 A2 A1 A0, construir um circuito lógico, a tabela verdade e uma função booleana que retorne 1, apenas quando o número representado em binário seja 3, 6, 7 ou 8. 15. Nas condições da questão 14, construa a tabela verdade e a expressão booleana correspondente a condição de que o número inteiro N seja primo. 16. Um comitê consiste de Presidente(P), Diretor(D), Secretário(S) e Tesoureiro (T). Um projeto é aprovado pelo comitê se e somente se, recebe a maioria dos votos ou o voto do presidente mais o voto de outro membro. Cada membro do comitê aperta um botão aperta um botão para aprovar o projeto. Projete um circuito lógico cuja saída seja 1 se o projeto for aprovado pelo comitê. Faça a tabela verdade e a expressão booleana do circuito. 17. Faça a tabela verdade das seguintes portas XOR a) S = (A⊕B)⊕C b) S = A⊕(B⊕C) c) S = (A⊕B)⊕(C⊕D) 74
  • Matemática Discreta Respostas dos Exercícios Confira suas respostas. Caso elas não coincidam com asapresentadas aqui, discuta com seus colegas. Consulte seu tutor. 08. S = CD + .DVD + CD. VÍDEO + DVD. GAME 09. S = A.B + A.B 10. S = A. B + A.B + A.B ou S = A.B 11. S = AB C + ABC + AB C + ABC ou S = A.B + B.C + A.C 12. Resp. c 14. S = A3 A2 A1 A0 + A3 A2 A1 A0 + A3 A2 A1 A0 + A3 A2 A1 A0 15. S= A3.[ A2 A1 A0 + A 2 A1 A0 + A 2 A1 A0 + A 2 A1 A0 ] 17. 75
  • Matemática Discreta Saiba Mais Atenção Finalizamos este fascículo com uma introdução ao estudo dasSempre é proposto portas lógicas. Estudamos os diversos tipos de portas lógicas, comoaos estudantes obtemos portas lógicas equivalentes. Uma das mais importantesde Matemática umgrande número descobertas é a relação entre as portas lógicas, as operações entrede exercíciosde rotina, cuja conjuntos e as proposições lógicas, no que se refere a tabela-verdaderesolução é muitas de cada uma delas.vezes longa,envolvendo muitocálculos e, acima Se você tem interesse em conhecer mais sobre o assunto dede tudo, exigindoque se memorize portas lógicas, poderá estudar pelos seguintes livros:um algoritmo, istoé, um método de DAGHLIAN, Jacob. Lógica e Álgebra de Boole. São Paulo: Atlas,resolução. 1995. MENDELSON, Elliott. Álgebra Booelana e circuitos de chaveamento: resumo e teoria. São Paulo: McGraw Hill, 1977. 76