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Algo de probabilidad Document Transcript

  • 1. Procesos Industriales Área ManufacturaMateria: EstadísticaTema: ProbabilidadDocente: Lic. Edgar Gerardo Mata OrtizEquipo: Josué Gilberto Álvarez Muñiz 18/marzo/2012
  • 2. INTRODUCCIÓN.Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que puedenrepresentarse como resultado de un experimento. Una distribución de probabilidades similar al distribución de frecuencias relativas .Si embargo, en vez de describirel pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro,constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puedediseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendenciasactuales de diversos fenómenos naturales.Las decisiones estadísticas basadas en la estadística inferencial sonfundamentales en la investigación que son evaluadas en términos de distribuciónde probabilidades.En el presente trabajo, se estudia de manera ágil los diverso tipos de distribuciónprobabilística, caracterizaremos cada distribución, la fundamentaciónmatemática de los diversos resultados no se enfocaran en el presente trabajo; sólome limitaré al estudio descriptivo de la distribución de probabilidades discretas.
  • 3. ¿Qué es una distribución de probabilidad?Muestra todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad de cadaresultado.¿Cómo generamos una distribución de probabilidad?Supongamos que se quiere saber el número de caras que se obtienen al lanzarcuatro veces una moneda al aire?Es obvio que, el hecho de que la moneda caiga de costado se descarta.Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras, tres caras y cuatrocaras.
  • 4. Distribución Binomial (n,p)La distribución binomial es una distribución discreta muy importante que surge enmuchas aplicaciones bioestadísticas.Esta distribución aparece de forma natural al realizar repeticiones independientesde un experimento que tenga respuesta binaria, generalmente clasificada como“éxito” o “fracaso”.Por ejemplo, esa respuesta puede ser el hábito de fumar (sí/no), si un pacientehospitalizado desarrolla o no una infección, o si un artículo de un lote es o nodefectuoso.La variable discreta que cuenta el número de éxitos en n pruebas independientesde ese experimento, cada una de ellas con la misma probabilidad de “éxito” igual ap, sigue una distribución binomial de parámetros n y p. Este modelo se aplica apoblaciones finitas de las que se toma elementos al azar con reemplazo, ytambién a poblaciones conceptualmente infinitas, como por ejemplo las piezas queproduce una máquina, siempre que el proceso de producción seaestable (la proporción de piezas defectuosas se mantiene constante a largo plazo)y sin memoria (el resultado de cada pieza no depende de las anteriores).5 Un ejemplo de variable binomial puede ser el número de pacientes ingresadosen una unidad hospitalaria que desarrollan una infección nosocomial.Un caso particular se tiene cuando n=1, que da lugar a la distribución de Bernoulli.Valores:x: 0, 1, 2, ..., nParámetros:n: número de pruebas, n > 0 enterop: probabilidad de éxito, 0 < p < 1
  • 5. Distribución Poisson (lambda)La distribución de Poisson, que debe su nombre al matemático francés SimeónDenis Poisson (1781-1840), ya había sido introducida en 1718 por Abraham DeMoivre como una forma límite de la distribución binomial que surge cuando seobserva un evento raro después de un número grande de repeticiones10. Engeneral, la distribución de Poisson se puede utilizar como una aproximación de labinomial, Bin(n, p), si el número de pruebas n es grande, pero la probabilidad deéxito p es pequeña; una regla es que la aproximación Poisson-binomial es“buena” si n³20 y p£0,05 y “muy buena” si n³100 y p£0,01.La distribución de Poisson también surge cuando un evento o suceso “raro” ocurrealeatoriamente en el espacio o el tiempo. La variable asociada es el número deocurrencias del evento en un intervalo o espacio continuo, por tanto, es unavariable aleatoria discreta que toma valores enteros de 0 en adelante (0, 1, 2,...).Así, el número de pacientes que llegan a un consultorio en un lapso dado, elnúmero de llamadas que recibe un servicio de atención a urgencias durante 1hora, el número de células anormales en una superficie histológica o elnúmero de glóbulos blancos en un milímetro cúbico de sangre son ejemplos devariables que siguen una distribución de Poisson. En general, es una distribuciónmuy utilizada en diversas áreas de la investigación médica y, en particular, enepidemiología.El concepto de evento “raro” o poco frecuente debe ser entendido en el sentido deque la probabilidad de observar k eventos decrece rápidamente a medida que kaumenta.Supóngase, por ejemplo, que el número de reacciones adversas tras laadministración de un fármaco sigue una distribución de Poisson de medialambda=2. Si se administra este fármaco a 1.000 individuos, la probabilidad deque se produzca una reacción adversa (k=1) es 0,27;los valores de dicha probabilidad para k=2, 3, 4, 5, 6 reacciones, respectivamente,son: 0,27;0,18; 0,09; 0,03 y 0,01. Para k=10 o mayor, la probabilidad es virtualmente 0. Elrápido descenso de la probabilidad de que se produzcan k reacciones adversas amedida que k aumenta puede observarse claramente en el gráfico de la función dedensidad obtenido con.
  • 6. Distribución Normal (Mu, Sigma)La distribución normal es, sin duda, la distribución de probabilidad más importantedel Cálculo de probabilidades y de la Estadística. Fue descubierta por De Moivre(1773), como aproximación de la distribución binomial. De todas formas, laimportancia de la distribución normal queda totalmente consolidada por ser ladistribución límite de numerosas variables aleatorias, discretas y continuas, comose demuestra a través de los teoremas centrales del límite. Las consecuencias deestos teoremas implican la casi universal presencia de la distribución normal entodos los campos de las ciencias empíricas: biología, medicina, psicología, física,economía, etc. En particular, muchas medidas de datos continuos en medicina yen biología (talla, presión arterial, etc.) se aproximan a la distribución normal.Junto a lo anterior, no es menos importante el interés que supone la simplicidad desus características y de que de ella derivan, entre otras, tres distribuciones (Ji-cuadrado, t y F) que se mencionarán más adelante, de importancia clave en elcampo de la contrastación de hipótesis estadísticas.La distribución normal queda totalmente definida mediante dos parámetros: lamedia (Mu) y la desviación estándar (Sigma).Campo de variación:-¥ < x < ¥Parámetros:Mu: media de la distribución, -¥ < Mu < ¥Sigma: desviación estándar de la distribución, Sigma > 0
  • 7. Distribución Gamma (a,p)La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se estáinteresado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson demedia lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener nocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetros a= n´lambda(escala) y p=n (forma).Se denota Gamma(a,p).Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de laduración de elementos físicos (tiempo de vida).Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Poresta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento yfenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica “tiempo que transcurrehasta la llegada del segundopaciente”).Campo de variación:0<x<¥Parámetros:a: parámetro de escala, a > 0p: parámetro de forma, p > 0
  • 8. Distribución t de Student (n)La distribución t de Student se construye como un cociente entre una normal y laraíz de una Ji-cuadrado independientes. Esta distribución desempeña un papelimportante en la inferencia estadística asociada a la teoría de muestras pequeñas.Se usa habitualmente en el contraste de hipótesis para la media de una población,o para comparar las medias de dos poblaciones, y viene definida por sus gradosde libertad n.A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución t de Student seaproxima a una normal de media 0 y varianza 1 (normal estándar).Campo de variación:-¥ < x < ¥Parámetros:n: grados de libertad, n>0
  • 9. Distribución BernoulliEn teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (odistribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizoJakobBernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para laprobabilidad de éxito ( ) y valor 0 para la probabilidad de fracaso ( ).Si es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un únicoexperimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que lavariable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro .La fórmula será:Su función de probabilidad viene definida por: Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos repetidos.