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  • 1. UNIVERSIDAD DE OVIEDO Departamento de Energía Área de Mecánica de Fluidos PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS EN LAESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS Katia Argüelles Díaz Jorge Luis Parrondo Gayo Jesús Fernández Oro
  • 2. © 2005 Los autoresDepartamento de Energía, Universidad de OviedoI.S.B.N.: 84-689-5490-X
  • 3. iii CONTENIDOPRÓLOGO ......................................................................................................................... vPRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS ......................................................................... 11. ECUACIÓN DE BERNOULLI .......................................................................................... 31.1. INTRODUCCIÓN.................................................................................................... 31.2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN................................................................ 81.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL ....................................................... 101.3.1. Comprobación de la ecuación de Bernoulli para conducto horizontal. ............... 111.3.2. Comprobación de la ecuación de Bernoulli para conducto inclinado. ................ 122. MEDIDA DEL CAUDAL CON VENTURI Y ORIFICIO .................................................... 152.1. INTRODUCCIÓN.................................................................................................. 152.1.1. Tubo Venturi........................................................................................................ 152.1.2. Placa orificio........................................................................................................ 182.1.3. Pérdidas de carga en ensanchamientos y codos................................................... 192.2. DESCRIPCIÓN DEL BANCO DE ENSAYO....................................................... 222.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL ....................................................... 242.3.1. Determinación del caudal .................................................................................... 242.3.2. Calibración del rotámetro .................................................................................... 242.3.4. Pérdidas de carga en ensanchamiento y codo...................................................... 252.3.5. Obtención de las curvas piezométrica y de energía............................................. 263. PÉRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOS ...................................................................... 273.1. INTRODUCCIÓN.................................................................................................. 273.1.1. Balance de energía en un conducto ..................................................................... 273.1.2. Pérdidas lineales .................................................................................................. 303.1.3. Pérdidas singulares. ............................................................................................. 34
  • 4. iv PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS3.2. MEDIDAS DE PRESIÓN.......................................................................................363.2.1. Manómetro en U simple .......................................................................................373.2.2. Manómetro diferencial de mercurio. ....................................................................383.2.3. Manómetro en U invertida....................................................................................393.3. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN ..............................................................403.4. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL ........................................................443.4.1. Variación de la pérdida de carga con el caudal ....................................................443.4.2. Pérdidas lineales y rugosidad ...............................................................................453.4.3. Pérdidas singulares. ..............................................................................................453.4.4. Calibración del Venturi y la placa orificio. ..........................................................464. VISUALIZACIÓN DE FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO...........................................474.1. INTRODUCCIÓN...................................................................................................474.1.1. Experimento de Osborne Reynolds. .....................................................................474.1.2. Características generales de los flujos laminares y turbulentos ...........................524.2 DESCRIPCIÓN DEL BANCO DE ENSAYO.........................................................554.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL ........................................................574.3.1. Visualización de los diferentes regímenes de flujo. .............................................574.3.2. Determinación del número de Reynolds ..............................................................574.3.3. Cálculo del factor de fricción ...............................................................................585. VERTEDEROS ..............................................................................................................735.1. INTRODUCCIÓN...................................................................................................595.1.1. Objeto ...................................................................................................................595.1.2. Flujo por un orificio en la pared de un tanque......................................................605.2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN ..............................................................655.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL ........................................................705.3.1. Determinación de los coeficientes de velocidad, contracción y descarga............705.3.2. Calibración del Venturi ........................................................................................715.3.3. Efecto del número de Reynolds............................................................................726. DESCARGA POR UN ORIFICIO ....................................................................................596.1 INTRODUCCIÓN....................................................................................................736.1.1. Objeto y tipos de vertederos .................................................................................736.1.2. Vertedero rectangular sin contracción lateral.......................................................766.1.3. Vertedero triangular..............................................................................................78
  • 5. CONTENIDO v6.1.4. Vertedero rectangular con contracción lateral..................................................... 796.2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN.............................................................. 806.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL ....................................................... 836.3.1. Calibración del Venturi........................................................................................ 846.3.2. Calibración de los vertederos............................................................................... 847. CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS CENTRÍFUGAS ......................................... 877.1. INTRODUCCIÓN.................................................................................................. 877.1.1. Tipos de máquinas de fluidos .............................................................................. 877.1.2. Bombas centrífugas o de flujo radial ................................................................... 897.1.3. Curvas características de bombas y reglas de semejanza .................................... 957.2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN.............................................................. 977.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL ..................................................... 1007.3.1. Obtención de las curvas características de la bomba......................................... 1007.3.2. Curvas características adimensionales............................................................... 102ANEXO: PROBLEMAS DE RESOLUCIÓN INDIVIDUAL .................................................. 103Problema nº 1: Viscosímetro Rotativo......................................................................... 104Problema nº 2: Fuerzas de Presión sobre Válvula ....................................................... 105Problema nº 3: Conducto con Venturi y Pitot.............................................................. 106Problema nº 4: Límite de Cavitación en Venturi......................................................... 107Problema nº 5: Vertedero y Canal ............................................................................... 108Problema nº 6: Semejanza en Bomba Centrífuga........................................................ 109BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................. 111
  • 6. PRÓLOGO vii PRÓLOGO En este libro se reúne la documentación de trabajo sobre las prácticas delaboratorio correspondientes a la asignatura de Mecánica de Fluidos, de segundo cursode la titulación de Ingeniería de Minas. Estas prácticas experimentales se realizan conlos equipos disponibles en el Laboratorio de Hidráulica de la Escuela Técnica Superiorde Minas de Oviedo. En general no se trata de un equipamiento sofisticado, o nisiquiera moderno; de hecho son ya muchas las generaciones de alumnos que han hechouso de los aparatos, desde los inicios del centro. Sin embargo, su diseño desde el puntode vista didáctico es sin duda adecuado, y, en conjunto, permiten al alumno deingeniería un primer encuentro satisfactorio con flujos de características reales dedistintos tipos, así como con instalaciones de transporte de fluidos, con instrumentos demedida, con válvulas y bombas, etc… Como corresponde a unas prácticas de laboratorio, a lo largo de las mismas sevan poniendo de manifiesto algunos de los fenómenos básicos de mayor interés en elmovimiento de los fluidos, como el balance ideal de energía mecánica de Bernoulli enla primera práctica, la existencia de pérdidas de carga en conductos en la tercerapráctica o las diferencias entre régimen laminar y régimen turbulento, en la cuartapráctica. En todos los casos se busca además una cuantificación de las variablesinvolucradas, mediante el empleo de la adecuada instrumentación de medida. Dehecho, varias de las prácticas de laboratorio están específicamente orientadas hacia elentrenamiento en la medida de las distintas magnitudes fluidodinámicas relevantes deun flujo, y que de hecho son de verdadero interés y de práctica habitual en la industria yla ingeniería. Así, a lo largo de las prácticas se realizan medidas de presión, condistintos tipos de manómetros, de velocidad y de caudal, tanto en conductos cerradoscon venturas y orificios (segunda práctica) como en canales con vertederos (sextapráctica). La última práctica constituye una introducción a la operación de sistemashidráulicos con bombas rotodinámicas. En concreto, se han de obtener las curvascaracterísticas para una bomba centrífuga convencional a distintas velocidades deaccionamiento, con el objeto de analizar sus prestaciones y de comprobar la validez delas leyes de semejanza de las turbomáquinas.
  • 7. viii PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS A cada una de las prácticas de laboratorio impartidas le corresponde un capítuloen este libro. Cada uno de ellos está estructurado en tres partes principales: 1º) Una introducción al fenómeno o tema principal de la práctica, en el que seresumen los aspectos teóricos relacionados, incluyendo la formulación matemática(siempre en un nivel muy elemental) que resulte necesaria para el posteriorprocesamiento de los datos obtenidos por los alumnos en el laboratorio. Así mismo, porsu capacidad de estímulo, se ha juzgado de interés aportar algo de información sobreaquellos personajes de relieve que contribuyeron de forma sustancial al estudio de cadaproblema. 2º) Una descripción de los bancos de pruebas y de los instrumentos de medidadisponibles para cada práctica, incluyendo datos, fotografías o esquemas. 3º) Un guión con los distintos objetivos y procedimientos a seguir en ellaboratorio para cada práctica. Antes de cada práctica los alumnos ya deben haberse familiarizado con ella,leyendo el capítulo correspondiente, pues, una vez en el laboratorio, deberán ser ellosmismos, en equipo, los que se encarguen de operar los aparatos e instrumentosnecesarios (bajo la supervisión del profesor). Una vez finalizada la práctica, cada grupode alumnos redactará un informe en el que se recojan de manera clara y concisa losresultados obtenidos, en unos casos en forma de tabla y en otros casos medianterepresentación gráfica. En el informe se expondrán también las conclusiones que seextraigan del trabajo realizado, en particular las obtenidas al contrastar los valoresmedidos con el comportamiento teórico. Por último, para favorecer la asimilación de conceptos y a la vez fomentar nosólo el trabajo en equipo sino también la participación individual, con cada práctica sepropone a los alumnos un problema relacionado, de enunciado general común paratodos ellos, pero con datos de cálculo individualizados. Este conjunto de problemas seincluye aquí en un anexo. Los Autores
  • 8. 1 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS EN LAESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS DE LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO
  • 9. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 3 Práctica nº 1 : ECUACIÓN DE BERNOULLI1.1. INTRODUCCIÓN La denominada ecuación o teorema de Bernoulli representa el principio deconservación de la energía mecánica aplicado al caso de una corriente fluida ideal, esdecir, con un fluido sin viscosidad (y sin conductividad térmica). El nombre delteorema es en honor a Daniel Bernoulli, matemático suizo del siglo XVIII (1700-1782),quien, a partir de medidas de presión y velocidad en conductos, consiguió relacionar loscambios habidos entre ambas variables. Sus estudios se plasmaron en el libro“Hidrodynamica”, uno de los primeros tratados publicados sobre el flujo de fluidos,que data de 1738. Para la deducción de la ecuación deBernoulli en su versión más popular seadmitirán las siguientes hipótesis (enrealidad se puede obtener una ecuación deBernoulli más general si se relajan las dosprimeras hipótesis, es decir, si reconsideraflujo incompresible y no estacionario): • Flujo estacionario (es decir, invariable en el tiempo). • Flujo incompresible (densidad ρ constante). Figura 1. Retrato de Daniel Bernoulli
  • 10. 4 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS Figura 2. Portada del libro “Hidrodynamica”, y esquema de un ensayo. • Fluido no viscoso. • Fuerzas presentes en el movimiento: fuerzas superficiales de presión y fuerzas másicas gravitatorias (= peso del fluido). • No hay intercambio de trabajo o calor con el exterior del flujo. Considérese un tubo de corriente como el representado en la Figura 2, con unaporción de fluido delimitada por las secciones rectas S1 y S2 en un cierto instante, conáreas A1 y A2, y situadas a cotas z1 y z2 respecto a una referencia de altitud. Como lasuperficie del tubo de corriente está formada por líneas de corriente, es decir, el vectorvelocidad es tangente a ellas y el fluido no las puede atravesar, y además la densidad esconstante, el caudal Q = vA , circulante por el interior del tubo de corriente habrá de serel mismo para cualquier sección. Se admitirá que el tubo de corriente es lo bastanteestrecho como para que en ambas secciones transversales S1 y S2 la velocidad y lapresión del flujo se puedan considerar uniformes, con valores v1 y p1, y v2 y p2respectivamente (en caso necesario, el tubo de corriente podría quedar reducido a unasola línea de corriente). Al cabo de un pequeño intervalo de tiempo, dt, la porción de fluido se habrádesplazado ligeramente hasta quedar delimitada por las nuevas secciones transversales S1 y S2 . Estas nuevas secciones están separadas respectivamente de S1 y S2 por las distancias dx1 = v1dt , y dx2 = v2 dt . Este desplazamiento conlleva un cambio en laenergía de la porción de fluido considerada, cambio que, según el Primer Principio dela Termodinámica, deberá ser igual al trabajo de las fuerzas actuantes sobre ese
  • 11. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 5elemento, es decir, al trabajo de las fuerzas de presión y de las fuerzas gravitatorias.Para estas últimas, que están generadas por un campo conservativo (el campogravitatorio), su trabajo se puede interpretar como una variación de energía potencial. S1 S1 v1 S2 p1 S2 v2 p2 z1 z2 dx1 dx2 Figura 2. Elemento de fluido considerado. Así pues, la variación de energía en la porción de fluido considerada, durante eltiempo dt, se puede expresar como: dE = dEC + dEPG = dWP (1)donde dEC y dEPG son las variaciones de energía cinética y de energía potencialgravitatoria, y dWP es el trabajo de las fuerzas de presión actuantes sobre el elementode fluido. La variación de energía cinética es igual a la ganancia de energía cinéticahabida en la zona de las secciones S 2 − S2 , menos la correspondiente reducción habida en la zona de las secciones S1 − S1 : 2 v2 v2 v2 v2 dEC = dEC 2 − dEC1 = dm2 − dm1 1 = ρ A2 dx2 2 − ρ A1dx1 1 = 2 2 2 2 (2) v 2 v 2 ⎛v v ⎞ 2 2 = ρ A2 v2 dt 2 − ρ A1v1dt 1 = ρ Qdt ⎜ 2 − 1 ⎟ 2 2 ⎝ 2 2⎠ De modo análogo, la variación de energía potencial gravitatoria es:
  • 12. 6 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS dEPG = dEPG 2 − dEPG1 = dm2 gz2 − dm1 gz1 = ρ A2 dx2 gz2 − ρ A1dx1 gz1 = (3) = ρ A2 v2 dt gz2 − ρ A1v1dt gz1 = ρ Qdt ( gz2 − gz1 ) Por su lado, el trabajo de las fuerzas de presión actuantes sobre el contorno sepuede determinar evaluando por separado los trabajos sobre las secciones S1 y S2, comoproducto de las correspondientes fuerzas de presión por los desplazamientos habidosdurante el intervalo de tiempo dt: dW1 = p1 A1dx1 = p1 A1v1dt = p1Qdt ⎫ ⎬ ⇒ dW = dW1 + dW2 = ( p1 − p2 ) Qdt (4) dW2 = − p2 A2 dx2 = p2 A2 v2 dt = − p2Qdt ⎭ Sustituyendo las ecuaciones (2), (3) y (4) en (1), y dividiendo por Qdt resulta elteorema o ecuación de Bernoulli: ρ v12 ρ v2 2 + p1 + ρ gz1 = + p2 + ρ gz2 (5) 2 2que puede expresarse en la forma, más habitual en hidráulica: v12 p v2 p + 1 + z1 = 2 + 2 + z2 (6) 2g ρ g 2g ρ gdonde ρ ·g = ϖ es el peso específico del elemento de fluido. En las ecuaciones (5) y (6)cada uno de los términos representa una energía específica. En el caso de la ecuación(5) se trata de energía por unidad de volumen de fluido en circulación, o lo que es lomismo, potencia por unidad de caudal o, simplemente, presión (las unidades son:J/m3=W/(m3/s)=Pa). En el caso de la ecuación (6) las unidades son de energía porunidad de peso de fluido, que es equivalente a una longitud (J/N=m). La interpretaciónde cada término es la siguiente: Un cuerpo de masa m situado a una altura z, posee una energía potencial o de posición, referida al plano de referencia situado en cota cero: E p = mgz . El término z representa por tanto la energía potencial del fluido por unidad de peso, y se le designa como altura de posición. El término p / ρ g representa la energía necesaria para elevar la unidad de peso del elemento de fluido hasta la altura p / ρ g . Se le denomina altura de presión. A la suma de las alturas de potencial y de presión se le conoce como altura piezométrica, porque se corresponde con la altura de columna observada con un tubo piezométrico conectado a una conducción con un líquido.
  • 13. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 7 Finalmente, el término v 2 / 2 g representa la energía cinética por unidad de peso del elemento de fluido y se le llama altura de velocidad. Se denomina carga o altura de energía, H, a la suma de la altura de velocidadmás la altura piezométrica, es decir, a la suma de los tres términos de cada miembro enla ecuación de Bernoulli: p v2 H = z+ + (7) ρ g 2g La carga representa la energía mecánica del fluido que fluye en la sección porunidad de peso del mismo. Así pues el teorema de Bernoulli establece que la carga esconstante a lo largo de una línea de corriente bajo las hipótesis iniciales consideradas. En la práctica todos los fluidos reales son viscosos, y la aplicación de laecuación de Bernoulli podrá perder validez en función de la importancia relativa de lasfuerzas viscosas en cada caso. En efecto, la presencia de los esfuerzos viscosos en elseno del fluido y, en particular, en las zonas inmediatamente adyacentes a los contornos(zonas de capa límite), hace que el fluido deba emplear parte de su energía mecánica encompensar el trabajo de oposición de las fuerzas viscosas; éste es un trabajo noreversible, por lo que paulatinamente se produce una transformación de energíamecánica en energía interna (es decir, calor). Altura total v1 hf 2g Línea de energía v2 p1 2g ρg Línea piezométrica p2 ρg z1 Línea de posición z2 Figura 4. Representación gráfica de las líneas de energía, piezométrica y de posición.
  • 14. 8 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS Desde el punto de vista de la ecuación de Bernoulli, esta transformación secontabiliza como una disminución progresiva de la altura de energía o pérdida decarga hf. Si H1 es la carga del fluido en la sección S1 y H2 la carga del fluido en lasección S2, se tendrá: ⎛ v2 p ⎞ ⎛ v2 p ⎞ h f = H1 − H 2 = ⎜ 1 + 1 + z1 ⎟ − ⎜ 2 + 2 + z2 ⎟ (8) ⎝ 2g ρ g ⎠ ⎝ 2g ρ g ⎠ La pérdida de carga hf será tanto mayor cuanto más separadas estén entre sí lasposiciones S1 y S2. Ello significa que, a lo largo de una conducción, la línea de energía,que es la representación gráfica de la altura de energía para cada posición, será unalínea con pendiente negativa (Figura 4). En el caso de una tubería de sección constante la altura de velocidad ha depermanecer invariable, y en ese caso las líneas de energía y piezométrica son paralelas;si además se trata de una tubería horizontal, la pérdida de carga se manifiestaexclusivamente como una pérdida de presión.1.2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN La práctica se lleva a cabo en un dispositivo experimental ubicado en ellaboratorio de Hidráulica de la E.T.S. de Ingenieros de Minas de Oviedo. En la Figura5 se muestran dos fotografías de dicho dispositivo experimental. Como puedeobservarse en esa figura, el dispositivo consta de nueve tubos verticales, llamados tubospiezométricos o piezómetros, soldados a un tubo horizontal. Las secciones de cada tubopiezométrico se indican en la Tabla I. Tabla I. Secciones de los tubos piezométricos. Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 S(cm2) 6.45 5.48 3.81 2.69 2.69 3.48 4.64 5.81 6.45 El conducto horizontal, al que van soldados los tubos piezométricos, presentaun estrechamiento de su sección, similar a un Venturi, como el que se representa en laFigura 6. La disminución de la sección de paso del fluido en el Venturi, provocará unaumento de la velocidad del flujo en dichas secciones, que debe ser compensado conuna disminución de la altura piezométrica, puesto que el teorema de Bernoulli establecela conservación de la carga o energía mecánica del fluido en cada línea de corriente.
  • 15. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 9 Figura 5. Dispositivo experimental. Arriba: inclinado. Abajo: horizontal. Nótese en el caso inferior la curva piezométrica definida por la altura del agua en cada piezómetro En los extremos del conducto de paso de la corriente de agua se encuentranubicados dos depósitos: uno a la izquierda, por el que el fluido penetra en la instalacióny otro a la derecha, por el que el fluido abandona la instalación. En la parte posterior de los piezómetros, sobre un panel, se encuentra una escalagraduada en mm, sobre la que se determina la altura piezométrica alcanzada por elfluido en cada tubo.
  • 16. 10 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS Detrás del dispositivo experimental, se encuentra situada una llave de paso quepermite, mediante una menor o mayor apertura, la regulación del caudal que fluye porla instalación. Dicho caudal se determina mediante un método volumétrico, es decir, sedispone de un recipiente tipo probeta para calibrar el volumen de fluido, y se midemediante un cronómetro el tiempo necesario para alcanzar un volumen determinado defluido en la probeta. De esta forma se establece el caudal de fluido circulante, yconocida la sección de cada tubo, puede calcularse la altura de velocidadcorrespondiente a cada uno de ellos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Figura 6. Posiciones de toma de presión en el conducto. Finalmente, el dispositivo puede situarse en una posición horizontal o con uncierto ángulo de inclinación α. En el caso de situar el dispositivo en posicióncompletamente horizontal, la altura de posición para todos los tubos piezométricos es lamisma, y se toma cono nivel de referencia con cota cero. Sin embargo, si el dispositivose inclina un cierto ángulo α, la altura de posición de los tubos piezométricos difiere deunos a otros y debe tenerse en cuenta en la ecuación de Bernoulli.1.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL El objetivo fundamental de la práctica es comprobar el teorema de Bernoulliexperimentalmente. Para ello, será necesario determinar la altura piezométrica, la alturade velocidad y la altura de posición, cuando corresponda, en cada uno de los tubospiezométricos.
  • 17. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 111.3.1. Comprobación de la ecuación de Bernoulli para conducto horizontal. Con el dispositivo experimental situado en posición completamente horizontal,de modo que la línea de posición para todos los tubos piezométricos sea la misma (quetomaremos como nivel de referencia cero), se procede a la apertura de la llave deregulación y se espera hasta que el caudal de fluido circulante se haya estabilizado paraasegurar que se dispone de un flujo en régimen permanente o estacionario. Una vez estabilizado el flujo, es necesario en primer lugar establecer el caudalque fluye por la instalación. Como se ha comentado anteriormente, se dispone para ellode una probeta calibrada en volumen y de un cronómetro. De este modo, determinadoel tiempo que el fluido circulante tarda en alcanzar un determinado volumen de laprobeta, podemos establecer el flujo volumétrico mediante la simple relación: Q = Volumen (9) Tiempo Es obvio que debe satisfacerse la ecuación de continuidad de la masa, por lo queel caudal se mantiene constante a lo largo de todo el tubo horizontal. De este modo, sepuede determinar la velocidad del fluido, y por tanto la altura de velocidad, en cadatubo piezométrico mediante la relación: Q vi = i = 1, 2,...,9 (10) Aidonde Ai es el área de cada tubo piezométrico indicada en la Tabla I. Falta tan solo determinar la altura piezométrica, que se obtiene mediante lecturadirecta de la altura alcanzada por la columna de fluido en cada tubo sobre la escalamilimétrica situada detrás de ellos. Una vez realizadas todas las medidas, deben exponerse en una tabla, que seincluirá en el informe posterior, y en la que debe indicarse cuál es la pérdida de cargaque tiene lugar en cada piezómetro, respecto del primer tubo piezométrico. Seprocederá a continuación a realizar una representación gráfica de estos resultados,similar a la que aparece en la Figura 7, comentando las peculiaridades que se observenen la misma. Téngase en cuenta que si no se produjesen pérdidas por rozamiento, lalínea de altura total que se obtendría sería una línea horizontal. El procedimiento descrito debe repetirse, como mínimo, para otro valor delcaudal de fluido circulante por la instalación.
  • 18. 12 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS1.3.2. Comprobación de la ecuación de Bernoulli para conducto inclinado Se trata ahora de realizar una comprobación más general del teorema deBernoulli: cuando la altura de posición de los tubos piezométricos es diferente entreunos y otros. Para ello, se inclina el dispositivo experimental un cierto ángulo α que elalumno debe determinar. Teniendo en cuenta el ángulo de inclinación, se puededeterminar la altura de posición de cada tubo piezométrico mediante la aplicación dereglas trigonométricas sencillas. Repitiendo el procedimiento del apartado anterior, se calibra el caudal quecircula por la instalación y se determina la altura de velocidad de cada piezómetro. Lostubos piezométricos están ahora inclinados, por lo que la lectura directa de la altura decolumna de fluido alcanzada en cada uno de ellos no es vertical. La altura piezométricase obtiene entonces mediante relaciones trigonométricas sencillas. Comprobación del teorema de Bernoulli 33 30 Altura de velocidad 27 Altura piezométrica 24 Altura total 21 Altura (cm) 18 15 12 9 6 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Número de piezómetro Figura 7. Ejemplo de evolución de las alturas piezométrica, de velocidad y de energía (o total), a partir de los datos medidos. Se dispone ya de todos los datos experimentales que deben incluirse en formade tabla en el informe, indicando de nuevo, como en el apartado previo, cuál es la
  • 19. 1. ECUACIÓN DE BERNOULLI 13pérdida de carga o energía que corresponde a cada posición de medida respecto a la delprimer tubo piezométrico. A continuación debe realizarse una nueva representación gráfica de los datos talcomo la que se encuentra en la Figura 7, pero añadiendo la línea de posición. Elprocedimiento descrito debe repetirse como mínimo para dos valores distintos delcaudal de agua que circula por la conducción.
  • 20. 2. MEDIDA DEL CAUDAL CON VENTURI Y ORIFICIO 15 Práctica nº 2 : MEDIDA DEL CAUDAL CON VENTURI Y ORIFICIO2.1. INTRODUCCIÓN El caudal que circula por una instalación se puede determinar de forma simpleimponiendo un estrechamiento en la sección de paso, de modo que se genere unareducción de presión, tanto más acusada cuanto mayor es el caudal circulante. Dentrode esta categoría de caudalímetros se encuentran el tubo Venturi y la placa orificio.En esta práctica se utilizarán ambos tipos de medidores para comprobar el caudal deagua que circula por un circuito simple (también se empleará un rotámetro). La prácticase completará con la medida de las pérdidas de carga singulares habidas en doselementos de ese circuito (un codo y una expansión brusca), que también aumentan conel caudal circulante. En todos los casos se considerará flujo incompresible yestacionario.2.1.1. Tubo Venturi El principio del tubo Venturi se debe al físico italiano Giovanni Battista Venturi(1746-1822), si bien su aplicación práctica como instrumento de medida del caudal nollegó hasta mucho tiempo después, con el norteamericano Clemens Herschel (1842-1930). Un tubo Venturi, como el mostrado en la Figura 1, consiste en un tubo corto conun estrechamiento de su sección transversal, el cual produce un aumento de la
  • 21. 16 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOSvelocidad del fluido y por consiguiente, puesto que la conservación de la cargaexpresada por el teorema de Bernoulli debe satisfacerse, una disminución de la alturapiezométrica. El estrechamiento va seguido por una región gradualmente divergentedonde la energía cinética es transformada de nuevo en presión con una inevitablepequeña pérdida por fricción viscosa. La caída de presión puede relacionarse con elcaudal de fluido que circula por el conducto, a partir de la ecuación de continuidad(caudal constante en cualquier sección de la conducción) y de la ecuación de Bernoulli(conservación de la energía mecánica). 1 p1, v1, A1, z1 p2, v2, A2, z2 2 h Figura 1. Un tubo Venturi inclinado. Aplicando el teorema de Bernoulli entre los puntos 1, en la entrada, y 2, en lagarganta del tubo Venturi de la Figura 1, se obtiene: p1 v12 p v2 z1 + + = z2 + 2 + 2 (1) ρ g 2g ρ g 2g Si el Venturi se encuentra situado en posición totalmente horizontal, las alturasde posición de los puntos 1 y 2 son iguales, es decir z1 = z2 , y estos términos secancelan en la ecuación (1), pero si el tubo Venturi está inclinado, como se muestra enla Figura 1, las alturas de posición son diferentes, z1 ≠ z2 . Por otra parte, v1 y v2 pueden considerarse como las velocidades medias en lasección correspondiente del tubo Venturi, y como el flujo se desarrolla en régimenpermanente y el fluido es incompresible, la ecuación de continuidad establece que:
  • 22. 2. MEDIDA DEL CAUDAL CON VENTURI Y ORIFICIO 17 A2 Q = A1v1 = A2 v2 ⇒ v1 = v2 (2) A1 Sustituyendo la expresión (2) en la ecuación (1), se obtiene: v2 = 2g ⎡ ⎣ ( p1 ρg + z1 − ) ( p2 ρg + z2 ⎤ ⎦ ) (3) ⎡1 − ( A2 A )2 ⎤ ⎣ 1 ⎦y, por tanto, el caudal se calcula como: Q = A2 v2 = A2 2g ⎡ ⎣ ( p1 ρg + z1 −) ( p2 ρg + z2 ⎤ ⎦ ) (4) ⎡1 − ( A2 A )2 ⎤ ⎣ 1 ⎦ En consecuencia con un tubo Venturi el problema de medir un caudal se reducea la medida de las presiones p1 y p2, pues el resto de variables presentes en la ecuación(4) son dimensiones geométricas fijas para cada caso. En concreto es suficiente lamedida de la presión diferencial p1 − p2 , por ejemplo mediante un manómetropiezométrico en U, como el mostrado en la Figura 1, con un líquido no miscible con elfluido que circule por la conducción. Si éste es un gas, en el manómetro se puede usaragua; si circula agua, en el manómetro se puede usar mercurio. Estrictamente, el resultado de la ecuación (4) es válido, como la ecuación deBernoulli, para flujos ideales en los que los efectos de la fricción son despreciables. Enlos tubos Venturi reales, la fricción, aunque pequeña, está presente, de modo que lacaída de presión p1 − p2 medida en el manómetro diferencial es debida al aumento deenergía cinética en la garganta, pero también a una pequeña pérdida de carga. Por tantolos caudales obtenidos con la ecuación (4) tienden a ser ligeramente mayores que loscaudales reales, y por ello se introduce un factor de corrección, denominado coeficientede descarga o de derrame, Cd (ecuación 5). En cada caso habrá de calibrarse elVenturi para obtener el valor adecuado de este coeficiente. Para un tubo Venturiconvencional Cd suele adoptar valores en el rango 0.90-0.96. Q = Cd A2 2g ⎡ ⎣ ( p1 ρg + z1 −) ( p2 ρg + z2 ⎤ ⎦ ) (5) ⎡1 − ( A2 A )2 ⎤ ⎣ 1 ⎦ Los tubos Venturi resultan ser medios simples y precisos para medir caudalesen conductos. Frente a los otros medidores de la categoría de estrechamiento en
  • 23. 18 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOSconductos (orificios y toberas), los Venturi presentan la ventaja adicional de induciruna pérdida de carga comparativamente más pequeña, gracias a que las transiciones enel área de la sección de paso se hacen gradualmente. Ello es especialmente destacableen lo que se refiere al tramo difusor o divergente, situado en la zona posterior a lagarganta del Venturi. Se trata de un tramo troncocónico con un ángulo de apertura muysuave (~7º), con lo que se busca la expansión progresiva de la corriente de fluido conlas consiguientes disminución de energía cinética y aumento de presión hastaprácticamente recuperar los valores anteriores al Venturi (los del punto 1 en la Figura1). Si en cambio esa transición fuera más brusca (con un ángulo de apertura elevado),en la zona posterior de la garganta quedaría en realidad un chorro libre, con lo que elexceso de energía cinética se disiparía por turbulencia y apenas si aumentaría la presiónpor encima del valor del punto 2 (Figura 1). Esto último es lo que de hecho sucede conlos medidores de tobera y de orificio (ver siguiente apartado). Una relación de áreas A2 / A1 pequeña, contribuye a aumentar la precisión en elmanómetro, pero también va acompañada de una mayor pérdida por fricción (menorCd) y además puede dar lugar a una presión demasiado baja en la garganta. Si circulaun líquido es posible que llegue a producirse liberación del aire disuelto en el líquido eincluso vaporización del líquido en este punto. Este fenómeno se conoce comocavitación y se produce si la presión alcanza el valor de la presión de vapor del fluido ala temperatura de trabajo. Si se generan burbujas, bien de aire liberado o bien de vapor,el flujo a través del Venturi se modifica y las medidas de caudal pierden validez.2.1.2. Placa orificio Una placa orificio es un disco con un agujero circular concéntrico con la tuberíay de sección más estrecha, como la que se muestra en la Figura 2. Flujo D, v1, p1, z1 d, v2, p2, z2 1 2 h Figura 2. Placa orificio.
  • 24. 2. MEDIDA DEL CAUDAL CON VENTURI Y ORIFICIO 19 Cuando el fluido circula por el conducto se produce un incremento de energíacinética entre un punto 1 cualquiera, situado aguas arriba del orificio, y un punto 2situado en la garganta del orificio, lo que conlleva una reducción de presión entre esospuntos. Aguas abajo del orificio se forma un chorro, es decir, el flujo principal quedarestringido a una sección equivalente a la de la garganta, con lo que se conservan lascondiciones de velocidad y presión del punto 2 hasta una cierta distancia. Al igual que en el caso del tubo Venturi se plantea el principio de conservaciónde energía mecánica (ecuación de Bernuolli) entre ambas posiciones 1 y 2, junto a lacondición de continuidad (caudal constante). Ello lleva a la obtención de las mismasecuaciones (1-5), ya indicadas en el apartado anterior. En concreto la ecuación (5)permite nuevamente obtener el caudal circulante a partir de los datos geométricos(diámetros de tubería y garganta, e inclinación respecto a la horizontal) y de ladiferencia de presión observada entre la pareja de puntos 1 y 2, por lo que bastaemplear un manómetro diferencial como el de la Figura 2. En contraste con el tubo Venturi, los cambios en la sección de paso para laplaca orificio son muy bruscos. Ello implica unas mayores pérdidas de energíamecánica por esfuerzos viscosos (pérdidas de carga). Éstas son especialmente acusadasen la zona de aguas abajo del orificio, pues el exceso de energía cinética habido en elchorro se termina disipando en turbulencia, pero estas pérdidas de carga no afectan a lamedida. Aunque comparativamente bastante menores, sí que afectan a la medida laspérdidas habidas en el tramo de la contracción de la sección de paso (entre los puntos 1y 2). También afecta en cierta medida el llamado efecto de vena contracta, por el cualla sección efectiva de paso es realmente algo más pequeña que la de la garganta (véasela práctica número 5). En general, tanto el efecto de las pérdidas de carga como el de lavena contracta es el de aumentar la disminución de presión de forma proporcional alcuadrado del caudal, por lo que no se altera el tipo de dependencia entre caudal y caídade presión indicada por la ecuación (5)(5). Así pues, ésta sigue siendo válida si seintroduce el coeficiente de derrame Cd adecuado. En las placas de orificio habitualeslos coeficientes Cd suelen adoptar valores en el rango 0.6-0.65. A pesar de las pérdidas de carga que inducen las placas orificio en los circuitos,su uso está muy extendido por resultar fiables, baratas y simples de instalar.2.1.3. Pérdidas de carga en ensanchamientos y codos Cualquier modificación en la forma geométrica de un conducto produce unapérdida de carga de carácter local cuando un fluido pasa a su través. Estas pérdidas decarga se denominan singulares.
  • 25. 20 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS Este tipo de pérdidas singulares se producen, por ejemplo, en los casos delaumento de sección y del cambio de dirección (un codo) mostrados en la Figura 3. Enel caso del ensanchamiento, estas pérdidas de carga son debidas a que el flujo se adaptaa la nueva sección mediante una sucesión de remolinos, con lo que el exceso de energíacinética que hay en la sección 1 respecto a la que correspondería a la nueva sección 2,se disipa por la acción de la turbulencia. Es una situación equivalente a la de la zonaposterior de la placa orificio (apartado anterior). En el caso de un codo brusco, ladistribución transversal de velocidad deja de ser axisimétrica (aumenta la velocidad enla zona del conducto más próxima al centro de curvatura), y nuevamente se produceuna disipación de energía por remolinos turbulentos. d 1 d1 2 d2 2 1 d Figura 3. Ensanchamiento y codo. La pérdida de carga producida por estos elementos lleva a que el balance deenergía mecánica de la ecuación de Bernoulli, que solo es válida para flujo no viscoso,deba ser corregido con el término de pérdida de carga hf, de modo que entre los puntos1 y 2 se verifica: p1 v12 p v2 z1 + + − h f = z2 + 2 + 2 (6) ρ g 2g ρ g 2g En general se considera que las pérdidas de carga singulares son proporcionalesa la energía cinética del flujo, tomando como referencia la entrada al elemento, es decir,se consideran proporcionales al cuadrado del caudal circulante. Este tipo dedependencia entre caudal y pérdidas de carga en un elemento de una conducción esequivalente a la de la ecuación (5) para medidores Venturi y de placa orificio. Así puestambién podrían emplearse elementos tales como un codo o un ensanchamiento bruscopara medir el caudal a partir de una diferencia de presión, aunque lógicamente dichadiferencia sería enteramente pérdida de energía.
  • 26. 2. MEDIDA DEL CAUDAL CON VENTURI Y ORIFICIO 21 hf Q Figura 4. Variación de la pérdida de carga con el caudal.Figura 5. Dispositivo experimental, mostrando la conducción horizontal, el rotámetro (vertical) y el panel de tubos piezométricos.
  • 27. 22 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS2.2. DESCRIPCIÓN DEL BANCO DE ENSAYO La práctica se lleva a cabo en una instalación del laboratorio de Hidráulica de laE.T.S. de Ingenieros de Minas. El dispositivo experimental, que se muestra en laFigura 5, es una conducción con alimentación desde un grifo de la red de agua deledificio y descarga a un desagüe. Esta conducción posee un primer tramo horizontal ensu zona inferior, en el que, de izquierda a derecha (es decir, en el sentido de lacorriente), se encuentran sucesivamente un tubo Venturi, un ensanchamiento, una placaorificio y un codo. Las correspondientes dimensiones se muestran en la Figura 6. Trasel codo se tiene un conducto vertical con un rotámetro para poder medir el caudal deagua circulante de forma independiente. 20 mm 16 mm 26 mm 26 mm 51 mm Figura 6. Dimensiones de los elementos del conducto. Figura 7. Tramo con la placa orificio (a la derecha de la imagen).
  • 28. 2. MEDIDA DEL CAUDAL CON VENTURI Y ORIFICIO 23 Se desconoce el coeficiente de descarga del tubo Venturi, pero en cambio, sí seconoce el coeficiente de derrame de la placa orificio: Cd = 0.601 . En la Figura 7 semuestra una vista del tramo con la placa orificio. En cada uno de los elementos del conducto horizontal se encuentran situadas dostomas para tubos piezométricos que permiten una lectura diferencial de la presión entredos puntos, uno aguas arriba y otro aguas abajo, de cada uno de los elementos. Lalectura se realiza sobre una escala graduada en milímetros situada tras los piezómetros.Todos los piezómetros están conectados entre sí por su parte superior. Es importanteque no se produzcan burbujas de aire en los tubos piezométricos, puesto que sefalsearía la lectura de presión en los mismos. Si aparecen burbujas de aire, es necesariopurgar el circuito, mediante una pequeña válvula situada en la parte superior de losmismos. El caudal que circula por la instalación se regula mediante mayor o menorapertura de una llave de paso situada detrás del dispositivo. Figura 8. Detalle del rotámetro. Finalmente, el dispositivo dispone también de un rotámetro (o caudalímetro dearrastre) para la medida del caudal. Se trata de un conducto vertical transparente, deforma tronco-cónica (sección creciente hacia arriba), con un eje por el que puededeslizar axialmente una pieza de revolución, el flotador. El flujo ascendente ejerce unafuerza de arrastre sobre esta pieza por diferencia de presión entre la base y la carasuperior; esta fuerza es tanto mayor cuanto más abajo está la pieza, debido a la menor
  • 29. 24 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOSsección de paso dejada a la corriente, y también es tanto mayor cuanto mayor es elcaudal. Por ello el flotador (más denso que el agua) alcanza una posición de equilibrio,para la que se compensa su peso con el empuje hidrostático y la fuerza de arrastre. Eltubo dispone de una escala graduada de longitud, que es necesario calibrar para obtenerel caudal de fluido circulante por la instalación. El flotador tiene marcas que lo hacenrotar y así mantener su posición central en el tubo (de ahí el nombre de rotámetro). Amedida que aumenta el flujo se eleva la posición del flotador. En la Figura 8 se muestrauna vista de este medidor.2.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL El objetivo básico de la práctica es la determinación del caudal que circula porla instalación mediante diferentes métodos, así como el cálculo de las pérdidas queproducen distintos elementos colocados en el dispositivo experimental.2.3.1. Determinación del caudal Para determinar el caudal o flujo volumétrico que circula por la instalación, seempleará la placa orificio, pues para ella se supone conocido el coeficiente de descarga:Cd = 0.601 . Haciendo uso de la expresión (5), puede determinarse el caudal, puesto que lascaracterísticas geométricas de la placa son conocidas y la presión en dos puntos, aguasarriba y aguas abajo de la misma, puede determinarse mediante lectura directa en lospiezómetros correspondientes.2.3.2. Calibración del rotámetro Una vez determinado el caudal que circula por la instalación mediante la placaorificio, es posible hacer una calibración del rotámetro. Para ello, es necesario obtener la constante de proporcionalidad entre el caudalmedido con la placa y la medida marcada por la escala del rotámetro: Qplaca orificio = k hescala rotámetro (7) El proceso debe repetirse para varias medidas del caudal con vistas a poderobtener un valor medio de la constante de proporcionalidad k, que se ajuste lo másposible a la realidad.
  • 30. 2. MEDIDA DEL CAUDAL CON VENTURI Y ORIFICIO 252.3.3. Coeficiente de descarga del Venturi Conocido el caudal que fluye a través de la instalación, es posible medir lapresión mediante piezómetros, en un punto aguas arriba del Venturi, y un punto situadoen la garganta del mismo. De este modo, la expresión (5) proporciona el coeficiente dedescarga del Venturi. El proceso debe repetirse, al igual que ocurre con el rotámetro, para variosvalores del caudal, con vistas a minimizar el error de medida y obtener un valor mediode Cd que se ajuste lo más posible a la realidad.2.3.4. Pérdidas de carga en ensanchamiento y codo. Midiendo mediante los tubos piezométricos la presión aguas arriba y aguasabajo del ensanchamiento, y aguas arriba y aguas abajo del codo, y conocido el caudalque fluye por el conducto, es posible obtener la variación de la pérdida de carga queproducen dichos elementos frente al caudal, mediante la expresión (6), tras despejar hf. En este apartado, deben calcularse dichas pérdidas de carga y debe hacerse unarepresentación gráfica de la variación de las mismas frente al caudal, como la mostradaen la Figura 4. Figura 9. Línea piezométrica marcada por las columnas de agua
  • 31. 26 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS2.3.5. Obtención de las curvas piezométrica y de energía Durante la realización de la práctica, la altura alcanzada por el agua en losdistintos tubos piezométricos pone de manifiesto la curva de altura piezométrica (oaltura de presión) del fluido correspondiente a cada uno de los caudales. Un ejemplo delínea piezométrica se muestra en la Figura 9. A partir de la curva piezométrica sepuede obtener la curva de energía sin más que sumando la altura de energía cinética ovelocidad correspondiente a cada posición (es conocido el caudal circulante y eldiámetro en cada posición, luego es conocida la velocidad media de la corriente). En este apartado debe realizarse una representación gráfica de dicha curva deenergía para, al menos, cuatro caudales diferentes. Deben comentarse lasparticularidades observadas en cada curva, y las diferencias entre unas y otras.
  • 32. 3. PÉRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOS 27 Práctica nº 3 : PÉRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOS3.1. INTRODUCCIÓN El flujo de un líquido o un gas por una conducción va inevitablementeacompañado de una paulatina cesión de energía mecánica, debido al trabajo opositor delas fuerzas viscosas. Dicha reducción de energía mecánica suele expresarse en términosde energía específica, y más concretamente como energía por unidad de peso del fluidocirculante; tiene pues dimensiones de longitud. Su denominación habitual es la depérdida de carga. La determinación de las pérdidas de carga correspondientes a unadeterminada instalación constituye un primer objetivo básico de cálculo, pues de ellasdependerá la energía que se deba proporcionar al fluido con una máquina apropiada(una bomba o un ventilador por ejemplo), y también el caudal que realmente vaya acircular por esa instalación.3.1.1. Balance de energía en un conducto Para comprender el origen de las pérdidas de carga, considérese la ecuación deconservación de la energía entre dos secciones de una tubería (es decir, el PrimerPrincipio de la Termodinámica: Q − W = ΔE ). Bajo la consideración de flujounidimensional se tiene que:
  • 33. 28 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS ⎛ v2 ⎞ ⎛ v2 ⎞ Q − (Weje + Wvis cos idad + W presion ) = m ⎜ 2 + gz2 + û2 ⎟ − m ⎜ 1 + gz1 + û1 ⎟ (1) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ donde: Q: calor transferido al fluido Weje: trabajo realizado por el fluido sobre una máquina (turbina) Wviscpsodad: trabajo realizado por el fluido contra las fuerzas superficiales viscosas Wpresión: trabajo realizado por el fluido contra las fuerzas superficiales de presión v1 , v2 : velocidad media en las secciones 1 y 2 z1 , z2 : altitud media en las secciones 1 y 2 û1 , û2 : energía interna media en las secciones 1 y 2 Se efectuarán las siguientes hipótesis simplificadoras (aunque en realidad norestan validez a las conclusiones generales a que se llega): • Proceso adiabático, luego el calor transferido es nulo: Q = 0 . • No se realiza trabajo técnico entre las dos secciones (no hay máquinas aportando o extrayendo energía del fluido): Weje = 0 . • Flujo incompresible: ρ = cte . • Régimen estacionario (invariable en el tiempo). Al considerarse flujo incompresible, en el caso de tener un flujo por una tuberíade sección constante (lo más habitual) entonces la velocidad media en cada secciónpermanecerá constante (por el principio de continuidad), y así se tendría que: v1 = v2 . Por otro lado, el trabajo de las fuerzas viscosas sólo cuenta en aquéllassuperficies en que el vector velocidad tenga una componente tangente no nula. Tal es elcaso, por ejemplo, de una superficie de corriente (compuesta por líneas de corriente)que sea un cilindro concéntrico con la tubería pero de radio menor. En cambio sobre lapropia superficie interior de la tubería debe cumplirse la condición de adherencia o nodeslizamiento (es decir, v = 0 ), y por tanto el trabajo realizado por las fuerzas viscosasen esa superficie sólida es nulo. Así pues: Wviscosidad = 0 . Otro tanto puede afirmarserespecto al trabajo de las fuerzas superficiales de presión sobre la pared interior delconducto. Reuniendo estas consideraciones resulta: −Wpresion = mg ( z2 − z1 ) + m ( u2 − u1 ) +m (v2 – v1 )/2 2 2 ˆ ˆ (2)
  • 34. 3. PÉRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOS 29 El trabajo de las fuerzas de presión entre las dos secciones, viene determinadopor: m m p2 − p1 Wpresion = p2V2 − p1V1 = p2 − p1 =m (3) ρ ρ ρ Así pues, sustituyendo en la ecuación (2) y despejando la variación de energíainterna resulta que esta variación es igual a la diferencia entre las posiciones 1 y 2 delos términos de altura geodésica, presión estática y energía cinética (ecuación 4), cuyasuma representa la energía mecánica del fluido. Esta energía mecánica se puedetransformar de forma reversible entre las tres categorías que la componen, y es la quepuede dar lugar a un trabajo útil en una máquina (turbina). Sin embargo la ecuación (4)señala que a lo largo de una conducción parte de esa energía mecánica se transforma enenergía interna, es decir, en calor. El segundo principio de la termodinámica estableceque, si no hay compresibilidad, esa transformación es irreversible, es decir, solo puedetener lugar en el sentido de aumentar la energía interna a costa de disminuir la energíamecánica. Por ese motivo, aunque la energía total permanece invariable, a la variaciónde la energía interna del fluido entre las dos secciones se le suele considerar pérdida (deenergía mecánica), y a la energía perdida por unidad de peso se le llama pérdida decarga hp: ( u2 − u1 ) = ˆ ˆ p1 − p2 2 2 hp = ( z1 − z2 ) + + v12−gv2 (4) mg ρg En el caso particular de una tubería horizontal de sección constante, tanto lacota como la velocidad han de permanecer constantes, y por tanto la pérdida de cargase manifiesta como una paulatina disminución de presión en el sentido del flujo. Internamente en el flujo el aumento de energía interna o la pérdida de carga estáligada a los esfuerzos cortantes viscosos, que se oponen al movimiento. Por tantocuanto mayor sea la viscosidad de un fluido, mayores pérdidas de carga para un caudaldado por una cierta tubería. Para un fluido dado, la pérdida de carga está relacionadacon el campo de velocidades, de forma muy distinta según el tipo de flujo sea laminar oturbulento. En el caso extremo de un fluido ideal, es decir, sin viscosidad, la pérdida decarga sería nula, y la ecuación (4) se transformaría en la ecuación de Bernoulli. Además de las pérdidas de carga lineales (a lo largo de los conductos),también se producen pérdidas de carga singulares en puntos concretos como codos,ramificaciones, válvulas, etc, y, en general, en cualquier posición de una conduccióndonde se altere la geometría de paso respecto al caso de una tubería recta de secciónconstante.
  • 35. 30 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS3.1.2. Pérdidas lineales Las características de los esfuerzos cortantes son muy distintas en función deque el flujo sea laminar o turbulento. En el caso de flujo laminar, las diferentes capasdel fluido discurren ordenadamente, siempre en dirección paralela al eje de la tubería ysin mezclarse, siendo el factor dominante en el intercambio de cantidad de movimiento(esfuerzos cortantes) la viscosidad. En flujo turbulento, en cambio, existe unacontinua fluctuación tridimensional en la velocidad de las partículas (también en otrasmagnitudes intensivas, como la presión o la temperatura), que se superpone a lascomponentes de la velocidad. Este es el fenómeno de la turbulencia, que origina unfuerte intercambio de cantidad de movimiento entre las distintas capas del fluido, loque da unas características especiales a este tipo de flujo. El tipo de flujo, laminar o turbulento, depende del valor de la relación entre lasfuerzas de inercia y las fuerzas viscosas, es decir del llamado número de Reynolds Re: ρ V D VD (4Q / π D 2 ) D 4Q Re = = = = (5) μ μ/ρ ν π Dνdonde: ρ es la densidad del fluido, V es la velocidad media, D es el diámetro de latubería, μ es la viscosidad dinámica o absoluta del fluido, ν es la viscosidad cinemáticadel fluido y Q es el caudal circulante por la tubería. Cuando Re < 2000 el flujo eslaminar. Si Re > 4000 el flujo se considera turbulento. Entre 2000 < Re < 4000 existeuna zona de transición. En régimen laminar, los esfuerzos cortantes se pueden calcular de formaanalítica a partir de las ecuaciones de Navier–Stokes, y a partir de los esfuerzoscortantes es posible obtener la distribución de velocidad en cada sección. Las pérdidasde carga lineales hpl resultan verificar la llamada ecuación de Hagen-Poiseuille(ecuación 6) en honor a los dos investigadores que, en la misma época pero de formaindependiente, establecieron el tipo de dependencia lineal entre la pérdida de carga y elcaudal dado por: 32 μ L v 128 μ L hpl , laminar = = Q (6) ρ g D2 ρ g π D4 Por un lado, Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (foto de la izquierda en la Figura1) fue un físico e ingeniero hidraúlico alemán, nacido en Königsberg (Prusia) en 1797 ymuerto en 1884. Independientemente de Poiseuille, Hagen realizó en 1939 los primerosexperimentos detallados sobre flujos laminares en tubos a baja velocidad, queposteriormente darían lugar a la ecuación (6).
  • 36. 3. PÉRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOS 31 El otro investigador, Jean Louis Marie Poiseuille (foto de la derecha en laFigura 1), fue un físico y biólogo francés nacido en París en 1797 y fallecido en 1869.Estudió física y matemáticas en la Escuela Politécnica de París, y alcanzó el grado dedoctor en 1828 con un trabajo sobre el flujo sanguíneo. En 1838 derivóexperimentalmente, y posteriormente publicó (1840) la ley que lleva su nombre(ecuación 6). Figura 1. Retratos de Hagen (izda.) y Poiseuille (dcha.) En régimen turbulento, no es posible obtener analíticamente los esfuerzoscortantes a partir de las ecuaciones de Navier–Stokes. No obstante, experimentalmentese puede comprobar que la dependencia entre los esfuerzos cortantes y la velocidad esaproximadamente cuadrática, lo que lleva a la ecuación de Darcy-Weisbach, en honora otros dos investigadores: L v2 8f L 2 hpl , turbulento = f = ... = Q (7) D 2g gπ 2 D 5donde f es un parámetro adimensional, denominado factor de fricción o factor deDarcy, que en general es función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa dela tubería: f = f (Re, ε r ) . Henry Philibert Gaspard Darcy (foto de la izquierda en la Figura 2), nació en1803 en Dijon, Francia. Con 18 años ingresó en la Escuela Politécnica de París. Tras sugraduación, ocupó varios puestos como ingeniero, y realizó experimentos sobre flujos y
  • 37. 32 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOSpérdidas por fricción en tuberías, que constituyeron la base de la ecuación de Darcy–Weisbach. Realizó también un nuevo diseño del tubo de Pitot, y estudió las propiedadesde los flujos en medios porosos que le condujeron a formular la famosa “Ley deDarcy”. Falleció en 1858 en París. Julius Ludwig Weisbach (foto de la derecha en la Figura 2), nació en 1806 enMittelschmiedeberg (Alemania). Trabajó con el famoso mineralista alemán FiedrichMosh en Göttingen y posteriormente se trasladó a la Universidad de Viena donde cursóestudios de física, matemáticas y mecánica. Alrededor de 1839 comenzó a interesarsepor la Hidráulica, campo en el que realizó los trabajos que le condujeron a establecer laecuación de Darcy – Weisbach. Murió en Freiberg, Alemania, en 1871. Figura 2. Retratos de Darcy (izda.) y Weisbach (dcha) En régimen laminar también es valida la ecuación de Darcy–Weisbach, si enella se introduce como factor de fricción al coeficiente, dependiente en exclusiva delnúmero de Reynolds, dado por: 64 f laminar = (8) Re En régimen turbulento el factor de fricción depende, además de Re, de larugosidad relativa: ε r = ε / D ; donde ε es la rugosidad de la tubería, que representa la
  • 38. 3. PÉRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOS 33altura promedio de las irregularidades de la superficie interior de la tubería. Segúnpusieron de relieve Prandtl y Von Karman, esa dependencia está determinada por larelación entre la rugosidad y el espesor de la subcapa límite laminar, que es la zona dela capa límite turbulenta directamente en contacto con la superficie interior de latubería; en esta subcapa las fuerzas viscosas son tan grandes frente a las de inercia(debido al alto gradiente de velocidad) que el flujo en ella es localmente laminar.Cuando el espesor de la subcapa límite laminar es grande respecto a la rugosidad, latubería puede considerarse lisa y el factor de fricción sólo depende del número deReynolds, según la expresión empírica (Prandlt, 1935): 1 ⎛ 2,51 ⎞ = −2 log ⎜ ⎟ (9) f ⎜ Re f ⎟ ⎝ ⎠ Para números de Reynolds grandes (régimen turbulento completamentedesarrollado) la importancia de la subcapa límite laminar disminuye frente a larugosidad, y el coeficiente de fricción pasa a depender sólo de la rugosidad relativa(Von Karman, 1938): 1 ⎛ε ⎞ = −2 log ⎜ r ⎟ (10) f ⎝ 3, 7 ⎠ Colebrook y White (1939) combinaron las ecuaciones de Von Karman y dePrandtl, y propusieron una única expresión para el factor de fricción que puedeaplicarse en todo el régimen turbulento: 1 ⎛ε 2,51 ⎞ = −2 log ⎜ r + ⎟ (11) f ⎜ 3, 7 Re f ⎟ ⎝ ⎠ Esta ecuación tiene el inconveniente de que el factor de fricción no aparece enforma explícita, y por tanto es necesario efectuar un cálculo iterativo para suresolución. Para facilitar su uso, tradicionalmente se ha empleado el llamado diagramade Moody (Figura 3), en el que se representa sobre escalas logarítmicas a lassoluciones de la ecuación de Colebrook-White, en forma de curvas de dependenciaentre el coeficiente de fricción y el número de Reynolds para varios valores fijos de larugosidad relativa. Como era de esperar, para valores altos del número de Reynolds lascurvas tienden a hacerse horizontales, es decir, el coeficiente de fricción deja dedepender del propio número de Reynolds y pasa a ser función solamente de larugosidad relativa. Por otra parte, para valores del número de Reynolds por debajo deaproximadamente 4000, es decir, en la zona de régimen laminar, el coeficiente defricción no depende de la rugosidad y por tanto el diagrama muestra una única línea enesa zona, que se corresponde con la ecuación (8); en el diagrama de Moody esa línea esuna recta, debido a las escalas logarítmicas empleadas para ambos ejes.
  • 39. 34 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS Figura 3. Diagrama de Moody: coeficiente de fricción en función del número de Reynolds para distintos valores de rugosidad relativa3.1.3. Pérdidas singulares Las pérdidas singulares son las producidas por cualquier obstáculo colocado enla tubería y que suponga una mayor o menor obstrucción al paso del flujo: entradas ysalidas de las tuberías, codos, válvulas, cambios de sección, etc. Normalmente sonpequeñas comparadas con las pérdidas lineales, salvo que se trate de válvulas muycerradas. Para su estimación se suele emplear la siguiente expresión: v2 8 hps = ξ = ... = ξ Q2 (12) 2g gπ 2 D 4donde hps es la pérdida de carga en la singularidad, que se supone proporcional a laenergía cinética en valor promedio del flujo; la constante de proporcionalidad, ξ , es eldenominado coeficiente de pérdidas singulares. Otra forma de cálculo consiste en considerar el efecto de las perdidas singularescomo una longitud adicional de la tubería. Por comparación de las ecuaciones (7) y(12), la longitud equivalente se relaciona con el coeficiente de pérdidas singularesmediante:
  • 40. 3. PÉRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOS 35 D Le = ξ (13) fFigura 4. Nomograma para la estimación de la longitud equivalente de distintos tipos de elementos singulares
  • 41. 36 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS En la práctica se suelen emplear nomogramas, como el de la Figura 4, quepermiten estimar las longitudes equivalentes para los casos de elementos singularesmás comunes, en función del diámetro de la conducción. Para su aplicación se ha detrazar una recta desde el punto correspondiente al componente de interés hasta la escalavertical de la derecha, que corresponde al diámetro del conducto. El punto de corte deesa recta con la escala central proporciona sin más la longitud equivalente buscada. Enrealidad, la longitud equivalente también puede depender en alguna medida de larugosidad (y no solo del diámetro), pero este efecto suele ser pequeño y no secontempla en estos nomogramas.3.2. MEDIDAS DE PRESIÓN La presión hidrostática proporciona la presión relativa a una profundidad dada,en una masa continua de fluido en reposo, como función de la densidad del fluido y dela profundidad a la que se encuentra. Este resultado es lo que se conoce como ecuaciónfundamental de la hidrostática, que exponemos a continuación. Consideremos entonces un elemento de fluido situado a una profundidad h bajola superficie libre, como se muestra en la Figura 5, sobre el cual actúa la presión dereferencia. Planteando la expresión de equilibrio para el elemento de fluido considerado, setiene que: ⎛ dp ⎞ pA − ⎜ p + δ h ⎟ A + ρ gAδ h = 0 (14) ⎝ dh ⎠o lo que es lo mismo: dp = ρg (15) dh Para un fluido incompresible, la densidad es constante, y la ecuación (15) puedeintegrarse respecto a la profundidad h, obteniéndose entonces: p = ρ gh (16)que es la ecuación fundamental de la hidrostática para un fluido incompresible. La presión que aparece en la expresión (16) es la presión manométrica opresión relativa a la presión de referencia de la superficie libre p0, que muy a menudo
  • 42. 3. PÉRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOS 37coincide con la presión atmosférica. La presión absoluta a una profundidad h vienedada por: pabsoluta = p0 + prelativa = p0 + ρ gh (17) pA h δh A ρ gAδ h ⎛ dp ⎞ ⎜ p + δh⎟ A ⎝ dh ⎠ Figura 5. Elemento de fluido a profundidad h. Los instrumentos de medida de la presión manométrica se denominanmanómetros. Según la naturaleza de la presión de medida, los manómetros puedenclasificarse: • Instrumentos que miden la presión atmosférica: barómetros. • Instrumentos que miden una presión relativa a la atmosférica: manómetros, si miden presiones relativas positivas (sobrepresiones), o vacuómetros, si miden presiones relativas negativas (depresiones). • Instrumentos para medir diferencias de presiones: manómetros diferenciales. A continuación veremos como se determina la presión con algunos de losmanómetros más comunes, dos de los cuales, manómetro diferencial de mercurio ymanómetro diferencial en U invertida, se emplean en esta práctica.3.2.1. Manómetro en U simple Este tipo de manómetro se emplea para medir presiones relativas a la presiónatmosférica. Consideremos el manómetro en U sencillo de la Figura 6, conectado pormedio de un pequeño orificio a un tubo que contiene un fluido con densidad ρ1 apresión pA que es la que deseamos medir. Suponemos que el extremo abierto del tuboen U se encuentra a la presión atmosférica.
  • 43. 38 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS patm A B h1 h2 Figura 6. Manómetro en U simple. Aplicando la ecuación hidrostática (ecuación 17) entre los puntos A y B,obtenemos: p A + ρ1 gh1 − ρ 2 gh2 = pB ⇒ p A − patm = g ( ρ 2 h2 − ρ1h1 ) (18) De esta forma queda determinada la presión del fluido, con respecto a laatmosférica, en el punto A deseado.3.2.2. Manómetro diferencial de mercurio. Este tipo de manómetro se emplea para medir diferencias de presiones entre dospuntos de una instalación situados a la misma altura geométrica. Consideremos elmanómetro diferencial de mercurio de la Figura 7. Aplicando la ecuación de la hidrostática (17) entre los puntos A y B, se obtiene:
  • 44. 3. PÉRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOS 39 p A − ρ gh1 − ρ Hg gh2 + ρ gh2 + ρ gh1 = pB ⇒ (19) ⇒ p A − pB = gh2 ( ρ Hg − ρ )donde en este caso ρ es la densidad del agua, ρHg es la densidad del mercurio y h2 es ladiferencia de altura entre las dos columnas del manómetro. De este modo quedadeterminada la diferencia de presión entre dos puntos A y B de una instalación situadosa la misma altura. h2 h1 A B Figura 7. Manómetro diferencial de mercurio.3.2.3. Manómetro en U invertida Este tipo de manómetro se emplea también para medir diferencias de presionesentre dos puntos de una instalación situados a la misma altura, al igual que elmanómetro diferencial de mercurio. Considérese el manómetro en U invertida queaparece en la Figura 8, y con el que se quiere medir la diferencia de presiones entre dospuntos A y D de una instalación, situados a la misma altura geométrica. Aplicando la ecuación de la hidrostática (17) entre los puntos A y D, situados ala misma altura, se obtiene que:
  • 45. 40 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS p A − ρ1 gh1 + ρ 2 gh2 + ρ1 gh3 = pD ⇒ (20) ⇒ p A − pD = g ( ρ1h1 − ρ 2 h2 − ρ1h3 ) De este modo se puede determinar la diferencia de presión entre dos puntos dela instalación. Específicamente, en el manómetro de que se dispone en esta práctica, ladensidad ρ1 es la densidad del agua y la densidad ρ2 es la densidad del aire. h2 h1 h3 A D Figura 8. Manómetro en U invertida.3.3. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN La práctica se lleva a cabo en un dispositivo experimental ubicado en ellaboratorio de Hidráulica de la E.T.S. de Ingenieros de Minas. En la Figura 9 semuestra una fotografía del banco de ensayos preparado con fines docentes, quecontiene muchos de los elementos típicos que se suelen encontrar en un sistema debombeo o ventilación real. Como se observa en la Figura 9, la instalación consta de seis tuberíashorizontales, que en lo que sigue denotaremos como tubería 1, tubería 2, etc., contandoa partir de la tubería superior. Las tuberías 5 y 6 tienen incorporados diversos
  • 46. 3. PÉRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOS 41elementos singulares y están orientadas al estudio de las pérdidas de carga singulares,mientras que el resto de tuberías no incorporan ningún elemento singular y estánorientadas al estudio de las pérdidas de carga lineales. Figura 9. Banco de ensayos de pérdidas de carga en tuberías. Los principales elementos que se encuentran montados en el banco de ensayosson: a) Tuberías: son de distintos diámetros y de materiales con diferentes rugosidades, con vistas a determinar su efecto sobre los factores de fricción. b) Válvulas: las hay de varios tipos, como por ejemplo, compuerta, esfera y mariposa. Su misión es, en unos casos, abrir o cerrar el paso del fluido por los diferentes tramos, y en otros, regular el caudal circulante. En la Figura 10 aparecen dos fotografías de válvulas. c) Bomba: se trata de una bomba centrífuga que proporciona la energía necesaria para que el fluido recircule por la instalación. Como se trata de un circuito cerrado, la energía suministrada por la bomba termina por disiparse íntegramente a lo largo de los elementos del sistema. d) Elementos singulares: existen en la instalación ciertos elementos que provocan pérdidas singulares. En algunos casos son elementos necesarios, como codos, válvulas, uniones en T, etc., y en otros se han incluido con fines
  • 47. 42 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS docentes para determinar la pérdida singular que producen, como por ejemplo la placa orificio y el tubo Venturi. Figura 10. Detalle de una válvula de compuerta (izda.) y una de bola (dcha.) en el banco de ensayos e) Depósitos para la medida del caudal. En esta práctica, el caudal se determina mediante un método volumétrico. Se dispone de dos depósitos rectangulares, uno más pequeño y otro más grande para la medida de caudales elevados, cuyas secciones se determinan geométricamente. Cada uno de los depósitos dispone de una escala graduada en altura que permite, junto con las secciones, determinar el volumen de fluido. Midiendo mediante un cronómetro el tiempo que el fluido tarda en alcanzar un determinado volumen, se obtiene el flujo volumétrico que circula por la instalación. Además de los depósitos, la placa orificio puede calibrarse y utilizarse como medidor del caudal, y lo mismo ocurre con el tubo Venturi. En la Figura 11 aparecen fotografías de los depósitos y la placa orificio. f) Manómetro diferencial de mercurio y manómetro en U invertida: ambos dispositivos, como puede apreciarse en la Figura 9, se encuentran montados en el banco de ensayos para medir las diferencias de presiones entre dos puntos. El funcionamiento de estos manómetros ha sido explicado en la introducción teórica. A lo largo de toda la práctica el caudal se determina mediante los depósitosdispuestos para tales efectos. La pérdida de carga puede medirse mediante el
  • 48. 3. PÉRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOS 43manómetro diferencial o mediante el manómetro en U invertida, dependiendo del valorde las pérdidas de carga. Si éstas son pequeñas, se encontrarán dentro del rango demedidas del manómetro en U invertida, pero cuando son algo mayores, dichomanómetro no tendrá la suficiente sensibilidad para medir las pérdidas y será necesarioemplear el manómetro diferencial de mercurio.Figura 11. Detalle de la placa orificio (izda.) y depósitos de medida del caudal (dcha.). Si se utiliza el manómetro diferencial de mercurio, la pérdida de carga en metrosde columna de agua (que es el líquido que circula por la instalación) entre dossecciones situadas a la misma cota geométrica, viene dada por: ρ Hg − ρ agua Δh hp = (21) ρ agua 1000donde Δh es la diferencia de alturas entre las dos columnas del manómetro en mm. Encambio, si se utiliza el manómetro en U invertida, la pérdida de carga en metros decolumna de agua entre dos secciones de la instalación situadas a la misma cotageométrica, viene dada por: Δh hp = (22) 1000
  • 49. 44 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOSsiendo de nuevo Δh la diferencia de altura entre las dos columnas del manómetro enmm.3.4. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL El objetivo fundamental de esta práctica es el estudio de las pérdidas de cargaque se producen en una instalación de bombeo, incluyendo tanto las pérdidas de cargalineales en conductos rectos como las pérdidas de carga generadas por elementossingulares.3.4.1. Variación de la pérdida de carga con el caudal En este primer apartado de la práctica se pretende medir la pérdida de cargaentre dos secciones de la instalación para diferentes valores del caudal circulante. Enconcreto, se pretende estudiar la variación de la pérdida de carga frente al caudal paralas tuberías 1, 2, 3 y 4. Según se ha visto en la introducción teórica, la relación entre lapérdida de carga y el caudal, será lineal si el flujo es laminar, y aproximadamenteparabólica si el flujo es turbulento. No obstante, la observación de la ecuación (7) ponede manifiesto que la pérdida de carga depende del caudal y del factor de fricción, y a suvez, el factor de fricción puede depender del caudal. Por lo tanto, a priori, únicamentesabemos que la relación entre la pérdida de carga y el caudal es de la forma: hp ≈ k Q n (23)donde k es una constante. El objetivo de este apartado es determinar a partir de losdatos experimentales, los valores de k y n. Para cada una de las tuberías antes indicadas, deben realizarse mediciones de lapérdida de carga entre dos secciones, para distintos valores del caudal, representandográficamente los resultados. A continuación, debe realizarse un ajuste de los datosrepresentados. Para ello, se puede linealizar la ecuación (23) tomando logaritmosdecimales a ambos lados de la igualdad: log hp = log k + n log Q ⇒ y = a + nx (24)siendo: y = log hp ; x = log Q; a = log k (25)
  • 50. 3. PÉRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOS 45 El problema se reduce entonces a determinar a y n. Llamando xi = log Qi e yi = log hpi , los coeficientes del ajuste por mínimos cuadrados de la recta y = a + nx ,son: N N N ⎛ N ⎞⎛ N ⎞ ∑ yi − n∑ xi N ∑ xi yi − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎜ ∑ yi ⎟ a = i =1 i =1 ; n = i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ (26) 2 N N ⎛ N ⎞ N ∑ xi2 − ⎜ ∑ xi ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠donde N es el número de puntos experimentales medidos. De este modo, se obtiene laregresión lineal de los datos. Se habrán de señalar las características observadas en cada representacióngráfica: tipo de régimen de flujo, laminar o turbulento, etc.3.4.2. Pérdidas lineales y rugosidad En este apartado se pretende calcular la rugosidad de las tuberías de lainstalación. Para ello, es necesario medir la pérdida de carga que se produce entre dospuntos de una tubería separados cierta distancia sin que exista entre ellos ningúnelemento singular. Con los valores del caudal y de la pérdida de carga, se puedecalcular el valor del coeficiente de fricción f dado por la ecuación de Darcy–Weisbach.A continuación, haciendo uso de los valores del coeficiente de fricción f y del númerode Reynolds, que se puede obtener a partir del caudal, se calcula la rugosidad relativade la tubería. Para el cálculo de la rugosidad relativa pueden emplearse dos opciones:resolver la ecuación de Colebrook o emplear el diagrama de Moody. Una vez obtenidoel valor de la rugosidad relativa, es inmediato obtener el valor de la rugosidad absoluta.El valor de la viscosidad cinemática del agua, necesario para calcular el número deReynolds, es aproximadamente 10-6 m2/s. El procedimiento que acaba de describirse, debe aplicarse para calcular lasrugosidades de las tuberías 1, 2, 3 y 4, indicando en cada caso el valor de la rugosidadque se obtiene mediante la ecuación de Colebrook y el que se obtiene mediante eldiagrama de Moody. Los resultados deben presentarse en forma de tabla en el informeposterior.3.4.3. Pérdidas singulares. En este apartado se pretende medir las pérdidas de carga que producen ciertoselementos singulares presentes en la instalación: codos, válvulas, etc. Como en estecaso el caudal es conocido, mediante la ecuación (12) se puede calcular el coeficiente
  • 51. 46 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOSde pérdidas singulares, teniendo en cuenta que la velocidad promedio que se empleapara obtener dicha ecuación es la velocidad a la entrada de la singularidad, y por tanto,el diámetro que debe tomarse es el de la propia entrada a la singularidad. Si larugosidad de la tubería es conocida, puede calcularse también la longitud equivalentemediante la ecuación (13) y comparar el valor así obtenido con el que proporciona elnomograma del Anexo II. El procedimiento anterior debe aplicarse para calcular los coeficientes depérdidas singulares de, al menos, dos válvulas y dos codos de la instalación, y losresultados deben presentarse en forma de tabla.3.4.4. Calibración del Venturi y la placa orificio En este apartado se propone realizar la calibración de los otros dos medidoresde caudal presentes en la instalación: el tubo Venturi y la placa orificio. La relaciónentre la pérdida de carga singular que producen estos elementos y el caudal, escuadrática, es decir, hp ∝ Q 2 . La calibración del Venturi y la placa orificio consiste enla obtención de la constante de proporcionalidad entre la pérdida de carga que seproduce en el fluido cuando pasa a través de ellos y el cuadrado del caudal de fluidocirculante. Para ello es necesario medir la pérdida de carga en la placa orificio y el Venturi,para varios valores del caudal, y representar gráficamente los resultados. El ajuste de lacurva experimental mediante una regresión lineal, proporciona la calibración requerida.De este modo, se dispone ya de dos medidores de caudal nuevos en la instalación.
  • 52. 4. VISUALIZACIÓN DE FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO 47 Práctica nº 4 : VISUALIZACIÓN DE FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO4.1. INTRODUCCIÓN El objetivo de esta práctica es observar las características de los regímenes deflujo laminar y turbulento en un conducto, así como la transición entre ambos,reproduciendo el experimento original de Osborne Reynolds, y estudiando el efecto delos parámetros de dependencia.4.1.1. Experimento de Osborne Reynolds. Osborne Reynolds, cuyo retrato aparece en la Figura 1, nació en Belfast (GranBretaña) en 1842. En su etapa más temprana, su educación estuvo a cargo de su padre,quien además de ser un excelente matemático, estaba interesado en la Mecánica.Osborne Reynolds demostró pronto sus aptitudes para la Mecánica y a la edad de 19años comenzó a trabajar con Edward Hayes, un conocido inventor e ingenieromecánico. Al cabo de un año decidió ingresar en Cambridge, donde se graduó conhonores en 1867 y fue inmediatamente elegido miembro del Queens’ College. En 1868consiguió ser admitido en lo que posteriormente se convertiría en la UniversidadVictoria de Manchester, donde permaneció como profesor hasta 1905. Falleció en 1912a la edad de 69 años.
  • 53. 48 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS La investigación científica de Osborne Reynolds cubrió un amplio abanico defenómenos físicos y de ingeniería, y estableció los fundamentos de muchos trabajosposteriores sobre flujos turbulentos, modelización hidráulica, transferencia de calor yfricción. Sus estudios sobre el origen de la turbulencia constituyen un clásico en laMecánica de Fluidos, como se deduce a partir del uso general hoy en día de términostales como número de Reynolds, tensiones de Reynolds y ecuaciones de Reynolds. Figura 1. Retrato de Osborne Reynolds en 1904. Figura 2. Fotografía del Tanque de Reynolds.
  • 54. 4. VISUALIZACIÓN DE FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO 49 Entre sus mayores logros figuran sus ensayos de visualización de los flujoslaminar y turbulento en conductos, y su análisis sobre los parámetros de dependenciade la transición a régimen turbulento, los cuales fueron publicados por vez primera en1883, en una revista científica. La fotografía de la Figura 2 y el esquema de la Figura 3muestran el tanque en que Reynolds llevó a cabo sus ensayos, el cual se conserva en laactualidad en la Universidad de Manchester, aún en estado operativo. Figura 3. Esquema del Tanque de Reynolds. Para visualizar las características de los flujos laminar y turbulento, Reynoldsempleó un colorante inyectado en una corriente de agua. Según muestra la instalaciónde la Figura 3, del interior del tanque de Reynolds (que está elevado respecto al suelo),parte un conducto transparente horizontal que, ya fuera del tanque, va conectado a unatubería descendente de desagüe. Debido al desnivel entre la superficie libre del tanquey el desagüe, por esta conducción circula agua. Al final de la tubería hay una válvula deregulación para controlar el caudal de agua desalojado (es decir, la velocidad de lacorriente).
  • 55. 50 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS En ese dispositivo, el agua se introduce en el conducto horizontal a través deuna boquilla o embudo, con el objeto de facilitar una circulación del agua muy regular.En la zona de la boquilla se encuentra el inyector de colorante, alimentado desde unpequeño depósito exterior a través de una manguera. Figura 4. Fotografías de los diferentes regímenes de flujo observados en el Tanque de Reynolds Para el tipo de movimiento correspondiente a flujo por un conducto de seccióncircular, se puede obtener una solución analítica suponiendo flujo estacionario, simetríaaxial e imponiendo equilibrio entre las fuerzas de presión y las fuerzas viscosas. La
  • 56. 4. VISUALIZACIÓN DE FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO 51solución así obtenida, que refleja una distribución de velocidad de tipo parabólicorespecto a la posición radial, es la conocida ecuación de Hagen-Poiseuille. En estemovimiento, que es estacionario, las líneas de corriente coinciden con las trayectoriasde las partículas de fluido, así como con las líneas de traza de las partículas decolorante en el ensayo de Reynolds, y no son sino rectas paralelas al eje del conducto. Sin embargo, Reynolds observó que dicho movimiento, estable y regular, sóloexiste si la velocidad del flujo es suficientemente pequeña o bien si el diámetro del tuboes suficientemente pequeño para un caudal dado. Bajo estas circunstancias, el coloranteforma una línea de corriente bien definida cuyo contorno muestra que sólo existe unapequeña difusión en la dirección radial, debida al transporte molecular. Además,cualquier perturbación que aparezca en el flujo es amortiguada rápidamente. Estemovimiento es el denominado laminar. Por el contrario, si la velocidad es lo suficientemente grande, el movimiento delfluido se hace muy sensible a cualquier perturbación, las cuales se amplificanrápidamente. El flujo se hace entonces irregular y pierde su carácter estacionario. Elgrosor del colorante crece rápidamente, el contorno se difumina y toma una formairregular hasta que aguas abajo se convierte en una nube. Este movimiento es eldenominado turbulento. En la Figura 4 se muestran los diferentes regímenes de flujosobservados en el Tanque de Reynolds. Reynolds descubrió que la existencia de uno u otro tipo de flujo depende delvalor que toma una agrupación adimensional de variables relevantes del flujo,parámetro al que se denomina en su honor como número de Reynolds. Siendo v lavelocidad media del flujo (caudal/área transversal del conducto), D el diámetro y ν laviscosidad cinemática del fluido, se define el número de Reynolds, designado como Re,como: vD Re = (1) ν En todos los flujos existe un valor de este parámetro para el cual se produce latransición de flujo laminar a flujo turbulento, habitualmente denominado número deReynolds crítico. Generalmente para flujo en tubos se establecen los siguientes valorescríticos del número de Reynolds: • Si Re < 2000, el flujo es laminar. • Entre 2000 < Re < 4000 existe una zona de transición de flujo laminar a turbulento. • Si Re > 4000 el flujo es turbulento.
  • 57. 52 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS4.1.2. Características generales de los flujos laminares y turbulentos Cuando entre dos partículas en movimiento existe gradiente de velocidad, esdecir, cuando una se mueve más rápido que la otra, se desarrollan fuerzas tangencialesque se oponen al desplazamiento relativo entre ambas partículas, es decir, se oponen ala deformación del medio: estas fuerzas son las fuerzas viscosas, que sonproporcionales al gradiente de velocidad y a la viscosidad dinámica del fluido (Ley deNewton). Un efecto de la existencia de gradientes de velocidad es que, alrededor decada partícula, se produce una rotación relativa de las partículas del entorno,movimiento al que también se oponen las fuerzas viscosas. Dependiendo del valor relativo de las fuerzas viscosas respecto a la cantidad demovimiento del fluido (es decir, respecto a las fuerzas de inercia) se pueden producirdiferentes estados de flujo: Cuando el gradiente de velocidad es acusado, pero las velocidades bajas envalor promedio (por ejemplo en las zonas de capa límite adyacentes a un contornorígido o en el flujo por una tubería a baja velocidad), las fuerzas viscosas predominansobre las de inercia. En este caso el movimiento está controlado por las fuerzas viscosasde cohesión de unas partículas con otras, que impiden que pueda haber cambiosbruscos de posición relativa. Cualquier perturbación impuesta sobre el flujo principal esrápidamente atenuada por las fuerzas viscosas, y el resultado final es un movimiento enel que las partículas siguen trayectorias definidas: todas las partículas que pasan por undeterminado punto en el campo de flujo siguen la misma trayectoria. Este es pues eltipo de flujo denominado laminar (pues las partículas se desplazan en forma de capas oláminas). Cuando se tiene un gradiente de velocidad pero con zonas de alta velocidad,las fuerzas viscosas pierden valor relativo respecto a las fuerzas de inercia. En estascondiciones una perturbación que altere puntualmente el equilibrio entre la rotaciónrelativa alrededor de cada partícula y la deformación propiamente dicha ya no logra seratenuada por las fuerzas viscosas, sino que crece y da origen a un remolino arrastradopor la corriente. A su vez la presencia de un remolino supone nuevos gradientes develocidad, por lo que a partir de ese remolino se pueden originar otros remolinos detamaño más pequeño. El proceso de generación de nuevos remolinos de menor escalafinaliza al alcanzar tamaños en los que los gradientes de velocidad asociados (quecrecen al disminuir la escala de los remolinos) se corresponden con fuerzas viscosasdominantes sobre las de inercia; estas escalas de tamaño mínimo reciben el nombre deescalas de Kolmogorov, tras los trabajos del científico ruso Andrei NikolaevichKolmogorov (Figura 5) publicados en 1941. Así pues el flujo pasa a estar compuestopor un movimiento en la dirección principal más una sucesión de remolinos de distintasescalas superpuestos entre sí, de modo que cada partícula ya no realiza una trayectoriarectilínea, sino que su rumbo se ve continuamente alterado por la sucesión deremolinos. Este es el tipo de flujo denominado turbulento.
  • 58. 4. VISUALIZACIÓN DE FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO 53 Figura 5. Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) En la Figura 6 se muestran visualizaciones de chorros turbulentos. Al contrarioque la viscosidad o la densidad, la turbulencia no es una propiedad del fluido, sino delflujo. Como características más destacables de los movimientos turbulentos se tienen:• Irregularidad: se manifiesta en la aparición de fluctuaciones en las distintas variables fluidodinámicas (velocidad, presión, temperatura) de amplitud y tiempos muy dispares (diferentes escalas de los remolinos). Por tanto un flujo turbulento es intrínsecamente no estacionario, aunque el valor promedio de las variables en cada posición (o el caudal por una tubería) no cambien a lo largo del tiempo. A pesar de ser un fenómeno determinista, las fluctuaciones de la turbulencia parecen caóticas y arbitrarias, lo que justifica el uso de métodos estadísticos para su estudio.• Tridimensionalidad: pueden existir flujos turbulentos que al ser promediados en el tiempo, resulten ser bidimensionales (planos), incluso pueden existir movimientos turbulentos en los que las escalas más grandes de la turbulencia sean fundamentalmente bidimensionales. Sin embargo, a medida que se desciende en el tamaño de las escalas dentro del amplio espectro que caracteriza a la turbulencia, se encuentra que el movimiento asociado a estas escalas pequeñas es siempre tridimensional.• Difusividad: los fenómenos de transporte de masa, cantidad de movimiento y energía, se ven notablemente amplificados por el efecto de la turbulencia. En realidad la turbulencia conlleva una mezcla continua de las partículas del flujo, con lo que lo
  • 59. 54 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS que los mecanismos de transporte por difusión se ven reforzados por el transporte convectivo por turbulencia. Figura 6. Detalles de dos chorros turbulentos.• Disipación: los flujos turbulentos son siempre disipativos. Una vez que se ha desarrollado el flujo turbulento, la turbulencia tiende a mantenerse, pero para ello se necesita un aporte continuo de energía. Esta energía es extraída desde el flujo principal hacia los remolinos de mayor tamaño y a continuación se va transfiriendo sucesivamente hacia los remolinos de escalas más pequeñas. Finalmente, en las escalas de Kolmogorov, la energía asociada a las fluctuaciones turbulentas se transforma en energía interna (es decir, en calor), debido al trabajo de las fuerzas viscosas. La distribución de energía entre las distintas escalas de la turbulencia es conocida como cascada de energía.• Altos números de Reynolds: la turbulencia se origina como una inestabilidad de flujos laminares, ante cualquier perturbación inicial. Del análisis de la estabilidad de soluciones de flujos laminares, se evidencia que la solución se hace inestable a partir de un cierto valor del número de Reynolds, o valor crítico, el cual depende del tipo de
  • 60. 4. VISUALIZACIÓN DE FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO 55 aplicación. Sin embargo es posible mantener flujos laminares por encima del Reynolds crítico si en el entorno se aseguran unas condiciones absolutamente libres de perturbación, por ejemplo con una cimentación independiente que impida la transmisión de vibraciones a la instalación con el flujo bajo estudio. En definitiva, la turbulencia es un fenómeno complejo gobernado por lasecuaciones de la Mecánica de Fluidos para un medio continuo, puesto que incluso lasescalas más pequeñas que aparecen en un flujo turbulento, las de Kolmogorov, estánmuy lejos de las escalas de longitud molecular. Sin embargo su solución analíticaresulta inviable, y se recurre a correlaciones empíricas.4.2 DESCRIPCIÓN DEL BANCO DE ENSAYO La práctica se lleva a cabo en un dispositivo experimental ubicado en ellaboratorio de Hidráulica de la E.T.S. de Ingenieros de Minas de Oviedo, cuyafotografía y esquema se muestran en la Figura 7: Figura 7. Fotografía y esquema del dispositivo experimental.
  • 61. 56 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS El dispositivo experimental consta de dos depósitos de cristal, de los cuales elmás pequeño está contenido en el mayor. El depósito grande contiene agua queinicialmente debe estar en reposo para evitar la introducción de turbulencia en el flujo.El depósito pequeño contiene un colorante fuerte (permanganato potásico en este caso)que se inyecta en el depósito lleno de agua mediante un tubo terminado en unaboquilla. Un tubo vertical de vidrio permite la visualización del hilo de colorante. En la parte inferior del dispositivo existe una válvula que permite regular elcaudal de flujo que circula por la instalación, es decir, permite establece una u otravelocidad de salida del agua. Dependiendo de la velocidad de circulación del agua, elhilo de colorante se observará con mayor o menor nitidez. Cuando la velocidad delagua sea muy baja, el hilo de colorante será perfectamente nítido, hecho indicativo deque se está en un régimen de flujo laminar, como se observa en la Figura 8 (a). Si lavelocidad del agua aumenta, comienza a perderse la nitidez del hilo de colorante(régimen de flujo de transición), como se observa en la Figura 8 (b). Finalmente,cuando se continúan aumentando las velocidades de circulación del agua, llega unmomento en que el hilo de colorante se rompe completamente, alcanzándose entoncesel régimen de flujo turbulento, como se observa en la Figura 8 (c). Figura 8. Detalle de las distintas formas del hilo de colorante en el tubo de visualización del flujo. En el dispositivo experimental, el caudal se determina mediante un métodovolumétrico, es decir, se dispone de un recipiente calibrado en volumen, de modo quela medida mediante un cronómetro del tiempo que se tarda en alcanzar un determinadovolumen de agua, proporciona el caudal (volumen / tiempo). Conocido el caudal, ya sepuede determinar sin más la velocidad del agua que circula por la instalación teniendoen cuenta que el diámetro del tubo de vidrio para visualización del flujo es de 13 mm. Se dispone también de un termómetro en el depósito de agua que permiteestablecer la temperatura del agua contenida en el mismo. Este dato es necesario puesto
  • 62. 4. VISUALIZACIÓN DE FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO 57que la viscosidad cinemática del agua, necesaria para calcular el número de Reynolds,varía con la temperatura. Suponemos que la temperatura del agua se mantiene constantea lo largo de todo el experimento. En la Tabla I aparecen valores de las viscosidadescinemáticas del agua para algunas temperaturas. Si la temperatura obtenida para el aguaen el depósito no coincide con ninguna de las de la Tabla I, deberá realizarse unainterpolación entre los valores más próximos. Tabla I. Viscosidades cinemáticas del agua en función de la temperatura Temperatura (ºC) 5 10 15 20 25 30 2 Viscosidad (mm /s) 1.52 1.308 1.142 1.007 0.897 0.8044.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL La práctica se desarrollará según los siguientes pasos:4.3.1. Visualización de los diferentes regímenes de flujo. La primera parte de la práctica consiste en la visualización de los diferentesregímenes de flujo que experimenta el agua que circula por el tubo de vidrio deldispositivo experimental. Para ello, es necesario establecer una velocidad de circulación del agua en elexperimento, o lo que es lo mismo establecer un caudal de agua circulante. Se disponede una válvula cuya mayor o menor apertura permite controlar el caudal de aguacirculante por la instalación. Debe comenzarse con un caudal lo más bajo posible y seva aumentando el caudal poco a poco. Como mínimo será necesario tomar diezcaudales diferentes. Para cada uno de los caudales, cuando el flujo se estabilice, seinyecta el colorante del depósito pequeño en el depósito grande a través de la boquilla,y se observan en el tubo de vidrio las formas que se desarrollan. En el informe debe hacerse una exposición detallada de las peculiaridadesobservadas para cada caudal, el régimen de flujo en que se encuentra el agua, etc.4.3.2. Determinación del número de Reynolds Mediante el termómetro introducido en el depósito lleno de agua, sedeterminará la temperatura del agua que circula por la instalación, y suponiendo que semantiene constante, se establecerá la viscosidad cinemática del agua que se empleará alo largo del experimento, a partir de los datos de la Tabla I.
  • 63. 58 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS Para cada caudal de agua circulante por la instalación deberá determinarse lavelocidad del agua en el tubo de vidrio, teniendo en cuenta que el diámetro del mismoes de 13 mm. A continuación se obtendrá el número de Reynolds a partir de laexpresión (1). Del valor obtenido para el número de Reynolds, podrá indicarse elrégimen de flujo que correspondería al caudal circulante. Se habrá de verificar quecoincide con el régimen observado en el ensayo, según las propiedades mostradas porel hilo de colorante. En caso de observarse paso a régimen turbulento, se tomarámedida de la distancia entre la zona de comienzo de la transición y el borde de entradaal conducto. Este proceso debe repetirse como mínimo para diez valores diferentes delcaudal, que se regularán mediante una mayor o menor apertura de la válvula situada enla parte inferior del dispositivo experimental. Con los resultados experimentales sedeterminará el número de Reynolds crítico para el cual el flujo pasa de laminar aturbulento. Este valor se habrá de comparar con el número de Reynolds críticoconsiderado habitualmente. Así mismo se estudiará la dependencia entre la distancia alpunto de transición a flujo turbulento y el número de Reynolds.4.3.3. Cálculo del factor de fricción Para cada uno de los caudales de agua circulante que se establezcan en elexperimento, debe calcularse el factor de fricción del tubo de vidrio. Como sabemos,dicho factor de fricción va a depender del número de Reynolds y de la rugosidadrelativa de la tubería, y se calcula de manera diferente dependiendo de que existarégimen laminar o turbulento. En régimen laminar, el factor de fricción sólo depende del número de Reynolds,y se calcula a partir de la ecuación de Poiseuille: 64 f = (2) Re En régimen turbulento, el factor de fricción dependerá además de la rugosidadrelativa de la tubería. No obstante, por tratarse en este caso de una tubería de vidrio,puede considerarse que la tubería es lisa, y el factor de fricción de la misma puedecalcularse mediante la fórmula de Blasius: f = 0.316 Re −0.25 (3) En el informe se habrá de exponer en forma de tabla y gráficamente los factoresde fricción obtenidos para cada caudal y el número de Reynolds correspondiente a losmismos.
  • 64. 5. DESCARGA POR UN ORIFICIO 59 Práctica nº 5 : DESCARGA POR UN ORIFICIO5.1. INTRODUCCIÓN5.1.1. Objeto Los medidores del caudal circulante por tuberías más simples (y no por ellomenos fiables) son los que están basados en la imposición de un estrechamiento en elconducto, y en la medida de la correspondiente caída de presión. Esta diferencia depresión se relaciona fácilmente con el caudal circulante mediante las ecuaciones decontinuidad y de Bernoulli, como ya se comprobó en la práctica número 2 de esta seriepara el caso de caudalímetros de tubo Venturi y de placa orificio. Sin embargo elcaudal así obtenido ha de ser corregido mediante un coeficiente de derrame, Cd, quetenga en cuenta que en el flujo real hay una pérdida de carga (mientras que la ecuaciónde Bernoulli presupone fluido no viscoso o ideal) y que la sección de paso efectiva porla zona estrecha se ve algo reducida por el efecto denominado de vena contracta. Estosdos efectos se cuantifican respectivamente mediante los llamados coeficientes develocidad, Cv, y coeficiente de contracción, Cc. El objeto de la presente práctica es el de visualizar y cuantificar la incidencia deesos dos fenómenos sobre el flujo a través de este tipo de medidores. Sin embargo, parafacilitar el estudio, se contemplará el caso particular de un orificio directamentepracticado sobre la pared de un depósito con fluido a presión (agua). Se probarándistintas geometrías de orificio, y, en cada caso, se compararán los caudales ideales y
  • 65. 60 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOSreales, además de otras variables, para obtener los correspondientes valores de loscoeficientes de velocidad, contracción y derrame.5.1.2. Flujo por un orificio en la pared de un tanque Supóngase un orificio de pequeña sección sobre la pared lateral de un tanquecon fluido a presión en el interior, por ejemplo con agua con la superficie libre a unacierta altura por encima del orificio, como se muestra en la Figura 1. Figura 1. Líneas de corriente en la descarga de un chorro desde un depósito por un orificio. Do= diámetro del orificio. Dvc= diámetro de la vena contracta. Debido a la presión interior, por el orificio se producirá una descarga de agua,tanto mayor cuanto mayor sea el tamaño del orificio, en la dirección perpendicular a lapared. Lógicamente el fluido sale a través de toda la sección del orificio, pero enrealidad la dirección de la velocidad en cada posición es distinta. En efecto, la forma delas líneas de corriente por el interior del tanque hace que en la sección del orificio elvector velocidad tenga en cada punto una componente radial hacia el eje. El conjuntode estas componentes hacen que la sección del chorro se reduzca en cierta medida traspasar el orificio, hasta que las componentes radiales se contrarrestan entre sí. La zonadel chorro en la que la sección es mínima se desgina como vena contracta. El efecto devena contracta es tanto más acusado cuanto más vivos sean los bordes del orificio por
  • 66. 5. DESCARGA POR UN ORIFICIO 61el interior del tanque, pues más dificultad tienen entonces las líneas de corriente paraadaptarse a la geometría. Atendiendo a la notación de la Figura 2, la carga H sobre el orificio se mide delcentro del orificio a la superficie libre del líquido. Se supone que la carga permanececonstante y que el depósito está abierto a la atmósfera. La ecuación de Bernoulli,aplicada desde un punto 1 en la superficie libre hasta el centro de la vena contracta,punto 2, establece que: v12 p1 2 v2 p + + z1 = + 2 + z2 (1) 2g ρ g 2g ρ g En este caso, las presiones p1 y p2, son iguales a la presión atmosférica local quese toma como referencia. Generalmente, la velocidad en la superficie libre, v1, essuficientemente pequeña, dada la gran sección del depósito, para poder despreciarlafrente al resto de términos. Si además tomamos el punto 2 como punto de referencia deelevación, entonces z1 − z2 = H . Con todo esto, la ecuación (1), se escribe como: 2 v2 H= ⇒ v2 = 2 gH (2) 2gque es la expresión del teorema de Torricelli. Figura 2. Chorro descargado a través de un orificio.
  • 67. 62 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS Torricelli (retrato en la Figura 3) nació en 1608 en Faenza (Italia). Estudió en elColegio Romano en Roma, donde posteriormente pasó a la Universidad de Sapienza.De 1641 a 1642 fue secretario de Galileo, ingresando posteriormente como matemáticoen la corte del gran duque Fernando II de Toscana (Florencia). Ocupó este puesto hastasu muerte en 1647. Figura 3. Retrato de Torricelli. Torricelli fue el primero en crear un indicador de vacío y en descubrir elprincipio del barómetro. En 1643 Torricelli propuso el experimento con el quedemostró que la presión atmosférica está determinada por la altura en que un fluidoasciende en un tubo invertido, sobre el mismo líquido. Este concepto contribuyó en eldesarrollo del barómetro. También comprobó que el flujo de un líquido por unaabertura es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del líquido, resultado esconocido ahora como el teorema de Torricelli. Estudió también la trayectoria de losproyectiles y su único trabajo publicado, Opera Geométrica (1644), incluyeimportantes tópicos sobre esta materia. Fue un experto en la construcción detelescopios. En realidad ganó mucho dinero con su destreza en este trabajo. La expresión (2) proporciona únicamente la velocidad teórica, ya que sedesprecian las pérdidas entre los dos puntos. El cociente entre la velocidad real, vR, y lateórica, v, recibe el nombre de coeficiente de velocidad Cv, es decir: vR Cv = (3) vy por lo tanto:
  • 68. 5. DESCARGA POR UN ORIFICIO 63 v2 R = Cv 2 gH (4) La descarga real, Q, del orificio es el producto de la velocidad real en la venacontracta por el área del chorro. El cociente entre el área del chorro en la venacontracta, A2, y el área del orificio, Ao, se llama coeficiente de contracción Cc: A2 Cc = (5) Aode modo que el área en la vena contracta es Cc Ao y por tanto, la descarga real es: Q = Cv Cc Ao 2 gH (6) Es habitual combinar los dos coeficientes anteriores en uno solo denominadocoeficiente de descarga CD: CD = Cv Cc (7)de modo que la descarga real o caudal viene dada por: Q = CD Ao 2 gH (8) Las pérdidas entre los puntos 1 y 2 no admiten un cálculo analítico, por lo queel coeficiente de velocidad Cv debe ser determinado experimentalmente. El proceso deobtención experimental de Cv, puede realizarse por medio de dos métodos diferentes: a) Medición directa de la velocidad real vR. La determinación de vR se realiza colocando un tubo de pitot en la vena contracta. b) Método de la trayectoria. Si se mide la posición de un punto corriente abajo sobre la trayectoria de un chorro libre desde la vena contracta (Figura 2), es posible calcular la velocidad real vR. Si se desprecia la resistencia del aire, la componente horizontal de la velocidad no cambia y por tanto una posición de coordenada x a lo largo del chorro (como el punto 3) verificará: vR t = x , donde t es el tiempo requerido por una partícula de fluido para viajar desde la vena contracta hasta el punto 3. Durante ese tiempo cada partícula habrá descendido una cierta distancia y bajo la acción de la gravedad; como la componente vertical de la velocidad inicial (en la vena contracta) es nula, se verificará que y = gt 2 2 . Si se elimina el tiempo t en estas dos expresiones, se obtiene: x vR = (9) 2y / g
  • 69. 64 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS Finalmente a partir de vR, es posible determinar el coeficiente de velocidad apartir de la ecuación (3). Al igual que ocurre con el coeficiente de velocidad, en general no se puedecalcular analíticamente la magnitud de la contracción, Cc, y es necesario recurrirnuevamente a métodos experimentales. El procedimiento en este caso consiste en lamedición directa del diámetro del chorro empleando para ello calibradores externos. Finalmente, una vez determinados los coeficientes de velocidad y decontracción, el coeficiente de descarga se determina aplicando la ecuación (7). La ecuación (8) es válida para cualquier tipo de orificio o boquilla, variandoúnicamente en cada caso los valores de los coeficientes de velocidad, de contracción yde descarga. En la Figura 4 se presentan los valores experimentales de estoscoeficientes obtenidos para tres tipos de boquilla de sección circular. a) Boquilla cónica: b) Boquilla de Borda: c) Boquilla de trompeta: Cv = 0.45 a 0.50 Cv = 0.98 Cv = 0.98 Cc = 1.0 Cc = 0.52 Cc = 1.0 CD = 0.45 a 0.50 CD = 0.51 CD = 0.98 Figura 4. Valores habituales de los coeficientes de velocidad, contracción y derrame para tres tipos de boquillas de sección circular En la Figura 4, la llamada boquilla de Borda está formada por un tubo quepenetra en el depósito y tiene aristas vivas. La boquilla de trompeta tiene un coeficientede descarga más favorable que la boquilla de tobera cónica, debido a su forma más
  • 70. 5. DESCARGA POR UN ORIFICIO 65bien fuselada, que ha eliminado las pérdidas de forma, quedando únicamente las desuperficie. De cualquier modo, téngase en cuenta que los valores de los coeficientes develocidad, contracción y descarga que aparecen en la Figura 4, son solo orientativos ydeben usarse con precaución, puesto que dependen de las dimensiones particulares decada boquilla. Los coeficientes para cualquier boquilla deben obtenerse in situmediante medidas experimentales. La pérdida de carga en el flujo en un orificio puede determinarse aplicando laecuación de energía con un término de pérdidas, hp, para la distancia entre los puntos 1y 2 (Figura 2): v12R p1 v2 p + + z1 = 2 R + 2 + z2 + hp (10) 2g ρ g 2g ρ g Considerando despreciable la velocidad en la superficie libre del fluido,sustituyendo el valor de la velocidad real en el punto 2 (ecuación 4) y tomando lapresión atmosférica local como presión de referencia y la cota geométrica del punto 2como referencia de elevación, a partir de la ecuación (10) se obtiene que las pérdidas decarga son: hp = H (1 − Cv2 ) (11)5.2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN La práctica se lleva a cabo en el banco de pruebas del laboratorio de Hidráulicade la E.T.S. de Ingenieros de Minas de Oviedo cuya fotografía se muestra en la Figura5. Consta de un depósito de planta rectangular abierto a la atmósfera por su partesuperior, y en una de sus paredes está situado el orificio donde se insertarán losdistintos tipos de boquillas, así como un tubo piezométrico con escala graduada en mmque permite determinar la altura de agua en el interior del mismo. Respecto a estaescala el centro del orificio se encuentra en la cota 94 mm, que habrá que restar de laaltura del agua en el depósito para obtener el desnivel entre ambos. En la Figura 6 sepresentan detalles de estos dos elementos. Durante el ensayo se tiene un chorro de agua continuo por el orificio. El aguavertida es recogida en un tanque inferior, y desde ahí es nuevamente enviada aldepósito superior (el del orificio) mediante una pequeña bomba centrífuga. Estedepósito superior dispone internamente de un rebosadero, de modo que el nivel de lasuperficie libre permanezca constante y lo mismo ocurra con el caudal vertido. Laaltura del rebosadero es modificable, de modo que se puede variar a voluntad el caudalde agua derramado.
  • 71. 66 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS Figura 5. Fotografía general del banco de pruebas Figura 6. Izquierda: posición del orificio de descarga, con compás de medida. Derecha: tubo piezométrico para la medida del nivel de agua en el depósito.
  • 72. 5. DESCARGA POR UN ORIFICIO 67 Tabla I. Diámetros de las boquillas empleadas. Esquema Nombre Diámetro Boquilla de Borda 9.6 mm Boquilla de tobera 10 mm cónica Boquilla de tobera 9.6 mm de trompeta Para la práctica se dispone de tres tipos diferentes de boquillas,correspondientes a las representadas en la Figura 4. El diámetro del orificio de cadauna de estas boquillas se indica en la Tabla I. Con vistas a determinar el coeficiente de contracción del chorro correspondientea cada una de las tres boquillas anteriores, será necesario determinar el diámetro de lavena contracta o simplemente diámetro contracto. Para ello, a la salida del orificiopracticado en la pared del depósito, se dispone de un compás de puntas y un calibre,como puede apreciarse en la fotografía de la izquierda de la Figura 6. De este modo,conocido el diámetro del orificio de cada boquilla y el diámetro de la vena contracta delcorrespondiente chorro, queda determinado en cada caso el coeficiente de contracción. A partir de la medida de la altura de agua en el depósito, se puede determinar lavelocidad teórica del fluido en el orificio mediante la aplicación del teorema deTorricelli (ecuación 2). La determinación de la velocidad real del fluido en el orificio,se realiza mediante el método de la trayectoria por aplicación de la ecuación (9). Parapoder obtener la velocidad a partir de esta ecuación, es necesario medir las distanciashorizontal, x, y vertical, y, correspondientes a la trayectoria del chorro (véase la Figura2). La Figura 7 muestra el sistema disponible para la determinación de estascoordenadas.
  • 73. 68 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS Figura 7. Detalle del sistema de determinación de las coordenadas del chorro. Como puede observarse en la Figura 7, para cada posición horizontal se tieneuna varilla que puede deslizarse hacia abajo hasta que intersecte la trayectoria delchorro que sale del depósito. De este modo, una vez que se establece un punto de cortesobre la trayectoria, se pueden medir las coordenadas vertical y horizontal con lasimple utilización de un metro. Así es posible calcular la velocidad real del chorro ymediante la aplicación de la ecuación (3), previa obtención de la velocidad teórica porel teorema de Torricelli, el correspondiente coeficiente de velocidad. Así pues, en este punto se dispone ya para cada boquilla de suscorrespondientes coeficientes de velocidad y de contracción, con lo que es posiblecalcular el coeficiente de descarga (ecuación 7) y el caudal de la descarga (ecuación 8).No obstante, para poder verificar la exactitud de los caudales experimentales obtenidosa partir de los coeficientes de velocidad y contracción, se dispone también de unmétodo volumétrico de medida del caudal real que circula por la instalación. Para elloel canal de desagüe que recoge el caudal derramado por el orificio termina vertiendo elagua sobre un pequeño tanque o cubeta de planta rectangular (de 300 mm × 450 mm),con salida bloqueable mediante una válvula (Figura 8). Conectado al fondo de lacubeta, hay un tubo piezométrico exterior, de modo que con una escala milimetrada sepuede obtener la altura de agua en la cubeta (Figura 9). Conocido el área horizontal de la cubeta, basta observar la evolución de laaltura de agua en la cubeta a lo largo del tiempo, con ayuda de un cronómetro, paradeterminar el caudal: QR = volumen / tiempo .
  • 74. 5. DESCARGA POR UN ORIFICIO 69 Figura 8. Detalle de las cubetas para medida del volumen de agua, con orificio de toma de presión al fondo Figura 9. Tubo piezométrico y escala para medida del nivel de agua en cubeta Finalmente, en la práctica se dispone también de un medidor Venturi, que sehabrá que calibrar para la obtención de su coeficiente de derrame. Los detalles decalibración de un Venturi han sido desarrollados en la práctica número 2 de “Medidadel Caudal”. Este Venturi tiene dos tomas de presión (a la entrada y en la garganta) conmangueras conectadas a un manómetro diferencial para determinar la diferencia de
  • 75. 70 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOSpresión entre ambos puntos, como puede apreciarse en la Figura 10. El diámetro deentrada al Venturi es 31.8 mm y el de la garganta es 15.9 mm. Figura 10. Detalle del Venturi y del manómetro diferencial5.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL El objetivo de esta práctica consiste en estudiar la descarga de agua desde undepósito, variando la forma y el tamaño de los orificios de salida.5.3.1. Determinación de los coeficientes de velocidad, contracción y descarga Se desea determinar experimentalmente el valor de los coeficientes develocidad, contracción y descarga para cada una de las boquillas a través de las cualesse produce la descarga de fluido del depósito. Colocando una de las boquillas en elorificio practicado en la pared del depósito, se mide la altura de agua, H, en el interiordel mismo, con respecto a la altura del orificio (94 mm sobre la escala empleada). Estaaltura de agua se mantiene constante durante cada ensayo, mediante un rebosaderointerno (de altura ajustable) del tanque de descarga. Para determinar el coeficiente de contracción de la boquilla, Cc, es necesariomedir el diámetro contracto del chorro de agua que sale a través de ella, mediante elcalibre y el compás colocados a tales efectos a la salida del orificio. Una vez obtenidoeste diámetro, el coeficiente de contracción se obtiene a partir de la ecuación (5).
  • 76. 5. DESCARGA POR UN ORIFICIO 71 El coeficiente de velocidad, Cv, se determinará mediante el método de latrayectoria. A partir de la altura de agua en el depósito y mediante la ecuación (2),puede determinarse la velocidad teórica de la vena contracta. A continuación esnecesario establecer un punto de la trayectoria del chorro de agua que sale por elorificio, empleando para ello el sistema de varillas de que se dispone en el dispositivoexperimental. Una vez determinado un punto de la trayectoria, se miden lascoordenadas vertical y horizontal que le corresponden. Dichas coordenadas permitencalcular la velocidad real de la vena contracta mediante la aplicación de la ecuación (9).Finalmente, el coeficiente de velocidad se obtiene a partir de la expresión (3). El coeficiente de descarga de la boquilla, CD, se obtiene a partir del producto delos valores del coeficiente de contracción y del coeficiente de velocidad (ecuación 7).Sin embargo, este coeficiente de descarga puede obtenerse también como el cocienteentre el valor del caudal real, que se mide directamente mediante el métodovolumétrico descrito en el apartado anterior y el valor del caudal teórico de la descarga,dado por: Qt = Ao 2 gH (12) De este modo, el coeficiente de descarga viene dado por: QR CD = (13) Qt Debe realizarse una comparación del valor del coeficiente de descarga obtenidopor ambos métodos, así como del caudal real medido directamente y del obtenido apartir de la ecuación (8) (en esta ecuación el coeficiente de descarga que se emplea esel obtenido como el producto del coeficiente de contracción y del coeficiente develocidad). El procedimiento se repite para las otras dos boquillas. El proceso que acaba de describirse, debe repetirse para otro valor de la alturade agua en el depósito, H, y los resultados se expondrán en forma de tabla en el informede la práctica.5.3.2. Calibración del Venturi El objeto de este apartado consiste en realizar una calibración del Venturi, esdecir, en la obtención del coeficiente de derrame del mismo. Para ello será necesariomedir el caudal, mediante el método volumétrico, y la diferencia de presiones entre laentrada y la garganta del Venturi, mediante el manómetro diferencial. Las fórmulas y elprocedimiento necesario para la calibración del Venturi pueden consultarse en el guión
  • 77. 72 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOScorrespondiente a la práctica de “Medida del Caudal”. Una vez calibrado el Venturi,puede emplearse el mismo como caudalímetro.5.3.3. Efecto del número de Reynolds Se pretende ahora estudiar la variación del coeficiente de descarga de unaboquilla frente al número de Reynolds del flujo. Para ello, se colocará la boquilla detobera cónica (diámetro del orificio de 10 mm) en el orificio situado en la pared deldepósito. Para diferentes alturas de agua en el depósito, por lo menos cinco distintas, sedeterminará el caudal teórico de la descarga y se medirá el caudal real mediante elVenturi. Comparando ambos caudales se obtendrá el coeficiente de descarga (ecuación13). El teorema de Torricelli proporciona la velocidad teórica de la vena contracta ycon esta velocidad es posible determinar el número de Reynolds del flujo: v2 D Re = (14) νdonde v2 es la velocidad de la vena contracta, D es el diámetro de la boquilla y ν es laviscosidad cinemática del agua. En el informe se incluirá una representación gráfica de la dependencia delcoeficiente de descarga frente al número de Reynolds.
  • 78. 6. VERTEDEROS 73 Práctica nº 6 : VERTEDEROS6.1 INTRODUCCIÓN6.1.1. Objeto y tipos de vertederos Un vertedero es un dique o pared que intercepta una corriente de un líquido consuperficie libre, causando una elevación del nivel del fluido aguas arriba de la misma.Los vertederos se emplean bien para controlar ese nivel, es decir, mantener un nivelaguas arriba que no exceda un valor límite, o bien para medir el caudal circulante porun canal. Como vertedero de medida, el caudal depende de la altura de la superficielibre del canal aguas arriba, además de depender de la geometría; por ello, un vertederoresulta un medidor sencillo pero efectivo de caudal en canales abiertos. Hacia estasegunda aplicación está enfocada la presente práctica. Los vertederos pueden clasificarse de la siguiente manera: a) Según la altura de la lamina de fluido aguas abajo, en vertederos de lámina libre si z´< zc (Figura 1a), y vertederos sumergidos si z´> zc (Figura 1b). b) Según la disposición en planta del vertedero con relación a la corriente, en vertederos normales (Figura 2a), vertederos inclinados (Figura 2b), vertederos quebrados (Figura 2c) y vertederos curvilíneos (Figura 2d).
  • 79. 74 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS c) según el espesor de la cresta o pared, en vertederos de cresta afilada (Figura 3a) y vertederos de cresta ancha (Figura 3b). H H z z zc z´ zc z´ (a) (b) Figura 1. a) Vertedero de lámina libre; b) Vertedero sumergido. (a) (b) (c) (d) Figura 2. a) Vertedero normal; b) Vertedero inclinado; c)Vertedero quebrado; d) Vertedero curvilíneo. Los vertederos de cresta afilada sirven para medir caudales con gran precisión,mientras que los vertederos de cresta ancha desaguan un caudal mayor. De aquí ladiferencia de aplicaciones entre ambos: los de cresta afilada se emplean para medircaudales y los de cresta ancha, como parte de una presa o de otra estructura hidráulica,para el control del nivel. En esta práctica se tratará con vertederos de cresta afilada. Dichos vertederos también se clasifican según la forma de la abertura en:rectangulares (Figura 4a), trapezoidales (Figura 4b), triangulares (Figura 4c) yparabólicos (Figura 4d).
  • 80. 6. VERTEDEROS 75 (a) (b) Figura 3. a) Vertedero de cresta afilada; b) Vertedero de cresta ancha. Figura 4. Vertedero (a) rectangular; (b) trapezoidal; (c) triangular; (d) parabólico. A su vez, los vertederos rectangulares se clasifican en vertederos sincontracción lateral, si el ancho del vertedero es igual al ancho del canal (Figura 5a) yvertederos con contracción lateral en caso contrario (Figura 5b). Para la medida de caudal con vertederos, la precisión de la medida solamente sepuede garantizar si el vertedero está bien ventilado en la zona de descarga, por el ladode aguas abajo. La ventilación o aireación tiene por objeto introducir aire bajo la láminade agua vertida, de modo que se encontrará a presión atmosférica tanto por arriba comopor abajo y así su situación será equivalente a la del chorro de una manguera, porejemplo: la presión estática de todos los puntos de la lámina de agua a partir de lavertical del vertedero será igual a la presión atmosférica (es decir, cero en términos depresión relativa). Si, en cambio, el vertedero no está ventilado, como las líneas de
  • 81. 76 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOScorriente se van curvando en torno a la cresta del vertedero, se produce una depresiónsobre la zona posterior de la pared del vertedero, con lo que el agua tiende a pegarse ala pared. El efecto final de esta succión es que en conjunto la lámina de líquido sobre elvertedero baja de nivel y, en definitiva, la relación entre el caudal y la altura de lasuperficie libre aguas arriba, H, se modifica. Para evitar este efecto no deseado bastacon disponer un tubo de suficiente diámetro entre la zona posterior de la pared delvertedero y la atmósfera exterior, pues la succión interior será suficiente para generaruna entrada de aire continua. (a) (b) Figura 5. Vertedero a) sin contracción lateral; b) con contracción lateral. En esta práctica se van a utilizar tres tipos diferentes de vertederos de crestaafilada: rectangular, triangular y rectangular contraído. A continuación se exponenlas principales características de cada uno de ellos.6.1.2. Vertedero rectangular sin contracción lateral Considérese el flujo a lo largo de un canal en las proximidades de un vertedero,con la notación que se muestra en la Figura 6, donde L es el ancho del vertedero. Aguas arriba del vertedero, punto 1, se supone que la velocidad es insignificante( v1 ≈ 0 ), y en el punto 2, en la vena contracta, se supone que las líneas de corriente sonparalelas, es decir, que no existe variación de la presión a través de la vena, por lo quela presión es la atmosférica ( p2 ≈ patm = 0 ). Planteando entonces la ecuación deBernoulli entre los puntos 1 y 2, y despreciando las pérdidas, se obtiene: p1 v2 + z1 = 2 + z2 (1) ρg 2g
  • 82. 6. VERTEDEROS 77 La geometría mostrada en la Figura 6 pone de relieve que: p1 +z =z ρg 1 0 (2) z0 − z 2 = h h p1 / ρ g 2 1 z0 z1 z2 h H dh L Y Figura 6. Variables de interés en el flujo sobre un vertedero rectangular. Sustituyendo las expresiones (2) en la ecuación (1), se obtiene la velocidad en lavena contracta: v2 = 2 gh (3) La descarga o caudal teórico diferencial, a través de un elemento de áreadiferencial de longitud L y espesor dh, como el mostrado en la Figura 6, viene dadapor:
  • 83. 78 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS dQth = v2 Ldh = L 2 gh dh (4) De este modo, el caudal teórico que fluye a través de todo el vertedero, seobtiene integrando la expresión (4): H 2 Qth = 2 g L ∫ h1/ 2 dh = L 2 g H 3/ 2 (5) 0 3 Cuando en la deducción de la ecuación (5) se tiene en cuenta el efecto decontracción de la vena y las pérdidas provocadas por la fricción, se obtiene la descargao caudal real. Dicho caudal real es menor que el teórico y puede calcularseintroduciendo en la expresión (5) un coeficiente corrector de descarga que se determinaexperimentalmente para cada vertedero: 2 QR = CD L 2 g H 3/ 2 (6) 3 Comparando las ecuaciones (5) y (6), es obvio que el coeficiente de descarga secalcula como el cociente entre el caudal real y el teórico: QR CD = (7) Qth Normalmente el coeficiente de descarga suele tomar valores comprendidosentre 0.64 y 0.79, y es tanto menor cuanto menor es H frente a la altura Y del vertedero,debido a efectos de vena contracta e incluso de tensión superficial. Una relaciónempírica de amplia aceptación para el coeficiente CD, atribuida a Rehbok, es: H C D = 0.602 + 0.0832 (8) Y6.1.3. Vertedero triangular Este tipo de vertedero se emplea con frecuencia para medir caudales pequeños(inferiores aproximadamente a 6 l/s). En la Figura 7 se muestra un esquema de lageometría de este tipo de vertedero. El ángulo θ puede tomar cualquier valor, aunquees muy frecuente el vertedero con θ = 90º . Procediendo de manera totalmente análoga al caso del vertedero rectangular sincontracción lateral, se obtiene que el caudal teórico diferencial vendrá dado por:
  • 84. 6. VERTEDEROS 79 x h dh H H-h θ Figura 7. Geometría del vertedero triangular. dQth = 2 gh dA (9) En este caso, como se pone de manifiesto en la Figura 7, el área del elementodiferencial del vertedero viene dada por la expresión: dA = 2 x dh θ x (10) tan = 2 H −h De este modo, el caudal teórico total a través del vertedero triangular, vendrádado por: θ H 8 θ ( H − h) h 2∫ Qth = 2 2 g tan 1/ 2 dh ⇒ Qth = 2 g tan H 5/ 2 (11) 0 15 2 Al igual que en el caso del vertedero rectangular, el caudal real se obtieneintroduciendo un coeficiente de descarga corrector en la expresión (10): 8 θ QR = CD 2 g tan H 5/ 2 (12) 15 26.1.4. Vertedero rectangular con contracción lateral Cuando el vertedero no abarca completamente el ancho del canal, como elvertedero de la Figura 8, la lámina de agua que fluye por encima del vertedero se ve
  • 85. 80 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOSsujeta a una contracción lateral aún más pronunciada que la correspondiente al anchodel propio vertedero. Ello es debido al efecto de vena contracta (véase la prácticanúmero 5), es decir, la mínima sección transversal de la lámina descargada, para la queel vector velocidad ya no tiene componente paralela al plano del vertedero, tiene lugar auna cierta distancia aguas debajo de la cresta del vertedero. En realidad este efecto devena contracta también afecta a la arista horizontal inferior del vertedero, peronormalmente en menor medida. El resultado del efecto de vena contracta es que, para unos valores fijos de laaltura H aguas arriba y del ancho L de vertedero, el caudal derramado decrece alaumentar la diferencia entre el ancho del canal y el ancho L. Aproximadamente se cumple que, si la distancia desde cada uno de los lados delvertedero a las paredes laterales del canal es al menos 2H, si la altura Y del vertedero esal menos 2H y el ancho del vertedero L es al menos 3H, entonces el ancho efectivo dela vena contracta, L’, que se emplearía en la ecuación (6) para obtener el caudal, es: L’ = L – 0.2·H (13) Es decir, bajo las condiciones indicadas, se tiene una contracción lateral de 0.1Hpor cada lado, como muestra la Figura 8. H 0.1H 0.1H L Figura 8. Vertedero rectangular con contracción lateral6.2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN La práctica se llevará a cabo en el banco de pruebas del laboratorio de Hidráulicade la E.T.S. de Ingenieros de Minas de Oviedo del que se ya se hizo para la prácticanúmero 5. Básicamente consiste en un canal de sección rectangular, con recorrido en
  • 86. 6. VERTEDEROS 81forma de U, que es alimentado desde un tanque con agua a nivel constante, y vierte elagua por un vertedero sobre una cubeta, de planta rectangular. El caudal circulante porel canal (es decir, por el vertedero) se puede regular mediante una válvula en elconducto de alimentación desde el tanque. Una pequeña bomba centrífuga se encargade elevar el agua vertida nuevamente hacia ese tanque, a fin de asegurar un suministrocontinuo. El nivel de agua constante en el tanque de alimentación se consigue medianteun rebosadero, de elevación graduable. La Figura 9 muestra una vista del canal. En laFigura 10 se aprecia la zona del vertedero, con un vertedero triangular instalado. Otrasvistas del equipo se encuentran en el texto de la práctica número 5. En el dispositivo se pueden colocar distintos tipos de vertedero; en particular, seestudiarán los casos de un vertedero rectangular sin contracción lateral, uno rectangularcon contracción lateral y uno triangular. Las principales características geométricas deestos vertederos se indican en la Tabla I. Tabla I. Características de los vertederos empleados Tipo de vertedero: Características geométricas: Rectangular Ancho del vertedero L = 223 mm Triangular Ángulo en el vértice θ = 90º Rectangular contraído Ancho del vertedero L = 110 mm Para medir el caudal de agua que realmente circula por el canal, se empleará elmétodo volumétrico: tras rebosar sobre el vertedero, el agua se puede acumular en unacubeta de planta rectangular (sección de 450 mm × 300 mm), a su vez conectada desdela base a un tubo piezométrico externo que permite conocer la altura del agua en lacubeta en cada instante. Basta pues con observar el aumento del nivel del agua en lacubeta en un cierto intervalo de tiempo (con cronómetro) para obtener finalmente elcaudal (como volumen / tiempo). En las Figuras 8 y 9 correspondientes a la prácticaanterior (número 5) se ofrecen vistas de la cubeta y el tubo piezométrico. Alternativamente también puede medirse el caudal vertido mediante un Venturisituado en el conducto de alimentación del canal desde el depósito elevado. El Venturiestá conectado a dos tubos piezométricos que permiten determinar las presiones a laentrada y en la garganta del mismo. En la Figura 10 de la práctica número 5 seencuentran vistas de detalle del Venturi y de los tubos piezométricos. Para poderobtener el caudal real de agua en el canal mediante el Venturi, es necesario que estépreviamente calibrado, es decir, que se conozca su coeficiente de derrame. Para detallesdel proceso de calibración de un Venturi consúltese el guión de la práctica número 2sobre “Medida del Caudal”.
  • 87. 82 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS Figura 9. Vista del canal y del depósito de alimentación de agua Figura 10. Vista de la descarga del canal sobre un vertedero triangular El método volumétrico para la medida del caudal real de la descarga resultaapropiado para los tres tipos de vertederos que se estudian en esta práctica. En cambio,el Venturi sólo puede emplearse para determinar el caudal real de la descarga en el casodel vertedero triangular y del vertedero rectangular contracto, puesto que en el caso delvertedero rectangular sin contracciones los caudales son demasiado elevados para elrango de medidas de los tubos piezométricos del Venturi.
  • 88. 6. VERTEDEROS 83 Figura 11. Vista del tubo de medida del nivel en el canal. A la derecha, detalle del calibre de gancho. Para establecer el caudal teórico o ideal se ha de medir la altura H de la láminade agua en el canal, aguas arriba del vertedero. Para ello se utiliza un tubo piezométricode gran sección (para minimizar los efectos de tensión superficial) que está conectado ala solera del canal por la parte inferior de la instalación, de modo que la altura del aguaen dicho tubo es la misma que en el canal. El nivel del agua en el tubo se puede medircon precisión de décimas de milímetro mediante un micrómetro acoplado a un gancho,que ha de deslizarse verticalmente hasta que el extremo del gancho roce la superficielibre del agua. Previamente se ha de establecer la referencia de alturas, buscando lasituación en que, sin circular caudal, esté el nivel del agua en el canal justo a la alturadel vertedero, es decir, en el límite antes de empezar a rebosar. La Figura 11 muestrauna vista del sistema descrito.6.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL El objetivo de la práctica es realizar la calibración de tres tipos diferentes devertederos con vistas a emplearlos como medidores de caudal cuando se colocan en uncanal abierto.
  • 89. 84 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS6.3.1. Calibración del Venturi Se apuntó ya en la sección anterior que para poder emplear el Venturi comomedidor del caudal real de agua circulante por el canal abierto, es necesario realizar unacalibración previa del mismo, es decir, es necesario calcular el coeficiente de descargadel Venturi. Dicho coeficiente de descarga tiene en cuenta el efecto de las pérdidas porfricción. Los detalles teóricos del proceso de calibración del Venturi puedenconsultarse en el guión correspondiente a la práctica de “Medida del Caudal”. Para realizar esta calibración deben establecerse al menos cinco caudalesdiferentes de agua en la instalación. Para cada uno de ellos se medirá la caída depresión entre la entrada y la garganta del Venturi, mediante los tubos piezométricosconectados a tales efectos en dichas posiciones. Al mismo tiempo, es necesario medirempleando el método volumétrico, descrito en la sección anterior, el caudal de aguacirculante en la instalación. De este modo se obtendrán cinco valores diferentes delcoeficiente de derrame del Venturi. La media de estos valores se tomará como elcoeficiente de derrame del Venturi para la realización del resto de la práctica.6.3.2. Calibración de los vertederos En este apartado se pretende realizar una calibración de tres tipos de vertederos,a saber: rectangular sin contracciones, triangular y rectangular contraído. La calibraciónconsiste en la obtención de los coeficientes de descarga correspondientes. Dichoscoeficientes se obtienen a partir de la ecuación (7), como el cociente entre el caudal realde la descarga y el caudal teórico de la misma. Por ello, es necesario determinar estoscaudales. Se considera que la descarga del chorro de agua a través de un vertedero escorrecta, cuando dicho chorro de agua está suficientemente separado de las paredes delvertedero. Si el chorro no se separa, debe variarse el caudal hasta que se consigan lascondiciones deseadas. En vertederos reales este proceso se consigue en ocasionesmediante ventilación. Para determinar los caudales teóricos es necesario medir la altura de la láminade agua, aguas arriba de los vertederos, mediante el calibre de gancho. Tal y como seexplicó en la sección anterior, debe ajustarse el cero en la escala del calibre para unnivel de agua a ras del vertedero. En el caso del vertedero rectangular sin contracciones laterales, el caudalteórico se obtiene entonces a partir de la ecuación (5), para el vertedero triangular apartir de la ecuación (10) y para el vertedero rectangular con contracciones laterales apartir de la ecuación (13).
  • 90. 6. VERTEDEROS 85 El caudal real se obtiene mediante medida directa, bien por el métodovolumétrico o bien con el Venturi. En el caso del vertedero rectangular sincontracciones laterales, el caudal real se obtendrá por el método volumétrico, y para losotros dos vertederos se podrá escoger entre ambos métodos. Una vez obtenidos el caudal real y el teórico, se calculan los correspondientescoeficientes de derrame de los vertederos. En el caso del vertedero triangular y delvertedero rectangular contraído, deben compararse los coeficientes de descargaobtenidos a partir del caudal real medido con el Venturi y los obtenidos a partir delcaudal real medido por el método volumétrico. Este procedimiento debe repetirse, para cada vertedero, al menos para tres alturasdiferentes de la lámina de agua aguas arriba de los vertederos.
  • 91. 7. CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS CENTRÍFUGAS 87 Práctica nº 7 : CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS CENTRÍFUGAS7.1. INTRODUCCIÓN7.1.1. Tipos de máquinas de fluidos Una máquina de fluidos es un dispositivo mecánico que transfiere energía deforma continua a un fluido en circulación, o bien que la extrae de él. Se utiliza eltérmino general de bomba para las máquinas que añaden energía al fluido; las máquinasque extraen energía se denominan turbinas o motores. Existen dos tipos básicos demáquinas de fluidos: de desplazamiento positivo y rotodinámicas. Las máquinas de desplazamiento positivo tienen unos elementos móviles que,durante su movimiento (bien alternativo o bien rotativo), van captando el fluido desdela zona de entrada en volúmenes aproximadamente estancos, que son progresivamentetransferidos hacia la zona de salida. Dentro de esta categoría se encuentran las bombasde pistones, de engranajes, de paletas, etc…, así como sus equivalentes en motoreshidráulicos o neumáticos, es decir, máquinas que extraen energía del fluido: motores depistones, engranajes, paletas, etc… Todas las bombas de desplazamiento positivosuministran un caudal con una cierta componente periódica, debido a la intermitenciaen el proceso cinemático de cierre de cavidades, traslación y expulsión del fluido. Engeneral estas máquinas son adecuadas para operar con líquidos o gases con caudalespequeños, pero con grandes presiones de servicio (de hasta miles de bares).
  • 92. 88 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS En las máquinas rotodinámicas, en cambio, la transferencia de energía estáasociada a la inducción de una variación en el momento cinético (o momento de lacantidad de movimiento) del fluido en su paso a través de la máquina. No hayvolúmenes cerrados: el fluido circula continuamente a través de un rotor, denominadorodete o impulsor, en el que se encuentran los álabes que delimitan los canales de paso.Estos álabes obligan a que la corriente se deflecte, variándose así el momento cinéticorespecto al eje de accionamiento y realizándose pues un trabajo. En general, a estasmáquinas les corresponde un caudal elevado en comparación con las de desplazamientopositivo, una presión de servicio más pequeña y un flujo menos fluctuante. Dentro deeste conjunto de máquinas se tienen las bombas propiamente dichas cuando se trata deimpulsar líquidos por conductos; cuando se trata de impulsar gases la máquina sedenomina ventilador si la presión de salida es baja (hasta unos 7 kPa), soplante parapresiones medias (hasta 300 kPa) y compresor para presiones superiores. Las máquinasrotodinámicas que extraen energía del fluido circulante por una conducción son lasturbinas, bien hidráulicas o bien de gas. Cuando la máquina no está entubada se tienenlas hélices (o bombas de propulsión), los aerogeneradores, etc… A su vez las máquinas rotodinámicas se acostumbran a dividir entre máquinasaxiales y máquinas centrífugas (o radiales), en función de la dirección principal seguidapor el flujo a través del rodete. En las axiales tanto la entrada como la salidacorresponden en la dirección axial. En una bomba centrífuga, en cambio, la direcciónde entrada es la axial, pero la de salida es la radial. Sobre estas últimas se centra elobjeto de esta práctica. Figura 1. Esquema de una bomba centrífuga típica.
  • 93. 7. CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS CENTRÍFUGAS 897.1.2. Bombas centrífugas o de flujo radial La Figura 1 muestra el esquema de una bomba centrífuga convencional, en susdos vistas principales (corte transversal al eje, y corte paralelo). El fluido entra alrodete de la bomba procedente desde la dirección axial, succionado por los álabes delrodete, los cuales le fuerzan a tomar un movimiento tangencial y radial hacia el exteriordel mismo. A la salida del rodete, el fluido es recogido por la voluta, que no es sino lacarcasa de la bomba en forma de conducto de sección creciente alrededor del rodete. Lavoluta termina en un tramo difusor (es decir, de sección creciente), donde el fluidoaumenta un poco más su presión a la par que pierde energía cinética. Normalmente los álabes de las bombas centrífugas están curvados hacia atráscomo en la Figura 1, es decir, en la salida están orientados en sentido contrario alsentido de rotación, pues de esa forma se favorece la circulación del fluido y essuficiente un número pequeño de álabes. En ventiladores, en cambio, es habitual el usode álabes curvados hacia adelante, pues así se necesita un menor tamaño para conseguiruna cierta presión de salida, aunque con peor rendimiento. Básicamente, las bombas aumentan la energía mecánica o carga del fluido entrelos puntos 1, en el ojo de entrada, y 2, en la salida. El cambio en la carga del fluido seacostumbra a expresar mediante o altura de elevación H, que es igual a la energía porunidad de peso de fluido circulante (se mide en J/N, es decir, en metros), y viene dadapor la expresión: 2 2 ⎛Q⎞ ⎛Q⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎛ p2 V22 ⎞ ⎛ p1 V12 ⎞ p2 − p1 ⎝ A2 ⎠ ⎝ A1 ⎠ H =⎜ + + z2 ⎟ − ⎜ + + z1 ⎟ = + + Δz = hs − h f (1) ⎝ ρ g 2g ⎠ ⎝ ρ g 2g ⎠ ρg 2g El término hs representa la energía cedida por la bomba al fluido, y hf es lapérdida de carga interna asociada a las tensiones viscosas. Cuando los diámetros de las tuberías de entrada y salida de la bomba soniguales, la altura de elevación queda reducida a: p2 − p1 Δp H= + Δz = + Δz (2) ρg ρg La potencia suministrada por la bomba al fluido es igual al producto del pesoespecífico por el caudal y por la altura manométrica: Pútil = Pu = ρ gQH (3)
  • 94. 90 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS Ésta es la potencial útil. La potencia necesaria para mover la bomba, es decir,la potencia consumida por la bomba, viene dada por: Pconsumida = PB = ωT (4)donde ω es la velocidad angular de giro y T es el par en el eje. Si no hubiese pérdidas,la potencia útil y la potencia consumida serían iguales, pero la potencia útil siempre esmenor, definiéndose el rendimiento η de la bomba como: Pu ρ gQH η= = (5) PB ωT El rendimiento es básicamente el resultado de tres factores: volumétrico,hidráulico y mecánico. El rendimiento volumétrico se define como: Q ηv = (6) Q + Qfdonde Qf es el caudal perdido debido a las fugas entre las holguras de la carcasa y elrotor. El rendimiento hidráulico viene dado por: hf ηh = 1 − =H/hs (7) hsen cuyo valor intervienen tres tipos de pérdidas: pérdidas por desprendimiento a laentrada debido a un acoplamiento imperfecto entre el flujo de entrada y el borde deataque de los álabes, pérdidas por fricción en los canales entre los álabes, y pérdidaspor recirculación del fluido a causa de un mal acoplamiento entre la corriente y ladirección de salida de los álabes. Finalmente, el rendimiento mecánico viene dadopor: P ηm = 1 − f (8) PBdonde Pf es la potencia perdida a causa de la fricción mecánica en los cojinetes y otrospuntos de contacto de la máquina. Por definición, el rendimiento total es simplementeel producto de estos tres rendimientos: η = ηvηhηm (9) Desde el punto de vista del flujo interior de la bomba, la altura de elevaciónproporcionada se puede expresar en función de las condiciones del flujo a través del
  • 95. 7. CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS CENTRÍFUGAS 91rodete, que es el elemento que realmente hace efectiva la transferencia de energía. Sinduda el flujo en el interior de una bomba es sumamente complejo: es tridimensional, noestacionario, con gradiente de presión adverso en los canales del rodete (lo que implicarápido crecimiento de la capa límite), con zonas de estela, con interacción entre partesmóviles y fijas, etc… Con todo, es razonable plantear un estudio simplificado,suponiendo flujo bidimensional idealizado en la entrada y en la salida del rodete. LaFigura 2 define un volumen de control que abarca la región del impulsor. El flujo pasaa través de la superficie de control de entrada y sale a través de la superficie de salida.Dentro del volumen de control se encuentran los álabes del impulsor girando alrededordel eje con una velocidad ω. Figura 2. Volumen de control para el flujo a través del rodete de una máquina centrífuga En la Figura 3 se muestran también los vectores de velocidad idealizados a laentrada (punto 1) y a la salida (punto 2): V es la velocidad absoluta del fluido, Vt es lacomponente tangencial de la velocidad absoluta, Vr es la componente radial de lavelocidad absoluta, u = ω r es la velocidad circunferencial del álabe siendo r el radio dela superficie de control, y v es la velocidad relativa del fluido con respecto al álabe. Elángulo entre la velocidad absoluta del fluido y la velocidad circunferencial del álabe, sedesigna por α, y el ángulo entre la velocidad relativa del fluido y la velocidadcircunferencial del álabe, se designa por β. Se supone que la velocidad relativa siemprees tangente al álabe, es decir, que el fluido es guiado perfectamente a través delvolumen de control (equivalente a que hubiera un número infinito de álabes, pero deespesor infinitesimal).
  • 96. 92 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS Figura 3. Triángulos de velocidad a la entrada y salida del rodete de de una máquina centrífuga El teorema de momento de la cantidad de movimiento, para flujo continuo, seescribe como sigue: ∑ M = ∫ ρ ( r × V ) (V r ⋅ dA ) (10) S .C .y esta expresión, aplicada al volumen de control de la Figura 2, proporciona: T = ρ Q ( r2Vt 2 − rVt1 ) 1 (11)donde T es el par de torsión que actúa en el fluido dentro del volumen de control, y ellado derecho de la ecuación ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.representa el flujo de cantidad de movimiento angular a través del volumen de control.La potencia consumida por la bomba viene dada por:
  • 97. 7. CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS CENTRÍFUGAS 93 PB = ωT = ρ Q ( u2Vt 2 − u1Vt1 ) (12)De acuerdo con el triángulo de vectores de velocidad de la Figura 3,Vt = V cos α = Vr cot α , de modo que la ecuación (12) se escribe como: PB = ρ Q ( u2V2 cos α 2 − u1V1 cos α1 ) = ρ Q ( u2Vr 2 cot α 2 − u1Vr1 cot α1 ) (13) Utilizando la ecuación de la continuidad, se pueden determinar las componentesradiales de la velocidad en las secciones de entrada y salida como función del caudal: Q = 2π r1bVr1 = 2π r2b2Vr 2 1 (14)donde b1 y b2 son las anchuras del álabe a la entrada y a la salida (véase la Figura 2). En la situación idealizada, en la que no se producen pérdidas, la potenciaconsumida por la bomba debe ser igual a la potencia suministrada al fluido: Pu = PB ⇒ ρ gQH = ωT ⇒ H = ωT ( u V cos α 2 − u2V2 cos α 2 ) ⇒H = 2 2 (15) ρ gQ gque es la expresión de la ecuación de Euler para una bomba. Leonhard Euler (1707-1783), cuyo retrato aparece en la Figura 4, fue unmatemático suizo nacido en Basilea. Las facultades que, desde temprana edad,demostró para las matemáticas le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli,Johann, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en laUniversidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institución en 1723, cuatro años mástarde fue invitado personalmente por Catalina I de Rusia para convertirse en asociadode la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidió con otro miembro dela familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relevó en la cátedra de matemáticas. Hasta 1741, año en que por invitación de Federico el Grande se trasladó a laAcademia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólogracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos dedemostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos), que convirtió enuna herramienta de fácil aplicación a problemas de física. Con ello configuró en buenaparte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría luegocon otros resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferencialeslineales), además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas ylogarítmicas (introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmosnaturales).
  • 98. 94 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS En 1748 publicó la obra Introductio in analysim infinitorum, en la que expuso elconcepto de función en el marco del análisis matemático, campo en el que asimismocontribuyó de forma decisiva con resultados como el teorema sobre las funcioneshomogéneas y la teoría de la convergencia. En el ámbito de la geometría desarrollóconceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de untriángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptarratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominadaidentidad de Euler; a él se debe la moderna tendencia a representar cuestionesmatemáticas y físicas en términos aritméticos. Figura 4. Retrato de Leonhard Euler En el terreno del álgebra obtuvo asimismo resultados destacados, como el de lareducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y el de la determinación de laconstante que lleva su nombre. A lo largo de sus innumerables obras, tratados ypublicaciones, introdujo gran número de nuevas técnicas y contribuyó sustancialmentea la moderna notación matemática de conceptos como función, suma de los divisoresde un número y expresión del número imaginario raíz de menos uno. También se ocupóde la teoría de números, campo en el cual su mayor aportación fue la ley de lareciprocidad cuadrática, enunciada en 1783. A raíz de ciertas tensiones con su patrónFederico el Grande, regresó nuevamente a Rusia en 1766. De sus trabajos sobre mecánica destacan, entre los dedicados a la Mecánica deFluidos, la formulación de las ecuaciones que rigen su movimiento y su estudio sobre la
  • 99. 7. CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS CENTRÍFUGAS 95presión de una corriente líquida, y, en relación a la mecánica celeste, el desarrollo deuna solución parcial al problema de los tres cuerpos, así como la determinación precisadel centro de las órbitas elípticas planetarias, que identificó con el centro de la masasolar.7.1.3. Curvas características de bombas y reglas de semejanza La teoría desarrollada en la sección anterior está muy simplificada, puesto queno se tienen en cuenta los efectos viscosos y se supone una situación de flujoidealizado. La forma más fiable de obtener las curvas características reales de unabomba se apoya en los ensayos en un banco de pruebas adecuado. Bomba a 1.500 rpm 15 100 12 80 Altura (m), Potencia (kW) Rendimiento (%) 9 60 6 40 3 20 0 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Caudal (m^3/h) Altura Potencia Rendimiento Figura 5. Curvas características de una bomba centrífuga convencional. Las curvas características se trazan casi siempre para una velocidad de giro de labomba, ω, constante. El caudal, Q, se toma como la variable independiente básica, ycomo variables dependientes suelen tomarse la altura manométrica H, la potenciaconsumida por la bomba PB, y el rendimiento η. La Figura 5 muestra las curvascaracterísticas típicas de una bomba centrífuga para una cierta velocidad de giro fija.Como se observa, la altura manométrica es alta y aproximadamente constante para
  • 100. 96 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOScaudales bajos, y después decrece a medida que aumenta el caudal. La curva depotencia crece monótonamente con el caudal. El rendimiento crece hasta alcanzar unmáximo a un cierto caudal que se denomina caudal de diseño. El desarrollo y utilización de bombas en la práctica de ingeniería se habeneficiado en gran medida de la aplicación del análisis dimensional. Las variables defuncionamiento de mayor interés en una bomba son la potencia consumida PB, laenergía por unidad de peso comunicada al fluido H (o la energía por unidad de masa,H·g) y el rendimiento η. Las variables de las que dependen las tres anteriores puedenagruparse de la siguiente manera: • Propiedades del fluido: densidad ρ y viscosidad μ. • Características del flujo a través de la bomba: caudal Q. • Características de la propia máquina: velocidad de giro ω, diámetro característico D y rugosidad absoluta del material ε. Las variables de funcionamiento se pueden convertir en variablesadimensionales utilizando el teorema de Buckingham, de modo que aparecen tresparámetros nuevos de funcionamiento, adimensionales, en las bombas: PB • Cifra de potencia: . ρω 3 D 5 gH • Cifra de presión: . ω 2 D2 • Cifra de rendimiento: η. En bombas, para regímenes de flujo a números de Reynolds altos, como eshabitualmente el caso, el efecto de las fuerzas viscosas pasa a ser independiente delpropio número de Reynolds. Así pues, para unas formas geométricas dadas (incluida larugosidad), las tres variables adimensionales de funcionamiento dependerán Qúnicamente de la cifra de caudal adimensional, : ω D3 PB ⎛ Q ⎞ gH ⎛ Q ⎞ ⎛ Q ⎞ = f1 ⎜ 3 ⎟ , 2 2 = f2 ⎜ 3 ⎟ , η = f3 ⎜ 3 ⎟ (16) ρω D 3 5 ⎝ ωD ⎠ ω D ⎝ ωD ⎠ ⎝ ωD ⎠ Por lo tanto, dadas dos bombas con las mismas formas geométricas, es decir,con la misma proporción entre cualesquiera dos longitudes (se les llama bombasgeométricamente semejantes), con un punto de funcionamiento tal que las cifras decaudal sean las mismas, entonces las cifras de presión, potencia y rendimiento tambiénserán iguales. Se dice entonces que esos dos puntos de funcionamiento son puntossemejantes u homólogos, y entre ellos se verificarán las leyes de semejanza, que son:
  • 101. 7. CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS CENTRÍFUGAS 97 Q1 Q2 = ω1 D1 ω2 D2 3 3 gH1 gH = 2 22 ω1 D1 ω2 D2 2 2 (17) PB1 PB 2 = ρ1ω1 D1 ρ 2ω2 D2 3 5 3 5donde los subíndices 1 y 2 denotan los estados de operación de cada máquina entre losque se establece la semejanza. Al igual que en el caso de los parámetros de funcionamiento con dimensionesde las bombas, también pueden obtenerse las curvas características de una bomba enfunción de parámetros adimensionales. En este caso se representan la cifra de potencia,la cifra de presión y la cifra de rendimiento frente a la cifra de caudal. Las curvascaracterísticas adimensionales permiten representar de un modo sencillo lascaracterísticas de todas las bombas de una misma familia. Los parámetrosadimensionales anteriores forman la base para predecir los cambios en elfuncionamiento que resultan de los cambios en el tamaño de la bomba, la velocidad deoperación o el diámetro del impulsor. La situación más simple corresponde a cuando sólo cambia la velocidad deaccionamiento de la bomba. En dicha situación se asegura la similitud geométrica. Lasemejanza completa se tiene si se igualan además los coeficientes de flujo, como seexplicó antes. Para este caso de cambio de velocidad con diámetro fijo, se tendría que: 2 3 Q2 ω2 H 2 ⎛ ω2 ⎞ P ⎛ω ⎞ = , = ⎜ ⎟ , B2 = ⎜ 2 ⎟ (18) Q1 ω1 H1 ⎝ ω1 ⎠ PB1 ⎝ ω1 ⎠ De este modo, cuando se cumplen las leyes de semejanza, las correspondientescurvas características adimensionales, deben ser coincidentes para diferentesvelocidades de accionamiento.7.2. DESCRIPCIÓN DE LA INSTALACIÓN La práctica se lleva a cabo en el banco de ensayo de bombas del laboratorio deHidráulica de la E.T.S. de Ingenieros de Minas de Oviedo, cuya fotografía se muestraen la Figura 6. En este dispositivo se tienen dos bombas centrífugas que puedenconectarse bien en serie o bien en paralelo, aunque en esta práctica nos centraremosúnicamente en la caracterización de una de ellas. Las tuberías colocadas en el tramo deaspiración (antes de la bomba) y en el tramo de impulsión (después de la bomba),
  • 102. 98 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOStienen el mismo diámetro, por lo que en este caso, la altura de elevación proporcionadapor la bomba, viene dada por la suma de la diferencia de presiones y la diferencia decotas ( Δz = 100 mm ) entre los puntos de entrada y salida: Δp H= + Δz (19) ρg Para medir la diferencia de presiones entre la entrada y la salida de la bomba, sedispone de dos manómetros Bourdon, uno colocado en la zona de aspiración y otrocolocado en la zona de impulsión. En realidad, en toda la zona de aspiración, la presiónes negativa, es decir, por debajo de la presión atmosférica, por lo que en realidad elmanómetro situado a la entrada de la bomba es un vacuómetro que está graduado en cmde mercurio. El manómetro situado en la zona de salida está graduado en m.c.a. Por sernegativa la presión en la zona de aspiración, las presiones medidas con ambosmanómetros deben sumarse en lugar de restarse. Un detalle de estos manómetrosaparece en la Figura 7. Figura 6. Vista del banco de ensayo de bombas.
  • 103. 7. CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS CENTRÍFUGAS 99 Figura 7. Detalle de los manómetros de aspiración e impulsión (de dos bombas). En la instalación hay colocadas varias llaves que permiten variar el caudal deagua circulante. El proceso de regulación del caudal debe realizarse con precauciónpara evitar que la bomba se descargue en el tramo de aspiración (descebe). Para lamedida del caudal se emplea un método volumétrico, es decir, se dispone de undepósito con planta rectangular de área 0.395 m2 , que lleva adosado en uno de suslaterales una escala graduada en milímetros mediante la cual se determina la altura deagua en el depósito. De este modo, se determina el volumen de fluido en el depósito, deforma que midiendo el tiempo necesario para alcanzar un determinado volumen, seobtiene el caudal de circulación de agua en la instalación. En el dispositivo experimental se encuentra colocado un armario de control desdeel que se regula la puesta en marcha y la parada de la bomba, así como la velocidad degiro de la misma. No obstante, en cada bomba se ha acoplado un tacómetro que permitemedir el número de vueltas a las que gira la bomba, de modo que si se cuentan lasvueltas que se realizan en un minuto, puede determinarse la velocidad de giro en rpm.Es aconsejable asegurarse de que la velocidad de giro que se impone en el armariocoincide con el número de revoluciones por minuto que mide el tacómetro. En laFigura 8 se muestra un detalle tanto del armario como del tacómetro de una de lasbombas (acoplado a la zona posterior del motor eléctrico). Para determinar la potencia consumida por la bomba, es necesario medir el parde giro del motor que la acciona. Dicho motor no está anclado, como sería el casohabitual en bombas ubicadas en instalaciones reales. De este modo, al no estar ancladoel motor, es necesario ejercer una fuerza de reacción en sentido contrario para
  • 104. 100 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOScompensar el par de giro, de forma que el motor quede nivelado. Midiendo la fuerza dereacción y conociendo la longitud del brazo del motor (en este caso el brazo esd = 0.18 m ), es posible determinar el par mediante la simple operación: T = F ⋅d (20) A tales efectos, en la instalación existe un dinamómetro conectado al motor, undetalle del cual aparece en la Figura 9. Mediante el dinamómetro, puede determinarsela fuerza de reacción que compensa el par de giro, en kilos. Figura 8. Vistas del armario de control y del tacómetro7.3. OBJETIVOS Y RUTINA EXPERIMENTAL El objetivo de la práctica consiste en la obtención de las curvas características,tanto con dimensiones como adimensionales, de una bomba centrífuga que puede seraccionada a diferentes velocidades de giro.7.3.1. Obtención de las curvas características de la bomba El objetivo de este apartado es la obtención, para tres velocidades deaccionamiento de la bomba diferentes, de las siguientes curvas: a) Curva de la altura de elevación, H, en función del caudal. b) Curva de la potencia consumida por la bomba, PB, en función del caudal.
  • 105. 7. CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS CENTRÍFUGAS 101 Figura 9. Detalle del dinamómetro para la medida del par en el eje c) Curva de rendimiento, η, en función del caudal. Para la obtención de estas curvas, se comenzará accionando la bomba a unadeterminada velocidad de giro que se establecerá mediante los controles del armario.Mediante el tacómetro se comprobará que la velocidad de giro es correcta. A continuación se establecerá un caudal de circulación de agua en lainstalación. El caudal se regulará mediante las llaves existentes para tales efectos en eldispositivo, y se medirá mediante el método volumétrico descrito en la sección anterior. Una vez establecido el caudal de agua circulante, se procede a la determinaciónde los parámetros de funcionamiento. Para determinar la altura total de elevación(ecuación 2) se mide la diferencia de presiones, entre la entrada y la salida de la bomba,mediante los manómetros Bourdon conectados en dichas posiciones. Para determinar la potencia consumida por la bomba, se mide mediante eldinamómetro la fuerza de reacción que compensa el giro del motor. Aplicando laecuación (20) se obtiene el par de giro del motor, y la potencia se calcula entonces
  • 106. 102 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOSmediante la ecuación (4). Finalmente, el rendimiento se calcula como el cociente entrela potencia útil y la potencia consumida por la bomba, según las ecuaciones (3-5). Una vez determinados los parámetros de funcionamiento para el primer caudalde circulación de agua en la instalación, se establece otro caudal de agua circulante y serepite el procedimiento anterior. Será necesario, al menos, obtener los parámetros defuncionamiento de la bomba para seis caudales diferentes. La representación gráfica de las curvas de funcionamiento se realizará tal ycomo se indica en la Figura 5. Todo el proceso anterior debe repetirse para otras dosvelocidades de accionamiento de la bomba, de manera que el resultado de este apartadoserá la obtención de tres curvas características de la bomba, una para cada velocidad degiro.7.3.2. Curvas características adimensionales A partir de los parámetros de funcionamiento de la bomba obtenidos en elapartado anterior, para cada una de las velocidades de accionamiento de la bomba, debehacerse una representación gráfica de las curvas características adimensionales, esdecir, de la cifra de presión, de la cifra de potencia y del rendimiento, frente a la cifrade caudal. A continuación deben representarse, en la misma gráfica, las curvasadimensionales correspondientes a cada velocidad de giro de la bomba, con el objeto decomprobar que sean coincidentes por cumplirse las leyes de semejanza.
  • 107. ANEXO: PROBLEMAS DE RESOLUCIÓN INDIVIDUAL 103 ANEXO:PROBLEMAS DE RESOLUCIÓN INDIVIDUAL RELACIONADOS CON LAS PRÁCTICAS
  • 108. 104 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS PROBLEMA Nº 1: VISCOSÍMETRO ROTATIVO La figura muestra un viscosímetro giratorio concéntrico adecuado paralíquidos. Consta de un tanque cilíndrico A rodeado exteriormente por un fluido contemperatura constante, el cual se hace rotar a una cierta velocidad N. Dentro del tanqueA se encuentra el tanque B, de radio exterior r1 que es ligeramente menor que el radiointerno r2 del tanque A. El cilindro B está separado del fondo del tanque A unadistancia ε. Entre A y B se localiza el fluido cuya viscosidad desea medirse. Debido ala acción viscosa el tanque A hace que el tanque B gire con el A; sin embargo, unresorte torsional en la parte superior del B resiste esta rotación, de manera quedependiendo de N, la viscosidad μ del fluido y las dimensiones geométricas, el cilindroB gira un ángulo fijo, al cual le corresponde un cierto par de torsión indicado medianteuna aguja. Suponiendo que los perfiles de velocidad son lineales tanto en el intersticiode la base como en el lateral, obténgase la viscosidad del líquido.
  • 109. ANEXO: PROBLEMAS DE RESOLUCIÓN INDIVIDUAL 105 PROBLEMA Nº 2: FUERZAS DE PRESIÓN SOBRE VÁLVULA La figura muestra un tramo de una tubería llena de agua a 20 ºC con una válvulahidráulica cuya apertura se puede controlar con un pequeño émbolo. La válvulapropiamente dicha AB, de área S1, se apoya en un reborde saliente que deja libre el áreaS2 de cierre. La válvula va unida al pequeño émbolo (de área S3) por medio de unavarilla (sección S4). Todas estas secciones son circulares. Para el presente ejercicio,sobre la cara izquierda del émbolo actúa la presión atmosférica (a través del conductoC), mientras que sobre su cara derecha (anular) actúa la misma presión p (constante)del agua en esa zona de la tubería. Esta presión p se puede medir mediante unmanómetro piezométrico inclinado, que cuenta con un depósito de mercurio de seccióntransversal n veces mayor a la de las columnas, y con una columna abierta a laatmósfera e inclinada un ángulo ϕ respecto a la horizontal; sobre esta columnainclinada, una escala indica que el mercurio ha recorrido una longitud L respecto a laposición correspondiente a p=Patm. Un segundo manómetro diferencial con mercurio,con tomas de presión a ambos lados de la válvula AB, muestra una diferencia de alturaentre columnas H. Si pS es la presión a la salida de la válvula, determínense los valores de laspresiones p y pS (en kPa) y de la altura H (en mm) para los siguientes dos casos: a) Si la válvula está cerrada, máxima presión pS para que la válvula abra. b) Si la válvula está abierta, mínima presión pS para que la válvula cierre. Supóngase que, cuando la válvula está cerrada, a través de la superficie decontacto entre asiento y válvula la presión varía linealmente respecto a la posiciónradial entre los valores p y pS. Para el resto de las secciones del conducto admítase quela distribución de presión es uniforme. Supóngase también que las fuerzas de fricciónen los deslizamientos de válvula y émbolo son despreciables.
  • 110. 106 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS PROBLEMA Nº 3: CONDUCTO CON VENTURI Y PITOT Por el conducto de diámetro D de la figura circula en sentido ascendente aire a20 ºC. En un tramo del conducto se ha intercalado un vénturi conectado a un tubopiezométrico diferencial con agua; el diámetro en el estrechamiento es d. En otro tramode la conducción se ha introducido un tubo de Pitot-estático justo hasta el eje de latubería, cuyas tomas de presión van conectadas a un micromanómetro diferencial. Ésteconsiste en dos depósitos de sección horizontal SD, que contienen un aceite de densidadρA, unidos mediante una manguera de sección SM con agua; se sabe que cuando no haydiferencia de presión entre las dos tomas del micromanómetro el nivel del aceite enambos depósitos es el mismo. Las diferencias de nivel entre columnas de agua de losmanómetros conectados al vénturi y al tubo de Pitot son HV y HP respectivamente. Si elvénturi tiene un coeficiente de derrame CD y la velocidad en el eje de la tubería es iguala K veces la velocidad media, determínense el caudal Q (en m3/s) circulante y la alturaentre columnas del micromanómetro HP (en mm).
  • 111. ANEXO: PROBLEMAS DE RESOLUCIÓN INDIVIDUAL 107 PROBLEMA Nº 4: LÍMITE DE CAVITACIÓN EN VENTURI La figura muestra un tramo de un circuito hidráulico por el que se suministraagua a la temperatura T desde un depósito presurizado (a la presión relativa PD). Paramedir el caudal se dispone de un tubo Venturi con tomas de presión conectadas a dostubos piezométricos independientes con mercurio; cuando no circula agua, el nivel delmercurio en las columnas abiertas a la atmósfera de ambos manómetros se encuentra auna altura h0 =500 mm por debajo del eje de la tubería. Suponiendo que el coeficientede derrame del Venturi es CD=0.94, determínese el máximo caudal Q (en m3/h) de aguaque puede circular por la instalación para que no haya cavitación en la garganta delVenturi, e indíquense las alturas h1 y h2 (en mm) que, respecto al eje de la tubería,alcanzaría el mercurio en las columnas conectadas a la atmósfera de ambosmanómetros piezométricos, para ese máximo caudal (para Q=0 se cumple queh1=h2=h0). Otros datos son: dT : diámetro de la conducción dG : diámetro de la garganta del Venturi l1, l2: longitudes de tramos horizontal y vertical hasta el Venturi (ver figura) ε : rugosidad de la superficie interior de la tubería = 1 mm zD : altura de la superficie libre en el depósito = 0.6 m Patm : presión atmosférica = 1 bar Nota 1: deberá realizarse una búsqueda bibliográfica de las propiedades físicasdel agua y mercurio a la temperatura T. Nota 2: para evaluar las pérdidas de carga en la tubería, supóngase régimen deflujo turbulento completamente desarrollado. l1 h1 h2 pD l2 dT zD Q
  • 112. 108 PRÁCTICAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS PROBLEMA Nº 5: VERTEDERO Y CANAL Por un canal de sección rectangular y ancho b fluye un cierto caudal Q deagua. En cierta posición del canal el agua rebosa sobre un vertedero rectangular conaireación lateral. Este vertedero tiene el mismo ancho b del canal, y una altura Z sobreel lecho. El nivel de la superficie libre aguas arriba del vertedero es H, referida a lacresta del vertedero. El número de Froude de la corriente aguas abajo es Fr. Larugosidad de las superficies del canal es ε. Determínense: a) Caudal Q circulante (en m3/s). b) Altura y de la superficie libre aguas abajo del vertedero (en m). c) Empuje horizontal que soporta el vertedero (en ton.). d) Radio hidráulico RH del canal aguas abajo del vertedero (en m). e) Pendiente φ del canal aguas abajo del vertedero (en %0). H Q Z Q y
  • 113. ANEXO: PROBLEMAS DE RESOLUCIÓN INDIVIDUAL 109 PROBLEMA Nº 6: SEMEJANZA EN BOMBA CENTRÍFUGA En una cierta explotación minera se dispone de una bomba de achique de altapresión, para la que el fabricante indica una curva característica de altura de elevación-caudal (cuando se acciona a la velocidad N1) dada por la expresión: H=A-B·Q2 (con Hen m y Q en m3/s). A esa misma velocidad la potencia consumida por esta bomba enfunción del caudal se aproxima por: WC=C+D·Q. Se decide aprovechar dicha bomba para elevar hasta la superficie del terreno alagua que brota continuamente desde una capa a una profundidad Z. Para ello se disponede una conducción de diámetro D (tanto en aspiración como en impulsión), unalongitud equivalente total L y una rugosidad promedio ε. La bomba, situada muy cercadel punto de succión (se excluye pues la posibilidad de cavitación), se va a accionarcon un motor que gira a la velocidad N2. Se pide: a) Curva característica H-Q de la bomba a la velocidad N2. b) Caudal Q (en m3/s) de agua enviada a la superficie. c) Potencia WU (en kW) entregada por la bomba al agua, potencia WC (en kW) consumida por la bomba y rendimiento total de la bomba ηB.
  • 114. ANEXO: PROBLEMAS DE RESOLUCIÓN INDIVIDUAL 111 BIBLIOGRAFÍA• Ballesteros, R. “Turbulencia”, Área de Mecánica de Fluidos, Universidad de Oviedo. 2003.• Blanco, E., Fernández, J., y Velarde, S. “Sistemas de Bombeo”. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Oviedo. 1994.• Blevins, R.D. “Applied Fluid Dynamics Handbook”. Van Nostrand Reinhold. New York. 1984.• Fox, R.W. y McDonald, A.T. “Introducción a la Mecánica de Fluidos” (4ª edición). McGraw–Hill. México D.F. 1995.• Gerhart, P., Gross, R., y Hochstein, J. “Fundamentos de Mecánica de Fluidos” (2ª edición). Addison-Wesley Iberoamericana. Wilmington (EEUU). 1995.• Massey, B.S. “Mechanics of Fluids” (7th edition). Spon Press. 1998.• Potter, M.C., y Wiggert, D.C. “Mecánica de Fluidos” (3ª edición). Thompson, México D.F. 2002.• Rott, N. “A note on the history of the Reynolds number”. Annual Revews of Fluid Mechanics. 1990.• Shames, I.H. “Mecánica de los Fluidos” (3ª edición). McGraw–Hill. Santa Fé de Bogotá. 1995.• Streeter, E.B., Wylie, E.B., y Bedford, K.W. “Mecánica de los fluidos” (9ª edición), McGraw–Hill Interamericana. 2000.• Velarde, S., González, J., y Fernández, J. “Prácticas de Máquinas Hidráulicas”. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Oviedo. 1999.• White, F.M. “Mecánica de Fluidos”. McGraw–Hill. México D.F. 1988.