Sistemas numéricos: Evolução
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Sistemas numéricos: Evolução

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Síntese elaborada por Celeste Duque, onde se procuram as origens do conceito de número e contagem. Apresentam-se alguns dos sistemas numéricos da antiguidade, tais como: Babilónia, Maia, Egípcio,......

Síntese elaborada por Celeste Duque, onde se procuram as origens do conceito de número e contagem. Apresentam-se alguns dos sistemas numéricos da antiguidade, tais como: Babilónia, Maia, Egípcio, Romanos, Hindu/Árabe. Sistemas de contagem: o Ábaco...

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  • 1. Sistemas Numéricos: Evolução Inscrição numa fonte São Pedro das Águias (velhas), Granjinha Escrita egípcia Papiro Rhind, Museu de Londres. Contando nas cavernas,. Foto: © Alek Baptista/MUHPAN.
  • 2. Introdução: origem dos números 1. Como surgiram os números? 2. Quais as eram as primeiras formas de contagem? 3. Como é que os números foram criados, ou, será que eles sempre existiram? l Pintura Rupestre © Celeste DuqueApril 1, 2010 2
  • 3. Introdução: origem dos números – Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza - povos recolectores, porque viviam da pesca, caça e recolha de frutos e raízes... l © Celeste DuqueApril 1, 2010 3
  • 4. Introdução: origem dos números – A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das actividades humanas, quando deixou de ser nómada: • E sentiu necessidade de se fixar em determinada área geográfica fosse pela abundância de recursos ou por uma questão de melhor sobreviver aos sucessivos l ataques de tribos inimigas... © Celeste DuqueApril 1, 2010 4
  • 5. Introdução: origem dos números – Ao tornar-se sedentário viu-se na necessidade de efectuar trocas de produtos. • Teve de encontrar uma forma de contar os objectos que iria trocar por outros • Foi nessa altura que a humanidade começou a construir o conceito de número matemático. l © Celeste DuqueApril 1, 2010 5
  • 6. Introdução: origem dos números – As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominada Oriente Médio. • A agricultura passou então a exigir o conhecimento – do tempo, – das estações do ano le – das fases da Lua e – assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário.April 1, 2010 © Celeste Duque Calendário Lunar 6
  • 7. Sistemas numéricosDiversas civilizações da Antiguidadedesenvolveram os seus próprios sistemasde numeração. – São inúmeros os vestígios deixados ao longo dos tempos, por exemplo os sistemas l de numeração dos Egípcios, Gregos, Romanos, Chineses... – Alguns destes sistemas perderam completamente a sua utilidade, outros, como é o caso da numeração romana continuam a ser utilizados, embora com menor frequência. Mesopotâmia, a escrita cuneiforme registava os números como conjuntos de incisões em placas de argila: triângulos cursivos representando as dezenas e traços em formaApril 1, 2010 © Celeste Duque de Y para as unidades 7
  • 8. Sistemas numéricos: vestígios da AntiguidadeDiversas civilizações da Antiguidade, além da egípcia, desenvolveram seuspróprios sistemas de numeração. Muitos são os vestígios deixados pelospovos primitivos, por ex.: desenhados (pinturas rupestres, papiros), traçadosem barro, esculpidos em madeira, pedra ou metal (moedas...). Moeda Chinesa, época Medieval Moeda Romana com 1700 anos Época Ptolomaica, esfinge de Alexandre “O Calendário Maia Grande”, 323-305 a.C - Egipto Tablete mesopotâmico. © Celeste DuqueApril 1, 2010 Foto: The British Museum. 8
  • 9. Sistemas numéricos: vestígios da Antiguidade – Assim, por exemplo, na contagem do tempo, agrupamos segundo a base sexagesimal (60 segundos compõem 1 minuto; e 60 minutos compõem 1 hora) e isso é consequência da numeração desenvolvida na Mesopotâmia, há mais de 4000 anos. Para saber mais: http://www.biotrust-eco- energy.com/473.html © Celeste DuqueApril 1, 2010 9
  • 10. Uso de sistemas numéricos da Antiguidade, na actualidade – Outros vestígios de sistemas numéricos antigos - por. ex.: a numeração Romana - podem ser observados nos mostradores de relógios, na indicação de datas, na numeração de capítulos de livros ou mesmo para diferenciar pessoas famosas cujo nome é igual (reis, papas...). Papa Benedicto XV Papa Benedicto XVIRelógio de fachada. Pormeno: IIII emvez do convencional IV. Relógio Big Ben, Palácio de Westminster, Londres, que tem a numeração romana em minúsculas, “script” gótico. Com o 4 convencional: iv. © Celeste Duque April 1, 2010 10
  • 11. Uso de sistemas numéricos da Antiguidade, na actualidade © Celeste DuqueApril 1, 2010 11
  • 12. Sítio arqueológico, cidade histórica da Babilónia Para saber mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/Babil%C3%B4nia Sistema numérico BabilónicoO Império Babilónico durou de 1950 a.C. a1200 a.C.).Habitaram na Ásia e são um dos primeiros povos da Antiguidade autilizar símbolos numéricos. – O seu sistema numérico baseava-se num sistema sexagesimal. – Os números eram representados por caracteres cuneiformes, i.e., em forma de cunha, que eram gravados em placas de argila que depois eram cozidas, podendo ser reaproveitadas caso os dados nelas contidos não fossem de extrema importância. • A escrita cuneiforme era de difícil execução e interpretação, já que possuía mais de 2000 sinais. © Celeste DuqueApril 1, 2010 12
  • 13. Sistema numérico BabilónicoOs babilónios usavam seuconhecimento de aritmética eálgebra simples para expressar – comprimentos e pesos, – trocar moedas e mercadorias, – calcular juros simples e compostos, – impostos, e a – proporção de uma colheita que deveria ir para o fazendeiro, para a igreja e para o Estado. © Celeste DuqueApril 1, 2010 13
  • 14. Sistema numérico BabilónicoTambém usavam a matemática na – divisão de campos e de – heranças, e em • projectos de canais, • represas e • sistemas de irrigação; – Pensa-se que os problemas económicos que enfrentaram foram o estímulo para desenvolvimento da matemática. (Kine, 1990) Numbers on a land purchased, 2400 a.C., Babilónia © Celeste DuqueApril 1, 2010 14
  • 15. Sistema numérico BabilónicoA grande utilidade desta escrita foi aonível da: – contabilidade e administração, pois • facilitava o registo de bens, • marcas de propriedade, • cálculos e transacções comerciais. – Os símbolos numéricos utilizados eram os que se podem observar na figura: © Celeste DuqueApril 1, 2010 15
  • 16. Sistema numérico BabilónicoTinham um símbolo diferente para a – Unidade; – Dezena; – Mas não tinham um símbolo para o zero, assim, por exemplo: • O número 60 escrevia-se exactamente como o 1, • o que para nós é muito confuso. – Por exemplo, 61 escreve-se como 2. Detalhe, portal Ishtar © Celeste DuqueApril 1, 2010 16
  • 17. Sistema numérico Babilónico – Pensa-se que os Babilónios sabiam distinguir o número a que se referiam de acordo com o contexto do problema. • Escritos Babilónicos provam que esta civilização já possuía conhecimentos matemáticos avançados. • Neles aparecem uma série de notações que se inserem num sistema de numeração sexagesimal. © Celeste DuqueApril 1, 2010 17
  • 18. Sistema numérico Babilónico – O uso do número 60 como base para contar e dos seus divisores • como a dúzia: 12 = 60/5 – era utilizado pelos babilónios há milhares de anos nos seus cálculos quotidianos e também pelos sacerdotes nos seus cálculos astronómicos e de quem dependia a contagem do tempo. – Mais um exemplo: © Celeste DuqueApril 1, 2010 18
  • 19. Símbolos Numéricos Babilónicos (1-59) © Celeste DuqueApril 1, 2010 19
  • 20. Símbolos Numéricos Babilónicos (1-1000) © Celeste DuqueApril 1, 2010 20
  • 21. Sistema numérico Babilónico: ExemplosPor exemplo, 1,45,29,36 representam números do sistemasexagesimal. 1x60! + 45x60" + 29x60 + 36 = 1 x 216000 + 45 x 3600 + 29 x 60 + 36 = 216000 + 162000 + 1740 + 36 A notação decimal é: 379776 © Celeste DuqueApril 1, 2010 21
  • 22. Sistema numérico Babilónico: Exemplos – Exemplo: 1,45,29,36 em numerais Babilónicos – Uma vez que não tinham o número zero, os babilónios, em sua substituição, utilizavam um espaço em branco para marcar a não existência de um dígito num determinado lugar do montante. • Exemplo: – 4,0,8 em numerais da Babilónia © Celeste DuqueApril 1, 2010 22
  • 23. Sistema numérico Babilónico: Exemplos – Outro exemplo: © Celeste DuqueApril 1, 2010 23
  • 24. Sistema numérico Babilónico: Exemplos – Um exemplo muito simples: © Celeste DuqueApril 1, 2010 24
  • 25. Sistema numérico Babilónico: Regras Para saber mais: http://scienceray.com/mathematics/the-mayan-and-babylonian-ancient-number-systems/ © Celeste DuqueApril 1, 2010 25
  • 26. Tabela de multiplicação babilónica do 9 Para Saber mais: http://depts.clackamas.cc.or.us/banyan/1.2/grant.htm © Celeste DuqueApril 1, 2010 26
  • 27. Cálculo do quadrado de númerosbabilónicos > 59 e do cubo de números > 32 – Entre algumas das tábuas encontradas perto do rio Eufrades, datadas de cerca de 2000 a.C., durante o período Hamurábico. Encontram-se as que apresentavam o cálculo do quadrado de números maiores que 59. E o Cubo de números maiores que 32. 82 = 1,4 [(1 x 601) + (4 x 600)] até chegar a 592 = 58,1 [(58 x 601) + (1 x 600)] (ver imagem). The famous root (2) tablet from the Yale Babylonian Collection. Para Saber mais: http://depts.clackamas.cc.or.us/banyan/1.2/gra nt.htm © Celeste DuqueApril 1, 2010 27
  • 28. Sistema numérico MaiaPerdidas há séculos nas florestas tropicais e matas daAmérica Central, algumas dezenas de cidades mortasilustram um dos mais misteriosos episódios da História. – Os historiadores e arqueólogos designaram-nas de Civilização Maia. © Celeste DuqueApril 1, 2010 28
  • 29. Sistema numérico MaiaOs Maias tinham como base não a dezena, mas a vintenae as potências de vinte. Ex.: 365 representado numa base de 10 – Ao usar a vintena a cultura Maia conseguiu representar por meio de símbolos figurativos realidades numéricas, • foram eles quem escreveram as datas mais antigas que se registam na história da humanidade. Números Maia de 0 a 10 © Celeste DuqueApril 1, 2010 29
  • 30. Sistema numérico MaiaCriaram um sistemabaseado na posição dossímbolos, que incluía autilização do zero 0 – para indicar que não existem unidades deste valor, • um símbolo ovalado que aparece em numerosos vestígios ou códices maias – bastante semelhante ao símbolo zero, da notação científica: !. © Celeste DuqueApril 1, 2010 30
  • 31. Sistema numérico MaiaA razão, desta contagem, édevida ao hábito que os seusancestrais tinham de contar nãoapenas com – os dez dedos das mãos, e com – os dez dedos dos pés. • A escrita é orientada na horizontal até ao número 19. © Celeste DuqueApril 1, 2010 31
  • 32. Sistema numérico Maia – A partir do 20 os números eram representados considerando a posição do algarismo, parecido com o sistema de numeração que utilizamos, • com uma diferença importante, – eram escritos na vertical, o número 20 escreve-se: (Imenes, 2002) © Celeste DuqueApril 1, 2010 32
  • 33. Sistema numérico Maia: Exemplos – Se tivéssemos mais posições verticais continuaríamos a multiplicar da mesma forma, ficamos com: • Outro exemplo: © Celeste DuqueApril 1, 2010 33
  • 34. Sistema numérico Maia: Exercício – E os números seguintes consegue dizer quais são? (Imenes, 2002) • Os dois pontos, podiam ser o 2... mas não é! – Repare que na figura com números de 1 a 19 o dois é representado com dois pontos lado a lado. • Quais são então estes números? © Celeste DuqueApril 1, 2010 34
  • 35. Sistema numérico Maia: Exemplos – Trata-se dos números 21, 25, 28 e 30: (Imenes, 2002) (1+1x20) (5+1x20) (8+1x20) (5+5+1x20) © Celeste DuqueApril 1, 2010 35
  • 36. Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360)Os Maias tinham um vasto conhecimento de astronomia e,para facilitar cálculos nesta área, – fizeram uma mudança a partir da terceira casa do seu sistema numérico, i.,e. do • número 360 em diante os agrupamentos deixam de ser de vinte em vinte. A terceira casa passa a ser o produto de 18 por 20 (18x20) – que é igual a 360, – Ao invés de 20 x 20. © Celeste DuqueApril 1, 2010 36
  • 37. Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360) Isto porque: – O ano Maia estava dividido em 18 meses com 20 dias cada. Então, não consideravam as posições 200, 201, 202,... mas sim • 200, 201, e a partir daí salta para: • 201#18 (=360), 202#18 (=7 200), 203#18 (=144 000) • Os numerais eram escritos verticalmente e nos lugares "vazios" punham o sinal ovalado: © Celeste DuqueApril 1, 2010 37
  • 38. Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360)Se comparado com o nosso sistema, que é decimal, onúmero 482 # 4 x 10" + 8 x 10$ + 2 x 100 = 482. • Para os Maias a base era 20, logo, multiplica-se por uma potência de 20. © Celeste DuqueApril 1, 2010 38
  • 39. Curiosidades Matemáticas: Os 24 factores de 3601 x 360 = 3602 x 360 = 1803 x 120 = 3604 x 90 = 3605 x 72 = 3606 x 60 = 3608 x 45 = 3609 x 40 = 36010 x 36 = 36012 x 30 = 36015 x 24 = 36018 x 20 = 360 © DJ Jeffery, ULV, 2003 (Para saber mais: http://www.nhn.ou.edu/~jeffery/astro/astlec/lec004.html ) © Celeste DuqueApril 1, 2010 39
  • 40. Sistema numérico Maia: ExercícioVejamos o exemplo de um número de três dígitos. Vamospartir para a terceira ordem da numeração Maia. Dê umpalpite: como você acha que os maias escreviam 467? – Não sabe? © Celeste DuqueApril 1, 2010 40
  • 41. Sistema numérico Maia: ExercícioEntão vamos juntos: – Na terceira casa, acima das duas que já vimos até aqui, os Maias escreviam os números que eram produto da multiplicação de 20 por 20. Dessa forma, para representar o número 467, por exemplo, • Na casa de cima (1ª casa) colocavam um ponto, que significava – 1x20x20, ou seja, 400. • Na casa do meio (2ª casa), desenhavam três pontos, – o que significava 3x20, ou seja, 60. • E, por fim, na última casa (3ª casa), desenhavam uma barra (5) e dois pontos (2), o que representava sete (7). Veja na figura a seguir: © Celeste DuqueApril 1, 2010 41
  • 42. Sistema numérico Maia: ExercícioE este número, qual é? • 2012 © Celeste DuqueApril 1, 2010 42
  • 43. Sistema numérico Maia: Regra geralSabendo que os números se representam da seguinteforma: E que a regra é: Torna-se fácil representar o número abaixo: © Celeste DuqueApril 1, 2010 43
  • 44. Calendário MaiaA mudança de contagem a partirda 3ª casa surgiu, provavelmente,porque os sacerdotes –astrónomos – quiseram que estativesse um número aproximadoao número de dias do Ano Maia. – O uso da potência de base 20 corresponde ao factor multiplicativo de cada casa. Calendário Maia Para saber mais: http://livroenigmadosdeuses.blogspot.com/2009/ 09/2012-verdade-sobre-as-profecias-e-o.html © Celeste DuqueApril 1, 2010 44
  • 45. Espiral da Numeração Maia © Celeste DuqueApril 1, 2010 45
  • 46. Sistema numérico MaiaNo desenho ao lado: – A segunda coluna da esquerda, de cima para baixo, contém os números 9,9,16,0,0, que indicam • 9 à 144.000+ 9x7.200 + 16X360+ 0 + 0 = 1.366.560. • Na terceira coluna estão os números 9,9,9,16,0 representando 1.364.360. Imagem original de cor preta e vermelha (Morley, 1915, p. 266) © Celeste DuqueApril 1, 2010 46
  • 47. Sistema numérico Maia: Símbolos (1-7200) © Celeste DuqueApril 1, 2010 47
  • 48. Sistema numérico Maia: Exemplos © Celeste DuqueApril 1, 2010 48
  • 49. Sistema numérico Maia: Exemplos © Celeste DuqueApril 1, 2010 49
  • 50. Sistema numérico Maia: ExemplosNúmero representado numa base de 20 5125 = 12x202 + 16x201 + 5x100 Para saber mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/Civiliza%C3%A7%C3%A3o_maia © Celeste DuqueApril 1, 2010 50
  • 51. Sistema numérico Chinês: Primitivo “Em 1899 foi feita a maior descoberta arqueológica na aldeia de Xiao Dun, no distrito da província de An-Yang. Descobriram-se centenas de ossos e carapaças de tartaruga que tinham inscrições em caracteres chineses antigos. A localidade tinha sido a capital dos reis da última dinastia Shang (também conhecida como dinastia Yin), do século XIV a.C.. Os últimos doze reis governaram ali até cerca de 1045 a.C. e os ossos de tartaruga eram utilizados em rituais de cerimónias religiosas. Eram colocadas questões num dos lados da carapaça da tartaruga e no lado da carapaça eram então sujeitos ao calor do fogo e as rachas que surgiam eram interpretadas como as respostas, dadas pelos antepassados, às questões colocadas.” (Para saber mais: http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/Chinese_numerals.html) © Celeste DuqueApril 1, 2010 51
  • 52. Sistema numérico Chinês: PrimitivoA importância desta descoberta, foipermitir um maior conhecimento sobreo sistema numérico da antiga China. – Muitas das inscrições eram numéricas e registavam o número de homens que perderam a vida na guerra, que foram feitos prisioneiros, o número de sacrifícios feitos, o número de animais mortos numa caçada, etc. O sistema numérico utilizado baseava-se no sistema decimal e permitia a adição e a multiplicação. Nesta imagem podem ver-se os símbolos utilizados naquela época. © Celeste DuqueApril 1, 2010 52
  • 53. Sistema numérico Chinês: Primitivo -ExemplosO número 4359 é a representaçãográfica da natureza aditiva, senão veja-se, utiliza o – símbolo que equivale a 4000; • Adiciona-lhe 4000 + 300 + 50 + 9 – Símbolo que equivale a 300; • Adiciona-lhe – Símbolo que equivale a 50; • Adiciona-lhe 5000 + 80 + 10 – Símbolo que equivale a 9;Mas por não contemplar o zero vejacomo se representa o número 5080. © Celeste DuqueApril 1, 2010 53
  • 54. Sistema numérico Chinês: Primitivo - Evolução•Tal como já foi afirmado, acredita-se que este sistema denumérico tinha uma segunda finalidade, talvez maisprofunda, ligada à religião e profecias muito utilizada pelossacerdotes da época. – Em finais do séc. IV a.C. surge uma segunda forma de escrita que visa colmatar algumas falhas em termos numéricos, • mas também esta não contemplava o zero. © Celeste DuqueApril 1, 2010 54
  • 55. Sistema numérico Chinês: Primitivo - EvoluçãoOs Chineses Primitivos usavam numerais que escreviam emfolhas de bambu com tinta preta. – Como se pode observar na imagem abaixo, a • unidade é representada por um traço que tanto pode estar orientado na horizontal como na vertical o que leva à confusão entre o 3 e o 21, ou 12 ou mesmo 111. Numeração chinesa, séc. IV a.C.Representação do número 1234 Representação do número 45698 Representação do número 60390 Saiba mais em : http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/Chinese_numerals.html © Celeste DuqueApril 1, 2010 55
  • 56. Sistema numérico Japonês/ChinêsEntre os sistemas de numeração mais antigos encontra-seo utilizado pelos chineses e adoptado mais tarde pelosjaponeses. – No que diz respeito às matemáticas chinesas, seria errado considerá-las um fenómeno isolado. © Celeste DuqueApril 1, 2010 56
  • 57. Sistema numérico Japonês/ChinêsExistiram sempre, pelo menos desde a Dinastia Han(contemporâneo do Império Romano), relações comerciais eculturais consideráveis com outras regiões da Ásia e mesmo com aEuropa. – A ciência Indiana e, mais tarde, a ciência árabe tiveram influência sobre a China e, por outro lado, a ciência chinesa deixou a sua marca na ciência de outras sociedades. • Considera-se, por exemplo, que o sistema decimal e os números negativos, que podem ter vindo da China para a Índia. © Celeste DuqueApril 1, 2010 57
  • 58. Sistema numérico Japonês/ChinêsActualmente, o sistema decimal dos Chineses apresenta treze sinaisfundamentais, respectivamente associados às nove unidades e àsquatro primeiras potências de dez (10, 100, 1000, 10000). – Sinais numéricos cujo traçado mais simples e mais comummente empregue é o seguinte: © Celeste DuqueApril 1, 2010 58
  • 59. Sistema numérico Japonês/Chinês: ExemplosPor exemplo: Mais exemplos: 1000 3x 100 4x 10 7 Isto é, 1347. © Celeste DuqueApril 1, 2010 59
  • 60. Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos © Celeste DuqueApril 1, 2010 60
  • 61. Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos © Celeste DuqueApril 1, 2010 61
  • 62. Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual © Celeste DuqueApril 1, 2010 62
  • 63. Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual © Celeste DuqueApril 1, 2010 63
  • 64. Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual © Celeste DuqueApril 1, 2010 64
  • 65. Sistema numérico EgípcioOs Egípcios inventaram uma escrita e um sistema denumeração escrita. – Essa escrita foi autóctone e desprovida de qualquer influência estrangeira. – "Não apenas os sinais hieroglíficos que ela utiliza são todos tirados da fauna e da flora do Nilo”; – Tratava-se de um sistema numérico décimal. © Celeste DuqueApril 1, 2010 65
  • 66. Sistema numérico Egípcio: Símbolos numéricos © Celeste DuqueApril 1, 2010 66
  • 67. Sistema numérico Egípcio © Celeste DuqueApril 1, 2010 67
  • 68. Sistema numérico Egípcio – A origem do algarismo 1 foi "natural": a barra é o sinal gráfico mais elementar que o ser humano possa imaginar para a representação da unidade. – A dezena constituiu o desenho de um cordão que, outrora, deve ter servido para unir os bastonetes num pacote de dez unidades. © Celeste DuqueApril 1, 2010 68
  • 69. Sistema numérico EgípcioA numeração escrita egípcia foi fundada numabase rigorosamente decimal. © Celeste DuqueApril 1, 2010 69
  • 70. Sistema numérico Egípcio•Outra designação para cada um dos símbolos © Celeste DuqueApril 1, 2010 70
  • 71. Sistema numérico EgípcioMais tarde, os egípcios inventaram um sistema denumerais, sem usar hieróglifos, que – registavam da direita para a esquerda. © Celeste DuqueApril 1, 2010 71
  • 72. Sistema numérico Egípcio: Potências © Celeste DuqueApril 1, 2010 72
  • 73. Sistema numérico Egípcio: Exemplos © Celeste DuqueApril 1, 2010 73
  • 74. Técnica de cálculo dos EgípciosCom a ajuda deste sistema de numeração, osegípcios conseguiam efectuar todos os cálculos queenvolviam números inteiros. – Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efectuadas através de uma adição. • Por exemplo, a multiplicação – 13 x 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes. 13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 © Celeste DuqueApril 1, 2010 74
  • 75. Técnica de cálculo dos EgípciosA tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam amultiplicação: – Eles procuravam na tabela um total de 13 parcelas; • era simplesmente a soma das três colunas destacadas: – 1 + 4 + 8 = 13 • O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas: – 9 + 36 + 72 = 117 – Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros. • Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número. – E para isso os números inteiros não serviam. © Celeste DuqueApril 1, 2010 75
  • 76. Sistema numérico Egípcio: Fracções © Celeste DuqueApril 1, 2010 76
  • 77. Sistema numérico HinduO desenvolvimento do sistema numérico actual começouno vale Hindu. – Encontram-se testemunhos com 2200 anos gravados em pilares. – Existiam os nove símbolos diferentes, que não se baseavam em letras de nenhum alfabeto nem em pictogramas. • Tal como os restantes dígitos, o zero também foi evoluindo. – No início era apenas um ponto que representava uma coluna vazia num ábaco. © Celeste DuqueApril 1, 2010 77
  • 78. Sistema numérico HinduActualmente aceitamos naturalmente os números queconhecemos. No entanto, nem sempre foi assim. – Um milhão, um bilião, um trilião... • Sabemos que é possível contar para além de um milhão e que podemos exprimir qualquer número que queiramos. Contudo, isto desconcertou os eruditos durante milhares de anos. – A chave consiste em usar o símbolo para o zero, 0, • inventado pelos hindus na Índia, provavelmente, entre 400 e 800 d.C.. © Celeste DuqueApril 1, 2010 78
  • 79. Sistema numérico Hindu: O ÁbacoFoi a partir do ábaco que os hindus desenvolveram osistema posicional de numeração. – $%$& abax, que significa “mesa de cálculo”, pensa-se que a sua origem provável foi na Mesopotâmia, há mais de 5.500 anos. – Colunas imaginárias baseadas em potências de dez representavam as colunas do ábaco – O valor posicional permite que qualquer dos dígitos represente um valor diferente. • O algarismo 5 pode representar cinco unidades; • 50 unidades (cinco dezenas), • 500 unidades (cinco centenas), e assim sucessivamente. © Celeste DuqueApril 1, 2010 79
  • 80. Sistema numérico Hindu: O Ábaco – O ábaco mais antigo e sofisticado, foi usado por mercadores babilónios. Consistia numa simples tábua onde pequenas pedras se dispunham em colunas paralelas para representar os números. Ex.: Representando o número 6302715408 © Celeste DuqueApril 1, 2010 80
  • 81. Sistema numérico Hindu: O Ábaco – O ábaco romano, mais sofisticado, era formado por uma base em metal, com ranhuras paralelas nas metades superior e inferior e pequenas bolas: uma em cada um das ranhuras superiores e quatro em cada uma das ranhuras inferiores. Cada bola numa ranhura superior valia 5 e cada bola numa ranhura inferior valia 1. © Celeste DuqueApril 1, 2010 81
  • 82. Numeração Hindu - O ÁbacoA partir da posição inicial (a), o registo dos números era feitodeslocando-se bolas para a zona central do ábaco (b) – nesteexemplo está representado o número 5648. © Celeste DuqueApril 1, 2010 82
  • 83. O Ábaco: alguns exemplares Ábaco Chinês - Suan Pan Ábaco chinês © Celeste DuqueApril 1, 2010 83
  • 84. Evolução do Sistema numérico Hindu/ÁrabeForam os Hindus (doNorte da índia) quecomeçaram a usar os • símbolos numéricos que deram origem aos • numerais que utilizamos, actualmente. © Celeste DuqueApril 1, 2010 84
  • 85. Evolução do Sistema numérico Hindu/Árabe Numerais Brahami (fila inferior), Índia, séc. I a.C. © Celeste DuqueApril 1, 2010 85
  • 86. Sistema numérico Hindu: Nome dos algarismos – Cada algarismo tinha um nome: – Quando foi criada pelos hindus a base 10, cada dezena, cada centena e cada milhar, recebeu um nome individual: © Celeste DuqueApril 1, 2010 86
  • 87. Sistema numérico Hindu: Evolução das técnicas de CálculoCom o desenvolvimento dos nove dígitos, do zero e dovalor posicional surgiram os cálculos com os símbolos semo auxílio do ábaco. – Nas suas relações comerciais com os árabes, os Hindus terão usado esses sinais numéricos, que os árabes adoptaram e espalharam pelo mundo, chegando à Europa. – Contudo, no início, este sistema ainda não era perfeito. Efectuavam cálculos facilmente, mas não tinham símbolo para designar o zero. • Por exemplo, o número 507 era representado por 5 7, ficando um espaço entre o 5 e o 7 que correspondia ao “nada” das dezenas. © Celeste DuqueApril 1, 2010 87
  • 88. Expansão do Sistema numérico HinduO matemático árabe Musa Al-Khwarizmi estudou o sistema hindu e em825 d.C. explicou-o num livro intitulado “Um livro sobre adição esubtracção segundo o método hindu” (tradução livre). – Contudo, este conhecimento adquirido pelos Árabes apenas chegou à Europa ocidental trezentos anos mais tarde. – Os primeiros símbolos dos números indianos, descobertos numa gruta em Nasik, perto de Bombaim, na Índia, têm, pelo menos, 1800 anos. Em baixo observa-se o resultado da evolução desses números na Europa em 1300 d.C.. © Celeste DuqueApril 1, 2010 88
  • 89. Sistema numérico GregoOs números que usamos no nosso sistema chegaram à Europaocidental através da civilização árabe. – Inicialmente os Árabes escreviam os números palavra a palavra, mesmo nos cálculos complexos. Alguns matemáticos usavam um antigo método grego de representação de números com letras, que puseram de lado quando descobriram o sistema hindu de numeração. Panteão, Templo dedicado à deusa Atenas, Atenas - Grécia © Celeste DuqueApril 1, 2010 89
  • 90. Sistema numérico Grego: Símbolos numéricosComo se pode observar das figuras, o princípio de contagem é muitosimilar ao utilizado pelo sistema numérico Romano. – Os número conseguem-se por adição atribuindo-se um sinal gráfico a cada um deles. – Sendo a sequência a seguinte: • a sequência é a mesma: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 50000. © Celeste DuqueApril 1, 2010 90
  • 91. Sistema numérico Grego: Exemplo © Celeste DuqueApril 1, 2010 91
  • 92. Sistema numérico Grego: Tabuada“This is a multiplication table dating from ca.100AD. The ancient Greek numbering system wasbased on their alphabet of 24 letters plus threeother symbols borrowed from the alphabets oftrading partners.The numbers 1 through 10 are written across thetop and down the left column in the same patternwe often see today. They continued usingadditional letters for multiples of 10 and 100.See if you can find these examples in the table.” Ancient greek numbers, 100 d.C. (Para saber mais: http://curvebank.calstatela.edu/popdowns/th/th12/th12.htm)) © Celeste Duque April 1, 2010 92
  • 93. Sistema numérico Grego: Tabuada de PitágorasTrata-se da tabuada de multiplicação que permanece actual. Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo,inventou esta tabela, na qual é possível efetuar todas as operações de multiplicação existentes na velha tabuada. Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/ © Celeste DuqueApril 1, 2010 93
  • 94. Sistema numérico Grego: FibonacciO italiano Fibonacci foi o responsável pela introdução dosistema de numeração hindu na Europa. – Viveu entre 1170 e 1250. – Na sua juventude viajou bastante pela África, Médio Oriente e, provavelmente, pela Índia. – Anos mais tarde, Fibonacci participou em vários concursos de matemática e tornou-se famoso como matemático. • Em 1202 Fibonacci publicou o livro “Liber abaci”. Iniciou o seu livro demonstrando como – "com os nove símbolos hindus e com o símbolo árabe 0 se escreve qualquer número" e a seguir explicou como podem ser usados na aritmética. © Celeste DuqueApril 1, 2010 94
  • 95. Sistema numérico Grego: FibonacciSequência de Fibonaci Qual é o número? • Fibonacci introduziu na Europa uma sequência de números que viria a ter seu nome. Estes são alguns dos primeiros números de Fibonacci. – Consegue descobrir a regra de formação desta sequência?1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... © Celeste DuqueApril 1, 2010 95
  • 96. Sistema numérico RomanoOs Romanos foram um povo que, em poucos séculos,atingiu um elevado nível técnico, que foi desenvolvendoporque ao conquistar territórios aprendia com oscolonizados. Apesar disso, – ao nível da numeração e, durante toda a sua existência, manteve um sistema de contagem que se revelou profundamente complicado e pouco operacional, o que denota um certo arcaísmo ao nível do pensamento. © Celeste DuqueApril 1, 2010 96
  • 97. Sistema numérico Romano-Romano – Mais antigo documento Romano que exibe a representação da escrita de número muito grande. (Sistema Romano- Romano) Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/ • Algarismo (((I))) representava 100.000 • Sofrendo alterações Sistema Romano Moderno C = 100.000 © Celeste DuqueApril 1, 2010 97
  • 98. Sistema numérico Romano: Evolução Tanto quanto se sabe, este era o único sistema de escrita numérica usado na antiga Roma e Europa, até por volta de 900 d.C., altura em que a numeração árabe, originada pelos Hindus, começou a ser usada. Pensa-se que isso se deve ao facto de os Árabes terem alargado as suas Rotas Comerciais e posteriormente expandido o seu domínio territorial.Para saber mais:http://www.skypoint.com/members/waltzmn/Mathematics.html#Ancient Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/ © Celeste Duque April 1, 2010 98
  • 99. Sistema numérico Romano: PrimórdiosApesar destes numerais serem suficientes para escreverqualquer número sem confusões, acontecia haver númeroscom um elevado uso de símbolos gráficos • A título de exemplo apresenta-se o número: 5878 MMMMMDCCCLXXVIII. • As multiplicações e divisões eram praticamente impossíveis © Celeste DuqueApril 1, 2010 99
  • 100. Sistema numérico RomanoComo a maioria dos sistemas da Antiguidade, anumeração Romana foi regida, sobretudo, pelo princípio daadição dos seus algarismos 1 5 10 50 100 500 1000 & % $ # " D ! • eram independentes uns dos outros. A sua justaposição implicava geralmente na soma dos valores correspondentes: CLXXXVII = 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 187 MDCXLIX = 1000 + 500 + 100 + (50-10) + (10-1) + 1 = 1649 © Celeste DuqueApril 1, 2010 100
  • 101. Sistema numérico Romano: RegrasSistema numérico Romano, tornou-se bastante mais complexoquando se introduziram as regras que ainda hoje vigoram: 1. Qualquer símbolo numérico apenas se pode repetir num máximo de três vezes. 2. Para obter um algarismo maior, deve-se adicionar à direita, os símbolo numérico respectivo. Por ex.: 6 7 8 60 600 1100 VI VII VIII #X DC MC 3. Pelo que tem de se subtrair (colocado à esquerda) o valor numérico conveniente para perfazer o total pretendido. Por ex.: 4 9 40 90 400 900 IV IX XL XC CD CM © Celeste DuqueApril 1, 2010 101
  • 102. Regras: Numeração Romana• Todo símbolo numérico: – com um traço horizontal sobre ele representa o milhar e• o símbolo numérico que apresenta – dois traços sobre ele representa o milhão. © Celeste DuqueApril 1, 2010 102
  • 103. Sistema numérico Romano: SímbolosOs romanos usaram o alfabeto para representar números. – Ainda hoje a numeração romana é usada. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 & 0 - , % + * ) ( $ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 / . $- $, $% $+ $* $) $( $$ 30 40 50 60 70 80 90 100 500 1000$$$ $# # #$ #$$ #$$$ $" " ! © Celeste DuqueApril 1, 2010 103
  • 104. Numeração Romana: Exemplos • Exemplos: !!"### = 28 !!!#! = 39 $$$!$"## = 397 %&$$$!"###= 1818 %%!= 2010 © Celeste DuqueApril 1, 2010 104
  • 105. Numeração Romana: CálculosEfectuar cálculos com numeração romana, com múltiplosdígitos, é uma árdua tarefa, extremamente trabalhosa. • Apesar disso “o sistema de numeração romana era o sistema predominante na Itália até o século XVIII e em outros países da Europa Ocidental ele persistiu até o século XVI." © Celeste DuqueApril 1, 2010 105
  • 106. Numeração Romana: CálculosOs algarismos Romanos não são sinais que sirvam paraefectuar operações aritméticas. – São abreviaturas destinadas a inscrever e reter os números. Assim, e tal como já foi referido os Romanos utilizavam os Ábacos para efectuar os seus cálculos. • Introduzindo algumas alterações no formato inicial, nomeadamente dotaram o Ábaco de um pé de suporte, tornando-o numa mesa de cálculo ainda mais prática de utilizar... © Celeste DuqueApril 1, 2010 106
  • 107. Numeração Árabe versus Babilónica © Celeste DuqueApril 1, 2010 107
  • 108. Evolução sistemas de numeração © Celeste DuqueApril 1, 2010 108
  • 109. Sistema Numérico Hindu/Árabe: Evolução – Na primeira linha da imagem, numerais de há 1000 anos. – Na segunda, há 800 anos. – Na terceira, há 600 anos. – Na última, numeração actual. © Celeste DuqueApril 1, 2010 109
  • 110. Evolução: Sistema de numeração Hindu/Árabe © Celeste DuqueApril 1, 2010 110
  • 111. Sistemas numéricos: Comparação (séc. VI- XV) © Celeste DuqueApril 1, 2010 111
  • 112. Evolução da Numeração Árabe: Escrita cursiva – Na seguinte imagem podemos observar a escrita cursiva dos algarismos de 1 a 4 e a sua respectiva explicação: © Celeste DuqueApril 1, 2010 112
  • 113. Evolução da Numeração Árabe: Escrita cursiva – Na imagem abaixo apresenta-se o quadro de escrita dos algarismos árabes de 1 a 9, incluindo o 0, onde se pode observar a contagem dos respectivos ângulos: © Celeste DuqueApril 1, 2010 113
  • 114. Numeração Árabe: Representação gráfica/fonética © Celeste DuqueApril 1, 2010 114
  • 115. Numeração Árabe: Representação Polinomial © Celeste DuqueApril 1, 2010 115
  • 116. Referências bibliográficasBadiou, A. (2008). Number and Numbers. Cambridge: Polity Press.Boye, C. B. (1915). An Introduction on the Study of Maya Hyeroglyphics. Washington: Carnegie Institution.Crato, N. (2008). A Matemática das Coisas. Lisboa: Gradiva.Imenes, L. M. P. (2002). A numeração indo-arábica. Colecção “Vivendo a matemática”. São Paulo: Scipione.Jesus Caraça, B. (1984). Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Livraria Sá da Costa Editora.Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Vol. 1. New York: Oxford University Press.Morley, S. G. (1915). História da Matemática.Ed. Edgard Blücher Ltda., pág. 146.Vygodsky, M. (1972). Mathematical Handbook: Elementary Mathematics. Moscow: MIR Publishers.Wikipédia (2010). Maias. URL: http://pt.wikipedia.org/wiki/Civilização_maia © Celeste DuqueApril 1, 2010 116