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52616591 informe200901-fisica-i 52616591 informe200901-fisica-i Document Transcript

  • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIER´IA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE CIENCIAS F´ISICO MATEM´ATICAS PRIMERA PR´ACTICA PRE-PROFESIONAL INFORME CURSO : FISICA I RESPONSABLE : JUAN CARLOS VILCA TISNADO ASESOR : LIC. ELFI D. BUSTAMANTE Y´ABAR PUNO - PERU 2010
  • Universidad Nacional del Altiplano Facultad de Ingenier´ıa Civil y Arquitectura Escuela Profesional de Ciencias F´ısico Matem´aticas Informe No -2010-UNA-FICA Al : Lic. Juan Carlos Benavides Huanca Director de la Escuela Profesional de Ciencias F´ısico Matem´aticas De : Lic. Elfi D. Bustamante Y´abar Asunto : Informe de pr´acticas Pre-Profesionales. Fecha : Puno, 12 de Enero del 2010 Es grato dirigirme a Ud. a fin de informarle sobre las pr´acticas realizadas por el estudiante JUAN CARLOS VILCA TISNADO, el cual detallo a continuaci´on: 1. Mediante el MEMORANDO No -066-2008-D.E.C.F.M-FICA-UNA. de fecha 12 de Setiem- bre del 2008, se me asigna al estudiante JUAN CARLOS VILCA TISNADO para que realice las pr´acticas pre-profesionales en la asignatura de F´ISICA I a mi cargo. 2. El estudiante realizo la practica pre-profesional a partir del 12 de setiembre del 2008 al 27 de enero de 2009, por 02 horas semanales; acumulando un total de 30 horas acad´emicas, que consisti´o en desarrollar la parte practica de la asignatura de F´ISICA I, correspondiente al II semestre de la E.P. Ingenier´ıa de minas. 3. Durante la realizaci´on de la practica pre-profesional el estudiante en menci´on, demostr´o mucha responsabilidad y dominio de los temas, tanto en la preparaci´on de sus sesiones, como durante su desenvolvi´esemos ante los estudiantes, y dem´as tareas asignadas. 4. Concluida la practica pre-profesional, el estudiante alcanzo los objetivos establecidos, siendo as´ı, solicito a Ud. Se˜nor Director realizar los tr´amites necesarios para la expedici´on de la respectiva Resoluci´on. Es cuanto puedo informar a Ud. Se˜nor Director para los fines consiguientes. ———————————————- Lic. Elfi D. Bustamante Y´abar UNA-PUNO
  • Universidad Nacional del Altiplano Facultad de Ingenier´ıa Civil y Arquitectura Escuela Profesional de Ciencias F´ısico Matem´aticas Informe No -2010-UNA-FICA Al : Lic. Elfi D. Bustamante Yab´ar De : Juan Carlos Vilca Tisnado Asunto : Informe de pr´acticas Pre-Profesionales. Fecha : Puno, 11 de Enero del 2010 Es grato dirigirme a Ud. a fin de informarle sobre las pr´acticas que realice, el cual detallo a continuaci´on: 1. Mediante el MEMORANDO No -066-2008-D.E.C.F.M-FICA-UNA. de fecha 12 de Setiem- bre del 2008, se me asigna como asesor para que realice las pr´acticas pre-profesionales en la asignatura de F´ısica I a su cargo. 2. La realizaci´on de la practica pre-profesional fue en el escuela profesional de ingenier´ıa de minas en la asignatura de F´ısica I. 3. Los detalles de la practica pre-profesional se encuentran en la documentaci´on adjunta a este informe. Es cuanto puedo informar a Ud. para los fines consiguientes. ————————————– Juan Carlos Vilca Tisnado
  • Presentaci´on Estas notas se originan por las pr´acticas pre-profesionales realizada del 12 de Setiembre de 2008 al 27 de enero de 2009 en la asignatura de F´ısica I en la Escuela Profesional de Ingenier´ıa de Minas de la Universidad Nacional del Altiplano. En el capitulo 1 muestro los datos de la instituci´on donde realizo mis pr´acticas pre-profesionales, como tambi´en los datos de la asignatura de- sarrollado. En el capitulo 2 y capitulo 3 muestro la justificaci´on de mis pr´acticas pre-profesionales como tambi´en los objetivos. En el capitulo 4 al capitulo 9 muestro los ejercicios resueltos en clases de cada secci´on desarrollado. En el capitulo 10 muestro la metodolog´ıa que aplico en el desarrollo de mis pr´acticas pre-profesionales. En el capitulo 11, muestro la lista de estudiantes , como tambi´en la lista de asistencia. Espero que este informe sirva como referencia para futuras pr´acticas pre- profesionales que se realicen referente al tema. Juan Carlos Vilca Tisnado . i
  • ´Indice general Presentaci´on I ´Indice general II 1. Datos generales 1 1.1. Datos Personales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Datos de la Instituci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3. Datos de la Asignatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Justificaci´on 2 3. Objetivos 4 3.1. Objetivos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.2. Objetivos Espec´ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4. Vectores 5 4.1. Gr´aficamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.2. Representaci´on cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.3. Vectores en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4.4. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.5. Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.6. Adici´on de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.6.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.7. Sustracci´on de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.7.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.8. Ley de Cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.9. Ley de senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.10. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.11. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.12. Ejercicios resueltos de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ii
  • ´INDICE GENERAL iii 5. Est´atica 17 5.1. Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.2. Condici´on de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.3. Torque o momento de una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.4. Ejercicios resueltos de est´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6. Cinem´atica 25 6.1. Vector posici´on (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.2. Desplazamiento d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.3. Velocidad promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.4. Velocidad instant´anea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.5. Aceleraci´on promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.6. Aceleraci´on instant´anea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.7. Movimiento parab´olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.7.1. Movimiento horizontal (MRU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.7.2. Movimiento vertical (MRUV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.8. Altura maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.9. Alcance m´aximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6.10. Movimiento circular: Velocidad angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6.11. Ejercicios resueltos de cinem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 7. Din´amica de una part´ıcula 44 7.1. Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.2. Primera ley de Newton (Ley de inercia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.3. Segunda Ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.4. Tercera Ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.5. Diferencia entre masa y peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.5.1. Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.5.2. Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.6. Fuerzas de rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.6.1. Normal (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.6.2. Fuerza de rozamiento est´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7.6.3. Fuerza de rozamiento cin´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7.7. Fuerza centr´ıpeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 7.8. Ejercicios resueltos de din´amica de una particula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 8. Trabajo y Energ´ıa 60 8.1. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 8.2. Trabajo hecho por una fuerza variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.3. Teorema del trabajo y la energ´ıa cin´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.3.1. Cuando la fuerza es constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 8.3.2. Cuando la energ´ıa es variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 8.4. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 8.5. Fuerza conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 8.6. Energ´ıa Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 8.6.1. Energ´ıa potencial gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 8.6.2. Energ´ıa potencial elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Fisica I
  • ´INDICE GENERAL iv 8.7. Ejercicios de trabajo y energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 9. Cantidad de movimiento 71 9.1. Momentum lineal o cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 9.2. Principio de conservaci´on de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . 71 9.3. Ejercicio de Cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 10.Metodolog´ıa 75 10.1. Estrategias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 10.2. M´etodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 10.3. Medios y Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 11.Cronograma de Actividades 76 11.1. Temas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 11.2. Cronograma de Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 12.Relaci´on de Estudiantes y Asistencias 77 12.1. Relaci´on de estudiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 12.2. Lista de Asistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Bibliograf´ıa 79 Fisica I
  • CAP´ITULO 1 Datos generales 1.1. Datos Personales Alumno Practicante : Juan Carlos Vilca Tisnado Asesor : Lic. Elfi D. Bustamante Yabar Asignatura : F´ısica I Duraci´on : 30 horas 1.2. Datos de la Instituci´on Lugar : Puno Instituci´on : Universidad Nacional del Altiplano Facultad : Ingenier´ıa de Minas Escuela Profesional : Ingenier´ıa de Minas 1.3. Datos de la Asignatura Asignatura : F´ısica I Numero de Horas : 4T. (Teor´ıa) + 2P. (pr´acticas) = 6 Horas A˜no Acad´emico : 2007 - II Semestre : II Area Curricular : General Condici´on : Flexible 1
  • CAP´ITULO 2 Justificaci´on La practica pre-profesional contribuye a lograr el perfil del futuro profesional de la E.P. de Ciencias F´ısico Matem´aticas, en sus aspectos: personal, profesional y promotor de cambio social y desarrollo. La practica pre-profesionales permite el logro de experiencias en las areas de desempe˜no docente, mediante la aplicaci´on de los conocimientos y el ejercicio de habilidades y destrezas desarrolladas en la E.P. de Ciencias F´ısico Matem´aticas. La practica pre-profesional tiene sustento: 1ro En la curricula flexible por competencias de la C.P. de Ciencias F´ısico Matem´aticas 2001- 2006 en los reglamentos espec´ıficos que habla de las pr´acticas pre-profesionales en sus art´ıculos 40-48 se˜nalan: Art. 40 El presente reglamento se sustenta en el estatuto de la U.N.A. que contempla la realizaci´on de pr´acticas pre-profesionales en la formaci´on de todos los estudiantes de la universidad. Art. 41 Los estudiantes de la Carrera Profesional de Cs. F´ısico Matem´aticas est´an obligados a realizar pr´acticas pre-profesionales pudiendo efectuarse despu´es de haber logrado un m´ınimo de 170 cr´editos. Art. 42 Las pr´acticas pre profesionales de la Carrera Profesional de Cs. F´ısico Matem´aticas ser´an pr´acticas productivas y pr´acticas de investigaci´on. Art. 43 Las pr´acticas productivas comprender´an pr´acticas pedag´ogicas en centros de ense˜nanza de nivel medio superior y universidades; pr´acticas en centros productivos, convenio, proyectos 2
  • 2. Justificaci´on 3 y otros que requieran la participaci´on de F´ısicos Matem´aticos. Art. 44 Las pr´acticas de investigaci´on se realizan en la U.N.A. bajo la direcci´on de un profesor designado espec´ıficamente con este fin. Art. 45 Las pr´acticas productivas de investigaci´on tendr´an una duraci´on de un semestre acad´emi- co. Art. 46 Los estudiantes, despu´es de haber cumplido con sus pr´acticas productivas y/o de investi- gaci´on presentaran el informe a la instituci´on donde se realizo y esta a su vez informara de su desarrollo a la Direcci´on de Carrera quien lo remitir´a a la comisi´on de pr´acticas pre profesionales para su aprobaci´on o desaprobaci´on. Art. 47 En el caso de que la practica productiva y/o pr´acticas de investigaci´on se realice en la Universidad Nacional del Atiplado el practicante presentara el informe al docente a cargo, este a su vez informara su desarrollo a la Direcci´on de la Carrera para el visto bueno de la comisi´on de pr´acticas Pre-profesionales. Art. 48 Los aspectos no contemplados en el presente reglamento ser´an absueltos por la Comisi´on de pr´acticas pre profesionales. 2do En el Estatuto Universitario del Titulo VI del regimen acad´emico y administrativo en su capitulo II del regimen de estudios en la facultad, cuando nos habla de los estudios en su articulo 122 que se˜nala: Art. 122 La actividad acad´emica en una Escuela Profesional comprende: Formaci´on general. Formaci´on b´asica profesional. Formaci´on profesional. Investigaci´on. Orientaci´on profesional. Proyecci´on y extension universitaria Su dise˜no involucra la programaci´on curricular te´orico-practica de cada asignatura; proyec- tos de investigaci´on sobre la realidad regional, nacional y mundial; plan de actividades de proyecci´on y extension universitaria; y un plan de pr´acticas pre-profesionales. Concor.: Arts.10, 12, 16 y ss. Ley 23733 Fisica I
  • CAP´ITULO 3 Objetivos 3.1. Objetivos Generales Las pr´acticas pre-profesionales tienen como objetivo poner en pr´actica los conocimientos adquiridos plasm´andolo en la ense˜nanza universitaria. 3.2. Objetivos Espec´ıficos Los objetivos espec´ıficos que se tiene para la practica desarrollada en la respectiva asignatura designada son: Familiarizarse en el desempe˜no de la docencia universitaria. Afianzar los conocimientos adquiridos, para resolver problemas durante la pr´actica pre- profesional. Solucionar con m´etodos adecuados los problemas que se presentan. Estar siempre disponible para absolver las inquietudes de los alumnos. 4
  • CAP´ITULO 4 Vectores Definici´on: Vector es un segmento de recta que tiene direcci´on, tama˜no, sentido y origen. 4.1. Gr´aficamente Se presenta de la siguiente manera: Donde: v : Se lee vector ||v|| = v : tama˜no o modulo del vector v O : Punto de aplicaci´on u origen del vector. → : Esta dado por la linea del vector 5
  • 4. Vectores 6 4.2. Representaci´on cartesiano Sea una sistema XY , se define vectores unitarios (modulo igual a uno) en el eje X : ˆi, eje Y : ˆj, definimos el vector −→ Ov, as´ı El modulo se define || −→ Ov|| = ||v|| = v = v2 x + v2 y, La direcci´on se define usando la raz´on trigonom´etrica tan θ que hace un ´angulo con el eje (+X): tan θ = vx vy 4.3. Vectores en el espacio Sea un sistema de coordenadas XY Z se define el vector unitario en los ejes X : ˆi, Y : ˆj y Z : ˆk tal como se muestra en la figura Fisica I
  • 4. Vectores 7 Entonces se define el vector −→ Ov = Ovx ˆi + Ovy ˆj + Ovz ˆk, donde: Ovx = || −→ Ov|| cos α = vx Ovy = || −→ Ov|| cos β = vy Ovz = || −→ Ov|| cos θ = vz Su modulo es: || −→ Ov|| = v = v2 x + v2 y + v2 z Su direcci´on: para encontrar las direcciones usaremos la Razones trigonom´etricas del cos que hacen el vector con los ejes (cosenos directores) cos α = vx v , cos β = vy v y cos θ = vz v existe una propiedad fundamental: cos2 α + cos2 β + cos2 θ = 1 4.4. Observaciones Se define como punto de coordenadas P1 = (x1, y1, z1) P2 = (x2, y2, z2) entonces el vector −−→ P1P2 = P2 − P1 = (x2, y2, z2) − (x1, y1, z1) donde queda de la forma siguiente −−→ P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) su modulo: || −−→ P1P2|| = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 Fisica I
  • 4. Vectores 8 4.5. Vectores unitarios El vector unitario se define ˆu = v ||v|| = v v , entonces v = vˆu, esto quiere decir que todo vector es igual a su modulo multiplicado por su vector unitario. 4.6. Adici´on de vectores Dados los vectores r, q, se define la suma de vectores, as´ı r = rx ˆi + ry ˆj, q = qx ˆi + qy ˆj r + q = (rx + qx)ˆi + (ry + qy)ˆj gr´aficamente 4.6.1. Propiedades i) Dado r y q entonces r + q = q + r (Ley de conmutativa) ii) Dado r y q y R ∈ R; R(r + q) = Rr + Rq (distribuci´on con respecto a un escalar) 4.7. Sustracci´on de vectores Dado los vectores r y q se define (r − q) y sumamos a r el vector opuesto a q 4.7.1. Propiedades i) Dado r y q entonces r − q = −(q − r) (no cumple la conmutativa) ii) Dado r, q, p entonces: r − (q − p) = (r − q) + p (no cumple la Ley asciativa) Fisica I
  • 4. Vectores 9 4.8. Ley de Cosenos Demostraci´on Como se trata de vectores libres se puede trasladar: Teorema de pit´agoras en el tri´angulo ABC en efecto tenemos: R2 = (v2 sen θ)2 + (v1 + v2 cos θ)2 R2 = v2 2 sen2 θ + v2 1 + 2v1v2 cos θ + v2 2 cos2 θ R2 = v2 2 + v2 1 + 2v1v2 cos θ R = v2 2 + v2 1 + 2v1v2 cos θ Si θ = 90o entonces R = v2 1 + v2 2, si θ = 120o entonces R = v1 − v2, si θ = 0o entonces R = v1 + v2 Fisica I
  • 4. Vectores 10 4.9. Ley de senos Demostraci´on: sen α = h r1 (1) sen(180 − β) = sen β = h r3 (2) (1)÷ (2) tendremos h r1 h r3 = sen α sen β =⇒ r3 r1 = sen α sen β =⇒ r3 sen α = r1 sen β (*) por otro lado: Fisica I
  • 4. Vectores 11 sen α = h r2 (3) sen θ = h r3 (4) (3)÷ (4) en efecto: h r2 h r3 = sen α sen θ =⇒ r3 r2 = sen α sen θ =⇒ r3 sen θ = r2 sen θ (**) de (*) y (**) r1 sen β = r2 sen θ = r3 sen α 4.10. Producto escalar Dado los vectores:A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz) se define el producto escalar: A · B = AxBx + AyBy + AzBz si los vectores A y B forman un ´angulo θ, se define el producto A · B = AB cos θ 4.11. Producto vectorial Dado los vectores A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz) se define el producto vectorial A × B = ˆi ˆj ˆk Ax Ay Az Bx By Bz = ˆi(AyBz − AzBy) − ˆj(AxBz − AzBx) + ˆk(AxBy − AyBx) 4.12. Ejercicios resueltos de vectores Ejercicio No 4. 1 Dado los vectores P y Q R = mP + nQ tal como se indica en la figura: si P = 3, Q = 5, R = 10 Hallar la relaci´on m n =? Fisica I
  • 4. Vectores 12 Soluci´on Si R = mP + nQ (*) P = 3ˆi, Q = 5ˆj y R = R cos 45oˆi + R sen 45oˆj P = 3ˆi Q = 5ˆj R = R cos 45oˆi + R sen 45oˆj R = 10    (1) Luego (1) en (*) tenemos 10 cos 45oˆi + 10 sen 45oˆj = 3mˆi + 5nˆj tenemos 10 cos 45oˆi = 3mˆi m = 10 3 √ 2 ⇒ 10 sen 45oˆj = 5nˆj n = 2√ 2 como te pide encontrar m n = 10 3 √ 2 2√ 2 = 5 3 Ejercicio No 4. 2 Dado lo vectores P y Q que forman ´angulo θ demostrar: tan φ = Q sen θ P+Q sen θ Fisica I
  • 4. Vectores 13 Soluci´on La demostraci´on se hace de acuerdo a la gr´afica. Haciendo un trazo tenemos. del tri´angulo ACD tenemos tan φ = Q sen θ P + Q cos θ Ejercicio No 4. 3 Hallar el vector C de la figura sabiendo que A = (−1, 2) , B = (4, 1) y C = 8 Soluci´on Sea el vector C = (x, y) como: B · C = (4, 1)(x, y) = 4x + y = ||B||||C|| cos α 4x + y = √ 17(8) cos α (1) Luego hallamos: A · B = ||A||||B|| cos θ (−1, 2) · (4, 1) = √ 5 √ 17 cos θ −4 + 2 = √ 85 cos θ −2 = √ 85 cos θ cos θ = − 2√ 85 θ = arc cos − 2√ 85 θ = 102.5o (2) Fisica I
  • 4. Vectores 14 Como α + θ + α = 180 2α + 102.5 = 180 α = 38.75 (3) Luego (3) en (1) tenemos: 4x + y = √ 17(8) cos(38.75) = 25.72 4x + y = 25.72 (4) como dato se tiene x2 + y2 = 8 (5) de (4) y (5) tenemos: x2 + (25.72 − 4x)2 = 64 x2 + (25.72)2 − 2(4x)(25.72) + 16x2 = 64 17x2 − 205.76x + 597.53 = 0 x = 7.27 , y = 25.72 − 4x = −3.36 x = 4.83 , y = 25.72 − 4x = 6.4 Finalmente el vector toma 2 valores C = (7.27, −3.36) C = (4.33, 6.4) Ejercicio No 4. 4 Dado el modulo del vector |P| = 8 y la relaci´on de sus cosenos directores es 9 : 3 : √ 31, el vector R = (a, −10, 10) y el producto P ×R = (62.3, −4.52, −66.5) Hallar el ´angulo que hace P y R Soluci´on Como sabemos P = Px ˆi + Py ˆj + Pz ˆk (1) P = P cos αˆi + P cos βˆj + P cos γˆk (2) como: cos α 9 = cos β 3 = cos γ √ 31 cos β = 1 3 cos α y cos γ = √ 31 9 cos α (3) Luego (3) en (2) tenemos P = 8 cos αˆi + 8 cos α 3 ˆj + 8 √ 31 9 cos αˆk (4) ||P|| = (8 cos α)2 + 8 cos α 3 2 + 8 √ 31 9 cos α 2 = 8 cos α = 0.818o , α = 35.1o (5) Fisica I
  • 4. Vectores 15 Luego (5) en (4) tenemos: P = 8 cos 35.1oˆi + 8 3 cos 35.1oˆj + 8 √ 31 9 cos 35.1oˆk y como por dato: R = (a, −10, 10) P × R = ˆi ˆj ˆk 6.54 2.18 4.05 a −10 10 y ahora P × R = (62.3, −4.52, −66.5) (62.3, −452, −66.5) = (10(2.18) + 10(4.05))ˆi − (6.54(10) − a(4.05))ˆj + (−6.54(10) − 2.18(a))ˆk Relacionando los componentes tenemos: −(6.54 − 4.05(a)) = −4.52 −(6.54 + 2.18(a)) = −66.5 de donde obtenemos a = 0.5, luego R = (0.5, −10, 10), como se pide encontrar el ´angulo de separaci´on entre los vectores sera: P · R = ||P||||R|| cos θ (6.54, 2.18, 4.05)(0.5, −10, 10) = (7.99)(14.15) cos θ 6.54(0.5) − 2.18(10) + 4.05(10) = (7.99)(14.15) cos θ 21.97 = 7.99(14.15) cos θ cos θ = 21.97 7.99(14.15) = 0.194 θ = arctan(0.194) = 78.8 θ = 78.8 Ejercicio No 4. 5 Los extremos de los vectores A = (6, 9, 6), B = (2, 1, 4) y C = (8, 6, 7) determinan un tri´angulo, demostrar si es rect´angulo Soluci´on Primero tenemos que hallar los lados −→ AC, −−→ BC y −→ AB y −→ AC = C − A = (8, 6, 7) − (6, 9, 6) −→ AC = (2, −3, 1) −→ BA = B − A = (2, 1, 4) − (6, 9, 6) −→ BA = (−4, −8, −2) −−→ BC = B − C = (2, 1, 4) − (8, 6, 7) −−→ BC = (−6, −5, −3) Fisica I
  • 4. Vectores 16 Luego: −→ AC · −−→ BC = (2, −3, 1) · (−6, −5, −3) −→ AC · −−→ BC = (−12 + 15 − 3 = 0 −→ AC · −→ AB = (2, −3, 1) · (−4, −8, −2) −→ AC · −→ AB = −8 + 24 − 2 = 14 −−→ BC · −→ AB = (−6, −5, −3) · (−4, −8, −2) −−→ BC · −→ AB = 24 + 40 + 6 = 70 Se observa que −→ AC⊥ −−→ BC luego el tri´angulo es recto en C Fisica I
  • CAP´ITULO 5 Est´atica Es la parte de la mec´anica cuyo objetivo es estudiar las condiciones de equilibrio que deben cumplir las fuerzas que act´uan sobre un cuerpo que esta se encuentre en equilibrio. La EST´ATICA estudia a las fuerzas, a los cuerpos en equilibrio y centro de gravedad. 5.1. Fuerza La fuerza se define como la causa de la deformaci´on de un cuerpo, de su cambio de posici´on y de la variaci´on de su velocidad en consecuencia las fuerzas provocan aceleraci´on o deformaci´on sobre los cuerpos. 5.2. Condici´on de equilibrio Se dice que un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando el efecto total de la fuerza que act´ua sobre ella es nula o para que un cuerpo se encuentre en equilibrio la resultante de las fuerzas que act´uan sobre el debe ser igual a cero F = 0 Al efectuar la descomposici´on vectorial sobre los ejes rectangulares se debe cumplir Fx = 0, Fy = 0 y Fz = 0 5.3. Torque o momento de una fuerza Considerando una fuerza F que act´ua en un cuerpo C que puede rotar alrededor del punto O(figura). Nuestra experiencia diar´ıa sugiere que la efectividad en la rotaci´on de F aumenta con la distancia perpendicular (denominado brazo de palanca) b = OB desde O a la linea de 17
  • 5. Est´atica 18 acci´on de la fuerza. Esta experiencia nos sugiere la conveniencia de definir una cantidad f´ısica τ que llamaremos torque o momento de una fuerza, de acuerdo a la relaci´on o torque = fuerza × brazo de palanca. τ = F × r notando de la figura que b = r sen θ tambi´en podemos escribir as´ı: τ = Fr sen θ En el cual r es el vector posici´on con respecto al punto O recordando que r = xˆi + yˆj + ˆk y F = Fx ˆi + Fy ˆj + Fz ˆk tambi´en se puede obtener haciendo el producto × en efecto tenemos: τ = ˆi ˆj ˆk x y z Fx Fy Fz = (Fzy − Fyz)ˆi − (Fzx − Fxz)ˆj + (Fyx − Fxy)ˆk τ = Fzy − Fyz)ˆi − (Fzx − Fxz)ˆj + (Fyx − Fxy)ˆk 5.4. Ejercicios resueltos de est´atica Ejercicio No 5. 1 En el sistema adjunto hallar el peso w que produce el equilibrio Fisica I
  • 5. Est´atica 19 Soluci´on Para este consideremos el sistema de fuerzas de coordenadas en el punto B Por la condici´on de equilibrio: Fx = 0, T1 cos 60o − T2 cos 30o = 0, T1 = T2 cos 30o cos 60 (1) Fy = 0, T1 sen 60o + T2 sen 30o − w = 0, w = T1 sen 60 + T2 sen 30o (2) pero es necesario en saber T2, para encontrar la tension T2 usaremos el sistema en el punto A Tambi´en usando las ec. de equilibrio Fx = 0 T2 cos 30o − T3 cos 45o = 0 T3 = T2 cos 30o cos 45o (3) Fy = 0, T3 sen 45o − 10 − T2 sen 30o = 0 (4) Luego de (3) y (4) tenemos: Fisica I
  • 5. Est´atica 20 T2 cos 30o cos 45o sen 45o − 10 − T2 sen 30o = 0 T2 cos 30o − T2 sen 30o = 10 T2 = 10 cos 30o−sen 30o T2 = 27.39N Luego reemplazando en (1) T1 = (27.39) cos 30o cos 60o = 47.32N Luego finalmente reemplazando T1, T2 en (2) se encontrara w = (47.39) sen 60o + (27.39) sen 30o = 54.73N Ejercicio No 5. 2 Calcular el peso P necesario para mantener el sistema mostrado en la figura adjunta en el cual A pesa 100Kgf , Q = 10Kgf el plano y las poleas son lisos la cuerda AC es horizontal y la cuerda AB es paralelo al plano calcular tambi´en la reacci´on del plano sobre el peso A. Soluci´on Haremos el diagrama de cuerpo libre del bloque: Fisica I
  • 5. Est´atica 21 como A = 100Kgf y Q = 10Kgf Fx = 0 P − Q cos 30o − A sen 30o = 0 (1) P = Q cos 30o + A sen 30o P = 10 cos 30o + 100 sen 30o P = 10( √ 3 2 ) + 100(1 2 ) P = 587Kgf Fy = 0 N − A cos 30o − Q sen 30o N = 100 cos 30o − 10 sen 30o = 81.5Kgf Ejercicio No 5. 3 Una varilla de masa de 6Kg y longitud 0.8m esta colocado sobre un ´angulo recto liso como se muestra en la figura adjunta. Determinar la posici´on equilibrio y las fuerzas de reacci´on como una funci´on del ´angulo α Soluci´on Haremos el diagrama de cuerpo libre: Fx = 0 Fisica I
  • 5. Est´atica 22 RB cos α − RA sen α = 0 RA = RB cos α sen α (1) Fy = 0 RA cos α + RB sen α − w = 0 RA cos α + RB sen α = w (2) Luego (1) en (2) tenemos RB cos α sen α cos α + RB sen α = w RB cos2 α + RB sen2 α = w sen α RB(sen2 α + cos2 α) = w sen α RB = w sen α (3) Luego (3) en (1) tenemos RA = w sen α cos α sen α RA = w cos α (4) Ejercicio No 5. 4 La viga uniforme AB de la figura adjunta tiene 4m de largo y pesa 100Kgf la viga puede rotar alrededor de un punto fijo C. La viga reposa en el punto A. un hombre que pesa 75Kgf camina a lo largo de la viga partiendo de A. Calcular la maxima distancia que el hombre puede caminar a partir A manteniendo el equilibrio. representar la reacci´on en A como una funci´on de la distancia x Soluci´on Datos: wb = 100Kgf wh = 75Kgf Fy = 0 Realicemos el diagrama de cuerpo libre de la viga Fisica I
  • 5. Est´atica 23 RA + RC − wb − wh = 0 (1) Usando la segunda condici´on de equilibrio en el punto A MA = 0 Rc(2.5) − 2wb − xwh = 0 (2) la maxima distancia x es cuando RA = 0 RC = wb + wh (3) luego (3) en (2) tenemos: RC = 15175Kgf (175)(2.5) − 2(100) − x(75) = 0 2375 = x(75) =⇒ x = 3.17m Ejercicio No 5. 5 La viga AB de la figura tiene 1.2m de largo y pesa despreciable. Las esferas C y D (de 10Kg y 20Kg respectivamente), unidas por la barra CD, descansan sobre la viga. La distancia entre los centros de las esferas es de 0.3m calcular la distancia x de modo que la reacci´on en B sea la mitad de la esfera. Soluci´on Datos: wC = 40Kg wD = 20Kg CD = 0.3m RB = 1 2 RA Realicemos el diagrama de cuerpo libre de la viga Fisica I
  • 5. Est´atica 24 RA + RB − wC − wD = 0 (1) usando la siguiente condici´on de equilibrio en el punto A MA = 0 wC(1.2 − x − 0.3) + wD(1.2 − x) − RB(1.2) = 0 de (1) tenemos RA + 1 2 RA = wC + wD 3RA 2 = 40 + 20 = 60 RA = 2.60 3 = 40 RA = 40N RB = 20N Luego tenemos que encontrar la distancia x: 40(1.2 − x − 0.3) + 20(1.2 − x) = 1.2(20) 4(0.9 − x) + 2(1.2 − x) = 2.4 3.6 − 4x + 2.4 − 2x = 2.4 x = 0.6m Fisica I
  • CAP´ITULO 6 Cinem´atica La cinem´atica es la parte de la mec´anica que estudia el movimiento en si, sin tomar en cuenta sus causas y las acciones de fuerza extra˜nas. La palabra viene de cin´etica, que significa movimiento. 6.1. Vector posici´on (r) Denominado tambi´en radio vector, determina la posici´on de un cuerpo en cada instante con respecto al sistema de referencia. En la figura anterior consideremos el movimiento de una part´ıcula (bolita) de izquierda a derecha, ubicandoce en 3 tiempos diferentes (t1, t2, t3). ubicado 3 vectores de posici´on r1, r2, r3 que se forman respecto al sistema de referencia (punto O) 25
  • 6. Cinem´atica 26 6.2. Desplazamiento d Es el vector (d) que define el cambio de posici´on que experimenta un cuerpo con respecto a un sistema de referencia tal como se indica e la figura en el tri´angulo vectorial verificamos que: d = ∆r = r1 − r2 (6.1) El modulo del vector desplazamiento tiene el nombre de distancia 6.3. Velocidad promedio Se define la velocidad promedio de la part´ıcula durante un intervalo de tiempo ∆t como el desplazamiento de una part´ıcula dividido entre el intervalo de tiempo v = r2 − r1 t2 − t1 = ∆r ∆t (6.2) Fisica I
  • 6. Cinem´atica 27 6.4. Velocidad instant´anea Para definir la velocidad en un punto, se hace tender al limite el intervalo del tiempo (∆t → 0) (el limite de la velocidad promedio) vinst = l´ım ∆t→0 ∆r ∆t = dr dt (6.3) 6.5. Aceleraci´on promedio Cuando la part´ıcula pasa por A en un tiempo t, tiene una velocidad v1,(La velocidad es tangente a la curva en los puntos A y B) B tiene una velocidad v2 en t2, ver gr´afica, se define la aceleraci´on promedio a = ∆v ∆t = v2 − v1 t2 − t1 (6.4) Fisica I
  • 6. Cinem´atica 28 6.6. Aceleraci´on instant´anea Es el limite de la aceleraci´on promedio para siempre en cuando el tiempo debe de ser muy peque˜no por ese motivo (∆t → 0) ainst = l´ım ∆t→0 ∆v ∆t = dv dt (6.5) y como v = dr dt y reemplazando en (6.5) ainst = d dt dr dt = d2 r dt2 (6.6) 6.7. Movimiento parab´olico En este movimiento el m´ovil lanzado con una velocidad v formando con la horizontal un ´angulo α describe una trayectoria parab´olica que proviene generalmente de dos movimientos simples: cir horizontal (M.R.U.) y el otro vertical (M.R.U.V.) 6.7.1. Movimiento horizontal (MRU) La velocidad es constante vox = vx = vo cos α x = voxt = vo cos αt (6.7) Fisica I
  • 6. Cinem´atica 29 6.7.2. Movimiento vertical (MRUV) El movimiento es uniforme acelerado vy = voy − gt = vo sen α − gt (6.8) de la ecuaci´on tenemos y = voy − 1 2 gt2 = vo sen αt − 1 2 gt2 (6.9) de (6.7) despejando t y luego reemplazando en (6.9) t = x vo cos α y = vo sen αx vo cos α − 1 2 g x vo cos α 2 = x tan α − 1 2 g x2 v2 o cos α (6.10) y = xvo tan α − 1 2 g x2 v2 o cos α ; es la ecuaci´on de la parabola 6.8. Altura maxima Es el m´aximo alcance cuando vy = 0 en la ecuaci´on (6.8) 0 = vo sen α − gt, t = vo sen α g (6.11) luego (6.11) en (6.9) y = Hmax = vo sen α vo sen α g − 1 2 g vo sen α g 2 Hmax = v2 o sen2 α g − 1 2 g v2 o sen2 α g2 = v2 o sen2 α g − 1 2 vo sen2 α g Hmax = v2 o sen2 α 2g (6.12) Fisica I
  • 6. Cinem´atica 30 6.9. Alcance m´aximo Consideremos cuando y = 0 en (6.9) 0 = vo sen αt − 1 2 gt2 1 2 gt2 = vo sen αt tt = 2vo sen α g (6.13) donde tt: tiempo de vuelo del proyectil. observamos que este tiempo es el doble del anterior por ello se dice que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada (6.13) en (6.7) x = R = vo cos αtt = vo cos α 2vo sen α g = v2 o sen α cos α g por ´angulo doble de identidad trigonom´etrica R = vo sen 2α g (6.14) para un tri´angulo t, el vector resultante es: v = v2 x + v2 y, su direcciones tan α = vy vx 6.10. Movimiento circular: Velocidad angular Consideremos ahora el caso especial en la cual la trayectoria es un circulo; esto es movimiento circular, la velocidad v, siendo tangente al circulo, es perpendicular al radio R = CA cuando medimos distancias a lo largo de la circunferencia del circulo a partir de O, del gr´afico mostrado tenemos. del gr´afico tenemos S = Rθ Fisica I
  • 6. Cinem´atica 31 derivamos con respecto al tiempo dS st = R dθ dt = Rw v = RW (6.15) como sabemos la velocidad angular instant´anea es: w = dθ dt (6.16) derivamos nuevamente la ecu (6.15), con respecto a t dv dt = R dw dt = Rα se define la aceleraci´on angular instant´anea α = dw dt (6.17) cuando la aceleraci´on es constante se define la velocidad media ¯w = wo + wt 2 (6.18) Hallaremos la relaci´on vectorial entre v y w del gr´afico mostrado v = w × r sabemos v = Rw, del gr´afico R = r sen φ, v = (r sen φ)w = wr sen φ sabemos por definici´on de producto vectorial v = w × r (6.19) Fisica I
  • 6. Cinem´atica 32 adem´as a = dv dt = d dt (w × r) a = dw dt × r + w × dr dt = α × r + w × v a = α × r + w × v (6.20) de donde tenemos aT = α × r (aceleracion tangencial) aN = w × v (aveleracion normal) a = aT + aN 6.11. Ejercicios resueltos de cinem´atica Ejercicio No 6. 1 Un m´ovil se mueve seg´un v = t2 −9, donde v(m/s) y t(seg), hallar la aceleraci´on para v = 27m/s Soluci´on datos v = 27m/s Como te pide la aceleraci´on sabemos que: a = dv dt = d dt (t2 − 9) = d(t2 ) dt − d(9) dt a = 2t (1) Fisica I
  • 6. Cinem´atica 33 ahora tenemos que encontrar el tiempo de v v = t2 − 9, v = 27m/s 27 = t2 − 9 t2 = 36 t = 6 (2) finamente para encontrar la aceleraci´on (2) en (1) a = 2(6) = 12m/s2 a = 12m/s2 Ejercicio No 6. 2 Una part´ıcula se mueve en el plano XY , de acuerdo a las relaci´on ax = −2 sen 3t, ay = cos 3t, cuando t = 0, x = 0, y = 2, vx = 4m/s y vy = 1m/s, hallar la ecuaci´on de la trayectoria , la velocidad para t = π 6 seg Soluci´on datos: ax = −2 sen 3t, ay = cos 3t, x = 0, t = 0, y = 2, vx = 4m/s, vy = 1m/s a) como sabemos que a = dv dt (1) i) Para el eje X de (1) dvx = axdy v − vx = t to (−2 sen 3t)dt v − vx = −2 t 0 sen 3tdt v − vx = 2 3 cos 3t t 0 v − vx = 2 3 cos 3t − 2 3 v = 2 3 cos 3t − 2 3 + 4 = 2 3 cos 3t + 10 3 (2) ahora v = dr dt r ro dr = t to vdt r − ro = t 0 2 3 cos 3t + 10 3 dt rˆi = 2 9 sen 3t + 10 3 t t 0 = 2 9 sen 3t + 10t 3 ˆi (3) Fisica I
  • 6. Cinem´atica 34 ii) Para el eje Y de (1) v vo=vy dv = t to=0 adt v − vy = t 0 (cos 3t)dt v = sen 3t 3 + 1 (4) como v = dr dt r ro dr = t to vdt r − ro = t 0 sen 3t 3 + 1 dt r − 2 = − 1 9 cos 3t + 1 9 + t r = 1 9 cos 3t + 19 9 + t ry = 19 9 + t − 1 9 cos 3t ˆi (5) de (3) y (5) tenemos r = 10t 3 + 2 9 sen 3t ˆi + 19 9 + t − 1 9 cos 3t ˆj b) La velocidad para t = π 6 seg de (2) y (4) tenemos v = 2 3 cos 3t + 10 3 ˆi + 1 3 sen 3t + 1 ˆj v = 2 3 cos π 2 + 10 3 ˆi + 1 3 sen π 2 + 1 ˆj = 10 3 ˆi + 4 3 ˆj ||v|| = 10 3 2 + 4 3 2 = √ 116 3 Ejercicio No 6. 3 Un cuerpo se mueve con una aceleraci´on de a = pt2 , donde p es constante, si para t = 0, v = 2m/s y cuando t = 2s, v = 16m/s y y = 1m. a) Hallar la posici´on en funci´on del tiempo. b) la distancia total recorrido en 2seg c) Cual es la posici´on al cabo de 3s Soluci´on Fisica I
  • 6. Cinem´atica 35 a) Si la aceleraci´on a = dv dt = pt2 datos: t = 0, vo = 2m/s, tf = 2 y vf = 16m/s v vo=2 dv = tf to=0 pt2 dt vf − v0 = pt3 3 vf − 2 = p(2)3 3 16 − 2 = p(2) 3 14(3) 8 = p p = 5.25 Para encontrar la posici´on v = 2 + 5.25 3 t3 , v = dx dt , x 1 dx = t 2 vdt x − 1 = t 2 2 + 5.25t3 3 dt x = 1 + 2t|t 2 + 5.25t4 12 t 2 = 2t + 5.25t4 12 − 10 x = 2t + 5.25t4 12 − 10 (1) b) Para hallar la distancia recorrida 1 a 2s debemos que hallar el area debajo de la funci´on velocidad - tiempo como v = dx dt x2 x1 dx = 2 1 vdt x2 − x1 = 2 1 2 + 5.25t3 3 dt x2 − x1 = 2t|2 1 + 5.25t4 12 2 1 x2 − x1 = 8.5625 (2) Fisica I
  • 6. Cinem´atica 36 c) La posici´on al cabo de 3seg es de (1) x = 2t + 5.25t4 12 − 12, t = 3 x = 2(3) + 5.25(3)4 12 − 10 = 7.81m Ejercicio No 6. 4 Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta de acuerdo a la ley v = t3 +4t2 +2 si x = 4 cuando t = 2s encontrar el valor de x cuando t = 3s encontrar tambi´en su aceleraci´on Soluci´on Datos x = 4m, t = 2s, t = 3s si tenemos la expresi´on v = t3 + 4t2 + 2 (1) adem´as v = dx dt x xo dx = t to vdt x|x xo=4 = t=3 to=2 (t3 + 4t2 + 2)dt x − 4 = t4 4 + 4t3 3 + 2t 3 2 x = 4 + 81 4 − 16 4 + 4(27) 3 − 4(3) 3 + 2(3 − 2) x = 4 81 4 + 36 + 6 − 4 − 32 3 − 4 x = 47.58m Luego calculamos su aceleraci´on si sabemos que a = dv dt a = d dt (t3 + 4t2 + 2) = 3t2 + 8t pero t = 3seg a = 3(3)2 + 8(3) a = 31m/s2 Ejercicio No 6. 5 En el t = 0 un paracaidista (figura) que tiene un peso de magnitud mg esta situado en z = 0 y se mueve verticalmente hacia abajo con una velocidad vo si la fuerza o resistencia del aire que act´ua sobre el paracaidista es perpendicular a la rapidez instant´anea, hallar a) la rapidez b) la distancia Soluci´on Fisica I
  • 6. Cinem´atica 37 a) Consideremos como una part´ıcula de masa m, esta situaci´on a una distancia z del origen, si k es un vector unitario en la direcci´on vectorial hacia abajo. por la ley de Newton ma = F m dv dt ˆk = (mg − βv)ˆk (1) m dv dt = mg − βv mdv mg − βv = dt integrando mdv mg − βv = dt − m β ln(mg − βv) = t + c1 (2) como v = vo cuando t = 0 e efecto − m β ln(mg − βvo) = c1 (3) luego (3) en (2) −m β ln(mg − βv) = t − m β ln(mg − βvo) t = m β ln(mg − βvo) − m β ln(mg − βv) t = m β ln mg−βvo mg−βv tβ m = ln mg−βvo mg−βv e tβ m = eln(mg−βvo mg−βv ) e tβ m = mg−βvo mg−βv v = mg β + vo − mg β e−βz m (4) Fisica I
  • 6. Cinem´atica 38 b) Para encontrar la distancia recorrida de (4) tenemos dz dt = v = mg β + vo − mg β e−βt m , entonces integramos dz dt = mg β + vo − mg β e−βt m dt z = mgt β − β m vo − mg β e−βt m + c2 (5) como z = 0, cuando t = 0 0 = − β m vo − mg β + c2 c2 = β b vo − mg β (6) (5) en (6) tenemos z = mgt β + m β vo − mg β 1 − e−βt m c) utilizando (4), es aceleraci´on esta dado por a = dv dt = − β m vo − mg β e−βt m = g − βvo m e−βt m a = g − βvo m e−βt m Ejercicio No 6. 6 Un plano inclinado (figura) forma un ´angulo α con la horizontal. se dispara un proyectil desde el punto mas bajo A del plano inclinado con rapidez vo formando un ´angulo β con la horizontal. a) Demostrar que el alcance R sobre el plano inclinado es R = 2v2 o sen(o beta − α) cos β g cos2 α b) Probar que el alcance m´aximo sobre el plano inclinado seda por Rmax = v2 o g(1+sen α) , que se obtiene cuando β = π 4 + α 2 Fisica I
  • 6. Cinem´atica 39 Soluci´on Para el eje horizontal (MRU) y para el eje vertical (MRUV) z = (vo cos βt); y = vo sen βt − 1 2 gt2 (1) el vector posici´on del proyectil en cualquier tiempo t es r = yˆj + zˆz de (1) r = (vo cos βt)ˆj + (vo sen βt − 1 2 gt2 )ˆk (2) la ecuaci´on del plano inclinado (en el plano Y Z es una recta) es z = y tan α (3) reemplazando (1) en (3) tenemos vo sen βt − 1 2 gt2 = vo cos βt tan α t = 2vo(sen β cos α − cos β sen α) g cos α = 2vo sen(β − α) g cos α (4) el tiempo cuando este en el punto B del gr´afico sec α = R y R = y sec α, luego reemplazando el valor de t en la primera ecu. R = vo cos β2vo sen(β − α) sec α g cos2 α R = 2v2 o cos β sen(β − α) g cos2 α b) el alcance R puede expresar utilizando la identidad trigonom´etrica sen A cos B = 1 2 (sen(A + B) + sen α) Fisica I
  • 6. Cinem´atica 40 es m´aximo cuando sen(2β − α) = 1 esto es 2β − α = π 2 o β = α 2 + π 4 y el valor de este m´aximo es Rmax = v2 o(1 − sen α) g cos2 α = v2 o(1 − sen α) g(1 + sen α)(1 − sen α) Rmax = v2 o g(1 + sen α) Ejercicio No 6. 7 Un m´ovil se mueve sobre la trayectoria x2 + y2 = 9 su ecuaci´on es S = 2t3 , donde S se mide a partir del punto (3,0) sobre la trayectoria. Hallar la ecuaci´on del m´ovil Soluci´on La aceleraci´on esta dado por a = a2 N + a2 T (*) si S = 2t3 v = dS dt = d dt (2t3 ) = 6t2 a = dv dt = d(6t2 ) dt = 12t (1) aN = v2 p = (6t2 )2 3 = 36t4 3 = 12t4 (2) donde p = 3 y finalmente (1) y (2) en (*) a = (12t4)2 + (12t)2 = √ 144t8 + 144t2 a = √ 144t8 + 144t2 Ejercicio No 6. 8 Una part´ıcula parte con una velocidad inicial vo y se mueve aceleradamente por una circunferencia de radio p en todo momento la aceleraci´on tangencial es el doble de la aceleraci´on normal. Hallar la aceleraci´on total en funci´on del arco S Fisica I
  • 6. Cinem´atica 41 Soluci´on En todo instante aT = 2aN (1) La aceleraci´on total es: a = a2 T + a2 N (2) reemplazando (1) en (2) a = (2aN )2 + (aN )2 = 5a2 N (3) donde aN = v2 p (4) hallemos v seg´un la condici´on del problema aT = 2aN ; dv dt = 2v2 p haremos unos arreglos multi- plicando por dS dS dv dt dS dS = dv dS dS dt = v dv dS = 2v2 p (5) dv v = 2 dS p v vo dv v = 2 p S 0 dS ln v vo = 2S p eln( v vo ) = e 2S p v = voe 2S p (6) Luego (6) en (4) tenemos aN = v2 p = voe 2S p 2 p = v2 oe 4S p p finalmente para encontrar la aceleraci´on de reemplazamos en (3) a = √ SaN = √ S v2 oe 4S p p Fisica I
  • 6. Cinem´atica 42 Ejercicio No 6. 9 Un motor gira con una frecuencia constante de 360rpm. Calcular: a) El periodo de rotaci´on en segundos b) La frecuencia angular en rad/s Soluci´on f = 360rpm = 360 rev min = 360 rev 60s f = 6rev/s a) Calculo del periodo T = 1 f = 1 6 T = 1 6 s b) Calculo de la frecuencia angular w = 2πf = 2π(6) w = 12π rad s Ejercicio No 6. 10 Un auto es capas de recorrer uniformemente 100m en 4s, si el radio de sus llantas es 0.2m, determinar su velocidad angular durante el movimiento. Soluci´on Graficando el movimiento realizado Soluci´on Un observador en el auto dir´a s = vt s = wRt Reemplazando 100 = w(0.2)(4) w = 125rad/s Ejercicio No 6. 11 Una rueda gira describiendo 80vueltas en 1 minuto. Si la rueda tiene un radio de 50cm, ¿Cual ser´a la aceleraci´on centr´ıpeta de la rueda? Soluci´on Fisica I
  • 6. Cinem´atica 43 La aceleraci´on centr´ıpeta ser´a: acp = w2 R Pero w = θ t = 80vueltas 1minutos = 80(2πrad) 60s w = 8π 3 rad s Luego acp = 8 3 π 2 (0.5) acp = 32π2 9 m s2 Fisica I
  • CAP´ITULO 7 Din´amica de una part´ıcula Es la parte de la mec´anica que tiene finalidad estudiar las relaciones entre las fuerzas y el movimiento que estas producen. Es decir entre las causas y efectos. Estas relaciones entre las fuerzas y el movimiento fueron enunciados por ISAAC NEWTON 7.1. Fuerza Es una cantidad vectorial, que se define como el cambio con respecto al tiempo del movimien- to de una part´ıcula F = dp dt , donde: p: es momentun (7.1) 7.2. Primera ley de Newton (Ley de inercia) Todo cuerpo permanece en reposo (velocidad igual a cero) o con un movimiento rectilineo uniforme (velocidad constante) al menos que act´ua una fuerza que cambia su estado 7.3. Segunda Ley de Newton Todo fuerza aplicada a un cuerpo le comunica una aceleraci´on a en la misma direcci´on y sentido donde la fuerza directamente proporcional en ella o inversamente proporcional a la masa m del cuerpo. de 7.1 F = dp dt , p = mv F = d(mv) dt F = mdv dt F = ma (7.2) 44
  • 7. Din´amica de una part´ıcula 45 La ecuaci´on (7.2) es la segunda Ley de Newton 7.4. Tercera Ley de Newton Es cuando toda acci´on se opone siempre a una reacci´on igual pero en sentido contrario 7.5. Diferencia entre masa y peso 7.5.1. Peso Es la fuerza gravitacional que ejerce la tierra sobre el cuerpo, por ejemplo tenemos El peso es una cantidad vectorial Su direcci´on y sentido es hacia el centro de la tierra 7.5.2. Masa Es una cantidad escalar Se mide con la balanza Es constante, salvo para velocidades pr´oximas a la luz 7.6. Fuerzas de rozamiento Cuando un cuerpo va a iniciar un movimiento o esta en movimiento, existe una fuerza f que se opone al movimiento relativo entre los cuerpos, tal como se indica en la figura 7.6.1. Normal (N) La fuerza normal N es una fuerza perpendicular a la superficie en contacto, y es una reac- ci´on de la superficie fija sobre el cuerpo que se mueve, la fuerza de rozamiento siempre es perpendicular ala normal (N) Fisica I
  • 7. Din´amica de una part´ıcula 46 7.6.2. Fuerza de rozamiento est´atico Se define cuando se aplica una fuerza F sobre el cuerpo de peso w, al aumentar la fuerza F, el cuerpo no se mueve entonces F alcanza un valor m´aximo, o limite Flim en el cual se dice que el cuerpo va iniciar su desplazamiento o el movimiento es inmediato, entonces la fuerza que se opone al movimiento que es la fuerza de rozamiento est´atico fs experimentada, se halla que esta fuerza es proporcional a la normal fs ∝ N, fs = µsN donde µs : es el coeficiente de rozamiento est´atico 7.6.3. Fuerza de rozamiento cin´etico Se define la fuerza de rozamiento cin´etico, como la fuerza necesaria para mantener dos cuerpos en movimientos uniformes relativo, se halla experimentalmente que fk es proporcional a la normal fk ∝ N, fk = µkN donde µk: es el coeficiente de rozamiento cin´etico Fisica I
  • 7. Din´amica de una part´ıcula 47 7.7. Fuerza centr´ıpeta Cuando un cuerpo describe un movimiento circular, siempre existe la fuerza centr´ıpeta, mediante un observador que usa una sistema de referencia inercial Fc = mac, como ac = v2 R , tenemos Fc = m v2 R adem´as v = wR y reemplazando Fc = m (wR)2 R = m w2 R2 R = mw2 R Fc = mw2 R, donde w: velocidad angular. Tambi´en se puede expresar en funci´on la frecuencia w = 2π T = 2πf Reemplazando en la ecuaci´on de la fuerza centr´ıpeta Fc = m(2πf)2 R = 4π2 Rmf2 7.8. Ejercicios resueltos de din´amica de una particula Ejercicio No 7. 1 En la figura AB es una mesa sin rozamiento, las masa m1 y m2 est´an unidas por una cuerda que pasa sobre una polea liviana en B. Determinar a) la aceleraci´on de la m2 b) la tensi´on de la cuerda Fisica I
  • 7. Din´amica de una part´ıcula 48 Soluci´on Analizando para el bloque (2), m2 > m1 de la segunda Ley de Newton Fy = ma T2 − m2g = m2a2 (1) T1 = m1a1 (2) Luego (2) en (1) y T1 = T2 = T y a1 = a2 = a m1a − m2a = m2a m1 − m2a = m2g a = m2g m1−m2 La tension T = m2g + m2a T = m2g + m2 m2g m1−m2 T = m2g 1 + m2 m1−m2 = m2g m1−m2+m2 m1−m2 T = m1m2g m1−m2 Ejercicio No 7. 2 Las masa A y B en la figura adjunta son respectivamente de 10Kg y 5kg el coeficiente de fricci´on entre A y la masa es de 0,20, encontrar la masa minima de C que evita el movimiento de A. Calcular la aceleraci´on del sistema si C se separa del sistema Fisica I
  • 7. Din´amica de una part´ıcula 49 Soluci´on Calculo de la masa C De la 2da Ley de Newton Fx = ma T − Ff = (mA + mC)a (1) Fy = 0 N = (mA + mC)g (2) si Ff = µN Ff = (mA + mC)gµ (3) del bloque B tenemos Fisica I
  • 7. Din´amica de una part´ıcula 50 De la 2da Ley de Newton Fy = ma mBg − T = mBa T = mBg − mBa (4) Luego (3) y (4) en (1) tenemos: mBg − mBa − (mA + mC)gµ = (mA + mC)a mBg − (mA + mC)gµ = (mA + mB + mC)a a = mBg − (mA + mC)gµ (mA + mB + mC) , como FB = mBg, Fg = (mA + mC)gµ a = FB − Ff mA + mB + mC (5) Para que mC → minimo la aceleraci´on del sistema debe ser nula (a = 0) luego debe cumplir FB = Ff (6) (6) en (3) mBg = (mA + mC)gµ mBg = mAµg + mCµg mC = mAgµ − mB µg = mAµ − mB µ (7) finalmente reemplazando los datos en (7) pera encontrar la masa C mC = (5 − (0.20)10) 0.20 = 15Kg mC = 15Kg Para encontrar la aceleraci´on usamos la ecu. (5) tenemos a = mBg − µmAg mA + mB = (5 − (0.20)10)9.8 5 + 10 = 1.96m/s2 a = 1.96m/s2 Ejercicio No 7. 3 Un cuerpo cuya masa es de 0.30Kg, se encuentra sobre un plano inclinado 30o el cuerpo se mueve con movimiento uniforme y con aceleraci´on de 0.10m/s2 el coeficiente de fricci´on de deslizamiento con el plano es de 0.30 y su velocidad es de 2m/s2 hacia arriba. ¿ Que distancia recorre el cuerpo antes de detenerse?,¿ Cual es el menor del coeficiente de fricci´on de modo que el cuerpo una vez detenido no regrese hacia abajo? Soluci´on Representemos gr´aficamente el problema Fisica I
  • 7. Din´amica de una part´ıcula 51 Calcula de la distancia recorrida por el cuerpo tenemos: x = vot + 1 2 at2 (1) adem´as v = vo + at (2) segunda ley de movimiento Fx = ma −Ff − mg sen 30o = ma (3) ma = −(Ff + mg sen 30o ) (4) Fy = 0 N = mg cos 30o como Ff = Nµ, tenemos Ff = mg cos 30o µ = µmg cos 30o (5) Luego (5) en (4) ma = −(µmg cos 30o + mg sen 30o ) a = −(µg cos 30o + g sen 30o ) a = −g(µ cos 30o + sen 30o ) Reemplazando los datos tenemos a = −(9.8)(0.3 cos 30o + sen 30o ) a = −7.43m/s2 (6) de (2), como v = 0 t = − vo a = −(0.10) −(7.43) = 0.269s (7) finalmente (6), (7) en (1) tenemos x = 2(0.269) + 1 2 (−7.43)(0.269)2 x = 0.27m (8) Fisica I
  • 7. Din´amica de una part´ıcula 52 Calculemos el valor del coeficiente de fricci´on m´ınimo: tenemos: Ff − mg sen 30o = 0 (9) pero Ff = µ mg cos 30o (10) igualando (9)=(10) tenemos µ mg cos 30o = mg sen 30o µ = sen 30o cos 30o = tan 30o µ = 0.577 El gr´afico Para que el coeficiente sea m´ınimo Fx = 0 Ff − mg sen 30o = 0 Ff = mg sen 30o Ejercicio No 7. 4 La masa de A y B son de 3Kg y 1Kg respectivamente. Si se aplica una fuerza F = 5t2 a la polea, encontrar la aceleraci´on de A y B en funci´on de t ¿ que sucede despu´es que B alcanza la polea? Fisica I
  • 7. Din´amica de una part´ıcula 53 Soluci´on como se jala la polea haremos el an´alisis para el bloque B De la 2da Ley de Newton Fy = ma TB − mBg = mBa (1) luego el bloque A Fx = 0 TA = mAg (2) como: F = TA + TB (3) luego (2) y (1) en (3) F = mBa + mBg + mAg amB = F − mB − mAg a = F mB − g (mB + mA) mB (4) Reemplazando los datos F = 5t2 , mA = 3Kg, mB = 1Kg a = 5t2 − (39.2) Luego A no tiene movimiento AA = 0 Fisica I
  • 7. Din´amica de una part´ıcula 54 Ejercicio No 7. 5 Una piedra cuya masa es de 0.4Kg esta atado al extremo de una cuerda de 0.8m si la piedra describe un circulo a una velocidad de 80rev/min cuales la magnitud de la fuerza que ejerce la cuerda sobre la piedra si la cuerda se rompe la tension en mayor de 50Kgf. ¿ Cual es la mayor velocidad angular positiva? Soluci´on Datos: m = 0.4Kg, R = 0.8min Gr´afica del problema La velocidad angular w = 8rev min = 8πrad 3s w = 8πrad 3s (1) como sabemos que: FN = mv2 R = mRw2 (2) luego reemplazando (1) y los datos en (2) FN = (0.4)(0.8) 4 3 2(3.14) 2 = 22.42N FN = 22.42N Si la cuerda se rompe a la tension de 50Kg esta sera la maxima fuerza normal que podr´a so- portar, luego FN = mRw2 w = FN mR = (50)(9.8) (0.4)(0.8) = 39.12rad/s Ejercicio No 7. 6 Una masa m muy peque˜na esta ligado con una cuerda al extremo de esta se halla en el v´ertice de un cono a una altura L, el cual gira cierta velocidad w hallar el valor de w para el cual la masa se separa ligeramente del cono tal como se indica en la figura Fisica I
  • 7. Din´amica de una part´ıcula 55 Soluci´on Consideremos que la masa gira junto con el cono y las fuerzas que act´uan son la tension de la cuerda, el peso del cuerpo, y la reacci´on N del cono sobre la masa De la 2da Ley de Newton Fx = mac T sen θ − N cos θ = mRw2 (1) Fy = 0 T cos θ + N sen θ − mg = 0 (2) seg´un el problema cuando se separa del cono N = 0 y (1) y (2) T sen θ = mRw2 (3) T cos θ = mg (4) Fisica I
  • 7. Din´amica de una part´ıcula 56 (3)÷ (4) como T cos θ = mg, R = L sen θ (6) Luego (6) en (??) tenemos sen θ cos θ = L sen θw2 g w2 = g L cos θ w = g L cos θ Ejercicio No 7. 7 Un cuerpo desliza del v´ertice de una esfera lisa de radio R Hallar la velocidad del cuerpo en el momento de la separaci´on de la superficie de la esfera, si su velocidad inicial es cero. Soluci´on Presentemos gr´aficamente el problema: La part´ıcula esta en la posici´on p(R, θ) y tiene una velocidad tangencial y por lo tanto una aceleraci´on tangencial y una aceleraci´on centr´ıpeta en la direcci´on R FR = mac = mv2 R mg cos θ − N = mv2 R si cuando se separa N = 0 mg cos θ = mv2 R (1) Fisica I
  • 7. Din´amica de una part´ıcula 57 La aceleraci´on tangencial en la direcci´on ˆθ Fy = maT mg sen θ = maT = m dv dt dv dt = g sen θ (2) como dv dt = dv dθ · dθ dt = dv dθ w dv dt = dv dθ v R (3) Luego tenemos: dv dθ v R = g sen θ v 0 v R dv = θ 0 sen dθ ⇒ v2 2 v 0 = −gR cos θ|θ 0 v2 2 = −gR(cos θ − cos 0) = −gR(cos θ − 1) v2 = 2gR(1 − cos θ) v = 2gR(1 − cos θ) (4) de (1) y (4) tenemos Rg cos θ = 2Rg(1 − cos θ) cos θ = 2 − 2 cos θ 3 cos θ = 2 cosθ = 2 3 (5) luego de (1) en (5) tenemos v2 = RG 2 3 ⇒ v = 2 2 RG Fisica I
  • 7. Din´amica de una part´ıcula 58 Ejercicio No 7. 8 Una cadena flexile de longitud L y peso W (figura adjunta) esta colocado inicialmente en reposo sobre una superficie sin fricci´on ABC estando D a una distancia L − a de B demostrar que cuando el extremo D llega al punto B la velocidad de la cadena es v = g L (L2 − a2) sen α Soluci´on Como sabemos que M es la masa total de la cuerda M L es la masa longitudinal de la cuerda entonces, la masa de la longitud x es m = M L x (1) Por la segunda Ley de Newton F = ma mg sen α = Ma (2) M L xg sen α = Ma (3) como :a = dv dt dx dx = dv dx dx dt a = v dv dx (4) Luego de (4) y (3) tenemos Mv dv dx = Mx L g sen α Fisica I
  • 7. Din´amica de una part´ıcula 59 v 0 vdv = g sen α L L 0 xdx v2 2 = g sen α L x2 2 L 0 = g sen α 2L (L2 − a2 ) v2 2 = g sen α 2L (L2 − a2 ) v = g sen α L (L2 − a2) Fisica I
  • CAP´ITULO 8 Trabajo y Energ´ıa En este capitulo se comenzara por introducir el concepto de trabajo, el trabajo es efectuado por una fuerza que act´ua sobre un objeto cuando el punto de aplicaci´on de esa fuerza se mueve alguna distancia y la fuerza tiene una componente a la largo de la linea de movimiento. 8.1. Trabajo Consideremos una part´ıcula en A que se mueve a lo largo de una curva C bajo la acci´on de una fuerza F (figura), en un tiempo muy peque˜no dt la part´ıcula se mueve de A a A’, siendo el desplazamiento AA = dr. Al trabajo efectuado por la fuerza F durante el desplazamiento se define por el producto escalar dw = F · dr (8.1) como se trata la distancia muy peque˜na se observa que dr ≈ ds, FT = F cos θ, tenemos dw = FT = F cos θds = Fds cos θ 60
  • 8. Trabajo y Energ´ıa 61 dw = Fds cos θ (8.2) 8.2. Trabajo hecho por una fuerza variable En este caso la fuerza no es constante en magnitud y es una funci´on de la posici´on y se define, mediante un proceso de integraci´on figura. El trabajo es el area de la funci´on w = Area debajo de la funci´on : como: ∆w = Fx∆x n i=1 ∆w = n i=0 Fx∆x (8.3) Si se permite que los desplazamientos se aproximen a cero la llevaremos a l´ım ∆x → 0 ∆w = Fx∆x l´ım ∆x→0 w = l´ım ∆x→0 Fx∆x w 0 dw = xf xi Fx w = xf xi Fxdx (8.4) 8.3. Teorema del trabajo y la energ´ıa cin´etica El teorema es ´unico, que se cumple si la fuerza es constante o no para este analizaremos para los dos casos Fisica I
  • 8. Trabajo y Energ´ıa 62 8.3.1. Cuando la fuerza es constante Para esta consideremos F paralelo al desplazamiento en una solo direcci´on El trabajo: w = F · r (8.5) como F = ma, tenemos r = x w = max (8.6) y adem´as v2 f = v2 o + 2ax de (8.6) y (8.5) tenemos: w = m v2 f − v2 o 2 = mv2 f 2 − mv2 o 2 (8.7) de (8.7) tambi´en se define la energ´ıa cin´etica como la cantidad de trabajo que puede realizar el cuerpo sobre sus alrededores 8.3.2. Cuando la energ´ıa es variable Consideremos la fuerza variable de la ecu. (8.4) w = Fdx = madx (8.8) como: a = dv dt = dv dt dx dx = dv dx dx dt = v dv dx (8.9) Lo reemplazamos (8.9)en (8.8) tenemos w = mv dv dx dx = m v vo vdv w = m v2 2 |v vo = m v2 2 − v2 o 2 = 1 2 mv2 − 1 2 mv2 o w = K − Ko = ∆K (8.10) Fisica I
  • 8. Trabajo y Energ´ıa 63 8.4. Potencia Se define la potencia media como la rapidez con la que se efect´ua trabajo o es el tiempo que se tarda en hacer el trabajo P = w t (8.11) tambi´en se define la potencia instant´anea Pinst = dw dt , tambi´en dw = t2 t1 Pdt w = t2 t1 Pdt (8.12) 8.5. Fuerza conservativas Definici´on: Una fuerza conservativa si el trabajo hecho por una part´ıcula que se mueve asignando un ∆K = 0 , w = 0, F = 0 es conservativa circulo completo cualquiera es cero. Ahora si el trabajo hecho por una fuerza F es un circulo cerrado es diferente de cero, entonces es fuerza no es conservativa. ∆K = 0, ⇒ w = 0, ⇒ F no es conservativa Definici´on: Una fuerza es conservativa si el trabajo hecho por ella sobre una part´ıcula que se desplaza entre dos puntos depende solamente de eses puntos y no de la trayectoria siguiendo si se depende de la trayectoria la fuerza no es conservativa. 8.6. Energ´ıa Potencial 8.6.1. Energ´ıa potencial gravitatoria Cuando un objeto cae hacia la tierra, esta ejerce sobre el una fuerza gravitatoria en direcci´on hacia el centro de la tierra y esta dado por: F = mg como sabemos que: de (8.4) w = Fdy w = y yo mgdy = mg y yo dy = mg(y − yo) w = mg∆y (8.13) es el cambio de la energ´ıa potencial Fisica I
  • 8. Trabajo y Energ´ıa 64 8.6.2. Energ´ıa potencial elastica Ahora consideremos un sistema de un bloque mas un resorte como se muestra en la figura, la fuerza que el ejerce sobre el bloque esta dada por Fs = −kx. como en el caso anterior w = Fsdx w = x xo −kxdx = −k x xo xdx w = −kx2 2 |x xo = −k 2 (x2 − x2 o) w = 1 2 k(x2 o − x2 ) w = −∆U(x) 8.7. Ejercicios de trabajo y energ´ıa Ejercicio No 8. 1 Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12N, cuyo punto de aplicaci´on se mueve 7m, si el ´angulo entre las direcciones de las fuerzas y el desplazamiento a) 0o b) 60o c) 90o d) 145o e) 180o Soluci´on Como sabemos por definici´on que w = F · dr es en la forma vectorial, tambi´en se puede escribir en la forma escalar w = Fr cos θ cuando esa en la direcci´on de la fuerza integrando tenemos w = Fr cos θ Para a) θ = 0o w = (12)(7) cos 0o = 84J Para b) θ = 60o w = (12)(7) cos 60o = 42J Fisica I
  • 8. Trabajo y Energ´ıa 65 Para c) θ = 90o w = (12)(7) cos 90o = 0J Para d) θ = 145o w = (12)(7) cos 145o = −68.8J Para e) θ = 180o w = (12)(7) cos 180o = −84J Ejercicio No 8. 2 Un cuerpo de 0.10Kg de masa cae de una altura de 3m sobre un mont´on de arena si el cuerpo penetra 3cm antes de detenerse que fuerza constante ejerce la arena sobre el Soluci´on Datos: d1 = 3m, d2 = 3cm, m = 0.10Kg, F =? Como w = Fd1, adem´as F = fuerza = peso = mg F = (0.1)(9.8) = 0.98N d1 = 3m Luego w = Fd1 = (0.98N)(3m) = 2.74J Luego la energ´ıa debe producir un trabajo al penetrar en la arena ´osea warena = Fd2 ⇒ F = w d = 2.94 0.03 = 98N F = 98N Ejercicio No 8. 3 Sobre un plano inclinado de θ, se empuja un cuerpo de masa m si el coeficiente de rozamiento es µk entre el cuerpo y el plano, que trabajo debe realizar para subir el cuerpo una distancia de L , con una velocidad constante. Soluci´on Fisica I
  • 8. Trabajo y Energ´ıa 66 Analizamos las fuerzas de la componente x , Fx = F − fs − mg sen θ (1) como la velocidad es constante ma = 0 F = ma = 0 F − fs − mg sen θ = 0 F = mg sen θ + fs (2) Fy = 0 N − m cos θ = 0 N = m cos θ (3) y fs = µN fs = µmg cos θ (4) Ahora como el trabajo es w = F · r (5) donde r = L Luego (5) (3) y (2) tenemos: w = (fs + mg sen θ)L = (µmg cos θ + mg sen θ)L w = mgL(µ cos θ + sen θ) Ejercicio No 8. 4 sea una masa m, que se halla a una distancia h del extremo superior de un resorte de constante elastica k, tal como se muestra en la figura, Hallar la maxima compresi´on Soluci´on Fisica I
  • 8. Trabajo y Energ´ıa 67 Del gr´afico podemos observar las fuerza que act´ua son el peso y el resorte tenemos: por conser- vaci´on de energ´ıa ∆K + ∆Ue + ∆Ug = 0 1 2 v2 f m − 1 2 v2 om + 1 2 kx2 − 1 2 kx2 o + (mghf − mgho) = 0 (0 − 0) + ( 1 2 kx2 − 0) + (0 − mg(h + x)) = 0 x2 = 2mg k (h + x) x2 = 2mg k h + 2xmg k x2 − 2mg k x − 2mgh k = 0 factorizando tendremos x = mg k ± m2g2 k2 + 2mgh k Ejercicio No 8. 5 Una fuerza de 60dinas act´ua por 12s en cuerpo cuya masa es de 10gm. El cuerpo tiene una velocidad inicial de 60cm/s en la misma direcci´on de la fuerza a) El trabajo efectuado por la fuerza, b) La energ´ıa cin´etica final c) La potencia desarrollada y d) el aumento de la energ´ıa cin´etica Soluci´on a) Trabajo efectuado: Datos: F = 60dinas, t = 12s, m = 10gm y v = 60cm/s Sabemos : w = F · dr (1) adem´as: xf = vot + 1 2 at2 (2) Fisica I
  • 8. Trabajo y Energ´ıa 68 Pero: a = F m = 60 10 = 6cm/s2 (3) Luego (3) en (2) x = (60)(12) + 1 2 (6)(12)2 = 1152cm xo = 0; x1 = 1152cm La distancia de 0 → 1152cm de (1) tenemos w = x1 0 F cos θdr, como esta en la misma direcci´on θ = 0 w = 1152 0 (60)(cos 0)dr = 60(1152) = 69120J b) Energ´ıa cin´etica Ek = 1 2 mv2 (4) adem´as vf = vo + at (5) en efecto vf = 60 + 6(12) vf = 132cm/s (6) Luego (6) en (4) tenemos EKf = 1 2 mv2 = 1 2 (10)(132)2 Ekf = 87.120J c) Potencia desarrollada P = w t (7) de (7) tenemos P = 69.120 12 = 5.76 × 10−4 Watts d) Aumento de la energ´ıa cin´etica ∆Ek = Ekf − Eko donde: Eko = 1 2 mv2 o = 1 2 (10)(60)2 = 18000J de lo anterior tenemos Ekf = 87.120J, Eko = 18000J ∆Ek = 87120 − 18000 = 69.120J Ejercicio No 8. 6 Sabemos un plano inclinado θ = 60o , esta situaci´on una masa de 20Kg, el cual desliza una distancia de 5m, hasta la base del plano. despu´es recorre 2m antes de chocar con un resorte de constante de elasticidad 1000N/m, cuanto se comprime el resorte, si ambas superficies presentan rozamiento cuyo coeficiente es 0,3 Fisica I
  • 8. Trabajo y Energ´ıa 69 Soluci´on Primeramente trabajamos el tramo AB por el teorema de conservaci´on de energ´ıa ∆Ug + ∆K = −Wfs (mghf − mgho) + 1 2 mv2 f − 1 2 mv2 o = −wfs (1) hf = 0, vo = 0 tenemos −mgL1 sen θ + 1 2 mv2 1 = −wfs (2) como: wfs = fsd, fs = µN Fy = 0 N = mg cos θ ⇒ fs = µmg cos θ, d = L1 wfs = µmg cos θL1 (3) de (3) y (2) tenemos −mgL1 sen θ + 1 2 mv2 1 = −µmg cos θL1 (4) ahora para el tramo BC el misma principio de conservaci´on de energ´ıa ∆Ug + ∆K = −Wfs 1 2 kx2 2 − 1 2 kx2 1 + 1 2 v2 2 − 1 2 mv2 1 = fsd 1 2 kx2 2 − 1 2 mv2 1 = −µmg(L2 + x) (5) Fisica I
  • 8. Trabajo y Energ´ıa 70 de (4) y (5) tenemos mgL1(sen θ − µ cos θ) = 1 2 kx2 + µmg(x + L2) Luego reemplazando los valores tenemos, como: m = 20Kg, θ = 60o , L1 = 5m, L2 = 2m, µ = 0.3 (20)(5)(cos 30o + 0.3 sen 60o ) = 1 2 100x2 + (0.3)(20)(9.8)(x + 2) resolviendo tenemos 1000x2 + 12x − 24 = 0 finalmente x = 0.149m ≈ 0.15m Fisica I
  • CAP´ITULO 9 Cantidad de movimiento 9.1. Momentum lineal o cantidad de movimiento Es una magnitud vectorial que mide el grado de oposici´on (inercia) que presenta un cuerpo para cambiar su movimiento. P = mv (9.1) 9.2. Principio de conservaci´on de la cantidad de movimien- to Pantes = Pdespues (9.2) Este se cumple solo si la resultante de las fuerzas externas es nulo. 9.3. Ejercicio de Cantidad de movimiento Ejercicio No 9. 1 La figura adj. ilustra un p´endulo bal´ıstico se usa para determinar la velocidad de una bala midiendo la altura h a la que el bloque se eleva despu´es de que la bala se ha incrustado en el. Hallar la velocidad de la bala antes de impacto. 71
  • 9. Cantidad de movimiento 72 Soluci´on Por conservaci´on de momentum tenemos m1v1 = (m1 + m2)v2 Adem´as por conservaci´on de energ´ıa EMA = EMB EKA + EpA = EKB + EpB 1 2 (m1 + m2)v2 2 = (m1 + m2)gh v2 = 2gh Reemplazando v2 en la ecuaci´on m1v1 = (m1 + m2)v2 m1v1 = (m1 + m2) 2gh v1 = 2gh m1 + m2 m1 Ejercicio No 9. 2 Una bala de masa m y velocidad v pasa atraes de la esfera de un p´endulo de masa M saliendo con una velocidad v/2. La esfera pendular cuelga del extremo de la cuerda de longitud l como se muestra en la figura. ¿Cual es el menor valor de v para el cual el p´endulo completara una circunferencia entera? Soluci´on Por conservaci´on de momentum sabemos: mv = MV + m v 2 Adem´as 1 2 m2 v = 1 2 MV 2 + 1 2 m v 2 2 1 2 mv2 = 1 2 MV 2 + 1 8 mv2 3 8 mv2 = 1 2 MV 2 Fisica I
  • 9. Cantidad de movimiento 73 Ahora bien: Por conservaci´on de energ´ıa en la esfera (Mg)2l = 1 2 MV 2 2Mgl = 1 2 MV 2 Reemplazando 3 8 mv2 = 2MV 2 v2 = 16Mgl 3m v = 4 Mgl 3m Ejercicio No 9. 3 Considere la superficie cil´ındrica de la figura desde la altura h se deja deslizar un bloque 1 de masa m que choca el´asticamente con otro bloque 2 de masa 2m que se encuentra en el punto mas bajo del cilindro y en reposo, si entre los bloques y la superficie cil´ındrica no hay roce. Calcular las alturas m´aximas a los que llega los bloques 1 y 2 despu´es del choque. Soluci´on Por conservaci´on de energ´ıa, la velocidad v con que llega el bloque 1 al punto mas bajo del cilindro (justo antes del choque con el bloque 2)es: EMi = EMf hmg = 1 2 mv2 v = 2gh En el momento que se produce el choque se conserva el momentum lineal del sistema y la energ´ıa cin´etica del mismo. Antes del choque las velocidades (Horizontales) de los bloques son v y 0, respectivamente. Llamemos v1 y v2 las velocidades de los bloques respectivamente justo despu´es del choque. Por conservaci´on de momentum lineal, P1 + P2 = P1 + P2 mv = mv1 + 2mv2 Por conservaci´on de energ´ıa 1 2 mv2 = 1 2 mv2 1 + 1 2 mv2 2 Fisica I
  • 9. Cantidad de movimiento 74 Ahora v − v1 = 2v2 v2 − v2 1 = 2v2 2 dividiendo estas dos igualdades obtenemos v + v1 = v2 Finalmente, resolviendo el par de ecuaciones lineales v − v1 = 2v2 v + v1 = v2 encontramos las velocidades de cada uno de los bloques despu´es del choque: v1 = − 1 3 v v2 = 2 3 v Para calcular las alturas a las que llegan los bloques, usamos conservaci´on de energ´ıa para cada uno de ellos y obtenemos Para el bloque 1 Ei = Ef 1 2 mv1 = H1mg 1 2 m(− 1 3 v)2 = H1mg H1 = 1 9 h Para el bloque 2 Ei = Ef 1 2 mv2 = H2mg 1 2 m( 2 3 v)2 = H2mg H2 = 4 9 h Fisica I
  • CAP´ITULO 10 Metodolog´ıa 10.1. Estrategias El desarrollo del curso, se realiza utilizando la estrategia del aprendizaje significativo, brin- dando apoyo a los alumnos en la soluci´on de los diferentes problemas que se les puede presentar. 10.2. M´etodos El m´etodo que se emplea para el desarrollo de las pr´acticas pre-profesionales es el inductivo y deductivo 10.3. Medios y Materiales Los medios y materiales para el desarrollo de las sesiones de aprendizaje son: Auditivo: de acceso personal, esto es, voz humana. Visual: empleo de pizarra, plum´on y mota. 75
  • CAP´ITULO 11 Cronograma de Actividades 11.1. Temas No Temas 01 Vectores 02 Est´atica 03 Cinem´atica 04 Din´amica de una part´ıcula 05 Trabajo Potencia y energ´ıa 06 Cantidad de movimiento 11.2. Cronograma de Actividades Fechas Setiembre Octubre Noviembre Enero Temas 16 23 30 7 14 21 28 4 11 18 25 6 13 20 27 01 ∗ ∗ 02 ∗ ∗ 03 ∗ ∗ ∗ ∗ 04 ∗ ∗ ∗ 05 ∗ ∗ ∗ 06 ∗ ∗ ∗ 76
  • CAP´ITULO 12 Relaci´on de Estudiantes y Asistencias 12.1. Relaci´on de estudiantes No CODIGO APELLIDOS Y NOMBRES 1 073419 CCAMA MAMANI, SADDAM AGUST 2 073420 CCASO YUCASI, EMERSON IVAN 3 073417 CAMAZA MULLIRACA, EDWIN 4 073439 MAMANI CHUI, JOEL 5 073422 HUAMAN LOAYZA, ROMMEL 6 073412 HANCO MAMANI, ABEL FERNANDO 7 073442 MAMANI TURPO, IVAN JESUS 8 064237 CACERES NAVARRO, LUDTWIN 9 052075 PINTO ENRIQUEZ, JUMY MICHAEL 10 071403 SIHUACOLLO VARGAS, MARCOS RENE 11 071900 LEON MU˜NOZ, CESAR GUSTAVO 12 070800 COLLANTES SILLA, PABLO ANDRES 13 070792 APAZA CRUZ, JUAN ANDRES 14 071897 CORONEL COILA RONALD 15 070812 MAMANI MAMANI, JAVIER RUFINO 16 073410 APAZA SUCARI, RINALD 17 073422 COILA TICONA, JAVINO ELLIOTT 18 073447 TICONA PACOHUANACO, JUAN ROMAN 19 073413 BRAVO MAMANI, JESUS 20 073438 LUQUE PORCIA, ELMER EDUARDO 21 001561 SUCASACA BELIZARIO, MAURICIO 22 072171 PATRICIO TINTAYA, MILTON MANUEL 23 064666 PAYVA AQUINO, RIBERT CRISTHIAN 24 064667 PILCOMAMANI ARIAS, AMADOR 25 062318 QUENTA YANAPA, AGUSTO FREDDY 26 063891 QUISOCALA MOROCCO, SAMUEL 27 075428 QUISPE BUSTINCIO, JHOVANY 28 063892 QUISPE TECCE, ABEL 29 062321 RAMOS GALINDO, DANTE 30 990266 REYES CUBA, JOSE AMILCAR 31 071262 SANTANDER PACORICONA, FREDDY VLADIMIR 77
  • 12. Relaci´on de Estudiantes y Asistencias 78 12.2. Lista de Asistencia Datos Setiembre Octubre Novienbre Enero No CODIGO 16 23 30 7 14 21 28 4 11 18 25 6 13 20 27 1 073419 • • • • • • • • • • • • • 2 073420 • • • • • • • • • • • • • 3 073417 • • • • • • • • • • • • • 4 073439 • • • • • • • • • • • • • 5 073422 • • • • • • • • • • • • 6 073412 • • • • • • • • • • • • 7 073442 • • • • • • • • • • • • • 8 064237 • • • • • • • • • • • • • 9 052075 • • • • • • • • • • • • • 10 071403 • • • • • • • • • • • • • 11 071900 • • • • • • • • • • • • • 12 070800 • • • • • 13 070792 • • • • • • • • • • • • 14 071897 • • • • • • • • • • • • • • • 15 070812 • • • • • • • • • • • • • • • 16 073410 • • • • 17 073422 • • • • • • • • • • • 18 073447 • • • • • • • • • • • • • • • 19 073413 • • • • • • • • • • • • • 20 073438 21 001561 • • • • • • • • • • • • • • 22 072171 23 064666 • • • • • • • • • • • • 24 064667 • • • • • • • • • • • • • • • 25 062318 • • • • • • • • • • • • 26 063891 • • • • • • • • • • • • • • • 27 075428 • • • • • • • • • • • • • 28 063892 • • • • • • • • • • • • • • 29 062321 • • • • • • • • • • • • • 30 990266 • • • • • • • • • • • • • 31 071262 • • • • • • • • • • • • • Fisica I
  • Bibliograf´ıa [1] Luis Rodriguez Valencia, Mecanica I, Departamento de F´ısica,Universidad de Santiago de Chile, 2000 [2] Marcelo Alonso y Edward J. Finn, Fisica Volumen I Macanica , 1967 [3] R. A. Serway,Fisica Tomo I, McGraw-Hill,1982 79