1. EL CAMPO ELÉCTRICO
EL CAMPO ELÉCTRICO
Física 2º Bachillerato
Física 2º Bachillerato
1
2. EVOLUCIÓN HISTÓRICA
• La raíz originaria de los términos “electricidad”, “electrón”, etc., hay que
buscarla en Grecia y concretamente en un material llamado ámbar o resina
fósil y que allí se conoce con el nombre de “elektron” y cuya característica
básica es que era capaz de atraer otros cuerpos al ser frotado.
• WILLIAN GILBERT (1600) Denomina a este tipo de
materiales “ eléctricos”
• STEPHEN GRAY (1700) Pone de manifiesto que la
electricidad pasa de unos cuerpos a otros si están en contacto
a través de un metal.
• CHARLES DU FAY (1730) Establece que la interacción
eléctrica puede ser de dos clases:
– A) repulsiva
– B) atractiva
2
3. JEAN ANTOINE NOLLET (1750) Hablará de dos tipos de fluidos eléctricos
BENJAMIN FRANKLIN (1770) Considera la existencia de un único
tipo de fluidos eléctricos que podía encontrarse en exceso
(situación positiva) o en defecto (situación negativa).
Alrededor de 1760 varios científicos Bernouilli, Priestley y Cavendish
llegaron a la conclusión de que la interacción electrostática varía con la
inversa del cuadro de la distancia, del mismo modo que la interacción
gravitatoria.
En 1785 Charles August Coulomb midió dicha dependencia estableciendo
la ley que lleva su nombre.
Es ya en la primera mitad del siglo XIX con Davy e Michael Faraday
cuando se empieza a pensar en que la electricidad se debe a corpúsculos
cargados. Más adelante Stoney dio el nombre de “ electrones” a estos
corpúsculos que fueron definitivamente descubiertos en 1897 por J.J.
Thompon.
3
4. FENÓMENOS DE ELECTRIZACIÓN. CARGA
FENÓMENOS DE ELECTRIZACIÓN. CARGA
ELÉCTRICA
ELÉCTRICA
• Cuando un cuerpo adquiere por frotamiento la propiedad de atraer pequeños objetos,
se dice que el cuerpo se ha electrizado
• También pueden electrizarse por contacto con otros cuerpos electrizados; al tocar una
varilla de ebonita no electrizada con una varilla de vidrio electrizada, la varilla de
ebonita adquiere la propiedad de atraer pequeños objetos
• Los experimentos ponen de manifiesto que las fuerzas entre cuerpos electrizados
pueden ser de atracción o de repulsión
Hay dos tipos de cargas eléctricas: positiva y negativa. Cargas eléctricas
del mismo tipo se repelen, y cargas eléctricas de distinto tipo se atraen
4
5. DEFINICIÓN DE CARGA ELECTRICA
• ES LA PROPIEDAD DE LA MATERIA QUE SEÑALAMOS COMO
LA CAUSA DE LA INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
• LA UNIDAD EN EL S.I. ES EL CULOMBIO (C)
• EN UN SISTEMA AISLADO SIEMPRE SE CONSERVA
• LA CARGA ELECTRICA ESTÁ CUANTIZADA: 1,6 10-19 C
• EXISTEN DOS TIPOS DE CARGAS: POSITIVA Y NEGATIVA.
• LAS FUERZAS PUEDEN SER ATRACTIVAS (CARGAS DISTINTO
SIGNO) O REPULSIVA ( CARGAS DEL MISMO SIGNO)
5
6. LA LEY DE COULOMB FRENTE A LA LEY DE
LA LEY DE COULOMB FRENTE A LA LEY DE
NEWTON
NEWTON
Ley de la gravitación universal de Newton
• Todos los cuerpos se atraen con una m1 → → m2
fuerza proporcional a su masa e F F
inversamente proporcional al cuadrado • •
de la distancia entre ellos →
ur
r
→ m1 m2 →
F =−G ur
r2 Fuerza gravitatoria entre dos masas
Ley de Coulomb
→ →
• La fuerza entre dos cargas eléctricas F F
puntuales q1 y q2 es directamente +→ -
proporcional al producto de ellas e ur
inversamente proporcional al cuadrado r
de la distancia r que las separa
Fuerza eléctrica entre dos cargas
puntuales
→ q1 q2 →
F =±K ur
r2 6
7. VALOR DE LA CONSTANTE DIELÉCTRICA O
VALOR DE LA CONSTANTE DIELÉCTRICA O
PERMITIVIDAD
PERMITIVIDAD
• En la fórmula de la ley de Coulomb, K es una constante cuyo valor depende del
→
medio en el que se encuentran las cargas y ur es el vector unitario
→ q1 q2 → → 1 q1 q2 → donde ε es la constante dieléctrica
F =±K ur ⇒ F = ur
r2 4π ε r 2 o permitividad del medio
• La ley de Coulomb solo es válida para cargas puntuales o puntiformes, es decir, para
aquellas cuyo tamaño es mucho menor que la distancia que las separa
1
• Para el vacío, el valor de ε es: ε0 = = 8,85 .10 − 12 C2 N−1 m−2
4π K 0
Valores de K (N m2 C−2)
Vacío 9.10 9
Vidrio 1,29.10 9
Glicerina 1,61.10 8
Agua 1,11.10 8 7
8. Semejanzas y diferencias entre las leyes de Newton y
Semejanzas y diferencias entre las leyes de Newton y
Coulomb
Coulomb
SEMEJANZAS D I F E R E N C I A S
• Su expresión matemática es la • La fuerza gravitatoria está asociada a
misma la masa; la fuerza eléctrica a la carga
• Describen fuerzas que son
proporcionales a la magnitud física • La fuerza gravitatoria es de atracción
que interacciona: las masas en las (solo hay un tipo de masa); la fuerza
fuerzas gravitatorias, las cargas en eléctrica puede ser de atracción o de
las eléctricas repulsión (hay dos tipos de cargas)
• En ambas leyes, las fuerzas son in-
versamente proporcionales al cua- • La constante G no depende del medio;
drado de la distancia el valor de la constante K depende
del medio en el que estén las cargas
• Tanto las fuerzas gravitatorias como
las eléctricas son fuerzas • El valor de G es muy pequeño frente a
centrales, es decir, actúan en la K: la interacción gravitatoria es
dirección de la recta que une las mucho más débil que la eléctrica y la
masas o las cargas, respectiva- constante eléctrica depende del
mente y ambas son conservativas medio mientras que la gravitatoria no
8
9. CAMPO ELÉCTRICO. INTENSIDAD DE CAMPO
CAMPO ELÉCTRICO. INTENSIDAD DE CAMPO
ELÉCTRICO
ELÉCTRICO
• Una carga eléctrica perturba el espacio donde está situada, creando un campo eléctrico a
su alrededor
• Para estudiar este campo, puede colocarse en él una carga eléctrica de prueba (q´) y
observar como aparece sobre ella una fuerza de interacción expresada por la ley de
Coulomb
→
• Se define en cada punto del espacio un vector E , denominado intensidad de campo
eléctrico, mediante la relación:
→
→ F
E=
q'
• La unidad de intensidad del campo eléctrico es N C −1. Si la carga q’ fuera +1 C,
resultaría que la fuerza sobre ella sería igual al campo
La intensidad del campo eléctrico en un punto es igual a la fuerza
sobre la unidad de carga eléctrica POSITIVA situada en ese punto
9
10. • Sea un campo eléctrico creado por una carga puntual q carga fuente
• Si en un punto P a una distancia r de la carga q, situamos
una carga testigo q’, y el campo ejerce sobre ella una
fuerza F, la intensidad del campo eléctrico será:
→
→
E
→
→ F = ± 1 K q q' u P
E=
q' q' r 2
r
+
r
+
→
ur
q
→ q →
• Por tanto, la intensidad del campo eléctrico será: E= ± K ur
r2
En el campo gravitatorio la intensidad coincide con la gravedad
mientras que en el electróstático es una magnitud nueva obtenida al
dividir la fuerza entre la carga que se introduce para medir el campo
10
11. El campo eléctrico se representa mediante líneas de fuerza que indican
como se movería una carga positiva introducida en el campo
Con este convenio el campo creado por una carga positiva
será siempre repulsivo y el creado por una carga negativa siempre atractivo
+ -
Esto influye en los signos tanto de la fuerza como de la intensidad de campo:
El campo creado por → q1 q2 → → q →
una carga positiva F =+K ur E= + K ur
r 2 r2
sale positivo
El campo creado por → q1 q2 → → q →
una carga negativa F = −K ur E= − K ur
r 2
11 r2
sale negativo
12. Calcula la intensidad del campo eléctrico creado por una carga de 12 µC en un
punto P situado a 2 dm de la carga en el vacío. ¿Qué fuerza actuaría sobre una
z
carga de 2 µC situada en el punto P?
• Intensidad del campo: → →
F E
−6 + +
q 12.10
E= K = 9.109 = 2,7 .10 6 N / C
r2 (2.10−1) 2
q = +12 µC q’ = +2 µC
2 dm
• Fuerza sobre una carga de 2 µC:
F= q’ E = 2.10 −6 . 2,7.10 −6 = 5,4 N
12
13. PRINCIPIO DE
PRINCIPIO DE
SUPERPOSICIÓN
SUPERPOSICIÓN
SISTEMA DISCRETO SISTEMA CONTINUO
→
→ dE
Ei P
+
q1 q2 P
→
uri dq r
• →
qi dτ ur τ
q3
→ dq →
→ → → → →
∑ Ei dE = ± K 2 ur
E = E1 + E 2 + ... + E n = r
n
qi
∑
→ →
→
E = ±K ur i → dq →
i=1 r 2
i
E = ∫τ
dE = ± K ∫τ r2
ur
La intensidad del campo eléctrico en un En un sistema continuo, la carga se
punto debido a un sistema discreto de distribuye en un volumen τ determinado
cargas es igual a la suma de las
intensidades de los campos debidos a
cada una de ellas 13
14. CAMPO ELÉCTRICO
CAMPO ELÉCTRICO
UNIFORME
UNIFORME
→
E _
+
→
• Un campo eléctrico en el que el vector intensidad de campo E es igual en todos los
puntos se denomina campo eléctrico uniforme
• Por ejemplo el campo eléctrico en el interior de un condensador plano es un campo
eléctrico uniforme
14
15. EL CAMPO ELECTROSTÁTICO
EL CAMPO ELECTROSTÁTICO
• Un campo de fuerzas se denomina conservativo
CAMPO CONSERVATIVO
cuando el trabajo realizado para transportar una
partícula con velocidad constante en el campo
1
•B no depende de la trayectoria seguida, sino de
las posiciones inicial y final
• El trabajo necesario para desplazar una carga
2
eléctrica entre los puntos A y B de un campo
eléctrico es el mismo cualquiera que sea el
camino elegido
A • 3
TAB1 = TAB2 = TAB3 • El campo electrostático es un campo
conservativo
• En un campo conservativo, la energía potencial de una partícula se puede asociar a la
posición. Es decir se puede definir energía potencial y T=-∆Ep
15
16. ENERGÍA
ENERGÍA
POTENCIAL
POTENCIAL W= ∫ F. dr = ∫ K. q1.q2. dr
ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA
r2
EL CAMPO ELECTROSTÁTICO ES UN CAMPO CONSERVATIVO YYPOR LO W=K. q1.q2 ∫ dr = -K. q1.q2 ]
EL CAMPO ELECTROSTÁTICO ES UN CAMPO CONSERVATIVO POR LO r2 r
TANTO SE PUEDE DEFINIR UNA ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA
TANTO SE PUEDE DEFINIR UNA ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA
QUE VARÍA SEGÚN LA POSICIÓN DEL CAMPO EN QUE NOS
QUE VARÍA SEGÚN LA POSICIÓN DEL CAMPO EN QUE NOS
COLOQUEMOS, ES LA ENERGÍA NECESARIA PARA MOVER UNA CARGA
[
W= -K.q1.q2. 1 - 1 ]
COLOQUEMOS, ES LA ENERGÍA NECESARIA PARA MOVER UNA CARGA r2 r1
DESDE EL INFINITO HASTA UN PUNTO DEL CAMPO:
DESDE EL INFINITO HASTA UN PUNTO DEL CAMPO:
W = -∆ EP EP = K. q1.q2 -negativa si el campo es atractivo.
W = -∆ EP EP = K. q1.q2 -negativa si el campo es atractivo.
rr -positiva si el campo es repulsivo.
-positiva si el campo es repulsivo.
• El trabajo TAB necesario para llevar la carga desde un punto A hasta otro B, con
velocidad constante, se emplea en variar la energía potencial del sistema TAB = ∆ Ep
• Por convenio se toma el infinito como origen de referencia de las energías potenciales
electrostáticas, de modo que si A está en el infinito, E pA = 0, el trabajo para traer la
carga q’ desde el infinito hasta un punto B puede interpretarse como:
TAB = ∆ Ep = EpB − EpA = EpB − 0 = EpB
• La energía potencial de una carga eléctrica en un punto del campo electrostático es
igual al trabajo necesario para llevar la carga desde el infinito hasta 16
dicho punto
17. POTENCIAL ELECTROSTÁTICO
• El potencial electrostático de un punto del campo eléctrico es la energía potencial
de la unidad de carga eléctrica positiva situada en ese punto
A
• El trabajo TAB necesario para llevar la carga q’ desde A
V=
Ep
=K
q •
hasta B, con velocidad constante, se emplea en q' rB Potencial
variar la energía potencial del sistema, es decir: mayor
+
TAB = EpB – EpA = VB q’ – VA q’ = (VB – VA) q’
TAB > 0
Si q’ = +1C, resulta: TAB = VB – VA
La ddp (diferencia de potencial) entre 2 puntos A y B es el
trabajo realizado para transportar la unidad de carga
•
B
Potencial
menor
eléctrica positiva desde A hasta B
• Como el potencial eléctrico de un punto situado en el infinito es cero, si en la expresión
anterior se hace VA = 0, resulta TAB = VB , luego:
El potencial eléctrico de un punto es el trabajo necesario para llevar una carga de +1C
desde el infinito hasta ese punto
• Las cargas positivas se mueven de forma espontánea desde los puntos de mayor
potencial hasta los de menor. El trabajo es mayor que cero, y lo realiza el campo
• Para las cargas negativas, ocurre lo contrario. El trabajo es negativo y se realiza
contra las fuerzas del campo 17
18. Líneas de fuerza: trayectoria que seguiría una carga positiva introducida en el campo
Líneas de fuerza: trayectoria que seguiría una carga positiva introducida en el campo
Líneas de fuerza del campo eléctrico creado por dos cargas de distinto signo
18
19. Superficies equipotenciales
Superficies equipotenciales
Superficies equipotenciales para dos cargas positivas Superficies equipotenciales de un dipolo
• Superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos del campo que
tienen el mismo potencial eléctrico. Tienen la siguientes propiedades:
• El trabajo necesario para mover una carga eléctrica por una superficie
equipotencial es cero, ya que VA = VB ⇒ TAB = q (VA − VB) = 0
• Son perpendiculares a las líneas de fuerza del campo
• Las superficies equipotenciales de un campo eléctrico uniforme son
planos paralelos
19
20. Relación campo -- potencial en un campo eléctrico uniforme
Relación campo potencial en un campo eléctrico uniforme
• En un campo eléctrico uniforme, las líneas de
fuerza son rectas paralelas, y las superficies
equipotenciales, planos perpendiculares a
ellas V1 V2 V3
d
• La diferencia de potencial entre dos
superficies equipotenciales separadas por
una distancia d será el trabajo realizado
para llevar una carga de +1 C de una a
otra: V2 – V1 = Ed
V2 − V1 →
E= E
d
• Al ser la intensidad del campo eléctrico igual a una variación del potencial eléctrico
con la distancia, se usa también como unidad de E el voltio por metro (V/m)
20
21. Movimiento de cargas dentro de campos eléctricos
Movimiento de cargas dentro de campos eléctricos
uniformes
uniformes
→ y
v0 →
q + E
→
E
+ →
v0 x
• Si la partícula →
tiene inicialmente • Si la partícula tiene inicialmente una
→
una velocidad v0 en la dirección velocidad v0 en dirección perpendicular
del campo eléctrico uniforme, se al campo eléctrico uniforme, se moverá
moverá con MRUA en la misma con un movimiento compuesto por:
→
dirección − MRU con velocidad v0 en dirección
perpendicular al campo
→ →
→ q →
a = F = E − MRUA con aceleración a en la direc-
m m ción del campo.
qE 2
Tiro horizontal: y = 2 x
2 m v0
21
22. Movimientos de los electrones en los tubos de rayos catódicos
Movimientos de los electrones en los tubos de rayos catódicos
Placas de
Ánodo
desviación
Cátodo
El elemento principal y más voluminoso de
los televisores es el tubo de rayos catódicos Electrones
• Una aplicación práctica de lo anterior es el movimiento de los electrones en los tubos
de rayos catódicos, que se controla mediante campos eléctricos
• De este modo, se hace incidir el electrón en el punto de la pantalla fluorescente donde
se desee para formar la imagen
22
23. Flujo del campo eléctrico para una superficie plana
Flujo del campo eléctrico para una superficie plana
• Se denomina flujo del campo
eléctrico (Φ) a través de una
→
superficie al producto escalar:
E →→
Φ = E . S = E S cos α
α siendo α el ángulo formado
por el vector intensidad del
→ campo con el vector superficie
s
• El flujo representa el número de líneas de fuerza
del campo que atraviesan la superficie
• Para α = 0º el número de líneas de fuerza cortadas por la superficie es máximo, y el
flujo también es máximo
• Para α = 90º ninguna línea de fuerza corta la superficie, y el flujo es nulo
23
24. Flujo del campo eléctrico para una superficie
Flujo del campo eléctrico para una superficie
cualquiera
cualquiera
→
α
→ E
ds
• Dada una superficie cualquiera S, el flujo elemental dΦ a través de un elemento de
→ → →
superficie d S es dΦ = E d S
→ →
• El flujo a través de toda la superficie es Φ = ∫S dΦ = ∫ E d S
S
24
25. TEOREMA DE
TEOREMA DE
GAUSS
GAUSS
• Si el campo eléctrico se debe a una carga
puntual q, el flujo elemental→dΦ a través de
→
un elemento de superficie d S a una distancia
E r de la carga es:
α
→ → → q
ds dΦ = E . d S = E dS cos α = dS cos α
4π ε r 2
dS cos α
siendo 2
el ángulo sólido elemental
r r →
dΩ con el que se ve el elemento d S desde la
carga q
S • Si q está encerrada en el interior de S:
q q
q ∫
Φ = dΦ =
s
∫
s 4πε
dΩ =
4πε s ∫
dΩ donde:
∫s dΩ equivale al ángulo sólido con el que
se abarca toda la superficie desde la
carga q
El flujo eléctrico Φ, debido a una carga puntual q, a través de una
superficie cerrada que rodea a la carga es: ∑q
Φ= 25 iε
26. Distribución de cargas en un conductor cargado, aislado y en equilibrio
+ + +
+
+ + • En el interior de un conductor en equilibrio, el campo
+ + es nulo, ya que, si no lo fuera, las cargas en su
qint = 0
interior se desplazarían y no estaría en equilibrio
+ +
→ +
+ E= 0 • Por tanto, en el interior del conductor, el campo es cero
+
+ +
+ +
• Aplicando el teorema de Gauss, y considerando cualquier superficie cerrada interna
en el conductor, se tiene que, al ser nulo el campo, el flujo a través de ella es nulo y,
en consecuencia, la carga qint es igual a cero
No hay cargas libres en el interior del conductor
Las cargas se distribuyen en su superficie
26
27. Campo eléctrico debido a un conductor esférico
+ + +
+ + →
• El campo es nulo para puntos interiores
R E
+ +
r
+ + • Para puntos exteriores, en los que r > R,
→ siendo R el radio del conductor esférico,
+ +
E= 0 puede elegirse una superficie esférica de
+ +
+ + + radio r concéntrica con el conductor
→
E • El campo E es radial debido a la simetría de
la distribución de cargas. El flujo es:
→ →
E=
1 q ∫s ∫s . ∫s ∫s
Φ = dΦ = E d S = E dS = E dS = E 4π r 2
4πε r 2
q 1 q
• Como E 4π r 2 = ⇒ E=
ε 4π ε r 2
E=0 r • En la superficie, donde r = R, el campo es:
R
1 q
E=
4π ε27 2
R
28. Una carga de 6 µC se encuentra en el punto (0, 0). Calcula:
a) La intensidad del campo eléctrico en el punto P(4, 3)
b) La fuerza electrostática sobre una carga de −1 µC situada en P. Las distancias
están expresadas en metros
→
a) La intensidad del campo eléctrico en el punto P(4,3): E
•
q . −6
9 6 10 P(4, 3)
E = K 2 = 9.10 = 2,2.103 N / C
r 25
q = 6 µC
b) La fuerza eléctrica sobre la carga de −1 µC situada en P es: q’ = −1 µC
F = q’ E = − 10− 6 . 2,2.103 N/C = − 2,2.10−3 N →
P(4, 3)
F
q = 6 µC
28
29. Una partícula α (q = 3,2.10− 19 C; m = 6,5.10− 27 kg), inicialmente en reposo, es
acelerada por un campo eléctrico uniforme de 2.104 N/C hasta una velocidad de
5000 m/s. Halla:
a) El espacio recorrido por la partícula
b) La diferencia de potencial entre los puntos extremos del recorrido
a) Cálculo del espacio recorrido por la partícula:
La fuerza eléctrica sobre la partícula es: F = q E = 3,2.10-19 . 2.104 = 6,4.10-15 N
F 6,4.10 −15
La aceleración es: a = = −27
= 9,8.1011 m / s2
m 6,5.10
La distancia recorrida es:
v 2 − v 0 = 2 a d ⇒ (5.103 )2 − 0 = 2 . 9,8.1011 . d ⇒ d = 1,3.10 −5 m
2
b) Cálculo de la diferencia de potencial entre los puntos extremos:
V
E= ⇒ V = E d ⇒ V = 2.10 4 . 1,3.10 −5 = 0,26 V
d
29
31. Contenidos
- Campo y potencial eléctrico de una carga puntual
- Campo y potencial eléctrico de dos cargas, dipolo
eléctrico.
- Flujo de campo eléctrico.
- Ley de Gauss.
- Diferencia de potencial electrostático.
- Relación entre campo y potencial eléctrico.
- Superficies equipotenciales.
- Conductores
- Carga inducida y transferencia de carga
- Generador de Van der Graaff
31
32. Campo eléctrico y potencial de una carga puntual
El campo eléctrico de una carga puntual Q en un punto P distante r de la carga viene re-
presentado por un vector de
• Módulo ⇒
• dirección radial
• sentido hacia afuera si la carga es positiva, y hacia la carga si
es negativa
El potencial del punto P debido a la carga Q es un escalar y vale
Fig. 1 Campo eléctrico y potencial de una carga puntual (positiva y negativa)
32
33. Un campo eléctrico puede representarse por líneas de fuerza, líneas que son tangentes
a la dirección del campo en cada uno de sus puntos.
En la figura, se representan las
* Líneas de fuerza de una carga puntual, que son líneas rectas que pasan por la carga.
* Líneas equipotenciales son superficies esféricas concéntricas.
Fig. 2 Líneas de campo y superficies equipotenciales
33
34. Campo eléctrico de un sistema de dos cargas eléctricas
Cuando varias cargas están presentes el campo eléctrico resultante es la suma vectorial de los
campos eléctricos producidos por cada una de las cargas ( Principio de Superposición).
Consideremos el sistema de dos cargas eléctricas de la fig.3
El módulo del campo eléctrico producido por cada una
de las cargas es
Y las componentes del campo total son
Fig. 3 Suma vectorial de los campos eléctricos
34
35. Ecuación de las líneas de campo eléctrico y equipotenciales
Como el campo es tangente a las líneas de fuerza,
la ecuación de las líneas de fuerza es
El potencial en el punto P debido a las dos cargas
es la suma de los potenciales debidos a cada una
de las cargas en dicho punto.
Fig. 4 Líneas de campo
Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. Representa-
remos en el applet la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.
La ecuación de las líneas equipoten-
ciales es
Fig. 5 Líneas de campo y 35
equipotenciales
36. El dipolo eléctrico
El dipolo eléctrico es un tipo de distribución de carga que se presenta frecuentemente como vere-
mos en el tema dedicado a los dieléctricos.
Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas, una positiva +Q y otra negativa -Q del mismo
va-lor, separadas una distancia d.
El potencial en el punto P distante r1 de la carga –Q y r2 de
la carga +Q es
Expresamos r1 y r2 en función de r y q , que es la posición
del punto P expresada en coordenadas polares.
Fig.6 Dipolo eléctrico
Teniendo en cuenta que d es pequeño frente a r, podemos obtener una buena aproximación
em-pleando el desarrollo en serie
36
37. Para expresar de forma aproximada los cocientes r / r1 y r / r2.
Despreciando los términos de orden superior a d2 / r2
El potencial se expresa en función de r y θ
Es interesante destacar, que el potencial debido a un dipolo disminuye con la inversa del cuadrado
de la distancia r, mientras que para una carga puntual disminuye con la inversa de r.
37
38. Componentes del campo eléctrico del Dipolo
Las componentes de E en coordenadas polares se pueden calcular a partir del gradiente de V
expresado en coordenadas polares
Las componentes del campo eléctrico E son
Fig. 7 Componentes de E del dipolo eléctrico
La intensidad del campo eléctrico disminuye como el cubo de la distancia r.
Definimos momento dipolar al vector p, cuyo módulo es p=Qd, el producto de la carga Q por la
separación d, y que se dirige desde la carga negativa a la positiva.
38
39. Línea de cargas
Campo producido por un conjunto de cargas iguales e igualmente espaciadas
Vamos estudiar un sistema un sistema de n cargas puntuales iguales y equidistan-
tes n > 2, como paso previo a la obtención del campo producido por una
distribución continua de carga.
El campo eléctrico E producido por n cargas
en el punto P, es la suma vectorial de los
campos producidos por cada una de las car-
gas individuales en el punto P.
donde ri es el vector unitario cuya dirección
es la recta que pasa por la carga ¨i¨ y el pun-
to P.
Fig. 8 Línea de cargas
El potencial en el punto P, es la suma
de los potenciales producidos por cada ⇒
una de las cargas individuales en el
punto P.
39
40. Campo producido por un hilo rectilíneo cargado
Vamos a deducir el campo producido en un punto P distante R, de una línea indefinida cargada
con una densidad de carga de λ C/m.
El campo producido por el elemento de car-
ga dq, comprendido entre x y x+dx, tiene
la dirección y el sentido indicado en la
figura y su módulo es :
Este campo tiene dos componentes: una a
lo largo del eje vertical Y
Fig.9 Línea cargada Componente ⇒
vertical
La otra a lo largo del eje horizontal
X , y no es necesario calcularla ya
que por simetría se anulan de dos
en dos. ⇒
El campo total es la suma de las
componentes verticales Y
40
41. Concepto de flujo del campo eléctrico
Cuando el vector campo eléctrico E es constante en todos los puntos de una superficie S, se de-
nomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie Φ = E·S
El vector superficie es un vector que tiene:
a) por módulo el área de dicha superficie
b) la dirección es perpendicular al plano que la
contiene
Fig. 10 Esquema para el cálculo de Φ
Cuando
• el vector campo E y el vector superficie S son perpendiculares el flujo es
cero
∫
• E es variable en S se puede escribir: Φ = E . dS
41
42. Ley de Gauss
El teorema de Gauss afirma que :
• El flujo del campo eléctrico a través de
una superficie cerrada :
Φ E = ∫ E . dS
S
es igual
• al cociente entre la carga que hay en el
interior de dicha superficie dividido en
ε0, es decir : q / ε0 .
q
Fig.11 Esquema para el uso del teorema de
Gauss
∫S E . dS =
ε0
42
43. Pasos a seguir para el cálculo de E
1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, deter-
minar la dirección del campo eléctrico.
La dirección del campo es radial y perpendicular a la línea
cargada
2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el
flujo
Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r y
longitud L.
• Flujo a través de las bases del cilindro:
el campo E y el vector superficie S1 o S2 forman 90º, luego el flujo es cero
• Flujo a través de la superficie lateral del cilindro:
el campo E es paralelo al vector superficie dS y es constante en todos
los puntos de la superficie lateral,
⇒ El flujo total es: E 2π r L
43
44. 3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
La carga que hay en el interior de la superficie cerrada vale q = λ L, donde λ es la carga
por unidad de longitud.
4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
⇒
Conclusión
El mismo resultado que hemos obtenido previamente, pero de una forma mucho más simple.
44
45. Modelo del átomo de Kelvin-Thomson
Actualmente, los libros de texto no suelen mencionar el átomo de Kelvin-Thomson. Sin
embargo, durante el periodo que va de 1902 a 1906 tuvo bastante éxito, hasta que Rutherford
demostró que este modelo no podía explicar la dispersión de partículas alfa por los átomos de
una lámina de oro.
Este modelo simple de átomo explicaba bastante bien la valencia química, la emisión
de partículas β por los núcleos de elementos radioactivos, etc.
El aspecto didáctico más importante es la aplicación de la Ley de Gauss a una distribución es-
férica y uniforme de carga, describir el movimiento oscilatorio de los electrones en dicho
átomo.
Consideramos el caso más simple, un átomo o ion hidrogenoide con un solo electrón.
Suponemos que el átomo tiene forma esférica de radio R, y que la carga positiva Q
está uniformemente distribuida en dicha esfera.
45
46. Campo eléctrico de una distribución esférica y uniforme de carga
q
El teorema de Gauss afirma :
∫S E . dS = ε 0
Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación del teorema de Gauss requiere
los siguientes pasos:
1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, deter-
minar la dirección del campo eléctrico.
La distribución de carga tiene simetría esférica, la
dirección del campo es radial.
2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el
flujo
Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio r.
Fig. 12 Geometría para usar Gauss
El campo eléctrico E es paralelo al vector superficie dS , y el campo es constante en todos los
puntos de la superficie esférica como se ve en la figura, por lo que:
⇒ El flujo total es : E 4π r2
46
47. 3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
Fig.13 Superficies
de Gauss usadas.
Para r < R. (figura de la izquierda)
Si estamos calculando el campo en el interior de la esfera unifor-
memente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie
⇒
esférica de radio r es una parte de la carga total ( en color
rosa-do), que se calcula multiplicando la densidad de carga por
el vo-umen de la esfera de radio r.
Para r > R ( figura de la
derecha)
Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera
unifor-memente cargada, la carga que hay en el interior de la ⇒ q=Q
superficie esférica de radio r es la carga total
47
48. 4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
se obtiene
Concluímos
El campo en el exterior de una esfera cargada con carga Q, tiene la misma expre-
sión que el campo producido por una carga puntual Q situada en su centro.
Potencial a una distancia ¨ r ¨ del centro de la esfera cargada
Se denomina potencial en un punto P a una distancia r del centro de la esfera cargada
V ( r ) a:
• la diferencia de potencial existente entre el punto P y el infinito V ( r ) – V (∞ ).
• por convenio, se establece que en el infinito el potencial es cero, es decir V (∞ ).
48
49. Representamos el módulo del campo eléctrico E, en función de la distancia r al centro de la
esfera cargada, en los intervalos 0 < r < R y r > R
Fig.14 Grafico del cam-
po E=E(r)
r >R
• Para hallar el potencial en un punto P que está fuera de
⇒
la
esfera cargada basta hallar el área sombreada (figura de
la derecha)
r < R.
• Para calcular el potencial en un punto P, en el interior de la esfera cargada, es necesario
sumar dos áreas, por ser la función que describe la dependencia del campo E con r, dis-
continua en el punto r = R. (figura de la izquierda)
49
50. Energía de ionización
La energía de ionización, es la energía mínima necesaria para sacar al electrón situado en el ori-
gen de la esfera cargada hasta el infinito.
Para un átomo con un electrón q = Q = e = 1.6 10-19 C, R~ 10-10 m, WI =3.456 10-18 J=21.6 eV.
Es algo mayor que la energía de ionización del electrón en un átomo de hidrógeno en el
estado fundamental, 13.6 eV.
Energía de la esfera cargada
Recordemos que la energía del sistema de partículas era:
* el potencial Vi se sustituye por el potencial en la posición r, V(r) que hemos calculado previamente.
* la carga qi se sustituye por la carga que hay en la capa esférica comprendida entre r y r+dr.
50
51. El volumen de dicha capa esférica es 4π r2 dr , y la carga que ⇒
hay en este volumen vale (densidad de carga por volumen)
La energía vale entonces
Energía total del átomo de Kelvin-Thomson
La energía total de nuestro modelo de átomo de hidrógeno Q = q = e, es la diferencia entre
dos energías:
• la energía necesaria para formar la distribución uniforme de carga positiva W2
* la energía necesaria para sacar el electrón de la atracción de dicha carga WI
(energía de ionización).
51
52. Conductores
En este tema se aplicará el teorema de Gauss para describir las propiedades electrostáticas
de un conductor.
Localización del exceso de carga en un conductor
Un conductor se caracteriza por que los portadores de
carga se pueden mover libremente por el interior del mismo.
Si las cargas en un conductor en equilibrio están en reposo,
la intensidad del campo eléctrico en todos los puntos inte-
riores del mismo deberá ser cero, de otro modo, las cargas
se moverían originado una corriente eléctrica.
Dentro de un conductor de forma arbitraria se traza una superfi-
cie cerrada S:
Fig. 15 Conductor
* El campo eléctrico E=0 en todos los puntos de dicha superficie.
* El flujo a través de la superficie cerrada S es cero.
* La carga neta q en el interior de dicha superficie es nula.
Como la superficie cerrada S la podemos hacer tan pequeña como queramos, concluímos que
en todo punto P del interior de un conductor no hay exceso de carga, por lo que esta
deberá si-tuarse en la superficie del conductor.
52
53. Conductor con un hueco dentro
Supongamos un conductor con un hueco dentro.
Rodeamos el hueco con una superficie cerrada S.
• El campo E = 0 en el interior del conductor es cero.
• El flujo a través de la superficie cerrada S será cero.
• La carga q en el interior de dicha superficie será tam-
bién cero.
Por tanto, el exceso de carga se sitúa en la superficie exte-
rior del conductor.
Fig. 16 Conductor hueco
Conductor hueco con una carga dentro
Supongamos que se coloca una carga q en el inte-
rior de una cavidad. Rodeamos la cavidad con una
superficie cerrada S
• El campo en el interior del conductor es cero.
• El flujo a través de la superficie cerrada S
será
cero.
• La carga en el interior de dicha superficie será Fig. 17 Conductor hueco con carga
también cero.
53
54. Conclusiones
De modo que en la pared de la cavidad tiene que
haber una carga igual y de signo opuesto al
de la carga q introducida.
Si el conductor estaba inicialmente
descargado, sobre su superficie exterior tendrá
que haber una carga igual y de signo opuesto a
la existente so-bre la pared de la cavidad y por
tanto, igual y del mismo signo que la carga q
Fig. 17 introducida en la ca-vidad.
Si el conductor poseía inicialmente una carga Q, la carga en su superficie exterior será
Q+q.
En la fig.17, el conductor tenía una carga de 11+, al introducir en su cavidad una carga de 4+,
en la superficie interior de la cavidad aparece una carga inducida de 4-, y en la superficie ex-
terior de 15+.
La carga total del conductor hueco no se ha modificado 15-4=11.
54
55. Transferencia de carga
Supongamos que la carga q dentro de la cavidad se pone en contacto con la pared de la cavidad.
• El exceso de carga en la pared de la cavidad neutraliza la carga q.
• El resultado es una carga de valor q que se transfiere a la superficie exterior
del conductor hueco.
Vamos a estudiar la transferencia de carga con más detalle:
Supongamos un cascarón metálico A de forma de
capa esférica de radio interior rA, inicialmente cargada
con qA.
El campo eléctrico en la cavidad solamente depende
de la carga de la esfera qB, y vale a una distancia r
del centro
Fig. 18 Transferencia de carga
55
56. La diferencia de potencial entre la esfera y la cubeta suponiendo ambas concéntricas es
⇒
* El potencial de la esfera VB es mayor que el potencial del cascarón VA.
• La diferencia de potencial solamente depende de qB y es independiente de la carga
inicial del cascarón qA.
• Si se ponen en contacto la esfera con la superficie interior del cascarón, o se unen me-
diante un hilo conductor fluirá la carga de la esfera hacia el cascarón hasta que la
diferencia de potencial VB - VA se anule, o sea hasta que qB se haga cero.
La conclusión es que toda la carga qB de la esfera se transfiere a la cubeta indepen-
dientemente del valor inicial de la carga de la cubeta qA.
56
57. Problemas de W y Conservación
de la Energía para el
campo eléctrico
57
58. +q
A E
La partícula de carga +q se coloca en reposo en el punto
A. Es correcto afirmar que la partícula:
a. Ganará energía cinética
b. Se moverá en linea recta
c. Se moverá con aceleración constante
d. Todas las anteriores
58
59. +q
A E
La partícula de carga +q se coloca en reposo en el punto
A. Es correcto afirmar que la partícula:
a. Ganará energía cinética
b. Se moverá en linea recta
c. Se moverá con aceleración constante
d. Todas las anteriores
59
60. A
q +x
E
B
+y
∆Ec = W = Trabajo realizado por la fuerza electrostática
yB
yB yB
B
W = ∫ F • d l = ∫ F • (dl y ˆ) = ∫ qE • (dy ) = q ∫ E y y = qE(y B - y A )
j
yA yA yA A
W = F ( y − y ) = ∆ Ec B A
Si la carga +q se coloca en reposo en el punto A, al salir del
campo habrá ganado una energía cinética ∆Ec 60
61. A
v
E
Si la carga +q se coloca en reposo en el punto A, al salir del campo habrá ganado
una energía cinética ∆Ec
La figura muestra la misma carga +q en el punto A, moviéndose con
velocidad v, cuando se establece el campo eléctrico E.
Cuando la carga salga del campo, su energía cinética será igual a la que
tiene en A:
a. Más ∆Ec
b. Más una cantidad diferente a ∆Ec
c. Menos ∆Ec
d. Menos una cantidad diferente a ∆Ec
61
62.
E
q
+x
A v
dl
dl
F
F
B B’
+y
∆Ec= W = Trabajo realizado por la fuerza electrostática
B'
W = ∫ F• dl
A
B' B
W = ∫ F • (dl x i + dl y ˆ)
ˆ j W = ∫ Fdl y = F ( y B − y A )
A
A
W = F ( y − y ) = ∆ Ec
B A 62
63. El trabajo realizado por fuerzas conservativas es
independiente de la trayectoria.
El trabajo realizado por fuerzas conservativas sólo
depende de las coordenadas de las posiciones
inicial y final
Las fuerzas electrostáticas son fuerzas
conservativas
En los sistemas donde actúan fuerzas conservativas
se puede definir una ENERGÍA POTENCIAL
63
64. TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA DE COULOMB PARA
MOVER UNA CARGA ENTRE DOS PUNTOS
rB
B
W = ∫ F • dr
rA
A q rB
kqqo
Q W = ∫ 2 r • dr
ˆ
rA
r
rB
kqqo
W = ∫ 2 dr
rA
r
1 1
W = kqq0 − > 0
rA rB
La fuerza de Coulomb realiza trabajo 64
65. CAMBIO DE ENERGÍA POTENCIAL DEBIDO
AL MOVIMIENTO DE UNA CARGA PUNTUAL
BAJO LA FUERZA DE COULOMB
B
∆ U = −Wcons
A q
Q 1 1
∆U = kqq0 −
rB rA
En el punto B, la carga q 0 tiene menor
∆ <
U 0 potencialidad para moverse que la que
tenía en el punto A
65
66. Cuando q0 se mueve desde A hasta B el cambio de energía potencial eléctrica del
sistema es
∆U=Kqq 0 [(1/r B )-(1/r A )]
Si se reemplaza la carga q 0 por otra con carga igual a 5q 0 y se mueve desde A hasta
B, el cambio de energía potencial eléctrica del sistema es:
B
a. 5 ∆U A
q
5qoo
b. ∆U /5 q
c. No puede calcularse conociendo únicamente ∆U
66
67. DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICA ENTRE
DOS PUNTOS CERCANOS A UNA CARGA PUNTUAL
Cuando una carga q0 se mueve desde A hasta B bajo la
B fuerza de Coulomb, la energía potencial del sistema
cambia en:
A
qo
1 1
q ∆U = kqo q −
rB rA
∆U = q0 ∆V Cuando una carga q’0 se mueve desde A hasta B bajo la
B fuerza de Coulomb, la energía potencial del sistema
cambia
A
q´ o 1 1
∆U = kq´0 q −
q rB rA
U ′ V
∆ = q0 ∆ 67
68. DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICA ENTRE
DOS PUNTOS CERCANOS A UNA CARGA PUNTUAL
∆V = Diferencia de potencial entre los puntos A y B
∆U
∆ =VB −V A =
V
q0
1 1
∆V = VB −V A = kq −
A rB rA
qo
q
J
∆V = [Voltio ] =
C
68
69. ENERGIA POTENCIAL ELÉCTRICA ENTRE DOS PUNTOS DONDE
EXISTE UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME
A Si q0 se mueve desde A hasta B, el cambio de
qo
energía potencial del sistema es:
E
B
∆U = q0 E ( y A − y B )
A
q´ o
E Si q’0 se mueve desde A hasta B, el cambio de
B energía potencial del sistema es:
∆U = −Wconservativo
′
∆ U = q0 E ( y A − y B )
∆ = q0 ∆
U V 69
70. DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO ENTRE DOS PUNTOS DONDE
EXISTE UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME
A ∆ V = VB − VA
E ∆U
B ∆V =
q0
∆V = E ( y A − y B )
70
71. DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO ENTRE DOS
PUNTOS DONDE EXISTE UN CAMPO ELÉCTRICO
A
∆V = VB − VA
E
U B −U A
B ∆V =
q0
B B
1 q0
∆ V = − ∫ Fcons .dr = − ∫ E.dr
q0 A q0 A
A B
∆V = VA − VB = −∫ E.dr ∆V = −(VB −V A ) = ∫ E.dr
B A
VB −V A =− V A −VB )
( 71
72. B
E
A
La diferencia de potencial ∆V = VA- VB es:
a. Mayor que cero
b. Menor que cero
c. Cero
72
73. B
E
A
La diferencia de potencial ∆V = VA- VB es:
a. Mayor que cero
b. Menor que cero
c. Cero
73
74. B
E
A
Cuando una carga negativa se mueve desde A hasta B su
energía potencial :
a. Aumenta
b. Disminuye
c. No cambia
74
75. B
E
A
Cuando una carga negativa se mueve desde A hasta B su energía
potencial :
a. Aumenta
b. Disminuye
c. No cambia
75
76. DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO ENTRE UN PUNTO
CERCANO A UNA CARGA PUNTUAL Y EL INFINITO
B 1 1
∆V = VB − VA = kq −
A rB rA
q
Sea rA un punto muy alejado de q (en el infinito). Sea r B un
punto a la distancia r de la carga q
1 1 kq
∆V = V( r ) − V∞ = kq − ∆V = V( r ) −V∞ =
r ∞ r
kq
V( r ) = = Potencial de una carga puntual
r
76
78. V V
r r
a b
V V
r r
c d
El gráfico que representa mejor el potencial de una carga puntual negativa
en función de la distancia a la carga es:
a. b. c. d.
78
79. V V
r r
a b
V V
r r
c d
El gráfico que representa mejor el potencial de una carga puntual negativa
en función de la distancia a la carga es:
a. b. c. d.
79
80. El potencial en el punto P de la figura está
dado por la expresión:
a. (kq1/4) + (kq2/5)
b. (kq1/4) - (kq2/5)
c. (kq1/4) + (kq2/3)
d. (kq1/4) - (kq2/3)
80
81. POTENCIAL DE DISTRIBUCIONES DISCRETAS
DE CARGAS PUNTUALES
q2 r2 q1
r1
q3 r3 P
rn
ri
qi qn
n n
kqi
VP = ∑ Vi VP = ∑
i =1 i =1 ri
81
82. POTENCIAL DE UN DIPOLO ELÉCTRICO
Y
P
r1
r2
+q -q X
Z
kq kq
VP = −
r1 r2
82
84. Y
(0,a) +q
P
O X
(0,0) (b,0)
(0,a) +q
La diferencia de potencial V0 - VP está dada por la expresión:
2kq
a. 2kq b. 1
(a + b )
2 2 2
b
2kq 2kq 2kq 2kq
c. − d. − 2 2 1
a b a (a + b )2
84
85. El centro de una esfera A conductora, de radio R A y carga total Q, está a una
distancia d (d > 2RA ) de un punto P. La esfera A se reemplaza por otra esfera
conductora de radio = 2 RA, con carga total Q. Es correcto afirmar que al
realizar el cambio de esferas cambia:
a. El campo eléctrico en el punto P.
b. El potencial eléctrico en el punto P.
c. El potencial en la superficie del conductor.
d. La fuerza sobre una carga que se coloque en P.
Q
A
P
RA
2R A
85
88. REPASO FUERZAS CENTRALES
Campo de fuerzas centrales: Caracterizados porque la
dirección de los vectores fuerza pasan por un punto fijo
llamado Centro o Polo del Campo y cuyo módulo sólo es
función de la distancia r al centro.
El campo eléctrico cumple estas condiciones, ya que
E = E(r )u r
Como además es un campo conservativo, se dice que deriva
de una función potencial escalar, de forma que se cumple
B
W ext
AB = − ∫ F ⋅ d r = U(B) − U(A)
A
88
89. Se puede demostrar que todos los campo de fuerzas
centrales son conservativos y podemos definir una Ep:
Suponemos un desplazamiento
infinitesimal d r . El trabajo
A
desarrollado por esta fuerza
F cuando se desplaza del punto A al
ur
dr punto B será
c
B dWAB = Fc (r ) u r ⋅ d r = Fc (r ) dr
El trabajo total será
c
WAB = Fc (r ) dr = U (A) − U(B)
89
90. Energía potencial: Es la función potencial asociada con el
campo eléctrico.
Para comprender su significado, vamos a suponer una
partícula en un campo de fuerzas conservativo al que es
sensible.
Para que se encuentre en
A equilibrio es necesario aplicar
F una fuerza externa que
dr compense la ejercida por el
campo
Fext
B
Fext = − Fc
En cualquier desplazamiento infinitesimal, se realiza un
trabajo en contra del campo.
90
91. ext ext
dWAB = F ⋅ d r = − Fc ⋅ d r
El trabajo total realizado por la fuerza externa será
ext B
WAB = − ∫A Fc ⋅ d r = − Wc = ∆U
Como el trabajo realizado sobre una partícula libre se
invierte en aumentar su Energía cinética, en un campo
conservativo debe disminuir su energía potencial. Por esta
razón se identifica la función potencial con la Energía
potencial.
La energía cinética se vincula al movimiento, mientras que la
Energía potencial se asocia con la posición. 91
92. 2 POTENCIAL ELÉCTRICO. GRADIENTE
B Como la fuerza eléctrica
está dirigida hacia abajo,
F d
debemos ejercer sobre la
carga una fuerza externa F
qo
hacia arriba si queremos
que la partícula se mueva
A con velocidad constante
E El trabajo desarrollado por esta fuerza será
ext
WAB = Fext d = −q o E d
92
93. Potencial eléctrico: Es el trabajo desarrollado por la fuerza
externa por unidad de carga puntual
ext
WAB
VB − VA =
qo
Caso particular de un VB − VA = E d
campo uniforme
Unidades del potencial: Voltio (V)
Unidades del campo eléctrico: V/m o N/C
93
94. Caso general: Campo eléctrico no uniforme y trayectoria no
rectilínea
Debemos dividir la trayectoria
B en pequeños desplazamientos
F infinitesimales, de forma que
d r qo
B B
∫ ∫A
ext
WAB = Fext ⋅ d r = −q o E ⋅ dr
A
A
E q oE
ext B
WAB
El potencial en este caso
será
VB − VA =
qo
=− ∫A E ⋅ dr
94
95.
Para un desplazamiento curvilíneo ds = dx i + dy j + dz k
la variación de potencial es dV = −E ds = −E x dx − E y dy − E z dz
Con esta expresión, podemos, conocido el potencial
eléctrico, calcular el campo eléctrico asociado
∂V ∂V ∂V
Si dV = dx + dy + dz
∂x ∂y ∂z
∂V ∂V ∂V
E x = − ; Ey = − ; Ez = −
∂x ∂y ∂z
De esta forma
∂V ∂V ∂V
E = E x i + Ey j + Ez k = − i −
∂x ∂y
j− k
∂z E = −∇V
95
96. Relación entre las líneas de campo y el potencial eléctrico
Si dejamos en libertad una carga de prueba en el seno de
un campo eléctrico, se acelerará en el sentido de dicho
campo a lo largo de las líneas de fuerza. El hecho de que
se acelere hace que aumente su energía cinética, con lo
cual, su energía potencial debe disminuir. Esto quiere
decir que las líneas de campo señalan en la dirección
en la que disminuye el potencial eléctrico.
Visto en términos del
qo gradiente, ya que su
V bajos significado físico es la
V altos dirección de máxima
variación de la función, el
signo menos indica sentido
decreciente del potencial.
96
97. 3 POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL
Se puede calcular el potencial de una carga puntual a partir
del campo eléctrico que produce.
B
qo I.- Calculemos el trabajo realizado
por el campo para desplazar la
A carga desde el punto A al
q
punto B
B
V( B) − V (A ) = − ∫A E ⋅ dr
0
∞ q 1
Tomando como origen de
potenciales el infinito,
− V(r ) = − ∫r k 2 dr = kq
r r
q
podemos identificar el punto V (r ) = k
B= ∞ y A= r 97 r
98. II.- Un método alternativo es calcular el trabajo que
debe realizar una fuerza exterior para traer una carga
desde el infinito hasta un punto r. En este caso el
punto A coincide con el infinito.
B q
∫A
ext B r
WAB = F ⋅ dr V (B) − V ( A ) = − ∫A E ⋅ d r = − ∫∞ k dr
r2
0
q
V (r ) = k
r
La energía potencial de una qqo
carga qo, situada a una U = qo V = k
distancia r de q, será r
La energía potencial de un sistema de cargas puntuales
será el trabajo necesario para llevar cada una de ellas
desde el infinito hasta su posición final. 98
99. 4 POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS
PUNTUALES
Para una distribución discreta de cargas
1 qn
V = ∑ Vn = ∑
n 4πε0 n rn
Para una distribución continua de cargas
1 dq
∫
V = dV = ∫
4πεo r
99
100. 5 CÁLCULO DEL POTENCIAL ELÉCTRICO
Existen dos métodos para calcular el potencial eléctrico
asociado a una distribución continua de cargas:
I Conocido el campo eléctrico creado por la distribución
B
V(B) − V (A) = − ∫A E ⋅ dr
En este caso debemos tomar como origen de potenciales un punto de
referencia arbitrario.
II Para el caso de distribuciones finitas de carga, para
las cuales podemos suponer que V( ∞ )=0. En este
caso
1 dq
V = ∫ dV =
4πεo ∫ r
100
101. 6 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Vamos a suponer una región del espacio en la que existe un
campo eléctrico, representado por sus líneas de campo. El
trabajo necesario para desplazar una carga de prueba, qo,
una distancia infinitesimal a la largo de una de estas líneas
será
dW = −F ⋅ d r
En términos de incrementos
∆ r perpendicular a E ∆V = 0 V constante
∆V = −E ⋅ ∆ r
∆ r paralelo a E Variación máxima de
potencial
101
102. Superficies equipotenciales
Es el lugar geométrico de todos los puntos que se
encuentran al mismo potencial. Cumplen la condición de
encontrarse en un plano perpendicular al campo eléctrico
El trabajo desarrollado para mover una partícula de un
punto A a otro punto B a lo largo de una superficie
equipotencial es nulo, ya que
WAB
VB − VA =
qo
A lo largo de una
superficie VA = VB WAB = 0
equipotencial
102
104. 7 POTENCIAL CREADO POR UN DIPOLO
ELÉCTRICO
Vamos a calcular el potencial eléctrico que produce un
dipolo eléctrico en un punto del espacio.
P 1 q q
V = V1 − V2 = −
r
1 4πεo r1 r2
r r2
+q Para puntos muy alejados del dipolo,
tales que r>>2a, se pueden hacer
α
las siguientes aproximaciones
2a
α r2 − r
1 r2 − r1 ≅ 2 a Cosα
-q r1r2 ≅ r 2
104
105. Teniendo en cuenta estas dos aproximaciones, podemos
escribir
q 2 a Cos α
V=
4πεo r2
Recordando la definición de
P = 2aq
momento dipolar eléctrico
1 P Cos α
V=
4πεo r 2
No se requiere trabajo para llevar
una carga de prueba desde el
V = 0 para α = 90º infinito hasta el dipolo a lo largo
de la línea perpendicular al punto
medio entre las dos cargas.
105
106. 8 MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA EN
UN CAMPO ELÉCTRICO
Cuando una carga eléctrica se coloca en el seno de un
campo eléctrico, experimenta una fuerza que viene dada por
F = qE
Si queremos calcular la aceleración que experimenta dicha
carga, bastará con aplicar la Segunda Ley de Newton
∑ Fi = m a
i
Por ejemplo, en el caso de un campo eléctrico uniforme, la trayectoria
de una partícula es una parábola. Sería el mismo caso del movimiento
de un proyectil en el seno del campo gravitatorio uniforme. La medida de
la desviación de los electrones en un campo eléctrico uniforme fue
utilizada por Thompson en 1897 para demostrar la existencia de dichas
partículas y calcular su relación carga/masa. 106
107. 9 CONDUCTOR EN EQULIBRIO
ELECTROSTÁTICO
Conductor: Material que se caracteriza por tener cargas
libres que pueden moverse en su interior.
Si sometemos un conductor a un campo eléctrico externo, su carga
libre se redistribuye hasta anular el campo eléctrico en su interior. En
estas condiciones se dice que el conductor está en Equilibrio
Electrostático (E’ = Eo).
+
+
+ Cualquier exceso de carga se colocará en
+
+ la superficie del conductor, ya que el campo
+ eléctrico externo no es lo suficientemente
+
+ intenso como para vencer las fuerzas de
E' +
+
ligadura.
+
+
+ Eo 107
108. Condiciones que se deben cumplir en todo conductor
I Toda la carga libre de un conductor se coloca en su
superficie.
Dado un conductor, supongamos una
superficie gaussiana justo en el interior de
la superficie del conductor. Como E =0
dentro del conductor, también será nulo
en todos los puntos de la superficie
gaussiana. Por lo tanto el flujo a través de
la superficie del conductor es cero.
qint
Por el Teorema de Gauss Φ=
εo Como Φ = 0 qint = 0
Por lo tanto si existe carga debe estar en la superficie
del conductor
108
109. II El campo eléctrico en la superficie del conductor es
perpendicular a dicha superficie y vale σ
εo
E
Para hallar el campo eléctrico en la
superficie del conductor consideremos
un elemento infinitesimal plano, con
densidad superficial de carga σ. Como
superficie gaussiana tomamos un
cilindro con una cara en el exterior y
otra en el interior del conductor
Si el conductor está en equilibrio electrostático, el E en la superficie
debe ser perpendicular a dicha superficie. Así, sólo hay flujo a través de
la cara superior.
qint σ
Φ = ∫ E ⋅ ds = E s = E=
εo
qint = σ s
εo
109
110. Conductores en contacto
Cuando se ponen en contacto dos conductores, la carga de ambos
se redistribuye hasta que el campo eléctrico en el interior de ambos
conductores se anula y se restituye el equilibrio electrostático. En
estas condiciones, el potencial de ambos conductores debe ser el
mismo.
Supongamos un conductor con carga +q al cual se aproxima un
conductor descargado. En éste último aparecerán cargas inducidas.
Como el potencial disminuye a lo largo
de las líneas de campo, en principio, el
++++
+++++ conductor cargado está a un potencial
+++++ más alto que el neutro. Cuando se ponen
en contacto ambos conductores, la carga
positiva fluye hacia el neutro hasta que
ambos quedan al mismo potencial.
110
112. Flujo de campo eléctrico a través de una
superficie
Φ = ∫ E ⋅ dA
El flujo eléctrico Φ de una superficie es
proporcional al total de líneas del campo
eléctrico que pasa a través de esa
superficie.
112
114.
( )
∫ E ⋅ dA = ∫ E cos 90 dA = 0
0
b
Paso Tres:
Paso Tres: Φ = − EA + 0 + EA = 0
114
115. Por consiguiente:
Se obtiene ese resultado ya que no
existen cargas dentro de la
superficie cerrada . Las líneas de E
entran por la izquierda y salen por
la derecha.
115
117. ( )( )
Φ r = ∫ E ⋅ dA = ∫ 3.0 xi + 4.0 ˆ ⋅ dAi
ˆ j ˆ
= 3.0 ∫ xdA = 3.0 ∫ ( 3.0 )dA = 9.0 ∫ dA
= 36 N ⋅ m / C
2
Cara Φ l = −12 N ⋅ m / C 2
Izquierda:
Cara
( ˆ j )( )
Φ t = ∫ 3.0 xi + 4.0 ˆ ⋅ dAˆ
j
superior: = 16 N ⋅ m / C
2
117
