2f 01 gravitación3

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2f 01 gravitación3

  1. 1. I. INTERACCIÓN GRAVITATORIA 4. EL CAMPO 4. EL CAMPO GRAVITATORIO GRAVITATORIO NOCIONES SOBRE TEORIA GENERAL DE CAMPOS Física 2º Bachillerato Física 2º Bachillerato
  2. 2. Campos escalares y Campos escalares y vectoriales vectoriales• Campos escalares• Campos vectoriales• Campos escalares. Vector gradiente• Dirección, sentido y módulo del vector gradiente• Superficies equipotenciales• Circulación de un campo vectorial• Flujo de un campo vectorial• Campos conservativos
  3. 3. La idea de Campo comienza con Faraday, que indica que los cuerposproducen una modificación de las propiedades del espacio que los rodea.Dicha perturbación se propaga por el espacio con una velocidad finita.Decimos entonces que se ha creado un campo y se pone de manifiesto porsu acción sobre otros cuerpos. CAMPOS ESCALARES. REPRESENTACIÓNCuando a cada punto del espacio le podemos asociar un valor de unamagnitud física escalar, decimos que tenemos un campo escalar.Su expresión matemática viene dada por: V(x,y,z) = V(r) = V Ejemplos: La temperatura: T(x,y,z), la presión atmosférica: P(x,y,z).Los campos escalares se representan mediante superficies escalares queson el lugar geométrico de todos los puntos con el mismo valor de lamagnitud escalar.
  4. 4. Campos escalares Campos escalares 24ºC 26ºC18ºC20ºC 28ºC 22ºC
  5. 5. Campos escalares. Vector gradiente Campos escalares. Vector gradiente  ∇V  ∂V  ∂V  ∂V   ( )   V3 > V2 > V1 dr   dx i +  ∂x i + ∂y j + ∂z k  ⋅  dy jdzk +       drV3 dV = 0 gra dVV2 ∂  ∂  ∂  ∇= i+ j+ k ∂x ∂y ∂zV1     dV = gradV ⋅ dr = ∇V ⋅ dr ∂V ∂V ∂VdV = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
  6. 6. Dirección, sentido y módulo del vector Dirección, sentido y módulo del vector gradiente gradiente ∇V  V1 > V2 > V3 α dr dV = ∇V cos α dr V1 V2 dV = ∇Vdrcosα V3• Dirección: Perpendicular a la superficie isoescalar y marca el camino a través del cual el campo varía más rápidamente.• Sentido : Hacia valores crecientes.• Módulo igual a dV/dr• El gradiente de una función escalar es una función vectorial
  7. 7. CAMPOS VECTORIALES. REPRESENTACIÓN Cuando a cada punto del espacio le podemos asociar un valor de una magnitud física VECTORIAL, decimos que tenemos un campo VECTORIAL. Su expresión matemática viene dada por:Ejemplos:    v ( x, y , z ) , E ( x, y , z ) , g ( x, y , z )Los campos escalares se representan mediante líneas de campo cuyascaracterísticas son: El campo vectorial es tangente a línea de campo y de la misma dirección. Un campo constante o uniforme se representa mediante líneas paralelas o equidistantes. El módulo es mayor donde mayor número de líneas hay.
  8. 8. Líneas de campo Líneas de campo  B (x,y,z) dx dy dz = = Bx By BzLíneas de campo: aquéllas a las cuales el vectorcampo es tangente en todos sus puntos.
  9. 9. → → → → F = kyi F = ky2iCampos vectorialesCampos vectoriales  k  F = 2 ur r → → → F = -kyi + kxj
  10. 10. Flujo de un campo vectorial Flujo de un campo vectorial S   A A (x,y,z) dSEl flujoelemental del  vector A a dΦ = A ⋅ dStravés de lasuperficie vienedada por la    Aexpresión:  Φ = ∫ A ⋅ dS = dS sFlujo máximo:vectoresparalelos. ∫ A ⋅ dS • cosθ sFlujo cero:perpendiculares
  11. 11. Superficies cerradas Superficies cerradasEn las superficies cerradas, S hacia fuera   A dS A dS FLUJO FLUJO SALIENTE ENTRANTE Φ>0 Φ<0 FUENTE Φ=0 SUMIDERO
  12. 12. Teorema de Gauss: Flujo de un campo tipo F = k/r22 Teorema de Gauss: Flujo de un campo tipo F = k/r Flujo de F a través de una superficie esférica centrada en (0,0,0)   C  dS = dSur F = 2 ur r   C   C dΦ = F ⋅ dS = 2 ur ⋅ dS • ur = 2 dS R r R C C 4π 2 RΦ= ∫ 2 dS = 2 ∫dS = R 2 •C =4π •C R REsta expresión se conoce con el nombre de Teorema de Gauss y nos dice que el flujo através de una superficie cerrada depende exclusivamente de las fuentes encerradas enla superficie.
  13. 13. Teorema de Gauss: Flujo a través de una Teorema de Gauss: Flujo a través de una superficie superficie  Calcular el flujo de la función F = ky i, a través de la superficie de la figura. a   F = ky i    dΦ = F ⋅ dS = dS b    ky i ⋅ bdy i = kbydy F c y c +a 2 c +a y dy Φ = ∫ kbydy = kb c 2x c c c+a = kb 2 [ 2 2 ] kb 2 (c + a) − c = (a + 2ac ) 2
  14. 14. Teorema de Gauss: Flujo de un campo tipo F = kr Teorema de Gauss: Flujo de un campo tipo F = krFlujo de F a través de una superficie esférica centrada en(0,0,0)   F = krur  dS = dSur   dΦ = F ⋅ dS =   krur ⋅ dSur = kRdS R Φ = kR ∫ dS = 4πkR 3
  15. 15. Circulación de un campo vectorial Circulación de un campo vectorial  B  A (x,y,z) dr dC = A ⋅ dr   B c C = ∫ A ⋅ dr B A A A         F = Fx i + Fy j + Fz k d r = dx i + dy j + dzk B   CB = ∫ Fx dx + Fy dy + Fz dz A C = ∫ F ⋅ dr A c
  16. 16. Cálculo de la función potencial si conocemos: ∇U(r)  ∇U = K r    dU = ∇U ⋅ d r = K r ⋅ d r = Krdr   2     r ⋅r =r → 2r ⋅ d r = 2rdr → r ⋅ d r = rdr 1 2 U = ∫ Krdr = Kr + C 2
  17. 17. Cálculo de la función potencial conocida la fuerza Circulación de F( x, y, z ) de A(0,1) a B(1,0)  F( x, y, z ) = 4 x i = ∇UU = 2x 2 + C → CB = ∆U = 2 A   2 2F( x, y, z ) = x i − y j = ∇U → CB = ∆U A x3 − y3 2U= +C → CB A = ∆U = 3 3
  18. 18. Cálculo de la función potencial2    2 2 ∇U = 2xyz i + x z j + x yk        ∂U  ∂U j ∂U  i k ∂x ∂y ∂zU = ∫ 2xyzdx = x 2 yz + C(yz)U = ∫ x 2 zdy = x 2 yz + C(xz) U = x2yz + CU = ∫ x 2 ydz = x 2 yz + C(xy)
  19. 19. Cálculo de la función potencial3   F = (3 x 2 y 2 + 2z 2 ) i + 2x 3 y j + 4k xz         ∂U  ∂U  ∂U i j k ∂x ∂y ∂zU = ∫ (3x 2 y 2 + 2z 2 )dx = y 2 x 3 + 2z 2 x + C(yz)U = ∫ 2x 3 ydy = x 3 y 2 + C(xz)U = ∫ 4xzdz = 2xz 2 + C(xy) U = x3y2 + 2xz2 + C
  20. 20. Cálculo de la circulación Circulación de F( x, y, z ) de A(0,1) a B(1,0) por la curva    x = t2  F( x, y, z ) = y i − x j ≠ ∇U y = 1 − t  B B CB = ∫ Fx dx +Fy dy + Fz dz = ∫ F( t )dt = A A A 1 1 ∫ (1 − t )2tdt + t 2dt = ∫ (2t − t 2 )dt = 2 / 3 0 0
  21. 21. Campos conservativos F (x,y,z) F = −∇V  dr VB   ∫ F ⋅ dr = 0 VA B  B  B CB = ∫ F ⋅ d r = − ∫ ∇V ⋅ d r = − ∫ dV = VA − VB A A A A La circulación es independiente del camino La circulación es independiente del camino
  22. 22. Campos conservativos2      ∫ F dr = 0 ⋅    i  j k si F = −∇V → ∂ ∂ ∂  ∂x ∂y ∂z = 0   Fx Fy Fz ∂Fx ∂Fy ∂Fy ∂Fz ∂Fx ∂Fz = = =∂y ∂x ∂z ∂y ∂z ∂x
  23. 23. NEWTON Y LA GRAVITACIÓN NEWTON Y LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL UNIVERSAL • La atracción de la esfera actúa como si toda su masa estuviese concentrada en el centro • Si M es la masa de la Tierra y R su radio, la fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m situado a una altura h sobre su superficie responde a la ley de Newton: Mm Mm m F=G 2 =G r (R + h)2 hLa fuerza gravitatoria con que se atraen doscuerpos es directamente proporcional al producto rde sus masas e inversamente proporcional al Rcuadrado de la distancia que les separa• A partir de esta ley, Newton pudo explicar fenómenos tales como: - Las protuberancias de la Tierra y de Júpiter a causa de su rotación - El origen de las mareas - Las trayectorias de los planetas - La variación de la gravedad con la altura - El cambio en el eje de rotación de la Tierra, etc
  24. 24. • H. Cavendish verificó experimentalmente el valor de la constante G, y a partir de su valor, se puede deducir la tercera ley de Kepler de la gravitación universal de Newton• En el sistema formado por un planeta en su giro en torno al Sol, la única fuerza que mantiene a los planetas en su órbita es la fuerza centrípeta Mm v2 M FN = Fc ⇒ G 2 = m ⇒ Despejando v resulta: v= G (1) r r rQue es la velocidad de un planeta o satélite girando en una órbita de radio r alrededor de uncuerpo de masa M s 2π r • Como v es aproximadamente constante: v= = (2) t T • Igualando (1) y (2): M 2π r M 4 π2 r 2 4 π2 3 (3ª ley de Kepler ) 2 G = ⇒ G = 2 ⇒ T = r r T r T GM• Este resultado permite calcular la masa de cualquier planeta conocido el período y el radio de uno se sus satélites• Si M es la masa del Sol, el valor de la constante coincidirá con el valor que calculó Kepler
  25. 25. Deducción de la ley de Newton aapartir de las leyes de KeplerDeducción de la ley de Newton partir de las leyes de Kepler • Se supone que las órbitas descritas por los planetas en torno al Sol son circulares, sin que ello suponga cometer un gran error puesto que en realidad son prácticamente así 2π• Velocidad angular del planeta: ω = T 4 π2 ⇒ a= 2 R Tierra • Su aceleración centrípeta: a = ω2 R T R → F 4 π2 cte • Por la 3ª ley de Kepler (T2 = kR3): a = R= k R3 R2 Sol • La fuerza F ejercida sobre un planeta de masa m es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia m F = m a = cte 2 R Mm Ley de la• Dicha constante incluye la masa del Sol es decir: cte = GM ⇒ F=G gravitación R2 universal La ley de gravitación universal indica que la fuerza de interacción entre dos partículas materiales es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia
  26. 26. EL CAMPO EL CAMPO GRAVITATORIO GRAVITATORIO • La ecuación de Newton proporciona la expresión de la fuerza entre dos masas: → u r= r → m 1 m2 → → z F = −G ( u r ) siendo 2 r r • Para explicar la acción que una masa ejerce sobre otra m’ situada a cierta distancia, se introduce el concepto de → → r g campo de fuerzas m y • La masa m hace que las propiedades del espacio que la rodea cambien, independientemente que en su proximidad se sitúe otra masa m’ x →• La intensidad del campo gravitatorio g en un punto es la fuerza por unidad de masa situada en dicho punto → g F = − G ur → m → m( fuente) = 2 2 cuyo módulo es: g = − G 2 y se expresa en N/kg o también m 1r r m/s2 en el S.I. → → • La fuerza gravitatoria sobre otra masa inmersa en el campo es: F = m g
  27. 27. • Cuando se trata de cuerpos extensos, se supone la masa concentrada en el centro de masas, y además se considera para las distancias que r = RT + h P • El módulo del campo gravitatorio creado es: MT h g=G (RT + h)2 A r = RT+h RT • En las proximidades de la superficie, donde h es despreciable frente al RT puede considerarse: MT g0 = G 2 = 9,8 m / s2 RT• La fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m colocado a una altura h sobre la superficie terrestre será: MT m F=G = mg (RT + h)2
  28. 28. • Los campos de fuerzas se representan mediante líneas de campo• En el campo gravitatorio, las líneas de campo como es un campo atractivo se m M dirigen hacia las fuentes del campo Características de las líneas de campo• Módulo: se indica mediante la densidad de líneas de campo. Si se dibujan más líneas de campo se trata de un campo más intenso• Dirección del campo en un punto es la tangente a la línea en dicho punto• El sentido viene indicado por la flecha, y es el que seguiría la unidad de masa colocada en dicha línea por efecto de las fuerzas del campo
  29. 29. Principio de Principio de superposición superposición • La intensidad del campo en un punto P, creado por un conjunto de masas puntuales, se obtiene calculando la intensidad de campo creada por cada una de las partículas y sumando los resultados parciales → → → → n m → g T = g 1 + g 2 + ... + g n = ∑ − G → i 2 . ui → i =1 ri → P g1 → g3 → r1 → g2 g → m1 → ri 1 siendo u i = → → → → ri r3 gT g3 →• También se puede aplicar al cálculo de la r2 fuerza ejercida sobre cierta masa por la m2 acción de un conjunto discreto de ellas m3 → → n → F T = m g T = ∑ Fi i =1 Si un cuerpo está sometido a la acción de varias fuerzas gravitatorias, el efecto total resultante es la suma de los efectos individuales de cada fuerza
  30. 30. CAMPOS DE FUERZAS CONSERVATIVOS CAMPOS DE FUERZAS CONSERVATIVOS • Sea una partícula de masa m situada en el seno de un campo de fuerzas B →• Por cada desplazamiento ∆ r que realice la partícula, → ∆r la fuerza del campo realiza un trabajo: → → ∆W = F ∆ r → → • Para desplazamientos infinitesimales: dW = F d r → → ∆r F • El camino total desde un punto A a otro B es → la suma de todos los d r → → ∆r• Si en cada d r se realiza un trabajo dW, el trabajo total será la suma de todos los A • → realizados en cada intervalo infinitesimal: m dr B → → W = ∫A F d r Campos de fuerzas conservativos son aquellos en los que el trabajo depende solo de los puntos inicial y final, y no del camino seguido
  31. 31. • En un campo de fuerzas conservativo, el resultado de la integral del trabajo realizado para ir desde A hasta B puede expresarse como una nueva función, Ep que depende solo de los puntos inicial y final B → → B W A → B = ∫ F d r = Ep ( A ) − Ep (B) • A C1• Si el campo de fuerzas es conservativo, W A → C1 → B = W A → C →B 2 C2 A• • Si se invierte el segundo camino,WA →C →B = − WB → C →A ⇒ W A → C1 → B = − W B → C →A 2 2 2 W A → C1 → B + W B → C →A =0 2Cuando un cuerpo se desplaza por una trayectoria cerrada en un campo defuerzas conservativo, el trabajo total realizado por las fuerzas del campo esnulo → ∫C F dr = 0 →
  32. 32. EL CAMPO GRAVITATORIO ES UN CAMPO CONSERVATIVO • Las fuerzas gravitatorias creadas por una partícula m que actúan sobre la partícula m’, son radiales y con sentido hacia m • Cualquier camino de A hasta B se descompone en suma de arcos circulares centrados en m y de desplazamientos B• radiales • El trabajo por el arco circular es nulo, por ser la fuerza perpendicular al desplazamiento • El trabajo por el camino radial, es igual para todos los caminos que se elijan entre A y B m’ → A• Se define circulación de una magnitud vectorial a lo largo v de una línea L a la integral definida entre los límites de dicha línea → m B → C = ∫ v dL A • Si el campo es conservativo, la circulación a lo largo de una línea cerrada es nula → → C = 0 ⇒ ∫C F d r = 0 → → 1 → → • Para el campo de fuerzas gravitatorio: ∫C g d r = m ∫C F d r = 0
  33. 33. ENERGÍA ENERGÍA POTENCIAL POTENCIAL• Una característica de los campos conservativos es que puede definirse una magnitud denominada energía potencial• Los cambios producidos en la energía potencial, indican el trabajo realizado por las fuerzas del campo• Este trabajo no depende del camino recorrido sino de las posiciones inicial (A) y final (B) en las que se encuentra el cuerpo W A → B = Ep ( A ) − Ep (B) ⇒ W = − ∆ Ep Teorema de la energía potencial: En un campo conservativo el trabajo realizado por las fuerzas del campo es igual a la variación de la energía potencial cambiada de signo → → • Conocido el valor de la fuerza: ∆ Ep = − F ∆ r → → • Considerando incrementos diferenciales: d Ep = − F d r → → • Integrando: Ep = − ∫ F d r • Si se integra la fuerza del campo entre dos puntos A y B del campo gravitatorio, se obtiene la diferencia de potencial
  34. 34. • Para calcular su valor, basta con resolver: → → m1 m2 → → EP r d Ep = − F d r ⇒ d E p =G 2 r dr r• El trabajo realizado es máximo cuando los → desplazamientos ( d r ) están en la misma dirección → → → que r , y así el producto escalar r d r se reduce al producto de los módulos: m m m m m m Ep = ∫ G 2 d r ⇒ Ep = − G +C Ep = − G r r r • La Energía potencial gravitatoria es cero cuando r tiende a infinito, y por tanto C = 0 • La energía potencial de una masa a una cierta altura sobre la superficie de la Tierra es: M T m. E p = −G RT + hCuando se trata de energías potenciales en realidad siempre se está calculando su diferenciaentre dos puntos, tomando como referencia (valor cero) uno de ellosEn el caso del campo gravitatorio terrestre y para distancias cercanas a susuperficie se puede tomar como referencia la propia superficie de la Tierra. De ahísale la expresión Ep=m.g.h
  35. 35. mM T mM T h E p ( A) − E p ( B) = − G − (− G ) E p ( A) − E p ( B) = − GmM T RT + h RT h(RT + h) 2 h RT h E p ( A) − E p ( B) = − GmM T E p ( A) − E p ( B) = − g 0 m RT (RT + h) RT (RT + h)Si estamos cerca de de la superficie de la Tierra o sobre E p ( A) − E p ( B) = m g 0 hella h es mucho menor que RT y por tanto despreciablefrente a ella: No se puede resolver un problema usando dos sistemas de referencia diferentes, así que mgh solo se emplea si todos los puntos del problema están muy cerca de la superficie de la Tierra y no hay ninguno en el espacio exterior. POTENCIAL GRAVITATORIO • Por ser el campo gravitatorio conservativo, se puede definir una magnitud que depende únicamente del cuerpo m1 que crea el campo y no del m2 que se coloca como testigo • Dicha magnitud se denomina potencial U y se obtiene así: → → m dU = − g d r ⇒ U = − G r
  36. 36. • La diferencia de potencial entre dos puntos A y B cuyas distancias al origen son rA y rB respectivamente es: m m U ( A ) − U (B) = − G +G rA rB Ep RT r • Se obtiene de la misma forma que en el caso de la energía potencial • Para un punto P situado a una altura h de la superficie: MT U0 = − G MT RT U (P) = − G (RT + h) • En la superficie, el potencial gravitatorio U0 será: Potencial es energía Potencial es energía U (P) = − G MT potencial por unidad de potencial por unidad de RT masa introducida en el masa introducida en el campo campo• Teniendo en cuenta los valores de G, MT y RT resulta: U0 = − g0 R = − 6,2 . 107 J/kg
  37. 37. Forma de las Forma de las trayectorias trayectorias • Dado que dentro de de un campo de fuerzas gravitatorio la energía potencial de un cuerpo siempre es negativa, y su energía cinética siempre positiva, la ET de ambas podrá ser negativa, nula o positiva Sol • Atendiendo al signo de dicha energía, la trayectoria descrita por el cuerpo, será una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola 1 Mm • Si es la mitad de la Ep ET = − G CIRCUNFERENCIA 2 r• Si es mayor que la − 1 G M m 〈 ET 〈 0 ELIPSE anterior pero menor 2 r que cero • Si ET = 0 ⇒ Ec = Ep PARÁBOLA • Si ET > 0 ⇒ Ec > Ep HIPÉRBOLA
  38. 38. SATÉLITES ARTIFICIALES: ENERGÍA TOTAL YSATÉLITES ARTIFICIALES: ENERGÍA TOTAL YENERGÍA DE SATELIZACIÓNENERGÍA DE SATELIZACIÓN Cálculo de la velocidad del satélite en la órbita MT m = m v 2 ⇒ 2 = G MT ∑ F = Fc ⇒ G 2 v r r r → → FG = FC Cálculo de las energías cinética y potencial → 1 1 MT m M m FG Ec = m v 2 = G ⇒ Ec = G T 2 2 r 2r MT m Ep = − G r Cálculo de la energía total del satélite en órbita m m m E = G MT − G MT = − G MT ⇒ E = − G MT m 2r r 2r 2r Cálculo de la energía de satelización por el Principio de conservación de la energía E0 = Ef ⇒ Ec,0 + Ep,0 = Ec,f + Ep,f m m ⇒  1 1 Ec,0 − G MT = − G MT Ec,0 = G MT m  − RT 2r  RT 2r  
  39. 39. Velocidad de lanzamiento de un satélite • A partir del valor de la Ec de satelización, la v0 de lanzamiento necesaria para ponerlo en órbita circular desde la superficie terrestre, es: 1  1 1  1 1 v0 = 2 G MT  − 2r  2 Ec,0 = m v 0 = G MT m  − ⇒ 2  RT 2r    RT  Velocidad de escape de un satélite• Para que el satélite escape de la atracción terrestre, supondremos que se marcha al infinito, (r es infinito), y la energía de escape será: MT m Ee = G RT • La velocidad de escape será: MT v0 = 2G RT v0 = 2 g0 RT ⇒ G MT g0 = R2 T

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