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  1. 1. 1 MATRICES 1. Construya las siguientes matrices: a)    ≠− = = ji;2 ji;1 acon;5x2A ij b)      > = < = ji;3 ji;2 ji;1 bcon,4x4B ij c)      > = < = ji;j3 ji;j ji;i2 ccon,4x6C ij d)      >+ =+ <+ = ji;j3i ji;ji ji;ji2 dcon,5x5D ij e)      >− =− <− = ji;ij2 ji;i4j3 ji;i2j econ,6x6E ij ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com
  2. 2. 2 2. Dada las siguientes matrices:       − = 23 12 A ;       −− = 45 32 B ; [ ]85C −=       − = 513 612 D ;           − −= 413 612 275 E           +→> →= +→< = j2i3ji j3ji j3i2ji 10x10F           −→> →= −→< = ij2ji i2ji j3iji 10x10G Determine: a) B3A2 + b) B7A5 − c) tCB ⋅ d) tDE⋅ e) Adet f) Edet g) tt BA ⋅ h) t DE ⋅ i) t2 BABA −+ j) 22 BA − k) Encuentre el elemento m3,7 de la matriz M, sabiendo que: GFM += l) Encuentre el elemento m9,8 de la matriz M, sabiendo que: GFM ⋅= m) Sabiendo que F 5 3 G2M −= , encuentre el valor de U si: ( ) 2,8 55 2 10,18,5 m2 m 1 m 5 3m2 U + −⋅ = ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com
  3. 3. 3 3. Sea A una matriz de orden n x m , con una columna totalmente de ceros y sea B una matriz de orden p x m. Pruebe que B · A tiene una columna de ceros. 4. Utilizando los métodos del pivoteo de Gauss y determinantes, encuentre la inversa (en caso de existir), de las siguientes matrices.           −−− =           −− − − =             − =       −− =           −− −=           − − = 323 454 101 F; 325 121 321 E; 6195 1121 2121 1111 D 51 15 C; 364 102 130 B; 115 430 162 A 5. Encuentre los valores de a y b para que se cumpla:           − ⋅      =⋅+      21 10 01 210 301 I2 b2 6a 2x2 6. Si       − =           − = 44 13 By 21 02 11 A . Determine la matriz C de modo que se cumpla que: i) C · A = B ii) B · At = C iii) At · C = B ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com
  4. 4. 4 7. Resuelva los sistemas de ecuaciones planteados i)       − − =+       − − =− 231 102 yx2 311 022 y3x ii)           −− − =−           − − =+ 23 01 29 y3x5 32 10 21 yx3 8. Desarrollar los siguientes sistemas de ecuaciones usando determinantes 1. 6y2x4 9y5x3 =− =+ 2. 7y4x6 2y3x =+ =− 3. 6y2x8 4y5x6 −=+ =− 4. x44y8 x3y26 =+ −=+− 5. 1zy3 0zyx4 1z3y2x =+ =−+ −=−+ 6. 10z5y4x 10z2y4x2 6z8y10x4 =+− =+− −=+− 7. 0zyx2 0zyx 0zy2x =++ =−+ =−+ 8. 1w4z3y2x2 2w5z2yx3 3w13z4y5x =−++ =++− =+++ ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com
  5. 5. 5 POLINOMIOS 1. Determinar el cuociente y el resto usando división sintética : a) 3x:4x2x3 2 −−− b) 2x:9x2x 23 ++− c) 1x2x:8x4x3x2x 234 −∧−−−−− d) 3x3x:7x18xx2 234 −∧+−−− e) 3x4x:6x20x3x2 234 +∧−−−− 2. Usando el teorema, hallar el resto de las siguientes expresiones: a) 3x2x:5x2x3x 23 +∧+−−+ b) 1x:4xxx2 23 ++−+ c) 1x:6xx5x 234 −−+− d) 2x:5x2x3x 23 −−−+ 3. Determinar si son factores: a) ( ) 24x2x5x3xde2x 234 −+−+− b) ( ) 2x15x8x5xde3x 234 −++−− c) ( ) 50x25x2xde5x 23 −−+− d) ( ) 2x4x6x9de1x3 23 ++++ e) ( ) 88776655 yx;yx;yx;yxdeyx −−−−− ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com
  6. 6. 6 4. Determinar por inspección los ceros de las siguientes funciones, indicando multiplicidad de cada uno: a) ( ) ( )3 3x27x −⋅+ b) ( ) ( )9x6x5x3 2 +−⋅− c) ( ) ( )54 2x1x −+ d) ( ) ( )10x3x4x4x 22 −+⋅+− e) ( ) ( ) ( )32 4x3x2x +−⋅− f) ( ) ( ) ( )743 1x1x32x +−− 5. Determinar cota superior y cota inferior para los ceros de cada una de las siguientes funciones: a) 8x7x2x)x(f 23 −−+= b) 6x2xxx)x(f 234 −−−−= c) 9x6x5x)x(f 24 −+−= d) 29x16x)x(f 3 −+= e) 24x3x)x(f 35 +−= f) 10x3x9x3x)x(f 234 −+−+= g) 25x8x5x4x3)x(f 345 +−−−= ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com
  7. 7. 7 6. Escribir el polinomio de menor grado de coeficientes reales que tenga dos raíces: a) 131xy2x 21 −−== b) 32xy3x 21 +=−= c) Hallar todas las raíces de 01x2x 24 =++ 7. Determinar las raíces racionales de las siguientes ecuaciones, indicando sus cotas inferior y superior, posibles raíces positivas y negativas; y posibles raíces racionales: a) 012x11x2x 23 =−−+ b) 03x13x19x17x16x4 2345 =−+−+− c) 012x7x6x2 234 =+−+ d) 028x9x20x4 23 =++− e) 04x2x14x3x2 234 =++−− f) 02xx10x9x2 234 =−++− g) 012x35x4x3 23 =+−− 8. Encuentre los puntos de intersección de las funciones: a) 2xx3x)x(gy8x3x2x5x3)x(f 23234 −−+=−++−= b) 3x5x6x6)x(gy2x4x5x)x(f 2323 −+−=−+−= ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com
  8. 8. 8 SUCESIONES 1. De las sucesiones presentadas, verifique si estas son convergentes o divergentes, en caso de ser convergentes, encuentre sus cotas. 1n 1 n 1 )n(S)a 2 − −= 2 n 1n n 3 3 242 3 23 n 1 1)n(S)g 2n3 4n3 )n(S)f n2)1()n(S)e 5n3n8 1n3n23n2 )n(S)d 8n3 6nn3n5 )n(S)c n4 1n2 n3)n(S)b       +=       − + = ⋅−= +− −+⋅+ = + −+− = + −= + 2. Encontrar el término general asociado a las siguientes sucesiones: ,......1,0n,....702,260,135,58,17,0,5S)c ,.....1,0n,... 23 13 , 14 11 , 7 9 , 2 7 , 1 5 , 2 3 S)b ,.......1,0n,......138,90,52,24,6,2S)a n n n =−= = −− = =−= ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com
  9. 9. 9 ......2,1n,......... 135 45 , 72 28 , 33 15 , 2 1 , 3 1 S)f ,.....1,0n...... 161 1 ,0, 17 1 , 2 2 , 1 3 S)e ,.......1,0n,......16,8,4,2,1S)d n n n == = −−− = =−−= PROGRESIONES ARITMÉTICAS 1. Encuentre a) 4 medios aritméticos entre 5 y 6 b) 5 medios aritméticos entre 4 y 10 c) 6 medios aritméticos entre 2 y –3 d) 6 medios aritméticos entre 1/3 y ½ 2. Encuentre a) Hallar el décimo término de la sucesión: -1, 5, 11, 17… b) Hallar el vigésimo término de la sucesión : 2, 6, 10, 14, … c) Hallar el primer término de una P.A. cuyos cuarto y quinto términos son 3 y -4 respectivamente. d) En una P.A. el cuarto término es 0; el 42 término es –95 y el último es –195. Encontrar el primer término y el número de términos. e) La suma de tres números en P.A. es 27 y la suma de sus cuadrados es 293. Hallar los números. f) El volumen de un paralelepípedo es 1.232 cm3 . Calcular sus aristas, sabiendo que están formadas por tres números en P.A. de razón 3. g) La suma de los términos de una p.a. de términos positivos es 199,5, el último término es 24 y la diferencia entre dos términos consecutivos es 1,5. Calcular el número de términos y el primero. ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com
  10. 10. 10 h) Hallar un número de tres cifras que, dividido por la suma de las mismas, dé 15; las cifras están en p.a. y sumando al número 396 se obtiene el número invertido. i) En un paralelepípedo rectángulo las tres dimensiones están en p.a. y su suma vale 24 metros. Sabiendo que el área total mide 366 m2, calcular: a) sus dimensiones, y b) su volumen. j) Hallar tres enteros en p.a. creciente, sabiendo que su suma es 12 y la suma de sus cuadrados 56. k) Calcular los 10 términos de una p.a., sabiendo que la suma de los seis términos centrales es 93 y el producto de sus extremos es 58. l) Una p.a. tiene un número impar de términos. El central vale 44 y el producto de los extremos 336. Calcular los extremos. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 1. Calcula el término undécimo de una progresión geométrica cuyo primer término es igual a 1 y la razón es 2. 2. El quinto término de una progresión geométrica es 81 y el primero es 1. Halla los cinco primeros términos de dicha progresión. 3. En una progresión geométrica de primer término 7 y razón 2, un cierto término es 28672. ¿Qué lugar ocupa dicho término? 4. Sabiendo que el séptimo término de una progresión geométrica es 1 y la razón 1/2, halla el primer término. 5. En una progresión geométrica se sabe que el término decimoquinto es igual a 512 y que el término décimo es igual a 16. Halla el primer término y la razón. ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com
  11. 11. 11 6. Descomponga el número 124 en tres sumandos que formen progresión geométrica, siendo 96 la diferencia entre el mayor y el menor. 7. Halla el producto de los ocho primeros términos de la progresión 3, 6, 12, 24,... 8. Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica 3, 6, 12, 24,... 9. La suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica es 17 veces la suma de los cuatro primeros. Halla el valor de la razón. 10. Halla la suma de los términos de la progresión ilimitada: 8, 4, 2, 1,... 11. Halla tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es 26 y su producto 216. 12. Calcula el producto de los once primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que el término central vale 2. 13. Tres números en progresión geométrica suman 525 y su producto vale un millón. Calcula dichos números. 14. Determina cuatro números en progresión geométrica de manera que los dos primeros sumen 0,5 y los dos últimos 0,125. 15. ¿Cuántos términos se han tomado en una progresión geométrica, sabiendo que el primer término es 7, el último 448 y su suma 889? 16. La suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica de razón 3 es 7651. Halla el primero y el séptimo términos. 17. Halla tres números en progresión geométrica cuyo producto es 328509, sabiendo que el mayor excede en 115 a la suma de los otros dos. ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com
  12. 12. 12 18. Tres números están en progresión geométrica; el segundo es 32 unidades mayor que el primero, y el tercero, 96 unidades mayor que el segundo. Halla los números. 19. Halla los cuatro primeros términos de una progresión geométrica, sabiendo que el segundo es 20 y la suma de los cuatro primeros es 425. 20. Halla los ángulos de un cuadrilátero, si se sabe que están en progresión geométrica y que el mayor es 27 veces el menor. 21. Divide el número 221 en tres partes enteras que forman una progresión geométrica tal que el tercer término sobrepasa al primero en 136. 22. La suma de tres números en progresión geométrica es 248 y la diferencia entre los extremos 192. Halla dichos números. 23. Halla cuatro números en progresión geométrica sabiendo que la suma de los dos primeros es 28 y la suma de los dos últimos 175. ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com
  13. 13. 13 SUMATORIAS 1. Resuelva aplicando propiedades de sumatorias: 1. ( )∑ = + 8 1i 2i5 2. ( )∑ = − 20 1i 12i8 3. ( )∑ = − 15 1k k93 4. ( )∑ = + 12 1i 2 i5i 5. ( )∑ ++ 19 1 10x6x2 6. ( )∑ −− 14 1 3x7x2 7. ( )∑ + 11 1 2 5x 10. ( )∑ − 10 1 2 8x 11. ( )∑ + 9 1 2 4x3 12. ( )∑ − 11 1 2 2x6 13. ( )∑ + 10 6 2x7 14. ( )∑ − 10 5 10x8 15. ( )[ ]∑ = +⋅− 30 7i 2 i2i1i 16. ( )∑ = + − 45 10k 1k k22 17. ( )∑ = − 98 8k 3 3k2 18. ( )∑ = +⋅ 55 13i 1ii 19. ( ) ( )∑ = −⋅+ 200 1i 1i1i 20. ( )∑ = −⋅ 120 19k 2 3kk ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com
  14. 14. 14 2. Si ( )     ≤≤+ <≤      = 200k100;1k 100k1; 3 1 a 2 k k , Encuentre el valor de: ∑ = 200 1k ka 3. Se sabe que: 12a;18a;30a 6 5 1i i 5 1i 2 i === ∑∑ == . Determine: a) El valor de ( )∑ = − 5 1i 2 i 2a b) El valor de la constante c, si además se sabe que: ( )∑ = =+ 6 1i i 210ca3 4. ( ) 8ay6a;12a;16a 65 4 1i i 4 1i 2 i ==== ∑∑ == . Determine: ∑ ∑ = = − 4 1i 2 i 6 1i 2 i )1a2()b )a()a 5. Exprese como sumatoria y determine la suma de los números impares que tengan dos cifras. 6. Pruebe que: ( ) 0j3jnj2 n 1j 2 =−+∑ = 7. Pruebe que: ( ) ∑∑ == =+−⋅ n 1j 2 n 1j j1j2n2j ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com
  15. 15. 15 8. Sea i31ia 2 i ⋅−= . Encuentre el valor de: ∑∑∑ === − 50 30i i 50 30i i 10 1i i 2a3)ca)ba)a 9. ¿Para qué valor de p se cumple la ecuación? : 8 2 pj2p 1j = − ∑ = 10. Pruebe que: 2 n 1j n1j2 =−∑ = 11. Pruebe que: ( ) ( ) ∑∑ == ⋅+ =⋅+− n 1j n 1j 2 j1j j1jn 12. ¿Para qué valor de n se cumple la ecuación?: ( ) 4 3 j1n2 j n 1j 2 = ⋅− −∑ = 13. Encuentra una expresión para las siguientes sumatorias ( ) 1i 2n 4i i 2n 0i 1n 4ni 3 2 1 2 1 )c 1i 1 i 1 )b 3i2)a + − = + = + −= − = + − =+ ∑ ∑ ∑ ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com
  16. 16. 16 INDUCCION MATEMÁTICA Demostrar usando inducción matemática, las siguientes proposiciones, para todo entero positivo “n”: 1) nnn2.......642 2 +=++++ 2) ( ) 2 n1n2..........531 =−++++ 3) ( )( ) 6 1n21nn n.......321 2222 ++ =++++ 4) ( ) 4 1nn n..........321 22 3333 + =++++ 5) 2 13 3.......331 n 1n2 − =++++ − 6) ( ) 4 131n2 3n.....3*33*21 n 1n2 +•− =•+++ − 7) ( ) ( )∑ = −=− n 1k 3n2n5k4 8) ( ) ( )∑ = +=+ n 1k 4n3n1k6 9) ( ) ( )( ) ∑ = ++ =+ n 1k 3 5n1nn 3kk 10) ( )( ) ( )( ) ∑ = ++ =++ n 1k 3 5n4nn 4k1k 11) 3pordivisiblees14n − 12) 3pordivisiblees52n + 13) 2pordivisibleesnn2 + 14) 15pordivisiblees12 n4 − 15) 3pordivisibleesn2n3 + ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com
  17. 17. 17 BINOMIO DE NEWTON 1. Usando el teorema del binomio, desarrolle las siguientes expresiones: 1) ( )242 y5x − 2) ( )322 yx − 3) ( )42 1x +− 4) ( )311 yx −− + 5) ( )42/12/1 yx + 6) ( )522 yx + 7) ( )42 y3 − 8) ( )3 cba −− 9) ( )4 zyx ++ 2. Hallar el término indicado en el desarrollo de la expresión dada: 1) El sexto término de ( )6 ba + 2) El segundo término de ( )5 yx − 3) El tercer término de ( )5 5x − 4) El quinto término de ( )7 x4 + 5) El décimo término de ( )14 yx + 6) El quinto término de ( )4 1a + 7) El octavo término de ( )9 y2 − 8) El noveno término de ( )10 z5 − 9) El sexto término en ( )7 2x + 10)Los cinco primeros términos de ( )112 yx − ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactory.com

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