• Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
No Downloads

Views

Total Views
18,571
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3

Actions

Shares
Downloads
1
Comments
3
Likes
8

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. CICLO TRIGONOMÉTRICO Many Notes Many NotesFontes: Trabalho da Professora Gertrudes, PUC-RS e http://professorwaltertadeu.mat.br/
  • 2. Medidas de ArcosAs unidades mais usadas são o grau (°) e oradiano (rad). Many NotesGrau: é quando dividimos uma circunferênciaem 360 partes congruentes, sendo cada umadessas partes correspondentes a um arco de umgrau (1o).
  • 3. Radiano: um arco de um radiano ( 1rad ) é umarco cujo comprimento é igual ao do raio dacircunferência que o contém. Comprimento do arco r igual à medida do raio Many Notes 1 rad • • r ≅ 0,28 rad 6,28 rad ou 2π radRelembrando: o comprimento da circunferênciamede 2πr onde r é o raio.
  • 4. Transformação de graus para radianos 360° 2π rad 180° π rad Many Notes 90° π/2 radExemplo: Quantos radianos correspondem a 540°? 540° x rad
  • 5. Circunferência Trigonométrica - PreliminaresConsideremos uma circunferência de raio unitário(r = 1), cujo centro coincide com a origem de umsistema cartesiano ortogonal. Many Notes 1 • –1• •1 •0 • –1
  • 6. 1 • ⊕ –1• •1 •0 A ⊖ O ponto A (1 , 0) é a Many Notes • origem de todos os –1 arcos a serem medidos na circunferência.• Se um arco for medido no sentido horário, então aessa medida será atribuído o sinal negativo (-).• Se um arco for medido no sentido anti-horário,então a essa medida será atribuído o sinal positivo(+).
  • 7. 1 • 2° Q 1° Q –1• •1 •0 A 3° Q 4° Q Many Notes • –1 Os eixos coordenados dividem o plano cartesianoem quatro regiões chamadas quadrantes; essesquadrantes são contados no sentido anti-horário, apartir do ponto A.Como a circunferência tem 360° ou 2π rad, cada umdesses arcos medem 90° ou π/2 rad.
  • 8. Se temos um arco de origem A e extremidade B, ele podeassumir infinitos valores, dependendo do número de voltasno sentido anti-horário (+), ou no sentido horário (–). Sentido POSITIVO Sentido ou anti-horário NEGATIVO ou B horário Many Notes π/2 rad –3π/2 rad • • A π rad –π rad –2π rad • •0 •0 rad • •0 • 2π 0 rad rad A • • 3π/2 rad –π/2 rad B
  • 9. 5π/2 rad = 450° π/2 rad = 90° •3ππ rad = 180° Many Notes rad = 540° 0 rad = 0° • • • 0 2π rad ==360° 4π rad 720° • 3π/2 rad ==270° 7π/2 rad 630° Infinitos valores
  • 10. Exercícios Many NotesARCOS E ÂNGULOS
  • 11. 1. Expresse em graus: 10a) rad 9 11b) rad 8 Many Notes c) rad 9 d) rad 20 4e) rad 3
  • 12. Solução: Esse cálculo também poderia ser realizado pelaregra de três, mas outra forma é substituir π rad pelo seucorrespondente em graus, 180º, e simplificar a fração. 20a) 45 Many Notes 1b) clicar 2
  • 13. Solução: Esse cálculo também poderia ser realizado pelaregra de três, mas outra forma é substituir π rad pelo seucorrespondente em graus, 180º, e simplificar a fração. 20a) 45 Many Notes 1b) 20 2 9c) d) 1 60 1e) 1
  • 14. 2. Determine, em radianos, a medida do menor ânguloformado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas. Solução: Os ponteiros de um relógio estão ambos na direção dos números somente na hora exata. Após esse momento, o único a ficar na direção é o Many Notes ponteiro dos minutos (grande). O relógio representa uma circunferência dividida em 12 partes iguais. Logo, cada número dista um arco que mede 30°. Às 4h o menor ângulo central formado pelos ponteiros corresponde a
  • 15. 3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arcode ( π/12) radianos, que arco ponteiro maior percorre?Solução:Em graus a medida percorrida pelo menorcorresponde a 15°. Many NotesEsse valor corresponde à metade da distânciaentre dois números consecutivos.O tempo para percorrer essa distância pelomenor é de meia hora.Enquanto isso o ponteiro maior dá meia voltacompleta, isto é, 180°.Logo, o ponteiro maior percorre π rad.
  • 16. 3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre umarco de ( π/12) radianos, que arco ponteiro maiorpercorre? Esta questão também pode ser resolvida através se uma regra-de-três simples: Many Notes Ponteiro Ponteiro Pequeno Grande (π/6) 2π rad 2 rad (π/12) rad x rad Resposta: π rad
  • 17. 4. Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que estarámarcando esse relógio após o ponteiro menor terpercorrido um ângulo de 42°. Ponteiro Tempo 2 Many Notes Pequeno 30° 60 min 42° xPassaram-se 84 minutos após o meio-dia, quecorresponde a 1h 24min. Observe que estehorário é vespertino, logo pode ser indicadocomo 13:24 h.
  • 18. 5. Qual a medida, em graus, do menor ângulocentral formado pelos ponteiros de um relógioque está marcando 9h 30min? Many Notes x α 09:00 h 09:30 h
  • 19. Solução: Ao marcar 9h em ponto, os ponteiros estavam na direção dos números como indicado na primeira figura. Às 9h30min o ponteiro pequeno deslocou-se de um ângulo “x”. Many Notes Aplicando ax regra-de-rês descobrimos quantos graus α ele se afastou da direção do número 9 em 30 minutos.PonteiroPequeno Tempo 60 x = 900 ⇒ x = 15° 30° 60 min 09:30 h α = 90° + x e x = 15° x 30 min ⇒ α = 105°
  • 20. 6. Determine:a) o comprimento de um arco de circunferência(em cm), sabendo que ela tem 12cm de raio e oângulo central correspondente mede 20°. Many Notesb) o ângulo central (em radianos) correspondentea um arco de 15cm de comprimento, sabendo queela tem raio de 20cm.c) a medida do raio de uma circunferência (emcm), sabendo que nela um ângulo central de 15°corresponde a um arco de 30cm.
  • 21. a) o comprimento de um arco de circunferência(em cm), sabendo que ela tem 12cm de raio e oângulo central correspondente mede 20°. Many Notes ⇒
  • 22. b) o ângulo central (em radianos) correspondentea um arco de 15cm de comprimento, sabendo queela tem raio de 20cm. Many Notes ⇒
  • 23. c) a medida do raio de uma circunferência (emcm), sabendo que nela um ângulo central de 15°corresponde a um arco de 30cm. Many Notes ⇒
  • 24. 7. A roda dianteira de uma bicicleta tem 40cm de raio.Quantos metros ela percorre ao dar 5.000 voltas?Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9420m? 40 cm = 0,4 m ⇒ C = 2π × 0,4 m ∴ C ≅ 2,5 m Many Notes1 volta = 2,5 m ⇒ 5000 voltas = 5000 × 2,5 m = 12.500 m 1 volta = 2,5 m ⇒ x voltas = 2,5 x = 9.420 m
  • 25. 8. As rodas de um automóvel têm 70cm de diâmetro.Determine o número de voltas efetuadas pelas rodasquando o automóvel percorre 9.891km. Adote π =3,14. Many Notesd = 70 cm ∴ r = 35 cm1 volta = C = 2π × 35 = 70π cm = 219,8 cm = 2,198 mPercurso = 9.891 km = 9.891.000 m x voltas = 2,198 . x2,198 . x = 9891000 ∴ x = 4.500.000 voltas
  • 26. 9. Obtenha as menores determinações não negativasdos arcos. Solução:a) 1300° Encontra-se o número de voltasb) 1440° completas que é múltiplo de 360° ou Many Notesc) 170° de 2π. 11 As menores determinações nãod) rad 2 negativas serão os arcos encontrados 43e) rad nos restos percorridos no sentido 5f) –1200° positivo. São chamadas 1ªs determinações.
  • 27. a) 1300° 360° 1300°= 3 × 360° + 220° 22 0° 3 voltas 3 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida Logo a 1ª determinação de 1300° é 220°.b) 1440° Many Notes 360° 1440°= 4 × 360° + 0° 00 0° 4 voltas 4 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida Logo a 1ª determinação de 1440° é 0°.c) 170° < 360° não completando uma volta. Logo a 1ª determinação é o próprio 170°.
  • 28. d) Vamos dividir o arco por 2π rad Many Notes Sabemos que: ou seja, 2voltasmais ¾ de volta. ¾ de uma volta, em radianos, serão: 1 2
  • 29. e) Vamos dividir o arco por 2π rad Many NotesSabemos que: ou seja, 4 voltasmais 3/10 de volta. 3/10 de uma volta, em radianos, serão: 1 5
  • 30. f) –1200° 360° –1300°= –3 × 360° – 120° –1 2 0° –3 voltas 3 voltas completas no sentido horário (negativo) ∴ volta ao ponto de partida –120° é a 1ª determinação negativa de –1200°. Many Notes Para encontrar a 1ª determinação positiva, devemos somar 360° a –120°. –120° + 360° = 240° Logo a 1ª determinação não negativa de –1200° é 240° (sentido positivo).
  • 31. Visualização de determinações positiva e negativa: 90° • Many Notes 180° • • 0° +240° ≡ –120° • • 270°
  • 32. 10. Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:a) 1700° Solução: A expressão geralb) –700° será dada pela 1ª Many Notes 49 determinação dos ângulosc) rad 4 adicionadas a múltiplos ded) 11 rad 360° ou 2π, positivos ou 33e)  rad negativos. 8
  • 33. a) 1700° 360° 1700°= 4 × 360° + 260° 26 0° 4 voltas 4 voltas completas no sentido horário (negativo) ∴ volta ao ponto de partida 260° é a 1ª determinação positiva de 1700°. Many Notes Dizemos então que a EXRESSÃO GERAL dos arcos côngruos a 1700° é dada por:
  • 34. a) 1700° 360° 26 0° 4 voltasSendo k um número inteiro, ao escrevermos Many Notes360°k, queremos expressar um número qualquerde voltas completas em qualquer sentido –positivo ou negativo.Ao somarmos 260°, dizemos que, depois devoltar ao ponto de partida – não importandoquantas voltas foram dadas antes – percorremosmais 260° e chegamos sempre ao mesmo ponto.
  • 35. 90° • Many Notes180° • • 0° ≡ 360° • • 260° 270°
  • 36. 90° • Many Notes180° • • 0° 1 volta ≡ 360° + 260° • • 620° 270°
  • 37. 90° • Many Notes180° • • 0° 1 volta 2 voltas ≡ 360° + 260° • • 980° 270°
  • 38. 90° • Many Notes180° • • 0° –1 ≡ 360° volta + 260° • • –100° 270°
  • 39. Many Notes Todos os arcostêm extremidadeno mesmo ponto!
  • 40. b)  700º 360º  2(voltas)  resto(340º )⇒ 1ª determinação positiva de –700° = 360° – 340° = 20° Logo a expressão geral é 20º 360k , k  Z Many Notesc) 49 rad  48 rad   rad  12 (6voltas)   rad 4 4 4 4  Logo a expressão geral é  2k rad , k  Z 4
  • 41. d) 11 rad  10 rad   rad  (5voltas)   rad Logo a expressão geral é  rad  2k , k  Z 33 32  e)  rad   rad  rad  4 (2 voltas)  rad 8 8 8 8 Many Notes – 2 voltas significa duas voltas no sentido horário (negativo)  15A 1ª determinação positiva 2 rad  rad  radserá 8 8 15 Logo a expressão geral rad  2k , k  Z é 8
  • 42. 11. Assinale com “X” os pares que representamarcos côngruos. Solução:( ) 740° e 1460° Para que representem Many Notes( ) 400° e 940° arcos côngruos, suas extremidades deverão ser( ) as mesmas.( ) Isto pode ser verificado comparando as primeiras determinações de cada par.
  • 43. 1º) 740º 360º  2(voltas)  resto(20º ) ⊠ 1460º 360º  4(voltas)  resto(20º ) 400º 360º  1(voltas)  resto(40º ) 2º)  940º 360º  2(voltas)  resto(220º ) Many Notes 38 rad  36 rad  2 rad  12rad  2 rad  6(voltas)  2 rad  3 3 3 3 3 3º)   26 rad  24 rad  2 rad  8rad  2 rad  4(voltas)  2 rad⊠  3 3 3 3 3 74 rad  70 rad  4 rad  14rad  4 rad  7(voltas)  4 rad  5 5 5 5 54º) 19 10 9 9 9  rad  rad  rad  2rad  rad  1(volta)  rad  5 5 5 5 5
  • 44. 11. Assinale com “X” os pares que representamarcos côngruos.⊠) 740° e 1460°( Many Notes( ) 400° e 940°⊠)(( )
  • 45. 12. Os arcos da forma k.180º 30.(1)k , ,k∈ℤ,têm extremidades em que quadrantes?Solução: Atribuindo alguns valores para “k”,observa-se a regularidade dos quadrantes: k  2  (2).180º  (1) 2 .30º  360º 30º  330º  30º  (1º Q)  Many Notes k  1  (1).180º  (1) 1.30º  180º 30º  210º  150º  (2º Q)  k  0  (0).180º  (1)0 .30º  30º  (1º Q) k  1  (1).180º  (1)1.30º  180º 30º  150º  (2º Q)  k   2  (2).180º  (1) 2 .30º  360º 30º  390º  30º  (1º Q)Observa-se que, para valores ÍMPARES de k, aextremidade do arco pertence ao 2º quadrante e,para valores PARES, ao 1º quadrante. Logo, aresposta é 1º e 2º quadrantes.
  • 46. Seno e Cosseno na Circunferência TrigonométricaDado um arco trigonométrico AM de medida α,chama-se de cosseno de α a abscissa do ponto M eseno de α a ordenada do ponto M. Many Notes • M • sen α α A • •cos α • •
  • 47. sen • M • sen α α A • •cos α • cos Many Notes •Sendo M o ponto de coordenadas (cos α, sen α),consideraremos o eixo horizontal como Eixo dosCossenos e o eixo vertical como Eixo dos Senos.
  • 48. 90° ou π/2 sen rad (0,1) • • 0° ou 0 rad Many Notes (–1 , 0 ) ( 1 , 0 ) cos • • •180° ou π rad 360° ou 2π rad • ( 0 , –1 ) 270° ou 3π/2 rad
  • 49. Ponto Arco Cosseno Seno (1,0) 0 1 0 (0,1) π/2 0 1 (–1 , 0 ) π –1 0 ( 0 , –1 ) 3π/2 0 –1 Many Notes (1,0) 2π 1 0Complete: 1 1 0 0 0 0
  • 50. ExercícioConverta de graus para radianos:a) 30° = _____ 180° π rad Many Notes 30° x rad b) 45° = _____ c) 60° = _____
  • 51. sen • 30° ou π/6 Many Notes cos•
  • 52. sen • 45° ou π/4 Many Notes cos•
  • 53. sen • 60° ou π/3 Many Notes cos•
  • 54. sen • 30° ou π/6 Many Notes cos •210° ou 7π/6•
  • 55. sen150° ou 5π/6 • • 30° ou π/6 Many Notes cos •210° ou 7π/6 •
  • 56. sen150° ou 5π/6 • • 30° ou π/6 Many Notes cos •210° ou 7π/6 • • 330° ou 11π/6
  • 57. 0 π/2 π 3π/2 2πsencos Many Notes 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/6 π – π/6 π + π/6 2π – π/6 = 5π/6 = 7π/6 = 11π/6sencos
  • 58. Agora vamos fazer o mesmo paratodos os arcos associados a π/4 e π /6 Many Notes 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/4 π – π/4 π + π/4 2π – π/4 = 3π/4 = 5π/4 = 7π/4 sen cos
  • 59. sen180° – 45° = 135°ouπ – π/4 = (3π /4)rad • • 45° ou (π/4) rad Many Notes 180° ou π rad 0° ou 0 rad cos • 360° ou 2π rad • •180° + 45° = 225°ou 360° – 45° = 315°ouπ + π/4 = (5π /4) 2π – π/4 = (7π /4) radrad
  • 60. •• • sen •• cos Many Notes
  • 61. sen(3π /4) rad (π/4) rad • • Many Notes cos • • •(5π /4) rad (7π /4) rad
  • 62. 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/4 π – π/4 π + π/4 2π – π/4 = 3π/4 = 5π/4 = 7π/4sencos Many Notes 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/3 π – π/3 π + π/3 2π – π/3 = 2π/3 = 4π/3 = 5π/3sencos
  • 63. sen180° – 60° = 120°ouπ – π/3 = (2π /3)rad • • 60° ou (π/3) rad Many Notes180° ou π rad 0° ou 0 rad cos • 360° ou 2π rad • •180° + 60° = 240°ou 360° – 60° = 300°ouπ + π/3 = (4π /3) 2π – π/3 = (5π /3) radrad
  • 64. • • • sen •• cos Many Notes
  • 65. sen120° 60° • • Many Notes cos • • •240° 300°
  • 66. 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/3 π – π/3 π + π/3 2π – π/3 = 2π/3 = 4π/3 = 5π/3 Many Notessencos
  • 67. Tangente na Circunferência TrigonométricaSeja t a reta perpendicular ao eixo das abscissaspelo ponto A. t • T B • Many Notes M • A’ α A • 0• • • B’O prolongamento do raio 0M intercepta a reta t no ponto T.
  • 68. t •T B • M • tg α A’ α A • 0• • Many Notes •B’Chamaremos a reta t de eixo das tangentes, assim:Dado um arco trigonométrico AM, M ≠ B e M ≠ B’,de medida α, chama-se tangente de α (tg α) aordenada do ponto T obtido pela intersecção doprolongamento do raio 0M com o eixo das tangentes.
  • 69. t •T B • M • tg α A’ α A • 0• • Many Notes •B’OBS: O ponto M não pode coincidir com B, nem comB’, pois os prolongamentos dos raios 0B e 0B’, nãointerceptam o eixo das tangentes.Por isso dizemos que não existe tangente de um arcocom extremidade em B ou B’.
  • 70. Tabela das principais razõestrigonométricas 30º ou 45º ou 60º ou (π/6) rad (π/4) rad (π/3) rad Many Notes 1 2 3 sen 2 2 2 3 2 1 cos 2 2 2 3 1 tg 3 3
  • 71. sen tg T • Many Notes 30° ou π/6 cos•
  • 72. sen tg T • 1 Many Notes 45° ou π/4 cos•
  • 73. tg T sen • Many Notes 60° ou π/3 cos•
  • 74. Variação do sinal da tangente Sabemos que no triângulo retângulo ABC, temos: b c bsen   cos  tg   C a a c Many NotesVamos calcular o seguinte aquociente: b b sen a  b  a  b  tg   α cos c a c c a A c B
  • 75. sen ⊕ ⊕ ⊖ ⊕ cos ⊖ ⊖ ⊖ ⊕ Many Notes tg Lembre-se que⊕/⊕ = ⊕, ⊖/⊖ = ⊕, ⊕/⊖ = ⊖/⊕ = ⊖ ⊖ ⊕ ⊕ ⊖
  • 76. 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/6 π – π/6 π + π/6 2π – π/6 = 5π/6 = 7π/6 = 11π/6sen Many Notescostg
  • 77. 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/4 π – π/4 π + π/4 2π – π/4 = 3π/4 = 5π/4 = 7π/4sen Many Notescostg 1 –1 1 –1
  • 78. 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/3 π – π/3 π + π/3 2π – π/3 = 2π/3 = 4π/3 = 5π/3sen Many Notescos tg
  • 79. Agora, muita atenção! 0 π/2 π 3π/2 2π sen Many Notes cos tg 0 ∞ 0 ∞ 0A divisão por zero não é definida emMatemática, mas podemos considerar aqui queos prolongamentos dos raios nos arcos π/2 e 3π/2resultariam em paralelas ao eixo das tangentes e,como sabemos, define-se que retas paralelas se“encontram” no infinito.
  • 80. Exemplos: sen tg T • Many Notes 30° ou π/6 cos • 330° ou 11π/6 • T’
  • 81. sen tg T • 1 Many Notes 45° ou π/4 cos •135° ou 5π/4 •
  • 82. tg T sen • • Many Notes120° ou 2π/3 60° ou π/3 • cos
  • 83. Exercícios Many Notes CONTINUAÇÃO
  • 84. 13. Determine os valores de:a) y  3 cos 540º 2sen90º tg180ºb) y  4sen900º 2 cos 630º  cos 720º Many Notes Solução: Encontram-se os arcos côngruos, reduzindo ao 1° quadrante para determinações dos valores das funções e atribuindo seus respectivos sinais de acordo com os quadrantes.
  • 85. cos 540º  cos 180º  1 a) sen 90º  1  y  3(1)  2(1)  0  3  2  5 tg 180º  0  sen 900º  sen180º  0  Many Notesb) cos 630º  cos 270º  0  y  4 ( 0)  2( 0 )  1  0  0  1  1 cos 720º  cos 360º  cos 0º  1 
  • 86. 14. Determine os valores máximos e mínimos dasexpressões: 4 cos x  1a) y  3b) y  2  5senx Many Notes 5c) y  3sen 2 x  2Solução: As funções seno e cosseno variam nointervalo [ – 1 , 1] onde (–1) é mínimo e (1) émáximo.No caso das funções estarem ao quadrado, o valormínimo passa a ser (0), pois nenhum número aoquadrado pode ser negativo.
  • 87. ATENÇÃO! Many Notes  4(1)  1 5 máximo : y   4 cos x  1   3 3a) y  3 mínimo : y  4(1)  1   3  1   3 3
  • 88.  2  5(1) _ 7 2  5senx máximo : y   5  5b y ) 5 mínimo : y  2  5(1) _   3   5 5 Many Notes máximo : y  3(0)  2  2c) y  3sen x  2   2 mínimo : y  3(1)  2  1
  • 89. 15. Que valores de m satisfarão a ambas as condições:Solução: Aplicando a relação fundamental Many Notesrelacionando senos e cossenos, temos: ou
  • 90. 3 senx 16. Sendo x um arco do 2° quadrante e , 5determine:a) cos x Many Notesb) tg xSolução: No 2° quadrante o cosseno é negativoe a tangente também é negativa. Aplicando asrelações fundamentais, temos:
  • 91. a)b) Many Notes
  • 92. 17. Relacione as colunas: Many NotesSolução:Encontrando o arco côngruo correspondente,avalia-se o sinal da função.
  • 93. a) 5240° 360° 1640 200° 14 sen 90° cos 200° = –cos 20° • Many Notes –cos 20° 20° 180° • • • 0° cos 20° cos 200° • 20° • 270°
  • 94. b) 1200° 360° 120° 3 sen 60° = cos 30° sen 90° • Many Notes 120° • 60° 60° 180° • • • 0° cos • 270°
  • 95. c) –210° + 360° = 150° sen 150° = sen 30° sen 90° • Many Notes 150° • 30° 30° 180° • • • 0° cos • 270°
  • 96. d) sen tg 90° • Many Notes 150° • 30° 30° 180° • • • 0° cos • 270°
  • 97. d) sen 90° • Many Notes 120° • 60° 60° 180° • • • 0° cos • 270°
  • 98. d) sen cos 330° = cos 30° 90° • Many Notes 30° 180° • • • 0° cos 30° • 330° • 270°
  • 99. d)Many Notes
  • 100. 17. Relacione as colunas: Many Notes
  • 101. 1  sen300º18. A expressão é igual a: tg 540º  cos( 120º ) sen 90° • Many Notes 60° 180° • • • 0° cos 60° ≡ 360° • 300° • 270°
  • 102. 540° 360°180° 1 sen tg 90° • Many Notes 180° • • • 0° cos • 270°
  • 103. –120° + 360° = 240° sen 90° • Many Notes 60° 180° • • • 0° cos 60° 240° • • 270°
  • 104. 1  sen300º tg 540º  cos( 120º ) 0 Many Notes ⇒∴
  • 105. Many Notes