CPI2 - Clase 3

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CPI2 - Clase 3

  1. 1. Control de procesos industriales IIRepaso de Control de procesos industriales I Ing. Ángela Bravo Sánchez M.Sc
  2. 2. REPASO: DEFINICIONES BÁSICASCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  3. 3. DEFINICIONES BÁSICAS Variable de proceso - PV Son aquellas que pueden cambiar las condiciones de un proceso.  Por ejemplo:  Presión  Flujo  Nivel  Temperatura  DensidadCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  4. 4. DEFINICIONES BÁSICAS Setpoint o punto de ajuste - SP  Valor al que se desea mantener una variable de proceso  Por ejemplo:  El nivel de un tanque no puede exceder 2 metros => setpoint=2 metros  La temperatura de un proceso debe ser de 100°C => setpoint = 100°CCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  5. 5. DEFINICIONES BÁSICAS Variable controlada - PV Es la variable que se debe mantener o controlar dentro de algún valor deseado. Variable manipulada -MV Es la variable que se varía para mantener a la variable controlada en el punto de controlCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  6. 6. DEFINICIONES BÁSICAS CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL  Sistemas de control en lazo abierto  Sistemas de control en lazo cerradoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  7. 7. DEFINICIONES BÁSICAS Sistemas de control en lazo abierto  Existen cuando la variable del proceso no es comparada con el setpoint y se genera una acción independiente de las condiciones de la mismaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  8. 8. DEFINICIONES BÁSICAS Sistemas de control en lazo cerrado  Existen cuando la variable del proceso es comparada con el setpoint y se genera una acción que permite corregir cualquier desviaciónCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  9. 9. DEFINICIONES BÁSICAS Ejemplo sistema de control de lazo cerrado Intercambiador de calorCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  10. 10. Intercambiador de calor Objetivo:  Controlar la temperatura de salida del proceso para mantenerla en el calor deseadoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  11. 11. Intercambiador de calor Objetivo:  Controlar la temperatura de salida del proceso para mantenerla en el calor deseado ACCIONES DE CONTROL 1. Medir la temperatura de salida T(t) 2. Comparar T(t) con el valor que se desea Td 3. Decidir que se debe hacer para corregir cualquier desviaciónCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  12. 12. Intercambiador de calor ¿Qué variable del proceso permite corregir la desviación de temperatura?CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  13. 13. Intercambiador de calor  Se puede usar el flujo del vapor para corregir la desviación de temperatura  Si T(t) < Td abrir la válvula para aumentar el flujo del vapor  Si T(t) > Td cerrar la válvula para disminuir el flujo del vaporCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  14. 14. Clasificación de los sistemas de control a lazo cerrado Manuales: controlado por un operador humano Automático: controlado por un dispositivoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  15. 15. Componentes del lazo de control  Elementos primarios o sensores: Instrumento que está midiendo los cambio en el proceso y reporta la medición de las variables del proceso  Transductores y convertidores Transductor: Dispositivos que convierten una señal mecánica en una señal eléctrica Convertidor: convierten un tipo de señal en otra Ejemplo: Corriente a voltaje --- análogo a digitalCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  16. 16. Componentes del lazo de control Transmisor o elemento secundario  Convierte la lectura de un sensor o transductor en señales estándar para ser transmitidas Controlador  Es un dispositivo que recibe los datos de los instrumentos de medida compara esos datos con el setpoint programado. Si es necesario le indica al elemento final de control la acción correctivaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  17. 17. Componentes del lazo de control Dispositivo corrector o elemento final de control  Es quien actúa físicamente para cambiar la variable manipulad. Por ejemplo una válvula o un motor.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  18. 18. Componentes del lazo de control Sistema SISOCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  19. 19. DEFINICIONES BÁSICAS Control regulador y servocontrol  Control regulador: son sistemas diseñados para compensar las perturbaciones a la que puede estar sometida la variable controlada  Servocontrol: Son sistemas diseñados para que la variable controlada se ajuste al valor del setpointCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  20. 20. DEFINICIONES BÁSICAS Estrategias de control  Control por retroalimentación o control feedback  Control por acción pre-calculada o control feedforwardCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  21. 21. Control por retroalimentación  Es aquel que tiende a mantener una relación pre-establecida entre la salida y la referencia (setpoint), comparándolas y utilizando la diferencia como medio de control. Variable Perturbación manipuladaSetpoint Error Elemento final Controlador Proceso de control Variable Controlada Variable Del proceso Instrumento de mediciónCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  22. 22. Control por acción pre-calculada  Las perturbaciones se compensan antes de que afecte a la variable controlada.  Se miden las perturbaciones antes que entren al proceso y se calcula el valor que se requiere de la variable manipulada para mantener la variable controlada en el valor deseado Perturbación Controlador Setpoint Proceso SalidaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  23. 23. Repaso FUNDAMENTACIÓN MATEMÁTICA PARA EL ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROLCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  24. 24. FUNDAMENTACIÓN MATEMÁTICA  En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo.  Para esto, es necesario el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un procesoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  25. 25. La Transformada de Laplace  La Transformada de Laplace es un método operacional que puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.  Transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas de una variable compleja sCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  26. 26. Transformada de Laplace La transformada de Laplace de una función del tiempo f(t), se define mediante la siguiente fórmula: ∞ 𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓(𝑡) = 0 𝑓 𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 Donde  𝐹 𝑠 es una función del tiempo  𝑠 una variable compleja  ℒ 𝑓 o 𝐹 𝑠 es la transformada de Laplace de 𝑓 𝑡CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  27. 27. Transformada de Laplace de funciones más usualesCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  28. 28. TRANSFORMADA DE LAPLACE EN MATLABCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  29. 29. Propiedades de la Transformada de Laplace  Linealidad: y  Diferenciación  Integración  Desplazamiento en el tiempo  Teorema del valor inicial  Teorema del valor finalCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  30. 30. Trasformada Inversa de Laplace  La operación de obtener la función f(t) a partir de la transformada de Laplace F(s) se le denomina transformada inversa de Laplace:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  31. 31. Método de las fracciones simples Transformadas inversas de Laplace de funciones F(s) racionales de la forma 𝑁(𝑠) 𝐹 𝑠 = 𝐷(𝑠) Donde 𝑁 𝑠 𝑦 𝐷 𝑠 son polinomios en la variable s Pasos: 1. Descomponer la fracción F(s) en fracciones simples a) Ej: 2. Calcular la trasformada inversa de Laplace haciendo uso de la propiedad de linealidadCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  32. 32. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE EN MATLABCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  33. 33. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LAPLACE 𝑑2 𝑦(𝑡) 𝑑𝑦(𝑡) 𝑎2 2 + 𝑎1 + 𝑎0 𝑦 𝑡 = 𝑏 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Procedimiento de solución por la transformada de Laplace:  Paso 1. Transformación de la ecuación diferencial en una ecuación algebraica con la variable s de la transformada de Laplace  Paso 2. Se despeja Y(s) de la ecuación algebraica encontrada  Paso 3. Se aplica a Y(s) la transformada inversa de Laplace para encontrar y(t)CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  34. 34. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LAPLACE Solución Definiendo la transformada de Laplace para 𝑥, 𝑥 𝑦 𝑥 RemplazandoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  35. 35. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LAPLACE  Remplazando las condiciones iniciales Despejando X(s) Aplicamos transformada de LaplaceCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  36. 36. REPASO MODELADO MATEMÁTICO DE UN SISTEMA DE CONTROLCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  37. 37. MODELADO MATEMÁTICO  Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema  La dinámica de muchos sistemas, ya sean mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos, biológicos, etc., se describe en términos de ecuaciones diferenciales.  Para trabajar estas ecuaciones diferenciales de una forma sencilla se hace uso de la transformada de LaplaceCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  38. 38. Función de transferencia  En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada-salida de componentes.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  39. 39. Función de transferencia  Un sistema dinámico puede ser descrito por la siguiente ecuación diferencia invariante en el tiempo:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  40. 40. Función de transferencia  Pasando la ecuación al dominio de Laplace y considerando que las condiciones iniciales son cero se obtiene:  La función de trasferencia entre y(t) y u(t) está dada por:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  41. 41. Función de transferencia Una función de transferencia tiene las siguientes características:  La función de trasferencia está definida únicamente para sistemas lineales.  Todas las condiciones iniciales del sistemas son fijadas a cero  La función de trasferencia es independiente a la entrada del sistemaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  42. 42. MATLAB  OPCIÓN 1 OPCIÓN 2 h = tf([1 0],[1 2 10]) s = tf(s); H = s/(s^2 + 2*s +10) Transfer function: s Transfer function: -------------- s s^2 + 2 s + 10 -------------- s^2 + 2 s + 10CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  43. 43. Diagrama en bloques  Un sistema de control puede consistir, en general, por un cierto número de componentes.  Con el fin de mostrar las interacciones existentes de forma cómoda, se acostumbra a usar una representación gráfica denominada diagrama a bloques.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  44. 44. Diagrama en bloques  Un diagrama de bloques es una representación grafica de una función de trasferencia.  Muestra la relación existente entre los diversos componentes e indica el flujo de las señales del sistema realCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  45. 45. Diagrama en bloques: Simbología  Bloque ó bloque funcional:  Punto suma ó diferencia:  Punto de ramificaciónCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  46. 46. Algebra de diagrama de bloques  La modificación de los diagramas en bloques para efectuar simplificaciones u ordenaciones se denomina algebra de diagrama de bloquesCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  47. 47. Algebra de diagrama de bloques  Asociación de bloques Cascada o serieCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  48. 48. Algebra de diagrama de bloques  Asociación de bloques ParaleloCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  49. 49. Algebra de diagrama de bloques  Asociación de bloques retroalimentadosCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  50. 50. Algebra de diagrama de bloques  Intercambio del orden de los bloquesCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  51. 51. Algebra de diagrama de bloques  Intercambio en el orden de los bloquesCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  52. 52. Algebra de diagrama de bloques  Combinación o expansión del bloque suma/restaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  53. 53. Simplificación de un diagrama de bloquesCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  54. 54. MATLABCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  55. 55. Procedimiento para dibujar un diagrama en bloques 1. Escriba las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de cada componente 2. Obtenga las transformadas de Laplace de estas ecuaciones, suponiendo que las condiciones iniciales son cero. 3. Represente individualmente en forma de bloques cada ecuación transformada por el método de Laplace 4. Por último, integre los elementos en un diagrama de bloques completoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  56. 56. Procedimiento para dibujar un diagrama en bloques  Ejercicio: Circuito RC 1. Escriba las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de cada componente. En este caso i y eoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  57. 57. Procedimiento para dibujar un diagrama en bloques 2. Obtenga las transformadas de Laplace de estas ecuaciones, suponiendo que las condiciones iniciales son cero. LAPLACECONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  58. 58. Procedimiento para dibujar un diagrama en bloques 3. Represente individualmente en forma de bloques cada ecuación transformada por el método de Laplace.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  59. 59. Procedimiento para dibujar un diagrama en bloques 4. Por último, integre los elementos en un diagrama de bloques completoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  60. 60. MATLAB / SIMULINKCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  61. 61. Simulink  Cálculo de la función transferencia a lazo cerrado desde Simulink [A,B,C,D]=linmod(’nombre archivo simulink’); [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  62. 62. MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS  La tendencia moderna en los sistemas de ingeniería es hacia una mayor complejidad.  Los sistemas complejos pueden tener entradas y salidas múltiples y pueden variar en el tiempo.  El modelado en el espacio de estados permite considerar aquellos sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  63. 63. Modelado en el espacio de estados  Estado Es el conjunto de variables (variables de estado), tales que el conocimiento de esas variables junto con el conocimiento de la entrada, determinan el comportamiento del sistema.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  64. 64. Modelado en el espacio de estados  Variables de estado Es un conjunto de variables que determinan el estado del sistema. Se necesitan n variables para describir totalmente el comportamiento de un sistema dinámico X1,X2, … ,Xn  Vector de estado Es un vector con las n variables de estado.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  65. 65. Modelado en el espacio de estados  Espacio de estados. Es un espacio de n dimensiones cuyos ejes de son las variables de estado X1,X2,…,Xn. Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el espacio de estados.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  66. 66. Modelado en el espacio de estados  Ecuaciones de estados Conjunto de n ecuaciones diferenciales simultaneas de primer orden con n variables, donde las n variables al ser despejadas son las variables de estado.  Ecuación de salida Ecuación algebraica que expresa las variables de salida del sistema como combinaciones lineales de las variables de estado y las entradasCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  67. 67. Modelado en el espacio de estados  Considere un sistemas dinámico lineal invariante en el tiempo, de múltiples entradas y múltiples salidasCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  68. 68. Modelado en el espacio de estados El sistema está representado en el espacio de estados por la siguiente ecuación Ecuación de estados Ecuación de salida Dónde:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  69. 69. Modelado en el espacio de estados  u: un vector que contiene cada una de las p entradas al sistema  y: un vector que contiene cada una de las q salidas al sistema  x: es un vector que contiene cada una de las n variables de estado del sistemaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  70. 70. Modelado en el espacio de estados  El tamaño de las matrices debe ser el adecuado:  p entradas al sistema  q salidas al sistema  n variables de estado del sistemaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  71. 71. Modelado en el espacio de estadosCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  72. 72. Modelado en el espacio de estados  Obtención de las ecuaciones de estado La representación en espacio de estado puede ser derivada desde las ecuaciones diferenciales que representan a un sistema. 1. Identificar las leyes o teorías que gobiernan el comportamiento del sistema. Leyes de termodinámica, Leyes dinámicas, segunda ley de Newton, Ley de voltajes y corrientes de Kirchoff, Ley de Ampere, Ley de Ohm, Ley de Boyle, etc. 2. Seleccionar las variables de estado. Son las variables mínimas que determinan el comportamiento dinámico del sistema. 3. Encontrar la dinámica de cada estado. Es decir, encontrar la razón de cambio respecto al tiempo de cada variable de estado (su derivada).CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  73. 73. Modelado en el espacio de estados  Ejemplo Considere el sistema mecánico u(t) es una fuerza externa y(t) es el desplazamiento de la masaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  74. 74. Modelado en el espacio de estados  Cuál es la variable de entrada del sistema?  Cuál es la variable de salida del sistema?CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  75. 75. Modelado en el espacio de estados  Cuál es la variable de entrada del sistema? La fuerza externa u(t) es la entrada para el sistema.  Cuál es la variable de salida del sistema? el desplazamiento y(t) de la masa es la salida.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  76. 76. Modelado en el espacio de estados  La ecuación del sistema es  Definamos las variables de estado x1(t) y x2(t) como:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  77. 77. Modelado en el espacio de estados (1) (2)  Obtenemos  De acuerdo a (2) obtenemosCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  78. 78. Modelado en el espacio de estados  La forma matricial de estas ecuaciones es:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  79. 79. Modelado en el espacio de estados  La ecuación de salida es:  En forma matricialCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  80. 80. Modelado en el espacio de estados Donde:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  81. 81. Modelado en el espacio de estados Ejercicio: Calcular la función de transferencia para las ecuaciones en el espacio de estadoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  82. 82. Modelado en el espacio de estados  Aplicando Laplace, con x(0)=0 Despejamos x(s) (multiplicamos por en ambos lados )CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  83. 83. Modelado en el espacio de estados  Por otro lado Y Remplazando Por lo tanto la función de transferencia es:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  84. 84. Modelado en el espacio de estados  Se puede reescribir como: Donde Polinomio característico Polinomio en sCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  85. 85. Modelado en el espacio de estados  EJERCICIO Obtenga la función de transferencia del sistema descrito por las siguiente ecuación de estado:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  86. 86. Modelado en el espacio de estados  De las ecuaciones de estado obtenemos los valores de A, B, C Y D  Remplazamos en la ecuación de la función de transferenciaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  87. 87. Modelado en el espacio de estados MATLAB syms k m b s A=[0 1; -k/m -b/m] B=[0; 1/m] C=[0 1] D=0 %Forma Manual G=C*(s*eye(2)-A)^(-1)*B+D G= s/(m*s^2 + b*s + k)CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  88. 88. MATLAB El comando ss2tf retorna el numerador y denominador de la función de trasferencia [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) El comando tf2ss convierte la función de transferencia de un sistema en la forma espacio de estado [A,B,C,D] = tf2ss(num,den)CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  89. 89. SimulinkCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  90. 90. LINEALIZACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS NO LINEALES  El proceso de linealizar sistemas no lineales es importante, porque permite aplicar numerosos métodos de análisis lineal que proporcionen información acerca del comportamiento de los sistemas no lineales.  Se presenta aquí se basa en la expansión de la función no lineal en series de Taylor alrededor del punto de operación y la retención solo del término linealCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  91. 91. LINEALIZACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS NO LINEALES Considere un sistema cuya entrada es x(t) y cuya salida es y(t) entonces: Se supone que las variables solo se desvían ligeramente de alguna condición de operaciónCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  92. 92. LINEALIZACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS NO LINEALES  La expansión en series de Taylor alrededor del punto de operación (xo,f(xo)) es: Si la variación alrededor del punto de operación es pequeña oCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  93. 93. LINEALIZACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS NO LINEALES  Ejemplo: 𝜋 Linealizar alrededor de 𝑥 𝑜 = 2CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  94. 94. LINEALIZACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS NO LINEALES Linealización de ecuaciones diferenciales El modelo no lineal del sistema mecánico es: El objetivo es encontrar el modelo linealizado (us,ys)CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  95. 95. LINEALIZACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS NO LINEALES  1) determinar el punto de equilibrio (us, ys) A menudo corresponde a la condición de estado estacionario del sistema. Entonces en u=us el punto de equilibrio puede ser encontrado fijando todas las derivadas de tiempo a cero EntoncesCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  96. 96. LINEALIZACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS NO LINEALES 2) Linealizamos la ecuación diferencial para pequeñas excursiones alrededor del punto de operación. Sea 𝑦 = 𝑦𝑠 + 𝛿𝑦 y 𝑢 = 𝑢𝑠 + 𝛿𝑢 remplazando en la ecuación Como ys es una constanteCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  97. 97. LINEALIZACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS NO LINEALES  Expandiendo 𝑓 𝑦𝑠 + 𝛿𝑦 Como , tenemos la siguiente ecuación lineal: En la práctica 𝑦 = 𝛿𝑦 y 𝑢 = 𝛿𝑢CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  98. 98. Repaso MÉTODOS PARA EL ANÁLISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL RETROALIMENTADOCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  99. 99. Métodos de análisis  Los sistemas de control se diseñan para conseguir un comportamiento determinado.  Una vez obtenido el modelo matemático del sistema, disponemos de varios métodos para analizar el comportamiento del sistemaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  100. 100. Métodos de análisis Existen dos métodos para el análisis y diseño de sistemas de control retroalimentados  Análisis en el dominio del tiempo  Análisis en el dominio de la frecuenciaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  101. 101. Repaso ANÁLISIS DE SISTEMAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPOCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  102. 102. Respuesta en tiempo  La respuesta en tiempo de un sistema de control consiste en dos parte:  La respuesta transitoria  La respuesta en estado estacionarioCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  103. 103. Respuesta en tiempo  La respuesta transitoria La respuesta transitoria es definida como la parte de la respuesta en que va de un estado inicial a un estado final  La respuesta en estado estacionario Es definido como el comportamiento del sistema a la manera en la cual se comporta el sistema mientras el tiempo t se aproxima a infinito.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  104. 104. Respuesta en tiempo Entonces la respuesta y(t) se puede escribir de la siguiente manera: 𝑦 𝑡 = 𝑦 𝑡 𝑡 + 𝑦 𝑠𝑠 𝑡 Donde 𝑦 𝑡 𝑡 es la respuesta transitoria 𝑦 𝑠𝑠 𝑡 es la respuesta en estado estacionarioCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  105. 105. Análisis de Sistemas en el Dominio del Tiempo  El estudio de un sistema de control en el dominio del tiempo involucra esencialmente la evaluación de sus respuestas transitoria y estacionaria.  En el problema de diseño, las especificaciones se proporcionan normalmente en términos del comportamiento transitorio y del estacionario, y los controladores se diseñan para que todas esas especificaciones sean cumplidas por el sistema diseñado.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  106. 106. Entradas de un sistema de control  Las entradas de un sistema de control pueden variar en forma aleatoria con respecto al tiempo.  Esto provoca un problema para el diseñador, ya que es difícil diseñar un sistema de control que tenga un funcionamiento satisfactorio para todas las formas posibles de señales de entrada.  Para propósitos de análisis y diseño, es necesario suponer algunos tipos básicos de entradas de prueba para evaluar el funcionamiento de un sistema.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  107. 107. Tipos de señales de entrada: Función paso  También llamada función escalón o función de Heaviside  Representa un cambio instantáneo en la entrada de referencia 𝑟 𝑡 = 𝐴 𝑢(𝑡) Siendo 𝑢 𝑡 la función pasoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  108. 108. Tipos de señales de entrada: Función paso  La función paso es muy útil como señal de prueba, ya que su salto instantáneo inicial de amplitud revela la velocidad de respuesta un sistema a entradas con cambios abruptos.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  109. 109. Tipos de señales de entrada: Función rampa Es una señal que cambia constantemente con el tiempo. Matemáticamente se representa por: 𝑟 𝑡 = 𝐴 𝑡 𝑢(𝑡) Esta señal nos dice cómo responde el sistema a señales que cambian linealmente con el tiempoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  110. 110. Tipos de señales de entrada: Función parabólica.  Esta función representa una señal que tiene una variación más rápida que la función rampa.  Matemáticamente se representa por: 𝑡2 𝑟 𝑡 = 𝐴 𝑢(𝑡) 2  El factor ½ se añade por conveniencia matemática, para que la transformada de Laplace de la señal sea simplemente A/s^3CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  111. 111. Tipos de señales de entrada: Función impulso  La función impulso unitario o Delta de Dirac, tiene la siguiente forma matemática:  El impulso es unitario si se cumple  La respuesta a un impulso unitario llamada también “respuesta natural o propia” del sistema nos da idea de cuál es el comportamiento intrínseco de dicho sistema.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  112. 112. Orden de un sistema El orden de un sistema se define como:  La mayor potencia de la derivada de una ecuación diferencial  La mayor potencia de s en el denominador de la función de transferencia Ejemplo: Cual es el orden de los sistemas descritos por las siguientes funciones de trasferencia Segundo orden Primer orden Segundo ordenCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  113. 113. Polos y ceros de la función de transferencia  Polos Los polos de una función de transferencia son los valores de la variable de la transformada de Laplace, s, que ocasionan que la función de transferencia se vuelva infinita  Ceros Los ceros de una función de trasferencia son los valores de la variable de la transformada de Laplace, s, que ocasiona que la función se transferencia se convierta en ceroCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  114. 114. Matlab El comando roots de Matlab retorna las raíces del polinomio  Consideremos el siguiente polinomio: p=[1 4 4 1 20]; r=roots(p); r = -2.6545 + 1.2595i -2.6545 - 1.2595i 0.6545 + 1.3742i 0.6545 - 1.3742iCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  115. 115. Matlab Alternativamente un mapa con la ubicación de los polos y ceros se puede obtener con la función pzmap (polos x, ceros o)Ejemplo 1.5 Pole-Zero Map 1 System: H 0.5 Zero : -2.28 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Imaginary Axis Frequency (rad/sec): 2.28 0H=tf([2 5 1],[1 2 3]); -0.5sgrid System: H Pole : -1 - 1.41i -1 Damping: 0.577pzmap(H) Overshoot (%): 10.8 Frequency (rad/sec): 1.73 -1.5 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 Real AxisCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  116. 116. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN  Varios sistemas pueden ser aproximados a un primer ordenCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  117. 117. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN  Un sistema de primer orden puede ser representado por el siguiente diagrama en bloques:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  118. 118. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN Respuesta a una entrada paso unitario Entrada: Respuesta (salida):CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  119. 119. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN La solución tiene dos partes:  Respuesta en estado estacionario  Respuesta transitoria T: se llama constante de tiempo y es el tiempo que le toma a la salida alcanzar el 63% de su valor final. T se puede considerar una especificación de la respuesta transitoriaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  120. 120. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN Tiempo de subida (rise time) TrEs definido como el tiempo quedemora la señal en ir del 10% al 90%de su valor final Tiempo de establecimiento (settling time) TsEs el tiempo que tarda la señal enentrar y permanecer en la zona del±5% o ±2% del valor final Error en estado estacionario essCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  121. 121. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN m: masa k: constante del resorte b: coeficiente de rozamiento u(t): fuerza externa y(t): desplazamientoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  122. 122. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN  La forma general de un sistema de segundo orden es:  La función de transferencia 𝜔 𝑛 es la frecuencia natural 𝜉 es el coeficiente de amortiguamiento k es la ganancia del sistema. Por simplicidad se estudian los casos con k=1CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  123. 123. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN  La solución (raíces o polos del sistema) de la ecuación característica es:  El comportamiento dinámico del sistema de segundo orden puede ser descrito en términos del factor de amortiguamientoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  124. 124. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN 1. Si 𝝃 = 𝟎 , los polos son imaginarios conjugados, el sistema se denomina criticamente estable y la respuesta presenta oscilaciones sostenidas 2. Si 𝟎 < 𝝃 < 𝟏, los polos son complejos y conjugados y se dice que el sistema es subamortiguado 3. Si 𝝃 = 𝟏, los polos son reales y repetidos y el sistema se denomina críticamente amortiguado 4. Si 𝝃 > 𝟏, los polos son reales y distintos y el sistema se denomina sobreamortiguadoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  125. 125. Respuesta paso de sistemas de segundo orden  Las características deseadas del comportamiento de un sistemas de segundo orden, pueden específicarse en función de la respuesta transitoria ante una entrada escalónCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  126. 126. Respuesta paso de sistemas de segundo orden  Caso críticamente amortiguado 𝝃 = 𝟏 Tiene dos polos iguales: Para una entrada paso unitario R(S)=1/s, la salida es:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  127. 127. Respuesta paso de sistemas de segundo orden  Caso críticamente amortiguado 𝝃 = 𝟏CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  128. 128. Respuesta paso de sistemas de segundo orden  Caso sobreamortiguado 𝝃 > 𝟏 Reescribiendo la función de transferencia Los dos polos del sistema son: La salida para una entrada paso es:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  129. 129. Respuesta paso de sistemas de segundo orden  Caso sobreamortiguado 𝝃 > 𝟏 Cuando 𝝃 >> 𝟏, entonces y la exponencial con el termino s1 decae mas rápido que con la exponencial con s2. Entonces para una solución aproximada no se debe considerar s1 La respuesta en tiempo a un paso es:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  130. 130. Respuesta paso de sistemas de segundo ordenCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II si puede ser omitido AGOSTO DE 2012
  131. 131. Respuesta paso de sistemas de segundo ordenCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II No puede ser omitido AGOSTO DE 2012
  132. 132. Respuesta paso de sistemas de segundo ordenCaso subamortiguado 𝟎 < 𝝃 < 𝟏 Función de transferencia:Donde es la frecuencia natural de amortiguamiento Los dos polos son:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  133. 133. Respuesta paso de sistemas de segundo orden  Caso subamortiguado 𝟎 < 𝝃 < 𝟏 La salida a una entrada paso esCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  134. 134. Respuesta paso de sistemas de segundo orden  Caso subamortiguado 𝟎 < 𝝃 < 𝟏CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  135. 135. Respuesta paso de sistemas de segundo orden  Caso respuesta oscilatoria 𝝃 = 𝟎 La Existencia de dos polos imaginarios conjugados hace la respuesta no se estabilice y mantenga una oscilación de forma indefinida La respuesta comienza a oscilar a una frecuencia natural de oscilaciónCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  136. 136. Respuesta paso de sistemas de segundo orden  Resumen:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  137. 137. Especificaciones de respuesta transitoria.  Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, dado que ésta es fácil de generar y es suficientemente drásticaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  138. 138. Especificaciones de respuesta transitoria.  La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable  Características de la respuesta transitoria  Tiempo de retardo, 𝑡 𝑑  Tiempo de levantamiento, 𝑡 𝑟  Tiempo pico, 𝑡 𝑝  Sobrepaso máximo, 𝑀 𝑝  Tiempo de asentamiento, 𝑡 𝑠CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  139. 139. Especificaciones de respuesta transitoria sistemas 2do orden  Tiempo de retardo, 𝒕 𝒅 Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance la primera vez la mitad del valor finalCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  140. 140. Especificaciones de respuesta transitoria sistemas 2do orden  Tiempo de levantamiento, 𝒕 𝒓 Es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90% (sistemas sobreamortiguados) o del 0 al 100% (subamortiguados) de su valor final.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  141. 141. Especificaciones de respuesta transitoria sistemas 2do orden  Tiempo pico, 𝒕 𝒑 Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepasoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  142. 142. Especificaciones de respuesta transitoria sistemas 2do orden  Sobrepaso máximo (porcentaje), 𝑴 𝒑 Es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  143. 143. Especificaciones de respuesta transitoria sistemas 2do orden Tiempo de asentamiento, 𝒕 𝒔Es el tiempo que se requiere para que la curva derespuesta alcance un rango alrededor del valor final deltamaño especificado por el porcentaje absoluto del valorfinal (por lo general, de 2 a 5%) y permanezcadentro de él. 2% : 5% :CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  144. 144. Especificaciones de respuesta transitoria sistemas 2do orden Es conveniente que la respuesta transitoria sea suficientemente rápida y amortiguada. Por tanto, para una respuesta transitoria conveniente de un sistema de segundo orden, el factor de amortiguamiento relativo debe estar entre 0.4 y 0.8.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  145. 145. Especificaciones de respuesta transitoria sistemas 2do orden  Valores pequeños de 𝝃 (𝝃 < 0.4) producen un valor de sobrepaso excesivo en la respuesta transitoria  Un sistema con un valor grande de 𝝃 ( 𝝃 > 0.8) responden con lentitud.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  146. 146. Análisis de la respuesta transitoria con Matlab  Se puede calcular y graficar la respuesta en tiempo de un sistema a través de herramientas CAD como Matlab y Simulink.  En particular, se considerará la respuesta paso, la respuesta impulso, la respuesta rampa y la respuesta de otras entradas simples.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  147. 147. Respuesta Paso unitario  Para graficar la respuesta a un paso unitario de un sistema LTI SYS=tf(num,den) en MATLAB, se usa el comando step(SYS)o step(num,den)  Para una entrada paso de magnitud diferente a la unidad, por ejemplo K, simplemente se multiplica la función de trasferencia SYS por la constante K: step(K*SYS.  Si se quiere graficar en un rango de tiempo específico se debe definir un vector t con el rango de tiempo. Por ejemplo:t = 0:0.1:10; step(SYS,t)CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  148. 148. Respuesta Paso unitario  Por ejemplo: graficar la respuesta paso unitario para el siguiente sistema Step Response 2.5 2 num = [0 2 10]; 1.5 den = [1 5 4]; Amplitude SYS = tf(num,den); 1 step(SYS) 0.5 O directamente step(num,den) 0 0 1 2 3 4 5 6 Time (sec)CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  149. 149. Respuesta Paso unitario Ejemplo: sistema de 2do orden amortiguado wn=3; z=0.3; wd=wn*sqrt(1-z^2); s=tf(s); G= wn^2/((s+z*wn+1i*wd)* (s+z*wn-1i*wd)); t=0:0.1:10; step(G,t)CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  150. 150. Respuesta Paso unitario  Desde SimulinkCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  151. 151. Respuesta impulso  Para graficar la respuesta impulso de un sistema LTI SYS=tf(num,den) en MATLAB, se usa el comando impulse(SYS)o impulse(num,den)CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  152. 152. Respuesta impulso  Por ejemplo: graficar la respuesta impulso para el siguiente sistema Impulse Response 2.5 2 num = [0 5]; den = [2 10]; 1.5 SYS = tf(num,den); Amplitude impulse(SYS) 1 O directamente 0.5 impulse(num,den) 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II Time (sec) AGOSTO DE 2012
  153. 153. Respuesta rampa  Matlab no tiene un comando para la respuesta rampa. Para obtener la respuesta a una rampa unitaria de la función de trasferencia G(s) se debe: 1. Multiplicar la función de transferencia G(s) por 1/s 2. Usar la función resultante con el comando stepCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  154. 154. Respuesta rampa  Por ejemplo: graficar la respuesta rampa para el siguiente sistema  Con una entrada rampa unitaria R(s)=1/s^2CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  155. 155. Respuesta rampa  Tomando los coeficientes de la expresión en corchetes: num = [0 0 0 1]; den = [1 1 1 0]; 1500 Step Response step(num,den) 1000 Amplitude 500 0 0 500 1000 1500CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II Time (sec) AGOSTO DE 2012
  156. 156. Respuesta arbitraria Para obtener la respuesta en tiempo de un sistema LTI SYS=tf(num,den) de una entrada arbitraria por ejemplo: función exponencial, función sinosoidal en MATLAB, se usa el comando lsim lsim(SYS,r,t) o lsim(num,den,r,t)Donde r es la función de entrada en tiempo y t es elrango de tiempo en que está definida la función rCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  157. 157. Respuesta arbitraria  Por ejemplo: graficar la respuesta para el siguiente sistema Linear Simulation Results 1 0.9 Para la entrada 0.8 0.7 0.6 num = [0 2]; Amplitude 0.5 den = [1 3]; 0.4 t = 0:0.1:6; 0.3 0.2 r = exp(-t); 0.1 lsim(num,den,r,t) 0 0 1 2 3 4 5 6 Time (sec)CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  158. 158. Efecto de añadir polos y ceros a las funciones de transferencia.  Dado un sistema en lazo cerrado, sus polos determinan las características básicas de su respuesta transitoria.  Habitualmente, lo que se desea es poder ajustar los polos y ceros del sistema en lazo abierto, para situar los del lazo cerrado en la posición más interesante para nuestros propósitosCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  159. 159. Efecto de añadir polos y ceros a las funciones de transferencia.  Adición de un polo en la función de transferencia de trayectoria directa (Sistemas con realimentación unitaria). Anadir un polo Se considera que se ha añadido el polo en s = -1/Tp. La función de transferencia en lazo cerrado será:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  160. 160. Efecto de añadir polos y ceros a las funciones de transferencia.  La adición de un polo a una función de transferencia de trayectoria directa o con realimentación unitaria tiene generalmente el efecto de incrementar el sobrepaso máximo del sistema en lazo cerradoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  161. 161. Efecto de añadir polos y ceros a las funciones de transferencia.  Adición de un polo en la función de transferencia de lazo cerrado.  El tiempo de establecimiento se incrementa y el sobreimpulso máximo decreceCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  162. 162. Efecto de añadir polos y ceros a las funciones de transferencia.  Adición de un cero en la función de transferencia de lazo cerrado. Adicionar un cero en la función de transferencia en lazo cerrado disminuye el tiempo de subida e incrementa el tiempo de sobreimpulso máximo de la respuesta alCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  163. 163. Efecto de añadir polos y ceros a las funciones de transferencia.  Adición de un cero en la función de transferencia de la trayectoria directa (Sistemas con realimentación unitaria). Función de transferencia de lazo cerrado El término (1+Tzs) en el numerador de T(s) incrementa el sobreimpulso máximo, pero Tz en el cociente de T(s) tiene el efecto de mejorar el amortiguamiento o reducir el sobreimpulso máximoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  164. 164. Efecto de añadir polos y ceros a las funciones de transferencia.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  165. 165. Repaso ESTABILIDADCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  166. 166. Estabilidad  El problema más importante en los Sistemas de Control conciernen a la estabilidad  Se dice que un sistema es estable si toda entrada acotada produce una salida acotada. De otra forma el sistema es inestable  A este enunciado se le da el nombre de estabilidad de entrada acotada-salida acotada (BIBO bounded input, bounded output).CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  167. 167. Estabilidad  Teorema Un sistema con una función de transferencia racional propia G(s) es estable si y solo si todos los polos de G(s) tienen parte real negativa, o equivalentemente, se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo SCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  168. 168. Estabilidad  El teorema implica que un sistema es inestable si la función de transferencia tiene uno o más polos con parte real positiva o cero.  La estabilidad de un sistema, depende solo de los polos de la función de transferencia G(s) y no de los ceros de G(s).CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  169. 169. Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz  Se trata de un procedimiento algebraico para determinar su un polinomio tiene algún cero en el semiplano derecho, lo que implicaría la inestabilidad del sistema.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  170. 170. Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz  Considere un sistema con función de transferencia: 1. El polinomio denominador de G(s) se escribe de la siguiente forma: (1) 2. La condición necesaria pero no suficiente para estabilidad, es que todos los coeficientes de la ecuación 𝑎(𝑠) estén presentes, y que todos tengan signo positivo.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  171. 171. Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz Si se cumple la condición necesaria, entonces, se realiza el siguiente esquema:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  172. 172. Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz Los coeficientes b1, b2, b3, etc., se evalúan de la forma siguiente:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  173. 173. Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz 3. La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de 𝑎(𝑠) queden en el semiplano izquierdo del plano s, es que todos los coeficientes de 𝑎(𝑠) sean positivos y que todos los términos de la primera columna del conjunto sean positivos.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  174. 174. Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz  El criterio de Routh-Hurwitz establece que el número de raíces de 𝑎(𝑠) con parte real positiva es igual al número de cambios de signo de los coeficientes en la primera columna del arreglo.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  175. 175. Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz  Ejemplo: Verifique si es estable el sistema con la siguiente ecuación característica Debido a que la primer columna del arreglo son valores mayores que cero, el sistema es estable.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  176. 176. Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz  Casos especiales. Pueden presentarse dos casos especiales: 1. El arreglo de Routh tiene un cero sólo en la primera columna del renglón 2. El arreglo de Routh tiene todo un renglón formado por cerosCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  177. 177. Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz 1. El arreglo de Routh tiene un cero sólo en la primera columna del renglón Si un término de la primera columna en cualquier fila es cero, pero los términos restantes no son cero, o no hay más términos, se asigna un número muy pequeño positivo ε para substituir el cero de la primera columnaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  178. 178. Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz  Una vez construida la tabla se determina el limite de aquellos elementos en la primera columna en los que aparezca ε, cuando ε->0.  Por lo tanto, la primera columna queda:  Se presentan dos cambios de signo en la primera columna, y por consiguiente el sistema tiene dos raíces en el semiplano derecho, y es inestable.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  179. 179. Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz 2. El arreglo de Routh tiene todo un renglón formado por ceros En el caso en que se presente toda una fila de ceros se procede a formar una ecuación subsidiaria a partir de los coeficientes de la fila anterior a aquella en la que todos los elementos sean nulos. Para obtener la fila siguiente, en la tabla de Routh, se procede a derivar esta expresión una vez con respecto a s y situar sus coeficientes en la fila cuyos elementos se habían anulado. A partir de esta sustitución se prosigue la construcción de la tabla de Routh normalmenteCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  180. 180. Criterio de estabilidad Routh-Hurwitz Ejemplo: Considere el siguiente polinomio se construye la tabla de Routh: La ecuación subsidiaria La derivada es 2sCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  181. 181. Aplicación del criterio de R-H para el análisis de sistemas de control  Ejercicio: Considere el siguiente sistema de lazo cerrado Usando el criterio de R-H determine el rango de K en el que el sistema es estableCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  182. 182. Aplicación del criterio de R-H para el análisis de sistemas de control  La función de transferencia es:CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  183. 183. Aplicación del criterio de R-H para el análisis de sistemas de control  La tabla de Routh es: Para la estabilidad todos los coeficientes de la primera columna deben ser positivos 4K/5-6>0 despejando: K>15/2 Esta condición se debe cumplir para tener estabilidadCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  184. 184. Repaso MÉTODO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCESCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  185. 185. Método del lugar geométrico de las raíces  La importancia de este método reside en el hecho de que se puede observar muy fácilmente cómo varía la situación de polos y ceros de un sistema en lazo cerrado cuando variamos un parámetro ajustable (normalmente la ganancia, aunque no necesariamente).CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  186. 186. Método del lugar geométrico de las raíces  El método del lugar de las raíces es un procedimiento poderoso en el dominio del tiempo, ya que determina no solamente la estabilidad sino también la respuesta transitoria.  Mediante el método del lugar geométrico de las raíces, el diseñador puede predecir los efectos que tiene en la ubicación de los polos en lazo cerrado, variar el valor de la ganancia o agregar polos y/o ceros en lazo abierto.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  187. 187. Método del lugar geométrico de las raíces con Matlab  Suponga que se tiene el siguiente sistema La ecuación característica es: En muchos casos, G(s)H(s) contiene un parámetro de ganancia K, y la ecuación característica se escribe como En estos análisis, suponemos que el parámetro de interés es la ganancia K, en donde K > 0.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  188. 188. Método del lugar geométrico de las raíces con Matlab  reescribiendo  donde Los lugares geométricos de las raíces para el sistema son los lugares geométricos de los polos en lazo cerrado conforme la ganancia K varía de cero a infinitoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  189. 189. Método del lugar geométrico de las raíces con Matlab  Un comando de MATLAB que se usa con frecuencia para graficar los lugares geométricos de las raíces es: rlocus(sys) rlocus (num,den) rlocus(A,B,C,D)  Con este comando, dibuja la gráfica del lugar geométrico de las raíces. El vector de ganancias K se determina en forma automática  También se puede especificar el vector de ganancias K rlocus(sys,K) rlocus (num,den,K) rlocus(A,B,C,D,K)CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  190. 190. Método del lugar geométrico de las raíces con Matlab  Ejemplo Considere el siguiente sistema  Lo primero que se debe hacer es encontrar los polinomios del numerador y el denominador en lazo abierto.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  191. 191. Método del lugar geométrico de las raíces con Matlab  El numerador está dado como polinomio en s.  Sin embargo, el denominador se obtiene como un producto de los términos de primer y segundo orden, lo cual implica que debemos multiplicar estos términos para obtener un polinomio en s.  La multiplicación de estos términos se efectúa con facilidad mediante el comando de convolución C=CONV(A, B)de MatlabCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  192. 192. Método del lugar geométrico de las raíces con Matlab a = [ 1 4 0]; b = [1 6]; c=[1 1.4 1]; d = conv(a,b) e= conv(c,d) e= 1.00 11.40 39.00 43.60 24.00 0 Por tanto, el polinomio del denominador esCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  193. 193. Método del lugar geométrico de las raíces con Matlab  Para encontrar los polos y ceros en lazo abierto de la función de transferencia determinada, usamos el comando roots  Ceros en lazo abierto: Polos en lazo abierto: roots(e) p = [1 2 4] ans = r = roots(p) 0 r = -6.0000 -1.0000 + 1.7321i -4.0000 -1.0000 - 1.7321i -0.7000 + 0.7141i -0.7000 - 0.7141i *Dos ceros *Cinco polosCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  194. 194. Método del lugar geométrico de las raíces con Matlab Ahora se Gráfica en Matlab el Lugar de las Raíces num=[1 2 4] den=[1.0 11.4 39.0 43.60 24.0 0] rlocus(num,den) Root Locus 8 6 4 2 Imaginary Axis 0 -2 -4 -6 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 Real AxisCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  195. 195. Método del lugar geométrico de las raíces con Matlab  El número de ramas del LGR es igual al número de polos del sistema  El LGR es simétrico respecto al eje real del plano s.  El LGR comienza en los polos del lazo abierto y termina en los ceros del lazo abierto a medida que K aumenta desde cero hasta infinitoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  196. 196. Método del lugar geométrico de las raíces con Matlab  Ejemplo de diseño Analizar el comportamiento del sistema al variar la ganancia K usando el método del lugar geométrico de las raícesCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  197. 197. Método del lugar geométrico de las raíces con Matlab Root Locus 0.5 0.4 0.3 System: sys Gain: 2.73 0.2 Pole: -0.909 - 1.01e-008i Damping: 1 0.1 Overshoot (%): 0Imaginary Axis Frequency (rad/sec): 0.909 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Real Axis num=5 den=30*conv([1 0],[0.55 1]) K=0:0.01:10 rlocus(num,den,K)CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  198. 198. Método del lugar geométrico de las raíces con Matlab Root Locus 2 1.5 System: sys Gain: 10 1 Pole: -0.909 + 1.48i Damping: 0.522 Overshoot (%): 14.6 0.5 Frequency (rad/sec): 1.74Imaginary Axis 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Real Axis CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  199. 199. Método del lugar geométrico de las raíces con Matlab  Función sgrid: sobre el lugar de las raíces ya trazado, genera una rejilla en el plano s con los puntos de igual coeficiente de amortiguamiento e igual frecuencia natural 2 Root Locus 2 0.6 0.46 0.34 0.22 0.1 1.75 0.74 1.5 1.5 1.25 0.86 1 1num=5 0.75den=30*conv([1 0],[0.55 1]) Imaginary Axis 0.5 0.96 0.5 0.25K=0:0.01:10 0rlocus(num,den,K)sgrid -0.5 0.25 0.96 0.5 0.75 -1 1 0.86 1.25 -1.5 1.5 0.74 0.6 0.46 0.34 0.22 0.1 1.75 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 2 0 0CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II Real Axis AGOSTO DE 2012
  200. 200. Método del lugar geométrico de las raíces con Matlab Root Locus 2 1.5 1 1 num=5 0.9 den=30*conv([1 0],[0.55 1]) 0.5 K=0:0.01:10 Imaginary Axis 0 rlocus(num,den,K) [k, raices]=rlocfind(num,den) -0.5 0.9 z=0.9 -1 wn=1 1 sgrid(z,wn) -1.5 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Real Axis  Con la función rlocfind(num,den)se puede calcular el valor de la ganancia en el punto deseadoCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  201. 201. Análisis de estabilidad con el método del lugar geométrico de las raíces Root Locus 8 6 4 Kcrítico 2 Imaginary Axis 0 -2 -4 -6 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 Real Axis Valores de K que en los que Valores de K el sistema es estable que ocasionanCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II inestabilidad AGOSTO DE 2012
  202. 202. Definiciones: Margen de Ganancia  El margen de la ganancia es el factor proporcional que se debe introducir dentro del lazo de control para que el sistema se vuelva críticamente estable  El margen de ganancia es, por tanto, el cociente de la ganancia critica del sistema entre la ganancia actual de la función de transferencia en lazo abierto.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  203. 203. Definiciones: Margen de Ganancia  Ejemplo: Se ha impuesto un comportamiento transitorio con amortiguamiento 0.5 y la ganancia necesaria para ello es K = 1.03. El sistema se hace inestable para una ganancia crítica K= 6. El margen de ganancia es MG = 5.82.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  204. 204. Definiciones: Margen de fase  El margen de fase se define como el ángulo que se puede sustraer al sistema para dejarlo en el límite de estabilidad, manteniendo constante la ganancia del mismo.  En la Figura se señalan los puntos del plano S en los que se obtiene una ganancia en lazo abierto de K = 2 aplicando la condición del móduloCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  205. 205. Definiciones: Margen de faseSólo los dos puntos en los que se obtiene una fase de -180°aplicando la condición del ángulo pertenecen al lugar de lasraíces. La diferencia entre la fase de esos puntos y la fase delos puntos con la misma ganancia que están sobre el ejeimaginario es el margen de fase del sistemaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  206. 206. Inconvenientes del análisis en el dominio del tiempo  Respuesta en el tiempo es difícil de determinar analíticamente, sobretodo en sistemas de orden superior.  Se recurre al análisis en el dominio de la frecuencia cuyos métodos de análisis grafico no están limitados a sistemas de bajo ordenCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  207. 207. Repaso ANÁLISIS DE SISTEMAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIACONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  208. 208. Respuesta en frecuencia de sistemas retroalimentados  La respuesta a la frecuencia de un sistema se define como la respuesta en estado estacionario o de régimen permanente a una entrada sinusoidal.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  209. 209. Respuesta en frecuencia de sistemas retroalimentados Entrada: 𝑟 t = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 Salida: yss t = B 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑 , con amplitud: 𝐵 = 𝐴 𝐺(𝑗𝜔) y desfase φ∠𝐺(𝑗𝜔)CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  210. 210. Respuesta en frecuencia de sistemas retroalimentados La respuesta en estado estacionario viene dada por una señal senoidal de la misma frecuencia yss t = B 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑 ,con amplitud: 𝐵 = 𝐴 𝐺(𝑗𝜔) y desfase φ∠𝐺(𝑗𝜔)CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  211. 211. Especificaciones en el dominio de la frecuencia Las siguientes especificaciones se emplean en la práctica:  Pico de resonancia (Mr o Tr)  Frecuencia de resonancia (ωr)  Ancho de banda (BW )CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  212. 212. Especificaciones en el dominio de la frecuencia  Pico de resonancia (Mr o Tr)  Es el valor máximo de |T(jω)|.  Da indicación de la estabilidad relativa de un sistema estable a lazo cerrado  Ligado al sobreimpulso máximo  Frecuencia de resonancia (ωr)  Frecuencia a la cual ocurre el pico de resonanciaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  213. 213. Especificaciones en el dominio de la frecuencia  Ancho de banda (BW )  Frecuencia a la cual |T(jω)| cae al 70.7% (−3dB) de su valor a ω=0 (frecuencia de corte inferior)  Da indicación de propiedades de la respuesta transitoria, las características de filtrado de ruido y robustez del sistemaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  214. 214. Especificaciones en el dominio de la frecuenciaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  215. 215. Relación entre ωr,BW, Mr y ζ, ωn  Frecuencia de resonancia  Pico de resonancia  Ancho de bandaCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  216. 216. Respuesta en frecuencia con Matlab La respuesta en frecuencia queda determinada por el comando freqs  freqs(num,den) Dibuja la respuesta en frecuencia de un sistema con numerador num denominador den. Presenta 2 gráficas: la magnitud ( 𝐺(𝑗𝜔) ) frente a la frecuencia en escala logarítmica y otra con el ángulo de desfase(∠𝐺(𝑗𝜔)) en grados frente a la frecuencia también en escala logarítmica  freqs(num,den,w) Dibuja la respuesta en frecuencia en el rango de frecuencias especificado en wCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  217. 217. Respuesta en frecuencia con Matlab Ejemplo 0 10 Magnitude a = [1 0.4 1]; b = [0.2 0.3 1]; -1 0 1 10 10 10 w = logspace(-1,1); Frequency (rad/s) freqs(b,a,w) 0 Phase (degrees) -50 * logspace(a,b,n) define un vector fila -100 de n elementos logarítmicamente espaciados entre 10^a y 10^b -150 10 -1 10 0 1 10 Frequency (rad/s)CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  218. 218. Respuesta en frecuencia de sistemas retroalimentados  Magnitud  FaseCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  219. 219. Característica de la respuesta en frecuencia en forma gráfica  En general se utilizan dos representaciones gráficas:  Diagrama de Bode o Diagrama Logarítmico  Diagrama de Nyquist o Diagrama PolarCONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  220. 220. Diagrama de Bode  Consiste en representar dos curvas independientes: en una el módulo 𝐺(𝑗𝜔) , y en otra la fase ∠𝐺(𝑗𝜔), en función de la frecuencia.CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II AGOSTO DE 2012
  221. 221. Matlab El comando de Matlab bode(SYS) calcula la ganancia logarítmica y ángulos de fase de la respuesta de frecuencia de la función LTI SYS = tf (num, den), 1 System: SYS 𝐺 𝑠 = 2 Frequency (rad/sec): 0.991 Bode Diagram 20 Magnitude (dB): 14 𝑠 + 0,2𝑠 + 1 10 Magnitude (dB) 0 -10 -20 num = [1]; -30 den = [1 0,2 1]; -40 0 SYS = tf(num,den); -45 Phase (deg) bode(SYS) -90 o -135 bode(num,den) -180 -1 0 1 10 10 10CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES II Frequency (rad/sec) AGOSTO DE 2012

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