Matrices - Metodo Gauss-Jordan

1
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Unsistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales (es
decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado),
definidas sobre un cuerpo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el
siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1,
x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
Para tener una idea de que como se resuelve problemas con sistema de
ecuaciones lineales.Les presentamos algunos ejemplos:
Ejemplo I:
Una compañía minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la
mina I el 1% de níquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de níquel y 5% de
cobre. ¿Qué cantidad de mineral se deberá extraer de cada mina para obtener
4 toneladas de níquel y 9 toneladas de cobre?
Solución:
¿Cuál es el problema? ¿Qué se busca?
Queremos saber el número de toneladas de mineral que hay que extraer de
cada mina, asignemos variables a esos números.
Sean x el número de toneladas que se extrae de la mina I.
Y y el número de toneladas que se extrae de la mina II.
Primera variable: x
Segunda variable: y
Establezcamos ahora relaciones algebraicas entre las variables.
¿Cuánto se obtiene de níquel de la mina I?
0.01x
¿Y de la mina II?
0.02y
Luego:
0.01 0.02 4x y

2
Análogamente para el cobre tenemos:
0.02 0.05 9x y
Así, para saber cuántas toneladas hay que extraer de cada mina debemos
resolver el sistema de dos ecuaciones lineales con las dos variables:
0.01 0.02 4x y
0.02 0.05 9x y
Ejemplo II:
En una fábrica de ropa se producen tres estilos de camisas que llamaremos
estilo“a”, estilo“b” y estilo“c”. Cada prenda pasa por el proceso de cortado,
cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para
producir un lote de camisas del estilo “a” se necesitan 30 min para cortarlas, 40
min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el estilo “b”,
50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar.
Para el estilo “c”, 65 min para cortar, 40 min para coser y 15 min para planchar
y empaquetar. ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en
cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?
Solución:
Queremos saber cuántos lotes de cada tipo de camisa se pueden producir,
asignemos variables.
Sea x el número de lotes de camisas del estilo “a” que se pueden producir.
Sea y el número de lotes de camisas del estilo “b” que se pueden producir.
Sea z el número de lotes de camisas del estilo “c” que se pueden producir.
Primera variable: x
Segunda variable: y
Tercera variable: z
Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables.
El número de minutos que se emplean en cortar una camisa del estilo“a” es
30x , del estilo “b” es 50y , y del estilo “c” es 65z .
El número total de minutos que se emplea en cortar todas las camisas es:
30 50 65x y z
Y tiene que ser igual a 480 minutos que son las 8 horas que se trabajan en
cortar
30 50 65 480x y z
Análogamente en coser se tiene:

3
40 50 40 480x y z
En planchar y empaquetar tenemos:
50 50 15 480x y z
Luego sí queremos resolver el problema hay que solucionar el sistema de tres
ecuaciones lineales con tres incógnitas.
30 50 65 480
40 50 40 480
50 50 15 480
x y z
x y z
x y z
Ejemplo III:
Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una
unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del
compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg del
A, 30 kg del B, y 50 kg del C. Una unidad del tipo III requiere 50 kg del A y 50
kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C.
¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se
usa todo el material químico disponible?
Solución:
Queremos saber cuántas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden
producir, asignemos variables.
Sea x el número de unidades del fertilizante del tipo I.
Sea y el número de unidades del fertilizante del tipo II.
Sea z el número de unidades del fertilizante del tipo III.
Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables.
La cantidad de kilogramos del compuesto A que contiene el fertilizante del tipo I
es 10x , del tipo II es 20y , y del tipo III es 50z .
El número total de kilogramos del compuesto A es:
10 20 50x y z
Y tiene que ser igual a 1600 kg que son los kilogramos disponibles del
compuesto A:
10 20 50 1600x y z
Análogamente para el compuesto B se tiene:
30 30 1200x y
Para el compuesto C se tiene:
60 50 50 3200x y z

4
Así, para saber cuántas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden
producir, hay que resolver el sistema de tres ecuaciones lineales con las tres
variables.
10 20 50 1600
30 30 1200
60 50 50 3200
x y z
x y
x y z

5
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN
Llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo
del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones
lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve
por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la
reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene
una incógnita menos que la anterior.
Carl Friedrich Gauss:
Johann Carl Friedrich Gauss (Brunswick, 30 de abril de 1777 – Gotinga, 23 de
febrero de 1855), fue un matemático, astrónomoy físico alemán que contribuyó
significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis
matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, el magnetismo y
la óptica. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el matemático más
grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en
muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los
matemáticos que más influencia ha tenido en la historia.
Wilhelm Jordan:
Wilhelm Jordan (1842–1899) fue un geo desista alemán que hizo trabajos de
topografía en Alemania y África.
Es recordado entre los matemáticos por su algoritmo de Eliminación de Gauss-
Jordan que aplicó para resolver el problema de mínimos cuadrados. Esta
técnica algebráica apareció en su Handbuch der Vermessungskunde (1873).

6
MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
En esta sección del presente trabajo de investigación aprenderemosa hallar la
solución de sistemas de ecuaciones lineales usando el Método de Gauss-
Jordan.
El tema se presenta en 4 secciones:
a) Método de Gauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales con
solución única.
b) Método de Gauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales con
infinidad de soluciones.
c) Método de Gauss-Jordán parasistemas de ecuaciones lineales sin
solución.
d) Método de Gauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales
homogéneas.

7
LINEALES CON SOLUCIÓN ÚNICA
Ejemplo I:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de
Gauss-Jordán.
2 3 1
3 2 4 3
5 4
x y z
x y z
x y z
Solución:
a) Escribimos la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales:
2 3 1 1
3 2 4 3
5 1 1 4

Debemos llevar a dicha matriz aumentada a su forma escalonada reducida (si
todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz y si el primer elemento
no nulo de cada fila, llamado pivote, está a la derecha del pivote de la fila
anterior;esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero)
mediante operaciones elementales en las filas de dicha matriz.
En la solución de dichos problemas de sistemas de ecuaciones lineales por el
método de Gauss-Jordan;escribiremos la matriz aumentada y a continuación
una flecha. Encima de esta flecha indicaremos la(s) operación(es) que estamos
efectuando para que se pueda entender el desarrollo de la solución. También
cabe resaltar que las tres rayas separan a la columna que nos mostrara los
datos de la solución a nuestro sistema de ecuaciones por el método ya
mencionado.
La matriz aumentada contiene los coeficientes de las variables y las igualdades
de estas ecuaciones.
Notación para las operaciones elementales en las filas:
*Rib Nueva filai de la matriz aumentada.
i jR R Intercambio de la filai con la fila j .
* i ja R R Nueva fila j de la matriz aumentada.

8
b) Desarrollo para obtener la forma escalonada reducida:
1 2
1 1 3
3
1 52
3 1 13 1 1 11 2 2 22 3 1 1 2 2 2
13 11 93 2 4 3 3 2 4 3 0
2 2 25 1 1 4 5 1 1 4 17 7 30
2 2 2
R R
R R R
  
2
3 2 3
2
13
2 17
3 1 1 3 1 11 1
2 2 2 2 2 2
11 9 11 90 1 0 1
13 13 13 13
0 17 7 3 96 1920 0
13 13
R
R R R
 
3 2
3 3 1
11
13
13 1
96 2
3 1 11 3 11 02 2 2 2 2
11 90 1 0 1 0 1
13 13
0 0 1 20 0 1 2
R R
R R R
 
2 1
3
2
1 0 0 1 1
0 1 0 1 1
0 0 1 2 2
R R
x
y
z

c) Interpretación del resultado:
La última matriz escalonada reducida indica que:
La solución del sistema de ecuaciones lineales es:
1x
1y
2z

9
Ejemplo II:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
36 16 6 4 0
64 8 0
4 16 2 4 0
64 9 8 3 0
B D E F
B D E F
B D E F
B D E F
16 6 4 36
8 64
16 2 4 4
9 8 3 64
B D E F
B D E F
B D E F
B D E F
Solución:
Escribimos la matriz aumentada y reducimos:
3 21 2
16 6 4 1 36 1 8 1 1 64
1 8 1 1 64 16 6 4 1 36
16 2 4 1 4 16 2 4 1 4
9 8 3 1 64 9 8 3 1 64
R RR R
 
2 2 1
1 3 2 3
1 4 2 4
1
88
16 130
9 80
1 8 1 1 64 1 8 1 1 64
0 8 8 0 32 0 1 1 0 4
16 2 4 1 4 0 130 20 15 1020
9 8 3 1 64 0 80 12 8 512
R R R
R R R R
R R R R
 
3
4 3 4
1
5
1
17 224
1 0 7 1 32 1 0 7 1 32
0 1 1 0 4 0 1 1 0 4
0 0 110 15 500 0 0 22 3 100
0 0 68 8 192 0 0 17 2 48
R
R R R
 
4 1
4 4 3
1
37
1 0 7 1 32 1 0 7 1 32
0 1 1 0 4 0 1 1 0 4
0 0 22 3 100 0 0 22 3 100
0 0 0 7 644 0 0 0 1 92
R R
R R R
 

10
3 1
3 3 2
7
1
22
1 0 7 0 60 1 0 7 0 60
0 1 1 0 4 0 1 1 0 4
0 0 22 0 176 0 0 1 0 8
0 0 0 1 92 0 0 0 1 92
R R
R R R
 
1 0 0 0 4
0 1 0 0 4
0 0 1 0 8
0 0 0 1 92

Así 4B , 4D , 8E y 92F .

11
LINEALES CON INFINIDAD DE SOLUCIONES
Ejemplo I:
Obtener la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
3 2 3 5
2 4 2
x y z
x y z
Solución:
22 1 1 2
1
2 1653 2 3 1 6 4 3 1 6 4 3
22 4 1 2 4 1 2 0 16 9 4
RR R R R
  
2 16
5 31 01 6 4 3
8 2
9 1 90 1 10 116 4 16 4
R R
 
La última matriz está en su forma escalonada reducida, ya no se puede reducir
más, de donde obtenemos que:
5 3
8 2
x z
9 1
16 4
y z
Despejando x, y :
3 5
2 8
x z
1 9
4 16
y z
Luego x, y dependen de z , si z s , s R ,tenemos
3 5
2 8
x s
1 9
4 16
y s ; s R
z s

12
Es decir, el sistema de ecuaciones lineales tiene una infinidad de soluciones ya
que para cada valor des habrá un valor para x, y y z .
Por ejemplo, si 0s entonces
3
2
x ,
1
4
y y 0z , es una solución para el
sistema de ecuaciones lineales.
Si 1s entonces
7
8
x ,
5
16
y y 1z , es otra solución para el sistema de
ecuaciones lineales.
Si 4s entonces 4x ,
5
2
y y 4z , también es solución para el sistema
de ecuaciones lineales.
Así una vez más, remarcamos, el sistema de ecuaciones lineales tiene una
infinidad de soluciones.
Ejemplo II:
5 3 2 1
2 3 2
3 2 2 3 3
2 5 5 4
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
Solución:
2 1
2 3
3 2 2 4
5
3
2
5 3 1 2 1 5 3 1 2 1
52 1 3 1 2 1 1 1 4
33 2 2 3 3 3 2 2 3
42 5 1 5 4 2 5 1 5
R R
R R
R R R R
 
3 2
3 41 2
8
7
50 8 6 22 1 1 1 426
5 261 1 1 4 0 8 6 22
12 120 1 5 9 0 1 5 9
14 140 7 1 13 0 7 1 13
R R
R RR R
 

13
2 4
3 2 3
5 51 1 1 4 1 1 1 4
70 700 0 34 50 0 0 34 50
12 120 1 5 9 0 1 5 9
70 00 0 34 0 0 0 0 0
R R
R R R
 
2 1
3 1
3 3 2
4
1
534
71 0 4 551 1 1 4
120 1 5 9120 1 5 9
352570 0 0 10 0 34 50
1717
00 0 0 0 00 0 0 0
R R
R R
R R R
 
15 211 0 0
17 17
28 290 1 0
17 17
25 350 0 1
17 17
0 0 0 0 0

15 21
17 17
28 29
17 17
25 35
17 17
0 0
x w
y w
z w
w
15 21
17 17
28 29
17 17
25 35
17 17
x w
y w
z w
21 15
17 17
29 28
17 17
35 25
17 17
wx
y w
z w
Sí w c, tenemos:
21 15
17 17
29 28
17 17
35 28
17 17
c
c
c
x
y
z
w c
, con t R .
Entonces se puede decir que hay infinidad de soluciones para este sistema de
ecuaciones lineales.

14
LINEALES SIN SOLUCIÓN
Ejemplo I:
8 5 3x y z
3 2 3 1x y z
2 3 4x y z
Solución:
1 2
1 3 3 2
3
2 2
1 8 5 3 1 8 5 3 1 8 5 3
3 2 3 1 0 26 18 8 0 0 0 4
2 3 1 4 0 3 9 2 0 13 9 2
R R
R R R R
  
No hay necesidad de seguir reduciendo, ya que en la segunda fila se tiene que
0 0 0 4x y z da la igualdad de 0 4que es algo incorrecto, por la tanto, el
sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.
Ejemplo II:
3 4 1
2 2 2 1
2 2 5
a b c d
a b c d
a b c d
Solución:
1 2
1 3 2 3
21 1 3 4 1 1 1 3 4 1
2 2 1 2 1 0 0 5 6 3
51 1 2 2 0 0 5 6 6
R R
R R R R
 
1 1 3 4 1
0 0 5 6 3
0 0 0 0 3

Dela tercerafila se tiene0 0 0 0 3a b c d que da la igualdad de 0 3
(incorrecto)por lo tanto el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.

15
Ejemplo III:
2
2 5
3 1
2 2 2 3
x y z w
x y w
x z w
x y z w
Solución:
1 2
1 3
4 2 31
2
3
2
1 1 1 1 1 1 1 12 2
52 1 0 1 0 3 2 3 1
1 53 0 1 1 0 3 2 4
3 12 2 2 1 0 0 0 1
R R
R R
R R R R
 
3 4
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
0 3 2 3 1 0 3 2 3 1
0 0 0 1 6 0 0 0 1 6
50 0 0 1 1 0 0 0 0
R R
 
De la cuartafilase tiene0 0 0 0 5x y z w que da la igualdad de 0 5
(incorrecto) por lo tanto el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.

16
MÉTODO DE GAUSS-JORDÁN PARA UN SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALESHOMOGÉNEAS
Un sistema de ecuaciones lineales se dice HOMOGÉNEO si cada una de las
ecuaciones está igualada a cero es decir:
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
............... 0
............... 0
n n
n n
a x a x a x a x
a x a x a x a x
1 1 2 2 3 3 ............... 0m m m mn na x a x a x a x
Los sistemas homogéneos SIEMPRE tienen solución ya que:
1 2 3 ....... 0nx x x x
Esta solución es llamada la solución trivial, así un sistema homogéneo de
ecuaciones lineales tiene solución única o tiene una infinidad de soluciones.
Ejemplo I:
2 3 0
0
4 2 3 0
x y z
x y z
x y z
Solución:
1 2
1 31 2
2
4
2 3 1 0 1 1 1 0
1 1 1 0 2 3 1 0
4 2 3 0 4 2 3 0
R R
R RR R
 
2 3
3 2 2 1
2
3
1 1 1 0 1 1 1 0
0 5 3 0 0 1 18 0
0 2 7 0 0 2 7 0
R R
R R R R
 
3 2
2 3 1
18
1
1729
1 0 17 0 1 0 17 0
0 1 18 0 0 1 18 0
0 0 29 0 0 0 1 0
R R
R R R
 

17
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0

Luego, 0x y z , el sistema de ecuaciones lineales tiene solución única,y es
la solución trivial.
Ejemplo II
2 3 4 0
3 2 2 0
4 6 0
x y z
x y z
x y z
Solución:
1 2
3 1 1 3
3
2
2 3 4 0 1 4 6 0
3 2 2 0 3 2 2 0
1 4 6 0 2 3 4 0
R R
R R R R
 
22 3
11
102
1 4 6 0 1 4 6 0
0 10 16 0 0 10 16 0
1 5 8 0 0 0 0 0
RR R
 
2 14
2
1 01 4 6 50 0
8 8
0 1 0 0 1 0
5 5
0 00 0 0 0 0 0
R R
 
De donde:
2
0
5
8
0
5
0 0
x z
y z
z
2
0
5
8
0
5
x z
y z
;
2
5
8
5
x z
y z
Hacemos z v  , y la solución se expresa como:

18
2
5
x v
8
5
y v
z v
En éste caso el sistema de ecuaciones lineales tiene una infinidad de
soluciones.

19
ANÁLISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES QUE INVOLUCRAN
CONSTANTES ADICIONALES PARA QUE EL SISTEMA TENGA O NO
SOLUCIÓN
En esta parte se dan ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales donde se
determinan valores de constantes para que el sistema de ecuaciones lineales
tenga o no solución.
Ejemplo I:
Obtener el valor de para que el sistema de ecuaciones lineales:
2 6
4
x y
x y
Tenga:
a) Solución única.
b) Infinidad de soluciones.
c) Carencia de solución.
Solución:
Aplicando el método de Gauss-Jordan tenemos:
1 1 2
1
2
11 12 1 6 3 31 22
1 4 4 1 11 0
2
R R R
  
Ahora queremos multiplicar la segunda fila por 1
1
2
, para poder hacerlo
debemos garantizar que
1
2
sea distinto de cero, es decir, si
1
2
podemos
multiplicar, entonces:
2
2 1
1
1 1
2 2
6 431 1 01 2 12 2 0 1 20 1 2 1 2 1
R
R R
 
De donde se tiene que:
6 4
2 1
6 4
2 1
x
y

20
Luego si
1
2
el sistema de ecuaciones lineales tiene solución única.
Ahora, si
1
2
, al substituir en la tercera matriz tenemos:
1
31
2
1
0 0

Dela segunda fila se tieneque0 0 1x y da la igualdad 0 1
Lo cual nos dice que si
1
2
el sistema de ecuacioneslineales no tiene
solución.
Remarcamos:
Si
1
2
el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.
Si
1
2
el sistema de ecuaciones lineales tiene solución única.
Para ningún valor de el sistema de ecuaciones lineales tendrá infinidad de
soluciones.

21
Ejemplo II:
Determinar el valor dek para que el sistema de ecuaciones lineales tenga o no
solución.
2
3 2
2 5 4
2 5 4
x y z
x y z
x y k z k
Solución:
1 2
1 3 2 32
2 2
1 3 1 2 1 3 1 2
1 2 5 4 0 1 6 2
42 5 0 1 2
R R
R R R R
k kk k
 
32
1
4
2
1 3 1 2
0 1 6 2
0 0 1 2
4
R
k
k
k

Sí 2
4 0k entonces:
3 2
6 2
1
2
x y z
y z
z
k
Del sistema de ecuaciones lineales anterior se obtiene que es un sistema de
ecuaciones lineales con solución única si 2k .
Pero si 2k , la cuarta matriz queda en la forma:
1 3 1 2
0 1 6 2
0 0 0 0

De la matriz se obtiene que:
3 2
6 2
0 0
x y z
y z
z
3 2
6 2
x y z
y z

22
Es un sistema de ecuaciones lineales con infinidad de soluciones.
Y si 2k , la cuarta matriz se transforma en:
1 3 1 2
0 1 6 2
0 0 0 4

En el tercera fila se tiene que 0 0 0 4x y z , que da la igualdad0 4
Lo cual nos indica que el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.
En conclusión:
Sí 2k , el sistema de ecuaciones lineales tiene solución única
Sí 2k , el sistema de ecuaciones lineales tieneinfinidad de soluciones.
Sí 2k , el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución.

23
MÉTODO DE GAUSS- JORDANPARA HALLAR LA INVERSA DE UNA
MATRIZ
Ejemplo I:
Obtener la inversa de la matriz mediante el método de Gauss- Jordan
2 3 1
3 2 4
5 1 1
Solución:
Para obtener la inversa de una matriz primero se procede a describir una matriz
aumentada que contiene a la matriz anterior más una matriz identidad; dicha
matriz identidad está separada por tres rayas, la cual se convertirá en la matriz
inversa de la anterior.
1
1
2
3 1 11 0 02 3 1 1 0 0 2 2 2
3 2 4 0 1 0 3 2 4 0 1 0
5 1 1 0 0 1 5 1 1 0 0 1
R
A  
1 2
1 3
3
5
3 1 11 0 0
2 2 2
13 11 30 1 0
2 2 2
517 7 0 10
22 2
R R
R R
A 
2
3 2 3
2
13
2 17
3 1 1 3 1 11 0 0 1 0 0
2 2 2 2 2 2
11 3 2 11 3 20 1 0 0 1 0
13 13 13 13 13 13
0 17 7 5 0 2 96 116 340 0 2
13 13 13
R
R R R
A  

24
3 2
3 3 1
11
13
13 1
96 2
106 17 133 1 11 0 0 31 0 96 96 962 2 2 2
11 3 2 8 20 1 0 0 1 0 0
13 13 13 13 13
0 0 10 0 1 116 34 26 116 34 26
96 96 96 96 96 96
R R
R R R
A  
2 1
3
2
1 0 0 0 3 0
0 1 0 1 0 4
0 0 1 1 2 0
R R
A 
La inversa es:
1
0 3 0
1 0 4
1 2 0
A

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