2. Dedujimos dos ecuaciones que describen el curso temporal
del PM ante estímulos de corriente, y definimos .
dV m (t )
dt V m (t ) V rest R I 0
t
Vm (t ) V 1 exp V rest
dV m (t )
V m (t ) V rest
dt
t
Vm (t ) V exp V rest
= R . C = rm . cm
2
3. • Presentaremos la “Ecuación del Cable”, a partir de la cual
es posible obtener una ecuación que describe el curso
espacial del PM (cambio de Vm con la distancia) ante
estímulos de corriente. Definiremos (Constante de
Espacio).
• Veremos como se relaciona la Velocidad de Propagación
del cambio en Vm con y con .
• Deduciremos una ecuación que permite calcular el valor
del PM en estado estacionario (GHK versión “eléctrica”).
• Comenzaremos a analizar las propiedades básicas de la
excitabilidad.
3
7. Teoría del Cable
• Esta designación proviene de la deducción, estudio
y aplicación de una ecuación matemática al primer
cable telegráfico transatlántico, en el año 1855, por
parte del Profesor William Thomson Kelvin (Lord
Kelvin).
• La aplicación de la teoría del cable a las neuronas
comenzó en la década de 1950, cuando resultó
necesario interpretar algunos resultados obtenidos
mediante experimentos de estimulación, empleando
microelectrodos, en neuronas individuales.
7
8. Se asumen las siguientes 4 condiciones:
1. Axón: conductor cilíndrico uniforme de gran longitud, de
resistividad y capacitancia constantes.
2. Resistencias de tipo óhmicas (independientes de V y de t).
3. El flujo de corriente ocurre fundamentalmente a lo largo de una
dimensión (eje x). La resistencia de membrana es mucho mayor
que la resistencia interna (lado citoplasmático). La corriente
fluirá en forma paralela al eje del cilindro, a lo largo de una
cierta distancia, antes de que una fracción significativa de esta
corriente se “fugue” a través de la membrana.
4. Se asume, por conveniencia, que la resistencia extracelular es 0.
8
10. Ecuación del Cable
V ( x, t ) V ( x, t ) V ( x, t ) 0
2
2
x
2
t
Rm Rm C m
Ri
• Rm : Resistencia de membrana por unidad de longitud del
cilindro (ohm . cm).
• Ri : Resistencia longitudinal interna (ohm/cm).
• Cm : Capacitancia de membrana por unidad de longitud del
cilindro (F/cm).
• V(x,t) = [Vm – Vrest], con Vm ≡ Vi –Vo (Voltios). 10
11. • Una solución interesante de la ecuación anterior se obtiene al
asumir que V(x,t) es independiente del tiempo, o sea,
V ( x, t ) 0
t
• Obteniéndose:
V ( x) V ( x) 0
2
2
x
2
Ecuación diferencial lineal de 2º orden (homogénea) que
depende sólo de x.
11
12. • Proponemos la siguiente solución:
V ( x) V 0 exp( x )
o
Vm ( x ) V rest V 0 exp( x )
• Esta solución indica que el valor de Vm decae en forma exponencial con la
distancia (x).
• V0 : desplazamiento con respecto a Vrest en el punto de inyección de
corriente.
• Cuando x = 0, Vm = Vrest + V0.
• Cuando x +, Vm = Vrest.
12
13. V m ( x) V rest V 0 exp( x )
Cuando x = 0, Vm = Vrest + V0.
Cuando x +, Vm = Vrest.
13
14. Constante de Espacio ()
La constante de espacio representa la distancia que se requiere
para que el desplazamiento despolarizante decaiga un 63% de su
valor inicial.
14
15. • Recordemos que Rm
Ri
• Rm : Resistencia de membrana por unidad de longitud del
cilindro (ohm . cm).
• Ri : Resistencia longitudinal interna (ohm/cm).
A continuación expresaremos en función de
otros parámetros.
15
16. • Área de un círculo de radio “a”: A a2
• Área Superficie Lateral de un Cilindro de radio “a”: S 2 a l
• La resistencia interna (Ri) por unidad de longitud será:
l
(R )
i
A
Ri a2
_________________________________________________________
Rm : Resistencia de membrana por unidad de longitud del cilindro
(ohm . cm).
• La Resistencia Específica de Membrana (ohm . cm2) será:
r m Rm 2 a
16
Ésta es la resistencia transversal de 1 cm2 de membrana
18. • Pregunta: ¿Cómo se relaciona la velocidad de propagación
(vp) del cambio en el PM con y con ?
• Respuesta: vp / .
1 d
vp
cm 4 r m
i
• Animales con respuestas veloces y “groseras”: axones
amielínicos.
• Animales con respuestas veloces y “finas”: axones
mielínicos.
18
22. IK e INa se determinan por la ley de Ohm
AGC (Loligo
• IK = gK . (Vm - EK) pealei)
• INa = gNa . (Vm - ENa)
• EK -75 mV
• IL = IK + INa
• ENa 55 mV
(L: Leak)
• Vrest -60 mV
22
23. g K E K g Na E Na
IL ( g g ) V m
K Na g K g Na
g L g K g Na
g K E K g Na E Na
EL g K g Na
I L g L (V m E L
)
23
25. En Estado Estacionario
dV m
I C cm dt 0
g K E K g Na E Na
IL 0 ( g g ) V m
K Na g K g Na
g K E K g Na E Na
Vm g K g Na
25
26. GHK versión “eléctrica” para Vm
(Estado Estacionario)
g K E K g Na E Na
Vm g K g Na
26
27. t
V m (t ) V 1 exp V rest
t
V m (t ) V exp V rest
V m ( x ) V rest V 0 exp( x )
1 d
vp
c m 4 r m
i
g K E K g Na E Na
Vm g K g Na
27
29. Si la magnitud de la intensidad de corriente de un estímulo despolarizante
(estímulo efectuado en una célula excitable), alcanza un determinado valor
(nivel de disparo o valor “umbral”), ocurre un cambio en el PM que es
distinto en su forma, amplitud y duración, con respecto a los cambios en
el PM que hemos estudiado hasta ahora.
29
31. El análogo eléctrico explica el fenómeno denominado
electrotono, el cual ocurre por debajo del nivel de
disparo.
31
32. • Este cambio en el PM se denomina Potencial de Acción
(PA); es una respuesta típica de las membranas de las
células excitables (ejemplo: células nerviosas y
musculares).
• El PA se produce de una forma tipo “todo o nada”. Todo
estímulo inferior en magnitud al pulso umbral no
producirá esta respuesta. Todo estímulo cuya magnitud
sea igual o superior a la umbral podrá desencadenar un
PA, pero aunque la intensidad del estímulo sea mayor a
la umbral, el PA producido presentará las mismas
características básicas que los generados por pulsos
umbrales.
• Una vez generado, se propagará también en un modo tipo
“todo o nada”. Si se produce, por ejemplo, en el cono
axónico, se propagará a lo largo del axón llegando a las
terminaciones sinápticas (propagación sin decremento). 32
36. El PA es el “vehículo” a través del cual la
información periférica (por ejemplo, la que
proviene de los receptores sensoriales,
mediante vías aferentes), es codificada y
propagada hacia el Sistema Nervioso Central;
allí se iniciarán, por ejemplo, comandos
motores que se propagarán hacia la periferia
(mediante vías eferentes), por medio de
potenciales de acción, siendo éste el primer
“paso” en el inicio de la contracción muscular.
36
37. • En el Axón Gigante de Calamar (AGC) Vrest = -60 mV. Durante el “pico”
del PA el PM llega a valores que están en el entorno de los +40 mV. Se
produce una importante despolarización.
• Durante la fase de repolarización, existe un período de tiempo durante el
cual Vm se vuelve más negativo con respecto a Vrest. Aquí se verifica una
hiperpolarización.
37
38. Una observación importante acerca del PA es que el
cambio en el PM atraviesa una región que se halla limitada por
ENa en uno de sus extremos, y por EK en el otro extremo.
38
39. ¿Es posible dilucidar los mecanismos iónicos que generan un PA?
Hodgkin y Katz iniciaron PA en el AGC para diferentes [Na+] en el
medio externo, obteniendo los siguientes resultados:
39
40. • Problema: cuando se alcanza el umbral durante una
despolarización, y se “dispara” el PA, se generan
corrientes a través de la membrana. Como consecuencia,
resulta muy difícil poder medir el cambio en la corriente
resultante, debido a que todo esto ocurre muy
rápidamente.
• Este fue el principal obstáculo que enfrentaron los
investigadores de la época para lograr el posterior
análisis de los mecanismos iónicos que gobiernan la
generación y propagación del PA.
40
41. • Hodgkin, Huxley, y sus colegas, perfeccionaron un
dispositivo que les permitió estabilizar el PM en diferentes
valores de voltaje, por prolongados períodos de tiempo.
Emplearon un dispositivo electrónico de retroalimentación
que denominaron “voltage clamp amplifier” (controlador o
regulador de voltaje).
• Este dispositivo toma la diferencia entre el registro actual del
PM y el valor deseado (valor al cual se quiere llevar el PM),
y genera una corriente hiperpolarizante o despolarizante,
según sea el caso, para minimizar la diferencia. La cantidad
de corriente necesaria para mantener el PM en el valor
deseado representa la corriente que atraviesa a la membrana,
para ese “step” (paso) específico de voltaje.
41
