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Estimation de copules, une approche bayésienne
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Estimation de copules, une approche bayésienne

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Francois Perron's 03/02/2011 talk at BigMC seminar.

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  • 1. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomiale Estimation de copules, une approche bayésienne Présenté par François Perron Université de Montréal Paris, jeudi le 3 février 2011Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 2. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialePlan de l’exposé Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomiale Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 3. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeCopule C(U, V) : couple aléatoireL(U) = L(V) = U(0, 1)C : fonction de répartition du couple (U, V)Propriétés de C : 1 Le support C : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] 2 Les conditions aux bornes C(0, v) = C(u, 0) = 0, u, v ∈ [0, 1] C(1, v) = v et C(u, 1) = u, u, v ∈ [0, 1] 3 La croissance, 0 ≤ u1 ≤ u2 ≤ 1 et 0 ≤ v1 ≤ v2 ≤ 1 ⇒ C(u2 , v2 ) − C(u1 , v2 ) ≥ C(u2 , v1 ) − C(u1 , v1 ) Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 4. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeThéorème de Sklar(X, Y) : couple aléatoire continu∃C une copule telle que F(x, y) = C(FX (x), FY (y)) ∀x, y ∈ R Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 5. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeLes valeurs extrêmes(X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ), . . . ,(Xn , Yn ) : un échantillon,X(n) , Y(n) : les maximumsHypothèse : il existe une normalisation de sorte que X(n) − an Y(n) − bn , αn βnont une loi limite non dégénérée. Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 6. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeLes copules de valeurs extrêmes(X, Y) : couple aléatoire dont la loi est une loi limite pour desmaximums renormalisésOn a les caractérisations suivantes, x − µX −1/ξX − log(FX (x)) = 1 + ξX ∨0 σX y − µY −1/ξY − log(FY (y)) = 1 + ξY ∨0 σYet la copule dépend d’une fonction A avec log(u) C(u, v) = exp log(uv)A , u, v ∈ (0, 1) log(uv) Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 7. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeLa modélisationM : espace des paramètres, copule et margesS : échantillonL : vraisemblanceη : fonction à estimer, la copule, une loi prédictive, etcM ⊃ ∪∞ Mi union dense i=1π : loi a priori sur iπi : loi a priori conditionnelle sur Mi étant donné iη : espérance a posteriori de ηˆLa partie simulationÉvaluer η : MCMC avec Metropolis-Hastings et sauts réversibles ˆ Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 8. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeLa fonction de Pickands A La définition Une fonction A : [0, 1] → R est une fonction de Pickands si 1 A est convexe 2 A(0) = 1 et A(1) = 1 3 D+ A(0) ≥ −1 et D− A(1) ≤ 1 La géométrie du problème Une fonction A : [0, 1] → R est une fonction de Pickands si 1 A est convexe 2 la courbe A est enfermée dans le triangle formé des sommets (0, 1), (1/2, 1/2), (1, 1). Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 9. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialela construction la fonction A, l’approximation par φ 0 = t1 < t2 < · · · < tK = 1 : les noeuds {ai }K : les évaluations (ai = A(ti )) i=1 pi = (ti , ai ), i = 1, . . . , K : les points On interpole les points par une fonction convexe de Pickands Soit φ la fonction décrivant la courbe obtenue suite à l’interpolation Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 10. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialel’interpolation entre les points pi et pi+1mj : pente de la droite passant par pj et pj+1 , j = i − 1, i, i + 1mi = (mi−1 + mi )/2 ¯ ¯Courbe de Bézier qui passe par pi et pi+1 avec pente mj en tj ,j = i, i + 1.la qualité d’approximationA : fonction de Pickandsti = (i − 1)/(K − 1), ai = A(ti ), i = 1, . . . , K,φ, fonction obtenue à partir des pi , i = 1, . . . , K, A−φ ∞ ≤ 1/2(K − 1) Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 11. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeFigure 1 A E B D C F F IG .: La disposition des points A, B, C, D, E et la liberté du point C Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 12. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialela loi a priori les marges Il y a les trois paramètres (µ, log(σ), ξ) pour chacune des marges, lois normales indépendantes partout, Coles (2001) les paramètres K et p Loi discrète sur K, K = 3, 4, . . . , U ( on tronque ) Loi uniforme sur {p2 , . . . , pK−1 : φ est une fonction de Pickands } Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 13. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialela chaîne les options On choisit une option avec une certaine probabilité qui dépend de K et on effectue le test de Metropolis modifier un des paramètres des marges déplacer un des points p, (K → K) ajouter un des points p, (K → K + 1) retrancher un des points p, (K → K − 1) Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 14. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialedéplacer le point pi → pi , 1 < i < KConserver la convexité ⇔ pi doit se trouver dans le triangle Ti−1 i+1donné par les sommets pi−1 , pi+1 et l’intersection des droites − −p− p− −i−1 i−2 →et − −p− . p− −i+2 i+1 →On propose pi en choisissant selon une loi uniforme sur Ti−1 i+1 .ajouter un point q entre les points pi et pi+1q doit se trouver dans le triangle Ti i+1 donné par les sommets pi , pi+1et l’intersection des droites − −pi et − −p− . p− → p− −i+2 i−1 i+1 →On propose pi en choisissant selon une loi uniforme sur Ti i+1 .retrancher un point piOn propose d’éliminer le point pi sans toucher aux autres points. Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 15. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeFigure 2, Bayes, Capéraà et al, Hall et Tajvidi, Deheuvel 1 1 0.95 0.95 0.9 0.9 0.85 0.85 0.8 0.8 0.75 0.75 0.7 0.7 0.65 0.65 0.6 0.6 0.55 0.55 0.5 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 1 0.95 0.95 0.9 0.9 0.85 0.85 0.8 0.8 0.75 0.75 0.7 0.7 0.65 0.65 0.6 0.6 0.55 0.55 0.5 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 F IG .: 200 échantillons de taille 25 Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 16. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeTableau 1 : MISE relatif, logistique, 1000 échantillons, margesconnues TAB .: A(t) = 1 − β + (β − α)t + {αr tr + β r (1 − t)r }1/r n = 10 n = 25 n = 100 model r, α, β C H D C H D C H D 1 1.25,1,1 0.27 0.16 0.20 0.25 0.18 0.19 0.39 0.31 0.29 2 1.5,1,1 0.24 0.18 0.18 0.56 0.45 0.36 1.45 1.10 0.92 3 1.75,1,1 0.74 0.63 0.48 1.36 1.10 0.74 2.23 1.72 1.14 4 2,1,1 1.50 1.39 0.81 2.21 1.84 1.06 3.24 2.31 1.21 5 3,1,1 6.04 6.46 1.60 6.02 5.06 1.40 5.19 4.39 1.15 6 1.25,0.9,0.5 0.56 0.32 0.41 0.55 0.33 0.38 0.39 0.30 0.30 7 1.5,0.9,0.5 0.27 0.17 0.22 0.27 0.21 0.22 0.42 0.34 0.32 8 2,0.9,0.5 0.20 0.16 0.17 0.38 0.30 0.28 0.68 0.53 0.47 9 3,0.9,0.5 0.35 0.29 0.26 0.51 0.42 0.37 0.66 0.50 0.43 10 5,0.9,0.5 0.44 0.34 0.33 0.51 0.41 0.36 0.56 0.42 0.38 11 2,0.75,0.95 0.39 0.38 0.31 0.68 0.59 0.46 1.13 0.90 0.69 12 2.5,0.75,0.95 0.74 0.72 0.52 0.96 0.88 0.63 1.18 1.08 1.08 13 3.25,0.75,0.95 1.02 0.94 0.61 0.96 0.86 0.56 1.04 0.84 0.56 14 5,0.75,0.95 0.98 0.97 0.62 0.76 0.61 0.43 0.86 0.63 0.44 15 10,0.75,0.95 0.65 0.63 0.40 0.46 0.31 0.23 0.87 0.62 0.45 Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 17. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeTableau 2 : MISE relatif, logistique, 1000 échantillons, margesinconnues TAB .: A(t) = 1 − β + (β − α)t + {αr tr + β r (1 − t)r }1/r n = 10 n = 25 n = 100 model r, α, β C H D C H D C H D 1 1.25,1,1 0.31 0.24 0.24 0.30 0.25 0.25 0.40 0.35 0.35 2 1.5,1,1 0.12 0.17 0.17 0.37 0.39 0.39 1.26 1.18 1.18 3 1.75,1,1 0.25 0.48 0.48 0.84 0.98 0.98 2.01 1.86 1.86 4 2,1,1 0.45 1.12 1.11 1.52 1.62 1.62 3.01 2.44 2.44 5 3,1,1 0.89 3.92 3.72 4.37 4.82 4.80 6.07 4.35 4.35 6 1.25,0.9,0.5 0.89 0.51 0.51 0.86 0.57 0.57 0.57 0.45 0.45 7 1.5,0.9,0.5 0.32 0.26 0.26 0.32 0.28 0.28 0.48 0.43 0.43 8 2,0.9,0.5 0.15 0.18 0.18 0.31 0.33 0.33 0.72 0.62 0.62 9 3,0.9,0.5 0.21 0.32 0.32 0.47 0.50 0.50 0.74 0.70 0.70 10 5,0.9,0.5 0.30 0.46 0.47 0.56 0.61 0.61 0.65 0.65 0.65 11 2,0.75,0.95 0.20 0.30 0.30 0.53 0.57 0.57 1.14 1.07 1.07 12 2.5,0.75,0.95 0.34 0.67 0.67 0.82 0.93 0.93 1.19 0.94 0.62 13 3.25,0.75,0.95 0.45 1.05 1.04 0.99 1.11 1.11 1.02 1.03 1.03 14 5,0.75,0.95 0.52 1.29 1.28 0.99 1.09 1.09 0.76 0.79 0.79 15 10,0.75,0.95 0.51 1.31 1.30 0.66 0.73 0.73 1.32 1.44 1.44 Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 18. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialePrésenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 19. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeFigure 5 1 1 0.95 0.95 0.9 0.9 0.85 0.85 0.8 0.8 0.75 0.75 0.7 0.7 0.65 0.65 0.6 0.6 0.55 0.55 0.5 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 (a) La Grande 4 vs Manouanes (b) LaGrande 4 vs EOL F IG .: Estimation de A, Bayes, CFG et Hall Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 20. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeFigure 6 700 4500 600 4000 500 3500 400 3000 300 2500 200 2000 100 1500 0 1000 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 (a) La Grande 4 vs Manouanes (b) LaGrande 4 vs EOL F IG .: Bande de prévision à 95% et prévision Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 21. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeAvantages et inconvénients liés à la méthode Avantages L’estimateur est une vraie fonction de dépendance, pas besoin de trafiquer ! Approche bayésienne Meilleurs résultats pour tailles d’échantillon petites Inconvénients Réponse numérique Lorsqu’on approche la colinéarité en plusieurs points consécutifs on reste coincé, les triangles s’aplatissent. L’asymptotique ? Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 22. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialela mesure spectrale la définition G1 et G2 : fonctions de répartition pour les marges G : fonction de répartition du couple alétoire − log G(u, v) = (− log G1 (x), − log G2 (y)) avec (s, t) = 2 [ωs ∨ (1 − ω)t] H(dω) [0,1] et, en plus, H : mesure de probabilité sur [0, 1] avec moyenne 1/2. Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 23. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialela construction la fonction de répartition H, l’approximation par ϕ On note H la fonction de répartition associée à la mesure H On construit ϕD une mesure discrète sur 0, y1 , . . . , ym , 1 avec 0 < y1 < · · · < ym < 1, poids ϕD ({0}) = H({0}) ϕD ({1}) = H({1}) ϕD ({y1 }) = ϕD ({y2 }) = · · · = ϕD ({ym }) On interpole ϕD avec des splines croissantes ϕ− : interpolation par le bas, moyenne inférieure à 1/2 ϕ+ : interpolation par le haut, moyenne supérieure à 1/2 ϕ : combinaison convexe, moyenne ramenée à 1/2 Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 24. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialela qualité d’approximation H−ϕ ∞ ≤ 2(1 − H({0}) − H({1}))/mles conditions sur ϕD 0 ≤ ϕD ({0}), ϕD ({1})) ≤ 1/2 ϕD ({yi }) = (1 − ϕD ({0}) − ϕD ({1}))/m i = 1, . . . , m (1 − ϕD ({0}) − ϕD ({1}))¯ + ϕD ({1}) = 1/2 y (1)notationϕD ({0}), ϕD ({1})) : atomesy1 , y2 , . . . , ym : noeuds Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 25. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomiale 1 3/4 1/2 H 1/4 0 y1 y2 y3 y4 1 wPrésenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 26. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialela vraisemblance Principe de base, domaine d’attraction Les données brutes ne proviennent pas d’une loi à valeurs extrêmes mais les maximums sont dans le domaine d’attraction d’une loi à valeurs extrêmes Censurer les données à gauche (X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ), . . . , (Xn , yn ) : données brutes Xi∗ = Xi ∨ u, Yi∗ = Yi ∨ v : données censurées Loi des données censurées proche de celle de données censurées d’une loi de valeurs extrêmes ( Ledford et Tawn 1996 ) Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 27. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialela loi a priori les marges Il y a les trois paramètres (µ, log(σ), ξ) pour chacune des marges, lois normales indépendantes partout, Coles (2001) les paramètres m et y Loi discrète sur m, m = 1, 2, . . . , U ( on tronque ) Loi uniforme sur {ϕD ({0}), ϕD ({1}), y2 , . . . , ym−1 : ϕD est une mesure spectrale} Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 28. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeLoi a priori, Poisson(10) tronquée en 0 sur m 1 0.8 0.6 H 0.4 0.2 00 0.2 0.4 1 w 0.6 0.8 F IG .: bande à 95% et espérance, 500 000 itérations Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 29. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialela chaîne les options On choisit une option avec une certaine probabilité qui dépend de m et on effectue le test de Metropolis modifier un des paramètres des marges déplacer un des points y, (m → m) changer ϕD ({0}) ou ϕD ({1}), (m → m) ajouter un des points y, (m → m + 1) retrancher un des points y, (m → m − 1) Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 30. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialedéplacer le point yiChoisir j = i, δ tel que 0 < (yi + δ) ∧ (yj − δ) et (yi + δ) ∨ (yj − δ) < 1Proposer yi → yi + δ, yj → yj − δchanger ϕD ({0}) ou ϕD ({1})Choisir i, δ tel que 0 < yi + δ < 1 et 0 ≤ ϕD ({0}) < 1/2où ϕD ({0}) est l’unique solution de l’équation (1)Proposer yi → yi + δ, ϕD ({0}) → ϕD ({0}) Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 31. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeajouter un des points y, (m → m + 1)Ajouter le point ¯ yDéplacer le point ¯ comme si il y avait m + 1 points y yretrancher un des points yChoisir un point yiChoisir j = i, tel que (yi − ¯)(yj − ¯) < 0 y yChoisir δ tel que yi + δ = ¯ yProposer d’éliminer yi et de bouger yj → yj − δ Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 32. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeFigure 5 ×102 1 1 0.75 MISE 0.6 0.5 H 0.25 0.2 0 0.75 0.8 0.85 0.9 00 0.25 0.5 0.75 1 α w (a) (b) 1 1 0.75 0.75 0.5 0.5 H H 0.25 0.25 00 00 Présenté par François Perron Université de Montréal 1 0.25 0.5 w 0.75 1 Estimation 0.25 copules, une approche bayésienne de 0.5 w 0.75
  • 33. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeFigure 6 ×102 1 1 0.75 MISE 0.6 0.5 H 0.25 0.2 0 0.75 0.8 0.85 0.9 00 0.25 0.5 0.75 1 α w (e) (f) 1 1 0.75 0.75 0.5 0.5 H H 0.25 0.25 00 00 Présenté par François Perron Université de Montréal 1 0.25 0.5 w 0.75 1 Estimation 0.25 copules, une approche bayésienne de 0.5 w 0.75
  • 34. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeFigure 7 ×102 1 1 0.75 MISE 0.6 0.5 H 0.25 0.2 0 0.75 0.8 0.85 0.9 00 0.25 0.5 0.75 1 α w (i) (j) 1 1 0.75 0.75 0.5 0.5 H H 0.25 0.25 00 00 Présenté par François Perron Université de Montréal 1 0.25 0.5 w 0.75 1 Estimation 0.25 copules, une approche bayésienne de 0.5 w 0.75
  • 35. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeDommages, bâtiment versus mobilier et biens personels 1 0.8 0.6 H 0.4 0.2 00 0.2 0.4 1 w 0.6 0.8 F IG .: bande à 95% et espérance, 500 000 itérations Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 36. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeDommages, bâtiment versus perte de profits 1 0.8 0.6 H 0.4 0.2 00 0.2 0.4 1 w 0.6 0.8 F IG .: bande à 95% et espérance, 500 000 itérations Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 37. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeDommages, mobilier et biens personels versus perte deprofits 1 0.8 0.6 H 0.4 0.2 00 0.2 0.4 1 w 0.6 0.8 Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 38. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeAvantages et inconvénients liés à la méthode Avantages Les données ne proviennent pas nécessairement d’une loi à valeurs extrêmes L’estimateur est une vraie mesure spectrale avec des atomes, pas besoin de trafiquer ! Approche bayésienne Meilleurs résultats pour tailles d’échantillon petites Inconvénients On doit choisir un bon point pour censurer Réponse numérique, le lissage est compliqué Lorsque plusieurs points approchent les bornes on reste coincé, on manque d’espace pour bouger. L’asymptotique ? Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 39. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeLa représentation par une intégrale La condition de régularité A est une fonction absolument continue La décomposition 1 A(ω) = 1 − B(2ω − 1) 2 1 1 B(x) = {(1 − xy) − |x − y|}C(y) dy 2 −1 1 1 = {(1 + x)(1 − y) ∧ (1 − x)(1 + y)}C(y) dy} 2 −1 1 1 C ≥ 0, −1 (1 − y)C(y) dy ≤ 2 et −1 (1 + y)C(y) dy ≤ 2 Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 40. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeLes polynômes, version classique La représentation vectorielle et la bijection A : polynôme de degré ≤ m + 2 B(x) = (1 − x2 ) m bi xi , b ∈ Rm+1 i=0 C(x) = m ci xi , c ∈ Rm+1 i=0 b = Gc, G inversible La caractérisation, intersection de deux ellipsoïdes P2 (x) + (1 − x2 )Q2 (x)x si m est pair, C(x) = 2 (x) + (1 + x)Q2 (x) si m est impair (1 − x)P ck ck ck ck k impair k+2 − k pair k+1 ≤ 1, k impair k+2 + k pair k+1 ≤1 Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 41. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeLes polynômes, version Bernstein La représentation vectorielle et la bijection A : polynôme de degré ≤ m + 2 Y(m, t) : variable aléatoire de loi binomiale(m, t) B(x) = (1 − x2 )E[β(Y(m, (1 + x)/2))], β ∈ Rm+1 C(x) = E[θ(Y(m, (1 + x)/2))], θ ∈ Rm+1 β = Γc, Γ inversible La caractérisation ( version restreinte ), polytope θ(k) ≥ 0, ∀k ( version restreinte ) h(x) ≥ 0, x ∈ (0, 1) 1 m k+1 1 1 1 m+1 k=0 (1 − m+2 )θ(k) ≤ 2 , 0 (1 − y)h(y)dy ≤ 2 , 1 m 1 m+1 k+1 k=0 m+2 θ(k) ≤ 1. 2 0 yh(y)dy ≤ 1, 2 Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 42. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialela qualité d’approximation l’approximation de Bernstein A : fonction de Pickands Bm+2 A : approximation de Bernstein Bn A(t) = E[A(Y(n, t)/n)] la borne On a les résultats suivants, Bm+2 A est un fonction de Pikands polynomiale qui satisfait la contrainte de la version restreinte |Bm+2 A(t) − A(t)| ≤ t(1 − t)/(m + 2) ∀t ∈ [0, 1] Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 43. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeLa loi a priori et la chaîne loi a priori, version Bernstein Discrète sur m et, conditionnellement à m, uniforme sur le polytope. la chaîne MH standard avec sauts réversibles. Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
  • 44. Préléminaires L’approche géométrique L’approche mesure spectrale L’approche polynomialeAvantages et inconvénients liés à la méthode Avantages La solution numérique se résume dans les paramètres du polynôme L’estimateur est une vraie fonction de dépendance, pas de lissage à faire, pas besoin de trafiquer ! Approche bayésienne Meilleurs résultats pour tailles d’échantillon petites ? Belles formules, liens entre le polynôme et la forme intégrale. Inconvénients Réponse numérique, projet en devenir ! √ Borne de l’ordre de O(1/ n) à comparer avec O(1/n) Lorsqu’on approche d’un sommet autre que l’origine on reste coincé, la pointe est aiguisée. L’asymptotique ? Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne

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