1) Un vidriero necesita obtener un espejo rectangular de área máxima a partir de una pieza triangular con catetos de 40 y 60 cm. 2) Se representa la situación geométricamente y se deduce una función cuadrática que relaciona el área con la base del rectángulo. 3) Al graficar la función, se determina que el espejo de área máxima (600 cm2) es un rectángulo con base de 30 cm y altura de 20 cm.

2. SITUACIÓN PARA INICIAR EL ESTUDIO DE LA FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO
Un vidriero cuenta con una pieza de espejo en forma triangular. De esta necesita obtener un
espejo rectangular con la mayor área posible. Al determinar las medidas de sus catetos, estos
miden 40 y 60 centímetros, respectivamente.
Calcula las medidas del espejo rectangular en cuestión.
Representemos la situación con un gráfico:
40 cm x
y
60 cm
Si ubicamos este gráfico en un plano cartesiano, y hacemos coincidir el ángulo recto con el
origen del plano y los catetos con los ejes x e y, tenemos:
Y
C(0 , 40)
P(x , y)
X
A(0 , 0) B(60 , 0)
Como sabemos, el área de un rectángulo es el producto de las longitudes de la base y la altura de
este. Las coordenadas x e y del punto P representan el largo y el alto del espejo buscado. Es
decir, el área del rectángulo es:
· (1)

3. Como podemos ver, el punto P de coordenadas x e y representa todos los puntos de la
hipotenusa BC del triángulo rectángulo ABC. Esto significa que el segmento de recta BC tiene
como dominio el intervalo 0 , 60 1, y como recorrido, el intervalo 0 , 40 . Es decir:
0 , 60 y
0 ,40 .
Puesto que la hipotenusa BC representa una función lineal, podemos encontrar su ecuación
cartesiana ya que se conocen dos puntos:
y 2 − y1 y − y1
=
x 2 − x1 x − x1
Reemplazamos los puntos B(60 , 0) y C(0 , 40); nos queda:
40 − 0 y −0
=
0 − 60 x − 60
Reducimos términos:
2 y
=
− 3 x − 60
Aplicamos la propiedad de fracciones equivalentes:
2( x − 60) = −3 y
Aplicamos la propiedad distributiva:
2 x − 120 = −3 y
Despejamos la altura del rectángulo (variable y):
2 x − 120
=y (2)
−3
La expresión (2) determina la altura del rectángulo en función del ancho de este. Sustituyendo
(2) en (1), se produce:
⎛ 2x − 120 ⎞
A= x ⎜ ⎟
⎝ −3 ⎠
Al aplicar la propiedad distributiva, se tiene:
2 2
A=− x + 40 x (3)
3
La expresión matemática que se acaba de obtener es una función cuadrática de x (largo del
rectángulo) en relación con A (área del espejo buscado). Elaboremos una tabla de valores para
analizar el comportamiento de dicha expresión.
1
Tanto el largo como el ancho del rectángulo pueden tomar valores reales.

4. Representemos estos puntos en el plano cartesiano y usemos una escala adecuada (se puede usar
un graficador).
x 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
A=f(x) 0 216 384 504 576 600 576 504 384 216 0
A=f(x)
600
(30,600)
(24,576) (36,576)
500
(18,504) (42,504)
400
(12,384) (48,384)
300
200 (6,216) (54,216)
100
x
0
0 10 20 30 40 50 60
Observamos la tendencia y unimos los puntos con una línea continua.
A=f(x)
600
(30,600)
(24,576) (36,576)
500
(18,504) (42,504)
400
(12,384) (48,384)
300
200 (6,216) (54,216)
100
x
0
0 10 20 30 40 50 60

5. La curva que se acaba de graficar se denomina parábola. Tiene por dominio el intervalo 0 , 60
2 2
y tiene por recorrido el intervalo 0 , 600 ; la curva responde a la expresión A = −x + 40 x
3
que es un caso particular de la expresión general y = ax + bx + c con a, b, c ∈ R . Donde a,
2
2
b y c son: a = − , b = 40 y c = 0 .
3
En la gráfica, el eje horizontal representa el valor de la base del espejo rectangular y el eje
vertical representa el área del espejo buscado. Claramente se puede ver que el espejo de mayor
área está representado en la parte más alta de la gráfica, esto es 600 cm2. Esta área es generada
por un rectángulo de base determinada por el centro del dominio 0 , 60 , 30. Esto significa
que el vértice de la parábola tiene por coordenadas el punto (30 , 600). Confirma estos valores,
usando la expresión , , cuya deducción la puedes estudiar en el anexo 1.
Si el área máxima está generada por un rectángulo de base 30 cm, podemos encontrar la altura
del rectángulo usando la fórmula del área.
·
Reemplazamos datos:
600 30 ·
Despejamos y:
20
También puedes confirmar este resultado usando la fórmula (2).
Ahora podemos concluir que para obtener el espejo deseado, el vidriero debe recortar un
rectángulo de 30 cm de base por 20 cm de alto.

6. ANEXO 1
Analicemos la expresión f ( x) = y = ax 2 con a ∈ R . Para esto, usemos la función
f ( x) = y = 2 x 2 como un caso particular. Elaboremos una tabla de datos y observemos el
gráfico resultante.
x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
y=f(x) 72 50 32 18 8 2 0 2 8 18 32 50 72
y=f(x)
(-6,72) 70 (6,72)
60
50
(-5,50) (5,50)
40
(-4,32) 30 (4,32)
20
(-3,18) (3,18)
10
(-2,8) (2,8)
x
(-1,2) (1,2)
-6 -4 -2 (0,0) 2 4 6
Efectivamente es una parábola, cuyo punto más bajo, denominado vértice, se encuentra en el
origen de coordenadas. Es decir, esta parábola tiene el vértice en el punto (0 , 0). También
podemos ver que la gráfica tiene dos ramales simétricos al eje y, con lo cual podemos asignar al
eje de simetría la ecuación x = 0 . (Como ejercicio se propone realizar las gráficas de las
funciones f ( x) = y = 8 x , f ( x) = y = 0,2 x y f ( x) = y = −2 x , que responden al modelo
2 2 2
f ( x) = y = ax 2 ; solicite analizar el eje de simetría y el vértice).
Las funciones que responden a la expresión f ( x) = y = ax , que también puede ser escrita
2
como 0 0, tienen como vértice el punto (0, 0), eje de simetría 0y
su cóncava si 0 y convexa si 0. En resumen:
Características
Expresión
Vértice Simetría Concavidad Gráfico
y
Positiva:
0
Cóncava x
y = ax 2
(0 , 0) 0
f ( x) = ax 2 y
Negativa:
0 x
Convexa

7. Ahora analicemos la expresión f ( x) = y = ax + C con a, C ∈ R ; igual que en el caso
2
anterior, tomemos una función que responde a este modelo, construyamos una tabla y
grafiquémosla, f ( x) = y = 2 x + 5 :
2
x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
y=f(x) 77 55 37 23 13 7 5 7 13 23 37 55 77
y=f(x)
(-6,77) (6,77)
70
60
(-5,55) (5,55)
50
40
(-4,37) (4,37)
30
(-3,23) 20 (3,23)
(-2,13) 10 (2,13)
(-1,7) (1,7)
(0,5) x
-6 -4 -2 2 4 6
Como podemos observar en la gráfica, el vértice se ha desplazado 5 unidades en el eje de las y
según indica el valor C, mientras que el la coordenada del eje de las x se mantiene en 0. Esto
significa que la función tiene como vértice las coordenadas (0 , 5). El eje de simetría es la recta
2 2
de ecuación x 0. Analiza las funciones f ( x) = y = 5 x 2 + 10 , f ( x) = y = x −5 y
3
f ( x) = y = −2 x 2 + 5 que también responden al modelo f ( x) = y = ax 2 + C , al cual lo
podemos escribir como:
0 .
Este modelo tiene como vértice el punto de coordenadas (0 , C), mientras que el eje de simetría
siempre es la recta de ecuación x 0.

8. Observa la siguiente tabla, en la que se resume lo analizado:
Características
Modelo
Vértice Simetría Concavidad Gráfico
y y
(o,C)
Positiva: x x
a>0
Cóncava
y = ax 2 + c
(0 , c) 0 y y
f ( x) = ax 2 + c
(o,C)
x x
Negativa:
a<0
Convexa
Tomando en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, enseguida podemos analizar el
modelo f ( x) = y = ax + bx + c . Para hacer el análisis de este, tal y como se hizo con los
2
anteriores, debemos expresarlo en la forma f x y a x h C. En este modelo, el
vértice estará dado por las coordenadas (h , C). Empecemos:
y = ax 2 + bx + c Extraemos factor común a:
⎛ b c⎞
A la expresión x 2 +
b
y = a⎜ x 2 + x + ⎟ le completamos el
⎝ a a⎠ a
trinomio cuadrado perfecto:
⎛ b ⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ c⎞
2 2
y = a⎜ x 2 + x + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎟ Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto:
⎜ a ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2 a ⎠ a ⎟
⎝ ⎠
⎛⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ c⎞
2 2
y = a⎜ ⎜ x + ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎟ Aplicamos la distributiva:
⎜⎝ 2 a ⎠ ⎝ 2a ⎠ a ⎟
⎝ ⎠
2
⎛ b ⎞ b2
y = a⎜ x + ⎟ − +c
⎝ 2a ⎠ 4a
Con esto hemos demostrado que el modelo y = ax + bx + C es equivalente al modelo
2
2
⎛ b ⎞ b2
y = a⎜ x + ⎟ − + c . Esto significa que . Para obtener este resultado
⎝ 2a ⎠ 4a
b b
x+ = 0 , de lo cual se sigue que h = − . Con esto tenemos que el vértice del modelo
2a 2a
⎛ b b2 ⎞ b
2
⎜ − ,− + c ⎟ y el eje de simetría x = −
y = ax + bx + C es el punto de coordenadas ⎜ ⎟ .
⎝ 2a 4 a ⎠ 2a

9. Observa en la siguiente tabla el resumen de todo lo analizado:
Características
Modelo
Vértice Simetría Concavidad Gráfico
y
Positiva:
0 x
Cóncava
y = ax 2 + bx + c ⎛ b b2 ⎞
⎜ − ,− + c ⎟
⎜ 2a 4 a ⎟ y
f ( x) = ax 2 + bx + c ⎝ ⎠ 2
Negativa:
0 x
Convexa
Monotonía
1. Se dice que una función es creciente si para todos los elementos de un intervalo , ,
si x1<x2, se cumple que f(x1)< f(x2). En el caso de la función cuadrática, se analiza la
monotonía en los intervalos ∞, y ,∞ .
2. Se dice que una función es decreciente si para todos los elementos de un intervalo
, , si x1<x2, se cumple que f(x1)> f(x2). En el caso de la función cuadrática, se
analiza la monotonía en los intervalos ∞, y ,∞ .
Observemos la siguiente tabla, que resume el análisis de la monotonía para la función
cuadrática.
Modelo Intervalo Monotonía Gráficos
Para todo x1, x2 elemento y
Decreciente del intervalo, si x1<x2,
x
f(x1)> f(x2).
∞,
2
Para todo x1, x2 elemento
Creciente del intervalo, si x1<x2, y
f(x1)< f(x2).
x
y = ax 2 + bx + c
f ( x) = ax 2 + bx + c Para todo x1, x2 elemento y
Creciente del intervalo, si x1<x2,
f(x1)< f(x2). x
,∞
2 y
Para todo x1, x2 elemento
Decreciente del intervalo, si x1<x2, x
f(x1)> f(x2).
En todas estas representaciones gràficas, el eje de simetría tiene por ecuación la expresión:
2
Créditos: Equipo Técnico del Nuevo Bachillerato Ecuatoriano.