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  • 1. Pablo Federico Barba Ramos
  • 2. ía resentaci ón de la gu Índice & pCarta a los maestros 3Componentes CurricularesEnfoque pedagógico del Documento de Actualización y FortalecimientoCurricular de la Educación Básica 4Los componentes curriculares: ejes, bloques, destrezas, criterios de desempeño,conocimientos asociados 5Componentes MetodológicosFundamentos, contenidos y orientaciones para el área de Matemática segúnel Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 6Lineamientos metodológicos 9Atención a la diversidad 10El uso de situaciones de la vida real como fuente de conocimiento 12El ciclo del aprendizaje en el aula 13Planificación de una clase modelo 14Descripción de los textosConoce tu libro 16Planificadores de los bloques curriculares 18 Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial.La evaluación en nuestros textos 30Prueba de diagnóstico 31Pruebas de módulo 32Exámenes trimestrales 38Componentes DidácticosActividades adicionales 44Metodología para el tratamiento de conceptos y teoremas 56Metodología para desarrollar destrezas 58Metodología para la resolución de problemas 60Desarrollo de un proyecto de aula 63Solucionario 64Bibliografía 72 2
  • 3. A los maestros Estimados docentes: Grupo Editorial Norma, en su afán de apoyar los cambios en la educación del país, presenta su nueva serie de textos denominada , dirigida a los estudiantes de Educación Básica, en cuatro áreas de estudio: Entorno Natural y Social, Matemática, Lengua y Literatura y Ciencias Naturales. Los textos de la serie están concebidos y elaborados de acuerdo con las demandas curriculares y didácticas propuestas en el Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular vigen- te desde el 2010. Plantean el desarrollo de las destrezas con criterio de desempeño, contenidos asociados y ejes transversales, y responden a la lógica de organización propuesta en el documento, por medio de ejes de aprendizaje y bloques curriculares. Los docentes podrán encontrar, no solo una relación directa entre los requerimientos del Ministerio de Educación, sino una interpretaciónProhibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. enriquecedora que extiende y amplía la propuesta oficial. Las guías del docente de la serie constituyen una herra- mienta de auto-capacitación y asistencia efectiva para los maestros. Explican cómo están elaborados los textos, su aplicación y funciona- miento; ofrecen instrumentos que facilitan la comprensión del diseño curricular del Ministerio de Educación; proveen modelos de diseño micro-curricular, solucionarios y herramientas para la evaluación y proponen sugerencias metodológicas que ayudan a enriquecer las didácticas. Esperamos que los textos y las guías del maestro de la serie sean un apoyo efectivo en la labor del docente y en el proceso de aprendizaje del estudiante. 3
  • 4. Componentes Curriculares ¿En qué consiste el enfoque pedagógico del Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica?El Ministerio de Educación tiene como objetivo central y progresivo el mejoramiento de la educación del país, paraello emprende varias acciones estratégicas.En este contexto, presenta el Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica, con elobjetivo de ampliar y profundizar el sistema de destrezas y conocimientos que se desarrollan en el aula y de forta-lecer la formación ciudadana en el ámbito de una sociedad intercultural y plurinacional.El Documento, además de un sistema de destrezas y conocimientos, presenta orientaciones metodológicas e indi-cadores de evaluación que permiten delimitar el nivel de calidad del aprendizaje.El Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular ofrece a los docentes orientaciones concretas sobrelas destrezas y conocimientos a desarrollar y propicia actitudes favorables al Buen Vivir, lo que redundará en elmejoramiento de los estándares de calidad de los aprendizajes. Bases Pedagógicas del Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica • Desarrollo de la condición humana y la com- • Enfatiza el uso del pensamiento de manera críti- prensión entre todos y la naturaleza. Subraya ca, lógica y creativa; lo que implica el manejo de la importancia de formar seres humanos con operaciones intelectuales y auto reflexivas. valores, capaces de interactuar con la sociedad • Subraya la importancia del saber hacer; el fin de manera solidaria, honesta y comprometida. no radica en el conocer, sino en el usar el cono- • Formación de personas con capacidad de resolver cimiento como medio de realización individual problemas y proponer soluciones; pero, sobre y colectiva. todo, utilizar el conocimiento para dar nuevas Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. • Los conocimientos conceptuales y teóricos se in- soluciones a los viejos problemas. Propicia el de- tegran al dominio de la acción, o sea al desarrollo sarrollo de personas propositivas y capaces de de las destrezas. transformar la sociedad. • Sugiere el uso de las TIC como instrumentos • Estimula la apropiación de valores como la solida- de búsqueda y organización de la información. ridad, honestidad, sentido de inclusión y respeto por las diferencias. Insiste en la necesidad de • Prioriza la lectura como el medio de comprensión formar personas que puedan interactuar en un y la herramienta de adquisición de la cultura. mundo donde la diferencia cultural es sinónimo • Propone una evaluación sistemática, criterial e in- de riqueza. tegradora que tome en consideración, tanto la • Propone una educación orientada a la solución formación cognitiva del estudiante: destrezas de los problemas reales de la vida, la formación y conocimientos asociados, como la formación de personas dispuestas a actuar y a participar de valores humanos. en la construcción de una sociedad más justa y equitativa. 4
  • 5. Componentes Curriculares Descripción de los componentes curriculares del Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica El referente curricular de la Educación Básica se ha estruc- ¿Qué son las destrezas con criterios de desempeño? turado sobre la base del siguiente sistema conceptual: Son criterios que norman qué debe saber hacer el estu- ¿Qué es el perfil de salida? diante con el conocimiento teórico y en qué grado de profundidad. Es la expresión de desempeño que debe demostrar un estudiante al finalizar un ciclo de estudio; desempeño ¿Cómo se presentan los contenidos? caracterizado no solo por un alto nivel de generaliza- ción en el uso de las destrezas y conocimientos, sino Integrados al “saber hacer”, pues interesa el conoci- por la permanencia de lo aprendido. miento en la medida en que pueda ser utilizado. ¿Qué son los objetivos de área? ¿Qué son los indicadores esenciales de evaluación? Orientan el desempeño integral que debe alcanzar el Se articulan a partir de los objetivos del año; son evi- estudiante en un área de estudio: el saber hacer, los co- dencias concretas de los resultados del aprendizaje nocimientos asociados con este “saber hacer”, pero, so- que precisan el desempeño esencial que debe demos- bre todo, la conciencia de la utilización de lo aprendido trar el estudiante. en relación con la vida social y personal. ¿Cómo funciona la evaluación con criterios de ¿Qué son los objetivos del año? desempeño? Expresan las máximas aspiraciones a lograr en el proce- Hace que se vea a la evaluación como un proceso continuo so educativo dentro de cada área de estudio. inherente a la tarea educativa, que permite al maestro darse cuenta de los logros y los errores en el proceso ¿A qué se llama mapa de conocimientos? de aprendizaje, tanto del maestro como del alumno, y tomar los correctivos a tiempo. Es la distribución de las destrezas y conocimientos nu- cleares que un alumno debe saber en cada año de estudio. ¿Qué son los ejes transversales? ¿Qué son los ejes de aprendizaje del área? Son grandes temas integradores que deben ser desarrolla- dos a través de todas las asignaturas; permiten el análisis Corresponden a las macro-destrezas que se desarrollan de las actitudes, la práctica de valores y en general, danProhibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. en el área: escuchar, hablar, leer y escribir. a la educación un carácter formativo e integrador. ¿Qué es el trabajo con las tipologías textuales? Promueven el concepto del Buen Vivir como el esfuer- zo personal y comunitario que busca una convivencia El medio que se utiliza para desarrollar las macro-destre- armónica con la naturaleza y con los semejantes: zas es el trabajo con las tipologías textuales. Por ejemplo: “Las recetas” es el tipo de texto que se utiliza como eje • La formación ciudadana y para la democracia. vertebrador para lograr la competencia comunicativa en uno de los bloques de quinto año. • La protección del medioambiente. ¿Qué son los bloques curriculares? • El correcto desarrollo de la salud y la recreación. Componentes de proyección curricular que articula e • La educación sexual en la niñez y en la adolescencia. integra el conjunto de destrezas y conocimientos alre- dedor de un tema central de la ciencia o disciplina que se desarrolla. 5
  • 6. Componentes Metodológicos Los fundamentos, contenidos y orientaciones del Área de MatemáticaLa propuesta del Ministerio de Educación blemas no requiriera no solo del concurso deplantea que tanto el aprendizaje como la todo el pensamiento matemático además delenseñanza de la matemática deben estar de las otras disciplinas.enfocada en el desarrollo de las destrezas La Reforma plantea dinamizar el pensamientonecesarias para que los estudiantes sean ca- matemático más que desde la lógica de la dis-paces de resolver problemas cotidianos a la ciplina desde puesta en práctica; recordandovez que fortalecen su pensamiento lógico que en el plano de lo concreto la organizacióny creativo. de lo abstracto no funciona de la misma ma-En un mundo “matematizado” la mayoría de nera y que los compartimentos de las cienciaslas actividades cotidianas requieren decisio- desaparecen ante la dinámica de las situacio-nes basadas en la matemática; esta situación nes de la vida.hace que nos interese esta disciplina más que Este planteamiento estimula al maestro a re-como fin como instrumento para formar pen- acomodar su visión y metodología de ense-sadores lógicos, críticos, capaces de resolver ñanza a partir de una nueva lógica de aprendi-problemas. zaje que va desde la acción, con la priorizaciónLa mayoría de las acciones que desarrolla el de las destrezas; situación puede constituirse,trabajador y profesional modernos exigen la al comienzo, en un elemento desestabilizadorutilización de operaciones mentales y de la para el maestro, quien ha estado acostumbra-aplicación de los conocimientos matemáticos. do a ver la enseñanza-aprendizaje de la mate-(Ilustración de un ingeniero o un físico en un mática desde los contenidos disciplinares y nolaboratorio) desde lo que debe hacer con ellos.Desde esta perspectiva interesa proveer a Por esta razón las destrezas y los contenidoslos estudiantes de conceptos matemáticos han sido seleccionados no solo en función de Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial.significativos, bien aprendidos y con la pro- los esquemas y estructuras de razonamientofundidad necesaria, pero como instrumentos de los estudiantes de acuerdo con su edad, eloperativos para el análisis y solución de pro- entorno que les rodea, de sus intereses y susblemas de la cotidianidad. necesidades, sino desde qué puede hacer conEstuvimos acostumbrados a un aprendizaje ellos en la práctica.de la matemática fragmentado en sistemas, Este enfoque estimula en el alumno la capaci-que no hacía relación entre los conceptos y dad de aprender, interpretar y aplicar la mate-destrezas de un sistema y otro; desenfocado mática a partir de situaciones problemáticasde la realidad, como si la solución de los pro- de la vida diaria. 6
  • 7. Componentes Metodológicos Propuesta de los textos para el Área de Matemática en Secundaria Los textos para Matemática secundaria expresan con fidelidad y cuidado el modelo pedagógico propuesto, enriquecido con el producto de la experiencia acumulada por autores, editores de textos y capacitadores tanto a nivel de la educación particular como pública, especialmente esta última. Se ha organizado los textos para la enseñanza de la Matemática a través de la estructuración de seis módulos. Cada uno de los seis módulos desarrolla los conceptos, teoremas y las destrezas de varios blo- ques curriculares, integrándolos de manera lógica, práctica y creativa. Este tipo de planificación modular permite un manejo más globalizador de las destrezas y las capacidades para resolver problemas intra y extramatemáticos. Las páginas de entrada de los módulos contienen lecturas e imágenes que, además de expresar la realidad de nuestro o región, se conectan con los contenidos que serán objetos de aprendiza- je. Aquí aparecen las destrezas y contenidos que se van a desarrollar en el módulo, se sugieren actividades para reflexionar y se proponen ejercicios que activan conocimientos y matematizan el tema de la Lectura. Se señalan y describen, además, los ejes transversales de aprendizaje que contextualizarán los temas. En el inicio de cada lección, los profesores encontrarán tres elementos básicos: ¿Qué sé? Activa los conocimientos previos de los alumnos sobre el tema y los motiva hacia el aprendizaje.Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. Para la vida. Contesta a los estudiantes, a través de alguna aplicación práctica, cómo y para qué usará el contenido de la lección en la formación de su razonamiento y en la vida práctica. Para Comenzar. Breve introducción del tema de la lección que muestra la importancia del mismo y motiva la necesidad de un nuevo aprendizaje. Mediante el uso del pensamiento crítico y el razonamiento, el proceso de aprendi- zaje se desarrolla en momentos ordenados y bien definidos mediante los cuales se propicia la construcción de los conceptos, el tratamiento de los teoremas, el desa- rrollo de las destrezas y la creatividad en la resolución de problemas. 7
  • 8. Componentes MetodológicosZona de Aplicación. Permite al estudiante la aplicación inmediata del conocimiento al tiem-po que propicia la fijación y sistematización de las destrezas matemáticas adquiridas en la lección.Adicionalmente, nuestros textos, abren ventanas de extensión del conocimiento por medio derecursos adicionales que permiten:Conexiones con la vida. Establece relación con los ejes transversales del conocimiento.Sí Se Puede. Desarrollo del pensamiento lógico y lateral, además de potenciar las destrezasdel trabajo racional unidas a la creatividad.TIC. Uso de todo tipo de recursos tecnológicos; búsqueda y extensión del conocimiento.Vocabulario. Refuerzo de los términos de la matemática.Compruebo lo que sé. Actividades de autoevaluación para que el estudiante tome con-ciencia de su aprendizaje en cada uno de los módulos y evalúe sus procesos, determine susfortalezas y debilidades.El Proyecto de Integración. Explicita la relación e integración entre los diferentes elemen-tos matemáticos entre si, ofreciendo la oportunidad de aplicar holísticamente las destrezas ycapacidades en la solución de un problema real.Con mis palabras. Espacio que tiene el estudiante para verbalizar y socializar el aprendizaje Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial.logrado en el módulo.Ruta Saber. Comienza con una pequeña lectura relacionada con interesantes temas de lamatemática que ayudan al estudiante a comprender la importancia que tiene esta asignatura enla transformación de la realidad objetiva. A continuación se propone una prueba estandarizada,que se aplica cada dos módulos, que ayuda al estudiante al desarrollo de su razonamiento y loentrena para las pruebas de medición del aprendizaje que aplica el estado ecuatoriano.El Sumak Kawsay o teoría del Buen Vivir es un concepto clave que rechaza la idea del hom-bre como dueño y señor de la naturaleza y mas bien lo ve como parte de ella.Significa alejarse del consumismo, individualismo y la búsqueda frenética del lucro por encimade la preservación de la naturaleza. Promueve la relación armónica entre los seres. 8
  • 9. Componentes Metodológicos Lineamientos metodológicos generales El siguiente mapa resume los componentes metodológicos fundamentales en el proceso de aprendizaje. La metodología es la inventiva, estrategia, técnica que se utiliza conscientemente en el proceso de aprendizaje repercute en Selección de Enfoque Los recursos 1 2 3 conocimientos al aprendiz Destrezas Contenidos Valores Individual Grupal TIC bibliográficos activan procesos significativos ejes transversales atención a las cooperativo textos diferencias videos importantes la realidad cultura universalProhibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. actualizados Tipo de Clima Confianza 3 5 6 7 Estrategias evaluación emocional académica Técnicas de Herramientas Ambiente que el profesor Aprendizajes significativos, útiles Indagación. Estudio de casos, Observación imprime en clase para la vida proyectos, investigaciones, cuestionamiento experimental. Observación. Deducción, induc- ción, comparación, clasificación, análisis de perspectivas. Reflexión. Resolución de proble- mas, crítica, invención, soluciones. Conceptualización. Construcción de conceptos. 9
  • 10. Componentes Metodológicos Atención a la diversidadLa diversidad se presenta en todos los órdenes El currículo está pensado para servir a lade la vida: en el tipo de familia al que pertene- mayoría, a un alumno prototipo; ameritacemos (familias disfuncionales, sobreprotec- entonces que los profesores decidan cómotoras, poco afectivas); en las peculiaridades y de qué manera adaptar ese currículo a laspsicológicas (timidez, hiperactividad, compul- particularidades que presentan los alumnossiones, apatías, deficiencias); peculiaridades en sus aulas, y recordar que no todos los seresfísicas (aptitudes) y en otros sentidos: intereses, humanos aprendemos igual, lo mismo, a lagustos, preferencias, ritmos y estilo; singulari- misma velocidad y de la misma manera.dades que marcan lo que somos como indivi- El fenómeno del aprendizaje está directamenteduos y como grupos. vinculado a nuestra personalidad, pues lasNadie mejor que el docente para observar, personas tenemos rasgos cognitivos, afectivosregistrar y evaluar las diferencias en sus alumnos, y fisiológicos que afectan el aprendizaje.con miras a dar una atención diferenciada. Preferencias relativas al modo de instrucción y factores ambientales• Preferencias ambientales: luz, sonido, temperatura, distribución de los pupitres en la clase.• Preferencias emocionales: motivación, simpatía, voluntad y responsabilidad.• Preferencias de tipo social que se refieren a estudiar en grupo, en pares, con adultos, solos o en equipo.• Preferencias fisiológicas: tiempo y movilidad. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial.• Preferencias sicológicas relacionadas con los hemisferios: global, analítico. Preferencias de Interacción Social• Se refieren a la interacción de los alumnos en clase.• Independiente o dependiente del campo.• Colaborativo o competitivo.• Participativo o no participativo. 10
  • 11. Componentes Metodológicos Preferencia en el procesamiento de la información • Factores implicados en la forma en que el alumno asimila la información. • Hemisferio derecho/izquierdo. • Cortical/límbico. • Concreto/abstracto. • Activo/pensativo. • Visual/verbal. • Inductivo/deductivo. Dimensiones de la personalidad • Extrovertidos/introvertidos. • Sensoriales/intuitivos. • Racionales/ Emotivos. Estudiantes con necesidades especialesProhibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. El concepto de necesidades especiales abarca situaciones personales muy diversas tanto de carácter permanente como transitorio. Una vez identificadas, los docentes deberán elaborar propuestas curriculares ajustadas a las características y posibilidades de los estudiantes. Estas adaptaciones afectan al conocimiento, a los medios de acceso al currículo, al tiempo, así como a la metodología y a los recursos. El buen vivir es aceptarnos con nuestras fortalezas y debilidades 11
  • 12. Componentes Metodológicos El uso de situaciones de la vida real como fuente de conocimientoEn la actualidad el concepto de aula se ha abierto a El estudio de casos, los talleres, la observación directatodo el entorno, como un espacio de ilimitada riqueza, de la realidad, el método de encuesta, la entrevista,a partir del cual los estudiantes pueden construir el co- la recopilación de datos, el proyecto, el ensayo, la con-nocimiento individual o grupalmente, con la ayuda del versación informal y formal con expertos, la documen-maestro mediador. tación son estrategias que tienen la virtud de acercar al alumno a la fuente de conocimiento. Por ser viven-Un estudiante puede adquirir el conocimiento por ciales desarrollan en el estudiante destrezas de comu-observación directa e indirecta de la realidad, lo que nicación, le ofrecen seguridad y le ayudan a activarsignifica que lo mismo se puede aprender dentro de un su pensamiento crítico.aula que fuera de ella. Por otra parte, el conocimiento fuera del aula, no seEste concepto de extensión del espacio físico del aula encuentra en compartimentos estanco como sueleha hecho que la metodología de aprendizaje consi- suceder cuando está organizado en la escuela. La inter-dere a la realidad y a la vida cotidiana como fuente de disciplinaridad es una característica de la vida; por loconocimientos; situación que ha tenido un impacto con- tanto, el estudiante encontrará al conocimiento conec-siderable en la metodología del maestro y en su forma tado con diversas áreas del saber.de mediar el aprendizaje. El método de proyecto refuerza destrezas de trabajoTodas las metodologías que llevan al estudiante a in- individual y grupal; enseña responsabilidad, tolerancia,dagar la realidad no solo que son herramientas útiles respeto a las ideas ajenas, valoración de los cono-sino que tienen un especial atractivo para ellos; pues cimientos y destrezas de los otros, pero sobre todolas personas encuentran interesante encontrar el cono- a comprender que en la actualidad nadie es dueño delcimiento por sí mismas. conocimiento. A continuación ponemos un ejemplo de Proyecto. Reflexiono y saco conclusiones persona- les y propongo alternativas de trabajo para que los campesinos tengan trabajo en el campo. 6 Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. Investigo, reflexiono y discuto con Investigo cuáles son las razones por mis compañeros que debería hacer 5 1 las cuales los campesinos dejan sus el gobierno para que los campesinos tierras y vienen a la ciudad. no tengan que dejar el campo. ¿Qué efecto social se produce con la migración del campo a la ciudad?Investigo, reflexiono y discuto con mis 4 2 Investigo aqué trabajos realizancompañeros sobre qué creo que suce- las personas que vienen del campo,de con las tierras y las familias que son a la ciudad.abandonadas por los campesinos. 3 Investigo en dónde se alojan las personas que dejan sus casas en el campo y vienen a la ciudad. 12
  • 13. Componentes Metodológicos El ciclo del aprendizaje en el aula El aprendizaje es un proceso que implica el desarrollo de cuatro pasos didácticos; en cada uno de ellos los maestros pueden desarrollar varios tipos de actividades. Está representado por un círculo que indica que el proceso se inicia y se cierra. El maestro puede comenzar en cualquier fase del ciclo, aunque lo ideal es partir de la experiencia y cerrar con la conceptualización. Experiencia • Activar los conocimientos previos de los alumnos. • Compartir anécdotas y experiencias vividas. • Realizar observaciones, visitas, entrevistas, encuestas, simulacros. • Presentar fotos, videos, testimonios. • Observar gráficos, estadísticas, demostraciones. • Presentar ejemplos reales, noticias, reportajes. • Utilizar preguntas como: quién, dónde, cuándo. • Relacionar lo que los alumnos saben con el nuevo conocimiento. • Utilizar el conocimiento en una • Presentar un mapa conceptual de partida. Aplicación R e f l ex i ó n nueva situación. • Generar la elaboración de hipótesis, • Resolver problemas utilizando nuevos es decir, de provocar desequilibrio conocimientos. cognitivo a través de cuestionamientos. • Utilizar expresiones como: explique, identifi- • Escribir y concluir sobre indagaciones e inves-Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. que, seleccione, ilustre, dramatice, etc. tigaciones realizadas. • Utilizar preguntas como: qué, por qué, qué significa. • Revisar la información y utilizarla para seleccio- nar los atributos de un concepto. • Negociar ideas, discutir sobre lo que es y no es un concepto; argumentación de ideas. • Obtener ideas de lecturas, ensayos, conferencias, películas, etc. • Utilizar mapas conceptuales y otros organizadores. • Utilizar preguntas como: qué significa, qué parte no calza, qué excepciones encuentra, qué parece igual y qué parece distinto. Conceptualización 13
  • 14. Clase modelo 8º año de educación básica Nombre de la lección: La circunferencia Objetivo: formar el concepto de circunferencia. Reconocer los elementos de la circunferencia. Tiempo: 45’- 90’ según el grupo de trabajo Recursos: canción para una ronda, piolas, lanas, clavos, tizas de colores, metro, reglas, platos de diferentes dimensiones, hojas de reciclaje, ob- jetos del entorno de forma circular, envases, maceteros, botellas, tapas, etc., libro de texto y cuaderno. Eje transversal: cuidado del medio ambiente.Paso 1• Salir al patio de la escuela y pedir a los alumnos que se tomen de las manos para jugar a la ronda. Darles la oportunidad de proponer; si no hay propuestas, jugar con la que el docente tiene preparada.• Al terminar la ronda, preguntar a los alumnos qué figura geométrica han formado. Estableciendo la diferencia entre círculo y circunferencia.• Para reafirmar este conocimiento, elegir un alumno cuyos pasos serán el patrón de medida aproximado.• Pedir al alumno, que juega como patrón, que mida con sus pasos la parte más ancha de la circunferen- cia y establezca el centro. Preguntar a los alumnos cómo se llama la línea imaginaria que pasa por el centro y cómo se llama la mitad de esa línea, pues esto lo deben conocer desde la escuela. Preguntar si recuerdan la relación que existe entre esa medida y la longitud de la circunferencia. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial.• Pedir a otro estudiante que se sitúe en el centro y según vayan proponiendo, el alumno que juega como patrón de medida camina desde el lugar que ocupa cualquier alumno en la frontera, hasta el alumno que juega como centro.• Después de hacer algunas mediciones, los alumnos deben concluir que los pasos entre cualquiera de los alumnos de la frontera hasta el centro son aproximadamente los mismos; es decir, esos alumnos equidistan del centro.• Para concluir, colocar una estaca o clavo en el lugar donde se situó el alumno centro anterior y con ayu- da de una piola y tiza de color o un palito cualquiera amarrado en el extremo, pedir que otro alumno trace una circunferencia en el interior de la primera, y que el resto de alumnos trate de acomodarse en la nueva circunferencia. 14
  • 15. Paso 2 De regreso al aula, invitar a los alumnos a reflexionar sobre la experiencia; pedirles que cuen- ten cómo se sintieron y qué aprendieron, dividirlos en grupos de trabajo y pedirles que tracen circunferencias de distintos tamaños en las hojas de reciclaje con ayuda de todos los recursos a su alcance e invitarlos a comprobar si es cierto lo que han experimentado proponiéndoles, por ejemplo, que dibujen una elipse, o cualquier otra figura para que observen que es la circunferen- cia la que cumple con el concepto, puesto que la condición de puntos equidistantes del centro no se cumplirá con otras figuras. Paso 3 Formular preguntas concretas, para conseguir que sean los propios alumnos quienes expresen la definición. Una vez establecido el hecho de que la circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan del centro, presentar los elementos de la circunferencia con ayuda del texto. Paso 4 Proponer ejercicios que permitan al estudiantado, en grupos de trabajo, encontrar estos ele- mentos en circunferencias de distintos tamaños que han trazado. Es importante invitar al estu- diantado a representar otras figuras parecidas a la circunferencia y que puedan comprobar si corresponden o no las definiciones a las que están trabajando en ese momento. Por ejemplo, preguntar lo siguiente. • ¿El cuadrado tiene diámetro? ¿Por qué? • ¿Cuántas circunferencias se pueden trazar con el mismo centro? ¿Qué nombre le pondrías a esta familia de circunferencias con el mismo centro? • ¿Cuántos puntos tiene una circunferencia? • ¿Cuál es la circunferencia de menor radio que puedes trazar? Paso 5Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. Evaluación Técnica: La observación Instrumento: Registro anecdótico, lista de cotejo Tarea: Traza una circunferencia c1 de centro O y radio r = 3 cm . Luego, traza otra circunferencia c2 del mismo radio, pero con centro en uno de los infinitos puntos de la circunferencia c1. a) ¿Se puede afirmar que la circunferencia c2 pasa por el centro de c1? Justifica. b) ¿Cuál es el mayor segmento que se puede construir de forma que sus 2 extremos pertenez- can a las circunferencias c1 y c2? Fundamenta. 15
  • 16. extosDescripción de los tConoce tu libro ulo Inicio de Mód Preguntas y actividadesEntrada al tema general relacionadas con la lectura.del Módulo Activan los conocimientos previos. Un cuestionamiento relacionado con la lectura que activa el pensamientoLa lectura plantea una crítico de el o la estudiante.situación problema,valiéndose de datos Sumak Kawsay. El buen viviry acontecimientos Un concepto kechwa queinteresantes. rechaza la idea del hombre como dueño y señor de la naturaleza y mas bien lo ve como parte de ella. Bloques, destrezas, contenidos que se aprenderán en el mó- dulo de acuerdo a los bloques propuestos por el ME.Preguntas que activan los Destrezas con criterio de desempeño a tratarse enconocimientos previos del cada tema. Conocimiento que se espera que alcancetema. el estudiante al final de cada lección. Contenidos Recuerda consolida el conocimiento concep-Contesta a los estudiantes, tual y procedimentala través de alguna aplica- aprendido.ción práctica, cómo y paraqué usará el contenido de Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial.la lección en la formación Sumak Kawsay. El buende su razonamiento y en vivir, Establece relaciónla vida práctica. con los ejes transversa- les del conocimientoVocabulario recoge elsignificado de las palabras Tic trata sobre ely algunas definiciones y uso de todo tipo deconceptos que consoli- recursos tecnológicos;dan el aprendizaje. búsqueda y extensión del conocimiento. Concepto o teorema define en pocas palabras un tema general. Sí se puede sirve para el desarrollo del pensa- miento lógico y lateral, además de potenciar las destrezas del traba- jo racional unidas a la creatividad. 16
  • 17. Conoce tu libro ación Taller de inte Zona de aplic gración Contiene un sistema Actividad práctica para de ejercicios y proble- ser desarrollada en el mas que facilitan el salón de clase o fuera desarrollo de las des- de él y que permite la trezas y capacidades integración y aplica- generales de trabajo ción de los contenidos matemático. aprendidos. que sé Compruebo lo Actividades de autoevaluación para que el estudiante Con mis palabras es un espacio que tiene el tome conciencia de su estudiante para verbalizar aprendizaje en cada y socializar el aprendizaje uno de los módulos logrado en el módulo. y evalúe sus procesos, determine sus fortale- zas y debilidades.Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. Ejercita el pensamien- Ruta saber to lógico y crítico del estudiante. Prueba estandarizada, que se aplica cada dos módulos, que ayuda al estudiante al desarrollo de su razonamiento y lectura relacionada con lo entrena para interesantes temas de la las pruebas de medi- matemática que ayudan al ción del aprendizaje estudiante a comprender la importancia que tiene esta que aplica el estado asignatura en la transforma- ecuatoriano. ción de la realidad objetiva. 17
  • 18. MÓDULO EL MUNDO EXPRESADO EN NÚMEROS 1 Actividades previas al trabajo del módulo Prueba diagnóstica del grado para verificar las destrezas adquiridas en la escuela en la aplicación de las propiedades del cálculo y las propiedades geométricas elementales. Realizar un análisis de la lectura inicial del módulo. Destrezas con Tema criterio Recomendaciones metodológicas de desempeñoTema 1 • Leer y escribir números Actividades de inicioNúmeros enteros enteros. Representar Por tratarse de un tema muy novedoso para los niños y niñas que comienzan su vida números enteros en la recta secundaria, debe prestarse mucha atención a las actividades iniciales propuestas en• Opuesto de un número numérica. entero el texto para asegurar el nivel de partida.• Formación del conjunto Actividades de desarrollo ‫ ޚ‬de los enteros Es muy importante el concepto de opuesto, que los alumnos reconozcan que es• Recta numérica un concepto bilateral, es decir, a es el opuesto de b, entonces b es el opuesto de a. Procurar que, por ejemplo, al escribir –5, los estudiantes lean el opuesto de 5, en vez de menos 5, pues esto ayuda a la creación de una sólida base semántica.Tema 2 • Comparar números enteros. Actividades de inicioOrden y comparación de Comprender el concepto Es recomendable aquí seguir el orden del libro de texto. Lo importante es comprobarnúmeros enteros de valor absoluto que los estudiantes tienen cierta destreza en representar enteros en la recta numérica. de un número entero.• Valor absoluto de un Actividades de desarrollo número entero Lo esencial es comprender que la representación gráfica de los enteros en la recta• Propiedades elementales numérica nos permite su comparación: de 2 enteros será mayor el que se encuentre del valor absoluto más a la derecha en la recta numérica. Posteriormente, con la formación de destrezas se puede ir prescindiendo de la recta. De aquí deben deducirse las reglas,Tema 3 • Comprender las reglas para Actividades de inicio sumar y sustraer números Este tema es exigente para el estudiante debido a que operará con númerosAdición y sustracción de enteros.números enteros: negativos. Por tanto, el docente debe asegurarse que los alumnos dominan los • Efectuar operaciones conceptos de opuesto y valor absoluto, de lo contrario no tendrá éxito con este• Propiedades de la combinadas de adición adición de números nuevo contenido. Puede comentarse la tarea del tema anterior. y sustracción de números enteros enteros aplicando Actividades de desarrollo propiedades. Debe seguirse la secuencia del texto y las siguientes recomendaciones: Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. • Resolver problemas • Lograr que los alumnos comenten las reglas para sumar enteros. de adición y sustracción de números enteros.Tema 4 • Generar sucesiones aditivas Actividades de inicioRepresentación con números enteros. Situar ejemplos de sucesiones en la vida real, en la naturaleza. Estudiar y comentardecimal de los números Determinar elementos algunas secuencias. Por ejemplo, las lluvias promedio en 10 años en el Ecuador.racionales en sucesiones dadas. Aclarar que no todas estas secuencias tienen el mismo comportamiento. Se puede citar como ejemplo que los cuis se reproducen según la llamada sucesión de• Sucesiones aritméticas Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,… Indicar la importancia que tiene conocer las sucesiones• Fórmula de Gauss para predecir eventos y planificar la economía. Actividades de desarrollo Aclarar que las sucesiones aritméticas son muy especiales, que constituyen unTema 5 • Clasificar, construir y deducir Actividades de inicioÁngulos notables amplitudes de ángulos. Verificar el concepto de ángulo que tienen los estudiantes. Esto se realiza a través de• Concepto, medida un diálogo. Representar la mayor variedad de ángulos posibles en la pizarra y si es y clasificación posible, hacerlo con el infocus o un proyector, antes de leerlo en el texto.• Bisectriz: construcción Actividades de desarrollo• Parejas de ángulos No puede obviarse la demostración que se expone en el texto sobre la igualdad consecutivos y opuestos de los ángulos opuestos por el vértice, pues constituye una línea directriz de la por el vértice enseñanza de la Matemática. Tampoco obviar la justificación de la construcción• Ángulos entre paralelas de la bisectriz. 18
  • 19. Bloques curriculares Relaciones y funciones Numérico Geométrico Recomendaciones Recomendaciones metodológicas Recursos de evaluación La representación en la recta numérica debe fluir normalmente. Fijar la • Regla graduada • Las técnicas evaluativas deben idea de que un número y su opuesto se encuentran a la misma distancia • Texto responder directamente al objetivo del 0 en la recta numérica y aprovechar esta propiedad para inferir que esencial de este tema: comprender –3 está más alejado del 0 que –2 . • Periódicos que contengan el concepto de opuesto de un informaciones que número entero y, con ello, el Es importante que comprendan la relación que existe entre el conocido nos permitan realizar conjunto ‫ }…; 2 ;1 ;0{ = ގ‬de los naturales y el nuevo conjunto ‫ޚ‬ concepto de número entero. interpretaciones de Adicionalmente, desarrollar destrezas de los números enteros: ‫ .}…;3 ;2 ;1 ;0 ;1– ;2– ;3–…{ = ޚ‬De acuerdo cantidades positivas a su formación, ‫ ގ‬ʚ ‫.ޚ‬ en la representación de enteros en la y negativas. recta numérica. Por tanto, seleccionar Actividades de aplicación ejercicios del texto y dejarlos como Ejercicios y actividades propuestas en la zona de aplicación de las tarea. Al día siguiente realizar un páginas 11 y 12 del texto. debate en clases. muy elementales para comparar dos o más números enteros. • Regla graduada • Seleccionar ejercicios del texto y de la Por su aplicación en grados posteriores y, a lo largo de la vida misma, • Texto Guía del docente para proponer tarea. es trascendental el concepto de valor absoluto, tanto gráfico como • Pregunta escrita donde se evalúen analítico. Por el momento, debemos basarnos en su base geométrica, es los conceptos de opuesto y decir, una distancia. Comentar el ejemplo 2 de la página 14; el objetivo valor absoluto por un lado y se es entender el enunciado de estas 2 propiedades. comprueben las destrezas en la Actividades de aplicación comparación y representación de enteros en la recta numérica. Zona de Aplicación de las páginas 15 y 16 del texto • No abusar demasiado de los paréntesis. De entrada, hacer saber que • Regla graduada • Tarea con ejercicios seleccionados de para los números positivos sobreentendemos que tiene un signo +, pero • Texto la Zona de Aplicación y de la Guía del quitarlo inmediatamente. Por ejemplo, si tenemos: docente. (+ 5) + (–7) = 5 + (–7) = –2 • Chapas rojas y verdes o cualquier material que sirva • Pregunta escrita de 2 preguntas: Demostrar la importancia de las propiedades en el cálculo. Por ejemplo, para confeccionar fichas. una para determinar el nivel de cuando calculamos: –2 009 + 10 + (–1) conviene sumar el primero y el El color rojo representa las destrezas alcanzadas en la suma y tercero pues así nos percatamos que el resultado es –2 000 . cantidades negativas y el resta de enteros y la otra para evaluar Actividades de aplicación verde, las positivas. un problema.Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. Zona de Aplicación de las páginas 21, 22 y 23 tipo de sucesión. Es conveniente abordar con los alumnos que, a pesar • Regla graduada • Seleccionar ejercicios de la Zona de de que el 0 es el primer número natural, por facilidad en el conteo • Texto aplicación y de la Guía del docente comenzamos casi siempre por el primer término. Introducir la fórmula para proponer tarea. de Gauss de forma amena e interesante; verlo como una forma diferente • Fichas o algún tipo de material concreto para crear • Proponer una tarea donde cada de pensar. estudiante determine una sucesión en diferentes secuencias. Actividades de aplicación su entorno. Luego se debate en clases Zona de Aplicación en las páginas 27, 28 y 29. Los estudiantes pueden y cada uno defiende su idea. y deben crear sucesiones, no solo numéricas. En este caso, los alumnos deben construir la bisectriz al mismo tiempo • Regla graduada • Prueba del Módulo que aparece en que el docente lo hace en la pizarra. • Graduador la Guía del docente. • Más que medir con exactitud un ángulo, los estudiantes deben • Compás • A través de la participación de los desarrollar la destreza de estimar, por simple observación, la medida alumnos, de la observación de éstos, de un ángulo. Pueden hacerse actividades de este tipo y luego verificar • Proyector o infocus en su actuación durante el desarrollo la estimación usando el graduador. del Proyecto Integrador que se Actividades de aplicación propone para el Módulo. Ejercicios y actividades de las páginas 35 y 36 del texto
  • 20. MÓDULO MEDICIÓN DE LA NATURALEZA 2 Actividades previas al trabajo del módulo Verificar, a través de preguntas, los conocimientos y destrezas que poseen los estudiantes acerca de las unidades de medidas. Proponer un ejercicio sencillo de cálculo donde se combine la adición y la multiplicación. Destrezas con criterio Tema Recomendaciones metodológicas de desempeñoTema 1 • Realizar la multiplicación Actividades de inicioMultiplicación y y división de números enteros Proponer un ejercicio combinado de multiplicación y división de naturales, pordivisión de números aplicando las reglas ejemplo:enteros y propiedades. Calcula 40 ÷ 8 • 3. Este caso deben dominarlo. A continuación se les puede preguntar• Propiedades de la por el siguiente resultado: (–3) (–4). De esta forma motivar la clase. multiplicación de Actividades de desarrollo enteros Lo esencial de este tema es que los alumnos adquieran destrezas en la multiplicación• Ley de los signos y división de números enteros, que es muy parecida a la multiplicación y división con naturales, sólo que ahora se le incrementa la dificultad de los signos.Tema 2 • Resolver operaciones Actividades de inicioOperaciones combinadas de suma, resta, Realizar la siguiente pregunta a los estudiantes: si vamos conduciendo un auto ycombinadas multiplicación y división llegamos a una intersección donde hay un agente del tránsito, ¿a quién obedecemos, de números enteros. al semáforo o al agente? Aprovechar este debate para educar en vialidad a nuestros• Jerarquía de las operaciones alumnos. Al final, debemos obedecer al agente. Actividades de desarrollo. Es claro que al hacer operaciones combinadas surge la pregunta: ¿cuál o cuáles operaciones debo hacer primero? Pues los signos de agrupación nos indican cuáles debo hacer primero. Esto representa al agente del tránsito.Tema 3 • Generar sucesiones con Actividades de inicioSucesiones con multiplicación de números Recordar el concepto de sucesión a través de preguntas y ejemplos prácticos.multiplicación enteros. Demostrar que existen sucesiones que crecen o decrecen más rápido que otras. ¿Qué• Sucesión geométrica sucedería si la población creciera mucha más rápido que la producción de alimentos? A partir de esta pregunta motivar el tema, pues estudiaremos sucesiones que crecen o decrecen mucho más rápido que las aritméticas que ya conocemos del módulo anterior. Actividades de desarrollo Hacer ver la regularidad de las sucesiones geométricas, que ese número fijo o Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. constante por el cual se multiplica se denomina razón o factor de crecimiento.Tema 4 • Reconocer pares ordenados Actividades de inicioPlano cartesiano con enteros y ubicarlos en Recordar el cuadrante cartesiano que estudiaron en la escuela. Mandar a representar el plano cartesiano. algunos puntos y pedir las coordenadas de puntos ya representados. Por ejemplo, se puede dibujar un triángulo y pedir las coordenadas de sus vértices, pero hacerlo todo en el primer cuadrante. Actividades de desarrollo Como hemos estudiado los números enteros y ya conocemos la recta numérica, ahora podemos extender nuestro cuadrante cartesiano y así obtenemos el plano,Tema 5 • Aplicar el teorema de Tales Actividades de inicioProporcionalidad de para calcular longitudes. Sería interesante comenzar el tema explicando el procedimiento que siguió Tales desegmentos Mileto para determinar la altura de la pirámide de Keops en Egipto, hace más de• Razones de segmentos 2 600 años. Usando su bastón (de un metro de largo) y su sombra pudo determinar esa altura con una precisión increíble. En realidad, usó el teorema que lleva su nombre• Teorema de Tales y que se estudiará en este tema. 20
  • 21. Bloques curriculares Relaciones y funciones Numérico Medida Recomendaciones Recomendaciones metodológicas Recursos de evaluación Por tanto, es necesario que los estudiantes comprendan el porqué de la ley de los • Regla graduada • Aquí es recomendable hacer la signos y no se aprenda como algo ya establecido. Así, por ejemplo, debe usarse • Texto mayor cantidad de ejercicios en el concepto de opuesto para concluir que: ( – ) • ( – ) = + . Se puede preguntar al clase y seleccionar de la Zona de estudiante por el opuesto del opuesto de 3, es decir, -–( –3) y este resultado es 3 . Aplicación y de la Guía del docente De aquí se puede inferir la regla anterior. Hacer hincapié en la importancia de la un sistema de 5 ejercicios para propiedad distributiva para racionalizar el cálculo. dejarlos como tarea. Actividades de aplicación Ejercicios y actividades propuestas en la Zona de Aplicación de las páginas 47 y 48 del texto. Pero, ¿qué sucede cuando no hay signos de agrupación (no hay agentes del • Semáforo de cartón • Seleccionar ejercicios del texto y de tránsito)? • Texto la Guía del docente para proponer Entonces existe un convenio internacional que llamaremos Jerarquía de las tarea. operaciones (en el ejemplo son los semáforos) que nos plantea qué operación • Pregunta escrita donde se evalúen realizamos primero. las operaciones combinadas con Debe prestarse mucha atención a la jerarquía de las operaciones, proponiendo enteros; con y sin los signos de la mayor variedad de ejercicios posibles para afianzar las destrezas. agrupación. Actividades de aplicación Zona de Aplicación de la página 51 del texto Deducir la fórmula que aparece en el texto, que debe memorizarse, pero • Regla graduada • Tarea con ejercicios seleccionados razonando. Lo más importante aquí es la idea y no la memorización de fórmulas, • Texto de la Zona de Aplicación y de la Guía por lo tanto, en los ejercicios y problemas hay que proporcionarle al estudiante las del docente. fórmulas que sean necesarias. • Pregunta escrita de 2 preguntas: una Actividades de aplicación para determinar el nivel de destrezas Zona de Aplicación de las páginas 54 y 55 alcanzadas con las sucesiones geométricas y otra para evaluar el nivel de razonamiento con una sucesión que no sea aritmética ni geométrica; que se obtenga a travésProhibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. de operaciones combinadas. ,675,%8&,Ï1 *5$78,7$  352+,%,$ 68 5(3528&&,Ï1 el cual tiene ahora cuatro cuadrantes. En esta parte es muy importante desarrollar • Regla graduada • Seleccionar ejercicios de la Zona de destrezas en los 2 sentidos: ubicar pares dados en el plano cartesiano y, dados • Texto Aplicación y de la Guía del docente los puntos representados, escribir sus coordenadas. Debe lograrse que cuando para proponer tarea. el estudiante observe las coordenadas de un punto ya sepa en qué cuadrante • Material concreto se ubicará. Por ejemplo, (3; –7) está en el cuarto cuadrante porque la abscisa es para crear sistemas positiva y la ordenada es negativa. coordenados como el que aparece en Actividades de aplicación el ejercicio 3 de la Zona de Aplicación en las páginas 59 y 60 página 60. Actividades de desarrollo • Regla graduada • Examen trimestral que aparece Es importante seguir el orden del texto porque sería imposible entender el • Graduador en la Guía del docente. teorema de Tales si no tenemos el concepto de razón de segmentos y el de pares • Compás • Hacer una exposición y debate de segmentos proporcionales. Más importante aún es que los alumnos tengan una de actividades seleccionadas representación mental clara de lo que es una razón: cantidad de veces que cabe • Proyector o infocus de Ruta Saber. una magnitud en otra y es por eso que no tienen unidades de medidas. Actividades de aplicación Ejercicios y actividades de las páginas 65 y 66 del texto 21
  • 22. MÓDULO LA MATEMÁTICA EN NUESTROS ANTEPASADOS 3 Actividades previas al trabajo del módulo Pedir a los estudiantes que construyan un triángulo y señalen todos sus elementos. Destacar que el triángulo es el polígono más simple que existe y que todo polígono puede descomponerse en triángulos. Destrezas con criterio Tema Recomendaciones metodológicas de desempeñoTema 1 • Expresar un enunciado simple Actividades de inicioVariables en lenguaje matemático. Seguir el orden y el ejemplo que aparece en el texto. De cierta manera, los• Traducción de expresiones estudiantes ya conocen las variables aunque no saben con certeza su significado del lenguaje común al y su gran aplicación. Por ello, es conveniente dejar fluir la idea de su utilización algebraico y viceversa paulatinamente. Actividades de desarrollo Lo esencial aquí será que los estudiantes interpreten cuál es la variable en un enunciado común simple. Tener presente que generalmente se trabajará con enunciados que se puedan escribir con una sola variable y que los ejemplosTema 2 • Utilizar el lenguaje simbólico Actividades de inicioRazonamiento para representar proposiciones Iniciar el tema diciendo: Hoy aprenderemos Matemática y comeremos galletas.matemático gramaticales y estructurar un Luego procurar un debate en torno a la veracidad de dicha afirmación; ¿cuándo razonamiento. será falsa?• Proposiciones• Conectivos lógicos. En Actividades de desarrollo especial la conjunción, la Es la primera vez que los alumnos expresarán mediante símbolos sus disyunción y la negación. razonamientos y expresiones gramaticales. Esto es como un nuevo idioma para ellos. Luego, debe lograrse la fijación de los símbolos ∧, ∨, ¬ pues son los que más necesitarán por el momento.Tema 3 • Comprender las propiedades Actividades de inicioTriángulos universales de los triángulos, Pedir a los estudiantes que construyan un triángulo cuyos lados midan 7 cm, 4 cm reconocerlas en casos y 2 cm respectivamente. Después de varios intentos, comprobarán• Notación y clasificación concretos y aplicarlas que esto es imposible y con ello se motiva el tema. Ese triángulo no existe porque• Suma de los ángulos en ejercicios de cálculo, las medidas de sus lados no cumplen la desigualdad triangular. interiores de un triángulo demostración y construcción Ángulo exterior geométrica. Actividades de desarrollo• Desigualdad triangular Demostrar paso a paso que la suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es igual a 180º porque es una buena oportunidad de realizar una• Relación entre un lado y el demostración matemática y aplicar lo que ya estudiaron en módulos anteriores. ángulo opuesto Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial.Tema 4 • Definir y representar Actividades de inicioRectas y puntos notables bisectrices, medianas, Pedir que recorten un triángulo de cartón; cada alumno tendrá un triángulodel triángulo mediatrices y alturas en un diferente. Luego, con una punta muy fina (compás), deben intentar mantenerlo en triángulo cualquiera, así como equilibrio buscando para ello un punto crítico en el interior del triángulo; ese punto• Bisectrices los puntos que determinan es el centro de gravedad. Así motivamos el tema.• Medianas estas líneas notables del triángulo. Actividades de desarrollo• Mediatrices Con las llamadas rectas y puntos notables los triángulos adquieren vida. Insistir que• Alturas las bisectrices son semirrectas, las medianas son segmentos, las mediatrices son rectas y las alturas son segmentos, pero en general le llamamos rectas.Tema 5 • Determinar medidas Actividades de inicioMedidas y establecer relaciones entre Preguntar a los estudiantes: ¿Cómo serían las relaciones en nuestro mundo si no éstas. Conocer y aplicar existieran las medidas? Barajar esta importancia en una conversación de clases.• Longitud, superficie el Sistema Internacional y volumen de Medidas. Actividades de desarrollo• Unidades de masa De cierta manera los estudiantes conocen las medidas de la enseñanza primaria, pero en este nivel deben sistematizarse. Es por ello que deben diferenciarse las unidades. 22
  • 23. Bloques curriculares Relaciones y funciones Geométrico Medida Recomendaciones Recomendaciones metodológicas Recursos de evaluación deben ser simples para que puedan comprender semánticamente lo que hacen. • Regla graduada • Seleccionar ejercicios y problemas de Hacer notar que, por ejemplo, cuando escribimos a • b = b • a todos reaccionan • Texto la Zona de Aplicación y de la Guía del inmediatamente y nombran la propiedad conmutativa de la multiplicación, lo docente para dejarlos como tarea. • Lápices de colores cual es correcto, pero lo esencial es que esas 2 variables representan cualquier pareja de números enteros. Actividades de aplicación Ejercicios y actividades propuestas en la Zona de Aplicación de las páginas 78 y 79 del texto. El estudio de la lógica no puede convertirse en el centro del aprendizaje • Regla graduada • Seleccionar ejercicios del texto matemático, sin embargo, es una herramienta que nos permite comprender • Texto y de la Guía del docente para conceptos, teoremas y procedimientos diversos. Si el docente considera oportuno proponer la tarea. puede abundar un poco más en las condicionales porque todos los teoremas que • Pregunta escrita de 3 actividades: estudiarán sus alumnos están escritos en ese lenguaje. Lo más importante aquí no es que memoricen tablas de verdad, sino que desarrollen destrezas en la escritura a) Uso de las variables simbólica de ciertas proposiciones. b) Uso de los conectivos lógicos Actividades de aplicación c) Ejercicio de razonamiento lógico Zona de Aplicación de las páginas 84 y 85 del texto Se va formando la convicción de que las afirmaciones requieren ser demostradas. • Regla graduada • Pregunta escrita donde se evalúen Deben quedar muy claras las 3 propiedades llamadas universales de los • Graduador las propiedades universales de triángulos: suma de los ángulos interiores, desigualdad triangular y relación los triángulos estudiadas. Pueden entre un lado y el ángulo opuesto. La notación para los triángulos debe fijarse • Compás que seleccionarse ejercicios de la Zona de previamente pues sin ella no es posible comprender las propiedades. se usará para Aplicación y de la Guía del docente. transportar Actividades de aplicación longitudes. • Elaborar ejercicios similares, pero Zona de Aplicación de las páginas 92 y 93 del texto debe tener cuidado de no exceder • Texto los límites o niveles del aprendizaje. Por ejemplo, en este nivel no deben ponerse ejercicios complejos de construcción geométrica.Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. ,675,%8&,Ï1 *5$78,7$  352+,%,$ 68 5(3528&&,Ï1 Lo más impresionante es que todos los triángulos tienen estas rectas notables • Regla graduada • Seleccionar ejercicios de la Zona de y que siempre, en todos los casos sin importar la forma del triángulo escogido, • Compás Aplicación y de la Guía del docente se cortan en un único punto. para proponer tarea. • Texto Los alumnos deben desarrollar destrezas en el trazado de estas rectas notables, especialmente en el trazado de las alturas debido a la aplicación que tienen éstas • Cartón de tamaño en el cálculo de áreas de figuras planas. regular para cada estudiante Actividades de aplicación • Tijera Zona de Aplicación en las páginas 97 y 98 del texto de longitud (una sola dimensión), de superficie (2 dimensiones) y de volumen • Regla graduada • Prueba del módulo que aparece (3 dimensiones). Aclarar que en la práctica, cuando calculamos, no ponemos • Texto en la Guía del docente. las unidades de medidas en cada paso del proceso, pero finalmente estamos • Hacer exposición y debate de claros de cuál será la unidad final. Si alcanza el tiempo, deben diferenciarse los • Balanza de dos platillos para actividades seleccionadas de Ruta conceptos de masa y peso. Es importante calcular la masa de algunos cuerpos Saber. usando una balanza. obtener la masa de algunos sólidos. Actividades de aplicación Ejercicios y actividades de las páginas 103 y 104 del texto 23
  • 24. MÓDULO EL MUNDO DE LAS FORMAS 4 Actividades previas al trabajo del módulo Provocar un debate en el aula de clases acerca de objetos que tienen exactamente la misma forma, pero diferentes tamaños. Citar ejemplos de la vida real, por ejemplo las plantas bonsái. Destrezas con criterio Tema Recomendaciones metodológicas de desempeñoTema 1 • Determinar potencias de Actividades de inicioPotenciación de números números enteros y aplicar sus Recordar el concepto de potencia como una multiplicación abreviada.enteros propiedades para simplificar expresiones. Actividades de desarrollo• El exponente negativo No son nuevas las potencias para los estudiantes, sin embargo, hay que afianzar el• Las potencias de base 10 concepto. Extender las propiedades al nuevo conjunto de números que conocen los alumnos: el conjunto ‫ ޚ‬de los números enteros.Tema 2 • Determinar raíces de enteros Actividades de inicioRadicación de números y aplicar sus propiedades Pedir a los estudiantes que determinen el valor del número x conociendo que:enteros para simplificar expresiones matemáticas. x • x • x • x • x = 32. Aquí primero debe aplicar el concepto de potencia estudiado• Propiedades de las raíces anteriormente y luego pensar “hacia atrás”. El resultado será x = 2 Actividades de desarrollo Entonces, la radicación es una operación inversa de la potenciación y sirve para determinar las bases o raíces (por eso se llama radicación). El docente notará que se plantea una operación inversa, en vez de, la operación inversa. Esto se debe a que la potenciación tiene 2 operaciones inversas: radicación (para hallar las bases) y logaritmación (para hallar los exponentes), pero esta última se estudiará en el bachillerato.Tema 3 • Deducir y aplicar fórmulas Actividades de inicioFactorizando trinomios para el cálculo del perímetro Recordar cómo se determinan las alturas en un triángulo cualquiera y recalcar que y el área del triángulo. en el triángulo rectángulo 2 de las alturas del triángulo coinciden con sus catetos:• Fórmula general para el área de un triángulo: un cateto es la altura del otro cateto. dado un lado y su altura Actividades de desarrollo respectiva ᐉ • hᐉ Lo esencial en este tema es la comprensión cabal de la fórmula A = _____ ,• Fórmula de Herón 2 su interpretación y su aplicación, porque en muchos casos no se ha tratado• Otras fórmulas para Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. correctamente en la escuela. determinar el área de un triánguloTema 4 • Reconocer la congruencia Actividades de inicioCongruencia de de triángulos y aplicar Recordar los elementos de un triángulo y preguntar: ¿Será necesario que todos lostriángulos estos conocimientos en la pares de elementos homólogos sean iguales para asegurar que 2 triángulos son resolución de problemas. congruentes?• Criterios de congruencia de triángulos Actividades de desarrollo La pregunta anterior motiva a trabajar para encontrar criterios que racionalicen la demostración de que 2 triángulos son iguales o congruentes.Tema 5 • Reconocer triángulos Actividades de inicioSemejanza de triángulos semejantes y reconocer el Recordar los criterios de congruencia de triángulos.y factor escala factor escala en triángulos semejantes. Actividades de desarrollo• Teorema fundamental de A diferencia de la congruencia de triángulos, donde lo esencial es demostrar la semejanza y aplicar los criterios en la resolución de problemas, en la semejanza lo principal es determinar el factor escala entre figuras o cuerpos semejantes. Es básico que los alumnos reconozcan que si 2 triángulos son semejantes y el factor escala es k, entonces el perímetro de uno de ellos es k veces el perímetro del 24
  • 25. Bloques curriculares Numérico Geométrico Medida Recomendaciones Recomendaciones metodológicas Recursos de evaluación Así, surgirá de manera natural la pregunta acerca del resultado de un cociente de • Texto • Seleccionar ejercicios y potencias de igual base cuando el exponente del denominador sea mayor que el problemas de la Zona de exponente del numerador. Seguir la secuencia del texto para arribar a la propiedad Aplicación y de la Guía del de los exponentes negativos, la cual debe ejercitarse suficientemente. Demostrar que docente para dejarlos como cuando le escribimos a un número el exponente –1 estamos expresando su recíproco. tarea. Actividades de aplicación Ejercicios y actividades propuestas en la Zona de Aplicación de las páginas 114 y 115 del texto En este año debe quedar claro que las raíces de cualquier índice tienen un único • Texto • Seleccionar ejercicios del resultado. Que la raíz de índice par de un número negativo no existe y que la raíz de texto y de la Guía del docente índice par de un número positivo es siempre positiva. Por ejemplo; 9 = 3 . para proponer tarea. El docente debe estar muy atento al desempeño individual de los alumnos pues, con • Pregunta escrita para evaluar frecuencia, se aplican mal las propiedades de los radicales. Por ejemplo, los alumnos potencias y raíces. tienden a escribir que: a + b = a + b lo cual es un grave error. Actividades de aplicación Zona de Aplicación de la página 119 del texto Debe comprenderse que el área es el semiproducto de un lado (cualquiera) por su • Regla graduada • Pregunta escrita para altura correspondiente, desterrando así la vieja y engañosa fórmula de base por altura • Texto evaluar exclusivamente la sobre 2. Es conveniente hacer en clases los ejercicios 2 y 15 de la Zona de Aplicación. fórmula principal del área Las otras fórmulas no deben memorizarse, simplemente comprenderse. del triángulo. Lo principal no Actividades de aplicación es que el estudiante calcule mucho, sino que piense Zona de Aplicación de las páginas 124 y 125 del texto mucho.Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. Basta el siguiente ejemplo: si 2 triángulos tienen 2 parejas de ángulos iguales, • Regla graduada • Seleccionar ejercicios de ,675,%8&,Ï1 *5$78,7$  352+,%,$ 68 5(3528&&,Ï1 entonces los terceros ángulos son iguales. Así surgen los criterios. Sígase el orden • Compás y graduador. la Zona de Aplicación y de y los ejemplos del texto para realizar los ejercicios de demostración. Explicar que la la Guía del docente para congruencia de triángulos es una herramienta poderosa para demostrar muchas • Texto proponer tarea. propiedades geométricas. Debe trabajarse con material concreto (triángulos iguales • Cartón de tamaño de cartón) para ubicarlos en distintas posiciones y verificar que lo importante son sus regular para cada dimensiones. estudiante Actividades de aplicación • Tijera Zona de Aplicación de las páginas 131 y 132 del texto otro, mientras que el área es k2 veces. Para el volumen de 2 cuerpos semejantes se • Regla graduada • Examen trimestral que tendrá k3. • Texto aparece en la Guía del A pesar de que existen criterios similares para demostrar que 2 triángulos son docente. • Escuadras para trazar semejantes, interesa especialmente el teorema fundamental de la semejanza con rectas paralelas su demostración. Finalmente, sería conveniente que con sus palabras los alumnos manifiesten que 2 triángulos son semejantes si tienen la misma forma y que para ello basta que sus pares de ángulos homólogos sean iguales. Actividades de aplicación Ejercicios de la página 136 del texto 25
  • 26. MÓDULO LA MAGIA DEL CÍRCULO 5 Actividades previas al trabajo del módulo A través de ejemplos sencillos establecer la diferencia entre figuras planas y cuerpos geométricos. Las primeras se desarrollan en un plano, mientras que los cuerpos tienen 3 dimensiones. Destrezas con criterio Tema Recomendaciones metodológicas de desempeñoTema 1 • Resolver operaciones Actividades de inicioCálculo con números combinadas de adición, Recordar la jerarquía de las operaciones a través de un ejemplo sencillo.enteros multiplicación, potenciación y radicación con números Actividades de desarrollo• Ecuaciones literales de enteros. Lo principal en este tema es desarrollar destrezas en el cálculo a través del primer grado desarrollo de operaciones combinadas. Es importante lograr el trabajo• Ecuación de primer grado independiente de los alumnos porque en esta etapa del año lectivo ya deben con radicales trabajar solos.Tema 2 • Reconocer los elementos Actividades de inicioLa circunferencia de la circunferencia y aplicar Aunque los estudiantes ya tienen nociones claras sobre la circunferencia, procedimientos para el es necesario definir esta importante figura. Procurar que sean los propios• Elementos de la cálculo de su perímetro. circunferencia estudiantes quienes definan circunferencia como un lugar geométrico. Establecer la diferencia entre círculo y circunferencia.• El número π Actividades de desarrollo• Perímetro de la circunferencia Usar un proyector o infocus para ilustrar los elementos de la circunferencia. Luego pedir a los alumnos que tracen circunferencias en sus cuadernos y que reproduzcan algunos de estos elementos. Dar la importancia que merece el número π, haciendo su historia y lo que resulta imprescindible: su definición.Tema 3 • Aplicar teoremas para calcular Actividades de inicioÁngulos en la amplitudes de ángulos Recordar el concepto de ángulo y los diferentes tipos de ángulos segúncircunferencia en la circunferencia. su medida.• Ángulo central Actividades de desarrollo• Ángulo inscrito y Es esencial aquí la relación entre el ángulo central y el ángulo inscrito: el ángulo seminscrito inscrito tiene la mitad de la amplitud del ángulo inscrito correspondiente.• Arco capaz Esto se debe a la gran cantidad de aplicaciones que tiene posteriormente este contenido. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial.• Ángulos interiores y exteriores a la circunferenciaTema 4 • Emplear procedimientos para Actividades de inicioÁrea del círculo determinar el área del círculo Pedir a los estudiantes que expresen la diferencia entre círculo y circunferencia, y aplicarlo en la resolución provocar debate y concluir. En la circunferencia no podemos hablar de área,• Sector circular de problemas afines. pero en el círculo si.• Corona circular Actividades de desarrollo• Segmento circular Por causa del tiempo y el desarrollo de los estudiantes no es conveniente hacer• Trapecio circular una demostración de la fórmula para el área del círculo, pero ya saben que tiene que estar relacionada con el número π.Tema 5 • Deducir y aplicar fórmulas Actividades de inicioCuerpos geométricos para calcular el volumen Trabajar con material concreto. Armar cuerpos geométricos, especialmente de prismas y cilindros. poliedros y cilindros.• Volumen de prismas y cilindros Actividades de desarrollo Del trabajo con material concreto llevar a los alumnos al concepto de prisma (luego al de cilindro) y manejar el volumen de estos cuerpos como se muestra en el texto. 26
  • 27. Bloques curriculares Numérico Geométrico Medida Recomendaciones Recomendaciones metodológicas Recursos de evaluación No importa inicialmente que el resultado final no sea el correcto, lo interesante es • Texto • Seleccionar ejercicios y que el propio estudiante descubra dónde estuvo su error. Para esto es recomendable problemas de la Zona que el docente desarrolle en la pizarra un ejercicio, con errores intencionales, para de Aplicación y de la que los alumnos critiquen los procedimientos. Guía del docente para Actividades de aplicación dejarlos como tarea. Ejercicios y actividades propuestas en la Zona de Aplicación de las páginas 147 y 148 Practicar la coevaluación, del texto. intercambiando los cuadernos. • Pregunta escrita sobre operaciones combinadas. Pedir a los estudiantes que tracen circunferencias en sus cuadernos, de diferentes • Proyector o infocus • Seleccionar ejercicios diámetros; luego, usando la regla y una piola que midan la longitud de la • Texto del texto y de la Guía del circunferencia y dividan este resultado por el diámetro. Increíblemente, en todos docente para proponer los casos, el resultado será 3 y un poquito más. Por eso, ese valor es constante y en • Regla graduada tarea. honor a los griegos se le llamó π. Inmediatamente después se plantea que • Compás • Proponer como tarea L = π • d o lo que es lo mismo, L = 2π r con lo que obtenemos de forma natural la • Piolas (serán usadas para colectiva, por equipos, fórmula para determinar la longitud o perímetro de la circunferencia. Hacerlo de esta recorrer el perímetro de medir la longitud de la manera hace que los alumnos recuerden esta fórmula razonándola, es decir, usando la circunferencia, luego circunferencia descrita por una memoria analógica. estirarlas y medirlas con la algún objeto de la realidad Actividades de aplicación regla (una tapa cilíndrica por Zona de Aplicación de las páginas 152 y 153 del texto ejemplo). En especial, cuando un ángulo está inscrito en el diámetro de una circunferencia es • Regla graduada • Pregunta escrita para recto (teorema de Tales). El resto de los casos debe tratarse como lo muestra el texto, • Compás evaluar el desarrollo pero no debe tener el peso del ángulo inscrito. Es importante desarrollar ejercicios de destrezas en la diversos pues los alumnos siempre muestran dificultades en determinar el arco • Texto determinación de en el cual están inscritos los ángulos, sobre todo cuando hay figuras “complicadas” Nota: A pesar de trabajar amplitudes de ángulos en para ellos, es decir, con más de 2 ángulos señalados dentro de la circunferencia. Es con ángulos, en este caso la circunferencia. importante hacer notar que un arco de circunferencia puede medirse de 2 maneras: no usamos graduador pues por su amplitud y por su longitud la medida nunca podrá y como la longitud depende del radio, nos da mejor idea medirlo por su amplitud. ser la que obtenemosProhibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. ,675,%8&,Ï1 *5$78,7$  352+,%,$ 68 5(3528&&,Ï1 Actividades de aplicación por medición, sino por deducción de los datos Zona de Aplicación de las páginas 158 y 159 del texto dados. Es muy importante que comprendan las restantes fórmulas para encontrar el área • Regla graduada • Seleccionar ejercicios de de las partes importantes del círculo, especialmente el área del sector circular, • Compás la Zona de Aplicación y de debido a las aplicaciones que tiene esta parte del círculo. Sin embargo, nunca la Guía del docente para debe pretenderse que memoricen fórmulas pues se perdería la esencia de lo que • Texto proponer tarea. se persigue: que razonen cada una de las fórmulas encontradas. Incluso, debemos preparar al estudiante para que, en un momento dado, pueda deducir estas relaciones. Actividades de aplicación Zona de Aplicación en las páginas 163 y 164 del texto Si el tiempo lo permite trabajar el área lateral de estos cuerpos, especialmente • Regla graduada • Prueba de módulo que de los prismas. Es muy importante que los alumnos trabajen con diferentes tipos • Compás aparece en la Guía del de prismas (diferentes bases) y en diferentes posiciones, pues esto les permitirá docente. desarrollar destrezas en el cálculo y ayudará a una mejor representación espacial del • Texto entorno. • Juego de cuerpos, Actividades de aplicación especialmente poliedros, desarrollados para Ejercicios de las páginas 169 y 170 del texto armarlos en clase 27
  • 28. MÓDULO TRABAJO CON VARIABLES 6 Actividades previas al trabajo del módulo A través de una conversación de clases, investigar el nivel de destrezas desarrolladas en el cálculo con números enteros pues este contenido resulta imprescindible para comprender el presente módulo. Destrezas con criterio Tema Recomendaciones metodológicas de desempeñoTema 1 • Reconocer, agrupar y reducir Actividades de inicioTrabajo con variables monomios homogéneos. Se sabe que 4 • 3 = 3 • 4, también (–6) • 2 = 2 • (–6) y así sucesivamente, cada par• Término algebraico de números que seleccionemos cumple esta propiedad. ¿Cómo hacemos en Matemática para simbolizar que esta propiedad (conmutativa del producto) se• Monomios cumple para cualquier pareja de números? Usamos variables. A partir de aquí• Términos semejantes motivar el uso de las variables y comenzar el tema.• Suma y resta de Actividades de desarrollo monomios Hacer hincapié en el concepto de términos semejantes. Debe situarse una• Evaluación de expresiones cantidad suficiente de ejemplos para que los alumnos afiancen el concepto. algebraicasTema 2 • Realizar operaciones Actividades de inicioOperaciones combinadas combinadas de suma, resta Realizar lo propuesto en el texto. Es muy importante ofrecer una interpretacióncon monomios y multiplicación de geométrica a toda actividad que se realice numérica y algebraicamente. El docente monomios. tiene que hacer ver al estudiante que la base semántica de la ciencia matemática• Multiplicación de monomios se encuentra, casi siempre, en la geometría. Adicionalmente, se debe recordar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, usando números exclusivamente.Tema 3 • Calcular y contrastar Actividades de inicioFrecuencias absolutas y frecuencias absolutas y Recordar el cálculo porcentual. Llevar diarios o publicaciones donde se usen lasrelativas acumuladas en una serie frecuencias y resultados estadísticos para realizar un estudio colectivo de datos. y debate en el aula sobre la importancia de la estadística para comprender el mundo• Simetría de figuras geométricas que nos rodea. Escoger un tema de actualidad nacional para realizar una lectura matemática del mismo. Seleccionar: calentamiento global, nivel de precipitaciones en Ecuador, salud, educación, construcción de viviendas, etc. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial.Tema 4 • Determinar sumas de Actividades de inicioFórmula de Gauss números naturales a través Pedir a los estudiantes la suma de los números naturales del 1 al 5. Luego, pedir la de la fórmula de Gauss. suma de todos los dígitos, luego la suma de todos los números naturales del 1 al 39. Ya conocen la fórmula de Gauss, pero en este tema tratarán diversas aplicaciones. Actividades de desarrollo Explicar la importancia que tiene esta fórmula para el cálculo en general y que no solo se aplica con números, sino también con figuras y arreglos diferentes, tal como se muestra en el texto.Tema 5 • Aplicar principios básicos Actividades de inicioTécnicas de conteo de conteo en la resolución Preguntar cuántos números naturales hay en la siguiente sucesión: de problemas diversos.• Principio de multiplicación 8, 9, 10,11… 20; Es muy posible que realicen la operación 20 – 8 = 12 para ofrecer• Principio de adición la respuesta. Sin embargo, el resultado es incorrecto. Mostrar que aquí se aplica una técnica muy simple y básica del conteo; a esa diferencia se le suma siempre 1, por• Permutaciones tanto, la sucesión dada tiene 13 números. Este ejemplo muestra lo amplio• Otras técnicas de conteo e importante que resulta el tema de estudio. 28
  • 29. Bloques curriculares Numérico Relaciones y funciones Estadística Recomendaciones Recomendaciones metodológicas Recursos de evaluación De igual manera, explicar que como estas variables representan números, cada • Texto • Seleccionar ejercicios y expresión algebraica toma un valor numérico si sustituimos la o las variables para problemas de la Zona valores específicos. Esto es muy importante porque, generalmente, los estudiantes se de Aplicación y de la adentran en el estudio del álgebra y olvidan el origen de las letras que ahí se usan. Guía del docente para Actividades de aplicación dejarlos como tarea. Practicar la coevaluación, Ejercicios y actividades propuestas en la Zona de Aplicación de las páginas 181 y 182 intercambiando los del texto. cuadernos. Actividades de desarrollo • Texto • Seleccionar ejercicios Este contenido, inicialmente, no muestra mayores dificultades para el estudiante, salvo • Regla graduada del texto y de la Guía del los problemas que se derivan de la aplicación de las propiedades de las potencias docente para proponer cuando multiplican monomios. Sin embargo, cuando combinan la suma algebraica tarea. con la multiplicación a veces se confunden. Por eso, es importante hacer la mayor • Realizar una pregunta cantidad de ejercicios posibles en clases, dejando sólo algunas dificultades menores escrita, evaluando por para el trabajo en la casa. Se recomienda discutir en el aula el ejercicio 5 de la página niveles los resultados 187 pues muestra algunas dificultades propias del álgebra y las variables. alcanzados. Es decir, desde Actividades de aplicación el nivel reproductivo hasta el nivel crítico. Esto puede Zona de Aplicación de las páginas 186 y 187 del texto ser a través de 3 preguntas. Actividades de desarrollo • Regla graduada • Enviar como tarea un Lo esencial es que los alumnos comprendan los conceptos de frecuencia absoluta y • Compás trabajo de investigación relativa y puedan aplicar éstos en la organización de datos estadísticos y resolución estadística sobre algún • Texto tema de actualidad. de problemas. La interpretación de gráficos debe fluir normalmente. Dejar en libertad al estudiante para elabore el gráfico que considere más apropiado al problema en • Periódicos, revistas cuestión. El más importante de los parámetros estadísticos para este nivel es la media y publicaciones aritmética, donde más que la fórmula lo importante es la idea que se tenga de la media. seleccionadas por el docente Actividades de aplicaciónProhibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. ,675,%8&,Ï1 *5$78,7$  352+,%,$ 68 5(3528&&,Ï1 Zona de Aplicación de las páginas 193 y 194 del texto Más allá del desarrollo de destrezas en la aplicación de la fórmula se busca el desarrollo • Regla graduada • Seleccionar ejercicios de del pensamiento en general, analizando cada caso como un nuevo reto. Se puede • Texto la Zona de Aplicación y proponer un ejercicio como el que sigue: de la Guía del docente Calcular: 2 + 5 + 8 +…+ 47 . Aquí, los términos que debemos sumar forman una para realizar una pregunta sucesión aritmética, por tanto la suma es calculable a través de fórmulas específicas. escrita, dando la libertad Sin embargo, usando Gauss es mucho más rápido e interesante. Basta expresar la misma al estudiante de escoger suma como: (1 • 3 – 1) + (2 • 3 – 1) + (3 • 3 – 1) +…+ (16 • 3 – 1) el camino que entienda conveniente para Actividades de aplicación encontrar las soluciones. Zona de Aplicación de la página 198 del texto Actividades de desarrollo • Regla graduada • Examen trimestral que Dar prioridad al principio de multiplicación como técnica básica del conteo. Seguir la línea del • Texto aparece en la Guía del texto. Para trabajar con las permutaciones, asegurar el concepto de factorial de un número docente. porque resulta algo nuevo para el estudiante. Actividades de aplicación Ejercicios de la página 202 del texto 29
  • 30. Sistema de evaluación El sistema de evaluación en los textosEnfatiza que los docentes deben evaluar en forma sistemática lo que el alumno es capaz de hacer al enfrentarse adiversas situaciones y problemas.Al seleccionar las técnicas de evaluación se deben preferir aquellas que ayuden al maestro a seguirel proceso de aprendizaje de un estudiante.El ME sugiere aplicar las siguientes técnicas: Instrumentos de evaluación· Observación directa del desempeño de los · Mapas mentales estudiantes. · Método de caso· La valoración de la defensa de las ideas. · Proyectos· La utilización de los diferentes puntos de vista. · Diario· Argumentación sobre conceptos e ideas teóricas. · Debate· Explicación de los procesos realizados. · Técnica de la pregunta· Solución de problemas. · Portafolio· Producción escrita que refleje procesos reflexivos del · Ensayo alumno. · Lista de cotejo· Realización de pruebas. · Rúbricas · RangosSiguiendo los lineamientos del ME, hemos concebido Pruebas de Unidad, están pensadas para seguir uny organizado el proceso de evaluación de dos maneras: tramo corto del proceso de aprendizaje que dan cuen- ta sobre las debilidades y fortalezas de conocimientoEvaluación en el texto del estudiante: frente a temas concretos.Una evaluación endógena pensada para que sean Pruebas Acumulativas Trimestrales para que el do-los propios alumnos los que realicen el seguimiento cente pueda conocer qué ha aprendido el estudiantey valoración de su proceso de aprendizaje. Mediante, lo Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. en un período más largo y pueda tomar decisionesque aprendí. cómo dar explicaciones adicionales, tutorías de alum-En la Guía del Maestro: nos aventajados, presentar el conocimiento por medio de otros recursos, revisar los aspectos que generan tra-Una evaluación exógena, que proviene del maestro, bas en el conocimiento, entre otras técnicas.y que sirve para conocer el grado de apropiación porparte del alumno del conocimiento, y por otra, para Sugerencias para el manejo de las Pruebas de Mó-concretizar la observación del proceso en parámetros dulo y Trimestrales.traducibles a notas. Mediante: La Guía del maestro presenta a los docentes modelosPrueba de Diagnóstico, con el objetivo de que el pro- de pruebas. Espera que las utilicen como ejemplos; losfesor obtenga una idea general sobre los conocimien- docentes deberán diseñar las suyas de acuerdo con lastos previos de los alumnos y si tienen o no los prerre- características, nivel y ritmo de los alumnos en su clase.quisitos que se necesitan para los nuevos aprendizajes. 30
  • 31. ueba de dia gnóstico Pr Nombre: Fecha: Año: Paralelo: Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja. 1 Calcula de la forma más racional posible. 5 El área de un cuadrado mide 121 cm2. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado? ¿Cuál a) 27 + 3 • 5 – 16 es su perímetro? b) 23 • 32 – 52 + 63 1 3 c) 2 _ – _ 6 4 6 Dado el conjunto M = {7, 8, 9… 25}, responde. a) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto M? b) ¿Cuántos números pares tiene M? 2 Juan tiene 12 años más que su primo Ángel. Ángel tiene 15 años más que su hermano Andrés. Si Andrés tiene 20 años, ¿cuántos c) ¿Cuántos números primos pertenecen a M? años tienen entre los 3? d) ¿Cuántos números cuadrados perfectos hay en M?FOTOCOPIABLE 7 Todos los días Martín sale de su casa a las 6h35 y regresa invariablemente a las 14h14 .Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. 3 Escribe los números que faltan en cada caso. Determina el tiempo que Martín está fuera de su casa. a) 4 • (5 + ᮀ) = 36 5 b) _ + 8 ᮀ =1 8 Se sabe que 6 obreros de la construcción 2 c) _ • 3 ᮀ =1 hacen una obra en 12 horas de trabajo. ¿En qué tiempo realizarán la misma obra 10 obreros trabajando simultáneamente? 4 Halla el máximo común divisor de los siguientes números: 42, 14 y 56 . (f2 (6(03 6 &5,7 (5,26 ( 1 %$6( $ /2 31 $5$$ ( ,Ï1 35(3 (9$/8$&
  • 32. Prueba de módulo 1Nombre:Fecha: Año: Paralelo:Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja. 1 Expresa simbólicamente cada 2 puntos 4 Dada la sucesión an = 4n – 5 , realiza 2 puntos enunciado utilizando números enteros. estas actividades. a) Me han acreditado 450 dólares a) Comprueba que la sucesión es aritmética. en la cuenta de ahorros. b) Halla su diferencia. b) La temperatura es de 17 ºC. c) ¿Es 395 un término de la sucesión? ¿Qué c) El año 1340 antes de Cristo. lugar ocupa? d) El carro se encuentra estacionado d) ¿Es 900 un término de la sucesión? en el subsuelo Nº 3. 5 Observa el paralelogramo y calcula la 3 puntos 2 En la recta numérica de la figura, 2 puntos amplitud de los ángulos a, b, c, d y e. determina lo solicitado. e 200 E –G –F –H c d –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 FOTOCOPIABLE a) El valor que corresponde a las letras E, F, G y H. 580 b a 250 b) El valor de | G + E |. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. c) El valor de la distancia entre F y E. d) El valor de la distancia entre el mayor y el menor de los valores representados. 6 Ordena de menor a mayor los 3 puntos siguientes números enteros utilizando el signo correspondiente. 3 Resuelve los siguientes problemas. 2 puntos 2, –5, 12, 7, –9, –2, 8, –7, 9, –12 a) Si a un número entero se le resta el opuesto de 47 la diferencia es igual a –18 , ¿cuál es el número? 7 Ordena las siguientes temperaturas, de 3 puntos la más alta a la más baja. b) La diferencia entre el año en que nació 4 ºC, –15 ºC, 27 ºC, 0 ºC, –9 ºC, 7 ºC, –11 ºC, 17 ºC Fernando y el año en que nació Julia es igual a –5 . ¿Cuál de los 2 es mayor? Si Fernando nació en 1980, ¿en qué año nació Julia? 8 ¿Cuáles son los números enteros 3 puntos comprendidos entre –7 y 5? (9$/8$& ,Ï1 35(3 $5$$ ( 32 1 %$6( $ /26 &5,7 (5,26 ( (6(03 (f2
  • 33. Prueba de módulo 2 Nombre: Fecha: Año: Paralelo: Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja. e) 6, 3, 3/2, 3/4… 1 A medianoche la temperatura es 0° C; 3 puntos de las 12h00 a la 01h00 el termómetro registra un ascenso de 5 grados; durante f ) 3, –3, 3, –3… las horas de 01h00 a 04h00, el termómetro registra un descenso de 8 grados. ¿Cuál es la temperatura a las 04h00? 4 Halla la medida del segmento tercero 3 puntos 2 Calcula el valor numérico de las 4 puntos proporcional con los siguientes datos. siguientes operaciones a) –8 • [5 – (–2)] – 48 ÷ [6 + (–14)]= a) 5 cm y 8 cm b) 9 cm y 6 cm 5 Sea ABC un triángulo y M, N 2 puntos 4 puntos pertenecientes a los segmentos AB y AC, indica en cada uno de los siguientes b) –11 • [10 + (-7)] + 36 ÷ [(–1) – (–10)] = casos si la recta que pasa por M y N IRWRFRSLDEOH es paralela o no a la que pasa por losFOTOCOPIABLE puntos B y C. a) AB = 9 cm; AC = 6 cm; MB = 3 cm ; NC = 1,5 cmProhibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. ,675,%8&,Ï1 *5$78,7$  352+,%,$ 68 5(3528&&,Ï1 b) AB = 6 cm ; BC = 8 cm; MN = 4,5 cm ; AM = 4 cm 3 Entre las siguientes sucesiones, 3 puntos identifica las aritméticas y las geométricas. Indica en cada caso cuál es la diferencia o la razón. a) 1, 4, 16, 64,… 6 Las bases, menor y mayor, de un 3 puntos b) 4, 12, 36, 108,… trapecio isósceles miden 12 y 20 cm respectivamente. Cada uno de los lados iguales mide 5 cm . Se prolongan los c) 200, 400, 600, 800,… 2 lados iguales hasta que se cortan, formándose así otro triángulo isósceles. Determina la longitud del lado AB d) 2, -4, 8, -16, 32,… de este triángulo. (f2 (6(03 6 &5,7 (5,26 ( 1 %$6( $ /2 33 $5$$ ( ,Ï1 35(3 (9$/8$&
  • 34. Prueba de módulo 3Nombre:Fecha: Año: Paralelo:Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja. 1 Expresa en lenguaje matemático los 2,5 puntos b) El ángulo principal de un triángulo siguientes enunciados. isósceles mide 40º. Determina el valor de los otros 2 ángulos. a) La suma de los cuadrados de 2 números m y p. 4 Construye un triángulo equilátero 2,5 puntos b) El cuadrado de la suma de 8 cm de lado. Utilizando la regla de 2 números a y b. y el compás determina el incentro, c) La diferencia de los baricentro, ortocentro y circuncentro. cuadrados de ¿Puedes establecer alguna conjetura 2 números x y y . acerca de la ubicación de estos puntos notables en un triángulo cualquiera? d) El cuadrado de la diferencia de 2 números cyd. e) La suma de 2 números multiplicada por su diferencia. 5 Construye un triángulo de lados 7, 8 3 puntos y 10 cm . Determina gráficamente el ortocentro, el baricentro y el circuncentro 2 En las siguientes proposiciones 2 puntos de dicho triángulo. Comprueba que están compuestas, encuentra las alineados. A la recta sobre la que se sitúan proposiciones simples y los conectores. FOTOCOPIABLE la llamaremos recta de Euler. Observa el Represéntalas en lenguaje simbólico. baricentro y mide la distancia del baricentro a) No es verdad que hasta un vértice y la distancia del baricentro Velázquez sea al punto medio del lado opuesto. ¿Puedes Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. impresionista. hacer alguna conjetura al respecto?, ¿puedes escribir alguna regla general? b) Platón era griego y Foucault francés. c) Vendrá o llamará. d) Ni Quino es idealista ni Platón empirista. 3 Resuelve los siguientes problemas. 6 puntos 6 Convierte a decámetros sumando 4 puntos al final los resultados. a) Construye un triángulo de lados 6 y 8 cm de forma tal que el ángulo comprendido a) 126 km + 37 m + 45 hm + 56 mm = entre esos lados sea de 30º. Clasifícalo. b) 1,12 km + 0,36 dam + 37 mm + 1,26 hm = (9$/8$& ,Ï1 35(3 $5$$ ( 34 1 %$6( $ /26 &5,7 (5,26 ( (6(03 (f2
  • 35. Prueba de módulo 4 Nombre: Fecha: Año: Paralelo: Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja. 1 Realiza estas operaciones expresando 4 puntos 4 Los 3 lados de un triángulo ABC miden 3 puntos el resultado en forma de potencia. 4, 5 y 6 cm . Calcula el área del triángulo a) (–2)2 • (–2)5 • (–2)3 medio del triángulo ABC. El triángulo medio es el determinado por los 3 puntos medios de los lados del ᭡ABC. b) (+8)5 ÷ (+8)3 c) (–3)6 ÷ (–3)6 5 Un triángulo T1 cuyos lados miden 3, 4 4 puntos d) [(–5)2]3 y 5 cm es semejante a otro triángulo T2 cuyo lado menor mide 6 cm . a) Determina la longitud de los otros 2 lados del triángulo T2. 2 Escribe las siguientes cantidades 4 puntos b) ¿Cómo son las amplitudes de los ángulos utilizando potencias de base 10 . interiores del triángulo T2 con respecto a IRWRFRSLDEOHFOTOCOPIABLE sus ángulos homólogos del triángulo T1? a) 12 000 000 c) ¿Qué relación hay entre las áreas de T1 y T2? b) 475 200 d) ¿Cuál es la diferencia de los perímetrosProhibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. ,675,%8&,Ï1 *5$78,7$  352+,%,$ 68 5(3528&&,Ï1 c) 1 280 de ambos triángulos? d) 3 420 000 6 En la siguiente figura, se sabe que 2 puntos 3 El Everest es el monte más alto del 3 puntos D, E y F son los puntos medios A mundo. La raíz cuadrada entera de de los lados del triángulo F su altura en metros es 94 y, si midiera D dado ABC. Además, 177 m más, sería un cuadrado perfecto. BC = 10 cm, AB = 8 ¿Cuál es la altura del Everest? cm y AC = 15 cm . C E B a) Determina el perímetro del triángulo DEF. b) Halla la razón entre el perímetro del triángulo ABC y el perímetro de su triángulo medio DEF. (f2 (6(03 6 &5,7 (5,26 ( 1 %$6( $ /2 35 $5$$ ( ,Ï1 35(3 (9$/8$&
  • 36. Prueba de módulo 5Nombre:Fecha: Año: Paralelo:Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja. 1 Determina el valor numérico de las 4 puntos b) Calcula la superficie de una corona circular expresiones matemáticas. que corresponde a 2 circunferencias a) 10 ÷ 2 + 5 • 3 + 4 − 5 • 2 − 8 + 4 • 2 − 16 ÷ 4 = de radios 7 y 9 centímetros. b) 23 + 10 ÷ 2 + 5 • 3 + 4 − 5 • 2 − 8 + 4 • 22 − 16 ÷ 4 = 2 Resuelve los siguientes problemas. 4 puntos a) Un equilibrista de un circo da 20 vueltas haciendo equilibrio sobre una rueda avanzando 125,6 m . ¿Cuál es el radio 4 Determina la medida de la amplitud 3 puntos de la rueda? de los ángulos α y β. M 36º N O G β α 88º P FOTOCOPIABLE S b) Halla la longitud de un arco de circunferencia de 60º de amplitud, Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. si sabemos que mide 5 cm de radio. 5 Un respostero de cocina tiene forma 3 puntos de prisma hexagonal regular. La arista de la base mide10 cm y la altura de una cara lateral 15 cm . Calcula el volumen de sal que puede contener el bote. 3 Resuelve. 4 puntos a) Halla el área de un sector circular en un 6 Calcula el volumen de aire que hay 2 puntos círculo de radio 5 cm . correspondiente en una habitación cuyas dimensiones a un ángulo de 60º. son 5 metros de ancho, 8 metros de largo y 2,5 metros de alto. (9$/8$& ,Ï1 35(3 $5$$ ( 36 1 %$6( $ /26 &5,7 (5,26 ( (6(03 (f2
  • 37. Prueba de módulo 6 Nombre: Fecha: Año: Paralelo: Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja. 1 Expresa con un monomio. 3 puntos 4 Una persona desea comprar una 4 puntos lavadora de ropa, para lo cual ha 2x pensado que puede seleccionar entre las 2x marcas Whirpool, Mabe y General Electric, cuando acude a realizar la compra se encuentra 2x 2x que la lavadora de la marca W se presenta en 2 tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en 4 colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la a) El perímetro de esta figura. marca M, se presenta en 3 tipos de carga (8, 11 ó 15 kilogramos), en 2 colores diferentes y puede b) El área de la misma. ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE se presenta en un sólo tipo c) El volumen del cubo que de carga, que es de 11 kilogramos, 2 colores se puede formar con esos diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas 6 cuadrados. maneras tiene esta persona de comprar una lavadora? 2 Considera a la expresión algebraica 3 puntos 2x2 – 3x + 1 . a) Indica los monomios que forman dicha IRWRFRSLDEOH expresión.FOTOCOPIABLE b) Indica el grado que tiene cada uno de ellos.Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. ,675,%8&,Ï1 *5$78,7$  352+,%,$ 68 5(3528&&,Ï1 c) Determina el valor de la expresión cuando x = 0, x = – 2 y x = 2 . 5 Resuelve. 4 puntos a) Determina la suma de los números pares comprendidos entre 201 y 319 . 3 Se tira un dado 40 veces obteniéndose 4 puntos los siguientes resultados: 3, 3, 1, 2, 1, 5, 1, 4, 5, 5, 5, 2, 6, 1, 4, 3, 2, 2, 6, 6, b) Determina la suma de los múltiplos 3, 3, 1, 1, 4, 3, 4, 2, 6, 4, 6, 3, 5, 6, 2, 5, 1, 2, 4, 2 . de 5 comprendidos entre 1 200 y 1 411 . a) Elabora la tabla de frecuencias. 6 En una encuesta se quiere estudiar una 2 puntos población de 1 750 000 habitantes, b) Representa los resultados en 2 tipos el 58% de los cuales son mujeres. de gráficos diferentes. ¿Cuántas mujeres debe haber al tomar una muestra de 15 000 personas? (f2 (6(03 6 &5,7(5,26 ( 1 %$6( $ /2 37 $5$$ ( ,Ï1 35(3 (9$/8$&
  • 38. Examen trimestral 1Nombre:Fecha: Año: Paralelo:Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja. 1 Dos números opuestos distan 1 punto 7 Un agricultor planta manzanos en 2 puntos 16 unidades en la recta numérica, un esquema cuadrado. Para proteger ¿cuáles son? los árboles del viento él planta pinos a) –7 y 7 c) –9 y 9 alrededor de todo el huerto. Aquí ves un diagrama de esta situación donde se b) –8 y 8 d) –6 y 6 presentan los cuadrados de manzanos y de pinos para cualquier número (n) de filas de manzanos. 2 ¿Cuántos números enteros hay entre 1 punto n=1 –6 y 14, sin incluir estos números? x = pino x x x a) 20 c) 19 x · x · = manzano x x x b) 18 d) 21 n=3 n=2 x x x x x x x x x x x x 3 El valor del entero que hace verdadera 1 punto la expresión x + 20÷ 4 = 0 es: x · · · x x · · x x x x x a) –5 c) –4 x · · · x x · · x x x x x x x x FOTOCOPIABLE b) 5 d) 4 x · · · x x x x x x x x 4 La relación de orden entre la expresión 1 punto n=4 Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. | 3 – 15 | y | 3 | – | 15 | es: x x x x x x x x x a) = c) ≥ x · · · · x x x b) ≤ d) ninguna de las anteriores x · · · · x x x x · · · · x 5 El valor de la expresión 1 punto 5 – (– 3) + 5 – (3 – 8 – 11) es: x x x · · · · x a) –11 c) –3 x x x x x x x x x b) 29 d) 19 Supongamos que el agricultor quiere hacer un huerto mucho más grande, 6 El término que sigue en la sucesión 1 punto con muchas filas de árboles. A medida 1, 1, 2, 3, 5… es: que el agricultor agranda el huerto, ¿qué aumentará más rápidamente: a) 6 c) 8 el número de manzanos o el número de pinos? b) 7 d) ninguno de éstos (9$/8$& Explica cómo encontraste tu respuesta. ,Ï1 35(3 $5$$ ( 38 1 %$6( $ /26 &5,7 (5,26 ( (6(03 (f2
  • 39. Examen trimestra l1 11 Completa cada una de las afirmaciones 2 puntos en el ᭡ABC, conociendo que los 8 En la figura r y s son paralelas y las 2 2 puntos segmentos MN y AB son paralelos. rectas transversales se cortan en un C punto de la recta r. Además, m (< 1) = 30° y m (< 2) = m (< 3), entonces las medidas de los ángulos interiores del ᭡ABC son: M N r 3 2 1 C A B s a) ___ = ᮀ d) ᮀ = ___ A B CA MA ___ ___ CM ᮀ ᮀ CA b) ___ = ᮀ e) ___ = ᮀ a) A = 30° B = 75° C = 75° CN ___ MN ___ b) A = 60° B = 60° C = 60° NB ᮀ CM CA c) A = 75° B = 75° C = 30° c) ___ = ᮀ CM ___ f ) ___ = ᮀ CN ___ CN ᮀ ᮀ CA d) A = 75° B = 30° C = 75° 12 Determina el valor de la amplitud del 2 puntos 9 El valor de la expresión: 2 puntos ángulo β en la figura. –3 + (–2) • (–5) + 12 ÷ (–4) + 8 es: A L1 21° 97° L1 ІІ L2FOTOCOPIABLE a) 12 b) –8 L2 B C β c) –4Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. d) 18 a) 97° b) 68° c) 62° d) 60° 10 Escribe verdadero o falso según 2 puntos 13 Para cada literal, determina el valor de 2 puntos corresponda. la variable x • –3 + 5 • x = –23 El término que sigue de la sucesión: a) –4 b) 4 c) –11 d) 2 1, –4, 9, –16, 25… es 36. • x • (–5) = 100 La razón en la sucesión: 1, –2, 4, –8, 16… es –2. a) 2 b) 20 c) –10 d) –20 La diferencia de la sucesión: • 1 – І x І = –6 25, 12, –1, –14 es 13. a) 5 b) –7 c) 0 d) –5 El término que sigue de la sucesión: • x • (–3) + x • (–4) = 21 –1, –8, –27… es –64. a) –1 b) 1 c) –3 d) 21 (f2 (6(03 6 &5,7 (5,26 ( 1 %$6( $ /2 39 $5$$ ( ,Ï1 35(3 (9$/8$&
  • 40. Examen trimestral 2Nombre:Fecha: Año: Paralelo:Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja. 1 La expresión matemática del 1 punto La medida de la amplitud de un enunciado: La mitad de un número n ángulo interior de un triángulo es el menos el triple de otro número p es: suplemento de la suma de los otros 2 ángulos interiores. n p a) __ – __ 2 3 En un triángulo rectángulo el ángulo b) 2n – p __ recto es el suplemento de la suma 3 de los ángulos agudos. c) 2n – 3p p d) __ – 2p 3 5 En el ᭡ABC, CD es la bisectriz del 2 puntos ángulo con vértice en C, CE es la altura al lado AB. Entonces el valor de la 2 La expresión lógica de la proposición 1 punto amplitud del ángulo x es: compuesta: el 15 es múltiplo de 5 C y no de 4 es: AD = CD a) p ∧ q c) p ∧¬ q X b) p ∨ q d) p ¬∨ q 600 FOTOCOPIABLE A D E B 3 El valor de m para que la proposición 1 punto 2m – 7 = 3 sea verdadera es: a) 6° c) 18° Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. a) m = 1 c) m = –5 b) 10° d) 36° b) m = 5 d) m = –1 6 El valor de 126 km + 37 m + 45 hm + 2 puntos 56 mm es igual a: a) 13 053,705 6 dam 4 Marca con una X en las afirmaciones 1 punto b) 13 053,756 dam falsas. c) 130 537,56 dam Un ángulo exterior de un triángulo es el suplemento de, por lo menos, d) 1 305,370 56 dam un ángulo interior del triángulo. La medida de la amplitud de un ángulo exterior de un triángulo es mayor que la medida de cualquier ángulo interior de un triángulo. (9$/8$& ,Ï1 35(3 $5$$ ( 40 1 %$6( $ /26 &5,7 (5,26 ( (6(03 (f2
  • 41. Examen trimestra l2 10 De las siguientes proposiciones, 2 puntos determina cuál es la falsa. 7 Suma la cantidad necesaria para que 2 puntos • Dos triángulos son congruentes si tienen el resultado sea un metro. respectivamente iguales: a) 15 cm + ᮀ = 1 m Los 3 lados. b) 4,5 dm + ᮀ = 1 m Dos lados y un ángulo c) 425 mm + ᮀ = 1 m Dos ángulos y el lado comprendido. d) 0,008 dam + ᮀ = 1 m Dos lados y el ángulo comprendido. d) 0,000 4 km + ᮀ = 1 m 11 Si 2 triángulos son semejantes, una de las 2 puntos d) 0,000 2 hm + ᮀ = 1 m siguientes afirmaciones es verdadera. 1256 La razón de sus áreas es igual a la razón 8 El valor de la expresión: ___ es igual a: 2 puntos 155 de semejanza. a) 54 c) 52 La razón de sus áreas es igual b) 53 d) 58 a la unidad. La razón de sus perímetros es igual al cuadrado de la razón de semejanza. La razón de sus áreas es igualFOTOCOPIABLE al cuadrado de la razón de semejanza. 12 El triángulo ABC de la figura es isósceles 2 puntos de base BC. Desde un punto M de ABProhibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. 9 El valor de x que hace verdadera 2 puntos se traza una paralela a AC = 28 cm, que 3 la proposición: x + 4 = – 4 es: corta al lado BC en un punto N. El valor de la longitud de BM para que el área del a) 60 c) –60 triángulo MBN sea 1/4 de la del triángulo ABC es: b) –68 d) 68 A M 28 cm C B N a) 12 cm c) 10 cm b) 16 cm d) 14 cm (f2 (6(03 6 &5,7 (5,26 ( 1 %$6( $ /2 41 $5$$ ( ,Ï1 35(3 (9$/8$&
  • 42. Examen trimestral 3Nombre:Fecha: Año: Paralelo:Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja. 1 El valor de la expresión: 2 puntos 4 El área del sector circular OPS es: 2 puntos (10 – 3)² + 2 [6 – 5 (3² – 2)²] es igual a: P a) –429 c) –527 a) 12,9 cm2 b) –478 d) 429 b) 10,9 cm2 O 850 c) 11,9 cm2 d) 13,9 cm2 4 cm S 2 La superficie de una mesa redonda 2 puntos que tiene de perímetro 25,12 m es: a) 40,2 cm2 c) 60,2 cm2 b) 50,2 cm2 d) 70,2 cm2 FOTOCOPIABLE 5 Si arco BA = 140° y arco DC = 65°, 2 puntos entonces el valor de la amplitud del ángulo α es: D Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. a) 110,5° A α b) 112,5° C O c) 100,5° 3 ¿Cuál es el diámetro de una mesa 2 puntos circular para 15 niños, cada uno de los d) 102,5° cuales ocupa un arco de 60 cm? B a) 286,4 cm c) 288,4 cm b) 287,4 cm d) 280,4 cm (9$/8$& ,Ï1 35(3 $5$$ ( 42 1 %$6( $ /26 &5,7 (5,26 ( (6(03 (f2
  • 43. Examen trimestra l3 9 Contesta las siguientes preguntas 2 puntos de acuerdo al gráfico. Venta de refrescos 6 El volumen de un cilindro que tiene 2 puntos 70 radio de la base igual a 4 cm y altura 60 10 cm es: 50 cantidad 40 a) 502,7 cm3 c) 510,7cm3 30 20 b) 503,3 cm3 d) 505,7 cm3 10 0 días s s es es ne do te les ev n ar er ba co Lu Ju M Vi Sá iér M a) ¿Qué día se vendió menos refrescos? b) ¿Cuántos refrescos se vendieron en toda la semana? 7 Los envases de tetra pak similares a 2 puntos un prisma rectangular se usan en productos alimenticios, por ejemplo c) ¿Cuál es el porcentaje que corresponde para almacenar leche, jugos, etc. Las al día de más ventas? dimensiones más usuales de los que tienen un litro de capacidad son 9 cm x 6 cm x 16 cm aproximadamente y están d) ¿Cuál es el promedio de ventas fabricados con cartón impermeable. Si de refrescos? una empresa produce 10 000 envases diarios, entonces, ¿cuál es la cantidad 10 Un restaurante ofrece ensaladas 2 puntosFOTOCOPIABLE de cartón que necesita para fabricarlos? por 3,00 . Se puede elegir entre a) 600 m2 c) 580 m2 una ensalada de lechuga o una de espinacas. Después, existe la opción b) 588 m2 d) 590 m2 de un complemento de champiñones,Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. frijoles o queso. Por último se puede optar por un aderezo de crema o de aceite y vinagre. ¿De cuántas maneras se puede elaborar una ensalada? a) 9 c) 18 b) 12 d) 20 8 ¿Cuánto mide el perímetro de la figura? 2 puntos a) 7x + 3y 2x + y b) 5x + 4y c) 6x + 5y 3x – y y d) Ninguna de las 2x + y anteriores. (f2 (6(03 6 &5,7 (5,26 ( 1 %$6( $ /2 43 $5$$ ( ,Ï1 35(3 (9$/8$&
  • 44. s ionalelo 1 A ctivida des adic ódu MResuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo. 1 Realiza los siguientes ejercicios. 5 Escribe la suma asociada a cada una de las siguientes restas. a) Representa en la recta numérica los siguientes números enteros y ordénalos de a) 75 – 23 = 52 mayor a menor, escribiendo entre ellos el b) 97 – 48 = 49 signo de la desigualdad que corresponda. c) 126 – 38 = 88 (+5), (–2), (+6), (-1), (0), (+1). d) 125 – 75 = 50 b) Haz lo mismo con los números enteros que siguen, pero ordenándolos de menor 6 Resuelve y responde. a mayor. a) Anota las estaturas de todos los (+2), (–10), (–4), (+5), (–1), (+4). compañeros. Toma la estatura del más alto como el origen y sitúa todas las otras ordenadamente en una recta graduada. 2 Ordena de menores a mayores estas alturas, después de situarlas en la recta numérica. b) En el lugar correspondiente a la estatura (+5 m), (–4 m), (+3 m), (–7 m), (–1 m), (0 m) de cada compañero, escribe la diferencia de estatura respecto al más alto. FOTOCOPIABLE 3 Se cree que Arquímedes inventó el tornillo. Después de 2 146 años se inventó el c) Repite lo mismo tomando como origen: ordenador, en 1946. ¿En qué año inventó • La estatura del más bajo. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. Arquímedes el tornillo? • La del que se encuentra en la mitad. 4 Copia el siguiente cuadro y coloca dentro de • La de cualquier compañero que no se él los números +1,–1,+2,–2,+3,–3,+4,–4 y 0 de encuentre en ninguno de los 3 casos forma que sumen lo mismo todas las filas anteriores. y todas las columnas: 7 Realiza las siguientes operaciones de la forma más sencilla posible. a) 15 – (17 – 6) + 2 – (15 – 13) b) 28 – (–8 – 4) + (33 – 29) 8 Justifica los diferentes pasos de la siguiente demostración. a) a = 0 + a 44
  • 45. Actividades adicionales b) a = [–(–a) + (–a)] +a 10 El modelo de las fichas bicolores. c) –(–a) + [(–a) +a] Una representación concreta de los enteros d) –(–a) + 0 se tiene mediante colecciones de fichas de 2 colores, por ejemplo, verde y roja, usando e) –(–a) el convenio de que cuando se tiene un par de fichas de colores distintos se anulan mutuamente. Usando este convenio, se divide 9 Resuelve los siguientes problemas explicando el aula de clases en 8 equipos de trabajo la solución mediante representaciones y competencia matemática. Cada equipo gráficas sobre la recta numérica. tendrá en su poder 20 fichas verdes a) Un misil se ha disparado a 30 metros bajo y 20 fichas rojas. Con estas fichas el nivel del agua; 5 segundos después representarán las operaciones que el docente está a 90 metros sobre el nivel del mar. escriba en la pizarra, conociendo que las ¿Cuántos metros ha ascendido en los fichas verdes representan números positivos 5 segundos? y las rojas, negativos. Por ejemplo, el docente escribe la operación: –3 + 5 – 7 + 4. Los equipos pondrán, lo más rápido que puedan, b) La temperatura era de –4 grados esta 3 fichas rojas + 5 fichas verdes + 7 fichas rojas noche; desde entonces ha bajado + 4 verdes. Como cada ficha roja se anula con 9 grados. ¿Cuál es la temperatura ahora? una verde, el resultado se escribirá también con fichas, en este caso será 1 ficha roja pues c) Hace tres años un kg de azúcar costaba el resultado de la operación es – 1 . Ganará 42 centavos. Desde entonces, su precio el equipo que promedie menor tiempo en la anual ha sufrido los cambios –3, +21, –9 resolución de todos los ejercicios propuestos centavos. ¿Cuánto cuesta ahora? por el docente. d) El saldo contable de un comerciante en 11 Halla el valor de x en cada uno de losFOTOCOPIABLE las últimas seis semanas ha registrado las siguientes casos. siguientes variaciones: –4, –2, 0, +1, –1, +3 . a) El opuesto de x es igual a 8. ¿Cuál ha sido su ganancia o pérdida neta? b) El valor absoluto de x es igual a 2 010 yProhibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. e) En aguas quietas un barco puede moverse este número x se encuentra a la izquierda a la velocidad de 16 km por hora. ¿A qué del cero en la recta numérica. velocidad puede ir en un río cuyas aguas fluyen a 5 km por hora, si va en la dirección c) ⏐x⏐ = 5 del río. ¿Y si va contracorriente? 12 Describe una situación real para cada una f ) Una avioneta vuela a 190 km/h si va en de las frases siguientes, de manera que no sea contra del viento, mientras que si va a favor necesario especificar el signo. del viento vuela a 220 km/h . ¿Cuál es la velocidad del viento? ¿A qué velocidad a) El capitán informa que el submarino está puede volar al avioneta en atmósfera quieta? a –150 metros de profundidad. b) La televisión anuncia que estamos a –3 ºC. c) En la cuenta de Luís está escrita la cantidad de 125 dólares. 45
  • 46. ionadlueos des adic ó l 2 A ctivida MResuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo. 1 Realiza las siguientes operaciones de la forma h) Calcula el valor aproximado, estimando los más racional posible. resultados, de los siguientes productos: a) (28 – 3) - 5 • (3 – 9) - (6 + 2) ÷ 4 • 5 83 • 39, 31 • 51, 616 • 181, 624 • 38, 494 • 72, b) (-6) • [(+9) - (+2)] - (-3) • (-4) 72 • 48 3 En las elipses representadas de la figura, 2 Resuelve los siguientes ejercicios. determina las coordenadas de: a) Expresa en forma de multiplicación y calcula: 557 + 557 + 557 + 557 . 4 3 b) Queremos vaciar un depósito que 2 contiene 54 litros de agua utilizando un 1 cubo en el que caben 9 litros. ¿Cuántos viajes tendremos que hacer? –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 –1 –2 c) Un objeto A pesa 18 kg y un objeto B pesa 3 veces menos que el A. ¿Cuánto pesa el –3 FOTOCOPIABLE objeto B? a) tres puntos interiores a la elipse Nº 1. d) Para celebrar un cumpleaños se han b) tres puntos interiores a la elipse Nº 2 hecho varias bolsas. En cada una de Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. c) dos puntos comunes a las 2 elipses. ellas hay 5 paquetes de caramelos. Cada paquete tiene 6 caramelos. ¿Cuántos d) cuatro puntos exteriores a las 2 elipses. caramelos hay en cada bolsa? e) Dos automóviles han dado 4 Un segmento AB tiene como medida 40 cm . respectivamente 4 y 8 vueltas a un circuito. Encuentra las medidas de los segmentos que El segundo recorrió 24 800 metros. ¿Cuál 5 dividen al segmento AB en la razón __ . 2 es la longitud del circuito? ¿Cuánto recorrió el primer auto? 5 En la figura, L1, L2, L3 son rectas paralelas f ) Escribe todos los números múltiplos de 6 mientras que p y r son transversales. Halla que sean menores que 100. el valor de x según el caso. g) Escribe los números entre 100 y 200, incluyendo ambos extremos, que sean cuadrados perfectos. 46
  • 47. Actividades adicionales L1 9 A continuación se detallan los resultados de A D los partidos realizados por 6 equipos en un L2 campeonato de fútbol. B E Equipo PJ PG PE PP GF GC Puntos GD L3 A 10 5 2 3 24 19 C F B 10 4 2 4 30 20 C 10 6 1 3 32 28 p r D 10 4 2 4 25 26 E 10 3 1 6 20 30 a) BC = 15; AB = x; DE = 24; EF = 24 F 10 3 2 5 18 26 b) AC = x; BC = 9; DF = 30; DE = 12 Siendo PJ = Partidos Jugados, PG = Partidos c) AC = 10; BC = 6; EF = 8; DF = x Ganados, PE = Partidos Empatados, d) DE = x; EF = 15; BC = 18; AC = 60 PP = partidos perdidos, GF = Goles a favor o goles marcados por el equipo, GC = Goles en contra o goles recibidos por el equipo 6 En el triángulo ABC, la bisectriz del ángulo ACB y GD = Gol diferencia = GF – GC. es la semirrecta CD. A Adicionalmente, cada partido ganado tiene 3 puntos de premio, cada partido empatado tiene 1 punto de premio y cada partido perdido no tiene puntos de premio. D Determina: a) El puntaje que alcanza cada equipo y su gol diferencia. B C b) El equipo ganador del campeonato.FOTOCOPIABLE Si AC = 21, CB = 2x, AD = 5, BD = 7, determina c) Establece el orden de los equipos en el el valor de x. Campeonato. d) El equipo que más goles convirtió.Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. 7 Determina la longitud del segmento AB e) El equipo con mejor gol diferencia conociendo que: f ) El equipo que más goles recibió. 9 __ = AB . __ AB 4 10 En cada caso, escribe un número que cumpla la condición planteada. a) Multiplicado por 8 es igual a –56. 8 Efectúa las siguientes operaciones. b) Su opuesto es menor que –4. a) (–5) • [(–8) + (–3)] c) Su valor absoluto es igual al resultado de la b) [(+ 5) + (–7)] • (–4) operación: – (–7) – 5 • (–6 – 3). c) (+ 8) • [(–3) –(+ 8)] d) [(–9) –(–6)] • (–4) 47
  • 48. ionadlueos des adic ó l 3 A ctivida MResuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo. 1 Traduce al lenguaje común las siguientes Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca expresiones matemáticas. de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta Expresión Traducción al lenguaje y automóvil). matemática gramatical • Motocicleta solamente: 5 3•(a+b) • Motocicleta: 33 m–n • No gustan del automóvil: 8 2x – y 2a2 + m2 • Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil: 3 n + (n + 1) • Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20 • No gustan de la bicicleta: 71 2 En cada caso determina el valor de la variable para obtener una proposición verdadera. • Ninguna de las 3 cosas: 1 a) x – 23 = 5 • No gustan de la motocicleta: 61 b) 35 – x = 24 De acuerdo a la información contesta las siguientes preguntas. FOTOCOPIABLE c) 2 • x + 5 = 15 a) ¿Cuál fue el número de personas d) –64 = - 16 • x entrevistadas? x+5 e) ____ = 10 Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. b) ¿A cuántos les gustaba la bicicleta y la 4 moto solamente? f ) –6 • x = - 48 c) ¿A cuántos les gustaba el automóvil solamente? 3 Determina las proposiciones verdaderas d) ¿A cuántos les gustaban las tres cosas? y falsas de acuerdo a los datos del siguiente diagrama. e) ¿A cuántos les gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta? 46 20 5 auto moto 4 Construye un triángulo de lados 4, 5 y 7 10 cm . Clasifícalo, atendiendo a sus lados y a sus ángulos interiores. Usa el compás para 14 3 construir el triángulo, de manera que los lados tengan la mayor exactitud posible. Luego, 0 usa el graduador para medir los ángulos interiores. bici 48
  • 49. Actividades adicionales a) El largo de una habitación. 5 Construye un triángulo con un lado de 6 cm . y con ángulos adyacentes de 60º y 80º. b) La fiebre de una persona. Clasifícalo. c) La altura de tu clase. d) La superficie de tu clase. 6 Construye un triángulo de lados 6 y 8 cm respectivamente y con el ángulo e) El ruido del motor. comprendido entre esos lados de 30º. f ) El color de tus ojos. Clasifícalo. g) La simpatía de una persona. h) La duración de una clase. 7 ¿Pueden ser las longitudes de los lados de un triángulo las mitades de las longitudes de los lados de otro triángulo? ¿Pueden 10 Determina el valor de la amplitud de los ser las amplitudes de los 3 ángulos de un ángulos α y β de la figura. triángulo las mitades de las amplitudes los 3 ángulos interiores de otro triángulo? En caso α afirmativo, haz un dibujo que lo pruebe; caso contrario explica y fundamenta β 120º la respuesta. 40º 70º 8 El cuadrilátero ABCD de la figura es un paralelogramo. Determina lo siguiente. A B 11 En cada uno de los siguientes ejercicios, 20º determina el valor del (o los) ángulo(s) indicado(s) según el caso. A C α 70ºFOTOCOPIABLE 58º 25º D C 80º a) El número de triángulos que existe. BProhibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. b) ¿Cuáles son los triángulos acutángulos? C c) ¿Cuáles son los triángulos obtusángulos? 110º d) La amplitud del ángulo CAB. e) La amplitud del ángulo DEC. α 150º A B f ) ¿Qué lado es mayor, AB ó BC? Fundamenta tu respuesta. g) La amplitud del mayor de los ángulos que C aparece en la figura. 45º β α 9 Analiza si las siguientes propiedades de los objetos representan o no una magnitud. A B Determina cuáles se pueden medir. 49
  • 50. des a ionadlulos dic ó e 4 A ctivida MResuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo. 1 Encuentra el valor de la potencia en cada caso. d) (0,3)–1 + (0,2)–3 = a) (–3)4 d) 122 e) 7 • 74 • 55 • 767 = b) (–9)3 e) 28 f ) 35 • 23 • 31 • 22 • 27 • 34 • 37 • 33 = 0 c) a 5 Los lados de un triángulo miden 4, 6 y 8 2 En cada caso determina el valor de m para que cm respectivamente. El perímetro de otro la raíz sea el número que indica la igualdad. triángulo semejante al primero mide 9 cm . a) 3 m+5 =5 Calcula los lados del segundo triángulo. 3 b) m + 10 = (–5) 4 4 6 c) m =2 3 Calcula el perímetro y el área de la figura. FOTOCOPIABLE a b 5 cm 3 cm Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. 6 A continuación se dan las medidas de ciertos elementos correspondientes a 2 triángulos 2 cm ᭡ABC y ᭡DEF. Indica, en cada literal, si los triángulos son o no semejantes. 4 cm 3 cm a) AB = 4, AC = 3, BC = 2, DE = 12, DF = 9, 4 cm FE = 6 .2 cm b) AC = 4, CB = 6, m ( C) = 30°, DF = 8, FE = 12, m ( F) = 30°. 4 Aplica las propiedades de las potencias c) m ( A) = 65°, m( B) = 85°, m ( D) = y calcula. 65°, m ( E) = 85°. a) 23 + 62 – 63 • 23 – (–2)3 = d) AB = 4, BC = 5, AC = 7, DE = 8, EF = 10, 0 –1 b) 3 – 3 + 3 – 3 = –2 –3 DF = 12 . c) 90 • 9–1 • (–9)3 • 9–2 • (–9)2 • (–9)–2 e) m( B) = 30°, m ( C) = 70°, BC = 5, m ( E) = 30°. m ( F) = 70°, EF = 9 . 50
  • 51. Actividades adicionales 7 En la figura, se sabe que el cuadrilátero ABCD 10 Determina la relación de orden en cada literal. es un paralelogramo. Como se indica en el Escribe >, < o =, según corresponda. gráfico, OC = 15, OA = 5y, OB = 3y, OD = x a) 33 ᮀ 52 g) (–4)3 ᮀ (–2)5 D C b) (–2)3 ᮀ (-5)3 h) 24 ᮀ 42 x 15 c) (–4)3 ᮀ - 82 i) 520 ᮀ 330 O 5y 3y d) 73 ᮀ 54 25º e) –20 103 ᮀ (–2 010)3 A B f ) (–1)2 010 ᮀ 12 010 a) Demuestra que los triángulos BOC y AOD son congruentes. b) Halla los valores de x y y. 11 Halla todas las parejas de triángulos congruentes. sin considerar que un triángulo c) ¿Cuánto miden las diagonales del es congruente consigo mismos. paralelogramo dado. Datos: C ᭡ ABC isósceles de base AB 8 En las figuras aplica la congruencia de CF, AE, BD Medianas triángulos para comprobar que los triángulos de colores similares son iguales. O Baricentro D E O A B CFOTOCOPIABLE 11 Considera un triángulo ABC de lados a, b y c.Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. Las alturas respectivas a estos lados son ha, hb y hc. En cada literal se dan algunos datos del triángulo ABC. Determina en cada caso si es posible determinar el área del triángulo y, si tu respuesta es afirmativa, calcula dicha área a) a = 6 cm ; b = 5 cm ; c = 9 cm b) b = 4 cm ; hc = 5 cm c) a ⊥ c ; a = 6 cm ; c = 8 cm 9 Completa con el número que hace válida cada expresión. d) a = 2 cm ; ha = 4 cm a) (–3)ᮀ = d) 12ᮀ = 12 h) ᮀ 7 =0 e) b = 6 cm ; c = 3 cm ; ha = 2 cm –27 e) ᮀ5 = –32 i) (–1)ᮀ = 1 b) ᮀ 4 = 16 f) ᮀ2 = 25 c) 6ᮀ = 1 296 g) 17ᮀ = 1 51
  • 52. ionadlueos des adic ó l 5 A ctivida MResuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo. 1 Determina el valor de la expresión en cada 7 En la circunferencia de la figura, ángulo caso. α = 52º, arco EF = 60º, calcula la amplitud del arco CD. a) [18 − (23 − 10: 2)] • [5 + (3 • 2 − 5)] − 3 + (4 − 2 • 3 ) = b) (5 − 4) + 3 − (10 − 5 • 2) + (5 + 8 : 4) −5 + (10 – 24)= E O D c) 32 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 • 2 − 8 + 4 • 22 − 16 ÷ 4 = α C d) 14 − {7 + 4 • 3 − [(−2)3 • 2 - 6)]} + F (32 + 6 − 5 • 2) + 3 − (5 – 24 ÷ 2) = 8 Calcula el área de la corona circular cuyo radio 2 Halla el diámetro y el radio de un disco, menor mide 1 dm y el mayor mide 13,5 cm . sabiendo que la longitud de su contorno es de 18,84 cm . 9 Calcula el área del sector circular de 25º de FOTOCOPIABLE amplitud y radio 15 cm. 3 Halla la longitud de un arco de circunferencia de 75º de amplitud, si sabemos que el radio de esta circunferencia mide 5 cm . 10 Calcula el perímetro del sector circular Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. anterior. 4 Calcula el diámetro de una circunferencia sabiendo que un arco de 100º de amplitud 11 Calcula el área del círculo inscrito en un mide 50 cm . de longitud. triángulo equilátero de 12 cm de lado. 5 Calcula la superficie de una corona circular 12 ¿Cuál es la razón entre las áreas de los que corresponde a 2 circunferencias de radios círculos inscrito y circunscrito a un triángulo 9 y 12 centímetros. equilátero de lado ᐉ? 6 En la figura, arco DE = 45º, arco 13 Calcula el área de un círculo delimitado por FH = 60º, una circunferencia de 143,8 dm de longitud. determina el O ángulo x . 52
  • 53. Actividades adicionales f ) (8 – 5)³ +2 (4² – 12) – 7 (6² – 30) 14 Determina el área sombreada conociendo que AB es un diámetro de la circunferencia g) 720 + 3² (20 –15) mayor y BC es el radio de la menor. h) 3³ – 2² + 4 (7 – 2)² i) (10 – 3)² + 2 [6 – 5 (3² – 2)²] C A B 19 Averigua la longitud de la correa que une las dos poleas iguales de la figura si conocemos que cada una tiene 35 cm de diámetro y sus centros se encuentran a 2,35 m de distancia. 15 Un disco antiguo tiene un radio de 15 cm y la etiqueta, que es circular, tiene un radio de 5 cm . ¿Cuánto mide la parte grabada? 16 Determina el volumen de la siguiente cubeta. 20 Halla el radio interior de una corona circular de 40 m2 de superficie si se sabe que 54 m el diámetro de la circunferencia mayor 12m mide 12 m . 21 Sabiendo que un trapecio circular es la 15 m superficie comprendida entre una corona circular y un sector circular, halla la superficieFOTOCOPIABLE del trapecio circular comprendido entre 2 circunferencias de radios 5 cm y 10 cm , 17 Determina el volumen del siguiente cilindro. conociendo que el sector circular tieneProhibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. 12 m una amplitud de 60 grados. 22 Un tanque para almacenar agua potable tiene 30 m forma de cilindro y está casi lleno pues de una altura de 1,5 metros que tiene este tanque el nivel de agua está a 10 cm del borde superior. Se sabe que el diámetro de la base es igual a 120 cm. ¿Cuántos litros necesita para llenarse 18 Calcula el valor de las siguientes operaciones totalmente? combinadas con potencias. a) 3² (7 + 5)² + 2³ (17 – 5)4 23 Los puntos A, B B b) 5 (4 – 1)² + 1² (2³ – 6)² C y C pertenecen x a la circunferencia de O A c) 560 – 2² (34 –14)² centro O y además se d) 532 – 2 (4³ – 4²)² conoce que OBA = 70°. Halla la amplitud e) 2 (2² – 2)² + 2² (5² – 5)² del ángulo x . 53
  • 54. ionadlueos des adic ó l 6 A ctivida MResuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo. 1 Agrupa y reduce los monomios semejantes. 4 Supón que el índice de popularidad de cierto líder ha evolucionado de la siguiente forma. a) 5x + 8x – 7x + 12x Enero Febrero Marzo 2 2 2 2 Porcentaje b) 6m – 11m + 7m – 6m 58 % 55 % 60 % de aceptación c) 3y – 7y2 + 10y – 5y2 + 6y Abril Mayo Junio Porcentaje 54 % 54 % 50 % d) 8b2 – 9b + 12b2 – b + 7b – 3b2 de aceptación Construye para estos datos 2 gráficos: el que 2 Realiza las siguientes multiplicaciones efectuarías si fueses periodista del periódico de monomios. del partido del líder en cuestión y el que a) 3x2 • 5x4 harías si fueses periodista del periódico de un partido rival. (Nota: Maneja de diferentes b) –4m6 • 5m4 formas las escalas de los ejes). c) –2m2 • (–3m7) 5 Las puntuaciones obtenidas por un grupo de d) b3 • b7 25 alumnos en unas pruebas que se llevaron FOTOCOPIABLE a cabo fueron las siguientes. e) (–c)3 • (–c)5 6, 8, 7, 5, 4, 6, 4, 8, 5, 9, 10, 6, 7, 8, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 3 9, 10, 6, 6, 6 . f ) 4 • (2x ) Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. Representa dichos datos mediante un g) –5 • (–3x2) diagrama de barras, realizando previamente una tabla de frecuencias. h) 10m2 • 14m 6 El menú del día de un restaurante ofrece las 3 Las calificaciones obtenidas por 500 alumnos siguientes opciones. de 8º año de educación básica en un censo Primer plato: sopa/crema de espinacas. son las que se muestran en las cifras de abajo. Determina la tabla de distribución Segundo plato: filete/lomo fino/tortilla. de frecuencias y construye un diagrama Postre: helado/gelatina/flan. de sectores para las mismas. ¿De cuántas formas distintas puede un cliente • Insuficiente: 150 alumnos elegir su menú? • Regular: 175 alumnos • Buena: 125 alumnos • Sobresaliente: 50 alumnos 54
  • 55. Actividades adicionales d) ¿Por qué cree usted que el nivel de 7 ¿Cuántos son los números naturales que se estudios en los empleados es menor pueden escribir con 2 dígitos, escogidos entre a medida que avanza la edad? los números 1, 2, 3, 4 y 5, sin que se repita ninguno? ¿Cuántos terminan en 5? ¿Cuántos comienzan por 3? 12 Reduce términos semejantes suprimiendo los signos de agrupación. 8 Una persona tiene 3 trajes, 5 pares de a) 3m –[(7m – 2p + m – p) + (2m – 3p + m)] zapatos, 2 sombreros y 10 corbatas, todos combinables. ¿De cuántas formas distintas b) –{x + [2x – y + (4x + y + x – 3y) – x]} puede vestirse? c) 7u – 8k + [–3u + (8k – 4u)] - [2u – (k – u)] 9 En un monte hay 8 casas. Cada casa se comunica con cada una de las restantes por 13 Reduce términos semejantes suprimiendo un camino. ¿Cuántos caminos las unen? los signos de agrupación. 2b 10 Escribe todas las palabras posibles de 4 letras a diferentes (con o sin sentido) con las letras 2a de la palabra mora. b 11 Analiza el siguiente diagrama del nivel de x estudios de los empleados de la empresa El Sol. Nivel de estudios 3 3y 2 25FOTOCOPIABLE x 20 14 Sandra desea comprar una lavadoraProhibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. 15 de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Mabe y General Electric, cuando acude 10 a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en 2 5 tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en 4 colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de 0 la marca M, se presenta en tres tipos de carga Primaria Secundaria Técnico Universitario (8, 11 o 15 kilogramos), en 2 colores diferentes y puede ser automática o semiautomática a) ¿Cuántos empleados tiene la empresa? y la lavadora de la marca GE, se presenta b) ¿Cuál es el porcentaje de los empleados en solo un tipo de carga, que es de 11 que tiene estudios universitarios? kilogramos, 2 colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas opciones diferentes c) ¿Cuántos empleados sólo terminaron tiene Sandra para comprar la lavadora? primaria y secundaria? 55
  • 56. Ayudas Didácticas Metodología para el tratamiento de conceptos y teoremasEn su trabajo diario, el maestro debe enfrentar las cepto es la representación mental que crea el in-llamadas situaciones típicas de la enseñanza de la dividuo acerca de un objeto o fenómeno, lo cualMatemática. Éstas vienen dadas por el propio ca- se realiza a través de la generalización de sus ca-rácter de la ciencia y pueden resumirse en: racterísticas comunes esenciales, mientras que la definición es la expresión formal de este concepto.• Formación de conceptos. Ambas cosas son importantes, pero no cabe duda• Tratamiento de teoremas y sus demostraciones. alguna de que en la enseñanza básica nos interesa• Formación de destrezas y capacidades para de- mucho más el concepto, es decir, que el alumno sarrollar diferentes procesos. adquiera una representación mental clara del ob- jeto o fenómeno. Exigir lo contrario (definiciones• Resolución de problemas. exactas) sería estimular la repetición sin sentidoEn cada clase encontramos al menos una de estas de los entes matemáticos.situaciones, pero desde el punto de vista metodo- Para cada año de Educación Básica el docente de-lógico se diferencian y de su adecuado tratamien- berá determinar los conceptos fundamentales yto depende en gran medida el exitoso aprendizaje estructurar un esquema que le permita establecerque esperamos. las prioridades y las conexiones pertinentes entre los contenidos. Se sugiere trabajar los conceptos La formación de conceptos según los siguientes pasos. en la enseñanza de la MatemáticaÉsta es, sin dudas, la actividad que más dificulta- Pasos metodológicosdes presenta. Los maestros prestan poca atención para la formación de conceptosa la formación de conceptos, pues en realidad no • Aseguramiento del nivel de partida. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial.los formamos, los decimos. Los conceptos no sedicen, se forman y el docente debe procurar que, • Presentación de objetos pertenecientesfinalmente, el estudiante enuncie la definición al concepto.correspondiente. Una representación clara del • Determinación de las característicasconcepto en la mente del alumno garantiza una comunes esenciales.adecuada secuencia en el pensamiento y da so- • Definición del concepto.lidez a las destrezas que en torno a él se crean ydesarrollan. Cuando existen falencias en la esencia • Fijación del concepto.del concepto es imposible comprender los teore- • Análisis de casos especiales y extremos.mas y los procesos asociados al concepto y es por Asegurar el nivel de partida es indispensable. No eseso, principalmente, que ante la imposibilidad de posible formar un nuevo concepto si el estudianteentender, los alumnos recurren a la memoria y a la no domina los conocimientos previos necesarios.repetición. Por ejemplo, si se quiere formar el concepto deEs conveniente aclarar que existen diferencias número primo, el estudiante debe conocer conetimológicas entre concepto y definición. El con- seguridad el concepto de divisor de un número. 56
  • 57. Ayudas Didácticas Debe hacerse especial hincapié en la fijación Sin embargo, en ocasiones y por diversas razo- del nuevo concepto, lo cual se realiza mediante nes, no podemos demostrar los teoremas que se diferentes actividades, entre las cuales podemos tratan. En esos casos, al menos debe mostrarse la citar las siguientes: clasificación, preguntas de propiedad. Por ejemplo, en la escuela es necesario verdadero y falso, construcción e identificación que los niños y las niñas comprendan que la suma del concepto y el análisis de casos especiales y de las amplitudes de los ángulos interiores de un extremos. De igual forma, el docente insistirá en la triángulo cualquiera es igual a 180º. Para ello, se semántica de cada concepto pues, al sistematizar pueden hacer algunas actividades prácticas, con esta actividad, se desarrolla el pensamiento material concreto, de modo que ellos comprue- matemático y se logra un aprendizaje significativo. ben la regularidad y arriben a la citada conclusión, aunque esta propiedad no puede demostrarse en El tratamiento de teoremas este nivel, debido a que los estudiantes no poseen y sus demostraciones aquí los conocimientos esenciales para ello. Esta situación típica nos brinda una excelente El análisis retrospectivo en el tratamiento de un oportunidad para desarrollar el pensamiento lógi- teorema es insustituible. Aquí, además de analizar co, crítico y lateral de los estudiantes. Al igual que casos especiales y extremos, se analizarán las posi- con los conceptos, se ofrecen como sugerencias bles aplicaciones del teorema objeto de estudio. In- algunos pasos metodológicos para tratar las re- cluso, cuando sea el caso, se harán las derivaciones glas, propiedades o teoremas. respectivas, enunciando propiedades que desde el punto de vista lógico se desprenden de la principal Pasos metodológicos (lemas). para el tratamiento de teoremas Con o sin demostración debe fijarse el teorema a través de una ejercitación variada y holística. No se • Necesidad de la proposición. trata de repetir situaciones en la aplicación de lo • Búsqueda de la suposición. estudiado, sino de establecer un orden creciente • Búsqueda de la idea de la demostración. de dificultades que despierte el interés en el estu-Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. diante por lo que hace y desarrolle valores como • Presentación de la demostración. la persistencia. En este último aspecto, la motiva- • Análisis retrospectivo. ción, deberá ser un eje principal en todas las acti- • Fijación y aplicación del teorema. vidades de la enseñanza de la Matemática. Los estudiantes deben sentir la necesidad de una Sin embargo, para lograr la fijación y comprensión nueva ley o propiedad que les permita resolver efectiva de un teorema, no basta una excelente determinados ejercicios y problemas. Para lograr ejercitación. Se necesita además una adecuada este objetivo, el docente puede partir de una acti- sistematización de estos contenidos a lo largo de vidad que los estudiantes no puedan realizar pues todo el año lectivo y de los grados siguientes a necesitan “herramientas” matemáticas; aquí surge éste. Esto significa que debemos integrar los nue- la necesidad. Luego, a través de actividades bien vos conocimientos con los que ya posee el estu- planificadas, los mismos estudiantes intentarán diante y retomar, siempre que el tiempo y las con- encontrar una regularidad que concluye en una diciones lo permitan, las propiedades anteriores. suposición (el teorema). Este carácter secuencial en la enseñanza aporta gran seguridad en el aprendizaje. 57
  • 58. Ayudas Didácticas Metodología para desarrollar destrezas y procesosEs evidente que todo el trabajo que se realiza con • Cuando se imparta un contenido nuevo, de-los conceptos y los teoremas tiene la finalidad de sarrollar uno o varios ejemplos, procurando lagarantizar que los estudiantes desarrollen destre- participación activa de sus alumnos y exigien-zas en la resolución de ejercicios diversos. Si no do en cada caso que éstos argumenten cadaexiste una representación mental clara de los con- uno de los pasos necesarios para calcular, re-tenidos mencionados, es imposible lograr destre- solver, demostrar, etc.zas para enfrentar con éxito las diferentes tareas y • Proponer un sistema de ejercicios en el que noactividades porque, a lo sumo, puede lograrse una se repitan las mismas dificultades, pues de lorepetición estéril de algoritmos mecanizados que, contrario los estudiantes tienden a mecanizarmás temprano que tarde mostrarán su ineficacia. los algoritmos de solución. El sistema debe in-El maestro debe conocer que en el aprendizaje de cluir los diferentes tipos de ejercicios: fijación,la Matemática existen dos componentes esencia- reproducción, aplicación y creación. Es impor-les que se complementan mutuamente: saber y tante la integración de conocimientos intra ypoder. Se entiende por saber el cúmulo de cono- extramatemáticos.cimientos que posee el estudiante, mientras queel poder representa la capacidad del alumno para • Usar la forma de taller para la resolución delaplicar esos conocimientos en diferentes situacio- sistema de ejercicios planteados. Es menes-nes teóricas y prácticas. Queda claro que sin saber ter que las actividades más complejas seanno existe el poder, pero ambas categorías deben analizadas detalladamente y que los alumnostrabajarse proporcionalmente en el aula de clases, muestren sus fundamentaciones para justificarpuesto que sirve de poco o nada el conocimiento las estrategias empleadas y los recursos uti-que no se aplica en problemas prácticos o teóri- lizados. Esto es esencial porque, en nuestros tiempos, es mucho más importante pensar Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial.cos. Es deber del maestro preparar a sus alumnospara que, con un mínimo de conocimientos, desa- que saber.rrolle una gran capacidad de razonamiento lógico • Promulgar el trabajo en equipo pues realza lay lateral. autoestima, contribuye a la formación de laEn Matemática, casi todas las actividades desem- personalidad y, aún más importante, preparabocan en procesos que deben ser ejecutados de al estudiante para su vida presente y futura. Enmanera solvente y organizada. Es por ello que el este sentido, para ser consecuente con los pro-maestro debe encaminar su actividad a desarrollar cedimientos empleados en clase, practicar enen sus alumnos las destrezas generales y especí- los exámenes escritos la integración de la mo-ficas que establece la Reforma del Ministerio de dalidad colectiva con la individual, otorgandoEducación. Para lograr que los estudiantes desa- un valor proporcional a cada tipo de evalua-rrollen la capacidad resolutoria esperada, se ofre- ción. Los estudiantes deben comprender quecen las siguientes sugerencias. la evaluación de su aprendizaje es un proceso continuo, que constituye una oportunidad más 58
  • 59. Ayudas Didácticas para aprender y un momento muy importante En la actualidad, es imposible enseñar todos los en su educación integral. conocimientos que la humanidad ha acumula- do. Por eso, una destreza general esencial que • Observar detenidamente el desempeño indivi- los docentes deben priorizar es la búsqueda de dual de cada estudiante, pues cada uno de ellos información necesaria para resolver un problema tiene características diferentes. Esto le permite dado. Los estudiantes deben familiarizarse con los al docente conocer cuáles son las dificultades medios modernos que se encuentran a su dispo- y deficiencias específicas de cada alumno. Las sición; deben manejar con seguridad la calculado- destrezas no se forman homogéneamente en ra porque les ahorra tiempo y energías. De igual todos ellos y, por eso, las actividades que se modo, deben tener destrezas para encontrar fór- propongan deben abarcar una amplia gama mulas, datos y propiedades en libros, Internet, etc. de situaciones. Las destrezas para desarrollar procesos aparece- • Los ejercicios propuestos deben contener la rán como lógica consecuencia de todas las activi- mayor variedad posible de situaciones, lo cual dades que dirige el maestro en el aula de clases. permitirá evaluar de diferentes formas el mis- Hay dos aspectos importantes que no pueden mo contenido de enseñanza. El texto propues- perderse de vista: los diferentes caminos para to cumple estas exigencias. conseguir un mismo objetivo y la racionalidad • Procurar que las tareas docentes que se sitúen para ejecutar los procesos. A continuación se ex- como ejercicios para la casa (deberes) sean re- ponen dos ejemplos que ponen de manifiesto sueltos de manera independiente por los estu- estos aspectos. diantes. Se aprende más y se desarrollan más 1. Calcular: 4 • 2 009 • 25 . destrezas pensando un ejercicio o problema Aquí debe concluirse que, aunque existen varias que viendo cómo se resuelven varios. En este formas de realizar el cálculo pedido, la vía más sentido también es importante recordar que racional se logra aplicando las propiedades con- es mucho más significativo para el aprendizaje mutativa y asociativa del producto y, así, multipli- la variedad que la cantidad de ejercicios pro- camos primero los números 4 y 25 pues da comoProhibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. puestos. resultado 100, de manera que el resultado final • Tanto en la fundamentación de los procesos será 200 900 . como en el enunciado de proposiciones, pro- curar el uso de gráficos y esquemas que am- 2. Calcular 17 • 2 010 + 26 • 2 010 – 42 • 2 010 . plíen la visión y comprensión de los alumnos. Es demasiado largo realizar todos los productos Al respecto, siempre sería interesante que sean indicados para luego sumar los resultados parcia- los propios alumnos quienes propongan el les obtenidos. Es preferible aplicar la propiedad modelo gráfico correspondiente. distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y nos queda: • Estimular al máximo los logros de los estudian- 2 010 • (17 + 26 – 42) = 2001 • 1 = 2 010 , lo cual tes. Esto eleva la autovaloración de cada uno se puede realizar mentalmente. de ellos y los predispone para conseguir obje- tivos más complejos. No se puede pretender que todos alcancen un óptimo nivel de destre- zas en un corto período de tiempo. 59
  • 60. Ayudas Didácticas Metodología para la resolución de problemasInnumerables son los autores que refieren uno u Es común escuchar a estudiantes su malestar por nootro esquema para adiestrar a los estudiantes en poder resolver determinados problemas en los exá-el campo de la resolución de problemas, pues éste menes, a pesar de conocer “todo el contenido”. Y esconstituye uno de los objetivos más importantes que no podemos estudiar Matemática únicamen-de la enseñanza de la Matemática. Cierto es que te leyendo conceptos, teoremas y repasando pro-resulta imprescindible en el mundo moderno de- cedimientos trabajados en clases. Verdaderamente,sarrollar destrezas para resolver problemas de la se aprende matemática resolviendo problemas.vida práctica, sin embargo, debe quedar muy claro En general, en Matemática existen dos tipos deque no existen recetas mágicas ni modelos para procedimientos: algorítmicos y heurísticos. Am-resolver problemas matemáticos. En realidad, para bos se utilizan en la resolución de problemas. Esresolver problemas se requieren tres condiciones claro que los procedimientos heurísticos son fun-básicas. damentales a la hora de encontrar la vía de solu-• Tener motivación para hacerlo y la voluntad ción y, si no conseguimos encontrar esta idea, no necesaria para enfrentar diversas dificultades servirían para nada aplicar los procedimientos al- cognitivas. gorítmicos. Por eso, el dominio de la heurística se considera determinante.• Poseer un mínimo de conocimientos básicos re- lacionados con el problema en cuestión. La aplicación de las reglas y principios de la heurís- tica ayudará mucho al docente y, en especial, a los• Poseer estrategias adecuadas y resolver la ma- estudiantes, a desarrollar destrezas en la resolu- yor cantidad de problemas posibles. ción de problemas y a la adquisición de estrate-En general podemos establecer, sin que esto cons- gias generadoras de métodos de solución para de-tituya un dogma, cuatro indicadores de trabajo terminados problemas intra y extramatemáticos. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial.en la resolución de problemas. Las reglas heurísticas son específicas para resolver determinados tipos de situaciones matemáticas• Comprensión del problema. problémicas, mientras que los principios son ge-• Análisis del problema. nerales y nos permiten encontrar las vías de solu-• Solución del problema. ción. Entre las reglas y principios más importantes podemos mencionar los siguientes.• Consideraciones retrospectivas.En la enseñanza básica, los tradicionales métodos • Dibuja una figura de análisis; realiza un bos-de enseñanza tan centrados en el maestro hacen quejo de la situación planteada. En esa figura,que el alumno constantemente recurra ante el do- pinta de un color los datos dados y de otro loscente para cerciorarse si lo que hace es correcto elementos buscados.o no, generando de esta manera una enorme in- • ¿Recuerdas conceptos y teoremas relaciona-seguridad y un bajo nivel de autoestima personal, dos con la situación planteada?provocando un pobre desarrollo de las destrezas • En los problemas de Geometría realiza cons-necesarias para resolver problemas. trucciones auxiliares. 60
  • 61. Ayudas Didácticas • Principio de analogía: ¿Te enfrentaste alguna 4. ¿Podemos obtener triángulos en esta figura?, vez a un problema similar a éste?, ¿cómo lo ¿cómo? Quizás trazando una diagonal. Enton- resolviste?, ¿qué estrategias usaste?, ¿pueden ces tracemos la diagonal. servir en este caso? 5. Así, trazamos la diagonal BD y formamos el • Principio de reducción: Reduce el problema triángulo ABD, con los ángulos señalados con nuevo a uno ya conocido. los números 1, 2 y 3, además del triángulo BCD • Transforma la pregunta; tal vez encuentres al- y sus ángulos 4, 5 y 6 . guna conexión de lo desconocido con los con- C D 5 tenidos que ya conoces. 6 3 • Intenta probar con casos particulares y utiliza la inducción para encontrar regularidades. A 1 2 4 B • Trabaja hacia atrás: puedes partir de lo que de- 6. ¿Qué relaciones puedes plantear con esos bes demostrar e intentar la búsqueda del ca- ángulos? mino que te lleve hacia los datos y las premisas dadas. 7. Queda claro que la suma de los ángulos 1, 2 y 3 es igual a 180º. Por otro lado, la suma de los Pueden plasmarse muchos ejemplos reveladores ángulos 4, 5 y 6 también es igual a 180º. de la aplicación de reglas y principios heurísti- 8. ¿Puedes ya concluir cuánto suman los ángulos cos. El maestro debe saber que en la práctica, en interiores del cuadrilátero dado? la solución de un problema específico, los princi- pios no aparecen aislados aunque, por lo general, 9. Finalmente tenemos que: predomina uno más que otro. Veamos el siguiente 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6 = 360º . ejemplo. Aquí culmina la resolución del problema plantea- Supongamos que queremos determinar una fór- do. Sin embargo, para desarrollar el pensamiento mula para determinar la suma de los ángulos in- del estudiante deben darse otros impulsos como teriores de un cuadrilátero cualquiera. El docente los siguientes.Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. puede establecer la siguiente guía de preguntas • ¿Existen otras vías para resolver el problema para activar el pensamiento de sus alumnos. anterior? Piensa un poco. C 1. Tenemos el cuadrilátero D • ¿Se cumplirá esta propiedad en todos los cua- convexo ABCD. ¿Podremos driláteros convexos?, ¿en los cóncavos? determinar cuánto suman • ¿En qué situaciones matemáticas podemos sus ángulos interiores? A B aplicar este resultado? ¿Podremos calcular la 2. ¿Conoces algún teorema que relacione los án- suma de las amplitudes de los ángulos interio- gulos interiores de alguna figura en particular? res de un pentágono? La suma de las amplitudes de los ángulos inte- Como se puede apreciar, en el ejemplo anterior, riores de un triángulo es igual a 180º. combinamos un grupo numeroso de reglas y prin- 3. ¿Podemos reducir este problema al conocido? cipios heurísticos y la planificación del maestro es ¿Cómo podemos aplicar, en el caso del cuadri- fundamental para lograr este objetivo: enseñar látero, lo que sabemos acerca de los triángu- a pensar. los? Tal vez, pero aquí no tenemos triángulos. 61
  • 62. Componentes Didácticos Pasos para el desarrollo de destrezas• Observo a mi profesor cómo resuelve el problema.• Escribo los pasos del proceso, comparo mis anotaciones con las de mis compañeras y compañeros.• Me pregunto sobre las dificultades en el desarrollo de la actividad.• Pongo en práctica mi nueva destreza para resolver problemas de la vida real.• Ejecuto los pasos necesarios para resolver el problema.• Digo en voz alta las acciones que realizo mientras resuelvo el problema.• Ensayo la resolución del problema, utilizando diferentes variables. Pasos para la ejecución de proyectos de aula• Se recoge, analiza, sistematiza y resume la información.• Mediante un proceso de discución, se selecciona un problema que resulte significativo para todos y de interés para el desarrollo de la investigación.• Se reparte y organiza la información.• En equipo, se plantean diversas estrategias de indagación de la realidad y de búsqueda y recolección de información.• Se buscan métodos de expresión del conocimiento adquirido.• Se buscan problemas presentes en la vida cotidiana y se ponen en práctica los conocimientos adquiridos. Proyecto de aula Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial.¿Que es un proyecto de aula?• Proyecto es una investigación a profundidad de una situación problema real que debe ser resuelta en un tiempo y espacio suficientes.¿Como se plantea un proyecto de aula?• Se propone a los estudiantes la búsqueda de situaciones problemas en la realidad.• Se selecciona alguna que sea de interés general.• En grupo, se plantean diversas estrategias para abordar el problema y se visualizan las posibles soluciones.• Se socializa, sistematiza y resume la información obtenida.• Se plantean, con la participación del grupo, las formas de presentar los datos obtenidos.• Se emiten conclusiones a las cuales se ha llegado con la ejecución del proyecto. 62
  • 63. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. Proyecto de aula Tiempo: 3 meses. Períodos de clase: 12 horas Objetivo: elaborar una tabla de datos, un gráfico de barras para analizar la información obtenida; además, calcular porcentajes y realizar operaciones para obtener conclusiones y plantear soluciones al problema. Investigo en prensa y otros medios sobre el incremento del parque automotor en la ciudad, desde el año 2000. 1 Componentes Didácticos Sistematizo la información obtenida Calculo el porcentaje de incremento de 7 2 en gráficos de barras, para visualizar autos en el país desde el año 2000 hasta los resultados. ¿Cuáles son la fecha. las consecuencias ambientales debido al incremento de Investigo los niveles de gases que automóviles en Realizo una encuesta a 10 personas emanan los tubos de escape de 6 el parque automotor, 3 que viven cerca de la institución. los autos y los comparo con los en la ciudad El tema es “¿Cómo fue y cómo es el legalmente permitidos. ambiente hoy”? de Quito? 5 4 Comparo las ventajas y las desventajas Investigo, en el Ministerio de Ambiente, en la circulación de autos en la ciudad en Internet y con especialistas sobre los63 de Quito y expongo las consecuencias impactos negativos producidos por el y posibles soluciones. exceso de tráfico en la ciudad.
  • 64. Solucionario 9 Módulo 1 AÑO EXPORTACIONES IMPORTACIONES SALDO 2001 5 5 0 Zona de aplicación. Pág. 11 - 12 2002 5 6 –1 1 a) +100 b) –18 c) –6 d) +4 e) –5 f) +25 2003 6 7 –1 2 A = +7 ; B = –6 2004 7 8 –1 3 a) –9 b) +5 c) –55 d) + 13 2005 10 10 0 4 a) V b) F c) F d) V e) V f) V 2006 13 12 +1 5 R = 5 y –5 2007 14 13 +1 6 R = 26 10 a) 4 > –4 b) 2 = 2 c) 5 > –5 d) | a + b | ≤ | a | + | b | 7 R = +3 y –4 11 A B a–b –(a–b) 8 R = –9 3 8 –5 5 9 a) a = –1, b = 2, c = –3 b) 5 –4 9 –13 13 10 a) –3 b) – 5 c) 6 d) –a –6 –13 7 –7 11 25 –32 57 –57 – 9 000 – 8 000 – 7 000 – 6 000 – 5 000 – 4 000 – 3 000 – 2 000 – 1 000 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 0 –42 66 –108 108 Fosa Perú Chile Mar Muerto Monte Kilimanjaro 12 Diferencia de Diferencia de Entero negativo 12 Número dos enteros dos enteros menos entero –n –m 0 P r q positivos negativos positivo Zona de aplicación. Pág. 15 - 16 –9 5 – (+14) –15 – (–6) –18 – (+9) 1 a) F b) F c) V d) V e) F f) V 5 10 – (+5) –10 – (–15) 2 a) –11, –9, 0, 4, 6 b) –33, –15, 1, 8, 23, 44 –7 9 – (+16) –17 – (–10) –20 – (+13) 3 a) m = 16 o m= –16 b) p = 5 0 p = –5 c) n = –9 0 3 – (+3) –6 – (–6) 4 A = –35 B = –10 C = 10 D = 20 M = –18 N = –10 K = –4 L = 2 13 a) 13) R = 212 m bajo el nivel del mar 5 a) x = –150 b) z = –30 c) y = –20 14 R = 3 900 m 6 A=+4 B = –5 C=+7 M = –3 N=5 K = –8 15 R = Nació: año 63 A.C. Murió: año 14 D.C. 7 a) 609 b) – 42 c) – 2320 d) 412 16 a) –5 b) 3 c) –11 d) –63 8 a) 10 b) 14 c) 16 d) 4020 17 [(20 + 30) – (4 + 15 + 2)] + [(17 + 18 + 20) – (4 + 6)] 9 a) V b) F c) V 18 Mes Ingresos ( ) Egresos ( ) Saldo ( ) 10 a) F: el valor absoluto de cualquier número siempre es positivo. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. 1º 20 4 16 b) F: el valor absoluto representa una distancia. 2º 30 15 15 c) V: puesto que a ≠ –a siempre que a ≠ 0 3º --------------- 2 –2 d) V e) F: en los enteros negativos no se cumple. 4º 17 4 13 f) V 5º 18 6 12 11 a) 13 ° C b) 4 ° C c) 4 ° C d) –5 ° C 6º 20 --------------- 20 12 a) 5 h b) 13 h c) 11 h total 105 31 74 Zona de aplicación. Pág. 27 - 28 - 29 Zona de aplicación. Pág. 21 - 22 - 23 1 a) – 2, 0, 2, 4, 6, 8 b) –1, 2, 5, 8, 11, 14, 17 1 a) 6 + 8 = 14 b) 3 + (–9) = –6 c) (–5) + 10 = 5 d) (–8) + (–7) = –15 2 a3 = –2 a6 = 7 2 a) +5 + 4 – 6 = 3 b) +3 – 9 + 4 = –2 3 R = 15 3 a) 12 + (–5) b) 7 + (–16) c) 5 + (–(–4)) d) – 3 + (–11) 4 a) –3, –6, –9, –12, –15 b) – 13, –8, –3, 2, 7 4 a) x = 12 b) m = –11 c) k = 11 5 a) M b) 15 c) 8 d) 6 5 a) p – 8 = –6 b) b + ( –9 ) = 14 c) x – 5 = –10 d) z + 9 = –12 6 a) d b) a 6 R = –7 °C 7 a) –4, 1, 6, 11, 16, 21 b) 33, 30, 27, 24, 21, 18 7 R = 2500 m 8 a) 7 y 13 b) 16 8 R = 32 9 a) a8 = 43 b) a8 = 15 10 R = 25 min y 40 min 64
  • 65. Solucionario 11 a) R = 13 días 11 Alternos Expresión Correspondientes Alternos internos 12 R = 80 Externos Matemática ayc; eyg; fyh 13 a) 22 Rojos, 50 blancos b) 470 rojos, 94 blancos ; gyd f y g; cyb ayd;eyh –100 + 50 = –50 14 Triángulos: an = n(n + 1)/2 ; Cuadrados: an = n2 15 Eva: 18 min, Sergio: 12 min, 75 peldaños, 180 peldaños s 16 R = 27 cm a e r 17 R = 30 filas f b 18 R = –13, –9, –5, –1, 3, 7, 11, 15 c g r Zona de aplicación. Pág. 35 - 36 h d 1 a) V b) F c) F d) V e) F 2 a) 20° y 110° b) 1° y 91° c) 0° y 90° d) No tiene y 80° 12 a) R = 20 000 e) 25° 24´ y 115° 24´ 13 a) +3 b) –2 3 14 R = Subterráneo 3 w 15 R = 32 bacterias, 8 horas. z x u Módulo 2 Zona de aplicación. Pág. 47 - 48 4 a) x = 75° b) x = 30° 1 a) + 15 b) + 2 c) –2 d) + 6 e) + 14 f) – 1 5 <4= 75° <5= 35° <6= 30° <7= 40° 2 a) 6 b) 6 c) –4 d) 5 6 Construcción auxiliar: se traza una recta por z que sea paralela a 3 a) 12 b) 12 c) (–6) d) 3 las rectas m y n. 4 a) –35 b) –12 7 R = 40° o x = 40° 5 a) –55 b) 28 8 R = 140° o x = 140° 6 a) –14 b) a < 8 c) 35 Compruebo lo que sé pág. 38 - 39 7 R = 50m/min 1 Expresión Mate- 8 a) V b) F Situación Inicial Variación Situación Final mática Estamos a 7 ° C Sube la Estamos a 12 ° C (+7) + ( +5) = 9 a) 1 b) –1 c) –1 sobre cero temperatura 5 ° C sobre cero (+12) 10 a) 112 b) –125 c) 9 d) –358 Ana está en el Está en el kilome- Retrocede 20 km 30 – 20 = 10 11Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. Kilómetro 30 tro 10 Elena tiene 20 Ganó 5 Elena tiene 25 20 + 5 = 25 a B c a*c c*a b*0 b*1 a*(b*c) (a*b)*c El ascensor está 2 3 4 8 8 0 3 24 24 El ascensor está Descendió 8 en el subsuelo 5 + (–8) = – 3 en el 5º piso pisos -1 -2 -3 3 3 0 -2 -6 -6 Nº 3 6 5 5 30 30 0 5 150 150 Estamos a 100m Estamos en el bajo el nivel Subimos 50m nivel 50 bajo el –100 + 50 = –50 del mar nivel del mar 12 0 puntos 13 2 a) 0 b) –11 c) 7 d) –14 2 : –1 = –2 3 a) F b) F c) V d) F + – – 4 –8 °C, –3 °C, 0 °C, 1 °C, 5 °C –3 • 1 = –3 5 a) El nivel del mav b) 0 °C c) Ninguna transacción = = = d) Año de nacimiento de Cristo para los cristianos. –1 – –2 = 1 6 a) x – 5 = 2 b) x – (–5) = –8 c) 7 – x = 2 d) –6 – x = –2 14 –1, 2, 3 ; 1, –2, 3 ó 1, 2, 3 7 R = 87 años 15 R = 35; 20 8 a) –12 b) 58 c) –2 d) 4 16 Por ejemplo, –2 y –3: (–2)(–3) = 6; –2 + (–3) = –5 9 a) –12 o 12 b) –12 10 a) 200 m de profundidad b) 5° bajo 0° c) Saldo a favor 125 65
  • 66. Solucionario Zona de aplicación. Pág. 51 3 A (P; O), B (m; ᭿), C (q; trapecio invertido), D (m; ᭡) 1 a) –6 b) –7 c) –13 4 a) I cuad. b) III cuad. c) IV cuad. d) II cuad. 5 A: en la frontera, B: en el interior, C: en el exterior 2 a) –12 b) 27 c) 10 d) –54 6 M X N = {(a; 1), (a; 2), (a; 3), (a; 4), (a; 5), (b; 1), (b; 2), 3 a) –25 b) –24 (b; 3), (b; 4), (b; 5), (c; 1), (c; 2), (c; 3), (c; 4), (c; 5), (d; 1), (d; 2), (d; 3), (d; 4), (d; 5)} 4 a) 11 b) 4 c) –20 d) –49 Zona de aplicación. Pág. 65 - 66 5 R = 7 canastas 6 R = 33 cromos 1 1 cm 7 R = –11, 13, 7; –13, 11, 7; –7, 11, 13; (–7),(–11),(–13) 2 24/5 cm 8 R = 6 002 personas 3 __ = CD EF __ AB EF 9 R = 50 muñecos 4 x/y = 3/4; w/z = 5/2; v/x = 1/3; v/z = 3/4 Zona de aplicación. Pág. 54 - 55 5 a) c/a; d/b b) e/d; d/c; b/a c) x = d, x = b, x = e, y = c, x = e 6 a) SB = 7 b) SC = 2; CD ≠ 12 1 2, 6, 18, 54, 162, 486 7 a) OS = 14 cm, RS = 8cm b) k = 4/3 2 a) Geométrica, r = 2 b) Geométrica, r = 3 c) Geométrica, r = 20 8 a) BC = 4 cm b) 4 veces d) Geométrica, r = 2/3 e) Geométrica, r = – 2 f) Geométrica, r = 1/2 g) Geométrica, r = – 1 Compruebo lo que sé pág. 68 - 69 3 an = 3 • 2n–1 , a8 = 384 1 a) –3 b) –20 c) –32 d) 2 e) –4 4 60º y 80º 2 16 minutos 5 500 mil; 1 millón; 2 millones y 4 millones. 3 Como AC/AB = ED/BD => DE II AC 6 255 4 a) AS = 4 cm, AC = 6 cm b) AD = 63 cm2 7 an = 2 • 3n–1 y el producto de los tres primeros términos es 8. 5 20 m 8 R = 10 100 6 15 625 personas 9 2n + 1 7 Pentágono: (–4; 1), (–2; 1), (–4; 3), (–2; 3), (–3, 5) 10 a) Caras ocultas: 1, 4, 7, 10 b) Caras visibles 5, 8, 11, 14… Rombo: (1; 1), (2; 3), (3; 1), (2; –1) sucesiones aritméticas Trapecio: (–1;–1), (1; –1), (–2; –3), (2; –3) 11 485 pollos 8 a) an = 7+(n–1)4 b) an = 1+(n–1)3 c) an= 4+(n–1)3 12 Sucesión aritmética, diferencia = 2d Zona de aplicación. Pág. 78 - 79 13 25, 10, 4, 8/5, 16/25 1 a) 2n b) 2x c) P/2 d) x/2 e) x + y f) n • (n+1) 14 a) a4 = 13/5; a7 = 23/4 b) a4 = 7; a7 = –10 g) x/m h) P2–1 i) 2n j) 2n+1 k) a3 l) m, (m+1) 15 a) 2, 8, 16, 26, 38 b) 1, 1, 2, 3, 5, 8 Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. 2 a) x2 – 25 b) P+1 c) P – 1 d) a2+b2 e) a/2 – b/2 16 d = 4 a) Si es término de la sucesión, ocupa el lugar 100 f) 2a – a/2 b) No es término de la sucesión. 3 a) Doble de un número b) La mitad de un número z 17 Se obtiene una sucesión aritmética al multiplicar y sumar una canti- c) El cuadrado de un número d) La suma de dos números dad fija. Se obtiene una sucesión geométrica al e) La diferencia entre m y p f) El producto de tres números. multiplicar por una cantidad fija, pero no al sumar una cantidad fija. g) La suma del doble de un numero “x” con el triple de “y” e) Diferencia de cuadrados de dos números x, y 18 a) 15 b) –1 998 c) 4/27 d) 20 e) 24 19 93 534 4 En la última columna, de arriba hasta abajo: 1, 5, – 10, – 9, 10 20 260 260 5 a) 3 b) 10 c) –4 d) 4 e) –3 f) 4 g) 3 h) –40 i) –2 j) 2 k) 3 l) 3 21 Su razón se duplica, r1 = 2r 6 31 22 30º, 60º, 90º 7 K = 13 23 18 días 8 Luis: 357,5 ; Antonio: $482.5 24 3 280,4 9 80, 96, 124 25 NO 10 a) a2+ b2 b) (a + b)2 c) a2 – b2 d) (a – b)2 Zona de aplicación. Pág. 59 - 60 e) (x + 4)(x – 4) f) a • b g) 3x – x/2 h) 2 m3+ m2/5 11 a) P = 4x b) (x – p)2 = A c) C = 2 • h d) m + 5 1 a) M (–2; c), N (–1; a), T (–1; – c), P (1; a), Q (2; c), R (2; – a) e) t – 8 f) x = p/4 g) P = 2(a+b) h) 100 – h 2 a) P1 (–2; 2), P2 (–1; –2), P3 (–4; –1) b) R1 (1; 3), R2 (3; 3), R3 (3; 1), R4 (1; 0), R5 (0; 2), R4 y R2 66
  • 67. Solucionario 12 a) x = Luis, 2x = Juan b) x + 2x = 500 c) x = Juan, x/2 Luís 3 Es el punto de intersección de la altura al lado AC con la bisectriz d) x + 20: Juan, x = Luís e) Juan: x, Luís: x – 20 del ángulo con vértice en C. 13 a) Cuadrado de la suma de dos números 4 a) RQS = TSQ por ser alternos internos, luego TSQ = SQT. b) La suma de los cuadrados de dos números, mas su doble Entonces, el triángulo STQ es isósceles de base QS, esto indica que producto. QT = TS b) Se traza la altura al lado QS c) Diferencia de cuadrados de dos números. 5 30º y 60º d) Producto de la suma por la diferencia de dos números. 6 45º Zona de aplicación. Pág. 84 - 85 7 40º 1 a)Proposición compuesta b) Proposición 8 Sea x el ángulo buscado, entonces x = 180º – (α/2 + β/2) = 180º c) No es proposición d) Proposición compuesta – [(α + β)/2] y sustituyendo α + β por 180º – γ se obtiene la e) Proposición compuesta f) No es proposición proposición. g) No es proposición 9 10º 2 a) p ^ q b) ¬ (¬ p) c) p ^ q d) p ^ q e) p ^ q f) p ^ q 10 Se demuestra que ACD = BCD por suma de ángulos internos. 3 a) F b) V c) V d) V e) V f) V 11 a) 6 cm b) Punto exterior al MPQ g) F h) V i) V j) F k) V 12 Sugerencia: Construir un triángulo acutángulo ABC 4 a) p : 1, q : 0, r : 0, s : 1, t : 0 b) Luís practica los tres deportes, Efraín practica atletismo, Zona de aplicación. Pág. 103 - 104 Jorge juega solo fútbol c) ¬ r: Julián no practica fútbol o atletismo, ¬ p: Pablo no 1 a) 0,01 m b) 100 m c) 0,1 m d) 10 000 m2 e) 10 m practica los tres deportes. f) 100 m2 g) 70 000 m2 h) 0,001 m3 i) 0,0001 m2 j) 1 000 m3 k) 0,01 m2 l) 0,000001 m) 1 000 m 5 Proposiciones a libre elección n) 1 000 000 m3 ñ) 0,008 km o) 20,1 m 6 p q pՔq 2 a) 10 b) 6 c) 7 d) 5 e) 8 f) 3 g) 9 0 0 0 h) 2 i) 4 j) 1 0 1 1 3 Mide las longitudes de cosas que te rodean. 1 0 1 4 Ejemplo: 1 1 0 mm2 cm2 dm2 m2 dam2 Hm2 Km2 500000000 5000000 50000 500 5 0.05 Zona de aplicación. Pág. 92 - 93 5 1 a) V b) V c) F d) V e) F f) V M km hm dam dm cm mm 2 a) A 20 0.02 0.2 2 200 2 000 20 000 b 300 0.3 3 30 3 000 30 000 300 000 c 4 0.004 0.04 0.4 40 400 4 000Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. 0.5 0.000 5 0.005 0.05 5 50 500 A a C b) B c) b 0.06 0.000 06 0.000 6 0.006 0.6 6 60 3 a) rectángulo, escaleno b) obtusángulo, escaleno 0.07 0.000 07 0.000 7 0.007 0.7 7 70 c) acutángulo, equilátero d) acutángulo, isósceles 800 0.8 8 80 8 000 80 000 800 000 e) acutángulo, escaleno f) rectángulo, isósceles 9000 9 90 900 90 000 900 000 9 000 000 4 Opuesto al lado mayor y diferente de los otros dos lados iguales. 2 000 000 2 000 20 000 200 000 20 000 000 200 000 000 2 000 000 000 5 a) ᭡ ABC obtusángulo, ᭡ ACD rectángulo. 4 • 106 4000 40000 400000 4 •107 4 •108 4 •109 b) m ( CAB)=15º m ( BCA)= 45º c) trapezoide d) A; B Compruebo lo que sé. Pág. 106 - 107 6 a) SI b) SI c) NO d) NO e) Si f) SI 1 a) P = 4 • 3 b) A = (3)2 c) P = 80 lb • $ 2,50 7 a) 67º b) Acutángulo, escaleno c) AC, CB, AB. 2 4 8 a) m ( PSQ) = 85º, m ( QSR) = 45º b) PSQ: isósceles 3 19, 21, 23 c) PS; RS; PR 4 20 años Zona de aplicación. Pág. 97 - 98 5 464,32 1 b) El circuncentro esta fuera del triángulo. No necesariamente el 6 a) 95 cm b) 775 mm c) 2,5 dm circuncentro debe encontrarse dentro del triángulo. d) 0,004 Km e) 0,098 dam f) 0,0093 Hm 2 Es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos 7 4 Kilolitros; 400000 Centilitros; 40 hectolitros ABC y BCD. 67
  • 68. Solucionario 7 4 Kilolitros; 400000 Centilitros; 40 hectolitros 14 Cuando el exponente sea par: (2)4 = (–2)4 = 16 8 0,177 lit, 7 pulgadas, 0.58 pies 15 22009 9 740 m Zona de aplicación. Pág. 119 10 a) 3 713 m b) 5,13 km 11 183,672 km 1 a) 4 b) –2 c) 7 d) –2 e) –4 2 a b a+b a+b a + b 12 Uno de sus ángulos es siempre 90º 16 9 25 5 7 13 a) si b) no c) si d) no e) no f) no 25 144 169 13 17 14 36º, 108º 36 64 100 10 14 15 48º cada uno 225 1296 1521 39 51 16 P = 77 cm 3 a) 252 b) – 245 c) – 25 d) 42 17 Utiliza la escuadra para conseguir el ángulo de 90º. 4 a) 6 b) 14 c) 7,28 d) 21,2 e) 28,3 18 Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isós- celes son iguales también, por ello, en todo triángulo isósceles 5 m a b Proceso c los ángulos bases son iguales. 3 16 2 3 8 2 19 1 4 –25 –25 4 1 1 20 Hay infinitos triángulos con esas condiciones. No se puede 5 1944 -8 5 –243 –3 construir con dos ángulos rectos porque esos dos ángulos ya 6 46875 3 6 15 625 5 sumarían 180º y no queda amplitud para el tercer ángulo. 5 7 640 –5 –128 –2 21 45º, 45º, 90º 6 a) 31 b) 233 22 63º c/u 23 a) 65º b) 30º c) 60º d) 23º Zona de aplicación. Pág. 124 - 125 24 Equilátero, Acutángulo 1 21,3 cm2 25 a) a, c, b b) a, b = c c) a = b = c d) c, b, a 2 a) 8,9 cm b) 80 26 22º, 22º, 136º 3 39,2 cm2 4 35 m2 5 0,44 m2 Módulo 4 6 12 500 cm2 Zona de aplicación. Pág.114 - 115 7 12 m 1 a) 25 b) (–3)4 c) 95 d) 82 • 73 8 4,6 cm e) 53 • 62 f) (–2)3 • (–4)2 9 8 cm, 14 cm, 5,6 cm Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. 2 Potencia 32 (–2)8 1104 (–4)0 15 402 1012 (–30)3 10 60 cm, A᭡ = 1 131,4 cm2 Base 3 –2 110 –4 15 40 10 –30 11 140,3 m2 Exponente 2 8 4 0 1 2 12 3 12 Ver texto para hacer el resumen. 3 a) V b) F c) V d) V e) V f) F 13 13. 6,9 m2 4 a) 1 b) 512 c) 16 d) 2 401 e) –27 14 d f) 125 g) 256 15 a, b, c, d 5 a) (–11)5 b) g5 c) (–5)4 d) 211 e) (–6)2 16 a) A = 15 cm2 b) Escaleno, obtusángulo. g) 256 h) 100 000 Zona de aplicación. Pág. 131- 132 6 a) 1 b) 1/16 7 a) x = 6 b) x = 5 1 a) BCD b) BC = CD; AD = CD 4 8 2 = 16 células. 2 Tercer criterio de congruencia. 9 a) F b) F 3 a) Utilizar congruencia: tercer criterio b) A lados iguales se oponen ángulos iguales. 10 a) 58 • 106 b) 149 • 106 c) 1,426 • 109 d) 4,495 •109 e) 228 • 106 4 a) BC = 6cm; m( LMP) = m( ABC) b) EF = 2 cm; m( LMP) = m( EFG) 11 a) y = 2 b) 1 005 c) 8 d) 0 12 a) 102, 103, 1011 b) 106 = 1 000 000 c) 5 horas 13 a) 1018 b) 270 c) 240 porque (210)4 > (103)2 68
  • 69. Solucionario 5 Criterio LAL: Basta que tengan los dos catetos iguales. Criterio 15 a) AD = 24,6 cm ALA: Basta que tengan un ángulo agudo y el cateto adyacente b) A = 406 m2 iguales. Criterio LLL: Basta que tengan dos lados iguales respec- c) A(AED) = 242 m2, A(ABC) = 648 m2 tivamente. 16 b) A(ABC) = 15 cm2 c) a = 10 cm d) c hc = 30 cm2 6 a) Suma de ángulos internos, criterio ALA. e) A > B b) Probar que DE = DF 17 Ximena, por la desigualdad triangular. c) La bisectriz del ángulo principal en un triángulo isósceles es altura y mediana del lado base. 7 a) Congruencia, criterio LAL Módulo 5 b) Congruente: criterio LLL c) No es congruente Zona de aplicación. Pág. 147 - 148 d) Congruente: Criterio ALA e) No es congruente. f) No es congruente. 1 b) 0 c) –4 d) – 20 e) –3 8 a) 9 cm2 b) Criterio LLL en triángulo ADM y CMB 1 a) 80 180 b) 29 c) 160 d) 5 140 e) 1 672 c) Si, son congruentes f) –9 g) 765 h) 123 i) –429 3 a) a = 3 b) a = 4 c) a = 18 d) No existe Zona de aplicación. Pág. 136 4 a) 2do procedimiento b) tercera opción 1 R = 8 cm y 10 cm 5 a) 45 b) 2 c) –12 d) 2 e) 14 2 Son semejantes 6 a) –133 b) –100 c) 16 d) 32 e) 8 3 Los lados de un triángulo tienen el doble de la medida de los lados del otro 7 a) 18 b) – 8 4 Rectángulo de 9 cm por 12 cm 8 3 • 3; ( 16 )2; 3 • (1 + 3); 5 • 4/2 5 a) No b) No 9 a) –4 023 b) 2 c) 50 d) 100 6 35, 40 y 50 cm Zona de aplicación. Pág. 152 - 153 7 6 ó 1/6 1 a) 2 π b) π c) 12 π d) 18 π 8 a) Tienen un ángulo igual y los lados opuestos al ángulo son paralelos. b) x = 4,6; y = 7,3 2 a) 8 π ó 25,13 m b) 20 π c) 4 km d) 5m 9 22,5 m 3 a) 8 π b) 3 π cm c) 12,5 m d) 25,7 m e) 16,8 m f) 22,3 cm 10 56,5 m 4 31,4 m Compruebo lo que sé. Pág. 138 - 139 5 3,14 m 1 Por LAL se demuestra que los triángulos APC y AQB son 6 8πm congruentes; de aquí se desprende que BQ = PC. 2 RS = 4,8 cm 7 31,4 cmProhibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. 3 P = 77 cm 8 8 000 vueltas la grande, 16 000 la pequeña, 2 vueltas la pequeña, 1 vuelta de la grande. 4 Ver texto y situar características en un cuadro. 9 31.4 cm 5 20 m; 24m; 44m y 36m 10 42,8 m 6 a) –8 b) –5 c) 20 11 9,4 cm –3 7 a) (–8) b) 126 c) 229 12 D = 30 cm; r = 15 cm 8 A(ABD) = 4 cm2 A(BCD) = 10 cm2 A(ABC) = 14 cm2 13 r = 1 m 9 a) base: – 16, exponente: 2 14 2,8 m b) base: 132, exponente: n c) base: x, exponente: n + m 15 580 cm ó 5,8 m d) base: n – 2, exponente: r 16 a) F b) V c) V d) V 10 a) AD = 4 cm b) A(ABD) = 16 cm2 Zona de aplicación. Pág. 158 - 159 c) A(ABC) = 22 cm2 1 m( x) = 23º 11 27/4 cm2 2 m( α) = 112º ; m( β) = 67º 12 a) 2 100 m2 b) 42 000 3 m( α) = 100º; m( β) = 50º 2 13 a) 20 cm y 17,3 cm b) 24 cm y 27 •7 cm2 4 m( α) = 21º 5 El arco mide 60º, por tanto está contenido 6 veces. 14 24 cm 2 69
  • 70. Solucionario 6 6. m( β) = 46º Compruebo lo que sé. Pág. 172 - 173 7 m( α) = 55º 1 As = 20 π cm2 8 46º 9. α = 105º 2 V = 90 π cm3 Zona de aplicación. Pág. 163 - 164 3 a) 83 600 b) 5 140 c) –429 4 m( α) = 105º 1 A = 32 π cm2 5 76º 2 418,6 cm2 6 A = 300 π m2; Ac = 250 π m2 3 8/3 π cm2 = 8,4 cm2 7 A = 200 π m2 4 314,16 cm2 5 57 cm2 8 A = 529 π dm2 6 A = 13/2 π cm2 9 16,786 m2 10 a) 475 m3 b) 33días c) No 7 25/2 π cm2 = 6,5 cm2 11 c) Por que si están en semiplanos contrarios, entonces 8 57,3º b) 172º c) 2 π son diferentes, salvo que la cuerda sea un diámetro. 9 A = 4 π dm2 12 A = 69 π cm2 10 A = 10 000 π cm2 13 6 m, 9 m, 13,5 m 11 Forma apropiada: el círculo, tiene mayor área. 14 a) –18 b) 4 12 Es simple completar la tabla. Por ejemplo, cuando el radio es 15 Cilindro B igual a 5 cm, el Perímetro será 10 π, mientras que el Área es igual a 25 π. En todos los casos, basta sustituir en las fórmulas 16 Sí del Perímetro y el Área. 13 a) P = 2 π r (doble de radio) b) A = π r2 (el valor del radio Módulo 6 elevado al cuadrado) c) Perímetro varía linealmente su grafica es una línea recta. El Área varía de forma no lineal. Zona de aplicación. Pág. 181 - 182 Zona de aplicación. Pág. 169 - 170 1 a) F b) V c) F d) F e) F f) F g) V 1 A = 264 cm2 ; V = 288 cm3 2 T Monomio Coeficiente Factor literal Grado 2 2 2 AT = 37,8 cm ; V = 13,85 cm 2 3 –2xy –2 xy 3 3 A = 80,8 cm2 10mn 10 mn 2 T 2 –16a –16 a2 2 4 AT = 98 cm2 ; V = 36 cm3 bdn 1 bdn 3 5 V = 160 π cm3 3 3 12x y 12 x3y3 6 6 No puede contener. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. 125z 125 z 1 7 3 897 cm3 3 a) 8x b) 3m2 c) 18y – 12y2 d) 3b2 8 V = 100 m3 4 a) 3m b) 12a c) –8m2 d) –5 x2y2 9 Vp = 106 m3 Nº camiones: 6 e) 12 a – 7b f) –3 a2 g) 0 h) –14 y i) 17 a – 17 b 10 646,3 m3 5 a) 53 b) –76 c) 0 d) –89 e) 156 f) –1 g) 49 11 b) 8 889 baldosas. c) 300 m3 6 12mp; 12a; 6y; 3 y; 6m + 4n; 27x 12 a) 8 000 π cm3 ≈ 25 133 cm3 b) 1,2 cm 7 a) –3 a – 2b + 5c b) 11x – 11y c) 29 a – b – c 13 V = 2 V ; El de altura mayor tiene el doble de volumen. d) 8m – 11n e) 6 p –29 q + 17 r f) –18 a2 –8 b2 1 2 14 3/2 m de altura. 8 15 30 cm3 A B A+B A–B 2иA –3иB x+5 x+3 2x + 8 2 2x + 10 –3x – 3 16 16 π cm3; 36 π cm3; 64 π cm3 2 2 3x + 2x + 5 2x – 6x – 1 5x 2 – 4x + 4 x 2 + 8x + 6 6x2 + 4x + 10 –6x 17 a) 1,2 dm3 b) 3,3 cm 5m2 – 4m +6 6m – m2 – 4 4m2 + 2m + 2 6m2 – 10m + 10 10m2 + 8m + 12 3m2 – 18m + 12 2x – y 3y – x x + 2y 3x – 4y 4x – 2y 3x – 9y 18 18m3 9 a) P + Q = 3x2 – 2 x + 5 Q – P = x2 – 8 x + 9 b) P – (Q – R) = 4x3 – 7 x2 + 5x – 2 70
  • 71. Solucionario Zona de aplicación. Pág. 186 - 187 4 a) 2 550 b) 10 000 c) 2 460 d) 76 930 e) 3 600 1 a) 9a – 8b b) a + b c) 22x – 3y – 17z Zona de aplicación. Pág. 202 d) –3x + 21y – 9z e) –2a + 5b – 4 c – 16ab – 8ac + 5bc f) –x2 – 7y + 5 g) 5x – y h) 4x + 6y – 1 1 24 formas 8 12 formas distintas i) – 3x + 21y – 17z 2 6 resultado 9 28 caminos 2 a) x3 + x2 – 5x + 2 b) – x3 + x2 – x – 2 3 36 resultados, 216 resultados 10 120, 24, 24 c) x3 – x2 – 6x + 3 d) – x3 + x2 – 3 e) x3 – x2 + 2x + 1 f) – 3x3+ 2x2+7x – 1 4 720 maneras 11 12 3 a) 9 x3 b) 9 mn2 c) –39 b2 d) 34 y2 e) –14 z2 5 120 formas 12 120 4 a) 3y 2 b) 9m 2 c) 15b 2 6 20 meriendas 13 24 3 5 a) 3x – 12x + 3x 2 b) 0 7 24 palabras 14 150 formas 6 a) P = 12x + 5y; A = 6xy b) P = 22 b; A = 26 b 2 7 a) 10x – 2 b) 6y + 7 c) 8m + 4n d) 2x2 + 16x + 2 Compruebo lo que sé . Pág. 204 8 a) –24m4n3 b) 18 x5y5z c) –20 000 a7b4c7 d) 64 x4y10 1 8 resultados 9 a) A = 6m n4 2 b) A = 9a b 3 2 2 a) 16 personas b) Ordenar y elaborar con frecuencia absoluta Zona de aplicación. Pág. 193 - 194 3 Elaborar tabla 1 a) 27 alumnos b) 10 y 7 c) Ver tabla en texto 4 120 veces d) ver diagrama en el texto 5 210 2 a) 7 variables 6 18 formas b) La tabla de frecuencias tiene 7 variables que van del 0 al 6. c) El diagrama de barras va decreciendo en la medida que 7 24 números aumenta el número de materias reprobadas. 8 a) 156 b) –1 c) –13 d) –118 3 a) 9 b) 13 c) 8 9 a) –3a2 b) xy2z – x2yz c) –144 d) 17a – 17b 4 Xi Ni Fa Fr 10 a) 3x2 – 2x + 5 b) –x2+ 8x – 9 c) x2 – 8x + 9 4 3 3 0,12 12% d) – 3x3 + 3x2 + 3 e) 6x3 – 12x + 12 f) –2x2 +5x –4 5 5 8 0,2 20% 11 a) 5 a + 3 b) 11 a +7 b c) 14x + 4y 6 7 15 0,28 28% 12 Suma de los perímetros: –a2 – 2 ; – 13a2 + 8 7 2 17 0,08 8% 8 4 21 0,16 16% 9 2 23 0,08 8% Ruta Saber Módulo 2. Pág 70 10 2 25 0,08 8% 1 F 2 G 3 F 4 D 5 F 6 G 7 G 8 EProhibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. 9 D 10 G 11 F 12 F 13 D 14 E 15 G 16 D 9 17 F 18 G 19 D 13 8 Ruta Saber Módulo 4. Pág 140 5 Se aplica la misma técnica que se describe en el texto y en el 1 F 2 G 3 D 4 D 5 E 6 D 7 G 8 F ejercicio 3 de esta sección. 9 D 10 G 11 F 12 F 13 E 14 E 15 G 16 F 6 Realiza la experiencia y anota los valores. 7 Diagrama de sectores. 17 G 18 D 8 Similar a los ejemplos anteriores. Zona de aplicación. Pág. 198 Ruta Saber Módulo 6. Pág 206 1 a) 300 b) 45 150 c) 125 250 1 E 2 G 3 D 4 F 5 E 6 F 7 F 8 G 2 4 triángulos de 8cm de lado. a) 4 b) La mitad del anterior c) 1/4 del área del triángulo 9 F 10 D 11 G 12 D 13 D 14 E 15 D 16 D anterior. d) (1/2) • (1/4) = 1/8 17 E 18 D 19 F 20 D 3 a) An = 12 + (n –1) • 8 palos b) An = 28 + (n–1) • 18 palos An = 8 + (n – 1) • 4 bolas An = 16 + (n – 1) • 8 bolas. 71
  • 72. fíaBibliogra • Alvarado, M. y Brizuela B. (2005). Haciendo números. Las notaciones numéricas vistas desde la psicología, la didáctica y la historia. Argentina: Editorial Paidós. • Bermejo, V. (1990). El niño y la aritmética. Instrucción y construcción de las primeras nociones aritméticas. Argentina: Editorial Paidós. • Cerda, H. (2000). La evaluación como experiencia total. Logros – objetivos- procesos competencias y desempeño. Bogotá: Cooperativa Editorial Magisterio. • Confederación Ecuatoriana de Establecimientos de Educación Católica (1999). Técnicas Activas Generadoras de Aprendizajes Significativos. Ecuador: Autor. • Fernández, J. (2003). Técnicas creativas para la resolución de problemas matemáticos. Bilbao: Col. Monografías Escuela Española, Praxis, S.A. • Laboratorio latinoamericana de evaluación del la calidad de la educación XVII reunión de coordinadores nacionales. (2009). Habilidades para la vida en las evaluaciones de matemática (SERCE-LLECE). Oficina Regional de Educación para América Latina y el Caribe UNESCO. • Lahora, C. (2000). Actividades matemáticas. Con niños de 0 a 6 años. Madrid: Editorial Narcea. • National Council of Teachers of Mathematicas (2000). Principles and Standars for School Mathematics. United States of America: Autor. • Parra, C. y Saiz, I. (2009). Enseñar aritmética a los más chicos. Argentina: Ediciones HomoSapiens. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin permiso escrito de la Editorial. • Parra, C. y Saiz, I. (2008). Didáctica de las matemáticas Aportes y reflexiones. Argentina: Editorial Paidós. • Panizza, M. y otros. (2006). Enseñar matemática en el Nivel Inicial y el Primer ciclo de la EGB. Argentina: Editorial Paidós. • Pitluk, L. (2006). La planificación didáctica en el Jardín de Infantes Las unidades didácticas, los proyectos y las secuencias didácticas. El juego trabajo. Argentina: Ediciones Homosapiens. 72