1. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Introducción
Álgebra Lineal
Rubén Darío Lara Escobar1
1Unidad de Ciencias Básicas
Universidad Católica de Manizales
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 1/29
2. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Contenidos
1 Introducción
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Soluciones de una Ecuación Lineal
2 Matrices y Elimininación
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 2/29
3. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Un Ecuación Lineal en n variables es x1;x2;x3; :::;xn es de
la forma:
a1x1+a2x2+a3x3+:::+anxn = b
Donde los ai0s y b son constantes; la constante a1 se
denomina coeficiente principal y la variable x1 es la
variable principal
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 3/29
4. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Las ecuaciones lineales no tienen productos de variables,
ni raices; tampoco variables que aparezcan en funciones
trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Las
variables aparecen solamente elevadas a la primera
potencia.
Ejemplo
3x+2y = 7
xy+z = 2
1
2x+yz =
p
2
ex2y = 4
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 4/29
5. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Contenidos
1 Introducción
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Soluciones de una Ecuación Lineal
2 Matrices y Elimininación
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 5/29
6. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables es
un conjunto de m ecuaciones, cada una de las cuales es
lineal en las mismas n variables.
a11x1+a12x2+a13x3+:::+a1nxn = b1
a21x1+a22x2+a23x3+:::+a2nxn = b2
a31x1+a32x2+a33x3+:::+a3nxn = b3
.
.
.
am1x1+am2x2+am3x3+:::+amnxn = bm
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 6/29
7. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Ejemplos
2xy = 0
x+2y = 3
x+y = 3
xy = 1
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 7/29
8. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Ejemplos
2xy = 0
x+2y = 3
x+y = 3
xy = 1
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 7/29
9. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
La forma general de una solución de un sistema de
ecuaciones lineales nxn es una sucesión de números
s1; s2; :::; sn que es una solución de cada una de las
ecuaciones que forman el sistema.
Una Solución del sistema:
x1+x2 = 10
x1+x2 = 0
Este sistema tiene una solución única en un punto
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 8/29
10. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
La forma general de una solución de un sistema de
ecuaciones lineales nxn es una sucesión de números
s1; s2; :::; sn que es una solución de cada una de las
ecuaciones que forman el sistema.
Una Solución del sistema:
x1+x2 = 10
x1+x2 = 0
Este sistema tiene una solución única en un punto
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 8/29
11. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
La forma general de una solución de un sistema de
ecuaciones lineales nxn es una sucesión de números
s1; s2; :::; sn que es una solución de cada una de las
ecuaciones que forman el sistema.
Una Solución del sistema:
x1+x2 = 10
x1+x2 = 0
Este sistema tiene una solución única en un punto
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 8/29
12. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Figura : Dos rectas que se cortan en un punto
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 9/29
13. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Ejemplos II
el sistema
x12x2 = 3
2x14x2 = 8
el sistema no tiene solución
el sistema
x1+x2 = 3
2x12x2 = 6
el sistema tiene infinitas soluciones
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 10/29
14. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Ejemplos II
el sistema
x12x2 = 3
2x14x2 = 8
el sistema no tiene solución
el sistema
x1+x2 = 3
2x12x2 = 6
el sistema tiene infinitas soluciones
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 10/29
15. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Ejemplos II
el sistema
x12x2 = 3
2x14x2 = 8
el sistema no tiene solución
el sistema
x1+x2 = 3
2x12x2 = 6
el sistema tiene infinitas soluciones
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 10/29
16. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Ejemplos II
el sistema
x12x2 = 3
2x14x2 = 8
el sistema no tiene solución
el sistema
x1+x2 = 3
2x12x2 = 6
el sistema tiene infinitas soluciones
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 10/29
17. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Sistema Única Solución
Figura : Sistema tiene única solución
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 11/29
18. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Sistema Infinitas Soluciones
Figura : una recta sobre la otra (son multiplos)
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 12/29
19. Introducción
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Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Sistema que no tiene Solución
Figura : Dos rectas no se cortan (Paralelas)
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 13/29
20. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Contenidos
1 Introducción
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Soluciones de una Ecuación Lineal
2 Matrices y Elimininación
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 14/29
21. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Característica de la Solución
Un sistema de ecuaciones lineales solo puede tener una
de las tres clases de soluciones
Sistema Consistente:Tiene exactamente una
solución; las rectas se cortan en un punto
Sistema Inconsistente:No tiene solución; las rectas
son paralelas
Tiene infinitas soluciones; una recta es multiplo de la
otra
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 15/29
22. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Característica de la Solución
Un sistema de ecuaciones lineales solo puede tener una
de las tres clases de soluciones
Sistema Consistente:Tiene exactamente una
solución; las rectas se cortan en un punto
Sistema Inconsistente:No tiene solución; las rectas
son paralelas
Tiene infinitas soluciones; una recta es multiplo de la
otra
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 15/29
23. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Característica de la Solución
Un sistema de ecuaciones lineales solo puede tener una
de las tres clases de soluciones
Sistema Consistente:Tiene exactamente una
solución; las rectas se cortan en un punto
Sistema Inconsistente:No tiene solución; las rectas
son paralelas
Tiene infinitas soluciones; una recta es multiplo de la
otra
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 15/29
24. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Estrategia de Solución
La estrategia general de solución de un sistema de
ecuaciones es reemplazar el sistema inicial por un sistema
equivalente mas fácil de resolver. Por ejemplo el sistema:
x12x2 = 1
x1+3x2 = 3
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 16/29
25. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Figura : Analogı’a de los tres tipos de soluciones Sistemas En
3D
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 17/29
26. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Notación Matricial
Una forma usual, por su utilidad, de presentar un sistema
de ecuaciones es la Forma Matricial.
El sistema
x12x2 = 1
x1+3x2 = 3
se puede ver de la forma matricial:
35. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Matrices
El sistema puede generar la siguiente matriz equivalente
43. Esto implica que nuestro sistema inicial se puede expresar
de forma eqivalente así:
x12x2 = 1
x2 = 2
De donde es claro que x1 = 3. ¿ Cómo se paso de la
primera matriz a la segunda?
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 19/29
44. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Operaciones Elementales
Reemplazar Se puede reemplazar una fila por un
multiplo de otra fila.
Intercambio Intercambiar dos filas
Escalar Multiplicar todas las entradas en una fila por
una constante k6= 0
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 20/29
45. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Matrices Equivalentes Por Filas
Definición
Dos matrices, una de las cuales se puede transformar en
la otra mediante una secuencia de operaciones
elementales por filas, se denominan que son:
Equivalentes por filas.
Definición
Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son
equivalentes por filas, entonces los dos sistemas tienen el
mismo conjunto solución.
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 21/29
46. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Ejemplo
Ejemplo
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones
lineales:
x+2y+z = 2
3x+8y+z = 12
4y+z = 2
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 22/29
47. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Solución al Ejemplo
Matriz del Sistema
El sistema genera la siguiente matriz
59. Observese que sólo tenemos en cuenta los coeficientes
de las variables.
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 23/29
60. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Solución al Ejemplo
I Matriz Equivalente del Sistema
El sistema genera la siguiente matriz
72. El número que esta encerrado lo llamamos un pivot.
La pregunta es ¿que operación sobre las filas transformo
en esta matriz equivalente la primera matriz del sistema?
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 24/29
73. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Solución al Ejemplo
II Matriz Equivalente del Sistema
El sistema genera la siguiente matriz
85. El número que esta encerrado es el segundo pivot.
De nuevo ¿que operación sobre las filas transformo en
esta II matriz equivalente la I matriz equivalente del
sistema?
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 25/29
86. Introducción
Rubén Darío Lara
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Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Matriz Triangular Superior
II Matriz Equivalente del Sistema
El sistema genera la siguiente matriz
98. Esta matriz lleva el nombre de Matriz Triangular Superior,
dado que bajo la diagonal principal todas las entradas son
ceros. Esta es la forma ideal para reoslver un sistema de
ecuaciones lineales.
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 26/29
99. Introducción
Rubén Darío Lara
Escobar
Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Matriz Triangular Superior
Sistema Equivalente
El sistema ahora tiene la forma matricial equivalente
Ux = C
Donde U es una matriz Matriz Triangular Superior, x es el
vector de variables y C es el nuevo vector de constantes.
¿que paso entonces con estas constantes? Para incluirlas
generamos la siguiente matriz aumentada:
Curso de Álgebra Lineal, II Semestre de 2013 27/29
100. Introducción
Rubén Darío Lara
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Introducción
Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Soluciones de una Ecuación
Lineal
Matrices y
Elimininación
Matriz Aumentada
Matriz Aumentada del Sistema
El sistema genera la siguiente matriz aumentada