Representación gráfica de funciones

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Una introducción al tema de funciones para los primeros cursos de la ESO (2º y 3º ESO)

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  • 1. Representación gráfica de funciones Prof. Carlos A. Blanco IES María de Molina (Zamora)
  • 2. ÍNDICE • Introducción. • Puntos del plano: – Coordenadas de un punto. – Representación de un punto en el plano. – Error frecuente. • • • • Cuadrantes del plano. Funciones. Formas de dar una función. Representación de funciones. – De la fórmula a la tabla. – De la tabla a la gráfica. – Puntos de corte. • Características. • Tasa de variación.
  • 3. PLANO DE COORDENADAS El sistema de coordenadas del plano está formado por dos ejes de coordenadas perpendiculares Eje de ordenadas (Eje y) Ejes de coordenadas cartesianas O 0 ,0 Eje de abscisas (Eje x) Al eje horizontal se le llama eje de abscisas (ó eje x) Al eje vertical se le llama eje de ordenadas (ó eje y) El punto de corte es el origen de coordenadas, O = (0,0) El nombre de “cartesianas”, se debe al matemático y filósofo francés René Descartes.
  • 4. COORDENADAS DE UN PUNTO DEL PLANO (I) Para escribir las coordenadas de un punto del plano, debemos hacer lo siguiente: 1. En primer lugar trazamos una vertical por el punto. 2. Señalamos el punto de corte de esta vertical con el eje x. Ordenada de P y0 P x0 , y0 Será la abscisa del punto. 3. En segundo lugar, trazamos una horizontal por el punto. 4. Señalamos el punto de corte de esta horizontal con el eje y. Será la ordenada del punto. 5. Las coordenadas del punto estarán formadas por la abscisa primero y la ordenada después. x0 Abscisa de P
  • 5. COORDENADAS DE UN PUNTO DEL PLANO (II) Para dibujar un punto en el plano de coordenadas x 0 , y 0 1. En primer lugar, señalamos la abscisa del punto en el eje x. 2. Trazamos una recta vertical por dicha abscisa. 3. En segundo lugar, señalamos la ordenada del punto en el eje y. 4. Trazamos una recta horizontal por dicha ordenada. 5. El punto deseado será el punto de corte de ambas rectas. Ordenada de P y0 P x0 , y0 x0 Abscisa de P
  • 6. COORDENADAS DE UN PUNTO DEL PLANO (y III) Para dibujar un punto en el plano de coordenadas hacer: 1. Tras haber señalado la abscisa y la ordenada del punto… 2. …es trazar una recta que una ambos puntos... x0 , y0 , lo que no debemos Ordenada de P y0 x0 Abscisa de P 3. ...lisa y llanamente porque “eso”… 4. …no será un segmento. punto sino un
  • 7. CUADRANTES DEL PLANO (I) Estos ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro zonas diferentes que se llaman cuadrantes. II I III IV Los cuadrantes se nombran con números romanos. Comenzamos a nombrar por el de arriba a la derecha y seguimos en sentido antihorario.
  • 8. CUADRANTES DEL PLANO (y II) Los puntos del primer cuadrante tienen abscisa y ordenada positivas. Los puntos del segundo cuadrante tienen abscisa negativa y ordenada positiva. Los puntos del tercer cuadrante tienen abscisa y ordenada negativas. Los puntos del cuarto cuadrante tienen abscisa positiva y ordenada negativa. P Q 5 ,3 R 5, 4 3, 2 S 3, 5
  • 9. FUNCIONES (I) Una correspondencia es cualquier asignación entre elementos de dos conjuntos. × × × × × × × Una aplicación es una asignación de elementos entre dos conjuntos de manera que a cada elemento del conjunto de partida (origen) le corresponde uno y solo un elemento del conjunto de llegada (imagen) × × × × × × × Una función es una asignación de elementos entre dos conjuntos de números reales, de manera que a cada elemento del conjunto de partida (origen) le corresponde uno y solo un elemento del conjunto de llegada (imagen) 1 2 3 4 5 6 7 8
  • 10. FUNCIONES (II) Puesto que una función es una asignación entre números reales, dicha asignación la podemos representar como (x,y), siendo x el número real del conjunto de partida e y el número real correspondiente del conjunto de llegada. Si los puntos del conjunto de partida los representamos en el eje de abscisas (eje x) y los puntos del conjunto de llegada los representamos en el eje de ordenadas (eje y), el par (x,y) es un punto del plano, y una función puede tener la siguiente forma: P x, y
  • 11. FUNCIONES (III) Llamando f a la asignación, y llamando y el número real correspondiente a x, escribimos y = f(x). x es la variable independiente e y la variable dependiente. Los puntos que corresponden a la función tendrán la forma (x,f(x)) Para que un gráfico corresponda a una función, cada recta vertical solo podrá cortar a dicha gráfica en un solo punto, puesto que para cada valor de x le corresponderá uno sólo de y. (x,f(x)) (x,f(x)) (x,f(x)) SI ES FUNCIÓN (x,f(x)) NO ES FUNCIÓN
  • 12. FUNCIONES (y IV) Se llama dominio de la función al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente x. El conjunto de puntos del eje x que tiene gráfica. Se llama recorrido de la función al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente y. El conjunto de puntos del eje y que tiene gráfica. Recorrido Dominio
  • 13. FORMAS DE DAR UNA FUNCIÓN Una función define una relación de dependencia funcional entre dos magnitudes. La magnitud que se fija previamente corresponderá a la variable independiente, y la magnitud con la que está relacionada corresponderá a la variable dependiente. Esta relación de dependencia se puede dar mediante un enunciado. Se puede dar a partir de una tabla. “Un kilo de manzanas cuesta 1,20€” y x (Kg) y (€) 1 Y finalmente se puede dar a partir de una gráfica. 2 2,40 3 Se puede dar mediante una fórmula. 1,20 3,60 1, 20 · x
  • 14. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES: DE LA FÓRMULA A LA TABLA. Dada una función por una fórmula, para escribir la tabla basta con dar valores a la variable independiente x y calcular los correspondientes valores y. x y
  • 15. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES: DE LA TABLA A LA GRÁFICA. Dada una función por una tabla, para dibujar la gráfica basta con representar los puntos de coordenadas (x,y) en el plano y a continuación unir dichos puntos. Sea la función dada por la siguiente tabla de valores: x y 1, 4 0 ,0 1, 2 2, 2 3, 0
  • 16. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES: PUNTOS DE CORTE. Dada una función por una fórmula, para dibujar la gráfica es importante conocer una serie de puntos importantes. Estos son los puntos de corte con los ejes de coordenadas :
  • 17. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES: CONTINUIDAD Una función es continua si se puede dibujar de un solo trazo. Cuando no es continua, hay diferentes tipos de discontinuidad: Discontinuidad evitable Discontinuidad de salto finito Discontinuidad de salto infinito
  • 18. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES: CRECIMIENTO Una función es creciente en un intervalo si al aumentar los valores de la variable independiente (x), aumentan los valores de la variable dependiente (y) Una función es decreciente en un intervalo si al aumentar los valores de la variable independiente (x), disminuyen los valores de la variable dependiente (y)
  • 19. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES: EXTREMOS Máximo Una función tiene un máximo en un punto cuando el valor de la función en ese punto es mayor que los valores que toma la función cerca de él. La función es creciente a la izquierda del máximo y decreciente a la derecha. Una función tiene un mínimo en un punto cuando el valor de la función en ese punto es menor que los valores que toma la función cerca de él. La función es decreciente a la izquierda del mínimo y creciente a la derecha. Mínimo
  • 20. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES: SIMETRIA Y PERIODICIDAD Una función es simétrica respecto al eje de ordenadas (eje y) ó par, cuando para cada valor de su dominio se tiene: Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas (O) ó impar, cuando para cada valor de su dominio se tiene: Una función es periódica cuando los valores que toma se van repitiendo cada cierto intervalo, llamado periodo.
  • 21. TASA DE VARIACIÓN Si se tiene la función dada por la gráfica
  • 22. TASA DE VARIACIÓN Y CRECIMIENTO. a a b b