El documento explica las nociones básicas de función, dominio y recorrido. Define una función como una asignación entre dos conjuntos de números reales donde a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y solo uno del conjunto de llegada. Explica cómo representar gráficamente una función y define dominio como el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y recorrido como el conjunto de valores de la variable dependiente.
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Una correspondencia es cualquier asignación
entre elementos de dos conjuntos.
Una aplicación es una asignación de
elementos entre dos conjuntos de manera
que a cada elemento del conjunto de partida
(origen) le corresponde uno y solo un
elemento del conjunto de llegada (imagen)
Una función es una asignación de elementos
entre dos conjuntos de números reales, de
manera que a cada elemento del conjunto de
partida (origen) le corresponde uno y solo un
elemento del conjunto de llegada (imagen)
3. Si los puntos del conjunto de partida los representamos en el eje de abscisas (eje
𝑥) y los puntos del conjunto de llegada los representamos en el eje de ordenadas
(eje 𝑦), el par 𝑥, 𝑦 es un punto del plano, y una función puede tener la
siguiente forma:
Puesto que una función es una asignación entre números reales, dicha
asignación la podemos representar como 𝑥, 𝑦 , siendo 𝑥 el número real del
conjunto de partida e 𝑦 el número real correspondiente del conjunto de llegada.
𝑃 = 𝑥, 𝑦
4. Los puntos que corresponden a la función tendrán la forma 𝑥, 𝑓 𝑥
Llamando 𝑓 a la asignación, y llamando 𝑦 el número real correspondiente a 𝑥,
escribimos 𝑦 = 𝑓 𝑥 . 𝑥 es la variable independiente e 𝑦 la variable dependiente.
Para que un gráfico corresponda a una función, cada recta vertical solo podrá
cortar a dicha gráfica en un solo punto, puesto que para cada valor de 𝑥 le
corresponderá uno sólo de 𝑦.
SI ES FUNCIÓN NO ES FUNCIÓN
𝑥, 𝑓 𝑥 𝑥, 𝑓 𝑥
𝑥, 𝑓 𝑥
𝑥, 𝑓 𝑥
5. Una función define una relación de dependencia funcional entre dos
magnitudes.
La magnitud que se fija previamente corresponderá a la variable independiente,
y la magnitud con la que está relacionada corresponderá a la variable
dependiente.
Y finalmente se puede dar a partir de
una gráfica.
Se puede dar a partir de una tabla.
Esta relación de dependencia se puede
dar mediante un enunciado.
Se puede dar mediante una fórmula.
“Un kilo de manzanas cuesta 1,20€”
𝑥 𝐾𝑔 𝑦 €
1 1,20
2 2,40
3 3,60
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 1,20 · 𝑥
En general, una función la veré como la asignación
𝑓:ℝ ⟶ ℝ
𝑥 ⟶ 𝑦 = 𝑓 𝑥
6. Se llama recorrido de la función al conjunto de todos los valores que puede
tomar la variable dependiente 𝑦. El conjunto de puntos del eje 𝒚 que tiene
gráfica.
Se llama dominio de la función al conjunto de todos los valores que puede tomar
la variable independiente 𝑥. El conjunto de puntos del eje 𝒙 que tiene gráfica.
Recorrido
Dominio
7. • Si 𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥 es una función polinómica, entonces su dominio es
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
• Si 𝑓 𝑥 =
𝑝 𝑥
𝑞 𝑥
es una función racional, (cociente de polinomios), entonces su
dominio es 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − 𝑥 𝑞 𝑥 = 0
• Si 𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥 es una función irracional, (raíz cuadrada de alguna
expresión), entonces su dominio es 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑥 ∕ 𝑝 𝑥 ≥ 0
• Si 𝑓 𝑥 = log 𝑝 𝑥 es una función logarítmica, (logaritmo de alguna
expresión), entonces su dominio es 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑥 𝑝 𝑥 > 0
El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.
Es decir, es el conjunto de valores 𝑥 para los que la función tiene sentido. Se
pueden tomar las siguientes consignas:
8. a) 𝑓 𝑥 =
𝑥2+𝑥
5
=
1
5
𝑥2
+
𝑥
5
es un polinomio, así 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
b) 𝑔 𝑥 =
𝑥−2
𝑥2+1
es un cociente en el que el numerador es una raíz. Para que
exista la función, debe existir la raíz y el denominador no se debe anular:
𝑥 − 2 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ 2
𝑥2
+ 1 = 0 ⇒ 𝑥2
= −1 ⇒ 𝑥 = ± −1
⇒ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = 2, ∞
Porque el denominador no se anula nunca.
c) ℎ 𝑥 =
𝑥−5
𝑥2−2𝑥−3
es un cociente. No se debe anular el denominador.
𝑥2
− 2𝑥 − 3 = 0 ⇔ 𝑥 =
2 ± 4 + 12
2
=
−1
3
⇒ 𝐷𝑜𝑚 ℎ = ℝ − −1,3
d) 𝑖 𝑥 =
1−3𝑥
𝑥
es un cociente cuyo numerador es una raíz, y cuyo
denominador se anula en 𝑥 = −1
1 − 𝑥 ≥ 0 ⇒ 1 ≥ 𝑥 ⇒ 𝐷𝑜𝑚 𝑖 = −∞, −1 ∪ −1,1
Calcula el dominio de las siguientes funciones:
a) 𝑓 𝑥 =
𝑥2+𝑥
5
c) ℎ 𝑥 =
𝑥−5
𝑥2−2𝑥−3
b) 𝑔 𝑥 =
𝑥+2
𝑥2+1
d) 𝑖 𝑥 =
1−𝑥
𝑥+1
9. a) En primer lugar señalamos el
dominio.
En segundo lugar señalamos el
recorrido.
Finalmente dibujamos la función
cuidando que cubra el dominio y
el recorrido
Dibuja una posible gráfica para una función 𝑓 que tenga por dominio y recorrido:
a) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 0,3 ∪ 5,7 y 𝐼𝑚 𝑓 = 0,2
b) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − −1,1 y 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ
b) En primer lugar señalamos el
dominio.
En segundo lugar señalamos el
recorrido.
Finalmente dibujamos la función
cuidando que cubra el dominio y
el recorrido
10. Supongamos que tenemos dos funciones 𝑓 y 𝑔 que parten desde el mismo
conjunto de números reales, y suponemos que tenemos 𝑘 un número real:
𝑓:ℝ ⟶ ℝ
𝑥 ⟶ 𝑦 = 𝑓 𝑥
y
𝑔:ℝ ⟶ ℝ
𝑥 ⟶ 𝑦 = 𝑔 𝑥
Se definen entonces las funciones 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓 · 𝑔, 𝑓/𝑔 y 𝑘 · 𝑓 de la siguiente
manera:
𝑓 + 𝑔:ℝ ⟶ ℝ
𝑥 ⟶ 𝑓 +𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
𝑓 − 𝑔:ℝ ⟶ ℝ
𝑥 ⟶ 𝑓 −𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥
𝑓 · 𝑔:ℝ ⟶ ℝ
𝑥 ⟶ 𝑓 · 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 · 𝑔 𝑥
𝑓/𝑔:ℝ ⟶ ℝ
𝑥 ⟶ 𝑓 /𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 /𝑔 𝑥
𝑘 · 𝑓:ℝ ⟶ ℝ
𝑥 ⟶ 𝑘 · 𝑓 𝑥 = 𝑘 · 𝑓 𝑥
Su dominio es
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 − 𝑥 𝑔 𝑥 = 0
𝐷𝑜𝑚 𝑓 + 𝑔 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔
𝐷𝑜𝑚 𝑓 − 𝑔 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔
𝐷𝑜𝑚 𝑓 · 𝑔 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔
𝐷𝑜𝑚 𝑘 · 𝑓 = 𝐷𝑜𝑚 𝑓
12. Supongamos que tenemos dos funciones 𝑓 y 𝑔 de forma que el conjunto inicial
de la segunda función coincide con el conjunto final de la primera función:
𝑓:ℝ ⟶ ℝ
𝑥 ⟶ 𝑦 = 𝑓 𝑥
y
𝑔:ℝ ⟶ ℝ
𝑦 ⟶ 𝑧 = 𝑔 𝑦
Se define entonces la composición de funciones 𝑔 ∘ 𝑓 de la siguiente manera:
ℝ
𝑓
ℝ
𝑥 ⟶ 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑦
𝑔
ℝ
⟶ 𝑧 = 𝑔 𝑦
Se define 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 Dicha expresión se lee “𝑓 compuesto con 𝑔” Se
tiene que un número 𝑎 está en el dominio de 𝑔 ∘ 𝑓 si se cumple que:
• 𝑎 está en el dominio de 𝑓, es decir, 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓
• 𝑓 𝑎 está en el dominio de 𝑔, es decir, 𝑓 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔
13. Si por ejemplo es 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3 2 y 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1
Mientras que
De todo esto se deduce que la composición de funciones no es conmutativa.
𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 − 3 2
= 𝑥 − 3 2
+ 1 = 𝑥2
− 6𝑥 + 10
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 1 = 𝑥 + 1 − 3
2
= 𝑥 − 2 2
= 𝑥2
− 4𝑥 + 4
𝑔 ∘ 𝑓 4 = 𝑔 𝑓 4 = 𝑔 4 − 3 2 = 𝑔 1 = 1 + 1 = 2
𝑓 ∘ 𝑔 4 = 𝑓 𝑔 4 = 𝑓 4 + 1 = 𝑓 5 = 5 − 3 2
= 22
= 4
15. Supongamos que en un almacén vende manzanas a algunas tiendas para su
posterior distribución a la población. La relación entre kilos vendidos y precio se
muestra en la tabla siguiente:
Manzanas (Kg) 0 50 100 150 200 250 300
Coste (€) 0 40 80 120 160 200 240
Con esta información, sabemos que si una tienda pretende comprar 200 kilos de
manzanas deben pagar 160€, pero también al revés, si sólo disponemos de un
presupuesto de 120€, sólo podremos comprar 150 kilos.
Si 𝑓 es la función que relaciona el los kilos de manzanas que podemos comprar
con el presupuesto, la función que relaciona el presupuesto con los kilos de
manzanas que podemos comprar es la función inversa de 𝑓 y se denota por 𝑓−1
Para que una función tenga inversa, cada punto de la Imagen sólo puede ser
imagen de un punto del dominio.
16. Si 𝑓 es una función tal que 𝑓 𝑥 = 𝑦, su inversa será tal que 𝑓−1 𝑦 = 𝑥
Si 𝑓 𝑥 =
1
𝑥+1
, para hallar su inversa, llamamos 𝑦 = 𝑓 𝑥 =
1
𝑥+1
y despejamos 𝑥
𝑦 =
1
𝑥 + 1
⇒
1
𝑦
= 𝑥 + 1 ⇒ 𝑥 =
1
𝑦
− 1 =
1 − 𝑦
𝑦
⇒ 𝑓−1 𝑦 =
1 − 𝑦
𝑦
Puesto que a la variable independiente se la suele denotar por 𝑥, escribimos:
Para calcularla, llamaremos 𝑦 a la imagen de la función y a continuación
despejaremos la variable independiente 𝑥:
𝑓−1
𝑥 =
1 − 𝑥
𝑥
Una función y su inversa cumplen que al componerlas se obtiene la función
identidad:
• 𝑓 ∘ 𝑓−1 𝑥 = 𝑥
• 𝑓−1
∘ 𝑓 𝑥 = 𝑥
17. Vamos a representar las gráficas de las funciones del ejemplo anterior 𝑓 𝑥 (en
verde) y 𝑓−1 𝑥 (en rojo), en los mismos ejes de coordenadas:
Observamos que las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto
a la bisectriz de primer y tercer cuadrantes.
18. Obtén la función inversa de 𝑓 𝑥 =
2𝑥+1
𝑥
y de 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 3 ¿Cuánto vale
𝑔−1
3 ? ¿Existe 𝑔−1
−3 ?
𝑦 =
2𝑥 + 1
𝑥
⇒ 𝑦𝑥 = 2𝑥 + 1 ⇒ 𝑦𝑥 − 2𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 𝑦 − 2 = 1 ⇒ 𝑥 =
1
𝑦 − 2
Se tiene que 𝑓−1
𝑥 =
1
𝑥−2
𝑦 = 2𝑥 − 3 ⇒ 𝑦2
= 2𝑥 − 3 ⇒ 𝑦2
+ 3 = 2𝑥 ⇒
𝑦2 + 3
2
= 𝑥
Se tiene que 𝑔−1 𝑥 =
𝑥2+3
2
Se deduce que 𝑔−1
3 =
32+3
2
=
12
2
= 6
No existe 𝑔−1 −3 porque −3 ∉ 𝐼𝑚 𝑔 ya que al ser 𝑔 una raíz cuadrada
positiva, todas sus imágenes son números reales positivos.
19. Una función es continua si se puede
dibujar de un solo trazo.
Cuando no es continua, hay diferentes tipos de discontinuidad:
Discontinuidad
evitable
Discontinuidad de
salto finito
Discontinuidad de
salto infinito
20. Una función es creciente en un
intervalo si al aumentar los valores de
la variable independiente 𝑥 ,
aumentan los valores de la variable
dependiente 𝑦
Una función es decreciente en un
intervalo si al aumentar los valores de
la variable independiente 𝑥 ,
disminuyen los valores de la variable
dependiente 𝑦
21. Una función tiene un máximo en un
punto cuando el valor de la función en
ese punto es mayor que los valores
que toma la función cerca de él.
Una función tiene un mínimo en un
punto cuando el valor de la función en
ese punto es menor que los valores
que toma la función cerca de él.
La función es creciente a la izquierda
del máximo y decreciente a la derecha.
La función es decreciente a la izquierda
del mínimo y creciente a la derecha.
Máximo
Mínimo
22. Si se tiene la función dada por la gráfica
Dada una función continua en un intervalo 𝑎, 𝑏 , se llama tasa de variación al
aumento o disminución que experimenta el valor de la función al pasar la
variable independiente del valor 𝑎 al valor 𝑏.
𝑇𝑉𝑓 𝑎, 𝑏 = 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎
𝑇𝑉𝑓 1,2 = 𝑓 2 − 𝑓 1 = 2,1 − 3,95 = −1,85
𝑇𝑉𝑓 2,3 = 𝑓 3 − 𝑓 2 = 1,95 − 2,1 = −0,15
𝑇𝑉𝑓 3,4 = 𝑓 4 − 𝑓 3 = 1,63 − 1,95 = −0,32
𝑇𝑉𝑓 4,5 = 𝑓 5 − 𝑓 4 = 1,59 − 1,63 = −0,04
𝑇𝑉𝑓 5,6 = 𝑓 6 − 𝑓 5 = 2,09 − 1,59 = 0,5
𝑇𝑉𝑓 4,6 = 𝑓 6 − 𝑓 4 = 2,09 − 1,63 = 0,46
23. a b
a b
Si para cada dos puntos 𝑥1 < 𝑥2 de un
intervalo 𝑎, 𝑏 , 𝑇𝑉𝑓 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
entonces la función es creciente en
dicho intervalo 𝑎, 𝑏
Si para cada dos puntos 𝑥1 < 𝑥2 de un
intervalo 𝑎, 𝑏 , 𝑇𝑉𝑓 𝑥1, 𝑥2 ≤ 0
entonces la función es decreciente en
dicho intervalo 𝑎, 𝑏
24. Para las funciones dadas por los siguientes gráficos:
a) Explica si son continuas, y si no lo son, escribe donde son discontinuas y qué
tipo de discontinuidad presentan.
b) Escribe los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
c) Escribe los puntos en los que las funciones presentan máximos o mínimos.
• Es continua en ℝ
• Crece en −∞, −1 ∪ 1, ∞
• Decrece en −1,1
• Tiene un máximo en 𝑥 = −1 y
tiene un mínimo en 𝑥 = 1
• En 𝑥 = 1 y 𝑥 = −1 tiene
discontinuidad de salto infinito.
• Crece en −∞, −1 ∪ −1,0
• Decrece en 0,1 ∪ 1, ∞
• Tiene un máximo en 𝑥 = 0
25. La tendencia de una función nos va a indicar su comportamiento para valores
grandes (en valor absoluto) de la variable independiente, así como su
comportamiento cerca de los puntos que no están en el dominio de la función.
En este caso, para valores grandes de
𝑥, los valores de 𝑦 tienden a ∞.
La función crece indefinidamente
para valores de 𝑥 próximos a cero
En este caso, para valores grandes de
𝑥, los valores de 𝑦 tienden a 1
En este caso, la función oscila entre
los valores −2 y 2
26. Una función es simétrica respecto al
eje de ordenadas (eje y) ó par, cuando
para cada valor de su dominio se tiene:
Una función es periódica cuando los
valores que toma se van repitiendo
cada cierto intervalo, llamado periodo.
Una función es simétrica respecto al
origen de coordenadas (O) o impar,
cuando para cada valor de su dominio
se tiene:
𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥
𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥
𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥
27. Estudia la simetría de 𝑓 𝑥 =
𝑥2
𝑥−4
, 𝑔 𝑥 =
1
𝑥2+1
y ℎ 𝑥 = 𝑥5
− 𝑥
𝑔 −𝑥 =
1
−𝑥 2 + 1
=
1
𝑥2 + 1
= g 𝑥
𝑓 −𝑥 =
−𝑥 2
−𝑥 − 4
=
𝑥2
−𝑥 − 4
≠
𝑓 𝑥
−𝑓 𝑥
ℎ −𝑥 = −𝑥 5 − −𝑥 = −𝑥5 + 𝑥 = −ℎ 𝑥
De esta manera la función g 𝑥 es par, la función ℎ 𝑥 es impar y la función 𝑓 𝑥
no es ni par ni impar.
Describe el periodo de las funciones dadas por la gráfica:
Tiene
periodo 2
Tiene
periodo 3
28. Una función a trozos es una función con diferentes expresiones algebraicas para
diversos tramos de su dominio.
Por ejemplo, cuando una frutería vende las naranjas de zumo a 0,69 €/kg; pero
que a partir de 5 kg de compra las vende a 0,59 €/kg.
En ese caso la función tendrá la forma:
𝑓 𝑥 =
0,69𝑥 0 ≤ 𝑥 < 5
0,59𝑥 𝑥 ≥ 5
Y su gráfica se muestra a la derecha.
Observamos que presenta una discontinuidad de
salto finito en 𝑥 = 5
En las funciones a trozos se debe estudiar el comportamiento de la función en
los puntos donde cambia la expresión algebraica de la función
29. Dada la gráfica de la función 𝑓 𝑥 , se puede trasladar a derecha, izquierda,
arriba o abajo:
• Traslación de 𝑎 unidades a la parte
positiva del eje 𝑥:
𝑓 𝑥 − 𝑎
• Traslación de 𝑎 unidades a la parte
negativa del eje 𝑥:
𝑓 𝑥 + 𝑎
• Traslación de 𝑎 unidades a la parte
positiva del eje 𝑦
𝑓 𝑥 + 𝑎
• Traslación de 𝑎 unidades a la parte
negativa del eje 𝑦
𝑓 𝑥 − 𝑎
30. Dada la gráfica de la función 𝑓 𝑥 , se puede dilatar o comprimir tanto a lo largo
del eje 𝑥 como del eje 𝑦. Basta con multiplicar las variables por números. Más
concretamente, si 𝑎 es un número real positivo mayor que la unidad:
• Dilatarla a lo largo del eje 𝑥:
𝑓
1
𝑎
· 𝑥
• Comprimirla a lo largo del eje 𝑥:
𝑓 𝑎 · 𝑥
• Dilatarla a lo largo del eje 𝑦
𝑎 · 𝑓 𝑥
• Comprimirla a lo largo del eje 𝑦
1
𝑎
· 𝑓 𝑥
Para una vista más interactiva de estas transformaciones, clic aquí
