SlideShare a Scribd company logo
1 of 10
Download to read offline
ANALISIS REAL 2




       SUMANANG MUHTAR GOZALI



           KBK ANALISIS




UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
            BANDUNG
               2010
2

                         KATA PENGANTAR
                     Bismillahirrahmanirrahim


     Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam bagi Rasul-
ullah Muhammad shallallahu alaihi wasallam. Tulisan ini merupakan hasil rangku-
man materi kuliah Analisis Real 2 yang pernah diampu oleh Penulis. Pada dasarnya
materi ini merupakan kelanjutan dari materi Analisis Real 1. Oleh karena itu,
Penulis berharap pembaca dapat menangkap gagasan materi dengan mudah. Ter-
akhir, Penulis berharap semoga tulisan ini bermanfaat, khususnya bagi para pem-
baca yang berminat dalam bidang matematika analisis.



                                                        Bandung, Februari 2010
                                                              Penulis,

                                                   Sumanang Muhtar Gozali
DAFTAR ISI


DAFTAR ISI                                                                                                      3
1 Limit dan Kekontinuan di R                                                                                    1
  1.1 Limit Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                              1
  1.2 Teorema Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                 2
2 Fungsi-fungsi Kontinu                                                                                         3
  2.1 Fungsi Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   3
  2.2 Kombinasi Fungsi Kontinu . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   4
  2.3 Kekontinuan Seragam . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   4
  2.4 Teorema Nilai Rata-rata . . . . . . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   4
  2.5 Fungsi Monoton dan Teorema Fungsi Invers          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   5




                                          3
BAB 1

Limit dan Kekontinuan di R

Pada kuliah Analisis Real 1 kita telah mempelajari konsep barisan konvergen be-
serta gagasan limitnya. Sekarang kita akan membicarakan konsep yang mirip dengan
limit barisan, yaitu limit fungsi. Secara umum, semua konsep analisis sangat bergan-
tung pada konsep limit ini. Oleh karena itu perlu penguasaan mendalam terhadap
berbagai hal yang terkait dengan limit.



1.1       Limit Fungsi
Pada bagian ini kita akan mempelajari konsep limit fungsi. Sebelum melangkah
lebih jauh, untuk menyegarkan ingatan, perhatikan kembali fungsi
                                              x2 − 1
                                   f (x) =
                                              x−1
yang tidak terdefinisi di x = 1. Namun demikian kita dapat melihat bahwa jika
x cukup dekat ke 1 tapi x = 1 maka f (x) cukup dekat ke 2. Ini adalah contoh
sederhana untuk mengingat gagasan limit fungsi.
      Sekarang kita mulai dengan beberapa definisi terkait, sebelum masuk definisi
formal.


Definisi Misalkan A ⊂ R dan c ∈ R. Titik c disebut titik limit dari A jika untuk
setiap δ > 0, berlaku Vδ (c) ∩ A  {c} = ∅.
Perhatikan, pada definisi di atas tidak disyaratkan bahwa c ada di A, namun di
lingkungan sekecil apapun sekitar c selalu ada elemen x ∈ A yang berbeda dari c.

                                          1
2                                      BAB 1. LIMIT DAN KEKONTINUAN DI R



Contoh Teorema (Kriteria Barisan)
Misalkan f : A → R dan c suatu titik limit dari A. Maka pernyataan berikut
ekuivalen:

    1. limx→c f = L

    2. Jika (xn ) barisan di A dengan xn = c, ∀ n dan (xn ) → c maka (f (xn )) → L

Oleh karena itu untuk membuktikan bahwa fungsi f tidak mempunyai limit untuk
x mendekati a, kita hanya membutuhkan dua buah barisan yang konvergen ke a
tetapi peta barisan-barisan itu mempunyai limit berbeda.


Contoh. Buktikan bahwa fungsi
                                                 
                              sin 1 , jika x = 0 
                                   x
                     f (x) =
                              0     , jika x = 0 
tidak mempunyai limit untuk x → 0.
Bukti. Perhatikan dua bauh barisan dengan suku masing-masing
                                  2                  2
                       an =             dan bn =           .
                              (4n + 1)Π          (4n + 3)Π
Jelas bahwa kedua barisan ini konvergen ke 0. Sementara itu, f (an ) = 1 dan
f (bn ) = −1 untuk setiap n, sehingga f (an ) → 1 dan f (bn ) → −1.


Kriteria Kedivergenan




1.2      Teorema Limit
Bukti.

Teorema 1.2.1 Misalkan A ⊂ R, f, g, h : A → R dan c suatu titik limit dari A.
Jika
                 f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)     untuk semua x ∈ A, x = c

dan jika limx→c f = L = limx→c h maka limx→c g = L.
BAB 2

Fungsi-fungsi Kontinu

Pada bab ini kita akan mempelajari salah satu jenis fungsi yang sangat penting
yaitu fungsi kontinu. Kekontinuan fungsi merupakan aspek penting yang berkai-
tan dengan suatu fungsi. Hal ini karena kekontinuan dapat memberikan jawaban
terhadap sejumlah pertanyaan terkait fungsi tersebut.
       Kita akan memulai dengan definisi fungsi kontinu yang dilanjutkan dengan be-
ragam kombinasi fungsi kontinu. Kekontinuan seragam juga akan dibahas disamping
berbagai karakteristik fungsi kontinu. Di bagian akhir kita akan menyinggung fungsi
monoton dan fungsi balikan.



2.1      Fungsi Kontinu
Definisi
Misalkan f : A → R dan B ⊂ A. Fungsi f dikatakan kontinu di B jika f kontinu di
setiap titik x ∈ B.
Kriteria Diskontinu
Misalkan f : A → R suatu fungsi, dan c ∈ A. Fungsi f tidak kontinu di c jika
dan hanya jika terdapat barisan (xn ) di A sehingga (xn ) → c tetapi (f (xn )) tidak
konvergen ke f (c).
Latihan

  1.

  2.

                                         3
4                                           BAB 2. FUNGSI-FUNGSI KONTINU

    3.



2.2         Kombinasi Fungsi Kontinu

Teorema 2.2.1 Misalkan f, g : A → R keduanya fungsi yang kontinu di c ∈ A,
dan k ∈ R. Maka

    1. f + g, f − g, f.g, kf semuanya kontinu di c.

    2. Jika h : A → R kontinu di c dan h(x) = 0, ∀ x ∈ A maka f /h juga kontinu
         di c.


Teorema 2.2.2 Misalkan f : A → R, g : B → R dan c ∈ A. Jika f kontinu di c
dan g kontinu di b = f (c) ∈ B maka g ◦ f kontinu di c.


Teorema 2.2.3 Misalkan f : A → R, g : B → R dan f (A) ⊂ B. Jika f kontinu
di A dan g kontinu di B maka g ◦ f kontinu di A.



2.3         Kekontinuan Seragam

Definisi Misalkan f : A → R suatu fungsi. Fungsi f dikatakan kontinu seragam
di A jika untuk sebarang ε > 0 terdapat δ > 0 dan untuk semua x, c ∈ A yang
memenuhi |x − c| < δ berlaku |f (x) − f (c)| < ε. Pada definisi ini δ tidak bergantung
pada c.



2.4         Teorema Nilai Rata-rata

Latihan

    1.

    2.

    3.
2.5. FUNGSI MONOTON DAN TEOREMA FUNGSI INVERS     5

2.5    Fungsi Monoton dan Teorema Fungsi Invers
Latihan

  1.

  2.

  3.
6   BAB 2. FUNGSI-FUNGSI KONTINU
Daftar Pustaka

[1] Bartle, R.G. (1985), Introduction to Real Analysis, John Wiley & Sons. Inc.

[2] Kreyszig, Erwin. (1978), Introductory Functional Analysis with Applications,
   John Wiley & Sons. Inc.

[3] Wade, W.R. (2000), An Introduction to Analysis, Prentice Hall.

[4] Zeidler, Eberhard (1995), Applied Functional Analysis, Springer-Verlag New
   York, Inc.




                                      7

More Related Content

What's hot

BAB 2 Pencerminan (Refleksi)
BAB 2 Pencerminan (Refleksi)BAB 2 Pencerminan (Refleksi)
BAB 2 Pencerminan (Refleksi)Nia Matus
 
Supremum dan infimum
Supremum dan infimum  Supremum dan infimum
Supremum dan infimum Rossi Fauzi
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Arvina Frida Karela
 
Analisis real-lengkap-a1c
Analisis real-lengkap-a1cAnalisis real-lengkap-a1c
Analisis real-lengkap-a1cUmmu Zuhry
 
Sub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup faktoSub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup faktoYadi Pura
 
Contoh soal dan pembahasan subgrup
Contoh soal dan pembahasan subgrupContoh soal dan pembahasan subgrup
Contoh soal dan pembahasan subgrupKabhi Na Kehna
 
Analisis bab1 bab2
Analisis bab1 bab2Analisis bab1 bab2
Analisis bab1 bab2Charro NieZz
 
Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5
Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5
Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5Arvina Frida Karela
 
PEMETAAN STRUKTUR ALJABAR
PEMETAAN STRUKTUR ALJABARPEMETAAN STRUKTUR ALJABAR
PEMETAAN STRUKTUR ALJABARNailul Hasibuan
 
Makalah geseran (translasi)
Makalah geseran (translasi)Makalah geseran (translasi)
Makalah geseran (translasi)Nia Matus
 
Aljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarAljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarmaman wijaya
 
Modul 4 kongruensi linier
Modul 4   kongruensi linierModul 4   kongruensi linier
Modul 4 kongruensi linierAcika Karunila
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Arvina Frida Karela
 
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi MatriksPembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi MatriksIpit Sabrina
 
Rangkuman materi Isometri
Rangkuman materi IsometriRangkuman materi Isometri
Rangkuman materi IsometriNia Matus
 

What's hot (20)

BAB 2 Pencerminan (Refleksi)
BAB 2 Pencerminan (Refleksi)BAB 2 Pencerminan (Refleksi)
BAB 2 Pencerminan (Refleksi)
 
Supremum dan infimum
Supremum dan infimum  Supremum dan infimum
Supremum dan infimum
 
Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
 
Analisis real-lengkap-a1c
Analisis real-lengkap-a1cAnalisis real-lengkap-a1c
Analisis real-lengkap-a1c
 
Sub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup faktoSub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup fakto
 
Modul 3 kongruensi
Modul 3   kongruensiModul 3   kongruensi
Modul 3 kongruensi
 
Contoh soal dan pembahasan subgrup
Contoh soal dan pembahasan subgrupContoh soal dan pembahasan subgrup
Contoh soal dan pembahasan subgrup
 
Analisis bab1 bab2
Analisis bab1 bab2Analisis bab1 bab2
Analisis bab1 bab2
 
Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5
Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5
Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5
 
PEMETAAN STRUKTUR ALJABAR
PEMETAAN STRUKTUR ALJABARPEMETAAN STRUKTUR ALJABAR
PEMETAAN STRUKTUR ALJABAR
 
Makalah geseran (translasi)
Makalah geseran (translasi)Makalah geseran (translasi)
Makalah geseran (translasi)
 
Kekongruenan teobil
Kekongruenan teobilKekongruenan teobil
Kekongruenan teobil
 
Aljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarAljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabar
 
Modul 4 kongruensi linier
Modul 4   kongruensi linierModul 4   kongruensi linier
Modul 4 kongruensi linier
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
 
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi MatriksPembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
 
Ring Polonomial
Ring PolonomialRing Polonomial
Ring Polonomial
 
Rangkuman materi Isometri
Rangkuman materi IsometriRangkuman materi Isometri
Rangkuman materi Isometri
 
Koset Suatu Grup
Koset Suatu GrupKoset Suatu Grup
Koset Suatu Grup
 

Viewers also liked

03 limit dan kekontinuan
03 limit dan kekontinuan03 limit dan kekontinuan
03 limit dan kekontinuanRudi Wicaksana
 
Pengembangan program pembelajaran matematika
Pengembangan program pembelajaran matematikaPengembangan program pembelajaran matematika
Pengembangan program pembelajaran matematikaDhian SQuarpants
 
Differensial analisis 1
Differensial   analisis 1Differensial   analisis 1
Differensial analisis 1Iwan Umri
 
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
3 LIMIT DAN KEKONTINUANArsy Al hafizh
 
Rencana pelaksanaan pembelajaran
Rencana pelaksanaan pembelajaranRencana pelaksanaan pembelajaran
Rencana pelaksanaan pembelajaranTria Wulandari
 
Bab 5 limit 2 dan kekontinuan
Bab 5 limit 2 dan kekontinuanBab 5 limit 2 dan kekontinuan
Bab 5 limit 2 dan kekontinuanDaud Sulaeman
 
Kajian teori-dan-hipotesis-tindakan-dalam-ptk
Kajian teori-dan-hipotesis-tindakan-dalam-ptkKajian teori-dan-hipotesis-tindakan-dalam-ptk
Kajian teori-dan-hipotesis-tindakan-dalam-ptkgusty_21
 
Persamaan dan pertidaksamaan nilai harga mutlak
Persamaan dan pertidaksamaan nilai harga mutlakPersamaan dan pertidaksamaan nilai harga mutlak
Persamaan dan pertidaksamaan nilai harga mutlakMono Manullang
 
Soal Matematika Dimensi Tiga
Soal Matematika Dimensi TigaSoal Matematika Dimensi Tiga
Soal Matematika Dimensi TigaGigyh Ardians
 
Rangkuman materi isometri lanjutan
Rangkuman materi isometri lanjutanRangkuman materi isometri lanjutan
Rangkuman materi isometri lanjutanNia Matus
 
Rpp smp matematika Kelas VII Semester 1
Rpp smp matematika Kelas VII Semester 1Rpp smp matematika Kelas VII Semester 1
Rpp smp matematika Kelas VII Semester 1Teguh Ekosetio
 
Pencerminan geser fix
Pencerminan geser fixPencerminan geser fix
Pencerminan geser fixNia Matus
 

Viewers also liked (19)

Analisis real 2
Analisis real 2Analisis real 2
Analisis real 2
 
Analisis real
Analisis realAnalisis real
Analisis real
 
Analisis real alternatif
Analisis real   alternatifAnalisis real   alternatif
Analisis real alternatif
 
Analisis Real
Analisis RealAnalisis Real
Analisis Real
 
Handout analisis real
Handout analisis realHandout analisis real
Handout analisis real
 
kekontinuan fungsi
kekontinuan fungsikekontinuan fungsi
kekontinuan fungsi
 
ANALISIS REAL
ANALISIS REALANALISIS REAL
ANALISIS REAL
 
03 limit dan kekontinuan
03 limit dan kekontinuan03 limit dan kekontinuan
03 limit dan kekontinuan
 
Pengembangan program pembelajaran matematika
Pengembangan program pembelajaran matematikaPengembangan program pembelajaran matematika
Pengembangan program pembelajaran matematika
 
Differensial analisis 1
Differensial   analisis 1Differensial   analisis 1
Differensial analisis 1
 
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
 
Rencana pelaksanaan pembelajaran
Rencana pelaksanaan pembelajaranRencana pelaksanaan pembelajaran
Rencana pelaksanaan pembelajaran
 
Bab 5 limit 2 dan kekontinuan
Bab 5 limit 2 dan kekontinuanBab 5 limit 2 dan kekontinuan
Bab 5 limit 2 dan kekontinuan
 
Kajian teori-dan-hipotesis-tindakan-dalam-ptk
Kajian teori-dan-hipotesis-tindakan-dalam-ptkKajian teori-dan-hipotesis-tindakan-dalam-ptk
Kajian teori-dan-hipotesis-tindakan-dalam-ptk
 
Persamaan dan pertidaksamaan nilai harga mutlak
Persamaan dan pertidaksamaan nilai harga mutlakPersamaan dan pertidaksamaan nilai harga mutlak
Persamaan dan pertidaksamaan nilai harga mutlak
 
Soal Matematika Dimensi Tiga
Soal Matematika Dimensi TigaSoal Matematika Dimensi Tiga
Soal Matematika Dimensi Tiga
 
Rangkuman materi isometri lanjutan
Rangkuman materi isometri lanjutanRangkuman materi isometri lanjutan
Rangkuman materi isometri lanjutan
 
Rpp smp matematika Kelas VII Semester 1
Rpp smp matematika Kelas VII Semester 1Rpp smp matematika Kelas VII Semester 1
Rpp smp matematika Kelas VII Semester 1
 
Pencerminan geser fix
Pencerminan geser fixPencerminan geser fix
Pencerminan geser fix
 

Similar to 84681491 analisis-real-2

Diferensiabel kontinu
Diferensiabel kontinuDiferensiabel kontinu
Diferensiabel kontinubobbyrey
 
Limit Fungsi di Ruang Metrik
Limit Fungsi di Ruang MetrikLimit Fungsi di Ruang Metrik
Limit Fungsi di Ruang MetrikNida Shafiyanti
 
RAbu Bab 1 sma xii peminatan (nengsih)
RAbu Bab 1   sma xii peminatan (nengsih)RAbu Bab 1   sma xii peminatan (nengsih)
RAbu Bab 1 sma xii peminatan (nengsih)RiyanAdita
 
Matematika SMA - Bab Limit
Matematika SMA - Bab LimitMatematika SMA - Bab Limit
Matematika SMA - Bab Limitnurul limsun
 
Sub bab 3 kontinuitas
Sub bab 3 kontinuitasSub bab 3 kontinuitas
Sub bab 3 kontinuitasDodi Polman
 
Konsep Limit Fungsi di Satu Titik
Konsep Limit Fungsi di Satu TitikKonsep Limit Fungsi di Satu Titik
Konsep Limit Fungsi di Satu TitikReza Ferial Ashadi
 
Matematika Peminatan XII K.13
Matematika Peminatan XII K.13 Matematika Peminatan XII K.13
Matematika Peminatan XII K.13 Medi Harja
 
Cbr penggunaan turunan (penerapan masalah masalah turunan maksimum dan minimum)
Cbr penggunaan turunan (penerapan masalah masalah turunan maksimum dan minimum)Cbr penggunaan turunan (penerapan masalah masalah turunan maksimum dan minimum)
Cbr penggunaan turunan (penerapan masalah masalah turunan maksimum dan minimum)Linda Rosita
 
Fungsi Relasi dan Jenis Fungsi
Fungsi Relasi dan Jenis FungsiFungsi Relasi dan Jenis Fungsi
Fungsi Relasi dan Jenis Fungsisipolos
 
Bab 4 limit & turunan fungsi
Bab 4 limit & turunan fungsiBab 4 limit & turunan fungsi
Bab 4 limit & turunan fungsiEko Supriyadi
 
Resmawan-Kalkulus-Limit-dan-Kontinuitas (2).pdf
Resmawan-Kalkulus-Limit-dan-Kontinuitas (2).pdfResmawan-Kalkulus-Limit-dan-Kontinuitas (2).pdf
Resmawan-Kalkulus-Limit-dan-Kontinuitas (2).pdfamandalingga
 
Fungsi matematika dasar.pptx
Fungsi matematika dasar.pptxFungsi matematika dasar.pptx
Fungsi matematika dasar.pptxBlakBumbaks
 
Modul MTK Minat Kls 12 K13 Revisi [www.m4th-lab.net].pdf
Modul MTK Minat Kls 12 K13 Revisi [www.m4th-lab.net].pdfModul MTK Minat Kls 12 K13 Revisi [www.m4th-lab.net].pdf
Modul MTK Minat Kls 12 K13 Revisi [www.m4th-lab.net].pdfSuhartoPrawinotoMarp
 
Resmawan-Kalkulus-Limit-dan-Kontinuitas.pdf
Resmawan-Kalkulus-Limit-dan-Kontinuitas.pdfResmawan-Kalkulus-Limit-dan-Kontinuitas.pdf
Resmawan-Kalkulus-Limit-dan-Kontinuitas.pdfAinunInu1
 
Penerapan integral dalam bidang ilmu
Penerapan integral dalam bidang ilmuPenerapan integral dalam bidang ilmu
Penerapan integral dalam bidang ilmuMhd Syahrul Ramadhan
 

Similar to 84681491 analisis-real-2 (20)

Diferensiabel kontinu
Diferensiabel kontinuDiferensiabel kontinu
Diferensiabel kontinu
 
Limit Fungsi di Ruang Metrik
Limit Fungsi di Ruang MetrikLimit Fungsi di Ruang Metrik
Limit Fungsi di Ruang Metrik
 
RAbu Bab 1 sma xii peminatan (nengsih)
RAbu Bab 1   sma xii peminatan (nengsih)RAbu Bab 1   sma xii peminatan (nengsih)
RAbu Bab 1 sma xii peminatan (nengsih)
 
Matematika SMA - Bab Limit
Matematika SMA - Bab LimitMatematika SMA - Bab Limit
Matematika SMA - Bab Limit
 
Sub bab 3 kontinuitas
Sub bab 3 kontinuitasSub bab 3 kontinuitas
Sub bab 3 kontinuitas
 
Kontinuitas
KontinuitasKontinuitas
Kontinuitas
 
Limit fungsi aljabar hotma purba SMAN 3 bungo
Limit fungsi aljabar hotma purba SMAN 3 bungoLimit fungsi aljabar hotma purba SMAN 3 bungo
Limit fungsi aljabar hotma purba SMAN 3 bungo
 
Konsep Limit Fungsi di Satu Titik
Konsep Limit Fungsi di Satu TitikKonsep Limit Fungsi di Satu Titik
Konsep Limit Fungsi di Satu Titik
 
Bahan Ajar Limit Fungsi
Bahan Ajar Limit FungsiBahan Ajar Limit Fungsi
Bahan Ajar Limit Fungsi
 
Matematika Peminatan XII K.13
Matematika Peminatan XII K.13 Matematika Peminatan XII K.13
Matematika Peminatan XII K.13
 
Cbr penggunaan turunan (penerapan masalah masalah turunan maksimum dan minimum)
Cbr penggunaan turunan (penerapan masalah masalah turunan maksimum dan minimum)Cbr penggunaan turunan (penerapan masalah masalah turunan maksimum dan minimum)
Cbr penggunaan turunan (penerapan masalah masalah turunan maksimum dan minimum)
 
Fungsi Relasi dan Jenis Fungsi
Fungsi Relasi dan Jenis FungsiFungsi Relasi dan Jenis Fungsi
Fungsi Relasi dan Jenis Fungsi
 
Limit2
Limit2Limit2
Limit2
 
Bab 4 limit & turunan fungsi
Bab 4 limit & turunan fungsiBab 4 limit & turunan fungsi
Bab 4 limit & turunan fungsi
 
Resmawan-Kalkulus-Limit-dan-Kontinuitas (2).pdf
Resmawan-Kalkulus-Limit-dan-Kontinuitas (2).pdfResmawan-Kalkulus-Limit-dan-Kontinuitas (2).pdf
Resmawan-Kalkulus-Limit-dan-Kontinuitas (2).pdf
 
Fungsi matematika dasar.pptx
Fungsi matematika dasar.pptxFungsi matematika dasar.pptx
Fungsi matematika dasar.pptx
 
Modul MTK Minat Kls 12 K13 Revisi [www.m4th-lab.net].pdf
Modul MTK Minat Kls 12 K13 Revisi [www.m4th-lab.net].pdfModul MTK Minat Kls 12 K13 Revisi [www.m4th-lab.net].pdf
Modul MTK Minat Kls 12 K13 Revisi [www.m4th-lab.net].pdf
 
M3 KB2 - Fungsi
M3 KB2 - FungsiM3 KB2 - Fungsi
M3 KB2 - Fungsi
 
Resmawan-Kalkulus-Limit-dan-Kontinuitas.pdf
Resmawan-Kalkulus-Limit-dan-Kontinuitas.pdfResmawan-Kalkulus-Limit-dan-Kontinuitas.pdf
Resmawan-Kalkulus-Limit-dan-Kontinuitas.pdf
 
Penerapan integral dalam bidang ilmu
Penerapan integral dalam bidang ilmuPenerapan integral dalam bidang ilmu
Penerapan integral dalam bidang ilmu
 

84681491 analisis-real-2

  • 1. ANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010
  • 2. 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam bagi Rasul- ullah Muhammad shallallahu alaihi wasallam. Tulisan ini merupakan hasil rangku- man materi kuliah Analisis Real 2 yang pernah diampu oleh Penulis. Pada dasarnya materi ini merupakan kelanjutan dari materi Analisis Real 1. Oleh karena itu, Penulis berharap pembaca dapat menangkap gagasan materi dengan mudah. Ter- akhir, Penulis berharap semoga tulisan ini bermanfaat, khususnya bagi para pem- baca yang berminat dalam bidang matematika analisis. Bandung, Februari 2010 Penulis, Sumanang Muhtar Gozali
  • 3. DAFTAR ISI DAFTAR ISI 3 1 Limit dan Kekontinuan di R 1 1.1 Limit Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Teorema Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Fungsi-fungsi Kontinu 3 2.1 Fungsi Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Kombinasi Fungsi Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Kekontinuan Seragam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.4 Teorema Nilai Rata-rata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.5 Fungsi Monoton dan Teorema Fungsi Invers . . . . . . . . . . . . . . 5 3
  • 4. BAB 1 Limit dan Kekontinuan di R Pada kuliah Analisis Real 1 kita telah mempelajari konsep barisan konvergen be- serta gagasan limitnya. Sekarang kita akan membicarakan konsep yang mirip dengan limit barisan, yaitu limit fungsi. Secara umum, semua konsep analisis sangat bergan- tung pada konsep limit ini. Oleh karena itu perlu penguasaan mendalam terhadap berbagai hal yang terkait dengan limit. 1.1 Limit Fungsi Pada bagian ini kita akan mempelajari konsep limit fungsi. Sebelum melangkah lebih jauh, untuk menyegarkan ingatan, perhatikan kembali fungsi x2 − 1 f (x) = x−1 yang tidak terdefinisi di x = 1. Namun demikian kita dapat melihat bahwa jika x cukup dekat ke 1 tapi x = 1 maka f (x) cukup dekat ke 2. Ini adalah contoh sederhana untuk mengingat gagasan limit fungsi. Sekarang kita mulai dengan beberapa definisi terkait, sebelum masuk definisi formal. Definisi Misalkan A ⊂ R dan c ∈ R. Titik c disebut titik limit dari A jika untuk setiap δ > 0, berlaku Vδ (c) ∩ A {c} = ∅. Perhatikan, pada definisi di atas tidak disyaratkan bahwa c ada di A, namun di lingkungan sekecil apapun sekitar c selalu ada elemen x ∈ A yang berbeda dari c. 1
  • 5. 2 BAB 1. LIMIT DAN KEKONTINUAN DI R Contoh Teorema (Kriteria Barisan) Misalkan f : A → R dan c suatu titik limit dari A. Maka pernyataan berikut ekuivalen: 1. limx→c f = L 2. Jika (xn ) barisan di A dengan xn = c, ∀ n dan (xn ) → c maka (f (xn )) → L Oleh karena itu untuk membuktikan bahwa fungsi f tidak mempunyai limit untuk x mendekati a, kita hanya membutuhkan dua buah barisan yang konvergen ke a tetapi peta barisan-barisan itu mempunyai limit berbeda. Contoh. Buktikan bahwa fungsi    sin 1 , jika x = 0  x f (x) =  0 , jika x = 0  tidak mempunyai limit untuk x → 0. Bukti. Perhatikan dua bauh barisan dengan suku masing-masing 2 2 an = dan bn = . (4n + 1)Π (4n + 3)Π Jelas bahwa kedua barisan ini konvergen ke 0. Sementara itu, f (an ) = 1 dan f (bn ) = −1 untuk setiap n, sehingga f (an ) → 1 dan f (bn ) → −1. Kriteria Kedivergenan 1.2 Teorema Limit Bukti. Teorema 1.2.1 Misalkan A ⊂ R, f, g, h : A → R dan c suatu titik limit dari A. Jika f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x ∈ A, x = c dan jika limx→c f = L = limx→c h maka limx→c g = L.
  • 6. BAB 2 Fungsi-fungsi Kontinu Pada bab ini kita akan mempelajari salah satu jenis fungsi yang sangat penting yaitu fungsi kontinu. Kekontinuan fungsi merupakan aspek penting yang berkai- tan dengan suatu fungsi. Hal ini karena kekontinuan dapat memberikan jawaban terhadap sejumlah pertanyaan terkait fungsi tersebut. Kita akan memulai dengan definisi fungsi kontinu yang dilanjutkan dengan be- ragam kombinasi fungsi kontinu. Kekontinuan seragam juga akan dibahas disamping berbagai karakteristik fungsi kontinu. Di bagian akhir kita akan menyinggung fungsi monoton dan fungsi balikan. 2.1 Fungsi Kontinu Definisi Misalkan f : A → R dan B ⊂ A. Fungsi f dikatakan kontinu di B jika f kontinu di setiap titik x ∈ B. Kriteria Diskontinu Misalkan f : A → R suatu fungsi, dan c ∈ A. Fungsi f tidak kontinu di c jika dan hanya jika terdapat barisan (xn ) di A sehingga (xn ) → c tetapi (f (xn )) tidak konvergen ke f (c). Latihan 1. 2. 3
  • 7. 4 BAB 2. FUNGSI-FUNGSI KONTINU 3. 2.2 Kombinasi Fungsi Kontinu Teorema 2.2.1 Misalkan f, g : A → R keduanya fungsi yang kontinu di c ∈ A, dan k ∈ R. Maka 1. f + g, f − g, f.g, kf semuanya kontinu di c. 2. Jika h : A → R kontinu di c dan h(x) = 0, ∀ x ∈ A maka f /h juga kontinu di c. Teorema 2.2.2 Misalkan f : A → R, g : B → R dan c ∈ A. Jika f kontinu di c dan g kontinu di b = f (c) ∈ B maka g ◦ f kontinu di c. Teorema 2.2.3 Misalkan f : A → R, g : B → R dan f (A) ⊂ B. Jika f kontinu di A dan g kontinu di B maka g ◦ f kontinu di A. 2.3 Kekontinuan Seragam Definisi Misalkan f : A → R suatu fungsi. Fungsi f dikatakan kontinu seragam di A jika untuk sebarang ε > 0 terdapat δ > 0 dan untuk semua x, c ∈ A yang memenuhi |x − c| < δ berlaku |f (x) − f (c)| < ε. Pada definisi ini δ tidak bergantung pada c. 2.4 Teorema Nilai Rata-rata Latihan 1. 2. 3.
  • 8. 2.5. FUNGSI MONOTON DAN TEOREMA FUNGSI INVERS 5 2.5 Fungsi Monoton dan Teorema Fungsi Invers Latihan 1. 2. 3.
  • 9. 6 BAB 2. FUNGSI-FUNGSI KONTINU
  • 10. Daftar Pustaka [1] Bartle, R.G. (1985), Introduction to Real Analysis, John Wiley & Sons. Inc. [2] Kreyszig, Erwin. (1978), Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley & Sons. Inc. [3] Wade, W.R. (2000), An Introduction to Analysis, Prentice Hall. [4] Zeidler, Eberhard (1995), Applied Functional Analysis, Springer-Verlag New York, Inc. 7