ANALISIS REAL 2       SUMANANG MUHTAR GOZALI           KBK ANALISISUNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA            BANDUNG    ...
2                         KATA PENGANTAR                     Bismillahirrahmanirrahim     Segala puji bagi Allah Rabb seme...
DAFTAR ISIDAFTAR ISI                                                                                                      ...
BAB 1Limit dan Kekontinuan di RPada kuliah Analisis Real 1 kita telah mempelajari konsep barisan konvergen be-serta gagasa...
2                                      BAB 1. LIMIT DAN KEKONTINUAN DI RContoh Teorema (Kriteria Barisan)Misalkan f : A → ...
BAB 2Fungsi-fungsi KontinuPada bab ini kita akan mempelajari salah satu jenis fungsi yang sangat pentingyaitu fungsi konti...
4                                           BAB 2. FUNGSI-FUNGSI KONTINU    3.2.2         Kombinasi Fungsi KontinuTeorema ...
2.5. FUNGSI MONOTON DAN TEOREMA FUNGSI INVERS     52.5    Fungsi Monoton dan Teorema Fungsi InversLatihan  1.  2.  3.
6   BAB 2. FUNGSI-FUNGSI KONTINU
Daftar Pustaka[1] Bartle, R.G. (1985), Introduction to Real Analysis, John Wiley & Sons. Inc.[2] Kreyszig, Erwin. (1978), ...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

84681491 analisis-real-2

3,678

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
3,678
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
132
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

84681491 analisis-real-2

  1. 1. ANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISISUNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010
  2. 2. 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam bagi Rasul-ullah Muhammad shallallahu alaihi wasallam. Tulisan ini merupakan hasil rangku-man materi kuliah Analisis Real 2 yang pernah diampu oleh Penulis. Pada dasarnyamateri ini merupakan kelanjutan dari materi Analisis Real 1. Oleh karena itu,Penulis berharap pembaca dapat menangkap gagasan materi dengan mudah. Ter-akhir, Penulis berharap semoga tulisan ini bermanfaat, khususnya bagi para pem-baca yang berminat dalam bidang matematika analisis. Bandung, Februari 2010 Penulis, Sumanang Muhtar Gozali
  3. 3. DAFTAR ISIDAFTAR ISI 31 Limit dan Kekontinuan di R 1 1.1 Limit Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Teorema Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Fungsi-fungsi Kontinu 3 2.1 Fungsi Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Kombinasi Fungsi Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Kekontinuan Seragam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.4 Teorema Nilai Rata-rata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.5 Fungsi Monoton dan Teorema Fungsi Invers . . . . . . . . . . . . . . 5 3
  4. 4. BAB 1Limit dan Kekontinuan di RPada kuliah Analisis Real 1 kita telah mempelajari konsep barisan konvergen be-serta gagasan limitnya. Sekarang kita akan membicarakan konsep yang mirip denganlimit barisan, yaitu limit fungsi. Secara umum, semua konsep analisis sangat bergan-tung pada konsep limit ini. Oleh karena itu perlu penguasaan mendalam terhadapberbagai hal yang terkait dengan limit.1.1 Limit FungsiPada bagian ini kita akan mempelajari konsep limit fungsi. Sebelum melangkahlebih jauh, untuk menyegarkan ingatan, perhatikan kembali fungsi x2 − 1 f (x) = x−1yang tidak terdefinisi di x = 1. Namun demikian kita dapat melihat bahwa jikax cukup dekat ke 1 tapi x = 1 maka f (x) cukup dekat ke 2. Ini adalah contohsederhana untuk mengingat gagasan limit fungsi. Sekarang kita mulai dengan beberapa definisi terkait, sebelum masuk definisiformal.Definisi Misalkan A ⊂ R dan c ∈ R. Titik c disebut titik limit dari A jika untuksetiap δ > 0, berlaku Vδ (c) ∩ A {c} = ∅.Perhatikan, pada definisi di atas tidak disyaratkan bahwa c ada di A, namun dilingkungan sekecil apapun sekitar c selalu ada elemen x ∈ A yang berbeda dari c. 1
  5. 5. 2 BAB 1. LIMIT DAN KEKONTINUAN DI RContoh Teorema (Kriteria Barisan)Misalkan f : A → R dan c suatu titik limit dari A. Maka pernyataan berikutekuivalen: 1. limx→c f = L 2. Jika (xn ) barisan di A dengan xn = c, ∀ n dan (xn ) → c maka (f (xn )) → LOleh karena itu untuk membuktikan bahwa fungsi f tidak mempunyai limit untukx mendekati a, kita hanya membutuhkan dua buah barisan yang konvergen ke atetapi peta barisan-barisan itu mempunyai limit berbeda.Contoh. Buktikan bahwa fungsi    sin 1 , jika x = 0  x f (x) =  0 , jika x = 0 tidak mempunyai limit untuk x → 0.Bukti. Perhatikan dua bauh barisan dengan suku masing-masing 2 2 an = dan bn = . (4n + 1)Π (4n + 3)ΠJelas bahwa kedua barisan ini konvergen ke 0. Sementara itu, f (an ) = 1 danf (bn ) = −1 untuk setiap n, sehingga f (an ) → 1 dan f (bn ) → −1.Kriteria Kedivergenan1.2 Teorema LimitBukti.Teorema 1.2.1 Misalkan A ⊂ R, f, g, h : A → R dan c suatu titik limit dari A.Jika f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x ∈ A, x = cdan jika limx→c f = L = limx→c h maka limx→c g = L.
  6. 6. BAB 2Fungsi-fungsi KontinuPada bab ini kita akan mempelajari salah satu jenis fungsi yang sangat pentingyaitu fungsi kontinu. Kekontinuan fungsi merupakan aspek penting yang berkai-tan dengan suatu fungsi. Hal ini karena kekontinuan dapat memberikan jawabanterhadap sejumlah pertanyaan terkait fungsi tersebut. Kita akan memulai dengan definisi fungsi kontinu yang dilanjutkan dengan be-ragam kombinasi fungsi kontinu. Kekontinuan seragam juga akan dibahas disampingberbagai karakteristik fungsi kontinu. Di bagian akhir kita akan menyinggung fungsimonoton dan fungsi balikan.2.1 Fungsi KontinuDefinisiMisalkan f : A → R dan B ⊂ A. Fungsi f dikatakan kontinu di B jika f kontinu disetiap titik x ∈ B.Kriteria DiskontinuMisalkan f : A → R suatu fungsi, dan c ∈ A. Fungsi f tidak kontinu di c jikadan hanya jika terdapat barisan (xn ) di A sehingga (xn ) → c tetapi (f (xn )) tidakkonvergen ke f (c).Latihan 1. 2. 3
  7. 7. 4 BAB 2. FUNGSI-FUNGSI KONTINU 3.2.2 Kombinasi Fungsi KontinuTeorema 2.2.1 Misalkan f, g : A → R keduanya fungsi yang kontinu di c ∈ A,dan k ∈ R. Maka 1. f + g, f − g, f.g, kf semuanya kontinu di c. 2. Jika h : A → R kontinu di c dan h(x) = 0, ∀ x ∈ A maka f /h juga kontinu di c.Teorema 2.2.2 Misalkan f : A → R, g : B → R dan c ∈ A. Jika f kontinu di cdan g kontinu di b = f (c) ∈ B maka g ◦ f kontinu di c.Teorema 2.2.3 Misalkan f : A → R, g : B → R dan f (A) ⊂ B. Jika f kontinudi A dan g kontinu di B maka g ◦ f kontinu di A.2.3 Kekontinuan SeragamDefinisi Misalkan f : A → R suatu fungsi. Fungsi f dikatakan kontinu seragamdi A jika untuk sebarang ε > 0 terdapat δ > 0 dan untuk semua x, c ∈ A yangmemenuhi |x − c| < δ berlaku |f (x) − f (c)| < ε. Pada definisi ini δ tidak bergantungpada c.2.4 Teorema Nilai Rata-rataLatihan 1. 2. 3.
  8. 8. 2.5. FUNGSI MONOTON DAN TEOREMA FUNGSI INVERS 52.5 Fungsi Monoton dan Teorema Fungsi InversLatihan 1. 2. 3.
  9. 9. 6 BAB 2. FUNGSI-FUNGSI KONTINU
  10. 10. Daftar Pustaka[1] Bartle, R.G. (1985), Introduction to Real Analysis, John Wiley & Sons. Inc.[2] Kreyszig, Erwin. (1978), Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley & Sons. Inc.[3] Wade, W.R. (2000), An Introduction to Analysis, Prentice Hall.[4] Zeidler, Eberhard (1995), Applied Functional Analysis, Springer-Verlag New York, Inc. 7

×