Cours les indices de prix de la théorie à la pratique acp version publique 2013

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Cours les indices de prix de la théorie à la pratique acp version publique 2013

  1. 1. Les indices de prixDe la théorie à la pratiqueAxelle Chauvet-Peyrard
  2. 2. 2Date de rédaction : Février 2013Date de dernière mise à jour : Mai 2013
  3. 3. 3Un indice des prix est un indicateur synthétique, ou une statistique, qui résume l’information contenuedans un ensemble de vecteurs de prix et de quantités afin de fournir une estimation de l’inflation surun certain ensemble de marchés.Il existe en France une série d’indice des prix à la consommation (IPC) depuis 1914. Mais despremiers essais d’indice des prix ont eu lieu dès le XVIIIèmesiècle avec les études économiques deNicolas Dutot sur les prix et la masse monétaire. À cette époque, les prix font déjà l’objet de relevésdepuis au moins deux siècles, puisque l’ordonnance de Villers-Cotterêts, sous le règne deFrançois 1er, fait déjà état de l’obligation d’enregistrement, par les greffes, des prix des « gros fruits »et autres denrées alimentaires principales sur les marchés. Depuis la seconde guerre mondiale etavec la création de l’institut national de la statistique et des études économiques (Insee) s’estinstitutionnalisé le suivi des prix à la consommation, des prix sur les marchés agricoles et des prix degros dans l’industrie. L’IPC et l’IPP (indice des prix à la production) sont dorénavant des outils majeursde la mesure conjoncturelle de l’inflation, utilisés aussi bien au niveau français qu’européen. Ilsfigurent parmi les indicateurs principaux du tableau de bord de la banque centrale européenne (BCE).On peut considérer que la théorie des indices a été stabilisée dans les années 1920, avec les travauxmathématiques parallèles des américains Irving Fisher et Correa Moylan Walsh et l’approchemicroéconomique complémentaire proposée par l’économiste russe A. Konüs. Ces fondementsthéoriques sont l’objet de la première partie du cours.Mais alors, pourquoi continuer à écrire sur les indices ? Si la théorie est bien établie, pourquoiconstruire un indice de prix s’avère-t-il toujours aussi problématique ?Deux réponses à cette question :La première pourra sembler tautologique : théorie n’est pas pratique. Et en substance, la théorie desindices préconise des formules qui ne pourront jamais être appliquées dans la vie réelle, car ellesnécessitent des informations dont le statisticien ne dispose pas à la date à laquelle il doit calculerl’indice.La seconde est la raison qui justifie toute recherche en statistique et en économétrie : les axiomes debase de la théorie des indices s’avèrent non vérifiés dans un certain nombre de cas. En l’occurrence,
  4. 4. 4la méthode généralement suivie pour construire un indice de prix repose sur le suivi dans le tempsdes prix d’un « panier » de produits constitué à la période de base et maintenu constant pendant toutela période d’observation et de construction de la série d’indices. Cette obligation de suivi d’un panier« fixe » de produits pose plusieurs problèmes.D’abord, les marchés sont en perpétuel mouvement ; les produits offerts évoluent avec les possibilitéstechnologiques ; la répartition du budget des consommateurs, avec le contexte socioéconomique. Lescatalogues des magasins s’adaptent à la demande locale, et les goûts des consommateurs changentdans le temps. En pratique donc, le « panier » n’est jamais constant…Ensuite, certains produits, bien que stables sur le long terme, sont « saisonniers », c’est-à-dire queleur consommation, en quantité et en parts de budget, peut être variable d’un mois sur l’autre, et enconséquence, leur prix également. Les profils saisonniers s’accordent malheureusement très mal avecla théorie générale des indices.Enfin, il existe des secteurs dans lesquels, par définition même, le « produit » auquel on s’intéresse aune durée de vie très limitée sur le marché : par exemple, la vente d’un logement neuf n’a lieu qu’uneseule fois dans la vie du logement. Dans ces secteurs il est naturellement impossible d’établir unindice à panier fixe. Il faudra alors définir une nouvelle formule d’indice.À la difficulté du suivi dans le temps du « panier » de la théorie s’ajoutent des difficultés à saconstitution, et en particulier à la récupération d’informations fiables et suffisamment détaillées sur lesparts budgétaires de chaque « produit » retenu dans le panier.Ces développements « pratico-théoriques » font l’objet de la deuxième partie du cours.Enfin, on a considéré qu’il pouvait être utile d’entrer un peu dans les secrets de fabrication des indicesde prix majeurs calculés et publiés aujourd’hui par l’Insee. C’est l’objet de la troisième et dernièrepartie du cours, qui sera également l’occasion de proposer une démarche simple et générique pour laconstruction d’un indice des prix ex nihilo.J’invite le lecteur à prendre connaissance du sommaire ainsi que du guide de lecture qui suivent, quipourront l’orienter au mieux dans sa découverte du cours, en fonction de son profil.***Je tiens à remercier :M. Dominique Guédès, responsable à l’Insee de la division des prix à la consommation de 2003 à2010, pour son attentive relecture et ses remarques toujours pertinentes.M. Alain Gallais, responsable à l’Insee de la division des prix à la production dans l’industrie et lesservices depuis 2008, pour son expertise précieuse dans le domaine des prix à la production.
  5. 5. 5SommaireSOMMAIRE 5AVERTISSEMENT AU LECTEUR 7GUIDE DE LECTURE 71 LA THEORIE GENERALE DES INDICES DE PRIX 91.A L’APPROCHE COMPTABLE 91.B L’APPROCHE AXIOMATIQUE 211.C L’APPROCHE STOCHASTIQUE 311.D L’APPROCHE ECONOMIQUE 381.E SYNTHESE : LA « MEILLEURE » FORMULE D’INDICE 572 DIFFICULTES PRATIQUES ET REPONSES METHODOLOGIQUES 632.A LE CHAÎNAGE : TO LINK OR NOT TO LINK, THAT IS THE QUESTION 632.B L’AGREGATION EN PLUSIEURS ETAPES 662.C LE TRAITEMENT DE L’EFFET QUALITE 772.D LES PRODUITS SAISONNIERS 1032.E SYNTHESE : LES ERREURS ET BIAIS POSSIBLES DE L’INDICE 1143 LES INDICES DE PRIX EN PRATIQUE 1193.A LE CADRE REGLEMENTAIRE 1193.B LES UTILISATIONS DES INDICES DE PRIX 1273.C LES INDICES DE PRIX A L’INSEE 1313.D CONSTRUIRE UN INDICE DE PRIX : LES QUESTIONS A SE POSER, LES REPONSES DE L’IPC ET DE L’IPP 1423.E SYNTHESE : CONVERGENCES ET DIVERGENCES ENTRE L’IPC ET L’IPP 1574 APPROFONDISSEMENTS ET APPLICATIONS 1614.A PETITS DEVELOPPEMENTS SUR LES INDICES DE LOWE 1614.B SIMULATIONS SUR JEU DE DONNEES 165TABLES ET INDEX 175A. INDEX DES FORMULES ET PROPRIETES ENONCEES 177B. RECAPITULATIF DES FORMULES D’INDICE LES PLUS UTILISEES 181C. SOMMAIRE DETAILLE 185BIBLIOGRAPHIE 191
  6. 6. 6
  7. 7. 7Avertissement au lecteurCe cours est conçu comme une introduction aux indices de prix, qui peut être lue dans son ensemble,du début à la fin, ou être abordé à travers une seule de ses parties, en fonction des centres dintérêt etdes situations du lecteur. Il est volontairement situé en dehors de toute polémique. En particulier, nouspartons du principe quil est connu du lecteur quun IPC ne cherche pas à rendre compte du pouvoirdachat ni même du « coût de la vie ». L’Insee ayant par ailleurs déjà communiqué sur le sujet àplusieurs reprises, on trouvera facilement des éléments sur ce sujet sur internet.Le cours est organisé selon une logique de progression du plus théorique au plus concret. Plus onentre dans le détail pratique des choses, et plus les éléments énoncés sont dépendants de la date àlaquelle a été rédigé le cours, c’est-à-dire en février 2013 (dernière mise à jour en mai 2013).Ainsi, la première partie est certainement la plus stable au cours du temps, puisqu’elle décrit unethéorie qui est bien établie depuis un siècle environ, et que les développements récents n’ont pasrévolutionnée.La deuxième partie est également assez stable ; si les exemples pris peuvent être frappés decaducité, les principes quant à eux ont peu de chances d’être profondément modifiés dans les vingtannées à venir.La troisième partie, par contre, est fortement ancrée dans le présent. Les indices calculés par l’Inseesont susceptibles de se modifier, dans leur liste, leur contenu méthodologique ou leur contexte légal.Le lecteur devra conserver cet élément à l’esprit lorsqu’il lira cette partie, et particulièrement en ce quiconcerne les détails méthodologiques de l’IPC et de l’IPP, qui sont en constante mutation.Guide de lectureLe cours vise plus particulièrement des statisticiens ayant des connaissances de base enmathématiques, statistique, microéconomie et économétrie, et souhaitant découvrir la méthodologiedes indices de prix, soit quils soient eux-memes destinés à travailler sur un indice de prix, soit quilssouhaitent simplement acquérir un niveau minimum de connaissance sur le sujet.Le statisticien des prix débutant lira de préférence l’ensemble du document, dans l’ordre proposé. S’ilest pressé ou avide de passage à la pratique, il pourra choisir de ne conserver de la première partieque sa synthèse, au § 1.e.1, puis lira la partie 2 en détails.Le statisticien des prix non débutant, curieux de connaître les fondements théoriques de son indice,sera intéressé par la partie 1.Le statisticien en charge de la création d’un indice de prix pourra être prioritairement intéressé par le§ 3.d, qu’il pourra compléter ensuite par la lecture de la partie 2.Le lecteur curieux mais n’ayant que peu de temps à accorder au sujet se satisfera des synthèsesproposées aux § 1.e.1, 2.e et 3.e.Situé en fin de document, un sommaire détaillé permet de naviguer plus facilement dans les pages.
  8. 8. 8
  9. 9. 91 La théorie générale des indices de prixUn indice des prix est un indicateur synthétique, ou une statistique, qui résume l’information contenuedans un ensemble de vecteurs de prix et de quantités afin de fournir une estimation de l’inflation surun certain ensemble de marchés.Dans cette première partie du cours, on s’intéresse à l’approche théorique des indices (de prix et dequantités), en d’autres termes, on cherche à savoir quelle formule appliquer aux vecteurs de prix et dequantités disponibles en entrée pour obtenir un indicateur synthétique qui rende compte au mieux duphénomène étudié (la croissance générale des prix ou des volumes échangés dans l’économie). Danscette partie théorique, on adopte un formalisme mathématique simple, qui permet de représenter demanière synthétique les propriétés établies de manière littérale. Dans la suite du cours, le formalismesera progressivement relâché, à mesure que l’on aborde des questions de plus en plus pratiques.NotationsDans toute la partie théorique, on notera ⊗ l’opérateur de produit scalaire entre deux vecteurs demême taille.On admettra les propriétés suivantes du produit scalaire, qui par ailleurs se montrent très facilement :Propriété de symétrie abba ⊗=⊗Propriété d’homogénéité ( ) ( )baba ⊗=⊗ℜ∈∀ λλλ ,Propriété de monotonie bababaa ⊗≥⊗′>∀>≥′∀ ,0,01.a L’approche comptable1.a.1 LA DECOMPOSITION DE LA VALEURLes indices de prix sont utilisés par les comptes nationaux pour déflater l’évolution des transactionsqui sont observées en valeur, et obtenir ainsi des évolutions en volume.On peut donc dire que la préoccupation centrale dans le contexte de la comptabilité nationale estd’obtenir une formule de décomposition de la valeur en une composante de prix et une composantede quantités. La première approche des indices de prix part donc de la formule suivante :Test de factorité( ) ( )1010101001,,,,,, qqppQqqppPVV ((= (1.a.1.1)
  10. 10. 10Dans cette approche, on compare la période 1 (période courante) à une période 0 (période deréférence) et on suppose que l’évolution de la valeur V entre ces deux périodes peut êtredécomposée en un indice de prix P(et un indice de quantité Q(, les deux indices étant des fonctionsdes vecteurs de prix p et des vecteurs de quantité q des deux périodes.La valeur, les prix et les quantités au sein d’une période t sont (par définition) liés par la formulesuivante :Définition de l’agrégat en valeur∑==⊗=NitititttqpqpV1. (1.a.1.2)1.a.2 LES INDICES DE PANIER-TYPEOn cherche donc à séparer la variation de prix « pure » de la variation des quantités échangées.Pour cela, la manière la plus simple consiste à fixer un vecteur de quantités q représentatif desvolumes échangés entre la période 0 et la période 1, puis de calculer l’indice des prix correspondantcomme étant le rapport des valeurs de ce panier-type aux périodes 0 et 1.L’indice de prix « pur » s’écrit donc comme suit :Indice de panier-typeqpqpPLowe⊗⊗= 010/1((1.a.2.1)Ce type d’indice a été proposé pour la première fois par Lowe en 1823 et porte donc son nom.Une partie importante de la question consiste à déterminer le panier représentatif, autrement dit levecteur q . Une solution simple peut être de prendre comme référence le vecteur des quantités de lapériode 0,0q . Une autre solution simple serait de prendre1q . Ces deux solutions simples constituentles indices de panier-type les plus connus, respectivement connus sous les noms d’indice deLaspeyres et indice de Paasche, du nom des deux statisticiens, Etienne Laspeyres et HermannPaasche, qui ont défendu ces formules dans les années 1870.Indice de panier-type de Laspeyres00010/1qpqpPL⊗⊗=((1.a.2.2)Indice de panier-type de Paasche10110/1qpqpPP⊗⊗=((1.a.2.3)
  11. 11. 111.a.3 UNE AUTRE ECRITURE DES INDICES DE PANIER-TYPEDans la pratique, on ne dispose pas des vecteurs de quantités échangées mais plutôt des parts dedépenses en valeur, c’est-à-dire que l’on connaît, pour la période t , le vecteurtw où, pour chaqueproduit, la part de dépensetiw associée au produit i s’écrit :Définition des parts de dépensetttitiNjtjtjtititiqpqpqpqpw⊗==∑=...1(1.a.3.1)Il peut donc être utile d’exprimer les formules d’indice précédentes en fonction detw et non plus detq . On obtient :Indice de Laspeyres en fonction des parts de dépense0/1010100/1. pwppwPNi iiiL((⊗== ∑=(1.a.3.2)Démonstration∑∑∑∑∑∑∑===========NiiiiNiNjjjiiiiNiNjjjiiNiiiNiiiL wppqpqpppqpqpqpqpP1001110000011100011001010/1(Indice de Paasche en fonction des parts de dépense( ) ( )( )110/1111/0111010/1.1 −−−=⊗=⊗==∑pwpwppwP Ni iiiP((((1.a.3.3)Démonstration11110111111011111101101110/1−=−==−======== ∑∑∑∑∑∑∑ NiiiiNiiiiNiiNiiiNiiiNiiiNiiiP wppqpqpqpqpqpqpP(L’indice de Laspeyres est donc une moyenne arithmétique (des indices élémentaires) pondérée parles valeurs de la période de référence, alors que l’indice de Paasche est une moyenne harmonique(toujours des indices élémentaires) pondérée par les valeurs de la période finale.
  12. 12. 121.a.4 LES INDICES ELEMENTAIRES DE PRIXDans les formules précédentes, on a introduit la notation0/1p(pour désigner le vecteur des indicesélémentaires de prix de la période 1 par rapport à la période 0, mesurant l’évolution des prix entre lapériode 0 et la période 1.Indice élémentaire de prix010/1iiippp =((1.a.4.1)La notation1/0p(quant à elle désigne clairement le vecteur des indices élémentaires de prix entre lapériode 1 et la période 0, c’est-à-dire où l’on compare les prix de la période 0 aux prix de la période 1vue comme période de référence, ce qui revient à raisonner à rebours de la chronologie habituelle.Les indices élémentaires présentent la propriété naturelle de réversibilité, c’est-à-dire que l’on a larelation suivante :Réversibilité des indices élémentaires de prix( ) 10/11/0 −= ii pp(((1.a.4.2)Cette propriété assure que l’indice de prix ne dépend pas de la période prise comme référence. Onverra que cette propriété raisonnable n’est malheureusement pas partagée par tous les indices, et ellene l’est en particulier pas par les indices de Lowe (donc pas non plus par les indices de Laspeyres nide Paasche).Les indices élémentaires présentent également la propriété de circularité, qui est une extension de lapropriété de réversibilité :Circularité (transitivité) des indices élémentaires de prix0/11/20/2. iii ppp(((= (1.a.4.3)Cette propriété assure que, si en période 2 le niveau général des prix revient à son niveau de lapériode 0, alors l’indice chaîné entre les périodes 0 et 2 (tel que défini par le membre de droite del’équation précédente) vaut 1.Comme la circularité implique la réversibilité, les indices non réversibles ne seront pas non pluscirculaires. Ainsi, les indices de Lowe et ses déclinaisons Laspeyres et Paasche ne sont pascirculaires. Le chaînage de ces indices introduit donc un biais qui s’aggrave au fur et à mesure qu’ons’éloigne de la période de référence. Nous reviendrons sur ce point ultérieurement.
  13. 13. 13Pour finir, on remarquera facilement que les indices élémentaires de prix sont évidemment des indicesde prix purs puisqu’ils ne dépendent que des vecteurs de prix aux périodes 0 et 1 et pas des vecteursde quantité. Au niveau produit, le partage volume-prix est donc toujours réalisé.Partage volume-prix au niveau élémentaire0/10/101iiiiqpVV ((= (1.a.4.4)où l’on introduit la notation0/1iq(pour désigner l’indice élémentaire de quantité du produiti entre les périodes 0 et 1.Démonstration0/10/10101001101iiiiiiiiiiiiqpqqppqpqpVV ((===1.a.5 LES INDICES DE QUANTITEPar analogie, il est possible de définir des indices de quantité de Laspeyres et de Paasche commesuit :Indice des quantités de Laspeyres00010/1pqpqQL⊗⊗=((1.a.5.1)Indice des quantités de Paasche10110/1pqpqQP⊗⊗=((1.a.5.2)On aimerait que les indices de Laspeyres et Paasche vérifient le test de factorité (1.a.1.1), mais cen’est pas le cas. En effet, si le test de factorité était vérifié pour les indices des prix et des quantités deLaspeyres, on aurait :0/10/101LL QPVV ((=c’est-à-dire :000100010011pqpqqpqpqpqp⊗⊗⊗⊗=⊗⊗soit, en utilisant la propriété de symétrie du produit scalaire :001000010011qpqpqpqpqpqp⊗⊗⊗⊗=⊗⊗c’est-à-dire, en multipliant les deux membres
  14. 14. 14⊗⊗× 1000qpqp: 00011011qpqpqpqp⊗⊗=⊗⊗ce qui n’est ni plus ni moins que l’égalité :0/10/1PL PP((=Or cette égalité n’est vérifiée que si les vecteurs de quantité aux périodes 0 et 1 sont proportionnels.Dans le cas général, donc, les indices des prix et des quantités de Laspeyres ne vérifient pas le testde factorité.On montrerait de manière équivalente que le même problème se pose avec les formules de Paasche.Dans la suite, on introduit la notion de dualité pour désigner les indices qui vérifient le test de factorité,c’est-à-dire que pour un indice des prix donné0/1XP(, on appellera indice des quantités dual de0/1XP(,et on notera ( ) 0/1*XQ(, l’indice des quantités tel que l’égalité suivante est vraie :Définition de l’indice des quantités dual( ) 0/1*0/101XX QPVV ((= (1.a.5.3)On montre alors facilement que les indices de Laspeyres et Paasche sont duals l’un de l’autre, c’est-à-dire qu’on a les égalités suivantes :Test de factorité croisé des indices de Laspeyres et Paasche0/10/10/10/101LPPL QPQPVV ((((== (1.a.5.4)Démonstration010011101100010/10/1VVqpqppqpqqpqpQP PL =⊗⊗=⊗⊗⊗⊗=((où l’on a seulement utilisé la propriété de symétrie du produit scalaire.Avec la notation précédemment introduite, on peut donc écrire :Indice des quantités dual de Laspeyres( ) 0/10/1*PL QQ((= (1.a.5.5)Indice des quantités dual de Paasche( ) 0/10/1*LP QQ((= (1.a.5.6)
  15. 15. 151.a.6 PROPRIETES DES INDICES DE LASPEYRES ET PAASCHELes indices de Laspeyres et de Paasche possèdent quelques bonnes propriétés. En particulier, ilspossèdent la propriété d’associativité, que ne possèdent généralement pas les autres indices. Cettepropriété énonce que, si l’on partitionne l’espace des produits en M sous-ensembles et que l’oncalcule l’indice en 2 étapes, d’abord sur chacun des sous-ensembles, puis à partir des indices dessous-ensembles, sur l’espace entier, on obtient la même chose que si on calcule directement l’indiceavec tous les produits. Cette propriété est particulièrement appréciable en pratique car, comme nousle verrons ultérieurement, les instituts de statistiques ont souvent besoin de calculer les indices enplusieurs étapes.Pour exprimer cette propriété avec une formule, on part de la forme (1.a.3.2) de l’indice et on introduitles notations suivantes :[ ]Mm ;1∈∀ ,m∆ est le m èmesous-ensemble de produits,où la famille { } [ ]Mmm ;1∈∆ forme une partition de l’ensemble des produits,( ) ∑∆∈=mititwmw est la pondération totale des produits du sous-ensemble m∆ ,( ) 0/1000/1iijjiL pwwmPmm((∑∑∆∈∆∈= est l’indice de Laspeyres restreint au sous-ensemble m∆ ,Alors on a :Associativité de l’indice des prix de Laspeyres( ) ( )∑==MmLL mPmwP10/100/1(((1.a.6.1)Démonstration( ) ( )( )( )0/110/101 10/101 10/1010/1010/100010/10LNjjjNjMmjjjMmNjjjjMm jjjMm jjjMmLPpwpwpwpwpmwwmwmPmwmmmm(((((((==Ι=Ι===∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑ ∑∑== =∆∈= =∆∈= ∆∈= ∆∈=
  16. 16. 16où l’on utilise pour conclure le fait que [ ] mjmNj ∆∈∃∈∀ ,!,;1 ,ce qui implique que 1,1=Ι∀ ∑=∆∈Mmj mj .C’est-à-dire que l’agrégation de Laspeyres des sous-indices (membre de droite de l’égalité) coïncideavec l’indice de Laspeyres calculé sur l’ensemble des produits.On montrerait de manière analogue que :Associativité de l’indice des prix de Paasche( ) ( )( )1110/110/1−=−= ∑MmPP mPmwP(((1.a.6.2)Par ailleurs, les indices de Laspeyres et Paasche sont des fonctions continues, strictement positives,qui possèdent de bonnes propriétés d’homogénéité et de monotonie. On passe en revue ci-dessousces propriétés pour l’indice de Laspeyres, en sachant que des propriétés équivalentes peuvent êtreexprimées pour l’indice de Paasche.Proportionnalité de l’indice de Laspeyres par rapport aux prix courants= homogénéité de degré 1 par rapport au vecteur1p( ) ( )0100/10100/1;;;;,0 qppPqppP LL((λλλ =>∀ (1.a.6.3)Cette propriété signifie que si on compare deux situations A et B (par exemple deux pays) danslesquels, partant d’un niveau de prix strictement identique à la période 0, on observe que les prix de lapériode 1 dans le pays B sont strictement proportionnels à ceux du pays A avec un facteur uniformeλ, alors l’indice du pays B va lui aussi être λ fois plus élevé que l’indice du pays A. Ceci impliquenotamment que l’indice est invariant à une conversion monétaire des prix.Proportionnalité inverse de l’indice de Laspeyres par rapport aux prix de référence= homogénéité de degré -1 par rapport au vecteur0p( ) ( )0100/110100/1;;;;,0 qppPqppP LL(( −=>∀ λλλ (1.a.6.4)L’histoire que cette propriété raconte étant évidemment la même que précédemment…Ces deux propriétés de proportionnalité prises ensemble assurent que l’indice des prix est invariantlorsqu’on change l’unité monétaire de mesure des prix, ce qui se traduit sous la forme suivante :( ) ( )0100/101010/1;;;;,0 qppPqppP LL((=>∀ −λλλInvariance de l’indice de Laspeyres lors d’une modification proportionnelle desquantités= homogénéité de degré 0 par rapport au vecteur q( ) ( )0100/10100/1;;;;,0 qppPqppP LL((=>∀ λλ (1.a.6.5)
  17. 17. 17Cette propriété énonce que l’indice des prix ne sera pas modifié en cas de modificationproportionnelle (c’est-à-dire en cas de changement d’unité, ou d’échelle) des quantités de référence.C’est donc une propriété raisonnable pour un indicateur censé synthétiser l’évolution pure des prix.Les trois propriétés d’homogénéité précédentes découlent immédiatement de la propriétéd’homogénéité du produit scalaire.Croissance de l’indice de Laspeyres par rapport aux prix courants( )  ′<⇒′< 0100/10100/111;;;; qppPqppPpp LL(((1.a.6.6)Cette propriété signifie que si on compare deux situations A et B (par exemple deux pays) danslesquels, partant d’un niveau de prix et de quantités strictement identiques à la période 0, on observeque les prix de la période 1 dans le pays B sont tous supérieurs (dont au moins un strictement) à ceuxdu pays A, alors l’indice du pays B va lui aussi être (strictement) supérieur à l’indice du pays A. C’estlà encore une propriété qui semble naturelle.Décroissance de l’indice de Laspeyres par rapport aux prix de référence( )  ′>⇒′< 0100/10100/100;;;; qppPqppPpp LL(((1.a.6.7)Propriété miroir de la précédente.Ces deux propriétés de monotonie découlent directement de la propriété de croissance du produitscalaire de deux vecteurs positifs.Enfin, on montre facilement que les indices de Laspeyres et de Paasche sont bornés par lesévolutions de prix extrêmes :Bornes de l’indice de Laspeyres[ ] [ ]NiiiLNiiippPpp;1010/1;101maxmin∈∈≤≤ ((1.a.6.8)1.a.7 LA OU LE BAT BLESSE…En revanche, comme dit précédemment, les indices de Laspeyres et de Paasche ne vérifient ni lapropriété de circularité, ni la propriété de réversibilité temporelle.En effet, la question formelle de la réversibilité revient à la question du test de factorité.Comme on peut écrire :100/11100000111011/0VVQpqpqpqpqpqpqP LL((=⊗⊗⊗⊗=⊗⊗=
  18. 18. 18On a alors :010/10/10/11/01VVPQPP LLLL =⇔=((((Comme la seconde équation est fausse dans le cas général, la première l’est également.Ce qui prouve que l’indice de Laspeyres n’est pas réversible, et donc pas circulaire non plus.Illustrons ce problème à l’aide de quelques chiffres :Considérons une économie à 3 produits a, b et c, observée pendant 3 périodes 0, 1 et 2.On suppose dans un premier temps que les quantités consommées sont constantes sur les troispériodes de temps. Les produits a et b représentent des produits de consommation courante alorsque le produit c est consommé rarement.Faisons les hypothèses suivantes sur les prix : Le prix du produit a croît tendanciellement, tandis quele produit b connaît une période de soldes en période 1 avant de revenir à son niveau initial de prix enpériode 2. Enfin, le produit « cher » de l’économie, le produit c, a un prix stable sur les trois périodesconsidérées.QuantitésconsomméesPrixen 0Prixen 1Prixen 2Produit a 10 1 1,5 2Produit b 10 2 0,5 2Produit c 1 8 8 81/0 0/1 1/0 * 0/1 2/1 2/0 2/1 * 1/0Laspeyres 0,74 1,36 1 1,71 1,26 1,26Paasche 0,74 1,36 1 1,71 1,26 1,26Avec l’hypothèse de quantités constantes, les propriétés de réversibilité et de circularité sont vérifiées.De plus, les indices de Laspeyres et de Paasche sont égaux.Supposons maintenant qu’il y ait des effets de substitution entre les produits a et b en fonction deleurs évolutions de prix et que les quantités consommées se modifient comme suit : En période 1, latotalité de la consommation du produit a se reporte sur le produit b en soldes ; en période 2, la moitiéde la consommation du produit a se reporte sur le produit b en raison de la trop grande inflation sur leproduit a. La consommation du produit c ne change pas.Qtéen 0Qtéen 1Qtéen 2Produit a 10 0 5Produit b 10 20 15Produit c 1 1 1
  19. 19. 191/0 0/1 1/0 * 0/1 2/1 2/0 2/1 * 1/0Laspeyres 0,74 2,67 1,96 2,67 1,26 1,96Paasche 0,37 1,36 0,51 2,09 1,12 0,78Sans l’hypothèse de quantités constantes, les propriétés de réversibilité et de circularité ne sont plusvérifiées, et loin s’en faut. L’exemple pris est volontairement extrême (quoique tout à fait réaliste) etmet bien en exergue la dépendance des indices de Laspeyres et Paasche à la période de référence.De plus, on remarque que les indices de Laspeyres et de Paasche peuvent être très différents l’un del’autre. On remarque que l’indice de Paasche est systématiquement inférieur à l’indice de Laspeyres.C’est une propriété générale qui est partout vraie sous certaines hypothèses et peut êtremathématiquement démontrée.Le fait que l’indice de Laspeyres va certainement surestimer l’inflation peut se comprendreintuitivement par le fait que le choix de prendre les pondérations de la période de référence impliqueque l’on ignore justement les effets de substitution entre produits résultant de la variation des prix. Enconservant les pondérations de la période de référence, on surpondère les produits à plus forteinflation (sous l’hypothèse que les quantités relatives consommées varient en sens inverse des prixrelatifs des produits, ce qui est une hypothèse souvent raisonnable pour les produits deconsommation courante comme dans l’exemple présenté).On peut montrer en effet la relation suivante entre les indices de Laspeyres et de Paasche :Différence entre les indices de Laspeyres et de Paasche( )0/10/10/10/10/1 ;covLPLQqpPP (((((−=− (1.a.7.1)DémonstrationA partir de la définition habituelle de la covariance et en remarquant que l’indice deLaspeyres peut être vu comme l’espérance de la variable aléatoire « rapport de prix entreles périodes 0 et 1 », on peut définir comme suit une « covariance » entre les vecteurs derapports de prix et de rapports de quantités :( ) ( )( )∑=−−=NiLiLii QqPpwqp10/10/10/10/100/10/1;cov((((((En développant, on obtient :( ) ∑∑∑∑ ====+−−=NiiLLNiiiLNiiiLNiiii wQPpwQqwPqpwqp100/10/110/100/110/100/110/10/100/10/1;cov((((((((((( ) 0/10/10/10/10/10/110/10/100/10/1;cov LLLLLLNiiii QPPQQPqpwqp((((((((((+−−= ∑=
  20. 20. 20( ) 0/10/110/10/100/10/1;cov LLNiiii QPqpwqp((((((−= ∑=Pour obtenir l’égalité désirée, il suffit par conséquent de prouver que :∑==NiiiiLP qpwQP10/10/100/10/1 ((((Or avec la formule (1.a.5.4) on sait que :010/10/1VVQP LP =((d’où :∑∑∑∑∑∑∑===========NiiiiNi iiiiNjjjiiNiiiNjjjNiiiNiiiLP qpwqqppqpqpqpqpqpqpQP10/10/1010101100001111001001110/10/1 1 ((((Pour reprendre la discussion précédente : lorsque les vecteurs de prix et de quantité sont anticorrélés,on a donc bien0/10/1PL PP((≥ .Ces deux remarques :L’absence de réversibilité temporelle, etLes différences substantielles qui peuvent séparer les deux mesures,ont conduit les théoriciens des prix du début du XXèmesiècle à rechercher des formules pluspertinentes.On peut par exemple envisager, au lieu de prendre les quantités de la période 0 ou celles de lapériode 1, d’utiliser des quantités résultant d’une moyenne des deux périodes. En appliquant unemoyenne symétrique (c’est-à-dire équipondérée en 0 et en 1) avec une formule soit arithmétique soitgéométrique, on obtient les indices présentés dans le tableau suivant. On ajoute également le résultatde la moyenne géométrique entre les indices de Laspeyres et Paasche.1/0 0/1 1/0 * 0/1 2/1 2/0 2/1 * 1/0Laspeyres 0,74 2,67 1,96 2,67 1,26 1,96Paasche 0,37 1,36 0,51 2,09 1,12 0,78Lowe avec moy. ari.simple des quantités 0,53 1,87 1 2,34 1,19 1,25Lowe avec moy. géo.simple des quantités 0,42 2,35 1 2,54 1,18 1,08Moy. géo. simple de L et P 0,53 1,90 1 2,36 1,19 1,24
  21. 21. 21On remarque que les trois nouveaux indices vérifient la propriété de réversibilité.Ils ne vérifient pas la propriété de circularité, mais en sont moins loin que Laspeyres et Paasche.Leurs valeurs sont toujours situées entre la valeur de Paasche et celle de Laspeyres.Leurs valeurs sont très proches des unes des autres, à une exception : l’indice de Lowe avecmoyenne géométrique simple des quantités s’écarte des autres lorsqu’une des deux périodescomparées est la période 1. Cela s’explique en fait par la nature des données choisies, et enparticulier la présence d’une quantité égale à 0 pour le produit a en période 1. La moyennegéométrique est alors aberrante (pour calculer l’indice, il a fallu imputer une valeur positive quoiquetrès proche de 0, ici on a choisi 0,01 – il reste que de cette manière la moyenne géométrique s’écartebeaucoup de la moyenne arithmétique, d’où les valeurs un peu atypiques de cet indice à cet endroit).L’indice de Lowe avec moyenne arithmétique simple des quantités a été proposé pour la première foisen 1887 par Marshall, puis repris en 1925 par Edgeworth, et porte donc le nom de ces deuxéconomistes.Sa variante avec moyenne géométrique a été défendue par Walsh, un des contributeurs principaux àl’approche axiomatique de la théorie des indices, que l’on examine dans le § 1.b. Ses deux ouvragesmajeurs sont The Measurement of General exchange value, paru en 1901, et The Problem ofestimation, paru en 1921.Enfin, la moyenne géométrique des indices de Laspeyres et de Paasche constituait l’indice préféré del’économiste américain Irving Fisher, père de la théorie quantitative de la monnaie qui s’est égalementintéressé de près à la théorie des indices, notamment à travers son ouvrage The Making of indexnumbers : A study of their varieties, tests and reliability, paru en 1922, soit trente ans après sonpremier titre, Mathematical investigations in the theory of value and prices.On verra que ces trois indices présentent en effet les bonnes propriétés qu’ils semblent avoir dansl’exemple présent, et en particulier celle de réversibilité temporelle. L’indice de Fisher, nous yreviendrons, est quant à lui souvent considéré comme l’indice le « meilleur », et ce quelle que soitl’approche adoptée.1.b L’approche axiomatiqueCette approche, qui fut celle de Fisher et de Walsh, est également appelée approche par les tests(dans un sens non statistique du terme), dans la mesure où il s’agit de « tester » tel indice candidatselon une liste de bonnes propriétés établies a priori. Certaines de ces propriétés sont assezuniversellement admises, alors que d’autres sont sujettes à controverse. Parmi ces propriétés, onretrouve évidemment celles vérifiées précédemment par les indices de Laspeyres et de Paasche.Par ailleurs, certaines approches associent étroitement indices des prix et indices des quantités : onattendra de l’indice des quantités dual de l’indice des prix « test » qu’il vérifie lui aussi une batterie de
  22. 22. 22bonnes propriétés, souvent miroir des propriétés émises pour l’indice des prix. D’autres auteurspréfèrent se concentrer sur les propriétés de l’indice des prix.On supposera que tous les prix et toutes les quantités sont strictement positifs.On considèrera que dans le cas général les indices de prix et de quantités sont des fonctions des 4vecteurs0p ,1p ,0q et1q .1.b.1 TESTS GENERAUXCes propriétés n’ont pas été énoncées plus haut pour les indices de Laspeyres et de Paasche, maisceux-ci les vérifient trivialement.G1 Positivité( ) 0,,, 1010>qqppP((1.b.1.1)G2 Continuité( )1010,,, qqppP(est une fonction continue de ses arguments (1.b.1.2)G3 Test des prix constants (ou test d’identité)( ) 1,,, 1000=qqppP((1.b.1.3)Si les prix ne changent pas, l’indice des prix vaut 1.G4 Test des quantités constantes (ou test de panier-type)( ) ( )0100/100010010,,,,, qppPqpqpqqppP Lowe((=⊗⊗= (1.b.1.4)Si les quantités ne changent pas, l’indice coïncide avec l’indice de panier-type.G5 Invariance à la permutation des produitsPour toute fonction de permutation σ ,( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )10101010,,,,,, qqppPqqppP((=σσσσ (1.b.1.5)G6 Invariance à la modification des unités de mesure (test de commensurabilité)En notant × la multiplication terme à terme de deux vecteurs a et b,c’est-à-dire ( ) iii baba =× ,et en notant 1/a le vecteur composé des inverses des composantes de a,c’est-à-direii aa11=,On doit avoir :
  23. 23. 23( )10101010,,,1,1,, qqppPqqppP((=××××αααα (1.b.1.6)Ce qui signifie que l’indice doit être insensible aux unités de mesure choisies pour lesproduits, à condition que ces unités restent les mêmes aux périodes 0 et 1.1.b.2 TESTS D’HOMOGENEITEOn retrouve ici les propriétés énoncées au § 1.a.6 pour les indices de Laspeyres et de Paasche(propriétés H1 à H3 correspondant aux formules 1.a.6.3 à 1.a.6.5).H1 Proportionnalité par rapport aux prix courants( ) ( )10101010,,,,,,,0 qqppPqqppP((λλλ =>∀ (1.b.2.1)H2 Proportionnalité inverse par rapport aux prix de référence( ) ( )101011010,,,,,,,0 qqppPqqppP(( −=>∀ λλλ (1.b.2.2)H3 Invariance lors d’une modification proportionnelle des quantités de référence( ) ( )10101010,,,,,,,0 qqppPqqppP((=>∀ λλ (1.b.2.3)H4 Invariance lors d’une modification proportionnelle des quantités courantes( ) ( )10101010,,,,,,,0 qqppPqqppP((=>∀ λλ (1.b.2.4)1.b.3 TESTS DE MONOTONIEOn retrouve là encore des propriétés énoncées au § 1.a.6 pour les indices de Laspeyres et dePaasche (propriétés M1 et M2 correspondant aux formules 1.a.6.6 et 1.a.6.7).M1 Croissance par rapport aux prix courants( )  ′<⇒′< 1010101011,,,,,, qqppPqqppPpp(((1.b.3.1)M2 Décroissance par rapport aux prix de référence( )  ′>⇒′< 1010101000,,,,,, qqppPqqppPpp(((1.b.3.2)1.b.4 TESTS DE SYMETRIELes deux propriétés qui suivent ne sont pas vérifiées par les indices de Laspeyres et de Paasche maisconstituent cependant deux bonnes propriétés attendues d’un indice des prix.
  24. 24. 24S1 Symétrie des arguments de quantité( ) ( )10100110,,,,,, qqppPqqppP((= (1.b.4.1)Cette propriété impose que les périodes 0 et 1 entrent de manière symétrique dans la déterminationdes pondérations de l’indice. Elle est assez controversée car non nécessairement compatible avecl’approche économique. Toutefois, un certain nombre d’indices la vérifient, parmi lesquels les troisindices introduits au § 1.a.7, de Fisher, Walsh et Marshall-Edgeworth.S2 Réversibilité temporelle( ) ( )( ) 110100101,,,,,,−= qqppPqqppP(((1.b.4.2)Contrairement à la précédente, cette propriété-ci semble essentielle pour tous les théoriciens des prix.Elle est, comme évoqué au § 1.a.7, également partagée par les indices de Fisher, Walsh et Marshall-Edgeworth.1.b.5 TESTS DE BORNESB1 Bornes par les évolutions de prix extrêmes[ ]( )[ ]NiiiNiiippqqppPpp;1011010;101max,,,min∈∈≤≤ ((1.b.5.1)Il s’agit de la dernière propriété énoncée au § 1.a.6 pour les indices de Laspeyres et de Paasche(formule 1.a.6.8).Il semble naturel, pour un indice mesurant une sorte de moyenne des évolutions de prix, d’être situé àl’intérieur des évolutions les plus extrêmes.B2 Bornes par les indices de Laspeyres et Paasche( ) ( ) ( )0101010110,,,,,,, qppPqqppPqppP LP(((≤≤ (1.b.5.2)Bien que non énoncée précédemment, cette propriété est trivialement vérifiée par les indices deLaspeyres et de Paasche.1.b.6 TESTS POUR L’INDICE DES QUANTITES DUALOn n’énonce que les propriétés qu’il est nécessaire de tester si on veut qu’elles soient vérifiées, c’est-à-dire seulement celles qui ne sont pas directement impliquées par les propriétés portant sur l’indicedes prix dual.M1’ Croissance par rapport aux quantités courantes( )  ′<⇒′< 1010101011,,,,,, qqppQqqppQqq(((1.b.6.1)M2’ Décroissance par rapport aux quantités de référence( )  ′>⇒′< 1010101000,,,,,, qqppQqqppQqq(((1.b.6.2)
  25. 25. 25S1’ Symétrie des arguments de prix( ) ( )10101001,,,,,, qqppQqqppQ((= (1.b.6.3)B1’ Bornes par les évolutions de quantités extrêmes[ ]( )[ ]NiiiNiiiqqqqppQqq;1011010;101max,,,min∈∈≤≤ ((1.b.6.4)1.b.7 QUELS INDICES VERIFIENT CES TESTS ?On entend montrer dans ce paragraphe que l’unique indice vérifiant l’ensemble des propriétésénoncées ci-dessus est l’indice de Fisher.Indice de Fisher( ) ( ) ( )11001010100/1,,,,,,, qppPqppPqqppPP PLFF((((== (1.b.7.1)1.b.7.i L’indice de Fisher vérifie les 20 propriétés énoncéesPour les propriétés G, on admet que les indices de Laspeyres et Paasche les vérifient (démonstrationimmédiate en revenant à la définition).G10/1FP(est positive en tant que composée de fonctions qui le sont (fonction racine carrée d’unepart, produit des fonctions indices de Laspeyres et Paasche d’autre part).G20/1FP(est continue en tant que composée de fonctions qui le sont.G3 ( ) ( ) ( ) 11.1,,,,,,, 1000001000=== qppPqppPqqppP PLF(((G4( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0100100100100100010,,,,,,,,,,,,,qppPqppPqppPqppPqppPqqppPLLLPLF((((((===est bien un indice de panier-type.G5 découle immédiatement du fait que les indices de Laspeyres et de Paasche la vérifientG6 idem
  26. 26. 26H1 ,0>∀λ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )10101100101100101100101010,,,,,,,,,,,,,,,,,,qqppPqppPqppPqppPqppPqppPqppPqqppPFPLPLPLF((((((((λλλλλλλ====Les autres propriétés H se montrent exactement de la même manière.Les propriétés M découlent immédiatement du fait que Laspeyres et Paasche vérifient ces propriétésainsi que la propriété de positivité, et que la fonction racine carrée est croissante.De la même manière, les propriétés B découlent immédiatement du fait que Laspeyres et Paaschevérifient ces propriétés, de la positivité de tous les termes comparés, et de la croissance de la fonctionracine carrée.Les propriétés S sont les seules pour lesquelles on ne peut pas utiliser des résultats équivalents pourLaspeyres et Paasche. La démonstration de ces propriétés pour l’indice de Fisher doit dont repartirdes définitions des indices de Laspeyres et Paasche.S1( )( ) ( )( ) ( )( )1010010110000110110101100110,,,,,,,,,,,,,,qqppPqppPqppPqpqpqpqpqppPqppPqqppPFLPPLF((((((==⊗⊗⊗⊗==S2( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) 110101110010110110001010011100011010101,,,,,,,,,,,,,,−−−==⊗⊗⊗⊗=⊗⊗⊗⊗==qqppPqppPqppPqpqpqpqpqpqpqpqpqppPqppPqqppPFPLPLF((((((S1’ Démonstration analogue à celle de S1.
  27. 27. 27De plus, l’indice de Fisher satisfait au test de factorité.Test de factorité pour l’indice de Fisher( ) ( )1010101001,,,,,, qqppQqqppPVVFF((= (1.b.7.2)Démonstration0101010/10/10/10/10/10/10/10/10/10/1...VVVVVVQPQPQQPPQPLPPLPLPLFF====((((((((((1.b.7.ii L’indice de Fisher est l’unique indice vérifiant l’ensemble des 20 propriétésénoncéesEn fait, les propriétés G1, S1, S2 et S1’ suffisent à déterminer la forme fonctionnelle de l’indice demanière univoque.Partons de la formule (1.b.6.3) correspondant à la propriété S1’ sur l’indice des quantités :( ) ( )10101001,,,,,, qqppQqqppQ((=Et réécrivons-la en fonction des indices de prix, en utilisant pour cela la formule de factorité (1.a.1.1) :( )( ) ( )( )( ) ( )1010001110010110,,,1,,,,,1,,qqppPqpVqpVqqppPqpVqpV(( =Mais grâce à la propriété S1, on a :( ) ( )01011001,,,,,, qqppPqqppP((=Et grâce à la propriété S2, on a :( )( )10100101,,,,,,1qqppPqqppP(( =Donc la propriété S1’ se réécrit :( )( ) ( ) ( )( ) ( )1010001110100110,,,1,,,,,,,qqppPqpVqpVqqppPqpVqpV((=Donc :( )( ) ( )( )( )( )1001001121010,,,,,,,qpVqpVqpVqpVqqppP =(Et, en développant les fonctions de valeur :
  28. 28. 28( )( ) 101100011001001121010,,,qpqpqpqpqpqpqpqpqqppP⊗⊗⊗⊗=⊗⊗⊗⊗=(Où l’on reconnaît la définition des indices de Laspeyres et de Paasche.Pour conclure, on doit enfin invoquer la propriété G1 de positivité stricte de l’indice, qui nous permetde passer à la racine carrée et d’écrire :( ) ( ) ( )1100101010,,,,,,, qppPqppPqqppP PL(((=1.b.8 UNE APPROCHE ALTERNATIVELes développements précédents amenèrent Fisher à conclure que la moyenne géométrique desindices de Laspeyres et de Paasche constituait l’indice « idéal ». Cette conclusion, toutefois, estétroitement dépendante de la liste des propriétés fixées a priori comme souhaitables pour l’indice.Cette liste de propriétés repose elle-même sur un cadre théorique dans lequel, par exemple, onsuppose que les variables d’intérêt sont les vecteurs de prix et les vecteurs de quantités.Mais si, comme Walsh, on considère au contraire que les variables d’intérêt sont le vecteur desrapports de prix d’une part, et les vecteurs de dépenses en valeur d’autre part, alors on est conduit àreformuler les propriétés précédentes, à en laisser certaines de côté et à en introduire de nouvelles.Considérons par conséquent le nouveau jeu de propriétés suivant :G1 Positivité( ) 0,, 100/1>vvpP(((1.b.8.1)G2 Continuité( )100/1,, vvpP((est une fonction continue de ses arguments (1.b.8.2)G3 Test des prix constants (ou test d’identité)( ) 1,,1 10=vvP((1.b.8.3)Si les prix ne changent pas, l’indice des prix vaut 1.G5 Invariance à la permutation des produitsPour toute fonction de permutation σ ,( ) ( ) ( )( ) ( )100/1100/1,,,, vvpPvvpP((((=σσσ (1.b.8.4)H1 Proportionnalité par rapport aux rapports de prix( ) ( )100/1100/1,,,,,0 vvpPvvpP((((λλλ =>∀ (1.b.8.5)H3 Invariance lors d’une modification proportionnelle des valeurs de référence( ) ( )100/1100/1,,,,,0 vvpPvvpP((((=>∀ λλ (1.b.8.6)
  29. 29. 29H4 Invariance lors d’une modification proportionnelle des valeurs courantes( ) ( )100/1100/1,,,,,0 vvpPvvpP((((=>∀ λλ (1.b.8.7)M1 Croissance par rapport aux rapports de prix( )  ′<⇒′< 100/1100/10/10/1,,,, vvpPvvpPpp(((((((1.b.8.8)S1 Symétrie des arguments de valeurs( ) ( )100/1010/1,,,, vvpPvvpP((((= (1.b.8.9)S2 Réversibilité temporelle( ) ( )( ) 1100/1011/0,,,,−= vvpPvvpP(((((1.b.8.10)S3 Transitivité (sous condition de pondérations fixes)( ) ( ) ( )vvpPvvpPvvpP ′=′′ ,,,,,, 0/20/11/2 (((((((1.b.8.11)B1 Bornes par les évolutions de prix extrêmes( ) [ ] ( ) ( ) [ ]NiiNii pvvpPp ;10/1100/1;10/1max,,min ∈∈≤≤(((((1.b.8.12)Quelques remarques :1) Les équations d’invariance H3 et H4 impliquent qu’il est équivalent, dans la formule d’indice,d’utiliser les vecteurs de dépenses en valeur0v et1v ou bien les vecteurs de parts dedépense0w et1w . Dans la suite, on considèrera donc qu’on cherche une formule d’indicequi est une fonction des rapports de prix ainsi que des parts de dépense aux périodes 0 et 1.2) On a laissé de côté les propriétés G4 et B2 qui ne sont pas universellement admises. Le testde limitation par les indices de Laspeyres et de Paasche, notamment, n’est pas vérifié parl’indice de Walsh, qui par ailleurs vérifie toutes les propriétés émises aux § 1.b.1 à 1.b.5 surles indices de prix. La propriété G4 est évidemment vérifiée par tous les indices de panier-type et donc en particulier par l’indice de Walsh, mais on verra que lorsqu’on se place dansune approche axiomatique différente, on peut être amené à définir des indices de prixgéométriques, qui ne sont pas des indices de panier-type mais qui pourtant vérifient denombreuses bonnes propriétés.3) Les propriétés G6, H2, M2 sont rendues implicites par le fait qu’on ne considère plus demanière séparée les arguments0p et1p .4) Enfin, on introduit une propriété S3 de transitivité des indices de prix par rapport aux rapportsde prix, les pondérations en valeur étant prises constantes sur les trois périodes considérées.Il s’agit d’une variante (non équivalente) du test de transitivité de Fisher que l’on a évoquée au§ 1.a.
  30. 30. 30Test de transitivité de Fisher( ) ( ) ( )202021211010,,,,,,,,, qqppPqqppPqqppP(((=Cette propriété n’est vérifiée ni par les indices de panier-type, ni par l’indice de Fisher (voircontre-exemple au § 1.a.7). En fait, on peut montrer que les seuls indices satisfaisant au testde transitivité de Fisher ainsi qu’aux propriétés G1, G2, G3, G6, H1 et H3 s’écrivent sous laforme d’une moyenne géométrique pondérée des rapports de prix, avec pondérations nondépendantes du temps. On voit bien que des indices de cette forme vont également satisfairele test de transitivité tel qu’exprimé sous la forme (1.b.8.11).5) Laissons de côté le test de transitivité de Fisher et revenons aux propriétés exprimées ci-dessus dans le cadre axiomatique alternatif proposé. Il peut être démontré que les indicessatisfaisant aux propriétés énoncées ont la forme de moyennes géométriques pondérées desrapports de prix :Indice géométrique pondéré( ) ( ) ( )∏==NiwwiGiipwwpP1,0/1100/110,,µ((((1.b.8.13)Les pondérations sont des fonctions continues positives des vecteurs de parts de dépense0w et1w . Il existe alors une infinité de solutions au problème.On peut en particulier prendre une moyenne symétrique de ces parts de dépense. Avec unemoyenne arithmétique simple la formule coïncide avec l’indice proposé par Törnqvist, tandisqu’avec une moyenne géométrique simple on tombe sur l’indice géométrique de Walsh,variante de l’indice de Walsh introduite par lui-même.Indice de Törnqvist( ) ( ) ( )∏=+=NiwwiTiipwwpP1210/1100/110,,((((1.b.8.14)Si l’on ajoute les deux hypothèses suivantes sur les pondérations, on se retrouve dans un casde détermination univoque de la forme fonctionnelle de l’indice.P1 Séparabilité des pondérations( )( ) ( )100/1100/1,,,,1,...,,...,1 iiii wwpfvvpP(((= (1.b.8.15)Cette propriété signifie que si seul le prix du produit i a changé entre les périodes 0 et 1, alorsl’indice ne dépend pas des dépenses effectuées pour les autres produits. Un tel indice n’estplus une fonction que de 3 paramètres : le rapport des prix du produit i entre les périodes 0 et1 et les parts de dépense en produit i aux périodes 0 et 1.P2 Invariance de l’indice aux évolutions de prix des produits non pondérés( )( )( )( ) 1,...,0,...,,,...,0,...,,1,...,,...,1 1110010/1=NNi vvvvpP(((1.b.8.16)
  31. 31. 31Alors on peut montrer (mais on ne le fera pas ici) que l’indice de Törnqvist est l’unique indicevérifiant l’ensemble des 14 propriétés énoncées dans ce § 1.b.8.Cette approche peut sembler purement théorique et non directement utile pour l’établissementd’un indice de prix. On pourrait penser qu’il est tout à fait possible de se contenter des indicesde panier-type, surtout lorsque comme l’indice de Walsh, ils vérifient la propriété deréversibilité temporelle. On pourrait également se contenter de la démonstration d’optimalitéde l’indice de Fisher dans la première approche axiomatique. La suite va faire réapparaîtrel’indice de Törnqvist sur le devant de la scène et donner du sens à la présente approche.1.c L’approche stochastique1.c.1 APPROCHE NON PONDEREEEn 1863, l’économiste britannique William Stanley Jevons est le premier à proposer une approchestatistique des indices de prix. Cette approche repose sur l’hypothèse que les rapports de prixoscillent autour d’un taux d’inflation général commun.Modèle stochastique logarithmique( ) iiippεα +=lnln 01(1.c.1.1)Les ( ) [ ]Nii ;1∈ε étant des variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées etcentrées, que l’on appelle « résidus » du modèle.On peut résoudre ce modèle en prenant par exemple l’estimateur des moindres carrés ordinaires(MCO).On rappelle que cette méthode consiste à minimiser l’erreur quadratique des résidus,c’est-à-dire, comme ceux-ci sont supposés centrés, minimiser la quantité suivante :( ) ( )∑∑ ==−=Ni iiNiippNN 120112lnln11αεOn dérive cette expression par rapport à α :( )∑=−− Ni iippN 101lnln12ααEt on cherche le α tel que cette dérivée soit nulle.Sous les hypothèses du modèle (1.c.1.1), l’estimateur des MCO du paramètre ( )αln est alors :( ) ∑==Ni iippN 101ln1ln α
  32. 32. 32On peut choisir de prendre l’exponentielle de cet estimateur comme estimateur du taux d’inflation α ,même si celui-ci ne sera pas sans biais dans le cas général. C’est l’estimateur proposé par Jevons :Indice de JevonsNNiiJ pP ∏==10/10/1 (((1.c.1.2)Il s’agit de la moyenne géométrique non pondérée des rapports de prix.En spécifiant un modèle différent, on aboutirait évidemment à une autre solution. Par exemple, enposant un modèle stochastique linéaire (et non plus logarithmique), l’estimateur des MCO coïncideavec la moyenne arithmétique des rapports de prix (et non plus géométrique). L’indice qui en découleest nommé d’après l’économiste italien qui l’a proposé en 1764, un siècle avant le développement del’approche stochastique par Jevons, pour mesurer l’impact de la découverte de l’Amérique surl’augmentation des prix.Indice de Carli∑==NiiC pNP10/10/1 1 (((1.c.1.3)L’indice de Carli est un estimateur sans biais du taux d’inflation, ce que n’est pas l’indice de Jevons.Mais il présente le gros inconvénient de ne pas satisfaire au test de réversibilité, alors que l’indice deJevons, si (la démonstration de ce point est immédiate avec la forme multiplicative de l’indice deJevons et la réversibilité des indices élémentaires).L’approche stochastique de Jevons fut reprise et appuyée par Edgeworth, mais critiquée violemmentpar Keynes, qui ne croit pas à l’existence d’un taux d’inflation unique autour duquel graviteraient demanière aléatoire tous les rapports de prix. De plus, il réfute l’hypothèse du bruit blanc, c’est-à-direqu’il ne croit pas que les écarts entre les rapports de prix et le taux d’inflation général soientindépendants les uns des autres. Au contraire, il affirme qu’ils sont corrélés, et que cette corrélationdépend du niveau relatif des dépenses dédiées aux différents produits, ce qui oblige, a minima, àprendre en considération les pondérations des différents produits.Les « erreurs d’observation », la conception de l’indice des prix comme « des tentatives manquéesd’atteindre le centre d’une seule et même cible », la « variation moyenne objective des prixgénéraux » d’Edgeworth, tout cela résulte d’une confusion de pensées. Il n’y a pas de centre de lacible. Il n’y a pas de centre mouvant mais unique, qu’on appelle niveau général des prix ou variationmoyenne objective des prix généraux, autour duquel sont dispersés les niveaux de prix mouvantsdes différentes choses. Il existe toutes les conceptions diverses, assez définies, des niveaux de prix
  33. 33. 33de produits composites adaptées à la diversité des objectifs (…). Il n’y a rien d’autre. Jevonspoursuivait un mirage.(…) dans le cas des prix, le mouvement du prix d’un produit influe forcément sur les mouvementsdes prix d’autres produits, et l’ampleur de ces mouvements compensatoires dépend de l’ampleur dela variation des dépenses consacrées au premier produit, comparée à celle des dépensesconsacrées aux produits touchés en second lieu. C’est pourquoi, plutôt qu’une « indépendance », ilexiste entre les « erreurs » commises dans des « observations » successives ce que certainsspécialistes des probabilités ont appelé « corrélation » (…). Nous ne pouvons donc pas aller plusloin avant d’avoir énoncé la loi de corrélation requise. Mais celle-ci ne peut être énoncée sans faireréférence à l’importance relative des produits touchés.Keynes, A Treatise on Money in Two Volumes: 1:The Pure Theory of Money, 19301.c.2 APPROCHES STOCHASTIQUES PONDEREES1.c.2.i L’estimateur pondéré de TheilKeynes n’est pas le premier à formuler des critiques sur l’approche stochastique non pondérée. En1901, Walsh exprimait déjà qu’il était toujours meilleur de pondérer les produits avec des pondérationsimprécises plutôt que de ne pas pondérer du tout. Mais il faudra attendre les travaux de Theil dans lesannées 1960 pour que soit développée une approche stochastique pondérée.Theil reprend une spécification logarithmique du modèle et propose d’améliorer l’estimateur enpondérant les observations par des poids individuels iw bien choisis. Theil recommande d’utilisercomme poids une moyenne symétrique des parts de dépense en produit i aux périodes 0 et 1 :Poids de Theil210iiiwww+= (1.c.2.1)Avec les poids de Theil, l’estimateur tiré des moindres carrés pondérés (MCP) coïncide avec laformule de Törnqvist énoncée au § 1.b.8.14.En effet, l’estimateur des MCP pour le paramètre ( )αln s’écrit dans le cas général :( ) ∑==Ni iiippw101lnln αD’où on tire l’estimateur suivant pour le paramètre α :∏==Niwiiipp101ˆαL’estimateur tiré des MCP coïncide donc avec la formule d’indice géométrique pondéréintroduite par (1.b.8.13).Avec les poids de Theil, on retrouve donc bien la formule de Törnqvist.
  34. 34. 34Depuis Theil et surtout dans les années 1980 à 2000, plusieurs statisticiens se sont essayés àl’approche stochastique pondérée des indices de prix1. On trace ci-après les grandes lignes de leursrecherches, les avantages qu’elles proposent, ainsi que leurs limites.1.c.2.ii Un cadre formel communRéécrivons les deux modèles envisagés au § 1.c.1 précédent, en y ajoutant explicitement ladimension temporelle.Modèle stochastique linéaireittitippεα +=0(1.c.2.2)Modèle stochastique logarithmique( ) ittitippεα +=lnln 0(1.c.2.3)On peut justifier la spécification logarithmique en remarquant que les rapports de prix sont forcémentbornés inférieurement par 0 et que, par conséquent, leur loi de distribution n’est pas symétrique autourde 0, comme ce que l’on suppose dans (1.c.2.2).L’approche non pondérée pose comme hypothèse que les erreurs itε sont indépendantes entre elleset normalement distribuées autour de 0, c’est-à-dire que tε est un bruit blanc :Hypothèse de bruit blanc( ) ( ) 2var;0 tititE σεε == (1.c.2.4)Lorsque Keynes dit que les variations de prix d’un produit ont un impact sur les variations de prix desautres produits, il revient à dire que les résidus du modèle précédent sont en fait autocorrélés.Il faut alors changer l’hypothèse (1.c.2.4) comme suit :Hypothèse d’autocorrélation des résidus( ) ( )itititwE2var;0σεε == (1.c.2.5)1Voir pour une synthèse de ces approches l’article « On the stochastic approach to index numbers » proposé parWE Diewert à la 1èreréunion du groupe d’Ottawa, 1995.
  35. 35. 351.c.2.iii L’estimateur des moindres carrés pondérésLa résolution du modèle avec hypothèse d’autocorrélation des résidus (1.c.2.5) conduit auxestimateurs des MCP.Avec la spécification linéaire (1.c.2.2) l’estimateur des MCP du paramètre tα est un indice de Lowe :Estimateur linéaire pondéré∑==Ni itiitppw10ˆα (1.c.2.6)C’est une version pondérée de l’indice de Carli (1.c.1.3).Avec la spécification logarithmique (1.c.2.3) l’estimateur du paramètre tα obtenu en prenantl’exponentielle de l’estimateur des MCP du paramètre ( )tαln est un indice géométrique pondéré :Estimateur logarithmique pondéré∏==Niwititipp10ˆα (1.c.2.7)C’est une version pondérée de l’indice de Jevons (1.c.1.2).1.c.2.iv Ce qu’apporte l’approche pondéréeEn prenant comme pondérations les parts de dépense en produit i à la période 0 :0ii ww = ,l’estimateur linéaire pondéré coïncide avec l’indice de Laspeyres.Ce résultat permet de justifier statistiquement la formule de Laspeyres (l’indice de Laspeyres est unestimateur sans biais du taux d’inflation général), et de déterminer pour cette formule une formulesimple de calcul d’intervalles de confiance.Avec la spécification logarithmique et en prenant comme pondérations une moyenne symétrique desparts de dépense en produit i aux périodes 0 et t :( )tiii www += 021,l’estimateur logarithmique pondéré coïncide avec la formule d’indice de Theil (et donc de Törnqvist).Ce choix permet de combiner la justification statistique avec les bonnes propriétés de la formule deTörnqvist. Là encore on peut dorénavant produire des intervalles de confiance pour l’indice.1.c.2.v Ajout d’une tendance individuelle au modèleL’approche pondérée précédente ne répond qu’à la seconde objection de Keynes (celle qui porte surl’autocorrélation des résidus).
  36. 36. 36Pour répondre à la première (il n’existe pas d’inflation générale commune à tous les produits), on peutaussi envisager d’ajouter au modèle une variable explicative de l’effet individuel. Ainsi l’inflation propreà un produit-type donné sera la somme de l’inflation générale et de l’effet individuel.Modèle logarithmique avec tendance individuelle( ) itititippεβα ++=lnln 0(1.c.2.8)On se place toujours dans l’hypothèse hétéroscédastique (1.c.2.5).Et on ajoute l’hypothèse que les effets individuels pondérés se compensent :Hypothèse de colinéarité des effets individuels01=∑=niiiw β (1.c.2.9)Alors on peut montrer que sous cette hypothèse, la résolution du modèle (1.c.2.8) conduit au mêmeestimateur du maximum de vraisemblance pour ( )tαln que le modèle (1.c.2.3).Donc l’indice géométrique pondéré par les iw est là encore un estimateur recevable du tauxd’inflation général.1.c.2.vi Critique de l’approche pondéréeLa faiblesse principale des approches stochastiques pondérées précédemment décrites réside dansles hypothèses faites sur les iw . Traduite en termes économiques, l’approche consistant à pondérerles observations par leurs parts de dépense revient à dire que plus un produit représente une partimportante du budget, moins ses prix relatifs sont dispersés autour de la moyenne. Or rien ne permetd’affirmer cela, et on peut même prouver empiriquement que l’hypothèse est grossièrement fausse.Cette faiblesse est évidemment aggravée dans le cas du modèle avec tendance individuelle,puisqu’on y suppose en plus que ces mêmes iw sont ceux qui lient ensemble les tendancesindividuelles. En outre, dans ce modèle, l’inflation portée par un produit i est la somme entre l’inflationgénérale et la tendance individuelle ; or l’estimateur issu des MCP pour le paramètre iβ présente legros inconvénient de dépendre du nombre de périodes considérées dans le modèle2.L’approche stochastique semble donc échouer dans son ensemble. Toutefois il existe une perspectivedans laquelle elle conserve sa légitimité entière : c’est celle dans laquelle les prix suivis ne constituentpas la population des prix disponibles, mais seulement un échantillon de ceux-ci.2Pour plus de détails sur ces aspects, voir l’article de Diewert précité.
  37. 37. 371.c.3 REHABILITATION DE L’APPROCHE STOCHASTIQUE : UNEPERSPECTIVE PUREMENT STATISTIQUEEdgeworth défendait l’approche pondérée avec un argument statistique : un produit représentatif dontle prix est très variable est un indicateur moins fiable de la tendance générale de l’inflation, doncdevrait être moins pondéré dans l’estimateur de cette tendance.Mais, au-delà, la véritable justification de l’approche stochastique pondérée se trouve dans l’approchepar échantillonnage.Dans cette approche, on suppose que les N rapports de prix observés constituent un échantillondont chaque élément i a une probabilité d’inclusion égale à iw .Si l’on suppose que les rapports de prix sont tirés aléatoirement et proportionnellement aux parts dedépense de chaque produit dans la période de référence, alors l’estimateur des MCP, dans le modèlelinéaire, coïncide avec l’indice de Laspeyres, tandis que si on suppose les rapports de prix tirésproportionnellement aux parts de dépense des produits dans la période courante, l’estimateur desMCP est l’indice de Paasche. Les deux mesures étant également recevables mais donnant desestimations potentiellement très différentes, une solution peut être de prendre une moyennesymétrique des pondérations, et ainsi d’estimer l’inflation générale commune par une formule deWalsh ou encore de Marshall-Edgeworth.Si l’on suppose toujours que les rapports de prix sont tirés aléatoirement et proportionnellement auxparts de dépense de chaque produit dans la période de référence, et que l’on se place cette fois dansle modèle logarithmique, alors l’estimateur issu des MCP coïncide avec l’indice géométrique deLaspeyres. En supposant les rapports de prix tirés proportionnellement aux parts de dépense desproduits dans la période courante, on retombe sur l’indice géométrique de Paasche.Henri Theil, pour sa part, retient la moyenne arithmétique simple des parts de dépense commepondérations des observations.L’hypothèse sous-jacente peut s’interpréter comme suit : dans le tirage aléatoire des rapports de prixobservés, on donne d’abord des chances égales à chacune des deux périodes considérées d’êtretirée, puis en seconde étape on donne des chances égales à chaque euro dépensé d’être tiré. On seplace donc dans un équivalent de tirage aléatoire simple à deux degrés.Le premier degré (tirage aléatoire de la période) peut sembler étrange. Il l’est moins lorsqu’au lieu deconsidérer que l’on cherche à établir un indice de prix temporel, on se place dans le cadre des indicesde prix spatiaux.On peut en effet appliquer la théorie des indices de prix à la comparaison spatiale. Dans un tel cas, onse place à un temps t fixe et on compare une région R1 à une région de référence R0. Il semble alorsnaturel de donner aux paniers de produits de chaque région des probabilités égales d’inclusion dansl’échantillon de produits servant à calculer l’indice. De même, la propriété de réversibilité sembleencore plus cruciale dans le cas de la comparaison spatiale, qu’elle ne l’est dans le cadre des sériestemporelles qui, par nature, sont à sens unique.
  38. 38. 38Il existe une conséquence pratique à cette hypothèse stochastique, c’est que pour que l’indicecorrespondant soit un bon estimateur du « vrai » indice des prix, il faut que l’échantillonnage desproduits suivis respectent l’hypothèse de proportionnalité des probabilités d’inclusion et des parts dedépense considérées. Nous reviendrons sur ce point lorsque nous aborderons les conditions deréalisation pratique des indices de prix.On notera que, sous l’hypothèse que les rapports de prix sont tirés aléatoirement etproportionnellement aux parts de dépense de chaque produit dans la période de référence, l’indice deCarli est un estimateur de Horvitz-Thompson de l’indice de Laspeyres. Si on accepte que la formulede Laspeyres soit un bon estimateur à son tour du « véritable » indice des prix, le cadre de la théoriedes sondages permet alors de justifier l’emploi de la formule de Carli au niveau élémentaire.Néanmoins, dans le cadre de la théorie des indices, le comportement de la série temporelle au fur et àmesure que l’on s’éloigne de la période de référence est tout aussi voire plus important que lecomportement ponctuel de l’estimateur à une date donnée. Ainsi, la non réversibilité de la formule deCarli l’emportera et on préfèrera généralement d’autres formules d’agrégation au niveau élémentaire,ainsi qu’on le verra au § 2.b.1.d L’approche économique1.d.1 LES INDICES A UTILITE CONSTANTEOn se place ici dans le cadre microéconomique de la théorie du consommateur.On suppose qu’il existe un ménage unique et autant de marchés qu’il existe de produits dansl’économie. Sur ce marché, le ménage est un « price taker » c’est-à-dire que ses décisions deconsommation n’influent pas sur les prix offerts par les entreprises.On suppose en outre que le ménage a un comportement d’optimisation de son utilité sous contraintede revenu, que l’on peut formuler de manière équivalente comme la minimisation du coût souscontrainte d’atteinte d’un certain niveau d’utilité.Par convention, on note f la fonction de préférences qui à un certain vecteur de quantitésconsommées q associe un niveau d’utilité u .On note ( )ttqfu = le niveau d’utilité atteint à la période t .EttttqpR ⊗= le revenu nécessaire pour atteindre ce niveau d’utilité.Les choix de consommationtq à chaque période t sont issus du programme d’optimisation suivant :Programme de maximisation de l’utilité sous contrainte de revenu( ){ }ttq Rqpqf ≤⊗max (1.d.1.1)
  39. 39. 39Programme de minimisation du coût sous contrainte de niveau d’utilité( ) ( ){ }ttq uqfqp ≥⊗min (1.d.1.2)Ces deux programmes d’optimisation sont strictement équivalents.On note enfin ( )ttpuC , la fonction de coût minimal associée à la résolution de ce programme.On notera que par rapport aux approches précédentes, on suppose ici que les vecteurs de quantitésconsommées sont des fonctions des prix de marché. C’est pourquoi les tenants de l’approcheéconomique remettent en cause certains éléments de l’approche axiomatique, par exemple lapropriété G3 qui sous-tend que les vecteurs de prix puissent être égaux sans que les vecteurs dequantité le soient.Dans ce cadre, il est possible de définir une famille d’indices des prix possibles comme le ratio desdeux fonctions de coût minimal, le niveau d’utilité étant fixé et égal pour les deux périodes.Famille des indices du coût de la vie véritable (ou indices à utilité constante)( ) ( )( )( )( )0110,,,,pqfCpqfCqppPKonüs =((1.d.1.3)Cette approche a été développée pour la première fois en 1924 par l’économiste russe Konüs. Lafamille des indices du coût de la vie véritable définie dans ce cadre porte par conséquent son nom.Il existe autant d’indices possibles que de niveaux d’utilité fixés comme référence. On peut ainsi parexemple fixer ce niveau à sa valeur à la période de référence (et on peut, par analogie avec lesapproches précédentes, appeler cet indice, indice de Laspeyres-Konüs) ou bien à sa valeur à lapériode courante (indice de Paasche-Konüs).Aucun de ces indices n’est observable, puisque les préférences des consommateurs sont par essenceinobservables.1.d.2 LES INDICES DE LASPEYRES ET DE PAASCHE VUS COMME DESCAS-LIMITES DE KONÜSBorne supérieure de l’indice de Laspeyres-Konüs( ) 0/1010,, LKonüs PqppP((≤ (1.d.2.1)DémonstrationPar définition de la fonction de coût minimal, on a à la période 0 :( )( ) 0000, qppqfC ⊗=Et à la période 1 :( )( ) ( ) ( ) ( ){ } 010110min, qpqfqfqppqfC q ⊗≤=⊗=
  40. 40. 40Comme toutes les valeurs sont strictement positives, on peut écrire :( )( )( )( )0/100010010,,LPqpqppqfCpqfC (=⊗⊗≤Borne inférieure de l’indice de Paasche-Konüs( ) 0/1110,, PKonüs PqppP((≥ (1.d.2.2)Illustrons ces deux inégalités dans le cas où l’économie est constituée de 2produits.On représente les courbes d’iso-utilité (ou courbes d’indifférence) dans un plan ( )21 ,qq : à gauchepour la période 0, à droite pour la période 1.Ces courbes ont pour équation ( ) ( )ttqqfqqf 2121 ,, = . La forme décroissante et concave des courbesd’iso-utilité signifie que l’on a supposé que les produits sont substituables (l’augmentation de laquantité consommée d’un produit induit la diminution de la quantité consommée de l’autre) avec tauxmarginal de substitution négatif (l’utilité marginale du produit 1 diminue lorsque sa quantitéconsommée augmente, on dit alors que la substitution est imparfaite).Sur chaque courbe, l’optimum ( )ttqq 21 , est atteint au point de tangence avec la droite (en traits pleins)représentant la contrainte budgétaire, ayant pour équationttttttqpqpqpqp 22112211 +=+ , c’est-à-diretttttttpqpqpqppq222111212++−= .A gauche, les droites en pointillés représentent les droites d’iso-coût permettant de satisfaire lacontrainte budgétaire de la période 1, c’est-à-dire qu’il s’agit des droites de coût dans lesquelles sontfixés des niveaux de prix égaux aux prix de la période 1. Le point de tangence entre une de cesdroites et la courbe d’iso-utilité de la période 0 donne donc un point hypothétique minimisant le coûtde la période 1 avec le niveau d’utilité de la période 0.Il s’agit donc du panier de biens ( )*0201 ,qq tel que l’indice de Laspeyres-Konüs égale 00*01qpqp⊗⊗.
  41. 41. 41Par ailleurs, la droite d’iso-coût qui passe par le point ( )0201 ,qq correspond à la droite de coût dansl’hypothèse où on a les prix de la période 1 avec les quantités de la période 0, ce qui correspond aucadre de l’indice de Laspeyres.Le fait que la droite d’iso-coût passant par*0q soit située en-dessous de la droite d’iso-coût parallèlepassant par0q traduit donc sous forme graphique l’inégalité (1.d.2.1).1.d.3 HYPOTHESE DE COMPLEMENTARITE DES PRODUITS ET INDICEASSOCIEOn reprend le graphique précédent et on suppose cette fois que les deux produits ne sont passubstituables mais complémentaires. La forme des courbes d’iso-utilité change et devient « en L ». Letaux marginal de substitution d’une unité de produit 1 contre une unité de produit 2 est nul lorsque laquantité consommée de produit 1 est au moins égale à la quantité consommée du produit 2, c’est-à-dire qu’à partir du moment où le consommateur peut constituer le panier complémentaire idéal (oùchaque produit est consommé en quantités identiques), il n’a aucun intérêt à substituer une unité d’unproduit par une unité de l’autre.On voit bien sur le graphique que le consommateur n’a pas intérêt à modifier son panier de biens,même si les prix relatifs changent (sauf à changer son utilité). Si l’utilité est maintenue constante à sonniveau de la période 0, modifier la contrainte budgétaire amène à choisir un panier optimal*0q quicoïncide exactement avec le panier0q choisi sous la contrainte budgétaire de la période 0. Dans cecas, l’indice du coût de la vie véritable de Laspeyres-Konüs coïncide exactement avec l’indice deLaspeyres. Il s’agit là cependant d’un cas-limite qui a beaucoup moins de probabilités d’être réaliséque l’hypothèse de substituabilité imparfaite.Traduisons ce résultat sous forme mathématique et dans un espace de N produits.La fonction d’utilité associée à l’hypothèse de complémentarité des biens est la suivante :
  42. 42. 42Fonction d’utilité de Léontief( )=NNqqqfαα,...,min11(1.d.3.1)Pour simplifier la présentation des calculs, nous supposons dans la suite la forme suivante :( ) { }Nqqqf ,...,min 1=Toutes les démonstrations qui suivent sont évidemment généralisables à la forme (1.d.3.1), puisqu’ilne s’agit que d’un artifice d’écriture par changement d’unité de mesure des quantités consommées.Avec cette fonction de préférences, pour un niveau d’utilité donné et un vecteur de prix donné, le seulchoix qui minimise le coût est celui qui conduit à prendre tous les iq égaux.En effet, supposons que l’un des produits sont consommés en quantité supérieure strictement auxautres, c’est-à-dire :qqk k >∃ , où on note q la valeur commune de tous les autres iq : qqki i =≠∀ , .Les deux paniers { }qq,..., et { }qqq k ,...,,..., apportent la même utilité ( ) qqf = .Mais le coût du second panier est strictement supérieur au coût du panier dans lequel on prend unequantité identique de tous les produits :∑∑∑ =≠=>+=NiikkkiiiNiii qpqpqpqp11Avec une fonction de préférence de Léontief, la minimisation du coût implique donc de prendre unpanier constitué de quantités égales pour tous les produits.Si maintenant on cherche le panier qui maintienne constante l’utilité de la période de référence, alorsce panier unique est déterminé par la quantité commune de produits consommée à la période 0,0010... Nqqq === .Ainsi on a :( )( ) ∑∑ ====NiiiNii qpqppqfC10010000,( )( ) ∑∑ ====NiiiNii qpqppqfC10110110,En faisant le ratio de ces deux valeurs, on obtient le résultat suivant :Valeur de l’indice de Laspeyres-Konüs dans le cas de biens complémentairesAvec une fonction de préférences de Léontief,( ) 0/1010,, LKonüs PqppP((= (1.d.3.2)On retrouve ainsi le résultat précédent d’égalité entre l’indice du coût de la vie véritable de Laspeyres-Konüs avec l’indice des prix de Laspeyres, dans le cas d’une fonction d’utilité de Léontief, c’est-à-direde biens parfaitement complémentaires.
  43. 43. 43L’indice de Laspeyres trouve donc une justification économique dans un cas-limite qui ne correspondpas à la réalité du marché pour la plupart des produits.1.d.4 HYPOTHESE DE SUBSTITUABILITE CONSTANTE DES PRODUITS ETINDICE ASSOCIEOn lève dans la suite l’hypothèse peu réaliste de complémentarité des produits et on suppose àl’inverse que les produits sont substituables. Pour simplifier, on suppose dans un premier temps quel’élasticité de substitution est constante dans le temps.Examinons tout d’abord le cas dans lequel cette élasticité est égale à 1. On a alors la forme suivantepour la fonction d’utilité (à un facteur multiplicatif près que l’on néglige car il ne change rien aux calculsni au résultat final) :Fonction d’utilité de Cobb-Douglas( ) ( )∏==Niiiqqf1α(1.d.4.1)Dans cette fonction d’utilité, les pondérations iα des produits dans le panier sont stables dans letemps.Cette fonction étant continue de ses arguments, le programme de maximisation sous contrainte peutse résoudre à l’aide des équations du Lagrangien.Rappel : Le programme (1.d.1.2) est équivalent au programme d’optimisation de la fonction deLagrange définie comme suit :( ) ( )( )ttuqfqpqL −+⊗= λLes conditions du premier ordre s’expriment donc sous la forme du système d’équations suivant :( )=∂∂=⇔=∂∂=∂∂qfuqfpLqL titii;0;0 λλRésolvons un cas simplifié avec la fonction d’utilité de Cobb-Douglas, dans une économie à deuxproduits, où l’on souhaite maintenir le niveau d’utilité de la période de référence.Alors les équations du Lagrangien s’écrivent :( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )==−=−=∂∂∂∂=−−−−αααααααααα 121012211211211211;11qqqfuqqqqqqqqfqqfppLa première équation correspond graphiquement à la condition de tangence entre la courbe d’iso-utilité et la droite de contrainte budgétaire (voir § 1.d.2).De cette première équation, on tire :
  44. 44. 441121121qppqαα−=que l’on injecte dans la seconde équation pour obtenir :( )1121101011,− −=αααppupuqd’où :( )ααα −= 121101021,ppupuqEt alors la fonction de coût minimale pour le niveau d’utilité0u et les prix1p coïncide avec ladépense associée aux prix1p et aux quantités optimales ci-dessus :( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( ) αααααααααααακκαααααααα−−−−−−== −+ −= −+ −=+=1120211011121101121101121110121101211211011102121011110..1111,,,pqpqppuppuppuppupppuppuqppuqppuCPar ailleurs, la même résolution amène : ( ) ( ) ( ) αακ−=10202010100., pqpqpuCD’où la forme suivante pour l’indice du coût de la vie véritable de Laspeyres-Konüs :( )( )αα −=1021201110010,,pppppuCpuCOn peut facilement montrer que cette propriété se généralise au cas où on a 2>N produits (lescalculs sont seulement un peu moins lisibles).On remarque également que ce résultat ne dépend pas de la valeur de l’utilité fixée comme référenceet que, par conséquent, tous les indices de la famille de Konüs prennent ici la même valeur.Valeur des indices de Konüs dans le cas de biens substituables avec élasticité desubstitution unitaireAvec une fonction de préférences de Cobb-Douglas, l’indice du coût de la vie véritable estun indice géométrique pondéré.( ) ∏==Ni iiKonüsippqppP10110,,α((1.d.4.2)
  45. 45. 45Quelques remarques sur ce résultat :1. On retrouve la forme générique de l’estimateur des moindres carrés pondérés dansl’approche stochastique.2. Si tous les produits sont équipondérés, l’indice de Konüs coïncide avec l’indice de Jevons.L’indice de Jevons trouve donc dans ce cadre une justification économique, qui toutefoisrepose sur des hypothèses fortes (élasticité de substitution unitaire entre les produits et partsde dépense fixes dans le temps et égales pour tous les produits).3. On remarque que l’indice des prix de Konüs dans ce cadre est indépendant du vecteur dequantités pris comme référence. Il y a, avec l’hypothèse d’une fonction de Cobb-Douglas, uneséparabilité parfaite entre les composantes de prix et de quantité.4. Si l’on résout le programme d’optimisation dual (1.d.1.1), on obient les formes suivantes desfonctions de demande :( ) ttpRpRq1001 , α=( ) ( ) ttpRpRq2002 1, α−=Ce qui signifie que les parts budgétaires des deux biens sont constantes dans le temps etproportionnelles au revenu, c’est-à-dire que lorsque le revenu augmente d’une unité, cetteunité est répartie dans la consommation de bien 1 et de bien 2 toujours dans les proportions αet 1-α (en valeur).De plus, l’élasticité-prix croisée est nulle, c’est-à-dire que la variation du prix du produit 2 n’aaucune incidence sur la quantité consommée du produit 1, et réciproquement.On peut lever l’hypothèse d’élasticité de substitution unitaire et considérer par exemple la fonctiond’utilité suivante :Fonction d’utilité CES (Constant Elasticity Substitution)( ) ( )111 −=−= ∑σσσσαNiii qqf (1.d.4.3)Alors on peut montrer (mais on ne le fera pas ici) que l’indice de Laspeyres-Konüs prend la formesuivante :Valeur des indices de Laspeyres-Konüs dans le cas de biens substituables avecélasticité de substitution constante σσσσAvec une fonction de préférences CES,( )σσ −=−= ∑1111010010,,Ni iiiKonüsppwqppP((1.d.4.4)
  46. 46. 46On a le lien suivant entre les parts budgétaires et les coefficients iα :( )( )∑=−−= Nkkkiiippw110100σσααCet indice porte le nom des deux théoriciens qui l’ont défendu, Lloyd en 1975 et Moulton en 1996.1.d.5 INDICE A UTILITE CONSTANTE SOUS HYPOTHESE DE PREFERENCESHOMOTHETIQUESLes fonctions d’utilité à élasticité de substitution constante sont des cas particuliers de préférenceshomothétiques, c’est-à-dire que ce sont des fonctions linéaires homogènes, ce qui se traduit par lapropriété suivante :Hypothèse de préférences homothétiques( ) ( )qfqfq λλλ =∀>∀ ,,0 (1.d.5.1)Sous cette hypothèse, la fonction de dépense est séparable en un terme qui n’est fonction que desprix et un terme qui n’est fonction que des quantités.Séparabilité de la fonction de dépense sous hypothèse de préférenceshomothétiques( )( ) ( ) ( )qfpcpqfC =, (1.d.5.2)avec ( ) ( )pCpc ,1= fonction de coût unitaireDémonstration( )( )( )( )( )puCqfqpuqufuqpuqufqpqfuqpuqfqppuCNiiiqNiiiqNiiiqNiiiqNiiiq,11min11min11min11minmin,11111=≥′′=≥×=≥×=≥=≥=∑∑∑∑∑=′====
  47. 47. 47La démonstration utilise, dans l’ordre : la propriété de conservation des inégalités lors dela multiplication par un scalaire strictement positif, la propriété d’homogénéité linéaire dela fonction d’utilité, la propriété d’homogénéité linéaire de la fonction min, et enfin unchangement de variable.De cette propriété, il découle immédiatement que l’expression de l’indice à utilité constante se simplifieet devient indépendante du vecteur des quantités pris comme référence (ainsi qu’on l’avait observé au§ 1.d.4 dans le cas particulier de la fonction d’utilité de Cobb-Douglas).Indice des prix de Konüs sous hypothèse de préférences homothétiques( ) ( )( )0110,,pcpcqppPKonüs =((1.d.5.3)On en déduit pour l’indice des quantités dual la forme suivante, qui ne dépend pas des vecteurs deprix :Indice des quantités de Konüs sous hypothèse de préférences homothétiques( ) ( )( )011010*,,,qfqfqqppQKonüs =((1.d.5.4)Démonstration( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )010001111000111010*011010*,,,,,,,,qfqfpqfCpcpcpqfCpcpcqpqpqqppPVVqqppQKonüsKonüs==⊗⊗== ((où on utilise uniquement la définition par test de factorité puis la propriété de séparabilitéde la fonction de dépense (1.d.5.2).Dans la suite, on aura besoin de deux résultats issus de la théorie du consommateur, qui permettentde relier les prix aux utilités marginales d’une part, et de manière miroir, les quantités optimales auxcoûts marginaux. Il s’agit de déclinaisons de l’identité de Wold et du lemme de Shephard.Identité de Wold sous hypothèse de préférences homothétiques( )( )ttitttiqfqqfqppi∂∂=⊗∀ , (1.d.5.5)
  48. 48. 48DémonstrationLes équations du Lagrangien sont :( ) ( )=∂∂=∀ tttiti qfuqqfpi ;, λPar ailleurs, en dérivant par rapport à iq la formule de la propriété de séparabilité(1.d.5.2) et en l’évaluant au pointtq , on a :( ) ( )titti qqfpcp∂∂= , d’où :( ) ( )ttttqfqppc⊗==λEn réinjectant cette formule dans les équations du Lagrangien, on obtient la propriétédésirée.Lemme de Shephard sous hypothèse de préférences homothétiques( )( )ttitttipcppcqpqi∂∂=⊗∀ , (1.d.5.6)1.d.6 LE RETOUR DE L’INDICE DE FISHER…1.d.6.i Expression de l’indice de Fisher sous hypothèse de préférences homothétiquesOn utilise le lemme de Shephard dans sa forme simplifiée (1.d.5.6) et pour 0=t .En multipliant les deux termes de l’équation par1ip et en sommant sur i , on obtient :( ) ( )∑= ∂∂=Ni iiL ppcppcP10100/1 1(Et de manière miroir, en prenant le lemme de Shephard pour 1=t , en multipliant les deux termes del’équation par0ip et en sommant sur i , on obtient :( ) ( )111010/1 1−=∂∂= ∑Ni iiP ppcppcP(Ce qui nous conduit à la forme suivante pour l’indice de Fisher :Indice de Fisher sous hypothèse de préférences homothétiques( )( )( )( )1001010/1pcppcppcpcPF∇⊗∇⊗=((1.d.6.1)On ne peut évidemment pas aller plus loin sans expliciter une fonction de coût, ou de manière duale,une fonction d’utilité.
  49. 49. 491.d.6.ii Expression de l’indice de Fisher sous hypothèse de préférences quadratiquesOn se place toujours sous hypothèse de préférences homothétiques, et plus précisément on supposeune fonction d’utilité quadratique de la forme suivante :Fonction d’utilité quadratique( ) ∑∑= ==NiNjjiij qqqf1 1α (1.d.6.2)où les coefficients ijα sont symétriques, c’est-à-dire jiij αα = .Comme la forme fonctionnelle de la fonction de coût unitaire n’est pas explicitée, on ne peut pasutiliser directement le résultat (1.d.6.1). Il faut nous ramener à une expression dépendante de lafonction d’utilité. Une manière simple de faire cela est d’utiliser le test de factorité (1.b.7.2), et donc dedéterminer la forme de0/1FP(à partir de celle de0/1FQ(.On part cette fois de l’identité de Wold et en applique la même démarche que dans le § 1.d.6.i.On montre que :( )( )( )( )1001010/1qfqqfqqfqfQF∇⊗∇⊗=(Calculons donc les dérivées partielles de f par rapport aux iq .On commence par calculer les dérivées partielles de2f en réorganisant les sommes de manière àisoler le terme en iq . Tous les termes en iq étant symétrique, pour plus de lisibilité on conduit lecalcul par rapport à 1q .( ) csteqqqqqNjjjNiNjjiij ++= ∑∑∑ == =12121111 12 αααd’où( ) ∑∑ ===+=∂∂ NjjjNjjj qqqqqf112111112222 αααet donc par application des règles de dérivation sur les composées de fonctions, on a :( ) ( )[ ] ( )( ) ( )qfqqfqqfqqfqqfNjjjNjjj ∑∑ ==−==∂∂=∂∂ 1111121212122121ααFormule que l’on peut généraliser à tous les i , si bien que :( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∑∑= = = ====∂∂=∇⊗NiNiNiNjjiijNjjijiii qqqfqfqqqqfqqfq1 1 1 101001010101 1ααEt de façon analogue :( ) ( )∑∑= ==∇⊗NiNjjiij qqqfqfq1 110110 1α
  50. 50. 50que l’on peut réécrire, en inversant les deux sommes et en utilisant la symétrie des ijα ,( ) ( )∑∑= ==∇⊗NiNjjiij qqqfqfq1 101110 1αd’où il vient le ratio suivant :( )( )( )( )011001qfqfqfqqfq=∇⊗∇⊗et pour finir :( )( ) ( )1010*010/1,,, qqppQqfqfQ KonüsF((==Avec le test de factorité, on conclut donc immédiatement que sous l’hypothèse de préférencesquadratiques, et avec un comportement optimisateur de la part du consommateur, l’indice du coût dela vie véritable de Konüs, ou indice à utilité constante, coïncide avec l’indice de Fisher.Valeur des indices de Konüs sous hypothèse de préférences quadratiques( ) 0/110,, FKonüs PqppP((= (1.d.6.3)On dira que l’indice des prix de Fisher est « exact » pour la fonction de coût unitaire c duale de lafonction de préférences quadratique définie au (1.d.6.2). Ce terme « exact » signifie simplement quel’indice en question coïncide exactement avec le ratio constituant l’indice du coût de la vie véritable,( )( )01pcpc.1.d.7 LES INDICES SUPERLATIFSLes économistes appellent « forme fonctionnelle souple » une fonction qui approche au second ordre(au sens du développement limité de Taylor) une fonction linéairement homogène arbitraire.Lorsqu’un indice est exact pour une forme fonctionnelle souple, on dira à la suite de Diewert (1976)qu’il s’agit d’un « indice superlatif ».Comme la fonction quadratique est une forme fonctionnelle souple, (et que par conséquent la fonctionde coût unitaire duale l’est aussi), les indices des prix et des quantités de Fisher sont des indicessuperlatifs.Il existe d’autres indices superlatifs que l’indice de Fisher.En considérant la fonction d’utilité quadratique d’ordre r suivante :( ) ( ) ( )rNiNjrjriijr qqqf ∑∑= ==1 122αOn peut mettre en évidence une classe d’indices superlatifs*rP(exacts pour la fonction de coûtunitaire duale de rf . Pour 2=r , on retrouve évidemment l’indice de Fisher.On peut également montrer que lorsque 1=r , cet indice coïncide avec l’indice de Walsh.

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