Matemática - Exercícios Resolvidos - Análise Combinatória

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Aula De Matemática sobre Análise Combinatória com exercícios comentados - Veja também nossa vídeo aula com a explicação de todo esse conteúdo em nosso site : www.aulasdematematicaapoio.com

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Matemática - Exercícios Resolvidos - Análise Combinatória

  1. 1. Análise Combinatória
  2. 2. Objetivos da aula <ul><li>Princípio Fundamental da Contagem </li></ul><ul><li>Arranjo Simples </li></ul><ul><li>Permutações: simples e com repetição </li></ul><ul><li>Combinação simples </li></ul>
  3. 3. Princípio Fundamental da Contagem <ul><li> Vamos imaginar o caso de uma montadora </li></ul><ul><li>de carros que dispõe de 5 cores (preto, </li></ul><ul><li>vinho, azul, vermelho e prata) para fabricar </li></ul><ul><li>3 modelos de carros diferentes (Sapoti, Figo </li></ul><ul><li>e Amora). </li></ul><ul><li>Para saber quantos tipos de carros </li></ul><ul><li>diferentes podem ser fabricados , basta </li></ul><ul><li>cruzar cada cor, com cada tipo de carro. </li></ul><ul><li>Usando o esquema a seguir fica mais fácil! </li></ul>
  4. 4. Temos 15 diferentes tipos de carro.
  5. 5. Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Evento que depende de evento anterior
  6. 6. Tente fazer sozinho <ul><li>1) Se jogarmos uma moeda </li></ul><ul><li>para o alto 3 vezes, quantas </li></ul><ul><li>sequências diferentes </li></ul><ul><li>podemos obter? </li></ul>
  7. 7. Tente fazer sozinho <ul><li>1) Se jogarmos uma moeda </li></ul><ul><li>para o alto 3 vezes , quantas </li></ul><ul><li>sequências diferentes </li></ul><ul><li>podemos obter ? </li></ul>
  8. 8. Solução <ul><li>Logo, temos 8 resultados diferentes </li></ul>
  9. 9. Fatorial de um número natural <ul><ul><li>Representamos o fatorial de um </li></ul></ul><ul><ul><li>número colocando um ponto de </li></ul></ul><ul><ul><li>exclamação depois desse número ( n! ) </li></ul></ul><ul><ul><li>Exemplos: </li></ul></ul><ul><ul><li>4! 7! 20! </li></ul></ul>
  10. 10. Cálculo do Fatorial <ul><ul><li>O fatorial de um número natural n é </li></ul></ul><ul><ul><li>dado pelo seguinte produto : </li></ul></ul><ul><ul><li>n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). ... . 2.1 </li></ul></ul><ul><ul><li>Exemplos: </li></ul></ul><ul><ul><li>4! = 4.3.2.1 = 24 </li></ul></ul><ul><ul><li>10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1= 3628800 </li></ul></ul>
  11. 11. <ul><li>O fatorial de zero é igual a 1 </li></ul><ul><li>0! = 1 </li></ul>
  12. 12. Tente fazer sozinho <ul><li>2) Calcule: </li></ul>
  13. 13. Solucão
  14. 14. Tente fazer sozinho <ul><li>3) (UEMG) Simplificando a expressão </li></ul><ul><li>, obtemos: </li></ul>
  15. 15. Solução <ul><li>Letra D </li></ul>
  16. 16. Arranjo Simples <ul><li>O arranjo simples acontece quando </li></ul><ul><li>fazemos qualquer agrupamento com todos </li></ul><ul><li>ou alguns elementos de um conjunto , cuja </li></ul><ul><li>ordem dos elementos é considerada . </li></ul><ul><li>Exemplo: Quantos números de 3 algarismos </li></ul><ul><li>distintos podemos formar com os algarismos </li></ul><ul><li>2, 3, 4, 5 e 6. </li></ul><ul><li>= 60 números </li></ul>5 4 3
  17. 17. <ul><li>Sendo: </li></ul><ul><li>n  número total de elementos do conjunto </li></ul><ul><li>p  quantidade de algarismos pedida </li></ul>Também podemos usar a fórmula de arranjo simples:
  18. 18. Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Arranjo Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Evento que depende de evento anterior
  19. 19. Tente fazer sozinho <ul><li>4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. </li></ul><ul><li>Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever? </li></ul><ul><li>Quantos números de 4 algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever? </li></ul><ul><li>Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever? </li></ul>
  20. 20. Tente fazer sozinho <ul><li>4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 . </li></ul><ul><li>Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever? </li></ul><ul><li>Quantos números de 4 algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever? </li></ul><ul><li>Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever? </li></ul>
  21. 21. Solução <ul><li>= 504 </li></ul><ul><li>= 336 </li></ul><ul><li>c) = 840 </li></ul>7 8 3 9 8 7 8 7 6 1 7 6 5 4 1 1
  22. 22. Permutação <ul><li>A permutação é um caso particular do </li></ul><ul><li>arranjo simples , pois acontece quando </li></ul><ul><li>agrupamos todos os elementos do conjunto </li></ul><ul><li>dado. </li></ul><ul><li>Exemplo: dados 1, 2, 3, 4, 5 , se queremos </li></ul><ul><li>formar números de 3 algarismos , temos um </li></ul><ul><li>caso de arranjo . Se queremos formar </li></ul><ul><li>números de 5 algarismos , temos um caso de </li></ul><ul><li>arranjo , particularmente, a permutação . </li></ul>
  23. 23. Permutação Simples <ul><li>A permutação simples acontece quando </li></ul><ul><li>fazemos qualquer agrupamento com todos </li></ul><ul><li>os elementos de um conjunto . </li></ul><ul><li>Exemplo : </li></ul><ul><li>A palavra AMOR apresenta 4 letras e com </li></ul><ul><li>elas, podemos formar alguns anagramas : </li></ul><ul><li>ROMA – MORA – ROAM - ARMO </li></ul>
  24. 24. Permutação Simples <ul><li>Para calcular o número total de </li></ul><ul><li>anagramas , podemos seguir o seguinte </li></ul><ul><li>raciocínio: </li></ul><ul><li>= 24 </li></ul><ul><li>Também podemos usar a fórmula de permutação simples: P n = n! </li></ul><ul><li>P 4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 </li></ul>4 3 2 1
  25. 25. Tente fazer sozinho <ul><li>5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as seguintes questões: </li></ul><ul><li>Quantos anagramas podemos formar? </li></ul><ul><li>Quantos anagramas podemos formar, de modo que comece e termine com vogal? </li></ul><ul><li>Quantos anagramas podemos formar, de modo que as letras UF apareçam sempre juntas? </li></ul>
  26. 26. Tente fazer sozinho <ul><li>5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como base a palavra UFPEL , resolva as seguintes questões: </li></ul><ul><li>Quantos anagramas podemos formar ? </li></ul><ul><li>Quantos anagramas podemos formar , de modo que comece e termine com vogal ? </li></ul><ul><li>Quantos anagramas podemos formar , de modo que as letras UF apareçam sempre juntas ? </li></ul>
  27. 27. Solução <ul><li>a) = 120 </li></ul><ul><li>b) = 12 </li></ul><ul><li>c) = 6 ; 6 .4 = 24 </li></ul><ul><li>= 2 ; </li></ul><ul><li>2 x 24 = 48 </li></ul>UF 2 1 1 3 2 1 4 3 2 1 5 3 2 1 1 2
  28. 28. Tente fazer sozinho <ul><li>6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultos </li></ul><ul><li>e 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3 </li></ul><ul><li>atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoas </li></ul><ul><li>podem dirigir e que as crianças devem ir atrás </li></ul><ul><li>e na janela, o número total de maneiras </li></ul><ul><li>diferentes através das quais estas 5 pessoas </li></ul><ul><li>podem ser posicionadas, não permitindo as </li></ul><ul><li>crianças irem no colo de ninguém, é igual a: </li></ul><ul><li>a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8 </li></ul>
  29. 29. Tente fazer sozinho <ul><li>6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultos </li></ul><ul><li>e 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3 </li></ul><ul><li>atrás . Sabendo-se que apenas 2 pessoas </li></ul><ul><li>podem dirigir e que as crianças devem ir atrás </li></ul><ul><li>e na janela , o número total de maneiras </li></ul><ul><li>diferentes através das quais estas 5 pessoas </li></ul><ul><li>podem ser posicionadas , não permitindo as </li></ul><ul><li>crianças irem no colo de ninguém, é igual a: </li></ul><ul><li>a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8 </li></ul>
  30. 30. Solução <ul><li>= 8 </li></ul>bancos da frente bancos de trás janelas carona motorista 2 2 2 1 1
  31. 31. Permutação com Repetição <ul><li>Caso o conjunto dado apresente </li></ul><ul><li>elementos repetidos, usaremos a seguinte </li></ul><ul><li>fórmula: </li></ul><ul><li>Sendo: </li></ul><ul><li>n  o número total de elementos </li></ul><ul><li>α , β , γ  número que indica a quantidades de elementos repetidos de cada tipo . </li></ul>
  32. 32. Permutação com Repetição <ul><li>Exemplo: A palavra ARARAQUARA apresenta </li></ul><ul><li>um total de 10 letras , sendo 5A , 3R , 1Q e 1U </li></ul>
  33. 33. Tente fazer sozinho <ul><li>7) Apresente a quantidade </li></ul><ul><li>de anagramas da palavra </li></ul><ul><li>MISSISSIPI. </li></ul>
  34. 34. Tente fazer sozinho <ul><li>7) Apresente a quantidade </li></ul><ul><li>de anagramas da palavra </li></ul><ul><li>MISSISSIPI . </li></ul>
  35. 35. Solução <ul><li>MISSISSIPI: 10 letras , sendo </li></ul><ul><li>1M, 4I , 4S , 1P </li></ul>
  36. 36. Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Arranjo Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Caso Particular Permutação Evento que depende de evento anterior
  37. 37. Arranjo Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Permutação Definição Tipos Com repetição simples Agrupamento de todos elementos dados P! Caso Particular característica
  38. 38. Combinação Simples <ul><li>A combinação simples acontece </li></ul><ul><li>quando agrupamos uma quantidade p de </li></ul><ul><li>elementos de um conjunto com n elementos , </li></ul><ul><li>sem importa r a ordem que esses elementos </li></ul><ul><li>são escolhidos. </li></ul><ul><li>Exemplo : Se devemos sortear 3 pessoas </li></ul><ul><li>dentre as 5 que se candidataram a uma </li></ul><ul><li>viagem, não importa a ordem que as 3 serão </li></ul><ul><li>escolhidas, pois todas as 3 irão da mesma </li></ul><ul><li>forma. </li></ul>
  39. 39. Combinação Simples <ul><li>Para resolver problemas que ocorrem a combinação simples, usaremos a fórmula : </li></ul><ul><li>Exemplo : Se devemos sortear 3 pessoas </li></ul><ul><li>dentre 5 . </li></ul>
  40. 40. Tente fazer sozinho <ul><li>8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas para </li></ul><ul><li>ilustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual do </li></ul><ul><li>Candidato do Vestibular Estadual de 2007. Um </li></ul><ul><li>desses grupos está apresentado a seguir: </li></ul><ul><li>Considere que cada grupo de 4 figuras que </li></ul><ul><li>poderia ser formado é distinto de outro somente </li></ul><ul><li>quando pelo menos uma de suas figuras for </li></ul><ul><li>diferente. Nesse caso, o número total de grupos </li></ul><ul><li>distintos entre si que poderiam ser formados para </li></ul><ul><li>ilustrar o Manual do Candidato é igual a: </li></ul>
  41. 41. Tente fazer sozinho <ul><li>8) (UERJ) Sete diferentes figuras foram criadas para </li></ul><ul><li>ilustrar, em grupo de 4 distintas , o Manual do </li></ul><ul><li>Candidato do Vestibular Estadual de 2007. Um </li></ul><ul><li>desses grupos está apresentado a seguir: </li></ul><ul><li>Considere que cada grupo de 4 figuras que </li></ul><ul><li>poderia ser formado é distinto de outro somente </li></ul><ul><li>quando pelo menos uma de suas figuras for </li></ul><ul><li>diferente . Nesse caso, o número total de grupos </li></ul><ul><li>distintos entre si que poderiam ser formados para </li></ul><ul><li>ilustrar o Manual do Candidato é igual a: </li></ul>
  42. 42. Solução
  43. 43. Tente fazer sozinho <ul><li>9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas, </li></ul><ul><li>quantos copos de salada, contendo 6 </li></ul><ul><li>espécies diferentes, podem ser feitos? </li></ul>
  44. 44. Tente fazer sozinho <ul><li>9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas , </li></ul><ul><li>quantos copos de salada , contendo 6 </li></ul><ul><li>espécies diferentes , podem ser feitos ? </li></ul>
  45. 45. Solução
  46. 46. Análise Combinatória Princípio Fundamental da contagem Arranjo Simples Definição Fórmula Combinação Simples Definição Fórmula Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Caso Particular Permutação Agrupamento de pelo menos 2 elementos Importa a ordem Evento que depende de evento anterior
  47. 47. Bibliografia <ul><li>http://www.colegioweb.com.br/matematica/principio-fundamental-da-contagem.html </li></ul><ul><li>http://matematica-online-clc.blogspot.com/2009/07/analise-combinatoria.html </li></ul><ul><li>Dante, Luiz Roberto: Matemática Contexto & Aplicações 2 – Ensino Médio, Editora Ática – 3ª edição. Págs: 308 a 325 </li></ul>

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