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  1. 1. Universo da Física 1 Mecânica Capítulo 13Dinâmica dos movimentos curvos
  2. 2. 1- Uma partícula de massa 6,0 Kg tem movimentouniforme sobre uma trajetória circular de raio 3,0m, com velocidade escalar 4,0 m/s. Calcule:a) O módulo da aceleração centrípeta da partícula;b) O módulo da resultante das forças que atuam na partícula;c) A velocidade angular da parícula;d) A frequencia e o período do movimento.
  3. 3. Resposta: m = 6,0 kg R = 3,0 m v = 4,0 m/sa) v 2 acp = R 2 4 acp = 3 16 acp = → acp ≅ 5,34m / s 2 3
  4. 4. Resposta: m = 6,0 kg R = 3,0 m v = 4,0 m/sb) Fcp = m ⋅ acp Fcp = 2 ⋅16 v2 Fcp = 32 N Fcp = m ⋅ R 2 2 41 Fcp = 6 ⋅ 3
  5. 5. Resposta: m = 6,0 kg R = 3,0 m v = 4,0 m/sc) v =ω⋅R 4 = ω ⋅3 4 ω = rad / s 3 ω ≅ 1,34rad / s
  6. 6. Resposta: m = 6,0 kg R = 3,0 m v = 4,0 m/sd) ω = 2π ⋅ f 1 T= 1,34 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ f f 1,34 = 6,28 ⋅ f 1 T= 1,34 0,21 f = 6,28 T ≅ 4,76 s f ≅ 0,21Hz
  7. 7. 2- A figura a seguir representa um corpo A que está apoiadosobre uma mesa e preso a um fio ideal que passa por um tubofixado a um buraco feito na mesa. Na outra extremidade do fioestá preso um bloco B. Dando-se um impulso ao bloco A, elepassa a girar em um movimento circular e uniforme de modoque o bloco B fica em repouso. Calcule a velocidade do bloco A,sabendo que g = 10 m/s², o raio da trajetória é 40 cm e asmassas de A e B são respectivamente 2,0 kg e 18 kg.
  8. 8. m A = 2,0kgResposta: mB = 18kg R = 0,4mDecomposição das forças: T A Como B está em repouso, T então: B T =P B PB T = mB ⋅ g T = 18 ⋅10 T = 180 N
  9. 9. m A = 2,0kg mB = 18kg R = 0,4mO bloco A executa movimento circular, então: T = Fcp 72 = 2 ⋅ v 2 T = ma ⋅ acp 72 v = 2 2 2 vT = ma ⋅ v = 36 2 R v 2 v = 36180 = 2 ⋅ 0,4 v = 6m / s
  10. 10. 3- Um pequeno bloco de massa 0,10 kg foi colocado sobreo prato de um antigo toca-discos, a uma distância R docentro, numa região em que g = 10 m/s². Sabe-se que ocoeficiente de atrito estático entre o bloco e o prato dotoca-discos é igual a µ e . O prato é colocado a girar comvelocidade angular ω.a) Sendo µ e = 0,60 e R = 12 cm, qual éo maior valor possível para ω de modo que o bloconão escorregue? ω µeb) Sendo R = 10 cm e = 8,0rad/s,qual é o menor valor posssível para ,de modo que o bloco não escorregue?
  11. 11. Resposta: A força de atrito (Fat) aponta para o centro da trajetória Fat = Fcp N a) Fat = µ ⋅ N µ ⋅ N = m ⋅ω 2 ⋅ RFat Fcp = m ⋅ ω 2 ⋅ R 0,6 ⋅1 = 0,1 ⋅ ω 2 ⋅ 0,12 P 0,6 ω = 2 0,012 ω 2 = 50 ω = 50 ω = 5 2rad / s
  12. 12. Resposta:b) µ ⋅ N = m ⋅ω ⋅ R 2 µ ⋅1 = 0,1 ⋅ 8 ⋅ 0,10 2 µ = 0,64
  13. 13. 4- O rotor é um brinquedo encontrado em alguns parques dediversões. Ele consiste em uma cabine cilíndrica, de raio R e eixovertical. Uma pessoa entra na cabine e encosta na parede.Ocilindro começa então a girar, aumentando sua velocidadeangular ω até atingir um valor predeterminado. Atingindo essevalor, o chão começa a descer e no entanto a pessoa não cai; elacontinua girando, como se estivesse grudada na parede . Amasssa da pessoa é m e o coeficiente de atrito estático entre aroupa e apessoa e a parede é µ eSão dados m = 60 kg, g = 10 m/ .s² e R = 2,0 m. Suponha que o chão já tenha descido.a) Faça um desenho das forças que atuam na pessoa.b) Qual é o valor da força de atrito sobre a pessoa?c) Que força está fazendo o papel de força centrípeta?d) Supondo µ e = 0,40, calcule o valor mínimo de ω de modo que a pessoa não caia. Esse valor mínimo depende da massa da pessoa?e) Supondo ω 4,0 rad/s, calcule o valor mínimo de = µe de modo que a pessoa não escorregue. Esse valor mínimo depende da massa da pessoa?
  14. 14. Resposta:a) Fat N P
  15. 15. Resposta: m = 60 kg R=2mb) Fat = P Fat = m·g Fat = 60 · 10 Fat = 600 Nc) Força normal
  16. 16. Resposta: m = 60 kgd) Fat = µ ⋅ N R=2m 600 = 0,4 ⋅ N N = 1500 N N = Fcp N = m ⋅ω 2 ⋅ R 1500 = 60 ⋅ ω 2 ⋅ 2 2 1500 ω 120 ω 2 = 12,5 ω = 12,5 ω = 3,54rad / s
  17. 17. Resposta: m = 60 kg R=2me) N = m ⋅ω 2 ⋅ R Fat = N ⋅ µ N = 60 ⋅ 4 ⋅ 2 2 600 = 1920 µ N = 1920 µ = 0,3125
  18. 18. 5- Um menino amarrou uma bolinha de massa m = 0,10 kg naponta de um fio ideal e fez com que a bolinha adquirissemovimento uniforme de velocidade escalar v, de modo que atrajetória da bolinha é uma circunferência de raio R, contidanum plano vertical. São dados: g = 10 m/s² e R = 0,50 m.• Supondo v = 4,0 m/s², calcule as intensidades da tração no fio, nos pontos mais alto (A) e mais baixo (B).b) Qual é o valor mínimo de v de modo que o fio não fique frouxo no ponto mais alto? Esse valor mínimo depende da massa da bolinha?
  19. 19. Resposta:
  20. 20. 6- A figura a mostra um trecho de pista de corrida em que elatem uma inclinação (pista sobrelevada) para ajudar os veículosa fazerem a curva dependendo menos do atrito. Vamos suporque, no momento representado na figura b, o carro estejapercorrendo uma trajetória circular paralela ao solo, de raio R ecentro C . Desprezando o atrito, as forças atuantes no carro sãoo peso P e a força normal FN . São dados: g = 10 m/s²; R =120m; sen θ = 0,60; cos θ = 0,80. Calcule a velocidade do carrode modo que ele faça essa curva sem depender da força deatrito.
  21. 21. Resposta:
  22. 22. 7- Na figura A foi reproduzido o desenho de Newton em que elesugere que um canhão muito poderoso poderia colocar umprojétil em trajetória circular rasante em torno da Terra, comona figura B. Supondo que o raio da Terra seja R = 6 400 km e quea aceleração da gravidade próximo á superfície da Terra seja g =10 m/s², calcule o valor aproximado da velocidade v. Figura A Figura B
  23. 23. Resposta:  5 v R = 6 400 km = 64 ·10 m P v = 64 ⋅10 2 6 P = Fcp v = 64 ⋅10 6 v2m⋅ g = m⋅ v = 8 ⋅10 3 R v2 v = 8000m / s10 = 64 ⋅10 5
  24. 24. 8- Uma partícula de massa m= 0,10 kg é presa à extremidade deuma mola ideal cujo comprimento natural é 85 cm e cujaconstante elástica é 80 N/m. A outra extremidade da mola é presaa um anel pelo interior do qual passa um prego preso a uma mesa.O sistema é posto a girar de modo que a partícula descreve umatrajetória circular de raio R = 90 cm. Desprezando os atritos, qualé o módulo da velocidade da partícula?
  25. 25. Resposta:
  26. 26. 9- Um automóvel percorre um trecho circular de raio R = 30 mde uma estrada plana horizontal, num local em que g = 10 m/s².A velocidade escalar do automóvel é v e o coeficiente de atritoestático entre os pneus e a estrada é µ e .• Supondo µ e= 0,75, calcule o máximo valor de v de modo que o carro não derrape.• Supondo v = 10 m/s, qual é o valor mínimo de µ e de modo que o carro faça a curva sem derrapar?
  27. 27. Resposta:Fat = Fcpa) mv só que n = mg 2 Nµ = R mv 2 mgµ = v = 7,5 ⋅ 30 2 R v2 v = 225 2 gµ = R v2 v = 225 10 ⋅ 0,75 = 30 v = 15m / s
  28. 28. Resposta: 2 vb) gµ = R 2 10 10 ⋅ µ = 30 100 µ= 300 1 µ= 3
  29. 29. 10- (Fuvest-SP) Um bloco de 0,2 kg está sobre um discohorizontal em repouso, a 0,1 m de distância do centro.O disco começa a girar, aumentando vagarosamente avelocidade angular. Acima de uma velocidade angularcrítica de 10 rad/s o bloco começa a deslizar. Qual aintensidade máxima da força de atrito que atua sobre obloco?a) 1 N b) 2 N C) 3 N d) 4 N e) 5 N
  30. 30. Resposta: Fat = Fcp Fat = m ⋅ ω ⋅ R 2 Fat = 0,2 ⋅10 ⋅ 0,1 2 Fat = 2 N Letra B
  31. 31. 11- (Mackenzie-SP) Admitamos que você estejaapoiado , em pé, sobre o fundo de um cilindro de raio R= 4 m que gira em torno de seu eixo vertical. Admitindo s −2que g = 10 m · e o coeficiente de atrito entre suaroupa e o cilindro seja 0,4, a menor velocidade escalarque o cilindro deve ter para uqe, retirado o fundo domesmo, você fique “preso” à parede dele é? b) 10 m/s d) 8 m/s f) 9 m/s h) 11 m/s
  32. 32. Resposta: N = Fcp Fat = P 2 Nµ = mg v N =m N ⋅ 0,4 = m ⋅10 R 2 10 v N = m⋅ 25m = m 0,4 4 N = 25m v = 100 2 v = 10m / s Letra A
  33. 33. 12- Um automóvel de massa 800 kg percorre uma estrada, quetem o perfil desenhado abaixo, com velocidade escalarconstante de 20 m/s. O trecho mais alto é aproximadamentecircular de raio RA = 200m e o trecho mais baixo tem raio decurvatura RB = 160m. Calcule as intensidades da força normalexercida pela estrada sobre o automóvel nos pontos A e B.
  34. 34. Resposta:Ponto A: N P − N = Fcp v2 P mg − N = m R 20 2 800 ⋅ 800 ⋅10 − N = 800 ⋅ 200 8000 − N = 1600 N = 8000 − 1600 N = 6400 N
  35. 35. Resposta:Ponto B: N − P = Fcp N mv 2 N −P= R P 20 2 N − 800 ⋅10 = 800 ⋅ 160 400 N − 8000 = 800 ⋅ 160 N − 8000 = 800 ⋅ 2,5 N = 8000 + 2000 N = 10000 N
  36. 36. 13- (Unisa-SP) Um motociclista descreve umacircunferência vertical num “globo da morte” de raio R =4m, numa região onde g = 10m/s². A massa total demoto e motociclista é 150 kg. Qual a força exercida sobreo globo no ponto mais alto da trajetória, se a velocidadealí é 12 m/s? b) 1 500 N c) 2 400 N d) 3 900 N e) 5 400 N f) 6 900 N
  37. 37. Resposta: P + N = Fcp 2 v mg + N = m ⋅ R 2 12 150 ⋅10 + N = 150 ⋅ 4 1500 + N = 150 ⋅ 36 N = 5400 − 1500 N = 3900 N
  38. 38. 14- Para a situação da questão anterior, qual é o valormínimo da velocidade da moto, no ponto mais alto,para uqe não perca contato com o globo?
  39. 39. Resposta: P = Fcp 2 v mg = m R v = g⋅R 2 v 2 = 10 ⋅ 4 v 2 = 40 v = 40 2 v = 2 10m / s 2
  40. 40. 15- (FEI-SP) Uma esfera gira com velocidade 1 m/s, descrevendouma trajetória circular e horizontal, de raio r = 10 cm, estando aesfera suspensa por meio de um fio ideal. Sendo g = 10 m/s²,qual o valor do ângulo θ que o fio forma com a vertical?
  41. 41. Resposta: Tx = Fcp Tx = Tsenθ v2 Tsenθ = m Ty = T cos θ R mg v2 ⋅ senθ = m cos θ R senθ v 2 g⋅ = cos θ R Ty = P 2 1 T cos θ = mg 10 ⋅ tgθ = 0,1 mg tgθ = 1 T= cos θ θ = 45°
  42. 42. 16- (Fuvest-SP) Um carro percorre uma pista curva superelevada t g ( θ = 0,2 ) de 200 m de raio. Desprezando o atrito, qual avelocidade máxima sem risco de derrapagem?a) 40 km/h c) 60 km/h e) 80 km/hb) 45 km/h d) 72 km/h
  43. 43. 16-
  44. 44. 17- (Mackenzie-SP) Um avião descreve uma trajetória circularhorizontal com velocidade escalar constante v . As asas formam umângulo θ com a horizontal. Devem ser considerados apenas o peso doavião e a força de sustentação, que é perpendicular à asa. Sendo g aaceleração da gravidade, o raio da trajetória descrita é: 2a) v · sen θb) v 2 b · tg θc) v2 · tg θ gd) v2 · cotg θ g ge) · tg θ v2
  45. 45. Resposta: Ex = Fcp2 v E senθ = m R mg v2 senθ = m cos θ R 2 v g tgθ = REy = P v 2 R=E cos θ = mg g tgθ 2 mg vE= R = cot gθ cos θ g Letra D
  46. 46. 18- (Unicamp-SP) Um míssil é lançado horizontalmenteem órbita circular rasante à superfície da Terra. Adoteo raio da Terra como sendo R = 6 400 km π ≅ 3. ea) Qual o valor da velocidade de lançamento?b) Qual o período do movimento do projétil?
  47. 47. Resposta: 2 v a) mg = m P = Fcp R 2 vR = 6400km = 64 ⋅105 m 10 = R v = 64 ⋅10 2 6 v = 64 ⋅10 6 v = 8000m / s
  48. 48. Resposta: v = ωRb) 8 ⋅103 = ω ⋅ 64 ⋅105 8 ⋅103 ω= = 0,125 64 ⋅10 5 ω = 1,25 ⋅10 −3 2 ⋅ω 2⋅3 ω= =T = −3 = T = 4,8 ⋅10 s 3 T 1,25 ⋅10
  49. 49. 19- Um pêndulo simples de comprimento L = 3,0 m e massam = 2,0 kg passa pela posição indicada na figura, com velocidadev = 4,0 m/s. Sendo g = 10 m/s², calcule, para a posição indicada:a) o módulo da aceleração tangencial;b) o módulo da aceleração centrípeta;c) o módulo de tração no fio;d) o módulo da força resultante sobre a partícula presa ao fio
  50. 50. Resposta: a) Px = P sen 60 Px = mat P sen60 = mat m g sen 60° = mat m g sen 60° = mat 3 10 ⋅ = at 2 at = 5 3m / s
  51. 51. Resposta: 2 v b) acp = R 2 4 acp = 3 16 acp = 3
  52. 52. Resposta: c) T − Py = Fcp T − m g cos 60 = macp 1 T − 2 ⋅10 ⋅ = 2 ⋅ 5,34 2 T − 10 = 10,68 T = 20,68 N
  53. 53. Resposta:
  54. 54. 20- (Fund. Carlos Chagas-SP) A figura ao lado representa umpêndulo simples que oscila entre as posições A e B no campogravitacional terrestre. Quando o pêndulo se encontra naposição C, a força resultante é melhor indicada por:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
  55. 55. Resposta:
  56. 56. 21- A figura a seguir representa a força resultante sobre umapartícula de massa m = 2,0 kg e a velocidade da partícula nomesmo instante. Sabendo que a trajetória é circular, F = 120 N ev = 4,0 m/s, calcule o raio da trajetória.
  57. 57. Resposta:
  58. 58. 22- (PUC-SP) A figura mostra dois corpos A e B, de massas iguais,ligados por fios ideais, girando num plano horizontal, sem atrito,com velocidade angularω constante, em torno de um pontofixo O. A razão2 T1 T T , entre as trações 1 e T2 , que atuamrespectivamente nos fios (2) e (1), tem valor:a) 2b) 3 2f) 1h) 2 3 1k) 2
  59. 59. 23- Consideremos uma mola ideal de constante elástica 16 N/m,cujo comprimento quando não deformada é 1,0 m. Uma dasextremidades da mola está presa a um anel liso por dentro doqual passa um prego fixado em uma mesa lisa. A outraextremidade está presa a uma bolinha de massa 3,0 kg, tambémapoiada na mesa. Dando-se um impulso à bolinha, ela passa adescrever um movimento circular com velocidade escalarconstante e igual a 2,0 m/s. Calcule o comprimento da molanessas condições.
  60. 60. Resposta:
  61. 61. 24- A figura abaixo representa um brinquedo encontrado emparques de diversões. Quando o sistema gira com veloccidadeangular constante, o fio forma angulo θ = 30° com a vertical.Sendo g = 10 m/s², calcule a velocidade angular do sistema.
  62. 62. Resposta:
  63. 63. 25- Um automóvel percorre um trecho sobrelevado de estradanuma trajetória circular de raio R. No exercício 6, vimos quevelocidade um automóvel deve ter para conseguir fazer essacurva sem depender de atrito, sendo R =120 m, g = 10 m/s²,sen θ = 0,60 e cos θ = 0,80. Suponhamos agora que o coeficientede atrito estático entre os pneus e a estrada seja µ e = 0,80.calcule as velocidades máxima e mínima que o automóvel deveter para fazer essa curva sem derrapar.
  64. 64. Resposta:
  65. 65. 26-a) Um carrinho está fazendo um loop em uma montanha-russa. A velocidade mínima para que uma pessoa não caia depende da massa da pessoa?b) Quando se planeja o ângulo de sobrelevação em uma curva de uma estrada, esse ângulo depende da massa do veículo?c) Na figura a seguir, quais forças não podem representar a resultante em um movimento circular?d) Um automóvel faz uma curva circular com velocidade escalar constante, numa estrada plana horizontal. A força de atrito é estática ou cinética?
  66. 66. 8- Comprimento = 85 cm R = 90 cm Deformação da mola = 5 cm
  67. 67. a) Ponto mais alto P 42 0,1⋅10 + T = 0,1⋅ T 0,5 2 v 16 Fcp = m ⋅ 1 + T = 0,1 ⋅ R 0,5 v2 1 + T = 3,2 P +T = m⋅ R T = 3,2 − 1 v2 mg + T = m ⋅ T = 2,2 N R
  68. 68. a)Ponto mais baixo T v2 42 P Fcp = m ⋅ T − 0,1 ⋅10 = 0,1 ⋅ R 0,5 v2 T − P = m⋅ T − = 3,2 R 2 T = 3,2 + 1 v T − mg = m ⋅ T = 4,2 N R
  69. 69. b) P v2 Fcp = m ⋅ R v2 P = m⋅ R v2 m⋅ g = m⋅ R
  70. 70. 8- Fel 2 v Fel = Fcp 4= 0,9 v2 K ⋅ x = m⋅ v 2 = 36 R v2 v = 36 80 ⋅ 0,05 = 0,1 ⋅ 0,9 v = 6m / s

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