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ÂngulosÂngulosDefinição – Medidas - OperaçõesDefinição – Medidas - Operações
O que é um ângulo?O que é um ângulo?É oÉ o espaçoespaço entre duasentre duas semirretas.semirretas.Representação:Represent...
Elementos de um ânguloElementos de um ânguloTodo ângulo apresentaTodo ângulo apresenta um vérticeum vértice ee dois ladosd...
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O que é umO que é um ângulo retoângulo reto??É um ângulo queÉ um ângulo que mede 90ºmede 90º..AÔB = 90ºAÔB = 90ºBO A
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Quantos graus mede um ângulo deQuantos graus mede um ângulo deuma voltauma volta??360º360ºAÔB = 360ºAÔB = 360ºO =BAEssa ta...
Como transformamos graus emComo transformamos graus emminutos?minutos?BastaBasta multiplicarmultiplicar porpor 6060..Pois,...
E como transformamos minutos emE como transformamos minutos emsegundos?segundos?BastaBasta multiplicarmultiplicar porpor 6...
Tente fazer sozinhoTente fazer sozinhoTransforme 2º 30’ 41’’Transforme 2º 30’ 41’’em segundosem segundos
SoluçãoSolução2º 30’ 41’’ =2º 30’ 41’’ = ______________ segundossegundosLogo, 2º 30’ 41’’ =Logo, 2º 30’ 41’’ = 9041”9041”2...
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Exemplo 2:Exemplo 2:11º 36’ 30” + 20º 45’ 50” =11º 36’ 30” + 20º 45’ 50” =Como sempre devemos dar a resposta da formaComo ...
SoluçãoSolução30º 65’ 90”30º 65’ 90” 30º 66’ 30”30º 66’ 30” 31º 6’ 30”31º 6’ 30”10º 45’ 45”10º 45’ 45”+ 20º 20’ 45”+ 20º 2...
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Exemplo 2:Exemplo 2:76º 50’ 8” – 20º 12’ 31” =76º 50’ 8” – 20º 12’ 31” =Mas o 50 está emminutos, entãoprecisamos transform...
Tente fazer sozinhoTente fazer sozinhoCalcule:Calcule:90º - 9º 2’ 40”90º - 9º 2’ 40”
SoluçãoSolução90º90º 60’ 60”60’ 60”- 9º 2’ 40”- 9º 2’ 40”80º 57’ 20”80º 57’ 20”89 59’
Como multiplicamos a medida deComo multiplicamos a medida deum ângulo por um número natural?um ângulo por um número natura...
Simplificando, temos:Simplificando, temos:Logo,Logo, (15º 35’ 28”) x 3 = 46º 46’ 24”(15º 35’ 28”) x 3 = 46º 46’ 24”84” =84...
Tente fazer sozinhoTente fazer sozinhoCalcule:Calcule:12 (50’ 20”)12 (50’ 20”)
SoluçãoSoluçãoSimplificando:Simplificando:240” = 4’240” = 4’ 600’ + 4’ = 604’600’ + 4’ = 604’ 604’ = 10º 4’604’ = 10º 4’Lo...
Como dividimos a medida de umComo dividimos a medida de umângulo por um número natural?ângulo por um número natural?Armand...
Exemplo:Exemplo:27º 22’ 4” : 4 =27º 22’ 4” : 4 =1º passo:1º passo:3º passo:3º passo:427º 22’ 4”6º3º27º 22’ 4”3º 180’202’46...
Tente fazer sozinhoTente fazer sozinhoCalcule:Calcule:5º : 3 =5º : 3 =
SoluçãoSolução5º 31º 40’2º 120’0
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  1. 1. ÂngulosÂngulosDefinição – Medidas - OperaçõesDefinição – Medidas - Operações
  2. 2. Ao final dessa aula vocêAo final dessa aula vocêsaberá:saberá: O que é um ângulo, assim como seusO que é um ângulo, assim como seuselementos e identificaçãoelementos e identificação Como medir um ânguloComo medir um ângulo O que é um ângulo retoO que é um ângulo reto O que é um ângulo rasoO que é um ângulo raso O que é um ângulo de uma volta ou nuloO que é um ângulo de uma volta ou nulo Fazer operações com ângulosFazer operações com ângulos
  3. 3. O que é um ângulo?O que é um ângulo?É oÉ o espaçoespaço entre duasentre duas semirretas.semirretas.Representação:Representação:O espaço emO espaço em vermelhovermelho é umé um ânguloângulo..
  4. 4. Elementos de um ânguloElementos de um ânguloTodo ângulo apresentaTodo ângulo apresenta um vérticeum vértice ee dois ladosdois lados..Dependendo de onde olhamos, vemosDependendo de onde olhamos, vemos dois ângulosdois ângulosdiferentes, formados pelasdiferentes, formados pelas mesmas semirretasmesmas semirretas..{Ângulo “a” é convexoÂngulo “b” é côncavo
  5. 5. Como identificamos umComo identificamos umângulo ?ângulo ?IndicandoIndicando seu vértice eseu vértice e os pontosos pontos que determinamque determinamos lados.os lados.Exemplo:Exemplo:Note que oNote que o vérticevértice está sempre noestá sempre no meiomeio..Dizemos que esse é oângulo ou .AÔB BÔA{
  6. 6. Que instrumento usamos paraQue instrumento usamos paramedir um ângulo?medir um ângulo?TransferidorTransferidorComo usamos um transferidor?Como usamos um transferidor?SeguindoSeguindo osos passospassos a seguir.a seguir.A unidade de medida do ângulo é o grau (º)
  7. 7. 0º = vértice1º passo: posicionamos o1º passo: posicionamos o zerozero do transferidordo transferidor ememcima do vérticecima do vértice do ângulo.do ângulo.2º passo: posicionamos a2º passo: posicionamos a linhalinha que liga o 180º e oque liga o 180º e o0º0º em cima de um dos ladosem cima de um dos lados do ângulo.do ângulo.3º passo: verificamos que3º passo: verificamos que medidamedida oo outro ladooutro ladoestá marcando.está marcando.linha = ladoMedida = outro lado
  8. 8. O que é umO que é um ângulo retoângulo reto??É um ângulo queÉ um ângulo que mede 90ºmede 90º..AÔB = 90ºAÔB = 90ºBO A
  9. 9. O que é umO que é um ângulo rasoângulo raso??É um ângulo queÉ um ângulo que mede 180ºmede 180º..BÔA = 180ºBÔA = 180ºO ângulo raso também é conhecido comoO ângulo raso também é conhecido comoângulo deângulo de meia voltameia volta..B O A
  10. 10. Quantos graus mede um ângulo deQuantos graus mede um ângulo deuma voltauma volta??360º360ºAÔB = 360ºAÔB = 360ºO =BAEssa também pode ser aEssa também pode ser arepresentação dorepresentação do ângulo nulo.ângulo nulo.AÔB = 0ºAÔB = 0º
  11. 11. Como transformamos graus emComo transformamos graus emminutos?minutos?BastaBasta multiplicarmultiplicar porpor 6060..Pois,Pois, 1º = 60’1º = 60’Exemplos:Exemplos: 10º = 600’10º = 600’ 2º = 120’2º = 120’18º = 1080’18º = 1080’Para passar de minutos para graus,basta dividir por 60.
  12. 12. E como transformamos minutos emE como transformamos minutos emsegundos?segundos?BastaBasta multiplicarmultiplicar porpor 6060..Pois,Pois, 1’ = 60’’1’ = 60’’Exemplos:Exemplos:  3’ = 180’’3’ = 180’’22’ = 1320’’22’ = 1320’’50’ = 3000’’50’ = 3000’’Para passar de segundos paraminutos, basta dividir por 60.
  13. 13. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinhoTransforme 2º 30’ 41’’Transforme 2º 30’ 41’’em segundosem segundos
  14. 14. SoluçãoSolução2º 30’ 41’’ =2º 30’ 41’’ = ______________ segundossegundosLogo, 2º 30’ 41’’ =Logo, 2º 30’ 41’’ = 9041”9041”2 x 60 = 120’2 x 60 = 120’120’ + 30’ = 150’120’ + 30’ = 150’150’ x 60 = 9000”150’ x 60 = 9000”9000” + 41” = 9041”9000” + 41” = 9041”
  15. 15. Como somamos medidas deComo somamos medidas deângulos?ângulos?DevemosDevemos armar a contaarmar a conta e efetuar os cálculose efetuar os cálculos((somando segundo com segundo, minuto comsomando segundo com segundo, minuto comminuto e grau com grauminuto e grau com grau))Atenção!Atenção!Quando armamos a conta, devemos colocar asQuando armamos a conta, devemos colocar asunidades semelhantes na mesma direção.unidades semelhantes na mesma direção.Exemplo 1:Exemplo 1:30º 40’ 12’’ + 22º 13’ 7” =30º 40’ 12’’ + 22º 13’ 7” =30º 40’ 12’’30º 40’ 12’’+ 22º 13’ 7”+ 22º 13’ 7”52º 53’ 19”52º 53’ 19”
  16. 16. Exemplo 2:Exemplo 2:11º 36’ 30” + 20º 45’ 50” =11º 36’ 30” + 20º 45’ 50” =Como sempre devemos dar a resposta da formaComo sempre devemos dar a resposta da formamais simplificada, faremos:mais simplificada, faremos:80” =80” = 1’1’ 20”20” 1’1’ + 81’ = 82’+ 81’ = 82’82’ =82’ = 1º1º 22’22’ 1º1º + 31º = 32º+ 31º = 32ºLogo, 11º 36’ 30” + 20º 45’ 50” = 32º 22’ 20”Logo, 11º 36’ 30” + 20º 45’ 50” = 32º 22’ 20”11º 36’ 30”11º 36’ 30”+ 20º 45’ 50”+ 20º 45’ 50”31º 81’ 8031º 81’ 80”
  17. 17. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinhoCalcule:Calcule:10º 45’ 45” + 20º 20’ 45”10º 45’ 45” + 20º 20’ 45”
  18. 18. SoluçãoSolução30º 65’ 90”30º 65’ 90” 30º 66’ 30”30º 66’ 30” 31º 6’ 30”31º 6’ 30”10º 45’ 45”10º 45’ 45”+ 20º 20’ 45”+ 20º 20’ 45”30º 65’ 90”30º 65’ 90”
  19. 19. Como calculamos a diferença entreComo calculamos a diferença entreas medidas de dois ângulos?as medidas de dois ângulos?DevemosDevemos armar a contaarmar a conta e efetuar os cálculose efetuar os cálculos((diminuindo segundo de segundo, minuto dediminuindo segundo de segundo, minuto deminuto e grau de grauminuto e grau de grau))Exemplo 1:Exemplo 1:30º 40’ 12’’ - 22º 13’ 7” =30º 40’ 12’’ - 22º 13’ 7” =30º 40’ 12’’30º 40’ 12’’- 22º 13’ 7”- 22º 13’ 7”8º 27’ 5”8º 27’ 5”
  20. 20. Exemplo 2:Exemplo 2:76º 50’ 8” – 20º 12’ 31” =76º 50’ 8” – 20º 12’ 31” =Mas o 50 está emminutos, entãoprecisamos transformaresse minuto emsegundos, para somarcom o 8.Sendo assim, 1’ = 60”60” + 8” = 68”76º 50’ 8”76º 50’ 8”–– 20º 12’ 31”20º 12’ 31”68”49’56º 37’ 37”56º 37’ 37”Como não podemostirar 31 de 8, pedimosemprestado pro 50.
  21. 21. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinhoCalcule:Calcule:90º - 9º 2’ 40”90º - 9º 2’ 40”
  22. 22. SoluçãoSolução90º90º 60’ 60”60’ 60”- 9º 2’ 40”- 9º 2’ 40”80º 57’ 20”80º 57’ 20”89 59’
  23. 23. Como multiplicamos a medida deComo multiplicamos a medida deum ângulo por um número natural?um ângulo por um número natural?DevemosDevemos multiplicarmultiplicar, o grau, o minuto e, o grau, o minuto eo segundo,o segundo, separadamenteseparadamente..Exemplo:Exemplo:(15º 35’ 28”) x 3 =(15º 35’ 28”) x 3 =15º 35’ 28”15º 35’ 28”XX 3345º 105’ 84”45º 105’ 84”
  24. 24. Simplificando, temos:Simplificando, temos:Logo,Logo, (15º 35’ 28”) x 3 = 46º 46’ 24”(15º 35’ 28”) x 3 = 46º 46’ 24”84” =84” = 1’1’ 24”24” 105’ +105’ + 1’1’ = 106’= 106’106’ =106’ = 1º1º 46’46’ 45º +45º + 1º1º = 46º= 46º
  25. 25. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinhoCalcule:Calcule:12 (50’ 20”)12 (50’ 20”)
  26. 26. SoluçãoSoluçãoSimplificando:Simplificando:240” = 4’240” = 4’ 600’ + 4’ = 604’600’ + 4’ = 604’ 604’ = 10º 4’604’ = 10º 4’Logo, 12 (50’ 20”) = 10º 4’Logo, 12 (50’ 20”) = 10º 4’50’ 20”50’ 20”X 12X 12600’ 240”600’ 240”
  27. 27. Como dividimos a medida de umComo dividimos a medida de umângulo por um número natural?ângulo por um número natural?Armando a conta eArmando a conta e seguindoseguindo osos passospassos..1º passo:1º passo: dividirdividir osos grausgraus..2º passo: se2º passo: se não sobrar restonão sobrar resto,, dividirdividir ososminutosminutos. Se. Se sobrar restosobrar resto, pular para o, pular para opasso 3.passo 3.3º passo:3º passo: multiplicarmultiplicar o resto poro resto por 6060,, somarsomaraos minutos e dividiraos minutos e dividir. Obs: o mesmo deve. Obs: o mesmo deveser feito se sobrar resto nos minutos.ser feito se sobrar resto nos minutos.
  28. 28. Exemplo:Exemplo:27º 22’ 4” : 4 =27º 22’ 4” : 4 =1º passo:1º passo:3º passo:3º passo:427º 22’ 4”6º3º27º 22’ 4”3º 180’202’46º 50’ 31”2’ 120’’124”0
  29. 29. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinhoCalcule:Calcule:5º : 3 =5º : 3 =
  30. 30. SoluçãoSolução5º 31º 40’2º 120’0

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