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  1. 1. SEMELHANÇA DETRIÂNGULOS
  2. 2. Figuras semelhantes Figuras semelhantes são aquelas queapresentam a mesma forma, independente dotamanho. Exemplos:
  3. 3. Polígonos semelhantes Polígonos semelhantes são aquelas queapresentam ângulos correspondentescongruentes e lados homólogos proporcionais.Exemplos:
  4. 4. Triângulos semelhantes Dois triângulos são semelhantes se atenderem a duas condições:1º) os ângulos correspondentes congruentes:
  5. 5. 2º) os lados homólogos são proporcionais. a b c a b c
  6. 6. Exemplo: 3 2 5 9 6 15
  7. 7. Ângulos correspondentes congruentes Definição Lados homólogos proporcionias Triângulossemelhantes
  8. 8. Tente fazer sozinho1) Verifique se os pares de triângulos abaixo são semelhantes..
  9. 9. Tente fazer sozinho1) Verifique se os pares de triângulos abaixo são semelhantes.
  10. 10. Solução São semelhantes Não são semelhantes, pois os ângulos correspondentes não são congruentes
  11. 11. Tente fazer sozinho2) Sabendo que os triângulos abaixo são semelhantes,calcule os valores de x e y.
  12. 12. Tente fazer sozinho2) Sabendo que os triângulos abaixo são semelhantes,calcule os valores de x e y.
  13. 13. Solução 12 1812 x 9 y 9 18 27 yx 24 2
  14. 14. Razão de semelhança Razão de semelhança é a razão entre oslados homólogos.Exemplo: Razão de semelhança 3 2 5 1 9 6 15 3
  15. 15. A razão de semelhança entre dois triângulosé a mesma para: Os lados correspondentes Os perímetros As alturas As medianas As bissetrizes
  16. 16. Exemplo:3 2 5 1 PA 10 19 6 15 3 PB 30 3PA 10 PB 30
  17. 17. Ângulos correspondentes congruentes Definição Lados homólogos proporcionias Apresentam razão característica de semelhança Triângulossemelhantes
  18. 18. Tente fazer sozinho4) Calcule os lados do triângulo NMP, sabendo que seu perímetro é igual a 130.
  19. 19. Tente fazer sozinho4) Calcule os lados do triângulo NMP, sabendo que seu perímetro é igual a 130.
  20. 20. Solução PABC 94 PNMP 130 94 48 MP 60 130 MP 94 20 PN 25 130 PN 94 36 MN 45 130 MN
  21. 21. Teorema Fundamental da semelhança Toda paralela a um lado de um triângulo eque cruza os outros lados em dois pontos,determina um triângulo semelhante ao primeiro. OC1C ~ OB1B ~ OA1 A
  22. 22. Exemplo:Determine os valores de x e y: 8 12 20 12 x x 18 8 y 20 y 21 y 14
  23. 23. Tente fazer sozinho5) Considere o triângulo ABC e determine as medidas dos segmentos CE e CB , sabendo que AB e DE são segmentos paralelos.
  24. 24. Tente fazer sozinho5) Considere o triângulo ABC e determine as medidas dos segmentos CE e CB , sabendo que AB e DE são segmentos paralelos.
  25. 25. Solução AB 12 Dados DE 9 EB 4 CE ? O que se pede CB ?
  26. 26. SoluçãoCD CE DECA CB AB CE 9CE 4 1212CE 9CE 3612CE 9CE 36 CB CE 43CE 36 CB 12 4CE 12 CB 16
  27. 27. Tente fazer sozinho6) (Mackenzie 2003) Na figura, se AB = 5 AD = 5 FB, a razão FG/DE vale: a) 3 b) 4 c) 5 d) 5/2 e) 7/2
  28. 28. Tente fazer sozinho6) (Mackenzie 2003) Na figura, se AB = 5 AD = 5 FB, a razão FG/DE vale: a) 3 b) 4 c) 5 d) 5/2 e) 7/2
  29. 29. Solução FG 4x DE x FG 4 DE Letra b
  30. 30. Propriedade Se a paralela a um lado de triângulo interceptaum dos lados no seu ponto médio, então elatambém intercepta o outro lado no ponto médio.Exemplo:M é o ponto médio deAB, então N é o pontomédio de AC.
  31. 31. Ângulos correspondentes congruentes Definição Lados homólogos proporcionias Apresentam razão característica de semelhança Triângulossemelhantes Paralela a um lado que cruza Teorema os outros lados determina Fundamental dois triângulos semelhantes
  32. 32. Casos de semelhança1º) LLL (Lado, Lado, Lado) Três lados homólogos proporcionais.
  33. 33. 2º) LAL (Lado Ângulo Lado) Dois lados homólogos proporcionais e osângulos formados por esses lados sãocongruentes.
  34. 34. 3º) AA (Ângulo, Ângulo) Dois ângulos correspondentes congruentes.
  35. 35. Ângulos correspondentes congruentes Definição Lados homólogos proporcionias Apresentam razão característica de semelhança Triângulossemelhantes Paralela a um lado que cruza Teorema os outros lados determina Fundamental dois triângulos semelhantes LLL Casos de LAL semelhança AA
  36. 36. Tente fazer sozinho ˆ 40o ,7) Se, num triângulo ABC, temos BAB = 4cm e BC = 6cm e, num triângulo FDE, ˆocorre D 40o , DF=2cm e DE=3cm.Qual o caso de congruência entre os triângulosABC e FDE?
  37. 37. Tente fazer sozinho ˆ 40o ,7) Se, num triângulo ABC, temos BAB = 4cm e BC = 6cm e, num triângulo FDE, ˆocorre D 40o , DF=2cm e DE=3cm.Qual o caso de semelhança entre os triângulosABC e FDE?
  38. 38. Solução ˆ B 40o ˆ D 40o 42 AB = 4cm 6 Dados DF = 2cm 3 BC = 6cm DE = 3cm O que se pede: caso de congruência
  39. 39. Solução 4 B D2 6 4 6 2 3 2 3 Logo, o caso de semelhança é LAL.
  40. 40. Tente fazer sozinho7) (Unesp 2004) Um observador situado numponto O, localizado na margem de um rio,precisa determinar sua distância até um pontoP, localizado na outra margem, sem atravessaro rio. Para isso marca, com estacas, outrospontos do lado da margem em que seEncontra,de tal forma que P, O e B estãoalinhados entre si e P, A e C também.
  41. 41. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m,BC = 40 m e OB = 30 m, conforme figura.A distância, em metros, do observador em Oaté o ponto P, é: a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50
  42. 42. Tente fazer sozinho7) (Unesp 2004) Um observador situado numponto O, localizado na margem de um rio,precisa determinar sua distância até um pontoP, localizado na outra margem, sem atravessaro rio. Para isso marca, com estacas, outrospontos do lado da margem em que seEncontra,de tal forma que P, O e B estãoalinhados entre si e P, A e C também.
  43. 43. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m,BC = 40 m e OB = 30 m, conforme figura.A distância, em metros, do observador em Oaté o ponto P, é: a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50
  44. 44. Solução 25 x 40 30 x 5 25 x 8 40 30 x 8 x 150 5 x 3 x 150 x 50 LetraE
  45. 45. Bibliografia IEZZI, Gelson et al. Matemática:Ciência e Aplicações. 4ed. SP:Atual Editora, 2006. Klick Educação, site:http://www.klickeducacao.com.br/materia/20 /display/0,5912,POR-20-92-963-,00.html Bianchini, Edwaldo: Matemática, Editora Moderna, 6ª edição, 2006.

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