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www.aulaparticularonline.net.br - Matemática - Produto Notável Presentation Transcript

  • 1. O que significaProduto Notável?
  • 2. Produto Notável Produto:Resultado de uma multiplicação. Notável:Algo que é importante.
  • 3. O que vamos estudar Quadrado da soma de dois termos Quadrado da diferença de dois termos Produto da soma pela diferença de dois termos Cubo da soma de dois termos Cubo da diferença de dois termos
  • 4. Quadrado da somaProduto Quadrado da diferençaNotável Produto da soma pela diferença Cubo da soma Cubo da diferença
  • 5. Quadrado da soma de dois termos( a + b) 2Termo a Termo b
  • 6. Quadrado da soma ( a +b ) 2Produto Quadrado da diferençaNotável Produto da soma pela diferença Cubo da soma Cubo da diferença
  • 7. Quadrado da soma de dois termos( a + b) 2 = ( a + b ).( a + b )
  • 8. Quadrado da soma de dois termos( a + b) 2 = ( a + b ).( a + b ) = a + ab + ab + b 2 2 = a + 2ab + b 2 2
  • 9. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferençaNotável Produto da soma pela diferença Cubo da soma Cubo da diferença
  • 10. Vamos calcular 1( x + 1) 2
  • 11. Vamos calcular 1( x + 1) 2 = ( x + 1)( x + 1)
  • 12. Vamos calcular 1( x + 1) 2 = ( x + 1)( x + 1) = x + x + x +1 2 2
  • 13. Vamos calcular 1( x + 1) 2 = ( x + 1)( x + 1) = x + x + x +1 2 2 = x + 2x +1 2
  • 14. Vamos calcular 2( 5+y ) 2
  • 15. Vamos calcular 2( 5+y ) 2 = ( )( 5+y. 5+y )
  • 16. Vamos calcular 2( 5+y ) 2 = ( 5+y. 5+y)( ) = ( 5) 2 + 5y + 5y + y2
  • 17. Vamos calcular 2( 5+y ) 2 = ( 5+y. 5+y)( ) = ( 5) 2 + 5y + 5y + y2 = 5 + 2 5y + y 2
  • 18. Vamos calcular 3 2 2 ba +  2
  • 19. Vamos calcular 3 2 2 b  2 b  2 b a +  =  a + . a +  2  2  2
  • 20. Vamos calcular 3 2 2 b  2 b  2 b a +  =  a + . a +  2  2  2 2 = (a ) 2 2 b 2 b b +a +a +  2 2 2 2
  • 21. Vamos calcular 3 2 2 b  2 b  2 b a +  =  a + . a +  2  2  2 2 = (a ) 2 2 b 2 b b +a +a +  2 2 2 2 2 b b = a + 2a 4 + 2 2 4
  • 22. Quadrado da diferença de dois termos( a − b) 2Termo a Termo b
  • 23. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2Notável Produto da soma pela diferença Cubo da soma Cubo da diferença
  • 24. Quadrado da diferença de dois termos( a − b) 2 = ( a − b ).( a − b )
  • 25. Quadrado da diferença de dois termos( a − b) 2 = ( a − b ).( a − b ) = a − ab − ab + b 2 2 = a − 2ab + b 2 2
  • 26. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2Notável Produto da soma pela diferença Cubo da soma Cubo da diferença
  • 27. Vamos calcular 1( x − 3) 2
  • 28. Vamos calcular 1( x − 3) 2 = ( x − 3)( x − 3)
  • 29. Vamos calcular 1( x − 3) 2 = ( x − 3)( x − 3) = x − 3x − 3x + 3 2 2
  • 30. Vamos calcular 1( x − 3) 2 = ( x − 3)( x − 3) = x − 3x − 3x + 3 2 2 = x − 2.3 x + 3 2 2
  • 31. Vamos calcular 1( x − 3) 2 = ( x − 3)( x − 3) = x − 3x − 3x + 3 2 = x − 2.3 x + 3 2 2 = x − 6x + 9 2
  • 32. Vamos calcular 2( 2ab − c ) 2
  • 33. Vamos calcular 2( 2ab − c ) 2 = ( 2ab − c ) .( 2ab − c )
  • 34. Vamos calcular 2( 2ab − c ) 2 = ( 2ab − c ) .( 2ab − c ) = ( 2ab ) − 2abc − 2abc + c 2 2
  • 35. Vamos calcular 2( 2ab − c ) 2 = ( 2ab − c ) .( 2ab − c ) = ( 2ab ) − 2abc − 2abc + c 2 2 = 4a b − 4abc + c 2 2 2
  • 36. Vamos calcular 3 2a b − 2 8
  • 37. Vamos calcular 3 2a b  a b  a b  =  − . −  −   2 8  2 8 2 8
  • 38. Vamos calcular 3 2a b  a b  a b  =  − . −  −   2 8  2 8 2 8 2 2 a a b b a b =   − . − . +   2  2 8 8 2 8
  • 39. Vamos calcular 3 2a b  a b  a b  =  − . −  −   2 8  2 8 2 8 2 2 a a b b a b =   − . − . +   2  2 8 8 2 8 a 2 ab ab b 2 = − − + 4 16 16 64
  • 40. Vamos calcular 3 2a b  a b  a b  =  − . −  −   2 8  2 8 2 8 2 2 a a b b a b =   − . − . +   2  2 8 8 2 8 a 2 ab ab b 2 = − − + 4 16 16 64 a2 ab b 2 = −2 + 4 16 64
  • 41. Vamos calcular 3 2a b  a b  a b  =  − . −  −   2 8  2 8 2 8 2 2 a a b b a b =   − . − . +   2  2 8 8 2 8 a 2 ab ab b 2 = − − + 4 16 16 64 a2 ab b 2 = −2 + 4 16 64
  • 42. Vamos calcular 3 2a b  a b  a b  =  − . −  −   2 8  2 8 2 8 2 2 a a b b a b =   − . − . +   2  2 8 8 2 8 a 2 ab ab b 2 = − − + 4 16 16 64 a2 ab b 2 = −2 + 4 16 64 a 2 ab b 2 = − + 4 8 64
  • 43. Produto da soma pela diferença de dois termos( a + b ).( a − b )Termo a Termo b Termo a Termo b
  • 44. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2Notável Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) Cubo da soma Cubo da diferença
  • 45. Produto da soma pela diferença de dois termos( a + b ).( a − b ) = a − ab + ab − b 2 2 = a −b 2 2
  • 46. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2Notável Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) a 2 −b 2 Cubo da soma Cubo da diferença
  • 47. Vamos calcular 1( a + 5)( a − 5)
  • 48. Vamos calcular 1( a + 5)( a − 5) = a − 5a + 5a − 5 2 2
  • 49. Vamos calcular 1( a + 5)( a − 5) = a − 5a + 5a − 5 2 2
  • 50. Vamos calcular 1( a + 5)( a − 5) = a − 5a + 5a − 5 2 2 = a − 25 2
  • 51. Vamos calcular 2(y 2 )( − 3z y + 3z 2 )
  • 52. Vamos calcular 2(y 2 )( 2 ) − 3z y + 3z = ( y ) 2 2 + 3zy − 3zy − ( 3z ) 2 2 2
  • 53. Vamos calcular 2(y 2 )( 2 ) − 3z y + 3z = ( y ) 2 2 + 3zy − 3zy − ( 3z ) 2 2 2
  • 54. Vamos calcular 2(y 2 )( 2 ) − 3z y + 3z = ( y 2 2 ) + 3zy − 3zy − ( 3z ) 2 2 2 = y − 9z 4 2
  • 55. Vamos calcular 3 2 1  2 1  x + 2  x − 2  x  x 
  • 56. Vamos calcular 3 2 1  2 1  2 x + 2  x − 2  = ( x 2 ) 2 − x 2 . 12 + x 2 . 12 −  12    x  x  x x x 
  • 57. Vamos calcular 3 2 1  2 1  2 x + 2  x − 2  = ( x 2 ) 2 − x 2 . 12 + x 2 . 12 −  12    x  x  x x x 
  • 58. Vamos calcular 3 2 1  2 1  2 x + 2  x − 2  = ( x 2 ) 2 − x 2 . 12 + x 2 . 12 −  12    x  x  x x x  1 =x − 44 x
  • 59. Cubo da soma de dois termos( a + b) 3Termo a Termo b
  • 60. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2Notável Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) a 2 −b 2 Cubo da soma ( a +b ) 3 Cubo da diferença
  • 61. Cubo da soma de dois termos( a + b) 3 = ( a +b ).( a +b ) 2
  • 62. Cubo da soma de dois termos( a + b) 3 = ( a +b ).( a +b ) 2 ( = ( a + b ) . a + 2ab + b 2 2 ) = a + 2a b + ab + a b + 2ab + b 3 2 2 2 2 3 = a + 3a b + 3ab + b 3 2 2 3
  • 63. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2Notável Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) a 2 −b 2 Cubo da soma ( a +b ) 2 a 3 +3a 2b +3ab 2 +b 3 Cubo da diferença
  • 64. Vamos calcular 1( x + 2) 3
  • 65. Vamos calcular 1( x + 2) 3 = ( x + 2) .( x + 2) 2
  • 66. Vamos calcular 1( x + 2) 3 = ( x + 2) .( x + 2) 2 ( = ( x + 2). x + 4 x + 4 2 )
  • 67. Vamos calcular 1( x + 2) 3 = ( x + 2) .( x + 2) 2 ( = ( x + 2). x + 4 x + 4 2 ) = x +4 x + 4 x + 2 x + 8 x + 8 3 2 2
  • 68. Vamos calcular 1( x + 2) 3 = ( x + 2) .( x + 2) 2 ( = ( x + 2). x + 4 x + 4 2 ) = x +4 x + 4 x + 2 x + 8 x + 8 3 2 2 = x + 6 x + 12 x + 8 3 2
  • 69. Vamos calcular 2( x + 2 y) 3
  • 70. Vamos calcular 2( x + 2 y) 3 = ( x + 2 y ).( x + 2 y ) 2
  • 71. Vamos calcular 2( x + 2 y) 3 = ( x + 2 y ).( x + 2 y ) 2 ( = ( x + 2 y ) . x + 4 xy + 4 y 2 2 )
  • 72. Vamos calcular 2( x + 2 y) 3 = ( x + 2 y ).( x + 2 y ) 2 ( = ( x + 2 y ) . x + 4 xy + 4 y 2 2 ) = x + 4 x y + 4 xy + 2 x y + 8 xy + 8 y 3 2 2 2 2 3
  • 73. Vamos calcular 2( x + 2 y) 3 = ( x + 2 y ).( x + 2 y ) 2 ( = ( x + 2 y ) . x + 4 xy + 4 y 2 2 ) = x + 4 x y + 4 xy + 2 x y + 8 xy + 8 y 3 2 2 2 2 3 = x + 6 x y + 12 xy + 8 y 3 2 2 3
  • 74. Vamos calcular 3( 2 + 3z ) 2 3
  • 75. Vamos calcular 3( 2 + 3z ) = (2 + 3z ).(2 + 3z ) 2 3 2 2 2
  • 76. Vamos calcular 3( 2 + 3z ) = (2 + 3z ).(2 + 3z ) 2 3 2 2 2 ( )( = 2 + 3 z 2 . 4 + 12 z 2 + 9 z 4 )
  • 77. Vamos calcular 3( 2 + 3z ) = (2 + 3z ).(2 + 3z ) 2 3 2 2 2 ( )( = 2 + 3 z 2 . 4 + 12 z 2 + 9 z 4 ) = 8 + 24 z + 18 z + 12 z + 36 z + 27 z 2 4 2 4 6
  • 78. Vamos calcular 3( 2 + 3z ) = (2 + 3z ).(2 + 3z ) 2 3 2 2 2 ( )( = 2 + 3 z 2 . 4 + 12 z 2 + 9 z 4 ) = 8 + 24 z + 18 z + 12 z + 36 z + 27 z 2 4 2 4 6 = 8 + 36 z + 54 z + 27 z 2 4 6
  • 79. Cubo da diferença de dois termos( a − b) 3Termo a Termo b
  • 80. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2Notável Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) a 2 −b 2 Cubo da soma ( a +b ) 2 a 3 +3a 2b +3ab 2 +b 3 Cubo da diferença ( a −b ) 3
  • 81. Cubo da diferença de dois termos( a − b) 3 = ( a −b ).( a −b ) 2
  • 82. Cubo da diferença de dois termos( a − b) 3 = ( a −b ).( a −b ) 2 ( = ( a − b ) . a − 2ab + b 2 2 ) = a − 2a b + ab − a b + 2ab − b 3 2 2 2 2 3 = a − 3a b + 3ab − b 3 2 2 3
  • 83. Quadrado da soma ( a +b ) 2 a 2 + 2ab +b 2Produto Quadrado da diferença ( a −b ) 2 a 2 − 2ab +b 2Notável Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) a 2 −b 2 Cubo da soma ( a +b ) 2 a 3 +3a 2b +3ab 2 +b 3 Cubo da diferença ( a −b ) 3 a 3 −3a 2b +3ab 2 −b 3
  • 84. Vamos calcular 1( x − 2) 3
  • 85. Vamos calcular 1( x − 2) 3 = ( x − 2 ).( x − 2 ) 2
  • 86. Vamos calcular 1( x − 2) 3 = ( x − 2 ).( x − 2 ) 2 ( = ( x − 2). x − 4 x + 4 2 )
  • 87. Vamos calcular 1( x − 2) 3 = ( x − 2 ).( x − 2 ) 2 ( = ( x − 2). x − 4 x + 4 2 ) = x − 4 x + 4 x − 2 x + 8x − 8 3 2 2
  • 88. Vamos calcular 1( x − 2) 3 = ( x − 2 ).( x − 2 ) 2 ( = ( x − 2). x − 4 x + 4 2 ) = x − 4 x + 4 x − 2 x + 8x − 8 3 2 2 = x − 6 x + 12 x − 8 3 2
  • 89. Vamos calcular 2( ax − y ) 3
  • 90. Vamos calcular 2( ax − y ) 3 = ( ax − y ) .( ax − y ) 2
  • 91. Vamos calcular 2( ax − y ) 3 = ( ax − y ) .( ax − y ) 2 ( = ( ax − y ). a 2 x 2 − 2axy + y 2 )
  • 92. Vamos calcular 2( ax − y ) 3 = ( ax − y ) .( ax − y ) 2 ( = ( ax − y ). a 2 x 2 − 2axy + y 2 ) = a x − 2a x y + axy − a x y + 2axy − y 3 3 2 2 2 2 2 2 3
  • 93. Vamos calcular 2( ax − y ) 3 = ( ax − y ) .( ax − y ) 2 ( = ( ax − y ). a 2 x 2 − 2axy + y 2 ) = a x − 2a x y + axy − a x y + 2axy − y 3 3 2 2 2 2 2 2 3 = a 3 x 3 − 3a 2 x 2 y + 3axy 2 − y 3
  • 94. Vamos calcular 3(2x − y ) 2 3
  • 95. Vamos calcular 3(2x − y ) 2 3 ( )( = 2x − y . 2x − y 2 ) 2 2
  • 96. Vamos calcular 3(2x − y ) 2 3 ( )( = 2x − y . 2x − y 2 ) 2 2 ( )( = 2 x − y 2 . 4 x 2 − 4 xy 2 + y 4 )
  • 97. Vamos calcular 3(2x − y ) 2 3 ( = 2x − y . 2x − y 2 )( ) 2 2 ( )( = 2 x − y 2 . 4 x 2 − 4 xy 2 + y 4 ) = 8 x − 8 x y + 2 xy − 4 x y + 4 xy − y 3 2 2 4 2 2 4 6
  • 98. Vamos calcular 3(2x − y ) 2 3 ( = 2x − y . 2x − y 2 )( 2 2 ) ( )( = 2 x − y 2 . 4 x 2 − 4 xy 2 + y 4 ) = 8 x − 8 x y + 2 xy − 4 x y + 4 xy − y 3 2 2 4 2 2 4 6 = 8 x − 12 x y + 6 xy − y 3 2 2 4 6
  • 99. Resumindo… ( a +b ) 2 = a 2 + 2ab +b 2 Quadrado de um binômio ( a −b ) 2 = a 2 − 2ab +b 2ProdutoNotável Produto da soma pela diferença ( a +b )( a −b ) = a 2 −b 2 ( a +b ) 3 = a 3 +3a 2b +3ab 2 +b 3 Cubo de um binômio ( a −b ) 3 = a 3 −3a 2b +3ab 2 −b 3
  • 100. Bibliografia Tempo de Matemática, 7a série; NAME, Miguel Assis. 1996, Editora do Brasil S/A, São Paulo. Páginas pesquisadas 69 a 78. Matemática e Realidade, 8o ano; IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. 2009, 6a edição, Atual Editora, São Paulo. Páginas pesquisadas 186 a 194.