A. Attou RMG-FOC- MSAP
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Keywords: PMSM, field oriented control, sliding mode control.

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A. Attou RMG-FOC- MSAP Document Transcript

  • 1. REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIREMINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE DJILLALI LIABES DE SIDI BEL-ABBES Faculté des Sciences de lIngénieur Département dÉlectrotechnique Projet de Fin d’Etude présenté par : M. ATTOU Amine Pour lobtention du diplôme de : Master en Électrotechnique Parcours : Commande des Systèmes Electriques Intitulé du mémoire : Commande par mode glissant de la machine synchrone à aimants permanents Présenté devant le jury composé de : Dr : M. ABID MCA UDL Sidi bel - Abbés Président Dr : A. MASSOUM MCA UDL Sidi bel - Abbés Encadreur Dr : A. BENTAALLAH MCB UDL Sidi bel - Abbés Examinateur Dr : A. AYAD MCB UDL Sidi bel - Abbés Examinateur Soutenue le : 27 Juin 2011
  • 2. RemerciementsJ e souhaite tout particulièrement exprimer ma gratitude à mon encadreur, Dr A.MASSOUM, Maître de conférences (A) à l’université Djillali Liabes, pour la confiance quil ma témoignée en maccueillant, pour m’avoir offert un sujet aussi riche et passionnant, pour son suivi permanent et ses conseils judicieux. Merci surtout de m’avoir accompagné malgré votre emploi du temps assez chargés.Je remercie Monsieur ABID, Maître de conférences (A) à l’université DjillaliLiabes, pour lintérêt quil a manifesté à mon travail en acceptant de lejuger et de présider le jury de soutenance. Je remercie égalementMonsieur BENTAALLAH et Monsieur AYAD, Maîtres de conférences (B) àl’université Djillali Liabes d’avoir accepté la mission de m’examiner et departiciper à ma soutenance.Je remercie tous les enseignants qui ont participé à notre formation ettoutes les personnes qui, de près ou de loin mon apportés leur soutien.
  • 3. SOMMAIRE
  • 4. SOMMAIREAbréviations et notations ……………………………………………………………………………………………………………………………….……. iIntroduction générale …………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1 Chapitre 01 Généralités sur la machine synchrone à aimants permanentsI.1 Introduction …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….3I.2 Présentation de la machine synchrone à aimants permanents …………………………………………………………… 3I.2.1 Structure des inducteurs des machines à aimants………………………………………………………………………………...5 I.2.1.a Structure sans pièce polaire …………………………………………………………………………………………………………..5 Aimantation radial Aimantation tangentielle I .2.1.b Structure avec pièce polaire……………………………………………………………………………….…………….…………… 5 Aimantation tangentielle Aimantation radial I.2.2 Propriétés diamant permanent ………………………………………………………………………………………………………….……6 I.2.3 Choix d’aimants permanents utilisés pour la MSAP ……………………………………………………………………….….7I.3 Avantage des machines synchrones à aimants ………………………………………………………………………….……………… 8I.4 Domaine d’application…………………………………………………………………………………………………………………………………….…… 9I.5 Conclusion ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…… 9 Chapitre 02 Modélisation de l’ensemble Convertisseurs-MSAP II.1 Introduction.………………………………………………………………………………………………………………………………………………………... 10II.2 Hypothèses simplificatrices. …………………………………………………………………………………………………………………………. 10II .3 Modélisation de la MSAP ………………………………………………………………………………………………………………………………… 10 II.3.1 Mise en équation de la MSAP en triphasé (modèle en abc) ……………………………………………………… 10 II.3.1.a Équation électrique ……………………………………………………………………………………………………………………… 10 II.3.1.b Équation électromagnétique ……………………………………………………………….…………………………………… 12 II.3.1.c Équation mécanique…………………………………………………………………………………………………………….………… 12 II.3.1.d La puissance absorbée………………………………….………………………………………………………………….…………… 12 II.3.2 Mise en équation de la MSAP en diphasé (modèle vectoriel) …………………………………….……………. 13 II.3.2.1 principe de la transformation de Park (composantes d-q) …………………………………………….. 13 II.3.2.2 principe de la transformation de CONCORDIA……………………………………………………………………… 14UDL – Sidi bel Abbés - 2011 i
  • 5. II.3.2.3 Passage du repère (d q) au repère (   ) …………………………………………………………….………..……. 15 II.3.3 Modélisation de la MSAP dans le repère de PARK ………………………………………………………………………… 15 II.3.3.a Équation électrique ………………………………………………………………………………………………………………………. 15 II.3.3.b Équation électromagnétique ……………………………………………………………………………………….……………. 16 II.3.3.c Équation mécanique ……………………………………………………………………………………………………..……..………… 16 II.3.4 Mise sous forme d’équation d’état ………………………………………………………………………………………….………… 16II.4 Modélisation de convertisseur …………………………………………………………………………………….……………………….………… 17 II.4.1 Modélisation du redresseur ………………………………………………………………………………………………………..…..……… 18 II.4.2 Modélisation du filtre………………………………………………………………………………….………………………………..…..……… 18 II.4.3 Modélisation de londuleur………………………………………………………………………………………………………………..……… 19 II.4.3.1 Définition de l’onduleur de tension …………………………………………………………………………………….…… 19 II.4.3.2 Modélisation de l’onduleur de tension……………………………………………………………………………..……… 19 II.4.3.3 Commande de l’onduleur ………………………………………………………………………………………………..……….…… 20 a) Principe de la commande MLI………………………………………………………………………………………...….……… 20 b) Caractéristique de la MLI ………………………………………………………………………………………………...………… 20II.5 Simulation numérique ………………………………………………………………………………………………………………………....…….………22 II.5.1 résultats de simulations ……………………………………………………………………………………………………….……………….. 23 II.5 .2 Interprétation des résultats ……………………………………………………………………………………………………..…………… 24II.6 Conclusion……………………………………………………………………………………………………………….………………………..………..……………24 Chapitre 03 Commande vectorielle de la MSAPIII.1 Introduction. …………………………………………………………………………………………………………………………………………….….……… 25III.2 Principe de la commande vectorielle .………………………………………………………………………………………….…….………25III.3 Commande vectorielle direct par compensation ……………………………………………………………………….…….…… 26 III.3.1 Techniques de découplage………………………………………………………………………………………………………….….……… 26 III.3.2 Découplage par compensation.………………………………………………………………………………………………….…….……27III.4 Détermination des régulateurs ………………………………………………………………………………………………………….…….…… 29 III.4.1 Description du système global.…………………………………………………………………………………………….……….………29 III.4.2 Calcul des régulateurs. ……………………………………………………………………………………………………………….….……… 30 III.4.3 Dimensionnement des régulateurs …………………………………………………………………………………………..….……… 31 a- Régulateur du courant « Iq » ………………………………………………………………………………………………….….……… 32 b- Régulateur du courant « Id » ……………………………………………………………………………………………….….………… 33 c- Régulation de vitesse ………………………………………………………………………………………………………….….…………… 34III.5 Limitation des courants……………………………………………………………………………………………………………………….……….……35III.6 Schéma global de simulation……………………………………………………………………………………………………………….………… 36 III.6.1 Résultats de simulation …………………………………………………………………………………………………………….…………… 37III.7 Interprétation des résultats ……………………………………………………………………………………………………………….…………. 37III.8 CONCLUSION……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………… 38UDL – Sidi bel Abbés - 2011 ii
  • 6. Chapitre 04 Commande par mode glissant de la MSAPIV.1 Introduction……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 39IV.2 Généralités sur la théorie du contrôle par mode glissement ………………………………………………………………. 39IV.3 L’objectif de la commande par mode glissant……………………………………………………………………….………………….40IV.4 Principe de la commande à structure variable ……………………………………………………………………….………………. 40 IV.4 .1 Définition des systèmes non linéaires ………………………………………………………………………………………………. 40 IV.4 .2 Formulation des expressions générales de la commande par mode de glissement ………… 42 IV.4 .3 Condition pour l’existence du mode de glissant ……………………………………………………………………………. 42IV.5 Les modes de la trajectoire dans le plan de phase ………………………………………………………………………………. 43IV.6 Conception de la commande par mode glissant………………………………………………………………………………………. 43 IV.6.a Choix de la surface de glissement……………………………………………………………………………………………………….. 44 IV.6.b Conditions de convergence…………………………………………………………………………………………………………………….. 45 IV.6.b.1 Fonction directe de commutation………………………………………………………………………………………… 45 IV.6.b.2 Fonction de Lyapunov……………………………………………………………………………………………………………….. 46 IV.6.c Calcul la loi de commande…………………………………………………………………………………………………………………. 46IV.7 Définition des grandeurs de commande……………………………………………………………………………………………………… 47IV.8 Expression analytique de la commande………………………………………………………………………………………………………..48IV.9 Phénomène de chattering ………………………………………………………………………………………………………………………….……. 49IV.10 Elimination du phénomène de chattering ……………………………………………………………………………………………. 50 IV.10.1 Commande discontinue de base ……………………………………………………………………………………………………….. 50 IV.10.2 Commande avec un seuil………………………………………………………………………………………………………………………. 51 IV.10.3 Commande adoucie ……………………………………………………………………………………………………………………………….. 52 IV.10.4 Commande continue avec composante intégrale ………………………………………………………………………..53 IV.10.5 Utilisation d’une surface augmentée ……………………………………………………………………………………………… 54IV.11 Application de la commande par mode de glissement à la MSAP ………………………………………………….. 54 IV.11.a Stratégie de réglage à trois surfaces ……………………………………………………………………………………….……… 54 IV.11.a.1 Réglage de la vitesse .……………………………………………………………………………………………..………….……….55 IV.11.a.2 Réglage du courant direct ………………………………………………………………………………………………..……….56 IV.11.a.3 Réglage du courant quadratique ……………………………………………………………………………………………… 57 IV.11.b Résultat de simulation ………………………………………………………………………………………………………………………… 58 IV.11.b.1 Test de robustesse ……………………………………………………………………………………………………………….…….. 59 a- Test de robustesse par rapport à la variation de la résistance statorique ….………… 60 b- Test de robustesse par rapport à la variation de moment d’inertie J……………………….60 c- Interprétation ……………………………………………………………………………………………………………………………...61 IV.11.b.2 Conclusion ……………………………………………………………………………………………………………………………………...61Conclusion générale …………………………………………………………………………………………………………………………………………….…….. 62ANNEXE …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..… 63Bibliographie …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 64UDL – Sidi bel Abbés - 2011 iii
  • 7. NOTATIONS ET ABREVIATIONS
  • 8. NOTATIONS ET ABREVIATIONSMSAP : machine synchrone à aimants permanents.MCC : machine à courant continu.(abc) : modèle réelle de la machine triphasé.(d-q) : modèle de Park.MLI : modulation de largeur d’impulsion.CSV : Commande à structure variable.φ ,φ f sf : flux engendré par les aimants.Rs : la résistance statorique.Xa,b,c : composante réel dans le repère abc.Ia,b,c : courants suivant les phases triphasées.Xd : composante longitudinale suivant l’axe d.Xq : composante transversale suivant l’axe q.Id : courant de l’axe d.Iq : courant de l’axe q.ed et eq : termes de découplages.θ : Angle électrique. : La pulsation électrique.p : nombre de paires de pôles. r : Vitesse de rotation mécanique.Cem : Couple électromagnétique.Cr : Couple résistant.J : Moment d’inertie.f : Coefficient de frottement. X , X ref : Valeur de référence.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 I
  • 9. INTRODUCTION GENERALE
  • 10. Introduction générale INTRODUCTION GENERALE Durant ces dernières années, les composants de l’électronique de puissance ont subi une grandeévolution avec l’apparition de composants interrupteurs rapides, ainsi que le développement destechniques de commande. Cette apparition à permis de concevoir des convertisseurs statiques capablesd’alimenter en amplitude et en fréquence variable les moteurs à courant alternatifs. Le collecteurmécanique de la machine à courant continu à été remplacé par des inducteurs de type aimantspermanents dans le cas ou les machines sont à courant alternatives qui permis de supprimer lescontacts glissants. Le développement en parallèle de lélectronique de puissance et des aimantspermanents ont conduit à la conception dun nouveau type de machine synchrone excitée par desaimants permanents d’où le nom : Machine Synchrone à Aimants Permanents (MSAP). Aujourd’hui, les moteurs synchrones à aimants permanents sont recommandés dans le mondeindustriel. Ceci est dû au fait qu’ils sont fiables, le moteur synchrone à aimants permanents à unevitesse de rotation proportionnelle à la fréquence d’alimentation et, il est moins encombrants que lesmoteurs à courant continu grâce à l’élimination de la source d’excitation. Ainsi, leur construction estplus simple puisque il n’appartient pas un collecteur mécanique qui entraîne des inconvénients majeurstels que la limitation de puissance, l’usure des balais et les pertes rotoriques. Par conséquent, ceciaugmente leur durée de vie et évite un entretien permanent. La machine synchrone à aimants permanents est connue par sa robustesse qui permet de créer descommandes de vitesse et de couple avec précision et des performances dynamiques très intéressantes(actionneurs de robotiques, servomoteurs, entrainement à vitesse variable…etc.). Mais sa commandeest plus compliqué que celle d’une machine à courant continue ; car le système est non linéaire et ilest très difficile d’obtenir le découplage entre le courant induit et le courant inducteur. Afin defaciliter notre étude on doit modéliser notre machine suivant les axes d-q donc, on abordera le passagedu repère triphasé au repère biphasé par le biais de transformation de Park et on établira les équationsélectriques et mécaniques de la machine synchrone à aimants permanents. La commande vectorielle « field oriented control » permet à la machine synchrone à aimantspermanents davoir une dynamique proche de celle de la machine à courant continu qui concerne lalinéarité et le découplage. Cependant, cette structure de commande nécessite que les paramètres de la machine soient précis,ceci exige une bonne identification des paramètres. En conséquence, le recours à des algorithmes decommande robuste, pour maintenir un niveau de découplage et de performance acceptable estnécessaire.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 1
  • 11. Introduction générale La commande à structure variable qui par sa nature non linéaire, possède cette robustesse. Leréglage par mode de glissement est fondamentalement une méthode qui force la réponse à glisser lelong dune trajectoire prédéfinie. Cependant, cette technique de commande à un inconvénient decommutation aux hautes fréquences (effet de chattering). Dans notre travail, nous nous intéressons à l’étude des machines synchrones à aimants permanentstriphasé à pôles saillant alimentées par un onduleur commandé par la technique modulation de largeurd’impulsions. Ce mémoire sarticule en quatre chapitres : Dans le premier chapitre, nous commençons par les caractéristiques générales des principauxmatériaux pour aimants permanents, puis nous présentons les différentes structures envisageables desinducteurs des MSAP. A la fin du chapitre, nous citons les principaux avantages des Machines synchronesà aimants permanents et leurs domaines d’application. Le second chapitre concerne la modélisation de la machine synchrone à aimants permanents dans lerepère (abc), ainsi que dans le repère de Park (d-q) et on termine le chapitre par une étude del’association Machine-onduleur. Le troisième chapitre décrit le principe de la commande vectorielle de la MSAP pour lasservissementde vitesse. La vitesse est réglée par un régulateur proportionnel intégral (PI). Lintégration dun régulateur par mode glissant, constitue lobjet du quatrième chapitre. Pour cela,nous allons introduire dans un premier temps les notions générales sur la commande à structurevariable, on présentant les principes théoriques de cette commande où le système est contraint àsuivre la référence d’attractivité sans tenir compte du modèle de la machine Nous terminerons par une conclusion générale en proposant des perspectives.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 2
  • 12. CHAPITRE IGénéralités sur la machine synchrone à aimants permanents
  • 13. CHAPITRE : I Généralités sur la machine synchrone à aimants permanents I.1 INTRODUCTION Pendant plusieurs années, l’industrie a utilisé le moteur à courant continu (CC) offrant le Principalavantage d’être facilement commandable grâce au découplage naturel du flux et du couple. Cependantla présence du système balais collecteur a toujours été un grand inconvénient du moteur parmi d’autresqui limitant de plus en plus son utilisation [3][14]. Cependant, la fragilité du système balai collecteur a toujours été un inconvénient de la M.C.C, cequi limite la puissance et la vitesse maximale et présente des difficultés de maintenance et desinterruptions de fonctionnement. C’est pour cette raison qu’on a eu intérêt à utiliser des moteursélectriques à courant alternatif afin d’écarter cet inconvénient. Parmi les moteurs à courant alternatif utilisés dans les entrainements à vitesse variable, lemoteur synchrone à aimants permanents reste un bon candidat. Son choix devient attractif etconcurrent de celui des moteurs asynchrones grâce à l’évolution des aimants permanents qu’ils soient àbase d’alliage ou à terre rare. Cela leur à permis d’être utilisés comme inducteur dans les moteurssynchrones offrant ainsi, par rapport aux autres type de moteur, beaucoup davantage, entre autres,une faible inertie et un couple massique élevé [15][25]. I.2 PRESENTATION DE LA MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS PERMANENTS [6][15] La machine synchrone à aimants permanents est un dispositif électromécanique qui comprend unstator et un rotor. Fig. I.1 : MSAP utilisée pour les validations expérimentales.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 3
  • 14. CHAPITRE : I Généralités sur la machine synchrone à aimants permanents Fig. I.2.a: stator d’une machine synchrone Fig. I.2.b: Photographie d’un rotor MSAP  Le stator est une partie fixe induit où se trouvent les enroulements liés à la source, il estsemblable au stator de toutes les machines électriques triphasées, il est constitué d’un empilage detôle magnétique qui contient des encoches dans lesquelles sont logés trois enroulements identiques 2décalés entre eux de . 3 Concernant son fonctionnent, il est basé sur le principe de rotation du champ magnétique ensynchronisme avec le rotor (vitesse de rotation identique entre le rotor et le champ tournantstatorique) ; d’où le nom des machines synchrone à aimants permanents (MSAP). La vitesse de rotation du champ tournant est proportionnelle au nombre de pôles de la machine et àla pulsation des courants statoriques. On note [17] :  r (1.1) pAvec :  r : La vitesse de rotation de la machine (rad/s)  : La pulsation des courants statoriques (rad/s). p: Le nombre de paire de pôles de la machine.  Le rotor est une partie mobile « inducteur » qui est monté sur l’axe de rotation, c’est unnoyau de fer sur lequel sont disposées des aimants permanents qui servent à générer uneexcitation permanente. Le rotor de la MSAP est généralement de deux types [15] :  Rotor sans pièces polaires, donc à entrefer constante, dans lequel les aimants sont orientés soit perpendiculairement à l’entrefer (aimantation radial) figure (I.3), soit parallèlement (aimantation tangentielle) figure (I.4).  Rotor possédant des pièces polaires, l’aimantation soit tangentielle figure (I.5) soit radiale figure (I.6) .Dans ce type de machine, l’inducteur est à pôles saillants.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 4
  • 15. CHAPITRE : I Généralités sur la machine synchrone à aimants permanents I.2.1 STRUCTURE DES INDUCTEURS DES MACHINES A AIMANTS [29] I.2.1.a Structure sans pièce polaire (SPP)  Aimantation radiale Allure d’une ligne de champ Stator (encoches et Air enroulements triphasés) Stator Cale (Circuit magnétique) amagnétique Rotor (Circuit amagnétique) Aimant permanent Fig. I.3 : Machine synchrone à aimants (P=2), sans pièce polaire, Aimantation radiale. Les aimants de types alnico ou ferrite sont bien adaptés à cette structure, l’entrefer « e » peut êtreconsidéré comme constante (machine à pôles lisses), le flux dans celui-ci est faible, cette structure estessentiellement utilisée dans les machines synchrones de petite puissance.  Aimantation tangentielle Allure d’une ligne de champ Air Cale amagnétique Stator (Circuit magnétique) Aimant permanent Rotor (Circuit amagnétique) Fig. I.4 : Machine synchrone à aimants (P=2), sans pièce polaire, Aimantation tangentielle. En utilisation des aimants à aimantation tangentielle, on peut réaliser des machines à inductionsinusoïdale. La machine est à pôles lisses, l’induction est faible dans l’entrefer et le couple massiquereste faible. I.2.1.b Structure avec pièce polaire (APP)  Aimantation tangentielleUDL – Sidi bel Abbés - 2011 5
  • 16. CHAPITRE : I Généralités sur la machine synchrone à aimants permanents Allure d’une ligne De champ Air Stator (Circuit magnétique) Zone de concentration de flux (pièce polaires magnétiques) Fig. I.5 : Machine synchrone à aimants (P=4), avec pièce polaire, Aimantation tangentielle L’aimant est à base de terre-rare, et les pièces polaire permettent de concentrer le flux, on obtientainsi une induction dans l’entrefer supérieure à celle de l’aimant, ce qui accroit le couple massique.Dans cette configuration, l’entrefer est variable em  eM (donc la perméance du circuit magnétique, vudu stator dépend de la position du rotor (machine à pôles saillants).  Aimantation radiale Stator (encoches et Air enroulements triphasés) Pièce polaire Stator (Circuit magnétique) Rotor (Circuit magnétique) Aimant permanent Fig. I.6 : Machine synchrone à aimants (P=2), avec pièce polaire, Aimantation radiale. Les pièces polaires sont sur la périphérie des aimants. I.2.2 PROPRIETES D’AIMANT PERMANENT [18][30] Les aimants permanents utilisés dans les machines synchrone ont pour fonction principale la créationdu flux inducteur. Ils doivent permettre l’obtention d’une puissance massique élevée, ce qui réduit levolume de la machine. D’autre part une faible sensibilité à la température est égalementindispensable, ce qui limite la désaimantation en fonctionnement normal. Les aimants sont principalement caractérisés par leurs cycles d’hystérésis et plus particulièrementpar la courbe de désaimantation du plan B-H figure (I.7).UDL – Sidi bel Abbés - 2011 6
  • 17. CHAPITRE : I Généralités sur la machine synchrone à aimants permanents λm : droite de charge Fig. I.7 : Courbe de désaimantation d’un matériau pour aimant permanent Cette courbe donne :  l’induction rémanente Br, c’est-à-dire l’induction résiduelle en circuit fermé ; c’est une indication de la puissance potentielle de l’aimant.  le champ coercitif de l’induction HcB qui est le champ démagnétisant annulant l’induction ; plus sa valeur est élevée et plus l’aimant est stable.  le produit d’énergie volumique (BH)max , qui définit la valeur énergétique de l’aimant par unité de volume.  les valeurs Hm et Bm du point de fonctionnement optimal M correspondant (BH)max. L’aimant permanent idéal pour la réalisation des inducteurs de machines synchrones doit présenterune caractéristique B(H) rectangulaire, avec des valeurs de Br et Hc aussi élevées que possible. B Br Hc H Fig. I.8 : Caractéristique B(H) de l’aimant permanent idéal I.2.3 CHOIX D’AIMANTS PERMANENTS UTILISES POUR LA MSAP [9][29] Le choix des aimants permanents est essentiel puisqu’il intervient pour beaucoup dans le couplemassique d’un actionneur :  Les alnico sont des alliages à base de fer, d’aluminium et de nickel, avec des additions de cobalt, cuivre ou de titane.  Les ferrites sont des composés d’oxyde de fer, de baryum et de strontium.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 7
  • 18. CHAPITRE : I Généralités sur la machine synchrone à aimants permanents  Les terres rares tels que les Samarium-Cobalt sont beaucoup plus performants et autorisent une température de fonctionnement élevée (jusqu’à 300°C), mais ils sont très coûteux en raison notamment de la présence du cobalt dans leur composition. BT Terres rares 1.25 1.2 Alnico 0.35 Ferrite 1000 250 150 H KA/m Fig. I.9 : Caractéristiques des aimants permanents Les alliages métaux de transitions-terres rares sont à l’heure actuelle les aimants permanents lesplus performants qui entrent dans la composition des inducteurs des machines synchrones. La version laplus courante est l’alliage samarium–cobalt Sm2 Co17 , qui est quasiment amagnétiques (la perméabilitérelative vaut environ : µr =1.07) et qui est caractérisé par une induction rémanente et un champcoercitif élevés (Br =1.25 T,Hc = 1000KA/m).la densité d’énergie emmagasinée dans l’aimant est àtaille égale trois fois plus importante que pour les alnico , et six fois plus importante que pour lesferrites. Le choix des aimants permanents dépend des facteurs suivants [18] :  Performance du moteur.  Poids du moteur.  Dimension du moteur.  Rendement du moteur.  Facteur économique. I.3 AVANTAGE DES MACHINES SYNCHRONES A AIMANTS PERMANENTS [1][18][19] Lors de construction des machines synchrones à aimants permanents (MSAP), l’utilisation des aimantspermanents a la place des bobinages d’excitation offrent beaucoup d’avantage :  suppression de l’alimentation du rotor (absence du contact bagues balais).  Moins des pertes de cuivre, les pertes viennent surtout du stator.  Facteur de puissance et rendement du moteur est améliorées.  Une faible inertie et un couple massique élevé.  Une meilleure performance dynamique.  Construction et maintenance plus simple.  pas d’échauffement au rotor, et absence des pertes joules.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 8
  • 19. CHAPITRE : I Généralités sur la machine synchrone à aimants permanents I.4 DOMAINE D’APPLICATION [15] La machine synchrone à aimants permanents est utilisée dans une large gamme de puissance, allantde centaines de Watts (servomoteur) à plusieurs méga Watts (système de propulsion des navires), dansdes applications aussi diverse que le positionnement, la synchronisation l’entrainement à vitessevariable, et la traction : - il fonctionne comme compensateur synchrone. - il est utilisé pour les entrainements qui nécessitent une vitesse de rotation constante, tels que lesgrands ventilateurs, les compresseurs et les pompes centrifuges, et grâce au développement del’électronique de puissance, l’association machine à aimants convertisseur de puissance a trouvé denombreuses applications dans les domaines très divers tels que la robotique, la technologie de l’espaceet dans d’autres applications plus particulières (domestique,...). I.5 CONCLUSION Une simple comparaison des machines synchrones à aimants permanents avec les autres types demachines laisse deviner un avenir brillant pour la machine à aimants surtout avec lapparition desaimants très performants. On a présenté dans ce chapitre la machine synchrone à aimants permanents, sa constitutionfondamentale (partie induit et partie inducteur) et puisque nous pouvons distinguer les différents typesde machines synchrones à aimants permanents par la structure de leur rotor, on a analysée cesstructures en présence de pièce polaire et sans pièce polaire avec aimantation radiale et tangentielle.Ainsi on a mis en évidences les avantages, et les domaines d’application de la machine synchrone àaimants permanents. ..UDL – Sidi bel Abbés - 2011 9
  • 20. CHAPITRE IIModélisation de l’ensemble convertisseurs-MSAP
  • 21. Chapitre : II Modélisation de l’ensemble convertisseurs-MSAP II .1 INTRODUCTION L’étude du comportement d’un moteur électrique est une tache difficile et qui nécessite avant toutun modèle mathématique. La mise sous forme d’un modèle mathématique d’une MSAP permetd’observer et d’analyse les différentes évolutions des grandeurs électriques de la MSAP d’une part etl’élaboration des lois de commande d’autre part [15][17]. Pour commander une machine électrique donnée, il est nécessaire d’utiliser son modèlemathématique en tenant compte de certaines hypothèses simplificatrices. Du point de vuemathématique, la machine synchrone présente un système complexe multi variable et non linéaire. Lapproche actuelle de modélisation des machines électriques est basée sur la théorie des deux axesqui transforme un système triphasé en un système biphasé équivalent, ce qui réduit la complexité dumodèle et permet létude des régimes transitoires. Dans ce chapitre, on présentera la modélisation d’une machine synchrone à aimants permanents sansamortisseur associée à un convertisseur statique (un onduleur à MLI) et en termine avec les résultats desimulation de la machine-onduleur. II.2 HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES [1][14][15] Avant détablir le modèle mathématique nous devons nous imposer quelques hypothèses :  L’entrefer est d’épaisseur uniforme, et d’encochage négligeable.  La saturation du circuit magnétique, l’hystérésis et les courants de Foucault sont négligeables.  Les résistances des enroulements ne varient pas avec la température et l’effet de peau est négligeable.  Le moteur possède une armature symétrique non saturée, les inductances propre et mutuelle sont indépendants des courants qui circulent dans les différents enroulements.  La distribution des forces électromotrices, le long de l’entrefer, est supposée sinusoïdale.  Les pertes fer et l’effet amortisseur sont négligés.  La perméabilité des aimants est considérée comme voisine de celle de l’air. II .3 MODELISATION DE LA MSAP [17] II.3.1 MISE EN EQUATION DE LA MSAP EN TRIPHASE (MODELE EN ABC) II.3.1.a Equation électrique Les tensions, flux et courants statoriques triphasés, sont écrits avec les notations vectoriellessuivantes respectivement : vs ,  φ s] et  i s . La figure (II.1) donne la représentation des enroulements pour une machine synchrone triphasée àaimants permanents :UDL - Sidi bel Abbes - 2011 10
  • 22. Chapitre : II Modélisation de l’ensemble convertisseurs-MSAP Fig. II.1 : Représentation d’une machine synchrone à aimants permanents dans le repère triphasé A partir de la figure, nous écrivons les équations de la machine synchrone dans le repère fixe austator, en notation matricielle : [15][17] d φs [ vs ] = [ Rs ][ is ] + dt (2.1) [φ s ]  [Ls ][is ]  [φ sf ] (2.2.a)Avec: [vs ] = [va vb vc ]T : Vecteur tensions statoriques [is ]  [ia ib ic ]T : Vecteur courants statoriques [ s ]  [φ a φb φ c ]T : Vecteur flux statoriques  Rs 0 0 [ Rs ] =  0 Rs 0  : Matrice résistance du stator   0  0 Rs   La Mab Mac  [ Lss ] =  Mab Lb Mbc : Matrice inductance du stator    Mac Mbc Lc      cos( )    [φ f ] = φ sf cos(  2 ) : Vecteur flux engendré par l’aimant (2.2.b)  3   4  cos(  )  3 UDL - Sidi bel Abbes - 2011 11
  • 23. Chapitre : II Modélisation de l’ensemble convertisseurs-MSAPOù : φ sf : Valeur crête (constante) du flux crée par l’aimant à travers l’enroulement statorique.  : Angle entre laxe d et laxe de référence dans le système triphasé défini par :   (t) =   d ( ) (2.3) 0Avec   p  r (2.4) : La pulsation électrique. p : Le nombre de paire de pôles de la machine ;r : La vitesse de rotation de la machine (rotor). Le modèle électrique doit être complété par les expressions du couple électromagnétique et de lavitesse, décrivant ainsi le mode mécanique. II.3.1.b Equation électromagnétique La connaissance du couple électromagnétique de la machine est essentielle pour l’étude de lamachine et sa commande. d[ φ sf ]  cem  [is ]T  1  d[ Lss ] [is ]  1   (2.5) 2 d 2 d   II.3.1.c Equation mécanique L’équation mécanique de la machine est donnée par : dr J  cem  cr  f  r dt (2.6)Avec : Cem : Couple électromagnétique délivré par le moteur. Cr: Couple résistant. f : Coefficient de frottement. J: Moment d’inerte du moteur. II.3.1.d La puissance absorbée La puissance absorbée par la machine synchrone à aimants permanents est donnée par l’équationsuivant : Pa  2    ns  cem (2.7) Pa : La puissance absorbée par le moteur en (w) ns : La vitesse du champ tournant en (trs/s)UDL - Sidi bel Abbes - 2011 12
  • 24. Chapitre : II Modélisation de l’ensemble convertisseurs-MSAP L’étude analytique du comportement des équations (2.1) et (2.2.a) est relativement laborieuse, vule grand nombre de coefficients variables. On utilise alors des transformations mathématiques quipermettent de décrire le comportement du moteur à l’aide d’équations différentielles à coefficientsconstants. L’une de ces transformations est la transformation de Park [17]. II.3.2 MISE EN EQUATION DE LA MSAP EN DIPHASE (MODELE VECTORIEL) II.3.2.1 principe de la transformation de Park [8][13][17] Le modèle diphasé de la MSAP seffectue par une transformation du repère triphasé réel en unrepère diphasé fictive, qui nest en fait quun changement de base sur les grandeurs physiques(tensions, flux, et courants), il conduit à des relations indépendantes de langle θ et à la réductiondordre des équations de la machine. La transformation la plus connue par les électrotechniciens estcelle de Park. Le repère (d,q) peut être fixé au stator, au rotor ou au champ tournant, Selon l’objectif del’application. La figure (II.2) présente la MSAP en modèle vectoriel (modèle de Park) : Le repère (oa) est fixe. Le repère (d,q) tourne avec la vitesse de synchronisme  r . Fig. II.2 : Schéma équivalent de la MSAP dans le repère (d,q) a) Passage direct : triphasé au diphasé L’équation qui traduit le passage du système triphasé au système biphasé (d,q) est donnée par : [ Xdqo]  p( )  [ Xabc]T (2.8)Avec : P(  ) : la matrice de passage direct de Park .  2π 4π   cosθ cos(θ ) cos(θ ) 2 3 3  P(  ) = =  2π 4π  (2.9) 3  sinθ  sin(θ )  sin(θ )  3 3   1 1 1    2 2 2  UDL - Sidi bel Abbes - 2011 13
  • 25. Chapitre : II Modélisation de l’ensemble convertisseurs-MSAPOù, X représente les variables considérées de la machine qui sont tensions, courants ou flux. [Vdqo]  p( )  [Vabc]T (2.10) [ Idqo]  p( )  [ Iabc]T (2.11) [dqo]  p( )  [abc]T (2.12) Xo : La composante homopolaire, ajoutée pour rendre la transformation réversible, elle est nullelorsque le système est en équilibre. B) Passage inverse : diphasé au triphasé La transformée de Park inverse est nécessaire pour revenir aux grandeurs triphasées, elle est définiepar : [X abc] = P(  )-1[X dqo] (2.13) Et la matrice de passage inverse de park P-1(  ) est donnée par :  1   cosθ - sinθ 2 2   P-1(  ) =  2π 2π 1  (2.14) 3 cos(θ  3 ) - sin(θ  3 ) 2  4π 4π 1  cos(θ  ) - sin(θ  )   3 3 2 II.3.2.2 principe de la transformation de CONCORDIA La transformation direct de CONCORDIA est déterminée par une matrice [c], elle correspond lesvecteurs des axes (a,b,c) aux vecteurs des axes ( ,  ,o ) ,elle est appliquée aux tensions, aux      courants, et aux flux, Vabc  , I abc  , abc  aux Vαβo , I αβo , αβo respectivement.Le vecteur X0 , représente la composante homopolaire. a) Passage direct : triphasé au diphasé Si on pose  = 0 dans les équations (2.9) et (2.14), les matrices de PARK deviennent les matrices deCONCORDIA :  X   Xa   X  = [c]  Xb  (2.15)      Xo   Xc Avec : X  , X  : représentent les vecteurs diphasés qui correspondent aux vecteurs Xa, Xb et Xc . [C] : la Matrice direct de CONCORDIA, donnée par (2.16) :UDL - Sidi bel Abbes - 2011 14
  • 26. Chapitre : II Modélisation de l’ensemble convertisseurs-MSAP  1 1   1   2 2  2   [C] =  0 3  3 (2.16) 3  2 2   1 1 1      2 2 2   B) Passage inverse : diphasé au triphasé Le passage inverse de la transformation de CONCORDIA est définit par les relations suivants :  Xa   X   Xb  = [c]-1  X  (2.17)      Xc   Xo  Avec : [c-1] : la Matrice inverse de CONCORDIA .  1  -1 2  1 0 2 [c ] =   (2.18) 3 - 1 3 1   2 2 2    1  3 1   2  2 2  On a choisi le coefficient pour les matrices de PARK et CONCORDIA afin de conserver la puissancependant le passage entre les deux référentiels. II.3.2.3 passage du repère ( d, q ) au repère (  ,  ) Le passage des composantes (  ,  ) aux composantes ( d, q ) est donné par une matrice de rotationexprimée par :  X   Xd   X  = [R]  Xq  (2.19)     Avec : cos   sin   [R] =  (2.20)  sin  cos    [R] : Matrice de passage ( d, q ) au (  ,  ) II.3.3 MODELISATION DE LA MSAP DANS LE REPERE DE PARK II.3.3.a Equations électriques Le modèle de la machine après la transformation de Park est donné par :  dφd  Vd  R S I d  - pωr φq dt  dφq (2.21) Vq  R S I q   pωr φd  dtUDL - Sidi bel Abbes - 2011 15
  • 27. Chapitre : II Modélisation de l’ensemble convertisseurs-MSAP D’après la relation (2.21), on a le couplage entre les axes « d » et « q » . Expressions des flux  φ d  Ld I d  φsf  (2.22) φ q  Lq I q Ld , Lq : Inductances d`axes directe et en quadrature. II.3.3.B Equation électromagnétique Le couple électromagnétique Ce dans le référentiel (d, q) est donné par l’expression suivante: Cem  p  [(Ld - Lq )Id  Iq   sf  Iq] (2.23) II.3.3.C Equations mécaniques Léquation mécanique développée par la machine est donnée par la relation suivante : dr J  f  r  cem  cr (2.24) dt J : Moment dinertie de la partie tournante (kg.m2). f : Coefficient de frottement visqueux (N.m.s/rad). cr : Couple résistant (N.m). r : Vitesse mécanique (rad/s). II.3.4 MISE SOUS FORME D’EQUATION D’ETAT Considérons les tensions (Vd,Vq) et le flux d’excitation sf comme grandeurs de commande, lescourants statoriques (Id, Iq) comme variables d’état. A partir des équations (2.21), (2.22), on peut écrirele système d’équations comme suit : [14][17] d[ X ]  [A][X] + [B][U] (2.25) dt 1   Rs Lq   0 0  Id    Ld p r  Id  Ld  Vd  d  Ld     0 0  Vq  1  (2.26) dt  Iq   p Ld   Rs   Iq        Lq  r Lq Lq     sf    0 0 p r  Lq Avec : d[ X ] : Vecteur de dynamique du système. dtUDL - Sidi bel Abbes - 2011 16
  • 28. Chapitre : II Modélisation de l’ensemble convertisseurs-MSAP [A] : matrice d’état. [ X ] : vecteur d’état (posons [ X ]  [ Id Iq ]T ) [B] : matrice d’entrée [U] : vecteur de commande (posons [U]  [ vd vq sf] ) T A partir de (2.23), (2.24) et (2.26), le modèle de le MSAP dans le repère de Park est schématisé parla figure (II.3) : r Fig. II.3 : Modèle de la machine dans le repère de Park. II.4 MODELISATION DE CONVERTISSEUR La machine synchrone à aimants permanents est un dispositif à vitesse variable, ou la fréquence destensions ou des courants d’alimentation est délivrée par un convertisseur statique et asservi à laposition du rotor. La structure du convertisseur statique qui alimente la machine est constituée essentiellement, dunpont redresseur (AC/DC) connecté au réseau, après redressement, la tension continue est filtrée pardes composants passifs « C » ou « LC », pour être finalement appliquée à l’onduleur, et l’onduleur quipermet d’alimenter la machine par un système de tension alternatif à fréquence variable. [13] Schéma de principe de l’association convertisseur –machine est donnée par la figure suivante :UDL - Sidi bel Abbes - 2011 17
  • 29. Chapitre : II Modélisation de l’ensemble convertisseurs-MSAP Fig. II.4 : Schéma de principe de l’association convertisseur –machine. II.4.1 MODELISATION DU REDRESSEUR Le redresseur est un convertisseur « alternatif/continu ». Il est représenté par la figure(II.5), La conversion d’énergie électrique permet de disposer une source de courant continu a partird’une source alternative. Fig. II.5 : Représentation de Redresseur à diodes. Ce redresseur comporte trois diodes (D1, D2, D3). cathode commune assurant l’allée du courant Id, ettrois diodes (D’1, D’2, D’3) a anode commune assurant le retour du courant Id . II.4.2 MODELISATION DU FILTRE Pour éliminer les hautes fréquences et pour diminuer les ondulations à la sortie du redresseur nousinsérons à l’entrée de l’onduleur un filtre « LC », celui-ci est schématisé par la figure (II.6). Fig. II.6 : Représentation d’un filtre “Lc”UDL - Sidi bel Abbes - 2011 18
  • 30. Chapitre : II Modélisation de l’ensemble convertisseurs-MSAP II.4.3 MODELISATION DE LONDULEUR L’onduleur de nos jours très largement utilisés dans les systèmes dentraînement industriels , Enpremier lieu, les progrès en matière de semi-conducteur ont permis la réalisation de convertisseursstatiques de plus en plus performants. En second lieu, lévolution des techniques numériques etcommandes. On distingue plusieurs types d’onduleurs :  Selon la source : — onduleurs de tension. — onduleurs de courant .  Selon le nombre de phases (monophasé, triphasé, etc.),  Selon le nombre de niveaux (2,3, etc.) [15]. II.4.3.1 Définition de l’onduleur de tension L’onduleur de tension assure la conversion de l’énergie continue vers l’alternatif (DC/AC). Cetteapplication est très répandue dans le monde de la conversion d’énergie électrique d’aujourd’hui.L’onduleur peut être utilisé à fréquence fixe, par exemple alimenter un système alternatif à partird’une batterie, ou à fréquence (MLI) variable pour la variation de vitesse des machines électriques. L’onduleur de tension à MLI permet d’imposer à la machine des ondes de tensions à amplitudes etfréquences variables à partir du réseau. Londuleur qui est connecté à la machine, est constitué de trois bras formé dinterrupteursélectroniques choisis essentiellement selon la puissance et la fréquence de travail, chaque bras comptedeux composants de puissance complémentaires munis de diode montée en anti-parallèle. Les diodes deroue libres assurent la continuité du courant dans la Machine une fois les interrupteurs sont ouverts[13]. II.4.3.2 Modélisation de l’onduleur de tension L’onduleur de tension alimente la MSAP peut être idéalement représenté selon la Figure (II.7): Fig. II.7 : Schéma de l’association MSAP-onduleur de tension. Ti et T’i avec i = (a, b, c) sont des transistors MOSFET. Si et S i sont les commandes logiques qui leur sont associées telle que :  si Si = 1, l’interrupteur Ti est passant et T’i est ouvert.  si Si = 0, l’interrupteur Ti est ouvert et T’i est passant.UDL - Sidi bel Abbes - 2011 19
  • 31. Chapitre : II Modélisation de l’ensemble convertisseurs-MSAP II.4.3.3 Commande de l’onduleur Pour les commandes de l’onduleur, il existe plusieurs stratégies, parmi les stratégies qu’on a :  La commande des régulateurs de courant qui génèrent directement les signaux de commande de l’onduleur : c’est la stratégie ON/OFF(hystérésis).  La commande des régulateurs de courants qui fournissent des références de tension à appliquer par l’onduleur et son système de commande par MLI (Modulation de Largeur et d’Impulsion). a) Principe de la commande MLI Dans notre travaille, l’onduleur est commandé par la technique (MLI) générée par une porteuse sousforme de dent de scie, La technique MLI appelée en anglais (Pulse Wit Modulation PWM). Elle estutilisée pour générer un signal qui contrôle les interrupteurs, la MLI délivre un signal de commande encréneaux, il est générer par l’intersection de deux signaux, signal de référence, généralementsinusoïdale qui est de basse fréquence, et le signal de porteuse qui est de haute fréquence de formegénéralement triangulaire d’où l’appellation triangulo-sinusoïdale . b) Caractéristique de la MLI Deux paramètres caractérisent cette commande: fp 1) m  (2.28) fr Vr 2) r (2.29) VpAvec :  « m » : L’indice de modulation qui définit le rapport entre la fréquence fp de la porteuse et la fréquence fr de la référence  « r » : Le taux de modulation (ou coefficient de réglage) qui donne le rapport de l’amplitude de la modulante Vr à la valeur crête Vp de la porteuse Fig. II.8 : Principe de la commande MLI-STUDL - Sidi bel Abbes - 2011 20
  • 32. Chapitre : II Modélisation de l’ensemble convertisseurs-MSAP On considère l’alimentation de l’onduleur comme une source parfaite, supposée être constituée par Edeux générateurs de f.e.m. égale à connectés entre eux par un point commun (0). 2 E/2 K1 K2 K3 VaN 0 VbN VcN K 1’ K 2’ K3’ -E/2 Sa Sb Sc MLI MLI MLI Porteuse ua ub uc Fig. II.9 : Schéma équivalent de l’onduleur à MLI Les tensions aux bornes de l’onduleur : Vab  Vao - Vbo  Vbc  Vbo - Vco (2.30) Vca  Vco - Vao  Les tensions VaN , VbN et VcN forment un système de tension triphasées équilibrées, donc : VaN  VbN  VcN  0 (2.31) Va N = Va0 + V0N    VbN = Vb0 + V0N  VaN  VbN  VcN  3VoN  Va0  Vb0  Vc0  0 (2.32)  Vc N = Vc0 + V0N  De (2.32) on déduit : 1 VaN  (Va0  Vb0  Vc0) (2.33) 3 A partir de l’équation (2.32) et (2.33) ,on a : Vao  2 - 1 - 1  VaN  Vbo = 1   1 2 - 1 VbN  (2.34)   3    Vco      1 - 1 2  VcN    UDL - Sidi bel Abbes - 2011 21
  • 33. Chapitre : II Modélisation de l’ensemble convertisseurs-MSAP Dans une branche d’onduleur, un interrupteur statique (k) peut prendre la valeur +1 ou -1 selon lesconditions suivantes : Va ref ≥ Vp  Sa = 1 sinon Sa = -1 Vb ref ≥ Vp  Sb = 1 sinon Sb = -1 Vc ref ≥ Vp  Sc = 1 sinon Sc = -1Avec : V ref : amplitude de référence. Vp : amplitude de porteuse. Et les branches Vko peuvent être exprimées en fonction des switchs « sk » par : E Vko = Sk . ( ) Avec : k = (a, b, c) (2.35) 2Donc : VaN   2 - 1 - 1  Sa  VbN   E   1 2 - 1  Sb  : matrice de connexion (2.36)   6    VcN     1 - 1 2   Sc    Donc, le modèle de l’onduleur est donné par la figure (II.10). Fig. II.10 : Schéma de l’onduleur sure simulink II.5 SIMULATION NUMERIQUE La figure (II.11) Représente l’association onduleur MLI-ST avec MSAP ou les tensions de référence   sinusoïdale va, vb, vc sont comparées au signal de la porteuse Vp (dent de scie) afin de déduire lesinstants de commutation des interrupteurs. r Idq Cem Fig. II.11 : Association onduleur (MLI-ST)-MSAPUDL - Sidi bel Abbes - 2011 22
  • 34. Chapitre : II Modélisation de l’ensemble convertisseurs-MSAP La figure (II.12) Représente les résultats de la simulation de la machine avec l’onduleur. La simulation a été effectuée sous le logiciel MATLAB/simulink traitant le comportement d’unemachine synchrone à aimants permanents. A noté que les paramètres de la machine sont donnés enannexe. II.5.1 RESULTATS DE SIMULATIONS 16 100 14 couple éléctromagnetique cem (Nm) 80 12 la vitesse Wr (rad/s) 10 60 8 40 6 4 20 2 0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 temps(s) temps(s) 40 couple réséstante Cr (Nm) 35 courant statorique (A) 2 30 1.5 25 20 1 Iq 15 Id 10 0.5 5 0 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 temps(s) temps(s) tension de phase va (v) 40 300 30 courant is (A) 200 20 100 10 0 0 -10 -100 -20 -200 -30 -300 -40 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 temps(s) temps(s) Fig. II.12 : comportement de l’ensemble onduleur -MSAP avec application de la charge Cr = 2 (Nm) entre [0.3 0.5](s)UDL - Sidi bel Abbes - 2011 23
  • 35. Chapitre : II Modélisation de l’ensemble convertisseurs-MSAPII.5 .2 INTERPRETATION DES RESULTATS Les résultats de simulation donnés par la figure (II.12), représente la réponse des variablesfondamentales de la machine synchrone à aimants permanents à savoir la vitesse  r , le coupleElectromagnétique Cem et les courants (Id,Iq). Lallure de la courbe du couple présente au démarrage un pique qui sert à entrainer l’inertie de lamachine pendant le régime transitoire, une fois le régime permanent atteint, le couple revient à zéro. Lors de l’application de la charge, la machine développe un couple électromagnétique pourcompenser cette sollicitation qui explique l’augmentation de couple dans cette plage qui se traduit parune diminution de la vitesse. Pour les courants Id et Iq au début de démarrage on voit des pics de courant assez important et celasexplique par la f.e.m qui est due à une faible vitesse de démarrage, ensuite ils se stabilisent à leursvaleurs nominales r  100 (rad/sec) après un temps assez court. Les courbes des courants Id et Iq montre bien qui il existe un couplage entre ces variables indiquantle caractère non linéaire de la machine. Cette modélisation montre un fortement couplage entre les deux composantes du courant et lecouple. Il est donc nécessaire de trouver un moyen pour rendre leur contrôle indépendant en vued’améliorer les performances en régimes dynamiques.II.6 CONCLUSION Dans les applications d’entrainement à vitesse variable, il est nécéssaire de modéliserconvenablement tout l’ensemble du système. Dans ce chapitre, Nous avons modélisé les differents élements du système (convertisseur,MSAP),parce que cette partie est nécessaire pour l’intégration de la MSAP dans les systèmes de commandes. Lemodèle mathématique de la MSAP est obtenu dans le repère de park moyennant des hypothèsessimplificatrices pour avoir des équations considérablement simplifiés pour nous permettent daborderaisément la commande qui est présenté dans le chapitre suivants. Est en fin nous avons présenté le modele du MSAP avec l’onduleur de tension commandé par latechnique MLI-ST et on a conclu que les deux composantes du courant et le couple sont fortementcouplée, Il est donc nécessaire de trouver une moyenne pour rendre leur contrôle indépendant en vued’améliorer les performances en régimes dynamiques. c’est pour cette raison, qu’il faut faire undécouplage entre ces variables pour que la machine repond aux éxigences des systemes d’entrainementà vitesse variables et avoir des hautes performanes dans le regime dynamique. La solution la plus adéquate actuellement est l’orientation du flux suivant l’axe « d » .Le chapitresuivant sera consacré à cette technique.UDL - Sidi bel Abbes - 2011 24
  • 36. CHAPITRE IIICommande vectorielle de la MSAP
  • 37. CHAPITRE : III Commande vectorielle de la MSAP III.1 INTRODUCTION La commande des moteurs à courant alternatif est de plus en plus utilisée dans les applicationsindustrielles. Grâce aux développements des semi-conducteurs de puissance; les moteurs synchronesà aimants permanents(MSAP) sont capables de concurrencer les moteurs à courant continu dans lavariation de vitesse, car la commutation est réalisée électriquement et à lextérieur du moteur. Les nouvelles applications industrielles nécessitent des variateurs de vitesse ayant des hautesPerformances dynamiques. Ces dernières années plusieurs techniques ont été développées pourpermettre aux variateurs synchrones à aimants permanents d’atteindre ces performances. En 1971, BLASCHKE et HASS ont proposé une nouvelle théorie de commande par orientation duchamp où le vecteur courant statorique sera décomposé en deux composantes l’une assure le contrôledu flux et l’autre agit sur le couple et rendre sa dynamique identique à celle de la machine à courantcontinu a excitation séparée [4][28]. Cette technique est connue sous le nom de la commande vectorielle. Apres avoir étudié la modélisation de la machine synchrone à aimants permanents (MSAP) et suite asa simulation, nous présentons dans ce chapitre la commande vectorielle de la MSAP alimentée par unonduleur de tension. La stratégie de commande de l’onduleur est contrôlée par la technique MLI, Lasimulation est réalisée grâce au logiciel MATLAB/Simulink. III.2 PRINCIPE DE LA COMMANDE VECTORIELLE En analysant le système d’équations (2.23) l’équation du couple, nous pouvons relever que le modèleest non linéaire et il est couplé. En effet, le couple électromagnétique dépend à la fois des grandeursI d et I q . L’objectif de la commande vectorielle de la MSAP est d’aboutir à un modèle équivalent à celui d’unemachine à courant continu à excitation séparée, c’est à dire un modèle linéaire et découplé, ce quipermet d’améliorer son comportement dynamique[17]. plusieurs stratégies existent pour la commande vectorielle des machines à aimants permanents, lacommande par flux orienté est une expression qui apparait de nos jours dans la littérature traitent lestechniques de contrôle des moteurs électriques, cette stratégie consiste a maintenir le flux de réactiond’induit en quadrature avec le flux rotorique produit par le système d’excitation comme cela est le casdans une machine a courant continue. Puisque le principal flux de la MSAP est généré par les aimants du rotor, la solution la plus simplepour une machine synchrone à aimants permanents est de maintenir le courant statorique enquadrature avec le flux rotorique (le courant direct Id nul et le courant statorique réduire à la seulecomposante I q : ( I s  I q ) qui donne un couple maximal contrôlé par une seule composante du courant( I q )et de réguler la vitesse par le courant traverse I q via la tension V q .Ceci vérifie le principe de lamachine à courant continu.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 25
  • 38. CHAPITRE : III Commande vectorielle de la MSAP ωr q Is=Iq Vd Vq d Id=0 f Is θ a 0 Fig. III.1 : Principe de la commande vectorielle Notons aussi que l’annulation de I d provoque une réduction du courant statorique, ce qui permet àla machine de fonctionner dans la zone de non-saturation. Pour I d  0 , le système d’équations de la MSAP se réduit aux équations suivantes : vd   p  r Lq I q   dI q (3.1) v q  Rs I  Lq  p r  q dt f Cem  p φ f Iq   d r (3.2) Cem - Cr  J dt + f.  r  On remarque que cette stratégie permet d’éliminer le problème de couplage entre les axes (d,q)Lorsque le courant I d est nul ,le modèle de la MSAP est réduit au modèle équivalent à la machine àcourant continu à excitation séparée comme le montre la figure (III.2) : Cr Vq 1 Iq - - 1 r p . f + + Rs  s . L q Cem J .s  f - p.  f Fig. III.2 : Modèle de MSAP commandé à flux orienté à Id nul III.3 COMMANDE VECTORIELLE DIRECT PAR COMPENSATION III.3.1 TECHNIQUES DE DECOUPLAGE Il existé plusieurs techniques de découplage, parmi c’est techniques on a :  découplage par compensation  commande vectorielle indirecte (FOC).  découplages par régulateurUDL – Sidi bel Abbés - 2011 26
  • 39. CHAPITRE : III Commande vectorielle de la MSAP Nous exposons par la suite la première technique qui est l’objective de notre commande à étudiéeen mettant l’accent sur les avantages et les inconvénients. III.3.2 DECOUPLAGE PAR COMPENSATION [17] L’alimentation en tension est obtenue en imposant les tensions de référence à l’entrée de lacommande de l’onduleur. Ces tensions permettent de définir les rapports cycliques sur les bras del’onduleur de manière à ce que les tensions délivrées par cet onduleur aux bornes du stator de lamachine soient les plus proches possible des tensions de référence. Mais, il faut définir des termes decompensation, car, dans les équations statoriques, il y a des termes de couplage entre les axes d et q. Les tensions suivant les axes (d,q) peuvent être écrites sous les formes suivantes :   d Id   Vd   Rs I d  L d dt   ω Lq I q (a)     (3.3)  d Iq  Vq   Rs I q  L q    ω ( L d I d  φf )  (b)   dt    p  r (c)   La figure (III.3) représente le couplage entre l’axe « d » et « q » : Fig. III.3 : Description de couplage Les tensions Vd et Vq dépendent à la fois des courants sur les axes « d » et « q », on est donc amené àimplanter un découplage. Ce découplage est basé sur l’introduction de termes compensatoires ed et eq. ed  ω Lq I qAvec :  (3.4) e q  ω . (L d I d  φ f ) A partir de l’équation (3.3) et (3.4) :On a donc : Vd  Vd1  ed  (3.5) Vq  Vq1  eq Vd1  ( Rs  s  Ld )  I dAvec  (3.6) Vq1  ( Rs  s  Lq )  IqUDL – Sidi bel Abbés - 2011 27
  • 40. CHAPITRE : III Commande vectorielle de la MSAP ed  ω Ld I qEt  (3.4) e q  ω . (Ld I d  φ f ) On a donc les courants « I d » et « Iq » sont découplés. Le courant I d ne dépend que de Vd1, et Iqne dépend que Vq1, a partir de l’équation (3.6) les courant I d et Iq sécrivent de la façon suivante:  Vd 1 (a )  I d  R  sL  s d (3.7)  Vq1 I q  (b)   Rs  sLqs : Opérateur de Laplace. Le principe de régulation consiste à réguler les courants statoriques à partir des grandeurs deréférence (désirées) par les régulateurs classiques. Le schéma de principe de régulation des courantsstatoriques est représenté par la figure ci-dessous [18] : ω Iq ω .Lq . I q Id Idref - - Régulateur Id Vd1 + Vd Découplage Iqref Vq1 + Vq Régulateur Iq - + ω Ld .I d  f  Iq ω Id Fig. III.4 : Principe de découplages par compensation Vd1 : la tension à la sortie de régulateur de courant « Id ». Vq1 : la tension à la sortie de régulateur de courant « Iq » .UDL – Sidi bel Abbés - 2011 28
  • 41. CHAPITRE : III Commande vectorielle de la MSAP Si on associer la machine avec le bloc de compensation on obtient la figure (III.5) : - Id Idref + Vd1 Régulateur Id 1 + + - + Rs  sLd ed ed Iqref - Vq 1 Iq + Vq1 Régulateur Iq + + Rs  sLq + - Régulateur Iq eq Correction+Découplage eq Modèle de la MSAP eq Fig. III.5 : Structure générale : (machine-découplage par compensation). Les actions sur les axes d et q sont donc découplés et représentées par la figure (III.6) : - Idref + Vd1 Id Régulateur Id 1 Rs  sLd Iqref + - Vq1 1 Iq Régulateur Iq Rs  sLq Régulateur Iq Fig. III.6 : commande découplée III.4 DETERMINATION DES REGULATEURS III.4.1 DESCRIPTION DU SYSTEME GLOBAL La référence du courant direct I dref est fixée, et la sortie du régulateur de vitesse Iqref constitue la consigne de couple Cem . Les références des courants I dref et Iqref sont comparées séparément avecles courants réels de la machine I d et Iq . Les erreurs sont appliquées à l’entrée des régulateurs classiques de type PI. Un bloc de découplage  génère les tensions de références Vd , Vq . Le système est muni d’une boucle de régulation de vitesse, qui permet de générer la référence decourant Iqref . Par contre, le courant I dref est imposé nul. Chaque axe découplé peut être représenté par un bloc de correction Ci(s) avec (i = d, q). La figure(III.7) représente le schéma global de la commande vectorielle d’une machine synchrone à aimantspermanents avec compensation dans le repère ( d,q ) :UDL – Sidi bel Abbés - 2011 29
  • 42. CHAPITRE : III Commande vectorielle de la MSAP Id E Idref - Vd 2Φ MSAP Commande Cd(s) + MLI ω rref Charge Iqref reg(ωr) Cq(s) + 3Φ ωr - - Iq Vq 1 Onduleur s P3Φ Fig. III.7: Schéma bloc de la commande vectorielle avec compensation des f.e.m III.4.2 CALCUL DES REGULATEURS Pour calculer les paramètres des régulateurs, on adopte des modèles linéaires continus. Les méthodes classiques de l’automatique sont utilisables. Ces méthodes ont l’avantage d’êtresimples et faciles à mettre en œuvre. Les éléments fondamentaux pour la réalisation des régulateurs sont les actions P.I.D(proportionnelle, intégrale, dérivée). Les algorithmes, même les plus performants, sont toujours unecombinaison de ces actions. Nous considérons que la machine est orientée vectoriellement et complètement découplée. Cecinous permet d’écrire les équations de la machine d’une manière simple et de calculer les coefficientsdes régulateurs. Nous nous contentons de régulateurs classiques de type PI dans une structure par boucle imbriquée.Dans ce cas, nous pouvons distinguer deux modes :  Le mode électrique (mode rapide : boucle interne).  Le mode mécanique (mode lent : boucle externe). Pour chacune des boucles de courant, nous proposons de commander la machine par des régulateursclassiques Proportionnel Intégrateur (PI) pour compenser la perturbation du couple résistant au niveaude la réponse de la vitesse de rotation, cest-à-dire ; ils comportent une action proportionnelle qui sertà régler la rapidité avec laquelle la régulation doit avoir lieu et une action intégrale qui sert à éliminerl’erreur statique entre la grandeur régulée et la grandeur de consigne. [4][17]. Le régulateur PI (action proportionnelle-intégrale) est une combinaison dun régulateur P et dunrégulateur I. Le régulateur (PI) est la mise en parallèle des actions proportionnelle et intégrale, figure (III-9).UDL – Sidi bel Abbés - 2011 30
  • 43. CHAPITRE : III Commande vectorielle de la MSAP La relation entre la sortie u (t ) et le signal d’erreur  (t ) est donnée par la relation suivante : r t ur (t )  kp (t )  ki   (t )d (t ) (3.8) 0 ur ( p ) ki (3.9)C’est à dire :  kp   ( p) p kp : Gain proportionnel ki : Gain intégral 1 Ti : Constant de temps d’intégration; avec Ti  ki Le régulateur PI est donné par la figure suivante : Kp + y Yref  Ur Système + 1 - Ki + s Cr P.I Fig. III.9 : Régulateur PI La fonction de transfert sera : Ki Ur  ( K p  ) (3.10) sOn peut aussi écrire le régulateur sous la forme suivante : U r 1  sT1 (3.11) P.I    sT2  kp  T 1 (a)  T2Avec :  1 (3.12)  ki  T 2  (b) III.4.3 DIMENSIONNEMENT DES REGULATEURS La machine étant découplée selon deux axes (d,q), la régulation sur laxe "d" est faite par une seuleboucle, tandis que la régulation sur laxe "q" est faite par deux boucles en cascades lune interne pourréguler le courant et lautre externe pour réguler la vitesse. . . .UDL – Sidi bel Abbés - 2011 31
  • 44. CHAPITRE : III Commande vectorielle de la MSAP a-Régulateur du courant « Iq » La commande de la MSAP s’effectue en contrôlant les courants I d et Iq , le système est composéd’une boucle de régulation de vitesse, qui impose la référence Iqref , le courant Id est maintenu nul,la commande est effectuée par les régulateurs PI pour avoir l’erreur statique nulle (  = 0). vq1Sachant que Iq = 3.7(b) Rs  s.Lq 1  sT 1 Et que la forme générale du régulateur PI est : (équation (3.11)), on aboutit au schéma de sT 2la figure (III.10) : Iq ref +  Iq 1  sT1q Vq1 1 Iq sT2q R  sLq - Fig. III.10 : Boucle de régulation du courant Iq La fonction de Transfer en boucle ouvert (FTBO) de la figure (III-10) est : 1  sT 1q ……………….. (3.13) FTBO= sT 2 q( Rs  sLq ) 1  sT 1q (3.14) FTBO = sT 2 qR(1  s Lq ) Rs Par l’utilisation de la méthode de compensation des pôles, on aura : 1  sT 1q  1  s Lq Ce qui se traduit par la condition: Rs Lq  T 1q  q (3.15) RsAvec Lq : constant de temps électrique. Rs Si en remplace la constant T 1q par sa valeur équation (3.15) dans l’équation (3.13), on trouve : 1 FTBO = (3.16) sRsT 2 q Pour la fonction de Transfer en boucle fermé(FTBF) : FTBO FTBF= 1  FTBO (3.17) 1  1  FTBF= de la forme   (3.18) 1  sRsT 2 q  1  s  qUDL – Sidi bel Abbés - 2011 32
  • 45. CHAPITRE : III Commande vectorielle de la MSAP Par identifications on trouve : q q  RsT 2 q  T 2 q  (3.19) Rs On imposant le temps de référence : Tr  3q (critère de  5%) (3.20) Tr On a : T 2q  (3.21) 3Rs Tr : Temps de réponse imposé.  q  Lq : Constante de temps électrique de laxe "q" du machine. Rs Rs En remplace l’équation (3.19) dans (3.12b), On obtient : Ki  (3.22) q Si on remplace l’équation (3.20) dans (3.22) : kpq  3Lq  Tr (3.23) On obtient finalement  3Rs  kiq  Tr  b-Régulateur du courant « Id » La boucle de régulation sur l’axe « d » est présentée par la figure suivant : Idref +  Id 1  sT1d Vd 1 1 Id sT2d R  sLd - Fig. III.11 : Boucle de régulation du courant IdPour la régulation du courant Id , on suit la même procédure utilisée pour la régulation du courant Iq . 1  s.T 1d FTBO = (3.24) Ld s.T 2 d . Rs(1  s ) Rs 1 FTBF = (3.25) 1  sRsT 2 d Ld (3.26)  T 1d  d Rs (3.27) On impose : Tr  3dUDL – Sidi bel Abbés - 2011 33
  • 46. CHAPITRE : III Commande vectorielle de la MSAP d (3.28) d  R.T 2d  T 2 d  Rs On remplace l’équation (3.26) dans (3.27) on obtient : Tr (3.29) T 2d  3Rs  d  Ld : Constante de temps électrique de laxe "d" du machine. Rs c- Régulation de vitesse Le processus à commander est décomposé en deux sous système :  Sous système du réglage de courant Iq donc du couple aussi.  Sous système de la partie mécanique. La boucle de régulation de la vitesse est représentée par la figure ci-dessous : Cr - * Iq Iq Cem+ * 1 r* k  i 1 p. fr + - k p 1  qs Js  f s - ki k p  p. f s Fig. III.12.a : Boucle de régulation de vitesseLe schéma de la figure (III.12.a) peut être simplifié par la figure (III.12.b) : * wr F Fo + - Fig. III.12.Boucle de régulation de vitesse F (s ) : La fonction de transfert du régulateur de vitesse. ki 1  sT 1 (3.30) F ( s )  k p   s sT 2 kp  T1  T2Ou :  1 (3.31)  ki  T2 UDL – Sidi bel Abbés - 2011 34
  • 47. CHAPITRE : III Commande vectorielle de la MSAP Fo (s)  : La fonction de transfert en boucle ouverte : p f Fo ( s )  (3.32) f (1  s q )  (1  s m ) J m  : Constant mécanique de la machine. f La FTBF est donnée par : F ( s ) Fo ( s ) FBF ( s )  (3.33) 1  F ( s ) Fo ( s ) Après les calculs en trouve: p f (k pws  kiw ) FBF ( s )  (3.34) J  q s  ( J  f  q ) s ²  ( p   f  k pw  f ) s  p f kiw 3 Si on néglige ( J   q ) et ( f   q ) devant (J ) , le polynôme caractéristique de cette fonction devient: p( s)  Js ²  ( f  p f .k p ) s  p f .ki (3.35) En imposant au polynôme caractéristique en boucle fermée deux pôles complexes conjugués S1,2    (1  j ) , il devient alors : p( S )  s 2  2    s  2   2 (3.36) Par identification terme à terme entre l’équation (3.35) et (3.36) on trouve :  2 J  f  k pw   p f  (3.37) k  2  J 2  iw p f Ou :   wn (3.38) wn : Pulsation propre du système  : Facteur d’amortissement III.5 LIMITATION DES COURANTS [4][11][12] Les organes de commande introduisent des limitations sur la grandeur de commande [u] .ceslimitations peuvent causer des problèmes lors de grands phénomènes transitoires sous formes d’undépassement élevé de la grandeur à régler, voire même d’un comportement instable du réglage. La caractéristique non linéaire de la limitation ne permet plus l’application de la théorie linéaireafin d’analyser précisément le comportement dynamique dès que la sortie du régulateur est saturée.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 35
  • 48. CHAPITRE : III Commande vectorielle de la MSAP La saturation perturbe également le fonctionnement des régulateurs comportant une actionintégrale. En effet, la composante intégrale continue à croitre, bien que la sortie du régulateur soitlimitée. Cr wrref + ki  C em - 1 wr kp   - s + f  J .s Fig. III.13 Boucle de régulation de vitesse avec limitation du courant. Afin d’éviter ces inconvénients, il s’avère indispensable de corriger le comportement dynamique durégulateur (en particulier la composante intégrale) lorsque la limitation est atteinte. Cette mesure estappelée mesure anti-reset-windup (anti remise de l’emballement). Saturation 1 Kp In1 1 Out1 1 Ki s Km Fig. III.14 : Régulateur PI avec anti_windup Comme le dimensionnement de ce régulateur est très compliqué, nous procédons par des simulationspour régler le correcteur de vitesse. La méthode utilisée est du type : Essai – erreur - dépassement. Les coefficients obtenus sont : k p ki k m .   III.6 SCHEMA GLOBAL DE SIMULATION Le schéma de simulation de la commande vectorielle avec association onduleur à deux niveaux etMSAP est représenté par la figure (III-15) : Reg(wr) Régulateur wr Reg(Iq) Régulateur Iq wref Onduleur va wr wr Découplage par M Compensation vb Idref = 0 -------- S Reg(Id) Id Transformation Id ,Iq IdIq Régulateur dq_abc A vc MLI P Cr Cem Cem Cr t Fig. III.15 : Schéma globale de simulation de la commande vectorielle avec réglage classique (PI).UDL – Sidi bel Abbés - 2011 36
  • 49. CHAPITRE : III Commande vectorielle de la MSAP III.6.1 RESULTATS DE SIMULATION 150 40 30 Iq(A) 100 20 50 10 vitesse mécanique réelle wr (rad/s) 0 0 -10 Id(A) -50 -20 -100 vitesse de référence wr (rad/s) -30 -40 -150 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 temps(s) temps(s) 40 8 30 couple éléctromagnetique Cem (Nm) couple 6 résistante 20 Cr=8Nm 10 4 0 -10 2 -20 -30 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 -40 0 0.2 0.4 0.6 0.8 temps(s) temps(s) 40 Is(A) 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 0 0.2 0.4 0.6 0.8 temps(s) Fig. III.16 : Résultats de simulation de la commande vectorielle du MSAP avec réglage classique (PI). III.7 INTERPRETATION DES RESULTATS Les performances de la commande proposée ont été testées par simulation dans le cas du réglageclassique d’une MSAP alimentée par un onduleur de tension à deux niveaux, avec un régulateur PI faceà une vitesse de référence de 100 (rad/s) puis -100 (rad/s) à l’instant t=0.6 (s) suivie d’une applicationd’un couple résistante de 8 (Nm) à une période de [0.2s], entre t=0.2 (s) et t=0.4 (s).UDL – Sidi bel Abbés - 2011 37
  • 50. CHAPITRE : III Commande vectorielle de la MSAP Les résultats de simulation montrent que le découplage est maintenu quelque soit la variation de lacharge (dans le régime permanent). L’onduleur engendre des fluctuations qui sont ressenties au niveaudu couple. Le courant I d après le régime transitoire revient à sa valeur zéro. La variation de la vitesse est rapide avec très petite dépassement et sans erreur statique, le rejet deperturbation est aussi rapide avec un temps de réponse de 0.022 (s). III.8 CONCLUSION L’application de la commande vectorielle à la MSAP nous permet non seulement de simplifier lemodèle de la machine mais aussi améliorer ces performances dynamique et statique, le développementde la commande vectorielle permet d’atteindre un découplage entre les axes « d » et « q » ce qui rendla machine synchrone à aimants permanents similaire à la machine à courant continu. Le réglage de lavitesse par la commande vectorielle avec un régulateur classique (PI) permet d’obtenir desperformances dynamiques satisfaisantes. Puisque les correcteurs classiques sont dimensionnés à partir des paramètres de la machine. Si cesderniers varient dans une large plage de fonctionnement, les performances sont détériorées, alors il estpréférable de voir d’autres techniques de réglage. Ainsi notre prochain chapitre sera consacré à lacommande par mode glissant. Où les correcteurs sont connus par leur robustesse.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 38
  • 51. CHAPITRE IVCommande par mode glissant de la MSAP
  • 52. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP IV-1 INTRODUCTION Dans le chapitre précédent nous avons mis en œuvre la commande vectorielle en utilisant lesrégulateurs PI classiques ou les lois de commande qui utilise les régulateurs à action proportionnelle,intégrale donnent des bons résultats dans le cas des systèmes linéaires à paramètres constants. [4][22] Ces lois de commande classique peuvent être insuffisantes car elles sont non robustes surtout lorsqueles exigences sur la précision et autres caractéristiques dynamiques du système sont strictes. On doitfaire appel à des lois de commande insensibles aux perturbations, aux variations de paramètres et auxnon linéarités. [4][26] Lorsque la partie commandée est soumise à des perturbations et à des variations de paramètres dusystème, une solution auto adaptative, qui par réajustement des paramètres des régulateurs, permetde conserver des performances fixées à l’avance en présence de perturbations et de variations deparamètres. Cette solution présente l’inconvénient de nécessiter une mise en œuvre souvent complexe. Ainsi, il est possible d’enregistrer une autre solution plus simple, faisant appel à une classeparticulière de systèmes de commande appelés « systèmes à structures variables », ces systèmes ontfait l’objet depuis longtemps de travaux importants au Japon par H.Harachima, aux Etat Unis parI.I.Slotine et en ex-Union Soviétique par V.Utkin et ceci à partir des travaux théoriques dumathématicien soviétique A.F.Filipov. [21][22] L’intérêt récent accordé à cette technique de commande est dû essentiellement à la disponibilitédes composants électroniques plus performants et de microprocesseurs très développés. La commande à structure variable (CSV) est par nature une commande non linéaire. Lacaractéristique principale des systèmes à structure variable est que leur loi de commande se modified’une manière discontinue. [5][22][23] Ce type de commande (CSV) présente plusieurs avantages tels que la robustesse, précisionimportante, stabilité et simplicité, temps de réponse très faible vis-à-vis l’insensibilité a la variationdes paramètres internes et externes. Ceci lui permet dêtre particulièrement adaptée pour traiter lessystèmes qui ont des modèles mal connus, soit à cause de problèmes didentifications des paramètres,soit à cause de simplification sur le modèle du système [4][5][26]. IV-2 GENERALITES SUR LA THEORIE DU CONTROLE PAR MODE GLISSANT Les commutations de la commande à structure variable s’effectuent en fonction des variablesd’état, utilisées pour créer une « variété » ou « surface » dite de glissement. La commande par mode glissant consiste à ramener la trajectoire d’état vers la surface deglissement et de le faire évoluer dessus avec une certaine dynamique jusqu’au point d’équilibre.Une surface de glissement : c’est une surface S sur laquelle le système suivra l’évolution souhaitée(sur laquelle évoluera l’erreur) [11]. Quand l’état est maintenu sur cette surface, le système est dit en régime glissant. Ainsi, tant que lesconditions de glissement sont assurées, la dynamique du système reste insensible aux variations desparamètres du processus, aux erreurs de modélisation (dans une gamme qui reste plus large par rapportà celle des approches classiques de l’automatique), et à certaines perturbations [4][20].UDL – Sidi bel Abbés - 2011 39
  • 53. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP IV.3 L’OBJECTIF DE LA COMMANDE PAR MODE GLISSANT L’objectif de la commande par mode glissant est de :  synthétiser une surface s( x )  0 , telle que toutes les trajectoires du système obéissent a un comportement désiré de poursuite, de régulations et de stabilité.  Déterminer une loi de commande qui est capable d’attirer toutes les trajectoires d’état vers la surface de glissement s( x )  0 et de les maintenir sur cette surface. [11] IV.4 PRINCIPE DE LA COMMANDE A STRUCTURE VARIABLE IV.4.1 DEFINITION DES SYSTEMES NON LINEAIRES Le comportement des systèmes possédant des discontinuités peut être décrit formellement parléquation: x(t )  f ( x, t,U )  (4.1)  x : le vecteur détat, x   . n  t : le temps  U : grandeur de commande, u   . m  f : la fonction décrivant lévolution du système au cours du temps. Historiquement, les premiers régulateurs bâtis sur ce modèle ont été de simples relais. Faciles àmettre en œuvre, ils ont représenté les prémices du contrôle par structure variable. Ils ont ainsi amenéles automaticiens à développer une théorie qui puisse décrire un tel fonctionnement. Les bases dunetelle théorie ont été posées : il suffit de dire que le comportement du système est décrit par deuxéquations différentielles distinctes, suivant que léquation dévolution du système soit supérieure ouinférieure à une surface dénommée hypersurface de commutation où : U  ( x ) si  S i ( x )  0, U ( x)   i  1,.....m (4.2) U  ( x ) si  S i ( x )  0, La commande U est construire de façon à ce que les trajectoires du système soient amenées vers la surface de glissement et soient ensuite maintenues dans un voisinage de celle-ci. U  et U étant des fonctions continus.  Le système variable (4.1) avec la loi de commande (4.2) peut se ramener à l’écriture suivante :  f  ( x, t ) si S ( x, t )  0 (4.3) x (t )  f ( x, t ,U )      f ( x, t ) si S ( x, t )  0 S ( x, t ) : est une surface dans  n qui divise lespace en deux parties disjointes : S ( x, t )  0 et S ( x, t )  0. En dehors de la surface de discontinuité, les fonctions f et f  peuvent avoir différentscomportements :   les fonctions f et f  traversent la surface dun côté vers lautre : Figure (IV.1.a) etUDL – Sidi bel Abbés - 2011 40
  • 54. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP Figure (IV.1.b).   les fonctions f et f  sont pointés chacun vers la surface : Figure (IV.1.c). Fig. IV.1.a Fig. IV.1.b Fig. IV.1.c Fig. IV.1 : Différents comportements en dehors de la surface de discontinuité.   Le cas qui nous intéresse est celui où les deux fonctions f et f sont pointés chacun vers lasurface, on dit alors que la surface est attractive, figure (IV.1.c). [7] En se plaçant dans un espace à 2 dimensions, le principe de discontinuité de la commande (Equation(4.2) et (4.3)) peut être illustré par la figure (IV.2) : Fig. IV.2 : Convergence de la trajectoire vers la surface de commutation Grâce à la discontinuité de la commande Ainsi, le problème de lexistence du régime glissant se résume à analyser la trajectoire du système,qui ne doit pas séloigner de la surface S. Nous cherchons à vérifier que la distance et la dérivée de ladistance (autrement dit, la vitesse dapproche), entre la trajectoire et la surface de commutationsoient opposées en signe, cela peut être exprimé par léquation suivante :  lim S  0 et  lim S  0 (4.1) s 0 s  0 D’où la condition d’attractivité pour l’obtention du régime glissant : (4.5)  S ( x ).S ( x )  0 Il sagit du principe dattractivité. Des justifications mathématiques complémentaires, pourront êtretrouvées dans les ouvrages traitant des systèmes non linéaires.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 41
  • 55. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP IV.4.2 FORMULATION DES EXPRESSIONS GENERALES DE LA COMMANDE PAR MODE DE GLISSEMENT Les définitions des modes glissant dans le cadre d’un système non linéaire dont le comportementdynamique est défini par les équations différentielles suivants : (4.6) x  f ( x, t )  g ( x, t )U Où : x : le vecteur dont les composantes sont les variables détat, x  n ; u : vecteur de commande, u  m . n 1 f : est un champ de vecteur ou fonction vectorielle, f :    ; n n 1 B( x, t ) : la matrice de commande, b( x, t ) :    . n*m La fonction de commutation S sépare lespace détat en deux régions représentant des structuresdifférentes. Cest une fonction vectorielle dont les composantes sont des fonctions scalairesreprésentatives dune relation algébrique entre deux grandeurs. Elle est définie par lutilisateur afindobtenir les performances dynamiques désirées. [4][10][11] Lorsque nous sommes dans le "mode de glissement", la trajectoire restera sur la surface decommutation. Cela peut être exprimé par: S( x , t )  0 et  S( x , t )  0 (4.7) IV.4.3 CONDITION POUR L’EXISTENCE DU MODE DE GLISSANT Le mode de glissement existe lorsque les commutations ont lieu continûment entre U max et U minpour un système de deuxième ordre avec les grandeurs d’état X S1 et X S 2 , ce phénomène est présentépar la figure suivante : Fig. IV.3 : phénomène de glissement On admet d’abord une hystérèse sur la loi de commande S(x) = 0, par conséquent, les commutationsont lieu sur les droites décalées parallèlement de ± Δ Sh .UDL – Sidi bel Abbés - 2011 42
  • 56. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP Une trajectoire avec U  U max touche au point (a) le seuil de basculement inférieur. Si U  U min , latrajectoire est orientée vers l’intérieur de la zone de l’hystérèse, elle touche au point (b) le seuil debasculement supérieure ou a lieu une commutation sur U  U min . Si la trajectoire est de nouveau orientée vers l’intérieur, elle touche le point (c) le seuil debasculement inférieur et ainsi de suite. Il y a donc un mouvement continu de la zone de l’hystérèse. On suppose dans le cas idéal que l’hystérèse est infiniment petite. La loi de commutation fait unmouvement infiniment petit autour de S ( Xs ) 0 . Par conséquent, le vecteur d’état X S suit unetrajectoire qui respecte cette condition. La fréquence de commutation est donc infiniment élevée[5][12]. IV.5 LES MODES DE LA TRAJECTOIRE DANS LE PLAN DE PHASE La technique par mode glissement consiste à ramener la trajectoire d’état d’un système vers lasurface de glissement et faire commuter a l’aide d’une logique de commutation appropriée jusqu’aupoint d’équilibre. Cette trajectoire est constituée de trois parties distinctes, figure (IV.4) :  Le mode de convergence (MC) : dont la variable régulier se déplace à partir du point d’équilibre initial.  Le mode glissement (MG) : durant lequel la variable d’état à atteint la surface de glissement.  Le mode de régime permanent (MRP) : le comportement du système est autour du point d’équilibre. Xs2 MC MG Xs1 MRP S(X) Fig. IV.4 : les modes de trajectoires dans le plan de phase IV.6 CONCEPTION DE LA COMMANDE PAR MODE GLISSANT La conception de la commande par mode glissant revient principalement à déterminer trois étapes : 1. Le choix de la surface. 2. L’établissement des conditions d’existence de la convergence. 3. La détermination de la loi de commande.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 43
  • 57. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP IV.6.a CHOIX DE LA SURFACE DE GLISSEMENT Le choix de la surface de glissement concerne non seulement le nombre nécessaire de ces surfaces mais également leur forme en fonction de l’application et de l’objectif visé .En général, pour un système défini par l’équation d’état suivant [11] :  x(t )  f ( x, t )  g ( x, t )u(t ) (4.8) Il faut choisir «m» surfaces de glissement pour un vecteur y de dimension «m» .En ce qui concerne laforme de la surface, deux possibilités se présentent : soit dans le plan de phase ou dans l’espaced’état. Dans ce dernier cas, on trouve la méthode dite«loi de commutation par contre réaction d’état»celle- ci utilise les concepts du réglage par contre réaction d’état pour synthétiser la loi decommutation. Son inconvénient majeur réside dans le faite qu’elle présente une réponse transitoirelente et de conception très difficile. Dans le cas du traitement dans l’espace de phase, la fonction de commutation est une fonction scalaire, telle que la variable à régler glisse sur cette surface pour atteindre l’origine du plan de phase. Ainsi, la surface S (x) représente le comportement dynamique désiré du système. J.J.Slotine propose une forme d’équation générale pour déterminer la surface de glissement qui assure la convergence d’une variable vers sa valeur désirée, cette équation est sous la forme suivant : [2] Avec : S ( x )  (   x ) r 1 e( x ) (4.9a) t e(x ) : L’écart de la variable à régler. e( x)  x ref  x . (4.10)  x : Une constante positive qui interprète la bande passante du contrôle désiré. r : Degré relatif, égale au nombre de fois qu’il fait dériver la sortie pour faire apparaître lacommande. Il est à noter qu’en général, on donne une grande valeur à  x pour assurer l’attractivité ainsi que lemaintien du système sur cette surface.Où : x  k  (4.9b) e  k : scalaire positif donné ;   : Constante positive de valeur très faible. k Il est à noter que représente la pente de glissement le long de la surface quand elle est atteinte par le système. Pour r 1 S ( x)  e( x) . Pour r  2 S ( x)  x e( x)  e( x) .  Pour r  3 S ( x)  2 e( x)  2x e( x)  e( x) . x    S ( x )  0 est une équation différentielle linéaire dont l’unique solution est e( x )  0 .UDL – Sidi bel Abbés - 2011 44
  • 58. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP La difficulté de cette commande, revient à un problème de poursuite de trajectoire dont l’objectifest de garder S (x) à zéro .Ceci est équivalent à une linéarisation exacte de l’écart en respectant lacondition de convergence .La linéarisation exacte de l’écart a pour but de forcer la dynamique del’écart : (référence – sortie) à être une dynamique d’un système linéaire autonome d’ordre « r »[11][12][23][28]. S (x)  e r (x) e r 1 ( x ) e(x )    e( x ) : Sortie S ( x ) : Entrée  r 1    0 Fig. IV.5 : Linéarisation exacte de l’écart. IV.6.b CONDITIONS DE CONVERGENCE [11][12] Les conditions de convergence ou d’attractivité permettent aux dynamiques du système deconverger vers les surfaces de glissement et rester indépendamment a la perturbation. Il y’a deuxconditions, celles correspondent au mode de convergence de l’état de système qui sont :  La fonction de commutation.  La fonction de LYAPUNOV. IV.6.b.1 Fonction directe de commutation C’est la première condition de convergence, elle est proposée par U.TKIN, Il s’agit de donner à lasurface une dynamique convergente vers zéro. Elle est donnée par :  S ( x ). S ( x )  0 (4.11) Ceci signifie, Figure (IV.6) que la trajectoire du point de fonctionnement après avoir atteint lasurface de glissement durant un régime transitoire qui vérifie la condition (4.11) oscille de part etd’autre de la surface avec une fréquence élevée et une amplitude faible et tend rapidement vers lepoint de fonctionnement désiré ( e( x )  0 ).[28]UDL – Sidi bel Abbés - 2011 45
  • 59. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP Fig. IV.6 : L’évolution du point de fonctionnement dans l’espace des phases TG: temps de glissement; le glissement s’effectue a partir de TG au voisinage de la surface deglissement S(x) = 0. IV.6.b.2 Fonction de LYAPUNOV [24] La fonction de LYAPUNOV est une fonction scalaire positive V ( x)  0 pour les variables d’état dusystème, la loi de commande doit faire décroitre cette fonction, la condition, elle rend la surfaceattractive et invariante. En définissant la fonction de LYAPUNOV par : 1 2 V ( x)  S ( x) (4.12) 2 Pour que la fonction de LYAPONUV décroisse, il suffit de s’assurer que sa dérivée soitnégative. Ceci est vérifié par la relation suivante :   V ( x)  0  S ( x)S ( x)  0(4.13) Cela peut être exprimé par léquation suivante :  lim S  0 et  lim S  0 s  0 s  0(4.14) Léquation (4.12) explique que le carré de la distance vers la surface mesurée par S2(x)diminue tout le temps, contraignant la trajectoire du système à se diriger vers la surface dans lesdeux côtés. Cette condition suppose un régime glissant idéal- où la fréquence decommutation est infinie. IV.6.C CALCUL LA LOI DE COMMANDE [11] Une fois la surface de glissement est choisie, ainsi que le critère de convergence, il reste àdéterminer la commande nécessaire pour ramener la variable à contrôler vers la surface etensuite vers son point d’équilibre en maintenant la condition d’existence des modes glissants.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 46
  • 60. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP Une des hypothèses essentielles dans la conception des systèmes à structure variable contrôlés parles modes glissants, est que la commande doit commuter entre u Max et u Min instantanément (fréquenceinfinie), en fonction du signe de la surface de glissement Figure (IV.7) .Dans ce cas, des oscillations detrès haute fréquence qui apparaissent dans le mode de glissement. u u Max S (x) u Min Fig. IV.7 : Commande appliquée aux systèmes à structure variable. IV.7 DEFINITION DES GRANDEURS DE COMMANDE [4][11][24][26] En mode glissant, le but est de forcer la dynamique du système à correspondre avec la surface deglissement S(X) au moyen d’une commande définie par l’équation suivante : u(t )  ueq (t )  uN (4.15)avec :  U : grandeur de commande,  U eq : correspond à la composante équivalente.  Un : correspond à la composante non linéaire (grandeur de commande discontinue).  Lorsque la surface de commutation est atteinte, équation (4.7), on peut écrire : U  Ueq avec u N  0. (4.16) La commande Ueq peut être interprétée comme étant la valeur moyenne que prend la commande Ulors des commutations rapides entre ( u Max ) et ( u Min ) : u u eq uMax t t u Min Fig. IV.8 : La valeur continue u eq prise par la commande lors de la commutation entre u Max et u Min .UDL – Sidi bel Abbés - 2011 47
  • 61. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP Le vecteur de commande U permet donc de régler les dynamiques des deux modes defonctionnement :  U eq : Permet dinfluer sur le mode de glissement. Elle est calculée en sachant que le  comportement du système durant le modèle de glissement est décrit par S ( x )  0 .c’est-a-dire dans le cas d’un système sans incertitudes. elle est obtenue grâce aux conditions d’invariance de la surface donnée par l’équation (4.7) : S ( x, t )  0 et  S ( x, t )  0  u N : Permet dinfluer sur le mode dapproche, elle est déterminée pour garantir l’attractivité de la variable à contrôler vers la surface de glissement et satisfaire la condition de convergence, elle assure l’insensibilité du système aux variations des paramètres [3][4]. IV.8 EXPRESSION ANALYTIQUE DE LA COMMANDE Nous nous intéressons au calcul de la commande équivalente et par la suite au calcul la commandeattractive du système défini dans l’espace d’état par l’équation (4.8) :  x(t )  f ( x, t )  g ( x, t )u(t )(4.8) Le vecteur u est composé par deux grandeurs : u(t )  ueq (t )  uN (4.15)On a : dS S x S  S S  S ( x, t )   .  . x  .  f ( x, t )  g ( x, t )ueq  . g ( x, t )un  (4.17) dt x t x x x En mode de glissement, la trajectoire restera sur la surface de commutation S ( x )  0 , autrement dit, sa dérivée sera nulle S ( x )  0 et u N  0 , l’équation (4.16). 1  S   S  (4.18) ueq (t )    f ( x, t )   g ( x, t ) , u N  0  x   x  Durant le mode de convergence, en remplaçant le terme u eq par sa valeur (4.18) dansl’équation(4.17). (4.19) S d’ou : ueq  Lf  Lg 1Posons : L  x Donc, nous obtenons une nouvelle expression de la dérivée de la surface : (4.20) S S ( x )  g ( x, t )uN   xUDL – Sidi bel Abbés - 2011 (4.21)48
  • 62. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP Le problème revient à trouver u N tel quel : S S ( x ) S ( x )  S ( x ) g ( x, t )u N   0  x La solution la plus simple est de choisir u N sous la forme de relais, Figure (IV.9). Dans ce cas, lacommande s’écrit comme suit : uN  K  sign( S ( x)) uN +K S ( x) -K Fig. IV.9 : définition de la commandeEn remplaçant l’expression (4.22) dans (4.21), on obtient :  S S ( x)S ( x)  S ( x) K . g ( x, t )  0 (4.23) x S  le facteur g ( x, t ) est toujours négatif pour la classe de système que nous considérons. x  Le gain K est choisi positif pour satisfaire la condition (4.23) .Le choix de ce gain est très influent car s’il est très petit, le temps de réponse sera très grand et s’il est choisi très grand, nous aurons un temps de réponse très petit et des fortes oscillations au niveau de l’organe de la commande .Ces oscillations de très haute fréquence, appelées « Chattering » peuvent exciter les dynamiques négligées ou même détériorer l’organe de commande ou endommager les actionneurs[11]. IV.9 PHENOMENE DE CHATTERING Un régime glissant idéal requiert une commande pouvant commuter à une fréquence infinie. Evidement, pour une utilisation pratique, seule une commutation à une fréquence finie est possible.Ainsi, durant le régime glissant, les discontinuités appliquées à la commande peuvent entrainer unphénomène de broutement ou « chattering ». Celui-ci se caractérise par de fortes oscillations destrajectoires du système autour de la surface de glissement. Le principal raison à l’ origine de cephénomène, c’est le caractère discontinu de la commande correspond à la composante discontinue dela forme « k.sign(S) » qui permet au point de fonctionnement d’osciller autour de la surface deglissement avec une fréquence élevée sous la forme (4.22) rappelée ci-dessous u N  K  sign( S ( x))UDL – Sidi bel Abbés - 2011 49
  • 63. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP C’est pour ça qu’on peut dire que lorsque la surface de commutation est atteinte, condition (4.7), onpeut écrire : u  ueq , u N  0 .  On a un glissement moins satisfaisant si on a un chattering plus important.  le phénomène de chattering apparaît clairement dans la courbe de couple électromagnétique, Cependant le phénomène de chattering sera réduit par des techniques qui sont cité dans le paragraphe suivant. [3][5][27][28] IV.10 ELIMINATION DU PHENOMENE DE CHATTERING [7] Du point de vue de la synthèse de commande, on procède généralement au choix de la surface decommutation s( x)  0 en fixant le plus souvent la dynamique de glissement, puis on en déduit unecommande discontinue u( x, t )  0 du type, équation (4.2) qui rend cette surface attractive et assureainsi l’apparition du mode de glissement. Ce mode de glissement idéal est illustré par la figure (IV.2). Un mode de glissement idéal correspondà une commande qui commute à une fréquence infinie or il n’existe aucun organe de commandepouvant réaliser cette opération. Malgré les différents avantages de la commande par modes deglissement, son utilisation a été entravée par un inconvénient majeur lié au phénomène de broutement(phénomène de chattering), figure (IV.10). Ce phénomène est une conséquence naturelle ducomportement dynamique réel de l’ensemble actionneur système à commander. Le broutement peut provoquer une détérioration anticipée de l’organe de commande ou exciter desdynamiques hautes fréquences non considérées dans la modélisation du système. Ainsi, nous allons chercher par différentes méthodes à limiter ce phénomène. Fig. IV.10 : Mode de glissement avec chattering. IV.10.1 COMMANDE DISCONTINUE DE BASE Plusieurs choix pour la commande discontinue un peuvent être faits. Le plus simple consiste àexprimer la commande discontinue un  [u1, u2.......un] avec la fonction signe par rapport as  [s1, s2.......sm] Sign ( S )  1 si S  0  (4.24) Sign ( S )  1 si S  0UDL – Sidi bel Abbés - 2011 50
  • 64. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP un S’exprime donc : un  k  sign  ( s( x)) (4.25)Avec : k Gain positif. Ce premier choix de la fonction discontinue est représenté sur la figure suivante : un K S (x) K Fig. IV.11 : Commande appliquée aux systèmes à structure variable. IV.10.2 COMMANDE AVEC UN SEUIL Cette commande est caractérisée par un seuil ε. Dans la bande qui entoure la surface de glissements(x ) , seule la composante continue ( ueq ) de la de tension de commande (u = ueq+ un) agit. La partiediscontinue ( un ) étant égale à zéro, les oscillations sur les réponses fortement atténuées. Cependantlorsque ε augmente, il apparaît un écart statique sur la réponse en régulation. La commandediscontinue est donnée par l’expression :  0 si S ( x)    un   (4.26)  Ksign( S ( x )) si S ( x)     Ce choix de la fonction est représenté par la figure (IV .12) : ueq  e(x ) un +K …... -ε S(x) +ε e(x) ….. -K S(x)=0 (b) (a) Fig. IV.12 : (a) : Traduction de la bande qui entoure la surface dans le plan de phase ; (b) : Fonction signe avec un seuil.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 51
  • 65. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP Ce type de commande nest pas très utilisé, car en plus du problème derreur statique en présencedune perturbation, un intervient avec toute sa valeur et des oscillations peuvent persister en régimepermanent. Un adoucissement de la commande un est donc nécessaire. IV.10.3 COMMANDE ADOUCIE Dans le but de diminuer progressivement la valeur de la commande un en fonction de la distanceentre la trajectoire de la variation à régler et la surface de glissement, donc il s’agit d’encadrer lasurface par une bande avec un ou deux seuils. Cette commande est caractérisée par un seuil ( 1) oudeux seuils (1, 2) pour Diminuer progressivement la valeur de la commande un . Dans cette configuration présentée par la figure (IV.13), on peut distinguer trois zones dansl’intervalle positif qui dépendent de la distance du point à la surface de glissement :  La distance est supérieure au seuil (2) , alors la fonction signe est effective.  La distance est inférieure au seuil (1), alors un est nul (zone morte)  Le point dans la bande (1, 2) et alors un est une fonction linéaire de la distance. K Droite de pente égale : (4.27)  2  1 un  e(x) +K ……………. -ε2 -ε1 S(x) +ε1 +ε2 P1 P2 e(x) ………….… -K ueq+un adoucie S(x)=0 un Fig. IV.13 : Fonction signe de la commande adoucie Quelle que soit la méthode utilisée, nous remarquons que le seuil est grand, il y a problème deprécision. En effet le système va évoluer dans la bande et risque donc de ne jamais atteindre le pointdésirer (origine du plan de phase). En conclusion, nous pouvons dire que la commande adoucie :  Limitent voir éliminent les oscillations de glissement.  de point de vue théorique, le mode de glissement nexiste plus parce que la trajectoire détat nest pas forcée de rester sur s( x )  0 .UDL – Sidi bel Abbés - 2011 52
  • 66. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP  le système ayant deux points déquilibre (P1 et P2) et par conséquence, en régime permanent, un écart statique apparaît et dépend du seuil utilisé. IV.10.4 COMMANDE CONTINUE AVEC COMPOSANTE INTEGRALE Les oscillations de haute fréquence qui apparaissent sur les réponses en régime glissant peuvent êtreéliminées en convertissant la commande discontinue un , équation (4.26) en commande continue enremplaçant la fonction signe par la fonction continue voisine : S ( x) un  K . (4.28) S ( x)    : est un paramètre définissant le degré datténuation des oscillations. Lorsque   0, on tend vers la même commande discontinue défini par (4.26). La fonction un est illustrée sur la figure (IV.14) : un +K - S(x) - -K Fig. IV.14 : Fonction intégrale de un Pour augmenter la précision de la réponse du système, on peut utiliser une commande continueincluant une composante intégrale qui devient active lorsque le point est proche de la surface. En général, le compensateur intégral diminue lerreur en régime permanent, mais il est souventindésirable pour les régimes transitoires brusques, car il provoque des oscillations supplémentaires surla réponse. La commande un dans ce cas devient : S( x ) un  K .  (4.29) S( x )  Avec :   0   (4.30)  0 . S ( x )dt    si S ( x )   (4.31) 0  si S ( x )  UDL – Sidi bel Abbés - 2011 53
  • 67. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP  0 . S ( x )dt    si S ( x )   (4.32) 0  si S ( x )  Où  0 ,  0 , 0 ,  sont des constantes ou paramètres adaptatifs en fonction des références. Ce typede commande est difficile à mettre en œuvre car il y a un grand nombre de paramètres à déterminer. IV.10.5 UTILISATION D’UNE SURFACE AUGMENTEE Le phénomène des oscillations peut être résolu par une méthode différente des méthodes décritesci-dessus et qui consiste à augmenter faiblement l’ordre de la surface de glissement. En introduisant ladérivée de l’erreur dans le calcul de la surface (ce qui revient à introduire un terme d’accélérationdans le cas de l’asservissement de vitesse). S ( x)  K1e( x)  K2e( x)  (4.33)Où : K1 , K2 sont deux constantes positives. L’emploi d’une surface augmentée entraîne une augmentation de la fréquence de commutation de lacommande d’où une diminution des oscillations. IV.11 APPLICATION DE LA COMMANDE PAR MODE DE GLISSEMENT A LA MSAP On rappelle le modèle de la machine synchrone à aimants permanents : d  R L 1  dt Id  Id   s Id  q p r Iq  Ud (a ) Ld Ld Ld  d  Rs Ld p f 1  Iq  Iq   Iq  p r Id  r  Uq (b) (4.34)  dt Lq Lq Lq Lq d  p Ld  Lq I d  p f 1 f  r  r  I q  Cr   r (c)  dt J J J IV.11.a Stratégie de réglage à trois surfaces La figure (IV.15) présent le schéma du réglage par mode glissement utilisant le principe de laméthode de réglage en cascade, la structure comprend une boucle de régulation de vitesse qui génère   la référence de courant Iq laquelle impose la commande Vq .la commande Vd est imposée par la régulation de courant Id .UDL – Sidi bel Abbés - 2011 54
  • 68. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP Fig. IV.15 : schéma global de réglage par mode glissant stratégie de trois surfaces IV.11.a.1 REGLAGE DE LA VITESSE La synthèse de commande exploite la technique des modes glissants en utilisant le principe de laméthode de réglage en cascade, Cette dernière nécessite le choix des surfaces qui assurent les objectifsde commande. [11][21] On remarque que d’après l’équation (4.34c), le degré relatif de la vitesse r avec Iq est égal a 1 : Dans ce cas, l’erreur de réglage est choisie comme la surface : S (r )   rref  r (4.35) Par conséquent sa dérivée :    S (r )   rref  r (4.36) La loi de commande est définie par : Ur  Ureq  Urn (4.37) Qui est exprimée aussi par la forme suivant : Iqref  Iqeq  Iqn (4.38) Si ont remplace l’équation (4.34 c) dans (4.36), on obtient :   pLd  Lq I d  p f 1 f S (r )   rref  Iq  Cr   r (4.39) J J J Et si on remplace l’équation (4.38) dans (4.39), on obtient :UDL – Sidi bel Abbés - 2011 55
  • 69. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP   pLd  Lq I d  p f 1 f S (r )   rref  ( Iqeq  Iqn)  Cr   r (4.40) J J J Durant le mode de glissement on a :  S ( r )  0 , S ( r )  0 , Iqn  0 (4.41) Donc, on déduit la commande équivalente à partir de l’équation (4.40) :  f 1  rref rref  Cr I qeq  J J (4.42) p( Ld  Lq )  . Id  p f J J Durant le mode de convergence, la dérivée de l’équation de LYAPUNOV doit être négative :   V ( r )  S ( r )S ( r )  0 , si en remplace l’équation (4.42) dans (4.40), on obtient :   pLd  Lq   S (r )    I d  p f  Iqn (4.43)  J Avec : I qn  kr  sign( S ( r )) (4.44) k r : Gain positive pour le régulateur de vitesse. IV.11.a.2 REGLAGE DU COURANT Id L’expression de courant Id est donnée par l’équation (4.34a): d  R L 1 I d  I d   s I d  q p r I q  U d (4.34a) dt Ld Ld LdOn remarque que d’après l’équation (4.34a),le degré relatif du courant Id avec la commande Ud estégal à 1: Donc la variable erreur ed est donnée par : e d  I dref  I d (4.45) L’erreur résultante sera corrigée par un régulateur fonctionnant en mode de glissement et la surfacede cette régulation est donnée par : S ( I d )  I dref  I d (4.46) Par conséquent la dérivé de la surface :    S ( I d )  I dref  I d (4.47) En tenant compte de l’expression du courant Id déduite dans l’équation du système (4.34a), ladérivé de cette surface devient :UDL – Sidi bel Abbés - 2011 56
  • 70. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP   Rs L 1 S ( I d )  I dref  I d  q p  r I q  Ud (4.48) Ld Ld Ld Lorsque le régime glissant est atteint, la surface s’annule et par conséquent sa dérivée est donnéepar :   R L  S( Id )  0  Udeq   I dref  s I d  q p  r I q  Ld , Udn  0   (4.49)  Ld Ld D’où Udref  Udeq  Udn (4.50) Durant le mode de convergence :  S ( Id ) S ( Id )  0 (4.51) U dn  Kd sign( S ( I d )) (4.52) Par conséquent, la commande a la sortie de régulateur dévient:   R L  Ud   I dref  s I d  q p  r I q  Ld  Kd sign( S ( I d ))   (4.53)  Ld Ld  K d : Gain positive pour le régulateur de courant direct. IV.11.a.3 REGLAGE DU COURANT Iq L’expression de courant Iq est donnée par l’équation (4.34b) : d  R L p f 1 Iq  Iq   s Iq  d p r Id  r  Uq (4.34b) dt Lq Lq Lq Lq La valeur de Iqref a la sortie de régulateur de la vitesse est comparée à celle mesurée. L’erreurrésultante sera corrigée par un régulateur fonctionnant en mode de glissement. Pour calculer Uqref et Uqn on passe par la même procédure précédente. La surface de cette régulation est donnée par l’équation suivant: S ( I d )  I dref  I d (4.54) Sa dérivée est donnée par :    S ( I q )  I qref  I q (4.55)  En remplaçant la valeur Iq de (4.34b) dans l’équation (4.55), on obtient :    R L p f 1  S ( I q )  I qref    s I q  d p  r I d  r  Uq  (4.56)  L Lq Lq Lq   q UDL – Sidi bel Abbés - 2011 57
  • 71. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP Uqref  Uqeq  Uqn (4.57)  Lorsque le régime glissant est atteint, la surface s’annule: S ( Iq)  0 , S ( Iq )  0 , Donc :  R L p f  Uqeq   I qref  s I q  d p  r I d   r  Lq , Uqn  0 (4.58)  Lq Lq Lq    Pour garantir la convergence on choisi : U qn  Kq  sign( S ( I q )) (4.59) En remplaçant la valeur de Uqeq (4.58) et de U qn (4.59) dans Uqref (4.57), on obtient :  R L p f  Uqref   I qref  s I q  d p  r I d   r  Lq  K q sign( S ( I q )) (4.60)  Lq Lq Lq   Avec K q : Gain positive pour le régulateur de courant quadratique. IV.11.b RESULTAT DE SIMULATION Pour la validation de la structure de la commande par mode glissant. On a fait des simulations àl’aide du logiciel MATLAB/simulink. Le schéma de simulation est donné par la figure (IV.15). La figure (IV.16) représente le comportement dynamique de l’ensemble MSAP –onduleur (MLI) avecrégulation par mode glissement, stratégie de trois surfaces. La simulation est faite comme suit : Le démarrage à vide pour une consigne de 100 (rad/s) avec application d’un couple résistant Cr=8(Nm) entre [0.1 et 0.2] (s) puis on inverse le sens de rotation de  r  100 (rad/s) à  r  -100 (rad/s)à l’instant t = 0.3(s) puis on refait l’application d’un couple résistant Cr =-8 (Nm) entre [0.4 et 0.5] (s).UDL – Sidi bel Abbés - 2011 58
  • 72. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP ZOOM - - 40 8 couple resistante (Nm) 30 Iq(A) 6 20 4 10 Id(A) 2 0 0 -10 -2 -20 -4 -30 -6 -8 -40 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 temps(s) temps(s) 40 30 couple éléctromagnetique Ce (Nm) 20 10 0 -10 -20 -30 -40 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 temps(s) 100 40 erreur wr (rad/s) is(A) 50 20 0 -50 0 -100 -20 -150 -40 -200 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 temps(s) temps(s) Fig. IV.16 : réponse de la MSAP avec régulation par mode glissant sans variation paramétrique IV.11.b.1 TEST DE ROBUSTESSE Pour mettre en évidence l’importance de la technique de la commande par mode glissant, on vaeffectuer des tests de robustesse de notre machine ; et pour vérifier cette dernière :UDL – Sidi bel Abbés - 2011 59
  • 73. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP 1/ on a varié les paramètres électriques de la machine à savoir:  Rs : La résistance statorique. 2/On fait également varier les paramètres mécaniques à savoir :  J : Le moment d’inertie. Les variations introduites dans les essais ressemblent en pratique aux conditions de travail commeéchauffement et le freinage. a- TEST DE ROBUSTESSE PAR RAPPORT A LA VARIATION DE LA RESISTANCE STATORIQUE Dans ce test on a triplé et quintuplé la valeur initiale de la résistance statorique. Les résultatsobtenus sont donnés par la figure (IV.17) : Vitesse de référence Vitesse réelle (Rs) Vitesse réelle (3*Rs) Vitesse réelle (5*Rs) Fig. IV.17 : comportement dynamique de la MSAP avec changement de résistance statorique avant le démarrage. On remarque d’après la figure (IV.17) que la vitesse restera insensible aux variations de larésistance statorique et cette dernière suit sa consigne avec un temps de réponse très court sans aucundépassement. b- TEST DE ROBUSTESSE PAR RAPPORT A LA VARIATION DE MOMENT D’INERTIE J 150 vitesse de référence Wr(rad/s) 100 Wr( 3*J ) 50 0 Wr( 2*J ) Wr( J ) -50 -100 -150 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 temps(s) Fig. IV.18 : comportement dynamique de la MSAP avec changement de moment d’inertie avant le démarrage. Pour le moment d’inertie, on a doublé et triplé la valeur initial, on remarque que la vitessemécanique suit sa consigne avec un temps de réponse qui est très petit (environ 0.015(s) pour chaquevariation).UDL – Sidi bel Abbés - 2011 60
  • 74. CHAPITRE : IV Commande par mode glissant de la MSAP c- INTERPRETATION Les différentes simulations faites nous permettent de constater que :  Le rejet de perturbation est très rapide ;  Un temps de réponse très faible ;  Une erreur statique pratiquement nulle ;  Un découplage réalisé avec succès par le maintient de Id nul ;  Le système répond positivement à ce test, il est insensible aux perturbations internes etexternes, cette commande présente une bonne robustesse. IV.11.b.2 CONCLUSION Dans ce chapitre, nous avons présenté la commande à structure variable (CSV) fonctionnant enmode de glissement appliquée à la machine synchrone à aimants permanents, après la présentation dela théorie de base de cette commande et le calcul des lois de régulateurs, nous avons réalisé unesimulation de la commande par la méthode de trois surfaces : une structure en cascade ( surface de lavitesse avec la surface du courant quadratique) et la surface du courant direct. La commande par mode glissant montre que les performances sont meilleures autour du point defonctionnement. Le point fort de cette technique de régulation est la simplicité de mise en œuvre et larobustesse même en présence des perturbations internes et externes avec un temps de réponse trèsfaible. Finalement, on peut conclure que la caractéristique essentielle de cette technique est la capacité derobustesse dans tout le régime permanent, Néanmoins cette robustesse reste limitée par uninconvénient du réglage qui réside dans l’existence d’une loi de contrôle discontinu produisant l’effetde « chattering ». Le contrôle par mode glissant garanti une bonne insensibilité à la variation paramétrique illustréepar la poursuite en vitesse est sans dépassement, sans erreur statique, la stabilité et la convergencevers l’équilibre. On ajoute aussi que la régulation proposée peut être appliquée dans des domainesexigeants de hautes performances telles que le domaine de la robotique et le domaine des machinesoutils.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 61
  • 75. CONCLUSION GENERALE
  • 76. Conclusion générale CONCLUSION GENERALE e travail présenté dans ce mémoire est une modeste contribution à l’étude des performances des commandes appliquées sur la machine synchrone à aimants permanents à pôles saillant. Lobjectif principal de ce mémoire est la réalisation dune nouvelle commande robuste par mode glissant qui améliore les performances de la machine. Afin daborder cette étude, on a présenté au premier chapitre, une étude générale sur les aimantspermanents (leurs structures et leurs propriétés), avantages et les domaines d’application qui concernela machine synchrone à aimants permanents. Ensuite, nous avons abordé dans le deuxième chapitre la problématique de la modélisation de lamachine synchrone à aimants permanents en se basant sur les équations électriques et mécaniquesdans le repère (abc) et (d-q).le modèle mathématique de la machine obtenue par la transformation dePARK en tenant compte des hypothèses simplificatrices qui permettent de réduire la complexité dusystème. L’association convertisseur-machine nous a permis de constater une insuffisance au niveau desperformances. A partir des équations présentées dans le chapitre et les courbes de simulation obtenuspar le logiciel MATLAB/simulink, On a constaté que la machine est non linière et fortement couplé. Au troisième chapitre, on a donné un aperçu explicite d’une solution parmi les différentes solutionsde découplage, qui est la commande vectorielle. La commande vectorielle permet d’imposer à lamachine synchrone à aimants permanents un comportement semblable à celle de la machine à courantcontinu à excitation séparée là ou les courants ne s’affectent pas entre eux. La commande par mode glissant a fait l’objet d’un quatrième chapitre, c’est une commande robusteliée aux systèmes à structures variables, dont le but est de palier les inconvénients des commandesclassiques, vu que la Commande a structures variables est par nature une commande non linéaire etque leur loi de commande se modifie dune manière discontinue. La robustesse apparait au moment del’ajustement automatique des régulateurs à la mise en œuvre (réduction du temps d’ajustement etamélioration des performances). Le point fort de cette technique de régulation est la simplicité de miseen œuvre et la robustesse par rapport aux perturbations internes et externes même aux incertitudes dusystème. Cependant le principal inconvénient du réglage par mode glissant réside dans l’existenced’une loi de contrôle discontinu produisant l’effet de chattering. Le choix de la fonction signe adouciepermet la réduction d’effet de chattering. Comme perspective, il est intéressant de valider les techniques de notre étude par des essaisexpérimentaux, et cherché d’élaborer un modèle mathématique qui assure la stabilité et la poursuitede consigne même dans le régime transitoire de système.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 62
  • 77. ANNEXE
  • 78. ANNEXE Paramètres de la machine synchrone à aimants permanents : Puissance : p = 1.5 KW La fréquence : F = 50 Hz Résistance statorique : Rs = 0.6 Ω Inductance suivant l’axe d : Ld = 1.4 . 10-3 H Inductance suivant l’axe q : Lq = 2.8 . 10-3 H Nombre de paire de pôles : P =4 Flux permanent : φ f = 0.12Wb Moment d’inertie : J = 1.1.10-1 kg.m2 Coefficient de frottement visqueux : f = 1.4.10-3 N.m.s/radUDL – Sidi bel Abbés - 2011 63
  • 79. BIBLIOGRAPHIE
  • 80. BIBLIOGRAPHIEThèses[1] M. CARRIERE Sébastien, Synthèse croisée de régulateurs et dobservateurs pour le contrôle robustede la machine synchrone, Thèse de doctorat, lInstitut National Polytechnique de Toulouse, France,année 2010.[2] HUSSAIN Ayman, Contribution à la commande adaptative robuste par modes glissants, Thèse dedoctorat, Université de Reims Champagne Ardenne, FRANCE, année 2009.[3] BENMANSOUR Khelifa, Réalisation d’un banc d’essai pour la commande et l’observation desconvertisseurs multicellulaires, Thèse de doctorat, Université de Cergy Pontoise, FRANCE, année 2009.[4] MASSOUM Ahmed, Contribution à la Commande Singulièrement Perturbée d’une Machine Synchroneà Aimants Permanents : Commande à Structure Variable (CSV); Commande Neuro-Floue. Thèse dedoctorat, Université de Djilali Liabes , SBA , Algerie, année 2007.[5] ABID Mohamed , Adaptation de la commande optimisée au contrôle vectoriel de la machineasynchrone alimentée par onduleur à M.L.I ,Thèse de doctorat, Université de Djilali Liabes ,SBA,Algerie, année 2006.[6] FAROOQ Jawad Ahmed, Etude du problème inverse en électromagnétisme en vue de la localisationdes défauts de désaimantation dans les actionneurs à aimants permanents, Thèse de doctorat,Université de Technologie de Belfort, MONTBELIARD, France. année 2008.[7] SOSSE ALAOUI Mohammed Chakib, Commande et observateur par modes glissants d’un système depompage et d’un bras manipulateur, Thèse de doctorat, université sidi Mohamed ben Abdellah, Fes,Maroc, année 2009.[8] CIMUCA Gabriel Octavian, Système inertiel des stockage d’énergie associe a des générateurséoliens, Thèse de doctorat, Ecole Nationale Supérieure D’arts et Métiers Centre de Lille, France. année2005.[9] GASC Laurent, Conception d’un actionneur à aimants permanents à faibles ondulations de couplepour assistance de direction automobile Approches par la structure et par la commande, Thèse dedoctorat, Institut National Polytechnique de Toulouse, France, année 2004.[10] VIDAL Paul-Etienne, Commande non-linéaire dune machine asynchrone a double alimentation,Thèse de doctorat, Ecole Nationale Supérieure Electrotechnique, Délectronique, Dinformatique,Dhydraulique et des Télécommunications, TOULOUSE, France, année 2004.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 64
  • 81. Mémoires Magisters[11] BELABBES Baghdad ,Commande linearisante d’un moteur synchrone à aimants permanents,mémoire de magister, université djilali liabes, SBA ,Algérie, année 2001[12] SEKKEL Ahmed Sadreddine, Etude comparative des différentes commandes de la machine àaimants permanents, mémoire de magister, université djilali liabes SBA, Algérie, année 2008.[13] REZGUI SALAH EDDINE , Commande de machine electrique en environnement, Matlab/Simulink etTemps Réel, mémoire de magister, Université Mentouri de Constantine, Algérie, année 2009.[14] LAHOUEL Dalila,Commande non linéaire adaptative dune machine synchrone à aimants permanents,mémoire de magister, Université de Batna, Algérie, année 2009.[15] BENBRAHIM Amel, Commande prédictive généralisée d’une machine synchrone à aimantspermanents, mémoire de magister, Université de Batna, Algérie, année 2009.[16] BEN FERDIA Abdelkader, Commande non linéaire d’un moteur synchrone à aimants permanents,mémoire de magister, Université de Batna, Algérie, année 2006.[17] BENCHABANE Fateh, Commande en position et en vitesse par mode de glissement d’un moteursynchrone triphasé à aimants permanents avec minimisation du chattring, mémoire de magister,Université mohamed khider de Biskra, Algérie, année 2005.[18] MERZOUG Med Salah, Etude comparative des performances d’un DTC et d’un FOC d’une machinesynchrone à aimants permanents, mémoire de magister, Université de Batna, Algérie.Mémoire Master[19] BOUDISSA Ahmed, Synthèse dobservateurs adaptatifs pour la commande sans capteur de lamachine synchrone: application aux véhicules hybride, mémoire de master, Université de Poitiers,France, Année 2010.Articles[20] ADJOUDJ Mohamed, ABID Mohamed, AISSAOUI Abdelghani, RAMDANI Youcef, BOUNOUA Houria,Commande par mode glissant d’une machine asynchrone à double alimentation montée dans uneéolienne, Revue « Nature et Technologie », janvier 2010.[21] B.BELABBES, A. MEROUFEL, M.K. FELLAH et M. ABID, Commande à structure par linéarisationexacte de l’écart d’un moteur synchrone à aimants permanents, Volume 49, Number 2, 2008.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 65
  • 82. [22] KECHICH Abderrahmane et MAZARI Benyounes, La commande par mode glissant : Application à lamachine synchrone à aimants permanents, ISSN 1813-548X, Afrique SCIENCE 04(1), 2008.[23] A. Kechich1, B. Mazari2 and I. K. Bousserhane, Application of nonlinear sliding-mode control topermanent magnet synchronous machine, International Journal of Applied Engineering Research , ISSN0973-4562 Vol.2, No.1 ,2007.[24] A.BENAISSA et M.K.FELLAH, Commande par mode glissement d’un convertisseur AC/DC aveccorrection du facteur de puissance, ACTA ELECTROTEHNICA, volume 47, Number 2,2006.[25] A.TITAOUINE, F. BENCHABANE, K. YAHIA, PR: A. MOUSSI, Commande d’une machine synchrone àaimants permanents et estimation de ces paramètres en utilisant le filtre de Kalman étendu, Courrierdu Savoir – N°07, pp.37-43, Décembre 2006.[26] Abdel Ghani Aissaoui, Hamza Abid, Mohamed Abid, Fuzzy sliding mode controlfor a self-controlled synchronous motor drives, Electronic Journal «TechnicalAcoustics»,2005[27] V. I.UTKIN, G. BARTOLINI, A. FERRARA, Adaptive sliding mode control in discrete-time systems,AUTOMATICA, Vol . 31, No. 5, PP. 769-773, science direct, 1995.Ouvrages[28]: Pierre Lopez et Ahmed Saïd Nouri, Théorie élémentaire et pratique de la commande par lesrégimes glissants, Mathématiques & Applications, Volume 55, DOI: 10.1007/3-540-34480-2_2,springerlink, 2006.[29] Eddie Smigiel et Guy Sturtzer, Modélisation et commande des moteurs triphasés, édition : Ellipses,Collection : Technosup ,Année 2000.Encyclopédie[30] François LEPRINCE-RINGUET, Techniques de l’Ingénieur D2 100, aimants permanents matériaux etapplications.UDL – Sidi bel Abbés - 2011 66