Chapter 1 mathmatics tools
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Chapter 1 mathmatics tools

on

  • 383 views

เอกสารประกอบการบรรยาย วิชา Theory of Computation ...

เอกสารประกอบการบรรยาย วิชา Theory of Computation
บทที่ 2 ความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์

Statistics

Views

Total Views
383
Views on SlideShare
363
Embed Views
20

Actions

Likes
0
Downloads
4
Comments
0

4 Embeds 20

https://www.facebook.com 17
https://m.facebook.com&_=1384652216632 HTTP 1
https://m.facebook.com&_=1384655351986 HTTP 1
http://www.facebook.com 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Chapter 1 mathmatics tools Chapter 1 mathmatics tools Presentation Transcript

  • ความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ อ.อธิศ ปทุมวรรณ มหาวิทยาลัยนเรศวร
  • เนื้อหา  เซ็ต ฟังก์ชัน และ กราฟ  ตัวอักษร สตริง และภาษา  เทคนิคการพิสูจน์  ไวยากรณ์และออโตมาตา 2 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • ความหมายของเซ็ต เซ็ต (Set) คือ กลุ่มของวัตถุโดยไม่คานึงถึงการจัดเรียง เรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก a เป็นสมาชิกของเซ็ต S จะเขียนอยู่ในรูป 𝑎 ∈ 𝑆 a ไม่เป็นสมาชิกของเซ็ต S จะเขียนอยู่ในรูป 𝑎 ∌ 𝑆 เซ็ต S ประกอบด้วยสมาชิกคือ a, b c จะเขียนในรูป 𝑆 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐} 3 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ View slide
  • ลักษณะของเซ็ต  เซ็ตจากัด (Finite Set ) ทราบจานวนสมาชิกที่แน่นอน 𝑆 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 𝑆 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐, … , 𝑧}  เซ็ตไม่จากัด (Infinite Set) ไม่ทราบจานวนสมาชิกแน่นอน 𝑆 = { 1, 2, 3, … } 𝑆 = { 𝑛 | 𝑛 𝑚𝑜𝑑 3 = 0}  เซ็ตว่าง (Empty Set) ไม่มีจานวนสมาชิกเลย 𝑆 = { } หรือ 𝑆 = 𝜙 4 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ View slide
  • เซตทีเท่ากัน (Equal Sets) ่  เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อเซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน  เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย 𝐴= 𝐵  เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทนด้วย 𝐴 ≠ 𝐵 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝐵 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝐶 = {𝑐, 𝑏, 𝑎} 𝐴= 𝐵 𝐴= 𝐶 5 𝑋 = 0, 1, 3, 5 𝑌 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐼 + , 𝑥 < 6} 𝑍 = {1, 3, 5, 7} 𝑋≠ 𝑌 𝑋≠ 𝑍 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets)  เซตที่มีจานวนสมาชิกเท่ากัน และ สมาชิกของเซตจับคู่กันได้พอดี แบบหนึ่งต่อหนึ่ง  เซต A เทียบเท่ากับ เซต B แทนด้วย 𝐴 ↔ 𝐵 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝐵 = 1, 2, 3, 4 𝐴↔ 𝐵 6 𝑋 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐼+ 𝑌 = {𝑥|𝑥 = 2𝑛, 𝑛 = 1, 2, 3, … } 𝑋↔ 𝑌 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets)  ถ้า 𝐴 = 𝐵 แล้ว 𝐴 ↔ 𝐵  ถ้า 𝐴 ↔ 𝐵 ไม่อาจสรุปได้ว่า 𝐴 = 𝐵 7 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • สับเซ็ต (Subset)  การที่เซต A จะเป็นสับเซตของเซต B ได้นั้นสมาชิกทุกตัวของเซต A จะต้องเป็นสมาชิกของเซต B  เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย 𝐴 ⊂ 𝐵  เซต B ไม่เป็นสับเซตของเซต C แทนด้วย 𝐵 ⊄ 𝐶 A 8 B C ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • สับเซ็ต (Subset)  เซ็ตทุกเซ็ตเป็นสับเซ็ตของตนเอง 𝐴⊂ 𝐴  เซ็ตว่างเป็นสับเซตของทุกเซ็ต ∅ ⊂ 𝐴  ถ้าเซ็ต 𝐴 ⊂ ∅ แล้ว 𝐴 = ∅  ถ้า 𝐴 ⊂ 𝐵 และ B ⊂ 𝐶 แล้ว 𝐴 ⊂ 𝐶  𝐴 = 𝐵 ก็ต่อเมื่อ 𝐴 ⊂ 𝐵 และ B ⊂ 𝐴 9 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • เพาเวอร์เซ็ต (Power Set)  ถ้า A เป็นเซตใด ๆ เพาเวอร์ของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นสับ เซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P(A) 𝐴=∅ 𝑃(𝐴) = ∅ 𝐵 = {𝑎} 𝑃(𝐵) = ∅, {𝑎} C = {𝑎, 𝑏} 𝑃(𝐶) = ∅, {𝑎}, {𝑏}, {𝑎, 𝑏} 10 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • การดาเนินการที่ทากับเซ็ต (Set Operation)  ปฏิบัติการระหว่างเซต คือ การนาเซตต่าง ๆ มากระทากันเพื่อให้เกิด เป็นเซตใหม่ได้ ซึ่งทาได้ 4 วิธี คือ     11 ยูเนียน (Union) ยูเนียนของเซต A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิก ของเซต A หรือ B อินเตอร์เซคชัน (Intersection) อินเตอร์เซคชันของเซต A และ B คือเซตที่ ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A และ B คอมพลีเมนต์ (Complement) คอมพลีเมนต์ของเซต A คือเซตที่ ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A ผลต่างของเซต (Difference) ผลต่างของเซต A และ B คือเซตที่ ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • ยูเนียน (Union) 𝑆1 ∪ 𝑆2 = {𝑎|𝑎 ∈ 𝑆1 𝑜𝑟 𝑎 ∈ 𝑆2 } 𝕌= 𝐴= 𝐵= 𝐴∪ 12 1, 2, 3, … , 20 1, 2, 3, 4, 5, 6 2, 4, 6, 8, 10 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} 𝕌 A B ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • อินเตอร์เซกชัน (Intersection) 𝑆1 ∩ 𝑆2 = {𝑎|𝑎 ∈ 𝑆1 𝑎𝑛𝑑 𝑎 ∈ 𝑆2 } 𝕌= 𝐴= 𝐵= 𝐴∩ 13 1, 2, 3, … , 20 1, 2, 3, 4, 5, 6 2, 4, 6, 8, 10 𝐵 = {2, 4, 6} 𝕌 A B ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • ฟังก์ชัน  ฟังก์ชัน (Function) ทาหน้าที่ในการเชื่อมโยงระหว่างอินพุทไปยัง เอาท์พุท โดยอินพุทหนึ่งค่าจะให้ค่าเอาท์พุทเพียงค่าเดียวเท่านั้น  𝑓 𝑥 = 𝑦 โดยที่ 𝑥 เป็นอินพุท และ 𝑦 เป็นเอาท์พุท input 𝑥 14 output 𝑓 𝑥 𝑦 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • ความสัมพันธ์ (Relation)  ความสัมพันธ์ (Relation) ทาหน้าที่ในการเชื่อมโยงความสัมพันธ์ ระหว่างเซตของอินพุท ที่เรียกว่าโดเมน (Domain) ไปยังเซ็ตของ เอาท์พุท ที่เรียกว่าเรนจ์ (Range) 𝑋 = 1, 2, 4 𝑌 = 4, 5, 6 ถ้ าให้ 𝑅 เป็ นความสัมพันธ์น้อยกว่า หรื อเรี ยกว่า 𝑅 เป็ นความสัมพันธ์ จาก 𝑋 ไปยัง 𝑌 โดยที่ 𝑥 < 𝑦 เมื่อ 𝑥 ∈ 𝑋 และ 𝑦 ∈ 𝑌 𝑥𝑅𝑦 = { 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,4 , 2,5 , 2,6 , 4,5 , (4,6)} 15 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน (Equivalence Relation)  ความสัมพันธ์แบบสะท้อน (Reflexive)  ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอด (Transitive)  ความสัมพันธ์แบบสมมาตร (Symmetric) 16 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • ความสัมพันธ์แบบสะท้อน (Reflexive) 𝑎𝑅𝑎 สาหรับทุก 𝑎 ที่อยูในเซต 𝑆 นันคือ 𝑎, 𝑎 เป็ นสมาชิกในเซ็ตของความสัมพันธ์ ่ ้ เช่น 𝑎𝑅𝑎 = 1,1 , 2,2 , (3,3) 17 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอด (Transitive) ถ้ า 𝑎𝑅𝑏 และ 𝑏𝑅𝑐 แล้ ว 𝑎𝑅𝑐 นันคือ ถ้ ามีความสัมพันธ์ 𝑎, 𝑏 และ 𝑏, 𝑐 แล้ ว ้ จะต้ องมี ความสัมพันธ์ 𝑎, 𝑐 เช่น 1,2 , 2,3 , (1,3) 18 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • ความสัมพันธ์แบบสมมาตร (Symmetric) ถ้ า 𝑎𝑅𝑏 แล้ ว 𝑏𝑅𝑎 นันคือ ถ้ ามีความสัมพันธ์ 𝑎, 𝑏 แล้ ว จะต้ องมี ความสัมพันธ์ ้ 𝑏, 𝑎 เช่น 1,2 , 2,1 19 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • กลุ่มของความเท่าเทียมกัน (Equivalence Class) สาหรับความสัมพันธ์ 𝑅 ที่ เท่าเทียมกัน (Equivalence Relation) กลุมของความเท่าเทียมกัน (Equivalence Class) ถูกนิยามโดย ่ Equivalence Class of 𝑥 = 𝑦 𝑥𝑅𝑦 เช่น 𝑅 = 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 1,2 , 2,1 , (3,4 , (4,3)} Equivalence Class of 1 = {1,2} Equivalence Class of 2 = {1,2} Equivalence Class of 3 = {3,4} Equivalence Class of 4 = {3,4} 20 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • กราฟ (Graph)  กราฟ (Graph) คือโครงสร้างข้อมูลที่ประกอบด้วยสองส่วนคือ โหนด (Nodes หรือ Vertices)  กิ่ง (Edges)  B D A  แบ่งออกเป็นสองประเภทใหญ่คือ C Undirected Graph กราฟที่ไม่มีทิศทาง (Undirected Graph)  กราฟที่มีทิศทาง (Directed Graph)  B A D C Directed Graph 21 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • การอธิบายกราฟโดยไม่ใช้แผนภาพ ใช้ สญลักษณ์กราฟ 𝐺 = (𝑉, 𝐸) ั โดยที่ 𝑉 คือเซตของโหนดที่อยูในกราฟ ่ 𝐸 คือคูลาดับของโหนดเพื่อใช้ อธิบายว่าโหนดไหนเชื่อมต่อกันบ้ าง ่ 𝐺 = ( 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 , 𝐴, 𝐵 , 𝐵, 𝐷 , 𝐵, 𝐶 , 𝐶, 𝐷 ) B D A C 22 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • คาที่ต้องรู้จักเกี่ยวกับกราฟ  ดีกรี (Degree) จานวนกิ่งของโหนดหนึ่งๆ  กราฟย่อย (Sub graph) A จะเป็นกราฟย่อยของ B ก็ต่อเมื่อ เซต ของโหนดในกราฟ A เป็นเซ็ตย่อยของเซตของโหนดในกราฟ B และเซตของกิ่งภายในกราฟ A ต้องเป็นเซตย่อยของกิ่งในกราฟ B ด้วย  การเดิน (Walk) ลาดับของกิ่งที่เชื่อมต่อกัน  ทาง (Path) การเดินโดยไม่มีกิ่งใดถูกผ่านซ้า  ทางแบบง่าย (Simple Path) การเดินโดยไม่มีโหนดใดถูกผ่านซ้า 23 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • คาที่ต้องรู้จักเกี่ยวกับกราฟ  ไซเคิล (Cycle) กราฟที่ทาง (Path) ใดๆ มีจุดเริ่มต้นและสิ้นสุด เป็นจุดเดียวกัน  ออยเลอร์ทัวร์ (Euler Tour) ไซเคิลผ่านทุกกิ่ง โดยแต่ละกิ่งจะผ่าน ครั้งเดียวเท่านั้น  ฮามิลโทเนียนไซเคิล (Hamiltonian Cycle) ไซเคิลเกิดจากการ ผ่านโหนดทุกโหนดของกราฟและจะผ่านแค่ครั้งเดียวเท่านั้น 24 ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ
  • ต้นไม้ (Tree)  ต้นไม้ (Tree) กราฟที่ไม่มีทิศทาง และไม่มี ไซเคิล  มีจุดที่ทาหน้าที่เป็นจุดเริ่มต้นบนสุดเรียกว่า ราก (Root) A C B โหนดพ่อแม่ (Parent) โหนดลูก (Child) 25 E G D F ความลึก (Depth) = 3 โหนดใบ (Leaf) ={B, G, F, D} ทฤษฎีการคานวณ: ทาความรู้จักกับทฤษฎีการคานวณ