Polinomios interpolantes as

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Polinomios interpolantes as

  1. 1. Universidad y Sociedad Ingeniería Fermín Toro Ingeniería de Computación Cátedra: Análisis NuméricoPolinomios Interpolantes Participante: Asisclo Serrano
  2. 2. Análisis Numérico Polinomios InterpolantesLa interpolación Polinómica es un método usado para conocer, de unmodo aproximado, los valores que toma cierta función de la cualsólo se conoce su imagen en un número finito de abscisas. Amenudo, ni siquiera se conocerá la expresión de la función y sólo sedispondrá de los valores que toma para dichas abscisasEl problema de la interpolación consiste en estimar el valor de unafunción en un punto a partir de valores conocidos en puntoscercanos.El objetivo será hallar un polinomio que cumpla lo antes mencionadoy que permita hallar aproximaciones de otros valores desconocidospara la función con una precisión deseable fijada. Por ello, para cadapolinomio interpolador se dispondrá de una fórmula del error deinterpolación que permitirá ajustar la precisión del mismo
  3. 3. Análisis Numérico Tabla de DiferenciasLa interpolación se usa para obtener datos intermedios a partir deuna tabla de valores, construyendo un polinomio que pasa por elconjunto de datos conocidos, llamados nodos de interpolación; éstepolinomio suele expresarse en términos de la diferencias Δiƒ. Paraintroducir estas diferencias, consideramos la tabla formada por unconjunto de valores de una función ƒ(x) en el conjunto de N puntosequiespaciados {x0, x1, ..., xN−1} con xi = xi−1 + h.Llamamos ƒk a ƒ(xk) y definimos:Δƒk = ƒk+1 − ƒkΔ2ƒk = Δƒk+1 − Δƒk = (ƒk+2 − ƒk+1) − (ƒk+1 − ƒk)y en general:Δi+iƒk = Δiƒk+1 − Δiƒk
  4. 4. Análisis Numérico Polinomio Interpolante de Newton-GregoryEl polinomio de grado n que pasa por un conjunto de n+1 puntos(xk, ƒk) equiespaciadospuede expresarse (fórmula de Gregory-Newton) como:• x: vector que contiene las abscisas de los datos.• y: vector que contiene las ordenadas de los datos.• b: punto en el que se desea evaluar el polinomio interpolante.• p: grado del polinomio interpolante.
  5. 5. Análisis Numérico Polinomio Interpolante de GaussLa fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance yretroceso), difieren de la forma de las trayectorias tomadas en latabla de diferencias; donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag,es decir, los valores desde el punto de partida Xo seránseleccionados en forma de zig-zag.En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados enforma de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego haciaarriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula deavance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciandoprimero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y asísucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de avance yretroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.
  6. 6. Análisis Numérico Interpolación De HermiteSean x0,….xn € [a; b] números distintos y mi >= 0 un entero no negativoasociado a xi para i € {0,…..n}. Supongamos que ƒ € Cm[a, b],donde m = max {m0,…mn}. El polinomio osculante que aproxima ƒ esel polinomio P de menor grado que concuerda con la función ƒ y contodas sus derivadas de orden <= mi en xi para cada i € {0,….n}: Grado del polinomio osculante
  7. 7. Análisis Numérico Interpolación Usando SplinesUn spline de grado n y clase m con nodos {x0,…,xN } es una funcións(x) definida en [ a,b ] [x0 ,xn ] verificando: 1. Si = S[xi-1 , xi] es un polinomio de grado ≤ n (i = 1,2,…,N) 2. S €m[a,b].Convenio: salvo indicación expresa, se sobreentiende m = n −1.Espacios de splines en los nodos {x0 ,xn }• de grado n y clase m: ∫mn (x0 ,xn )• de grado n (y clase m = n −1): ∫mn (x0 ,xn )Casos usuales:n =1: grado 1 (clase 0 = continua) →poligonal spline linealn = 2: grado 2 (clase 1 = derivable) spline cuadráticon = 3: grado 3 (clase 2 = derivable 2 veces) spline cúbicon = 3,m = 1: spline cúbico de clase 1 (caso especial).
  8. 8. Análisis Numérico Polinomio Interpolante De LagrangeEste método consiste en construir el polinomio interpolador degrado n que pasa por n+1 puntos (xi,yi) de la formadonde las funciones Li(x) cumplen Li(xk) = 0 si i ≠ k y Li(xi) = 1.Esta propiedad garantiza Pn(xk) = yk. Las funciones Li(x) seconstruyen como:
  9. 9. Análisis Numérico Diferencias divididas y La fórmula General de NewtonLas fórmulas de las diferencias divididas de mayor orden sedemuestran análogamente, por inducción.En la práctica, los cálculos se disponen en una tabla dediferencias divididas, colocando en la primera columna los valoresde la función o diferencias divididas de orden 0, en la segundacolumna las diferencias divididas de primer orden, en la terceracolumna las de orden 2, y así sucesivamente.La tabla queda de la forma siguiente:En la diagonal de la tabla aparecen los coeficientes c0, c1, c2, ...,de los polinomios de interpolación.
  10. 10. Análisis Numérico Aplicación de los Métodos Numéricos de Interpolación en la Resolución de ProblemasFórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange,Hermite, Newton, etc., son compatibles con computadoras ydebido a las muchas funciones tabulares disponibles, comosubrutinas de librerías; dichas fórmulas tienen relevancia en lasolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.El polinomio de interpolación suele usarse para estimar valores deuna función tabulada, en las abscisas que no aparecen en latabla.El aumento de grado no siempre mejora la aproximación.El polinomio es muy sensible a los errores de los datos.

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