Your SlideShare is downloading. ×

Formulário de matemática

337

Published on

Formulário de matemática

Formulário de matemática

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
337
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
55
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. setaSistema ele Ensino setaSistema ele Ensino CENTRAL DE INFORMAÇÕES: 08007074051 ^3 LU] I
  • 2. PORCENTAGEM O DEFINIÇÃO y X a Porcentagem de um número a sobre um número b, b * 0, é a razão -^—^ em que -J^Q = -jj- • que representamos X%. B CÁLCULO DE UMA PORCENTAGEM P% de V = ^ - V (Facilita-se trabalhar com P% na forma decimal) Q AUMENTOS PERCENTUAIS {P = valor antes do aumento; PA = valor após o aumento de i sobre P; i = taxa percentual. PA = P + IP = P (1 + I) (i na forma decimal) | AUMENTOS SUCESSIVOS Í P = valor antes do aumento P„ = valor após "n" aumentos sucessivos de i i = taxa percentual P „ = P ( 1 + 0 " FUNÇÕES B RELAÇÃO Dados dois conjuntos, A e B, denomina-se relação R de A em B qualquer subconjunto de AxB. QFUNÇÃO Dados dois conjuntos, A e B, denomina-se aplicação ou função f de A em B toda relação que a cada elemento de A associa um e um só elemento de B. a) Domínio: Conjunto (A). b) Contra domínio: Conjunto (B). c) Conjunto imagem: Conjunto das imagens dos elementos do domínio. Notação: f: A —»- B e y = f(x), em que f(x) é a notação da imagem de x pela função f. 1
  • 3. Q FUNÇÃO DO 1o GRAU f(x) = ax + b, com a # 0 a > 0 a < 0 tg a = a D = R Im = R 1 FUNÇÃO DO 2° GRAU f(x) = ax2 + bx + c, com a * 0 A > 0 A = 0 A < 0 a > 0 c xv / 1/ yv a > 0 yv x i / 2 X , = x2 XV a < 0 yv X1/TV2 X , =x2 Xv a < 0 yv X1/TV2 c /' yv a < 0 c. / Xv c /' yv Q SINAL DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2a GRAU a) Raízes positivas: A > 0 , P > O e S > 0 b) Raízes negativas: A > 0 , P > 0 e S < 0 c) Raízes de sinais contrários: P < 0 * Nota: P (produto) e S (soma) Q M Ó D U L O _ „ . _ íx, se x > 0; Definição: X = < [-x, s e x < 0. Função modular: f: R—>-R, em que f(x) = |x| P,) |x| > 0 para qualquer x real e|x| = 0 o x = 0 P2) I" I = |y| => x = y ou x = - y P3 ) |x| = a => x = a ou x = - a , com a > 0 P4 ) |x| > a => x > a ou x < - a , com a > 0 P5 ) | x | < a => - a < x < a, com a > 0 Pe) *2 " - !x|2 n = x2 n , em que n é um número natural e, portanto, 2n é um número par. N T 1—/ - 1 1 Q PARIDADE DE FUNÇÃO a) Par: f(-x) = f(x) b) ímpar: f(-x) = -f(x) D FUNÇÃO COMPOSTA O TIPOS DE FUNÇÃO a) Injetora: x, x2 => f(x,) *• f(x2 ) b) Sobrejetora: Im = CD c) Bijetora: Injetora e Sobrejetora [ Q FUNÇÃO INVERSA D(f) = CD(f"1 ) CD(f) = D ( f 1 ) a) Regra prática para o cálculo I - Trocar x por y e y por x. II - Isolar y ("corrigir" notação). b) Propriedades: Pi: f (x) e f~1 (x) têm gráficos simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. 3 2
  • 4. LOGARITMOS DEFINIÇÃO logb a = a<=> b = a C E . a > 0 0 < b * 1 Obs.: log a = log1 0 a <n a = loge a i CONSEQUÊNCIAS logb 1 = 0 l o g b b = 1 logb b" = a b » = a (PROPRIEDADES Satisfeitas as condições de existência, temos: P,) logb m . n = logb m + logb n P2 ) logb ~ = logb m - logb n P3 )logb n« = a l o g b n OBS: a ? log a P4 ) logb a = | o ^ c ^ (Mudança de base) |FUNÇÕES Exponencial f: R — R ; e f(x) = b" 0 < b < 1 decrescente b*1 < b"2 = > x1 > x2 Logarítmica f : R* — • R e f(x) = logb x logb x 0 < b < 1 logb x decrescente logb x, < logb x2 = > x, > x b > 1 b*< b*2 ! x,. bx ' > b"2 = > X, > x 2 logh x b > 1 l°g„ x2 crescente logb x, > logb x2 = > x, > x2 PROGRESSÃO ARITMETICA Progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, somado com uma constante. D TERMO GERAL an = a, + ( n - 1 ) . r MÉDIA ARITMÉTICA Se (a, b, c) estão em P.A., então b : a + c REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS 3 termos: (x - r, x, x + r) 4 termos: (x - 3a, x - a, x + a, x + 3a), em que a razão r = 2a 5 termos: (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r) SOMA DOS n TERMOS (a, + a„) n PROGRESSÃO GEOMETRICA Progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante. D TERMO GERAL a„ = a, . q" MÉDIA GEOMÉTRICA Se (a, b, c) estão em P.G., então b2 = a . c REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS 3 termos: x, xqj 4 termos: ( ^ r • -*p x 1< x c l 3 j razão: q 2 SOMADOS n TERMOS I - Se q = 1 — • S„ = n . a. • Se q * 1 — • S n : a , ( q n - D q - 1 5 termos: Í-X- ,-X-, x, xq, xq2 | l q 2 q j SOMA P.G. INFINITA Se - 1 < q < 1, temos: 1 - q 5
  • 5. QPRODUTO "Cada elemento Cg é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B e somando-se os produtos assim obtidos". |GERALMENTE A . B ^ B . A I Pode-se ter A . B = 0, mesmo que A * 0 e B * 0. | MATRIZ INVERSA a) A . A"1 = A ' 1 . A = I b) 3A"1 < = > d e t A * 0 c > d e t A " = d e T Ã DETERMINANTES Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. D CÁLCULO DO DETERMINANTE a) Ordem 2 ai2 a22 : a n 322 — a i 2 3 2 i b) Ordem 3 => Regra de Sarrus c) Teorema de Laplace O determinante de A (A: matriz de ordem maior ou igual a 2) é a soma dos produtos dos elementos de qualquer linha (ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. a i-, a 12 a 13 Exemplo: A = a 2 i a 2 2 a 23 => det A = a n . A,, + a i 2 . A 1 2 + a 1 3 . A 1 3 331 332 333 em que: A „ = (-1)" a2 2 323 33 2 3 3 3 , A 1 2 = ( - i y 321 a 23 a3 i a3 3 e A,3 = (-1)'*3 a2 i a 2 2 831 ^32 Obs.: Deve-se escolher a fila que possui o maior número de zeros. 6 Q PROPRIEDADES 1) detA' = detA 2) Se a matriz A possuir uma fila em que os elementos são combinsções linesres dos elementos de outra fila paralela, então det A = 0. 3) Multiplicando-se os elementos de uma fila de A por um número K, o determinante da nova matriz B é: det B = K . det A. 4) Seja A: matriz de ordem n , então det (K . A) = K n . det A 5) Teorema de Binet: det (A . B) = det A . det B SISTEMAS LINEARES | SISTEMAS EQUIVALENTES Apresentam o mesmo conjunto solução. CLASSIFICAÇÃO Sistema Linear Possível < Determinado (Solução única) Indeterminado > (Infinitas soluções) Impossível: S = 0 CRAMER a„ X, + a,2 x2 + . . . + a,„ x„ = b, a2 1 Xi + a2 2 x2 + . . . + 3 2 n xn = b2 a„i X, + 3 n 2 x2 + . . . + 3 n n xn = b„ Se D * 0 , temos: _ _ D 1 _ D2 X 1 " D ' X 2 ~~D" _2ü D DISCUSSÃO D * 0 => S.P.D. D = 0 => S.P.I. ou S.l. RESOLUÇÃO Cramer ou Escalonamento (Método de Gauss). 7
  • 6. ANALISE COMBINATORIA Seja B = {bu bn } um conjunto com n elementos (n e IN). Temos: Q ARRANJOS SIMPLES Arranjos são sequências com p elementos de B (a ordem dos elementos é importante). An.p " n! (n - p)! p e IN p < n I PERMUTAÇÕES SIMPLES Permutações são sequências de n elementos de B (a ordem dos elementos é importante). Pn = n! I COMBINAÇÕES SIMPLES Combinações são subconjuntos com p elementosde B (não importa a ordem dos elementos). n! " P p ! ( n - p ) ! p e IN p < n I PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS (a,ß, ... ,p) = n! a! ßl ... p! BINOMIO DE NEWTON <X + a > n = Í ( D ) X n " - a P Termo Geral: p+i < p ) X " - PROBABILIDADE Seja E um espaço amostrai equiprovável, e A um de seus eventos; então O PROPRIEDADES 1. P(E)= 1 2. P(0) = O 3. 0 < P ( A ) < 1 4. P(A) + P(Ã) = 1 (Ã : complementar de A) P(A) = n(A) n(E) 8 Q ADIÇÃO DE PROBABILIDADES P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B) Eventos mutuamente exclusivos A n B = 0 => P(A u B) = P(A) + P(B) MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES P(A n B) = P(A) . P(B/A) Eventos independentes P(A/B) = P(A) 1 ou ? P(B/A) = P(B) P(A n B) = P(A). P(B) TRIGONOMETRIA NO TRIANGULO RETANGULO c /cateto oposto ¡en a = -g- -r-.—— I3 hipotenusa / _ b_ /cateto adjacenteN a hipotenusa / c / cateto oposto 9 a ~ "B~ Vcateto adjacente/ FUNÇÕES CIRCULARES a / hipotenusa sec a = - r cente") hipotenusa cateto oposto b / cateto adjacente c cateto oposto / (n + x) ARCOS NOTÁVEIS f(30°) f (45°) f (60°) sen 1 2 V2 2 V3 2 cos V3 ~T V2 ~T 1 2 tg V3 3 1 V3 €1 O B O 0 O sen x = ON e cos x = OP t g x = Á T ou t g x = | | ^ | - (cos x * COS X c o t g x = -ièTTY < s e n x * ° ) i sec x = c o s x (cos x * 0) 1 (sen x * 0) sen (TI - x) = sen x sen (TI + x) = sen (2n - x) = -sen x cos {K - x) = cos (n + x) = -cos x cos (2TI - x) = cos x t g ( j i - x ) = t g ( 2 n - x ) = - t g x tg (n + x) = tg x sen x = cos (90° - x) cos x = sen (90° - x)
  • 7. O RELAÇÕES IMPORTANTES Relação Fundamental: sen2 x + cos2 x = 1 Q Sec2 x = 1 + ,tg2 x © Cosec2 x = 1 + cotg2 FÓRMULAS FUNDAMENTAIS I I sen (x + y) = sen x . cos y + sen y . cos x 0 sen (x - y) = sen x . cos y - sen y . cos x O cos (x + y) = cos x . cos y - sen x . sen y t i cos (x - y) = cos x . cos y + sen x . sen y Q sen 2x = 2 sen x . cos x 0 cos 2x = cos' x - sen2 x tg x + tg y © tg (x + y) : ,'i , , ^ tg x - tg y 0 , 9 ( x - y ) = TTTqir 1 - tg x . tg y x - t g y tg x . tg y 0 . „ 2 tgx tg 2x = - — f ^ —a 1 - tg2 x | FUNÇÕES CIRCULARES: GRAFICOS a) Função seno D = IR lm(f) = {y e R ! - 1 < y < 1} p = 2jt b) Função cosseno D = IR lm(f) = {y e R | - 1 < y < 1} p = 2K c) Função tangente D = {x e IR lm(f) = IR P = 71 x + hrt . h e I PERIODO: p . . y = a + b sen (mx + n) p = -r— e Im = [a - b ; a + b] y = a + b cos (mx + n 2n "i y = a + b tg (mx + n m | " " " i- p = — o i m - i a - o . a x D j y | m | a: deslocamento vertical; b: amplitude; m: período; n: deslocamento horizontal NUMEROS COMPLEXOS FORMA ALGÉBRICA z = a + bi, com a, b e IR Obs.: 1) Se b = 0 => z = a é real 2) Se a = 0 e b # 0 => z = bi é imaginário puro OPERAÇÕES NA FORMA ALGEBRICA Opera-se como se fosse o binómio a + bx, lembrando apenas que | i2 = -11 POTENCIAS DE em que r é o resto da divisão de n e IN por 4 CONJUGADO z = a - bi | REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA O número complexo z = a + bi representa no plano de Argand-Gauss o ponto P(a, b), chamado de Afixo. 5.1 - Módulo: |z| = p = Va2 + b2 5.2-Argumento: é o ângulo 9 tal que 0° < 0 < 360° e cos 9 = y e sen 0 = A 5.3 - Forma trigonométrica z = p (cos 0 + i sen 0) OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA 6.1 - Sendo z, = p, (cos a + i sen a) e z2 = p2 (cos p + i sen p) temos: a) Z . z2 = p,. p2 [cos (a + B) + i sen(a + B)] b) ^ - = [cos (a - p) + i sen(a - p)] z2 P2 0° < a + p < 360° 0° < a - p < 360° 6.2 - Sendo z = p (cos 0 + i sen 0) e n e Z , temos: z" = pn [cos (n0) + i sen(n0)] 0° < n0 < 360°
  • 8. POLINOMIOS DEFINIÇÃO P(x) = a 0 . x" + a:. x"-1 + ... + a n , n e IN, e a0 , a,, a„ são complexos. GRAU Se a0 * 0 => Gp = n RAIZ a é raiz de P(x) t > P(a) = 0 | DIVISÃO G P = G D + G Q P(x)| D(x) => P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) em que <j e R(x) Q(x) GR < G D ou R( X ) = 0 I TEOREMA DO RESTO O resto da divisão de P(x) por x - a é P(a). EQUAÇÕES ALGEBRICAS | FORMA FATORADA A equação a 0 . x" + a, . x"~1 + ... + an = 0 de grau n (n > 1) pode ser decomposta na forma: ao (x - a,) (x - 0(2) ... (x - an ) = 0, em que a,, a 2 a n são as raízes da equação. RELAÇÕES DE GIRARD Dada a equação: a 0 . x" + a:. xn 1 + ... + an = 0, com raízes a,, a 2 a n , temos: a0 a, + a2 + ... + a„ = g a , . a 2 + a i . a 3 + ... + an _i . a n - a a„a, . a 2 a n = (-1 ) " . a RAÍZES COMPLEXAS Se o complexo z = a + bi (não real) é raiz da equação a 0 . x" + a,. x"~1 + ... + an = 0 de coeficientes reais, então z = a - bi também é raiz dessa equação. 12 GEOMETRIA ANALITICA Todo ponto do eixo dos x tem a ordenada igual a zero. Todo ponto do eixo dos y tem a abscissa igual a zero. Todo ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares tem abscissa e ordenada iguais P 6 b1 3 o x p = y p | Todo ponto da bissetriz dos quadrantes pares tem abscissa e ordenada simétricas P e b l t o x p = - y p b1 3 : bissetriz dos quadrantes ímpares b2 4 : bissetriz dos quadrantes pares * Nota: - | Distância entre dois pontos A(xA , yA ) e B(xB , yB ): d = V ( x B - x A ) 2 + ( y B - y A ) 2 d = V (Ax)2 + (Ay)2 y,. yB VA Coordenadas do ponto médio A(xA , yA ) e B(xB , yB ) e M(xM , yM ): e y M : yA + yB M _ | xA + xB yA + yB j y, yB yM yA Coordenadas do baricentro de um triângulo G(xG , yG ): X A + xB + x c y G : yA + yB + y c o
  • 9. Coeficiente angular de uma reta m = tg a a * • y j | Coeficiente angular de uma reta determinada por dois pontos distintos m = tg a : y B - Y A XB — X A _ n Ay a * ou m = —— 2 Ax y Condição de alinhamento de três pontos (pontos colineares) A(xA , yA ) B(xB , yB ) C(xc , yc ) y B - Y A _ y c - y B X B X A Xc X B xA yA 1 ou xB yB 1 = 0 x c y c 1 Equação fundamental da reta dados P(x0 , y0 ) e m : y - y0 = m (x - x0 ) Equação da reta determinada por dois pontos 1) Calcular m : Ay Ax 2) Com A (ou B) e m substitua em: y - y0 = m(x - x0 ) Equação reduzida de uma reta r. y = mx + q em que: m = coeficiente angular; q = coeficiente linear. (0, q) Equação geral da reta ax + by + c = 0 em que a e b não nulos simultaneamente. Notar que: coeficiente angular: m = - (se b ^ 0) coeficiente linear: q = ( s e b ^ 0) Equação segmentaria de uma reta: ^ - + ^ - = 1 ( p . q * 0 ) y Equações paramétricas de uma reta: x = f(t) e y = f(t) Retas paralelas sendo r paralela a s, mas não paralela a y, temos: r//s m r = m s Retas perpendiculares. Sendo r (ou s) não paralela ao eixo dos y, temos: r i s <=> m , . rrio= - 1 y
  • 10. £J Posições relativas de duas retas r e s. Sejam as retas: (r): y = m, x + q, e (s): y = m2 x + q 2 r n s = {P} => m, * m2 (retas concorrentes) m, = m2 . q, * q 2 (retas paralelas não coincidentes) •J Distância de um ponto a uma reta. Sejam P(x0 , y„) e r: ax + by + c = 0 I ax0 + by0 + c I / a 2 + b2 P(XQ, y0) Equação reduzida da circunferência ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r2 P(x, y) Equação normal da circunferência x2 + y2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r2 - 0 Posições relativas de reta e circunferência • y x 0 d C s < r (secantes) dcs = r (tangentes) GEOMETRIA PLANA IÂNGULOS NUM TRIÂNGULO a) Soma dos ângulos internos A b) Angulo externo A I POLIGONOS CONVEXOS a) Diagonais b) Soma dos ângulos internos c) Soma dos ângulos externos S¡ = ( n - 2 ) . 180°| (n > 3) I S e = 360° , n ( n - 3 ) a - 2 ( n > 3 ) d) Polígonos regulares S¡ = ( n - 2 ) . 180° S e = 360° 360° ANGULOS NUMA CIRCUNFERENCIA a) Ângulo inscrito P b) Ângulo de segmento I TEOREMA DE TALES Por exemplo: E y c c í D ' / AB = A'B' CD C D ' .1 r // s // t // u I TEOREMA DAS BISSETRIZES a) Bissetriz interna b) Bissetriz externa 180° AB: diâmetro
  • 11. Q TRIÂNGULOS SEMELHANTES Propriedade fundamental - Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois ângulos, então eles são semelhantes. Considerando os triângulos ABC e A'B'C', temos: POTÊNCIA DE PONTO EM RELAÇÃO A UMA CIRCUNFERÊNCIA 1 s C a s o : P é interior à circunferência 2- Caso: P é exterior à circunferência V PA • PB = PC • PD I TRIANGULO RETANGULO Relações métricas fundamentais A 1s ) b2 = a . n 2a ) c2 = a . m 3a ) h 2 = m . n 4a ) b . c = a . h 5a ) a 2 = b2 + c2 PA • PB = PC • PD = (PT) TRIÂNGULO QUALQUER 1 9 Teorema dos cossenos A D POLIGONOS REGULARES a) TRIÂNGULO EQUILÁTERO 2 9 Teorema dos senos sen à sen B sen C 2R 19 ) Altura A 2°) Raio da inscrita (apotema) A r = y h aVT aVT Obs.: O raio da circunscrita é: R = j h b) QUADRADO 1S ) Diagonal d 2Q ) Raio da circunscrita d = aV2 R W l ò R / d = aV2 J R = aV2 Obs.: O raio da inscrita (apotema) é: r ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS a) Paralelogramo b) Triângulo Triângulo Equilátero c) Trapézio A = B ^ h d) Retângulo A = b • h e) Quadrado F A = a2 f) Losango g) Círculo Comprimento da circunferência A = D . d h) Coroa circular A = 7 t ( R 2 - r 2 )
  • 12. EXPRESSÕES DA ÁREA DE UM TRIÂNGULO 1a ) Dados ib , obter A. A [ c A = VP (p - a)(p - b)(p - C) p = a + b + C (semiperimetro) Fórmula de Herão 3a ) Dados j e , obter A. la A = 2 b • c • sen a f a 2e ) Dados | c . obter A RETAS E PLANOS NO ESPAÇO - POLIEDROS POSTULADOS (Sem demonstração) Euclides: Por um ponto fora de uma reta existe uma única paralela a essa reta. Posições relativas de duas retas paralelas reversas concorrentes coincidentes (paralelas) Intersecção de planos Se dois planos distintos têm um ponto comum • eles têm uma reta comum. Então: Os planos acima chamam-se secantes Intersecção de 3 planos Ou os três se encontram numa única reta ou as intersecções são paralelas, ou concorrentes num único ponto. Reta x Plano paralelos incidentes pertencentes Plano x Plano paralelos secantes coincidentes (paralelos) Teorema de Tales: Se um feixe de planos paralelos (folhas de 1 livro) é cortado por duas transversais (paralelas ou não), então a razão entre os segmentos de uma é igual à razão entre os correspondentes de outra. 20 Reta paralela a plano Definição: A intersecção é vazia. Teorema: Uma reta é paralela a um plano se for paralela a uma reta do plano E NÃO ESTIVER NELE CONTIDA. Por um ponto fora do plano existem infinitas retas paralelas a este plano. Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela ou reversa com qualquer reta do plano. Planos paralelos (distintos) Definição: Intersecção vazia. Teorema: Dois planos são paralelos se um contiver duas retas CONCORRENTES paralelas ao outro. Dois planos sendo paralelos distintos. Toda reta que fura um plano fura o outro. Todo plano que corta um corta o outro em retas paralelas. Toda reta de um plano é paralela ao outro. ANGULOS Para se obter o ângulo entre retas reversas ou não, traça-se por um ponto qualquer paralelas às duas; o ângulo obtido é o ângulo das reversas. Definição: Uma reta é perpendicular a um plano quando a fura (pé) e é perpendicular a todas do plano que passam pelo pé. Teorema: Uma reta é perpendicular a um plano quando formar ângulo reto com duas CONCORRENTES do plano. | DISTANCIA ENTRE CONJUNTOS É o menor segmento que tem extremidade nos conjuntos. PLANOS PERPENDICULARES def a i. P •«—* a contém uma reta perpendicular a (3. A recíproca é garantida pelo Teorema: se um plano contém uma perpendicular ao outro plano, esse outro contém uma perpendicular ao 1 s . Teorema: Por uma reta não perpendicular a um plano só existe um plano perpendicular ao plano dado. Projeção cilíndrica Projeção cilíndrica ortogonal
  • 13. Diedro: Seção: Qualquer ângulo obtido pela intersecção de um plano com o diedro (deve encontrar a aresta). Seção reta ou ângulo plano: se o plano for perpendicular à aresta (fornece a medida do diedro) face aresta -face sólido Triedro: As faces do triedro são ângulos. O Triedro possui 3 diedros e 3 faces. aresta aresta diedro Seções paralelas de um ângulo poliédrico: a) são polígonos semelhantes (mesma forma); b) a razão da semelhança: K = H/h; c) a razão entre as áreas é: K2 = ^ = 7r h2 a d) a razão entre os volumes é: K - h3 v • Num ângulo poliédrico, qualquer face é menor que a soma das demais. - A soma das faces é menor que 360°. Superfície poliédrica convexa aberta V - A + F = 1 Poliedro convexo V - A + F = 2 Soma dos Ângulos das faces de um poliedro euleriano S = (V - 2 ) . 360° Platão Poliedros Regulares Faces Vértices Faces Vértices Euleriano com P com q Convexos regulares regulares lados arestas côngruas côngruos T H O D 1 T H O D 1 - regulares THODI: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro. GEOMETRIA METRICA ESPACIAL U PRISMAS 1.1. Paralelepípedo reto-retângulo 1) Cálculo da diagonal (d) d = Va2 + b2 + c2 2) Cálculo da superficie total (At ) 3) Cálculo do volume (V) A,= 2(ab + ac + be) V = a . b . c 1.2. Cubo 1) Diagonal 2) Area total 3) Volume d = aV3~ A,= 6a2 V= a3 1.3. Prisma regular 1) Área lateral A, = n . A, n: número de faces Af : área de urna face 2) Area total A, + 2 . B B: área da base 3) Volume V = B . h Q PIRÂMIDES 2.1. Pirâmide regular 1 ) Área lateral 2) Aro.-i total 3) Volume A, = n . A, At = A, + B n: número de faces A f : área de urna face B: área da base V - i . B . h Rel;i(,.i<i I l . i m e n U I m ' = h2 + a7 m: apotema da pirâmide a: apotema da base h: altura da pirâmide 23
  • 14. aVIF 2.2. Tetraedro regular 1 ) Área lateral 2) Área total AT = a2 V~3 3) Volume 3 V212 fcj CILINDRO DE REVOLUÇÃO B = TCR2 (área da base) 1 ) Área lateral Nota - Cilindro Equilátero: 2R = h CONE DE REVOLUÇÃO 1 ) Relação fundamental: g 2 = r2 + h2 2) Área lateral: A, = nRg 3) Área total: A, = A, + B 4) Volume: V = t B h 5) Ângulo central: g = 2 j l R rad B = itR2 (área da base) Nota - Cone equilátero: 2 R - g 24 Q E S F E R A 1) Área da superfície esférica: A = 4TIR2 2) Volume da esfera: Um FUSO ESFERICO a em graus 360° 4nR; u° A ( u s o a em radíanos 2n rad 47iR' a rad A f u s o AfL is0 a°nR2 90° 2 a R 2 CUNHA ESFERICA a em radíanos 2n rad a° rad a2R3

×