Intersección de funciones

INTERSECCIÓN DE FUNCIONES
Araceli Arjona Muñoz

INTERSECCIÓN DE FUNCIONES
INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS
y= m1x+n1
y= m2x+n2
INTERSECCIÓN DE DOS PARÁBOLAS
y= a1x+b1+c1
y= a2x+b2+c2
INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UNA PARÁBOLA
y= mx+n
y= ax2+bx+c

INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS
La intersección de dos rectas la podemos calcular gráfica y analíticamente:
GRÁFICAMENTE:
Representamos la recta correspondiente a la 1ª ecuación
La solución es el punto de corte de ambas rectas (que puede tener o no)
ANALÍTICAMENTE:
Resolvemos el sistema de ecuaciones por uno de los siguientes métodos:
Sustitución
Igualación
Reducción
b) La solución es el par de valores (x,y) que verifica las dos ecuaciones del sistema

GRÁFICAMENTE
Nos podemos encontrar 3 casos:
Rectas que se cortan en un punto
Rectas coincidentes
Rectas paralelas
La solución es el punto (4,2)
Tiene infinitas soluciones
No tiene solución

ANALÍTICAMENTE
Podemos resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de los 3 métodos:
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
En la ecuación más sencilla se despeja la incógnita más fácil de despejar
Se sustituye su valor en la otra ecuación
Se resuelve la ecuación resultante
El valor obtenido se sustituye en la ecuación donde estaba despejada la 1ª incógnita
EJEMPLO
y=8-2x
5x-4(8-2x)=7
5x-32+8x=7
c) 13x=39
x=3
d) x=3 en y=8-2x
y=8-2·3
y=8-6
y=2
2x+y=8
5x-4y=7
Solución:
x=3, y=2

ANALÍTICAMENTE
MÉTODO DE IGUALACIÓN
Se despeja la misma incógnita, la que resulte más fácil, en las dos ecuaciones
Se igualan los valores obtenidos
El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla donde estaba despejada la otra incógnita
EJEMPLO
y=5-3x
y=4x-9
5-3x=4x-9
-7x=-14
c) 7x=14
x=2
d) x=2 en y=5-3x
y=5-3·2
y=5-6
y=-1
3x+y=5
-4x+y=-9
Solución:
x=2, y=-1

ANALÍTICAMENTE
MÉTODO DE REDUCCIÓN
Mediante multiplicaciones apropiadas se obtiene un sistema equivalente con los coeficientes de una misma incógnita opuestos
Se suman las dos ecuaciones
El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla y se halla el valor de la otra incógnita
EJEMPLO
7x-6y=-11 ·(-1)
10x+6y=28 ·(2)
17x=17
c) x=1
d) x=1 en 5x+3y=14
5·1+3y=14
5+3y=14
3y=9
y=3
-7x+6y=11
5x+3y=14
Solución:
x=1, y=3

EJEMPLOS
Intersección de dos rectas que se cortan en un punto
Solución:
Se cortan en el punto (1/2,0)
y=2x-1
-2x-2y=-1
Resolvemos por el método de sustitución:
a) y=2x-1
b)-2x-2(2x-1)=-1
-2x-4x+2=-1
c)-6x=-3
x=1/2
d) x=1/2 en y=2x-1
y=2·(1/2)-1
y=1-1
y=0

EJEMPLOS
Intersección de dos rectas coincidentes
Solución:
Se cortan en infinitos puntos
y=x+2
2y=2x+4
Resolvemos por el método de igualación:
y=x+2
y=2x/2+4/2
y=x+2
x+2=x+2
0=0
Esto se verifica para todo valor de x, luego tiene infinitas soluciones

EJEMPLOS
Intersección de dos rectas paralelas
Solución:
No se cortan en ningún punto
y=x+2
y=x+1
Resolvemos por el método de reducción:
y=x+2 ·(-1)
y=x+1
-y=-x-2
y=x+1
Sumamos y nos queda:
0=0-1
0=-1
Lo que es imposible, luego este sistema no tiene solución

INTERSECCIÓN DE DOS PARÁBOLAS
La intersección de dos parábolas la podemos calcular gráfica y analíticamente:
GRÁFICAMENTE:
Representamos la parábola correspondiente a la 1ª ecuación
Representamos la parábolacorrespondiente a la 2ª ecuación
La solución son los puntos de corte de ambas parábolas, que pueden ser 2, 1 o ninguno
ANALÍTICAMENTE:
Resolvemos el sistema de ecuaciones
b) La solución serán los pares (x1,y1) y (x2,y2) si se cortan en dos puntos, el par (x,y) si se cortan en un punto y no tendrá solución si no se cortan

GRÁFICAMENTE
Parábolas que se cortan en dos puntos
Parábolas que se cortan en un punto
Parábolas que no se cortan
Tiene dos soluciones:
(1,3) y (-1,3)
Tiene una solución (0,0)
No tiene solución

ANALÍTICAMENTE
Para resolver este sistema debes hacer los siguientes pasos:
Despejar la variable y en ambas ecuaciones
Aplicar el método de reducción (multiplicas la primera ecuación por (-1) y le sumas la segunda), de esta manera se te van las “y” y te queda una ecuación de 2º grado.
Hallas las soluciones x1 y x2 de la ecuación de 2º grado.
Sustituyes los valores de x1 y x2 en la ecuación inicial que sea más fácil y obtienes dos valores de “y”, y1 e y2.
EJEMPLO
a) y=x2-3x+2
y=2x2-3x+1
b) –y=-x2+3x-2
y=2x2-3x+1
Las sumamos y tenemos:
0=x2-1
c) x2=1
x1=1, x2=-1
d) x1=1 en y=x2-3x+2
Luego y1=12-3·1+2=0
x2=-1 en y=x2-3x+2
Luego y2= (-1)2-3·(-1)+2=6
Tenemos las soluciones (1,0) y (-1,6)

INTERSECCIÓN DE RECTA Y PARÁBOLA
La intersección de recta y parábola la podemos calcular gráfica y analíticamente:
GRÁFICAMENTE:
Representamos la parábolacorrespondiente a la 1ª ecuación
La solución son los puntos de corte de ambas funciones, que pueden ser 2, 1 o ninguno
ANALÍTICAMENTE:
Resolvemos el sistema de ecuaciones
b) La solución serán los pares (x1,y1) y (x2,y2) si se cortan en dos puntos, el par (x,y) si se cortan en un punto y no tendrá solución si no se cortan

GRÁFICAMENTE
Se cortan en dos puntos: SECANTES
Se cortan en un punto: TANGENTES
No se cortan: EXTERIORES
Tiene dos soluciones
Tiene una solución
No tiene solución

ANALÍTICAMENTE
Para resolver este sistema debes hacer los siguientes pasos:
Despejar la variable y en ambas ecuaciones
Aplicar el método de reducción (multiplicas la primera ecuación por (-1) y le sumas la segunda), de esta manera se te van las “y” y te queda una ecuación de 2º grado.
Hallas las soluciones x1 y x2 de la ecuación de 2º grado.
Sustituyes los valores de x1 y x2 en la ecuación inicial que sea más fácil y obtienes dos valores de “y”, y1 e y2.
EJEMPLO
a) y=-x+1
y=x2+2x+1
b) –y=x-1
y=x2+2x+1
Las sumamos y tenemos:
0=x2+3x
c) x2+3x=0
x(x+3)=0
x1=0 y x2=-3
d) x1=0 en y=-x+1
Luego y1=-0+1=1
x2=-3 en y=-x+1
Luego y2=-(-3)+1=4
Tenemos las soluciones (0,1) y
(-3,4)

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by AraceliAM on Mar 13, 2011

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