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    www.ApoioAulasParticulares.Com.Br    - Matemática - Prismas e Cilindros www.ApoioAulasParticulares.Com.Br - Matemática - Prismas e Cilindros Presentation Transcript

    • Relembrando Antes de começar a aula de hoje, precisamosrever alguns pontos de geometria plana eunidades de medidas:Área do retângulo: Área do quadrado: 2 A b.h A l
    • RelembrandoDiagonal do quadrado: Área do triângulo: d l 2 b.h A 2
    • RelembrandoTriângulo Equilátero: Altura l 3 h 2 Área 2 l . 3 A 4
    • RelembrandoHexágono: Apótema: l 3 a 2 Área: 2 2 l . 3 l . 3 A 6. 3. 4 2
    • RelembrandoComprimento da Área do círculo circunferência 2 c 2. .r A .r
    • Relembrando Sendo o metro (m) a unidade de medida,temos:1 m = 10 dm = 100 cm1 m2 = 100 dm2 = 10000 cm21 m3 = 1000dm3 = 1000000 cm3 Observação: 1 dm3 = 1 litro
    • Prismas e Cilindros definição definição elementos elementos Cilindros Caso CilindroPrismas retos particular equilátero retos Área da base Área da base áreas Área lateral áreas Área lateral Área total Área total volume Volume
    • Prismas Prisma é uma sólido geométrico delimitadopor faces planas, no qual as duas bases sesituam em planos paralelos.Exemplos:
    • sólido definição Limitado por faces planas Duas bases paralelasprismas
    • Prismas Podemos classificar um prisma quanto aonúmero de arestas da base.Triangular Quadrangular Pentagonal Hexagonal
    • sólido definição Limitado por faces planas Duas bases paralelas triangulares Base é um triânguloprismas Nº de arestas quadrangulares Base é um quadrilátero da base pentagonal Base é um pentágono hexagonal Base é um hexágono classificação
    • Prismas Podemos classificar um prisma quanto àinclinação das arestas laterais. Oblíquos: arestas Retos: arestas laterais laterais oblíquas às perpendiculares às bases. bases.
    • sólido definição Limitado por faces planas Duas bases paralelas triangulares Base é um triânguloprismas Nº de arestas quadrangulares Base é um quadrilátero da base pentagonal Base é um pentágono hexagonal Base é um hexágono classificação Arestas laterais oblíquos oblíquas à base Inclinação das arestas laterais Arestas laterais definição perpendiculares à base retos
    • PrismasOs elementos de um prisma reto são:
    • Prismas Note que todas asfaces laterais dos prismas retos são retângulos
    • sólido definição Limitado por faces planas Duas bases paralelas triangulares Base é um triânguloprismas Nº de arestas quadrangulares Base é um quadrilátero da base pentagonal Base é um pentágono hexagonal Base é um hexágono classificação Arestas laterais oblíquos oblíquas à base Inclinação das arestas laterais Arestas laterais definição perpendiculares à base vértices retos base arestas elementos lateral base faces Lateral = altura
    • Paralelepípedos Paralelepípedos são prismas quadrangulares,cuja base é um paralelogramo. Quando as basessão retângulos, chamamos de paralelepípedoretângulo.
    • Paralelepípedos Podemos calcular a diagonal do paralelepípedoatravés do Teorema de Pitágoras ou pelafórmula: 2 2 2 D a b c
    • ParalelepípedosExemplo: Dado um paralelepípedo retângulode dimensões 5 cm, 4 cm e 3 cm. Calcule amedida da sua diagonal.
    • Exemplo Pelo Teorema de Pitágoras: 2 2 2 2 2 2d 4 5 D 3 d 2 2d 16 25 D 9 41 2 2d 41 D 50 D 5 2
    • ExemploPela Fórmula: D a 2 b 2 c 2 2 2 2 D 3 4 5 D 9 16 25 D 50 D 5 2
    • Paralelepípedos Caso particular: Cubo O cubo é um paralelepípedo reto retângulo,no qual todas as faces são quadrados, ou sejatodas as arestas apresentam a mesma medida. D a 3
    • Paralelepípedos Exemplo: Calcule a diagonal de um cubo,cujo perímetro de uma face é 24 cm. Se o perímetro da é 24cm, então a aresta do cubo mede 24 : 4 = 6 cm D a 3 D 6 3
    • Tente fazer sozinho A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantoscentímetros deve ser aumentada a medida dadiagonal desse cubo, de modo a obter-se umnovo cubo cuja aresta meça 6 cm.
    • Tente fazer sozinho A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantoscentímetros deve ser aumentada a medida dadiagonal desse cubo, de modo a obter-se umnovo cubo cuja aresta meça 6 cm.
    • Solução4 3 x 6 3 x 6 3 4 3 x 2 3
    • Áreas do Prisma Área da base: é a área do polígono queconstitui a base.A) No prisma triangular. 2 b.h l . 3 Ab ou Ab 2 4
    • Áreas do PrismaExemplo: Calcule a área da base de um prismatriangular regular, sabendo que a altura dotriângulo da base mede 4 3. l 3 h 4 3 l 8 2 2 2 l 3 8 3 Ab 16 3 4 4
    • Áreas do PrismaB) No prisma quadrangular. 2 Ab b.h Ab l
    • Áreas do Prisma Exemplo: Uma piscina de fundo retangular de1,80 m de profundidade, foi instalada em umburaco cujo fundo tem dimensões a 3 m x 5 m.Calcule a área da base da piscina. Ab b.h 2 Ab 3.5 15cm
    • Áreas do PrismaC) No prisma hexagonal. 2 3l . 3 Ab 2
    • Áreas do Prisma Exemplo: Os senhores Balo Ofos pediramuma pizza que veio em uma caixa de basehexagonal, calcule á área da base da caixa,sabendo que o lado do hexágono mede 12 cm. 2 3l . 3 Ab 2 2 3.12 . 3 2 Ab 216 3cm 2
    • Arestas laterais definição perpendiculares à base vértices base arestas elementos lateral base faces Lateral = alturaPrismas retos Área da base Área do polígono da base áreas
    • Áreas do Prisma Área lateral: é a soma das áreas das faceslaterais.A) No prisma triangular Como temos 3 faces laterais, então Al 3.b.h .
    • Áreas do PrismaExemplo: O monumento de uma praça no norteda Croácia tem forma de um prisma triangularregular de altura igual a 7m. Calcule a árealateral do monumento, sabendo que a área dabase mede 4 3 . 2 l 3 Ab 4 3 l 4m 4 2 Al 3.4.7 84m
    • Áreas do PrismaB) No prisma quadrangular Al 2ac 2bc Al 4.b.h
    • Áreas do PrismaExemplo: Para reformar o móvel abaixo, umdesigner colocará 2 portas e pintará todasas faces laterais. Calcule toda superfícieque será pintada?
    • Áreas do PrismaAl 2.2,1.0,6 2.0,4.0,6Al 2,52 0,48 2Al 3m
    • Áreas do PrismaC) No prisma hexagonal regular. Al 6.b.h
    • Áreas do Prisma Exemplo: Um instrumento de base hexagonalregular está sendo testado por uma banda dereagge. Sabendo que as bases desse prismadevem ser vermelhas. Calcule a área, em m2 aser pintada de amarelo e verde. Al 6.b.h Al 6.50.30 2 2 Al 9000cm 0,9m
    • Arestas laterais definição perpendiculares à base vértices base arestas elementos lateral base faces Lateral = alturaPrismas retos Área da base Área do polígono da base áreas Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais
    • Áreas do Prisma Área total: é a área de toda a superfíciedo prisma, portanto, é a soma das áreas dasbases com a área lateral. At 2. Ab Al
    • Arestas laterais definição perpendiculares à base vértices base arestas elementos lateral base faces Lateral = alturaPrismas retos Área da base Área do polígono da base áreas Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais Área total 2Ab + Al
    • Áreas do Prisma Exemplo: Seja um prisma reto de 20 cm dealtura, cuja base é um triângulo retângulo comcatetos de 8 cm e 15 cm. Calcule a área totaldo prisma.
    • Áreas do Prisma 2 2 2 x 15 8 2 x 225 64 2 x 289 x 17At 2. Ab Al 15.8At 2. 15.20 8.20 17.20 2 2At 120 300 160 340 920cm
    • Tente fazer sozinho Calcule a medida do lado da base de umprisma hexagonal regular, sabendo que asua área total é 216 3 dm2 e que a suaaltura é igual ao apótema da base.
    • Tente fazer sozinho Calcule a medida do lado da base de umprisma hexagonal regular, sabendo que asua área total é 216 3 dm2 e que a suaaltura é igual ao apótema da base.
    • Solução At 216 3 2. Ab Al 216 3 2 3.l 3 2. 6.b.h 216 3 2 2 3.l 3 l 3 2. 6.l. 216 3 2 2 2 2 3l 3 3l 3 216 3 2 6l 3 216 3 l 6dm
    • Tente fazer sozinho (Fatec) A figura abaixo é um prisma reto,cuja base é um triângulo equilátero de 10 2 cmde lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é oponto médio da aresta DF, calcule o seno doângulo B M E .
    • Tente fazer sozinho (Fatec) A figura abaixo é um prisma reto,cuja base é um triângulo equilátero de 10 2 cmde lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é oponto médio da aresta DF, calcule o seno doângulo B M E .
    • Solução l 3 2 2 2EM BM 5 6 5 5 2 sen x 2 5 7 BM 150 25 10 2 3EM BM 2 175 7 2 sen x 7EM 5 6 BM 5 7
    • Áreas do Prisma Caso particular: cubo Como o cubo apresenta todas as faces coma mesma área, então: 2 At 6.l
    • Áreas do Prisma Exemplo: A diagonal de um cubo mede 12 cm.Calcule a área total. l 3 12 l 4 3 2 At 6.l 2 At 64 3 2 At 288cm
    • Volume do Prisma O volume de todo prisma é o produto entrea área da base e a altura. V Ab .h
    • Volume do Prisma Exemplo: Determine o volume da piscinailustrada abaixo: 3 V Ab .h 300.150.50 2250000cm 3 V 2250dm 2250l
    • Volume do Prisma Caso particular: cubo Como o cubo apresenta todas as arestascom a mesma medida, então: V Ab .h 2 3 V a .a V a
    • Volume do PrismaExemplo: Um tanque cúbico sem tampa serárevestido internamente com uma massaimpermeabilizante. Calcule o volume do tanque,sabendo que a área da superfície a serrevestida é 125m2. área revestida = área do cubo – tampa 125 = 6l2 – l2  125 = 5l2  l = 5 m Logo, V = l3 = 53 = 125m3
    • Arestas laterais definição perpendiculares à base vértices base arestas elementos lateral base faces Lateral = alturaPrismas retos Área da base Área do polígono da base áreas Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais Área total 2Ab + Al volume V = Ab . h
    • Tente fazer sozinho (Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96m2 de material para se montar uma caixacúbica. O volume dessa caixa é:a) 64 dm3b) 40 cm3c) 96 dm3d) 160 cm3e) 55 dm3
    • Tente fazer sozinho (Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96m2 de material para se montar uma caixacúbica. O volume dessa caixa é:a) 64 dm3b) 40 cm3c) 96 dm3d) 160 cm3e) 55 dm3
    • Solução 3At 0,96 V a 2 36a 0,96 V 0,4 2 3a 0,16 V 0,064m 3a 0,4m V 64dm Letra A
    • Tente fazer sozinho (UFPI) A base de um prisma reto é umtriângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5cm e um dos catetos mede 3 cm. Se amedida da altura desse prisma é 10 cm, seuvolume, em centímetros cúbicos, mede:a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
    • Tente fazer sozinho (UFPI) A base de um prisma reto é umtriângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5cm e um dos catetos mede 3 cm. Se amedida da altura desse prisma é 10 cm, seuvolume, em centímetros cúbicos, mede:a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
    • Solução 2 2 2 5 3 x 2 25 9 x 2 x 16 x 4 b.h 3.4V Ab .h .h .10 60 Letra A 2 2
    • Cilindros Cilindros retos são sólidos de revolução,obtidos através do giro de um retângulo.
    • sólidos definição Gerados pela rotação de um retânguloCilindros retos
    • CilindrosOs elementos do cilindro reto são:
    • sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = alturaCilindros retos
    • Cilindros Caso particular: cilindro equilátero. O cilindro equilátero apresenta altura coma mesma medida do diâmetro da base.
    • sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = alturaCilindros Caso Cilindro h= 2r retos particular equilátero
    • Áreas do Cilindro Área da base: é a área do círculo queconstitui a base. 2 Ab .r
    • Áreas do cilindro Exemplo: Determine a área da base deum cilindro cujo raio do círculo da basemede 4cm. 2 Ab .r 2 Ab .4 2 Ab 16 cm
    • sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = alturaCilindros Caso Cilindro h= 2r retos particular equilátero Área da base Área do círculo da base Ab = πr2 áreas
    • Áreas do Cilindro Área lateral: é a área da superfície lateralplanificada. Al 2. .r.h
    • Áreas do Cilindro Exemplo: A base do ofurô, ilustrado abaixotem diâmetro igual a 0,8 m. Na fábrica onde éconstruído, a base cilíndrica não é de madeirae a altura padrão é de 0,7 m. Calcule, em cm2 aárea da superfície revestida de madeira. Al 2. .r.h Al 2.3,14.40.70 2 Al 17,684 18cm
    • sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = alturaCilindros Caso Cilindro h= 2r retos particular equilátero Área da base Área do círculo da base Ab = πr2 áreas Área lateral Al = 2πrh
    • Áreas do Cilindro Área total: é a área de toda a superfíciedo prisma, portanto, é a soma das áreas dasbases com a área lateral. At 2. Ab Al
    • Áreas do Cilindro Exemplo: Determine a área total de umcilindro reto, cujo perímetro da base mede10π cm, igual a medida da altura. 2. .r 10 r 5cm Ab .r 2 25 At 2. Ab Al 2 Al 2. .r.h At 2.25 250 2 Al 2. .5.10 At 50 250 2 Al 250 At 50 1 2
    • sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = alturaCilindros Caso Cilindro h= 2r retos particular equilátero Área da base Área do círculo da base Ab = πr2 áreas Área lateral Al = 2πrh Área total At = 2Ab + Al
    • Tente fazer sozinho (UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm dediâmetro na base e 18 cm de altura. Quantoscentímetros quadrados de material sãousados, aproximadamente, para fabricar essalata? (Considere π = 3,14) a) 396 b) 126 c) 285 d) 436 e) 578
    • Tente fazer sozinho (UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm dediâmetro na base e 18 cm de altura. Quantoscentímetros quadrados de material sãousados, aproximadamente, para fabricar essalata? (Considere π = 3,14) a) 396 b) 126 c) 285 d) 436 e) 578
    • Soluçãod 6cm r 3cm e h 18cmAt 2 Ab Al 2At 2. .r 2. .r.h 2At 2. .3 2. .3.18At 18. 108.At 126. 126.3,14At 395,64 396cm 2 Letra A
    • Áreas do Cilindros Caso particular: cilindro equilátero. Como o cilindro equilátero apresenta alturacom a mesma medida do diâmetro da base,então: 2 Al 2. .r 2r Al 4. .r 2 2 2 2 At 4. .r 2. . r At 6. .r
    • Áreas do Cilindros Exemplo: Calcule a área lateral e a áreatotal de um cilindro reto equilátero, cujoraio da base mede 5 cm. 2 2 Al 4. .r 4. .5 100 2 2 At 6. .r 6. .5 150
    • Volume do Cilindro O volume de todo cilindro é o produto entrea área da base e a altura. V Ab .h
    • Volume do Cilindro Exemplo: Calcule o volume da piscina abaixo,em litros, sabendo que é um cilindro reto, odiâmetro mede 1m e a altura mede 50 cm. 1m 10dm r 5dm 50cm 5dm V Ab .h 2 V .5 .5 V 125 litros
    • Volume do Cilindro Caso particular: cilindro equilátero Como o cilindro equilátero apresenta aaltura com a mesma medida do diâmetro dabase, então: V Ab .h 2 3 V .r 2.r V 2. .r
    • Volume do Cilindro Caso particular: cilindro equilátero Exemplo: Um cilindro equilátero de volume128π litros, tem diâmetro de quantoscentímetros? V Ab .h 3 3 128 2. .r 128 2r 3 r 64 r 4dm 40cm
    • sólidos definição Gerados pela rotação de um retângulo base elementos Geratriz = alturaCilindros Caso Cilindro h= 2r retos particular equilátero Área da base Área do círculo da base Ab = πr2 áreas Área lateral Al = 2πrh Área total At = 2Ab + Al Volume V = Ab . h
    • Tente fazer sozinho (UFPI) Um reservatório com capacidade para6280 litros tem a forma de um cilindrocircular reto. Se o raio da base do reservatóriomede 1 metro, sua altura, também em metros,mede: (Considere π = 3,14) a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3
    • Tente fazer sozinho (UFPI) Um reservatório com capacidade para6280 litros tem a forma de um cilindrocircular reto. Se o raio da base do reservatóriomede 1 metro, sua altura, também em metros,mede: (Considere π = 3,14) a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3
    • Solução 3 3V 6280l 6280dm 6,280mr 1mV Ab .h 3 26,280m 3,14.1 .h 6,28h 2m Letra D 3,14
    • Tente fazer sozinho (UFRN) Nove cubos de gelo, cada um comaresta igual a 3 cm, derretem dentro de umcopo cilíndrico vazio, com raio da basetambém igual a 3cm. Após o gelo derretercompletamente, a altura da água no coposerá de aproximadamente:a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm
    • Tente fazer sozinho (UFRN) Nove cubos de gelo, cada um comaresta igual a 3 cm, derretem dentro de umcopo cilíndrico vazio, com raio da basetambém igual a 3cm. Após o gelo derretercompletamente, a altura da água no coposerá de aproximadamente:a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm
    • Solução 3 3 3Vcubo a 3 27cm 3Vcilindro 27.9cm 2Vcilindro .r .h 227.9 3,14.3 .h 27h 8,59 8,5cm Letra A 3,14
    • Tente fazer sozinho (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm dealtura e área da base igual a 1200 cm2, estácom água até a metade da sua capacidade.Colocando-se pedras dentro desse aquário, demodo que fiquem totalmente submersas, onível da água sobe para 16,5 cm. O volume daspedras, em centímetros cúbicos, é: a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100
    • Tente fazer sozinho (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm dealtura e área da base igual a 1200 cm2, estácom água até a metade da sua capacidade.Colocando-se pedras dentro desse aquário, demodo que fiquem totalmente submersas, onível da água sobe para 16,5 cm. O volume daspedras, em centímetros cúbicos, é: a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100
    • Solução 30cm e Ab 2h 1200cm 3Vaquário Ab .h 1200.30 36000cmVaquário 36000 3 18000cm 2 2 3Vaquáriocom pedras 1200.16,5 19800cm 1800cm Letra C 3V pedras 19800 18000
    • Bibliografia• http://pessoal.sercomtel.com.br/matemati ca/geometria/prisma/prisma.htm• Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 456 até 464.• Figuras: google imagens