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  • 1. Análise Combinatória
  • 2. Objetivos da aula• Princípio Fundamental da Contagem• Arranjo Simples• Permutações: simples e com repetição• Combinação simples
  • 3. Princípio Fundamental da Contagem Vamos imaginar o caso de uma montadorade carros que dispõe de 5 cores (preto,vinho, azul, vermelho e prata) para fabricar3 modelos de carros diferentes (Sapoti, Figoe Amora). Para saber quantos tipos de carrosdiferentes podem ser fabricados, bastacruzar cada cor, com cada tipo de carro. Usando o esquema a seguir fica mais fácil!
  • 4. Temos 15diferentes tipos de carro.
  • 5. Princípio Fundamental Evento que depende da contagem de evento anterior AnáliseCombinatória
  • 6. Tente fazer sozinho1) Se jogarmos uma moedapara o alto 3 vezes, quantas sequências diferentes podemos obter?
  • 7. Tente fazer sozinho1) Se jogarmos uma moedapara o alto 3 vezes, quantas sequências diferentes podemos obter?
  • 8. SoluçãoLogo, temos 8 resultados diferentes
  • 9. Fatorial de um número natural Representamos o fatorial de umnúmero colocando um ponto deexclamação depois desse número (n!)Exemplos: 4! 7! 20!
  • 10. Cálculo do Fatorial O fatorial de um número natural n édado pelo seguinte produto: n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). ... . 2.1 Exemplos:• 4! = 4.3.2.1 = 24• 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1= 3628800
  • 11. O fatorial de zero é igual a 1 0! = 1
  • 12. Tente fazer sozinho 17! 3!2) Calcule: 15! 6!
  • 13. Solucão17! 3! 17.16.15!.3! = =15! 6! 15!.6.5.4.3!17.16.15.3! 17.16 34 = =15!.6.5.4.3! 6.5.4 15
  • 14. Tente fazer sozinho3) (UEMG) Simplificando a expressão n!+( n + 1)! , obtemos: ( n + 2)! n 1 n na) b) c) d) n −1 n −1 n +1 n −1
  • 15. Soluçãon!+( n + 1)! n!+( n + 1) n! = = ( n + 2)! ( n + 2)( n + 1) n! n!(1 + n + 1) n!( n + 2 ) = =( n + 2)( n + 1) n! ( n + 2)( n + 1) n! n!( n + 2 ) 1 =( n + 2)( n + 1) n! n + 1 Letra D
  • 16. Arranjo Simples O arranjo simples acontece quandofazemos qualquer agrupamento com todosou alguns elementos de um conjunto, cujaordem dos elementos é considerada.Exemplo: Quantos números de 3 algarismosdistintos podemos formar com os algarismos2, 3, 4, 5 e 6. 5 4 3 = 60 números
  • 17. Também podemos usar a fórmula de arranjo simples: p n! A n = ( n − p )! Sendo:n  número total de elementos do conjuntop  quantidade de algarismos pedida 3 6! 6! 6.5.4.3! A6 = ( 6 − 3)! = 3! = 3! = 60
  • 18. Princípio Fundamental Evento que depende da contagem de evento anterior Agrupamento de pelo menos 2 elementos Definição Importa a ordem Arranjo Análise Simples p n! Fórmula A =Combinatória n ( n − p )!
  • 19. Tente fazer sozinho4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.a)Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever?b)Quantos números de 4 algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever?c) Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
  • 20. Tente fazer sozinho4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.a) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever?b) Quantos números de 4 algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever?c) Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
  • 21. Soluçãoa) 9 8 7 = 504b) 8 7 6 1= 336 7c) 1 7 6 5 4 1 840 = 3 8
  • 22. Permutação A permutação é um caso particular doarranjo simples, pois acontece quandoagrupamos todos os elementos do conjuntodado. Exemplo: dados 1, 2, 3, 4, 5, se queremosformar números de 3 algarismos, temos umcaso de arranjo. Se queremos formarnúmeros de 5 algarismos, temos um caso dearranjo, particularmente, a permutação.
  • 23. Permutação Simples A permutação simples acontece quandofazemos qualquer agrupamento com todosos elementos de um conjunto.Exemplo: A palavra AMOR apresenta 4 letras e comelas, podemos formar alguns anagramas: ROMA – MORA – ROAM - ARMO
  • 24. Permutação Simples Para calcular o número total deanagramas, podemos seguir o seguinteraciocínio: 4 3 2 1 = 24 Também podemos usar a fórmula de permutação simples: Pn = n! P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
  • 25. Tente fazer sozinho5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as seguintes questões:a)Quantos anagramas podemos formar?b)Quantos anagramas podemos formar, de modo que comece e termine com vogal?c)Quantos anagramas podemos formar, de modo que as letras UF apareçam sempre juntas?
  • 26. Tente fazer sozinho5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as seguintes questões:a)Quantos anagramas podemos formar?b)Quantos anagramas podemos formar, de modo que comece e termine com vogal?c)Quantos anagramas podemos formar, de modo que as letras UF apareçam sempre juntas?
  • 27. Soluçãoa) 5 4 3 2 1= 120b) 2 3 2 1 1= 12 1 3 2 1c) = 6 ; 6 .4 = 24 UF 2 1 =2; 2 x 24 = 48
  • 28. Tente fazer sozinho6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultose 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoaspodem dirigir e que as crianças devem ir atráse na janela, o número total de maneirasdiferentes através das quais estas 5 pessoaspodem ser posicionadas, não permitindo ascrianças irem no colo de ninguém, é igual a: a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
  • 29. Tente fazer sozinho6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultose 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoaspodem dirigir e que as crianças devem ir atráse na janela, o número total de maneirasdiferentes através das quais estas 5 pessoaspodem ser posicionadas, não permitindo ascrianças irem no colo de ninguém, é igual a: a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8
  • 30. Solução caronamotorista janelas 2 2 2 1 =8 1   bancos bancos da frente de trás
  • 31. Permutação com Repetição Caso o conjunto dado apresenteelementos repetidos, usaremos a seguintefórmula: α , β ,γ n! P n = α! β !γ ! Sendo: n  o número total de elementos α, β, γ  número que indica a quantidades de elementos repetidos de cada tipo.
  • 32. Permutação com RepetiçãoExemplo: A palavra ARARAQUARA apresentaum total de 10 letras, sendo 5A, 3R, 1Q e 1U 5, 310! 10.9.8.7.6.5! P10 = 5!3! = 5! 3.2 = 10.9.8.7.6.5! = 5040 5! 3.2
  • 33. Tente fazer sozinho7) Apresente a quantidadede anagramas da palavra MISSISSIPI.
  • 34. Tente fazer sozinho7) Apresente a quantidadede anagramas da palavra MISSISSIPI.
  • 35. Solução MISSISSIPI: 10 letras, sendo1M, 4I, 4S, 1P 4, 4 10! 10.9.8.7.6.5.4! P10 4!4! = = 4! 4.3.2 = 10.9.8.7.6.5.4! = 6300 4! 4.3.2
  • 36. Princípio Fundamental Evento que depende da contagem de evento anterior Agrupamento de pelo menos 2 elementos Definição Importa a ordem Arranjo Análise Simples p n! Fórmula A =Combinatória n ( n − p )! Caso Particular Permutação
  • 37. Definição Agrupamento de pelo menos 2 elementos característica Importa a ordemArranjo p n!Simples Fórmula A = n ( n − p )! Agrupamento de todos Definição Caso elementos dados Permutação Particular simples P! Tipos Com α , β ,γ = n! repetição P n α ! β !γ !
  • 38. Combinação Simples A combinação simples acontecequando agrupamos uma quantidade p deelementos de um conjunto com n elementos,sem importar a ordem que esses elementossão escolhidos. Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoasdentre as 5 que se candidataram a umaviagem, não importa a ordem que as 3 serãoescolhidas, pois todas as 3 irão da mesmaforma.
  • 39. Combinação Simples Para resolver problemas que ocorrem a combinação simples, usaremos a fórmula: p n! C n = p!( n − p )! Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoasdentre 5. 3 5! 5! 5.4.3! 5.4.3! C 5 = 3!( 5 − 3)! = 3!2! = 3! 2 = 3! 2 = 10
  • 40. Tente fazer sozinho8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas parailustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual doCandidato do Vestibular Estadual de 2007. Umdesses grupos está apresentado a seguir: Considere que cada grupo de 4 figuras quepoderia ser formado é distinto de outro somentequando pelo menos uma de suas figuras fordiferente. Nesse caso, o número total de gruposdistintos entre si que poderiam ser formados parailustrar o Manual do Candidato é igual a:
  • 41. Tente fazer sozinho8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas parailustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual doCandidato do Vestibular Estadual de 2007. Umdesses grupos está apresentado a seguir:Considere que cada grupo de 4 figuras quepoderia ser formado é distinto de outro somentequando pelo menos uma de suas figuras fordiferente. Nesse caso, o número total de gruposdistintos entre si que poderiam ser formados parailustrar o Manual do Candidato é igual a:
  • 42. Solução 4 7! 7!C 7 = 4!( 7 − 4 )! = 4!3! = 7.6.5.4!= = 35 4! 3.2
  • 43. Tente fazer sozinho9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas,quantos copos de salada, contendo 6espécies diferentes, podem ser feitos?
  • 44. Tente fazer sozinho9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas,quantos copos de salada, contendo 6espécies diferentes, podem ser feitos?
  • 45. Solução 6 10! 10!C10 = 6!(10 − 6 )! = 6!4! = 10.9.8.7.6!= = 210 6! 4.3.2
  • 46. Princípio Fundamental Evento que depende da contagem de evento anterior Agrupamento de pelo menos 2 elementos Definição Importa a ordem Arranjo Análise Simples p n! Fórmula A =Combinatória n ( n − p )! Caso Particular Permutação Agrupamento de pelo menos 2 elementos Definição Combinação Importa a ordem Simples p n! Fórmula C n = p!( n − p )!
  • 47. Bibliografia• http://www.colegioweb.com.br/matematica/principio-fun• http://matematica-online-clc.blogspot.com/2009/07/ana• Dante, Luiz Roberto: Matemática Contexto & Aplicações 2 – Ensino Médio, Editora Ática – 3ª edição. Págs: 308 a 325

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