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  • 1. DINÂMICA E MOVIMENTO
  • 2. OBJETIVOS Entender as equações da cinemática a partir das Leis de Newton; Associar força ao movimento; Aplicar as equações do movimento uniforme (M.U.) e do movimento uniformemente variado (M.U.V.); Entender o que é lançamento vertical, horizontal e queda livre.
  • 3. Para o melhor aprendizado do conteúdo precisamos saber: Resolver equações de primeiro grau; Resolver equações de segundo grau; Traçar gráficos de equações de primeiro e segundo graus; Entender o que é uma função; Definição de velocidade; Definição de aceleração;
  • 4. LEIS DE NEWTON A 1a Lei de Newton, nos diz que um corpo permanece em inércia, na ausência de Forças (Força resultante nula),(FR=0). Inércia é uma propriedade da massa, corpos em inércia ficam em repouso ou com velocidade constante (v = Cte) em linha reta.
  • 5. Repouso(V=0) FR=0 1 Lei de a Inércia Newton Velocidade Cte FR=0Dinâmica
  • 6. Movimento uniformeO movimento uniforme (M.U.) é realizado comvelocidade constante e diferente de 0, (v=Cte ≠ 0).Corpos em inércia realizam movimento retilíneouniforme (M.R.U.).
  • 7. EXERCÍCIO(Unesp 98) Uma bola desloca-se em trajetória retilínea,com velocidade constante, sobre um plano horizontaltransparente. Com o sol a pino, a sombra da bola éprojetada verticalmente sobre um plano inclinado, comomostra a figura a seguir.
  • 8. Nessas condições, a sombra desloca-se sobre o plano inclinadoema) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de móduloigual ao da velocidade da bola.b) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de módulomenor que o da velocidade da bola.c) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de módulomaior que o da velocidade da bola.d) movimento retilíneo uniformemente variado, com velocidadede módulo crescente.e) movimento retilíneo uniformemente variado, com velocidadede módulo decrescente.
  • 9. EXERCÍCIO(Unesp 98) Uma bola desloca-se em trajetória retilínea,com velocidade constante, sobre um plano horizontaltransparente. Com o sol a pino, a sombra da bola éprojetada verticalmente sobre um plano inclinado, comomostra a figura a seguir.
  • 10. Nessas condições, a sombra desloca-se sobre o plano inclinadoema) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de móduloigual ao da velocidade da bola.b) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de módulomenor que o da velocidade da bola.c) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de módulomaior que o da velocidade da bola.d) movimento retilíneo uniformemente variado, com velocidadede módulo crescente.e) movimento retilíneo uniformemente variado, com velocidadede módulo decrescente.
  • 11. Movimento uniforme Equação do movimento uniforme: x(t ) = xo + v.tOnde:x(t) é a posição final (m)xo é a posição inicial (m)v é a velocidade (constante) (m/s)t é o tempo (s)
  • 12. Movimento uniforme x(m) x(m)x xoxo x t(s) t(s) t tO gráfico da função do M.U. é o de uma função doprimeiro grau.
  • 13. EXERCÍCIOS x(m) 4 2 1 2 3 t(s)No gráfico acima podemos identificar quantosmovimentos uniformes ? Quais são suas equações ?Calcule qual a posição nos instantes t = 1 s e t = 4s.
  • 14. EXERCÍCIOS x(m) 4 B 2 A 1 2 3 t(s)No gráfico acima podemos identificar quantosmovimentos uniformes ? Quais são suas equações ?Calcule qual a posição nos instantes t = 1 s e t = 4s.
  • 15. No movimento uniforme os gráficos são retas (funçõesde primeiro grau). Como existem duas retas entãoexistem dois movimentos uniformes. x(t ) = xo + v.tPara cada reta existe uma velocidade constante, vamoscalcular. ∆x v= ∆t
  • 16. Para cada reta existe uma velocidade constante, vamos calcular. x(m) 4 B 2 A 1 2 3 t(s) ∆x v = 2 − 1 = 0,5m / s 4−2v= A 2 vB = = 2m / s ∆t 1
  • 17. Substituindo os valores de xo e vA para a reta A: x A (t ) = 1 + 0,5.tSubstituindo os valores de xo e vB para a reta B:xB (t ) = 2 + 2.t
  • 18. Vamos usar as equações do movimento uniforme para determinar as posições nos instantes t = 1s e t = 4s. x(m) 4 B 2 A 1 2 3 t(s) x A (t ) = 1 + 0,5.t xB (t ) = 2 + 2.tx A (1) = 1 + 0,5.1 = 0,5m xB ( 4) = 2 + 2.4 = 10m
  • 19. Repouso (V=0) FR=0 1 Lei de a Inércia Newton Velocidade Cte FR=0 1aLei de Inércia Movimento Retilíneo x(t ) = xo + v.t Newton uniformeDinâmica
  • 20. LEIS DE NEWTON Segunda Lei de Newton ou princípio fundamental dadinâmica: A resultante de um sistema de forças é diretamenteproporcional ao produto da massa pela aceleração.   FR = m.a
  • 21. LEIS DE NEWTON Pela segunda lei de Newton, a aceleração é oresultado de uma força resultante aplicada a um corpocom massa. Onde há aceleração não há inércia. FR a= m FR é a força resultante em Newtons (N); m é a massa em kg; a é a aceleração resultante em m/s2.
  • 22. Repouso (V=0) FR=0 1 Lei de a Inércia Newton Velocidade Cte FR=0 1aLei de Inércia Movimento Retilíneo x(t ) = xo + v.t Newton uniforme 2aLei de Sair da FR Newton inércia aceleração a= mDinâmica
  • 23. EXERCÍCIO(UFRJ) Dois blocos de massa igual a 4kg e 2kg,respectivamente, estão presos entre si por um fioinextensível e de massa desprezível. Deseja-se puxar oconjunto por meio de uma força F cujo módulo é igual a3N sobre uma mesa horizontal e sem atrito. Calcule omódulo da aceleração resultante.
  • 24. EXERCÍCIO(UFRJ) Dois blocos de massa igual a 4kg e 2kg,respectivamente, estão presos entre si por um fioinextensível e de massa desprezível. Deseja-se puxar oconjunto por meio de uma força F cujo módulo é igual a3N sobre uma mesa horizontal e sem atrito. Calcule omódulo da aceleração resultante.
  • 25. EXERCÍCIODa segunda lei de Newton: FR = m.aSão 2 corpos unidos por um fio, portanto a massa totalserá a soma das duas massas. 33 = (4 + 2).a a = = 0,5m / s 2 6
  • 26. MOVIMENTO UNIFORME VARIADO O movimento uniforme variado (M.U.V.) é realizadocom aceleração constante diferente de zero (a=cte≠0).
  • 27. MOVIMENTO UNIFORME VARIADOEquações do movimento uniforme variado: Posição em função do tempo; 2 a.t x(t ) = xo + vo .t + 2 Velocidade em função do tempo; v(t ) = vo + a.t
  • 28. MOVIMENTO UNIFORME VARIADOSe “vo” e “a” tem sinais opostos é movimento retardado;(Vo > 0) e (a < 0) ou (Vo < 0) e (a > 0);Se “vo” e “a” tem mesmos sinais é movimento acelerado;(Vo > 0) e (a >0) ou (Vo < 0) e (a < 0);
  • 29. MOVIMENTO UNIFORME VARIADO A equação da posição em função do tempo é umafunção de segundo grau. A equação da velocidade em função do tempo é umafunção de primeiro grau.
  • 30. EXERCÍCIOSA posição S, em metros, de um móvel varia em função dotempo t (em segundos) de acordo com a função dada por: S(t) = 2 + 4t – t2O valor da posição inicial, velocidade inicial, aceleração e otipo de M.U.V. são respectivamente:a) 2, 4, -1 (acelerado)b) 2, 4, -1 (retardado)c) 2, 4, -2 (retardado)d) 2, 4, -2 (acelerado)e) 4, 2, -2 (acelerado)
  • 31. EXERCÍCIOSA posição S, em metros, de um móvel varia em função dotempo t (em segundos) de acordo com a função dada por: S(t) = 2 + 4t – t2O valor da posição inicial, velocidade inicial, aceleração e otipo de M.U.V. são respectivamente:a) 2, 4, -1 (acelerado)b) 2, 4, -1 (retardado)c) 2, 4, -2 (retardado)d) 2, 4, -2 (acelerado)e) 4, 2, -2 (acelerado)
  • 32. EXERCÍCIOS Comparando a equação geral do movimento uniforme variado com a equação dada termo a termo temos: 2 a.t x(t ) = xo + vo .t + S (t) = 2 + 4t –1 t2 2So= 2 mvo= 4 m/sa/2 = -1 ⇒ a = - 2 m/sa e vo tem sinais opostos, é movimento retardado.
  • 33. EXERCÍCIOS(Unesp 95) O gráfico adiante mostra como varia avelocidade de um móvel, em função do tempo, duranteparte de seu movimento.
  • 34. EXERCÍCIOSO movimento representado pelo gráfico pode ser o de umaa) esfera que desce por um plano inclinado e continua rolandopor um plano horizontal.b) criança deslizando num escorregador de um parque infantil.c) fruta que cai de uma árvore.d) composição de metrô, que se aproxima de uma estação epára.e) bala no interior de um cano de arma, logo após o disparo.
  • 35. EXERCÍCIOS(Unesp 95) O gráfico adiante mostra como varia avelocidade de um móvel, em função do tempo, duranteparte de seu movimento.
  • 36. EXERCÍCIOSO movimento representado pelo gráfico pode ser o de umaa) esfera que desce por um plano inclinado e continua rolandopor um plano horizontal.b) criança deslizando num escorregador de um parque infantil.c) fruta que cai de uma árvore.d) composição de metrô, que se aproxima de uma estação epára.e) bala no interior de um cano de arma, logo após o disparo.
  • 37. EXERCÍCIOS(Ufrs 96) O gráfico representa a posição x de um corpo,em movimento retilíneo, em função do tempo t. A curvarepresentada é uma parábola (função do segundo grauem t), com vértice em t = 4s.
  • 38. EXERCÍCIOSA partir da análise do gráfico, pode-se afirmar quea) de t = 0s até t = 8s o móvel se movimenta com vetoraceleração constante.b) de t = 0s até t = 4s os vetores velocidade eaceleração têm o mesmo sentido.c) em t = 4s o vetor aceleração muda de sentido.d) de t = 4s até t = 8s o módulo do vetor velocidadediminui.e) em t = 4s o módulo do vetor aceleração é nulo.
  • 39. EXERCÍCIOS(UFRS 96) O gráfico representa a posição x de umcorpo, em movimento retilíneo, em função do tempo t. Acurva representada é uma parábola (função do segundograu em t), com vértice em t = 4s.
  • 40. EXERCÍCIOSA partir da análise do gráfico, pode-se afirmar quea) de t = 0s até t = 8s o móvel se movimenta com vetoraceleração constante.b) de t = 0s até t = 4s os vetores velocidade eaceleração têm o mesmo sentido.c) em t = 4s o vetor aceleração muda de sentido.d) de t = 4s até t = 8s o módulo do vetor velocidadediminui.e) em t = 4s o módulo do vetor aceleração é nulo.
  • 41. Repouso (V=0) FR=0 1 Lei de a Inércia Newton Velocidade Cte FR=0 1aLei de Inércia Movimento Retilíneo x(t ) = xo + v.t Newton uniforme 2aLei de Sair da FR Newton inércia aceleração a= mDinâmica 2aLei de a.t 2 Newton M.U. variado aceleração Cte x(t ) = xo + vo .t + 2 acelerado Força Peso M.U. variado v(t ) = vo + a.t retardado
  • 42. MOVIMENTO UNIFORME VARIADOEquação de TorricelliÉ uma equação útil quando não sabemos o valor dagrandeza tempo, é uma equação da velocidade emfunção do deslocamento. É obtida direto dasequações do M.U.V. v ( x) = v o + 2a.x 2 2Onde x é o deslocamento
  • 43. EXERCÍCIOS(UNIFESP 2003) Uma ambulância desloca-se a 108km/h num trecho plano de uma rodovia quando umcarro, a 72 km/h, no mesmo sentido da ambulância,entra na sua frente a 100 m de distância, mantendo suavelocidade constante. A mínima aceleração, em m/s 2,que a ambulância deve imprimir para não se chocarcom o carro é, em módulo, pouco maior que:a) 0,5. b) 1,0. c) 2,5. d) 4,5. e) 6,0.
  • 44. EXERCÍCIOS(UNIFESP 2003) Uma ambulância desloca-se a 108km/h num trecho plano de uma rodovia quando umcarro, a 72 km/h, no mesmo sentido da ambulância,entra na sua frente a 100 m de distância, mantendo suavelocidade constante. A mínima aceleração, em m/s2,que a ambulância deve imprimir para não se chocarcom o carro é, em módulo, pouco maior que:a) 0,5. b) 1,0. c) 2,5. d) 4,5. e) 6,0.
  • 45. EXERCÍCIOSA ambulância tem que imprimir uma aceleraçãonegativa ao movimento (velocidade inicial), ou umadesaceleração, o movimento é retardado. a=? vo = 30 m/s a=? v = 20 m/s x = 100 m
  • 46. EXERCÍCIOSConvertendo as velocidades em m/s e aplicando diretoa equação de Torricelli:v = 108 km/h : 3,6 = 30 m/svo=72 km/h : 3,6 = 20 m/s v ( x) = v o + 2a.x 2 2 30 = 20 + 2a.100 2 2 a ≅ −1,6m / s
  • 47. Repouso (V=0) FR=0 1 Lei de a Inércia Newton Velocidade Cte FR=0 1aLei de Inércia Movimento Retilíneo x(t ) = xo + v.t Newton uniforme 2aLei de Sair da FR Newton inércia aceleração a= mDinâmica 2aLei de a.t 2 Newton M.U. variado aceleração Cte x(t ) = xo + vo .t + 2 acelerado Força Peso M.U. variado v(t ) = vo + a.t retardado v ( x) = v o + 2a.x 2 2
  • 48. QUEDA LIVREA queda livre é um movimento uniforme variadoacelerado, ou seja, a força peso, acelera os corpos nadireção radial da terra e em sentido ao seu centro. xo= 0 2 P = m.g H x P = m.g
  • 49. QUEDA LIVRE 2 g .t H (t ) = vo .t +xo= 0 2 P = m.g v ( H ) = v o + 2 g .H 2 2H v(t ) = vo + g .t x P = m.g
  • 50. EXERCÍCIOSUm objeto é abandonado do alto de um morro, edepois de 4 s atinge o solo. Responda:a) Qual foi a velocidade imediatamente antes do objetotocar o solo?b) A que altura que o objeto foi abandonado?c) Quais as equações horárias da posição e davelocidade do objeto?
  • 51. EXERCÍCIOSUm objeto é abandonado do alto de um morro, edepois de 4 s atinge o solo. Adote g = 10m/s2.Responda:a) Qual foi a velocidade imediatamente antes doobjeto tocar o solo?b) A que altura que o objeto foi abandonado?c) Quais as equações horárias da posição e davelocidade do objeto?
  • 52. EXERCÍCIOSObjeto abandonado vo = 0 m/s. Tempo de queda, t = 4 sa) v( 4) = 0 +10.4 v = 40m / s 2 10.4b) H ( 4 ) = 0 .4 + H = 80m 2c) v(t ) = 10.t H (t ) = 5.t 2
  • 53. EXERCÍCIOS(UFPE 96) Um pára-quedista, descendo na vertical,deixou cair sua lanterna quando estava a 90 m do solo.A lanterna levou 3 segundos para atingir o solo. Qualera a velocidade do pára-quedista, em m/s, quando alanterna foi solta? Adote g=10m/s2.
  • 54. EXERCÍCIOS(UFPE 96) Um pára-quedista, descendo na vertical,deixou cair sua lanterna quando estava a 90 m do solo.A lanterna levou 3 segundos para atingir o solo. Qualera a velocidade do pára-quedista, em m/s, quando alanterna foi solta? Adote g=10m/s2. xo= 0 vo=? P = m.10H=90m x P = m.10
  • 55. EXERCÍCIOSVamos aplicar a equação horária em função da altura. 2 g .tH (t ) = vo .t + 2 10.1690 = vo .4 + 2 vo = 2,5m / s
  • 56. Repouso (V=0) FR=0 1 Lei de a Inércia Newton Velocidade Cte FR=0 1aLei de Inércia Movimento Retilíneo x(t ) = xo + v.t Newton Uniforme 2aLei de Sair da FR P Newton inércia aceleração a= g= m mDinâmica 2aLei de a.t 2 Newton M.U. variado aceleração Cte x(t ) = xo + vo .t + 2 acelerado Força Peso M.U. variado v(t ) = vo + a.t retardado v 2 ( x) = v 2 o + 2a.x Força Peso Queda livre M.U. variado acelerado
  • 57. LANÇAMENTO HORIZONTALO lançamento horizontal é a composição da queda livrecom o movimento uniforme na direção horizontal. vX vXP=m.g vX vX vY P=m.g
  • 58. LANÇAMENTO HORIZONTALQUEDA LIVRE MOVIMENTO UNIFORMEDIREÇÃO VERTICAL DIREÇÃO HORIZONTAL g .t 2 x(t ) = xo + v.tH (t ) = vo .t + 2v ( H ) = v o + 2 g .H 2 2v(t ) = vo + g .t
  • 59. EXERCÍCIOS(CESGRANRIO 97) Na superfície horizontal do patamarsuperior de uma escada, uma esfera de massa 10 g rolade um ponto A para um ponto B, projetando-se no ar apartir deste ponto para os degraus inferiores. Cadadegrau tem altura de 20 cm e largura de 30 cm.
  • 60. EXERCÍCIOSConsiderando-se desprezível a resistência do ar e g =10 m/s2, a velocidade mínima que a esfera deve ter aopassar pelo ponto B, para não tocar no primeirodegrau logo abaixo, é, em m/s, igual a:a) 0,6b) 0,8c) 1,0d) 1,2e) 1,5
  • 61. EXERCÍCIOS(CESGRANRIO 97) Na superfície horizontal do patamarsuperior de uma escada, uma esfera de massa 10 g rolade um ponto A para um ponto B, projetando-se no ar apartir deste ponto para os degraus inferiores. Cadadegrau tem altura de 20 cm e largura de 30 cm.
  • 62. EXERCÍCIOSConsiderando-se desprezível a resistência do ar e g =10 m/s2, a velocidade mínima que a esfera deve ter aopassar pelo ponto B, para não tocar no primeirodegrau logo abaixo, é, em m/s, igual a:a) 0,6b) 0,8c) 1,0d) 1,2e) 1,5
  • 63. EXERCÍCIOSVamos aplicar a equação horária da posição para aqueda livre, e descobrir o tempo de queda da esfera. 2 g .tH (t ) = vo .t + 2 2 10.t0,2 = 0.t + 2 t = 0,2 s
  • 64. EXERCÍCIOSVamos aplicar a equação horária da posição para omovimento uniforme, e descobrir a velocidade daesfera. x(t ) = xo + v.t0,3 = 0 + v.0,2 v = 1,5m / s
  • 65. Repouso (V=0) FR=0 1 Lei de a Inércia Newton Velocidade Cte FR=0 1aLei de Inércia Movimento Retilíneo x(t ) = xo + v.t Newton Uniforme 2aLei de Sair da FR P Newton inércia aceleração a= g= m mDinâmica 2aLei de a.t 2 Newton M.U. variado aceleração Cte x(t ) = xo + vo .t + 2 acelerado Força Peso M.U. variado v(t ) = vo + a.t retardado v ( x) = v o + 2a.x 2 2 Força Peso Queda livre M.U. variado acelerado Força Peso Queda livre Lançamento Horizontal Lançamento 1aLei de Newton Inércia Movimento uniforme Horizontal
  • 66. LANÇAMENTO VERTICALO lançamento vertical é um movimento uniforme variadoretardado, ou seja, a velocidade inicial se dá no sentidocontrário ao da força peso, por isso tem sinais opostos. x P = m.g H voxo= 0 P = m.g
  • 67. LANÇAMENTO VERTICALNa altura máxima a velocidade é nula, e o tempo desubida é igual ao tempo de descida. V=0 x P = m.g H voxo= 0 P = m.g
  • 68. LANÇAMENTO VERTICALEquações para o lançamento vertical 2 g .tx(t ) = vo .t − 2v ( x ) = v o − 2 g .x 2 2v(t ) = vo − g .t
  • 69. EXERCÍCIOS(Mackenzie 96) Um helicóptero, cuja altura da cabine é 1,5m,sobe verticalmente com velocidade constante. Num dadoinstante, solta-se, do alto da cabine, um parafuso que leva 0,5segundos para atingir o piso do helicóptero. A velocidade dohelicóptero em relação à Terra é igual a: (Dado g = 10 m/s2)a) 5,5 m/sb) 5 m/sc) 4,5 m/sd) 4 m/se) 3,5 m/s
  • 70. EXERCÍCIOS(MACKENZIE 96) Um helicóptero, cuja altura da cabine é 1,5m,sobe verticalmente com velocidade constante. Num dadoinstante, solta-se, do alto da cabine, um parafuso que leva 0,5segundos para atingir o piso do helicóptero. A velocidade dohelicóptero em relação à Terra é igual a: (Dado g = 10 m/s2)a) 5,5 m/sb) 5 m/sc) 4,5 m/sd) 4 m/se) 3,5 m/s
  • 71. EXERCÍCIOSVamos aplicar direto a equação horária da posição dolançamento vertical, pois, o helicóptero sobe comvelocidade constante, ou seja, a força resultante nohelicóptero é nula. Porém a força peso atua no parafusoquando ele é solto. 2 g .t x(t ) = vo .t − 2 2 10.0,5 1,5 = vo .0,5 − 2 2,75 vo = 0,5 vo = 5,5m / s
  • 72. Repouso (V=0) FR=0 1 Lei de a Inércia Newton Velocidade Cte FR=0 1aLei de Inércia Movimento Retilíneo x(t ) = xo + v.t Newton Uniforme 2aLei de Sair da FR P Newton inércia aceleração a= g= m mDinâmica 2aLei de a.t 2 Newton M.U. variado aceleração Cte x(t ) = xo + vo .t + 2 acelerado Força Peso M.U. variado v(t ) = vo + a.t retardado v ( x) = v o + 2a.x 2 2 Força Peso Queda livre M.U. variado acelerado Força Peso Queda livre Lançamento Horizontal Lançamento 1aLei de Newton Inércia Movimento uniforme Horizontal Força Peso Lançamento Vertical M.U.variado retardado

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